Magnetno polje v ravnini kratke tuljave (krozne tokovne zanke)

Magnetno polje v ravnini kratke tuljave (krozne tokovne
zanke)
Ÿ Vhodni podatki
Permeabilnost praznega prostora:
In[1]:=
Μ0 = 4 * Π * 10-7 ;
Ÿ Podatki kratke tuljave (krozne tokovne zanke)
Polmer tuljave, stevilo ovojev in tok v ovojih:
In[2]:=
r0 = 0.15;
N0 = 100;
I0 = 1;
Ÿ Izbira koordinatnega sistema
Izberimo kartezicni koordinatni sistem tako, da z-os sovpada z osjo zanke, koordinatno izhodisce pa s srediscem
zanke.
Ÿ Izracun polja - prvi nacin
Vektor gostote magnetnega pretoka v ravnini zanke dolocimo z uporabo Biot-Savartovega zakona, pri cemer
integracijo nadomestimo s koncno vsoto.
Ÿ Segmentiranje tokovne zanke
Krozno tokovno zanko razdelimo na kratke (enako dolge) tokovne segmente. V bistvu krozno tokovno zanko
aproksimiramo s pravilnim veckotnikom, cigar stranice so kratki tokovni segmenti.
Stevilo tokovnih segmentov:
In[5]:=
Nj = 100;
Kot, pod katerim se vidi en tokovni segment iz sredisca zanke:
2Π
In[6]:=
Dj =
;
Nj
Tabela vrednosti polarnega kota (druge polarne koordinate) (v srediscih) posameznih tokovnih segmentov:
In[7]:=
ji = Table@Hi - 1L Dj, 8i, 1, Nj<D;
Smernik (splosnega) tokovnega segmenta kot funkcija njegovega polarnega kota:
In[8]:=
eDl@j_D := 8- Sin@jD, Cos@jD, 0<
Vektor (dolzine) (splosnega) segmenta toka kot funkcija njegovega polarnega kota:
In[9]:=
Dl@j_D := r0 Dj eDl@jD
Krajevni vektor (splosnega) segmenta toka kot funkcija njegovega polarnega kota:
In[10]:=
rDl@j_D := 8r0 Cos@jD, r0 Sin@jD, 0<
Ÿ Krajevni vektor opazovane tocke ter distancni vektor med tokovnim segmentom in to tocko
Krajevni vektor (splosne) tocke v ravnini zanke, v kateri izrazamo polje, kot funkcija koordinat te tocke:
In[11]:=
rT@x_, y_D := 8x, y, 0<
Distancni vektor med (splosnim) segmentom toka in (splosno) tocko v ravnini zanke, v kateri izrazamo polje, ter
absolutna vrednost tega vektorja:
In[12]:=
R@x_, y_, j_D := rT@x, yD - rDl@jD
In[13]:=
absR@x_, y_, j_D := Norm@R@x, y, jDD
2
PoljeVRavniniKrozneTokovneZanke.nb
Ÿ Prispevki posameznih tokovnih segmentov k polju ter suma teh prispevkov
Prispevek i-tega segmenta toka k vektorju gostote magnetnega pretoka v splosni tocki v ravnini zanke (BiotSavartov zakon):
In[14]:=
DB@i_, x_, y_D := IfBabsR@x, y, ji@@iDDD ¹ 0,
Μ0 N0 I0
4Π
Dl@ji@@iDDD ‰ R@x, y, ji@@iDDD ‘ absR@x, y, ji@@iDDD3 , 0F
Vektor gostote magnetnega pretoka v splosni tocki v ravnini zanke (vsota prispevkov posameznih tokovnih
segmentov):
B@x_, y_D := â DB@i, x, yD
Nj
In[15]:=
i=1
Komponenta z (3. komponenta) vektorja gostote magnetnega pretoka v splosni tocki v ravnini zanke:
In[16]:=
Bz@x_, y_D := Part@B@x, yD, 3D
Ÿ Primer izracuna polja
Izbira koordinat tocke, kjer racunamo polje:
In[17]:=
x0 = 5 * 10-2 ;
y0 = 3 * 10-2 ;
Vektor gostote magnetnega pretoka v tej tocki ter njegova (edina ne nicelna) z-komponenta:
In[19]:=
Out[19]=
In[20]:=
Out[20]=
B@x0, y0D
80., 0., 0.000474238<
Bz@x0, y0D
0.000474238
Ÿ Izracun polja - drugi nacin
Vektor gostote magnetnega pretoka v ravnini zanke dolocimo z uporabo Biot-Savartovega zakona, pri cemer
integracijo izvedemo numericno.
Ÿ Tokovni elementi
Krozno tokovno zanko razdelimo na tokovne elemente - diferencialno kratke segmente.
Krajevni vektor (splosnega) elementa toka kot funkcija njegovega polarnega kota (druge polarne koordinate):
In[21]:=
rdl@j_D := 8r0 Cos@jD, r0 Sin@jD, 0<
Smernik (splosnega) tokovnega elementa kot funkcija njegovega polarnega kota:
In[22]:=
edl@j_D := 8- Sin@jD, Cos@jD, 0<
Dolzine tokovnih elementov so diferencialno majhne: dl = r0 dj.
Ÿ Krajevni vektor opazovane tocke ter distancni vektor med tokovnim elementom in to tocko
Krajevni vektor (splosne) tocke v ravnini zanke, v kateri izrazamo polje, kot funkcija koordinat te tocke:
In[23]:=
rT@x_, y_D := 8x, y, 0<
Distancni vektor med (splosnim) elementom toka in (splosno) tocko v ravnini zanke, v kateri izrazamo polje, ter
absolutna vrednost tega vektorja:
In[24]:=
R@x_, y_, j_D := rT@x, yD - rdl@jD
In[25]:=
absR@x_, y_, j_D := Norm@R@x, y, jDD
Ÿ Numericna integracija prispevkov posameznih tokovnih elementov k polju
Vektor gostote magnetnega pretoka v splosni tocki v ravnini zanke:
PoljeVRavniniKrozneTokovneZanke.nb
In[26]:=
B2@x_, y_D := IfB
x2 + y2 ¹ r0,
Μ0 N0 I0
4Π
à
2Π
0
3
edl@jD ‰ R@x, y, jD
r0 â j, 0F
absR@x, y, jD3
Komponenta z (3. komponenta) vektorja gostote magnetnega pretoka v splosni tocki v ravnini zanke:
In[27]:=
B2z@x_, y_D := Part@B2@x, yD, 3D
Ÿ Primer izracuna polja
Izbira koordinat tocke, kjer racunamo polje:
In[28]:=
x0 = 5 * 10-2 ;
y0 = 3 * 10-2 ;
Komponenta z (edina ne nicelna komponenta) vektorja gostote magnetnega pretoka v tej tocki:
In[30]:=
B2z@x0, y0D
Out[30]=
0.000474238
Ÿ V razmislek
Na oba nacina izracunajte magnetno polje v vecih tockah v ravnini krozne tokovne zanke in primerjajte dobljene
rezultate. Vecinoma se rezultati zelo dobro ujemajo, razen v ozjem obmocju, kjer je razhajanje rezultatov precejsnje. Katero je to obmocje? Kateri od dveh nacinov izracuna polja daje v tem obmocju napacne rezultate in zakaj?
Kako lahko izboljsamo te rezultate? Razmislite, kaj so prednosti, kaj pa pomanjkljivosti posameznega nacina
izracuna polja.