Svängningar och frekvenser

Svängning / Ljud i byggnad och samhälle / VTAF01
Svängningar och frekvenser
Vågekvationen för böjvågor
Vågekvationen för böjvågor i balkar såväl som plattor härleds med hjälp av elastiska
linjens ekvation. Den skiljer sig från de ovanstående genom att den består av fjärde
rumsderivatan av förskjutningen istället för andraderivatan som ovan
B
4w
2w


S
0
x 4
t 2
(1)
Där B är balkens böjstyvhet, för rektangulärt tvärsnitt
B  EI  E
bh3
12
(2)
och S är balkens tvärsnittsarea. I en lång balk är vågekvationens (harmoniska) lösning
ˆ cos(t  kx)
w  w( x, t )  w
(3)
vilket är samma som för longitudinella vågor. När man sätter in lösningen i
vågekvationen kan man lösa ut våghastigheten cf som
cf 

k
  4
B
Eh 2
  4
S
12 
(4)
Vad man kan observera här är det viktiga resultatet att våghastigheten är beroende av
frekvensen, ju högre frekvens desto snabbare går vågen. Våghastighetens
frekvensberoende kallas dispersion och sambandet ovan kallas dispersionsrelation. För de
tidigare nämnda vågtyperna är ju våghastigheten samma oavsett frekvens.
Vidare kan man observera att om frekvensen går mot oändligheten, vilket är fysikaliskt
möjligt, så går hastigheten också mot oändligheten, vilket inte är fysikaliskt möjligt då
information inte kan färdas snabbare än ljuset. Dessförinnan sätter dock teorin
begränsningar i att antagandena hos balkteorin som ligger till grund för elastiska linjens
ekvation inte längre gäller. Våglängden, som ska vara betydligt längre än balkens
tjocklek, minskar med högre frekvens.
1
Svängning / Ljud i byggnad och samhälle / VTAF01
Figur från boken Ljud och vibrationer (Bodén m fl.)
Egensvängningar i balkar
Egensvängningar i balkar inträffar om balkens våglängd (utböjningsformen) stämmer
överens med avståndet mellan stöden, se figuren nedan. För en fritt upplagd balk gäller
att den lägsta egenfrekvensen inträffar om exakt en halv våglängd ryms på balkens längd,
L = /2. Då är
2f 2
k

(6)
c

Figur 1. Utböjningsform för lägsta egenfrekvensen i böjsvängningen.
Från de uttrycken kan vi lösa ut egenfrekvensen för den lägsta egenfrekvensen
f0 
1
2
Eh 2
 
  
12 
L
2
(7)
Man får alltså en egenfrekvens för svängning i horisontalled och en för svängning i vertikalled
genom att byta ut h från höjd till bredd. Högre egenfrekvenser, den n:te, kan man få genom att
2
Svängning / Ljud i byggnad och samhälle / VTAF01
multiplicera f0 med n2, där n = 2, 3, 4 osv, så att fn = f0n2. Mest rörelseenergi finner man dock vid
den lägsta egenfrekvensen, så den är mest intressant att studera och lättast att hitta.
För en konsolbalk ser svängningarna lite annorlunda ut
Figuren är från boken Ljud och vibrationer (Bodén m fl.) och visar olika svängningsformer
som är kopplade till respektive egenfrekvens. Den viktigaste är i regel den lägsta då den
innehåller mest rörelseenergi. Det kan dock vara viktigt om någon drivfrekvens skulle
sammanfalla med någon av egenfrekvenserna.
Den här typen av svängningar behandlas mera utförligt i kursen Strukturdynamik som ges
vid Byggnadsmekanikavdelningen.
Lite om frekvensanalys
Egenfrekvenser hos strukturelement eller hela strukturer är viktiga att identifiera eftersom energi
lätt fortplantar sig och vi får stora rörelser vid dessa frekvenser. Om man vill undersöka
egenfrekvenser så kan man excitera den, antingen genom att utsätta den för en sinusformad kraft
där man sveper frekvensen eller med en plötslig impuls som man åstadkommer genom att knacka
på den.
När man knackar en balk så exciterar man alla frekvenser på en gång och de frekvenser som blir
kvar i balken en stund efter excitationen är egenfrekvenserna. Alla andra frekvenser dämpas
snabbt ut. Genom att mäta rörelsen med accelerometer som mäter accelerationen som funktion av
tiden och studera frekvensinnehållet kan man uppskatta utminstone de lägsta egenfrekvenserna.
Matematiskt kallar man detta för en Fouriertransform när man tar en tidssignal och transformerar
den till en frekvenssignal. Den definieras som
F ( ) 

 p(t )  e
it
dt
(8)

och finns tabellerad för många tidsfunktioner p(t). Den nya funktionen F() visar alltså
funktionen p:s frekvensinnehåll. Frekvensanalys använder man förstås också för
ljudtrycksmätningar och mätinstrument klarar av att göra denna i realtid så att man ser
frekvensinnehållet i en signal samtidigt som man mäter den.
En Fouriertransform är en linjär transformation, vilket medför att Fouriertransformen för
en sammansatt signal är summan av Fouriertransformerna för delsignalerna. Fouriers
teorem säger att alla periodiska signaler kan uttryckas som en summa av sinus- och
cosinusfunktioner med olika amplituder och frekvenser.
3
Svängning / Ljud i byggnad och samhälle / VTAF01
Medelvärdesbildning av mätningar
När man genomför mätningar av ljudnivå, efterklangstid eller acceleration är det viktigt
att göra flera mätningar eftersom mätresultatet varierar av olika anledningar.
Medelvärdesbildning av flera ljudmätningar görs genom att lägga ihop ljudsignalerna
enligt okorrelerad addition.
 10 L1 10  10 L2 10  10 L3 10  ... 

Lmedel  10 log
n


(9)
där n är antal mätningar.
4
Svängning / Ljud i byggnad och samhälle / VTAF01
Uppgifter
1. Järnvägsräls på svenska stambanan har följande data: tvärsnittsarean S = 63.710-4 m2
och yttröghetsmomentet Ib = 2045 10-8 m4. Materialdata för stål är E = 200 GPa,  = 0.3
och  = 7800 kg/m3. Beräkna böjvågens våglängd vid frekvenserna 100 Hz, 1 kHz och 10
kHz. (Exempel 6-8 från boken Ljud och vibrationer – Bodén m fl.)
2. En stålplatta med tjockleken 2 mm svänger genom att böja sig och sänder ut ljud. För
vilken frekvens är våghastigheten samma för luft som för böjvågen i plattan? (Här kan det
vara bra att snegla på avsnittet om koincidens i laborationsanvisning 2.) Över denna frekvens
kallas det supersoniskt område.
3. Beräkna koincidensfrekvensen för en gipsskiva med koincidenstal 32 m/s och tjockleken 13
mm.
4. Järnvägsräls monteras på tunga betongsyllar. Syllarna placeras i spårbredden med ett
inbördes avstånd a på ungefär 0.65 m. Varje sylls massa medför att utbredningen av de
böjvågor som genereras då tågets hjul rullar på rälen försvåras. Vid de frekvenser där
halva böjvåglängden i rälen är lika med ett helt antal syllavstånd a kan dock böjvågorna
spridas på stora avstånd från källans. Vilken är den lägsta av dessa frekvenser? (Exempel
6-11 från boken Ljud och vibrationer – Bodén m fl.)
5. I gamla westernfilmer kan man se hur tågrånarna lyssnar efter tåget genom lyssna på
rälsen. Fungerar detta verkligen i verkligheten?
6. Skissa hur frekvensspektrum ser ut för följande signaler
a) pa(t) = A sin(210t)
b) pb(t) = B sin(23t)
c) pc(t) = pa(t) + pb(t)
d) Brus
e) Total tystnad
7. Beräkna medelvärdesbildad ljudnivå från fem mätningar med följande resultat:
L1 = 60.5 dB, L2 = 61.2 dB, L3 = 65.1 dB, L4 = 62.0 dB, L5 = 61.1 dB
5
Svängning / Ljud i byggnad och samhälle / VTAF01
Svar
1. b = 4.2 m vid 100 Hz, b = 1.34 m vid 1 kHz och b = 0.42 m vid 10 kHz
2. fc = 6 kHz
3. fc = 2.5 kHz
4. f = 1070 Hz
5. Ja, det fungerar i verkligheten. Ljudet färdas längre sträcka genom stålrälen dels
eftersom materialdämpningen i stålet är liten och dels för att vågutbredningen är
endimensionell till skillnad från den sfäriska utbredningen i luft.
6.
7. Lm = 62.3 dB. Rak medelvärdesbildning skulle ge 62.0 dB.
6