Inneh˚all

Transcription

Inneh˚all - Kursplanering

JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
1(33)
Innehåll
Förord
2
NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2007
3
Del I, 8 uppgifter utan miniräknare
4
Del II, 9 uppgifter med miniräknare
7
NpMaB VT 2007 LÖSNINGAR
11
Del I: Digitala verktyg är INTE tillåtna
Del 1 # 1
(2/0)
Lös ekvationerna .
Del 1 # 2
(2/0)
Rät linje . . . . . .
Del 1 # 3
(2/0)
Förenkla uttryck .
Del 1 # 4
(1/2)
Sannolikhet . . . .
Del 1 # 5
(1/1)
2:a gradskurva . .
Del 1 # 6
(0/1)
Lyckohjul . . . . .
Del 1 # 7
(0/1)
Olikhet . . . . . .
Del 1 # 8
(1/2/⊗) Triangel i halvcirkel
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
12
13
14
16
18
19
20
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
22
23
25
26
27
28
31
32
Del II: Digitala verktyg är
Del 2 # 9
(2/0)
Del 2 # 10
(2/0)
Del 2 # 11
(3/0)
Del 2 # 12
(2/0)
Del 2 # 13
(0/2)
Del 2 # 14
(0/3)
Del 2 # 15
(1/2)
Del 2 # 16
(0/2/⊗)
Del 2 # 17
(3/4/⊗)
c G Robertsson
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
tillåtna
Linjärt ekvationssystem . . . . . . . . .
Likformighet . . . . . . . . . . . . . . .
Linjär funktion? . . . . . . . . . . . . .
3 000 kolor . . . . . . . . . . . . . . . . .
Melker tänker på ett tal . . . . . . . . .
Back plus tomglas . . . . . . . . . . . .
Signalkräftor . . . . . . . . . . . . . . .
Medelvärde, median och variationsbredd
Area hos kvadrat . . . . . . . . . . . . .
buggar ⇒ [email protected]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
2(33)
Förord
Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma2. Innehållet i den äldre
kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter
som är lämpliga till respektive kurs.
1
Ma 1
Ma 2
1
2
3 4
3 4
2 3
5
6 7
6 7
5
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
13 14 15 16 17
13
14 15 16 17
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
c G Robertsson
2015-04-05
NpMaB vt 2007 Version 1
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och
med 30 juni 2013.
NATIONELLT KURSPROV I
MATEMATIK KURS B
VÅREN 2007
Anvisningar
Provtid
240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder
högst 60 minuter för arbetet med Del I.
Hjälpmedel
Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs B”.
Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del.
Del II: Miniräknare och ”Formler till nationellt prov i matematik kurs B”.
Provmaterialet
Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in.
Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren.
Redovisa därför ditt arbete med Del I på separat papper. Observera att arbetet
med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
Provet
Provet består av totalt 17 uppgifter. Del I består av 8 uppgifter och Del II av 9
uppgifter.
Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar
anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att
du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid
behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt
hjälpmedel.
Uppgift 17 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt.
Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning
av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete.
Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet
få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke
slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning.
Poäng och
betygsgränser
Provet ger maximalt 42 poäng.
Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning.
Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några uppgifter är markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna.
Undre gräns för provbetyget
Godkänd:
12 poäng.
Väl godkänd:
25 poäng varav minst 6 vg-poäng.
Mycket väl godkänd:
25 poäng varav minst 13 vg-poäng.
Du ska dessutom ha visat prov på flertalet av de
MVG-kvaliteter som de ¤-märkta uppgifterna ger
möjlighet att visa.
Del I
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare.
Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får
tillgång till din miniräknare.
Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare.
1.
Lös ekvationen x 2 + 8 x − 20 = 0
2.
a)
b)
3.
4.
(2/0)
Rita i ett koordinatsystem en rät linje som går genom punkten (3, 2) och
har riktningskoefficienten k = −2
(1/0)
Bestäm linjens ekvation.
(1/0)
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt
a)
25 + ( x + 5)( x − 5)
Endast svar fordras
(1/0)
b)
2(4 + x) − x(2 + 3 x)
Endast svar fordras
(1/0)
Peter har en påse med 4 röda kulor och 6 vita kulor.
a)
b)
c)
Peter drar slumpmässigt en kula ur påsen. Hur stor är sannolikheten att han
får en röd kula?
(1/0)
6 5
⋅
10 9
Vilken händelse har han beräknat sannolikheten för?
(0/1)
4 6
⋅
10 10
(0/1)
Peter ställer upp sannolikheten för en händelse som
5.
6.
7.
Figuren visar kurvan
y = x 2 − 6x + 8
a)
Bestäm y-koordinaten för punkten A.
b)
Bestäm x-koordinaten för punkten B.
Endast svar fordras
(1/0)
(0/1)
Ett lyckohjul ser ut som i figuren. När man snurrar hjulet kan utfallet
bli 1, 2 eller 3.
Vilket bör det ungefärliga medelvärdet av utfallen bli, om man snurrar hjulet
många gånger?
(0/1)
Vilket är det största heltal som uppfyller olikheten 5 x + 3 < 31 + x ?
Endast svar fordras
(0/1)
8.
Thales från Miletos var en grekisk matematiker som levde för 2600 år sedan.
Han formulerade följande sats:
”Varje triangel som är inskriven i en halvcirkel har en rät vinkel.”
Nedanstående triangel ABC är inskriven i en halvcirkel. Punkten D är mittpunkt
på sträckan AC. I figuren är även sträckan BD inritad.
a)
Förklara varför de två vinklarna x är lika stora.
b)
Visa att Thales sats är korrekt utan att använda randvinkelsatsen.
(1/0)
(0/2/¤)
Del II
Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
9.
 x + 6 y = 39
Lös ekvationssystemet 
2 x + 3 y = 51
(2/0)
10.
Följande två femhörningar är likformiga. Bestäm x.
(2/0)
11.
I en biltidning kan man läsa en undersökning om hur mycket det bullrar i bilar vid
olika hastigheter. Bullernivån L(v) decibel är en funktion av bilens
hastighet v km/h.
a)
Förklara vad L(90) = 70 betyder med ord.
(1/0)
b)
För en viss bil gäller att L(50) = 60 , L(90) = 70 samt L(150) = 75
Avgör om detta är en linjär funktion.
(2/0)
12.
Alma har fått en stor godislåda som innehåller tre olika sorters kola:
hallon-, lakritsoch gräddkola. I lådan finns det cirka 3000 kolor totalt.
Alma tycker att lakritskola är godast. Hon vill ta reda på ungefär hur många
lakritskolor det finns i lådan utan att räkna alla.
Beskriv hur Alma kan göra en god uppskattning av hur många lakritskolor det
finns i lådan.
13.
(2/0)
Lisa sa till Melker:
•
•
•
•
•
Tänk på ett tal mellan −100 och 100.
Kvadrera talet.
Addera det ursprungliga talet två gånger till det tal du fick.
Subtrahera 168 från detta.
Vad får du då?
Melker: Jag fick noll.
Lisa: Tänkte du på talet 12?
Melker: Nej.
Vilket tal tänkte Melker på? (Förutsatt att han har räknat rätt.)
14.
(0/2)
José har lämnat tre backar med tillsammans 60 tomglas i pantautomaten
och Maria har lämnat en back med 16 tomglas. Bilden visar deras kvitton.
Bestäm panten för en tom back och panten för ett tomglas.
Josés kvitto
Marias kvitto
(0/3)
15.
Under år 2002 genomfördes ett provfiske av signalkräftor i Småland. En natt
placerades 30 kräftburar ut i ett antal sjöar. Bland annat undersöktes sambandet
mellan totala antalet kräftor (x) och antalet stora kräftor (y).
I diagrammet nedan visas resultatet från provfisket i form av 30 punkter, en för
varje bur. En linje har anpassats till punkterna.
a)
(1/0)
b)
Ge en tolkning av vad denna ekvation beskriver om sambandet mellan
antalet stora kräftor och totala antalet kräftor.
(0/1)
Bestäm medianen för antalet stora fångade kräftor.
Endast svar fordras
(0/1)
c)
16.
En grupp på 5 personer gjorde ett test som kan ge maximalt 85 poäng. Både
medelvärdet och medianen för gruppen blev 54 poäng. Variationsbredden var
40 poäng.
Är det möjligt att någon i gruppen fick 85 poäng? Förklara.
(0/2/¤)
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta
hänsyn till:
• Hur generell din lösning är
• Vilka matematiska kunskaper du visar
• Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur väl du genomför dina beräkningar
• Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete
• Hur väl du använder det matematiska språket
17.
Nedan visas några kvadrater med olika storlek i ett koordinatsystem,
se figur 1 – 4. Alla kvadraterna har ett hörn A placerat i origo. Koordinaterna för
det motstående hörnet C för respektive kvadrat finns också angivet i figurerna.
•
Undersök hur placeringen av hörnet C i en kvadrat påverkar arean av
kvadraten. Bestäm ett samband mellan koordinaterna för punkten C och
kvadratens area.
Hörnet A är alltid placerat i origo. Se figur 1.
Om du vill kan du börja din undersökning genom att bestämma areorna för
kvadraterna i figur 2, figur 3 och figur 4 och sedan formulera en slutsats om hur
läget av punkten C (det vill säga C:s koordinater) påverkar kvadraternas areor.
(3/4/¤)
Del I
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
11(33)
1(4)
Del
I: till
Digitala
verktyg är INTE tillåtna
tillgång
din miniräknare.
Del 1 # 1
(2/0)
Lös ekvationerna
Formler till nationellt prov i matematik kurs 2
1.
Ma2
(2/0)
Ekvationen är en 2:a gradsekvation. Lös ekvationen med pq-formeln som finns i
Algebra
FORMELSAMLINGEN.
2.
a)
Regler
Andragradsekvationer
b)
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
x 2 + px + q = 0
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(1/0)
(1/0)
2
p
 p
x =− ±   −q
(
a
+
b
)(
a
−
b
)
=
a
−
b
3.
2
2
2
2
25 + ( x + 5)( x − 5)
a)
2
−20
b)0 =2(4x+ x+) −|{z}
x8(2 +|{z}
3x)
Aritmetik
Endast svar fordras
(1/0)
Endast svar fordras
(1/0)
p=8 q=−20
p
√
x1,2 = −4 ± 42 − (−20) = −4 ± 36 = −4 ± 6
Prefix
x1 = 2
4.
T x2 G= −10
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
Petermega
drar slumpmässigt
en kula ur påsen. Hur stor är sannolikheten att han
teraa) giga
Svar
x1 =får
2 och
x2 kula?
=kilo
−10 hekto deci centi milli mikro nano piko
en
röd
12
9
6
3
2
-1
-2
-3
-6
-9
-12
10
10
b)
10
10
10
10
10
10
10
10
10
6 5
⋅
10 9
Potenser
4 6
x
ställeraupp
sannolikheten
förxeny händelse
som −⋅ x 1
x− y
xy
=a
(a ) = a
10a 10= x
a a =a
y
a
a
x yc)
(1/0)
(0/1)
x +Peter
y
a b = (ab)
x x
x
ax
a
= 
x
b
b
x
1
an
=na
(0/1)
a0 = 1
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
c G Robertsson
lg x + lg y = lg xy
buggar
x ⇒ [email protected]
lg x − lg y = lg
y
lg x p = p ⋅ lg x
2015-04-05
tillgång till din miniräknare.
JENSENvuxutbildning
1.
NpMaB vt2007
12(33)
Del 1 # 2
(2/0)
(2/0)
Rät linje
Ma2
2.
a)
b)
3.
a)
(1/0)
(1/0)
Förenkla
följande
Rita
linjen
. . . uttryck så långt som möjligt
a)
25 + ( x + 5)( x − 5)
b)
2( 4 + x ) − x ( 2 + 3 x )
5
4
Endast svar fordras
(1/0)
Endast svar fordras
(1/0)
3
2
4.
a)
Peter drar slumpmässigt
att han
-5 -4 -3 en-2kula-1ur påsen.
1 Hur
2 stor
3 är4 sannolikheten
5
-1
får en röd kula?
(1/0)
-2
b)
6 5
⋅
10 9
Vilken händelse har han beräknat-4sannolikheten för?
Peter ställer upp sannolikheten för
-3 en händelse som
(0/1)
-5
4 6
⋅
10 10
Bestäm linjens ekvation.
c)
b)
(0/1)
En rät linje har ekvationen
y = k x + m.
I detta fall med k = −2 blir linjens ekvation
y = −2 x + m.
Det återstår att bestämma m. Linjen går genom punkten (3, 2).
2
3
z}|{
z}|{
y
= −2 x + m.
|{z}
8
Svar b)
Linjens ekvation är y = −2 x + 8.
c G Robertsson
2015-04-05
1.
2.
a)
(2/0)
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
b)
Del 1 # 3
(1/0)
13(33)
(1/0)
(2/0)
Förenkla uttryck
Ma1
Ma2
3.
a)
1(4)
25 + ( x + 5)( x − 5)
Endast svar fordras
b)
Endast svar fordras
2(4 till
+ x) −nationellt
x(2 + 3x)
Formler
prov i matematik
kurs 2
a)
4.
(1/0)
(1/0)
F
örenkla
+ (x
+ 45)(x
5) och 6 vita kulor.
Peter
har en25
påse
med
röda−kulor
IAlgebra
FORMELSAMLINGEN finns konjugatregeln.
a)
får en röd kula?
Regler
2
x 2 + pxsom
+ q = 60 ⋅ 5
(a + bb)) 2 = aPeter
+ 2ställer
ab + b 2upp sannolikheten för en händelse
10 9
2
− 2abhändelse
+ b2
(a − b) 2 = aVilken
2
har han beräknat sannolikheten
för?
p
 p
2
2
x =− ±   −q
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
4 6
c)
⋅
10 10
konjugatregeln
}|
{ han beräknat sannolikheten för?
z händelse
Vilken
har
25 + (x + 5)(x − 5)
|
{z
}
Aritmetik
(1/0)
(0/1)
(0/1)
x2 −52
2
25 + x − 25
Prefix
Svar a) x2
T
G
M
k
h
d
b)
Förenkla 2(4 + x) − x(2 + 3x)
tera
1012
m
µ
n
p
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
109
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
2 (4 + x) − x (2 + 3 x)
| {z } | {z }
(8+2 x)
(2 x+3 x2 )
(8 + 2 x) − (2 x + 3 x2 )
Potenser
8 + 2 x − 2 x − 3 x2
8 − 3 x2
ax
x+ y
x y
= a x− y
a a =a
y
Svar b) 8 − 3 x2 a
a b = (ab)
x x
c
x
c Logaritmer
G Robertsson
ax
a
= 
x
b
b
x
(a x ) y = a xy
a− x =
1
an
a0 = 1
=na
y = 10 x ⇔ x = lg y
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
x
y
lg x p = p ⋅ lg x
1
ax
2015-04-05
3.
25 + ( x + 5)( x − 5)
JENSENvuxutbildning
b)
2( 4 + x ) − x ( 2 + 3 x )
a)
Del 1 # 4
NpMaB vt2007
(1/2)
Endast svar fordras
(1/0)
Endast svar fordras
14(33)
(1/0)
Sannolikhet
Ma1
4.
a)
b)
c)
a)
får en röd kula?
(1/0)
6 5
⋅
10 9
(0/1)
4 6
⋅
10 10
(0/1)
Sannolikhet för röd kula.
Det finns totalt 10 kulor i påsen varav 4 röda.
Svar a)
b)
Sannolikheten att få en röd kula är 0,4
Sannolikhet utan återläggning.
Problemet är “bakvänt” formulerat. Nämnarna 10 och 9 antyder sannolikhet utan
återläggning. Låt R beteckna röd kula och V beteckna vit kula. I träddiagrammet visas
4
de två första dragen vid dragning utan återläggning. Med P (RV) = 15
menas att
4
sannolikheten för att först få en röd kula och sedan en vit är 15 .
4R 6V
P (R) =
4
10
P (V) =
6
10
3R 6V
P (R) =
P (RR) =
Svar b)
4 3
10 9
=
2
15
3
9
P (V) =
6
9
P (RV) =
Sannolikheten
c G Robertsson
4R 5V
6 5
10 9
P (R) =
4 6
10 9
=
4
15
P (VR) =
6 4
10 9
=
4
15
4
9
P (V) =
5
9
P (VV) =
6 5
10 9
=
1
3
är sannolikheten för att dra två vita kulor.
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
c)
NpMaB vt2007
15(33)
Sannolikhet med återläggning.
Problemet är “bakvänt” formulerat. Nämnarna 10 och 10 antyder sannolikhet med
återläggning. Låt R beteckna röd kula och V beteckna vit kula. I träddiagrammet visas
de två första dragen vid dragning med återläggning.
4R 6V
P (R) =
4
10
P (V) =
6
10
4R 6V
P (R) =
P (RR) =
4 4
10 10
=
4
10
16
100
P (V) =
4R 6V
6
10
P (RV) =
P (R) =
4 6
10 10
=
24
100
P (VR) =
6 4
10 10
=
4
10
P (V) =
24
100
6
10
P (VV) =
6 6
10 10
=
36
100
4 6
Svar c) Peters sannolikhet 10
kan vara sannolikheten för att först dra en röd och
10
4 6
kan också vara sannolikheten för att först
därefter en vit kula. Peters sannolikhet 10
10
6 4
4 6
= 10
.
dra en vit och därefter en röd kula eftersom 10
10
10
Notera att sannolikheten för att få en röd och en vit är
c G Robertsson
4 6
10 10
+
6 4
10 10
=
12
25
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
16(33)
2007 gradskurva
Version 1
(1/1)NpMaB vt2:a
Del 1 # 5
Ma2
5.
Figuren visar kurvan
y = x 2 − 6x + 8
a)
b)
Endast svar fordras
(1/0)
(0/1)
a)
Bestäm A
6.
eller 3.
Med xbli
= 1,
0 2i ekvationen
y = x2 − 6x + 8 blir y = 8
1(4)
y-koordinaten för A är y = 8
Formler
till nationellt prov i matematik kurs 2
Svar a)
b)
Bestäm B
Punkten B är en minimipunkt på 2:a gradskurvan och ligger därför på symmetrilinjen
som ligger mitt emellan ekvationens två rötter. Använd pq-formeln som finns i
Algebra
FORMELSAMLINGEN
för att bestämma rötterna.
Regler
x 2 + px + q = 0
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2
medelvärdet av utfallen bli, om man snurrar hjulet
− 2det
+ b2
(a − bVilket
ab ungefärliga
) 2 = a bör
2
p
många gånger?
 p
2
2
x =− ±   −q
(a + b)(a − b) = a − b
2
2
Vilket är
c7.G Robertsson
det största heltal som
uppfyller
olikheten 5 x + 3 < 31 + x ?
buggar
⇒ [email protected]
Endast svar fordras
Aritmetik
Prefix
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
(0/1)
2015-04-05
(0/1)
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
17(33)
0 = x2 −6 x + |{z}
8
|{z}
q=8
p=−6
√
x1,2 = 3 ± 32 − 8
Medelvärdet av de två rötterna är 3.
Svar b)
x-koordinaten för B är x = 3.
c G Robertsson
2015-04-05
a)
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
b)
Del 1 # 6
(0/1)
Endast svar fordras
(1/0)
18(33)
(0/1)
Lyckohjul
Ma1
6.
bli 1, 2 eller 3.
många gånger?
7.
utfall sannolikhet utfall×sannolikhet
3 som uppfyller
0,50 olikheten 5 x + 3 < 1,50
Vilket är det största heltal
31 + x ?
2
0,25
Endast0,50
svar fordras
1
0,25
0,25
summa
2,25
(0/1)
(0/1)
Svar Ungefärligt medelvärde är 2,25.
c G Robertsson
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
många gånger?
Del 1 # 7
(0/1)
19(33)
(0/1)
Olikhet
Ma1
7.
Vilket är det största heltal som uppfyller olikheten 5 x + 3 < 31 + x ?
Endast svar fordras
(0/1)
Vid räkning med olikheter är det tillåtet att addera eller subtrahera samma tal från
bägge sidor i olikheten. Det är också tillåtet att multiplicera eller dividera bägge sidor i
olikheten med ett positivt tal. Olikheten är
5x + 3 < 31 + x.
Samla x på ena sidan om olikhetstecknet och tal på andra sidan.
5x + 3 − x < 31 + x − x
4x + 3 < 31
4x + 3 − 3 < 31 − 3
4x < 28
Dividera bägge sidor med 4.
4x
28
<
4
4
x < 7
Svar Det största heltal som uppfyller olikheten är 6.
c G Robertsson
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 8
NpMaB vt2007
20(33)
NpMaB vt 2007
Version 1i halvcirkel
(1/2/⊗)
Triangel
Ma2
8.
Thales från Miletos var en grekisk matematiker som levde för 2600 år sedan.
Han formulerade följande sats:
”Varje triangel som är inskriven i en halvcirkel har en rät vinkel.”
Nedanstående triangel ABC är inskriven i en halvcirkel. Punkten D är mittpunkt
på sträckan AC. I figuren är även sträckan BD inritad.
a)
a)
Förklara varför de två vinklarna x är lika stora.
(1/0)
b)
Visa att Thales sats är korrekt utan att använda randvinkelsatsen.
(0/2/¤)
Förklara varför . . .
Stäckorna AD och BD lika långa då de är radier i halvcirkeln. Stäckorna AD och BD är
också sidor i triangeln ABD som alltså är likbent och basvinklarna x är därmed lika.
B
x
y
y
x
A
b)
D
C
Visa att Thales . . .
Triangeln BCD är likbent med två lika vinklar y. Triangeln ABC har vinkelsumman 180◦ .
180◦ = x + (x + y) + y
90◦ = x + y
Vinkeln vid B är alltså 90◦ . Vilket skulle visas.
c G Robertsson
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
21(33)
Del II
Denna
består av 9 uppgifter
och ärär
avsedd
att genomföras med miniräknare.
Del
II:delDigitala
verktyg
tillåtna
Del 2 # 9
(2/0)
Linjärt ekvationssystem
Ma2
9.
 x + 6 y = 39
Lös ekvationssystemet 
2 x + 3 y = 51
(2/0)
Det finns två olika metoder för att lösa linjära ekvationssystem med flera obekanta. För
ekvationssystem med bara två obekanta är det betydelselöst vilken metod du väljer.
Substitutionsmetoden
är enkel är
ochlikformiga.
fungerar Bestäm
utmärktx. för två obekanta.
10. Följande två femhörningar
(2/0)
x + 6y = 39
2x + 3y = 51
Skriv om ekvation (1) till
x
= 39 − 6y
Substitutera x i ekvation (2) med hjälp av ekvation (3). Vi får
2 · (39 − 6y) + 3y = 51
78 − 12y + 3y = 51
78 − 9y = 51
27
= 9y
y
=3
Med ekvation (3) och (4) kan x beräknas.
x
= 39 − 6 · 3
11. I en biltidning
x kan man
= 21läsa en undersökning om hur mycket det bullrar i bilar vid
Svar hastighet
x = 21 och
y=3
v km/h.
(1)
(2)
(3)
(4)
a)
(1/0)
b)
(2/0)
c G Robertsson
2015-04-05
Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare.
 x + 6 y = 39
9.
Lösvux
ekvationssystemet

JENSEN
utbildning
NpMaB vt2007
2 x + 3 y = 51
Del 2 # 10
(2/0)
(2/0)
22(33)
Likformighet
Ma2
10.
Följande två femhörningar är likformiga. Bestäm x.
(2/0)
Det är svårt att se likformigheten mellan uppgiftens femsidingar. Det är enklare att se
likformigheten om stora figuren vrids ett halvt varv kring en vertikal axel.
11. I en biltidning kan man läsa en undersökning om hur mycket det bullrar i bilar vid
hastighet v km/h.
a)
(1/0)
b)
(2/0)
Använd likformigheten.
x
5,4
=
5,4
3,6
5,4 · 5,4
x =
3,6
x = 8,1
stora
lilla
Svar x = 8,1 cm.
c G Robertsson
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 11
NpMaB vt2007
(3/0)
23(33)
Linjär funktion?
Ma2
11.
a)
I en biltidning kan man läsa en undersökning om hur mycket det bullrar i bilar vid
hastighet v km/h.
a)
(1/0)
b)
(2/0)
Vad betyder L(90) = 70?
Bullernivån är 70 decibel då hastigheten är 90 km/h.
b)
Är data linjära?
80
70
60
50
90
150
Att rita en graf och titta i grafen är en bra ledning till uppgiften men inget matematiskt
argument. Ett sätt att lösa uppgiften är att bestämma en linje genom två av punkterna
och kontrollera om övriga punkter ligger på linje. I FORMELSAMLINGEN finns
ekvationen för räta linje.
c G Robertsson
2015-04-05
2(4)
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
Funktioner
Räta linjen
y = kx + m
24(33)
Andragradsfunktioner
k=
y2 − y1
x2 − x1
y = ax 2 + bx + c
y2 − y1 = 70 − 60
Potensfunktioner
a≠0
Exponentialfunktioner
x2 − x1 = 90 − 50
y = C ⋅ xa
10
k =
= 0,25
40
Linjen går genom punkten (50, 60).
y=60
x=50
z}|{
z}|{
y
= 0,25 · x + |{z}
m
Geometri
y = C ⋅ ax
a > 0 och a ≠ 1
m=47,5
Linjen är alltså
Triangel
y = 0,25 · x + 47,5.
Liggerbhden tredje punkten (150, 75) på linjen?
A=
x=150
z}|{
2
y
= 0,25 · x + 47,5.
|{z}
Parallellogram
A = bh
y=85
Punkten (150, 85) ligger på linjen. Punkten (150, 75) ligger inte på linjen.
Parallelltrapets
Cirkel
Svar hb)
L(v) är inte linjär.
(a + bFunktionen
)
A=
2
πd 2
4
O = 2πr = πd
A = πr 2 =
Cirkelsektor
Prisma
v
⋅ 2 πr
360
v
br
A=
⋅ πr 2 =
360
2
V = Bh
Cylinder
Pyramid
b=
V = πr 2 h
A = 2πrh
(Mantelarea)
c G Robertsson
13-01-24
V=
Bh
3
2015-04-05
© Skolverket
9.
Max 2/0
Redovisad godtagbar metod
+1 g
med korrekt svar ( x = 21, y = 3 )
+1 g
JENSENvuxutbildning
10.
NpMaB vt2007
25(33)
Max 2/0
ansats,
använder
NpMaB
vt t.ex.
2007
Version
1likformigheten
Del 2 # 12Redovisad godtagbar
(2/0)
3 000
kolor
12.
x
5,4
=
5,4 godislåda
3,6
Alma har fått en stor
som innehåller tre olika sorters kola:
+1 g
hallon-, lakritsoch gräddkola.
finns det cirka 3000 kolor totalt.
med korrekt
svar ( x = 8,I1lådan
)
+1 g
korrekt,
11.lakritskolor det finns i lådan utan att räkna alla.
Max 3/0
a) hur
Godtagbart
svar
(”Bullernivån
är 70 decibel
hastigheten
är 90 km/h”)
Beskriv
Alma kan
göra
en god uppskattning
avdåhur
många lakritskolor
det
finns i lådan.
b)
Redovisad godtagbar ansats, t.ex. ritar ett koordinatsystem med punkterna
inlagda
Alma ska ta ettmed
stickprov.
Skolverkets
rättningsnorm
följande.
godtagbarI motivering
av varför
funktionen står
inte är
linjär
13.
+1 g
(2/0)
+1 g
+1 g
12.
•
•
•
•
•
Max 2/0
Kvadrera
talet.
Eleven
visar insikt om att ett stickprov ska tas,
Addera
det
två tar
gånger
till det
du fick.
t.ex. gerursprungliga
beskrivningentalet
”Alma
100 kolor
urtal
lådan”
+1 g
Subtrahera
168
från
detta.
Eleven visar förståelse för att stickprovets fördelning mellan lakritskola
Vad och
får du
då? kolor förväntas överensstämma med lådans fördelning
övriga
+1 g
13.Lisa: Tänkte
Maxstort
0/2
på talet
12? är naturligtvis hur stort stickprovet ska vara. Ett
Kommentar
Enduviktig
fråga
Melker:
Nej.
stickprov har större sannolikhet att ge en bra uppskattning på antalet lakritskola än ett
Redovisad godtagbar ansats, t.ex. ställer upp en korrekt ekvation
+1 vg
litet stickprov. Sambandet mellan stickprovets storlek och godhet ingår definitivt inte i
talmed
tänkte
Melker
på? (Förutsatt
han har
räknat rätt.)
(0/2)
i övrigt
redovisad
godtagbarattlösning
(−14)
+1 vg
någon Vilket
av gymnasiets
matematikkurser.
14. 14.José har lämnat tre backar med tillsammans 60 tomglas i pantautomaten
Redovisad godtagbar ansats, t.ex. tecknar en ekvation för panten för
3 backar och 60 tomglas
med i övrigt redovisad godtagbar lösning med godtagbart svar
(tom back: 23,40 kr, tomglas: 70 öre)
Josés kvitto
Max 0/3
+1 vg
(0/3)
+1-2 vg
Marias kvitto
11
c G Robertsson
2015-04-05
Ma1
hallon-, lakritsoch gräddkola. I lådan finns det cirka 3000 kolor totalt.
lakritskolor det finns i lådan utan att räkna alla.
Beskriv
hur Alma kan göra en godNpMaB
uppskattning
av hur många lakritskolor det
vuxutbildning
JENSEN
vt2007
finns i lådan.
Del 2 # 13
13.
(0/2)
26(33)
(2/0)
Melker tänker på ett tal
•
•
•
•
•
Kvadrera talet.
Addera det ursprungliga talet två gånger till det tal du fick.
Subtrahera 168 från detta.
Vad får du då?
Melker: Nej.
1(4)
(0/2)
Formler till nationellt prov i matematik kurs 2
Melker tänker på talet x, han kvadrerar, adderar och subtraherar.
14. José har lämnat tre backar med tillsammans 60 tomglas i pantautomaten
och
0 Maria
= har
x2 lämnat
+ en
2xback med
−16816 tomglas. Bilden visar deras kvitton.
|{z}
|{z}
| {z }
dubblerar subtraherar
kvadrerar
Bestämekvation
panten förmed
en tom
back ochsom
panten
föriett
tomglas.
Lös
Melkers
pq-formeln
finns
FORMELSAMLINGEN.
Algebra
Regler
Marias
kvitto
Josés kvitto
x 2 + px + q = 0
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(a + b)(a − b) = a − b
2
(0/3)
2
x=−
2
p
 p
±   −q
2
2
0 = x2 + |{z}
2 x −168
| {z }
p=2
q=−168
p
√
2 − (−168) = −1 ±
1
169 = −1 ± 13
x
1,2 = −1 ±
Aritmetik
x1 = 12
Prefixx2 = −14
T
G
M
k
h
Svar Melker tänkte på −14
d
c
m
µ
n
p
tera
giga
mega
kilo
hekto
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
1012
109
106
103
102
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
Potenser
c G Robertsson
a xa y = a x+ y
a b = (ab)
x x
x
a
x
a
y
ax
= a x− y
a
= 
x
b
b
x
2015-04-05
(a x ) y = a xy
a− x =
1
an
a0 = 1
=na
1
ax
•
Vad får du då?
Melker: Nej.
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
Del 2 # 14
14.
(0/3)
27(33)
(0/2)
Back plus tomglas
José har lämnat tre backar med tillsammans 60 tomglas i pantautomaten
Josés kvitto
(0/3)
Marias kvitto
Antag att en back kostar x och en flaska y kronor. För José och Maria gäller:
3x + 60y = 112,20
x + 16y = 34,60
Skriv om ekvation (2) till
x
= 34,60 − 16y
Substitutera x i ekvation (1) med hjälp av ekvation (3). Vi får
3 · (34,60 − 16y) + 60y = 112,20
103,80 − 48y + 60y = 112,20
103,80 + 12y = 112,20
12y
= 8,40
y
= 0,70
Med ekvation (3) och (4) kan x beräknas.
x
= 34,60 − 16 · 0,70
x
= 23,40
(1)
(2)
(3)
(4)
Svar En back kostar 23,40 och en flaska kostar 0,70 kronor.
c G Robertsson
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 15
15.
NpMaB vt2007
28(33)
NpMaB vt 2007
Version äftor
1
(1/2)
Signalkr
Under år 2002 genomfördes ett provfiske av signalkräftor i Småland. En natt
placerades 30 kräftburar ut i ett antal sjöar. Bland annat undersöktes sambandet
mellan totala antalet kräftor (x) och antalet stora kräftor (y).
I diagrammet nedan visas resultatet från provfisket i form av 30 punkter, en för
varje bur. En linje har anpassats till punkterna.
a)
(1/0)
b)
(0/1)
Endast svar fordras
(0/1)
c)
16.
c G Robertsson
40 poäng.
2015-04-05
(0/2/¤)
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
29(33)
2(4)
a)
Bestäm linjens ekvation
Räta
linjens ekvation finns i FORMELSAMLINGEN.
Funktioner
Räta linjen
Andragradsfunktioner
k=
y = kx + m
y2 − y1
x2 − x1
y = ax 2 + bx + c
a≠0
Potensfunktioner
Exponentialfunktioner
Linjen
går genom (0, 0). Leta reda på ytterligare en
“bra” punkt i grafen. Med “bra”
menas atta det ska vara lätt att läsa av x- och y-koordinat.x Den markerade punkten har
a > 0 och a ≠ 1
y =C⋅x
y = C ⋅a
13
= 0,52 vilket ger att linjens ekvation är
koordinaterna (25, 13) och vi får k =
25
y = 0,52 · x.
Geometri
Triangel
A=
Parallellogram
A = bh
bh
2
Parallelltrapets
Cirkel
h( a + b)
A = a) Linjens ekvation är y = 0,52 · x.
Svar
2
b)
Tolka sambandet
Svar b)
πd 2
A = πr =
4
O = 2πr = πd
2
50% av antalet fångade kräftor är stora.
Cirkelsektor
Prisma
v
⋅ 2 πr
360
v
br
A=
⋅ πr 2 =
360
2
V = Bh
b=
c G Robertsson
Cylinder
Pyramid
V = πr 2 h
A = 2πrh
(Mantelarea)
V=
Bh
3
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
c)
NpMaB vt2007
30(33)
Bestäm medianen för antalet stora kräftor
Medianen är värdet i mitten om antalet tal är udda. När antalet tal är jämnt, som i detta
fall, är medianen medelvärdet av de två mittre talen.
50% över
50% under
median=8
Svar c)
Medianen är 8.
Kommentar I Skolverkets rättningsnorm står följande.
Uppg.
Bedömningsanvisningar
15.
Poäng
Max 1/2
a)
Redovisad godtagbar lösning med ett svar där riktningskoefficienten k är i
intervallet 0,50 < k < 0,53 ( y = 0,50 x )
b)
Godtagbar tolkning (”Antalet stora kräftor är 50 % av totala antalet kräftor”) +1 vg
c)
Korrekt svar (8 kräftor )
+1 g
+1 vg
Skolverkets
norm visar hur noga k ska bestämmas och hur delfråga c ska besvaras.
Med
16.
Max 0/2/¤
30 burar är det överdrivet att säga att 52% av fångade kräftor är stora.
Visar förståelse för begreppen median och variationsbredd genom att t.ex.
konstatera att poängtalen 45, 54 och 85 ska vara med bland de 5 resultaten +1 vg
Redovisad godtagbar lösning innehållande resonemang kring totalpoäng och
poängfördelning även om resonemanget kan innehålla smärre brister (Nej) +1 vg
MVG-kvalitet
visar eleven i denna uppgift genom att:
Formulerar och utvecklar problem, använder generella metoder/modeller vid
problemlösning
Analyserar och tolkar resultat, drar slutdra välgrundade slutsatser som leder till korrekt
satser samt bedömer rimlighet
svar.
Genomför bevis och analyserar matematiska resonemang
Värderar och jämför metoder/modeller
Redovisar välstrukturerat med korrekt
redovisningen är tydlig och klar.
c G Robertsson
2015-04-05
matematiskt språk
Exempel på en elevlösning och hur den poängsätts ges nedan. Andra lösningsförslag ska
bedömas på likvärdigt sätt.
a)
(1/0)
b)
JENSENvuxutbildning
NpMaB vt2007
c)
Endast svar fordras
Del 2 # 16
variationsbredd
16.
(0/2/⊗)
Medelvärde, median och
(0/1)
31(33)
(0/1)
Ma2
40 poäng.
Arbeta systematiskt, uppgiften rymmer 5 olika
fakta. Vi håller koll på vilka av dessa fakta vi
nyttjat under lösningens gång. Vi börjar med att
beräkna totalpoängen.
5 ·
|{z}
54
|{z}
= 270
personer medelvärde
Antag att en person har fått maximalt antal
poäng, 85.
270 − |{z}
85 = 185
|{z}
total
max
En person har fått 45 poäng eftersom variationsbredden är 40 poäng, 85 − 40 = 45.
270 − |{z}
85 − |{z}
45 = 140
|{z}
total
max
min
FAKTA
5 personer
maximalt
medelvärde
medianvärde
variationsbredd
(0/2/¤)
poäng nyttjad
—
JA
85
NEJ
54
JA
54
NEJ
40
NEJ
FAKTA
poäng nyttjad
5 personer
—
JA
maximalt
85
JA
medelvärde
54
JA
medianvärde
54
NEJ
variationsbredd 40
NEJ
FAKTA
5 personer
maximalt
medelvärde
medianvärde
variationsbredd
poäng nyttjad
—
JA
85
JA
54
JA
54
NEJ
40
JA
Medianvärdet 54 poäng är den enda faktauppgift som inte är nyttjad. Med ett udda antal
personer måste en person ha 54 poäng, medianvärdet.
270 − |{z}
85 − |{z}
45 − |{z}
54 = 86
|{z}
total
max
min
median
Försök fördela återstående 86 poäng så att kravet på medianvärde blir uppfyllt. Ett tal
måste vara 54 eller större och ett mindre, men 86 − 54 = 32 vilket innebär att kravet på
variationsbredd inte blir uppfyllt.
Svar NEJ det är inte möjligt.
c G Robertsson
2015-04-05
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta
hänsyn till:
• Hur generell din lösning är
• Vilka matematiska kunskaper du visar
JENSENvux
NpMaB vt2007
• utbildning
Hur väl du motiverar dina slutsatser
• Hur väl du genomför dina beräkningar
• Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete
Del 2 #
17
(3/4/⊗) Area hos kvadrat
• Hur väl du använder det matematiska språket
17.
32(33)
Nedan visas några kvadrater med olika storlek i ett koordinatsystem,
se figur 1 – 4. Alla kvadraterna har ett hörn A placerat i origo. Koordinaterna för
det motstående hörnet C för respektive kvadrat finns också angivet i figurerna.
•
Undersök hur placeringen av hörnet C i en kvadrat påverkar arean av
kvadraten. Bestäm ett samband mellan koordinaterna för punkten C och
kvadratens area.
Hörnet A är alltid placerat i origo. Se figur 1.
Om du vill kan du börja din undersökning genom att bestämma areorna för
kvadraterna i figur 2, figur 3 och figur 4 och sedan formulera en slutsats om hur
läget av punkten C (det vill säga C:s koordinater) påverkar kvadraternas areor.
(3/4/¤)
En kvadrat med sidan x har arean A = x2 . Diagonalen d i en kvadrat kan beräknas med
c G Robertsson
2015-04-05
JENSENvuxutbildning
Pythagoras sats till d = x
NpMaB vt2007
√
33(33)
d
d2
2, vilket ger x = √ och A = .
2
2
x
4(4)
x
d=x
√
2
Kordasatsen
Randvinkelsatsen
ab = cd
u = 2v
Enligt uppgiften ligger kvadratens hörn A i (0, 0) och motstående hörn C i (a, b).
Pythagoras sats
Trigonometri
c2 = a 2 + b2
sin v =
Avståndsformeln
Mittpunktsformeln
d = ( x2 − x1) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
xm =
a
c
b
cos v =
c
a
tan v =
Kvadratens diagonal kan beräknas med avståndsformelnb som finns i
FORMELSAMLINGEN.
x1 + x2
y + y2
och ym = 1
2
2
Vi får
Statistik√och
sannolikhet
2
2
d =
a +b
och kvadratens area blir
Standardavvikelse
a2 + b 2
A =
.
2
s=
Svar Kvadratens area A är
Lådagram
c G Robertsson
Normalfördelning
( x1 − x ) 2 + ( x2 − x ) 2 + ... + ( xn − x ) 2
n −1
(stickprov)
a2 + b 2
.
2
2015-04-05

Inneh˚all - Kursplanering

Transcription

Similar documents

Inneh˚all - Kursplanering

Inneh˚all - Kursplanering

Inneh˚all - Kursplanering

Inneh˚all - Kursplanering

Inneh˚all - Kursplanering

Inneh˚all - Kursplanering

Inneh˚all - Kursplanering

Kemisk Termodynamik – Föreläsning 8

Checklista inför det nationella provet i Matematik B

Distriktsstyrelsen i Västmanland 2015

Experimentella sannolikheter

Välkommen till BRF Stengodset 6

Sannolihet 5-2

Inneh˚all - Kursplanering

Inneh˚all - Kursplanering

Repetition Medelvärde Median Standardavvikelse ( ) ( ) Normerat

5.1 - Proportions

UNDER ARBETE - Kursplanering