Inneh˚all - Kursplanering
Transcription
Inneh˚all - Kursplanering
JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 1(39) Innehåll Förord 2 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 3 Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7 MaB VT 2005 LÖSNINGAR Del I, 9 Digitala verktyg är INTE tillåtna Del I # 1 (4/0) Lös ekvationen . . . . . Del I # 2 (1/0) Statistik, variationsbredd Del I # 3 (2/0) Bestäm vinkeln . . . . . Del I # 4 (3/0) Räta linjen . . . . . . . Del I # 5 (2/0) Linjärt ekvationssystem Del I # 6 (2/0) Lös olikhet . . . . . . . Del I # 7 (0/2) Två tärningar . . . . . . Del I # 8 (0/1) Ge ekvationen för en linje Del II, Del Del Del Del Del Del Del Del Del Digitala verktyg II # 9 (2/0) II # 10 (2/1) II # 11 (4/0) II # 12 (0/2) II # 13 (0/2) II # 14 (3/2/⊗) II # 15 (0/3/⊗) II # 16 (0/2/⊗) II # 17 (3/4/⊗) c G Robertsson 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . är tillåtna Förenkla . . . . . . . . . . . . Sannolikhet . . . . . . . . . . Linjärt ekvationssystem, godis Likformighet . . . . . . . . . Röstning och bortfall . . . . . Grafer . . . . . . . . . . . . . Bildformat . . . . . . . . . . Geometriskt bevis . . . . . . Tändstickor och formler . . . buggar ⇒ [email protected] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 14 15 17 20 21 22 23 . . . . . . . . . 24 24 25 26 28 30 31 33 35 36 2015-04-15 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 2(39) Förord Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma 2. Innehållet i den äldre kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som är lämpliga till respektive kurs. 1 2 Ma 1 Ma 2a 1 Ma 2bc 1 2 3 4 5 3 4 5 4 5 6 7 8 9 6 7 ? ? 8 9 10 11 10 11 12 12 13 14 15 16 13 15 15 16 14 17 17 Kom ihåg • Matematik är att vara tydlig och logisk • Använd text och inte bara formler • Rita figur (om det är lämpligt) • Förklara införda beteckningar Du ska visa att du kan • Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning. • Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet. • Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang. • Värdera och jämföra metoder/modeller. • Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 NpMaB vt 2005 Version 1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med den 10 juni 2005. NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005 Anvisningar Provtid 240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder högst 60 minuter för arbetet med Del I. Hjälpmedel Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs B”. Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del. Del II: Miniräknare och ”Formler till nationellt prov i matematik kurs B”. Provmaterialet Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in. Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren. Redovisa därför ditt arbete på Del I på separat papper. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. Provet Provet består av totalt 17 uppgifter. Del I består av 8 uppgifter och Del II av 9 uppgifter. Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel. Uppgift 17 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt. Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete. Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning. Poäng och betygsgränser Provet ger maximalt 47 poäng. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning. Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några uppgifter är markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna. Undre gräns för provbetyget Godkänd: 14 poäng Väl godkänd: 27 poäng varav minst 6 vg-poäng. Mycket väl godkänd: Utöver kraven för Väl godkänd ska du ha visat prov på flertalet av de MVG-kvaliteter som de ¤-märkta uppgifterna ger möjlighet att visa. Du ska dessutom ha minst 12 vg-poäng. Namn: Komvux/gymnasieprogram: Skola: NpMaB vt 2005 Version 1 Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 1. 2. Lös ekvationerna a) x 2 + 2x − 8 = 0 (2/0) b) 40 x + 10 x 2 = 0 (2/0) Diagrammen nedan visar åldersfördelningen på tre olika arbetsplatser. Vilken arbetsplats har den största variationsbredden och hur stor är denna? Endast svar fordras (1/0) NpMaB vt 2005 Version 1 3. a) Bestäm vinkeln x (1/0) b) Vilket eller vilka av följande geometriska samband använde du då du bestämde vinkeln x? Endast svar fordras (1/0) A Pythagoras sats B Vinkelsumman i en triangel är 180° C Summan av sidovinklar är 180° D Yttervinkelsatsen E Topptriangelsatsen F Randvinkelsatsen 4. a) 5. Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet. Endast svar fordras (1/0) b) Avgör om punkten (−4, 11) ligger på linjen. (1/0) c) Rita ett koordinatsystem och rita in en linje som har 3 riktningskoefficienten k = Endast svar fordras 4 2 y + 2 x = 16 Lös ekvationssystemet y − 2 = 2x (1/0) (2/0) NpMaB vt 2005 Version 1 6. 7. a) Lös olikheten 3 x + 13 < 7 (1/0) b) Vilket eller vilka av följande x-värden uppfyller olikheten 3 x + 13 < 7 ? Endast svar fordras A −7 (1/0) B −6 C −2 D 2 E 6 F 7 Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1000 kronor på ett tärningsspel. Spelet går till så här, programledaren kastar två tärningar som du inte ser. Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. Om du gissar rätt vinner du 1000 kronor. 8. Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna? Motivera varför. (0/2) Ge ekvationen för en rät linje som aldrig skär grafen till funktionen y = x 2 − 4 x Endast svar fordras (0/1) NpMaB vt 2005 Version 1 Del II Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 9. 10. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( x − 4) 2 − 16 Endast svar fordras (1/0) b) x(2 x + 5) − 2(3 + x) Endast svar fordras (1/0) Det svenska damlandslaget i fotboll gjorde succé i oktober 2003 genom att ta silver i VM. Av truppens 20 spelare kom 6 från Umeå IK, lika många från Malmö FF och övriga från fyra andra klubbar. Vid ett tillfälle under VM skulle två spelare slumpmässigt plockas ut till ett dopingtest. a) b) 11. Hur stor var sannolikheten att den första spelaren som skulle dopingtestas kom från Umeå IK? Endast svar fordras (1/0) Hur stor var sannolikheten att båda spelarna som skulle dopingtestas kom från Umeå IK? (1/1) Patrik ska handla lösviktsgodis till sin mamma Ellen. Hon säger till Patrik att hon vill ha 5 hg godis och skickar med honom 30 kronor att handla för. I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar 7,90 kr/hg och det billigare 4,90 kr/hg. Patrik frågar sig: Är det möjligt att handla precis 5 hg godis för 30 kronor? Efter en stunds funderande kommer han på ett sätt att räkna ut det och ställer upp ekvationssystemet: x + y = 5 4,90 x + 7,90 y = 30 a) b) c) Förklara vad x och y betyder i ekvationssystemet. Endast svar fordras (1/0) Välj en av ekvationerna i ekvationssystemet och förklara vad ekvationen beskriver. Endast svar fordras (1/0) Lös ekvationssystemet och besvara sedan Patriks fråga ovan. (2/0) NpMaB vt 2005 Version 1 12. I alpina VM 2005 vann Anja Pärson tävlingen i Super-G i en bana som förenklat kan beskrivas av figuren nedan. Banan startar på höjden 2335 meter över havet (möh) och har en fallhöjd på 590 meter. Figuren är ej skalenlig Pontus står vid en liftstation en bit upp i banan och tittar på tävlingen. Hans höjdmätare visar att han är på 2000 meters höjd över havet. På en skylt vid liftstationen står det att liften går 1132 meter upp till startområdet, se figuren. Hur långt har tävlingsåkarna kvar att åka ner till målet när de passerar Pontus? 13. (0/2) I april 2003 röstade medborgarna i Ungern om medlemskap i EU. Vid sammanräkningen av rösterna visade det sig att 84 % röstade Ja till medlemskap i EU samt att 45 % av de röstberättigade deltog i valet. Undersök mellan vilka procenttal andelen Ja-röster skulle kunna ligga om samtliga röstberättigade hade deltagit i valet. (0/2) NpMaB vt 2005 Version 1 14. Var och en av situationerna I, II och III nedan passar in på var sin graf i figuren. I För många varor gäller att momsen motsvarar 20 % av varans pris. Momsens storlek är en funktion av varans pris. II Du ska bygga en rektangulär hundgård med 40 m stängsel. Hundgårdens area är en funktion av hundgårdens längd. III Från början finns det 50 bakterier i en odling. Varje timme ökar antalet bakterier med 20 %. Antalet bakterier är en funktion av tiden. a) Kombinera ihop situationerna I, II och III med funktionerna f, g och h. Endast svar fordras (2/0) b) Vilket y-värde ska stå vid punkten P? Endast svar fordras (1/0) c) Vilket x-värde ska stå vid punkten Q? Endast svar fordras (0/1) d) Ställ upp y som en funktion av x för situation II. (0/1/¤) NpMaB vt 2005 Version 1 15. De två vanligaste bildformaten för en tv-apparat är standardformat och bredbildsformat (wide-screen). För att beskriva storleken på en tv-apparat används längden av bildskärmens diagonal mätt i tum, se figur. En tum är ungefär 2,54 centimeter. Exempel: Ett vanligt format på en tv är 28” (28 tum). 4 av höjden. 3 16 En tv i bredbildsformat har en bildskärm där bredden är av höjden. 9 En tv i standardformat har en bildskärm där bredden är Utgå från två tv-apparater som båda har samma storlek, dvs. bildskärmens diagonal är lika stor för båda apparaterna, men där den ena är i standardformat och den andra i bredbildsformat. Bestäm vilket format som ger den största bildskärmsarean. 16. (0/3/¤) Figuren visar bokstaven M stående på ett horisontellt underlag. De två lika långa ”stödbenen” är lodräta. Visa att v = 2 x (0/2/¤) NpMaB vt 2005 Version 1 Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta hänsyn till: • Hur väl du genomför dina beräkningar • Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete • Hur väl du motiverar dina slutsatser • Vilka matematiska kunskaper du visar • Hur väl du använder det matematiska språket • Hur generell din lösning är 17. Den här uppgiften handlar om att bilda figurer med tändstickor. Det gäller att koppla ihop några enkla regelbundna månghörningar efter varandra till en rad. Exemplen nedan visar hur det går till för regelbundna trehörningar och fyrhörningar. Av 3 tändstickor kan man bilda 1 triangel. Av 5 tändstickor kan man bilda 2 trianglar. Av 7 tändstickor kan man bilda 3 trianglar lagda på rad. Det går att hitta ett samband mellan antal tändstickor och antalet ihopkopplade trianglar om dessa kopplas ihop till en rad på det sätt som visas i bilderna. I tabellen nedan är x antalet tändstickor och y antalet ihopkopplade trianglar. x 3 5 7 .. y 1 2 3 .. • Rita in punkterna i ett koordinatsystem. Punkterna ligger på en rät linje. Bestäm linjens ekvation på formen y = kx + m . • Hur många trianglar kan bildas av 20 tändstickor om du kopplar ihop trianglarna som i bilderna ovan? Kommentera ditt svar och dra en slutsats om antalet tändstickor som krävs för att bilda en rad av trianglar på detta sätt. NpMaB vt 2005 Version 1 • Vad händer om du istället lägger en rad av fyrhörningar på samma sätt som i bilderna nedan? Ange och beskriv ett samband mellan antalet tändstickor och antalet ihopkopplade fyrhörningar. En fyrhörning. Två fyrhörningar. Tre fyrhörningar lagda på rad. • En månghörning kallas ibland för n-hörning, där n är ett positivt heltal som anger antalet hörn. Tänk dig nu att du lägger en rad av en viss sorts n-hörningar som kopplas ihop på samma sätt som tidigare. Försök finna sambandet mellan antalet tändstickor och antalet ihopkopplade n-hörningar. Beskriv detta samband med ord och en formel. Motivera att ditt samband gäller för alla n-hörningar. (3/4/¤) NpMaB vt 2005 Version 1 JENSENvuxutbildning NpMaB Del I vt2005 13(39) Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får tillMaB VT 2005 LÖSNINGAR gång till din miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. Del I # 1 (4/0) Lös ekvationen 1(4) Ma2 1. Lös ekvationerna Formler till nationellt prov i matematik kurs 2 x + 2x − 8 = 0 a) 2 b) 40 x + 10 x 2 = 0 (2/0) (2/0) Algebra a) Lös ekvationen x2 + 2 x − 8 = 0. Använd FORMELSAMLINGEN 2. Diagrammen nedan visar åldersfördelningen på tre olika arbetsplatser. Regler Andragradsekvationer (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 x 2 + px + q = 0 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b)(a − b) = a − b 2 2 x=− 2 p p ± −q 2 2 0 = x2 + |{z} 2 x |{z} −8 Aritmetik p=2 q=−8 Vi får q √ Prefix x1 = −1 + 12 − (−8) = −1 + 9 = −1 + 3 = 2 q √ 2 − (−8) = −1 − 1 9 c= −1 m − 3 = −4 x = −1 − 2 T G M k h d µ tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro n p nano piko Svar a) x1 = 2 och x2 = −4 TIPS: Kontrollera alltid att lösningen uppfyller 1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 ekvationen. b) Lös ekvationen 0 = 40 x + 10 x2 Potenser Denna ekvation kan givetvis lösas med pq-formeln men den är lättare att lösa genom faktorisering. Dela upp xi faktorer 1 x + y 10 · (4 + a x) · axx − y a− x = x (a x ) y = a xy a x a y 0= a= | {z }y =|{z} a denna? a har x=0 Vilken arbetsplats den största variationsbredden och hur stor är x=−4 Endast svar fordras (1/0) x Svar b) x1 = −4 och 1 a x x2 =a 0 = a0 = 1 n =n a x a a xb x = (ab) x b b Logaritmer c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] y = 10 x ⇔ x = lg y lg x + lg y = lg xy lg x − lg y = lg x y lg x p = p ⋅ lg x 2015-04-15 Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 1. Lös ekvationerna x 2 + 2x − 8 = 0 vuxutbildning JENSENa) b) (2/0) 14(39) NpMaB vt2005 40 x + 10 x 2 = 0 Del I # 2 (2/0) (1/0) Statistik, variationsbredd Ma2 2. Diagrammen nedan visar åldersfördelningen på tre olika arbetsplatser. Vilken arbetsplats har den största variationsbredden och hur stor är denna? Endast svar fordras Företag högsta Hamburgerbar 35 IT-företag 50 Skola 58 lägsta 18 20 38 variationsbredd 17 30 20 (1/0) ⇐ störst Svar IT-företaget har störst variationsbredd, 30 år. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 JENSENvuxutbildning Del I # 3 (2/0) NpMaB vt2005 15(39) Bestäm vinkeln NpMaB vt 2005 Version 1 Ma2 3. a) Bestäm vinkeln x (1/0) b) Vilket eller vilka av följande geometriska samband använde du då du bestämde vinkeln x? Endast svar fordras (1/0) A Pythagoras sats B Vinkelsumman i en triangel är 180° C Summan av sidovinklar är 180° D Yttervinkelsatsen E Topptriangelsatsen F Randvinkelsatsen 4. a) 3. Bestäm vinkeln x. NpMaB vt 2005 Version 1 a) Bestäm vinkeln x 1:a varianten: yttervinkelsatsen ger (1/0) b) Vilket eller vilka av följande geometriska samband använde du då du 144◦ = 104◦ +bestämde x |{z} vinkeln x? Endast svar fordras (1/0) x=40◦ 2:a varianten:Avinkelsumman i en triangel är 180◦ Pythagoras sats ◦ ◦ ◦ 180 = (180 − 144 ) + 104◦ + x | } B {z Vinkelsumman i en|{z} triangel är 180° summan av sidovinklar x=40◦ a) CBestäm ekvationen för linjen är som är inritad i koordinatsystemet. Summan av sidovinklar 180° Endast svar fordras Svar a) Vinkeln är 40◦ D Yttervinkelsatsen b) om punkten (−4, 11) ligger på linjen. EAvgörTopptriangelsatsen c) FRita ett Randvinkelsatsen koordinatsystem och rita in en linje som har buggar ⇒ 3 [email protected] riktningskoefficienten k = Endast svar fordras 4 c G Robertsson (1/0) (1/0) 2015-04-15 (1/0) 4. 5. Lös ekvationssystemet 2 y + 2 x = 16 (2/0) JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 16(39) b) Vilket eller vilka av följande geometriska samband använde du då du bestämde vinkeln x? Svar b) A Pythagoras sats B Vinkelsumman i en triangel är 180◦ C Summan av sidovinklar är 180◦ D Yttervinkelsatsen E Topptriangelsatsen F Randvinkelsatsen c G Robertsson NEJ JA tillsammans med C JA tillsammans med B JA ensam NEJ NEJ buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 A Pythagoras sats B Vinkelsumman i en triangel är 180° C Summan av sidovinklar är 180° D Yttervinkelsatsen vux JENSEN utbildning E Topptriangelsatsen NpMaB vt2005 F Del I # 4 17(39) Randvinkelsatsen (3/0) Räta linjen Ma2 4. a) 5. Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet. Endast svar fordras (1/0) b) Avgör om punkten (−4, 11) ligger på linjen. (1/0) c) Rita ett koordinatsystem och rita in en linje som har 3 riktningskoefficienten k = Endast svar fordras 4 2 y + 2 x = 16 Lös ekvationssystemet y − 2 = 2x c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] (1/0) (2/0) 2015-04-15 JENSENvuxutbildning a) NpMaB vt2005 18(39) Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet. y (0, 3) x (4, −5) 2(4) Använd FORMELSAMLINGEN ekvationen för rät linje. Funktioner Räta linjen Andragradsfunktioner k= y = kx + m y2 − y1 x2 − x1 y = ax 2 + bx + c a≠0 Då x = 0 är y = m. Enligt figuren gäller att när x = 0 är y = 3, alltså har vi y = k x + 3. Potensfunktioner Exponentialfunktioner Återstår att bestämma k. Enligt FORMELSAMLINGEN gäller y2 − y1 x2 − x1 Med punkterna (0, 3) och (4, −5) får vi −5 − 3 = −2 k = 4−0 Geometri Svar a) y = −2 x + 3 y = C ⋅ xka = y = C ⋅ ax a > 0 och a ≠ 1 Parallellogram b)Triangel Avgör om punkten (−4, 11) ligger på linjen. Stoppa in x = −4 i linjens ekvationen x=−4 bhy = −2 x +3 A = |{z} 2 y=11 z}|{ Svar b) h( a + b) 2 c G Robertsson Cirkelsektor b= A = bh Punkten (−4, 11) ligger på linjen. Parallelltrapets A= det stämmer! v ⋅ 2 πr 360 Cirkel πd 2 4 O = 2πr = πd A = πr 2 = buggar ⇒ [email protected] Prisma V = Bh 2015-04-15 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 19(39) c) Det finns många linjer som har riktningskoefficienten 34 . y y y = 34 x + 2 y = 34 x ∆y = 3 ∆y = 3 ∆x = 4 Svar c) ∆x = 4 x x Se någon av figurerna ovan c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 a) b) Bestäm ekvationen för linjen som är inritad i koordinatsystemet. Endast svar fordras (1/0) Avgör om punkten (−4, 11) ligger på linjen. (1/0) c) Rita ett koordinatsystem och rita in en linje som har JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 3 riktningskoefficienten k = Endast svar fordras 4 Del I # 5 (2/0) 20(39) (1/0) Linjärt ekvationssystem Ma2 5. 2 y + 2 x = 16 Lös ekvationssystemet y − 2 = 2x Uppgiften är att lösa ekvationssytemet 2y + 2x = 16 y − 2 = 2x (2/0) 1:a ekvationen 2:a ekvationen De två ekvationerna är uppställda på ett rörigt sätt, x finns på både vänster och höger sida om likhetstecknet. Börja med att städa upp. Samla okända, x och y, på vänster sida och konstanta tal på höger sida om likhetstecknet. 2x + 2y = 16 1:a ekvationen −2 x + y = 2 2:a ekvationen Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x i andra ekvationen. Addera 1:a ekvationen till 2:a ekvationen. Vi får då: 2x + 2y = 16 1:a ekvationen −2 x+2 x + y+2 y = 2 + 16 ny 2:a ekvation innehåller bara y 2x + 2y = 16 1:a ekvationen 3y = 18 Lös y som blir y=6 Ekvationssystemet är nu triangulärt. Lös ekvationerna nerifrån och upp, bakåtsubstitution. 2x + Svar x=2 2y = 3y = 16 18 Lös x, med y=6 blir x=2 y=6 y=6. Kommentar Metoden som används ovan kallas triangulering och bakåtsubstitution och är ett systematiskt sätt att hitta lösningar till system av linjära ekvationer. För ett problem som detta med två obekanta behövs knappast någon systematisk metod. För stora problem med 10-tals, 100-tals eller 1000-tals obekanta behövs dock en systematisk metod. Redan problem med 3 obekanta kräver en systematisk metod. Stora problem kan naturligtvis inte hanteras med räkning för hand utan kräver dator. Professionella program för att lösa linjära ekvationssystem är Matlab (dyr licens) eller Octave (fritt) som båda använder triangulering och bakåtsubstitution. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 JENSENvuxutbildning Del I # 6 6. a) NpMaB vt2005 (2/0) 21(39) Lös olikhet NpMaB vt 2005 Version 1 Ma1 a) Lös olikheten 3 x + 13 < 7 (1/0) b) Vilket eller vilka av följande x-värden uppfyller olikheten 3 x + 13 < 7 ? Endast svar fordras A −7 (1/0) B −6 C −2 D 2 E 6 F 7 För olikheter gäller att du kan 7. Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1000 kronor på ett tärningsspel. • addera eller subtrahera ett tal från bägge sidor i en olikhet Spelet går till så dividera här, programledaren kastar tärningar ser. Du ska • multiplicera eller bägge sidor i en två olikhet medsom ett du talinte > 0. sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. • vid multiplikation eller division med ett negativt tal vänds olikheten. Alltså om a < b så är −a > −b. 3 x + 13 < 7 3 x + 13 −13 < 7 −13 3x < −6 x < −2 Svar a) subtrahera 17 från bägge sidor dividera bägge sidor med 3 x < −2. Om du gissar rätt vinner du 1000 kronor. b) Kontrollera alternativen A – F. på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att x Hur 3 xmånga + 13 prickar < 7 ska du gissa Falskt/Sant vinna? Motivera varför. A -7 −21 + 13 < 7 −8 < 7 SANT B -6 −18 + 13 < 7 −5 < 7 SANT C -2 −6 + 13 < 7 7<7 FALSKT D 8. 2 Ge ekvationen 6 + 13 < 7för en 19rät < linje 7 som FALSKT aldrig skär grafen till funktionen y = x 2 − 4 x E 6 18 + 13 < 7 31 < 7 FALSKT Endast svar fordras F 7 21 + 13 < 7 34 < 7 FALSKT Svar b) (0/2) (0/1) Alternativen A och B är uppfyllda. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 B −6 C −2 D 2 E 6 JENSENvuxutbildning F 7 Del I # 7 (0/2) NpMaB vt2005 22(39) Två tärningar Ma1 7. Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 1000 kronor på ett tärningsspel. Spelet går till så här, programledaren kastar två tärningar som du inte ser. Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. Om du gissar rätt vinner du 1000 kronor. Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna? Motivera varför. Vilket är det sannolikaste utfallet vid tärningskast med två sexsidiga 8. GeAv ekvationen för en rät linje som aldrig skär grafen till funktionen y = x 2 − 4x totalt kombinationer tärningar. de två tabellerna 1 — Endast svar fordras framgår att 7 är det sannolikaste 2 1+1 3 1+2 2+1 utfallet. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 4 5 6 ⇒7 8 9 10 11 12 13 1+3 1+4 1+5 1+6 2+2 2+3 2+4 2+5 2+6 3+1 3+2 3+3 3+4 3+5 3+6 4+1 4+2 4+3 4+4 4+5 4+6 5+1 5+2 5+3 5+4 5+5 5+6 (0/2) (0/1) 6+1 6+2 6+3 6+4 6+5 6+6 — Svar 7 är det mest sannolika utfallet. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 Om du gissar rätt vinner du 1000 kronor. vuxmånga JENSENHur utbildning prickar ska du gissa NpMaB på för att vt2005 ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna? Motivera varför. Del I # 8 8. (0/1) 23(39) (0/2) Ge ekvationen för en linje Ge ekvationen för en rät linje som aldrig skär grafen till funktionen y = x 2 − 4 x Endast svar fordras (0/1) 6 4 2 -6 -4 -2 2 4 6 -2 y = −5 -4 -6 Det finns naturligtvis många linjer som inte skär grafen till y = x2 − 4 x. En rät linje som aldrig skär grafen är y = −5. Svar Linjen y = −5 skär aldrig grafen. Kommentar Villkoret för att linjen y = k x + m ska skära grafen till y = x2 − 4 x är att ekvationen k x + m q = x2 − 4 x har (reella) lösningar. Rötterna till x2 − (4 + k) x − m = 0 är x1,2 = (2 + k2 ) ± (2 + k2 )2 + m som saknar lösning då (2 + k2 )2 + m < 0. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 NpMaB vt 2005 Version 1 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 24(39) Del II Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare. Del Observera II # 9 att arbetet (2/0) med DelFIIörenkla kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 1(4) 9. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt Endast svar fordras a) ( x − 4) − 16 Formler till nationellt prov i matematik kurs 2 2 x(2 x + 5) − 2(3 + x) b) Endast svar fordras (1/0) (1/0) Algebra a) FORMELSAMLINGEN, därgjorde finns succé 2:a kvadreringsregeln. 10. Använd Det svenska damlandslaget i fotboll i oktober 2003 genom att ta silver i VM. Av truppens 20 spelare kom 6 från Umeå IK, lika många från Regler Malmö FF och övriga från fyra andra klubbar. Andragradsekvationer 2 2 x 2 + px + q = 0plockas ut till ett (a + b) 2Vid = aett +tillfälle 2ab + bunder VM skulle två spelare slumpmässigt = a 2 − 2ab + b 2 (a − b) 2dopingtest. 2 p p 2 2 x = − ± −q (a + b)(a) a − b)Hur = a stor − bvar sannolikheten att den första spelaren som 2 2 skulle dopingtestas kom från Umeå IK? Endast svar fordras b) Hur stor var 2:a kvadreringsregeln ger sannolikheten att båda spelarna som skulle dopingtestas kom från Umeå IK? (x − 4)2 −16 = x2 − 8 x Aritmetik | {z (1/0) (1/1) } x2 −8 x+16 2 Prefix Svar a) x − 8 x alternativt (x − 8) · x. 11. Patrik ska handla lösviktsgodis till sin mamma Ellen. Hon säger till Patrik att hon vill med att G ha 5 hg M godiskoch skickar h d honom c 30 kronor m n för. p µ handla b) T 2 2kilo (3 två + hekto x) = 2priser x + på 3 centi xlösviktsgodis. − 6 milli mikro xgodisaffären (2 x + 5) −finns mega deci nano godiset piko kostar I giga olika Det dyrare {z } | {z } | 2 +5 x och 3billigare kr/hg.10-2 10-3 x 1012 7,90 1029 xkr/hg 106 det 106+2 102 4,90 10-1 10-6 10-9 10-12 2 Svar b) 2x + 3x − 6 Patrik frågar sig: Är det möjligt att handla precis 5 hg godis för 30 kronor? tera Efter en stunds funderande kommer han på ett sätt att räkna ut det och ställer upp ekvationssystemet: Potenser ax a xa y = a x+ y a y x = a x− y x + y =(a5x ) y = a xy 4,90 x + 7,90 y = 30 a− x = 1 ax x 1 a a x Förklara vad = a0 = 1 a) x och y betyder i ekvationssystemet. n =n a x a a b = (ab) b b Endast svar fordras x x b) Logaritmer c) c yG =Robertsson 10 x ⇔ x Välj en av ekvationerna i ekvationssystemet och förklara vad ekvationen beskriver. Endast svar fordras Lös ekvationssystemet och besvara sedan Patriks fråga ovan. buggar ⇒ [email protected] = lg y lg x + lg y = lg xy lg x − lg y = lg x y lg x p = p ⋅ lg x (1/0) (1/0) (2/0) 2015-04-15 Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 9. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( x − 4) 2 − 16 JENSENvuxutbildning b) x(2 x + 5) − 2(3 + x) Del II # 10 (2/1) Endast svar fordras NpMaB vt2005 Endast svar fordras (1/0) 25(39) (1/0) Sannolikhet Ma1 10. Det svenska damlandslaget i fotboll gjorde succé i oktober 2003 genom att ta silver i VM. Av truppens 20 spelare kom 6 från Umeå IK, lika många från Malmö FF och övriga från fyra andra klubbar. Vid ett tillfälle under VM skulle två spelare slumpmässigt plockas ut till ett dopingtest. a) b) a) Hur stor var sannolikheten att den första spelaren som skulle dopingtestas kom från Umeå IK? Endast svar fordras (1/0) Hur stor var sannolikheten att båda spelarna som skulle dopingtestas kom från Umeå IK? (1/1) Sannolikhet att första spelaren kommer från Umeå IK är 11. Patrik handlafrån lösviktsgodis antalska spelare Umeå IKtill sin6 mamma Ellen. Hon säger till Patrik att hon = 0,3 vill ha 5 hg godis och skickar med=honom 30 kronor att handla för. totala antalet spelare 20 I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar 3 och det billigare 4,90 kr/hg. Svar a) 7,90 0,3kr/hg alternativt alternativt 30%. 10 6 kronor? Patrik frågar sig: Är det möjligt attkommer handla precis hg godis . När första spelaren b) Sannolikheten att första spelaren från 5Umeå IK för är 30 20 är utplockad återstår 19 spelare varav 5 är från Umeå IK. Sannolikheten att andra en stunds kommer han på ett sätt att räkna ut det och ställer upp spelaren Efter kommer från funderande Umeå IK är ekvationssystemet: antal kvarvarande spelare från Umeå IK 5 = =5 totala antalet kvarvarande 19 x + y spelare Sannolikheten båda spelarna kommer x + 7Umeå ,90 y = IK 30 är 4,90från 6 5 · = 0,0789 ≈ 8% 19 a)20 Förklara vad x och y betyder i ekvationssystemet. Endast svar fordras (1/0) Svar b) 0,08 alternativt 8%. b) Välj en av ekvationerna i ekvationssystemet och förklara vad ekvationen beskriver. Endast svar fordras (1/0) c) c G Robertsson Lös ekvationssystemet och besvara sedan Patriks fråga ovan. buggar ⇒ [email protected] (2/0) 2015-04-15 Vid ett tillfälle under VM skulle två spelare slumpmässigt plockas ut till ett dopingtest. a) Hur stor var sannolikheten att den första spelaren som skulle dopingtestas kom från Umeå IK? Endast svar fordras vuxutbildning JENSENb) vt2005 som skulle dopingtestas kom Hur stor var sannolikhetenNpMaB att båda spelarna från Umeå IK? Del II # 11 11. (4/0) (1/0) 26(39) (1/1) Linjärt ekvationssystem, godis Patrik ska handla lösviktsgodis till sin mamma Ellen. Hon säger till Patrik att hon vill ha 5 hg godis och skickar med honom 30 kronor att handla för. I godisaffären finns två olika priser på lösviktsgodis. Det dyrare godiset kostar 7,90 kr/hg och det billigare 4,90 kr/hg. Patrik frågar sig: Är det möjligt att handla precis 5 hg godis för 30 kronor? Efter en stunds funderande kommer han på ett sätt att räkna ut det och ställer upp ekvationssystemet: x + y = 5 4,90 x + 7,90 y = 30 a) b) c) Svar a) Förklara vad x och y betyder i ekvationssystemet. Endast svar fordras (1/0) Välj en av ekvationerna i ekvationssystemet och förklara vad ekvationen beskriver. Endast svar fordras (1/0) Lös ekvationssystemet och besvara sedan Patriks fråga ovan. (2/0) x betyder vikt av billigt godis och y betyder vikt av dyrt godis. Svar b) Första ekvationen betyder att totala vikten av billigt och dyrt godis ska vara 5 hekto. Andra ekvationen betyder att priset av billigt och dyrt godis ska vara 30 kronor. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 JENSENvuxutbildning c) NpMaB vt2005 Ekvationerna som ska lösas är x + y = 4,90 x + 7,90 y = 5 30 27(39) 1:a ekvationen 2:a ekvationen Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x i andra ekvationen. Subtrahera 4,9 × 1:a ekvationen från 2:a ekvationen. Vi får då: x + y = 5 1:a ekvationen 4,90 x−4,90 x + 7,90 y−4,90 y = 30 − 4,90·5 ny 2:a ekvation innehåller bara y x x Svar c) + + y = 3,00 y = 5 5,50 1:a ekvationen 2:a ekvationen ger y = y = 3,00 y = 5 5,50 med y = 5,50 3 5,50 3 = 1,83 blir x=3,17 3,17 hekto billigt godis och 1,83 hekto dyrt godis. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 JENSENvuxutbildning Del II # 12 12. (0/2) NpMaB vt2005 28(39) Likformighet NpMaB vt 2005 Version 1 I alpina VM 2005 vann Anja Pärson tävlingen i Super-G i en bana som förenklat kan beskrivas av figuren nedan. Banan startar på höjden 2335 meter över havet (möh) och har en fallhöjd på 590 meter. Ma2 3(4) Figuren är ej skalenlig Kon Klot πr 2 h 3 A = πrs (Mantelarea) 4πr 3 3 A = 4πr 2 V= V= Pontus står vid en liftstation en bit upp i banan och tittar på tävlingen. Hans höjdSkala mätare visar att han är på 2000 meters höjd över havet. På en skylt vid lift2 stationen till startområdet, se figuren. Trianglarna ABC står det att liften går 1132 meter upp Areaskalan = (Längdskalan) och DEF är Volymskalan = (Längdskalan)3 likformiga. Hur långt har tävlingsåkarna kvar att åka ner till målet när de passerar Pontus? (0/2) Likformighet a b c = = d e f Använd FORMELSAMLINGEN där finns topptriangelsatsen och transversalsatsen. 13. I april 2003 röstade medborgarna i Ungern om medlemskap i EU. Vid sammanräkningen av rösterna visade det sig att 84 % röstade Ja till medlemskap i EU samt attoch 45 % av de röstberättigade deltog i valet. TopptriangelBisektrissatsen transversalsatsen Undersök mellan vilka procenttal andelen Ja-röster skulle kunna ligga om Om DE är parallell samtliga röstberättigade hade deltagit i valet. AD = AC med AB gäller BD BC DE CD CE och = = AB AC BC (0/2) CD CE = AD BE Inför beteckningar (A, B, C, D och E) enligt figuren nedan. Vinklar u + v = 180° Sidovinklar w=v Vertikalvinklar c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] L1 skär två parallella linjer L2 och L3 v=w Likbelägna vinklar u=w Alternatvinklar 2015-04-15 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 2335 m 590 m C 2000 m 255 m D 1745 m A 0m skalenlig figur 29(39) CE =1132 m BE = x m E B Använd transversalsatsen CD CE = AD BE ger 590 − 255 1132 = 255 x x = 1132 · 255 = 861,67 ≈ 862 590 − 255 Svar 862 m. Kommentar Det finns flera olika varianter på lösning som ger rätt svar. Kommentar Indata är givna som hela meter. Då är det lämpligt att svara med hela meter. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 Pontus står vid en liftstation en bit upp i banan och tittar på tävlingen. Hans höjdmätare visar att han är på 2000 meters höjd över havet. På en skylt vid liftstationen står det att liften går 1132 meter upp till startområdet, se figuren. JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 Hur långt har tävlingsåkarna kvar att åka ner till målet när de passerar Pontus? Del II # 13 13. (0/2) 30(39) (0/2) Röstning och bortfall I april 2003 röstade medborgarna i Ungern om medlemskap i EU. Vid sammanräkningen av rösterna visade det sig att 84 % röstade Ja till medlemskap i EU samt att 45 % av de röstberättigade deltog i valet. Undersök mellan vilka procenttal andelen Ja-röster skulle kunna ligga om samtliga röstberättigade hade deltagit i valet. (0/2) 45% av befolkningen har röstat. Av dessa 45% har 84% röstat JA. Totalt av befolkningen har 0,45×0,84 = 0,387 röstat JA. Detta är det minsta antalet tänkbara JA-röster. Om alla 55% som avstod att rösta valde JA blir andelen JA-röster 0,378+0,55=0,928. Svar Antalet JA-röster kan vara från lägst 37,8% till högst 92,8%. Kommentar Ett alternativt sätt att lösa problemet på är att konstatera att 100-84=16% av de röstande valt NEJ. Dessa utgör andelen 0,45×0,16= 0,072 av befolkningen. Om hela övriga befolkningen röstar JA så blir andelen JA-röster 1,00−0,072=0,928. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 JENSENvuxutbildning Del II # 14 14. (3/2/⊗) NpMaB vt2005 31(39) Grafer NpMaB vt 2005 Version 1 Var och en av situationerna I, II och III nedan passar in på var sin graf i figuren. I För många varor gäller att momsen motsvarar 20 % av varans pris. Momsens storlek är en funktion av varans pris. II Du ska bygga en rektangulär hundgård med 40 m stängsel. Hundgårdens area är en funktion av hundgårdens längd. III Från början finns det 50 bakterier i en odling. Varje timme ökar antalet bakterier med 20 %. Antalet bakterier är en funktion av tiden. a) Kombinera ihop situationerna I, II och III med funktionerna f, g och h. Endast svar fordras (2/0) b) Vilket y-värde ska stå vid punkten P? Endast svar fordras (1/0) c) Vilket x-värde ska stå vid punkten Q? Endast svar fordras (0/1) d) Ställ upp y som en funktion av x för situation II. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] (0/1/¤) 2015-04-15 Momsens storlek är en funktion av varans pris. II Du ska bygga en rektangulär hundgård med 40 m stängsel. Hundgårdens area är en funktion av hundgårdens längd. III Från början finns det 50 bakterier i en odling. Varje timme ökar antalet JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 bakterier med 20 %. Antalet bakterier är en funktion av tiden. Svar a) 32(39) Rätta kombinationer är HUNDGÅRD BAKTERIE MOMS a) Kombinera ihop situationerna I, II och III med funktionerna f, g och h. Svar b) Det ska stå 50 vid punkten P då det från början fanns 50 bakterier i odlingen. Endast svar fordras (2/0) Svar c)b) Det ska y-värde stå 20 vid Q. P? Vilket ska punkten stå vid punkten Endast svar fordras (1/0) d) Den hundgården en sida x metersvar ochfordras en sida som är(0/1) z c) rektangulära Vilket x-värde ska stå vid har punkten Q? som är Endast meter. Hundgårdens omkrets är x + z + x + z = 40 meter. Detta ger 2 x + 2 z = 40 eller förenklatd)z =Ställ 20 −upp x. Arean y funktion = x · z =avxx(20 x). II. y som en för − situation (0/1/¤) Svar d) y = x (20 − x). c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 JENSENvuxutbildning Del II # 15 15. (0/3/⊗) NpMaB vt2005 33(39) Bildformat NpMaB vt 2005 Version 1 De två vanligaste bildformaten för en tv-apparat är standardformat och bredbildsformat (wide-screen). För att beskriva storleken på en tv-apparat används längden av bildskärmens diagonal mätt i tum, se figur. En tum är ungefär 2,54 centimeter. Exempel: Ett vanligt format på en tv är 28” (28 tum). 4 av höjden. 3 16 En tv i bredbildsformat har en bildskärm där bredden är av höjden. 9 En tv i standardformat har en bildskärm där bredden är Utgå från två tv-apparater som båda har samma storlek, dvs. bildskärmens diagonal är lika stor för båda apparaterna, men där den ena är i standardformat och den andra i bredbildsformat. Bestäm vilket format som ger den största bildskärmsarean. (0/3/¤) Enligt Pythagoras gäller 2 2 höjd2 +visar bredd = diagonal 16. Figuren bokstaven M stående på ett horisontellt underlag. De två lika långaatt ”stödbenen” är lodräta. Enligt uppgiften gäller bredd bildformat Visa att v = 2=x höjd vilket ger bredd = bildformat × höjd (0/2/¤) och med Pythagoras enligt ovan får vi höjd2 + bildformat2 × höjd2 = diagonal2 c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 JENSENvuxutbildning höjd2 = NpMaB vt2005 34(39) diagonal2 . 1 + bildformat2 Bildens area är area = bredd × höjd area = bildformat × höjd × höjd diagonal2 bildformat 2 area = bildformat × . 2 = diagonal × 1 + bildformat 1 + bildformat2 I bråket förkommer bildformat linjärt i täljaren kvadratiskt i nämnaren. Detta betyder att area minskar när bildformat ökar (bildformat>1). En bredare bild ger ett större värde på bildformat och därmed en mindre bildyta, area, under förutsättning att diagonalen är blir ytan 43% av konstant. Med formatet 34 blir ytan 48% och med formatet 16 9 diagonalmåttet i kvadrat. Notera att uppgiften 28 tum inte påverkar resonemanget. (Formatet 11 ger största bildytan men detta hör inte till uppgiften.) Svar Standardformatet c G Robertsson 4 3 ger största bildytan för ett givet mått på bildytans diagonal. buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 En tv i bredbildsformat har en bildskärm där bredden är 9 av höjden. Utgå från två tv-apparater som båda har samma storlek, dvs. bildskärmens diagonal är lika stor för båda apparaterna, men där den ena är i standardformat och den Likformighet Skala andra i bredbildsformat. vuxABC JENSEN utbildning NpMaB vt2005 35(39) Trianglarna Areaskalan = (Längdskalan)2 Bestäm vilket format som ger den största bildskärmsarean. (0/3/¤) och DEF är Volymskalan = (Längdskalan)3 likformiga. Del a bII c# 16 d = = (0/2/⊗) Geometriskt bevis e f 16. Figuren visar bokstaven M stående på ett horisontellt underlag. De två lika långa ”stödbenen” är lodräta. Visa att v = 2 x Topptriangel- och transversalsatsen Bisektrissatsen Om DE är parallell med AB gäller (0/2/¤) AD AC = BD BC DE CD CE och = = AB AC BC CD CE = AD BE Använd FORMELSAMLINGEN där finns hjälp med ord som sidovinklar, vertikalvinklar, likbelägna vinklar och alternatvinklar. Vinklar u + v = 180° Sidovinklar w=v Vertikalvinklar L1 skär två parallella linjer L2 och L3 v=w Likbelägna vinklar u=w Alternatvinklar Drag en lodrät linje mitt emellan de de två “stödbenen”. 13-01-24 x x x x Vi får två par av alternatvinklar. Av figuren framgår att v = 2 x. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] © Skolverket Vilket skulle visas. 2015-04-15 JENSENvuxutbildning Del II # 17 NpMaB vt2005 36(39) vt 2005 Version 1och formler (3/4/⊗) NpMaB Tändstickor Ma1 Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta hänsyn till: • Hur väl du genomför dina beräkningar • Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete • Hur väl du motiverar dina slutsatser • Vilka matematiska kunskaper du visar • Hur väl du använder det matematiska språket • Hur generell din lösning är 17. Den här uppgiften handlar om att bilda figurer med tändstickor. Det gäller att koppla ihop några enkla regelbundna månghörningar efter varandra till en rad. Exemplen nedan visar hur det går till för regelbundna trehörningar och fyrhörningar. Av 3 tändstickor kan man bilda 1 triangel. Av 5 tändstickor kan man bilda 2 trianglar. Av 7 tändstickor kan man bilda 3 trianglar lagda på rad. Det går att hitta ett samband mellan antal tändstickor och antalet ihopkopplade trianglar om dessa kopplas ihop till en rad på det sätt som visas i bilderna. I tabellen nedan är x antalet tändstickor och y antalet ihopkopplade trianglar. x 3 5 7 .. y 1 2 3 .. • Rita in punkterna i ett koordinatsystem. Punkterna ligger på en rät linje. Bestäm linjens ekvation på formen y = kx + m . • Hur många trianglar kan bildas av 20 tändstickor om du kopplar ihop trianglarna som i bilderna ovan? Kommentera ditt svar och dra en slutsats om antalet tändstickor som krävs för att bilda en rad av trianglar på detta sätt. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 37(39) NpMaB vt 2005 Version 1 • Vad händer om du istället lägger en rad av fyrhörningar på samma sätt som i bilderna nedan? Ange och beskriv ett samband mellan antalet tändstickor och antalet ihopkopplade fyrhörningar. En fyrhörning. Två fyrhörningar. Tre fyrhörningar lagda på rad. • En månghörning kallas ibland för n-hörning, där n är ett positivt heltal som anger antalet hörn. Tänk dig nu att du lägger en rad av en viss sorts n-hörningar som kopplas ihop på samma sätt som tidigare. Försök finna sambandet mellan antalet tändstickor och antalet ihopkopplade n-hörningar. Beskriv detta samband med ord och en formel. Motivera att ditt samband gäller för alla n-hörningar. (3/4/¤) Uppgiften består av bakgrundsinformation och fyra deluppgifter. 2(4) 1:a deluppgiften: rita in punkterna i ett koordinatsystem. Punkterna ligger på en rät linje. Bestäm linjens ekvation på formen y = k x + m. Använd FORMELSAMLINGEN. Funktioner Räta linjen y = kx + m Andragradsfunktioner k= y2 − y1 x2 − x1 y = ax 2 + bx + c Potensfunktioner Enligt FORMELSAMLINGEN gäller a≠0 Exponentialfunktioner y2 − y1 a > 0 och a ≠ 1 y = C ⋅ ax . x2 − x1 Välj två punkter ur tabellen. Vi väljer de två första 2−1 1 k = = . 5−3 2 Geometri Vi har nu 1 y = x + m. 2 Triangel Parallellogram y = C ⋅ kx a = bh c G Robertsson A= A = bh buggar ⇒ [email protected] 2 Parallelltrapets Cirkel 2015-04-15 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 38(39) Bestäm m. Välj en punkt i tabellen, exempelvis x = 5 och y = 2. Stoppa in x = 5 och y = 2 i linjens ekvation y=2 x=5 z}|{ z}|{ y = 1 x + m 2 |{z} m= −1 2 ut trillar m = − 21 . Linjens ekvation blir 1 1 y = x− . 2 2 Rita punkterna och linjen i ett koordinatsystem. y 3 2 1 3 Svar 1:a deluppgiften 5 7 x Linjens ekvation blir y = 12 x − 21 . 2:a deluppgiften: hur många trianglar kan bildas av 20 tändstickor Använd formeln y = 12 x − 12 med x = 20. Vi får då y = 9,5 men eftersom det inte finns halva trianglar är svaret 9 trianglar. Du får absolut inte använda matematikens regler för avrundning här. Svar 2:a deluppgiften 9 hela trianglar. 3:e och 4:e deluppgiften Varje gång vi utökar ett antal n-hörningar med ytterligare en n-hörning krävs n − 1 tänstickor eftersom vi utnyttjar en tändsticka av de tidigare lagda stickorna. En ökning av antalet tändstickor x med n − 1 ska alltså ge en ökning av antalet n-hörningar y med 1 enhet. Vi kan då skriva upp formeln x +m n−1 där m är okänd. För att bestäma m konstaterar vi att då x = n är y = 1 vilket ger −1 m= . Det sökta sambandet är n−1 x 1 y = − . n−1 n−1 y = c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2005 39(39) Svar 3:e deluppgiften För fyrhörningen gäller att n = 4 vilket ger y = Svar 4:e deluppgiften För n-hörningen gäller y = x 1 − 3 3 x 1 − n−1 n−1 3-hörning (triangel) utökas med 2 sidor 4-hörning utökas med 3 sidor, gäller också icke symmetriska 4-hörningar 5-hörning utökas med 4 sidor, gäller också icke symmetriska 5-hörningar 6-hörning utökas med 5 sidor, gäller också icke symmetriska 6-hörningar c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-15