Inneh˚all - Kursplanering
Transcription
Inneh˚all - Kursplanering
Kurs planering.se NpMaC vt2011 1(39) Innehåll Förord 2 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3 Kravgränser 4 Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Förslag Del Del Del Del Del Del Del Del på lösningar till uppgifter utan miniräknare I # 1 (2/0) Derivera . . . . . . . . . . . . . . . . . I # 2 (2/0) Potensekvation & exponentialekvation I # 3 (1/0) Terrasspunkt? . . . . . . . . . . . . . I # 4 (2/2) Lös ekvationerna . . . . . . . . . . . . I # 5 (1/0) Vilket alternativ? . . . . . . . . . . . I # 6 (1/1) Förenkla uttrycken . . . . . . . . . . . I # 7 (0/2) Ränta . . . . . . . . . . . . . . . . . . I # 8 (4/3/⊗) Undersök egenskap hos extrempunkter Förslag på lösningar till uppgifter med miniräknare Del II # 9 (2/1) Konisk behållare . . . . . . . . Del II # 10 (2/0) Lisas föräldrar spar . . . . . . Del II # 11 (0/1) Rationellt uttryck . . . . . . . Del II # 12 (1/1) Funktioner . . . . . . . . . . . Del II # 13 (3/2/⊗) Maximal area . . . . . . . . . Del II # 14 (3/2/⊗) Jordbävningar . . . . . . . . . Del II # 15 (0/3) Vildsvinen ökar kraftigt . . . . Del II # 16 (0/3) Derivatans värde . . . . . . . . . Del II # 17 (0/2/⊗) Tangent till andragradspolynom Appendix c G Robertsson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 13 14 15 16 16 17 19 . . . . . . . . . 22 22 23 24 25 26 28 30 31 32 35 buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se NpMaC vt2011 2(39) Förord Uppgifter till kursen Matematik C duger utmärkt för träning till kurser enligt Gy 2011. Denna version av lösningarna refererar till den FORMELSAMLING som hör till kursen Matematik 3. Provet kommer inte att återanvändas enligt beslut från Skolverket Dnr:73-2009:215. Kom ihåg • Matematik är att vara tydlig och logisk • Använd text och inte bara formler • Rita figur (om det är lämpligt) • Förklara införda beteckningar Du ska visa att du kan • Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning. • Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet. • Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang. • Värdera och jämföra metoder/modeller. • Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 NpMaC vt 2011 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 § offentlighets- och sekretesslagen (2009:400). Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2017-06-30. Vid sekretessbedömning ska detta beaktas. NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 Anvisningar Provtid 240 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder högst 90 minuter för arbetet med Del I. Hjälpmedel Del I: ”Formler till nationellt prov i matematik kurs C”. Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del. Del II: Miniräknare, även symbolhanterande räknare och ”Formler till nationellt prov i matematik kurs C”. Provmaterialet Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv ditt namn och komvux/gymnasieprogram på de papper du lämnar in. Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren. Redovisa därför ditt arbete med Del I på separat papper. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. Provet Provet består av totalt 17 uppgifter. Del I består av 8 uppgifter och Del II av 9 uppgifter. Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel. Uppgift 8 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt. Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete. Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning. Poäng och betygsgränser Provet ger maximalt 46 poäng. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för din lösning. Om en uppgift kan ge 2 g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (2/1). Några uppgifter är markerade med ¤, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna. Undre gräns för provbetyget Godkänt: 12 poäng. Väl godkänt: 25 poäng varav minst 7 vg-poäng. Mycket väl godkänt: 25 poäng varav minst 14 vg-poäng. Du ska dessutom ha visat prov på flertalet av de MVG-kvaliteter som de ¤-märkta uppgifterna ger möjlighet att visa. NpMaC vt 2011 Kravgränser Detta prov kan ge maximalt 46 poäng, varav 23 g-poäng. Undre gräns för provbetyget Godkänt: 12 poäng. Väl godkänt: 25 poäng varav minst 7 vg-poäng. Mycket väl godkänt: 25 poäng varav minst 14 vg-poäng. Eleven ska dessutom ha visat prov på minst tre olika MVG-kvaliteter av de fyra MVG-kvaliteter som är möjliga att visa i detta prov. De ¤-märkta uppgifterna i detta prov ger möjlighet att visa fyra olika MVG-kvaliteter, se tabellen nedan. Uppgift MVG-kvalitet 8 Formulerar och utvecklar problem, använder generella metoder/modeller vid problemlösning 13b 17 Analyserar och tolkar resultat, drar slutsatser samt bedömer rimlighet Genomför bevis och/eller analyserar matematiska resonemang 14d Värderar och jämför metoder/modeller Redovisar välstrukturerat med korrekt matematiskt språk 5 NpMaC vt 2011 Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 1. 2. 3. Derivera a) f ( x) = 2 x3 − 5 x Endast svar fordras (1/0) b) g ( x) = e 2 x + 7 Endast svar fordras (1/0) Lös ekvationerna och svara exakt. a) 6 x 5 = 24 Endast svar fordras (1/0) b) 6 x = 24 Endast svar fordras (1/0) Kalle har fått i uppgift att ta reda på hur grafen till en viss tredjegradsfunktion ser ut. Han ritar upp grafen på sin räknare, se figur. Han säger: ”Det ser ut som om grafen har en terrasspunkt!” Kan Kalle, utifrån den bild han ser på sin räknare, vara säker på att grafen har en terrasspunkt? Motivera ditt svar. 4. (1/0) Lös ekvationerna a) 4x3 − x5 = 0 (2/0) b) lg x + lg 2 = 3 (0/2) NpMaC vt 2011 5. 6. För funktionen f gäller att f ( x) = e x Vilket av följande påståenden A-E är korrekt? A. f har egenskapen att för alla x gäller att f ′( x) = f ( x) B. f är en exponentialfunktion med basen e där e ≈ 1,718 C. f har en graf som går genom punkten (1, 0) D. f är avtagande för x < 0 och växande för x > 0 E. f har egenskapen att f ′(1) = 0 (1/0) Förenkla följande uttryck så långt som möjligt. a) b) 7. Endast svar fordras (17 + x) 3 ( x + 17) 2 (8 − 2 x) 3 ( 4 − x) 4 (1/0) (0/1) Bertil sätter in B kr på ett konto som har en årlig räntesats av r %. Räntesatsen är oförändrad under den tid som pengarna finns på kontot. Kapitalet på kontot är K kr. Teckna ett funktionsuttryck som anger hur kapitalet K beror av B och r om pengarna finns på kontot i tre år. Endast svar fordras (0/2) NpMaC vt 2011 Vid bedömningen av ditt arbete med denna uppgift kommer läraren att ta hänsyn till: • Hur väl du utför dina beräkningar • Hur långt mot en generell lösning du kommer • Hur väl du motiverar dina slutsatser • Hur väl du redovisar ditt arbete • Hur väl du använder det matematiska språket 8. I den här uppgiften ska du undersöka en egenskap hos extrempunkterna till de kx 3 där k är en konstant. funktioner som ges av f ( x) = 3 x 2 − 3 Tabellen visar koordinaterna hos extrempunkterna till funktionen f för några olika värden på k. k Extrempunkt/er −2 (0, 0) och (−3, 9 ) −1 (0, 0) och (−6, 36) 0 (0, 0) 1 (0, 0) och (6, 36) 2 (0, 0) och ( 3, 9 ) 3 • Komplettera tabellen genom att beräkna koordinaterna för extrempunkterna då k = 3 , det vill säga då funktionen ges av f ( x) = 3 x 2 − x 3 • Studera extrempunkterna i tabellen. De ligger på grafen till en annan funktion som vi kallar g. Ange det funktionsuttryck g (x) som du tycker är troligt och motivera ditt val. • Undersök så utförligt och fullständigt som möjligt om det alltid gäller att kx 3 extrempunkterna till f ( x) = 3 x 2 − ligger på grafen till funktionen g. 3 (4/3/¤) NpMaC vt 2011 Del II Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 9. En konisk behållare fylls med vatten. Diagrammet visar hur vattennivåns höjd h i centimeter beror av tiden t i sekunder. a) b) 10. 11. Det tar 100 sekunder att fylla behållaren. Med vilken medelhastighet ökar vattennivåns höjd h under tidsperioden 10 ≤ t ≤ 100 ? (2/0) Tolka vad h′(50 ) = 0,20 betyder i detta sammanhang, det vill säga då konen fylls med vatten. (0/1) Lisas föräldrar sätter in 1000 kr i slutet av varje år på ett konto. Den årliga räntesatsen är 3 %. Föräldrarna gör den första insättningen det år Lisa fyller 2 år och sätter sedan in pengar till och med det år hon fyller 30 år. Hur mycket pengar kommer det att finnas på kontot direkt efter den sista insättningen? (2/0) Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 3 och Endast svar fordras som har värdet 2 då x = 0 (0/1) NpMaC vt 2011 12. Figuren visar graferna till fyra funktioner p, q, r och s. Funktionen p är en polynomfunktion av tredje graden. De andra funktionerna har bildats genom upprepad derivering av p, det vill säga: q ( x) = p ′( x) r ( x) = q ′( x) s ( x) = r ′( x) Para ihop funktionerna p, q, r och s med tillhörande graf A, B, C och D. Endast svar fordras 13. (0/1) Garfesta kommun ska bygga en bollplan. Den ska vara rektangulär med stängsel runtomkring. För att inte bollarna ska hamna ute på vägen bestämmer man sig för att bygga ett högre stängsel på den sida som ligger närmast vägen, se figur. Kommunen har bestämt att stängslet maximalt får kosta 6600 kr. Det lägre stängslet kostar 75 kr/m och det högre 225 kr/m. Kostnaden för stolpar och grindar ingår i priset för stängslet. Om kommunen använder 6600 kr till stängslet kan bollplanens area A m2 beräknas enligt nedanstående samband: A( x ) = 44 x − 2 x 2 där x m är längden på bollplanens sida närmast vägen. a) b) Bestäm med hjälp av derivata det värde på x som ger bollplanens maximala area. Visa att bollplanens area A m2 kan skrivas A( x ) = 44 x − 2 x 2 (3/0) (0/2/¤) NpMaC vt 2011 14. I Sverige är jordbävningar vanligare än vad man kan tro, men oftast är de så svaga att de knappt märks. Med hjälp av Richterskalan kan styrkan i en jordbävning anges med magnituden M. 2 Magnituden M ges av sambandet M = (lg E − 4,84) 3 där E är den frigjorda energin mätt i enheten joule, J. a) b) 15. Den 16 december 2008 skakades Skåne av en jordbävning som var kraftig för att vara i Sverige. Då frigjordes energin 2,75 ⋅ 1011 J. Vilken magnitud motsvarar detta på Richterskalan? (1/0) Den kraftigaste uppmätta jordbävningen i Sverige kallas Kosteröskalvet och det inträffade den 23 oktober 1904. Magnituden mätte 5,4 på Richterskalan. Hur mycket energi frigjordes vid Kosteröskalvet? (2/0) c) Utgå från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som är 5 och den andra har en magnitud som är 7. Hur många gånger större är den frigjorda energin hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den frigjorda energin hos den svagare? (0/1) d) Utgå återigen från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som är två enheter större än den andra. Undersök generellt hur många gånger större den frigjorda energin är hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den frigjorda energin hos den svagare. (0/1/¤) Antalet vildsvin i Sverige ökar kraftigt. Från en rapport är följande citat hämtat: År 2007 beräknades antalet vildsvin uppgå till cirka 60000 från Skåne och upp till Dalälven som ännu så länge utgör den nordliga gränsen för utbredningen. --Från 1990 till 2007 har vildsvinspopulationen haft en så stark tillväxt att antalet vildsvin i Sverige fördubblats vart femte-sjätte år. Källa: Svensk Naturförvaltning AB (2008), Rapport 04, Vildsvin, jakt och förvaltning Anta att antalet vildsvin uppskattas vid samma tidpunkt varje år. Utifrån citatet kan man göra olika prognoser om antalet vildsvin i Sverige i framtiden. Hur många vildsvin kan det finnas som mest i Sverige när man uppskattar antalet år 2011 om tillväxten fortsätter i den takt som beskrivs ovan? (0/3) NpMaC vt 2011 16. Nedan ges derivatans värde hos en funktion f i en given punkt P. ((2 + h)5 + 3) − (25 + 3) = 80 h →0 h lim 17. a) Ange funktionen f Endast svar fordras b) En tangent dras i punkten P. Bestäm tangentens ekvation. (0/1) (0/2) Nedan visas grafen till en andragradsfunktion som har nollställena x1 = 2 och x2 = 4 , se figur. Grafen skär y-axeln i punkten (0, p ) . Anta att vi drar en tangent till grafen i punkten (0, p ) . Bestäm lutningen för denna tangent uttryckt i p. (0/2/¤) NpMaC vt 2011 Del I planering.se Kurs vt2011 Denna del består av 8 uppgifter och är NpMaC avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina 12(39) lösningar på denna del görs på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. Del I # 1 1. (2/0) Derivera Derivera 3(6) a) f ( x) = 2 x3 − 5 x Endast svar fordras (1/0) b) g ( x) = e 2 x + 7 Endast svar fordras (1/0) Funktion Derivata Endast svar fordras (1/0) x n där n är ett reellt tal nx n −1 Differential- och integralkalkyl f ( a + h) − f ( a ) f ( x) − f (a) f ′(a) = lim = lim h →0 x →a h x−a Derivatans definition Använd FORMELSAMLINGEN 2. Lös ekvationerna och svara exakt. Derivator a) b) 6 x 5 = 24 x 6 = 24 Endast svar fordras a x (a > 0) ex 3. a ln a ex Kalle har fått i uppgift att ta reda på hur grafen till en viss tredjegradsfunktion ser ut. Han ritar upp grafen e kx på sin räknare, se figur. k ⋅ e kx a) Funktionen är 1 x − f (x) = 2 x3 − 5 x f ( x) + g ( x) då blir derivatan 0 2 f (x) = 2 · 3 · x − 5 Funktion Svar a) f 0 (x) = 6 x2 − 5 Primitiva funktioner b) (1/0) x Funktionen är 2x 1 x2 f ′( x ) + g ′( x ) Primitiv funktion kx + C k + 7 x n ( n ≠ −1) x n +1 +C n +1 f (x) = e då blir Han derivatan säger: ”Det ser ut som om grafen har en terrasspunkt!” 0 f (x) = 2 e2x e x ex + C Kan Kalle, utifrån den bild han ser på sin räknare, vara säker på att grafen har en terrasspunkt? Motivera ditt svar. e kx kx +C 0 2x e Svar b) f (x) = 2 e k (1/0) Kommentar Derivatanx av konstanten 7 är 0. a x +C 4. Lös ekvationerna a ( a > 0, a ≠ 1) ln a a) c G Robertsson b) 4x3 − x5 = 0 lg x + lg 2 = 3 (2/0) buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 (0/2) miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. Regler 1. Derivera (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 (a − b) = a − 2ab + b ( a + b) = a + 3a b + 3ab + b 2 2 3 2 3 2 2 1(6) 3 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 2 Formler prov i matematik a 3 + b 3 =Endast ( a + b)(svar a 2kurs −fordras ab + b3 ) a) f (till x ) = 2nationellt x3 − 5x Kurs planering .se NpMaC vt2011 3 3 2 2 a − b = ( a − b)( a + ab + b ) 2x b) g ( x) = e + 7 Algebra Del I# 2 (2/0) Regler Andragradsekvationer ( a + b) 2 2. Endast svar fordras 2 p p x =( a− − b±) 3 = a 3 −−3aq2 b + 3ab 2 − b 3 2 2 ( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = ax2 ++2px ab++qb 2= 0 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 Lös ekvationerna och svara exakt. (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 b) a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 ) Endast svar fordras T G M k h tera giga mega kilo hekto 6 x = 24 (1/0) Potensekvation & exponentialekvation Aritmetik a) 6 x 5 = 24 Prefix (1/0) 13(39) a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) d c m n µ Endast svar fordras deci centi 2 milli p 2 p 2 2 6 + q = 30 +10px Andragradsekvationer q -3 a) I FORMELSAMLINGEN följande regler 1012 109 x finns 10 102x = −10-1± 10-2 −10 (1/0) p mikro nano piko 10-6 10-9 10-12 (1/0) 3. Kalle har fått i uppgift att ta reda på hur grafen till en viss tredjegradsfunktion ser 1 ax − y figur. x ygrafen x + på y sin räknare, ut. Han ritar upp a− x = = a xse (a x ) y = a xy Potenser a a =a Aritmetik Prefix ax ay x a xk a h = x b mega bkilo hekto T G M a xb x = (ab) x tera giga 1012 109 106 103 102 d 1 c an = n a µ n a0 = 1 p deci centi milli mikro nano piko 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 a (k − 1) n m Geometrisk Börja med att städa, i vänsterledet där k ≠ 1 + ak n −1 = a + behåll ak + ak 2x+5 ... summa k −1 x 24 1 5 a = a x a=y 4= a x + y a− x = x = a x− y (a x ) y = a xy Potenserx y 6 a a 1 1 y = e x ⇔ x = ln y Logaritmer (x5 ) 5 = 4 y5 = 10 x ⇔ x = lg y √ x 1 5 1 ax a x = 4 5 x=x 4 x = a0 = 1 nx= n a √ x 1 a a b = ( ab ) p 5 b b lg x + lg y =4lg xy lgx − lg y = lg lg x = p ⋅ lg x Svar a) 4 5 alternativt y Han säger: ”Det ser ut som om grafen har en terrasspunkt!” x n − 1) b) Logaritmera exponentialekvationen och använd FORMELSAMLINGEN för Geometrisk a+≥ak0n −1 =6a (k= 24 +a ak 2 om ... där k ≠ 1 + + a ak a = summa Absolutbelopp KanxKalle, utifrån den bild han ser på sink räknare, vara säker på att grafen har en att få ner på raden. −1 − a om a < 0 terrasspunkt? Motivera ditt svar. (1/0) Logaritmer 4. y = 10 x ⇔ x = lg y Lös ekvationerna lg x + lg y = lg xy y = e x ⇔ x = ln y lg x − lg y = lg x y a) x 4 x 3 − x 5 = 0 om a ≥ 0 a log 6 = loga 24 = Absolutbelopp 13-02-21xb) lg 224=3− a om a < 0 log 6 lg=x +log log 24 x = log 6 log 24 Svar b) x = log 6 c G Robertsson 13-02-21 buggar ⇒ [email protected] lg x p = p ⋅ lg x (2/0) © Skolverket (0/2) 2015-04-06 © Skolverket 2. Lös ekvationerna och svara exakt. a) 6 x 5 = 24 Kurs planering.se b) 6 x = 24 Del I # 3 3. NpMaC vt2011 (1/0) Endast svar fordras (1/0) 14(39) Endast svar fordras (1/0) Terrasspunkt? Kalle har fått i uppgift att ta reda på hur grafen till en viss tredjegradsfunktion ser ut. Han ritar upp grafen på sin räknare, se figur. Han säger: ”Det ser ut som om grafen har en terrasspunkt!” Kan Kalle, utifrån den bild han ser på sin räknare, vara säker på att grafen har en terrasspunkt? Motivera ditt svar. (1/0) En terrasspunkt är en punkt där funktionens derivata är noll och där teckenväxlingen är + 0 + eller − 0 −. Här har vi inte kunskap om vad derivatan är i någon punkt. För att 4. Lös kunna varaekvationerna säkra på vad derivatan är måste vi ha derivatan på parametrisk form (alltså en formel). I Appendix på sidan 35 finns fyra olika grafer presenterade som alla ser ut att =0 (2/0) a) 4 x 3 − x 5Endast ha en terrasspunkt. en har terrasspunkt. lg xNär + lg 2uppgiften =3 b) (0/2) Kommentar till Kalle är att ta reda på hur grafen till en viss tredjegradsfunktion ser ut är Kalles svar att det ser ut som grafen har en terrasspunkt korrekt. Frågan till Kalle gällde inte vilken sorts extrempunkt som eventuellt döljer sig i grafen. För att kunna nyttja sin miniräknare måste Kalle veta formeln för tredjegradspolynomet. När Kalle vet formeln för polynomet är det en standardprocedur att undersöka extrempunkter. Kommentar Skolverket skriver följande i rättningsnormen Det godtagbara svaret ska antingen kännetecknas av att eleven påpekar att det kan finnas maximi- och minimipunkter som inte syns eller av att eleven påpekar att om det är en terrasspunkt kan Kalle ändå inte vara säker på detta genom att endast titta på sin räknare eftersom han aldrig med blotta ögat kan se om kurvans tangent är horisontell eller har en positiv/negativ lutning. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Algebra ReglerHan 2 säger: ”Det har en(terrasspunkt!” a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 (a + ser b) 2 ut = asom + 2om ab +grafen b2 3 3 2 2 3 2 Kurs planering.se (a − b) 2 = a 2 − 2ab + bNpMaC vt2011 15(39) ( a + b)vara = asäker + 3apå b att + 3ab + bhar Kan Kalle, utifrån den bild han ser på sin räknare, grafen en 2 terrasspunkt?(aMotivera (1/0) + b)(a − bditt ) = asvar. − b2 Del I # 4 a + b = ( a + b)( a Lös ekvationerna 3 (2/2) 3 2 − ab + b 2 ) a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) 4. Lös ekvationerna x + px + q = 0 Andragradsekvationer 3 5 a) 4x − x = 0 b) lg x + lg 2 = 3 2 p p x=− ± −q 2 2 2 (2/0) (0/2) Aritmetik a) Ekvationen är Prefix T G M k 0 = 4x3 − x5 . tera giga mega kilo Börja med att faktorisera ekvationen 12 92 6 3 0 =10 ( 4 −10x ) ·10 |{z} x3 10 | {z } 1:a faktorn 0 = Potenser 2:a faktorn 0 = Svar a) h hekto 10 2 2:a faktorn x 4−x y x yger två x + y rötter ax1 ==a x2− och a a =a x3 ger en trippelrot xa3y = 0 1:a faktorn 2 x x1 = +2,x xx2 = −2x och x3 a= 0= a a b = (ab) bx b x d c m µ n p deci centi milli mikro nano piko -1 -2 -3 -9 10-12 10 10 x2 = −2. x y 10 10 -6 10 (a ) = a xy a− x = 1 an a0 = 1 =na 1 ax b) Ekvationen är lg x + lg 2 = 3 a (k n − 1) 2 n −1 Geometrisk ... där k ≠ 1 + + + + = a ak ak ak summa FORMELSAMLINGEN där finns följande Använd k − 1 formler. Logaritmer y = 10 x ⇔ x = lg y y = e x ⇔ x = ln y lg x + lg y = lg xy lg x − lg y = lg x y lg x p = p ⋅ lg x lg x + lg 2 = a =3a om a ≥ 0 |{z}− a om a < 0 lg 2x lg 1000 Absolutbelopp | {z } Vi har alltså 2x = 1000 Svar b) x = 500 13-02-21 c G Robertsson © Skolverket buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se Del I # 5 NpMaC vt2011 (1/0) 16(39) Vilket alternativ? NpMaC vt 2011 5. För funktionen f gäller att f ( x) = e x Vilket av följande påståenden A-E är korrekt? Endast svar fordras A. f har egenskapen att för alla x gäller att f ′( x) = f ( x) B. f är en exponentialfunktion med basen e där e ≈ 1,718 C. f har en graf som går genom punkten (1, 0) D. f är avtagande för x < 0 och växande för x > 0 E. =0 f har egenskapen att f ′(1) NpMaC vt 2011 5. KORREKT För funktionen gäller att f ( x) = e x A se fFORMELSAMLINGEN. Vilket följande påståenden är korrekt? Endast svar fordras B fel av följande Rättuttryck värde så är långt eA-E = 2,718281828459045 . . . här duger 2,718. 6. Förenkla som möjligt. 1 C fel f (1) = e = 2,718 6= 0 ′( x) = f ( x) växande för alla x. A. f har egenskapen alla därmed x gäller att D fel (17 + x)f30 (x) = exatt>för 0 och är ffunktionen 0 x 0 a) E fel f2 (x) = e och därmed är f (1) = 2,718 6= 0. ( xär+en 17)exponentialfunktion B. f med basen e där e ≈ 1,718 Tecknet 6= betyder inte lika med enligt internationell standard. − 2en xA) 3graf f(8har som går genom punkten (1, 0) Svar C. Alternativ är korrekt b) 4 ( 4 − x) D. f är avtagande för x < 0 och växande för x > 0 (1/0) (1/0) (1/0) (0/1) Del E.I #f 6har egenskapen (1/1) att f ′F örenkla uttrycken (1) = 0 7. Bertil sätter in B kr på ett konto som har en årlig räntesats av r %. Räntesatsen är oförändrad under den tid som pengarna finns på kontot. Kapitalet på kontot är K kr. 6. Förenkla uttryck så som långtanger som möjligt. Teckna ettföljande funktionsuttryck hur kapitalet K beror av B och r om pengarna finns på kontot i tre år. Endast svar fordras 3 (17 + x) a) ( x + 17) 2 b) 7. (8 − 2 x) 3 ( 4 − x) 4 (0/2) (1/0) (0/1) Bertil sätter in B kr på ett konto som har en årlig räntesats av r %. Räntesatsen är buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 under den tid som pengarna finns på kontot. Kapitalet på kontot är K kr. c G Robertsson oförändrad Teckna ett funktionsuttryck som anger hur kapitalet K beror av B och r om pengarna finns på kontot i tre år. Endast svar fordras (0/2) ( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 ) a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) Kurs planering.se NpMaC vt2011 2 p p ± −q NpMaC vt 2011 2 2 x 2 + px + q = 0 Andragradsekvationer a) 5. 17(39) x=− (17 + x)3 (x + 17)3 (x + 17)(x + 17)(x + 17) = x + 17 = = 2 2 x 17)(x + 17) (x + funktionen 17) (x + 17)att f ( x) =(xe + För f gäller Aritmetik Vilket av följande påståenden A-E är korrekt? Svar a) Prefix A. giga mega kilo hekto deci centi milli n p mikro nano piko 10-6 10-9 10-12 f är en 10 exponentialfunktion med basen e10 där 12 3 -1 e ≈ 1 I B. FORMELSAMLINGEN potenser. 109 finns 106 räkneregler 10 102 för 10-2,71810-3 C. Potenser f har en graf som går genomx punkten (1, 0) a a xa y = a x+ y y = a x− y (a x ) y = a xy a− x = 1 an a0 = 1 D. a växande för x > 0 f är avtagande för x < 0 och E. f har egenskapen att f ′(1)a= 0= a a xb x = (ab) x bx b x x (1/0) µ T G att M h att f d′( x) = fc( x) m f har egenskapen för allakx gäller tera b) Endast svar fordras x + 17. =na 1 ax a (k n − 1) 1 Geometrisk Börja att faktorisera (82−+så 2...x) =n2−som (4 x). där k ≠ 1 + ak +långt = −möjligt. a + akuttryck ak 6. med Förenkla följande summa 3 3 3 3 1 − k (8 − 2 x) [2 (4 − x)] 2 (4 − x) 23 8 = = = = 4 4 4 (4 − x)(17 + x) 3 (4 − x) (4 − x) (4 − x) (4 − x) a) y = e x ⇔ x = ln y y 2= 10 x ⇔ x = lg y Logaritmer ( x8+ 17.) Svar b) (4 − x) x lg x + lg y = lg xy b) (8 − 2 x) 3 4 Del I # (74 − x) (0/2) a Absolutbelopp 7. lg x − lg y = lg y (1/0) lg x p = p ⋅ lg x (0/1) om a R ≥ 0änta a = − a om a < 0 Bertil sätter in B kr på ett konto som har en årlig räntesats av r %. Räntesatsen är oförändrad under den tid som pengarna finns på kontot. Kapitalet på kontot är K kr. Teckna ett funktionsuttryck som anger hur kapitalet K beror av B och r om pengarna finns på kontot i tre år. Endast svar fordras (0/2) 13-02-21 ©r Skolverket Procent betyder hundradel och betecknas med symbolen %, r % betyder alltså . 100 Efter 1 år har insatsen B växt till r B 1+ 100 Efter 2 år har insatsen B växt till r r B 1+ · 1+ 100 100 Efter 3 år är det totala kapitalet c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se NpMaC vt2011 18(39) r 3 K = B 1+ 100 r 3 Svar K = B 1 + 100 c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 NpMaC vt 2011 Vid bedömningen av ditt arbete med denna uppgift kommer läraren att ta hänsyn till: • väl du utför planering KursHur .se dina beräkningar NpMaC vt2011 19(39) • Hur långt mot en generell lösning du kommer • Hur väl du motiverar dina slutsatser • Hur Iväl# du redovisar ditt arbete Del 8 (4/3/⊗) Undersök egenskap hos extrempunkter • Hur väl du använder det matematiska språket 8. I den här uppgiften ska du undersöka en egenskap hos extrempunkterna till de kx 3 2 där k är en konstant. funktioner som ges av f ( x) = 3 x − 3 Tabellen visar koordinaterna hos extrempunkterna till funktionen f för några olika värden på k. k Extrempunkt/er −2 (0, 0) och (−3, 9 ) −1 (0, 0) och (−6, 36) 0 (0, 0) 1 (0, 0) och (6, 36) 2 (0, 0) och ( 3, 9 ) 3 • Komplettera tabellen genom att beräkna koordinaterna för extrempunkterna då k = 3 , det vill säga då funktionen ges av f ( x) = 3 x 2 − x 3 • Studera extrempunkterna i tabellen. De ligger på grafen till en annan funktion som vi kallar g. Ange det funktionsuttryck g (x) som du tycker är troligt och motivera ditt val. • Undersök så utförligt och fullständigt som möjligt om det alltid gäller att kx 3 extrempunkterna till f ( x) = 3 x 2 − ligger på grafen till funktionen g. 3 (4/3/¤) #1 Då k = 3 är f (x) = 3 x2 − x3 som har extrempunkter då f 0 (x) = 0 alltså c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se NpMaC vt2011 20(39) 0 = 6 x − 3 x2 = 3 · x · (2 − x) . |{z} | {z } x=0 x=2 Extrempunkterna blir (0, f (0)) = (0, 0) respektive (2, f (2)) = (2, 4). Tabellen blir k -2 -1 0 1 2 3 Extrempunkter (0,0) och (-3, 9) (0,0) och (-6,36) (0,0) (0,0) och ( 6,36) (0,0) och ( 3, 9) (0,0) och ( 2, 4) #2 Rita figur. Punkterna ligger på grafen till ett 2:a gradspolynom med minimum i origo. Polynomet g(x) = x2 passar till samtliga punkter i tabellen. y (−6, 36) (6, 36) (−3, 9) (3, 9) (2, 4) (0, 0) Undersökning för godtyckligt k. Polynomet k x3 f (x) = 3 x2 − 3 0 har extrempunkter då f (x) = 0 alltså då 0 = 6 x − k x2 = x · (6 − k · x) . |{z} | {z } x #3 1:a faktorn (1) (2) 2:a faktorn 1:a faktorn i ekvation (2) ger lösningen x1 = 0. 2:a faktorn i ekvation (2) ger lösningen c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se NpMaC vt2011 21(39) 6 k då k 6= 0. För fallet k = 0 ger 2:a faktorn ingen lösning eftersom 2:a faktorn är 6 när k = 0. När k = 0 så degenerar 3:e gradspolynomet (1) till ett 2:a gradspolynom som endast har en minimipunkt (0, 0). Hur är det med f (x2 )? Beräkna 3 6 2 k 6 k − f (x2 ) = 3 k 3 2 3 3·6 k·6 f (x2 ) = − 2 k 3 · k3 2 3·6 2 · 62 62 f (x2 ) = − = = x22 . k2 k2 k2 x2 = Sammanfattning För fallet k = 0 ligger den enda extrempunkten (minimipunkt) (0, 0) på grafen till g(x) = x2 . För fallet k 6= 0 ligger bägge extrempunkter x1 och x2 på grafen till g(x) = x2 . Det gäller alltså oberoende av k att extrempunkterna till f (x) ligger på grafen till polynomet g(x) = x2 . c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 NpMaC vt 2011 Kurs planering.se Del IIvt2011 NpMaC 22(39) Denna del består av 9 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare. Del II # 9 (2/1) Konisk Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utanbehållare tillgång till miniräknare. 9. En konisk behållare fylls med vatten. Diagrammet visar hur vattennivåns höjd h i centimeter beror av tiden t i sekunder. a) b) Det tar 100 sekunder att fylla behållaren. Med vilken medelhastighet ökar vattennivåns höjd h under tidsperioden 10 ≤ t ≤ 100 ? (2/0) Tolka vad h′(50 ) = 0,20 betyder i detta sammanhang, det vill säga då konen fylls med vatten. (0/1) a) Bestäm medelhastigheten under tidsperioden 10 < t < 100. ∆h 10. Lisas föräldrar sätter in 1000 kr i slutet av varje år på ett konto. Den årliga medelhastighet räntesatsen är 3 %.=Föräldrarna gör den första insättningen det år Lisa fyller ∆t 2 år och sätter pengar ∆tsedan = in100 − 10till och med det år hon fyller 30 år. Hur mycket ∆h pengar kommer att finnas på kontot direkt efter den sista = hslut − det hstart insättningen? Avläsning av höjden då t = 100 ur figuren ger hslut = 40 och höjden då t = 10 ger hstart = 17,5 11. Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 3 och 40 − 17,5 medelhastighet = x=0 = 0,25 Endast svar fordras som har värdet 2 då 100 − 10 (2/0) (0/1) Svar a) Medelhastigheten är 0,25 cm/s. Svar b) h0 (50) = 0,20 betyder att vattennivån ökar med 0,20 cm/s då h = 50 cm. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 2 p p x=− ± −q 2 2 x + px + q = 0 2 Andragradsekvationer a) Det tar 100 sekunder att fylla behållaren. Med vilken medelhastighet ökar vattennivåns höjd h under tidsperioden 10 ≤ t ≤ 100 ? (2/0) Kurs planering.se NpMaC vt2011 23(39) Aritmetik b) Tolka vad h′(50 ) = 0,20 betyder i detta sammanhang, det vill säga då konen vatten. (0/1) PrefixII #fylls Del 10med(2/0) Lisas föräldrar spar T G M k tera giga mega kilo 12 9 10 10. 6 10 10 10 h 3 hekto 10 2 d c m µ n p deci centi milli mikro nano piko -1 -2 -3 -9 10-12 10 10 10 10 -6 10 Lisas föräldrar sätter in 1000 kr i slutet av varje år på ett konto. Den årliga räntesatsen är 3 %. Föräldrarna görx den första insättningen det år Lisa fyller 1 x − y det år honx fyller y xy år. x y in xpengar 2 år och sätterasedan tillaoch med 30 a− x = x = a ( a ) = a Potenser a = a +y a a yfinnas på kontot direkt efter den sista Hur mycket pengar kommer det att insättningen? ax a = x b b a b = (ab) Använd FORMELSAMLINGEN. x x x x 1 an (2/0) a0 = 1 =na − 1) är definierat för x = 3 och a (k inte n −1 som Geometrisk 11. Ge ett exempela +påakett+ rationellt uttryck där k ≠ 1 = ak 2 + ... + ak summa k −1 Endast svar fordras som har värdet 2 då x = 0 n (0/1) e summa ⇔ x = ln y =för ⇔ x = lg y i formeln y =n10 Logaritmer Notera hur n − 1 och förekommer avy geometrisk serie. Vänsterledet i formeln har n stycken termer numrerade från 0 till n − 1. I Lisas fall blir termerna x 29 lg x + lg y = lg xy 1000 · (1,03 − 1) = 1,03 − 1 Absolutbelopp x 1000 |{z} Lisa om a30 ≥ 0år a a = 1,030 − a om a < 0 lg x − lg y = lg x y lg x p = p ⋅ lg x + 1000 · 1,03 + · · · + 1000 · 1,0328 . | {z } | {z } Lisa 29 år 1,031 Lisa 2 år 1,0328 Högerledet i serien ovan har 29 termer numrerade från 0 till 28. Miniräknaren ger 1000 · (1,0329 − 1) = 45 219 1,03 − 1 Svar 45 219 kr. Kommentar I problem av denna typ är det viktigt att vara noggrann. Det är lätt att göra fel på antalet termer. 13-02-21 © Skolverket c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 10. Lisas föräldrar sätter in 1000 kr i slutet av varje år på ett konto. Den årliga räntesatsen är 3 %. Föräldrarna gör den första insättningen det år Lisa fyller 2 år och sätter sedan in pengar till och med det år hon fyller 30 år. Kurs planering .se pengar kommer det att NpMaC vt2011 Hur mycket finnas på kontot direkt efter den sista insättningen? Del II # 11 11. (0/1) 24(39) (2/0) Rationellt uttryck Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 3 och Endast svar fordras som har värdet 2 då x = 0 (0/1) p där p och q är heltal. Talet q får q inte vara 0, då det inte går att dividera med noll. Ett rationellt uttryck är kvoten av två polynom, exempelvis P (x) Q(x) där P (x) och Q(x) är polynom. Uttrycket är definierat för alla x utom de x där Q(x) = 0. Det går inte att dividera med noll. Ett rationellt tal är kvoten av två heltal, exempelvis Vi ska skapa ett rationellt uttryck som inte är definierat för x = 3. Det rationella uttrycket P (x) x−3 är inte definierat för x = 3 och har värdet P (0) 0−3 då x = 0. Enligt uppgiften ska vi skapa ett rationellt uttryck som har värdet 2 då x = 0. Välj lämpligt P (x). Det finns många möjligheter exempelvis P (x) = −6 eller P (x) = x − 6. x−6 uppfyller de två kraven. Svar Uttrycket x−3 c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se Del II # 12 12. NpMaC vt2011 (1/1) 25(39) NpMaC vt 2011 Funktioner Figuren visar graferna till fyra funktioner p, q, r och s. Funktionen p är en polynomfunktion av tredje graden. De andra funktionerna har bildats genom upprepad derivering av p, det vill säga: q ( x) = p ′( x) r ( x) = q ′( x) s ( x) = r ′( x) Para ihop funktionerna p, q, r och s med tillhörande graf A, B, C och D. Endast svar fordras (0/1) p C Endast kurvan C i bilden är en 3:e gradsfunktion 0 q = pGarfesta A Derivatan av bygga 3:e gradsfunktion är ska 2:avara gradsfunktion. 13. kommun ska en bollplan. Den rektangulär med stängsel Kurvan A är en 2:a gradsfunktion med ett minimum. runtomkring. För att inte bollarna ska hamna ute på vägen bestämmer man sig för att 0 r = pbygga D ett Derivatan av enpå 2:aden gradsfunktion äenärmast en 1:a gradsfunkhögre stängsel sida som ligger vägen, se figur. tion, alltså en linjär funktion. Kurvan D är en linjär funktion med lutning. 0 s = r B Derivatan av en linjär funktion med konstant lutning är konstant. Kurvan B är en konstant funktion Svar se ovan. Kommunen har bestämt att stängslet maximalt får kosta 6600 kr. Det lägre stängslet kostar 75 kr/m och det högre 225 kr/m. Kostnaden för stolpar och grindar ingår i priset för stängslet. Om kommunen använder 6600 kr till stängslet kan bollplanens area A m2 beräknas enligt nedanstående samband: c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] A( x ) = 44 x − 2 x 2 där x m är längden på bollplanens sida närmast vägen. a) b) Bestäm med hjälp av derivata det värde på x som ger bollplanens maximala area. Visa att bollplanens area A m2 kan skrivas A( x ) = 44 x − 2 x 2 2015-04-06 (3/0) Funktionen p är en polynomfunktion av tredje graden. De andra funktionerna har bildats genom upprepad derivering av p, det vill säga: q ( x) = p ′( x) r ( x) = q ′( x) s ( x) = r ′( x) Kurs planering.se NpMaC vt2011 Para ihop funktionerna p, q, r och s med tillhörande graf A, B, C och D. Endast svar fordras Del II # 13 13. (3/2/⊗) 26(39) (0/1) Maximal area Garfesta kommun ska bygga en bollplan. Den ska vara rektangulär med stängsel runtomkring. För att inte bollarna ska hamna ute på vägen bestämmer man sig för att bygga ett högre stängsel på den sida som ligger närmast vägen, se figur. Kommunen har bestämt att stängslet maximalt får kosta 6600 kr. Det lägre stängslet kostar 75 kr/m och det högre 225 kr/m. Kostnaden för stolpar och grindar ingår i priset för stängslet. Om kommunen använder 6600 kr till stängslet kan bollplanens area A m2 beräknas enligt nedanstående samband: A( x ) = 44 x − 2 x 2 där x m är längden på bollplanens sida närmast vägen. a) b) Bestäm med hjälp av derivata det värde på x som ger bollplanens maximala area. Visa att bollplanens area A m2 kan skrivas A( x ) = 44 x − 2 x 2 Differential- och integralkalkyl 3(6) (3/0) (0/2/¤) a) Derivera funktionen f ( a + h) − f ( a ) f ( x) − f (a) Derivatans definition = lim A(x) = 44 x − 2fx′(2a) = hlim →0 x →a h x−a Använd FORMELSAMLINGEN där finns Derivator Funktion Derivata x n där n är ett reellt tal nx n −1 ax (a > 0) a x ln a A0 (x) = 44 − 2 · 2 x ex ex Derivatan är noll vid extremvärden. Lös ekvationen 0 = 44 − 4 x kx e k ⋅ e kx som ger c G Robertsson 1 x Funktion 1 x2 buggar ⇒ [email protected] f ( x) + g ( x) Primitiva − f ′( x ) + g ′( x ) Primitiv funktion 2015-04-06 Kurs planering.se NpMaC vt2011 27(39) x = 11. Med teckentabell konstateras att A(11) är en maximipunkt. x A (x) A(x) 0 x = 10 + växer x = 11 0 max-punkt x = 12 − avtar Alternativt kan man konstatera att ett 2:a gradspolynom har exakt en extrempunkt som antingen är ett maximum eller minimum. När koefficienten framför x2 är negativ som i detta fall så har polynomet ett maximum. Svar a) x = 11 ger maximal area till bollplanen. b) Planens area A = x·y där x är längden av sidan (kortsida) enligt uppgiftens figur och y är andra sidan (långsida). Kostnaden för stängslet är 6600 kr. 6600 = 225 · x + 75 · y + 75 · x + 75 · y | {z } | {z } | {z } | {z } höga kortsidan kortsida långsida = 300 · x + 150 · y 300 150 = x+ y 150 150 = 2x + y = 44 − 2 x = x (44 − 2 x) = 44 x − 2 x2 6600 6600 150 44 y A(x) Svar b) långsida Planens area kan skrivas A(x) = 44 x − 2 x2 . Kommentar Bollplanens maximala area A(11) = 242 m2 men denna uppgift efterfrågades inte. Var noga! Svara alltid på det som frågas efter. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se Del II # 14 14. NpMaC vt2011 (3/2/⊗) 28(39) Jordb ävningar NpMaC vt 2011 I Sverige är jordbävningar vanligare än vad man kan tro, men oftast är de så svaga att de knappt märks. Med hjälp av Richterskalan kan styrkan i en jordbävning anges med magnituden M. 2 Magnituden M ges av sambandet M = (lg E − 4,84) 3 där E är den frigjorda energin mätt i enheten joule, J. a) b) Den 16 december 2008 skakades Skåne av en jordbävning som var kraftig för att vara i Sverige. Då frigjordes energin 2,75 ⋅ 1011 J. Vilken magnitud motsvarar detta på Richterskalan? (1/0) Den kraftigaste uppmätta jordbävningen i Sverige kallas Kosteröskalvet och det inträffade den 23 oktober 1904. Magnituden mätte 5,4 på Richterskalan. Hur mycket energi frigjordes vid Kosteröskalvet? (2/0) c) Utgå från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som är 5 och den andra har en magnitud som är 7. Hur många gånger större är den frigjorda energin hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den frigjorda energin hos den svagare? (0/1) d) Utgå återigen från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som är två enheter större än den andra. Undersök generellt hur många gånger större den frigjorda energin är hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den frigjorda energin hos den svagare. (0/1/¤) Beräkna magnituden M för energin E = 2,75 · 1011 J. stoppa in z}|{ ökar kraftigt. Från en rapport är följande citat hämtat: 2 i Sverige 15. Antalet vildsvin M = (lg E −4,84) |{z} 3 a) plocka utÅr 2007 beräknades antalet vildsvin uppgå till cirka 60000 från Skåne och upp till Dalälven som ännu så länge utgör den nordliga gränsen för 2 11 Mutbredningen. = lg(2,75 · 10 ) − 4,84 3 --2 till 2007 har vildsvinspopulationen haft en så stark tillväxt MFrån = 1990(11,44 − 4,84) = 4,40 att antalet 3 vildsvin i Sverige fördubblats vart femte-sjätte år. Svar a) b) Källa: Svensk Naturförvaltning AB (2008), Rapport 04, Vildsvin, jakt och förvaltning M = 4,40 Anta att antalet vildsvin uppskattas vid samma tidpunkt varje år. Beräkna energin E för magnituden M = 5, 4. stoppa in z}|{ 2 M = (lg |{z} E −4,84) 3 plocka ut Möblera om så att lg E blir fritt. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Utifrån citatet kan man göra olika prognoser om antalet vildsvin i Sverige i framtiden. Hur många vildsvin kan det finnas som mest i Sverige när man uppskattar antalet år 2011 om tillväxten fortsätter i den takt som beskrivs ovan? (0/3) 10 10 10 ax a xa y = a x+ y Potenser Kurs planering.se 10 a y 10 10 = a x− y 10 10 (a x ) y = a xy 10 10 a− x = 10 1 ax x x 1 aNpMaC a = vt2011 a n = n a x b b 1(6) a0 = 1 29(39) Formler till3nationellt prova(ki n matematik kurs 3 lg E = M + 4,84 − 1) (1) Geometrisk summa Nu vet vi lg E a b = (ab) x x x 2a + ak + ak 2 + ... + ak n −1 = där k ≠ 1 men behöver E. Använd FORMELSAMLINGEN där finns följande. k −1 Algebra Logaritmer Regler y = 10 x ⇔ x = lg y (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 y = e x ⇔ x = ln y ( a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 2 ) 3 x= a 3 + 3a 2lg b +x p3ab b 3x lg x − lg( ay+=blg = p +⋅ lg y (a x−+b)lg2 y= =a 2lg−xy 2ab + b 2 lg (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 a 3 + b 3 = ( a + b)( a 2 − ab + b 2 ) E = 10a = = 10 om a ≥ 0 Absolutbelopp − a om Stoppa in M = 5,4 i ekvation (2).a <Vi0 får lg E a 3 M +4,84 2 (2) a 3 − b 3 = ( a − b)( a 2 + ab + b 2 ) 3 E = 10 2 5,4+4,84 = 1012,94 = 8,71 · 1012 J Andragradsekvationer E = 8,71 · 1012 J. Svar b) 2 p p x=− ± −q 2 2 x 2 + px + q = 0 c) Jämför energin för magnituden M = 5 och M = 7. Använd den tidigare formeln (2). Aritmetik Låt E5 beteckna energin för magnituden 5 och E7 beteckna energin för magnituden 7. Bestäm 13-02-21 kvoten Prefix T3 G M k h d c m n © Skolverket p µ 10 2 7+4,84 E7 = tera3 5+4,84 . E5 10 2 giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 2 Använd FORMELSAMLINGEN och kvoten. 1012 109 106 förenkla 103 10 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 a a =a x y Potenser a b = (ab) x x Geometrisk E7 summa E5 ax x+ y a y ax = a x− y a = x b b x x (a x ) y = a xy a− x = 1 an a0 = 1 =na a (k − 1) 10 2 7+4,84 där 1 + ak 2 + ...(+23 7+4,84− k ≠23 5) ak n −1 =32 5+4,84) ( 32 7− = 10 = 103 = a +3 ak = 10 1 − k 5+4,84 10 2 1 ax n 3 x Svar c) 1000 gånger ⇔ x = lg y y = 10större. Logaritmer (3) y = e x ⇔ x = ln y x d) Jämför energin M och + y2.= Använd den lgtidigare formeln (2). Låt lg xM− lg lg y = lg xy lg xför + lgmagnituden x p = p ⋅ lg x y EM beteckna energin för magnituden M och EM +2 beteckna energin för magnituden M + 2. Bestäm kvoten 3 a om a ≥ 0 3 2 EM +2 10 2 (M+2)+4,84 a =3 Absolutbelopp= = 10 2 = 103 . a om a < 0 EM 10 2 M−+4,84 Svar d) 1000 gånger större. c G Robertsson 13-02-21 buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 © Skolverket c) Utgå från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som är 5 och den andra har en magnitud som är 7. Hur många gånger större är den frigjorda energin hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den frigjorda energin hos den svagare? (0/1) Kurs planering.se NpMaC vt2011 30(39) d) Utgå återigen från två olika jordbävningar där den ena har en magnitud som är två enheter större än den andra. Undersök generellt hur många gånger större den frigjorda energin är hos den kraftigare jordbävningen jämfört med den (4) frigjorda energin hos den svagare. (0/1/¤) Del II # 15 15. (0/3) Vildsvinen ökar kraftigt Antalet vildsvin i Sverige ökar kraftigt. Från en rapport är följande citat hämtat: År 2007 beräknades antalet vildsvin uppgå till cirka 60000 från Skåne och upp till Dalälven som ännu så länge utgör den nordliga gränsen för utbredningen. --Från 1990 till 2007 har vildsvinspopulationen haft en så stark tillväxt att antalet vildsvin i Sverige fördubblats vart femte-sjätte år. Källa: Svensk Naturförvaltning AB (2008), Rapport 04, Vildsvin, jakt och förvaltning Anta att antalet vildsvin uppskattas vid samma tidpunkt varje år. Utifrån citatet kan man göra olika prognoser om antalet vildsvin i Sverige i framtiden. Hur många vildsvin kan det finnas som mest i Sverige när man uppskattar antalet år 2011 om tillväxten fortsätter i den takt som beskrivs ovan? (0/3) Vildsvinen fördubblas på 5–6 år. Vi väljer att beskriva populationens ökning med följande exponentialekvation 2 C = C at som beskriver hur polulationen ökar från C till 2C under tidsintervallet t. Med t = 5 år får vi 2 = a5 där a kan skrivas på några olika sätt. √ 1 5 a = 2 5 = 20,2 = 2 = 1,1487 Fördubbling på tidsintervallet 6 år ger ett något mindre värde på a. För att beräkna det antal vildsvin som mest kan finnas efter 4 år (2011-2007) använder vi det största värdet på a och beräknar max antal = 60 000 · 1,14874 ≈ 104 000 Svar Max antal vildsvin år 2011 kan uppskattas till 104 000. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se Del II # 16 NpMaC vt2011 (0/3) 31(39) Derivatans värde . . . NpMaC vt 2011 16. Nedan ges derivatans värde hos en funktion f i en given punkt P. ((2 + h)5 + 3) − (25 + 3) = 80 h →0 h lim a) Ange funktionen f Endast svar fordras b) En tangent dras i punkten P. Bestäm tangentens ekvation. (0/1) 3(6) (0/2) Använd FORMELSAMLINGEN där finns derivatans definition. Differential- och integralkalkyl 17. Nedan visas grafen till en andragradsfunktion som har nollställena x1 = 2definition och x2 = 4 , se figur. Grafen i punkten f (a + skär h) − fy-axeln (a) f ( x) − f((0a,)p ) . Derivatans f ′(a) = lim h →0 Svar a) h = lim x →a x−a f (x) = x5 + 3 Derivator Funktion Derivata b) Punkten P har x-koordinaten x = 2 och y-koordinat f (2) = 25 + 3 = 35. Punkten P x n där n är ett reellt tal nx n −1 är alltså (2, 35). Den sökta tangenten är en rät linje som går genom punkten (2, 35) och har riktningskoefficienten xk = 80. a (a > 0) a x ln a 35 80·2 z}|{ z}|{ m y = k · x + |{z} ex ex −125 Svar b) e kx k ⋅ e kx Tangentens ekvation är y = 80 · x − 125. 1 1 Anta att vi drar en tangent till grafen i punkten− (x02, p ) . Bestäm lutningen för x denna tangent uttryckt i p. f ( x) + g ( x) Primitiva funktioner c G Robertsson f ′( x ) + g ′( x ) Funktion Primitiv funktion k kx + C x n ( n ≠ −1) x n +1 +C n +1 ex buggar ⇒ [email protected] ex + C e kx a x ( a > 0, a ≠ 1) e kx +C k ax +C (0/2/¤) 2015-04-06 ((2 + h)5 + 3) − (25 + 3) = 80 h →0 h lim a) Ange funktionen f Endast svar fordras Kurs planering.se NpMaC vt2011 b) En tangent dras i punkten P. Bestäm tangentens ekvation. Del II # 17 17. (0/2/⊗) (0/1) 32(39) (0/2) Tangent till andragradspolynom Nedan visas grafen till en andragradsfunktion som har nollställena x1 = 2 och x2 = 4 , se figur. Grafen skär y-axeln i punkten (0, p ) . Anta att vi drar en tangent till grafen i punkten (0, p ) . Bestäm lutningen för denna tangent uttryckt i p. (0/2/¤) Lutningen för en tangent är derivatan i punkten, här är det punkten (0, p) som är aktuell. För att kunna derivera måste funktionen vara känd. I detta problem är 2:a gradsfunktionen inte känd. Börja med att bestämma 2:a gradsfunktionen. Funktionen går genom tre olika punkter. Det finns olika möjligheter att bestämma funktionen. Lösning, variant ABC Tangentens lutning i punkten (0, p) är derivatan till 2:a gradspolynomet i punkten. Antag att polynomet beskrivs med y(x) = A x2 + B x + C då blir derivatan y 0 (x) = A 2 x + B och derivatan i den efterfrågade punkten (0, p) blir y 0 (0) = B Vi har tre okända A, B, C och samtidigt känner vi tre olika punkter (0, p), (2, 0), (4, 0) som grafen går genom. Bilda tre ekvationer. p = A · 02 + B · 0 + C (1) 2 0 = A·2 +B·2+C (2) 2 0 = A·4 +B·4+C (3) ekvation (1) ger c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se NpMaC vt2011 33(39) C = p. (4) Ekvation (2) och (3) ger med lösningen (4) −p = A · 4 + B · 2 (5) −p = A · 16 + B · 4 (6) Eliminera den icke intressanta A ur ekvationerna (5) och (6) . Ekvation (6)-4×(5) ger 3 p = B · (−4). −3 p Den efterfrågade derivatan y 0 (0) i punkten (0, p) är alltså B = . 4 Lösning, variant nollställen Det finns många olika 2:a gradsfunktioner som har nollställen x = 2 och x = 4. Varje värde på K i polynomet y = K (x − 2)(x − 4) ger ett polynom med nollställen x = 2 och x = 4. Vi ska välja K så att polynomet går genom punkten (0, p). Detta betyder att p = K (0 − 2)(0 − 4) p vilket ger K = . 8 y y = (x − 2)(x − 4) (0, 8) y= (0, p) 2 c G Robertsson 4 p (x − 2)(x − 4) 8 x buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se NpMaC vt2011 34(39) p (x − 2)(x − 4) 8 p 2 (x − 6 x + 8) y = 8 p y0 = (2 x − 6) 8 −3 p p (2 · 0 − 6) = y 0 (0) = 8 4 y = Svar Lutningen för tangenten i punkten (0, p) är c G Robertsson −3 p . 4 buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se NpMaC vt2011 35(39) Appendix Här presenteras fyra olika grafer som alla ser ut att ha en terrasspunkt. Funktionerna är f (x) = x3 och tre varianter. Endast f (x) = x3 har terrasspunkt med teckenväxlingen + 0 +. Med δ = 0,3 får vi följande fyra grafer. f (x) = x3 A f (x) = x2 (x − δ) B f (x) f (x) terrasspunkt max x 0 0,2 f (x) = (x − δ) x (x + δ) f (x) max f (x) = x(x2 + δ 2 ) D f (x) min −0,17 0,17 x f (−0,17) = 0, 01 f ( 0,17) = −0, 01 c G Robertsson x f (0) = 0 f (0,2) = −0,004 f (0) = 0 C min buggar ⇒ [email protected] x extrempunkter saknas f 0 (x) ≥ 0,32 2015-04-06 Kurs planering.se A NpMaC vt2011 36(39) Terrasspunkt Studera fallet med en trippelrot för x = 0 f (x) = x3 . Bestäm extrempunkter, derivera. f 0 (x) = 3 x2 Bestäm x där f 0 (x) = 0. 0 = 3 x2 Derivatans har en dubbelrot för x1,2 = 0. Andraderivatan är f 00 (x) = 6 x. x f (x) x=0 % 0 % terrasspunkt f 0 (x) f 00 (x) + 0 + 0 Andraderivatan f 00 (0) = 0 duger inte för att avgöra extrempunktens typ. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se B NpMaC vt2011 37(39) Max- & min-punkt Studera fallet med en dubbelrot för x = 0 och en tredje rot för x = δ f (x) = x2 (x − δ) f (x) = x3 − x2 δ Bestäm extrempunkter, derivera. f 0 (x) = 3 x2 − 2 x δ 2 f 0 (x) = 3 x (x − δ) 3 Bestäm x där f 0 (x) = 0. 2 0 = x (x − δ) 3 2 Derivatans nollställen är x1 = 0 och x2 = δ. 3 f (0) = 0 2 2 2 −1 −4 3 f ( δ) = δ δ = δ 3 3 3 27 Andraderivatan är f 00 (x) = 6 x − 2 δ. x f (x) & x = 23 δ −4 3 δ 27 min % − 0 + x=0 % 0 max f 0 (x) f 00 (x) + 0 −2 δ 2δ När det fungerar är det enklare att nyttja andraderivatan för att avgöra extrempunkternas typ än teckentabell. I detta fall fungerar det utmärkt med att nyttja andraderivatan. Här är f 00 (0) = −2 δ < 0 och punkten (0, 0) är alltså en max-punkt. Kom ihåg att för figurerna på på sidan 35 är δ = 0,3, vi har positiva δ. För den andra extrempunkten gäller att f 00 ( 32 δ) = 2 δ > 0 3 och punkten ( 23 δ, −4 27 δ ) är alltså en min-punkt. c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se C NpMaC vt2011 38(39) Max- & min-punkt, variant Studera fallet med en enkelrot för x = 0 och två rötter enligt x = ±δ f (x) = (x − δ) x (x + δ) f (x) = x (x2 − δ 2 ) f (x) = x3 − x δ 2 Bestäm extrempunkter, derivera. f 0 (x) = 3 x2 − δ 2 Bestäm x där f 0 (x) = 0. 1 0 = x2 − δ 2 3 −δ +δ Derivatans nollställen är x1 = √ och x2 = √ . 3 3 √ 2 3 3 −δ f(√ ) = δ 9 3 √ −2 3 3 +δ δ f(√ ) = 9 3 Andraderivatan är f 00 (x) = 6 x x f (x) % f 0 (x) + f 00 (x) −δ x= √ √ 3 2 3 3 δ 9 max 0 √ & − −2 3 δ +δ x= √ √ 3 −2 3 3 δ 9 min 0 √ 2 3δ % + √ √ −δ −δ 2 3 3 √ ) = −2 , Här är f 00 ( √ 3 δ < 0 och punkten ( 9 δ ) är alltså en max-punkt. Kom ihåg att för 3 3 figurerna på på sidan 35 är δ = 0,3, vi har√ positiva δ. För den andra extrempunkten gäller att √ −δ f 00 ( √ ) = 2 3 δ > 0 och punkten ( √δ3 , −29 3 )δ 3 är alltså en min-punkt. 3 c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06 Kurs planering.se D NpMaC vt2011 39(39) Extrempunkter saknas Studera fallet med en enkelrot för x = 0 och två komplexa rötter enligt x = ±iδ f (x) = x (x2 + δ 2 ) f (x) = x3 + x δ 2 Bestäm extrempunkter, derivera. f 0 (x) = 3 |{z} x2 + δ 2 ≥ δ 2 ≥0 Funktionen f (x) saknar extrempunkter. Funktionen har positiv derivata för alla x och är därför strikt växande. Bonusfråga Är kurvan nedan en del av en rät linje eller en del av cirkel med mycket stor radie? c G Robertsson buggar ⇒ [email protected] 2015-04-06