OMKRETS FRA A TIL Å - matematikk fra a til å

OMKRETS
FRA A TIL Å
VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. – 7. KLASSE
EMNER
1
2
3
Innledning til omkrets.………………………………….…………..
Grunnleggende om omkrets………………………………………...
Hvordan finne omkretsen til geometriske figurer…………………..
3a Omkretsen til kvadrat…………………………………………
3b Omkretsen til rombe………………………………………….
3c Omkretsen til rektangel……………………………………….
3d Omkretsen til parallellogram………………………………….
3e Omkretsen til trapes…………………………………………..
3f Omkretsen til trekant………………………………………….
3g Omkretsen til sirkel…………………………………………...
Side
2
2
3
4
5
6
8
10
11
15
Matematikk FRA A TIL Å
Innledning
til
omkrets
1
INNLEDNING TIL OMKRETS
Mange barn sliter med å finne omkretsen av en figur. Det som er mest
problematisk er å skille omkrets fra areal. Dette kommer som regel av to
forhold:
1. I de fleste lærebøker lærer man å finne omkrets og areal samtidig.
2. Fordi begrepene for læreren kan virke greie og oversiktelige, kan det derfor
hende at det ikke brukes nok tid på å gi elevene muligheten til virkelig å
forstå innholdet i de to begrepene.
I denne veiledningen har jeg derfor valgt å presentere omkrets og areal hver for
seg.
Grunnleggende
om
omkrets
2
GRUNNLEGGENDE OM OMKRETS
Tenk deg at du eier et hus. Huset må nødvendigvis stå på en eiendom. Rundt
denne eiendommen har han tenkt å sette opp et gjerde. For å finne ut hvor langt
det gjerdet må være, må han vite hvor langt det er rundt eiendommen. Derfor
bestemmer han seg for at han vil måle hvor langt det er. Hvor stor eiendommen
er, altså arealet av eiendommen, er derfor ikke viktig i denne sammenhengen.
Det er hvor langt – i antall meter – det er rundt eiendommen som er viktig.
Det er dette som ER omkrets. Å finne ut hvor langt det er rundt en figur, er å
finne ut hvor stor omkrets figuren har.
Det er litt ulike måter å finne ut dette på. Fremgangsmåten er avhengig av hva
slags figur det er snakk om. Så selv om fremgangsmåten er lik for mange
figurer, vil du her få det presentert for hver enkelt figur. Selv om det blir noe
flere sider, blir det enklere å finne frem på den måten.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O-2
Matematikk FRA A TIL Å
3
HVORDAN FINNE OMKRETSEN TIL
GEOMETRISKE FIGURER
De ulike geometriske figurene er omtalt og forklart i kapitlet som heter
”Geometriske figurer”. Alle de figurene som følger under, er presentert i det
kapitlet. Dersom det er noe i forklaringene som følger nedenfor som du ikke
helt forstår, så vil det være klokt å sjekke i ”Geometriske figurer”.
BRUK AV FORMLER
I alle beregninger i forbindelse med geometriske figurer bruker vi formler. En
formel er i grunnen ikke noe annet enn en modell. Den viser hvordan du skal
regne ut en oppgave.
Men den viser noe mer: Den viser hvordan du skal regne ut ALLE oppgaver av
samme type.
I formler brukes det bokstaver i stedet for tall. Poenget med å bruke formler er
at du setter de nødvendige tallene inn i stedet for bokstavene.
I formlene for omkrets gjelder følgende bokstaver:
O – betyr Omkrets (Stor bokstav)
s – betyr side (Liten bokstav)
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O-3
Hvorda
n finne
omkrets
en til
geometr
iske
figurer
Matematikk FRA A TIL Å
Omkretsen
til
kvadrat
3a
OMKRETS TIL KVADRAT
Et kvadrat består av fire like lange sider.
Side
2 cm
Side
Side
2 cm
2 cm
Side
2 cm
Skal du finne omkretsen av et kvadrat, trenger derfor ikke å måle alle sidene. Det er
nok å måle en av sidene.
Du kan finne omkretsen på to forskjellige måter.
1. Ved addisjon: Du kan legge sammen sidene.
2. Ved multiplikasjon: Du kan gange den ene siden med 4.
Derfor blir det to metoder for å finne omkretsen av et kvadrat:
Metode 1:
Metode 2:
Addisjonsmetoden:
Omkrets = Side + Side + Side + Side
Multiplikasjonsmetoden:
Omkrets = Side  4
I en formel vil vi gjerne forkorte ordene. Omkrets blir til O og Side blir til s. Da blir
formelen slik:
Formel 1:
O=s+s+s+s
Formel 2:
O=s  4
På tegningen overfor har kvadratet en side som er 2 cm. For å regne ut
omkretsen til dette kvadratet gjør vi slik:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O-4
Matematikk FRA A TIL Å
Formel 1:
O=s+s+s+s
O = 2 cm + 2 cm + 2 cm + 2cm = 8 cm
Formel 2:
O=s  4
O = 2 cm  4 = 8 cm
Vi finner i begge tilfeller ut at omkretsen er 8 cm. Legg merke til at du først
skriver formelen på en linje, og så setter du tall inn i formelen på en ny linje.
På den måten viser du hvordan du tenker på en oversiktelig måte.
3b
OMKRETS AV ROMBE
En rombe består av fire like lange sider.
Side
3m
Side
Side
Side
3m
3m
3m
Skal du finne omkretsen av en rombe, trenger derfor ikke å måle alle sidene. Det er
nok å måle en av sidene.
Du kan finne omkretsen på to forskjellige måter.
1. Ved addisjon: Du kan legge sammen sidene.
2. Ved multiplikasjon: Du kan gange den ene siden med 4.
Derfor blir det to metoder for å finne omkretsen av en rombe:
Metode 1:
Metode 2:
Addisjonsmetoden:
Omkrets = Side + Side + Side + Side
Multiplikasjonsmetoden:
Omkrets = Side  4
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O-5
Matematikk FRA A TIL Å
Formel 1:
O=s+s+s+s
Formel 2:
O=s  4
På tegningen på forrige side har romben en side som er 3 m. For å regne ut
omkretsen til denne romben gjør vi slik:
Formel 1:
O=s+s+s+s
O = 3 m + 3 m + 3 m + 3 m = 12 m
Formel 2:
O=s  4
O = 3 m  4 = 12 m
Vi finner i begge tilfeller ut at omkretsen er 12 m. Legg merke til at du først
skriver formelen på en linje, og så setter du tall inn i formelen på en ny linje.
På den måten viser du hvordan du tenker på en oversiktelig måte.
Omkretsen
til rektangel
3c
OMKRETSEN TIL REKTANGEL
Et rektangel har av to og to sider som er like lange:.
Side 1
8 cm
Side 2
Side 4
5 cm
5 cm
Side 3
8 cm
Skal du finne omkretsen av et rektangel, trenger derfor ikke å måle alle sidene. Det er
nok å måle en hver av de ulike sidene.
Du kan finne omkretsen på tre forskjellige måter.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O-6
Matematikk FRA A TIL Å
1. Ved addisjon: Du kan legge sammen sidene.
2. Ved å addere og multiplisere: Du kan legge sammen de to ulike sidene og deretter
gange med to
3. Ved å multiplisere og addere: Du kan gange den ene siden med to, for deretter å
gange den andre siden med 2. Til slutt legger du sammen de to svarene.
Derfor blir det tre formler for å finne omkretsen av et rektangel:
Metode 1:
Metode 2:
Metode 3:
Addisjonsmetoden:
Omkrets = Side1 + Side 2 + Side 3 + Side 4
Addisjon/multiplikasjonsmetoden:
Omkrets = (Side1 + side 2)  2
Multiplikasjon/addisjon:
(Side 1  2) + (Side 2  2)
Formlene blir slik:
Formel 1:
O = s1 + s2 + s3 + s4
Formel 2:
O = (s1 + s2)  2
Formel 3:
O = (s1  2) + (s2  2)
På tegningen på forrige side har rektanglet sider som er 8 cm og 5 cm. For å
regne ut omkretsen til dette rektanglet gjør vi slik:
Formel 1:
O = s1 + s2 + s3 + s4
O = 8 cm + 5 cm + 8 cm + 5cm = 26 cm
Formel 2:
O = (s1 + s2)  2
O = (8 cm + 5 cm)  2 = 26 cm
Formel 3:
O = (s1  2 ) + (s2  2)
O = (8 cm  2) + (5 cm  2) = 26 cm
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O-7
Matematikk FRA A TIL Å
Vi finner i alle tre tilfeller ut at omkretsen er 26 cm. Legg merke til at du først
skriver formelen på en linje, og så setter du tall inn i formelen på en ny linje.
På den måten viser du hvordan du tenker på en oversiktelig måte.
Omkretsen
til
parallellogram
3d
OMKRETS ENTIL PARALLELLOGRAM
Et parallellogram består av to og to like lange sider.
Side 1
4m
Side 2
Side 4
3m
Side 3
3m
4m
Skal du finne omkretsen av et parallellogram, trenger derfor ikke å måle alle sidene.
Det er nok å måle en hver av de ulike sidene.
Du kan finne omkretsen på tre forskjellige måter.
4. Ved addisjon: Du kan legge sammen sidene.
5. Ved å addere og multiplisere: Du kan legge sammen de to ulike sidene og deretter
gange med to
6. Ved å multiplisere og addere: Du kan gange den ene siden med to, for deretter å
gange den andre siden med 2. Til slutt legger du sammen de to svarene.
Derfor blir det tre formler for å finne omkretsen av et parallellogram:
Metode 1:
Metode 2:
Metode 3:
Addisjonsmetoden:
Omkrets = Side1 + Side 2 + Side 3 + Side 4
Addisjon/multiplikasjonsmetoden:
Omkrets = (Side1 + side 2)  2
Multiplikasjon/addisjon:
(Side 1  2) + (Side 2  2)
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O-8
Matematikk FRA A TIL Å
Formlene blir slik:
Formel 1:
O = s1 + s2 + s3 + s4
Formel 2:
O = (s1 + s2)  2
Formel 3:
O = (s1  2) + (s2  2)
På tegningen på forrige side har parallellogrammet sider som er 4 m og 3 m.
For å regne ut omkretsen til dette parallellogrammet gjør vi slik:
Formel 1:
O = s1 + s2 + s3 + s4
O = 4 m + 3 m + 4 m + 3m = 14 m
Formel 2:
O = (s1 + s2)  2
O = (4 m + 3 m)  2 = 14 m
Formel 3:
O = (s1  2 ) + (s2  2)
O = (4 m  2) + (3 m  2) = 14 m
Vi finner i alle tre tilfeller ut at omkretsen er 14 m. Legg merke til at du først
skriver formelen på en linje, og så setter du tall inn i formelen på en ny linje.
På den måten viser du hvordan du tenker på en oversiktelig måte.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O-9
Matematikk FRA A TIL Å
Omkretsen
til
trapes
3e
OMKRETSEN TIL TRAPES
I et trapes har vi to parallelle sider. De to andre sidene er ikke parallelle.
Side 1
4m
Side 2
Side 4
3m
2m
Side 3
6m
Skal du finne omkretsen av et trapes, må du måle alle sidene.
Det er derfor bare en måte å finne omkretsen:
1. Ved addisjon: Du kan legge sammen sidene.
Dermed blir bare en formel for å finne omkretsen av et trapes:
Metode 1:
Addisjonsmetoden:
Omkrets = Side1 + Side2 + Side3 + Side4
I en formel vil vi gjerne forkorte ordene. Omkrets blir til O og Side blir til s. Da blir
formelen slik:
Formel 1:
O = s1 + s2 + s3 + s4
På tegningen på forrige side har trapeset sider som er 4m, 3m, 6m og 2 m. For
å regne ut omkretsen til dette trapeset gjør vi slik:
Formel 1:
O = s1 + s2 + s3 + s4
O = 4 m + 3 m + 6 m + 2m = 15 m
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O - 10
Matematikk FRA A TIL Å
. Legg merke til at du først skriver formelen på en linje, og så setter du tall inn i
formelen på en ny linje. På den måten viser du hvordan du tenker på en
oversiktelig måte.
EN VARIANT
Et trapes må ikke nødvendigvis ha en rett vinkel. Et trapes kan også se slik ut:
Side 1
Side 4
Side 2
Side 3
I dette trapeset er side 2 og side 4 like lange. Vi trenger altså bare å ta en av
disse sidene og gange med to.
Her kan du lage en spesialformel:
O = s1 + s3 + (s2  2)
Men den formelen vil bare gjelde for trapes med denne spesielle formen, og
ikke for alle trapeser.
3f
OMKRETSEN TIL TREKANT
Omkretsen
til
trekant
Vi har 4 ulike typer av trekanter.
1.
2.
3.
4.
Uregelrette trekanter
Rettvinklet trekant
Likebenet trekant
Likesidet trekant
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O - 11
Matematikk FRA A TIL Å
Side 1
Side 1
Side 2
Side 3
Side 2
Side 3
Uregelrett trekant
Rettvinklet trekant
Side 1
Side 3
Side 1
Side 3
Side 2
Side 2
Likebenet trekant
Likesidet trekant
For å finne omkretsen av disse trekantene kan vi alltid legge sammen alle tre
sidene:
Ved addisjon: Du kan legge sammen sidene.
Derfor blir det en hovedformel for å finne omkretsen av en trekant:
Metode 1:
Addisjonsmetoden:
Omkrets = Side1 + Side 2 + Side 3
Formelen blir slik:
Formel 1:
O = s1 + s2 + s3
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O - 12
Matematikk FRA A TIL Å
La oss bruke den rettvinklete trekanten som eksempel.
Side 1
Side 3
7 dm
3 dm
5 dm
Side 2
På denne tegningen har trekanten sider som er 7 dm, 5 dm, og 3 dm. For å
regne ut omkretsen til denne trekanten gjør vi slik:
Formel 1:
O = s1 + s2 + s3
O = 7 dm + 5 dm + 3 dm = 15 dm
Hvis vi har en likebenet trekant, kan vi endre litt på denne formelen. Da har vi jo en
trekant der to av sidene er like lange, nemlig side 1 og side 3:
Side 1
4 cm
Side 3
4 cm
Side 2
7 cm
Da kan vi lage en slik metode:
Metode 2:
Multiplikasjon/addisjon:
Omkrets = (Side1  2 ) + side 2
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O - 13
Matematikk FRA A TIL Å
Formelen blir slik:
O = (s1  2) + s2
Formel 2:
Regner vi ut eksemplet nederst på forrige side, får vi:
Formel 2:
O = (s1  2) + s2
O = (4 cm  2) + 7 cm = 15 cm
Husk: Denne formelen gjelder BARE for likebenede trekanter.
Har vi en likesidet trekant, kan vi tenke oss enda en spesialformel. Her har vi nemlig
en trekant der alle de tre sidene er like lange:
Side 3
Side 1
5 km
Side 2
Metode 3:
5 km
5 km
Multiplikasjon:
Omkrets = (Side 1  3)
Formelen blir slik:
Formel 3:
O = (s 1  3)
Regner vi ut eksemplet på forrige side, får vi:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O - 14
Matematikk FRA A TIL Å
Formel 3:
O = (s1  3)
O = (5 km  3) = 15 km
Husk: Denne formelen gjelder BARE for likesidede trekanter.
For å oppsummere: For trekanter kan vi bruke tre formler for å finne
omkretsen:
3g
Formel 1:
O = s1 + s2 + s3
(Gjelder alle trekanter)
Formel 2:
O = (s1  2) + s2
(Gjelder bare likebenede
trekanter)
Formel 3:
O = (s 1  3)
(Gjelder bare likesidede
trekanter)
OMKRETSEN TIL SIRKEL
Når det gjelder sirkler er det bare 1 linje vi skal finne lengden på, nemlig
sirkellinja.
Da er det viktig å huske forholdstallet 3,14 (som vi kaller pi, og som vi skriver
slik: ).
En annen størrelse som det er viktig å kjenne, er diameteren. Se på tegningen
på neste side:
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O - 15
Omkretsen
til sirkel
Matematikk FRA A TIL Å
Sirkellinje
Sentrum
Diameter
X
X
6 cm
Diameteren og sirkellinja har et forhold. Hvis du kan tenke deg at du kan bøye
diameteren og legge den nøyaktig langs sirkellinja, vil du trenge litt over 3
diametre for å komme helt rundt.
Motsatt: Hvis du tar sirkellinja og deler på diameteren, får du et svar som
ligger ganske nærme 3,14 (regnetykket går aldri opp, men vi skriver vanligvis
3,14). Dette tallet er hva vi kaller en konstant mellom sirkellinja og diameteren.
Vi kaller den konstanten for .
Dette betyr at vi kan finne ut hvor lang sirkellinja er ved å multiplisere
diameteren med 3,14 (eller )
Formelen for omkretsen av en sirkel blir derfor:
Omkrets = Diameter  
På formelform blir det:
Formel 1:
O=D  
På tegningen er diameteren satt til 6 cm. Når vi skal regne ut omkretsen, bruker vi
formelen:
Formel 1:
O=D  
O = 6 cm   = 6 cm  3,14  18,84 cm
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O - 16
Matematikk FRA A TIL Å
Legg merke til at vi bruker tegnet ”tilnærmet lik”(  ) i stedet for ”er lik” (=).
Det gjør vi fordi 3,14 ikke er et nøyaktig tall.
I en sirkel er det en størrelse til vi kan benytte, nemlig radius.
Sirkellinje
Sentrum
Radius
X
X
3 cm
Dette er den samme sirkelen som på forrige side. Men her er ikke diameteren
tegnet inn. Derimot kjenner vi radiusen i sirkelen. Den er 3 cm.
Radius er halvparten av diameteren. Det betyr at hvis vi ganger radius med 2,
så får vi diameteren. (3  2 = 6)
Men da kan vi lage enda en formel:
Omkrets= radius  2  
På formelform blir det:
Formel 2:
O=r  2 
Svært ofte skriver vi ikke gangetegn i en formel. Da får vi
Formel 2:
O=r2
Den egentlig, og endelige formen på denne formelen får vi hvias vi bytter litt
om på rekkefølgen:
Formel 2:
O = 2r
Dette er den formelen som er mest brukt for å finne omkretsen til en sirkel.
Spørsmål? Kommentarer? Ta kontakt på
http://matteroar.wordpress.com/
O - 17