OSNOVE VEKTORSKEGA RAˇCUNA e

µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
µ
OSNOVE VEKTORSKEGA RACUNA
e-gradivo
izr. prof. dr. Petra Šparl
Kranj 2013/14
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
Motivacija
Pri obravnavi doloµcenih koliµcin nas zanima le velikost, medtem ko nas pri
drugih, poleg velikosti, zanima tudi smer.
Na primer, µce nas zanima kako se nek predmet giblje v prostoru, je
smiselno, da vemo kako hitro se giblje in v katero smer. Torej moramo za
hitrost poznati velikost in smer.
Koliµcine, ki imajo velikost in smer, imenujemo vektorji. Koliµcine, ki
imajo le velikost pa imenujemo skalarji oziroma števila.
Primeri geometrijskih vektorjev v praksi so: pot, hitrost, pospešek, sila.
Primeri skalarjev pa: masa, temperatura, µcas, delo, energija, višina.
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
De…nicija
Vektor v prostoru je doloµcen z urejenim parom toµck (A; B). Ponazorimo
ga z usmerjeno daljico, ki poteka od toµcke A do toµcke B (in ne obratno)
!
!
in ga oznaµcimo z AB: Toµcko A imenujemo zaµcetna toµcka vektorja AB;
toµcko B pa konµcna toµcka. Vektorji so koliµcine, ki vsebujejo naslednje
podatke: dolµzino (ali velikost), smer in usmerjenost.
!
!
Dolµzina vektorja AB je enaka dolµzini daljice AB in jo oznaµcimo z AB :
!
Smer vektorja AB doloµca premica, ki poteka skozi toµcki A in B:
Usmerjenost vektorja je doloµcena z izborom zaµcetne in konµcne toµcke.
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Oznake vektorjev
µ poznamo dolµzino, smer in usmerjenost vektorja, je le-ta
Opomba. Ce
enoliµcno doloµcen.
Vektorje, namesto z zaµcetno in s konµcno toµcko, veµckrat oznaµcujemo z
malimi µcrkami, ki jim zgoraj dodamo pušµcico: ~a; ~b; ~c; ~v .
Oznake vektorjev.
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
Posebni vektorji
Vektorja ~a in ~b sta enaka, µce sta vzporedna, enako dolga in kaµzeta v isto
smer. Zato ima vsak vektor 1 predstavnikov v prostoru.
Niµcelni vektor je vektor, katerega zaµcetna in konµcna toµcka sovpadata,
!
oznaµcimo ga z ~0 = T T :
!
!
!
Nasprotni vektor k vektorju AB je vektor BA, ki je z vektorjem AB
vzporeden, enako dolg in nasprotno usmerjen.
Enotski vektor ~e je vektor z dolµzino 1 (j~ej = 1).
Slika: (a) enaki vektorji ~a; ~b in ~c; (b) nasprotna vektorja.
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
Raµcunske operacije med vektorji
V praksi veµckrat µzelimo z vektorji raµcunati. Videli bomo, da lahko:
vektorje seštevamo in odštevamo,
vektor pomnoµzimo s skalarjem (številom),
mnoµzimo vektorje med seboj.
Opomba. Obstajajo razliµcni produkti med vektorji (skalarni, vektorski in
mešani). V tem gradivu bomo obravnavali le skalarnega.
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Vsota vektorjev
Vsota vektorjev ~a in ~b je vektor ~a + ~b: Geometrijsko ga ponazorimo na
enega od naslednjih dveh naµcinov:
1. Zaµcetno toµcko vektorja ~b vzporedno premaknemo v konµcno toµcko vektorja
~a: Vsota ~a + ~b je vektor od zaµcetne toµcke vektorja ~a do konµcne toµcke
vektorja ~b (slika (a)). Pravilo imenujemo trikotniško pravilo.
2. Vektorja ~a in ~b vzporedno premaknemo tako, da njuni zaµcetni toµcki
sovpadata ter ju dopolnimo do paralelograma. Vsota ~a + ~b je vektor od
zaµcetne toµcke vektorjev ~a in ~b do nasprotnega oglišµca paralelograma (slika
(b)). Pravilo imenujemo paralelogramsko pravilo.
Slika: (a) trikotniško pravilo, (b) paralelogramsko pravilo.
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Zgled
Na toµckasto telo delujejo sile F~1 ; F~2 in F~3 ; kot prikazuje spodnja slika (a).
Slika: Rezultanta treh nevzporednih sil.
Doloµcimo njihovo rezultanto F~ :
Rešitev: Rezultanta sil je vsota vektorjev F~1 ; F~2 in F~3 ; ki je prikazana na
sliki (b), kjer je dvakrat uporabljeno trikotniško pravilo.
Slika (c) prikazuje rezultanto F~ ; katere delovanje na dano toµckasto telo
ima enak uµcinek kot vse tri sile v primeru (a).
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Lastnosti vsote
Za poljubne vektorje ~a; ~b in ~c velja:
~a + ~b = ~b + ~a
(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)
~a + ~0 = ~0 + ~a = ~a
~a + ( ~a) = ( ~a) + ~a = ~0
(komutativnost),
(asociativnost),
(~0 je nevtralni element za seštevanje),
(vsota nasprotnih vektorjev je enaka ~0).
Prikaz komutativnosti prikazuje spodnja slika.
Slika: Komutativnost vsote (~a + ~b = ~b + ~a):
Levo je vsota ~a + ~b; desno pa vsota ~b + ~a: Oba vektorja sta enako dolga,
vzporedna in enako usmerjena, torej sta enaka.
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Razlika vektorjev
Razlika vektorjev ~a in ~b je vektor ~a ~b; za katerega velja
~b + (~a ~b) = ~a:
Išµcemo torej vektor, ki ga moramo prišteti vektorju ~b; da dobimo vektor
~a: Vektor razlike ~a ~b lahko narišemo na dva naµcina:
1. Vektorja ~a in ~b vzporedno premaknemo tako, da imata skupni zaµcetni
toµcki. Razlika ~a ~b je vektor od konµcne toµcke vektorja ~b do konµcne toµcke
vektorja ~a; (spodnja slika (a)).
2. Vektor ~a ~b narišemo kot vsoto vektorja ~a in vektorja ~b (spodnja slika
(b)).
Slika: (a) razlika ~a
~b; (b) ~a
~b = ~a + ( ~b):
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Monoµzenje vektorja s skalarjem
Mnoµzenje vektorja s skalarjem je raµcunska operacija, ki zdruµzuje vektorje
in realna števila (skalarje).
Produkt vektorja ~a s skalarjem (realnim številom) k 6= 0 je vektor k~a; ki
je vzporeden vektorju ~a in ima dolµzino k j~aj :
µ je jkj > 1; potem se dolµzina vektorja ~a poveµca in sicer jkj-krat.
Ce
µ je 0 < jkj < 1; potem se dolµzina vektorja ~a zmanjša.
Ce
µ je k > 0, je vektor k~a enako usmerjen kot vektor ~a:
Ce
µ je k < 0; je vektor k~a nasprotno usmerjen kot vektor ~a:
Ce
µ je k = 0; je 0 ~a = ~0 niµcelni vektor, µce je k = 1; je ( 1) ~a = ~a:
Ce
Slika: Vektorji ~a; 2~a;
1
~a
2
in
3~a:
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Lastnosti mnoµzenja vektorja s skalarjem
Za poljubni realni števili m in n ter poljubna vektorja ~a in ~b velja:
n(m~a) = (nm)~a
(n + m)~a = n~a + m~a
n(~a + ~b) = n~a + m~b
1~a = ~a
(asociativnost v skalarnem faktorju),
(distributivnost v skalarnem faktorju),
(distributivnost v vektorskem faktorju),
(1 je nevtralni element za mnoµzenje).
Zgled. Naj velja vektorska enaµcba 3 ~a 5n ~a = (2 7n) ~a: Kolikšen
je skalar n; µce je ~a 6= ~0?
Rešitev: Najprej dajmo vse µclene enaµcbe na isto stran enaµcaja in
(upoštevaje distributivnost v skalarnem faktorju) izpostavimo ~a:
(3
5n
2 + 7n) ~a = ~0
oziroma
(1 + 2n) ~a = ~0:
Ker je ~a 6= ~0; mora veljati 1 + 2n = 0; oziroma n =
1
2:
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Zgled
V paralelogramu ABCD toµcka E deli stranico DC v razmerju
jDEj : jECj = 3 : 1; toµcka F pa razpolavlja stranico BC: Naj bo
!
!
~a = AB in ~b = AD:
! !
!
Izrazimo vektorje AE; AF in EF s pomoµcjo vektorjev ~a in ~b:
Slika: Vektorji v paralelogramu.
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Rešitev zgleda
Rešitev: Iz podane slike je razvidno, da velja:
!
!
AB = DC = ~a;
!
!
AD = BC = ~b;
! 3
DE = ~a;
4
! 1~
BF = b:
2
Torej velja:
!
!
AE = ~a + BE = ~a + ~b 14 ~a = 43 ~a + ~b;
!
!
AF = ~a + BF = ~a + 12~b;
!
!
!
EF = AE + AF = ( 34 ~a ~b) + (~a + 12~b) = 41 ~a
1~
2 b:
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
Kolinearnost in koplanarnost
Vektorja ~a in ~b sta kolinearna (vzporedna), µce leµzita na isti ali na
vzporednih premicah, glej spodnjo sliko (a).
Slika: (a) kolinearna vektorja, (b) komplanarni vektorji.
Vektorji so komplanarni, µce leµzijo v isti ali v vzporednih ravninah, glej
zgornjo sliko (b).
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
Primeri uporabe mnoµzenja vektorja s skalarjem
Kolinearnosti dveh vektorjev: vektorja ~a in ~b sta kolinearna
natanko takrat, ko velja ~a = k~b; k 2 R:
Kolinearnost treh toµck A; B in C : toµcke A; B in C so kolinearne,
!
!
µce leµzijo na isti premici. V tem primeru mora za vektorja AB in AC
!
!
veljati: AC = k AB; k 2 R.
za koplanarne vektorje ~a; ~b in ~c velja: µce vektorja ~a in ~b nista
vzporedna, lahko vektor ~c na en sam naµcin razstavimo na
komponenti v smeri vektorjev ~a in ~b: Obstajata takšna skalarja
m; n 2 R; da velja ~c = m~a + n~b (spodnja slika).
Slika: Razstavljanje vektorja ~c na komponente v smeri vektorjev ~a in ~b:
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Linearna kombinacija vektorjev
Vsak izraz oblike m~a + n~b; kjer sta ~a in ~b vektorja ter m in n skalarja,
imenujemo linearna kombinacija vektorjev ~a in ~b:
Dejansko je to le drugo ime za vsoto vektorjev, ki so pomnoµzeni s skalarji.
Opomba. Vektor ~c iz zadnje alineje na prejšnji prosojnici smo zapisali
kot linearno kombinacijo vektorjev ~a in ~b.
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Zgled
Spodnja slika prikazuje vektorje ~a; ~b in ~c. Zapišimo vektor ~c kot linearno
kombinacijo vektorjev ~a in ~b:
Slika: Gra…µcen prikaz lin. kombinacije vektorjev.
Rešitev: Iz slike je razvidno, da z uporabo paralelogramskega pravila
dobimo ~c = m~a + n~b; kjer je m = 4 in n = 2: Torej je ~c = 4~a + 2~b:
Opomba. Nalogo rešimo veliko laµzje, µce imamo vektorje podane s
komponentami (to bomo obravnavali kasneje).
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Skalarni produkt
Skalarni produkt vektorjev ~a in ~b je de…niran:
kot produkt dolµzine vektorja ~a in pravokotne projekcije vektorja ~b na
vektor ~a ALI
kot produkt vektorja ~b in pravokotne projekcije vektorja ~a na vektor
~b:
Skalarni produkt je skalar (realno število), ki ga oznaµcimo z ~a ~b in je
enak produktu dolµzin obeh vektorjev (j~aj in ~b ) ter kosinusa kota med
njima ('):
~a ~b = j~aj ~b cos '.
Opomba. Znaka za mnoµzenje med vektorji NE SMEMO izpušµcati, ker
obstajajo razliµcni produkti med vektorji.
Tako je oznaka za skalarni produkt vektorjev pika (‘ ’), medtem, ko je oznaka
za npr. vektorski produkt kriµzec (‘ ’).
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Lastnosti skalarnega produkta I
Za skalarni produkt vektorjev ~a in ~b; ki oklepata kot ' velja:
~a ~b
0; µce je 0
~a ~b < 0; µce je
'
<'
2
~a ~b = 0; µce je ' = 0:
2
;
;
Za poljubne tri vektorje ~a; ~b in ~c ter poljubno število m 2 R velja:
~a ~b = ~b ~a
~a (m~b) = (m~a) ~b = m(~a ~b)
(~a + ~b) ~c = ~a ~c + ~b ~c
(komutativnost),
(homogenost),
(distributivnost).
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Lastnosti skalarnega produkta II
~ kot med njima je
Za skalarni produkt dveh vzporednih vektorjev (~c q d;
lahko enak 0 ali 180 ) velja:
~c q d~ in '~c;d~ = 0
)
~c q d~ in '~c;d~ = 180
)
~
~c d~ = j~cj d~ cos
| {z0} = j~cj d :
1
~c d~ = j~cj d~ cos
180} =
| {z
1
j~cj d~
Pokazali smo, da je skalarni produkt dveh vzporednih vektorjev po
velikosti enak produktu dolµzin ustreznih vektorjev, medtem ko je
predznak odvisen od kota med njima.
Opomba. Vektor ~a je vzporeden samemu sebi. Torej velja:
2
~a ~a = j~aj j~aj = j~aj = a2 ;
kar pomeni, da je skalarni produkt vektorja samega s sabo enak kvadratu
njegove dolµzine.
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Zgled 1
Dolµzini vektorjev ~a in ~b sta enaki j~aj = 4 in ~b = 3: Izraµcunaj skalarni
produkt vektorjev ~a in ~b; µce je:
a) kot med njima enak ' = 45 ;
b) kot med njima enak = 150 :
Rešitev: Z uporabo formule za skalarni produkt dobimo
p
a) ~a ~b = j~aj ~b cos ' = 4 3cos
45
=
6
2;
| {z }
p
b) ~a ~b = j~aj ~b cos
2=2
= 4 3cos
150} =
| {z
p
p
6 3:
3=2
Opomba. Kot vidimo je lahko skalarni produkt tudi negativno realno
število!
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Zgled 2
V trikotniku 4ABC naj veljajo oznake kot jih prikazuje spodnja slika
Slika: Oznake trikotnika.
Poglejmo si, kako s pomoµcjo skalarnega produkta izpeljemo znani
kosinusni izrek za trikotnike.
µ
RA CUNSKE
OPERACIJE
MOTIVACIJA IN DEFINICIJA
Rešitev zgleda
Iz slike razberemo, da je ~a = ~b
~c:
Za skalarni produkt vektorja ~c samega s seboj velja:
~c ~c = (~b
~a) (~b
~a) = ~b ~b
2~b ~a + ~a ~a:
2
2
Upoštevaje enakosti ~c ~c = j~cj , ~a ~a = j~aj , ~b ~b = ~b
~b ~a = ~b j~aj cos ; tako dobimo znani izrek
c2 = a2 + b2
2ab cos :
2
in