DelÅRsRaPPORT 1. KvaRTal 2013/14 1. Juni 2013 – 31. August 2013

Kommentarer til
procent
Faglige mål
Kapitlet lægger op til, at eleverne
• konsoliderer og videreudvikler deres forståelse af
sammenhængen mellem en værdi angivet som
procent, brøk og decimaltal.
• lærer forskellige former for procentberegning og
sammenhængen mellem disse. Det drejer sig om
at kunne finde x % af y, hvor mange procent x er
i forhold til y, og hvad 100 % er, hvis x % svarer
til y?
Kapitlet lægger især op til, at eleverne kan udvikle
følgende faglige kompetencer.
At kunne…
behandle symboler i forbindelse med en fleksibel
omgang med procent, brøker og decimaltal. Der
er særligt fokus på procenttegnet som symbol.
Særligt relevante aktiviteter er 7, 11-14, 28 og
54-60.
repræsentere størrelsesforhold ved hjælp af procent
og samtidigt kunne vurdere, hvornår procent er
en hensigtsmæssig repræsentationsform.
Særligt relevante opgaver: 17-20, 54-64.
vurdere anvendelsen af procent og procentberegning
i autentiske situationer – herunder i særdeleshed i
matematikholdige tekster.
Særligt relevante aktiviteter: 62-64.
Matematrix og dette kapitel
Procent er matematisk set et simpelt begreb, idet
det slet og ret betyder hundrededele. Procent er en
skrivemåde for brøker med nævneren 100 ved hjælp
af tegnet, %. At begrebet er simpelt, betyder imidlertid ikke, at procentregning er noget, de fleste finder
uproblematisk. Tværtimod oplever mange elever
procentregning som vanskeligt. Det er der primært to
grunde til.
• Procentregning er regning med brøker i et specialtilfælde (hundrededele). Hvis det ikke skal volde
kvaler, kræver det dels en solid forståelse af, hvad
en brøk egentlig er for en størrelse, og dels træning for at udvikle grundlæggende færdigheder i
at regne med brøker. Som begreb er brøk faktisk
vanskeligt at få styr på, og i grundskolen er der
ikke tradition for at koble træning i at regne med
brøker sammen med brøkforståelse.
• Procentregning anvendes i mange forskellige
sammenhænge uden for matematikkens verden,
hvilket også er grunden til, at det har så fremtrædende en plads i matematikundervisningen. At
sætte sig ind i og benytte matematikken i disse
forskelligartede kontekster er derfor en integreret
del af udfordringen, når man beskæftiger sig med
procentregning i matematikundervisningen.
52
Matematrix 7 · Lærervejledning
I Matematrix får eleverne mulighed for at arbejde
med simple brøker som ½ og 1/4 allerede i indskolingen. På mellemtrinnet er det en meget central udfordring at gøre eleverne fortrolige med rationale tal
angivet som både brøk og decimaltal. Hermed skulle
grundlaget være lagt til den formelle introduktion
af procentbegrebet som kerneområde i Matematrix 6
med fokus på sammenhængen mellem procentangivelser, brøker og decimaltal, samt hvordan man
beregner a % af b. Disse beregninger og overvejelser
spænder over mange forskellige anvendelsesområder,
og udvidelsen af elevernes ”aktionsradius” fortsætter
op gennem hele overbygningen.
RELATEREDE FORLØB TIL PROCENT
i 7.-9. KLASSE
7 Forskel
Fokus på både absolutte og relative forskelle.
Den relative forskel angives primært i procent.
8 Procent
Fokus på at kunne lægge x % til y (eller
trække x % fra) (fremskrivningsfaktor).
9 Vækst
Fremskrivningsfaktor og forskellige former for
vækst (lineær og eksponentiel).
Grundbog
Arbejdsark
Regneark
Geometri­
filer
Film: Faglige
Film: Geometri
Intro
27
Intro aktiviteter
28-29
Gennemgang
30
Øvelser
31-33
Opgaver
34-38
8. Hvor mange procent er...?
9. Regning med brøker
9a. Brøkregneregler
10. Brøk og procent
11. Brøk, procent og decimaltal
12. Regn med procent
13. Find 100 % når …
Kommentarer
• Faglig (to stk.)
• Faglig (to stk.)
Promille
39
IT
• Faglig
• Evalueringsark 4-5
Facitliste: Kopiark
Evaluering
42
14. Promille
I dette kapitel arbejdes der primært med procent ud
fra to aspekter:
• Introduktion af to nye former for procentberegning som led i videreudviklingen af arbejdet med
simpel procentregning i 6. klasse. Der lægges især
vægt på, hvordan de tre former for procentberegning er forbundet i en og samme ligning.
• Give eleverne erfaring med at foretage disse
beregninger i forskellige sammenhænge. Arbejdet
med såvel procentforståelse som procentberegninger fortsættes i et kapitel senere i bogen med
fokus på forskellen på absolutte og relative forskelle.
Matematrix 7 · Lærervejledning
53
Facitliste: Arbejdsbog
Brøk, decimaltal
og procent
40-41
Facitliste: Grundbog
Grundtankerne
OVERSIGT: PROCENT
i et cir
keld
Procent
iagra
m?
Hvor mange procent fedt er der i
lakridskonfekt?
Er 13 %
tættest
1?
__
1
1 __
__
på 2, 8 eller 10
Øvelser
1
Mia køber en bluse på udsalg og sparer 30 %.
Prisen før udsalget var 300 kr.
a Hvor mange kr. udgør rabatten?
b Hvad koster blusen på udsalg?
5
I en klasse er der 10 piger og 15 drenge.
a Hvor mange procent af klassens elever er piger?
b Hvor mange procent er drenge?
c Hvordan er fordelingen i din klasse?
Procent
2
Skolekantinen skal tjene 20 % på alt, hvad der sælges.
Udfyld resten af regnskabet.
6
Stjernekiosken solgte i sidste uge 165 kasser cola, 40 kasser
appelsinvand og 295 kasser blandede vand.
a Hvor mange kasser sodavand har de solgt i alt?
b Hvor mange procent af kasserne var cola?
c Hvor mange procent af kasserne var appelsinvand?
d Hvor mange procent af kasserne var blandede vand?
Tænk på procenttegnet som en nem måde at skrive ”gange med
Hvad betyder procent?
Hvor mange procent af eleverne
i din klasse er piger?
Vare
1% svarer til
3,6 grader.
Indkøbspris
Æble
2,00 kr.
Banan
2,50 kr.
Grovbolle
3,00 kr.
Minirugbrød
3,50 kr.
Juice
3,75 kr.
Kakao
4,00 kr.
Chokolade
5,00 kr.
Pølse m. brød
10,00 kr.
Sandwich
12,00 kr
Burger
15,00 kr
Fortjeneste
Salgspris
0,40 kr.
2,40 kr.
7
Brøk
1
100
Decimaltal
4
Hvor mange procent af vægten udgør protein, kulhydrat, fedt og
andet for hver af de to fødevarer?
Decimaltal
pr. 100 g
1
5
5g
28 g
55 g
12 g
Decimaltal
1
8
125%
100
500
0,004
Procent
500
500
100%
Det kan man udregne som
15% · 80 =
15
100
x
80
= 0,15 · 80
=
15
100
15
100
· 80
x = 0,15 · 80
11
Omskriv til procent
12
Omskriv til procent
x = 12
= 12
10%
På et konditori koster et stykke lagkage 24 kr.
a Hvad koster hele kagen, hvis hvert stykke udgør _18 ?
b Hvad koster hele kagen, hvis hvert stykke udgør 10 %?
x=
Det kan man udregne som
12
80
12
80
= 0,15 = 15%
=
x
100
Det kan man udregne således:
Hvis 15% svarer til 12, så svarer 1% til
og 100% til
TUN I VAND
12
80
· 100
x = 0,15 · 100
x = 15
Protein
Fedt
Kulhydrat
Andet
27
19/06/14 09.56
SIDE 27
28
9788723038470_indhold.indd 28
SIDE 28-29
PROCENT
PROCENT
19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 29
Billedet lægger op til en samtale om anvendelse af
procent i dagligdagssituationer. I udstillingsvinduer
støder man fx ofte på masser af procenttal, som signalerer udsalg, tilbud, røverkøb m.m. Det er oplagt
at finde priser og pristilbud på nettet, anvende aktuelle priser fra lokale butikker og tilbudsaviser til at
beregne besparelser i procent (fra kr.) og i kroner (fra
procent).
Procentangivelser anvendes også tit i forbindelse
med madvares sammensætning af forskellige ingredienser, hvilket også behandles i dette kapitel. Læg
op til, at eleverne selv kommer med eksempler på
brugen af procent i hverdagen.
Det første spørgsmål er helt grundlæggende for det
øvrige arbejde i dette kapitel. Procent betyder pr.
hundrede eller hundrededel, når der tages udgangspunkt i brøkregning.
Det andet spørgsmål er meget konkret. Det er vigtigt, at eleverne fortæller, hvordan de er nået frem
til deres svar. Spørgsmål som fx ”Hvordan kan man
beregne hundrededele, når vi kun er 24 i klassen?”
kan med fordel stilles her.
Kommentarer til de skæve spørgsmål
Spørgsmål 1: Cirkeldiagrammer er blevet introduceret på mellemtrinnet. De egner sig fortrinligt til at
illustrere størrelsesforholdet mellem forskellige (procent)dele af en helhed. En udfyldt cirkel, som spænder over 360°, svarer til 100 %. Derfor svarer 1 % til
3,6° i et cirkeldiagram.
Spørgsmål 2: Fedtprocenten i lakridskonfekt er ikke
så høj, som mange elever sikkert tror. Størstedelen af
energien kommer fra kulhydrater (84 %), mens fedt
kun udgør 14 %. De sidste 2 % er protein. Spørgsmålet lægger op til en samtale om, hvor meget fedt forskellige varer indeholder. Problemstillingen behandles også i opgave 25.
Spørgsmål 3: Der er mange fornuftige måder at
svare på. Det afgørende er, at eleverne forstår, at man
altid kan angive en rationel talstørrelse som både
brøk, decimaltal og procent, og at man altid kan
omregne fra én angivelse til en anden. Det er også
oplagt at inddrage tallinjen, hvis man fx vil forklare,
at ½, 0,5 og 50 % repræsenterer den samme talværdi.
Matematrix 7 · Lærervejledning
· 100 = 80
12
15 ,
12
x
=
15
100
x=
12
15
3
_
b
1
_
4
4
a 0,25
b 0,07
G
x = 80
19/06/14 09.56
30
9788723038470_indhold.indd 30
SIDE 30-31
1
_
d
1
__
5
20
e
3
__
f
1
_
20
g
2
_
3
i
2 + _41
h 2
j
3 + _51
e 0,54
f 0,725
g 0,125
h 0,32
i
j
0,02
1,01
e 84 %
f 33,3 %
g 2,01 %
h 0,4 %
i
j
4%
400 %
i
j
250 %
370 %
3
13
Omskriv til decimaltal
14
Omskriv til brøk og forkort brøken mest muligt
a 25 %
b 20 %
29
c
c 0,40
d 0,37
· 100
x = 0,80 · 100
Ved skolens melodigrandprix fik gruppen Me & Be 147 stemmer.
Det svarer til 28 % af stemmerne.
a Hvor mange elever stemte i alt?
En anden gruppe, Popsildene, fik 12 % af stemmerne.
b Hvor mange stemmer svarer det til?
SIDE 27
INTRO
54
12
15
a
a 13 %
b 56 %
9
9788723038470_indhold.indd 27
F
Om at omregne mellem brøk, procent og decimaltal
x=
· 80
Hvad er 100%, hvis 15% svarer til 12?
HAVREGRYN
D
B
p%
Hvor meget er 12 i forhold til 80?
8
8-11
Hvor mange procentdele af hver figur er farvet?
A
Hvor meget er 15% af 80?
Procent betyder
hundrededel eller
for hver hundrede.
0,50
1%
10
1
100 ”.
E
1
16
75%
10
500
Arbejdsark
Om at aflæse procentdele
eller 0,15.
Procentregning
100%
0,85
50%
1
500
15
100
= 15%.
25
50
60%
0,25
Procent
Brøk
50%
0,4
10%
Brøk
Indhold
10%
10
50
1
100
C
0,25
3%
2
50
0,02
Procent
= 15 ∙





Helheden 




Delen  
 
100
100
0,02
Brøk
Protein
Fedt
Kulhydrat
Andet
15
100
5
100
Decimaltal
a Hvor mange procent af vægten er protein,
kulhydrat, fedt og andet?
b Tegn et cirkeldiagram, der viser, hvad 100 g
pålægschokolade indeholder.
15 % betyder derfor
Udfyld tabellen.
Procent
3
Procent betyder hundrededel.
▶
% til
▶
er 1
◀
svar
◀
Hvad
PROCENT
PROCENT
19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 31
c 22,1 %
d 110 %
c 5%
d 1%
e 11 %
f 83 %
g 110 %
h 12,5 %
31
19/06/14 09.56
SIDE 28-29
INTRO-AKTIVITETER
1-2 vedrører primært procentberegninger af typen
at finde x % af y, som eleverne har arbejdet med i 6.
klasse.
I 3-4 skal der kun regnes med vægtprocenter, dvs.
hvor stor en del af de enkelte fødevarers vægt, der
består af henholdsvis protein, kulhydrat, fedt og
andet. ”Andet” dækker i dette eksempel over vand
samt en smule vitaminer og mineraler.
Vægtprocenten er et andet begreb end energiprocenten. Energiprocenten angiver, hvor stor en del
af energien i den enkelte fødevare, der stammer fra
henholdsvis protein, kulhydrat og fedt.
Det er vigtigt at skelne mellem de to procentangivelser. Det skyldes dels, at de fleste fødevarer indeholder
vand, som ikke bibringer med energi, og dels at de
tre næringsstoffer omdannes til forskellige energimængder pr. vægtenhed under forbrændingen i
kroppen:
1 gram protein giver 17 kJ.
1 gram kulhydrat giver 17 kJ.
1 gram fedt giver 38 kJ.
Af 5 og 6 fremgår det, at procentdele altid skal give
100 tilsammen, når man beregner brøkdele af den
samme helhed, fordi helheden netop svarer til 100
%. I spørgsmål 5b kan man således både udregne
svaret som 15/25 = 60/100 = 60 % eller som 100 % –
10*100/25 % = 100 % – 40 %, hvor de 40 % er svaret
på spørgsmål a.
Det samme gør sig gældende i spørgsmål 6d.
7 er repetition fra 6. klasse, hvor der blev lagt meget
vægt på omskrivning mellem brøk, decimaltal og
procent. Her trænes fleksibel omgang mellem de tre
repræsentationsformer, som er et af kompetencemålene i dette kapitel.
8-9 repræsenterer en ny type procentregning for
eleverne. Da tallene er overskuelige og problemstillingerne konkrete, vil de fleste elever kunne løse
dem ved at tegne skitser og tænke praktisk. Det er
væsentligt, at eleverne hele tiden har mulighed for at
deltage i udviklingen af løsningsstrategier. En mere
formel metode præsenteres i gennemgangen.
Lad eleverne forklare, hvorfor besvarelsen af 9b forudsætter, at man har udregnet 9a.
Opgaver
Om at udregne 100 %, hvis x svarer til y %
g 30 % af 15?
h 60 % af 20?
i _21 % af 300?
Hvad er 100 %, hvis
a 12 svarer til 10 %
b 12 svarer til 20 %
c 12 svarer til 50 %
d 12 svarer til 2 %
e 12 svarer til 150 %
22
Hvad er 100 %, hvis
a 75 svarer til 10 %
b 75 svarer til 20 %
c 75 svarer til 50 %
d 75 svarer til 2 %
e 75 svarer til 150 %
23
Hvad er 100 %, hvis
a 60 svarer til 10 %
b 60 svarer til 20 %
c 60 svarer til 50 %
d 60 svarer til 2 %
e 60 svarer til 150 %
Om at regne med procent
Om at udregne hvor mange procent x er i forhold til y
17
18
19
20
Hvilken procentdel udgør
a 5 i forhold til 100?
b 10 i forhold til 100?
c 12 i forhold til 80?
d 24 i forhold til 80?
24
e 12 i forhold til 40?
f 24 i forhold til 40?
g 40 i forhold til 24?
h 60 i forhold til 24?
a 150 svarer til 15 % af et tal. Find tallet.
b Hvad er 15 % af 150?
c Hvor meget er 15 i forhold til 150?
Hvordan kan
noget være mere end
100%, når 100% er
det hele?
27
Hvilken brøk er størst?
28
g 80 svarer til 12,5 % af et tal. Find tallet.
h Hvad er 12,5 % af 80?
i Hvor meget er 12,5 i forhold til 80?
Hvor mange procent er en stigning fra
a 20 til 25
c 10 til 14
b 36 til 48
d 40 til 45
e 2 til 6
f 20 til 27
j 60 svarer til 30 % af et tal. Find tallet.
k Hvad er 30 % af 60?
l Hvor meget er 30 i forhold til 60?
Hvor mange procent er et fald fra
a 25 til 20
c 50 til 48
b 48 til 36
d 80 til 50
e 65 til 52
f 200 til 156
25
ENERGIFORDELING:
Kulhydrater: 84%
Protein:
2%
Fedt:
14%
a 12 svarer til 1 % af et tal. Find tallet.
b Hvad er 1 % af 12?
c Hvor meget er 1 i forhold til 12?
ENERGIFORDELING:
Kulhydrater: 2%
Protein:
79%
Fedt:
19%
d 36 svarer til 2 % af et tal. Find tallet.
e Hvad er 2 % af 36?
f Hvor meget er 2 i forhold til 36?
g 175 svarer til 40 % af et tal. Find tallet.
h Hvad er 40 % af 175?
i Hvor meget er 40 i forhold til 175?
j 840 svarer til 70 % af et tal. Find tallet.
k Hvad er 70 % af 840?
l Hvor meget er 70 i forhold til 840?
19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 33
19/06/14 09.56
SIDE 30
GENNEMGANG
a
7
_
b
5
__
9
eller _98
12
5
eller __
11
c
2
__
d
5
_
eller _71
e
4
__
eller _83
g
15
__
17
eller __
90
5
eller __
12
f
3
__
eller _41
h
37
__
45
eller __
95
13
7
15
12
88
84
Indsæt værdier for x og y og lad din kammerat regne opgaven.
a x svarer til y % af et tal. Find tallet.
b Hvad er x % af y?
c Hvor meget er x i forhold til y?
29
En plade mørk chokolade vejer 200 g. Den indeholder mindst 44 % kakao.
Hvor mange gram kakao er der mindst i hele pladen?
30
Lakridskonfekt indeholder 1.681 kJ pr. 100 g.
a Hvor mange kJ kommer fra hhv. kulhydrater, protein og fedt?
b Tegn et cirkeldiagram, der viser energifordelingen i lakridskonfekt.
31
I en vare er der i alt 444 kJ pr. 100 g.
a Hvor mange kJ kommer fra hhv. kulhydrater, protein og fedt?
b Tror du, varen er pålægschokolade, makrel i tomat eller røget svinefilet?
c Tegn et cirkeldiagram, der viser energifordelingen i varen.
32
En bøtte maling kostede 665 kr. med 30 % i rabat. Hvad var før-prisen?
33
Mikkel køber et skateboard til 1.280 kr.
Han sælger det igen et år efter for 840 kr.
a Hvor mange kr. har Mikkel tabt på den handel?
b Hvor mange procent af indkøbsprisen har han tabt?
34
33
PROCENT
9788723038470_indhold.indd 32
I denne opgave skal du foretage forskellige procentberegninger med
tallene 6 og 8. Hvor mange procent er:
a 6 af 8
g (8 + 6) af 6
b 8 af 6
h (8 + 6) af (8 – 6)
c 6 mindre end 8
i 6 af (8 – 6)
d 8 større end 6 j 8 af (6 + 8)
j 6 af (6 + 8)
e (8 – 6) af 6 k (8 – 6) af (8 + 6)
k (8 – 6) af (6 + 8)
f 6 af (6 + 8) l (8 + 6) af 8
l (6 + 8) af 8
d 25 svarer til 5 % af et tal. Find tallet.
e Hvad er 5 % af 25?
f Hvor meget er 5 i forhold til 25?
Hvor meget er følgende tal i forhold til 20 og i forhold til 5?
(angiv svaret i procent)
a 1
c 4
e 10
g 20
b 2
d 5
f 15
h 40
SIDE 32-33
26
g 45 %
h 17 %
35
Rasmus har 5.000 kr. stående på sin konto. Han bruger halvdelen af beløbet.
a Hvor meget hæver Rasmus?
Sofie bruger 375 kr. af beløbet på sin bankkonto. Det svarer til 5 % af beløbet.
b Hvor mange penge havde hun stående på sin konto?
36
Tegn cirkeldiagrammer over antallet af drenge og piger i din klasse og i parallelklassen.
37
Tegn cirkeldiagrammer over andre data, fx, blyanter i pennalhuset,
skostørrelser, eller hvad du selv kan finde på.
38
Find priser, der passer til skiltene.
Spar op til en fjerdedel
Hvor mange procent udgør dette kapitel af hele bogen?
34
af prisen på planter
til haven!
BAMBUS
ROSER
FØR 59,95 KR.
NU
Før 199 kr.
Nu
R
STAUDE
kr.
Før 129
ÆBLE
TRÆ
Før 225
kr.
Nu
Nu
PROCENT
9788723038470_indhold.indd 34
SIDE 34-35
35
PROCENT
19/06/14 09.56
9788723038470_indhold.indd 35
19/06/14 09.56
SIDE 31-33
ØVELSER
Der er seks øvelseskategorier.
På den øverste halvdel af denne side repeteres procentbegrebet. Diagrammet med gule og røde tern og
blomsterne, som har samme farvefordeling, kan
danne udgangspunkt for en samtale om procentregning som en måde at sammenligne en ”del” og en
”helhed” på, hvor helheden opdeles i hundrededele.
På den nederste halvdel af siden fokuseres der på
procentregning. At regne med procenter er det samme
som at regne med brøker, der har 100 som nævner.
I forbindelse med de tre spørgsmål kan man vende
tilbage til introopgaverne: 1 og 2 kredser om første
type udregning (”Hvor meget er x % af y?”), 3-6
kredser om anden type udregning (”Hvor meget er
a i forhold til b?”), og 8-9 handler om den tredje
og sidste type udregning (”Hvad er 100 %, hvis x %
svarer til y?”).
Det er væsentligt at fremhæve, at eleverne ikke
behøver at lære og huske en specifik metode til
hver udregning. I alle tre tilfælde drejer det sig om
at skabe identitet mellem to brøker, nemlig brøken
”delen divideret med helheden” og brøken med nævneren 100:
Delen
Helheden
=
Procentdelen
100
Ud fra denne grundligning kan den første ligning i
skemaet fortolkes som spørgsmålet: ”Hvor meget er
delen, hvis helheden er 80, og forholdet mellem dem
15
skal svare til 100
?”
Anden ligning i skemaet kan fortolkes som: ”Hvor
meget er procentdelen, der svarer til forholdet
mellem 12 og 80?”
For tredje lignings vedkommende bliver fortolkningen meget lig første spørgsmål: ”Hvor meget er helheden, hvis delen er 12, og forholdet mellem dem skal
15
svare til 100
?”
Ved at løse ligningerne kan man besvare de respektive spørgsmål. Som man kan se til højre i skemaet,
giver det nogle beregninger, som er lidt mere omfattende end ”den direkte vej”, der er vist under hvert
spørgsmål. Den oplagte fordel er imidlertid, at man
kan nøjes med at koncentrere sig om at forstå en og
samme ligning.
• Om at aflæse procentdele
10 vedrører procentbegrebet og tager udgangspunkt i
en visuel repræsentation.
• Om at omregne mellem brøk, procent og decimaltal
11-14 handler også om selve procentbegrebet og forskellige måder at angive en procentdel på. Omskrivningen mellem brøk, procent og decimal udfordrer
i høj grad repræsentations- og symbolbehandlingskompetencerne.
Arbejdsark 9a er en oversigt over regneregler for
brøker og kan således være en støtte for nogle af eleverne.
Grundtankerne
21
d 20 % af 60?
e 75 % af 8?
f 2 % af 12?
Kommentarer
I denne øvelse skal du finde procentdele af 10, 20 og 200.
a 20 %
c 75 %
e 110 %
b 2%
d 60 %
f 30 %
• Om at udregne x procent af y
15-16 er i hovedsagen repetition fra 6. klasse.
• Om at udregne hvor mange procent x er
i forhold til y
17-20 er nyt stof for eleverne. Da de første stykker er
meget enkle, kan det anbefales at regne øvelserne i
den angivne rækkefølge. Øvelserne styrker elevernes
evne til at omskrive et størrelsesforhold til procent,
hvilket bidrager til at udvikle elevernes repræsentationskompetence.
• Om at udregne 100 %, hvis x svarer til y %
21-23 I hver af de tre øvelser er værdien af den ene
del fastholdt som en konstant værdi. Hermed er det
lettere for eleverne at gennemskue, hvordan sammenhængen er til værdien af helheden (100 %).
• Om at regne med procent
I 24 og 25 mikses de tre forskellige former for procentberegninger. Det indebærer dels, at eleverne får
mulighed for at arbejde med forståelsen af sammenhængen mellem dem, og dels at eleverne selv skal
vælge løsningsstrategi.
SIDE 34-38
OPGAVER
Med ganske få undtagelser tager dette kapitel
udgangspunkt i problemstillinger, som vedrører dagligdagens indkøb, transport, boligforhold, lønopgørelser, opsparing eller skatteberegninger.
I 26 skal eleverne beregne, hvor meget x er i forhold til y. Udover denne problematik vil opgaven
formentligt også udfordre eleverne sprogligt. Ved at
Matematrix 7 · Lærervejledning
55
IT
Hvor meget er:
a 50 % af 120?
b 10 % af 50?
c 5 % af 220?
16
Facitliste: Kopiark
Om at udregne x procent af y
15
Facitliste: Arbejdsbog
12-13
Facitliste: Grundbog
Arbejdsark
39
46
Regn med overslagsregning:
a 33,3 % af 130 er cirka
40
b 55 % af 475 er cirka
260
c 47 % af 230 er cirka
75
d 23 % af 600 er cirka
100
e 66,2 % af 700 er cirka 260
f 125 % af 305 er cirka
325
g 300 % af 57 er cirka
150
2
h _12 % af 450 er cirka
50
360
100
150
460
375
160
4
60
460
125
200
660
425
170
8
Spar en
tredjed
prisen
på havem el af
øbler.
BORD MED
4 STOL
E:
Før 5.995
kr.
Nu 4.195
kr.
43
Er det sandt, hvad der står i annoncen?
44
Prisen på en fladskærm er nedsat fra 5.995 kr. til 3.995 kr.
a Hvor mange procent udgør rabatten?
Senere sættes det op til 5.995 kr. igen.
47
Fabrik A sælger sko til en butikskæde med en fortjeneste på 85 % af
produktionsprisen.
a Hvad kommer et par sko til at koste, hvis produktionsprisen er 200 kr.?
Fabrik B sælger sko for 324 kr. parret til butikskæden.
b Hvor mange procents fortjeneste har denne fabrik, hvis
produktionsprisen er 180 kr.?
c Hvad er produktionsprisen på fabrik C, hvis fortjenesten er 75 % og
salgsprisen er 350 kr?
d Skriv en formel, som viser sammenhængen mellem produktionsprisen,
salgsprisen og fortjenesten.
e Skriv selv tre andre regneudtryk til din kammerat, hvor det enten er
salgsprisen, fortjensten eller produktionsprisen, der skal regnes ud.
Ved jordoverfladen består tør luft af 78,09 % nitrogen, 20,95 % oxygen
(ilt), 0,93 % argon og 0,03 % kuldioxid.
a Hvor mange liter ilt er der i et værelse, hvis rumfang er 15 m3?
b Hvor meget ilt er der i jeres klasselokale?
Promille
Promille betyder tusindedel (mille betyder tusind på latin).
Tegnet for promille er ‰.
49
Skriv som decimaltal:
a 1‰
c 10 ‰
b 5‰
d 90 ‰
50
Hvilket tal er størst?
a 1 % eller 1 ‰
b 10 ‰ eller 0,1 %
c 5 % eller 60 ‰
d 0,7 % eller 7 ‰
51
e 214 ‰
f 1.000 ‰
g 0,4 ‰
h 0,03 ‰
e 0,9 ‰ eller 9 %
f 400 ‰ eller 41 %
g 2 ‰ eller _21 %
1
_
2
Arbejdsark
14
h 25 ‰ eller %
Lis blev taget for promillekørsel en lørdag aften. Politiet målte,
at alkoholindholdet i hendes blod var 0,7 ‰.
Et menneske har ca. fem liter blod i kroppen. Hvor mange ml alkohol
havde Lis ca. i kroppen?
Man kan selv beregne sin alkopromille nogenlunde efter denne formel:
Måned
jan.
feb.
mar.
apr.
maj
juni
juli
aug.
sep.
okt.
nov.
dec.
Nedbør
i mm
45
35
41
40
42
47
63
83
59
68
56
60
b Hvor mange procent stiger prisen?
c Hvorfor er det ikke det samme procenttal?
45
40
41
42
Dansk Metrologisk Institut (DMI) har opgjort den gennemsnitlige
nedbørsmængde pr. måned i Danmark.
a Hvor mange procent af årets nedbør falder i august?
b I hvilken måned falder der mindst nedbør, og hvor mange procent
svarer det til?
c Find selv på mindst to spørgsmål ud fra tabellen, som din kammerat
skal svare på (regn selv resultatet ud først).
For kvinder er den 55‰ for mænd er den 68‰
48
Hassan betaler 37 % i skat af sin B-indkomst.
Hvis han betaler 5.313 kr. i skat, hvad er så hans B-indkomst?
PROCENT
SIDE 36-37
PROCENT
19/06/14 09.56
9788723038470_indhold.indd 37
37
19/06/14 09.56
Oliver får 5.000 kr. til sin konfirmation.
Han sætter pengene i banken. Banken giver 3 % i rente hvert år.
a Hvor meget får han i rente
Efter
1. år
2. år
efter 1. år?
Beløb
5.000
5.000
b Hvor meget vil han ca. kunne
Rente
0
150
hæve efter 2. år, efter 3. år,
Nyt beløb
5.000
5.150
efter 5. år og efter 10. år?
38
SIDE 38-39
9788723038470_indhold.indd 38
lade eleverne arbejde sammen får de mulighed for at
udtrykke parentesernes betydning, og hvilke konsekvenser ”mindre end” og ”større end” får for opgavebesvarelsen.
28 udfordrer i høj grad elevernes symbolbehandlingskompetence og rummer nogle af kapitlets
væsentligste pointer. Tilsammen repræsenterer de tre
procentregnemåder et stort potentiale, når man skal
bruge matematiske værktøjer til at løse dagligdagsproblemstillinger. Lad eleverne give eksempler på, i
hvilke situationer man kan bruge de tre måder.
I forbindelse med 29-31 er der gode muligheder
for, at eleverne selv undersøger fx energiindholdet
og energifordelingen i en række fødevarer ud fra
diverse varedeklarationer. Er der fx ligheder mellem
produkter, der har et ekstraordinært højt indhold af
henholdsvis kulhydrater, protein og fedt? Man kan
også udvide problemstillingen til mere generelt at
undersøge næringsindholdet i en række produkter
med henblik på at kunne sammensætte en sund og
energirigtig kost.
32-34 er opgaver, hvor eleverne skal behandle enkle
problemstillinger med procentberegninger i kontekster fra virkeligheden. De efterfølgende opgaver
rummer større kompleksitet i form af sproglige og
matematiske problemstillinger fra virkelighedens
verden.
37 I flere af opgaverne er det oplagt at inddrage
regneark. I denne opgave vil regnearket både kunne
bruges til databehandling og til fremstilling af cirkeldiagrammer.
42 Der arbejdes helt bevidst kun med B-indkomst.
Hvis man skal arbejde autentisk med beskatning
af A-indkomst, skal der eksempelvis indgå fradrag,
hvilket vil komplicere situationen unødigt her på
7. klassetrin. I Matematrix 8 og 9 arbejdes der mere
indgående med indkomst og skat.
46d De fleste elever vil nok opskrive produktionsprisen (P) og fortjenesten (F) i kr. som to separate beløb,
der tilsammen udgør salgsprisen (S): P + F % · P = S.
For de elever, som har mod på udfordringen, vil det
være en god ”opvarmning” til gennemgangen af Procent i Matematrix 8 at lade dem sætte P uden for en
parentes og forklare, hvorfor indholdet i parentesen
– fremskrivningsfaktoren – ser ud, som den gør.
48 rækker ud over det gennemgåede pensum. Skemaet er tænkt som en hjælp til de elever, der tager
udfordringen i 46d op. Opgaven kan med fordel
løses i et regneark.
56
Matematrix 7 · Lærervejledning
a____
·b
c·d
d = kroppens vandprocent.
Alle lønmodtagere får 12,5 % af deres løn i feriepenge.
Hvor meget skal følgende personer have i feriepenge?
a Lise, der er sekretær, har en årsløn på 275.000 kr.
b Helle, der er lærer, har en årsløn på 318.450 kr.
c Bo, der er tømrer, har en årsløn på 366.950 kr.
d Ida, der er kassedame, har en årsløn på 216.464 kr.
36
9788723038470_indhold.indd 36
Spirituspromille =
a = antal genstande
b = alkoholmængden pr. genstand (ca. 12 g)
c = personens vægt
Christian vil købe en cykel for 5.000 kr. Han har ikke pengene,
men han kan enten låne dem af sin storesøster, som skal have 10 %
i rente, når han betaler pengene tilbage, eller købe cyklen på afbetaling.
Hos cykelhandleren skal han give 1.500 kr. i udbetaling og derefter
betale 350 kr. om måneden i 12 måneder.
a Hvilket lånetilbud er det billigste?
b Hvor mange procent tager cykelhandleren i rente?
3. år
4. år
PROCENT
52
En almindelig øl svarer til
en genstand. Forklar hvorfor
formlen ser ud, som den gør.
53
Udregn alkoholpromillen for
a en mand, der vejer 85 kg
og lige har drukket to øl.
b en kvinde, der vejer 65kg
og lige har drukket tre øl.
PROCENT
19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 39
39
19/06/14 09.56
SIDE 39-41
FAGLIGE OG TEMATISKE OPSLAG
OVERSIGT
• FAGLIGT: Promille
• FAGLIGT: Brøk, decimaltal og procent
SIDE 39 FAGLIGT OPSLAG
PROMILLE
I forbindelse med arbejdet med procent er det oplagt
at introducere promillebegrebet. Det er vigtigt at
pointere for eleverne, at der gælder de samme regneregler for promille som for procent. Man regner
blot med tusindedele i stedet for hundrededele.
Eleverne kender måske ordet promille i forbindelse
med måling af alkoholpromiller. Derfor handler to af
opgaverne i opslaget om dette. Tal med eleverne om,
at formlen til udregning af spirituspromiller er en
tommelfingerregel, som ikke er endegyldig. Tal også
om sammenhængen mellem antal promille i blodet
og antal trafikuheld. Danmarks statistik har et udførligt talmateriale på dette område, som kan findes på
dst.dk.
Det er også indlysende at inddrage opslaget i en bredere kontekst fx i forbindelse med en temauge eller
i et tværfagligt samarbejde, hvor man mere generelt
arbejder med temaet, alkohol.
61
Brøk, decimaltal og procent
54
Omskriv fra brøk til decimaltal
55
a
1
_
c
4
_
e
3
__
b
2
_
d
1
__
f
7
__
e
1
____
5
5
5
50
50
50
62
Nogle brøker er lette at omskrive til decimaltal.
1
1
= 0,1 og ___
= 0,01
Fx er __
10
100
Forklar med ord hvorfor
a
1
__
b
1
_
20
5
= 0,05
= …?
c
1
__
d
1
___
50
= …?
200
Prisen på en computer er faldet fra 5.000 kr. til 4.000 kr.
Hvilket udtryk ville du vælge at bruge i en annonce?
Forklar hvorfor:
Prisen er faldet med 20 %
Prisen er faldet med 1/5
Prisen er 1000 kr. lavere
Benzin pris
med over 1 en steget
3 på 3 år.
I avisen ser du følgende overskrift på en artikel:
__
12,00 kr.
1.000
Evaluering
11,00 kr.
=…?
10,00 kr.
= …?
9,00 kr.
8,00 kr.
56
Omskriv fra decimaltal til procent
a 0,25
c 0,75
b 0,125
d 0,375
57
Nogle decimaltal er lette at omskrive til procent.
Fx er 0,1 = 10 % og 0,01 = 1 %
Forklar med ord hvorfor
a 0,1 = 10 %
b 0,2 = …? %
c 0,3 = …? %
d Find tre andre decimaltal med en decimal og lad din kammerat
omskrive dem til procent.
7,00 kr.
e 1,25
f 1,375
58
År
_
1
_
3
4
63
Procent
60
50 %
2,5
125 %
64
Udfyld tabellen.
Brøk
_
1
__
12
_
5
8
8
8
Decimaltal
Procent
0,5
0,25 %
2004
2005
2006
2007
2008
2009
n
Hvordan kan du regne et forhold mellem to tal ud i procent?
n
Hvordan kan du finde helheden, hvis du kender delen?
ning?
end en løs
2010
Minimum 25 procent af befolkningen løber i dag. I 1993 svarede kun
ni procent, at de løb. Tallene er fra 2010, men er de seneste opgjorte.
Forskerne mener, tallet er højere i dag.
Hvor mange personer løb i
a 2010?
b 1993?
c Skriv en avisoverskrift,
der passer til tallene
4
1,0
2003
Kilde:fri.dk/frilobet/den-danske-loeberevolution-i-tal. Tirsdag 20. april 2010.
_
8
4
Decimaltal
2002
a Hvilke årstal passer overskriften til?
b Hvor mange procent steg prisen fra midt i 2008 til 2009?
c Find andre prisforskelle mellem to årstal og beskriv dem med procent
og brøk.
Udfyld tabellen.
Brøk
Hvordan kan du finde en procentdel af et tal?
Kilde: business.dk
Forklar med ord hvorfor
a 0,01 = 1 %
b hvorfor 0,02 = …? %
c hvorfor 0,17 = …? %
d Find tre andre decimaltal med to decimaler og lad din kammerat
omskrive dem til procent.
59
Hvad betyder procent?
n
6,00 kr.
5,00 kr.
g have mere
Kan en lignin
n
0,875
100 %
10.700 løbere var tilmeldt Copenhagen Marathon i 2009. I 2005 var antallet 4.286 tilmeldte.
Flere andre maratonløb rundt om i Danmark
oplever ligeledes en stigende tendens i deltagerantallet.
Generelt er det muligt at løbe et maraton hver uge
et eller andet sted i Danmark, hvis man har lyst.
Skriv en avisoverskrift, der passer til tallene.
DANMARKS
BEFOLKNINGSTAL
1990
5.145.101
1991
5.159.793
1992
5.177.770
1993
5.195.998
1994
5.212.416
1995
5.240.860
1996
5.270.839
1997
5.292.452
1998
5.310.730
1999
5.327.358
2000
5.345.168
2001
5.363.718
2002
5.381.668
2003
5.396.198
2004
5.408.716
2005
5.425.420
2006
5.444.203
2007
5.469.994
2008
5.504.685
2009
5.530.077
2010
5.542.180
d
lhe
He
nt
Proce
Brøk
el
Hundreded
Decim
altal
I fo
rhol
d ti
l
Del
Cirkeldiagr
am
le
Promil
ing
Stign
Rente
Fald
Evalueringsark
4-5
19/06/14 09.56
SIDE 42
9788723038470_indhold.indd 42
SIDE 40-41 FAGLIGT OPSLAG:
BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT
Eleverne har arbejdet med tilsvarende opgaver i
Matematrix 6.
Det er utroligt vigtigt, at eleverne i 6.-7.klasse forstår
sammenhængen mellem brøk, decimaltal og procent
og bliver i stand til at omsætte talstørrelser mellem
de tre repræsentationer. Ved at arbejde med disse
sammenhænge vil eleverne dels kunne øge deres
forståelse af rationelle tal og dels kunne operere mere
fleksibelt i forbindelse med at skulle foretage konkrete beregninger. I stedet for at finde 25 % af 800 kr.
ved at multiplicere 0,25 med 800 kr., vil det eksempelvis være hurtige at tage en fjerdedel af 800 kr.
19/06/14 09.56
mange procent er x i forhold til y). Eleverne kan
eventuelt bruge deres viden om omskrivning
mellem brøk og procent.
• At finde helheden, når man kender delen (finde
100 %, hvis x svarer til y procent).
Sammenhængsforståelse: Her kan eleverne beskrive
forbindelsen mellem de tre former for procentberegninger ud fra ligningen fra gennemgangen s.30 i
grundbogen (del/helhed = procentdelen/100). Det er
også oplagt at lade eleverne arbejde med at beskrive
sammenhængen mellem procent og en række
beslægtede begreber enkeltvist (fx brøker, decimaltal,
del, helhed, forhold, forskel, stigning, fald, promille).
To eksempler:
SIDE 42
EVALUERING
Begrebsforståelse
Begrebsforklaring: Det er væsentligt, at eleverne dels
kan udtrykke en klar forståelse af procentbegrebet og
dels kan forklare, hvordan de regner med procent.
Eleverne skal derfor selv formulere, hvad procent er
og give ekstempler på, hvornår man bruger procent.
Derudover kan de med fordel forklare procentberegninger i forhold de tre fokuspunkter i kapitlet.
• At finde x % af y, gerne med eksempler og gerne
med deres egne ord.
• At finde forholdet mellem to tal procent (hvor
Udsagn
Vurdering
Procent
viser det samme
som
Brøk
”tyder på god forståelse”
Procent
er næsten det
samme som
Brøk
”uklart hvad eleven
mener”
Procent
er bedre end
Brøk
”tyder på dårlig
forståelse”
Udsagn
Vurdering
IT
I 54-60 sættes der først fokus på det rent talmæssige
arbejde i forbindelse med omskrivning mellem brøk,
decimaltal og procent. Der arbejdes specifikt med
repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen, idet eleverne skal jonglere rundt mellem de tre
beskrivelsesmåder for samme tal.
Lad eleverne formulere deres egne omskrivningsregler skriftligt i deres hæfte, på pc/iPad eller som bidrag
til et opslag i klassen. Hvilken repræsentation, der
vælges i en konkret situation, bør afhænge af den
kontekst, som tallet forekommer i.
I 61 skal eleverne selv vælge, om de vil bruge et helt
tal, en brøk eller et procenttal til at beskrive en situation. Undersøg eventuelt, hvilken repræsentation der
er hyppigst hos et antal pc-forhandlere.
I 62-64 skal eleverne blandt andet forholde sig kritisk til, hvordan en overskrift er formuleret i forhold
til en grafisk gengivelse over benzinpriser. De skal
også kommentere og selv komponere avisoverskrifter, der afspejler andre hverdagssituationer, hvori der
indgår talmateriale. En ekstra aktivitetsmulighed er
at lade eleverne selv finde matematikholdige tekster
på nettet.
Grundtankerne
19/06/14 09.56 9788723038470_indhold.indd 41
42
Kommentarer
9788723038470_indhold.indd 40
41
Procent
kan vise
Forholdet
mellem to tal
”tyder på god forståelse”
Procent
er det samme som
Forholdet
mellem to tal
”uklart hvad eleven
mener”
Procent
betyder
Forholdet
mellem to tal
”tyder på dårlig
forståelse”
Faglige kompetencer
Dette kapitel lægger især op til, at eleverne kan
udvikle symbolbehandlingskompetence, repræsentations- kompetence, problembehandlingskompetence
og anvendelseskritisk kompetence (en del af modelleringskompetencen (se side xx)).
Faglige færdigheder
Evalueringen er rettet mod at kende procentbegrebet,
at kunne omregne mellem brøk, decimaltal og procent og at kunne regne med procent (jf. tre former
for procentberegninger), hvilket svarer til kapitlets
øvelseskategorier.
Matematrix 7 · Lærervejledning
57
Facitliste: Kopiark
SIDE 40-41
PROCENT
Facitliste: Arbejdsbog
PROCENT
Facitliste: Grundbog
40