Hjemmeopgavesæt 2

HJEMMEOPGAVESÆT 2
1
Hjemmeopgavesæt 2
Lineære ligningssystemer
NB: I vurderingen af dette sæt vil der blive lagt særlig vægt på at du kan
• gå fra et ligningssystem til dets koefficient- og totalmatrix
• anvende rækkeoperationer til GaussJordan-elimination
• gå fra en reduceret totalmatrix til standard parameterform for løsningsmængden
• udnytte matricers rang ved løsning af lineære ligningssystemer
• fortolke lineære ligningssystemer geometrisk
• benytte Maple til illustrerende plots
• udregne determinanter ved opløsningsmetoden
• løse matrixligninger ved forskellige metoder, herunder invers matrix og Cramers formel
• skrive sammenhængende og præcist og kan udføre simple matematiske ræsonnementer
Deadline for upload: søndag 18. oktober kl. 24:00. Husk det skal være i pdf og med navn og
studienummer øverst på side 1.
Opgave 1
I et sædvanligt retvinklet ( x, y, z)-koordinatsystem er fire planer α1 , α2 , α3 og α4 givet
ved ligningerne:
α1 : − x + 2y + 2z = 6
α2 :
2x − y − z = 0
(1)
α3 :
4x − y − 7z = −2
α4 :
− x − y + 8z = 3
a) Vis at de fire planer α1 , α2 , α3 og α4 har netop ét punkt tilfælles. Forklar resultatet
hvor begreber som rangen af totalmatricen og koefficientmatricen tages i betragtning.
b) Ligningen for α1 erstattes nu med 2x − y − z = 2, mens de øvrige ligninger bevares uændret. Løs det nye ligningssystem. Forklar resultatet i lyset af ρ(T) og
ρ (A) .
Opgavesættet fortsætter 7−→
HJEMMEOPGAVESÆT 2
2
c) Ligningen for α1 erstattes nu med x − y + 2z = 1, mens de øvrige ligninger bevares uændret. Samme spørgsmål som i b).
d) Brug plots-pakken i Maple ved at skrive kommandoen
> with(plots):
samt plotte-kommandoen implicitplot3d til at illustrere alle tilfældene ovenfor.
Skriv eventuelt kommandoen
> ?implicitplot3d
i Maple for at få hjælp til at bruge plotte-kommandoen.
Klik på plottet, så kan du vende og dreje billedet, således at den ønskede løsningsmængde ses tydeligt.
Opgave 2
Et homogent lineært ligningssystem er givet ved
x1 + x2 = 0
a · x2 + x3 = 0
(2)
2 · x1 + x2 + a · x3 = 0
hvor a ∈ C . Lad A betegne ligningssystemets koefficientmatrix og T dets totalmatrix.
a) Find determinanten af A , og angiv de værdier af a , for hvilke A er regulær.
b) Bestem for enhver værdi af a trappematricen trap(T) ved hjælp af rækkeoperationer.
c) Opstil for enhver værdi af a samtlige komplekse løsninger for ligningssystemet.
Opgave 3
En kvadratisk matrix og en vektor er givet ved

 
2 −1 −1
0
1
2
 
3
2 −1 
 og b =  0  .
M =
 0 −1 −1

0
1
1
2
1
1
0

Afprøv forskellige metoder til at løse matrix-vektorligningen Mx = b .
Opgavesættet er slut