חקירת מקומות גאומטריים בסביבת גאומטריה דינמית

‫חקירת מקומות גאומטריים‬
‫בסביבת גאומטריה דינמית ‪ -‬מה‬
‫אפשר ללמוד מזה?‬
‫רותי סגל‬
‫מכללת שאנן‪ ,‬מכללת אורנים‬
‫הפיקוח על הוראת המתמטיקה‬
‫משה סטופל‬
‫מכללת שאנן‪ ,‬מכללת גורדון‬
‫• המקום הגיאומטרי כהגדרתו כאוסף כל הנקודות בעלות תכונה‬
‫משותפת ובתכונה זו ניתן להשתמש לפתרון של מגוון רחב של בעיות‬
‫• מקובל לתאר את המקומות הגיאומטריים היסודיים כ‪ :‬הקו הישר‪,‬‬
‫קווים מקבילים‪ ,‬אנך אמצעי לקטע‪ ,‬חוצה הזווית‪ ,‬המעגל‪ ,‬הפרבולה‪,‬‬
‫האליפסה וההיפרבולה‪.‬‬
‫• לפעמים הפעולה שבוצעה מובילה ליצירת מקום גיאומטרי כצורתו של‬
‫המקום המקורי ולפעמים נוצר מקום גיאומטרי מסוג אחר‪ .‬כאן נתמקד‬
‫בקבלת מקומות גיאומטריים הדומים בצורתם למקום הגיאומטרי‬
‫המקורי‪.‬‬
‫שילוב תוכנה גיאומטרית דינמית )‪ (D.G.S‬בתהליך ההוראה והלמידה‬
‫• מחקרים בחינוך מחפשים אחר דרכים לשפר את איכות ההוראה והלמידה‬
‫ומתוך כך הם מתמקדים גם בשילוב הטכנולוגיה בהוראה‪ .‬הכלי הטכנולוגי‬
‫מאפשר לבנות ולהציג אובייקטים מתמטיים באופן דינמי תוך כדי מתן משוב‬
‫למשתמש במהלך פתרון בעיות ‪(Alakoc, 2003; Martinovic & Manizade,‬‬
‫)‪.2013‬‬
‫• בלמידה באמצעות כלי טכנולוגי תלמידים יכולים לתאר טוב יותר מושגים‬
‫וקשרים מתמטיים בהשוואה להוראה שאינה משלבת כלי טכנולוגי‪ .‬הלומדים‬
‫משיגים הבנה טובה יותר של מושגים אלה והם מונגשים עם רעיונות‬
‫מתמטיים ברמה גבוהה)‪. (Hohenwarter, Hohenwarter & Lavicza, 2008‬‬
‫שלב א' הצגת משימות חקר ראשוניות‬
‫‪ .1‬לבנות אליפסה קנונית החותכת את ציר ה‪ x-‬בנקודות ‪A‬ו‪ . B-‬לבחור‬
‫נקודה כלשהי ‪ C‬על האליפסה ‪,‬כך שניתן לגרור אותה על גבי עקום שלה‪.‬‬
‫התקבל משולש ‪ . CAB‬מחברים את הנקודה ‪ C‬עם הנקודה ‪– O‬ראשית‬
‫הצירים‪ .‬הקטע ‪ OC‬הוא תיכון במשולש‪ .‬על הקטע ‪ OC‬יש למקם ע"י בנייה‬
‫את הנקודה ‪– M‬נקודת מפגש התיכונים במשולש ‪ CAB‬באופן שעם הזזת‬
‫הנקודה ‪ C‬תנוע בהתאמה הנקודה ‪ . M‬השאלה היא‪ :‬מהו המקום‬
‫הגיאומטרי עליו נעה ‪.? M‬‬
‫איור ‪1‬‬
‫שלב א' הצגת משימות חקר ראשוניות‬
‫‪ .2‬לבנות פרבולה שקודקודה על ציר ה‪ ,y -‬החותכת את ציר ה‪ x-‬בנקודות ‪A‬‬
‫ו‪ . B-‬לבחור נקודה כלשהי ‪ C‬על הפרבולה ‪,‬כך שניתן לגרור אותה על גבי‬
‫עקום שלה‪ .‬התקבל משולש ‪ . CAB‬מחברים את הנקודה ‪ C‬עם הנקודה ‪O‬‬
‫–ראשית הצירים‪ ,‬והקטע ‪ OC‬הוא תיכון במשולש‪ .‬על הקטע ‪ OC‬יש למקם‬
‫ע"י בנייה את הנקודה ‪– M‬נקודת מפגש התיכונים במשולש ‪ CAB‬באופן‬
‫שעם הזזת הנקודה ‪ C‬תנוע בהתאמה הנקודה ‪ .M‬השאלה היא‪ :‬מהו‬
‫המקום הגיאומטרי עליו נעה ‪.? M‬‬
‫איור ‪2‬‬
‫שלב א' הצגת משימות חקר ראשוניות‬
‫‪ .3‬לבנות מעגל על‪-‬פי שעורי מרכזו ורדיוסו‪ .‬לבחור על המעגל נקודה קבועה‬
‫‪ A‬וממנה לבנות לפחות ‪ 6-8‬מיתרים כלשהם‪ ,‬ולאחר מכן לבנות את‬
‫נקודות האמצע של כל אחד מהמיתרים‪ . M1,M2,M3,…. :‬השאלה היא ‪:‬‬
‫היכן נמצאות כל הנקודות ‪M‬הנוצרות באופן זה?‬
‫שלב ב' העמקה של משימת החקר‬
‫• נחקור את משימות ‪ 1-2‬למקרה שהנקודה ‪ M‬מחלקת את הקטע ‪ OC‬ביחס‬
‫השונה מ‪( 1:2 -‬מפגש תיכונים) ואת משימה ‪ 3‬כאשר הנקודה ‪ M‬מחלקת‬
‫את המיתרים ביחס השונה מ‪( 1:1 -‬אמצע המיתר)‪.‬‬
‫• יישומון ‪ :1‬מקום גיאומטרי באליפסה ‪https://www.geogebratube.org/student/m149059‬‬
‫• יישומון ‪ :2‬מקום גיאומטרי בפרבולה ‪http://tube.geogebra.org/student/m149060‬‬
‫• יישומון ‪ :3‬מקום גיאומטרי בעיגול ‪http://tube.geogebra.org/student/m149061‬‬
:‫הוכחה מתמטית להיווצרות אליפסה בתוך אליפסה‬
.
x2 y2
. 2  2 1
a
b
C(XC,YC)
.
MC n
 k :
OM m
.
,OC
M
M
,
C
.(XM,YM) - M
.YM - XM
,YM - XM
C
.YM - XM
:‫הוכחה מתמטית להיווצרות אליפסה בתוך אליפסה‬
:M
. XM 
mxC
myC
, YM 
mn
mn
:
.
YC 
mn
n
mn
n
YM  (  1) YM  (k  1) YM , x C 
XM  (  1) XM  (k  1)XM
m
m
m
m
.
:
C(XC,YC)
YC  (k  1) YM - x C  (k  1)XM
k  1XM 2  k  1YM 2
a2
b2
1
:‫הוכחה מתמטית להיווצרות אליפסה בתוך אליפסה‬
.
:
C(XC,YC)
YC  (k  1) YM - x C  (k  1)XM
k  1XM 2  k  1YM 2
a2
b2
2
XM
 a 


k 1
1
2
2

YM
 b 


k 1
2
1
(k  1)
M
.
,
‫שלב ג' של משימת החקר‬
‫האם הנקודה שממנה יוצאים קטעים המתחברים עם נקודות שעל המקום‬
‫הגיאומטרי המקורי יכולה להיות בכל במקום בתוכו ועדיין הנקודה ‪ M‬תנוע על‬
‫מקום גיאומטרי דומה?‬
‫איור ‪6‬‬
‫שלב ג' של משימת החקר‬
n

  k  :k
m

.
O
t (m  n)  l (m  n)  2R )1(
(t  l )(m  n)  2R )2(
m(t  l )  2r )3(
6 ‫איור‬
r
.k
1
R
k 1
P
r
m
R :
nm
)2( -
.
)3(
:4
http://tube.geogebra.org/student/m149062
‫המקרה הכללי‬
O
.
.
C1 , C2 , C3 ,
OC1 , OC2 , OC3 ,
M 1 , M 2 , M 3 ,
OM 3
OM 1
OM 2
m
m



.
,
M 1C1 M 2 C 2 M 3C3
n
n
? M 1 , M 2 , M 3 ,
C
‫טרנספורמציות ‪ -‬הומוטתיה‬
‫• השימוש בטרנספורמציות שונות ‪,‬בין יסודיות ובין מורכבות‪-‬מאפשר ‪,‬במקרים‬
‫רבים‪ ,‬פתרון פשוט יותר של בעיות בהנדסת מישור או בהנדסה אנליטית‪.‬‬
‫• ביצוע הטרנספורמציה מחזק את התפיסה‪ ,‬שצורה גיאומטרית איננה משהו‬
‫"קפוא"‪ ,‬אלא דבר שאפשר להניע‪.‬‬
‫• ההומוטתיה היא טרנספורמציה המתייחסת למרכז ‪ O‬ומתאימה לכל נקודה‬
‫‪ X‬נקודה '‪ X‬על הישר ‪OX‬כך ש ‪ ,OX'=k∙OX‬כאשר ‪ k‬נקרא מקדם הדמיון‪.‬‬
‫הומוטתיה‬
‫• התמונה של כל נקודה ‪ A‬על המקום הגאומטרי היא נקודה '‪ A‬המקיימת ‪OA' = kOA‬‬
‫כאשר ‪ O‬נקודה נתונה במישור ו‪ k -‬מספר ממשי חיובי‪ .‬נראה שלטרנספורמציה זו‪,‬‬
‫הנקראת הומותטיה‪ ,‬שתי תכונות המסבירות את התופעות שהתגלו בחקירה‬
‫‪.1‬‬
‫‪B- A‬‬
‫'‪B' - A‬‬
‫‪.A'B' = kAB‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪:‬‬
‫'‪A'B‬‬
‫(‬
‫‪.k‬‬
‫‪.OA'B'  OAB‬‬
‫)‬
‫הומוטתיה‬
‫• התמונה של כל נקודה ‪ A‬על המקום הגאומטרי היא נקודה '‪ A‬המקיימת ‪OA' = kOA‬‬
‫כאשר ‪ O‬נקודה נתונה במישור ו‪ k -‬מספר ממשי חיובי‪ .‬נראה שלטרנספורמציה זו‪,‬‬
‫הנקראת הומותטיה‪ ,‬שתי תכונות המסבירות את התופעות שהתגלו בחקירה‬
‫‪ B ,A‬ו‪ C -‬נמצאות על ישר אחד אז‬
‫‪.2‬‬
‫תמונותיהן המתקבלות באמצעות‬
‫הטרנספורמציה נמצאות אף הן על ישר אחד‪ .‬גם‬
‫תכונה זו נובעת מדמיון משולשים‪ :‬כיוון ש‪ = -‬‬
‫'‪'+‬‬
‫'‪ ‬ו‪ , = ' -‬אם ‪+=180‬‬
‫‪.= 180‬‬
‫הומוטתיה‬
‫• התמונה של כל נקודה ‪ A‬על המקום הגאומטרי היא נקודה '‪ A‬המקיימת ‪OA' = kOA‬‬
‫כאשר ‪ O‬נקודה נתונה במישור ו‪ k -‬מספר ממשי חיובי‪.‬‬
‫‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪.‬‬
‫‪R‬‬
‫‪P‬‬
‫‪kR‬‬
‫‪,‬‬
‫ '‪P‬‬‫‪.kR‬‬
‫‪, kR -‬‬
‫דוגמאות נוספות להומוטתיה בשילוב תוכנה דינמית‬
‫דוגמא א' – גרף של פונקציה אלגברית‬
‫‪.f(x)=x3-9x2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪A‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,B‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪BP‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫‪BA‬‬
‫‪k‬‬
‫‪:5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪http://tube.geogebra.org/student/m149066‬‬
‫דוגמאות נוספות להומוטתיה בשילוב תוכנה דינמית‬
‫דוגמא ב' – הדגמת התכונה על משולש כשלהו‬
‫‪. ABC‬‬
‫‪. P‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪.‬‬
‫‪http://tube.geogebra.org/student/m149069 : 6‬‬
‫‪.k‬‬
‫‪.9‬‬
?‫האם כל הפרבולות דומות‬
.
,a
 b - a, b  0
y  bx 2 - y  ax 2
y  cx
.B - A
.c
10 ‫איור‬
BA
AO
.10
‫פריטים מבחינות בגרות ‪ 5‬יחל (‪)807‬‬
‫פריטים מבחינות בגרות ‪ 5‬יחל (‪)807‬‬
‫מבט מתמטי רחב‬
‫ומעמיק על תכונת‬
‫השימור של‬
‫אובייקטים מתמטיים‬
‫כלי מתמטי נוסף‬
‫ב"ארגז הכילים"‬
‫של המורה ושל‬
‫התלמיד‬
‫הכלי הטכנולוגי‬
‫כשותף להבנה של‬
‫תהליכים דינמיים‬
‫מופשטים‬
‫הבנה משמעותית‬
‫יותר של המושג‬
‫"מקום גיאומטרי"‬
‫הערך המוסף‬
‫המתמטי והדידקטי‬
‫הכללה של תופעה‬
‫מתמטית והקשה‬
‫למשימות דומות‬
‫שילוב פעילות חקר‬
‫בתהליכי הלמידה‬
‫פיתוח ידע מתמטי‬
‫להוראת מתמטיקה‬
‫בהיקף של ‪ 5‬יח"ל‬
‫קישוריות בין‬
‫הנושאים השונים‬
‫(דמיון‪ ,‬מקום‬
‫גיאומטרי‪,‬‬
‫פונקציות‪)...‬‬