www.pitronot.org

Comments

Transcription

www.pitronot.org
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם‬
‫משתנה המתפלג בינומית מתפלג לשני ערכים (בי=שניים) המכונים "הצלחה" או "כישלון"‪,‬‬
‫בהתאם להגדרת החוקר‪ .‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬בהטלת מטבע ‪ -‬ניתן להגדיר את העץ כהצלחה ואת הפאלי‬
‫ככישלון או להיפך‪ .‬ההצלחה והכישלון הינם תולדות אפשריות של ניסוי יחיד‪ ,‬למשל‪ ,‬הטלת‬
‫מטבע‪.‬‬
‫שני המאורעות – ההצלחה והכישלון – הינם ממצים ומוציאים‪ .‬כלומר‪ ,‬הם משלימים לכל מרחב‬
‫הדגימה‪ ,‬כך שלא ייתכן שמאורע מסוים לא ייכלל באף אחת מההגדרות‪ ,‬והם מוציאים‪ ,‬כך שלא‬
‫ייתכן שמאורע מסיים ייכלל בשתי ההגדרות‪.‬‬
‫נהוג לסמן את ההסתברות להצלחה ב‪ p-‬ואת ההסתברות לכישלון ב‪ q-‬או ב‪ ,)1-p(-‬כך שאם‬
‫‪ ,p=0.8‬אז ‪.q = 1-0.8 = 0.2‬‬
‫הסיכוי להצלחה ידוע וקבוע מניסוי לניסוי וכך גם הסיכוי לכישלון‪ .‬למשל‪ ,‬הסיכוי לקבלת פאלי‬
‫במטבע מאוזן בכל הטלה (ניסוי) הינו קבוע וידוע – ‪ ,0.5‬ומכאן שגם הסיכוי לכישלון (עץ) הינו ‪0.5‬‬
‫ואינו מושפע מתוצאות הניסויים הקודמים‪.‬‬
‫שימו לב‪ :‬בהתפלגות בינומית‪ ,‬ההגדרות של הצלחה וכישלון אינן מבטאות שיפוט ערכי של‬
‫המאורעות‪ .‬הגדרת מאורע כהצלחה או ככישלון תלויה במה שמבקשים מאיתנו בשאלה‪ .‬ייתכנו‬
‫שאלות בהן המאורע המבוקש ייראה לנו רחוק מהצלחה אך יוגדר כהצלחה בשל עובדת היותו‬
‫המאורע המבוקש במקרה זה‪ .‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬אם נדרשים לחשב את ההסתברות להיכשל במועד א'‬
‫בחמישה מבחנים מתוך שבעה‪ ,‬כשההסתברות לכישלון בכל מבחן באופן בלתי תלוי היא ‪ ,0.9‬ניתן‬
‫להגדיר "הצלחה" ככישלון במבחן (כך ש‪ ,p-‬ההסתברות לכישלון במבחן‪ ,‬תהיה שווה ‪)0.9‬‬
‫ו"כישלון" כקבלת ציון עובר במבחן (כך ש‪ ,q-‬ההסתברות לקבלת ציון עובר במבחן‪ ,‬תהיה שווה ל‪-‬‬
‫‪ .)0.1‬עם זאת‪ ,‬ברוב המקרים ניתן להגדיר את ההצלחה והכישלון לפי ראות עינינו‪ ,‬וההמשגה של‬
‫שניהם לא תשנה כל עוד נדאג לא להתבלבל בין ההמשגות שיצרנו‪.‬‬
‫‪ .1‬שאלה‪ :‬מה הסיכוי שאישה שיולדת פעמיים תלד שתי בנות‪ ,‬אם הסיכוי ללידת בן הוא‬
‫‪?0.4‬‬
‫תשובה‪ :‬נגדיר‪ :‬לידת בת = הצלחה‪ ,‬הסיכוי להצלחה‪; p=0.6 :‬‬
‫לידת בן = כישלון‪ ,‬הסיכוי לכישלון‪.q=0.4 :‬‬
‫הסיכוי לשתי הצלחות בשני ניסויים מקריים = לסיכוי להצלחה בניסוי ‪ * 1‬הסיכוי‬
‫להצלחה בניסוי ‪0.36 = 0.6*0.6 = 2‬‬
‫לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות‪-‬‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם‬
‫‪ .2‬שאלה‪ :‬מה הסיכוי שאישה שיולדת פעמיים תלד בת אחת‪ ,‬אם הסיכוי ללידת בן הוא‬
‫‪?0.4‬‬
‫תשובה‪ :‬קיימות שתי אפשרויות רצויות‪ :‬בראשונה האישה יולדת בת ואז בן ובשנייה‬
‫האישה יולדת בן ואז בת‪ .‬הסיכוי ללידת בת ואז בן = ‪ 0.24 = 0.6*0.4‬והסיכוי ללדת בן‬
‫ואז בת = ‪ .0.24 = 0.4*0.6‬אם כן‪ ,‬הסיכוי ללידת בת אחת בשתי לידות שווה ל‪-‬‬
‫‪.0.48=0.24+0.24‬‬
‫‪ .3‬שאלה‪ :‬ידוע כי ההסתברות שנהג שעומד בפקק מאזין לגלגל"צ הוא ‪ .0.7‬מה הסיכוי‬
‫שהאדם השלישי העומד בפקק הוא הראשון בתור המכוניות שמאזין לגלגל"צ?‬
‫תשובה‪ :‬נגדיר‪ :‬האזנה לגלגל"צ – הצלחה‪ ,‬הסיכוי להצלחה‪;p=0.7 :‬‬
‫אי האזנה לגלגל"צ – כישלון‪ ,‬הסיכוי לכישלון‪.q=0.3 :‬‬
‫הסיכוי שהשלישי בתור הוא הראשון שמאזין לגלגל"צ = הסיכוי שהראשון לא מאזין‬
‫לגלגל"צ * הסיכוי שהשני לא מאזין לגלגל"צ * הסיכוי שהשלישי מאזין לגלגל"צ =‬
‫‪.0.063 = 0.3*0.3*0.7‬‬
‫הכל טוב ויפה כאשר יש לניסוי שתי תולדות‪ :‬בן או בת‪ .‬אך מה אם מדובר בהטלת קובייה‪,‬‬
‫אשר יש לה ‪ 6‬תולדות אפשריות?‬
‫מה קורה כשייתכנו יותר משתי תולדות של הניסוי‪ ,‬כמו למשל‪ ,‬בהטלת קובייה?‬
‫במצב בו ייתכנו יותר משתי תולדות אפשריות של הניסוי‪ ,‬ההגדרה של הצלחה ושל כישלון תהיה‬
‫שונה ותוגדר באמצעות קיבוץ של מספר מאורעות לקטגוריות דיכוטומיות של הצלחה וכישלון ‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬בניסוי של הטלת קובייה‪ ,‬הצלחה יכולה להיות מוגדרת כקבלת מספר זוגי בעוד כישלון‬
‫יוגדר כקבלת מספר אי זוגי‪ ,‬וציונים במבחן יחולקו לציונים מעל לסף שנקבע (הצלחה) ולציונים‬
‫מתחת לסף שנקבע (כישלון)‪.‬‬
‫‪ .1‬שאלה‪ :‬מה הסיכוי שבשלוש הטלות קובייה יתקבלו מספרים זוגים בלבד (בהנחה כי‬
‫הקובייה מאוזנת)?‬
‫תשובה‪ :‬נגדיר‪ :‬מספרים זוגיים = הצלחה‪ ,‬הסיכוי למספר זוגי = הסיכוי לקבלת ‪+ 2‬‬
‫הסיכוי לקבלת ‪ + 4‬הסיכוי לקבלת ‪ / 6‬הסיכוי לקבל ‪ 3‬מספרים מתוך ‪;p=0.5  0.5 = 6‬‬
‫מספרים אי זוגיים = כישלון‪ ,‬הסיכוי למספר אי זוגי = הסיכוי לקבלת ‪ + 1‬הסיכוי‬
‫לקבלת ‪ + 3‬הסיכוי לקבלת ‪ / 5‬הסיכוי לקבל ‪ 3‬מספרים מתוך ‪.q=0.5  0.5 = 6‬‬
‫הסיכוי לשלוש הצלחות בשלושה ניסויים מקריים = הסיכוי להצלחה בניסוי ‪ * 1‬הסיכוי‬
‫להצלחה בניסוי ‪ * 2‬הסיכוי להצלחה בניסוי ‪0.125 = 0.5*0.5*0.5 = 3‬‬
‫הכל טוב ויפה כאשר מדובר בשתי לידות או בשלוש הטלות קובייה‪ .‬אך מה אם היה מדובר ב‪-‬‬
‫‪ 34‬לידות? או ב‪ 19-‬הטלות קובייה? במקרים כאלו הפתרון הופך מורכב יותר‪ .‬לשם כך אנו‬
‫זקוקים לנוסחת ברנולי‪.‬‬
‫לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות‪-‬‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם‬
‫בחישוב ההסתברות לקבל מספר מסוים של הצלחות (‪ )k‬מתוך מספר הניסויים הכללי (‪ )n‬נעזרים‬
‫בנוסחת ברנולי (הקרויה על שמו של מפתחה‪ ,‬יוהאן ברנולי‪ ,‬שחי אי שם במאה ה‪ 16-‬ואהב לכתוב‬
‫נוסחאות ב'סינית' על אף שהיה שוויצרי)‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫מרכיבי הנוסחה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫)‪ – P(x=k‬הסיכוי להצלחה ‪ k‬פעמים מתוך ‪ n‬ניסויים‪ .‬יש המסמנים‪.P(n,k,p) :‬‬
‫חשוב מאוד לא להתבלבל בין ה‪ P-‬הזו (שהינה ‪ P‬גדולה)‪ ,‬המסמלת את הסיכוי ל‪*k-‬‬
‫הצלחות מתוך ‪ n‬ניסויים‪ ,‬לבין ‪( p‬שהינה ‪ p‬קטנה)‪ ,‬המסמלת את ההסתברות להצלחה‬
‫בניסוי בודד‪ .‬כדי להקל על הזיכרון‪ :‬שתי ה‪ P-‬מסמלות הסתברות להצלחה‪ ,‬רק שאחת‬
‫מהן היא הסתברות להצלחה בניסוי בודד (שהיא הצלחה קטנה – ‪ )p‬ואילו השנייה היא‬
‫הסתברות להצלחה במספר ניסויים (הצלחה גדולה – ‪ .)P‬ניתן לראות כי גודל‬
‫ההסתברות להצלחה הולכת בכיוון הפוך לגודל ההצלחה‪ ,‬כך שברוב המקרים‬
‫ההסתברות להצלחה 'קטנה' תהיה גדולה יותר מההסתברות להצלחה 'גדולה'‪.‬‬
‫‪ – n‬מספר הניסויים המקריים שמתרחשים‪ .‬למשל‪ ,‬הטלת מטבע ‪ 8‬פעמים‪ 7 ,‬מבחנים‪,‬‬
‫הטלת קובייה ‪ 13‬פעמים‪.‬‬
‫‪ – k‬מספר ההצלחות‪.‬‬
‫‪ – n-k‬מספר הכישלונות‪.‬‬
‫אבל מה זו הקומבינציה בתחילת הנוסחה?‬
‫נחזור רגע להסתברות וקומבינטוריקה‪ .‬אם הסיכוי שלחם עם ריבה ייפול על הצד של‬
‫הריבה הוא ‪ ,0.9‬אז הסיכוי שייפול על הצד בלי הריבה ושנשקול להמשיך לאכול אותו‬
‫הוא ‪( 0.1‬נעזוב בצד את הסיכוי לאכול לחם עם ריבה מתחת לגיל ‪.)50‬‬
‫אם היו מבקשים מאיתנו לחשב את הסיכוי לכך שמתוך חמש פרוסות ריבה שנופלות‪,‬‬
‫שתיים תיפולנה על הריבה (נגדיר כהצלחה לצורך החישוב) ושלוש על הצד בלי הריבה‬
‫(נגדיר ככישלון)‪ ,‬היינו כופלים את ההסתברויות של המאורעות הבודדים‪:‬‬
‫‪.0.1*0.1*0.1*0.9*0.9‬‬
‫אבל ‪ -‬זו לא האופציה היחידה לסידור הנפילות על צד הריבה והנפילות על הצד ללא‬
‫הריבה!‬
‫כמה אפשרויות יש ל‪ 2-‬נפילות על הצד של הריבה מתוך ‪ 5‬נפילות? מצלצל מוכר? זו‬
‫הקומבינטוריקה הנדרשת‪.‬‬
‫לבחירת ‪ 2‬מתוך ‪ 2( 5‬נפילות על צד הריבה מתוך ‪ 5‬נפילות) יש !‪ 5‬אפשרויות לסידור‬
‫חלקי מספר הסידורים הפנימיים של האיברים הזהים‪ .3!*2! -‬כלומר‪ ,‬יש !‪ 5‬אפשרויות‬
‫לסידור ‪ 5‬נפילות של הלחם‪ ,‬אך אין אנו מבדילים בין הנפילות השונות על הצד של‬
‫הריבה (!‪ )2‬ואין אנו מבדילים בין הנפילות השונות על הצד ללא הריבה (!‪( )3‬כלומר‪ ,‬אנו‬
‫מבדילים רק בין נפילות על הצד של הריבה לבין נפילות על הצד ללא הריבה)‪.‬‬
‫לסיכום‪ ,‬הקומבינטוריקה בנוסחה נועדה לחשב את מספר הסידורים האפשריים של‬
‫ההצלחות והכישלונות הרצויים‪.‬‬
‫לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות‪-‬‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם‬
‫אם כן‪ ,‬נוסחת ברנולי מתחילה עם חישוב מספר האופציות לקבלת ההרכב הנבחר של הצלחות‬
‫וכישלונות לפי מספר ההצלחות (‪ )k‬מתוך מספר הניסויים (‪ ,)n‬ממשיכה עם הכפלה בסיכוי‬
‫להצלחה (‪ )p‬בחזקת מספר ההצלחות (‪ )k‬ומסתיימת בהכפלה בסיכוי לכישלון (‪ )q‬בחזקת מספר‬
‫הכישלונות (‪.)n-k‬‬
‫!‪5‬‬
‫במקרה שלנו‪:‬‬
‫‪2!*3! * 0.92 * 0.13‬‬
‫זאת כיוון שצריך לקחת בחשבון את הגורמים הבאים‪ :‬גם את הסיכוי לשתי נפילות על צד הריבה‪,‬‬
‫גם את הסיכוי לשלוש נפילות על הצד ללא הריבה וגם את אפשרויות הסידור השונות של התולדות‬
‫הללו‪.‬‬
‫חשוב לשים לב‪ :‬יש לשים לב להבדלים בניסוח השאלה‪ ,‬מאחר ואם היו מבקשים מאיתנו לחשב‬
‫את ההסתברות לכך ששתי הפרוסות הראשונות תיפולנה על הריבה וכל השאר לא‪ ,‬היינו‬
‫מסתפקים רק בחלק מנוסחת ברנולי‪ ,0.92* 0.13 :‬שזה למעשה ‪ .0.1*0.1*0.1*0.9*0.9‬הסיבה לכך‬
‫היא שזהו הסידור הרצוי היחיד של ההצלחות והכישלונות הנדרשים‪.‬‬
‫*הערה חשובה‪ :‬כפי שתואר לעיל‪ ,‬נוסחת ברנולי מסמנת את מספר ההצלחות ב‪ .k-‬סימון זה עלול‬
‫להיות שונה במוסדות לימוד שונים‪ .‬למשל‪ ,‬יש המסמנים את מספר ההצלחות ב‪.r-‬‬
‫‪ .1‬שאלה‪ :‬מה הסיכוי שלפחות פרוסה אחת מתוך ה‪ 5-‬תיפול על הצד ללא הריבה‪ ,‬אם‬
‫ההסתברות לנפילת פרוסה על צד הריבה שווה ל‪?0.9-‬‬
‫סיוע בפתרון‪ :‬זו שאלה שנוח יותר לפתור מהצד המשלים‪ ,‬כיוון שהשאלה למעשה מתייחסת‬
‫לכל המקרים פרט למקרה בו אף פרוסה לא נופלת על הצד ללא הריבה‪ ,‬כלומר המקרה בו כל‬
‫הפרוסות נופלות על צד הריבה‪.‬‬
‫הסיכוי שאף פרוסה לא תיפול על הצד ללא הריבה‪ ,‬כלומר‪ ,‬שכל הפרוסות תיפולנה על צד‬
‫הריבה‪ ,‬שווה ל‪ .0.95-‬אם כן‪ ,‬הסיכוי שלפחות פרוסה אחת תיפול על הצד ללא הריבה שווה‬
‫ל‪.)1-0.95(-‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובה‪)1-0.9 (=0.409 :‬‬
‫‪ .2‬שאלה‪ :‬מה הסיכוי שלפחות ‪ 2‬מהפרוסות תיפולנה על הצד ללא הריבה‪ ,‬אם ההסתברות‬
‫לנפילת פרוסה על הצד ללא הריבה שווה ל‪?0.1-‬‬
‫סיוע בפתרון‪ :‬גם כאן ישנן שתי אופציות‪:‬‬
‫א) לחבר את הסיכויים לנפילת ‪ 2,3,4‬או ‪ 5‬פרוסות על הצד ללא הריבה (כלומר‪ ,‬לחבר את‬
‫ההסתברות לנפילת ‪ 2‬פרוסות על הצד ללא הריבה‪ ,‬ההסתברות לנפילת ‪ 3‬פרוסות על הצד ללא‬
‫הריבה‪ ,‬ההסתברות לנפילת ‪ 4‬פרוסות על הצד ללא הריבה וההסתברות לנפילת ‪ 5‬פרוסות על‬
‫הצד ללא הריבה)‪.‬‬
‫ב) להחסיר מ‪( 1-‬סך ההסתברויות) את ההסתברות לנפילת ‪ 5‬פרוסות על צד הריבה (כלומר‪0 ,‬‬
‫נפילות על הצד ללא הריבה) ואת ההסתברות לנפילת ‪ 4‬פרוסות על צד הריבה (כלומר‪ ,‬נפילה‬
‫אחת על הצד ללא הריבה)‪.‬‬
‫לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות‪-‬‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם‬
‫תשובה‪ :‬אפשרות א'‪ :‬ההסתברות לנפילת ‪ 2‬פרוסות על הצד ללא הריבה (כלומר‪ 3 ,‬פרוסות על‬
‫צד הריבה)‪*0.93*0.12=0.0729 :‬‬
‫!‪5‬‬
‫!‪3!2‬‬
‫ההסתברות לנפילת ‪ 3‬פרוסות על הצד ללא הריבה (כלומר‪ 2 ,‬פרוסות על צד הריבה)‪:‬‬
‫‪*0.92*0.13=0.0081‬‬
‫!‪5‬‬
‫!‪2!3‬‬
‫ההסתברות לנפילת ‪ 4‬פרוסות על הצד ללא הריבה (כלומר‪ ,‬פרוסה ‪ 1‬על צד הריבה)‪:‬‬
‫‪*0.91*0.14=0.0004‬‬
‫!‪5‬‬
‫!‪1!4‬‬
‫ההסתברות לנפילת ‪ 5‬פרוסות על הצד ללא הריבה (כלומר‪ 0 ,‬פרוסות על צד הריבה)‪:‬‬
‫!‪5‬‬
‫‪ .0.15=0.00001‬ניתן‪ ,‬כמובן‪ ,‬לעשות שימוש בנוסחה השלמה‪ , *0.90*0.15=0.00001 :‬אך‬
‫!‪5‬‬
‫אין צורך בכך‪.‬‬
‫אם כן‪ ,‬ההסתברות לנפלית ‪ 2‬פרוסות לפחות על הצד ללא הריבה שווה ל‪:‬‬
‫‪0.0729+0.0081+0.0004+0.00001=0.082‬‬
‫‪5‬‬
‫אפשרות ב'‪ :‬ההסתברות לנפילת ‪ 5‬פרוסות על צד הריבה‪0.9 =0.59 :‬‬
‫ההסתברות לנפילת ‪ 4‬פרוסות על צד הריבה‪*0.94*0.11=0.328 :‬‬
‫!‪5‬‬
‫!‪4!1‬‬
‫אם כן‪ ,‬ההסתברות לנפילת ‪ 2‬פרוסות לפחות על הצד ללא הריבה שווה ל‪:‬‬
‫‪1-0.59-0.328=0.082‬‬
‫‪ .3‬שאלה‪ :‬ההסתברות לזכייה במשחק הימורים מסוים הינה ‪ .0.6‬מהמר קנה כרטיסי השתתפות‬
‫לחמישה סיבובי הימורים‪ .‬מה הסיכוי שבסיבוב החמישי תתרחש זכייתו השנייה?‬
‫סיוע בפתרון‪ :‬השאלה מתייחסת לשני חלקים‪ :‬הראשון הינו קבוע – זכייה בסיבוב החמישי‪,‬‬
‫והשני אינו קבוע – זכייה יחידה באחד מארבעת הסיבובים הראשונים‪ .‬כדי להעריך את‬
‫הסיכוי לזכייה שנייה בסיבוב החמישי יש לקיים את שני התנאים הללו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫תשובה‪ :‬ההסתברות לזכייה אחת בארבעת הסיבובים הראשונים = )‪4*0.6 *0.4 = P(4,1,0.6‬‬
‫= ‪0.1536‬‬
‫ההסתברות לזכייה בסיבוב החמישי = ‪.p=0.6‬‬
‫ההסתברות לזכייה שנייה בסיבוב החמישי = ההסתברות לזכייה אחת בארבעת הסיבובים‬
‫הראשונים * ההסתברות לזכייה בסיבוב החמישי = ‪.0.092 = 0.6*0.1536‬‬
‫ההתפלגות הבינומית הינה התפלגות של מספר ההצלחות (‪ )k‬המתקבל במהלך סדרה של ‪n‬‬
‫ניסויים בלתי תלויים‪ .‬כלומר‪ ,‬מספר ההצלחות (‪ )k‬הוא המשתנה על ציר ה‪ .x-‬התפלגות בינומית‬
‫תהיה‪ ,‬למשל‪ ,‬התפלגות מספר הפעמים בהן מתקבל "פאלי" בחמש הטלות מטבע‪ .‬אם כן‪,‬‬
‫ההתפלגות הבינומית היא התפלגות של משתנה בדיד‪ ,‬המפרטת את ההסתברות לקבלת מספר‬
‫הצלחות מסוים מתוך מספר ניסויים מסוים (‪.)n‬‬
‫‪k‬‬
‫איך מתפלג המשתנה "מספר הפרוסות שנופלות על הצד של הריבה"? זה תלוי במספר הניסויים‬
‫שנבצע (כמה פרוסות נפיל ‪.)n -‬‬
‫לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות‪-‬‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם‬
‫)‪ P(n,k,p‬הוא סימון המתייחס להסתברות לקבלת מספר הצלחות מסוים (‪ )k‬מתוך מספר ניסויים‬
‫מסוים (‪ ,)n‬כאשר נתונה הסתברות מסוימת להצלחה בניסוי בודד (‪ .)p‬למשל‪ ,‬הסימון )‪P(5,0,0.5‬‬
‫מתייחס להסתברות ל‪ 0-‬הצלחות מתוך ‪ 5‬ניסויים בלתי תלויים כשהסיכוי להצלחה בניסוי בודד‬
‫הינו ‪.0.5‬‬
‫כיצד נראה גרף המתאר את התפלגות המשתנה "מספר הפרוסות שנופלות על הצד של הריבה"‬
‫כאשר מבצעים ‪ 5‬ניסויים?‬
‫אם נתון כי ללחם אין נטייה מיוחדת ליפול על אף אחד מהצדדים‪ ,‬כלומר ‪ ,p=q=0.5‬אזי‪:‬‬
‫‪P(5,0,0.5)=0.031‬‬
‫‪P(5,1,0.5)=0.156‬‬
‫‪P(5,2,0.5)=0.31‬‬
‫‪P(5,3,0.5)=0.31‬‬
‫‪P(5,4,0.5)=0.156‬‬
‫‪P(5,5,0.5)=0.031‬‬
‫אם נתון שללחם נטייה ליפול על צד הריבה ושההסתברות שייפול על הצד ללא הריבה היא רק ‪0.1‬‬
‫(‪ ,)p=0.9 ,q=0.1‬אזי‪:‬‬
‫‪P(5,0,0.9)=0.00001‬‬
‫‪P(5,1,0.9)=0.0004‬‬
‫‪P(5,2,0.9)=0.0081‬‬
‫‪P(5,3,0.9)=0.0729‬‬
‫‪P(5,4,0.9)=0.328‬‬
‫‪P(5,5,0.9)=0.5905‬‬
‫לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות‪-‬‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם‬
‫כמו בכל התפלגות‪ ,‬גם בהתפלגות בינומית ניתן לחשב ממוצע ושונות‪:‬‬
‫ממוצע ההתפלגות – ‪n*p‬‬
‫שונות ההתפלגות – ‪ .n*p*q‬ניתן לראות כי ככל שההסתברות להצלחה וההסתברות לכישלון‬
‫דומות זו לזו‪ ,‬השונות גדלה‪ ,‬וככל שהן שונות זו מזו השונות קטנה ‪ .‬ניתן לחשוב על כך במונחים‬
‫של הגיון פשוט‪ :‬אם הסיכוי שהלחם ייפול על צד הריבה הוא ‪ ,0.9‬רוב הפרוסות תיפולנה על צד‬
‫הריבה‪ ,‬בעוד מעטות בלבד תיפולנה על הצד ללא הריבה‪ ,‬והשונות תהיה קטנה‪ .‬לעומת זאת‪ ,‬אם‬
‫הסיכוי שלחם ייפול על צד הריבה הוא ‪ ,0.5‬תהיה פחות נטייה לכיוון יחיד ויותר פיזור והשונות‬
‫תהיה גדולה יותר‪.‬‬
‫‪ .1‬שאלה‪ :‬שלמה מטיל מטבע מאוזן ‪ n‬פעמים ומנחם מטיל מטבע לא מאוזן ‪ n‬פעמים‪ .‬למי מהם‬
‫תהיה שונות בינומית גדולה יותר ומדוע?‬
‫תשובה‪ :‬שונות של התפלגות בינומית שווה ל‪ .n*p*q-‬אם כן‪ ,‬שונות ההתפלגות הינה‬
‫מקסימלית כאשר ‪ .p=q=0.5‬בכל מצב אחר שונות ההתפלגות תהיה קטנה יותר‪ .‬אם כן‪,‬‬
‫שונות ההתפלגות הבינומית של ההטלות של שלמה תהיה בהכרח גדולה יותר‪.‬‬
‫‪ .2‬שאלה‪ :‬דני מטיל ‪ 40‬פעמים מטבע‪ ,‬אשר ההסתברות שלו ליפול על "פלי" הינה ‪ .0.8‬דנה‬
‫מטילה ‪ 80‬פעמים מטבע‪ ,‬אשר ההסתברות שלו ליפול על "פלי" הינה ‪ .0.4‬התוחלת של איזו‬
‫התפלגות תהיה גדולה יותר? השונות של איזו התפלגות תהיה גדולה יותר?‬
‫תשובה‪ :‬תוחלת התפלגות בינומית שווה ל‪ .n*p-‬לפיכך‪ ,‬תוחלת התפלגות ההטלות של דני‬
‫הינה ‪ ,n*p=40*0.8=32‬ותוחלת התפלגות ההטלות של דנה הינה ‪ .n*p=80*0.4=32‬אם כן‪,‬‬
‫תוחלות שתי ההתפלגויות שוות‪.‬‬
‫שונות התפלגות בינומית שווה ל‪ .n*p*q-‬לפיכך‪ ,‬שונות התפלגות ההטלות של דני הינה‬
‫‪ ,40*0.8*0.2=6.4‬ושונות התפלגות ההטלות של דנה הינה ‪ .80*0.4*0.6=19.2‬אם כן‪ ,‬שונות‬
‫התפלגות ההטלות של דנה גדולה יותר‪.‬‬
‫צורת ההתפלגות הבינומית תלויה בערכי ה‪ p-‬וה‪ q-‬ובמספר הניסויים הנערכים (‪.)n‬‬
‫כפי שניתן היה לראות בגרפים שלעיל‪ ,‬ככל ש‪ p-‬ו‪ q-‬דומים יותר‪ ,‬צורת ההתפלגות סימטרית יותר‪.‬‬
‫ככל שה‪ n-‬גדל‪ ,‬כלומר ככל שמבצעים יותר ניסויים מקריים‪ ,‬ההתפלגות הבינומית תתקרב‬
‫לנורמאליות גם כשהסיכויים להצלחה וכישלון אינם מאוזנים‪ .‬נהוג להתייחס להתפלגות‬
‫כנורמאלית בקירוב כאשר גם ‪ n*p‬וגם ‪ n*q‬גדולים מ‪.5-‬‬
‫לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות‪-‬‬
‫‪www.pitronot.org‬‬
‫פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם‬
‫לעיתים יש בשאלות שעשויות להיראות כמו שאלות "בינומיות קלאסיות"‪ ,‬אך למעשה הן אינן‬
‫מתייחסות למשתנים המתפלגים בינומית‪:‬‬
‫‪ .1‬שאלה‪ :‬מפעל הפיס הוציא ‪ 3‬כרטיסי גירוד חדשים‪ .‬בראשון סיכויי הזכייה שווים ל‪,80%-‬‬
‫בשני ‪ 60%‬ובשלישי ‪ .50%‬יורם קנה את שלושת הכרטיסים‪ .‬מה ההסתברות שיורם יזכה‬
‫לפחות בשני פרסים?‬
‫סיוע בפתרון‪ :‬בשאלה זו הסיכוי לזכייה אינו קבוע מניסוי לניסוי‪ ,‬כך שהמשתנה אינו מתפלג‬
‫בינומית ולכן אין טעם לעשות שימוש בנוסחת ברנולי המלאה‪ .‬כדאי להתייחס לשאלה זו‬
‫כשאלת הסתברות רגילה‪ :‬נחסיר מ‪( 1-‬סך כל ההסתברויות) את ההסתברות לשתי האופציות‬
‫הלא רצויות – ‪ 0‬פרסים ופרס אחד‪ ,‬ונקבל את ההסתברות לשאר האופציות‪ 2 -‬פרסים או ‪3‬‬
‫פרסים‪.‬‬
‫תשובה‪ :‬ההסתברות שלא יקבל אף פרס = הסיכוי לא לזכות בכרטיס הראשון*הסיכוי לא‬
‫לזכות בכרטיס השני*הסיכוי לא לזכות בכרטיס השלישי = ‪.0.5*0.4*0.2‬‬
‫ההסתברות שיקבל פרס אחד = הסיכוי לזכות רק בכרטיס הראשון (ששווה לסיכוי לזכות‬
‫בראשון*הסיכוי לא לזכות בשני*הסיכוי לא לזכות בשלישי) ‪ +‬הסיכוי לזכות רק בכרטיס‬
‫השני (ששווה לסיכוי לא לזכות בראשון*הסיכוי לזכות בשני*הסיכוי לא לזכות בשלישי) ‪+‬‬
‫הסיכוי לזכות רק בכרטיס השלישי (ששווה לסיכוי לא לזכות בראשון*הסיכוי לא לזכות‬
‫בשני*הסיכוי לזכות בשלישי)= ‪.0.8*0.4*0.5 + 0.2*0.6*0.5 + 0.2*0.4*0.5‬‬
‫אם כן‪ ,‬ההסתברות לקבלת ‪ 2‬פרסים לפחות =‬
‫)‪1-(0.2*0.4*0.5 + 0.8*0.4*0.5 + 0.2*0.6*0.5 + 0.2*0.4*0.5‬‬
‫לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות‪-‬‬
‫‪www.pitronot.org‬‬