Inneh˚all - Kursplanering

JENSENvuxutbildning
NpMaE vt2005
för Ma4
1(24)
Innehåll
Förord
2
Kursprov i matematik, kurs E vt 2005
3
Del I: Uppgifter utan miniräknare
4
Del II: Uppgifter med miniräknare
7
Förslag på fullständiga lösningar
11
Del I: Digitala verktyg är INTE tillåtna
Del 1 # 2
(2/0)
Förenkla . . . . . . . . .
Del 1 # 3
(3/0)
Komplexa tal i talplanet
Del 1 # 4
(2/0)
Ekvation . . . . . . . .
Del 1 # 7
(0/3)
Ekvationen z n = a . . . .
Del 1 # 8
(0/2)
Komplexa tal . . . . . .
Del 1 # 9
(0/3/⊗) Max/min teckentabell .
.
.
.
.
.
.
11
11
12
13
14
15
16
.
.
.
.
.
19
19
20
21
22
23
Del II: Digitala verktyg är
Del 2 # 10
(2/0)
Del 2 # 11
(2/0)
Del 2 # 14
(0/3)
Del 2 # 16
(1/1/⊗)
Del 2 # 17
(3/3/⊗)
c G Robertsson
tillåtna
pq-formeln . .
Rotationsvolym
Kedjeregeln . .
Komplext tal .
Rotationsvolym
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
buggar ⇒ [email protected]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaE vt2005
för Ma4
2(24)
Förord
Kom ihåg
• Matematik är att vara tydlig och logisk
• Använd text och inte bara formler
• Rita figur (om det är lämpligt)
• Förklara införda beteckningar
Du ska visa att du kan
• Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning.
• Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet.
• Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang.
• Värdera och jämföra metoder/modeller.
• Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk.
Uppgifter relevanta för kursen Ma4
Följande uppgifter är lämpliga för övning till kursen Ma4:
Utan miniräknare 2
Med
10
c G Robertsson
3
11
4 7
14 16
buggar ⇒ [email protected]
8
17
9
2015-04-06
Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar
Umeå universitet
PBMaE 05-05
PROV I MATEMATIK KURS E
FRÅN
NATIONELLA PROVBANKEN
Del I: Uppgift 1-9
Del II: Uppgift 10-17
Anvisningar
Provtid
Totalt 240 minuter för del I och II tillsammans. Vi rekommenderar att du
använder högst 90 minuter för arbetet med Del I.
Hjälpmedel
Del I: "Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E"
Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del.
Del II: Miniräknare (grafritande men ej symbolhanterande) och formelblad.
Provmaterial
Allt provmaterial inlämnas tillsammans med dina lösningar.
Skriv namn och klass på de papper du lämnar in.
Lösningarna till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren.
Redovisa därför ditt arbete på Del I på separat papper. Observera att
arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknaren.
Provet
Varje uppgift inleds med ett uppgiftsnummer. Därefter följer provbankens
identifikationsnummer, som anges inom parentes. På nästa rad anges
maximala antalet poäng som du kan få för din lösning. Om en uppgift kan ge
2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta 2/1.
Till de uppgifter där det står Endast svar fordras behöver bara svaret anges.
Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att du
skriver ned vad du gör, förklarar dina tankegångar, ritar figurer vid behov och
att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt
hjälpmedel.
Uppgift 17 är en större uppgift, som kan ta upp till 1 timme att lösa fullständigt.
Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en
beskrivning av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete.
Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av
provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning.
Betygsgränser Ansvarig lärare meddelar de gränser som gäller för betygen "Godkänd" och
"Väl Godkänd" för del I och II tillsammans. För att få betyget "Mycket väl
godkänd" ska kraven för "Väl godkänd" vara väl uppfyllda. Dessutom kommer
läraren att ta hänsyn till hur väl du löser eventuella ¤-uppgifter.
Namn:_________________________________________________________________________
Skola:__________________________
Klass/program:_________________
Kvinna
Annat modersmål än svenska
Man
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i
4 kap. 3§ sekretesslagen. För detta material som kommer ur provbanken gäller
sekretessen fram till och med den 10 juni 2005.
Sekretessen hävd.
© Skolverket 2005
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 1 (3249)
1/0
Lös differentialekvationen y ′ = 4 y
Endast svar fordras
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 2 (3250)
2/0
Förenkla (5 + i) 2 och skriv resultatet på formen a + bi
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 3 (3251)
1/0 , 1/0 , 1/0
De komplexa talen z1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 och z 6 är markerade i det komplexa talplanet
nedan.
För vilket eller vilka av talen är
a)
z =3
Endast svar fordras
b)
Re z > 0
Endast svar fordras
c)
arg z = 45°
Endast svar fordras
© Skolverket 2005
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 4 (2115)
0/2
Bestäm det komplexa talet z så att 4 z + 3 z = 28 + 5i
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 5 (3448)
2/0
Differentialekvationen y ′ = x 2 + y 2 har en lösning y som uppfyller villkoret
y (1) = 0
Bestäm ett närmevärde till y (3) med hjälp av en numerisk metod, till exempel
Eulers stegmetod. Välj steglängden 1.
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 6 (3133)
0/1
y
= 0 har lösningskurvor som går genom punkterna
2x
A, B, C och D i nedanstående figur. I var och en av dessa har tangentens riktning
markerats. I två av punkterna är tangentens riktning felaktigt markerad.
Differentialekvationen y′ +
I vilka två punkter är tangentens riktning felaktigt markerad?
Endast svar fordras
© Skolverket 2005
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 7 (3093)
0/3
Lös ekvationen 2 z 3 = −54
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 8 (3257)
0/2
 10 
Bestäm det reella talet x så att Re 
 =1
 x + 4i 
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 9 (3258)
0/2 , 0/1/¤
Funktionen f är definierad för alla x och f ( x) =
x
x +1
2
a)
Bestäm lokala maxima och minima för funktionen f.
b)
Undersök om funktionen har något största och minsta värde.
© Skolverket 2005
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 10 (3449)
2/0
Lös ekvationen z 2 + 38 z + 557 = 0
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 11 (3252)
1/0 , 1/0
Ett område i första kvadranten begränsas av x-axeln, linjen x = 4 och kurvan y =
Låt området rotera kring x-axeln.
a)
b)
Ställ upp en integral som ger volymen av den
rotationskropp som uppkommer.
Endast svar fordras
Beräkna rotationskroppens volym.
Endast svar fordras
x
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 12 (3091)
3/0
Bestäm den lösning till differentialekvationen y ′′ + 2 y ′ − 8 y = 0 som uppfyller
villkoren y (0) = 4 och y ′(0) = 2
© Skolverket 2005
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 13 (1725)
1/0 , 2/0 , 2/0
Rymdfysiker kan genom att analysera ljuset från en stjärna bestämma hur mycket
av ämnet Uran-238 som finns kvar i stjärnan. Då kan man avgöra stjärnans ålder.
Atomkärnor av Uran-238 sönderfaller med en hastighet som är proportionell mot
antalet kvarvarande atomkärnor, N, vid tiden t år.
a)
Ställ upp en differentialekvation som beskriver sönderfallet.
Endast svar fordras
b)
Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen då
hälften av antalet atomkärnor har sönderfallit efter 4,5 ⋅10 9 år.
Genom att analysera ljuset från stjärnan CS 31082-001 har fysikerna bestämt att
det återstår ungefär 14,6 % av den ursprungliga mängden Uran-238 som fanns i
stjärnan då den bildades.
c)
Bestäm stjärnans ålder.
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 14 (3253)
0/3
En liten sten kastas i en damm. Då skapas en våg i form av en cirkel på vattenytan.
Enligt en förenklad modell kan man anta att cirkelns radie ökar med den konstanta
hastigheten 1,5 m/s.
Med vilken hastighet ändras cirkelytans area 6,0 sekunder efter det att stenen träffat
vattenytan?
© Skolverket 2005
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 15 (2577)
1/0 , 0/2 , 0/1
En sjö har under en lång tid förorenats
av utsläpp från en fabrik. Detta har
medfört att det nu finns cirka 500 kg
föroreningar i sjön.
Fabriken släpper ut cirka 100 kg
föroreningar per år. Via ett vattendrag
försvinner årligen 10 % av mängden
föroreningar från sjön.
För att studera hur mängden föroreningar
(y kg) i sjön förändras med tiden (t år)
går det att använda en matematisk modell
i form av följande differentialekvation:
dy
= 100 − 0,1 y och y (0) = 500
dt
dy
= 100 − 0,1 y hänger ihop med förutsättningarna i texten.
dt
a)
Förklara hur
b)
Lös differentialekvationen då y (0) = 500
c)
Vad händer enligt modellen med mängden föroreningar i sjön i ett längre
tidsperspektiv?
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 16 (3450)
1/1/¤
I figuren är åtta olika områden i det
komplexa talplanet markerade med
A, B, C, D, E, F, G och H. Cirkeln är
en enhetscirkel med centrum i origo.
Cirkeln och koordinataxlarna ingår
inte i något av de markerade områdena.
Bestäm i vilket eller vilka områden
1
talet
kan ligga om z ligger i B.
z
© Skolverket 2005
-----------------------------------------------------------------------------------------------Uppgift nr 17 (3451)
3/3/¤
Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta extra hänsyn till:
•
hur långt du kommit i din undersökning
•
hur generell din undersökning är
•
hur väl du redovisat ditt arbete
•
hur väl du utför dina beräknigar
•
hur väl du använt det matematiska språket
Ett företag tillverkar tätningsringar för rör
i olika storlekar. Alla ringar har både höjden
och tjockleken 1 cm, men kan ha olika
radier (se figur 1).
Företagets produktutvecklare funderar på
att utöka sortimentet. De vill därför veta
hur mycket materialåtgången ökar för varje
centimeter som tätningsringarnas radie ökar.
Tätningsringar kan representeras matematiskt genom rotation av trianglar runt
x-axeln. I figur 2 och 3 ser du exempel på
detta. I dessa figurer har ringarna radierna
1 cm respektive 2 cm.
Figur 1
Figur 2
•
Figur 3
Undersök och beskriv hur tätningsringarnas volym förändras för varje
centimeter som radien ökar.
© Skolverket 2005
JENSENvuxutbildning
NpMaE vt2005
för Ma4
1(8)
11(24)
Del 1 # 2
(2/0)
Förenkla
Formler till nationellt
prov
i matematik kurs 4
Förenkla (5 + i)2 . Använd FORMELSAMLINGEN, där finns kvadreringsregler.
Algebra
Regler
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 )
a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 )
2
(5 + i)2 = 52 + 2 · 5 x· 2i ++px
i2+ q = 0
|{z}
Andragradsekvationer
x=−
−1
p
 p
±   −q
2
2
= 24 + 10 i
Aritmetik
Svar
24 + 10 i
Prefix
T
G
M
k
tera
giga
mega
kilo
12
9
10
Potenser
10
a a =a
x y
10
10
ax
x+ y
a b = (ab)
x x
6
a
y
h
3
hekto
10
= a x− y
ax
a
= 
x
b
b
x
x
2
d
c
m
µ
n
p
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
-1
-2
-3
-9
10-12
10
10
1
an
a0 = 1
=na
a ( k n − 1)
där k ≠ 1
k −1
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
y = e x ⇔ x = ln y
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
13-01-24
10
a− x =
a + ak + ak 2 + ... + ak n −1 =
c G Robertsson
10
(a x ) y = a xy
Geometrisk
summa
Absolutbelopp
10
-6
x
y
1
ax
lg x p = p ⋅ lg x
om a ≥ 0
a
a =
− a om a < 0
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
© Skolverket
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 3
NpMaE vt2005
(3/0)
|z2 | = 3 |z4 | = 3
Im z
för Ma4
12(24)
Komplexa tal i talplanet
Arg z1 = 45◦
Im z
Re z1 > 0 Re z6 > 0
Im z
z2
z3
z1
z3
z1
z3
z1
z4
z5
Re z
z6
c G Robertsson
z5
Re z
z6
buggar ⇒ [email protected]
z5
Re z
z6
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 4
NpMaE vt2005
(2/0)
för Ma4
13(24)
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Ekvation
Ekvationen är
4 z + 3 z̄ = 28 + 5 i.
Ansätt
z = a + b i.
Ekvation blir
4 (a + b i) + 3 (a − b i) = 28 + 5 i
7 a + b i = 28 + 5 i
med lösningen
28
a =
=4
7
b = 5
Svar z = 4 + 5 i.
c G Robertsson
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 7
NpMaE vt2005
för Ma4
14(24)
Ekvationen z n = a
(0/3)
Lös ekvationen 2 z 3 = −54. Börja med att städa
z 3 = −27.
Strategi: Använd polär form för ekvationens höger- och vänsterled. Ansätt
z = r (cos ν + i sin ν).
deMoivres formel ger
z 3 = r3 (cos 3ν + i sin 3ν).
Ekvationens högerled på polär form är
−27 = 27 [cos(180◦ ) + i sin(180◦ )] .
Vi får en likhet mellan två komplexa tal på polär form
r3 (cos 3ν + i sin 3ν) = 27 [cos(180◦ ) + i sin(180◦ )] .
Två komplexa tal på polär form är lika om belopp och argument är lika
r3 = 27
3ν = 180◦ + n · 360◦ .
Lösningen är
r = 271/3 = 3
180◦
360◦
ν =
+n
= 60◦ + n 120◦ .
3
3
De tre olika lösningarna är
ν1 = 60◦
ν2 = 180◦
ν3 = 300◦ .
Svar De tre lösningarna finns i figuren nedan.
Im
z1 = 3 (cos 60◦ + i sin 60◦ )
Re
z2 = 3 (cos 180◦ + i sin 180◦ )
z3 = 3 (cos 300◦ + i sin 300◦ )
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 8
NpMaE vt2005
(0/2)
för Ma4
15(24)
Komplexa tal
Bestäm det reella talet x så att
10
1 = Re
.
x + 4i
Trixet för att få bort imaginärdelen i nämnaren!är att förlänga med konjugatet.
10 x − 40 i
1 = Re
(x + 4 i)(x − 4 i)
10 x−40 i
1 = Re
x2 + 16
10 x
1 =
x2 + 16
2
x + 16 = 10 x
x2 − 10 x + 16 = 0
√
x1,2 = 5 ± 52 − 16
x1,2 = 5 ± 3
Svar x1 = 8 och x2 = 2.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Del 1 # 9
NpMaE vt2005
(0/3/⊗)
för Ma4
16(24)
Max/min teckentabell
3(8)
Strategi
• derivera
• bestäm derivatans
(rötter)
Differentialoch nollställen
integralkalkyl
• undersök med hjälp av teckentabell (eller funktionens andradervatan) om
derivatans
nollställen är max/min
f ( x) − f (a)
f (a + heller
(a)
) − f terasspunkter.
Derivatans
definition
f ′(a ) = lim
= lim
• undersök randpunkter (saknas
är oändligt)
a intervallet
h → 0 i denna
x →då
x−a
h uppgift
Vid uppgifter av den här typen är det bra att med hjälp av en graf skapa en uppfattning
av hur funktionen ser ut. Miniräknare är inte tillåten. Gör en tabell för några x-värden.
Derivator
Funktion
x
−3
−2
−1 0
1Derivata
2
3
10
100
f (x) −0,3
−0,4 −0,5 0 0,5 0,4
0,3 ≈ 0,1 ≈ 0,01
x n där n är ett reellt tal
nx n −1
Gör en enkel skiss.
ax ( a > 0 )
0,5
1
x
ln x ( x > 0 )
-10
a x ln a
-3 -2 -1
ex
1 2 3
10
3(8)
-0,5
ex
k ⋅ e kx
e kx
Deluppgift a)
Differential- och 1integralkalkyl
−
1
2
x
x
Derivera funktionen
x
f ( x) − f (a)
f ( a + h) − f ( a )
Derivatans
f (x) definition
=
f ′(ax ) = lim
= lim
cos
x
1 + x2 sin
h →0
x→a
x−a
h
Använd FORMELSAMLINGEN där finns regler för derivering.
Derivator
cos x
− sin x
Funktion
tan x
Derivata
1 + tan 2 x =
x
n
där n är ett reellt tal
f ′(x) + g ′(x)
a x ln a
f ( x) ⋅ g ( x)
ln x ( x > 0 )
1f ( x) ⋅ g ′( x) + f ′( x) ⋅ g ( x)
x
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
ex
( g ( x)) 2
e kx
c G Robertsson
cos 2 x
f (x) + g (x)
ax ( a > 0 )
f ( x)
egx( x)
Kedjeregeln
nx
n −1
1
( g ( x ) ≠ 0)
k ⋅ e kx
1
1
− 2
Om
är
två
y
=
f
(
z
)
och
z
=
g
(
x
)
x
x deriverbara funktioner
buggar ⇒ [email protected]
så gäller för y = f ( g ( x )) att
sin x
dycosdxy dz
= ⋅
y ′ = f ′( g ( x )) ⋅ g ′( x ) eller
dx dz dx
cos x
− sin x
1 + tan 2 x =
1
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaE vt2005
för Ma4
17(24)
(x)
Använd formeln för derivering av fg(x)
. Vi får
2
1 · (1 + x ) − x · 2x
f 0 (x) =
(1 + x2 )2
1 − x2
f 0 (x) =
.
(1 + x2 )2
Lös ekvationen
1 − x2
0 =
(1 + x2 )2
som har två nollställen
x1 =
1
x2 = −1.
Gör en teckentabell
x < −1 x = −1 −1 < x < 1 x = 1 1 < x
f (x)
−
0
+
0
−
f (x)
&
min
%
max
&
0
Svar a)
Lokalt maximum f (1) = 0,5 och lokalt minimum f (−1) = −0,5
Deluppgift b)
Uppgiften gäller att undersök om funktionen har något största och minsta värde.
Uppenbarligen har funktionen ett lokalt minimumvärde f (−1) = −0,5 och ett lokalt
maximumvärde f (1) = 0,5. Teckentabellen duger inte för att dra slutsatsen att
1
har ett största och minsta värde. Funktionerna i bilden nedan
funktionen f (x) =
1 + x2
x
3x − x3
visar f (x) =
och
f
(x)
=
. Båda har exakt samma teckentabell och exakt
1 + x2
4
samma lokala max/min-värde.
f (x) =
x
1 + x2
f (x) =
3x − x3
4
För x 1 gäller att
x
x
1
≈ 2 = .
2
1+x
x
x
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaE vt2005
för Ma4
18(24)
(Symbolen a b betyder att a är mycket större än b.) Detta betyder att funktionen
asymptotiskt går mot noll när x går mot oändligheten. Därmed är f (1) = 0,5 ett största
värde. Samma resonemang visar att f (−1) = −0,5 är ett minsta värde.
Svar b) Funktionen har ett största värde f (1) = 0,5 och ett minsta värde
f (−1) = −0,5.
Deluppgift b)
Alternativ lösning
Vid bestämning av absolut största respektive absolut minsta värde i ett begränsat
intervall måsta man undersöka funktionens värde i intervallets ändpunkter. Givetvis
måsta man också undersöka förekomsten av lokala max/min-punkter i det inre av
intervallet med hjälp av förstaderivatans nollställen. I detta fall är ändpunkterna −∞
respektive +∞. Med symbolen ∞ menar vi oändligheten och med f (+∞) menar vi
f (+∞) = lim f (x)
x→+∞
och motsvarande för −∞. Om vi i vårt fall uppfattar −∞ och +∞ som intervallets
ändpunkter måste vi undersöka dessa punkter. För funktionen
x
f (x) =
1 + x2
gäller både att
f (−∞) = 0
f (+∞) = 0
Funktionen har alltså ett största värde f (1) = 0,5 och ett minsta värde f (−1) = −0,5
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Formler till nationellt prov i matematik kurs 4
Algebra
JENSENvuxutbildning
Regler
Del 2 # 10
NpMaE vt2005
för Ma4
19(24)
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(2/0)
pq-formeln
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 )
I FORMELSAMLINGEN finns pq-formeln.
a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 )
2
x 2 + px + q = 0
Andragradsekvationer
x=−
p
 p
±   −q
2
2
Aritmetik
Ekvationen
är
Prefix
z 2 + |{z}
38 z + |{z}
557 = 0
Tp
G
q
M
k
h
p
tera557 giga
får vimega kilo hekto
Med = 19 och q =
2
12√
9
106
103
102
x1,2 = −1910
± 19102 − 557
√
x1,2 = −19 ± 361 − 557
√
ax
x y −196
= a x− y
x1,2 = −19a±
Potenser
a = a x+ y
ay
x1,2 = −19 ± i 14
a bi 14= (ab)
Svar x1,2 = −19 ±
x x
ax
a
= 
x
b
b
x
x
d
c
m
µ
n
p
deci
centi
milli
mikro
nano
piko
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
(a x ) y = a xy
1
an = n a
Geometrisk
summa
a + ak + ak 2 + ... + ak n −1 =
a ( k n − 1)
där k ≠ 1
k −1
Logaritmer
y = 10 x ⇔ x = lg y
y = e x ⇔ x = ln y
lg x + lg y = lg xy
lg x − lg y = lg
Absolutbelopp
x
y
1
ax
a0 = 1
lg x p = p ⋅ lg x
om a ≥ 0
a
a =
− a om a < 0
13-01-24
c G Robertsson
a− x =
© Skolverket
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 11
NpMaE vt2005
(2/0)
√
Låt kurvan y =
för Ma4
20(24)
Rotationsvolym
x rotera kring x-axeln.
y
y=
2
√
1
x
dx
0
0
1
2
3
4
x
Beräkna volymen av skivor vinkelräta mot x-axeln.
dV = π y 2 dx
2
y
1
0
1
2 x
3
4
-1
dx
-2
dV
V
= π y 2 dx = π x dx
=
=
Z
Z 4
0
Svar a)
Svar b)
dV
4
π x2 π · 42 π · 0
π x dx =
=
−
= π8
2 0
2
2
R4
0 π x dx
π8
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
cos x
− sin x
tan x
1 + tan 2 x =
JENSENvuxutbildning
NpMaE vt2005
f (x) + g (x)
Del 2 # 14
Cirkelns area A är
A = π r2
(0/3)
f ( x) ⋅ g ( x)
f ( x)
g ( x)
för Ma4
1
cos 2 x
21(24)
f ′(x) + g ′(x)
Kedjeregeln
( g ( x ) ≠ 0)
f ( x) ⋅ g ′( x) + f ′( x) ⋅ g ( x)
f ′( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ′( x)
dA
dr
( g ( x)) 2
när
= 1,5 m/s och radien ökat under 6 s från
dt
dt
noll till r = 1,5 m/s × 6 s = 9 m. I FORMELSAMLINGEN finns kedjeregeln:
där r är cirkelns radie. Efterfrågat är
Kedjeregeln
Om y = f ( z ) och z = g ( x) är två deriverbara funktioner
så gäller för y = f ( g ( x )) att
dy dy dz
= ⋅
y ′ = f ′( g ( x )) ⋅ g ′( x ) eller
dx dz dx
I vårt fall har vi
9 m 1,5 m/s
z}|{ z}|{
dA
dA dr
=
= 2π r
13-01-24dt
dr dt
dr
= 2π · 9 · 1,5 = 84, 8 ≈ 85 m2 /s.
dr
© Skolverket
Svar Arean ökar med 85 m2 /s
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
Del 2 # 16
NpMaE vt2005
(1/1/⊗)
för Ma4
22(24)
Komplext tal
Ett godtyckligt komplext tal i område B kan skrivas som
z = r eiϕ
där r > 1 och 0 < ϕ < π2 alternativt uttryckt i grader som 0◦ < ϕ < 90◦ . Då får vi
1
1 1
1
=
= e−iϕ .
iϕ
z
re
r
1
Givetvis gäller att < 1 då r > 1 och vinkeln −ϕ ligger i intervallet −π
< −ϕ < 0. Talet
2
r
1
hamnar i område F. Figuren illustrerar.
z
Im
A
C
B
D
Re
E
G
c G Robertsson
z = r ei ν
F
1
1
= e−i ν
z
r
H
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06
Parallelltrapets
A=
Cirkel
h( a + b)
2
JENSENvuxutbildning
Cirkelsektor
Del
2 # 17
A = πr 2 =
πd 2
4
O = 2πför
r =Ma4
πd
NpMaE vt2005
(3/3/⊗)
23(24)
Prisma
Rotationsvolym
V = Bh
v
Uppgiften
r konstruerad för att lösas med kunskap om integraler och rotationsvolymer
b=
⋅ 2 πär
men 360
kan lösas enklare med grundläggande kunskap om volymer hos koner och cylindrar
som finns
i 2FORMELSAMLINGEN.
Följande enkla lösning är sannolikt inte den
br
v
π
r
A
=
=
⋅
“avancerade”
lösning
som problemkonstruktören tänkt.
360
2
Cylinder
Pyramid
V = πr 2 h
V=
A = 2πrh
Bh
3
(Mantelarea)
Kon
V=
Klot
πr 2 h
3
A = πrs
V=
4πr 3
3
A = 4πr 2
(Mantelarea)
Likformighet
Skala
2
r+1
Trianglarna ABC
Areaskalan = (Längdskalan)
3
och DEF
Volymskalan
= (Längdskalan)
Med
h = är
r blir volymen av en kon med radien
r och
r
likformiga.
höjden
r
π r3
3
och skivan med inre radien r får en volym som är
skillnaden mellan två koner,
13-01-24Vskiva (r) = V (r + 1) − V (r)
π (r + 1)3 π r3
=
−
3
3
3
2
π (r + 3 r + 3 r + 1) π r3
=
−
3
3
π (3 r2 + 3 r + 1)
=
.
3
a b c V (r) =
= =
d e f
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
© Skolverket
r
r+1
2015-04-06
JENSENvuxutbildning
NpMaE vt2005
för Ma4
24(24)
r+1
r
Volymen av ringen med inre radien r blir skivans
volym Vskiva (r) minus volymen av en cylinder med
radien r och höjden h = 1.
π (3 r2 + 3 r + 1)
Vring (r) =
− π r2 · 1
3
|
{z
} | {z }
skiva
Vring (r) =
cylinder
r
r+1
π (3 r + 1)
.
3
Uppgiften gäller:
Undersök och beskriv hur tätningsringarnas volym förändras för varje centimeter
som radien ökar.
Vi får:
∆Vring = Vring (r) − Vring (r − 1)
π [3 r + 1] π [3 (r − 1) + 1]
−
=
3
3
π [3 r + 1] π [3 r − 2]
=
−
=π
3
3
Svar En tätningsring som får 1 cm större radie får π cm3 större volym.
c G Robertsson
buggar ⇒ [email protected]
2015-04-06