Jousivoima ja harmoninen voima tehtävien vastaukset 1. Laske

Jousivoima ja harmoninen voima tehtävien vastaukset
1. Laske jousivakio
F = kx
F
k=
x
k=
m
s2
4, 2 kg · 9, 81
0, 05 cm
= 824, 04
N
N
⇡ 820
m
m
2. Laske venymä. Molempiin jousiin vaikuttaa sama venyttävä voima, joten
lasketaan vain molempien jousien venymät erikseen samalla painolla.
xtot = x1 +x2 =
2, 0 kg · 9, 81
N
51 m
m
s2
x1 =
F
k1
x2 =
F
k2
+
2, 0 kg · 9, 81
N
75 m
m
s2
= 0, 6463058824m ⇡ 0, 65m
3. Laske molempien jousien venymä. Näppärin tapa on vain jakaa paino
kahdella, sillä jousivakioiden ollessa samat paino jakautuu tasan molemmille jousille.
x=
1
2F
k
0, 5 · 5, 0 kg · 9, 81
N
75 m
=
m
s2
= 0, 327 m ⇡ 0, 33 m
Molemmat jouset venyvät 0,33m
4. Selvitä
a)T = 2⇡
f=
1
T
pm
k
= 2⇡ ·
q
= 6, 164044441
f · t = 6, 164044441
1
s
0,1 kg
N
150 m
= 0, 162231147 s
1
s
· 60 s = 369, 842664 ⇡ 370
jousi värähtää 370 kertaa
b) mitä suurempi massa sitä pidempi värähdysaika
c) poikkeumalla ei ole merkitystä värähdysajalle
d) mitä suurempi jousivakio sitä lyhyempi värähdysaika
5. Kuinka korkealla paino käy? Ensin selvitetään kuinka paljon jousi painuu
pelkän painon takia.
x=
0, 8 kg · 9, 81
F
=
N
k
600 m
1
m
s2
= 0, 01308 m
Lopullinen painauma on 0, 15 m + 0, 01308 m = 0, 16308 m ja korkeus
suurimmatn painuman aikana on 0, 30 0, 16308 = 0, 13692 m
Jousen aiheuttama potentiaali on
1
Ep = kx2
2
Kun tämä potentiaali vapautetaan, jousen potentiaali muuttuu painon
liike-energiaksi ja edelleen potentiaalienergiaksi sen lennähtäessä ylöspäin,
ja näin päästään korkeuteen
1
mgh = kx2
2
N
600 m
· (0, 16308 m)2
kx2
=
= 1, 016631... m
2mg
2 · 0, 9 kg · 9, 81 sm2
Lasketaan yhteen lähtökorkeus ja jousen avulla lennetty korkeus
h=
0, 13692 m + 1, 015531... m = 1, 153551... m ⇡ 1, 2 m
Paino käy 1,2m metrin korkeudessa.
6. Laske painon etäisyys hetkellä t = 60 s pelkän jousen tasapainoasemasta.
Ratkaisu: Lasketaan ensin painon aiheuttama poikkeuma.
x=
0, 5 kg · 9, 81
N
150 m
m
s2
= 0, 0327 m
Selvitetään taajuus jakson ajan kautta.
s
0, 5 kg
T = 2⇡ ·
= 0, 362759872... s
N
150 m
1
1
= 2, 7566444...
T
s
Lasketaan paikka tasapainotilanteesta (muista radiaanit!). Huomaa, että
jousi on alkuhetkellä heilahduksen ääriasennossa alhaalla. Kun t = 0 s ja
ollaan negatiivisessa ääriasennossa, ollaan neljäsosavaiheen verran jäljessä!
f=
x(t) = A · sin(!t + ) = A · sin(2⇡f t + )
x(60 s) = 0, 10 m · sin(2 · ⇡ · 2, 7566444...
1
· 60 s
s
⇡
)
2
= 0, 080407... m
Paino on siis noin 0,0804 m värähtelyn tasapainoaseman yläpuolella. Jousen
lepotila oli tätä reilut 3 cm ylempänä. Erotus siis
0, 080407... m
0, 0327 m = 0, 047707... m ⇡ 4, 8 cm
Vastaus: 4,8 cm jousen tasapainoaseman yläpuolella
2