FYSA220, Sähköoppi Laskuharjoitus 1 18.3.2015

FYSA220, Sähköoppi
Laskuharjoitus 1
18.3.2015
~ kuvassa olevalle äärettömän pitLaske Gaussin lain avulla sähkökenttä E
källe, sisältä ontolle sylinterille alueissa r < 2 m, 2 m < r < 4 m ja r > 4 m.
Sylinteri on tasaisesti varautunut tilavuusvaraustiheydellä ρ.
1a)
Määritä maksimitilavuusvaraustiheys r:n funktiona umpinaiselle tangolle (r
on tangon säde) siten, että sähkökenttä ei saa tangon pinnalla ylittää arvoa
106 V/m.
1b)
Kuva 1: Tehtävä 1.
2. Tasaisesti varautuneen, origossa sijaitsevan pallon varaustiheys on ρ = 10 mC/m3
ja säde R = 10 cm. Pallon sisällä on y-akselilla paikassa R/2 r-säteinen pallo
~ voimakkuus
(r = 3 cm), jonka varaustiheys on nolla. Laske sähkökentän E
a) onton pallon keskellä ja
b) y -akselilla kohdassa y = 7 cm.
Kuva 2: Tehtävä 2.
Tasaisesti varautuneen pallon varaustiheys ρ = kr, missä k on vakio, ja pallon
säde on R. Laske sähkökenttä kaikkialla.
3.
1
Varatun pallon, säde R, varaustiheys muuttuu radiaalisesti siten, että ρ ∝ rn
(n > −3). Pallon kokonaisvaraus on Q. Määrää Gaussin lain dierentiaalisen
muodon avulla sähkökenttä sekä pallon sisä- että ulkopuolella. Muista, että vek~ divergenssi pallokoordinaateissa on muotoa
torikentän E
4.
2
~ = 1 ∂(r Er ) + 1 ∂ (Eθ sin θ) + 1 ∂Eφ .
∇·E
r2 ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂φ
Varaus Q on asetettu origoon kuution keskipisteeseen. Kuution sivun pituus
on 2l. Laske sähkökentän vuo ΦE kuution tahkon läpi ja osoita, että ΦE = Q/0
pätee koko kuutiolle.
5.
Integrointiapuja:
Z
(x2
Z
x
dx
= 2 2
2
3/2
+a )
a (x + a2 )1/2
dx
1
=
arctan
2
2
2
2
1/2
2
(x + a )(x + b )
a(b − a2 )1/2
Kuva 3: Tehtävä 5.
2
x
a
r
b 2 − a2
x 2 + b2
!