docwww.pitronot.org
download 
Report Transcription
www.pitronot.org
פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם משתנה המתפלג בינומית מתפלג לשני ערכים (בי=שניים) המכונים "הצלחה" או "כישלון", בהתאם להגדרת החוקר .כך ,למשל ,בהטלת מטבע -ניתן להגדיר את העץ כהצלחה ואת הפאלי ככישלון או להיפך .ההצלחה והכישלון הינם תולדות אפשריות של ניסוי יחיד ,למשל ,הטלת מטבע. שני המאורעות – ההצלחה והכישלון – הינם ממצים ומוציאים .כלומר ,הם משלימים לכל מרחב הדגימה ,כך שלא ייתכן שמאורע מסוים לא ייכלל באף אחת מההגדרות ,והם מוציאים ,כך שלא ייתכן שמאורע מסיים ייכלל בשתי ההגדרות. נהוג לסמן את ההסתברות להצלחה ב p-ואת ההסתברות לכישלון ב q-או ב ,)1-p(-כך שאם ,p=0.8אז .q = 1-0.8 = 0.2 הסיכוי להצלחה ידוע וקבוע מניסוי לניסוי וכך גם הסיכוי לכישלון .למשל ,הסיכוי לקבלת פאלי במטבע מאוזן בכל הטלה (ניסוי) הינו קבוע וידוע – ,0.5ומכאן שגם הסיכוי לכישלון (עץ) הינו 0.5 ואינו מושפע מתוצאות הניסויים הקודמים. שימו לב :בהתפלגות בינומית ,ההגדרות של הצלחה וכישלון אינן מבטאות שיפוט ערכי של המאורעות .הגדרת מאורע כהצלחה או ככישלון תלויה במה שמבקשים מאיתנו בשאלה .ייתכנו שאלות בהן המאורע המבוקש ייראה לנו רחוק מהצלחה אך יוגדר כהצלחה בשל עובדת היותו המאורע המבוקש במקרה זה .כך ,למשל ,אם נדרשים לחשב את ההסתברות להיכשל במועד א' בחמישה מבחנים מתוך שבעה ,כשההסתברות לכישלון בכל מבחן באופן בלתי תלוי היא ,0.9ניתן להגדיר "הצלחה" ככישלון במבחן (כך ש ,p-ההסתברות לכישלון במבחן ,תהיה שווה )0.9 ו"כישלון" כקבלת ציון עובר במבחן (כך ש ,q-ההסתברות לקבלת ציון עובר במבחן ,תהיה שווה ל- .)0.1עם זאת ,ברוב המקרים ניתן להגדיר את ההצלחה והכישלון לפי ראות עינינו ,וההמשגה של שניהם לא תשנה כל עוד נדאג לא להתבלבל בין ההמשגות שיצרנו. .1שאלה :מה הסיכוי שאישה שיולדת פעמיים תלד שתי בנות ,אם הסיכוי ללידת בן הוא ?0.4 תשובה :נגדיר :לידת בת = הצלחה ,הסיכוי להצלחה; p=0.6 : לידת בן = כישלון ,הסיכוי לכישלון.q=0.4 : הסיכוי לשתי הצלחות בשני ניסויים מקריים = לסיכוי להצלחה בניסוי * 1הסיכוי להצלחה בניסוי 0.36 = 0.6*0.6 = 2 לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות- www.pitronot.org פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם .2שאלה :מה הסיכוי שאישה שיולדת פעמיים תלד בת אחת ,אם הסיכוי ללידת בן הוא ?0.4 תשובה :קיימות שתי אפשרויות רצויות :בראשונה האישה יולדת בת ואז בן ובשנייה האישה יולדת בן ואז בת .הסיכוי ללידת בת ואז בן = 0.24 = 0.6*0.4והסיכוי ללדת בן ואז בת = .0.24 = 0.4*0.6אם כן ,הסיכוי ללידת בת אחת בשתי לידות שווה ל- .0.48=0.24+0.24 .3שאלה :ידוע כי ההסתברות שנהג שעומד בפקק מאזין לגלגל"צ הוא .0.7מה הסיכוי שהאדם השלישי העומד בפקק הוא הראשון בתור המכוניות שמאזין לגלגל"צ? תשובה :נגדיר :האזנה לגלגל"צ – הצלחה ,הסיכוי להצלחה;p=0.7 : אי האזנה לגלגל"צ – כישלון ,הסיכוי לכישלון.q=0.3 : הסיכוי שהשלישי בתור הוא הראשון שמאזין לגלגל"צ = הסיכוי שהראשון לא מאזין לגלגל"צ * הסיכוי שהשני לא מאזין לגלגל"צ * הסיכוי שהשלישי מאזין לגלגל"צ = .0.063 = 0.3*0.3*0.7 הכל טוב ויפה כאשר יש לניסוי שתי תולדות :בן או בת .אך מה אם מדובר בהטלת קובייה, אשר יש לה 6תולדות אפשריות? מה קורה כשייתכנו יותר משתי תולדות של הניסוי ,כמו למשל ,בהטלת קובייה? במצב בו ייתכנו יותר משתי תולדות אפשריות של הניסוי ,ההגדרה של הצלחה ושל כישלון תהיה שונה ותוגדר באמצעות קיבוץ של מספר מאורעות לקטגוריות דיכוטומיות של הצלחה וכישלון . למשל ,בניסוי של הטלת קובייה ,הצלחה יכולה להיות מוגדרת כקבלת מספר זוגי בעוד כישלון יוגדר כקבלת מספר אי זוגי ,וציונים במבחן יחולקו לציונים מעל לסף שנקבע (הצלחה) ולציונים מתחת לסף שנקבע (כישלון). .1שאלה :מה הסיכוי שבשלוש הטלות קובייה יתקבלו מספרים זוגים בלבד (בהנחה כי הקובייה מאוזנת)? תשובה :נגדיר :מספרים זוגיים = הצלחה ,הסיכוי למספר זוגי = הסיכוי לקבלת + 2 הסיכוי לקבלת + 4הסיכוי לקבלת / 6הסיכוי לקבל 3מספרים מתוך ;p=0.5 0.5 = 6 מספרים אי זוגיים = כישלון ,הסיכוי למספר אי זוגי = הסיכוי לקבלת + 1הסיכוי לקבלת + 3הסיכוי לקבלת / 5הסיכוי לקבל 3מספרים מתוך .q=0.5 0.5 = 6 הסיכוי לשלוש הצלחות בשלושה ניסויים מקריים = הסיכוי להצלחה בניסוי * 1הסיכוי להצלחה בניסוי * 2הסיכוי להצלחה בניסוי 0.125 = 0.5*0.5*0.5 = 3 הכל טוב ויפה כאשר מדובר בשתי לידות או בשלוש הטלות קובייה .אך מה אם היה מדובר ב- 34לידות? או ב 19-הטלות קובייה? במקרים כאלו הפתרון הופך מורכב יותר .לשם כך אנו זקוקים לנוסחת ברנולי. לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות- www.pitronot.org פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם בחישוב ההסתברות לקבל מספר מסוים של הצלחות ( )kמתוך מספר הניסויים הכללי ( )nנעזרים בנוסחת ברנולי (הקרויה על שמו של מפתחה ,יוהאן ברנולי ,שחי אי שם במאה ה 16-ואהב לכתוב נוסחאות ב'סינית' על אף שהיה שוויצרי). , מרכיבי הנוסחה ) – P(x=kהסיכוי להצלחה kפעמים מתוך nניסויים .יש המסמנים.P(n,k,p) : חשוב מאוד לא להתבלבל בין ה P-הזו (שהינה Pגדולה) ,המסמלת את הסיכוי ל*k- הצלחות מתוך nניסויים ,לבין ( pשהינה pקטנה) ,המסמלת את ההסתברות להצלחה בניסוי בודד .כדי להקל על הזיכרון :שתי ה P-מסמלות הסתברות להצלחה ,רק שאחת מהן היא הסתברות להצלחה בניסוי בודד (שהיא הצלחה קטנה – )pואילו השנייה היא הסתברות להצלחה במספר ניסויים (הצלחה גדולה – .)Pניתן לראות כי גודל ההסתברות להצלחה הולכת בכיוון הפוך לגודל ההצלחה ,כך שברוב המקרים ההסתברות להצלחה 'קטנה' תהיה גדולה יותר מההסתברות להצלחה 'גדולה'. – nמספר הניסויים המקריים שמתרחשים .למשל ,הטלת מטבע 8פעמים 7 ,מבחנים, הטלת קובייה 13פעמים. – kמספר ההצלחות. – n-kמספר הכישלונות. אבל מה זו הקומבינציה בתחילת הנוסחה? נחזור רגע להסתברות וקומבינטוריקה .אם הסיכוי שלחם עם ריבה ייפול על הצד של הריבה הוא ,0.9אז הסיכוי שייפול על הצד בלי הריבה ושנשקול להמשיך לאכול אותו הוא ( 0.1נעזוב בצד את הסיכוי לאכול לחם עם ריבה מתחת לגיל .)50 אם היו מבקשים מאיתנו לחשב את הסיכוי לכך שמתוך חמש פרוסות ריבה שנופלות, שתיים תיפולנה על הריבה (נגדיר כהצלחה לצורך החישוב) ושלוש על הצד בלי הריבה (נגדיר ככישלון) ,היינו כופלים את ההסתברויות של המאורעות הבודדים: .0.1*0.1*0.1*0.9*0.9 אבל -זו לא האופציה היחידה לסידור הנפילות על צד הריבה והנפילות על הצד ללא הריבה! כמה אפשרויות יש ל 2-נפילות על הצד של הריבה מתוך 5נפילות? מצלצל מוכר? זו הקומבינטוריקה הנדרשת. לבחירת 2מתוך 2( 5נפילות על צד הריבה מתוך 5נפילות) יש ! 5אפשרויות לסידור חלקי מספר הסידורים הפנימיים של האיברים הזהים .3!*2! -כלומר ,יש ! 5אפשרויות לסידור 5נפילות של הלחם ,אך אין אנו מבדילים בין הנפילות השונות על הצד של הריבה (! )2ואין אנו מבדילים בין הנפילות השונות על הצד ללא הריבה (!( )3כלומר ,אנו מבדילים רק בין נפילות על הצד של הריבה לבין נפילות על הצד ללא הריבה). לסיכום ,הקומבינטוריקה בנוסחה נועדה לחשב את מספר הסידורים האפשריים של ההצלחות והכישלונות הרצויים. לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות- www.pitronot.org פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם אם כן ,נוסחת ברנולי מתחילה עם חישוב מספר האופציות לקבלת ההרכב הנבחר של הצלחות וכישלונות לפי מספר ההצלחות ( )kמתוך מספר הניסויים ( ,)nממשיכה עם הכפלה בסיכוי להצלחה ( )pבחזקת מספר ההצלחות ( )kומסתיימת בהכפלה בסיכוי לכישלון ( )qבחזקת מספר הכישלונות (.)n-k !5 במקרה שלנו: 2!*3! * 0.92 * 0.13 זאת כיוון שצריך לקחת בחשבון את הגורמים הבאים :גם את הסיכוי לשתי נפילות על צד הריבה, גם את הסיכוי לשלוש נפילות על הצד ללא הריבה וגם את אפשרויות הסידור השונות של התולדות הללו. חשוב לשים לב :יש לשים לב להבדלים בניסוח השאלה ,מאחר ואם היו מבקשים מאיתנו לחשב את ההסתברות לכך ששתי הפרוסות הראשונות תיפולנה על הריבה וכל השאר לא ,היינו מסתפקים רק בחלק מנוסחת ברנולי ,0.92* 0.13 :שזה למעשה .0.1*0.1*0.1*0.9*0.9הסיבה לכך היא שזהו הסידור הרצוי היחיד של ההצלחות והכישלונות הנדרשים. *הערה חשובה :כפי שתואר לעיל ,נוסחת ברנולי מסמנת את מספר ההצלחות ב .k-סימון זה עלול להיות שונה במוסדות לימוד שונים .למשל ,יש המסמנים את מספר ההצלחות ב.r- .1שאלה :מה הסיכוי שלפחות פרוסה אחת מתוך ה 5-תיפול על הצד ללא הריבה ,אם ההסתברות לנפילת פרוסה על צד הריבה שווה ל?0.9- סיוע בפתרון :זו שאלה שנוח יותר לפתור מהצד המשלים ,כיוון שהשאלה למעשה מתייחסת לכל המקרים פרט למקרה בו אף פרוסה לא נופלת על הצד ללא הריבה ,כלומר המקרה בו כל הפרוסות נופלות על צד הריבה. הסיכוי שאף פרוסה לא תיפול על הצד ללא הריבה ,כלומר ,שכל הפרוסות תיפולנה על צד הריבה ,שווה ל .0.95-אם כן ,הסיכוי שלפחות פרוסה אחת תיפול על הצד ללא הריבה שווה ל.)1-0.95(- 5 תשובה)1-0.9 (=0.409 : .2שאלה :מה הסיכוי שלפחות 2מהפרוסות תיפולנה על הצד ללא הריבה ,אם ההסתברות לנפילת פרוסה על הצד ללא הריבה שווה ל?0.1- סיוע בפתרון :גם כאן ישנן שתי אופציות: א) לחבר את הסיכויים לנפילת 2,3,4או 5פרוסות על הצד ללא הריבה (כלומר ,לחבר את ההסתברות לנפילת 2פרוסות על הצד ללא הריבה ,ההסתברות לנפילת 3פרוסות על הצד ללא הריבה ,ההסתברות לנפילת 4פרוסות על הצד ללא הריבה וההסתברות לנפילת 5פרוסות על הצד ללא הריבה). ב) להחסיר מ( 1-סך ההסתברויות) את ההסתברות לנפילת 5פרוסות על צד הריבה (כלומר0 , נפילות על הצד ללא הריבה) ואת ההסתברות לנפילת 4פרוסות על צד הריבה (כלומר ,נפילה אחת על הצד ללא הריבה). לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות- www.pitronot.org פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם תשובה :אפשרות א' :ההסתברות לנפילת 2פרוסות על הצד ללא הריבה (כלומר 3 ,פרוסות על צד הריבה)*0.93*0.12=0.0729 : !5 !3!2 ההסתברות לנפילת 3פרוסות על הצד ללא הריבה (כלומר 2 ,פרוסות על צד הריבה): *0.92*0.13=0.0081 !5 !2!3 ההסתברות לנפילת 4פרוסות על הצד ללא הריבה (כלומר ,פרוסה 1על צד הריבה): *0.91*0.14=0.0004 !5 !1!4 ההסתברות לנפילת 5פרוסות על הצד ללא הריבה (כלומר 0 ,פרוסות על צד הריבה): !5 .0.15=0.00001ניתן ,כמובן ,לעשות שימוש בנוסחה השלמה , *0.90*0.15=0.00001 :אך !5 אין צורך בכך. אם כן ,ההסתברות לנפלית 2פרוסות לפחות על הצד ללא הריבה שווה ל: 0.0729+0.0081+0.0004+0.00001=0.082 5 אפשרות ב' :ההסתברות לנפילת 5פרוסות על צד הריבה0.9 =0.59 : ההסתברות לנפילת 4פרוסות על צד הריבה*0.94*0.11=0.328 : !5 !4!1 אם כן ,ההסתברות לנפילת 2פרוסות לפחות על הצד ללא הריבה שווה ל: 1-0.59-0.328=0.082 .3שאלה :ההסתברות לזכייה במשחק הימורים מסוים הינה .0.6מהמר קנה כרטיסי השתתפות לחמישה סיבובי הימורים .מה הסיכוי שבסיבוב החמישי תתרחש זכייתו השנייה? סיוע בפתרון :השאלה מתייחסת לשני חלקים :הראשון הינו קבוע – זכייה בסיבוב החמישי, והשני אינו קבוע – זכייה יחידה באחד מארבעת הסיבובים הראשונים .כדי להעריך את הסיכוי לזכייה שנייה בסיבוב החמישי יש לקיים את שני התנאים הללו. 1 3 תשובה :ההסתברות לזכייה אחת בארבעת הסיבובים הראשונים = )4*0.6 *0.4 = P(4,1,0.6 = 0.1536 ההסתברות לזכייה בסיבוב החמישי = .p=0.6 ההסתברות לזכייה שנייה בסיבוב החמישי = ההסתברות לזכייה אחת בארבעת הסיבובים הראשונים * ההסתברות לזכייה בסיבוב החמישי = .0.092 = 0.6*0.1536 ההתפלגות הבינומית הינה התפלגות של מספר ההצלחות ( )kהמתקבל במהלך סדרה של n ניסויים בלתי תלויים .כלומר ,מספר ההצלחות ( )kהוא המשתנה על ציר ה .x-התפלגות בינומית תהיה ,למשל ,התפלגות מספר הפעמים בהן מתקבל "פאלי" בחמש הטלות מטבע .אם כן, ההתפלגות הבינומית היא התפלגות של משתנה בדיד ,המפרטת את ההסתברות לקבלת מספר הצלחות מסוים מתוך מספר ניסויים מסוים (.)n k איך מתפלג המשתנה "מספר הפרוסות שנופלות על הצד של הריבה"? זה תלוי במספר הניסויים שנבצע (כמה פרוסות נפיל .)n - לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות- www.pitronot.org פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם ) P(n,k,pהוא סימון המתייחס להסתברות לקבלת מספר הצלחות מסוים ( )kמתוך מספר ניסויים מסוים ( ,)nכאשר נתונה הסתברות מסוימת להצלחה בניסוי בודד ( .)pלמשל ,הסימון )P(5,0,0.5 מתייחס להסתברות ל 0-הצלחות מתוך 5ניסויים בלתי תלויים כשהסיכוי להצלחה בניסוי בודד הינו .0.5 כיצד נראה גרף המתאר את התפלגות המשתנה "מספר הפרוסות שנופלות על הצד של הריבה" כאשר מבצעים 5ניסויים? אם נתון כי ללחם אין נטייה מיוחדת ליפול על אף אחד מהצדדים ,כלומר ,p=q=0.5אזי: P(5,0,0.5)=0.031 P(5,1,0.5)=0.156 P(5,2,0.5)=0.31 P(5,3,0.5)=0.31 P(5,4,0.5)=0.156 P(5,5,0.5)=0.031 אם נתון שללחם נטייה ליפול על צד הריבה ושההסתברות שייפול על הצד ללא הריבה היא רק 0.1 ( ,)p=0.9 ,q=0.1אזי: P(5,0,0.9)=0.00001 P(5,1,0.9)=0.0004 P(5,2,0.9)=0.0081 P(5,3,0.9)=0.0729 P(5,4,0.9)=0.328 P(5,5,0.9)=0.5905 לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות- www.pitronot.org פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם כמו בכל התפלגות ,גם בהתפלגות בינומית ניתן לחשב ממוצע ושונות: ממוצע ההתפלגות – n*p שונות ההתפלגות – .n*p*qניתן לראות כי ככל שההסתברות להצלחה וההסתברות לכישלון דומות זו לזו ,השונות גדלה ,וככל שהן שונות זו מזו השונות קטנה .ניתן לחשוב על כך במונחים של הגיון פשוט :אם הסיכוי שהלחם ייפול על צד הריבה הוא ,0.9רוב הפרוסות תיפולנה על צד הריבה ,בעוד מעטות בלבד תיפולנה על הצד ללא הריבה ,והשונות תהיה קטנה .לעומת זאת ,אם הסיכוי שלחם ייפול על צד הריבה הוא ,0.5תהיה פחות נטייה לכיוון יחיד ויותר פיזור והשונות תהיה גדולה יותר. .1שאלה :שלמה מטיל מטבע מאוזן nפעמים ומנחם מטיל מטבע לא מאוזן nפעמים .למי מהם תהיה שונות בינומית גדולה יותר ומדוע? תשובה :שונות של התפלגות בינומית שווה ל .n*p*q-אם כן ,שונות ההתפלגות הינה מקסימלית כאשר .p=q=0.5בכל מצב אחר שונות ההתפלגות תהיה קטנה יותר .אם כן, שונות ההתפלגות הבינומית של ההטלות של שלמה תהיה בהכרח גדולה יותר. .2שאלה :דני מטיל 40פעמים מטבע ,אשר ההסתברות שלו ליפול על "פלי" הינה .0.8דנה מטילה 80פעמים מטבע ,אשר ההסתברות שלו ליפול על "פלי" הינה .0.4התוחלת של איזו התפלגות תהיה גדולה יותר? השונות של איזו התפלגות תהיה גדולה יותר? תשובה :תוחלת התפלגות בינומית שווה ל .n*p-לפיכך ,תוחלת התפלגות ההטלות של דני הינה ,n*p=40*0.8=32ותוחלת התפלגות ההטלות של דנה הינה .n*p=80*0.4=32אם כן, תוחלות שתי ההתפלגויות שוות. שונות התפלגות בינומית שווה ל .n*p*q-לפיכך ,שונות התפלגות ההטלות של דני הינה ,40*0.8*0.2=6.4ושונות התפלגות ההטלות של דנה הינה .80*0.4*0.6=19.2אם כן ,שונות התפלגות ההטלות של דנה גדולה יותר. צורת ההתפלגות הבינומית תלויה בערכי ה p-וה q-ובמספר הניסויים הנערכים (.)n כפי שניתן היה לראות בגרפים שלעיל ,ככל ש p-ו q-דומים יותר ,צורת ההתפלגות סימטרית יותר. ככל שה n-גדל ,כלומר ככל שמבצעים יותר ניסויים מקריים ,ההתפלגות הבינומית תתקרב לנורמאליות גם כשהסיכויים להצלחה וכישלון אינם מאוזנים .נהוג להתייחס להתפלגות כנורמאלית בקירוב כאשר גם n*pוגם n*qגדולים מ.5- לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות- www.pitronot.org פתרונות – קורס ההכנה הראשון בישראל לבחינת מתא"ם לעיתים יש בשאלות שעשויות להיראות כמו שאלות "בינומיות קלאסיות" ,אך למעשה הן אינן מתייחסות למשתנים המתפלגים בינומית: .1שאלה :מפעל הפיס הוציא 3כרטיסי גירוד חדשים .בראשון סיכויי הזכייה שווים ל,80%- בשני 60%ובשלישי .50%יורם קנה את שלושת הכרטיסים .מה ההסתברות שיורם יזכה לפחות בשני פרסים? סיוע בפתרון :בשאלה זו הסיכוי לזכייה אינו קבוע מניסוי לניסוי ,כך שהמשתנה אינו מתפלג בינומית ולכן אין טעם לעשות שימוש בנוסחת ברנולי המלאה .כדאי להתייחס לשאלה זו כשאלת הסתברות רגילה :נחסיר מ( 1-סך כל ההסתברויות) את ההסתברות לשתי האופציות הלא רצויות – 0פרסים ופרס אחד ,ונקבל את ההסתברות לשאר האופציות 2 -פרסים או 3 פרסים. תשובה :ההסתברות שלא יקבל אף פרס = הסיכוי לא לזכות בכרטיס הראשון*הסיכוי לא לזכות בכרטיס השני*הסיכוי לא לזכות בכרטיס השלישי = .0.5*0.4*0.2 ההסתברות שיקבל פרס אחד = הסיכוי לזכות רק בכרטיס הראשון (ששווה לסיכוי לזכות בראשון*הסיכוי לא לזכות בשני*הסיכוי לא לזכות בשלישי) +הסיכוי לזכות רק בכרטיס השני (ששווה לסיכוי לא לזכות בראשון*הסיכוי לזכות בשני*הסיכוי לא לזכות בשלישי) + הסיכוי לזכות רק בכרטיס השלישי (ששווה לסיכוי לא לזכות בראשון*הסיכוי לא לזכות בשני*הסיכוי לזכות בשלישי)= .0.8*0.4*0.5 + 0.2*0.6*0.5 + 0.2*0.4*0.5 אם כן ,ההסתברות לקבלת 2פרסים לפחות = )1-(0.2*0.4*0.5 + 0.8*0.4*0.5 + 0.2*0.6*0.5 + 0.2*0.4*0.5 לחומרים נוספים ומידע אודות בחינת מתא"ם ותהליך הקבלה לתואר שני היכנסו לאתר פתרונות- www.pitronot.org
