Inneh˚all

Transcription

Inneh˚all - Kursplanering

Kurs planering.se
NpMaC ht2009
1(30)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009
3
Del I,
4
8 uppgifter utan miniräknare
Del II, 10 uppgifter med miniräknare
Förslag
Del
Del
Del
Del
Del
Del
Del
Del
7
på lösningar till uppgifter utan miniräknare
I # 1 (3/0)
Derivera . . . . . . . . . . . . .
I # 2 (2/0)
Ränta . . . . . . . . . . . . . . .
I # 3 (2/0)
Exakt lösning . . . . . . . . . .
I # 4 (1/1)
Antal nollställen . . . . . . . . .
I # 5 (3/1)
Maximum . . . . . . . . . . . . .
I # 6 (3/1)
En rationell funktion . . . . . .
I # 7 (0/2/⊗) Handskakning . . . . . . . . . .
I # 8 (0/2/⊗) Växande funktion då x > a . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
12
13
13
14
16
17
18
Förslag på lösningar till uppgifter med miniräknare
Del II # 9 (2/0)
Samband vikt - längd för barn .
Del II # 10 (2/0)
Ändringskvot . . . . . . . . . .
Del II # 11 (2/0)
Tangenter . . . . . . . . . . . .
Del II # 12 (1/1)
Funktioner . . . . . . . . . . . .
Del II # 13 (0/2)
Exponentiell prisökning . . . . .
Del II # 14 (0/2)
Antal tangenter . . . . . . . . .
Del II # 15 (0/2)
Funktion och derivata . . . . . .
Del II # 16 (0/1)
Två funktioner . . . . . . . . . .
Del II # 17 (0/2/⊗) Tredjegradspolynom . . . . . . .
Del II # 18 (2/5/⊗) Medicin, koncentration i blodet
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
21
22
22
23
24
25
26
27
29
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC ht2009
2(30)
Förord
Uppgifter till kursen Matematik C duger utmärkt för träning till kurser enligt Gy 2011.
Denna version av lösningarna refererar till den FORMELSAMLING som hör till kursen
Matematik 3.
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
2015-04-06
NpMaC ht 2009
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK KURS C
HÖSTEN 2009
Anvisningar
Provtid
240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder högst 90 minuter för arbetet med Del I.
Hjälpmedel
Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs C”.
Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del.
Del II: Miniräknare, även symbolhanterande räknare och ”Formler till nationellt
prov i matematik kurs C”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in.
Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren.
Redovisa därför ditt arbete med Del I på separat papper. Observera att arbetet
med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Provet
Provet består av totalt 18 uppgifter. Del I består av 8 uppgifter och Del II av
10 uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar
anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att
du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer
vid behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder
ditt hjälpmedel.
Uppgift 18 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt.
Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning
av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete.
Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet
få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke
slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 45 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning.
Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några uppgifter är markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna.
Undre gräns för provbetyget
Godkänt:
12 poäng.
Väl godkänt:
26 poäng varav minst 7 vg-poäng.
Mycket väl godkänt:
26 poäng varav minst 14 vg-poäng.
Du ska dessutom ha visat prov på flertalet av de
MVG-kvaliteter som de ¤-märkta uppgifterna ger
möjlighet att visa.
NpMaC ht 2009
Del I
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina
lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din
miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
1.
2.
Derivera
x 5 12 x
a)
f ( x)
b)
f ( x ) 10
c)
f ( x)
(3x ) 2
Endast svar fordras
(1/0)
Endast svar fordras
(1/0)
Endast svar fordras
(1/0)
Matilda har i slutet av varje år satt in pengar på ett konto med fast räntesats. Hon
tecknar ett uttryck som visar hur mycket hon har på kontot (i kronor) omedelbart
efter den sista insättningen:
1000(1,02 6 1)
1,02 1
3.
4.
a)
Vilken räntesats har hon fått på sitt sparande? Endast svar fordras
(1/0)
b)
Hur många insättningar har Matilda gjort?
Endast svar fordras
(1/0)
Lös ekvationerna och svara exakt
a)
x5
25
Endast svar fordras
(1/0)
b)
ex
25
Endast svar fordras
(1/0)
x 3 100 x
(1/1)
Bestäm antalet (reella) nollställen till funktionen f där f ( x )
NpMaC ht 2009
5.
Vid transport av varor används ofta containrar. För att utnyttja utrymmet i
containern maximalt packas varorna så tätt som möjligt. Soffan ”Torulf” ska
fraktas i en container där den placeras i ett hörn av containern, se figur 1.
Figur 1. Soffan stående i containern
I utrymmet som uppstår mellan hörnet och soffan kan en kartong placeras.
Kartongen har formen av ett rätblock. För att ta reda på vilka mått kartongen kan
ha räcker det med att undersöka dess basarea, se figur 2.
Figur 2. Soffan sedd uppifrån.
Basarean A dm2 kan beskrivas med A( x )
bredd, se figur 2.
a)
x 3 6 x 2 9 x där x dm är kartongens
För vilket värde på x blir basarean hos kartongen maximal?
(3/0)
I figur 2 är soffans ytterkant mot containerns hörn markerat med den kraftigare
svarta linjen. Soffans ytterkant beskrivs av funktionen f där y f (x )
b)
Bestäm det funktionsuttryck y
f (x ) som beskriver soffans ytterkant.
(0/1)
NpMaC ht 2009
6.
a)
7.
För vilka värden på x är uttrycket
4
8
inte definierat?
x 2 x ( x 2)
Endast svar fordras
4
8
så långt som möjligt.
x 2 x ( x 2)
b)
Förenkla
c)
Lös ekvationen
4
8
x 2 x ( x 2)
2
(1/0)
(2/0)
(0/1)
En grupp personer hälsar på varandra genom att skaka hand. Antalet
n( n 1)
där n är antalet personer.
handskakningar H i gruppen ges då av H
2
Antag att en grupp A består av ett antal personer och en grupp B består av
dubbelt så många personer som grupp A. Personerna i grupp A hälsar på
varandra och personerna i grupp B hälsar på varandra.
Teckna ett uttryck för differensen mellan antalet handskakningar i de två
grupperna. Förenkla sedan detta uttryck så långt som möjligt.
8.
(0/2/¤)
Funktionen f har derivatan f c( x ) ( x a )( x b) 2 där a och b är konstanter
och 0 a b
Undersök för vilka x funktionen f är växande.
(0/2/¤)
NpMaC ht 2009
Del II
Denna del består av 10 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
9.
För barn mellan 5 år och 13 år finns en modell som ger sambandet mellan barnets
vikt y kg och längd x m. Enligt denna modell är y 2,4 10 0,8 x
Använd modellen och besvara följande frågor.
10.
a)
Hur mycket väger ett barn som är 1,2 m?
(1/0)
b)
Vilken längd har ett barn som väger 32 kg?
(1/0)
År 2001 blev det lag på att hundar i Sverige skall registreras. Sedan dess har antalet
hundar i registret ökat för varje år. I tabellen nedan visas antalet registrerade
hundar vid slutet av åren 2001-2006.
År
2001
2002
2003
2004
2005
2006
Antal hundar
159 108
221 560
295 521
338 203
387 884
452 676
Källa: Jordbruksverket
Beräkna den genomsnittliga ökningen av antalet registrerade hundar per år mellan
år 2001 och år 2006.
(2/0)
NpMaC ht 2009
11.
Figuren visar grafen till funktionen f där f ( x ) x 3 3 x 2
I de punkter där x-koordinaterna är 1 respektive 3 är tangenter till kurvan ritade.
I figuren ser det ut som att tangenterna är parallella. Undersök om de är parallella. (2/0)
12.
13.
14.
Det finns flera funktioner för vilka det gäller att f (0)
Bestäm en sådan funktion.
20 och f c(0)
20
(1/1)
Ett radhus i Umeå köptes år 2001 för 1,23 miljoner kronor. Sju år senare såldes
radhuset för 2,49 miljoner kronor. Antag att prisökningen har varit exponentiell.
Beräkna den årliga procentuella prisökningen.
(0/2)
För funktionen f gäller att f ( x ) x 4 420 x 2 16 x
Hur många punkter på funktionens graf har en tangent med
riktningskoefficienten 16?
(0/2)
NpMaC ht 2009
15.
Figuren visar huvuddragen av graferna till två funktioner f och g.
Sven påstår att funktionen g är derivata till funktionen f .
Undersök om han har rätt.
16.
(0/2)
g och f är två funktioner. Grafen till funktionen g tangerar grafen till funktionen f
i punkten där x a
Vilka två av nedanstående alternativ A - F måste då alltid vara uppfyllda?
A
f c( a )
g (a )
B
f c(a )
0
C
f c( a )
D
f (a )
g c( a )
E
f (a )
g (a )
F
g c( a ) 0
g c( a )
Endast svar fordras
17.
(0/1)
Moa och Gustav undersöker var sin tredjegradsfunktion y f (x ) . Båda
tredjegradsfunktionerna har två extrempunkter, dels för x 2 och dels för x 6
Deras lärare ber dem bestämma funktionernas största värde i intervallet 0 d x d 3
Moa påstår att hennes funktion har det största värdet f ( 2) och Gustav påstår att
hans funktion har det största värdet f (0) . Läraren säger att båda har rätt.
Undersök hur det kan komma sig att båda kan ha rätt.
(0/2/¤)
NpMaC ht 2009
Vid bedömning av ditt arbete med denna uppgift kommer läraren att ta extra hänsyn till:
x Hur långt mot en generell lösning du kommer
x Hur väl du motiverar dina slutsatser
x Hur väl du utför dina beräkningar
x Hur väl du redovisar ditt arbete
x Hur väl du använder det matematiska språket
18.
Medicin som ges direkt i blodet börjar verka omedelbart, men det kan ta en eller två
dagar innan medicinen får full effekt. Patienten får därför lika stora doser medicin
med jämna mellanrum under en tidsperiod. För en viss medicin gäller att
medicinmängden y mg i blodet, t timmar efter att patienten fått sin första dos av
10 mg medicin är:
y
t
10e 8
x Hur många mg medicin finns kvar i blodet 5 timmar efter att patienten fått sin första dos?
x Efter 8 timmar får patienten sin andra dos medicin. Hur många mg medicin
finns totalt i blodet precis när patienten fått sin andra dos medicin?
Grafen ovan visar en enkel modell för hur den totala mängden medicin M mg i
patientens blod varierar med tiden t timmar, fram till dess att patienten har fått sin
femte dos.
x Teckna ett uttryck för den totala mängden medicin i blodet när patienten fått
sin femte dos. Beräkna därefter denna mängd.
Antag att en patient fortsätter att få medicindoser enligt modellen ovan under en
längre tid. Den totala mängden medicin i blodet kommer då att öka men den kan
inte bli hur stor som helst.
x Bestäm den övre gränsen för totala mängden medicin i blodet.
(2/5/¤)
NpMaC ht 2009
Del I
planering.se
Kurs
ht2009
Denna del består
av 8 uppgifter och är NpMaC
avsedd att
genomföras utan miniräknare. Dina
11(30)
lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din
miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Del I # 1
1.
(3/0)
Derivera
Derivera
Endast svar fordras
3(6)
(1/0)
Differential- och integralkalkyl
Endast svar fordras
(1/0)
(3x ) 2
Endast svar fordras
(1/0)
x 5 12 x
a)
f ( x)
b)
f ( x ) 10
c)
f ( x)
Derivatans definition
f ′(a) = lim
h →0
f ( a + h) − f ( a )
f ( x) − f (a)
= lim
x →a
h
x−a
Använd FORMELSAMLINGEN
Derivator
Funktion
Derivata
2.
x n där n är ett reellt tal
6
nx n −1
1000(1,02 1)
1,02 1
ax (a > 0)
a x ln a
5
a)
Derivera f (x) = x − 12 x
a)
Vilken räntesats
Endast svar fordras
e x har hon fått på sitt sparande?
ex
derivatan blir
b)
Hur många insättningar
har Matilda gjort?
e kx
k ⋅ e kx Endast svar fordras
f 0 (x) = 5 · x4 − 12
f 0 (x) = 5x4 −112
Svar a)
3.
b)
−
x
Derivera f (x) = 10
f ( x) + g ( x)
(1/0)
(1/0)
1
x2
f ′( x ) + g ′( x )
5
Detta är
finns
i FORMELSAMLINGEN.
a) denxenda25(vanliga) funktion som inte uttryckligen
Endast
svar
fordras
(1/0)
Derivatan av en konstant är noll.
Endast svar fordras
(1/0)
b)
e x 25
Funktion
Primitiv funktion
f 0 (x) = 0
Primitiva
funktioner
Svar b)
f 0 (x) = 0
kx + C
k
x n +1
+C
+
n
1
x n x)(2n ≠ −1)
Derivera f (x) = (3
c)
4.
Förenkla först f (x) och använd
sedan FORMELSAMLINGEN
x
x
2
f (x) = (3x) = 9 x
kx x
f 0 (x) = 9 · 2 x =e18
Svar c)
(1/1)
e +C
e
2
x 3 100 x
e kx
+C
k
f 0 (x) = 18 x
a x ( a > 0, a ≠ 1)
c G Robertsson
ax
+C
ln a
2015-04-06
1.
Derivera
f ( x)
a)
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
x 5 12 x
Endast svar fordras
a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 )
f ( x ) 10
b)
Kurs planering.se
c)
f ( x ) (3x ) 2
Andragradsekvationer
Del I # 2
2.
(2/0)
(1/0)
a 3 − b 3Endast
= ( a − svar
b)( a 2fordras
+ ab + b 2 )
(1/0)
12(30)
(1/0)
NpMaC ht2009
p Endast
 p  svar fordras
±   −q
2
2
2
x 2 + px + q = 0
x=−
Ränta
Aritmetik
T
G
M
6
1000(1,02 1tera
)
giga mega
1,02 1 1012 109
106
Prefix
k
h
d
c
m
µ
n
p
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Vilken räntesats har hon fått på sitt sparande? Endast svar fordras
a)
ax
x− y
=a
a xa y = a x+ y
y
Hur många insättningar har aMatilda
gjort?
Potenser
b)
x
x
−x
a
(a x ) y = a xy
Endast svar fordras
(1/0)
=
1
ax
(1/0)
afinns formeln
a
Delfråga a.) I FORMELSAMLINGEN
för geometrisk
summa.
= 
a0 = 1
n =n a
x
a
a xb x = (ab) x
b
b
3.
Geometrisk
a)
x5
summa
1
n
25 a + ak + ak 2 + ... + ak n −1 = a(k − 1) därEndast
k ≠ 1 svar fordras
k −1
Endast svar fordras
b)
e x 25
x
x
e 2%.
⇔ x = ln y
y =är
= 10 ⇔ x = lg y Räntan
I Logaritmer
problemet är 1,02 yförändringsfaktor.
(1/0)
(1/0)
x
lg x p = p ⋅ lg x
y
där f ( xför
) geometrisk
x 3 100 x summa. (1/1)
4.
Bestäm
nollställen
funktioneni fformeln
Delfråga
b.) antalet
Notera(reella)
hur n −
1 och n till
förekommer
Med
om
a ≥ 0 får vi följande summa med 6 termer.
a
n = 6 i formeln för geometrisk
summa
a =
Absolutbelopp
a(k 6 − 1)
om aa<· 0k + a · k 2 + a · k 3 + a · k 4 + a · k 5
a− a +
=
Svar a)
2%
k−1
Svar b)
lg x − lg y = lg
lg x + lg y = lg xy
|{z}
6:e
insättningen
ränta i 0 år
|{z}
5:e
insättningen
| {z }
4:e
insättningen
| {z }
3:e
insättningen
| {z }
2:a
insättningen
| {z }
1:a
insättningen
ränta i 5 år
6 insättningar
13-02-21
c G Robertsson
© Skolverket
2015-04-06
1000(1,02 6 1)
1,02 1
2.
tecknar
ett uttryck
somhar
visar
har på kontot
kronor)
omedelbart (1/0)
a)
Vilken
räntesats
honhur
fåttmycket
på sitt hon
sparande?
Endast(isvar
fordras
efter den.se
sista insättningen:
Kurs planering
NpMaC ht2009
13(30)
Endast svar fordras
(1/0)
a)
Vilken räntesats
har hon
fått på sitt sparande? Endast svar fordras
Lös ekvationerna
och svara
exakt
(1/0)
Endast svar fordras
Endast svar fordras
(1/0)
(1/0)
Endast svar fordras
b)
e x 25
3.
√
5
5
Svar a)
x
=
25 alternativt x = 250,2
a)
25
x
Endast svar fordras
Svar b) x = ln 25 “svaret” står i FORMELSAMLINGEN
f ( x ) svar
x 3 fordras
100 x
4.
Bestäm
b)
e xantalet
25 (reella) nollställen till funktionen f därEndast
(1/0)
Del
3.
b)
Hur många insättningar har Matilda gjort?
1000(1,02 6 1)
I#
Exakt lösning
1,023 1 (2/0)
b)
a)
Hur
många insättningar har Matilda gjort?
x 5 25
Del I # 4
4.
(1/1)
(1/0)
(1/1)
(1/0)
Antal nollställen
x 3 100 x
(1/1)
Börja med att faktorisera f (x), alltså att dela upp f (x) i olika faktorer
f (x) = x3 + 100 x =
x
· (x2 + 100)
|{z}
| {z }
1:a faktorn 2:a faktorn
1:a faktorn ger att f (x) = 0 då x = 0. Detta är ett nollställe.
2:a faktorn kan aldrig bli noll då (x2 + 100) ≥ 100
Svar Funktionen har ett (reellt) nollställe.
c G Robertsson
2015-04-06
Kurs planering.se
Del I # 5
5.
NpMaC ht2009
(3/1)
14(30)
NpMaC ht 2009 . . .
Maximum
containern maximalt packas varorna så tätt som möjligt. Soffan ”Torulf” ska
fraktas i en container där den placeras i ett hörn av containern, se figur 1.
Figur 1. Soffan stående i containern
Kartongen har formen av ett rätblock. För att ta reda på vilka mått kartongen kan
bredd, se figur 2.
a)
För vilket värde på x blir basarean hos kartongen maximal?
(3/0)
b)
c G Robertsson
(0/1)
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC ht2009
15(30)
a) För vilket värde på x blir basarean
NpMaC ht hos
2009 kartongen maximal?
Arean ges av
A(x) = x3 − 6x2 + 9x
5.
Derivera
A(x) ochmaximalt
bestäm packas
det x som
ger så
maximum.
containern
varorna
tätt som möjligt. Soffan ”Torulf” ska
Användfraktas
FORMELSAMLINGEN
i en container där den placeras i ett hörn av containern, se figur 1.
A0 (x) = 3 x2 − 6 · 2 x + 9 = 3 x2 − 12 x + 9
Bestäm rötterna till A0 (x) = 0. Skriv först om ekvationen så att den stämmer överens
med FORMELSAMLINGENS pq-formel. Alltså dividera med 3. Då får vi:
0 = x2 −4 x + |{z}
3
|{z}
q=3
p=−4
p
x1,2 = 2 ± (−2)2 − 3 = 2 ± 1
Vilken av rötterna ska vi välja? Det är uppenbart att de båda randpunkterna x = 0 och
x = 3 ger arean noll. Roten x1 = 3 ger A(3) = 0 vilket stämmer med problemets figur.
Roten x2 = 1 är en punkt mellan randpunkterna och ger A(1) = 4 som är maximum.
Svar a)
x = 1 ger maximal area A(1) = 4.
b) Bestäm det funktionsuttryck
y =stående
f (x) som
beskriver soffans ytterkant.
Figur 1. Soffan
i containern
Enligt problemets figur gäller att A = x · y vilket ger
A(x)
har=formen
rätblock. För att ta reda på vilka mått kartongen kan
yKartongen
=
x2 − 6avx ett
+ 9.
x
Svar b)
y = x2 − 6 x + 9
bredd, se figur 2.
c G Robertsson
a)
För
vilket värde på x blir
basarean
hos kartongen maximal?
buggar
⇒ [email protected]
(3/0)
2015-04-06
b)
(0/1)
Kurs planering.se
Del I # 6
NpMaC ht2009
(3/1)
16(30)
NpMaC ht 2009
En rationell funktion
6.
a)
För vilka värden på x är uttrycket
4
8
inte definierat?
x 2 x ( x 2)
Endast svar fordras
(1/0)
4
8
x 2 x ( x 2)
b)
Förenkla
c)
Lös ekvationen
4
8
x 2 x ( x 2)
(2/0)
2
(0/1)
Bakgrund: En funktion av typen x 7→ p(x)
där p(x) och q(x) är polynom kallas rationell
q(x)
p(x)
p(x)
7.
En Med
gruppsymbolspråket
personer hälsarxpå7→varandra
genom
hand.
funktion.
menas
attatt
x skaka
avbildas
påAntalet
. En rationell funktion
q(x)
q(x)
n
n
(
1
)
är definierad
för alla xHför
vilka q(x)
i nämnaren.
H får alltså inte
där nstå
är 0antalet
personer.
handskakningar
i gruppen
ges 6=
då 0.
avDet
2
a) För uttrycket
8
4
−
x − 2 x (x − 2)
gäller att det blir problem om x = 0 eller x = 2.
Svar a) Uttrycket är inte definierat för x = 0 eller x = 2.
b) Förenkla genom att göra liknämnigt
8
x·4
8
4
−
=
−
=
x − 2 x (x − 2)
x (x − 2) x (x − 2)
x·4−8
4 (x − 2)
4
=
=
x (x − 2)
x (x − 2)
x
4
Svar b) Förenklat blir uttrycket x
4
8
c) Lös ekvationen (x−2)
− x (x−2)
= 2. Förenklat blir detta
4
= 2
x
som har lösningen x = 2. Varning ursprungliga ekvationens vänsterled
inte definierat för x = 2. Ekvationen saknar alltså lösning.
Svar c) Ekvationen saknar lösning.
4
(x−2)
−
8
x (x−2)
är
c G Robertsson
8.
(0/2/¤)
2015-04-06
och 0 a b
(0/2/¤)
x2
b)
Förenkla
4
8
x 2 x ( x 2)
Kurs planering.se
c)
Lös ekvationen
Del I # 7
7.
x ( x 2)
Endast svar fordras
NpMaC ht2009
4
8
2
x 2 x ( x 2)
(0/2/⊗)
(1/0)
(2/0)
17(30)
(0/1)
Handskakning
En grupp personer hälsar på varandra genom att skaka hand. Antalet
n( n 1)
där n är antalet personer.
handskakningar H i gruppen ges då av H
2
(0/2/¤)
Antalet handskaningar i en grupp med n personer är
n (n − 1)
Hn =f har derivatan f c( x ) ( x a )( x b) 2 där a och b är konstanter
8.
Funktionen
2
0ab
Antaletoch
handskaningar
i en grupp med 2n personer blir då
2 n (2 n − 1)
H2n för
= vilka x funktionen f är växande.
Undersök
(0/2/¤)
2
Skillnaden blir
2 n (2 n − 1) n (n − 1)
−
H2n − Hn =
2
2
Skolverket anser att detta visar MVG-kvalitet. Formulerar och utvecklar problem,
använder generella metoder/modeller vid problemlösning.
c G Robertsson
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC ht2009
4 n2 − 2 n n2 − n
−
2
2
2
2
4n − 2n − n + n
=
2
Antag att en grupp
av ett antal personer och en grupp B består av
3 n2A−består
n
=
dubbelt så många
personer som grupp A. Personerna i grupp A hälsar på
2
3 n2 − n
Svar Skillnaden i antalet handskakningar är
.
Teckna ett uttryck för differensen mellan antalet2 handskakningar i de två
18(30)
=
Del I # 8
8.
(0/2/⊗)
(0/2/¤)
Växande funktion då x > a
och 0 a b
(0/2/¤)
f 0 (x) = (x − a)(x − b)2
Det gäller att 0 < a < b. Undersök för vilka x funktionen f (x) är växande. Studera
derivatans teckenväxling.
x x<a x=a a<x<b x=b b<x
f0
−
0
+
0
+
Enligt läroboken gäller:
Om f 0 (x) > 0 för a < x < b, så växer f för a < x < b.
I vårt problem växer alltså funktionen f (x) då x > a men med punkten x = b
undantagen. Läroboken1 ger ingen vägledning för hur punkterna x = a och x = b ska
hanteras. Hur fall som detta hanteras varierar mellan olika läromedel. Skolverkets norm
för rättning lämnar därför till läraren att bedöma.
Godkänt svar: Funktionen f (x) växer för a < x < b och b < x.
Kommentar: Punkten x = b har teckenväxlingen + 0 + och är därför en terrasspunkt av
växande typ.
1
Matematik 3000 : matematik tretusen. Kurs C, [Lärobok] / Lars-Eric Björk, Hans Brolin, Kerstin
Ekstig Stockholm : Natur och kultur, 2000 Svenska 222, [2] s.
c G Robertsson
2015-04-06
NpMaC ht 2009
Kurs planering.se
Del II
NpMaC ht2009
19(30)
Denna del består av 10 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
Observera
med Del II kan påbörjas
utan tillgång
Del
II #att 9arbetet(2/0)
Samband
vikttill-miniräknare.
längd för barn
9.
a)
Hur mycket väger ett barn som är 1,2 m?
(1/0)
b)
(1/0)
a)
Hur mycket väger ett barn som är 1,2 m
10. År 2001 blev det lag på att hundar i Sverige skall registreras. Sedan dess har antalet
Modellen
är i registret ökat för varje år. I tabellen nedan visas antalet registrerade
hundar
y = 2, 4 · 100,8 x
där y är vikt i kg och x är längd
= 1, 2m
blir
Åri m. Då x Antal
hundar
y = 2, 4 · 100,8·1,2 kg = 22
kg
2001
159 108
2002
221 560
2003
295 521
Svar a) 22 kg
2004
338 203
2005
387 884
2006
452 676
år 2001 och år 2006.
(2/0)
c G Robertsson
2015-04-06
Aritmetik
Prefix
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
Kurs planering.se 1012
109
106
NpMaC
103
102ht2009
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-1220(30)
ax
b)
Vilken längdx har
ett barn som
32 kg?
−y
= avxäger
(a x ) y = a xy
Potenser
a a y = a x+ y
ay
Då y = 32 kg kan längden x beräknas ur lösningen till
x
x
a− x =
a
a
32 = 2, 4x · x100,8 x x
= 
x
an = n a
a b = (ab)
b
b

Städa först
32
= 100,8 x
2,4
a (k n − 1)
2
n −1
Geometrisk
...
där k ≠ 1
+
+
+
+
=
a
ak
ak
ak
summa FORMELSAMLINGEN.
Använd
k −1
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
y = e x ⇔ x = ln y
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
a
x
y
ax
a0 = 1
lg x p = p ⋅ lg x
om a ≥ 0
Logaritmera
(basena10)
=
Absolutbelopp
− a om a < 0
32
= 0, 8 x
lg
2,4
1
32
x =
lg
0, 8 2,4
x = 1,41 m ≈ 1,4 m
Svar b)
1
1
(två siffror in → två siffror ut)
1,4 m
13-02-21
c G Robertsson
© Skolverket
2015-04-06
9.
Kurs planering
.semycket väger ett barn som
NpMaC
a)
Hur
är 1,2ht2009
m?
b)
Del II # 10
10.
(2/0)
Ändringskvot
21(30)
(1/0)
(1/0)
År 2001 blev det lag på att hundar i Sverige skall registreras. Sedan dess har antalet
hundar i registret ökat för varje år. I tabellen nedan visas antalet registrerade
År
2001
2002
2003
2004
2005
2006
Antal hundar
159 108
221 560
295 521
338 203
387 884
452 676
år 2001 och år 2006.
(2/0)
Om y beror på x så är den genomsnittsliga förändringshastigheten
∆y
förändringen över ett intervall
=
intervallets längd
∆x
∆y
kallas färändringshastigheten
∆x
Beräkna genomsnittslig ökning för hundar mellan år 2001 och år 2006.
∆y
452 676 − 159 108
hundar
=
≈ 58700
genomsnittslig ökning =
∆x
2006 − 2001
år
Svar
Genomsnittslig ökning 587 00 hundar/år.
c G Robertsson
2015-04-06
Kurs planering.se
Del II # 11
11.
NpMaC ht2009
(2/0)
22(30)
NpMaC ht 2009
Tangenter
NpMaC ht 2009
11.
Funktionen
f (x)
x3 funktioner
− 3 x2
12. Det
finns=flera
för vilka det gäller att f (0) 20 och f c(0) 20
har derivatan
f 0 (x) = 3 x2 − 6 x
Tangentens lutning ges av derivatan. Då x = −1 respektive x = 3 är lutningen
f 0 (−1) = 3 · (−1)2 − 6 · (−1) = 9
13. Ett0 radhus i Umeå
köptes år 2001 för 1,23 miljoner kronor. Sju år senare såldes
f (3) = 3 · 32 − 6 · 3 = 9
Svar Beräkna
Tangenterna
är parallella.
den årliga
procentuella prisökningen.
(1/1)
(0/2)
Del II # 12
14.
12.
13.
(1/1)
Funktioner
riktningskoefficienten
16?för vilka det gäller att f (0) 20 och f c(0)
Det
finns flera funktioner
(0/2)
(1/1)
c G Robertsson
14.
20
För funktionen f gäller att f ( x )
x 4 420 x 2 16 x
2015-04-06
(0/2)
11.
Kurs planering.se
NpMaC ht2009
23(30)
Det finns många funktioner för vilket det gäller att f (0) = 20 och f 0 (0) = 20. Titta i
FORMELSAMLINGEN. Två exempel är
f (x) = 20 + 20 x
f (x) = 20 ex
Fler exempel
f (x) = 20 + 20 x + x3
f (x) = 20 + 20 x + x4
f (x) = 20 ex + x5
x
6
fI(x)
= ser
20 edet
+utxsom
figuren
att tangenterna är parallella. Undersök om de är parallella. (2/0)
Det finns alltså många många många sådana funktioner.
Svar Se ovan.
12. Det finns flera funktioner för vilka det gäller att f (0)
Del II # 13
2(6)
(0/2)
20 och f c(0)
20
(1/1)
Exponentiell prisökning
Funktioner
13.
Räta linjen
Beräkna
Andragradsfunktioner
den årliga procentuella prisökningen.
y2 − y1
x2 − x1
Använd FORMELSAMLINGEN.
y = kx + m
k=
y = ax 2 + bx + c
(0/2)
a≠0
Exponentialfunktioner
a > 0 och a ≠ 1
16?
y = C ⋅ riktningskoefficienten
xa
y = C ⋅ ax
14.
Potensfunktioner
(0/2)
Funktionen växer då a > 1 och minskar då a < 1. I vårt fall gäller:
Statistik
2,49 =och
1,23sannolikhet
a7
Bestäm
a. Städa först.
Standardavvikelse
2,49
= a7
( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + ... + ( xn − x ) 2
1,23
(stickprov)
r
s = 1/7
n −1
2,49
2,49
a = 7
=
= 1,1060
1,23
1,23
Ökningen
Lådagramär 1,106 − 1,000 = 0,106 = 10,6%
Svar
Årliga ökningen är 10,6%
c G Robertsson
Normalfördelning
2015-04-06
(1/1)
Kurs planering.se
NpMaC ht2009
13.
Del II # 14
14.
(0/2)
24(30)
(0/2)
Antal tangenter
riktningskoefficienten 16?
(0/2)
Tangenten i punkten (x, f (x)) till funktionen f (x) har riktningskoefficienten f 0 (x).
Funktionen
f (x) = x4 − 420 x2 + 16 x
har derivatan
f 0 (x) = 4 x3 − 840 x + 16
De punkter där funktiones graf har riktningskoefficienten 16 uppfyller ekvationen
16 = 4 x3 − 840 x + 16
0 = 4 x3 − 840 x
0 = 4·
x
· (x2 − 210)
|{z}
| {z }
en lösning
två lösningar
Svar Tre lösningar.
Kommentar: Ekvationen för tangenten till funktionen f (x) i punkten (a, f (a)) är
y = f (a) + f 0 (a) (x − a). Frågan i uppgiften gällde antalet lösningar.
c G Robertsson
2015-04-06
Kurs planering.se
Del II # 15
15.
NpMaC ht2009
(0/2)
25(30)
NpMaC ht 2009
Funktion och derivata
Figuren visar huvuddragen av graferna till två funktioner f och g.
(0/2)
Studera derivatans teckenväxling och om funktionen f växer eller avtar.
16. g och f är två funktioner. Grafen till funktionen g tangerar grafen till funktionen f
x x där
< −2
i punkten
x ax = −2 −2 < x < 3 x = 3 3 < x
g
+
0
−
0
+
f
avtar
min-punkt
växer
max-punkt
avtar
Där derivatan
är positiv ska funktionen
växa. Här är det tvärtom.
Funktionen g kan
A
B
C
alltså inte
till f .
f c(vara
a ) gderivata
(a )
f c(a ) 0
f c( a ) g c( a )
Svar: gDär inte derivata till f . E
F
f ( a ) g c( a )
f (a ) g (a )
g c( a ) 0
Kommentar: Det räcker att konstatera motsats i en punkt, exempelvis att f avtar och
(0/1)
Endast svar fordras
g > 0 då x = −4.
c G Robertsson
buggarfunktionernas
⇒ [email protected]
Deras lärare ber dem bestämma
största värde i intervallet 0 d x d 3 2015-04-06
17.
(0/2/¤)
Kurs planering.se
NpMaC ht2009
Del II # 16
16.
(0/1)
26(30)
(0/2)
Två funktioner . . .
g och f är två funktioner. Grafen till funktionen g tangerar grafen till funktionen f
i punkten där x a
A
f c( a )
g (a )
B
f c(a )
0
C
f c( a )
D
f (a )
g c( a )
E
f (a )
g (a )
F
g c( a ) 0
g c( a )
Endast svar fordras
(0/1)
Svar E stämmer eftersom de två funktionerna måste ha en gemensam punkt då x = a,
alltså gäller f (a) = g(a).
17. Moa och Gustav undersöker var sin tredjegradsfunktion y f (x ) . Båda
C stämmer. När de två funktionerna tangerar varandra har de samma lutning (derivata)
i punkten där x = a, alltså gäller att f 0 (a) = g 0 (a).
c G Robertsson
(0/2/¤)
2015-04-06
A
f c( a )
B
f c(a )
g (a )
C
f c( a )
0
E
f (a ) g (a )
NpMaC ht2009
D
f ( a ) g c( a )
Kurs planering.se
g c( a )
F
g c( a ) 0
27(30)
Endast svar fordras
Del II # 17
17.
(0/2/⊗)
(0/1)
Tredjegradspolynom
(0/2/¤)
Vi ska försöka hitta två olika tredjegradspolynom där följande gäller
maxvärde extremvärde
0
fMoa (2)
fMoa
(2) = 0
0
fGustaf (0) fGustaf (2) = 0
extremvärde
intervall
0
fMoa
(6) = 0 0 ≤ x ≤ 3
0
fGustaf
(6) = 0 0 ≤ x ≤ 3
När man undersöker maximum eller minimum för en funktion på ett begränsat intervall
så ska man
• undersöka punkter i det inre av intervallet där derivatan är noll
• kontrollera de två randpunkterna.
Funktionen f har två extremvärden. Detta betyder att derivatan f 0 har två nollställen.
Derivatan är
f 0 (x) = K (x − 2)(x − 6).
Notera konstanten K, det finns alltså många derivator f 0 (x) som har nollställen x = 2
och x = 6. Gör teckentabeller för det intressanta området.
Teckentabell K > 0
x
x<2
2
2<x<6
0
f (x)
+
0
−
f (x)
%
max
&
x
0
f (x)
f (x)
Teckentabell K < 0
x < 2 +2 2 < x < 6
−
0
+
&
min
%
Moa
0
c G Robertsson
1
Gustaf
2
3
0
1
2
3
2015-04-06
Kurs planering.se
NpMaC ht2009
28(30)
Fallet K > 0
Det finns endast ett möjligt maximum, x = 2, i intervallet 0 ≤ x ≤ 3. Moa har räknat
rätt.
Fallet K < 0
Det finns två möjliga maximum, x = 0 respektive x = 3. Gustaf har svarat att x = 0 är
maximum. Då måste han ha beräknat både f (0) och f (3) och konstaterat att
f (0) > f (3).
Svar Både Moa och Gustaf har räknat rätt som utredningen ovan visar.
Kommentar Har Gustaf och läraren räknat rätt? Är f (0) > f (3) då K < 0?
Funktionen f (x) är
x3
f (x) = K · [ − 4 x2 + 12 x + D]
3
där D är en konstant. Du kan kontrollera genom att derivera f (x). Beräkna f (x) i de två
randpunkterna och x = 2.
x
0
2
3
f (x)
KD
32
K 3 +KD
K9+KD
När K < 0 så är f (0) > f (3). Alltså har både Gustaf och läraren räknat rätt.
c G Robertsson
2015-04-06
NpMaC ht 2009
Vid bedömning av ditt arbete med denna uppgift kommer läraren att ta extra hänsyn till:
x Hur långt mot en generell lösning du kommer
x Hur väl du motiverar dina slutsatser
planering
Kurs
29(30)
x Hur väl du .se
utför dina beräkningar NpMaC ht2009
x Hur väl du redovisar ditt arbete
x HurIIväl#du18
använder
det matematiska
språket koncentration i blodet
Del
(2/5/⊗)
Medicin,
18.
Medicin som ges direkt i blodet börjar verka omedelbart, men det kan ta en eller två
dagar innan medicinen får full effekt. Patienten får därför lika stora doser medicin
med jämna mellanrum under en tidsperiod. För en viss medicin gäller att
medicinmängden y mg i blodet, t timmar efter att patienten fått sin första dos av
10 mg medicin är:
y
t
10e 8
x Hur många mg medicin finns kvar i blodet 5 timmar efter att patienten fått sin första dos?
x Efter 8 timmar får patienten sin andra dos medicin. Hur många mg medicin
finns totalt i blodet precis när patienten fått sin andra dos medicin?
Grafen ovan visar en enkel modell för hur den totala mängden medicin M mg i
patientens blod varierar med tiden t timmar, fram till dess att patienten har fått sin
femte dos.
x Teckna ett uttryck för den totala mängden medicin i blodet när patienten fått
sin femte dos. Beräkna därefter denna mängd.
Antag att en patient fortsätter att få medicindoser enligt modellen ovan under en
längre tid. Den totala mängden medicin i blodet kommer då att öka men den kan
inte bli hur stor som helst.
x Bestäm den övre gränsen för totala mängden medicin i blodet.
c G Robertsson
(2/5/¤)
2015-04-06
1(6)
planering.se
Kurs
Formler
till
nationellt NpMaC
prov ht2009
i matematik kurs 3
30(30)
Delfråga 1) Beräkna mängden då t = 5. Funktionen är
Algebra
−t
y(t) = 10 · e 8 .
Regler
( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Den
sökta mängden(ablir
−5
2
y(5) = 10(a· −e b8) 2 =
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
= a5,3526.
− 2ab + b 2
Svar del 1) Mängden
(a + b)(efter
a − b)5=timmar
a 2 − b 2 är 5,4 mg.
a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 )
2 8. Låt
Delfråga 2) Beräkna mängden direkt efter 2:a sprutan
a 3 − b 3 =vid
( a −tidpunkten
b)( a 2 + ab +tb=
)
y(8−) beteckna mängden vid tidpunkten t = 8 innan 2:a sprutan.
−8
8
y(8−) = 10
·
e
| {z }
2
p
 p
x 2 + px + q = 0
x=− ±   −q
och y(8+) betecknar mängden vid tidpunkten t = 8 direkt
2
 2efter
 2:a sprutan.
−8
8
y(8+) =
10 + 10
· e } = 13,6788
|{z}
| {z
1:a sprutan
Andragradsekvationer
2:a sprutan
1:a sprutan
Svar
del 2) Mängen direkt efter 2:a dosen är 13,7 mg.
Aritmetik
Prefix
Delfråga
3) Mängd
För
16+,
24+
T efterG5:e dosen?
M
k tiderna
h
d
c ochm32+ gäller
n
µ
−16
−8
8
8
10
y(16+) =
10 giga
+ 10
· e } +kilo
tera
{z
} deci centi milli mikro nano
|{z}
| mega
| ·{zehekto
3:e sprutan
y(24+) =
1012
10
|{z}
109
4:e sprutan
Potenser
y(32+)
=
2:a sprutan
6
10−8
1:a sprutan
103
3:e sprutan
x+ y
5:e sprutan
10-1
10-2
10-3
−24
2:a sprutan
1:a sprutan
x−
y
−16
x y
xy −32
ae 8 + 10 · e(a−24
8) = a · e 8
+y|10= ·{z
| {z }
} | {z } + 10
ax
a 10
a =a
·e }
| {z
|{z} + 10
a
x y
102
−16
8
8
+ 10
· e 8} + 10
| {z
| ·{ze } + 10
| ·{ze }
−8
8
4:e sprutan
3:e sprutan
2:a sprutan
a + ak + ak 2 + ... + ak n −1 =
10-9
a− x =
piko
10-12
1
ax
1:a sprutan
x
Städa upp.
x
1
 a −4
−1 x
−2 a −3
=
x
x


y(32+) = 10a ·b[1 =+(eab) + e + ex + e ]
an = n a
b
b
Detta är en geometrisk serie. Använd FORMELSAMLINGEN.
Geometrisk
summa
10-6
p
a0 = 1
a (k n − 1)
där k ≠ 1
k −1
y = e x ⇔ x = ln y
y = 10 x ⇔ x = lg y
Logaritmer
Notera n − 1 respektive n i formeln för den geometriska summan. Heltalet n är antalet
termer i summan.
x
lg x − lg y = lg
y =1 lg xy
lg xe+−5lg−
lg x p = p ⋅ lg x
y(32+) = 10 · −1
≈ 15,7
y
e −1
Svar del 3) Direkt efter 5:e dosen är mängden 15,7 mg.
om a ≥ 0
a
Delfråga
4 Bestäm
a en
= övre gräns.
Absolutbelopp
− a omförekommer
a<0
I formeln för geometrisk summa
k n . I vårt fall är k = e−1 ≈ 0,37. Efter lång
−1
tid blir n stort och då blir 0,37n ≈ 0. Den övre gränsen blir −1
≈ 15,8 mg.
e −1
Svar del 4) Den övre gränsen blir ungefär 15,8 mg.
c G Robertsson
13-02-21
2015-04-06
© Skolverket

Inneh˚all - Kursplanering

Transcription

Similar documents

Inneh˚all - Kursplanering

Inneh˚all - Kursplanering

Inneh˚all - Kursplanering

Distriktsstyrelsen i Västmanland 2015

Inneh˚all - Kursplanering

Så här injicerar du Fragmin®

Välkommen till BRF Stengodset 6

Inneh˚all - Kursplanering

Inneh˚all - Kursplanering

Lösningsförslag till prov på förändringshastigheter

2013-02-Agatenbladet-Februari