Inneh˚all - Kursplanering
Transcription
Inneh˚all - Kursplanering
JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 1(36) Innehåll Förord 2 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 2007 3 Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 6 NpMaB HT 2007 LÖSNINGAR 11 Del I: Digitala verktyg är INTE tillåtna Del 1 # 1 (2/0) Lös ekvationerna . . . . . . . Del 1 # 2 (1/0) Startordning . . . . . . . . . Del 1 # 3 (2/0) Linjärt ekvationssystem . . . Del 1 # 4 (1/2) Förenkla så långt som möjligt Del 1 # 5 (1/1) Tre linjer . . . . . . . . . . . Del 1 # 6 (0/1) Inkast eller frispark . . . . . . Del 1 # 7 (0/1) Olikhet . . . . . . . . . . . . Del 1 # 8 (0/2/⊗) Triangel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 13 14 15 17 18 19 21 . . . . . . . . . 22 22 23 25 26 27 29 30 31 32 Del II: Digitala verktyg är Del 1 # 9 (2/0) Del 1 # 10 (3/2) Del 2 # 11 (4/0) Del 2 # 12 (1/1) Del 2 # 13 (1/1) Del 2 # 14 (1/2) Del 2 # 15 (1/1/⊗) Del 2 # 16 (0/3/⊗) Del 2 # 17 (2/4/⊗) c G Robertsson tillåtna Linje genom punkter . Termos . . . . . . . . Mast med linor . . . . Skidhandskar . . . . . Triangel i cirkel . . . . Golfbollar . . . . . . . Medelvärde och median Liksidig triangel . . . Dela lika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . buggar ⇒ [email protected] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2015-04-05 JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 2(36) Förord Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma 2. Innehållet i den äldre kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma 2. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som är lämpliga till respektive kurs. 1 Ma 1 Ma 2 1 Ma 2bc 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 14 3 4 5 6 7 2 9 10 11 16 17 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 17 Kom ihåg • Matematik är att vara tydlig och logisk • Använd text och inte bara formler • Rita figur (om det är lämpligt) • Förklara införda beteckningar Du ska visa att du kan • Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning. • Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet. • Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang. • Värdera och jämföra metoder/modeller. • Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 NpMaB ht 2007 Version 1 Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 1. 2. a) Lös ekvationen x 2 − 6 x + 5 = 0 (2/0) b) Lös ekvationen 3x 2 − 27 = 0 (2/0) Startordningen i skolans idolshow ska lottas och alla som ska uppträda står därför på scenen i skolans aula. Det är nio olika uppträdanden och Jenny har ett av dessa. Nio papperslappar med talen 1 till och med 9 (ett tal på varje lapp) ligger hopvikta i en hatt. Startordningen bestäms av talet på papperslappen. Jenny är den första att dra en lapp. Hon vill helst inte vara den första som ska uppträda. Vad är sannolikheten att Jenny inte behöver uppträda först? Endast svar fordras 3. 2 x + 5 y = 14 Lös ekvationssystemet 3x + y = −5 4. Förenkla så långt som möjligt (1/0) (2/0) a) (5 x − 3)( x + 4) − 17 x (1/0) b) ( x + 3) 2 − 3(3 + x) (1/0) NpMaB ht 2007 Version 1 5. Figuren visar tre linjer i ett koordinatsystem. Två av dessa är parallella. En av linjerna i figuren har ekvationen y = 2 x − 3. En annan linje har ekvationen y = 0,5 x + 8 6. a) Bestäm en ekvation för den tredje linjen. b) Motivera ditt svar i a) Endast svar fordras (1/0) (0/1) Fasta situationer i fotboll är till exempel frispark och inkast. Vid båda dessa tillfällen har spelet tillfälligt stannat upp och bollen ska åter sättas i spel. Vid en fast situation satte en spelare bollen i rörelse. Bollen följde därefter en bana som kan beskrivas med formeln y = 2,0 + 0,62 x − 0,043 x 2 där y är höjden i meter över marken och x är avståndet i meter längs marken från den plats där spelaren befann sig. Gjorde spelaren en frispark eller ett inkast? Motivera ditt svar. (0/1) NpMaB ht 2007 Version 1 7. I figuren nedan är linjen y = 7 − För vilka x gäller att 7 − 8. 3x > 1? 4 3x ritad. 4 Endast svar fordras (0/1) I den rätvinkliga triangeln ABC dras höjden h mot hypotenusan AB. Höjden delar hypotenusan i två delar som i figuren betecknas med x och y. Visa att h = x ⋅ y (0/2/¤) NpMaB ht 2007 Version 1 Del II Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 9. 10. En rät linje går genom punkterna (0, 3) och (2, 7) a) Rita linjen i ett koordinatsystem. b) Bestäm linjens ekvation. (1/0) Endast svar fordras (1/0) Ett företag som tillverkar en ny termosmodell undersöker termosens förmåga att behålla temperaturen för olika drycker. Vid en mätning avtar temperaturen för kaffe enligt sambandet y = f (t ) Diagrammet visar kaffets temperatur y °C som funktion av tiden t timmar efter det att termosen fylldes med kaffe. a) Bestäm f (6) Endast svar fordras b) Tolka vad f (6) betyder i detta sammanhang. (1/0) c) Formulera en fråga om kaffet som kan besvaras med hjälp av lösningen till ekvationen f (t ) = 50 (0/1) f (6) − f (0) 6 d) Beräkna e) Tolka vad f (6) − f (0) betyder i detta sammanhang. 6 (1/0) (1/0) (0/1) NpMaB ht 2007 Version 1 11. 12. En 30 meter hög mast är fastspänd med linor som går från masten snett ner till marken. Den övre linan är 40 meter lång och har sitt fäste 5 meter under mastens topp. Den undre linan har sitt fäste ytterligare 10 meter längre ner på masten. Den är spänd parallellt med den övre linan. Masten står vinkelrätt mot marken. a) Hur långt ut från masten är den övre linan fäst i marken? (2/0) b) Hur lång är den undre linan? (2/0) En företagare tillverkar skidhandskar i färgerna mörkblå, grå och svart. För att få en bättre uppfattning om färgernas popularitet bland ungdomar så skickade han ut en enkät. Enkäten skickades ut till 500 ungdomar som går på en närbelägen gymnasieskola. Av de 297 svaren som han fick in framgick att 19 % föredrar mörkblå, 41 % grå och 40 % svarta handskar. Eftersom bortfallet var stort gjorde han en undersökning av bortfallsgruppen. Han ringde därför slumpvis upp 55 av de ungdomar som inte skickat in enkäten och då svarade 10 av dem mörkblå, 23 grå och de övriga svart. Kommentera resultatet av bortfallsundersökningen. (1/1) NpMaB ht 2007 Version 1 13. I cirkeln nedan är AC en diameter. Mätning i figur ej tillåten 14. 15. a) Hur stor är vinkeln x? Endast svar fordras (1/0) b) Hur stor är vinkeln y? Endast svar fordras (0/1) Johanna har 5 vita och 3 gula golfbollar i sin golfbag. Hon tar upp två bollar ur bagen. a) Hur stor är sannolikheten att Johanna får två vita bollar? (1/1) b) Hur stor är sannolikheten att Johanna får en boll av vardera färgen? (0/1) a) Ge ett exempel på fyra olika tal så att medelvärdet för talen är lägre än medianen för talen. Endast svar fordras (1/0) b) 16. Hur måste fyra olika tal väljas för att medelvärdet för talen ska vara lägre än medianen för talen? Motivera. De två räta linjerna y = kx + 7 och y = −kx + 7 , där k är en positiv konstant, bildar tillsammans med x-axeln en triangel. Bestäm k så att denna triangel blir liksidig. (0/1/¤) (0/3/¤) NpMaB ht 2007 Version 1 Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta hänsyn till: • Hur generell din lösning är • Vilka matematiska kunskaper du visar • Hur väl du motiverar dina slutsatser • Hur väl du genomför dina beräkningar • Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete • Hur väl du använder det matematiska språket 17. Ibland har man nytta av att kunna dela ett glasspaket i tre lika stora delar. Det finns en metod att göra detta med enbart en kniv. Din uppgift är att undersöka metoden och visa att den fungerar. Glasspaketet har formen av ett rätblock. Vi börjar med att dela in glasspaketet i två lika stora delar. Dela lika på två Markera diagonalerna och markera en linje genom diagonalernas skärningspunkt A parallellt med kortsidorna. Denna linje delar glasspaketet i två lika stora delar. Ett glasspaket som har måtten 18 cm × 9 cm × 3,1 cm rymmer en halv liter glass. Tänk dig nu ovansidan av detta glasspaket, med måtten 18 cm × 9 cm, inlagt i ett koordinatsystem. • Bestäm ekvationer för de räta linjer som utgör diagonaler. • Bestäm skärningspunkten A genom att lösa ett ekvationssystem och visa att den streckade linjen genom punkten A delar paketet i två lika stora delar. NpMaB ht 2007 Version 1 Nu fortsätter vi med att visa en metod att dela ett glasspaket i tre lika stora delar. Dela lika på tre Markera en linje genom ett hörn och mitten av den motsatta långsidan. Denna linje skär diagonalen i en punkt B. Dela paketet längs en linje som går genom B parallellt med kortsidorna. Då får du en tredjedel. Den andra tredjedelen skär du av på andra sidan med samma metod och samtidigt får du då också den sista tredjedelen. • Ställ upp ett ekvationssystem och bestäm skärningspunkten B för glasspaketet som har måtten 18 cm × 9 cm på ovansidan. Visa att metoden ”Dela lika på tre” fungerar i detta fall. (Du behöver bara visa hur den första tredjedelen fås.) • Visa att metoden ”Dela lika på tre” fungerar för alla glasspaket i form av rätblock, oavsett vilka mått ovansidan har. (Du behöver bara visa hur den första tredjedelen fås.) (2/4/¤) NpMaB ht 2007 Version 1 JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 11(36) Del I Denna del består 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. NpMaB HTav2007 LÖSNINGAR Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Del I: Digitala verktyg INTE tillåtna Observera att arbetet med Del II kan är påbörjas utan tillgång till miniräknare. Del 1 # 1 1. (2/0) Lös ekvationerna 1(4) Ma2 Lös ekvationen x 2 − 6 x + 5 = 0 a) (2/0) Formler till nationellt prov i matematik kurs 2 2 Lös ekvationen 3x − 27 = 0 b) (2/0) a) Ekvationen är en 2:a gradsekvation. Lös ekvationen med pq-formeln som finns i Algebra FORMELSAMLINGEN. 2. Startordningen i skolans idolshow ska lottas och alla som ska uppträda står därför på scenen i skolans aula. Det är nio olika uppträdanden och Jenny har ett av dessa. papperslappar med talen 1 till och med 9 Andragradsekvationer (ett tal på varje lapp) ligger hopvikta i en hatt. Startordningen bestäms av talet på papperslappen. Jenny är den första att 2 x 2 + px + q = 0 (a + bdra )2 = + 2ab + b 2 enalapp. (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 2 p p Hon vill helst2 inte2 vara den första som ska uppträda. x =− ± −q (a + b)(a − b) = a − b 2 först? 2 Vad är sannolikheten att Jenny inte behöver uppträda Endast svar fordras (1/0) 2 0 = x −6 +5 |{z} |{z} p=−6 q=5 √ √ Aritmetik x1,2 = 3 ± 32 − 5 = 3 ± 4 = 3 ± 2 x1 = 5 2 x + 5 y = 14 3.Prefix Lös ekvationssystemet (2/0) x2 = 1 3x + y = −5 Regler Nio SvarT a) Gx1 = 5Moch xk2 = 1 h b) d c m µ n p tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 1012 109 102 6 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 Ekvationen är en enkel 2:a gradsekvation, 0 = så 3xlångt − 27. 4. Förenkla som möjligt Normalisera ekvationen, dela alla termer med koefficienten framför x2 . Ekvationen blir (1/0) a) 0 =(5 xx−2 3− )( x9 + 4) − 17 x Potenser som efter omskrivning blir b)x2 =( x +93) 2 − 3(3 + x) (1/0) x 1 a y med a− x = x = a x− y (a x ) y = a xy a x alösningen = a x+ y y a a x1,2 = ±3 x Svar b) x1 = 3 och axx2 = −3. a = a xb x = (ab) x bx b c G Robertsson 1 an =na buggar ⇒ [email protected] Logaritmer y = 10 x ⇔ x = lg y x a0 = 1 2015-04-05 JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 12(36) Kommentar Alla 2:a gradsekvationer kan lösas med pq-formeln men om en av p eller q saknas kan ekvationen lösas enklare utan pq-formel. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 1. a) Lös ekvationen x 2 − 6 x + 5 = 0 JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 b) Lös ekvationen 3x 2 − 27 = 0 Del 1 # 2 2. (1/0) (2/0) 13(36) (2/0) Startordning Startordningen i skolans idolshow ska lottas och alla som ska uppträda står därför på scenen i skolans aula. Det är nio olika uppträdanden och Jenny har ett av dessa. Nio papperslappar med talen 1 till och med 9 (ett tal på varje lapp) ligger hopvikta i en hatt. Startordningen bestäms av talet på papperslappen. Jenny är den första att dra en lapp. Hon vill helst inte vara den första som ska uppträda. Vad är sannolikheten att Jenny inte behöver uppträda först? Endast svar fordras (1/0) Alla lappar har samma sannolikhet. Sannolikheten att få ettan är 19 . Sannolikheten att inte få ettan är 1 − 19 = 98 2 x + 5 y = 14 3. Lös ekvationssystemet (2/0) 3x + y = −5 Svar 98 4. Förenkla så långt som möjligt a) (5 x − 3)( x + 4) − 17 x (1/0) b) ( x + 3) 2 − 3(3 + x) (1/0) c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 Nio papperslappar med talen 1 till och med 9 (ett tal på varje lapp) ligger hopvikta i en hatt. Startordningen bestäms av talet på papperslappen. Jenny är den första att dra en lapp. Hon vill helst inte vara den första som ska uppträda. Vadvux är utbildning sannolikheten att Jenny inte behöverht2007 uppträda först? JENSEN NpMaB Endast svar fordras Del 1 # 3 (2/0) 14(36) (1/0) Linjärt ekvationssystem Ma2 3. 2 x + 5 y = 14 Lös ekvationssystemet 3x + y = −5 (2/0) Det finns två olika metoder för att lösa linjära ekvationssystem med flera obekanta. För ekvationssystem med bara två obekanta är det betydelselöst vilken metod du väljer. 4. Förenkla så långt som möjligt Substitutionsmetoden är enkel och fungerar utmärkt för två obekanta. a) 2x + (5 x5y− 3)( x + 4) −=17 14x 3x + y = −5 2 b) ekvation − 3(3till + x) ( x + 3) (2) Skriv om y = −5 − 3x Substitutera y i ekvation (1) med hjälp av ekvation (3). Vi får 2x + 5(−5 − 3x) = 14 2x − 25 − 15x = 14 −13x = 39 x = −3 Med ekvation (3) och (4) kan y beräknas. y = −5 − 3 · (−3) y =4 (1/0)(1) (2) (1/0) (3) (4) Svar x = −3 och y = 4 c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 2 x + 5 y = 14 3. Lösvux ekvationssystemet JENSEN utbildning ht2007 5 3x + y = −NpMaB Del 1 # 4 (1/2) (2/0) 15(36) Förenkla så långt som möjligt Ma2 4. a) Förenkla så långt som möjligt a) (5 x − 3)( x + 4) − 17 x (1/0) b) ( x + 3) 2 − 3(3 + x) (1/0) variant 1 (5x − 3)(x + 4) − 17x 5x · (x + 4) − 3 · (x + 4) −17x | {z } | {z } 5x2 +20x 2 3x+12 5x + 20x − 3x − 12 − 17x 5x2 − 12 a) variant 2 (5x − 3)(x + 4) − 17x (5x − 3) · x + (5x − 3) · 4 −17x | {z } | {z } 5x2 −3x 2 20x−12 5x − 3x + 20x − 12 − 17x 5x2 − 12 Svar a) 5x2 − 12 c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 1(4) Formler till nationellt prov i matematik kurs 2 JENSENvuxutbildning b) NpMaB ht2007 16(36) variant 1 IAlgebra FORMELSAMLINGEN finns 1:a kvadreringsregeln Regler Andragradsekvationer (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 x 2 + px + q = 0 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b)(a − b) = a − b 2 2 x=− 2 p p ± −q 2 2 (x + 3)2 − 3(3 + x) | {z } | {z } 9+3x x2 +6x+9 2 Aritmetik x + 3x b)Prefix variant 2 Faktorisera T Gut (xM+ 3) k tera 10 12 h 2 giga (x + 3)mega − 3(3kilo + x)hekto 9 6 3 2 10 + 3)[(x 10 + 3) 10− 3] 10 (x (x + 3)x x2 + 3x d c m µ n p deci centi milli mikro nano piko -1 -2 -3 -9 10-12 10 10 10 -6 10 10 Potenser Svar b) 5x2 + 3x a xa y = a x+ y a b = (ab) x x x ax ay ax = a x− y a = x b b x (a x ) y = a xy a− x = 1 an a0 = 1 =na 1 ax Logaritmer y = 10 x ⇔ x = lg y lg x + lg y = lg xy c G Robertsson 13-01-24 lg x − lg y = lg x y lg x p = p ⋅ lg x buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 © Skolverket JENSENvuxutbildning Del 1 # 5 NpMaB ht2007 17(36) 2007 Version (1/1)NpMaB htTre linjer1 Ma2 5. Figuren visar tre linjer i ett koordinatsystem. Två av dessa är parallella. En av linjerna i figuren har ekvationen y = 2 x − 3. En annan linje har ekvationen y = 0,5 x + 8 a) Bestäm en ekvation för den tredje linjen. b) Motivera ditt svar i a) Endast svar fordras (1/0) (0/1) Svar a) Den tredje linjen har ekvationen y = 2 x + 8. 6. Fasta situationer i fotboll är till exempel frispark och inkast. Vid båda dessa tillfällen har ekvationen spelet tillfälligt stannat upp och bollen ska åter sättas i spel. Vid en b) Linje C har fast situation satte en spelare bollen i rörelse. Bollen följde därefter en bana som ykan = beskrivas 2 x − 3 med formeln eftersom linjen skär y-axeln där y = −3 och endast en av linjerna skär negativa y-axeln. y = 2,0 + 0,62 x − 0,043 x 2 Linje B är parallell med C och har därför samma k-värde. Linje A skär y-axeln där y = 8 Linje A skär y-axeln i samma punkt, linjernai meter har alltså däroch y ärBhöjden i meter över marken och xbåda är avståndet längssamma markenm-värde. från den plats där spelaren befann sig. Svar b) se ovan. GjordeMotiv spelaren en frispark eller ett inkast? Motivera ditt svar. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] (0/1) 2015-04-05 JENSENvuxutbildning Del 1 # 6 NpMaB ht2007 (0/1) 18(36) Inkast eller frispark Ma2 6. Fasta situationer i fotboll är till exempel frispark och inkast. Vid båda dessa tillfällen har spelet tillfälligt stannat upp och bollen ska åter sättas i spel. Vid en fast situation satte en spelare bollen i rörelse. Bollen följde därefter en bana som kan beskrivas med formeln y = 2,0 + 0,62 x − 0,043 x 2 där y är höjden i meter över marken och x är avståndet i meter längs marken från den plats där spelaren befann sig. Gjorde spelaren en frispark eller ett inkast? Motivera ditt svar. (0/1) Bollens bana är x=0 z }| { y = 2,0 + 0,63 − 0,043 x2 |{z} | {z } y=2 noll Svar Inkast eftersom bollen startar på höjden 2 meter över marken. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 JENSENvuxutbildning Del 1 # 7 NpMaB ht2007 19(36) 2007 Version 1 (0/1)NpMaB htOlikhet Ma2 7. 3x ritad. I figuren nedan är linjen y = 7 − 4 För vilka x gäller att 7 − 3x > 1? 4 Endast svar fordras (0/1) Grafisk lösning, snabbast och enklast för detta problem 8. I den rätvinkliga triangeln ABC dras höjden h mot hypotenusan AB. Höjden delar hypotenusan i två delar som i figuren betecknas med x och y. y =7− 3x 4 1 8 (0/2/¤) Visa att h = x ⋅ y Svar x < 8 c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 20(36) Algebraisk lösning Vid räkning med olikheter är det tillåtet att addera eller subtrahera samma tal från bägge sidor i olikheten. Det är också tillåtet att multiplicera eller dividera bägge sidor i olikheten med ett positivt tal. Olikheten är 3x > 1 4 Samla x på ena sidan om olikhetstecknet och tal på andra sidan. 3x 6− > 0 4 3x 6 > 4 Multiplicera bägge sidor med 4. 6 · 4 > 3x Dividera bägge sidor med 3. 8 > x 7− Svar x < 8 c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 3x JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 För vilka x gäller att 7 − > 1? 4 Del 1 # 8 (0/2/⊗) 21(36) (0/1) Endast svar fordras Triangel Ma2 8. I den rätvinkliga triangeln ABC dras höjden h mot hypotenusan AB. Höjden delar hypotenusan i två delar som i figuren betecknas med x och y. (0/2/¤) Visa att h = x ⋅ y C C u v h u x A h u v D u v B A v D y B Vinklarna u och v är varandras komplementvinkel1 då u + v = 6 ACB = 90◦ . Trianglarna ACD och CBD är likformiga då vinklarna i båda trianglarna är u, v och 90◦ . Två trianglar är likformiga om två vinklar är lika. Likformigheten ger h x = y h som efter omskrivning ger h2 = x · y √ h = x·y vilket skulle visas. En vinkel u är komplementvinkel till v när u + v = 90◦ . En vinkel u är supplementtvinkel till v när u + v = 180◦ . 1 c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 NpMaB ht 2007 Version 1 JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 22(36) Del II Denna består av 9 uppgifter och ärär avsedd att genomföras med miniräknare. Del II:delDigitala verktyg tillåtna Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. Del 1 # 9 (2/0) Linje genom punkter Ma2 9. En rät linje går genom punkterna (0, 3) och (2, 7) a) Rita linjen i ett koordinatsystem. b) Bestäm linjens ekvation. (1/0) Endast svar fordras (1/0) 10. a) Ett företag somfigur tillverkar en ny termosmodell undersöker termosens förmåga att Svar Vänster behålla temperaturen för olika drycker. Vid en mätning avtar temperaturen för y kaffe enligtysambandet y = f (t ) 9 9 8 visar kaffets temperatur y °C som funktion 8 Diagrammet av tiden t timmar efter det 7 fylldes (2, 7 att termosen med7)kaffe. 6 6 ∆y = 4 5 5 4 4 (0, 3) 3 3 2 2 ∆x = 2 1 1 0 0 2(4) x x 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 b) I FORMELSAMLINGEN finns ekvationen för räta linjen. Funktioner Räta linjen Andragradsfunktioner k= y = kx + m 4 y2 − y1 x2 − x1 = = 2 Potensfunktioner a) k Bestäm 2 f (6) y = ax 2 + bx + c a≠0 Exponentialfunktioner Endast svar fordras Linjen gåra y = Cb) ⋅x y=2 z}|{ y c) genom punkten (0, 3). a > 0 och a ≠ 1 y = C ⋅ ax k=2 x=0 Tolka vadz}|{ f (6) betyder i detta sammanhang. z}|{ = k x + m |{z} Formulera en fråga om kaffet som kan besvaras med hjälp av lösningen till m=3 ekvationen f (t ) = 50 Svar b) y = 2 x + 3 Geometri f (6) − f (0) d) Beräkna 6 c Triangel G Robertsson buggar ⇒ [email protected] Parallellogram bh A = e) 2 Tolka vad A = bh f (6) − f (0) betyder i detta sammanhang. 6 (1/0) (1/0) (0/1) (1/0) 2015-04-05 (0/1) 9. En rät linje går genom punkterna (0, 3) och (2, 7) a) Rita linjen i ett koordinatsystem. JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 b) Bestäm linjens ekvation. Del 1 # 10 (3/2) Endast svar fordras (1/0) 23(36) (1/0) Termos Ma2 10. Ett företag som tillverkar en ny termosmodell undersöker termosens förmåga att behålla temperaturen för olika drycker. Vid en mätning avtar temperaturen för kaffe enligt sambandet y = f (t ) Diagrammet visar kaffets temperatur y °C som funktion av tiden t timmar efter det att termosen fylldes med kaffe. a) Bestäm f (6) b) Tolka vad f (6) betyder i detta sammanhang. (1/0) c) Formulera en fråga om kaffet som kan besvaras med hjälp av lösningen till ekvationen f (t ) = 50 (0/1) f (6) − f (0) 6 d) Beräkna e) Tolka vad c G Robertsson Endast svar fordras (1/0) (1/0) f (6) − f (0) betyder i detta sammanhang. 6 buggar ⇒ [email protected] (0/1) 2015-04-05 JENSENvuxutbildning a) NpMaB ht2007 24(36) Bestäm f (6) f (6) = 60 t=6 Svar a) b) Tolka vad f (6) betyder i detta sammanhang. Svar b) c) Temperaturen efter 6 timmar. Formulera en fråga Svar c) d) f (6) = 60 Vid vilken tidpunkt t är kaffets temperatur 50◦ . Beräkna . . . 60◦ − 85◦ f (6) − f (0) = ≈ −4,2◦ 6 6 Svar d) e) −4,2◦ Tolka vad. . . Svar e) Temperaturen sjunker i medeltal −4, 2◦ /h under de 6 första timmarna. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 JENSENvuxutbildning Del 2 # 11 NpMaB ht2007 25(36) NpMaB ht 2007 Version 1 linor (4/0) Mast med Ma2 11. En 30 meter hög mast är fastspänd med linor som går från masten snett ner till marken. Den övre linan är 40 meter lång och har sitt fäste 5 meter under mastens topp. Den undre linan har sitt fäste ytterligare 10 meter längre ner på masten. Den är spänd parallellt med den övre linan. Masten står vinkelrätt mot marken. a) Hur långt ut från masten är den övre linan fäst i marken? (2/0) b) Hur lång är den undre linan? (2/0) 12. a) EnHur företagare långt tillverkar ut . . . skidhandskar i färgerna mörkblå, grå och svart. För att få en bättre uppfattning om färgernas popularitet bland ungdomar så skickade han ut 30 Använd sats. en Pythagoras enkät. 2 40 = skickades 252 + x2 ut till 500 ungdomar som25går på en närbelägen gymnasieskola. Enkäten √ 2 han Av som fick in framgick att 19 % föredrar mörkblå, 41 % grå x de=297 svaren 402 − 25 ≈ 31 och 40 % svarta handskar. Svar a) 31 meter. 15 Eftersom bortfallet var stort gjorde han en undersökning av bortfallsgruppen. Han övre lina 40 meter ringde därför slumpvis upp 55 av de ungdomar som inte skickat in enkäten och då b) Hur lång är den undre linan? svarade 10 av dem mörkblå, 23 grå och de övriga svart. undre lina z meter Använd likformighet. Kommentera resultatet av bortfallsundersökningen. (1/1) z 15 = ger z = 24 0 40 25 x 0 Svar b) 24 meter. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 a) Hur långt ut från masten är den övre linan fäst i marken? b) vuxHur lång är den undre linan?NpMaB ht2007 JENSEN utbildning Del 2 # 12 (1/1) (2/0) (2/0) 26(36) Skidhandskar Ma2bc 12. En företagare tillverkar skidhandskar i färgerna mörkblå, grå och svart. För att få en bättre uppfattning om färgernas popularitet bland ungdomar så skickade han ut en enkät. Enkäten skickades ut till 500 ungdomar som går på en närbelägen gymnasieskola. Av de 297 svaren som han fick in framgick att 19 % föredrar mörkblå, 41 % grå och 40 % svarta handskar. Eftersom bortfallet var stort gjorde han en undersökning av bortfallsgruppen. Han ringde därför slumpvis upp 55 av de ungdomar som inte skickat in enkäten och då svarade 10 av dem mörkblå, 23 grå och de övriga svart. Kommentera resultatet av bortfallsundersökningen. svarsgrupp andel mörkblå 19% grå 41% svarta 40% (1/1) bortfallsgrupp, 55 antal andel 10 10/55 ≈ 18% 23 10/55 ≈ 42% 22 10/55 ≈ 40% Svar Skillnader mellan svarsgruppen och udersökningen i bortfallsgruppen är marginella. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 JENSENvuxutbildning Del 2 # 13 NpMaB ht2007 (1/1) 27(36) Triangel i cirkel Ma2bc NpMaB ht 2007 Version 1 13. I cirkeln nedan är AC en diameter. Mätning i figur ej tillåten a) Hur stor är vinkeln x? Endast svar fordras (1/0) b) Hur stor är vinkeln y? Endast svar fordras (0/1) 4(4) Uppgiften behandlar trianglar inskrivna i en cirkel. Använd randvinkelsatsen som finns i FORMELSAMLINGEN. 14. Johanna har 5 vita och 3 gula golfbollar i sin golfbag. Hon tar upp två bollar ur bagen. Kordasatsen a) ab = cd b) 15. a) Randvinkelsatsen Hur stor är sannolikheten att Johanna får två vita bollar? u = 2v Hur stor är sannolikheten att Johanna får en boll av vardera färgen? (0/1) Ge ett exempel på fyra olika tal så att medelvärdet för talen är lägre än Trigonometri för talen. Endast svar fordras (1/0) Pythagoras sats medianen 2 a c 2 = b) a 2 + bHur måste fyra olika tal väljas för att medelvärdet sin v = för talen ska vara lägre c än medianen för talen? Motivera. b cos v = c a tan v = b c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 16. De två räta linjerna y = kx + 7 och y = −kx + 7 , där k är en positiv konstant, bildar tillsammans med x-axeln en triangel. Bestäm k så att denna triangel blir liksidig. Avståndsformeln Mittpunktsformeln d = ( x2 − x1) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 xm = x1 + x2 och ym = y1 + y2 (1/1) (0/1/¤) 2015-04-05 (0/3/¤) JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 28(36) a) Enligt randvinkelsatsen är vinklarna vid B och C lika stora då båda vinklar är randvinklar till bågen mellan A och D. B 68◦ C A 68◦ D Svar a) x = 68◦ b) Enligt randvinkelsatsen är vinkeln vid D hälften av vinkeln vid mittpunkten M. Bågen är A till C. Vinkeln vid M är 180◦ vilket ger att vinkeln vid D är 90◦ . Me två kända vinklar i triangeln ACD kan vinkeln y beräknas enligt y = 180◦ − 90◦ − 68◦ = 22◦ . B 68◦ 180◦ C 68◦ 22◦ A M 90◦ D Svar b) y = 22◦ c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 Mätning i figur ej tillåten a) Hur stor är vinkeln x? JENSEN utbildning b) vuxHur stor är vinkeln y? Del 2 # 14 NpMaB ht2007 (1/2) Endast svar fordras (1/0) Endast svar fordras 29(36) (0/1) Golfbollar Ma1 14. Johanna har 5 vita och 3 gula golfbollar i sin golfbag. Hon tar upp två bollar ur bagen. a) Hur stor är sannolikheten att Johanna får två vita bollar? (1/1) b) Hur stor är sannolikheten att Johanna får en boll av vardera färgen? (0/1) Uppgiften behandlar dragning utan återläggning. Låt V beteckna vit boll och G beteckna gul boll. I träddiagrammet visas de två första dragen vid dragning utan återläggning. 15. Pa)(VG)Ge ett exempel på fyra olika tal så att medelvärdet är lägre än draget gul Med menas sannolikheten för att första draget ger för vit talen boll och andra medianen för talen. Endast svar fordras (1/0) och med P (GV) menas att sannolikheten för att första draget ger gul och andra draget vit boll. b) Hur måste fyra olika tal väljas för att medelvärdet för talen ska vara lägre än medianen för talen? Motivera.5V 3G (0/1/¤) P (V) = 16. 5 8 3 8 P (G) = 4V 3G 5V 2G De två räta linjerna y = kx + 7 och y = −kx + 7 , där k är en positiv konstant, 2 bildar tillsammans med P (V) = 47 P (G)x-axeln = 37 en triangel. Bestäm k såPatt (V)denna = 75 triangel P (G) =blir 7 liksidig. P (VV) = 5 8 · 4 7 = 20 56 P (VG) = 5 8 · 3 7 = 15 56 P (GV) = 3 8 · 5 7 = 15 56 P (GG) = (0/3/¤) 3 8 · 2 7 = 6 56 Resultatet av dragningen kan sammanfattas i följande tabell. 1:a bollen V V G G 2:a bollen V G V G sannolikhet 20 5 = 14 56 15 56 15 56 6 56 20 56 = 5 . 14 Svar a) Sannolikheten att få två vita bollar är Svar b) Sannolikheten att få en vit och en gul boll är c G Robertsson = 3 28 buggar ⇒ [email protected] 15 56 + 15 56 = 15 . 28 2015-04-05 14. Johanna har 5 vita och 3 gula golfbollar i sin golfbag. Hon tar upp två bollar ur bagen. a) Hur stor är sannolikheten att Johanna får två vita bollar? (1/1) JENSEN utbildning b) vuxHur stor är sannolikheten attNpMaB Johannaht2007 får en boll av vardera färgen? Del 2 # 15 (1/1/⊗) 30(36) (0/1) Medelvärde och median Ma2bc 15. a) b) Ge ett exempel på fyra olika tal så att medelvärdet för talen är lägre än medianen för talen. Endast svar fordras (1/0) Hur måste fyra olika tal väljas för att medelvärdet för talen ska vara lägre än medianen för talen? Motivera. (0/1/¤) a) 16. median 6 y = kx + 7 och y = − kx + 7 , där k är en positiv konstant, De två räta linjerna z}|{ 0| 5 {z 7 med8} x-axeln NpMaB 2007 Version 1 k så att denna triangel blir bildar tillsammans enhttriangel. Bestäm liksidig. medelvärde =(0+5+7+8)/4=5 Uppg. Svar a) Bedömningsanvisningar Exempelvis 0, 5, 7 och 8 har större median än medelvärde. 13. b) (0/3/¤) Poäng Max 1/1 Låt de fyra talen vara x1 < x2 < x3 < x4 . Medelvärdet ska vara lägre än medianen. a) Korrekt svar ( 68° ) +1 g x 1 + x2 + x3 + x4 x2 + x3 < 4 2 } svar | b) Korrekt {z } ( 22° )| {z medelvärde +1 vg median Olikheten kan skrivas om enligt följande x 2 + x3 x1 + x4 x2 + x3 + < 14. 4 4 2 x2 + x3 x1 + x4 < a) Redovisad t.ex. multiplicerar sannolikheter, även om 4 godtagbar ansats, 4 x1 + x4 < x 2 + x3 . eleven multiplicerar Max 1/2 5 4 5 5 ⋅ istället för ⋅ 8 7 8 8 +1g med korrekt svar +1 vg Svar b) Medelvärdet av x(5/14) 1 , x2 , x3 och x4 då x1 < x2 < x3 < x4 är lägre än medianen när x1 + x4 < x2 + x3 . b) Redovisad godtagbar lösning (15/28) +1 vg Kommentar I Skolverkets rättningsnorm står följande. 15. Max 1/1/¤ a) Korrekt svar (t.ex. talen 2, 7, 8 och 9) b) Godtagbar förklaring (t.ex. ”sänk det minsta talet till dess att medelvärdet blir lägre än medianen”) +1 g +1 vg MVG-kvalitet visar eleven i denna uppgift genom att: Formulerar och utvecklar problem, ananvända generella metoder, t.ex. ansätta variabler vänder generella metoder/modeller vid för talen och ställa upp samband för medelvärde problemlösning och median. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 Analyserar och tolkar resultat, drar slutdra en korrekt slutsats, t.ex. att a + d < b + c för tasatser samt bedömer rimlighet len a, b, c, d Genomför bevis och analyserar matema- bevisa sin slutsats, t.ex. a + d < b + c , då tiska resonemang a<b<c<d Värderar och jämför metoder/modeller Redovisar välstrukturerat med korrekt redovisa välstrukturerat och tydligt med ett i hu- 15. a) Ge ett exempel på fyra olika tal så att medelvärdet för talen är lägre än medianen för talen. Endast svar fordras b) Hur måste fyra olika tal väljas för att medelvärdet för talen ska vara lägre JENSENvuxänutbildning NpMaB ht2007 medianen för talen? Motivera. Del 2 # 16 (0/3/⊗) (1/0) 31(36) (0/1/¤) Liksidig triangel Ma2 16. De två räta linjerna y = kx + 7 och y = −kx + 7 , där k är en positiv konstant, bildar tillsammans med x-axeln en triangel. Bestäm k så att denna triangel blir liksidig. (0/3/¤) y A (0, 7) C ( −7 , 0) k B ( k7 , 0) x Triangelns sidor är alla lika långa och d. Med avståndsformeln (Pythagoras sats) kan avståndet mellan A och B beräknas enligt 7 49 d2 = 72 + ( )2 = 49 + ( 2 ) k k Avståndet mellan B och C är 7 −7 14 d = −( ) = k k k 196 2 . d = k2 Vi får nu 196 49 = 49 + k2 k2 147 = 49 k2 49 1 k2 = = 147 3 1 k = √ . 3 1 Svar k = √ 3 −1 Kommentar Notera att k = √ ger samma triangel. 3 c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta hänsyn till: • Hur generell din lösning är • Vilka matematiska kunskaper du visar • Hur väl du motiverar dina slutsatser JENSENvux NpMaB ht2007 • utbildning Hur väl du genomför dina beräkningar • Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete • Hur väl du använder det matematiska språket Del 2 # 17 (2/4/⊗) 32(36) Dela lika Ma2 17. Ibland har man nytta av att kunna dela ett glasspaket i tre lika stora delar. Det finns en metod att göra detta med enbart en kniv. Din uppgift är att undersöka metoden och visa att den fungerar. Glasspaketet har formen av ett rätblock. Vi börjar med att dela in glasspaketet i två lika stora delar. Dela lika på två Markera diagonalerna och markera en linje genom diagonalernas skärningspunkt A parallellt med kortsidorna. Denna linje delar glasspaketet i två lika stora delar. Ett glasspaket som har måtten 18 cm × 9 cm × 3,1 cm rymmer en halv liter glass. Tänk dig nu ovansidan av detta glasspaket, med måtten 18 cm × 9 cm, inlagt i ett koordinatsystem. • Bestäm ekvationer för de räta linjer som utgör diagonaler. • Bestäm skärningspunkten A genom att lösa ett ekvationssystem och visa att den streckade linjen genom punkten A delar paketet i två lika stora delar. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 JENSENvuxutbildning NpMaB ht 2007 Version NpMaB ht20071 33(36) Nu fortsätter vi med att visa en metod att dela ett glasspaket i tre lika stora delar. Dela lika på tre Markera en linje genom ett hörn och mitten av den motsatta långsidan. Denna linje skär diagonalen i en punkt B. Dela paketet längs en linje som går genom B parallellt med kortsidorna. Då får du en tredjedel. Den andra tredjedelen skär du av på andra sidan med samma metod och samtidigt får du då också den sista tredjedelen. • Ställ upp ett ekvationssystem och bestäm skärningspunkten B för glasspaketet som har måtten 18 cm × 9 cm på ovansidan. Visa att metoden ”Dela lika på tre” fungerar i detta fall. (Du behöver bara visa hur den första tredjedelen fås.) • Visa att metoden ”Dela lika på tre” fungerar för alla glasspaket i form av rätblock, oavsett vilka mått ovansidan har. (Du behöver bara visa hur den första tredjedelen fås.) (2/4/¤) NpMaB ht 2007 Version 1 Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta hänsyn till: • Hur generell din lösning är • Vilka matematiska kunskaper du visar • Hur väl du motiverar dina slutsatser • Hur väl du genomför dina beräkningar • Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete • Hur väl du använder det matematiska språket Uppgiften rymmer konkreta 17. Ibland har man nytta avformuleringar att kunna dela som måtten 18 cm × 9 cm. Alternativet är en mer generell formulering somstora b ×delar. h. Ibland ett glasspaket i tre lika Det är det lätt och lämpligt att arbeta konkret men detfinns kan en också dölja struktur på ett sätt som generell formulering inte gör. metod att göra detta med höjd enbart en kniv. Din uppgift är under- fall bara ett tal som inte avslöjar någon Exempelvis blir kvoten bredd i ett att konkret struktur.söka metoden och visa att den fungerar. Glasspaketet har formen av ett rätblock. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] Vi börjar med att dela in glasspaketet i två lika stora delar. Dela lika på två Markera diagonalerna och markera en linje genom diagonalernas skärningspunkt A parallellt med kortsidorna. Denna linje delar glasspaketet i två lika stora delar. 2015-04-05 JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 34(36) Bestäm ekvationer för de räta linjer som utgör diagonaler. Behandla det generella problemet, inför b som betckning för bredd och h för höjd. y y h h y= h x b y =h− 0 0 b x h x b 0 0 b x Linjen från nedre vänstra hörnet (0, 0) till övre högra hörnet (b, h) är h x b och ekvationen från övre vänstra hörnet (0, h) till nedre högra (b, 0) är h y = h − x. b y = Svar Med b = 18 och h = blir ekvationerna y = 21 x respektive y = 9 − 21 x. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 35(36) Bestäm skärningspunkten A genom att lösa ett ekvationssystem . . . y h A 0 0 b x De två ekvationerna är y = h x b h x b Lös ekvationssystemet. Eliminera y. h h x = h− x b b 2h x = h b b x = 2 Med x känd kan y beräknas ur första ekvationen. h b h y = = b 2 2 b h Koordinaterna för A är , . 2 2 y = h− Svar Med b = 18 och h = 9 blir koordinaterna för A (9; 4,5). c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05 JENSENvuxutbildning NpMaB ht2007 36(36) Ställ upp ett ekvationssystem och bestäm skärningspunkten B . . . y h A B 0 0 b/2 b x Linjen från nedre vänstra hörnet (0, 0) till övre högra hörnet (b, h) är y = h x b b och ekvationen från (0, h) till ( , 0) är 2 2h y = h− x b Lös ekvationssystemet. Eliminera y. 2h h x = h− x b b 3h x = h b b x = 3 Med x känd kan y beräknas ur första ekvationen. h b h y = = b 3 3 b h Koordinaterna för B är , . 3 3 Visa att metoden ”Dela lika på tre” fungerar för alla glasspaket . . . I ovanstående lösning har inga speciella egenskaper hos paketets bredd b och höjd h använts. Lösningen gäller alltså alla paket. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-05