Jakso 2. Gaussin laki

Jakso 2. Gaussin laki
Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään maanantaina 10.8.2015.
Teoriaa tähän jaksoon on Tuomo Nygrénin luentomonisteessa Luvussa 3. Tätä monistetta on Anita
Aikio hiukan muokannut ja tähän on linkki sivulta
https://wiki.oulu.fi/display/766319A/Etusivu (vaatii tunnukset)
Yhteenveto teoriasta ja esimerkkilaskuja on lisämateriaalin sivulla
https://wiki.oulu.fi/pages/viewpage.action?pageId=57082164
linkissä GAUSSIN LAKI.
Seuraavien pakollisten tehtävien tarkoitus on tutustuttaa opiskelija Gaussin lain integraalimuotoon:
Qsis
 E dS  .
S
0
T 2.1 (pakollinen): Määritä
a) varaustiheys eli varaus tilavuusyksikköä kohden, kun pallossa, jonka säde on 1,0 m on tasaisesti
jakautuneena varaus 1,0 µC,
b) varauskate eli varaus pinta-alayksikköä kohden, jos levylle, jonka pinta-ala on 1,0 m2, on
tasaisesti jakautuneena varaus 1,0 µC,
c) viivavaraus eli varaus pituusyksikköä kohden, kun sauvaan, jonka pituus on 1,0 m on tasaisesti
jakautuneen varaus 1,0 µC.
T 2.2 (pakollinen): Määritä sähkökentän vuo
a) joka menee pallon (säde 1,0 m) pinnan läpi, kun pallon sisällä on varaus 1,0 µC,
b) joka menee kuution (sivun pituus 1,0 m) pinnan läpi, kun kuution sisällä on varaus 1,0 µC,
c) joka menee pallon (säde 1,0 m) pinnan läpi, kun pallon sisällä on varaus 1,0 µC ja toinen varaus
2,0 µC on pallon ulkopuolella lähellä pallon pintaa,
d) joka menee tiiviisti suljetun jätesäkin pinnan läpi, kun jätesäkin sisällä on varaus 1,0 µC.
T 2.3 (pakollinen): Symboli
kuvaa pinta-alkiovektoria. Piirrä oikeaan suuntaan osoittavat pintaalkiovektorit seuraavien kappaleiden kaikille näkyville pinnoille:
umpinainen pallo
umpinainen sylinteri
umpinainen kuutio
T 2.4 (pakollinen): a) Umpinaisen pallon sisällä on vakiovaraustiheys, joka aiheuttaa sähkökentän
. Pallon ulkopuolelle on piirretty pallon muotoinen Gaussin suljettu pinta alla olevan kuvan
mukaisesti. Missä kohden Gaussin pinnalla sähkökenttä ja Gaussin pinnan pinta-alkiovektori
ovat i) yhdensuuntaisia, ii) kohtisuorassa toisiaan vastaan?
Gaussin pinta
E
b) Hyvin pitkä sylinteri on varattu siten, että sen sisällä on vakiovaraustiheys, joka aiheuttaa
sähkökentän . Sylinterin ympärille on piirretty sylinterin muotoinen Gaussin suljettu pinta alla
olevan kuvan mukaisesti. Missä kohden Gaussin pinnalla sähkökenttä ja Gaussin pinnan pintaalkiovektori
ovat i) yhdensuuntaisia, ii) kohtisuorassa toisiaan vastaan? iii) Millä Gaussin
pinnan osilla pistetulo E  d S on nolla?
Gaussin pinta
c) Hyvin laaja tason muotoinen levy on varattu siten, että levyllä on vakiovaraus, joka aiheuttaa
sähkökentän . Levyn läpi on piirretty sylinterin muotoinen Gaussin suljettu pinta alla olevan
kuvan mukaisesti. Missä kohden Gaussin pinnalla sähkökenttä ja Gaussin pinnan pintaalkiovektori
ovat i) yhdensuuntaisia, ii) kohtisuorassa toisiaan vastaan? iii) Millä Gaussin
pinnan osilla pistetulo E  d S on nolla?
Gaussin pinta
T 2.5 (pakollinen): a) Pallon (säde R) sisällä on vakiovaraustiheys ρ. Pallon ympärille on piirretty
pallon muotoinen Gaussin suljettu pinta (säde r) alla olevan kuvan mukaisesti. i) Kuinka suuri
kokonaisvaraus jää Gaussin pinnan sisäpuolelle? ii) Mikä on tämän kokonaisvarauksen aiheuttama
sähkökentän vuo pallon pinnan läpi?
Gaussin pinta
E
b) Hyvin pitkä sylinteri on varattu siten, että sillä on viivavaraus λ. Sylinterin ympärille on piirretty
sylinterin muotoinen Gaussin suljettu pinta (pituus L ja säde r) alla olevan kuvan mukaisesti. i)
Kuinka suuri varaus jää Gaussin pinnan sisäpuolelle? ii) Mikä on tämän varauksen aiheuttama
sähkökentän vuo?
2r
Gaussin pinta
L
c) Hyvin laaja tason muotoinen levy on varattu siten, että levyllä on varaus pinta-alayksikköä
kohden σ. Levyn läpi on piirretty sylinterin muotoinen Gaussin suljettu pinta alla olevan kuvan
mukaisesti. Gaussin sylinterin ”kannen” ja ”pohjan” pinta-ala on S. i) Mikä varaus jää Gaussin
pinnan sisään? ii) Mikä on tämän varauksen aiheuttama sähkökentän vuo?
S
Gaussin pinta
Vastauksia
T 2.1: a) 0,24 μC/m3
T 2.2: a) 1,13 . 105 Vm