Inneh˚all - Kursplanering
Transcription
Inneh˚all - Kursplanering
JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 1(29) Innehåll Förord 2 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2000 3 MaB VÅREN Uppgift # 1 Uppgift # 2 Uppgift # 3 Uppgift # 4 Uppgift # 5 Uppgift # 6 Uppgift # 7 Uppgift # 8 Uppgift # 9 Uppgift #10 Uppgift #11 Uppgift #12 Uppgift #13 Uppgift #14 Uppgift #15 c G Robertsson 2000 (2p) (2p) (1p) (2p) (3p) (1p) (2p) (3p) (2p) (2p) (3p) (3p) (6p) (3p) (3p) LÖSNINGAR 2:a gradsekvation . . . . . . . . . . . . . . . Räta linjen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vilken funktion ger grafen? . . . . . . . . . Linjärt ekvationssystem . . . . . . . . . . . Fyrsidig tärning . . . . . . . . . . . . . . . Olikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rät linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalfördelning . . . . . . . . . . . . . . . Pariserhjul och randvinkelsatsen . . . . . . Sannolikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linjära grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . 2:a gradsfunktion och linjärt ekvationssytem Likformighet, läsbarhet . . . . . . . . . . . Rät linje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . buggar ⇒ [email protected] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 21 22 25 27 2015-04-11 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 2(29) Förord Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma 2. Innehållet i den äldre kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som är lämpliga till respektive kurs. 1 Ma Ma Ma Ma 1 2 2a 2bc 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 5 6 7 15 1 2 3 4 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Kom ihåg • Matematik är att vara tydlig och logisk • Använd text och inte bara formler • Rita figur (om det är lämpligt) • Förklara införda beteckningar Du ska visa att du kan • Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning. • Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet. • Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang. • Värdera och jämföra metoder/modeller. • Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 Np MaB vt 2000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 § sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av juni 2010. Anvisningar Provtid 180 minuter utan rast. Hjälpmedel Miniräknare och formelsamling. Formelblad bifogas provet. Provmaterialet Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv ditt namn, komvux/gymnasieprogram och födelsedatum på de papper du lämnar in. Provet Provet består av 15 uppgifter. Till de flesta uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs • att du skriver ned vad du gör • att du förklarar dina tankegångar • att du ritar figurer vid behov • att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel. Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara svaret anges. Pröva på alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Betygsgränser Ansvarig lärare meddelar de gränser som gäller för betygen ”Godkänd” och ”Väl godkänd”. Provet ger maximalt 38 poäng. Np MaB vt 2000 1. Lös ekvationen x 2 − 6 x + 8 = 0 (2p) 2. Rita en rät linje i ett koordinatsystem. Ange riktningskoefficienten för linjen. (2p) Vilken av funktionerna kan ge den graf du ser i figuren? Endast svar fordras (1p) 3. y 4. 5. y = x2 + 3 e) f) y = −x2 + 3 y = −x2 − 3 2 x + y = 11 Lös ekvationssystemet 3x − 2 y = 34 (2p) I vissa rollspel används en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är numrerade 1, 2, 3 och 4. a) b) 6. y = 2x + 3 y = 2x − 3 y = −2 x + 3 a) b) c) d) Hur stor är sannolikheten att man får en etta då man kastar denna tärning? Endast svar fordras (1p) Hur stor är sannolikheten att man får sammanlagt summan 5 om man kastar tärningen två gånger? (2p) Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1 Endast svar fordras (1p) Np MaB vt 2000 7. 8. Punkterna ( 3, 2 ) och ( − 1, 4 ) ligger på linjen y = kx + m. Bestäm värdet på konstanterna k respektive m. (2p) Beräkna längden av triangelns kortaste sida. (3p) (cm) x + 7,2 x 13,0 9. Ulf och Lina ska fiska kräftor. Reglerna säger att man får fiska med fyra burar och bara behålla de kräftor som är minst 11 cm långa. Mindre kräftor måste läggas tillbaka i ån. Man kan anta att längden på kräftorna är normalfördelad med medelvärdet 12,2 cm och standardavvikelsen 1,2 cm. När fisket är avslutat har Ulf och Lina med sig 60 st kräftor hem. Hur många kräftor bör de ha fått totalt? 10. (2p) I pariserhjulet Riesenrad i Wien finns 15 korgar, placerade lika långt från varandra (se figur). Tänk dig att du själv åker i korg A. Du har med en kamera och vill fotografera tre andra korgar som dina vänner åker i. Hur stor måste bildvinkeln v vara för att du ska få en bild på det sätt som figuren visar? (2p) Np MaB vt 2000 11. 4 7 3 6 a) b) 3 7 3 6 4 6 2 6 Ovan ser du ett träddiagram. Ge ett förslag på en händelse som kan beskrivas av diagrammet. (2p) Formulera en fråga som besvaras med den uträknade sannolikheten: (1p) 3 2 1 P= ⋅ = 7 6 7 12. y = f (x) y I figuren till vänster visas graferna till de två ekvationerna y = f ( x ), y = h( x ) a) Bestäm h(0) Endast svar fordras b) Bestäm det x-värde för vilket h( x ) = 0 Endast svar fordras c) Använd figuren för att bestämma lösningen till ekvationssystemet y = f ( x) y = h( x ) Endast svar fordras (1p) 1 1 y = h (x) x (1p) (1p) Np MaB vt 2000 13. Calle jobbar hos en datorspeltillverkare och gör ett fotbollsspel. f (x) mittlinje För att beskriva bollbanan sedd uppifrån för skruvade skott mot mål väljer Calle en funktion f ( x ) = 0,005 x 2 + 0,15 x där x meter är avståndet från origo mot målet och f (x) meter är bollens avvikelse från planens ”mittlinje” (se figur). a) Hur många meter från ”mittlinjen” är bollen efter 10 meter i x-led? (1p) b) Hur långt från målet är skytten om bollen går i mål vid målvaktens högra stolpe? Målet är 7,32 meter brett. (2p) g (x) Calle tänker använda en annan funktion som beskriver bollbanan sedd från sidan för t.ex. inspark. Han väljer funktionen g ( x ) = ax 2 + bx , där x är avståndet från origo mätt längs marken och g (x) är bollens höjd över marken c) Beräkna a och b, om bollen efter 10 meter i x-led är 4 meter över marken och efter 20 meter i x-led slår ner i marken igen. (3p) Np MaB vt 2000 14. När Karin är på Gran Canaria ser hon ett mindre flygplan som har en reklambanderoll efter sig. Hon funderar på ungefär hur höga bokstäverna ska vara för att budskapet ska kunna läsas från marken. Karin bedömer att planet flyger på ca 300 meters avstånd. Gör egna uppskattningar av de mått du behöver och hjälp Karin att beräkna ett ungefärligt värde på hur höga bokstäverna är. (3p) 300 m Figurerna ej skalenligt ritade. 15. y A En rät linje genom punkten (2, 3) skär positiva y-axeln i A och positiva x-axeln i B, se figur. Punkten B har en x-koordinat som är tre gånger så stor som y-koordinaten för punkten A. Bestäm y-koordinaten för punkten A exakt. (3p) (2, 3) B x JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 9(29) 1(4) MaB VÅREN 2000 LÖSNINGAR Formler till nationellt prov matematik kurs 2 Np MaB vti2000 Uppgift # 1 (2p) 2:a gradsekvation Ma2 1. Lös ekvationen x − 6 x + 8 = 0 2 (2p) Algebra Använd FORMELSAMLINGEN. 2. Rita en rät linje i ett koordinatsystem. Regler Ange riktningskoefficienten för linjen. Andragradsekvationer (2p) x 2 + px + q = 0 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 2 3. Vilken av funktionerna kan ge den graf du ser i figuren? p p 2 2 x = − ±Endast − qfordras svar (a + b)(a − b) = a − b 2 2 (1p) y a) y = 2x + 3 2 x −·x3+ 8 . 0 b)= xy2 =−6 |{z} |{z} Aritmetik c) y =p=−6 −2 x + 3 q=8 2 y =q√ x= +83får vi Med p =d)−6 och √ Prefix x1 e)= 3y+= − x322 +−38 = 3 + 1 = 3 + 1 = 4 √ x2 f)= 3y−= − x322 −−38 = 3 − 1 = 2. T G M k h d c m µ n p tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 Svar x1 = 4 och x2 = 2 2 x + y = 11 Lös ekvationssystemet 3x − 2 y = 34 Potenser 4. ax 1 x− y x y xy a− x = x a = ( a ) = a a a =a a ay 5. I vissa rollspel används en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är numrerade 1, 2, 3x och 4. x 1 a a = x x x a0 = 1 n =n a x a a b = (a)ab) Hur stor är att man får en etta då man kastar denna tärning? b sannolikheten b Endast svar fordras x y x+ y b) (2p) (1p) Hur stor är sannolikheten att man får sammanlagt summan 5 om man kastar Logaritmer tärningen två gånger? (2p) y = 10 x ⇔ x = lg y 6. Ange ett tal x som är sådant att x3x + 5 < x − 1 Endast svar fordras lg x − lg y = lg lg x + lg y = lg xy lg x p = p ⋅ lg x y c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] (1p) 2015-04-11 Np MaB vt 2000 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 1. Lös ekvationen x 2 − 6 x + 8 = 0 Uppgift # 2 2. (2p) 10(29) (2p) Räta linjen Ma1 Ma2 Rita en rät linje i ett koordinatsystem. Ange riktningskoefficienten för linjen. (2p) Det finns många linjer. Välj något enkelt. Tag linjen y = x. Den går genom origo och har riktningskoefficienten (lutningen) k= 1.graf du ser i figuren? 3. Vilken av funktionerna kan ge den Endast svar fordras (1p) y a) b) c) d) e) f) y = 2x + 3 y = 2x − 3 y = −2 x + 3 y = x2 + 3 y = −x2 + 3 y = −x2 − 3 y y=x x Svar Se figuren ovan. 2 x + y = 11 4. Lös ekvationssystemet 3x − 2 y = 34 5. I vissa rollspel används en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är numrerade 1, 2, 3 och 4. a) b) 6. (2p) Hur stor är sannolikheten att man får en etta då man kastar denna tärning? Endast svar fordras (1p) Hur stor är sannolikheten att man får sammanlagt summan 5 om man kastar tärningen två gånger? (2p) Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1 c G Robertsson Endast svar fordras buggar ⇒ [email protected] (1p) 2015-04-11 Np MaB vt 2000 1. Lös ekvationen x 2 − 6 x + 8 = 0 (2p) JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 2. Rita en rät linje i ett koordinatsystem. Ange riktningskoefficienten för linjen. Uppgift # 3 (1p) 11(29) (2p) Vilken funktion ger grafen? Ma2 3. Vilken av funktionerna kan ge den graf du ser i figuren? Endast svar fordras (1p) y a) b) c) d) e) f) y = 2x + 3 y = 2x − 3 y = −2 x + 3 y = x2 + 3 y = −x2 + 3 y = −x2 − 3 Fall Kommentarer a) NEJ rät linje stämmer inte med figuren b) NEJ rät linje stämmer inte med figuren c) NEJ rät linje stämmer x + ymed = 11 figuren 2 inte Lös ekvationssystemet figuren är y(0) > 0. MÖJLIGT alternativ d)4. y(0) = 3. Enligt 3x − 2 y = 34 e) y(0) = 3. Enligt figuren är y(0) > 0. MÖJLIGT alternativ f) NEJ y(0) = −3. Enligt figuren är y(0) > 0. INTE möjligt alternativ (2p) Undersök alternativ och e).en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är 5. I vissa rollspeld)används numrerade 1, 2, 3 och 4. Fall Kommentarer 2 är sannolikheten en etta dåinte manmed kastar denna tärning? d) y a) = xHur +stor 3 har minimum föratt x man = 0.får Stämmer figuren. Endast svar fordras e) y = −x2 + 3 har maximum för x = 0. Stämmer med figuren. (1p) b) Hur stor är sannolikheten man får sammanlagt summan 5 om man kastar Svar Alternativ e passar ihop med att grafen i uppgiften. tärningen två gånger? (2p) 6. Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1 c G Robertsson Endast svar fordras buggar ⇒ [email protected] (1p) 2015-04-11 b) c) y = 2x − 3 y = −2 x + 3 d) e) y = x2 + 3 y = −x2 + 3 y = −x2 − 3 JENSENf)vuxutbildning Uppgift # 4 (2p) NpMaB vt2000 12(29) Linjärt ekvationssystem Ma2 4. 2 x + y = 11 Lös ekvationssystemet 3x − 2 y = 34 (2p) 2x + y = 11 1:a ekvationen används en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är 3 x 5. − I vissa 2 y rollspel = 34 2:a ekvationen numrerade 1, 2, 3 och 4. Strategi: Behåll 1:a ekvationen och eliminera (ta bort) koefficienten (talet) framför x a) Hur stor är sannolikheten att man får en etta då man kastar denna tärning? i andra ekvationen. Subtrahera 1,5 × 1:a ekvationen från 2:a ekvationen. Vi får då: Endast svar fordras (1p) 2x 2x + b) y Hur =stor är 11sannolikheten 1:a ekvationen att man får sammanlagt summan 5 om man kastar 17,5 = −5 − 3,5 y tärningen = 17,5 ny 2:a ekvationen ger y = −3,5 två gånger? (2p) + y = 11 med y = −5 blir x = 8 − 3,5 y = 17,5 6. Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1 Endast svar fordras (1p) Svar x = 8 och y = −5. Kommentar Ovanstående sätt att lösa linjära ekvationssystem kallas Gauss-elimination (triangulering) med bakåtsubstitution och är det bästa sättet för system med fler obekanta. System med två obekanta är lätt att lösa utan “metod”. Alternativ lösning 2x + y = 11 1:a ekvationen 3x − 2y = 34 2:a ekvationen Eliminera y ur 1:a ekvationen. Vi får y = 11−2 x Använd denna ekvation för att eliminera y ur 2:a ekvationen som blir 3 x − 2·(11−2 x) = 34 3x − 22 +4 x = 34 7x = 34 + 22. Detta ger x = 8. Sätt in x = 8 i någon av de två ekvationerna, då blir y = −5. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 vuxutbildning = 11 2 x + y NpMaB JENSEN vt2000 4. Lös ekvationssystemet 3x − 2 y = 34 Uppgift # 5 (3p) 13(29) (2p) Fyrsidig tärning Ma1 5. I vissa rollspel används en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är numrerade 1, 2, 3 och 4. a) b) a) 6. Hur stor är sannolikheten att man får en etta då man kastar denna tärning? Endast svar fordras (1p) Hur stor är sannolikheten att man får sammanlagt summan 5 om man kastar tärningen två gånger? (2p) Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1 sannolikheten att få en etta är = Svar a) Sannolikheten att få en etta är Endast svar fordras (1p) antal utfall med en etta 1 = totala antalet utfall 4 1 eller 0,25. 4 b) I tabellen visas alla möjliga utfall vid två kast med en 4-sidig tärning. antal prickar 2 3 4 ⇒5 6 7 8 kombinationer 1+1 1+2 1+3 1+4 sannolikheten att få summan 5 är = Svar b) 2+1 2+2 3+1 2+3 3+2 4+1 2+4 3+3 4+2 3+4 4+3 4+4 4 1 antal utfall med summan 5 = = totala antalet utfall 16 4 Sannolikheten att få summan 5 är c G Robertsson 1 eller 0,25 4 buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 5. I vissa rollspel används en regelbunden fyrsidig tärning (en tetraeder). Sidorna är numrerade 1, 2, 3 och 4. a) Hur stor är sannolikheten att man får en etta då man kastar denna tärning? Endast svar fordras (1p) vuxutbildning JENSENb) NpMaB Hur stor är sannolikheten att man fårvt2000 sammanlagt summan 5 om man kastar 14(29) tärningen två gånger? (2p) Uppgift # 6 (1p) Olikhet Ma1 6. Ange ett tal x som är sådant att 3x + 5 < x − 1 Endast svar fordras (1p) Notera problemformuleringen ange ETT tal. Det räcker alltså att ange ett tal. Pröva med något enkelt, 0 duger inte. Pröva något annat, −100 duger då −300 + 5 < −100 − 1. Svar −100. Kommentar: Om frågan handlat om för vilka x det gäller att 3 x + 5 < x − 1 så får du använda räknereglerna för olikheter. För olikheter gäller samma räkneregler som för likheter utom att vid multiplikation av bägge leden med ett negativt tal så vänder olikhetstecknet. 3x + 5 3x + 5 − 5 3x 3x − x 2x x < < < < < < x−1 x−1−5 x−6 x−6−x −6 −3 Alla x mindre än minus 3 duger alltså. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 JENSENvuxutbildning Uppgift # 7 (2p) NpMaB vt2000 15(29) Np MaB vt 2000 Rät linje Ma1 Ma2 Punkterna ( 3, 2 ) och ( − 1, 4 ) ligger på linjen y = kx + m. Bestäm värdet på konstanterna k respektive m. 7. 2(4) (2p) Använd FORMELSAMLINGEN. Funktioner 8. Beräkna längden av triangelns kortaste sida. Räta linjen y = kx + m (3p) Andragradsfunktioner (cm) k= y2 − y1 x2 − x1 y = ax 2 + bx + c x + 7,2 x a≠0 13,0 Givet Potensfunktioner Exponentialfunktioner (x1 , y1 ) = ( 3, 2) a > 0 och a ≠ 1 y = C(x⋅ 2x,ay2 ) = (−1, 4) y = C ⋅ ax 9. Ulf och Lina ska fiska kräftor. Reglerna säger att man får fiska med fyra burar och Bestäm kbara behålla de kräftor som är minst 11 cm långa. Mindre kräftor måste läggas 4−2 2 y2 − y1 tillbaka = = = −0,5 k =i ån. x2 − x1 −1 − 3 −4 Använd y = kkan x +anta m och en av depåtvåkräftorna punkterna för att bestämma Man att längden är normalfördelad medm.medelvärdet Geometri 12,2 1,2 cm. När fisket är avslutat har Ulf och Lina y1 cm= och k xstandardavvikelsen + m 1 med sig 60 st kräftor hem. Triangel 2 = −0,5 · 3 + m Parallellogram m = 3,5 Hur många kräftor bör de ha fått totalt? (2p) A = bh bh A = y = −0, 5 x + 3, 5 Svar 2 10. I pariserhjulet Riesenrad i Wien finns 15 korgar, placerade lika långt från varandra (se figur). Tänk dig att du själv åker i korg A. Du har med en kamera och vill fotografera tre andra korgar som dina vänner åker i. Parallelltrapets Cirkel A= 2 det sätt som figuren bild h(aHur + b)stor måste bildvinkeln v vara för att du ska få en πd på 2 = = A π r visar? (2p) 2 4 O = 2πr = πd Cirkelsektor Prisma v ⋅ 2 πr 360 v br A= ⋅ πr 2 = 360 2 V = Bh b= c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] Cylinder Pyramid V = πr 2 h V= Bh 2015-04-11 Np MaB vt 2000 vuxutbildning 7. Punkterna ( 3, 2 ) och ( − 1, 4 ) ligger på linjen y = kx + m. JENSEN NpMaB vt2000 Bestäm värdet på konstanterna k respektive m. Uppgift # 8 (3p) 16(29) (2p) Triangel Ma2 8. Beräkna längden av triangelns kortaste sida. (3p) (cm) x + 7,2 x 13,0 Använd Pythagoras sats 9. Ulf och Lina ska fiska kräftor. Reglerna säger att man får fiska med fyra burar och 2 är minst 11 cm långa. Mindre kräftor måste läggas 133bara = behålla x2 + de (x kräftor + 7, 2)som | {z } tillbaka i ån. 2 x +14,4 x+7,22 132Man = kan 2 x2 anta + 14,4 + 51,84 på kräftorna är normalfördelad med medelvärdet attxlängden 2 012,2 = cm2 xoch+standardavvikelsen 14,4 x −117, 16 1,2 cm. När fisket är avslutat har Ulf och Lina {z } med sig 60 st kräftor |hem. 51,84−132 Dela medHur 2 så att du kan bör använda pq-formeln. många kräftor de ha fått totalt? (2p) 0 = x2 + 7,2 x − 58,58 Använd pq-formeln p p x1 = −3,6 + 3,62 + 58,58 = −3,6 + 71,54 = −3,6 + 8,46 = 4,86 10. I pariserhjulet Riesenrad i Wien finns 15 korgar, placerade lika långt från varandra x2(se=figur). Tänk dig att du själv åker i korg A. Du har = med −3,6en−kamera 8,46 = och −12,06 vill foFrågan gällde triangelns sida. tografera tre andrakortaste korgar som dina vänner åker i. Hur stor måste v vara för att du ska få en bild på det sätt som figuren Svar Kortaste sidan bildvinkeln är 4,9. visar? (2p) c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 b 8. Beräkna längden av triangelns kortaste sida. (3p) (cm) Avståndsformeln Mittpunktsformeln x + 7,2 d = ( x − x ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 JENSEN2vux1utbildning x = x1 +xx2 och ym = m NpMaB vt2000 2 y1 + y2 2 17(29) 13,0 Uppgift # 9 (2p) Normalfördelning Ma2 Statistik och sannolikhet 9. Ulf och Lina ska fiska kräftor. Reglerna säger att man får fiska med fyra burar och bara behålla de kräftor som är minst 11 cm långa. Mindre kräftor måste läggas Standardavvikelse tillbaka i ån. ( x1 − x ) + ( x2 − x ) + ... + ( xn − x ) (stickprov) Man kan anta atts =längden på kräftorna n − 1 är normalfördelad med medelvärdet 12,2 cm och standardavvikelsen 1,2 cm. När fisket är avslutat har Ulf och Lina med sig 60 st kräftor hem. 2 2 2 Lådagram Hur många kräftor bör de ha fått totalt? (2p) I FORMELSAMLINGEN finns följande bild: 10. I pariserhjulet Riesenrad i Wien finns 15 korgar, placerade lika långt från varandra (se figur). Tänk dig att du själv åker i korg A. Du har med en kamera och vill fotografera tre andra korgar som dina vänner åker i. Normalfördelning Hur stor måste bildvinkeln v vara för att du ska få en bild på det sätt som figuren visar? (2p) För normalfördelade data gäller att 50% av 13-01-24 mätvärdena ligger över medelvärdet och 50% ligger under medelvärdet. Standardavvikelsen σ är ett mått på spridningen av data. Ett litet värde på standardavvikelsen σ betyder att data ligger nära medelvärdet och ett stort värde på standardavvikelsen σ betyder att data är mer spridda. Det gäller också att 68,2% av alla mätvärden finns inom avståndet en standardavvikelse från medelvärdet. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] σ=1 © Skolverket 68% -2 -1 0 1 2015-04-11 2 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 För kräftorna gäller att medelvärdet av längden är 12,2 cm med standardavvikelsen 1,2 cm. Detta betyder att 34,1% av alla kräftor har en längd mellan 11 och 12,2 cm. 50% av kräftorna har en en längd över medelvärdet. Då har 34,1+50=84,1% av alla kräftor en längd över minsta längden. Ulf och Lina har fångat x stycken kräftor och behållit 84,1% eller 60 stycken. 60 ≈ 71 0,841 Svar De har fångat 71 kräftor. 18(29) σ=1,2 cm 34% 50% x = 11 12,2 Kommentar Normalfördelningen är symmetrisk kring medelvärdet. För symmetriska fördelningar gäller att medelvärdet och medianvärdet är lika. För fördelningar som inte är symmetriska blir medelvärde och medianvärde inte lika. Det finns fördelningar som är symmetriska och inte är normalfördelningar. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 bara behålla de kräftor som är minst 11 cm långa. Mindre kräftor måste läggas tillbaka i ån. Man kan anta att längden på kräftorna är normalfördelad med medelvärdet 12,2 cm och standardavvikelsen 1,2 cm. När fisket är avslutat har Ulf och Lina med sig 60 st kräftor hem. JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 19(29) Hur många kräftor bör de ha fått totalt? (2p) Uppgift #10 (2p) Pariserhjul och randvinkelsatsen Ma2 10. I pariserhjulet Riesenrad i Wien finns 15 korgar, placerade lika långt från varandra (se figur). Tänk dig att du själv åker i korg A. Du har med en kamera och vill fotografera tre andra korgar som dina vänner åker i. Hur stor måste bildvinkeln v vara för att du ska få en bild på det sätt som figuren visar? (2p) 4(4) Använd FORMELSAMLINGEN, där finns randvinkelsatsen. Kordasatsen Randvinkelsatsen ab = cd u = 2v Börja med att rita cirkeln och markera 3+1 korgar. Pythagoras sats Trigonometri Det finns 15 korgar på hjulet då blir ◦ medelpunktsvinkeln mellan två korgar 360 = 24◦ . a c2 = a 2 + b2 15 sin v = Medelpunktsvinkeln u mellan tre korgar blir då c b 2 · 24◦ = 48◦ . Enligt randvinkelsatsen i cos v = formelsamlingen är medelpunktsvinkeln u dubbelt såc stor som randvinkeln v till samma cirkelbåge. Den a tan v = eferfrågade vinkeln blir 24◦ . b v u Svar Den sökta vinkeln är 24◦ . Avståndsformeln Mittpunktsformeln c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] d = ( x2 − x1) + ( y 2 − y1 ) 2 2 Statistik och sannolikhet x + x2 y + y2 xm = 1 och ym = 1 2 2 2015-04-11 JENSENvuxutbildning Uppgift #11 NpMaB Np MaB vt2000 vt 2000 (3p) 20(29) Sannolikhet Ma1 11. 4 7 3 7 3 6 a) b) 3 6 4 6 2 6 Ovan ser du ett träddiagram. Ge ett förslag på en händelse som kan beskrivas av diagrammet. (2p) Formulera en fråga som besvaras med den uträknade sannolikheten: (1p) 3 2 1 P= ⋅ = 7 6 7 a) Träddiagrammet beskriver ett slumpförsök i två steg. I det första steget finns det 4+3=7 kulor. Vi drar en kula slumpmässigt. I det andra steget finns det 6 kulor. Det andra 12. steget är beroende av vad som hänt i det första steget. Det kan finnas y eller 4 svarta + 2 vita.I figuren 3 svarta + 3y vita Bilden till nedan illustrerar. = f (x)kulor vänster visas graferna till de två ekvationerna y = f ( x ), y = h( x ) P (S) = 1 1 3S 3V P (S) = 3 6 P (V) = 4S 3V a) Bestäm h(0) 3 Endast svar P (V) = fordras 7 4 7 x b) 3 6 Bestäm det x-värde 4S för 2Vvilket h( x ) = 0 Endast svar fordras P (S) = 4 P (V) = 6 (1p) (1p) 2 6 c) Använd figuren för att bestämma 2 4 3 2 lösningen P (SS) = 47 · 63 = P (VS) = 37 till P (VV) = 37 · 62 = 17 · 64 ekvationssystemet = 27 y =7h (x) P (SV) = 7 · 6 = 7 y = f ( x ) y =2hvita ( x ) kulor om du tar 2 kulor ur(1p) b) En möjlig fråga är: Vad är sannolikheten attfå en låda med 4 svarta och 3 vita kulor? Endast svar fordras Kommentar Notera att sannolikheten att först få en svart och sedan en vit, P(SV) = 27 , är lika stor som sannolikheten att först få en vit och sedan svart, P(VS) = 72 . c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 a) b) Ovan ser du ett träddiagram. Ge ett förslag på en händelse som kan beskrivas av diagrammet. (2p) Formulera en fråga som besvaras med den uträknade sannolikheten: (1p) 3 2 1 P= ⋅ = NpMaB 7 6 7vt2000 JENSENvuxutbildning Uppgift #12 (3p) 21(29) Linjära grafer Ma2 12. y = f (x) y I figuren till vänster visas graferna till de två ekvationerna y = f ( x ), y = h( x ) (1p) a) Bestäm h(0) Endast svar fordras b) Bestäm det x-värde för vilket h( x ) = 0 Endast svar fordras c) Använd figuren för att bestämma lösningen till ekvationssystemet y = f ( x) y = h( x ) Endast svar fordras 1 1 x y = h (x) A/ Bestäm h(0) B/ h(x) = 0 bestäm x (1p) (1p) C/ Lös y = f (x) y = h(x) y = f (x) (4, 3) (0, 2) (0, −3) y = h(x) Svar h(0) = −3 c G Robertsson y = h(x) Svar x = 2 buggar ⇒ [email protected] y = h(x) Svar x = 4, y = 3 2015-04-11 JENSENvuxutbildning Uppgift #13 (6p) ekvationssytem 13. NpMaB vt2000 22(29) 2:a gradsfunktion och linjärt Np MaB vt 2000 Ma2 Calle jobbar hos en datorspeltillverkare och gör ett fotbollsspel. f (x) mittlinje För att beskriva bollbanan sedd uppifrån för skruvade skott mot mål väljer Calle en funktion f ( x ) = 0,005 x 2 + 0,15 x där x meter är avståndet från origo mot målet och f (x) meter är bollens avvikelse från planens ”mittlinje” (se figur). a) Hur många meter från ”mittlinjen” är bollen efter 10 meter i x-led? (1p) b) Hur långt från målet är skytten om bollen går i mål vid målvaktens högra stolpe? Målet är 7,32 meter brett. (2p) g (x) Calle tänker använda en annan funktion som beskriver bollbanan sedd från sidan för t.ex. inspark. Han väljer funktionen g ( x ) = ax 2 + bx , där x är avståndet från origo mätt längs marken och g (x) är bollens höjd över marken c) c G Robertsson Beräkna a och b, om bollen efter 10 meter i x-led är 4 meter över marken och efter 20 meter i x-led slår ner i marken igen. buggar ⇒ [email protected] (3p) 2015-04-11 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 23(29) Lösning delfråga a Givet f (x) = 0,005 x2 + 0,15 x. Beräkna f (x) då x = 10. f (10) = 0, 005 · 102 + 0,15 · 10 = 0,5 + 1,5 = 2 Svar a) 2 meter. 1(4) Formler till nationellt prov i matematik kurs 2 7,32 Lösning delfråga b Stolpen är 2 = 3,66 meter vid sidan av mittlinjen. Lös ekvationen 3,66 = 0,005 x2 + 0,15 x. Använd FORMELSAMLINGEN. Algebra Regler Andragradsekvationer (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 x 2 + px + q = 0 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b)(a − b) = a − b 2 2 x=− 2 p p ± −q 2 2 Skriv om ekvationen så den får samma form som i formelsamlingen. 0 = 0,005 x2 + 0,15 x − 3,66 Aritmetik 3,66 0,15 x− 0 = x2 + 0,005 0,005 Prefix 2 0 = x + 30 x − 732 p x = −15 + 152 −h(−732)d = −15 1 T G M c + 30,9 m = µ15,9 n p pk 2 = −15 (−732) −45,9 nano piko tera x2giga mega − kilo15 − hekto deci= −15 centi− 30,9 milli = mikro Välj roten x91 =15,96 m eftersom har positiv x-koordinat. 12 3 2målet -1 -2 -3 -6 -9 -12 10 10 Svar b) 10 10 10 ax = a x− y 10 10 10 10 10 10 15,9 meter. Potenser a xa y = a x+ y c G Robertsson a b = (ab) x x x Logaritmer a y ax a = x b b x (a x ) y = a xy 1 buggar ⇒ [email protected] an = n a a− x = a0 = 1 1 ax 2015-04-11 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 24(29) Lösning delfråga c Givet g(x) = a x2 + b x Enligt uppgiften gäller att g(10) = 4 och g(20)=0. Detta betyder att vi får ett linjärt ekvationssystem med två obekanta. 102 · a + 202 · a + 10 · b = 20 · b = 4 0 100 · a + 400 · a + 10 · b = 20 · b = 4 0 1:a ekv 2:a ekv 100 · a + 10 · b = 4 −20 · b = −16 1:a ekv ny 2:a ekv = 2:a ekv - 4 × 1:a ekv 100 · a + 10 · b = 4 −20 · b = −16 1:a ekv b = 0,8 100 · a + 10 · b = 4 −20 · b = −16 med b = 0,8 blir a = −0,04 Svar c) a = −0,04 och b = 0,8. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 JENSENvuxutbildning Uppgift #14 (3p) NpMaB vt2000 25(29) Np MaB vt 2000 Likformighet, läsbarhet Ma2 14. När Karin är på Gran Canaria ser hon ett mindre flygplan som har en reklambanderoll efter sig. Hon funderar på ungefär hur höga bokstäverna ska vara för att budskapet ska kunna läsas från marken. Karin bedömer att planet flyger på ca 300 meters avstånd. Gör egna uppskattningar av de mått du behöver och hjälp Karin att beräkna ett ungefärligt värde på hur höga bokstäverna är. (3p) 300 m Figurerna ej skalenligt ritade. Beskriv problemet med två likbenta triangelar ABB0 och ACC0 som är likformiga. Gör en uppskattning av läsbarhet. En ruta på ett rutat papper är 5 × 5 mm och en bokstav med 15. den storlekenygår utan problem att läsa på avståndet 1m. En rät linje genom punkten (2, 3) skär positiva y-axeln i A och positiva x-axeln i B, se figur. Punkten B har en x-koordinat som är tre gånger A (2, 3) så stor som y-koordinaten för punkten A. Bestäm y-koordinaten för punkten A exakt. (3p) B c G Robertsson x buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 26(29) C0 B0 A B C Låt triangeln ABB0 ha höjden 1 m och låt sträckan BB0 vara 5 mm. Triangeln ACC0 har höjden 300 m. Beräkna stråckan CC0 med likformighet. Texthöjd 5 mm Avstånd 1 m Texthöjd 300×5 mm Avstånd 300×1 m Uppskattad texthöjd blir 300×5 mm, 1,5 m. Svar En rimlig höjd på bokstäverna är 1,5 meter. Kommentar till uppskattningen av läsbarhet Synskärpan mäts vanligen genom att man kontrollerar ögats förmåga att känna igen vissa bokstäver. Normal synskärpa kallas 1,0 och synskärpan varierar från 0,6 till 2,0. Med normal synskärpa går det att läsa bokstäver som är 5 mm höga på 3,4 meters avstånd. Med synskärpan 0,5 går det att läsa bokstäver som är 10 mm höga på samma avstånd. Om vi räknar med synskärpan 0,5 som de flesta människor minst har blir sträckan BB0 1 cm och höjden i triangeln ABB0 3,4 m. Med dessa siffror blir bokstavshöjden på planet 0,9 m. Vår enkla uppskattning av läsbarheten är alltså fullt rimlig. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 300 m vuxutbildning JENSEN Figurerna ej skalenligt ritade. Uppgift #15 (3p) NpMaB vt2000 27(29) Rät linje Ma1 Ma2 15. y A En rät linje genom punkten (2, 3) skär positiva y-axeln i A och positiva x-axeln i B, se figur. Punkten B har en x-koordinat som är tre gånger så stor som y-koordinaten för punkten A. Bestäm y-koordinaten för punkten A exakt. (3p) (2, 3) B x Problemet är att bestämma y-koordinaten för A exakt. Punkten B har en x-koordinat som är tre gånger så stor som y-koordinaten för punkten A. Antag att A = (0, z) då blir B = (3z, 0). Figuren visar problemet i rätt skala. y A = (0, z) (2, 3) B = (3z, 0) x 2(4) Problemet handlar om en rät linje. Använd FORMELSAMLINGEN. Funktioner Räta linjen y = kx + m Andragradsfunktioner k= y2 − y1 x2 − x1 y = ax 2 + bx + c a≠0 Potensfunktioner Exponentialfunktioner Det finns flera olika möjliga sätt att lösa problemet. Här visas 3 olika varianter. y = C ⋅ xa y = C ⋅ ax a > 0 och a ≠ 1 Geometri c Triangel G Robertsson A= bh 2 Parallellogram buggar ⇒ [email protected] A = bh 2015-04-11 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 Variant 1, lösning med k = 28(29) y2 − y1 x2 − x1 Riktningskoefficienten kA för en en linje genom A = (0, z) och (2, 3) är z−3 kA = 0−2 och riktningskoefficienten kB för en en linje genom B = (3 z, 0) och (2, 3) är 0−3 . kB = 3z − 2 Om A, (2, 3) och B ligger på samma linje så måste kA = kB alltså 0−3 z−3 = . 0−2 3z − 2 Vi får (3 z − 2) (z − 3) = (−2) (−3) 3 z 2 − 11 z + 6 = 6 (3 z − 11) |{z} z = 0 | {z } z= 11 3 z=0 Lösningen z = 0 betyder att A och B båda ligger i origo. Detta är inte den efterfrågade . lösningen. Den intressanta lösningen är z = 11 3 Svar y-koordinaten för A är 11 . 3 Variant 2, lösning med y = k · x + m Enligt formelsamlingen gäller att riktningskoefficienten för en linje som går genom punkterna A och B är z−0 z −1 k = = = . 0 − 3z −3 z 3 Linjen går genom punkten (2, 3) och detta betyder att 3 ↓ y = −1 3 ↓ k 2 ↓ · x + m ↓ 11 3 m-värdet är linjens skärningspunkt med y-axeln. Svar y-koordinaten för A är c G Robertsson 11 . 3 buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11 JENSENvuxutbildning NpMaB vt2000 29(29) Variant 3, lösning med y − y1 = k (x − x1 ) Enligt formelsamlingen gäller att riktningskoefficienten för en linje som går genom punkterna A och B är z−0 z −1 = = . k = 0 − 3z −3 z 3 En linje som går genom punkten (2, 3) med riktningskoefficienten k = −1 kan skrivas 3 −1 y−3 = (x − 2). 3 y-koordinaten för punkten A blir (x = 0) −1 y−3 = (0 − 2) 3 2 11 y = 3+ = . 3 3 Svar y-koordinaten för A är c G Robertsson 11 . 3 buggar ⇒ [email protected] 2015-04-11