פתרון לחוברת II

Transcription

פתרון לחוברת II

:‫מרתון בקורס‬
'‫מבוא לסטטיסטיקה ב‬
II ‫חוברת‬
www.OpenBook.co.il
1
|
[email protected]
‫סטודנטים יקרים‪,‬‬
‫אנו גאים להציג בפניכם חוברת זו‪ ,‬המהווה חלק קטן ממערך הולך וגדל של‬
‫חומר עזר לסטודנטים באתר ‪.Openbook‬‬
‫מצאתם טעות? נא שלחו הודעה לכתובת המייל ‪[email protected]‬‬
‫בברכת הצלחה במבחנים ובכל התואר !‬
‫המרכז לקידום אקדמי ‪.OpenBook‬‬
‫המרכז לקידום אקדמי אינו אחראי לטיב הפתרונות המוצגים בחוברת ולטעויות במקרה שקיימות‪.‬‬
‫כל הזכויות שמורות למרכז לקידום אקדמי ‪ Openbook‬בלבד‪.‬‬
‫אין להפיץ‪ ,‬למכור או להעתיק חלק או את כל החוברת‪.‬‬
‫תאריך עדכון‪ :‬יוני ‪2015‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫|‬
‫‪www.OpenBook.co.il‬‬
‫‪2‬‬
‫יחידה ‪ 13‬בדיקת השערות‬
‫הרציונל של ההסקה הסטטיסטית‪:‬‬
‫אם ברצוננו לבדוק אם שיטת הלימוד של המרכז לקידום אקדמי ‪ OpenBook‬משפרת ציוניהם של‬
‫הסטודנטים בקורס סטטיסטיקה ב ‪ ,‬נדגום מספר סטודנטים ונלמד אותם בשיטה החדשה – נבדוק‬
‫אם הממוצע החדש שלהם רחוק מספיק מהממוצע של כל יתר הסטודנטים שלא למדו בשיטת הלימוד‬
‫של ‪ OpenBook‬כיצד נדע מה זה רחוק מדי?‬
‫נלקח מדגם של ‪ 100‬סטודנטים וקיבלתי ממוצע מדגם ‪ , x  73‬סטיית התקן היא‪   10 :‬מה יש‬
‫לנו פה?‬
‫המרכז לקידום אקדמי ‪ OpenBook‬טוען שהו א יכול לשפר את ממוצע האוכלוסייה‪ ,‬מהו המצב הקיים?‬
‫בדקנו במחשבי האוניברסיטה וקיבלנו ‪ .   70‬ולכן‪ :‬המצב הקיים אנו רושמים כ‪ , H 0 :‬טענת החוקר‬
‫אנו מסומנת ב‬
‫‪H1‬‬
‫ולכן מה יש לנו?‬
‫‪H 0 :   70‬‬
‫‪H1 :   70‬‬
‫המרכז לקידום אקדמי ‪ OpenBook‬מנסה להעלות את הציון‪ ,‬ולכן אנו מקציבים לו את רמת‬
‫המובהקות שאם ייפול בה הממוצע החדש אז אנחנו נקבל את הטענה ששיטת הלימוד של המרכז‬
‫לקידום אקדמי ‪ OpenBook‬מגדילה את הממוצע‪ .‬השטח הזה בקצה הפעמון – אם הציון יהיה מספיק‬
‫קיצוני אז החברה צודקת!‬
‫הנקודה שמפרידה בין האזור שאנו מקבלים את השערת החוקר לבין דוחים אותה זה אזור הקריטי כי‬
‫הוא מכריע אם נקבל או נדחה !‬
‫‪x  70‬‬
‫‪xc‬‬
‫‪, Zx ‬‬
‫מבחן חד צדדי ימני על תוחלת אחת ושונות ידועה ולכן‪:‬‬
‫‪10 / 100‬‬
‫‪/ n‬‬
‫‪ x  71.645‬הממוצע ‪ 73‬נמצא באזור דחיית‬
‫‪H0‬‬
‫ולכן נקבל את‬
‫‪H1‬‬
‫‪ 1.645 ‬ולכן‬
‫‪ ,‬ברמת מובהקות ‪ 0.05‬נקבל‬
‫את טענת המרכז לקידום אקדמי ‪ OpenBook‬ואכן המרכז לקידום אקדמי ‪ OpenBook‬מעלה את‬
‫הממוצע האוכלוסייה‪.‬‬
‫|‬
‫‪3‬‬
‫מבחן סטטיסטי‬
‫נקרא גם מבחן מובהקות‪ ,‬מורכב מ‪ 7-‬שלבים‪:‬‬
‫‪ .1‬נתונים‪:‬‬
‫איסוף נתונים בשאלה‪:‬‬
‫? ‪  ?,   ?, n  ?, x  ?,  ‬‬
‫‪ .2‬ניסוח השערות‬
‫השערה הינה היגד על פרמטר של האוכלוסייה‪ ,‬תמיד תעסוק באוכלוסייה ולא במדגם!‬
‫במבחן סטטיסטי מנסחים שתי השערות‪ -‬ממצות ומוציאות‪ .‬אנו למעשה מקבלים אחת כנכונה באופן‬
‫זמני ובודקים אותה‪ ,‬מכיוון שההשערות מוציאות וממצות‪ -‬קבלה של אחת תגרור דחייה של השנייה‪.‬‬
‫‪ -Ho‬השערת האפס ‪ .‬זו השערה המייצגת את נקודת המוצא‪ ,‬המצב הקיים כיום‪ ,‬והיא מתארת את‬
‫מה שידוע נכון להיום על ערכו של הפרמטר באוכלוסייה‪.‬‬
‫‪ -H1‬השערת החוקר‪ -‬אותה אנו לעולם לא בודקים‪ .‬זו השערה המייצגת את טענת החוקר‪ ,‬את מה‬
‫שהחוקר רוצה להוכיח‪.‬‬
‫השערת החוקר יכולה להיות מנוסחת ב ‪ 2‬אופנים( ‪:) H1‬‬
‫השערה דו צדדית ‪ -‬החוקר משער שחל שינוי בערך של הפרמטר אך ללא ידיעת כיוון השינוי‪.‬‬
‫השערה חד צדדית ‪ -‬החוקר גם משער שחל שינוי בערכו של הפרמטר וגם הוא מצפה לכיוון מסוים‬
‫של שינוי (עליה‪/‬ירידה)‪.‬‬
‫מבחינים בין‪:‬‬
‫השערה חד צדדי ימני(חיובי) – החוקר משער שחלה עליה בערכו של הפרמטר ביחס לקיים‪  c .‬‬
‫השערה חד צדדי שמאלי(שלילי) – החוקר משער שחלה ירידה בערכו של הפרמטר ביחס לקיים‪.‬‬
‫‪ c‬‬
‫השערה דו צדדית‬
‫השערה חד צדדית שמאלית‬
‫השערה חד צדדית ימנית‬
‫‪H0 :   C‬‬
‫‪H0 :   C‬‬
‫‪H0 :   C‬‬
‫‪H1 :   C‬‬
‫‪H1 :   C‬‬
‫‪H1 :   C‬‬
‫כאשר ‪ ‬הוא פרמטר של האוכלוסייה או ההתפלגות העומדת לבדיקה‪ ,‬ואילו ‪ C‬הוא קבוע‪.‬‬
‫כללים לניסוח השערות‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫ולא ‪ p , x‬ולא ‪  2 , p‬ולא ‪ s‬וכו‬
‫א‪ .‬השערות ינוסחו תמיד לפי הפרמטרים קרי‬
‫ב‪ .‬בהשערת האפס יופיע תמיד שוויון‪.‬‬
‫ג‪ .‬השערת החוקר(סוג ההשערה) נקבע‪ /‬מנוסחת אך ורק על פי הניסוח המילולי של טענת‬
‫החוקר בשאלה ואינה נקבעת על פי תוצאת המדגם‪.‬‬
‫‪ .3‬הנחות‬
‫אנו מניחים הנחות על התפלגות הדגימה באופן מלא כדי שנוכל לומר משהו על ההסתברות לקבל‬
‫תוצאה מסוימת‪ .‬ההנחות משתנות בין המבחנים הסטטיסטיים‪ .‬הנחה אחת שקיימת בכולם היא‬
‫שהמדגם מקרי‪.‬‬
‫‪ .4‬שרטוט ההשערות קביעת רמת מובהקות ואזורי דחייה וקבלה‬
‫רמת הסיכון מכונה רמת מובהקות ומסומנת באות ‪ - ‬רמת אלפא רמת מובהקות זה השטח‬
‫(שכיחות) האזור הזנב של ההתפלגות הנורמלית‪ .‬שטח ‪ ‬מייצג טעות ‪ ‬ומשמעותו לדחות את‬
‫השערת האפס למרות שהיא נכונה‪.‬‬
‫|‬
‫‪4‬‬
‫החוקר קובע כלל הכרעה – כלל ההכרעה מחלק את ההתפלגות הסטטיסטית ל‪ 2-‬אזורים‪:‬‬
‫אזור דחייה‬
‫‪H0‬‬
‫‪ -‬אם הסטטיסטי יפול באזור זה נדחה את ‪ .Ho‬בהסתברות ‪ . ‬כל תוצאה‬
‫שבאזור הדחייה של‬
‫‪H0‬‬
‫תיקרא תוצאה מובהקת סטטיסטית – המעידה על כך שחל שינוי‬
‫אמיתי של הפרמטר באוכלוסייה‪.‬‬
‫אזור הקבלה ‪ - H 0‬האזור המשלים לו‪ .‬אם הסטטיסטי יפול באזור זה נקבל את ‪ .Ho‬תחום‬
‫הערכים של סטטיסטי המבחן בו מחליטים שלא לדחות את ‪ . H 0‬בהסתברות ‪ . 1  ‬כל‬
‫תוצאת מדגם שנמצאת‪/‬נופלת באזור זה נקראת תוצאה לא מבוקרת סטטיסטית‪ -‬הכוונה היא‬
‫שכל התוצאות הנ"ל אינן מעידות על כך שחל שינוי אמיתי של הפרמטר באוכלוסייה‪.‬‬
‫לערך המפריד בין אזור הדחיה והקבלה של ‪H 0‬‬
‫קוראים ערך קריטי‪.‬‬
‫סוג ההשערה קובע באיזה צד בהתפלגות יש להציב את הגבול של כלל ההכרעה‪ .‬והמיקום המדויק‬
‫שלו קובע אותו רמת המובהקות – אזור‪/‬שטח דחיית‬
‫במבחן חד כווני ימני ‪H1 :   0‬‬
‫‪H0‬‬
‫וזה ‪. ‬‬
‫אזור הדחייה ימוקם בצד ימין של התפלגות הממוצעים‪ .‬אם‬
‫ממוצע המדגם חריג כלפי מעלה‪ ,‬נחליט לדחות את ‪. H 0‬‬
‫במבחן חד כווני שמאלי‬
‫‪H1 :   0‬‬
‫אזור הדחייה ימוקם בצד שמאל של התפלגות הממוצעים‪,‬‬
‫ואם ממוצע המדגם חריג כלפי מטה‪ ,‬נחליט לדחות את ‪H 0‬‬
‫במבחן דו – כווני‬
‫‪ 0‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ H1 : ‬שני אזורי הדחייה משני צידי ההתפלגות‪ .‬אם ממוצע המדגם חריג‬
‫כלפי מעלה או מטה נחליט לדחות את ‪. H 0‬‬
‫‪ .5‬חישוב הסטטיסטי‬
‫חישוב של תוצאת המדגם בהתפלגות הנתונה‪.‬‬
‫‪ .6‬החלטה‬
‫תוצאה שנופלת באזור הדחיה תיקרא תוצאה מובהק‪ -‬כלומר שהמדגם לא נלקח מהאוכלוסייה‬
‫המקורית אלא מהאוכלוסייה האלטרנטיבית‪.‬‬
‫תוצאה שנופלת באזור הקבלה תיקרא תוצאה בלתי מובהקת‪ -‬כלומר שהמדגם נלקח מהאוכלוסייה‬
‫המקורית‪.‬‬
‫אנו דוחים‪/‬מקבלים את ‪ Ho‬בלבד משום שהיא זו שקיבלנו זמנית כנכונה ובדקנו‪.‬‬
‫‪ .7‬מסקנה‬
‫|‬
‫‪5‬‬
‫טעויות במבחן השערות‬
‫בכל החלטה של החוקר יש סיכוי לטעות אם זה לקבל את ‪H 0‬‬
‫או לדחות‪ .‬הטעויות האפשריות במבחן‬
‫מוצגות בטבלה הבאה‪:‬‬
‫החלטת החוקר‪ :‬קבלת‬
‫החלטה נכונה‬
‫‪H0‬‬
‫‪1   ‬‬
‫טעות מסוג ‪ II‬‬
‫החלטת החוקר‪ :‬דחיית‬
‫טעות מסוג ‪I‬‬
‫‪H0‬‬
‫‪‬‬
‫החלטה נכונה (עוצמת המבחן)‬
‫‪1   ‬‬
‫מצב אמיתי‪:‬‬
‫‪H0‬‬
‫נכונה‬
‫מצב אמיתי‪:‬‬
‫‪H1‬‬
‫נכונה‬
‫טעות מסוג ראשון – זו טעות הנגרמת מדחייה מוטעית‪/‬שגויה של ‪ , H 0‬כלומר דוחים את‬
‫‪H0‬‬
‫כשלמעשה היא נכונה‪.‬‬
‫טעות מסוג שני – זו טעות הנגרמת מקבלה מוטעית‪/‬שגויה של ‪ , H 0‬כאשר לא דוחים את ‪H 0‬‬
‫(מקבלים אותה) כשלמעשה ההשערה האלטרנטיבית היא הנכונה‪.‬‬
‫העוצמה של המבחן מסומנת ב‪ , 1   -‬היא ההסתברות לדחייה נכונה של‬
‫‪H0‬‬
‫‪ ,‬כלומר‬
‫ההסתברות לעשות החלטה נכונה כשדוחים את השערת האפס‪.‬‬
‫|‬
‫‪6‬‬
‫טעויות בהחלטת החוקר ועוצמת המבחן‬
www.OpenBook.co.il
7
|
[email protected]
‫מודל ‪ – 1‬בדיקת השערות על תוחלת אחת כאשר השונות באוכלוסייה ידועה‬
‫הנחות‪ X ~ N   ,  2  :‬ואם ‪ n>30‬אין צורך בהנחת נורמליות‪ .‬הסטטיסטי במדגם‪:‬‬
‫‪xc‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪Zx ‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫מפעל לצינורות מייצר סוג צינור מסוים שקוטרו הממוצע ‪ 50‬מ"מ עם סטיית תקן ‪ 6‬מ"מ‪ .‬לבדיקת‬
‫תקינות הייצור נלקח בכל יום מדגם של ‪ 64‬צינורות מהתוצרת היומית ונמדד קוטרם‪.‬‬
‫א‪ .‬נסח את ההשערות וקבע מהו כלל ההכרעה ברמת מובהקות ‪.5%‬‬
‫ב‪ .‬ביום מסוים נמצא במדגם קוטר ממוצע של ‪ 48.8‬ס"מ‪ .‬האם התוצרת היומית עברה את הביקורת‬
‫על סמך כלל ההכרעה שקבעת בסעיף א' ?‬
‫ג‪ .‬אם ביום כלשהו חלה תקלה בייצור והקוטר הממוצע של הצינורות היה ‪ 48‬מ"מ בלבד עם סטיית‬
‫תקן ‪ 6‬מ"מ‪ ,‬מה ההסתברות שהתקלה לא תתגלה בביקורת היומית ? כיצד נקראת הסתברות זו ?‬
‫פתרון שאלה ‪1‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪  50‬‬
‫‪ 6‬‬
‫בדיקת השערות על תוחלת כאשר השונות באוכלוסייה ידועה‪.‬‬
‫(‪ )1‬נתונים‪:‬‬
‫‪n  64‬‬
‫‪  0.05‬‬
‫(‪ )2‬השערות‪:‬‬
‫(‪ )3‬הנחות‪:‬‬
‫‪H 0 :   50‬‬
‫‪H1 :   50‬‬
‫‪ .1‬מ‪.‬ג‪.‬מ מתקיים;‬
‫התפלגות ‪Z‬‬
‫‪ .2‬שונות באוכלוסייה ידועה‬
‫(‪ )4‬שרטוט ההשערות וקביעת אזור קבלה ודחייה‬
‫כלל ההכרעה הוא‪ :‬דחה את‬
‫‪H0‬‬
‫אם‬
‫‪Z X  1.96‬‬
‫או‬
‫‪Z X  1.96‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪X  50‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ z0.975  1.96  X  50 ‬‬
‫דחה את ‪ H 0‬אם‪ 1.96  X  48.51 :‬‬
‫‪6‬‬
‫‪64‬‬
‫‪64‬‬
‫‪X  50‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ZX ‬‬
‫‪ z0.025  1.96  X  50 ‬‬
‫או ‪1.96  X  51.47‬‬
‫‪6‬‬
‫‪64‬‬
‫‪64‬‬
‫‪ZX ‬‬
‫ב‪ .‬המשך של סעיף א‪ ,‬מצאנו את ערך שבו נדחה את השערת האפס ולכן ‪48.53  x  48.8  51.47‬‬
‫לכן לא דוחים את השערת האפס וניתן לומר שהתוצרת היומית עברה את הביקורת‪.‬‬
‫ג‪ .‬מדובר בטעות מסוג שני‪ .‬זו טעות הנגרמת מקבלה מוטעית‪/‬שגויה של ‪ , H 0‬כאשר לא דוחים את‬
‫‪H0‬‬
‫(מקבלים אותה) כשלמעשה ההשערה האלטרנטיבית היא הנכונה‬
‫|‬
‫‪8‬‬
‫‪  P(48.53  X  51.47 |   48) ‬‬
‫‪51.47  48‬‬
‫‪48.53  48‬‬
‫(‪‬‬
‫(‪) ‬‬
‫‪)   (4.63)   (0.71)  1  0.7611  0.2389‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪64‬‬
‫‪64‬‬
‫ממוצע ציוני הבגרות במתמטיקה בארץ בשנה מסוימת היה ‪ 6.5‬עם סטיית תקן ‪ .1.2‬מדגם של ‪100‬‬
‫בוגרי בי"ס תיכון מסוים השיג באותה שנה ממוצע של ‪ 5.7‬בבגרות במתמטיקה‪.‬‬
‫א‪ .‬האם אפשר לטעון שבאוכלוסיית בית ספר זה נמצאה ירידה שאיננה מקרית בהשוואה‬
‫לממוצע הארצי ברמת מובהקות של ‪?0.05‬‬
‫ב‪ .‬מה תהיה מסקנתך ברמת מובהקות ‪ 0.01‬ו‪ 0.1. -‬יש להסביר עבור כל רמת מובהקות‪ ,‬האם‬
‫ניתן להגיע למסקנה ללא בדיקה מחדש‪.‬‬
‫|‬
‫‪9‬‬
‫ברמת מובהקות ‪ 0.01‬כלל ההכרעה זז שמאלה ואזור הדחייה של ‪ H0‬קטן‪ ,‬לכן לא ניתן להגיע‬
‫למסקנה ללא חישוב מחדש‪.‬‬
‫בר"מ ‪ 0.1‬כלל הכרעה זז ימינה ואזור הדחייה של ‪ H0‬ולכן המסקנה לא תשתנה (עדין נדחה את ‪)H0‬‬
‫|‬
‫‪10‬‬
‫מנתוני משרד הבריאות ידוע כי ממוצע לחץ הדם באוכלוסייה הוא ‪ 133‬עם סטיית תקן ‪ .15‬במטרה‬
‫לבדוק את הטענה כי מנהלים סובלים מלחץ דם גבוה יותר משאר האוכלוסייה‪ ,‬נלקח מדגם מקרי של‬
‫‪ 64‬מנהלים ונמצא שממוצע לחץ הדם שלהם הוא ‪.137‬‬
‫א‪ .‬מה תהיה מסקנתך ברמת מובהקות של ‪.0.01‬‬
‫ב‪ .‬מהי הטעות האפשרית במסקנתך מסעיף א'‪ ,‬אם ידוע שבקרב מנהלים לחץ הדם הממוצע‬
‫הוא ‪ ?140‬הסבר וחשב‪.‬‬
‫ג‪ .‬חשב גודל מדגם מינימלי כך שיבטיח שאם לחץ הדם בקרב המנהלים הוא אכן ‪ 140‬נצליח‬
‫לגלות זאת בהסתברות של ‪ 99%‬לפחות‪ ,‬ואם לחץ הדם אצל מנהלים אינו גבוה מ‪,133-‬‬
‫יוחלט בטעות שהוא גבוה יותר בהסתברות שלא תעלה על ‪.0.02‬‬
‫|‬
‫‪11‬‬
www.OpenBook.co.il
12
|
[email protected]
www.OpenBook.co.il
13
|
[email protected]
‫שאלה ‪( 4‬פתרון מלא ומוקלט באתר)‬
‫מעוניינים לבדוק אם מאזניים חדשים שהגיעו למעבדה מכוילים היטב‪ .‬לשם כך נלקחה כמות חומר‬
‫במשקל (ידוע) של ‪ 100‬גרם‪ ,‬ונשקלה ‪ 25‬פעמים במאזניים החדשים‪ .‬לפי פרסומי היצרן של‬
‫המאזניים‪ ,‬בשקילת ‪ 100‬גרם יש סטיית תקן של ‪ 3.2‬גרם וההתפלגות נורמלית‪.‬‬
‫א‪ .‬במדגם התקבל משקל ממוצע של ‪ 101.6‬גרם‪ .‬האם ניתן להסיק שהמאזניים מכוילים היטב ?‬
‫נסח את ההשערות ובדוק ברמת מובהקות ‪.0.05‬‬
‫ב‪ .‬האם ניתן להגיע לאותה מסקנה‪ ,‬ללא חישוב נוסף‪ ,‬עבור רמות המובהקות ‪ ? 0.1 ,0.01‬הסבר‪.‬‬
‫ג‪ .‬במבחן מסעיף א‪ ,‬מהו הסיכוי לגלות שהמאזניים אינם מכוילים היטב‪ ,‬אם למעשה יש להם הטיה‬
‫של ‪ 2‬גרם כלפי מעלה ?‬
‫א‪ .‬השערות‪H1 :   100 :‬‬
‫‪. H 0 :   100,‬‬
‫הנחות‪ :‬א‪ .‬אוכ' מתפלגת נורמלית‬
‫ב‪ .‬סטית התקן של האוכ' ידועה ‪.   3.2‬‬
‫התפלגות הדגימה‪:‬‬
‫‪3.22‬‬
‫‪X  100‬‬
‫בהנחה ש ‪ H 0‬נכונה‪ 0.4096) :‬‬
‫‪~ N (0,1) , X ~ N (100,‬‬
‫‪. ZX ‬‬
‫‪25‬‬
‫‪0.4096‬‬
‫קביעת רמת המובהקות ואזורי דחייה וקבלה ‪ .   0.05‬קבל אם ‪1.96  Z X  1.96‬‬
‫‪X  100 101.6  100‬‬
‫‪‬‬
‫חישוב הסטטיסטי וההכרעה‪ 2.5  1.96 :‬‬
‫‪0.64‬‬
‫‪0.4096‬‬
‫‪. ZX ‬‬
‫לכן נדחה את ‪ , H 0‬כלומר ניתן לומר ברמת מובהקות ‪ 0.05‬שהמאזניים אינם מכויילים היטב‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכל רמת מובהקות גדולה יותר גם נדחה את ‪ , H 0‬לכן נדחה ‪ H 0‬בר"מ ‪.0.1‬‬
‫לעומת זאת בר"מ נמוכה יותר אין לדעת אם הסטטיסטי עדיין יהיה באזור הדחייה או שמא יעבור‬
‫לאזור הקבלה‪( .‬בר"מ ‪ 0.01‬דו צדדי ‪ 2.576‬‬
‫‪ , ZC‬ואז נקבל את ‪.) H 0‬‬
‫ג‪ .‬צריך לחשב את עוצמת המבחן‪:‬‬
‫|‬
‫‪14‬‬
‫השערות‪:‬‬
‫‪H0 :   100, H1 :   102‬‬
‫‪xc1  100‬‬
‫תחת השערת האפס נמצא את הערכים הקריטיים‪ xc1  101.2544 :‬‬
‫‪0.64‬‬
‫‪xc 2  100‬‬
‫‪ xc 2  98.7456‬‬
‫‪0.64‬‬
‫‪. Z c1  1.96 ‬‬
‫‪Z c 2  1.96 ‬‬
‫‪101.2544  102‬‬
‫תחת השערת האלטרנטיבית נמצא את ציון התקן‪ 1.165 :‬‬
‫‪0.64‬‬
‫‪98.7456  102‬‬
‫‪Z c 2 ‬‬
‫‪ 5.085‬‬
‫‪0.64‬‬
‫‪, Z c 1 ‬‬
‫חישוב השטח של ‪ 1  ‬תחת ‪: H1‬‬
‫‪  P(5.085  Z  1.165)   ( 1.17)   ( 5.09)  1 0.879  0  0.121‬‬
‫‪1    1  0.121  0.879‬‬
‫התפלגות משקל ביצי תרנגולת היא נורמלית עם ממוצע ‪ 60‬גרם‪ ,‬וסטיית תקן ‪ 15‬גרם‪.‬‬
‫חוקר הציע הורמון חדש שאמור להגדיל את המשקל הממוצע ב – ‪ 5‬גרם מבלי לשנות את סטיית‬
‫התקן‪ .‬הטענה נבדקה בעזרת מבחן סטטיסטי‪.‬‬
‫א‪ .‬ההורמון החדש נוסה על ‪ 100‬תרנגולות‪ .‬נמצא כי ההסתברות לטעות מסוג שני במבחן היא ‪,0.1‬‬
‫מהי רמת המובהקות של המבחן ?‬
‫ב‪ .‬בהמשך לסעיף א'‪ ,‬אם ממוצע משקל הביצים במדגם היה ‪ 62‬גרם‪ ,‬מה תהיה מסקנת הבדיקה‬
‫ג‪ .‬מהו גודל המדגם המינימלי שיבטיח רמת מובהקות של ‪ 0.01‬ועצמה של ‪ 0.95‬לפחות ?‬
‫|‬
‫‪15‬‬
5 ‫פתרון שאלה‬
  15 , n  100 ,   0.1 :‫נתון‬
xC  65 
15
 1.282  63.077
100
:‫לכן‬
H 0 :   60
H1 :   65
  PH ( X  xC )   (
1
: ‫ ההשערות‬.‫א‬
xC  65
)  0.1
1.5
 63.077  60 
  1    2.05  1  0.9798  0.0202
1.5


  PH  X  63.077   1   
0
‫ לא הוכח שההורמון החדש מגדיל את המשקל‬.‫ לכן לא דוחים את השערת האפס‬62  63.077 .‫ב‬
. 0.02 ‫הממוצע ברמת מובהקות‬
1    0.95 ,   0.01 :‫ נתון‬.‫ג‬
Z Xc 
X c  60
 z0.01  2.326
15 / n
Z Xc 
X c  65
 z0.95  1.645
15 / n
: ‫ לכן‬xc  65  1.645  15 / n
:   0.01 ‫ ועבור‬H0 ‫בהנחת‬
– ‫וגם‬
:   1  0.95  0.05 ‫ ועבור‬H1 ‫בהנחת‬
xc  60  2.326  15 / n – ‫מכאן‬
60  2.326  15 / n  65  1.645  15 / n
 n   3.971  15 / 5
2
 3.971  15 / n  5 
 n  141.9
.142 ‫גודל המדגם המינימלי הוא‬
www.OpenBook.co.il
16
|
[email protected]
www.OpenBook.co.il
17
|
[email protected]
‫בשיטת ייצור קיימת מייצר עובד בממוצע ‪ 60‬מוצרים ליום עם סטיית תקן של ‪ 15‬מוצרים‪ .‬מנהל‬
‫הייצור מציע שיטת תמריצים שתגדיל את התפוקה הממוצעת ב ‪.10%-‬‬
‫לבדיקת טענתו ניתנו התמריצים ל ‪ 100-‬עובדים שנבחרו באופן מקרי ונמצא כי התפוקה הממוצעת‬
‫הייתה ‪ 64‬מוצרים‪.‬‬
‫א‪ .‬נסח את ההשערות ובדוק את הטענה ברמת מובהקות ‪0.01‬‬
‫ב‪ .‬מהו גודל המדגם שיש לדגום כדי לבנות מבחן סטטיסטי לבדיקת טענתו של מנהל הייצור בו‬
‫ההסתברות לטעות בטעות ששיטת התמריצים לא עוזרת לא תעלה על ‪ ,0.05‬וההסתברות להחליט‬
‫בטעות ששיטת התמריצים עוזרת לא תעלה על ‪? 0.06‬‬
‫א‪H1 :   66  60 , H 0 :   60 .‬‬
‫זהו מבחן חד צדדי ימני‪.‬‬
‫נתון‪x  64 ,   0.01 ,   15 , n  100 :‬‬
‫‪64  60‬‬
‫‪ 2.67  z0.01  2.326‬‬
‫‪15‬‬
‫‪100‬‬
‫‪ZX ‬‬
‫לכן דוחים את השערת האפס‪ ,‬ניתן לומר ששיטת‬
‫התמריצים מגדילה את התפוקה הממוצעת‪.‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪  0.05 ,   0.06 :‬‬
‫‪X c  60‬‬
‫‪ z0.06  1.555‬‬
‫‪15 / n‬‬
‫בהנחת ‪ H0‬ועבור ‪:   0.06‬‬
‫בהנחת ‪ H1‬ועבור ‪: 1    0.95‬‬
‫‪X c  66‬‬
‫‪ z0.94  1.645‬‬
‫‪15 / n‬‬
‫‪Z Xc ‬‬
‫‪xc  60  1.555  15 / n‬‬
‫מכאן –‬
‫‪xc  66  1.645  15 / n‬‬
‫וגם –‬
‫‪n 6 ‬‬
‫‪Z Xc ‬‬
‫‪n 3.2 15‬‬
‫‪ /‬‬
‫‪n  66 1.645 15 /‬‬
‫לכן‬
‫‪60  1.555 15 /‬‬
‫‪ n   3.2 15 / 6   n  64‬‬
‫‪2‬‬
‫וגודל המדגם המינימלי ‪64‬‬
‫|‬
‫‪18‬‬
‫מכונה לאריזת קופסאות גבינה מתוכננת לארוז קופסאות במשקל עם תוחלת ‪ 200‬גרם וסטית תקן‬
‫‪ 10‬גרם‪ .‬הועלתה טענה כי הכיול של המכונה נפגם והיא אורזת כעת קופסאות בעלות משקל גבוה‬
‫יותר ללא שינוי בסטית התקן‪ .‬לצורך בדיקת הטענה שקלו ‪ 64‬קופסאות גבינה‪.‬‬
‫א‪ .‬נסח את ההשערות ורשום את המבחן לבדיקתן ברמת מובהקות ‪. 0.01‬‬
‫ב‪ .‬חשב את עוצמת המבחן המתואר בסעיף א' אם התוחלת האמיתית של משקל קופסת גבינה היא‬
‫‪ 204‬גרם‪.‬‬
‫ג‪ .‬כיצד תשתנה עוצמת המבחן‪ ,‬שחישבת בסעיף ב'‪ ,‬כתוצאה מהשינויים הבאים‪( :‬כל שינוי בנפרד)‬
‫‪ .1‬רמת המובהקות שווה ל‪. 0.05-‬‬
‫‪ .2‬גודל המדגם הוא ‪.120‬‬
‫‪ .3‬סטית התקן שווה ל‪ 20-‬גרם‪.‬‬
‫‪ .4‬התוחלת האמיתית שווה ל‪ 203-‬גרם‪.‬‬
‫בכל מקרה נמק תשובתך או חשב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪H 0 :   200, H1 :   200‬‬
‫אזור הדחיה ברמת מובהקות ‪   0.01‬הוא דחה את ‪ H 0‬אם ‪:‬‬
‫‪X  2000‬‬
‫‪ z0.01  2.326‬‬
‫‪10‬‬
‫‪64‬‬
‫‪X  202.9075  z X ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪202.9075  204‬‬
‫‪)  1   ( 0.87)  0.8078‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫ג‪.1 .‬העצמה תגדל‪ 202.056 ,‬‬
‫‪64‬‬
‫( ‪1    P( X  202.9075 |   204)  1  ‬‬
‫‪ X C  200  1.645 ‬‬
‫‪1    P( X  202.056 |   204)  1   (1.56)  0.9406‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .2‬העצמה תגדל‪ 202.12 ,‬‬
‫‪120‬‬
‫‪ X C  200  2.326 ‬‬
‫‪1    P( X  202.12 |   204)   (2.06)  0.9803‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ .3‬העצמה תקטן‪ 205.815 ,‬‬
‫‪64‬‬
‫‪ X C  200  2.326 ‬‬
‫‪1    P( X  205.815 |   204)  1   (0.73)  1  0.7673  0.2327‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ .4‬העצמה תקטן‪ 202.056 ,‬‬
‫‪64‬‬
‫‪ X C  200  1.645 ‬‬
‫|‬
‫‪19‬‬
‫‪1    P( X  202.056 |   203)   (0.07)  0.5279‬‬
‫מתקן מפעיל התראה למצב חירום על סמך החוזק של ‪ 9‬אותות שהוא קולט‪ .‬חוזק האותות מתפלג‬
‫נורמלית‪ .‬במצב רגיל‪ ,‬תוחלת החוזק היא ‪ 5000‬יחידות וס"ת ‪ 900‬יחידות‪ .‬במצב חירום‪ ,‬תוחלת‬
‫החוזק היא ‪ 6300‬יחידות וס"ת נשארת ‪ .900‬המתקן מפעיל את האתראה רק כאשר העוצמה‬
‫הממוצעת של תשעת האותות עולה על ‪ 5600‬יחידות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהי ההסתברות של אתראת שווא?‬
‫מהי ההסתברות שלא תופעל אתראה במצב חירום?‬
‫ענה על הסעיפים הבאים בהסבר ללא חישוב‪ .‬כיצד יושפעו הסתברויות של א' ו‪ -‬ב'‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫ה‪.‬‬
‫מתקן האתראה יופעל כאשר ממוצע החוזק יעלה על ‪ 5700‬יחידות‪.‬‬
‫מספר האותות הנקלטים יהיה ‪.12‬‬
‫תוחלת החוזק במצב חירום תהיה ‪ 6400‬יחידות‪.‬‬
‫|‬
‫‪20‬‬
www.OpenBook.co.il
21
|
[email protected]
‫הזמן הדרוש לייצור מוצר מסוים הוא בממוצע ‪ 10‬שעות וסטיית תקן של זמני הייצור היא שעה אחת‪.‬‬
‫בית חרושת טוען שיש לו תהליך יצור מהיר יותר‪ .‬נערכה בדיקה ונמצא ש‪ 100 -‬מוצרים נוצרים במשך‬
‫‪ 960‬שעות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫ד‪.‬‬
‫האם מוצדקת טענת בית החרושת? בדוק ברמת מובהקות של ‪.0.05‬‬
‫מהו הטעות האפשרית במסקנתך מסעיף א' ומה ערכה? נמק‪.‬‬
‫אם ידוע כי זמן היצור בבית החרושת הנ"ל הוא ‪ ,9.8‬מה הסיכוי שנצליח לגלות זאת? כיצד‬
‫נקראת הסתברות זו ומה ערכה‪.‬‬
‫חשב גודל מדגם מינימלי כך שיבטיח שהסיכוי לדחייה לא מוצדקת של ‪ Ho‬לא יעלה על‬
‫‪ ,0.01‬והסיכוי לקבלה שגויה של ‪ Ho‬לא יעלה על ‪.0.05‬‬
‫|‬
‫‪22‬‬
www.OpenBook.co.il
23
|
[email protected]
www.OpenBook.co.il
24
|
[email protected]
‫שאלה ‪10‬‬
‫על פי נתוני הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה‪ ,‬רמת החיסכון הממוצעת למשפחה בישראל היא ‪1500‬‬
‫‪ ₪‬לחודש עם סטיית תקן ‪ ,₪ 400‬במדגם מיקרי של ‪ 100‬משפחות התקבל חיסכון ממוצע של ‪1550‬‬
‫‪ . ₪‬מנהל חברת השקעות טוען כי רמת החיסכון הממוצעת באוכלוסייה עלתה‪ .‬האם תוצאות המדגם‬
‫מאששות את טענתו? בדוק ברמת מובהקות של ‪.0.05‬‬
‫|‬
‫‪25‬‬
‫שאלה ‪11‬‬
‫למשקלו של תפוח יש ממוצע ‪ 260‬גרם וסטיית תקן ‪ 38‬גרם‪ .‬אגרונום המתמחה בגידול תפוחים טוען‬
‫כי שיטת השקיה חדשה שפיתח מעלה את המשקל הממוצע של תפוח ל‪ 275-‬גרם‪.‬‬
‫לבדיקת טענתו נלקח מדגם מקרי של ‪ 60‬תפוחים מחלקת קרקע שהושקתה בשיטת ההשקיה‬
‫החדשה‪ .‬הוחלט ששיטת ההשקיה החדשה תיכנס לשימוש אם משקל התפוחים הממוצע במדגם‬
‫יהיה מעל ‪ 267‬גרם‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי רמת המובהקות של המבחן המוצע?‬
‫ב‪ .‬מהי עצמת המבחן המוצע?‬
‫ג‪ .‬כיצד ישתנו תשובותיך לסעיפים א ו ב אם יוחלט להכניס לשימוש את שיטת ההשקיה החדשה רק‬
‫אם משקל התפוחים הממוצע במדגם יהיה מעל ‪ 273‬גרם? נמק‪ .‬אין צורך לחשב מחדש אך גם‬
‫חישוב מחדש יתקבל כנימוק‪.‬‬
‫ד‪ .‬מהו גודל המדגם המינימלי שיבטיח שההסתברות להחליט בטעות שהשיטה החדשה יעילה לא‬
‫תעלה על ‪ 0.05‬וההסתברות להחליט בטעות שהשיטה החדשה אינה יעילה לא תעלה על ‪?0.01‬‬
‫פתרון‬
‫|‬
‫‪26‬‬
www.OpenBook.co.il
27
|
[email protected]
www.OpenBook.co.il
28
|
[email protected]
‫מודל ‪ :2‬בדיקת השערות של ממוצע – סטיית התקן אינה ידועה‬
‫‪xc‬‬
‫‪ Tx ‬התפלגות ‪ t‬עם )‪ (n-1‬דרגות חופש‬
‫הנחות‪ X ~ N   ,  2  :‬הסטטיסטי במדגם‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫כאשר ‪ n>30‬נשתמש בהתפלגות נורמלית עם אמד לשונות‬
‫‪ nx‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S ‬‬
‫יצרן מכוניות מפרסם שמכונית מסוימת שהוא מייצר צורכת ליטר דלק ל ‪ 20-‬ק"מ נסיעה בממוצע‪.‬‬
‫לחברה מסוימת יש מספר רב של מכוניות מאותה תוצרת‪ .‬בבחירה מקרית של ‪ 9‬מכוניות נבדקו‬
‫מספר הק"מ לליטר שצרכה כל אחת מהמכוניות בנסיעה מיוחדת של ‪ 400‬ק"מ‪ .‬התקבלו התוצאות‬
‫הבאות ( בק"מ לליטר ) ‪ 171 :‬‬
‫‪9‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ xi2  3271 ,‬‬
‫‪i 1‬‬
‫בהנחה שמספר הק"מ לליטר מתפלג נורמלית‪ ,‬האם יש בנתונים אלה הוכחה לכך שיצרן המכוניות‬
‫אינו נוקט בשיטת "אמת בפרסום" ? נסח את ההשערות ובדוק עבור רמת מובהקות של ‪.0.05‬‬
‫ההשערות ‪:‬‬
‫‪171‬‬
‫נתון‪ 19 :‬‬
‫‪9‬‬
‫‪H0 :   20‬‬
‫‪x‬‬
‫‪,‬‬
‫‪H1 :   20 ,‬‬
‫‪3271  9 192‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2.75‬‬
‫‪8‬‬
‫‪19  20‬‬
‫‪ 1.809  t 80.95  1.86‬‬
‫‪2.75‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 9  x2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪9‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪  0.05 , sˆ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪tx ‬‬
‫מסקנה‪ :‬השערת האפס לא נדחית בר"מ ‪ 0.05‬ולא ניתן לומר שהיצרן אינו נוקט ב"אמת בפרסום"‪.‬‬
‫|‬
‫‪29‬‬
‫ממוצע הציונים במבחן הבודק כושר ריכוז באוכלוסייה רגילה הוא ‪ 16 .84‬נבדקים קיבלו תרופת‬
‫הרגעה ונבדקה השפעת תרופה זו על הביצוע שלהם במבחן הריכוז‪ .‬החוקר משער שבהשפעת‬
‫התרופה יורד כושר הריכוז‪.‬‬
‫לגבי ציונים שהתקבלו במדגם התוצאות היו ‪ 1299 :‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ 107, 225‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ii‬‬
‫‪i 1‬‬
‫א‪ .‬האם התוצאות מעידות על כך שהתרופה מפחיתה את כושר הריכוז‪ ,‬ברמת מובהקות ‪? 0.05‬‬
‫נסח את ההשערות ורשום את ההנחות הדרושות‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא רווח סמך ברמת סמך ‪ 95%‬עבור התוחלת של הציון במבחן הריכוז של סמך תוצאות‬
‫המדגם‪.‬‬
‫ג‪ .‬האם מתוך הרווח סמך שמצאת בסעיף ב'‪ ,‬ניתן להסיק כי בהשפעת התרופה חל שינוי בכושר‬
‫הריכוז‪ ,‬ברמת מובהקות ‪ ? 0.01‬הסבר‪.‬‬
‫‪1299‬‬
‫א‪ .‬נחשב תחילה ממוצע וסטיית תקן לפי הנתונים‪ 81.1875 :‬‬
‫‪16‬‬
‫‪x‬‬
‫‪107,225  16*81.1875‬‬
‫‪Sˆ ‬‬
‫‪ 10.84‬‬
‫‪16  1‬‬
‫ניסוח השערות‪:‬‬
‫‪H 0 :   84‬‬
‫מודל ‪ - 2‬בדיקת השערות על‬
‫;‬
‫‪‬‬
‫‪H1 :   84‬‬
‫כאשר סטיית התקן אינה ידועה‪ n<30 ,‬ולכן התפלגות‬
‫‪t‬‬
‫עם ‪15‬‬
‫דרגות חופש ‪ ,‬מבחן חד צדדי עבור ‪  0.05‬‬
‫כלל הכרעה ‪ :‬דחה את‬
‫‪H0‬‬
‫עבור כל ערך הקטן מ‪.-1.753‬‬
‫‪x  c 81.1875  84‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.037‬‬
‫‪Sˆ / n 10.84 / 16‬‬
‫מסקנה ‪ :‬קבל‬
‫‪H0‬‬
‫‪Tx ‬‬
‫והתרופה לא מפחיתה את כושר הריכוז‪.‬‬
‫‪10.84‬‬
‫ב‪ .‬מבקשים רווח סמך – לכן חוזרים ליחידה ‪ .12‬נתון לנו הכל רק להציב‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫‪81.1875  2.131‬‬
‫ומקבלים ‪75.41    86.96 :‬‬
‫ג‪ .‬האם ‪ 84‬נמצא ברווח הסמך? כן‪ .‬לכן לא ניתן לומר זאתרק עבור סעיף א' ניתן להסיק כי לא חל‬
‫שינוי בכושר הריכוז‪.‬‬
‫|‬
‫‪30‬‬
‫מודל ‪ :6‬בדיקת השערות על פרופורציה‬
‫הנחות‪ :‬התפלגות נורמלית או‬
‫‪np  10 , nq  10‬‬
‫‪,‬‬
‫‪pc‬‬
‫‪c 1  c ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪pq Z ‬‬
‫‪, p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪p  Z / 2‬‬
‫מנתוני משרד הבריאות ידוע כי התרופות המקובלות לכאבי ראש מביאות הקלה ל‪70% -‬‬
‫מהמשתמשים בהן‪ .‬יצרן תרופות טוען שיש תרופה חדשה יעילה יותר‪ .‬לשם בדיקת הטענה נבדק‬
‫מדגם מקרי של ‪ 250‬איש הסובלים מכאבי ראש‪.‬‬
‫א‪ .‬אם נמצא כי ההסתברות לגלות‪ ,‬שאכן התרופה החדשה מביאה הקלה ל‪ ,78% -‬היא ‪,0.85‬‬
‫מהי ההסתברות לטעות מסוג ראשון של המבחן?‬
‫ב‪ .‬אם במדגם נמצא כי התרופה החדשה הביאה הקלה ל‪ 188 -‬מהם –‬
‫מהי מסקנת הבדיקה ברמת מובהקות ‪ ?0.05‬נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו גודל המדגם המינימלי שיבטיח‪ ,‬שאם אכן התרופה החדשה מביאה הקלה ל‪,78%-‬‬
‫ההסתברות לגלות זאת תהיה ‪ , 0.95‬וההסתברות להחליט בטעות שהתרופה החדשה יעילה‬
‫תהיה ‪.0.01‬‬
‫פתרון ‪1‬‬
‫נתון לנו אחוז=‪ 70%‬זה פרופורציה‪ /‬אחוז ‪ -‬מבחן ‪ Z‬לפרופורציה אחת –מודל ‪.6‬‬
‫‪H 0 : p  0.7‬‬
‫‪H1 : p  0.7‬‬
‫הנחות‪ :‬לפי משפט הגבול המרכזי מהסתברות בינומית נבדוק את התנאי לקירוב לנורמלי –‬
‫‪n  p  250  0.7  175  10‬‬
‫‪n q  250  0.3  75  10‬‬
‫ההסתברות לגלות‪ ,‬שאכן התרופה החדשה מביאה הקלה ל‪ ,0.78% -‬היא ‪0.85‬‬
‫נתון עוצמת המבחן‪ ,‬עוצמת המבחן היא הסתברות שהצלחנו לגלות שחל שינוי אמיתי‪1    0.85 ,‬‬
‫|‬
‫‪31‬‬
‫נמצא את הערך הקריטי ‪: k  pc‬‬
‫‪1    0.85‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪pc  0.78‬‬
‫‪0.85  1   ‬‬
‫‪ 0.78 1  0.78‬‬
‫‪‬‬
‫‪250‬‬
‫‪‬‬
‫‪pc  0.78‬‬
‫‪0.78 1  0.78‬‬
‫‪250‬‬
‫‪1.036 ‬‬
‫‪pc  0.7529‬‬
‫ההסתברות לטעות מסוג ראשון היא ‪ - ‬נסתכל על עקומת‬
‫‪H0‬‬
‫‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.7529  0.7 ‬‬
‫‪  0.0344‬‬
‫‪  1 ‬‬
‫‪0.7  0.3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪250‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב) נתון שהתרופה החדשה הביאה להקלה ל‪ 188 -‬מהם – מי זה מהם? מסה"כ ! ולכן מ ‪ .250‬נתון‬
‫לנו המדגם שקיבלנו ולכן נצטרך לבדוק איפה הוא נפל‪ ,‬באזור הקבלה או הדחייה‪ .‬נבדוק את‬
‫‪188‬‬
‫‪p‬‬
‫הפרופורציה‪ 0.752 :‬‬
‫‪250‬‬
‫ברמת מובהקות ‪ 0.05‬אזור הקבלה והדחייה‪ z p  1.645 :‬נדחה ‪. H 0‬‬
‫‪0.752  0.7‬‬
‫חישוב סטטיסטי‪ 1.78  1.645 :‬‬
‫‪0.7  0.3‬‬
‫‪250‬‬
‫‪zp ‬‬
‫|‬
‫‪32‬‬
‫ההכרעה‪ :‬נדחה את‬
‫‪H0‬‬
‫‪ ,‬ניתן לומר ברמת מובהקות ‪ 0.05‬שהתרופה החדשה יעילה יותר‬
‫מהתרופות המקובלות‪.‬‬
‫ג) מבקשים למצוא את גודל המדגם המינימלי‪.‬‬
‫נתונים‪:‬‬
‫‪  0.01 ,1    0.95 , p1  0.78 , p0  0.7‬‬
‫‪H 0 : p  0.7‬‬
‫‪H1 : p  0.78‬‬
‫הנקודה הקריטית ניתן לבטא אותה בשני אופנים – תחת הסתכלות על השערת האפס‬
‫‪H0‬‬
‫והשניה‬
‫תחת הסתכלות על השערה אלטרנטיבית ונשווה בין ‪ 2‬המשוואות‬
‫תחת ‪z  2.326 : H 0‬‬
‫‪pc  0.7‬‬
‫‪0.7  0.3 / n‬‬
‫‪ pc  0.7‬‬
‫תחת ‪z  1.645 : H1‬‬
‫‪pc  0.78‬‬
‫‪zc  2.326 ‬‬
‫‪0.78  0.22 / n‬‬
‫‪2.326  0.7  0.3‬‬
‫‪ pc  0.78‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1.0659‬‬
‫‪n‬‬
‫‪zc  1.645 ‬‬
‫‪1.645  0.78  0.22‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0.6814‬‬
‫‪pc  0.7 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪pc  0.78 ‬‬
‫נשווה בין ‪ 2‬המשוואות האחרונות ונקבל‪:‬‬
‫|‬
‫‪33‬‬
‫‪0.6814‬‬
‫‪1.0659‬‬
‫‪ 0.7 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1.7473‬‬
‫‪0.08 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  21.84‬‬
‫‪0.78 ‬‬
‫‪n  478‬‬
‫גודל המדגם המינימלי הוא ‪.478‬‬
‫בבית ספר תיכון מסוים נמצא כי ‪ 40%‬מהתלמידים מאחרים לפחות פעם אחת בחודש‪ .‬מנהל בית‬
‫הספר מציע שיטת תמריצים מיוחדת לצמצום האיחורים‪ .‬השיטה נבדקה על מדגם מקרי של ‪200‬‬
‫תלמידים‪ .‬נמצא כי ‪ 68‬מתוכם אחרו לפחות פעם אחת מחודש‪.‬‬
‫א‪ .‬האם השיטה יעילה ? נסח את ההשערות ובדוק ברמת מובהקות ‪.0.025‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות לטעות האפשרית במסקנה מסעיף א'‪ ,‬אם שיטת התמריצים מפחיתה את אחוז‬
‫התלמידים המאחרים לפחות פעם אחת בחודש‪ ,‬ל ‪? 30%-‬‬
‫ג‪ .‬מהי רמת המובהקות המינימלית שעבורה נחליט ששיטת התמריצים יעילה‪ ,‬על סמך תוצאות‬
‫המדגם ?‬
‫א‪ .‬ההשערות הן‪:‬‬
‫‪H 0 : p  0.4‬‬
‫‪68‬‬
‫‪ 0.34 ,‬‬
‫‪200‬‬
‫‪H1 : p  0.4‬‬
‫‪pˆ ‬‬
‫‪0.34  0.4‬‬
‫‪ 1.73  1.96   z0.025‬‬
‫‪0.4  0.6‬‬
‫‪200‬‬
‫‪‬‬
‫‪z pˆ ‬‬
‫לא דוחים את השערת האפס ולכן לא הוכח שהשיטה יעילה‪.‬‬
‫ב‪ .‬הטעות האפשרית במסקנה היא‪ :‬קבלה מוטעית של ‪ - H0‬טעות מסוג שני‪.‬‬
‫‪pˆ  0.4‬‬
‫‪0.4  0.6‬‬
‫אזור הקבלה‪ 1.96 :‬‬
‫‪ Z pˆ ‬או ‪ 0.3321‬‬
‫‪200‬‬
‫‪0.4  0.6‬‬
‫‪200‬‬
‫‪pˆ  0.4  1.96 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.332  0.3 ‬‬
‫‪  1   (0.99)  1  0.8389  0.1611‬‬
‫‪  PH1 ( pˆ  0.3321)  1   ‬‬
‫‪ 0.3  0.7 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪200 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.34  0.4 ‬‬
‫ג‪   (1.73)  1  (1.73)  1 0.9582  0.0418 .‬‬
‫‪  PH0 ( pˆ  0.34)   ‬‬
‫‪ 0.4  0.6 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪200 ‬‬
‫‪‬‬
‫|‬
‫‪34‬‬
‫‪ 60%‬מכלל הנבחנים בבחינת בגרות במתמטיקה עוברים את הבחינה בהצלחה‪ .‬מורה מציע שיטת‬
‫הוראה חדשה להגדלת פרופורציית המצליחים‪ .‬השיטה החדשה נבדקה על מדגם מקרי של ‪200‬‬
‫תלמידים‪ ,‬ובמדגם נמצא כי ‪ 66%‬מהנבחנים עברו בהצלחה את הבחינה‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי מסקנת הבדיקה ברמת מובהקות ‪? 0.01‬‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות לטעות במסקנה שנתקבלה‪ ,‬אם בשיטה החדשה לפחות ‪ 75%‬מהנבחנים עוברים‬
‫את הבחינה בהצלחה ?‬
‫ג‪ .‬מהו גודל המדגם שיש לחקור כדי לבנות מבחן עבור רמת מובהקות ‪ 0.01‬ועוצמה ‪ 95%‬לפחות ?‬
‫א‪ .‬ניסוח ההשערות ‪:‬‬
‫‪H1 : p  60 H 0 : p  60‬‬
‫כלל הכרעה ‪ :‬דחה ‪H 0‬‬
‫מבחן חד צדדי ימני‬
‫עבור כל ערך מחושב הגדול מ ‪.2.326‬‬
‫‪pˆ  p‬‬
‫‪0.66  0.6‬‬
‫‪0.06‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫התפלגות הסטטיסטי לפי השערת האפס ‪ 1.734 :‬‬
‫)‪c(1  c‬‬
‫‪0.6  0.4 0.0346‬‬
‫‪n‬‬
‫‪200‬‬
‫לכן לקבל את‬
‫‪H0‬‬
‫‪Z pˆ ‬‬
‫והמורה לא הצליח להוכיח את טענתו ברמת מובהקות ‪.0.05‬‬
‫‪pˆ  p‬‬
‫‪pˆ  0.6‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪ .‬יש לחשב ‪ 2.326 : pˆ c‬‬
‫)‪c(1  c‬‬
‫‪0.6  0.4‬‬
‫‪n‬‬
‫‪200‬‬
‫‪ Z pˆ ‬ומקבלים‬
‫‪0.6804  0.75 0.0696‬‬
‫‪‬‬
‫‪ pˆ c  0.0346  2.326  0.6  0.6804‬כעת עבור ‪ 2.27 : H1‬‬
‫‪0.0306‬‬
‫‪0.75  0.25‬‬
‫‪200‬‬
‫‪Z h1 ‬‬
‫ומקבלים ‪    2.27   1  0.9884  0.0116 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Z /2 p0 (1  p0 )  Z  /2 p1 1  p1  ‬‬
‫ג‪ .‬הנוסחה הסופית ‪ :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪p1  p0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2.326 0.6  0.4  1.65 0.75  0.25 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  12.36  152.7  153‬‬
‫‪0.75  0.6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫|‬
‫‪35‬‬
‫יצרן תנורים להורדת גשם טוען כי לתנורים שהוא מיצר יש ‪ 80%‬הצלחה בהורדת גשם‪ .‬בעל תחנה‬
‫חקלאית רוצה לבדוק טענה זו‪ ,‬החורגת מהסיכוי המקובל להורדת גשם‪ ,‬של ‪ 70%‬הצלחה‪ ,‬ברמת‬
‫מובהקות ‪.0.05‬‬
‫א‪ .‬נסח את ההשערות‪.‬‬
‫ב‪ .‬כדי להבטיח עוצמה של ‪ ,0.9‬כמה פעמים יש לנסות את התנורים הנ"ל ?‬
‫ג‪ .‬לאיזו מסקנה יגיע בעל התחנה החקלאית‪ ,‬אם ב‪ 125 -‬ניסיונות ירד גשם ‪ 95‬פעמים ?‬
‫ד‪ .‬מהי הטעות האפשרית במסקנה מסעיף ג' ‪ ,‬ומהי הסתברותה ?‬
‫א‪.‬‬
‫‪H1 : p  0.7 , H0 : p  0.7‬‬
‫ב‪  0.05  Z  1.645 .‬‬
‫בדיקת השערות על פרופורציה‪.‬‬
‫‪  0.1  Z  1.282‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ Z p (1  p ) ( H )  Z b p (1  p ) H ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪0‬‬
‫פיתחנו בשיעור את הנוסחה ‪ :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪p1  p0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.645 0.3  0.7  1.282 0.8  0.2 ‬‬
‫‪n‬‬
‫הצבה בנוסחה ‪  160.4  161 :‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪95‬‬
‫‪ . pˆ ‬כלל הכרעה ‪ :‬דחה ‪ H 0‬עבור כל ‪1.645  Z‬‬
‫ג‪ 0.76 .‬‬
‫‪125‬‬
‫‪pˆ  c‬‬
‫‪0.76  0.7 0.06‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.466‬‬
‫)‪c(1  c‬‬
‫‪0.7 *0.3 0.041‬‬
‫‪n‬‬
‫‪125‬‬
‫ד‪ .‬קיבלנו את‬
‫‪H0‬‬
‫‪ Z pˆ ‬מסקנה ‪:‬קבל ‪ H 0‬וטענת היצרן לא מתקבלת‪.‬‬
‫ולכן הטעות האפשרית ‪ :‬קיבלנו‬
‫‪pˆ c  0.7‬‬
‫‪ H 0‬למרות ש ‪H1‬‬
‫‪ 0.7674‬‬
‫נכונה‪ .‬טעות מסוג שני ‪. ‬‬
‫יש לחשב את ‪ 1.645 pˆ c‬‬
‫‪0.3  0.7‬‬
‫‪125‬‬
‫‪0.7674  0.8‬‬
‫‪0.03257‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.91‬‬
‫‪1   0.91  1  0.8186  0.1814 , H1 :‬‬
‫‪0.03577‬‬
‫‪0.8*0.2‬‬
‫‪125‬‬
‫‪ H 0 :‬ומקבלים‬
‫‪ pˆ c‬כעת יש להסתכל על ‪. H1‬‬
‫לכן טעות מסוג שני ‪1   0.91  1  0.8186  0.1814 :‬‬
‫|‬
‫‪36‬‬
‫חברה לדיוור ישיר שוקלת לצאת במבצע פרסום למוצר מסוים‪ ,‬באמצעות הדואר‪.‬‬
‫משיקולים כלכליים החברה מעריכה שמבצע הפרסום יהיה כדאי רק אם שיעור התגובה של הצרכנים‪,‬‬
‫כלומר מספר ההזמנות ביחס למספר המכתבים שנשלחו הינו לפחות ‪.15%‬‬
‫בכדי לבדוק את כדאיות המבצע‪ ,‬נשלחו ‪ 100‬מכתבים ל ‪ 100-‬צרכנים שנבחרו באופן מקרי מרשימת‬
‫תפוצה‪ ,‬ומתוכם התקבלו ‪ 10‬הזמנות‪.‬‬
‫א‪ .‬מהי המלצתך לחברה ברמת מובהקות ‪? 3%‬‬
‫ב‪ .‬אם שיעור התגובה האמיתי של הצרכנים הוא ‪ ,12%‬מהי עוצמת המבחן מסעיף א' ?‬
‫ג‪ .‬בנה רווח סמך ברמת סמך ‪ 95%‬לשיעור התגובה באוכלוסייה על סמך המדגם שלעיל‪.‬‬
‫ד‪ .‬לדעת מנכ"ל החברה‪ ,‬רווח הסמך שהתקבל גדול מדי‪ .‬מהו גודל המדגם הדרוש כדי שאורך רווח‬
‫הסמך יהיה מחצית מהאורך שקיבלת בסעיף ג' באותה רמת סמך ?‬
‫‪H : p  0.15‬‬
‫‪0.1  0.15‬‬
‫‪ 1.4  z0.97  1.881 , pˆ  10  0.1 0‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪H1 : p  0.15‬‬
‫‪0.15  0.85‬‬
‫‪100‬‬
‫‪z pˆ ‬‬
‫לא דוחים את השערת האפס‪ ,‬לא נדחתה ההשערה בדבר כדאיות מבצע הפרסום‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪H1 : p  0.12 , pˆ c  0.15  1.881 0.15  0.85  0.0828‬‬
‫‪100‬‬
‫‪0.0828  0.12‬‬
‫‪)   (1.14)  1  0.8729  0.1271‬‬
‫‪0.12  0.88‬‬
‫‪100‬‬
‫‪0.1 0.9‬‬
‫‪0.1 0.9‬‬
‫‪1.96  p  0.1 ‬‬
‫ג‪1.96 .‬‬
‫‪100‬‬
‫‪100‬‬
‫( ‪1    P( pˆ  0.0828 | H1 )  ‬‬
‫‪0.0412  p  0.1588  0.1 ‬‬
‫ד‪ .‬כדי לקבל רווח באורך מחצית האורך שהתקבל בסעיף ג' יש להגדיל את המדגם פי ‪, 4=22‬‬
‫כלומר נדרש מדגם בגודל ‪.400‬‬
‫|‬
‫‪37‬‬
‫בעיר מסוימת נמצא על‪-‬פי מפקד האוכלוסין האחרון‪ ,‬כי אחוז התושבים מעל גיל ‪ ,24‬בעלי תואר‬
‫אקדמי הוא ‪.25%‬‬
‫מנהל אגף החינוך באותה עיר מעוניין לבדוק האם חל שינוי באחוז התושבים בעלי תואר אקדמי‪.‬‬
‫סטטיסטיקאי הרשות הציע לבדוק מדגם מקרי של ‪ 20‬תושבים מעל גיל ‪ 24‬ולהחליט שלא חל שינוי‬
‫באחוז האקדמאים‪ ,‬אם מספר בעלי תואר אקדמי במדגם יהיה ‪ 7 ,6‬או ‪. 8‬‬
‫א‪ .‬מהי ההסתברות לטעות מסוג ראשון של המבחן המוצע ?‬
‫ב‪ .‬מהי ההסתברות לגלות שינוי באחוז האקדמאים בעיר‪ ,‬אם זה אכן השתנה ל ‪? 40%-‬‬
‫ג‪ .‬חזור על סעיפים א' ו‪-‬ב' באם יוחלט שחל שינוי באחוז האקדמאים אם מספר בעלי תואר אקדמי‬
‫יהיה שונה מ‪? 7 -‬‬
‫‪H 0 : p  0.25‬‬
‫‪H1 : p  0.25‬‬
‫‪ X ~ B  20, p  ,‬מספר האקדמאים במדגם‬
‫אזור הקבלה‪X=6,7,8 :‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪) = ‬רוזאהיחדה( ‪ )  PH0‬תועט גוסמ ‪P( I‬‬
‫‪  1  PHo ( X  6, 7,8)  1   P( X  8)  P( X  5)  ‬‬
‫‪ 1   0.9591  0.6172   06581‬‬
‫ב‪.‬‬
‫בהנחת‬
‫‪H1‬‬
‫‪:‬‬
‫)‪X ~ B (20, 0.4‬‬
‫‪1    1  PH1 ( X  6,7,8)  1   P( X  8)  P( X  5)  ‬‬
‫‪ 1  0.5956  0.1256  0.53‬‬
‫ג‪.‬‬
‫אזור הדחיה‬
‫‪X 7‬‬
‫אזור הקבלה‬
‫‪X 7‬‬
‫‪  1  PHo ( X  7)  1   P( X  7)  P( X  6)  ‬‬
‫‪ 1   0.8982  0.7858  0.8876‬‬
‫‪1    1  PH1 ( X  7)  1   P( X  7)  P( X  6)  ‬‬
‫‪ 1  0.4159  0.25  0.8341‬‬
‫|‬
‫‪38‬‬
‫ידוע משנים קודמות כי מבין כל ‪ 100‬סטודנטים שהתחילו ללמוד באו"פ ‪ 20‬הפסיקו את לימודיהם‪.‬‬
‫משערים כי השנה אחוז הסטודנטים שהפסיקו ללמוד שונה מהעבר‪ .‬לשם כך נלקח מדגם מיקרי של‬
‫‪ 150‬סטודנטים ונמצא כי ‪ 35‬הפסיקו את לימודיהם‪.‬‬
‫א‪ .‬נסח השערות ובדוק את הטענה בר"מ ‪.0.02‬‬
‫ב‪ .‬אם ההשערות היו‪:‬‬
‫‪H 0 : p  0.2‬‬
‫‪H1 : p  0.2‬‬
‫האם ניתן לדעת‪ ,‬ללא חישוב נוסף מה תהיה המסקנה באותה ר"מ? אם לא‪ ,‬מדוע לא?‬
‫ג‪ .‬אם ההשערה היא כי השנה הפסיקו את לימודיהם ‪ 25%‬מהסטודנטים‪ ,‬מה תהיה‬
‫ההסתברות לטעות מסוג שני על פי המבחן בסעיף א'‪.‬‬
‫|‬
‫‪39‬‬
40
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
41
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
‫הסקה סטטיסטית לפי שני מדגמים‬
‫באילו מצבים החוקר יתעניין בהשוואה לפי שני מדגמים ?‬
‫כאשר רוצים להשוות בין ‪ 2‬טיפולים ולהחליט מי טוב יותר מדגם הראשון יטופל בטיפול א' ומדגם ב'‬
‫יטופל בטיפול ב' ונשווה בין שתי האוכלוסיות‪.‬‬
‫‪ .1‬שני מדגמים בלתי תלויים‬
‫המדגמים נבחרו באופן אקראי‪ ,‬אין תלות בין בחירת המקרים בין מדגם א' לב'‪.‬‬
‫לדוגמא‪ :‬השוואת שכר גברים לשכר נשים‬
‫יתכנו ‪ 3‬מצבים‪:‬‬
‫‪ .1‬שונות ידועה – מודל ‪3‬‬
‫‪ .2‬שונויות לא ידועות אך שוות – מודל ‪4‬‬
‫‪ .3‬שונויות לא ידועות ולא שוות – לא נתעסק בקורס זה‬
‫‪ .2‬שני מדגמים מזווגים ( תלויים) מודל ‪5‬‬
‫בין שני מדגנים מזווגים יש מתאם סטטיסטי‪ ,‬מדגם מזווג זה כמו בחירת אותו נחקר לשני‬
‫מדגמים‪ ,‬השוואת לפני טיפול ואחרי טיפול וכו‪.‬‬
‫|‬
‫‪42‬‬
‫מודל ‪ :5‬הסקה על הפרש ממוצעים לפי שני מדגמים מזווגים‬
‫הנחות‬
‫‪x1 , x2‬‬
‫מסווגים‪ ,‬‬
‫‪Dc‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , D ~ N D ,  2‬סטטיסטי במדגם‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Di  X1  X 2‬‬
‫‪SD‬‬
‫‪ , TD ‬נחשב הפרשים‬
‫ונתייחס אליהם כאל מדגם אחד‪ .‬התפלגות ‪ t‬עם )‪ (n-1‬דרגות חופש‪.‬‬
‫להלן נתונים על מספר השעות שהקדישו עשרה ילדים בגיל ‪ 14‬במשך שבוע להכנת שעורים ולצפייה‬
‫בטלוויזיה ‪:‬‬
‫הכנת שעורים‬
‫‪13‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16.5‬‬
‫‪14.5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪13.5‬‬
‫‪19‬‬
‫‪16‬‬
‫‪15‬‬
‫‪12‬‬
‫צפייה בטלוויזיה‬
‫‪17.5‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪20‬‬
‫‪13.5‬‬
‫‪14‬‬
‫‪18‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪16‬‬
‫האם ניתן לומר כי ילדים מקדישים בממוצע יותר זמן לצפייה בטלוויזיה מאשר להכנת שעורים‪,‬‬
‫בהנחה שמספר השעות מתפלג נורמלית ? נסח את ההשערות ובדוק ברמת מובהקות ‪. 0.05‬‬
‫ההשערות הן‪:‬‬
‫‪H 0 :  X  Y  D  0‬‬
‫‪H1 :  X  Y  D  0 ,‬‬
‫כאשר ‪ – X‬זמן הצפייה בטלוויזיה‪ – Y ,‬זמן הכנת שיעורים‪,‬‬
‫ההנחות‪ :‬מדגמים מזווגים‪/‬תלויים‪ ,‬שונות לא ידועה‪ ,‬התפלגות נורמלית באוכ' ) ‪D ~ N (  D ,  D2‬‬
‫נוסיף שורה חדשה ‪ D‬הפרש התצפיות‪:‬‬
‫הכנת שעורים‬
‫‪13‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16.5‬‬
‫‪14.5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪13.5‬‬
‫‪19‬‬
‫‪16‬‬
‫‪15‬‬
‫‪12‬‬
‫צפייה בטלוויזיה‬
‫‪17.5‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪20‬‬
‫‪13.5‬‬
‫‪14‬‬
‫‪18‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪16‬‬
‫‪D‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪1-‬‬
‫‪1.5-‬‬
‫‪5.5‬‬
‫‪3.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1-‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪87.25  10 1.652‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6.67‬‬
‫‪9‬‬
‫‪D0‬‬
‫בהנחת ‪~ t (9) : H 0‬‬
‫‪SˆD‬‬
‫‪n‬‬
‫אזור הדחייה ברמת מובהקות‬
‫‪ 10d 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪d‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (di  d ) 2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪sˆd2 ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪d  1.65‬‬
‫‪TD ‬‬
‫‪0.05‬‬
‫הוא‪:‬‬
‫‪TD  t0.05 (9)  1.833‬‬
‫דחה את ‪ H 0‬אם ‪-‬‬
‫‪1.65  0‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 2.02  t0.05‬‬
‫‪ 1.833‬‬
‫‪6.67‬‬
‫‪10‬‬
‫|‬
‫‪td ‬‬
‫‪43‬‬
‫לכן נדחה את ‪ , H 0‬כלומר ניתן לומר ברמת מובהקות ‪ 0.05‬שילדים מקדישים בממוצע יותר זמן‬
‫לצפייה בטלוויזיה מאשר להכנת שיעורים‪.‬‬
‫קיימת טענה שאנשים המפסיקים לעשן עולים בממוצע יותר מ –‪ 4‬ק"ג‪ .‬לצורך בדיקת הטענה נלקח‬
‫מדגם מקרי של ‪ 10‬גברים‪ ,‬שנשקלו פעם אחת לפני שהפסיקו לעשן‪ ,‬ופעם שנייה שנה לאחר הפסקת‬
‫העישון‪ .‬להלן התוצאות שנתקבלו ‪:‬‬
‫משקל לפני הפסקת העישון‬
‫‪62‬‬
‫‪75‬‬
‫‪78‬‬
‫‪82‬‬
‫‪68‬‬
‫‪76‬‬
‫‪77‬‬
‫‪74‬‬
‫‪84‬‬
‫‪80‬‬
‫משקל אחרי הפסקת העישון‬
‫‪70‬‬
‫‪84‬‬
‫‪84‬‬
‫‪80‬‬
‫‪75‬‬
‫‪80‬‬
‫‪82‬‬
‫‪80‬‬
‫‪89‬‬
‫‪86‬‬
‫האם ניתן לקבוע שהטענה נכונה ?‬
‫נסח את ההשערות‪ ,‬רשום את ההנחות שהנך מניח לצורך הפתרון ובדוק ברמת מובהקות ‪.0.05‬‬
‫‪ - xi‬המשקל של הנבדק ה‪i -‬‬
‫לפני הפסקת העישון‪,‬‬
‫‪ - y i‬המשקל של הנבדק ה‪i -‬‬
‫לאחר הפסקת העישון‪.‬‬
‫נגדיר‬
‫‪ y i  xi‬‬
‫‪. di‬‬
‫נתון‪n  10 :‬‬
‫נניח כי ) ‪N ( ,  2‬‬
‫ההשערות הן‪ , H 0 : d  4 :‬כלומר המפסיקים לעשן עולים במשקל יותר מ‪ 4 -‬ק"ג‪,‬‬
‫‪. H1 : d  4‬‬
‫לעומת‬
‫~ ‪.D‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ( d i2  10 d 2 ) .‬‬
‫‪9‬‬
‫)‪d‬‬
‫נרשום את ההפרשים‪:‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ (d‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪S D2 ‬‬
‫‪d i : 8,9,6,2,7,4,5,6,5,6‬‬
‫‪sˆd  2.99‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(372  10  5.4 2 )   80 .4  8.93,‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫התפלגות הדגימה בהנחת‬
‫)‪~ t (9‬‬
‫‪H0‬‬
‫‪sˆd2 ‬‬
‫‪ 372 ,‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d  5.4,‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ n‬קטן מ‪ ,30 -‬היא‪:‬‬
‫‪D 4‬‬
‫‪Sˆ D / 10‬‬
‫כלל ההכרעה הוא‪ :‬דחה את‬
‫‪ 1.833‬‬
‫מלוח ‪ t‬ידוע כי‬
‫נחשב סטטיסטי המבחן‪:‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪ 1.48‬‬
‫‪0.946‬‬
‫‪‬‬
‫‪H0‬‬
‫עבור‬
‫‪T  t1‬‬
‫בהתפלגות‬
‫‪t‬‬
‫עם ‪ 9‬דרגות חופש‪.‬‬
‫‪ 9( t 0.95‬דרגות חופש)‪.‬‬
‫‪5.4  4‬‬
‫‪2.99 / 10‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ , 1.48  1.833‬לכן לא נדחה את ‪ , H 0‬כלומר המפסיקים לעשן לא עולים במשקל יותר מ‪ 4 -‬ק"ג‪.‬‬
‫|‬
‫‪44‬‬
‫הטבלה הבאה מציגה את מספר שעות השינה לאחר קבלת תרופה מסוימת‪ ,‬ומספר שעות השינה‬
‫לפני קבלתה‪ ,‬של ‪ 9‬חולים שקבלו תרופה מסוימת‪.‬‬
‫לפני קבלת התרופה‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6.5‬‬
‫‪6.5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4.5‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫אחרי קבלת התרופה‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8.5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫האם יש לתרופה השפעה חיובית על מספר שעות השינה‪ ,‬בהנחה שמספר שעות השינה מתפלג‬
‫נורמלית ? נסח את ההשערות‪ ,‬הסבר מהו המבחן הסטטיסטי המתאים ובדוק ברמת מובהקות ‪.0.05‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪ - y i‬מספר שעות השינה אחרי קבלת התרופה‬
‫‪. d i  y i  xi‬‬
‫‪ -‬מספר שעות השינה לפני קבלת התרופה‬
‫נגדיר‬
‫נתון‪n  9 :‬‬
‫נניח כי ) ‪N ( ,  2‬‬
‫ההשערות הן‪H1 : d  0 , H 0 : d  0 :‬‬
‫~ ‪.D‬‬
‫‪ 9d 2 ) .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ ( d  d )  1 ( d‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪S D2 ‬‬
‫נרשום את ההפרשים‪:‬‬
‫‪di : 1,2, 0.5,1.5,0,3,4, 1,1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(34.5  9 1.22 2 )  2.63, sˆd  1.62‬‬
‫‪8‬‬
‫התפלגות הדגימה בהנחת‬
‫‪H0‬‬
‫‪ 34.5, sˆd2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪d‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ 1.22 ,‬‬
‫‪9‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ n‬קטן מ‪ ,30 -‬היא‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪~ t (8‬‬
‫‪SˆD / 9‬‬
‫כלל ההכרעה הוא‪:‬‬
‫דחה את‬
‫מלוח‬
‫‪t‬‬
‫‪H0‬‬
‫עבור‬
‫‪T  t1‬‬
‫‪t‬‬
‫עם ‪ 8‬דרגות חופש‪.‬‬
‫ידוע כי ‪ . t 0.95  1.86‬סטטיסטי המבחן‪:‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪1.22‬‬
‫‪ 2.26‬‬
‫‪1.62 / 9‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ , 2.26  1.86‬לכן נדחה את ‪ , H 0‬כלומר ברמת מובהקות ‪ , 0.05‬יש לתרופה השפעה חיובית על‬
‫מספר שעות השינה‪.‬‬
‫|‬
‫‪45‬‬
‫במחקר מסוים נבדק יבול הקפה [מספר שקים בחודש] ב‪ 7-‬חוות קטנות לפני ואחרי שימוש בשיטת‬
‫טיפול חדשנית נגד פטרייה מזיקה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫חווה‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫לפני‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫אחרי‬
‫ידוע שהיבול מתפלג נורמלית‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪13‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪9‬‬
‫בדוק את ההשערה שתוחלת היבול לאחר הטיפול שונה מתוחלת היבול לפני הטיפול ברמת מובהקות‬
‫‪ .0.05‬נמק‬
‫פתרון‬
‫‪6‬‬
‫לפני ‪5 X‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪13‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫אחרי ‪10 Y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5 D=Y-X‬‬
‫‪53 2 0953‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪ 3.857‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 52  32  22  02  92  52  32  153‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i‬‬
‫‪d‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ( di2  7d 2 )  8.144  Sˆ  8.144  2.8538‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪d‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ (d‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪S D2 ‬‬
‫‪H 0 : d  0‬‬
‫‪H1 :  d  0‬‬
‫הנחות‪:‬‬
‫(‪ )1‬התפלגות נורמלית‬
‫(‪ )2‬מדגמים מזווגים‬
‫‪3.857  0‬‬
‫חישוב סטטיסטי‪ 3.576 :‬‬
‫‪2.8535 / 7‬‬
‫אזור דחיית 𝟎𝑯‪:‬‬
‫‪t‬‬
‫‪TD  t0.025 (6)  2.447‬‬
‫‪TD  t0.025 (6)  2.447‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫‪ 2.447<3.576‬ולכן נדחה את ‪ Ho‬בר"מ ‪0.05‬‬
‫כלומר חל שינוי בעקבות הטיפול החדש‬
‫|‬
‫‪46‬‬
47
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
‫מודל ‪ : 3+4‬בדיקת השערות על הפרש תוחלות במדגמים ב"ת‬
‫מודל ‪ 3‬שונויות ידועות‬
‫‪x1 , x2‬‬
‫מתפלג נורמלית‪ ,‬בלתי תלויים – אך אם ‪ n>30‬אין צורך בהנחת נורמליות‪.‬‬
‫הסטטיסטי במדגם‪:‬‬
‫‪( x1  x2 )  c‬‬
‫‪ 12  2 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1 n2‬‬
‫‪ . Z x1  x2 ‬אם השונויות אינן ידועות ומדובר במדגמים גדולים‬
‫מספיק נציב את ‪ s1 , s2‬במקום סטיות התקן של האוכלוסיות‪.‬‬
‫בחוות כבשים הגיעה עונת הגז והעובדים עושים תחרות בין שתי קבוצות‪ :‬בקבוצה א' העובדים‬
‫הוו תיקים ובקבוצה ב' העובדים החדשים שזה להם הגז הראשון‪ .‬בנתונים שנאספו נמצא כי קבוצה א'‬
‫גזמה ‪ 120‬ק"ג צמר ב‪ 40-‬ימי עבודה שנדגמו מקרית בעוד שקבוצה ב' גזמה ‪ 70‬ק"ג צמר ב‪ 35-‬ימי‬
‫עבודה שנדגמו מקרית‪.‬‬
‫ידוע כי סטיית התקן בקרב העובדים הוו תיקים היא ‪ 1.5‬ובקרב העובדים החדשים היא ‪.2.5‬‬
‫א‪ .‬האם לאור התוצאות ניתן לומר‪ ,‬ברמת מובהקות ‪ 0.05‬כי ממוצע ק"ג צמר ליממה שנאסף בקבוצה‬
‫א' גבוה מממוצע ק"ג צמר ליממה שנאסף בקבוצה ב'‬
‫ב‪ .‬מהי מובהקות התוצאה‪ ,‬כלומר‪ ,‬מהי רמת המובהקות המינימלית עבורה יוחלט כי ממוצע ק"ג צמר‬
‫ליממה שנאסף בקבוצה א' אכן גבוה מממוצע ק"ג צמר ליממה שנאסף בקבוצה ב'?‬
‫פתרון‬
‫|‬
‫‪48‬‬
49
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
‫שאלה מבחינה ‪2014‬ב מועד ‪84‬‬
‫המרכז הארצי לבחינות החליט לבדוק כמה סוגיות בקשר לתוחלת הציונים בבחינה הפסיכומטרית‪.‬‬
‫ידוע כי הציונים בבחינה הפסיכומטרית מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן ‪ ,100‬ללא קשר למועד אליו‬
‫ניגשים הנבחנים‪ .‬נלקח מדגם של ‪ 20‬תלמידי תיכון שנגשו לבחינה הפסיכומטרית והתקבל בו ציון‬
‫ממוצע בבחינה של ‪ .540‬בנוסף‪ ,‬נלקח מדגם של ‪ 25‬נבחנים שנגשו לבחינה הפסיכומטרית לאחר‬
‫הצבא והתקבל בו ציון ממוצע בבחינה של ‪.572‬‬
‫א‪ .‬האם ניתן להסיק‪ ,‬ברמת מובהקות ‪ ,0.05‬כי עדיף להיבחן בבחינה הפסיכומטרית לאחר‬
‫הצבא מאשר בתיכון? רשמו את המבחן בו אתם משתמשים ונמקו תשובתכם‪.‬‬
‫ב‪ .‬ידוע כי תוחלת הציון בבחינה הפסיכומטרית לאורך השנים היא ‪.535‬‬
‫‪ .1‬האם ניתן לומר‪ ,‬ברמת מובהקות ‪ ,0.05‬כי הציונים של הנבחנים בבחינה לאחר הצבא‬
‫שונים מה ממוצע הכללי? רשמו את המבחן בו אתם משתמשים ונמקו תשובתכם‪.‬‬
‫‪ .2‬אם תוחלת הציון בבחינה הפסיכומטרית‪ ,‬של הנבחנים בבחינה לאחר הצבא‪ ,‬היא באמת‬
‫‪ ,560‬מה ההסתברות שהמבחן בו השתמשתם ב‪ )1(-‬יגלה זאת? איך נקראת הסתברות‬
‫זו?‬
‫|‬
‫‪50‬‬
51
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
‫ידוע כי סטיית התקן של מספר שעות העבודה בשבוע של נשים עובדות היא‪ 4‬שעות‪ ,‬במדגם מקרי‬
‫של ‪ 225‬נשים נמצא ממוצע ‪ 36.4‬שעות עבודה‪.‬‬
‫במדגם מקרי נוסף של ‪ 100‬גברים נמצא כי ממוצע שעות העבודה שלהם בשבוע הוא ‪ 38‬שעות‪ .‬ידוע‬
‫כי סטית התקן של מספר שעות העבודה השבועיות בקרב הגברים היא ‪ 5‬שעות‪.‬‬
‫א‪ .‬האם לאור התוצאות ניתן לומר ברמת מובהקות ‪ 0.01‬שנשים עובדות בממוצע פחות שעות?‬
‫הסבר ונמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬בהמשך לסעיף א‪ ,‬חשב את עצמת המבחן אם למעשה ממוצע שעות העבודה בשבוע של‬
‫גברים גבוה ב‪ 3 -‬שעות ממוצע שעות העבודה של נשים‪.‬‬
‫נתונים‪:‬‬
‫‪𝛼 = 0.01‬‬
‫נשים‪1 -‬‬
‫גברים‪2-‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫𝝈‬
‫‪225‬‬
‫‪100‬‬
‫‪n‬‬
‫‪36.4‬‬
‫‪38‬‬
‫̅‬
‫𝑿‬
‫𝟎 = 𝟏𝝁 ‪𝑯𝟎 : 𝝁𝟐 −‬‬
‫𝟎 > 𝟏𝝁 ‪𝑯𝟏 : 𝝁𝟐 −‬‬
‫(‪ )1‬מדגמים ב"ת‬
‫(‪ )2‬שונות באוכ' ידועות‬
‫(‪ 30> 𝑛2 ,𝑛1 )3‬ולכן מ‪.‬ג‪.‬מ מתקיים‬
‫שרטוט השערות וקביעת אזורי דחייה וקבלה‬
‫אזור קבלת ‪Z x2  x1  2.326 : H 0‬‬
‫אזור דחיית ‪Z x2  x1  2.326 : H 0‬‬
‫חישוב סטטיסטי‪:‬‬
‫|‬
‫‪52‬‬
‫‪ 38  36.4   0  2.82  2.326‬‬
‫‪42‬‬
‫‪52‬‬
‫‪‬‬
‫‪225 100‬‬
‫‪Z x2  x1 ‬‬
‫החלטה‪ :‬נדחה את ‪H 0‬‬
‫מסקנה‪ :‬ברמת מובהקות ‪ 0.01‬הנשים עובדות בממוצע פחות שעות מגברים התוצאה מובהקת‬
‫סטטיסטית‪.‬‬
‫סעיף ב‬
‫‪ H1‬משתנה‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫𝟎 = 𝟏𝝁 ‪𝑯𝟎 : 𝝁𝟐 −‬‬
‫𝟑 = 𝟏𝝁 ‪𝑯𝟏 : 𝝁𝟐 −‬‬
‫נפתור ב‪ 2-‬שלבים‪:‬‬
‫(‪ )1‬מציאת ‪ k‬ב‪ H 0 -‬לפי ‪ ‬נתונה‬
‫(‪ )2‬מציאת ‪ k‬ב‪ H1 -‬ומציאת ‪1  ‬‬
‫שלב (‪ )1‬חישוב ערך קריטי תחת 𝟎𝑯 בר"מ ‪0.01‬‬
‫‪ x2  x1 c  1.32‬‬
‫‪ x2  x1   0  2.326 ‬‬
‫‪42‬‬
‫‪52‬‬
‫‪‬‬
‫‪225 100‬‬
‫ולכן בר"מ ‪ 0.01‬נדחה את 𝟎𝑯 אם ‪x2  x1  1.32‬‬
‫שלב (‪ )2‬הצבת ערך קריטי ב‪:𝑯𝟏 -‬‬
‫|‬
‫‪53‬‬


1.32  3
1    P  x2  x1  1.32   1   
 42
52


 225 100
 1    2.97     2.97   0.9985
54
[email protected]
|






www.OpenBook.co.il
55
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
‫מודל ‪ – 4‬בדיקת השערות ‪ :‬הפרש תוחלות כאשר השונויות אינן ידועות‬
‫הנחות ‪ x1 , x2 -‬מתפלגים נורמלית ובלתי תלויים‪ ,‬מדגמים קטנים אז נניח שונויות שוות‪ .‬כשהמדגמים‬
‫ב"ת והשונויות באוכלוסייה לא ידועות‪ ,‬המדגמים בד"כ יהיו מאוד קטנים ותמיד נניח שהשונויות‬
‫באוכלוסייה שוות (אלא אם כתוב בשאלה שלא ניתן להניח זאת)‪.‬‬
‫‪n1S12  n2 S 22‬‬
‫שלב ראשון‪-‬נחשב "שונות משוקללת" לפי הנוסחה‪:‬‬
‫‪n1  n2  2‬‬
‫התפלגות ‪ t‬עם‬
‫‪n1  n2  2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n  1 S 1   n2  1 S 2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪n1  n2  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫דרגות חופש‬
‫שלב שני – בדיקת השערות רגילה‪ ,‬הסטטיסטי במדגם‪:‬‬
‫‪( x1  x2 )  c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪n1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S‬‬
‫‪Tx1  x2 ‬‬
‫בשתי שכונות נמדדו רמות הרעש [דציבלים] (להלן ‪ )X‬ביום העצמאות במספר מוקדים‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫מוקד‬
‫‪112‬‬
‫‪95‬‬
‫‪115‬‬
‫‪80‬‬
‫‪100‬‬
‫שכונה א‬
‫‪103‬‬
‫‪98‬‬
‫‪109‬‬
‫‪102‬‬
‫‪117‬‬
‫‪110‬‬
‫שכונה ב‬
‫א‪ .‬בדוק את ההשערה שתוחלת ‪ - X‬בשכונה א שונה מ ‪ 116‬ברמת מובהקות ‪ .0.05‬נמק‬
‫ב‪ .‬בדוק את ההשערה שתוחלת ‪ X‬בשכונה א שונה מתוחלת ‪ X‬בשכונה ב ברמת מובהקות‬
‫‪.0.05‬נמק‪.‬‬
‫בכל סעיף‪ ,‬במידה ודרושות הנחות כלשהן‪ ,‬רשום מהן‪.‬‬
‫|‬
‫‪56‬‬
‫פתרון‬
57
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
58
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
‫באוניברסיטה מסוימת קיימת הטענה כי הציון הממוצע בבחינות בסטטיסטיקה ללא חומר עזר אינו‬
‫שונה מהציון הממוצע בבחינות עם חומר עזר‪.‬‬
‫לבדיקת הטענה ניתנה בחינה בסטטיסטיקה ללא חומר עזר ל ‪ 16-‬סטודנטים שנבחרו באופן מקרי‬
‫מבין תלמידי הקורס‪.‬‬
‫הציון הממוצע בבחינה היה ‪ 76‬עם טעות תקן ‪Sˆ1  13‬‬
‫‪.‬‬
‫כמו כן נבחנו ‪ 15‬סטודנטים אחרים שנבחרו באופן מקרי‪ ,‬בבחינה דומה ( הבחינות היו חסויות )‬
‫כאשר בבחינה ניתן היה להיעזר בחומר עזר‪.‬‬
‫הציון הממוצע בבחינה היה ‪ 73‬עם טעות תקן ‪ 9‬‬
‫‪. Sˆ 2‬‬
‫א‪ .‬נסח את ההשערות ורשום את ההנחות הדרושות‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדוק את ההנחה בדבר שוויון השונויות ברמת מובהקות ‪.0.1‬‬
‫ג‪.‬‬
‫האם התוצאות מאוששות את טענת האוניברסיטה ברמת מובהקות ‪? 0.05‬‬
‫א‪ .‬ההשערות‪:‬‬
‫ההנחות‪:‬‬
‫‪H1 : 1  2  0 , H0 : 1  2  0‬‬
‫מדגמים ב"ת‪ ,‬שונויות לא ידועות אך שוות‪.‬‬
‫) ‪Y1, ... Yn2 ~ N ( 2 ,  2 ) , X1, .. X n1 ~ N ( 1,  2‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪H1: 12  22 , H0: 12  22‬‬
‫‪s2 132‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 12  2  2.086  f15,14 (0.05)  2.46‬‬
‫‪f14,15 (0.05) s2‬‬
‫‪9‬‬
‫‪f15,14 (0.95) ‬‬
‫ערך זה לא מופיע בטבלה‬
‫אך השבר כולו קטן מ‪-‬‬
‫‪ 1‬ולכן קטן מערך‬
‫הסטטיסטי‪.‬‬
‫לא דוחים את השערת האפס ‪ ,‬כלומר ההשערה בדבר שוויון השונויות לא נדחית‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪(16  1)132  (15  1)92‬‬
‫‪sˆ ‬‬
‫‪ 162.5‬‬
‫‪16  15  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪76  73‬‬
‫‪ 0.742  t0.025 (29)  2.045‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1265‬‬
‫) ‪.( ‬‬
‫‪16 15‬‬
‫‪t0.975 (29)  2.045  Tx  y ‬‬
‫טענת האוניברסיטה לא נדחית בר"מ ‪.0.05‬‬
‫|‬
‫‪59‬‬
‫לבדיקת הטענה כי הציון הממוצע במבחני לשכת עו"ד של סטודנטים למשפטים שלמדו‬
‫באוניברסיטאות גבוה מהציון המוצע של סטודנטים למשפטים שלמדו במכללות נבדקו ציונים של שתי‬
‫קבוצות סטודנטים והתקבלו התוצאות המוצגות בטבלה שלהלן‪:‬‬
‫מקום הלימוד מספר הסטודנטים ציון ממוצע אומדן לשונות ‪Sˆ 2‬‬
‫‪410‬‬
‫‪81‬‬
‫אוניברסיטה ‪38‬‬
‫‪500‬‬
‫‪72‬‬
‫‪27‬‬
‫מכללה‬
‫א‪ .‬בדוק את הטענה ברמת מובהקות ‪ ?0.05‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬בשנים הקודמות הציון הממוצע במבחני לשכת עו"ד בקרב בוגרי מכללות היה ‪ .65‬האם ניתן‬
‫לומר על סמך התוצאות הנ"ל ברמת מובהקות ‪ 0.05‬שחלה עלייה בציונים בקרב בוגרי‬
‫מכללות? נמק‪.‬‬
‫בשאלה מבקשים להשוות בין שתי תוחלות כאשר המדגמים הם בלתי תלויים‬
‫(‪ )1‬נתונים‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪x‬‬
‫‪Sˆ 2‬‬
‫אוניברסיטה‪410 81 38 1 -‬‬
‫‪500 72 27‬‬
‫מכללה – ‪2‬‬
‫(‪ )2‬השערות‪:‬‬
‫‪H 0 : 1  2  0‬‬
‫‪H1 : 1  2  0‬‬
‫(‪ )3‬הנחות‪:‬‬
‫‪ x1 , x2‬מתפלגים נורמלית‬
‫שונויות באוכלוסייה אינן ידועות אך שוות ‪ 12   22‬‬
‫‪ x1 , x2‬בלתי תלויים‬
‫(‪ )4‬דחה את ‪ H 0‬אם‪ 1.645 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪t  t0.05‬‬
‫‪38  27  2  63‬‬
‫(‪ )5‬רמת מובהקות‪  0.05 :‬‬
‫(‪ )6‬חישוב התפלגות הדגימה‪:‬‬
‫‪ n  1  Sˆ12   n2  1  Sˆ22  (38  1)4102  (27  1)5002  28170  447.14‬‬
‫‪sˆ 2  1‬‬
‫‪n1  n2 2‬‬
‫‪38  27  2‬‬
‫‪63‬‬
‫בהנחה ש ‪ H 0‬נכונה‪.‬‬
‫(‪ )7‬חישוב סטטיסטי וכלל הכרעה‪ 1.691  1.645 :‬‬
‫‪81  72   0‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪447.14    ‬‬
‫‪ 38 27 ‬‬
‫‪t‬‬
‫לכן נדחה את ‪ , H 0‬ניתן לומר בר"מ ‪ 0.05‬שהציון הממוצע במבחני לשכת עו"ד של סטודנטים‬
‫למשפטים שלמדו באוניברסיטה גבוה מהציון הממוצע של סטודנטים למשפטים שלמדו במכללות‪.‬‬
‫סעיף ב‬
‫מבחן ‪ T‬לתוחלת אחת‬
‫|‬
‫‪60‬‬
‫‪H 0 : 2  65‬‬
‫‪H1 : 2  65‬‬
‫התפלגות נורמלית‬
‫שונות לא ידועה‬
‫שרטוט ההשערות וקביעת אזור קבלה ודחייה‬
‫אזור דחיית 𝟎𝑯‪:‬‬
‫‪ 1.706‬‬
‫‪‬‬
‫‪t  t0.05‬‬
‫‪27 1 26 ‬‬
‫התפלגות הדגימה‪ :‬בהנחה ש‪ 𝐻0 -‬נכונה‪:‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫‪̅̅̅−65‬‬
‫‪26‬‬
‫‪~𝑡0.05‬‬
‫‪𝑆̂2‬‬
‫‪⁄‬‬
‫‪√27‬‬
‫חישוב סטטיסטי וכלל הכרעה‪:‬‬
‫‪72  65‬‬
‫‪ 1.63  1.706‬‬
‫‪500‬‬
‫‪27‬‬
‫‪t‬‬
‫לכן נקבל את 𝟎𝑯‪ ,‬לאור התוצאות בר"מ ‪0.05‬‬
‫לא ניתן לומר שחלה עלייה בציונים בקרב בוגרי מכללה‪.‬‬
‫|‬
‫‪61‬‬
62
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
63
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
‫הליגה לשוויון זכויות האישה טוענת כי ההכנסה של נשים נמוכה מזו של גברים העובדים באותו‬
‫מקצוע‪ .‬לשם בדיקת הטענה נלקח מדגם של ‪ 8‬נשים ו –‪ 5‬גברים העובדים במחלקה אחת באותו‬
‫מפעל ונרשמו ההכנסות החודשיות ( בדולרים ) ‪:‬‬
‫משכורת נשים‬
‫‪900‬‬
‫‪700‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪925‬‬
‫‪1220‬‬
‫משכורת גברים‬
‫‪870 1350‬‬
‫‪1150‬‬
‫‪930‬‬
‫‪1400‬‬
‫‪800‬‬
‫‪950‬‬
‫‪940‬‬
‫מהי מסקנתך ברמת מובהקות ‪? 2.5%‬‬
‫נסח את ההשערות‪ ,‬רשום את ההנחות הדרושות לביצוע המבחן הסטטיסטי המתאים ‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪:1‬‬
‫א‪ .‬ההשערות ‪:‬‬
‫‪H 0 : 1  2  0‬‬
‫‪H1 : 1  2  0‬‬
‫‪ - X1 ,‬משכורת נשים‪ - X 2 ,‬משכורת גברים‬
‫) ‪ X 1 ,..., X n1 ~ N ( 1 ,  12‬‬
‫‪ ‬כלומר ‪ :‬התפלגות נורמלית של הנתונים‬
‫הנחות ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪ Y1 ,..., Yn2 ~ N (  2 ,  2‬‬
‫שוויון שונויות ‪ 12   22 :‬‬
‫‪ .‬ומדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫נפתור במחשבון ‪:‬‬
‫גברים‬
‫נשים‬
‫‪5‬‬
‫‪8 n‬‬
‫‪239.16 151.29 S‬‬
‫‪1140 929.37 x‬‬
‫‪ 239.16  5  1  151.29  8  1  35365.63‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪852‬‬
‫‪x 2  x1‬‬
‫‪1140  929.375‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.96‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫) ‪s ( ‬‬
‫) ‪35365.63( ‬‬
‫‪n1 n2‬‬
‫‪5 8‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‪, s‬‬
‫‪t x2  x1 ‬‬
‫עבור רמת מובהקות ‪ 2.5%‬אזור הדחיה‪TX 2  X1  t0.025 (11)  2.201 :‬‬
‫‪ 1.96  2.201‬לכן השערת האפס לא נדחית ברמת מובהקות ‪ 2.5%‬ולכן גם ברמת מובהקות ‪ 2%‬לא‬
‫תדחה ‪ ,‬ולא הוכח שההכנסה של נשים נמוכה מהכנסת הגברים‪.‬‬
‫|‬
‫‪64‬‬
‫מודל ‪ :7‬בדיקת השערות על הפרש פרופורציות‬
‫הנחות‪ x1 , x2 , n1 p1 , n1 q1  10 , n2 p2 , n2 q2  10 :‬בלתי תלויים‪ ,‬התפלגות נורמלית‪..‬‬
‫‪p1  p 2‬‬
‫הסטטיסטי במדגם‪:‬‬
‫‪pq pq‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1 n2‬‬
‫‪n1 p1  n2 p 2‬‬
‫‪ , Z‬כאשר‬
‫‪‬‬
‫‪p1  p 2‬‬
‫‪n1  n2‬‬
‫‪p‬‬
‫להלן תוצאות סקר שנעשה לבדיקת מספר בתי אב המנויים על כבלים באזורים שונים ברחבי הארץ‪:‬‬
‫גודל המדגם מספר המנויים במדגם‬
‫אזור‬
‫‪124‬‬
‫‪162‬‬
‫ירושלים‬
‫‪155‬‬
‫‪250‬‬
‫תל אביב‬
‫‪84‬‬
‫‪120‬‬
‫חיפה‬
‫‪341‬‬
‫‪620‬‬
‫מחוץ לערים הגדולות‬
‫על סמך תוצאות הסקר ענה על השאלות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬בדוק ברמת מובהקות ‪ 0.05‬את הטענה כי מחוץ לערים הגדולות‪ ,‬יותר ממחצית בתי האב מנויים‬
‫על כבלים‪ .‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם ניתן לומר‪ ,‬ברמת מובהקות ‪ ,0.05‬כי אחוז המנויים בת"א שונה מאחוז המנויים בחיפה?נמק‪.‬‬
‫ג‪ .‬בדוק ברמת מובהקות ‪ 0.05‬את הטענה כי פרופורצית בתי האב המנויים על כבלים בירושלים‬
‫נמוכה מ ‪ .0.8‬נמק‬
‫|‬
‫‪65‬‬
66
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
67
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
‫חוקר בדק את הקשר בין עישון ללחץ דם גבוה בעזרת מדגם מקרי של ‪ 800‬אנשים‪ .‬במדגם היו ‪300‬‬
‫מעשנים ומתוכם ‪ 8%‬סובלים מלחץ דם גבוה‪ ,‬וכן ‪ 500‬איש שאינם מעשנים ומתוכם ‪ 4%‬סובלים‬
‫מלחץ דם גבוה‪.‬‬
‫א‪ .‬בדוק ברמת מובהקות של ‪ , 0.01‬את ההשערה שבקרב מעשנים אחוז הסובלים מלחץ דם גבוה‬
‫גדול יותר מאשר בקרב אלה שאינם מעשנים‪.‬‬
‫ב‪ .‬אמוד את אחוז הסובלים מלחץ דם גבוה באוכלוסייה כולה‪ ,‬ברמת בטחון של ‪.95%‬‬
‫ג‪ .‬האם תוצאות המדגם מצדיקות את הטענה כי אחוז הסובלים מלחץ דם גבוה באוכלוסייה‬
‫כולה‪ ,‬הוא גבוה מ ‪ ? 5%‬נסח את ההשערות ובדוק ברמת מובהקות ‪.0.01‬‬
‫א‪ .‬נסמן ‪ - p1‬פרופורצית הסובלים מלחץ דם גבוה בקרב המעשנים‬
‫‪ - p2‬פרופורצית הסובלים מלחץ דם גבוה בקרב הלא מעשנים‬
‫נתון‪  0.01 , n1 = 300 n2 = 500 :‬‬
‫ההשערות‪ H : p  p , H : p  p :‬או ‪H 0 : p1  p 2  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H1 : p1  p 2  0‬‬
‫נתון‪:‬‬
‫‪pˆ 1  0.08 , pˆ 2  0.04‬‬
‫הנחות‪n1pˆ 1  24  10 , n1qˆ 1  276  10 ,n2pˆ 2  20  10 , n2qˆ 2  480  10 :‬‬
‫‪0.08  300  0.04  500‬‬
‫‪44‬‬
‫‪24  20‬‬
‫‪44‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.055‬‬
‫‪ pˆ ‬או ‪ 0.055‬‬
‫‪300  500 800‬‬
‫‪800‬‬
‫‪800‬‬
‫‪pˆ ‬‬
‫אזור הדחיה ברמת מובהקות ‪ 0.01‬הוא‪Zpˆ 2 pˆ1  z 0.01  2.326 :‬‬
‫‪0.08  0.04‬‬
‫‪0.04‬‬
‫‪‬‬
‫סטטיסטי המבחן‪ 2.403 :‬‬
‫‪0.0166‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪0.055  0.945‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪300 500‬‬
‫‪pˆ1  pˆ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ˆ ˆ pq‬‬
‫ˆˆ‬
‫‪pq‬‬
‫‪‬‬
‫‪n1‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪z‬‬
‫מסקנה‪ , 2.4  2.326 :‬לכן נדחה את ‪ , H 0‬כלומר‪ ,‬ניתן לומר כי אחוז הסובלים מלחץ דם גבוה ‪ ,‬גבוה‬
‫יותר בקרב המעשנים‪.‬‬
‫‪n  800   0.05‬‬
‫‪Z1 / 2  Z 0.975  1.96‬‬
‫‪pˆ  0.055‬‬
‫‪qˆ  0.945‬‬
‫ב‪ .‬רב"ס לפרופורציה‪ 0.055 0.945  0.055  0.0158 :‬‬
‫‪800‬‬
‫ˆˆ‬
‫‪pq‬‬
‫‪ 0.055  1.96‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0.0392 , 0.0708‬‬
‫‪pˆ  Z1 / 2 ‬‬
‫‪0.055  0.945‬‬
‫‪0.055  0.945‬‬
‫‪1.96  p  0.055 ‬‬
‫‪1.96 0.0392  p  0.0708 ‬‬
‫‪800‬‬
‫‪800‬‬
‫|‬
‫‪0.055 ‬‬
‫‪68‬‬
‫ג‪ .‬השערות ‪H1 : p  0.05 ; H0 : p  0.05 :‬‬
‫‪pˆ  0.05‬‬
‫‪pˆ  0.05‬‬
‫‪‬‬
‫התפלגות הדגימה בהנחת ‪~ N (0, 1) : H 0‬‬
‫‪0.0077‬‬
‫‪0.05  0.95‬‬
‫‪800‬‬
‫רמת המובהקות ‪.   0.01‬‬
‫דחה את ‪ H 0‬אם ‪Z  2.326‬‬
‫‪0.005‬‬
‫‪ 0.649‬‬
‫‪0.0077‬‬
‫‪z pˆ ‬‬
‫‪ , 0.649  2.326‬לכן מקבלים את ‪. H 0‬‬
‫כלומר‪ ,‬לא הוכח שאחוז הסובלים מלחץ דם גבוה באוכלוסייה גבוה מ‪ 5% -‬ברמת מובהקות ‪. 0.01‬‬
‫לא דוחים את השערת האפס‪ ,‬תוצאות המדגם לא מצדיקות את הטענה‪.‬‬
‫|‬
‫‪69‬‬
‫במדגם מקרי של ‪ 400‬תושבי גוש דן נמצא של ‪ 140-‬מהם יש מכשיר ‪.DVD‬‬
‫במדגם מקרי של ‪ 500‬תושבים משאר חלקי הארץ נמצא כי של‪ 150-‬מהם יש מכשיר ‪.DVD‬‬
‫א‪ .‬האם ניתן לומר שפרופורצית בעלי ‪ DVD‬בגוש דן גבוה מפרופורצית בעלי ‪ DVD‬בשאר חלקי‬
‫הארץ ? נסח את ההשערות והסק עבור רמת מובהקות ‪.0.05‬‬
‫ב‪ .‬בדוק את ההשערה שפרופורצית בעלי ‪ DVD‬בכל רחבי הארץ שונה מ ‪ 0.3-‬ברמת מובהקות‪.0.05‬‬
‫‪ - p2‬פרופורצית בעלי ‪ DVD‬בשאר חלקי הארץ‪.‬‬
‫א‪ .‬נסמן ‪ - p1‬פרופורצית בעלי ‪ DVD‬בגוש דן‪,‬‬
‫נתון‪ .   0.05 , n1 = 400, n2 = 500 :‬הנחות ‪:‬‬
‫) ‪ - X 1 ~ B(400, p1‬מספר בעלי ‪ DVD‬בגוש דן‪ - X 2 ~ B(500, p2 ) ,‬מספר בעלי ‪ DVD‬בשאר‬
‫‪H 0 : p1  p 2  0‬‬
‫חלקי הארץ‪ .‬ההשערות הן‪:‬‬
‫‪H1 : p1  p 2  0‬‬
‫‪140‬‬
‫‪150‬‬
‫‪pˆ 1 ‬‬
‫‪ 0.35, pˆ 2 ‬‬
‫לפי הנתון‪ 0.3 :‬‬
‫‪400‬‬
‫‪500‬‬
‫כלל ההכרעה הוא‪:‬‬
‫‪140  150‬‬
‫דחה את ‪ H 0‬אם ‪ . Z  1.645‬‬
‫‪pˆ ‬‬
‫נחשב ‪ 0.322‬‬
‫‪400  500‬‬
‫חישוב סטטיסטי המבחן‪:‬‬
‫‪pˆ 1  pˆ 2‬‬
‫‪0.35  0.3‬‬
‫‪0.05‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.595‬‬
‫‪0.0313‬‬
‫ˆ‪pˆ qˆ pˆ q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫( ‪0.322 * 0.678‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪n1 n2‬‬
‫‪400 500‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪1.595  1.645‬‬
‫לכן‪ ,‬לא נדחה את ‪ . H 0‬כלומר‪ ,‬לא ניתן לומר שפרופורצית בעלי ‪ DVD‬בגוש דן גבוהה מפרופוצית‬
‫בעלי ‪ DVD‬בשאר חלקי הארץ‪.‬‬
‫ב‪ .‬השערות‪:‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪H 0 : p  0.3‬‬
‫הסטטיסטי‪:‬‬
‫‪pˆ ‬‬
‫‪H 1 : p  0.3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪pˆ  0.3‬‬
‫‪pˆ  0.3‬‬
‫‪‬‬
‫התפלגות הדגימה בהנחת ‪~ N (0, 1) : H 0‬‬
‫‪0.3  0.7 0.0153‬‬
‫‪900‬‬
‫רמת המובהקות ‪.   0.05‬‬
‫כלל הכרעה ‪ :‬קבל את ‪ H 0‬אם ‪ , z 0.975  Z  z 0.025‬או ‪ 1.96  Z  1.96‬‬
‫ולא – דחה את ‪. H 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.022‬‬
‫‪ 1.44‬‬
‫‪0.0153‬‬
‫‪z pˆ ‬‬
‫‪ , 1.96  1.44  1.96‬לכן מקבלים את ‪ . H 0‬כלומר‪ ,‬פרופורצית בעלי ‪ DVD‬בכל רחבי הארץ לא‬
‫שונה מ‪ 0.3 -‬ברמת מובהקות ‪.0.05‬‬
‫|‬
‫‪70‬‬
‫בסקר דעת קהל על תכנית חדשה בטלוויזיה נמצאו התוצאות הבאות ‪:‬‬
‫לא צופים‬
‫צופים‬
‫‪162‬‬
‫‪38‬‬
‫נשים‬
‫‪192‬‬
‫‪108‬‬
‫גברים‬
‫א‪ .‬בדוק את ההשערה שלמין אין כל השפעה על הצפייה בתכנית ברמת מובהקות ‪ ? 0.05‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬האם לאור התוצאות ניתן לומר‪ ,‬ברמת מובהקות ‪ , 5%‬שפרופורציית הנשים הצופות בתכנית‬
‫נמוכה מ ‪ ? 20%-‬נמק‪.‬‬
‫פתרון‬
‫‪108‬‬
‫‪146‬‬
‫‪38‬‬
‫‪ 0.36, pˆ 2 ‬‬
‫‪ 0.292 , pˆ1 ‬‬
‫א‪ .‬נתון‪ 0.19 :‬‬
‫‪300‬‬
‫‪500‬‬
‫‪200‬‬
‫) ‪X1 ~ B(300, p1‬‬
‫מספר הצופים בקרב מדגם הגברים‬
‫) ‪X 2 ~ B(200, p2‬‬
‫מספר הצופים בקרב מדגם הנשים‬
‫‪H0 : p1  p2  0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ pˆ ‬מבחן ‪ Z‬להפרש פרופורציות‪:‬‬
‫‪H1 : p1  p2  0‬‬
‫‪n2  pˆ 2  38  10 n1  pˆ1  108  10‬‬
‫‪,‬‬
‫‪n2  qˆ2  162  10 n1  qˆ1  192  10‬‬
‫רמת המובהקות‪.   0.05 :‬‬
‫כלל הכרעה‪ :‬נדחה את השערת האפס אם ‪ Z pˆ1  pˆ 2  1.96‬או ‪Z pˆ1  pˆ 2  1.96‬‬
‫‪0.36  0.19‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫(‪0.292  0.708‬‬
‫‪‬‬
‫)‬
‫‪300 200‬‬
‫‪z pˆ1  pˆ 2 ‬‬
‫נדחה את השערת האפס‪ ,‬כלומר ניתן לומר שלמין יש השפעה על הצפייה בר"מ ‪.0.05‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מבחן ‪ Z‬לפרופורציה בודדת‪:‬‬
‫קביעת ההשערות‪:‬‬
‫‪H1 : p  0.2, H 0 : p  0.2‬‬
‫‪n  p  200  0.2  40  10‬‬
‫‪38‬‬
‫נתון‪ 0.19 :‬‬
‫‪nq  200  0.8  160  10‬‬
‫‪200‬‬
‫‪pˆ ‬‬
‫רמת המובהקות‪.   0.05 :‬‬
‫קביעת אזורי דחייה וקבלה‪ :‬נקבל את השערת האפס אם ‪ . Z  1.645‬דחה אם ‪. z  1.645‬‬
‫‪0.19  0.2‬‬
‫חישוב הסטטיסטי וההכרעה‪ 0.35  1.645 :‬‬
‫‪0.2  0.8‬‬
‫‪200‬‬
‫‪Z‬‬
‫לא נדחה את ‪ , H 0‬לא ניתן לומר ברמת מובהקות ‪ 0.05‬שפרופורציית הנשים הצופות בתכנית נמוכה‬
‫מ‪20% -‬‬
‫|‬
‫‪71‬‬
‫מודל ‪ :8‬בדיקת השערות על שונות אחת‬
‫‪nS 2‬‬
‫הנחות‪ :‬התפלגות נורמלית‪ .‬הסטטיסטי במדגם‪:‬‬
‫‪c‬‬
‫התפלגות‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n  1 S‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪c‬‬
‫עם )‪ (n-1‬דרגות חופש‪.‬‬
‫חוקר טוען שבידיו שיטה חדשה המשפרת את הצלחת כל התלמידים אך לא באופן שווה‪ .‬לצורך‬
‫בדיקת העניין דגם ‪ 30‬תלמידים מקרית ומצא כי ממוצע ציוניהם הוא ‪ 124‬עם סטיית תקן ‪ .9‬בהנחה‬
‫שהציונים מתפלגים נורמלית באוכלוסייה עם ממוצע ‪ 120‬ושונות ‪ .100‬האם ניתן לטעון שהשיטה‬
‫ה חדשה אכן שמפרת את שונות הציונים? בדקו בר"מ ‪.0.05‬‬
‫|‬
‫‪72‬‬
‫יצרן צינורות טוען שקוטר הצינורות שהוא מייצר מתפלג נורמלית עם שונות של ‪ 1‬ס"מ‪ .‬בבדיקה‬
‫שנערכה נבדקו ‪ 15‬צינורות והשונות במדגם ‪ s 2 -‬הייתה ‪ .2.25‬האם על סמך מדגם זה ניתן לשלול‬
‫את טענת היצרן ברמת מובהקות ‪ .   0.02‬נמק‪.‬‬
‫מודל ‪ 8‬בדיקת השערות על שונות אחת‪ .‬הנחות המודל התפלגות נורמלית‬
‫קביעת ההשערות‪:‬‬
‫‪H0 : 2  1‬‬
‫‪H1 :  2  1‬‬
‫) ‪X ~ N ( ,  2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪(n  1) Sˆ 2 n  S 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫ההנחות‪ , X ~ N (  ,  ) :‬בהנחה ש‪ H 0 -‬נכונה‪~  2 (14) :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫רמת המובהקות‪.   0.02 :‬‬
‫אזורי קבלה ודחייה‪ :‬נדחה את השערת האפס אם ‪ 29.141‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬או אם‬
‫‪n  S 2 15  2.25‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 4.66‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪2‬‬
‫נדחה את ‪ , H 0‬כלומר ברמת מובהקות ‪ 0.02‬ניתן לשלול את טענת היצרן‪.‬‬
‫|‬
‫‪73‬‬
‫חברת יעוץ להשקעות במניות מייעצת למשקיע מסוים לא להסתכן‪ ,‬ולדחות כל השקעה שסטיית‬
‫התקן של שיעור התשואה הצפוי ממנה עולה על ‪ .5%‬שיעורי התשואה הכוללים של מניות חברת‬
‫‪ STOCK‬היו בתשע השנים האחרונות כדלקמן (באחוזים)‪ 25,35,45,10,40,50,20,35,35 :‬בהנחה‬
‫ששיעורי התשואה מתפלגים נורמלית‪:‬‬
‫א‪ .‬בדוק בר"מ של ‪ 0.05‬האם ישקיע במניות של חברה זו?‬
‫ב‪ .‬משקיע שמוכן לקחת סיכון גדול יותר‪ ,‬מוכן לקבל כל השקעה שס"ת של שיעור התשואה‬
‫הצפוי ממנה לא עולה על ‪ , 10%‬האם משקיע זה ישקיע ב"סטוק" באותה רמת מובהקות?‬
‫נחשב במחשבון ממוצע ושונות‪:‬‬
‫‪252  352  452  ...‬‬
‫‪25  35  45  10  ...‬‬
‫‪ 32.78 , n  9‬‬
‫‪ 32.782  139.5 , x ‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪S2 ‬‬
‫‪ H :  2  25‬‬
‫‪H0 :   5‬‬
‫‪  0 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ H1 :   5‬‬
‫‪ H1 :   25‬‬
‫שרטוט וקביעת אזור קבלה ודחייה‪:‬‬
‫‪2 9 1‬‬
‫‪ 0.05‬‬
‫אזור קבלת ‪ 15.507 : H 0‬‬
‫‪2 9 1‬‬
‫‪ 0.05‬‬
‫אזור דחיית ‪ 15.507 : H 0‬‬
‫‪9 139.5‬‬
‫סטטיסטי‪ 50.22  15.507 :‬‬
‫‪25‬‬
‫‪2 ‬‬
‫נדחה ‪ H 0‬בר"מ ‪0.05‬‬
‫מסקנה‪ :‬סטיית התקן של התשואת המניות עולה על ‪ 5%‬ולכן נמליץ למשקיע לא להשקיע בר"מ‬
‫‪.0.05‬‬
‫סעיף ב'‬
‫‪ H 0 :  2  100‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ H1 :   100‬‬
‫‪n  S 2 9 139.5‬‬
‫‪‬‬
‫חישוב סטטיסטי‪ 12.55  15.507 :‬‬
‫‪c‬‬
‫‪100‬‬
‫‪2 ‬‬
‫החלטה‪ :‬נקבל את השערת האפס‬
‫מסקנה‪ :‬השונות קטנה מ‪ 100-‬ולכן נמליץ להשקיע בר"מ ‪0.05‬‬
‫|‬
‫‪74‬‬
75
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
‫מודל ‪ :9‬הסקה על שתי שונויות של אוכלוסיות‬
‫כאשר משווים שונות באוכלוסייה לנתון של מדגם‪ ,‬זוהי בדיקת השערות לשונות אחת ונשתמש‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬כאשר נתונים ‪ 2‬מדגמים בלתי תלויים ומעוניינים להשוות בין נתוני ‪ 2‬המדגמים‪ ,‬אזי‬
‫משווים בין ‪ 2‬אוכלוסיות ולכן זוהי בדיקת השערות ל‪ 2-‬שונויות ומשתמשים בהתפלגות ‪.F‬‬
‫מבחן ‪ F‬לשוויון שונויות‬
‫במבחן ‪ F‬אנו שואלים‪ :‬אם שני מדגמים אכן לקוחים מהתפלגויות בעלות שונויות שוות‪ ,‬אנו נצפה‬
‫שההבדלים שבין אומדני השונויות של שני המדגמים יהיו קטנים‪ .‬ההבדל שביניהם נובע מטעות‬
‫מקרית‪ .‬אם ההבדל שביניהם גדול דיו‪ ,‬אנו נחשוש שהמדגמים לא לקוחים מהתפלגויות בעלות‬
‫שונויות שוות ואז לא נוכל להניח שוויון שונויות במבחן ‪ t‬למדגמים בלתי תלויים‪.‬‬
‫הנחות‪ :‬דגימה מקרית ‪ ,‬התפלגות הדגימה ‪,F‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪,‬‬
‫‪H‬‬
‫‪:‬‬
‫‪‬‬
‫השערות‪ 1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪x1 , x2‬‬
‫בלתי תלויים‪ ,‬מתפלגים נורמלית‪.‬‬
‫‪H1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫הסטטיסטי במדגם‪ F  S 1 / S 2 :‬יחושב כיחס שבין האומדן הגדול חלקי האומדן הקטן מבין‬
‫השניים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫עבור השערה דו צדדית‪ :‬ערך קריטי ימני ‪ f /2  n1  1, n2  1‬ערך קריטי שמאלי‬
‫‪f /2  n2  1, n1  1‬‬
‫התפלגות ‪ - F‬התפלגות זו לא בודקת הפרש‪ ,‬אלא בודקת יחס בין שונויות ולכן הסטטיסטי שמתפלג‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫התפלגות ‪ F‬הינו‪. F ~ S 1 / S 2 :‬‬
‫התפלגות ‪ F‬היא כמו התפלגות ‪ , ‬זוהי התפלגות אסימטרית שבה כל הערכים בהכרח חיוביים‪,‬‬
‫‪2‬‬
‫המשתנה ‪ F‬בנוי מיחס של שני משתנים בלתי תלויים‪ ,‬שלכל אחד מהם התפלגות ‪ ‬עם דרגות‬
‫חופש מתאימות‪ .‬התפלגות ‪ F‬תלויה בשני פרמטרים‪ :‬מספר דרגות החופש של הביטוי במונה ומספר‬
‫דרגות החופש של הביטוי במכנה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫דרגת חופש במונה ‪  n1  1  V1‬שורה ‪ -‬תלוי המספר התצפיות במדגם אחד‬
‫דרגת חופש במכנה ‪  n2  1  V2‬טור‪ -‬תלוי המספר התצפיות במדגם השני‬
‫‪ 12‬‬
‫תחת הנחת ‪ H 0‬מניחים שאין הבדל בין השונויות ולכן מרכז ההתפלגות ‪ 1‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪ H 0 :‬ולכן הערכים‬
‫הקריטיים העליונים בהתפלגות ‪ F‬גדולים מ‪ 1-‬והתחתונים נמצאים בין ‪ 0‬ל‪.1-‬‬
‫בהשערה דו צדדית‪ ,‬כמו ב‪ ,  -‬יש להוציא שני ערכים קריטיים‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫בטבלה מופיע רק ערך קריטי עליון והערך הקריטי התחתון מחושב לפי הנוסחה‪F1 /2  1/ F /2 :‬‬
‫|‬
‫‪76‬‬
‫חברה ליצור סלילי חוטים לתפירה טוענת כי אורך החוט בסליל המיוצר על ידה עולה על זה של חברה‬
‫מתחרה‪ ,‬אך השונות שווה‪ .‬לשם בדיקת הטענה לגבי שוויון השונויות נלקח מדגם מקרי של ‪ 7‬סלילים‬
‫מחברה א'‪ ,‬ומדגם מיקרי של ‪ 5‬סלילים מחברה ב' והתקבלו אורכי החוטים הבאים‪:‬‬
‫חברה א' ‪:‬‬
‫‪81‬‬
‫‪165‬‬
‫‪97‬‬
‫‪134‬‬
‫‪92‬‬
‫חברה ב' ‪:‬‬
‫‪102‬‬
‫‪86‬‬
‫‪98‬‬
‫‪109‬‬
‫‪92‬‬
‫‪87‬‬
‫‪114‬‬
‫א‪ .‬בדוק את ההשערה שהשונויות שוות בשתי החברות בר"מ ‪ .0.1‬מהי מסקנתך?‬
‫ב‪ .‬על מנת לקבוע תקינו ת מכונות התפירה‪ ,‬סטיית התקן של אורך חוט בסליל אינו צריך לעלות על‬
‫‪ 10‬ס"מ בחברה ב'? בדוק תקינות המכונות ברמת מובהקות של ‪.0.01‬‬
‫|‬
‫‪77‬‬
‫שאלה ‪ 2‬מבחינה!‬
‫כדי לבדוק האם קיימת השפעה של המתרגל על הצלחת סטודנטים בבחינה במבוא לכלכלה‪ ,‬חולקו‬
‫סטודנטים הלומדים אצל מרצה מסוים לשתי קבוצות תרגול באופן מקרי‪ .‬בטבלה שלהלן נרשמו‬
‫תוצאותיהם בבחינת הגמר‪:‬‬
‫שם המתרגל‬
‫מר ידעני‬
‫ד"ר חכמי‬
‫ציוני בחינת הגמר‬
‫‪77 89 67 45 88 95 68 72‬‬
‫‪ 601‬‬
‫‪83 72 95 35 50 76 74 92 88‬‬
‫‪65‬‬
‫‪ 730‬‬
‫‪8‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ 46941‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪i‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ yi 2  56508‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫האם יש הבדל בממוצע הציונים אצל שני המתרגלים‪ ,‬בהנחה שהציונים מתפלגים נורמלית? נסח את‬
‫ההשערות‪ ,‬נמק והסבר מהו המבחן הסטטיסטי המתאים ובדוק ברמת מובהקות ‪.0.05‬‬
‫נחשב ממוצע וסטיית תקן מדגם של כל מתרגל‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪46941  8 75.125 2‬‬
‫‪601‬‬
‫‪ 255.84 , x1 ‬‬
‫‪ 75.125‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8 1‬‬
‫‪56508 10 73 2‬‬
‫‪730‬‬
‫‪ 357.56 , y1 ‬‬
‫‪ 73‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10  1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ny‬‬
‫‪ nx‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s2‬‬
‫נחשב שונות משותפת‪:‬‬
‫‪ n1  1 S‬‬
‫‪  n2  1 S2‬‬
‫‪7  255.84  9  357.56‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 313.06‬‬
‫‪n1  n2  2‬‬
‫‪16‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S ‬‬
‫הנחות‪ .1 :‬מדגמים ב"ת‬
‫‪ .2‬שונויות לא ידועות אך שוות‬
‫‪ .3‬נניח התפלגות נורמלית באוכלוסייה‬
‫מבחן ‪ t‬להפרש תוחלות במדגמים ב"ת‬
‫‪H 0 : 1  2  0‬‬
‫‪H1 : 1  2  0‬‬
‫כלל ההכרעה‪ :‬אם‬
‫‪ Tx  x  2.12 Or Tx  x  2.12‬נדחה ‪H 0‬‬
‫‪1‬‬
‫חישוב סטטיסטי‪ 0.25 :‬‬
‫ולכן נקבל את‬
‫‪H0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪75.125  73‬‬
‫‪1 1 ‬‬
‫‪313.06   ‬‬
‫‪ 8 10 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ,‬אחרת נקבל‪.‬‬
‫‪x1  x2  0‬‬
‫‪1 1 ‬‬
‫‪313.06   ‬‬
‫‪ 8 10 ‬‬
‫‪H0‬‬
‫‪‬‬
‫‪X1 , X 2 id‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪Tx  x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ומכאן‪ ,‬אין הבדל בין קבוצות התרגול‪.‬‬
‫|‬
‫‪78‬‬
‫חוקר טוען כי שונות הציונים בקורס סטטיסטיקה א' גדולה משונות הציונים בקורס סטטיסטיקה ב'‪.‬‬
‫נבדקו הציונים במדגם מיקרי של ‪ 20‬סטודנטים הלומדים סטטיסטיקה ב' ובמדגם מיקרי של ‪25‬‬
‫סטודנטים הלומדים סטטיסטיקה א' והתקבלו התוצאות הבאות‪:‬‬
‫‪y=1600‬‬
‫‪ -Y‬סטטיסטיקה ב'‪:‬‬
‫‪y²=128285‬‬
‫;‬
‫‪ -X‬סטטיסטיקה א'‪:‬‬
‫‪x²=123460‬‬
‫; ‪x=1750‬‬
‫א‪.‬‬
‫נסח השערות‪ ,‬רשום את ההנחות הדרושות ובדוק בר"מ של ‪?0.05‬‬
‫ב‪.‬‬
‫על סמך הנתונים‪ ,‬בדוק את ההשערה שיש הבדל בין השוניות בר"מ ‪ ?0.1‬נמק ללא חישוב‪.‬‬
‫|‬
‫‪79‬‬
80
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il
‫בנק בודק אפשרות של פתיחת סניף חדש באחד משני מקומות‪.‬‬
‫נבחר מדגם מקרי מכל אחד משני המקומות והתקבלו התוצאות הבאות לגבי ההכנסה של התושבים‪.‬‬
‫‪ x1  6500‬ש"ח‬
‫מקום ‪n1  10 - 1‬‬
‫מקום ‪n2  8 - 2‬‬
‫‪ x2  6000‬ש"ח‬
‫‪₪ s1  400‬‬
‫‪ s2  300‬ש"ח‬
‫בהנחה שהתפלגות ההכנסות היא נורמלית ‪:‬‬
‫א‪ .‬האם ניתן לומר שקיים הבדל בין שני המקומות מבחינת שונות ההכנסה בר"מ ‪ ? 0.1‬נמק‪.‬‬
‫ב‪ .‬בדוק את ההשערה שבמקום ‪ 1‬שונות ההכנסות גבוהה יותר מהשונות במקום ‪ 2‬בר"מ ‪.0.01‬‬
‫פתרון שאלה‬
‫א‪ .‬מבחן ‪ F‬להשוואת שתי שונויות‪ :‬נסמן‪ – X1 :‬הכנסת תושבים במקום ‪.1‬‬
‫במקום ‪.2‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪H‬‬
‫‪:‬‬
‫‪ .1‬השערות‪ 1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪ - X2‬הכנסת תושבים‬
‫‪. H0 :‬‬
‫‪ .2‬הנחות והתפלגות הדגימה‪:‬‬
‫) ‪X 2 ~ N ( 2 ,  22 ) , X1 ~ N (1 ,  12‬‬
‫‪ X1‬ו‪ X 2 -‬בלתי תלויים‬
‫‪Sˆ12‬‬
‫בהנחה ש‪ H 0 -‬נכונה‪~ F (9,7) :‬‬
‫‪Sˆ 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .3‬רמת המובהקות ואזורי דחייה וקבלה‪.   0.1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.304‬‬
‫‪F0.05 (7,9) 3.29‬‬
‫‪F / 2  F0.05  3.68, F1 / 2 ‬‬
‫קבל אם ‪ . 0.304  F  3.68‬דחה אם ‪ F  3.68‬או ‪. F  0.304‬‬
‫‪ .4‬חישוב הסטטיסטי וההכרעה‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪8‬‬
‫‪Sˆ12   400 2  177 ,777 .7778 , Sˆ 22   300 2  102 ,857 .1429‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫ˆ‪S‬‬
‫‪177 ,777 .7778‬‬
‫‪. F  12 ‬‬
‫‪ 1.728  3.68‬‬
‫ˆ‬
‫‪S 2 102 ,857 .1429‬‬
‫לכן נקבל את ‪ , H 0‬כלומר ניתן לומר ברמת מובהקות ‪ 0.1‬שאין הבדל בין שונויות ההכנסות‪.‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪H‬‬
‫‪:‬‬
‫ב‪ .1 .‬השערות‪ 1 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪ 22‬‬
‫‪H0 :‬‬
‫|‬
‫‪81‬‬
‫‪ .3‬רמת המובהקות ואזורי דחייה וקבלה‪  0.01 :‬‬
‫קבל אם ‪ . F  6.72‬דחה אם ‪. F  6.72‬‬
‫‪ .4‬חישוב הסטטיסטי וההכרעה‪. F  1.728  6.72 :‬‬
‫לכן נקבל את ‪ , H 0‬כלומר לא ניתן לומר ברמת מובהקות ‪ 0.01‬ששונות ההכנסות במקום ‪ 1‬גבוהה‬
‫מהשונות במקום ‪.2‬‬
‫(אפשר היה להסיק כבר מסעיף א' שנקבל את ההשערה החד צדדית בר"מ ‪ 0.05‬ואז ודאי שנקבלה‬
‫בר"מ ‪0.01‬‬
‫|‬
‫‪82‬‬
83
[email protected]
|
www.OpenBook.co.il

פתרון לחוברת II

Transcription

Similar documents

חוברת המרתון בקורס סטטיסטיקה א` מפגש ראשון

חוברת המרתון בקורס סטטיסטיקה ב` מפגש שני

חוברת המרתון בקורס סטטיסטיקה ב` מפגש ראשון

פתרון לחוברת III

המכללה האקדמית תל חי

חוברת חדשה pdf | 826935.00 KB

סיכום מושגים למבחן

דוגמאות לשאלות במבחן

הסתברות מ - Anat Etzion

לא ממ;quot&ן מ פתרון 12 א ` סמסטר א סטטיסטיקה 2014

מבחן 2 pdf | 415370.00 KB

לחץ כאן לבחינה לדוגמה