Mat B Eksamensprojekt 2013 (Maple) PDF – Agility

Præsentation
Hvad er Agility
Agility begyndte som en opvisning på den kendte hundeudstilling Crufts i London i 1978.
Arrangørerne ønskede et pauseindslag, der var morsomt og underholdende, måske noget der lignede
ridebanespringning. Udgangspunktet var springforhindringer for heste, men man fandt ud af, at det
var bedre også at inddrage andre forhindringer, f.eks balanceforhindringer og tunneler, der kun
egnede sig for hunde. Manden, der dengang udformede forhindringerne, hedder Peter Meanwell. Det
gjorde han så godt, at forhindringerne stort set er de samme i dag.
Aktiviteten
Agility går ud på, at hunden skal igennem en bane med forskellige forhindringer på kortest mulig tid
uden at begå fejl. Den skal blandt andet:
springe over forhindringer
krybe gennem tunneler
balancere (balance, vippe)
springe gennem bildæk
løbe slalom
klatre over "A"
Opgave 1
with Gym
ChiKvadratGOFtest, ChiKvadratUtest, Cos, ExpReg, LinReg, LogistReg, PolyReg, PowReg,
Sin, Tan, antalstabel, arealP, arealT, binomialTest, boksplot, cart2pol, det, dotP, ev,
(2.1)
forventet, fraktil, frekvens, frekvensTabel, gennemsnit, grupperData, hat, hyppighed,
invCos, invSin, invTan, kumuleretFrekvens, kvartiler, len, median, middel,
pindediagramBIN, plotHistogram, plotPindediagram, plotSumkurve, plotTrappekurve,
pol2cart, proj, spredning, sumkurve, trappekurve, trappekurveBIN, typeinterval, typetal,
varians, vinkel, visMatrix
with plots
animate, animate3d, animatecurve, arrow, changecoords, complexplot, complexplot3d,
conformal, conformal3d, contourplot, contourplot3d, coordplot, coordplot3d, densityplot,
display, dualaxisplot, fieldplot, fieldplot3d, gradplot, gradplot3d, implicitplot,
implicitplot3d, inequal, interactive, interactiveparams, intersectplot, listcontplot,
listcontplot3d, listdensityplot, listplot, listplot3d, loglogplot, logplot, matrixplot, multiple,
odeplot, pareto, plotcompare, pointplot, pointplot3d, polarplot, polygonplot,
polygonplot3d, polyhedra_supported, polyhedraplot, rootlocus, semilogplot, setcolors,
setoptions, setoptions3d, spacecurve, sparsematrixplot, surfdata, textplot, textplot3d,
tubeplot
with Student
Calculus1, LinearAlgebra, MultivariateCalculus, NumericalAnalysis, Precalculus,
SetColors, VectorCalculus
with student
D, Diff, Doubleint, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, changevar, completesquare,
distance, equate, integrand, intercept, intparts, leftbox, leftsum, makeproc, middlebox,
middlesum, midpoint, powsubs, rightbox, rightsum, showtangent, simpson, slope,
summand, trapezoid
with geometry
Apollonius, AreCollinear, AreConcurrent, AreConcyclic, AreConjugate, AreHarmonic,
AreOrthogonal, AreParallel, ArePerpendicular, AreSimilar, AreTangent,
CircleOfSimilitude, CrossProduct, CrossRatio, DefinedAs, Equation, EulerCircle,
EulerLine, ExteriorAngle, ExternalBisector, FindAngle, GergonnePoint, GlideReflection,
HorizontalCoord, HorizontalName, InteriorAngle, IsEquilateral, IsOnCircle, IsOnLine,
IsRightTriangle, MajorAxis, MakeSquare, MinorAxis, NagelPoint, OnSegment,
ParallelLine, PedalTriangle, PerpenBisector, PerpendicularLine, Polar, Pole,
RadicalAxis, RadicalCenter, RegularPolygon, RegularStarPolygon, SensedMagnitude,
SimsonLine, SpiralRotation, StretchReflection, StretchRotation, TangentLine,
VerticalCoord, VerticalName, altitude, apothem, area, asymptotes, bisector, center,
centroid, circle, circumcircle, conic, convexhull, coordinates, detail, diagonal, diameter,
dilatation, directrix, distance, draw, dsegment, ellipse, excircle, expansion, foci, focus,
form, homology, homothety, hyperbola, incircle, inradius, intersection, inversion, line,
medial, median, method, midpoint, orthocenter, parabola, perimeter, point, powerpc,
projection, radius, randpoint, reciprocation, reflection, rotation, segment, sides,
similitude, slope, square, stretch, tangentpc, translation, triangle, vertex, vertices
with RealDomain
I, R, `^`, arccos, arccosh, arccot, arccoth, arccsc, arccsch, arcsec, arcsech, arcsin, arcsinh,
arctan, arctanh, cos, cosh, cot, coth, csc, csch, eval, exp, expand, limit, ln, log, sec, sech,
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
signum, simplify, sin, sinh, solve, sqrt, surd, tan, tanh
a) Angiv din fødselsdato. Følgende program (link) vil herefter beregne
konstanterne d, v og w, som du skal benytte til at løse opgave 1.
d d 43.847 :
v d 19.84 :
w d 61.54 :
Nedenstående billede viser en tunnel, som hunden skal løbe igennem. På stationære baner vil man
grave røret delvis ned for at stabilisere det. Derved kan den synlige del af tunnelrøret beskrives ved
en cirkelbue. Cirkelbuen (vist med rødt) er en del af en cirkel. Cirkelbuen er symmetrisk omkring yaksen. Se figur 1. Alle mål er i centimeter.
b) Bestem en ligning for cirklen på formen
x Ka
2
C y Kb
2
2
=r .
Vi anvender formlen sammenhængen mellem radius r, pilhøjde h og korde K (d):
K d d : h d 50 :
rd
h
K2
C
2
8h
29.80639852
y koordinaten, b, til centrum er dermed givet ved
(2.2.1)
b d 50 Kr
20.19360148
Cirklens ligning bliver derfor, idet a d 0 :
x Ka
2
C y Kb
2
(2.2.2)
2
=r
x2 C y K20.19360148
2
= 888.4213927
(2.2.3)
x2 C y K20.194
2
= 888.42
(2.2.4)
at 5 digits
c) Bestem arealet af det gråtonede område vist på figur 1.
Arealet af et cirkelafsnit er givet ved
T d r2$
π$u
Sin u
K
360
2
:
Hvor vinklen u er givet ved:
u d 2$invTan
d
2b
94.70403706
(2.3.1)
654.7072469 π C442.7144219
(2.3.2)
2499.5
(2.3.3)
Arealet af det grå område er da
π$r2 KT
at 5 digits
Hunden skal løbe slalom mellem opstillede pinde, som vist på billedet nedenfor.
Figur 2 viser en del af slalombanen set oppefra. Den røde graf for funktionen f viser hundens løb
mellem pindene. Pindene er markeret som blå punkter. Alle mål er i meter.
Funktionen f kan beskrives ved
Længden L af grafen for funktionen f på intervallet fra a til b, kan her beregnes som
d) Bestem længden af kurven fra A til B.
Maple har et problem med kurveintegraler. I stedet anvendes funktionen ArcLength der er en del
af 'Student' pakken
32 3
16 2
16
x K
x C
x
15
5
15
f x d
x/
Student Calculus1 ArcLength
32 3
16 2
16
x K
x C
x
15
5
15
(2.4.1)
f x , x = 0 ..1
1.103190531
(2.4.2)
Bestemmelse af kurvelængder for polynomier kan være særdeles omstændligt. Matematikken
involveret ligger langt ud over gymnasieniveau og derfor er den numeriske approksimation den
eneste fornuftige her.
Den ene pind er placeret i punkt C(0,75;0).
e) Bestem den mindste afstand fra grafen for funktionen f til punktet
C
Den afstanden fra punkt til kurve findes ved at anvende Pytagoras sætning på (x, f(x)) og C
D x d
x K0.75
2
2
C f x K0
x/ x K0.75 2 Cf x 2
Minimumsafstanden findes ved at se på ekstrema for D(x)
(2.5.1)
D' x
1
2
2 x K1.50 C2
32 3
16 2
16
x K
x C
x
15
5
15
x K0.75
2
C
32 2
32
16
x K
xC
5
5
15
32 3
16 2
16
x K
x C
x
15
5
15
(2.5.2)
2
isolate for x
x = 0.7315492567
(2.5.3)
Data i tabel 1 viser udviklingen i agilitymedlemmer tilknyttet DGI for årene 2005 til 2010.
f) Indtegn data i et koordinatsystem.
Først definerer vi dataserierne:
X d 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010 :
Y d 7540, 8055, 8638, 9441, 10454, 11216 :
LinReg X, Y
Lineær regression
y =753.71 xK1.5039 106.
Forklaringsgrad R2 = 0.986859605693726
11000
10000
9000
8000
2005
2006
2007
2008
x
2009
2010
Af grafen fremgår det, at punkterne tilnærmelsesvis følger en ret linje. Der findes forskellige metoder
til at bestemme denne rette linje. De følgende opgaver belyser, hvordan nogle af disse giver bedre
resultat end andre. En fremgangsmåde er at udvælge to punkter og bestemme ligningen for den rette
linje gennem dem. Den rette linje gennem datapunkterne (2005;7540) og (2007;8638) har ligningen y
= l(t). Den rette linje gennem punkterne (2008;9441) og (2010;11216) har ligningen y = m(t).
g) Bestem forskrifterne for l og m.
Maple gør det ligetil at finde forskrifterne. Alternativt anvendes formlerne for stigningstal og den
rette linies ligning.
point A, 2005, 7540 : point B, 2007, 8638 :
Equation line l, A, B
2186410 K1098 t C2 y = 0
(2.7.1)
isolate for y
y = K1093205 C549 t
(2.7.2)
l t d 549 t K1093205 :
point C, 2008, 9441 : point D, 2010, 11216 :
Equation line m, C, D
3545318 K1775 t C2 y = 0
(2.7.3)
isolate for y
y = K1772659 C
m t d
1775
t
2
(2.7.4)
1775
t K1772659 :
2
En anden metode er regression, hvor alle punkter tages i betragtning
h) Bestem en lineær model n(t) ved hjælp af regression, der
beskriver ovenstående udvikling.
Se delspørgsmål f.
n t d LinReg X, Y, t :
n t = 753.714285714371 t K1.50385742857160 106
at 5 digits
753.71 t K1.5039 106
2
Forklaringsgrad R = 0.986859605693726
i) Forudsig medlemstallet i 2012 ved hjælp af l(t), m(t) og n(t) og
kommenter resultatet.
plot l t , m t , n t , t = 2000 ..2020
20000
18000
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
2005
2010
t
2015
2020
l 2012 = 11383
m 2012 = 12991
n 2012 = 12615.7142857146
Den lineære regressionsmodel vil, alt andet lige, være den mest korrekte fremstilling af de givne
data.
Billedet til højre viser en vandskål.
Vandskålen har form som en keglestub.
Figur 3 viser en perspektivtegning af keglestubben. Keglestubben er fremstillet af en tynd plade, og
den udfoldede keglestub (uden bund) er vist som det gråtonede område på figur 4. Alle mål er i
centimeter.
h d 10 : R d 11 : v = 19.84
r d'r':
j) Bestem hvor meget vand vandskålen kan rumme.
Volumen af en keglestub er givet ved:
Vd
1
$h$π$ R2 Cr2 CR$r :
3
Hvor r er radius af vandskålens bund.
Af figuren ser vi at
R Kr
Tan v =
h
isolate for r
r = 7.391890278
r d 7.391890278 :
Altså er
V = 856.5027833 π
at 5 digits
2690.8 cm3 :
k) Bestem kordelængden k og sidelængden S af hele keglen.
S bestemmes udfra trekantsrelationen:
Sd
R
Sin v
= 32.41064200
Da cirklerne i den rummelige figur, bliver til cirkelbuerne på den plane udfoldning gælder:
u d'u':
2$π$R
360
=
:
u
2$π$r
u d 122.1820907 :
Kordelængden er da givet ved:
k d 2$S$Sin
u
2
= 56.74383802
Hunden skal balancere på en vippe. Der ses nu på, hvilke kræfter benene på vippen er belastet af, når
hunden går på den. Situationen er vist på figur 5.
Figur 5
F3 = 120 :
w = 61.54
l) Bestem
og
.
Figuren er misvisende ift. kræfternes faktiske størrelser.
(2.12.1)
Da der er ligevægt gælder at
F1 CF2 CF3 = 0 : F1 = F2 :
(2.12.2)
F1 $Sin w C F2 $Sin w = F1 $2$ Sin w = F3 = 120 :
i
120
F1 =
= F1 = 68.24773788
2$Sin w
Ved en af forhindringerne skal hunden springe. Springet følger grafen for et polynomium p . Ved at
klikke på nedenstående link afspilles en film af springet. Når filmen er afspillet, vises hundens spring
indlagt i et koordinatsystem. Ved at klikke på hunden vises et koordinatsæt for den pågældende
position. Målene er i centimeter.
Følg linket til filmen af hunden som springer over forhindringen.
Ved at vælge ”Nyt punkt” i programmet kan du afsætte punkter, som du så får koordinaterne til.
m) Aflæs et passende antal punkter og indskriv dem i en tabel.
X d'X': Y d'Y':
X d 11.28, 24.54, 48.37, 76.47, 96.48, 112.44, 132.38, 166.85 :
Y d 13.45, 26.21, 39.96, 51.98, 52.47, 50.02, 38.73, 7.07 :
plot X, Y
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
n) Bestem en funktionsforskrift p.
p x d PolyReg X, Y, 2, x :
p x = K0.00704092267811425 x2 C1.22277674396445 x K0.130737147992420
plot p x , x = 0 ..200
50
40
30
20
10
0
50
100
x
150
200
K10
K20
K30
o) Benyt funktionsforskriften for p til at bestemme, hvor højt hunden
springer.
isolate for x
p' x = 0
x = 86.8335586020057
p 86.8335 = 52.9582908808470
p) Benyt funktionsforskriften for p til at bestemme, hvor langt
hunden springer.
p x =0
solve for x
x = 0.1069841541 , x = 173.5601330
select entry 2
x = 173.5601330
Agilitybanen er afgrænset af en jordvold til den ene side. Jordvoldens tværsnit er indlagt i et
koordinatsystem se figur 6. Jordvoldens tværsnit kan beskrives ved funktionen j.
Alle mål er i meter.
Punkterne A og B er givet ved: A(1;j(1)) og B(3,j(3))
q) Bestem konstanterne a, b, c og d således, at funktionen j bliver
kontinuert og differentiabel i punkterne A og B.
Vi skal sikre at j'(x) er kontinuerte i A og B.
a d'a': b d'b': c d'c': d d'd':
j d piecewise x1 % x ! 1, a$x Cb, 1 % x % 3, K0.65 $x2 C2.45$x K0.3, 3 ! x % x2 , c$x
Cd
a x Cb
x1 % x and x ! 1
K0.65 x2 C2.45 x K0.3
1 % x and x % 3
c x Cd
3 ! x and x % x2
(2.17.1)
Maple har problemer med efterfølgende at diffentiere og analysere j. Derfor er lidt manuelt
arbejde nødvendig.
j1 x d a$x Cb :
j2
j3
j1
j2
j2
j3
x
x
1
1
3
3
dK0.65 x2 C2.45 x K0.3 :
d c$x Cd :
= a Cb
= 1.50
= 1.20
= 3 c Cd
j1 ' x = a
j2 ' x = K1.30 x C2.45
j3 ' x = c
Punkt A(1, j(1)) = A(1, 1.50) og B(3, j(3)) = B(3, 1.20)
Kontinuitet og differentiabilitet i A og B:
a d'a': b d'b': c d'c': d d'd':
solve
a Cb = 1.50, 1.20 = 3$c Cd, a = K1.30$1 C2.45,K1.30$3 C2.45 = c , a, b, c, d
a = 1.150000000, b = 0.3500000000, c = K1.450000000, d = 5.550000000
(2.17.2)
a d 1.15 : b d 0.35 : c dK1.45 : d d 5.55 :
Vi har derfor funktionsforskriften:
j x
1.15 x C0.35
x1 % x and x ! 1
K0.65 x2 C2.45 x K0.3
1 % x and x % 3
K1.45 x C5.55
3 ! x and x % x2
Jordvolden er 20 m lang.
r) Bestem jordvoldens volumen.
l d 20 :
j1 x
j3 x
solutions for x
solutions for x
K0.3043478261
3.827586207
x1 dK0.3043478261 :
x2 d 3.827586207 :
1
Ad
3
x
2
j1 x dx C j2 x dx C
x
1
1
V d A$l = 100.8295852
j3 x dx = 5.041479261
3
x
(2.17.3)
Opgave 2
Du skal designe en transportkasse, som deltagerne i et agilitystævne kan lade deres hund hvile i, når
den ikke er på banen. Du kan evt. tage udgangspunkt i nedenstående billeder.
Du skal tegne og matematisk beskrive transportkassen. Du kan bl.a. anvende geometri, analytisk
geometri, vektorregning, differentialregning og integralregning.