Lösningsförslag till prov på förändringshastigheter

Lösningsförslag till prov på förändringshastigheter och derivator
1.
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
2. För barn mellan 5 år och 13 år finns en modell som ger sambandet mellan barnets vikt
längd m. Enligt denna modell är
.
kg och
Svar: Ett barn som är 1,2 m långt borde väga 21,9 kg enligt denna modell.
( )
(
( )
)
Svar: Ett barn som väger 32 kg är ungefär 1,4 m långt enligt denna modell.
3.
(
och
Med hjälp av funktionens derivata kan vi beräkna tangentens lutning, så vi deriverar funktionen.
(
En tangent är en rät linje som vi kan skriva på formen
Vi beräknar derivatan då
(
.
.,
(
Så tangenten kommer att ha ett
För att kunna beräkna funktionens
värde så saknar vi fortfarande
värdet i punkten då
(
Med hjälp av denna information kan vi nu ställa upp en ekvation för att lösa ut
värdet.
(
Svar: Vi kan nu ange tangentens ekvation exakt
(
.
.
4.
Lutningen av en funktion får vi genom att derivera funktionen.
Den här funktionens derivata är endast 4 då
, då derivatan har en variabel i sig så kommer
alltså lutningen att variera. Lutningen är inte 4 hela tiden.
5.
Derivatan är 0 kan vi skriva på följande vis
.
För att finna denna funktions extrempunkter skall vi alltså undersöka vart den har
.
Vi undersöker när derivatan är 0.
Vi kan nu gå över till pq formeln.
√
(
√
√
och
För att beräkna koordinaterna behöver vi beräkna funktionsvärdena för dessa
(
(
(
värden.
(
(
Svar: Denna funktion har extrempunkter i (
och (
.
6.
(
I slutet av år 2015 har det gått 8 år, så
.
Med ( beräknar vi antalet invånare, vill vi få befolkningsökningen per år måste vi beräkna
funktionens derivata och bestämma dess värde för
, med andra ord, vi skall beräkna ( .
(
Då blir
(
En ökning på 0,017792 miljoner per år
per år
Svar: Efter 8 år så ökar befolkningen med ungefär 18000 per år.
per år.
7.
Vi vill alltså beräkna den genomsnittliga ökningen per år från
Vi vill alltså beräkna
(
till
.
vi behöver då beräkna
(
(
(
(
Svar: Den genomsnittliga saldoförändringen under dessa år är att det ökar med 248 kr per år.
8.
(
(
(
(
(
(
(
Vi sätter nu in dessa två uttryck i derivatans definition.
(
(
v.s.b.
9.
När vi deriverar en funktion
då kommer vi att få en derivata som blir lite
problematisk. Vi kommer att få en derivata i form av
där beror på vilken bas vi
använder oss av. Då visar det sig att om vi deriverar funktionen
så blir
derivatan precis samma sak,
. Detta tal kallar vi för .
Vill vi lösa ekvationer av typen
så blir det fördelaktigt att använda sig av logaritmen
med basen ,
. Logaritmen med basen kallar vi för .
.
10.
Punkten P:s
värde får vi genom (
Punkten Q:s värde är då
om den är
än
. Q:s värde blir då (
steg längre bort
K värdet för denna sekant får vi således genom att beräkna
(
(
(
(
(
För att få fram derivatan behöver vi minska värdet på så att det blir väldigt litet, i princip 0.
Detta gör vi med gränsvärdet
på detta uttryck. När vi gör denna operation så kommer
sekanten att övergå i tangenten till punkten (
som är derivatan. Uttrycket blir således
(
(
(
). Det är lutningen på denna tangent