OBLIGATIONSINVESTERING

Transcription

HD Finansiering
Afhandling
8. semester
OBLIGATIONSINVESTERING
Med fokus på horisontafkast, porteføljesammensætning og afdækning af
renterisiko
Udarbejdet af:
Mogens Helleman Pedersen
Studie nr.: 201203906
Vejleder:
Claus Juhl
AARHUS UNIVERSITET, 2014
Studienummer 201203906
Afhandling, HD Finansiering
Aarhus Universitet, 2014
Indhold
1.
Executive summary ............................................................................................................... 3
2.
Indledning ............................................................................................................................. 7
3.
Problemformulering. ............................................................................................................. 8
4.
Metodevalg ............................................................................................................................ 9
5.
Afgrænsning ........................................................................................................................ 10
6.
Strukturering af afhandlingen.............................................................................................. 12
7.
Kildekritik ........................................................................................................................... 13
8.
Etablering af benchmark og investeringsunivers ................................................................ 13
9.
Værdansættelse af obligationer ........................................................................................... 14
9.1.
Nulkuponobligationer.................................................................................................. 15
9.2.
Estimering af nulkuponkurve ...................................................................................... 16
9.3.
Nelson Siegel Svensson modellen............................................................................... 16
9.3.1.
Beregning af nulkuponrentekurve ....................................................................... 18
9.3.2.
Test af nulkuponrentestrukturen .......................................................................... 20
9.3.3.
Kritik af Nelson-Siegel-Svensson modellen ....................................................... 21
10. Rentestruktur ....................................................................................................................... 22
10.1.
Forventningshypotesen............................................................................................ 22
10.2.
Likviditetspræferencehypotesen .............................................................................. 23
10.3.
Markedssegmenteringshypotesen /Preferred Habitats ............................................ 24
11. Risiko på obligationer ......................................................................................................... 24
11.1.
11.1.1.
Fisher-Weil varigheden som risikomål ................................................................... 25
Base Point Value og Kronevarighed ................................................................... 27
11.2.
Fisher-Weil konveksiteten....................................................................................... 27
11.3.
Beregninger af Fisher-Weil varighed og konveksitet .............................................. 28
11.3.1.
11.4.
Taylors 2-ordens approksimation ........................................................................ 29
Test af risikomål ...................................................................................................... 30
12. Horisontafkast ..................................................................................................................... 31
12.1.
Forudsætninger for horisontafkastet ........................................................................ 32
12.2.
Følsomhed på horisontafkastet på obligationerne ................................................... 34
Side 1 af 77
Vejleder
Claus Juhl
13. Porteføljesammensætning ................................................................................................... 36
13.1.
Forudsætninger for beregning af den optimale portefølje ....................................... 38
13.2.
Varighed og konveksitet på porteføljen .................................................................. 39
13.2.1.
Test af varighedsforudsætning i beregningen...................................................... 41
13.3.1.
Rebalancering af porteføljen ............................................................................... 44
14. Afdækning af renterisiko på obligationsporteføljen ............................................................ 45
Renterisiko .............................................................................................................. 46
14.1.
15. Renteswap ........................................................................................................................... 47
Risici ved anvendelse af renteswaps ....................................................................... 49
15.1.
16. Prisfastsættelse af renteswap ............................................................................................... 50
Prisfastsættelse af renteswappen med obligationsmetoden ..................................... 52
16.1.
16.1.1.
Værdiansættelse af det variable ben .................................................................... 53
16.1.2.
Værdiansættelse af det fastforrentede ben........................................................... 54
17. Forwardrentemetoden.......................................................................................................... 56
Værdiansættelse med FRA metoden ....................................................................... 56
17.1.
17.1.1.
17.2.
18.
Test af fowardrenten............................................................................................ 57
Fastsættelse af det faste ben med FRA metoden ..................................................... 58
Sammenligning af obligationsmetoden og FRA metoden .......................................... 59
19. Afdækning af renterisikoen på obligationsporteføljen ........................................................ 60
19.1.
Etablering af optimalt hedge ................................................................................... 62
20. Konklusion .......................................................................................................................... 66
21. Kildefortegnelse .................................................................................................................. 70
Bilag 1. Nulkuponrente beregning .............................................................................................. 71
Bilag 2: Nulkuponrenter, test af obligationspris, beregning af risikomål ................................... 72
Bilag 3: Beregninger test af risikomål ......................................................................................... 73
Bilag 4: Nulkuponrente horisonttid + beregning vedhængende rente ......................................... 74
Bilag 5: Beregning af korrelation mellem obligationerne ........................................................... 75
Bilag 6: Følsomhedsberegninger renteswap................................................................................ 76
Bilag 7: Beregning af obligationskurser til følsomhed på swap.................................................. 77
Side 2 af 77
Vejleder
Claus Juhl
1. Executive summary
Over the last couple of years the interest level has fell to a historically low level. For a
bond investor, it has had a positive effect on the value on their bonds. But the historically low level on the interest rates raises some questions for the bond owners. Is the current interest level at the bottom. Will it stay there or are we looking into a future with a
growing interest level.
In this analysis there will be established a method to evaluate an expected yield on
bonds, when the investment horizon is shorter than the maturity on the bonds and a
portfolio of bonds. The results will be measured against a risk free benchmark. The investment horizon is 2,668 years and the benchmark is a Danish government bond with a
2,5% coupon and maturity 2016.11.15. The yield to maturity on this bond is 0,19% and
will be the benchmark for this analysis.
There will also be established a plain vanilla interest swap to eliminated the risk on the
value of the portfolio of bonds that is created in the analysis.
The investment universe for this analysis is tree Danish mortgaged bond, BRF 2%
10.01.2017, NYK 04.01.2019 and NYK 01.01.2021.
All results in this analysis have been tested in different sensitive scenarios, where worst
case is a scenario where there is a parallel shift in the zero rates curve with +50 basis
points. This sensitivity test is estimated to hold most of the possible scenarios in the
future level of the interest rates. All assumptions in this analysis have been tested and
the validity of the assumptions is found good enough.
The first and also most important issue in this analysis is the estimating of the zero rates
curve. This curve is used to estimate the current value of the bond and also the value on
the maturity of the investment horizon. The zero rates curve is also used in pricing the
interest rate swap. The estimated zero rates curve will be used as the fundament for all
the sensitivity analyses in this thesis. The zero rates curve are estimated by using the
Nelson-Siegel-Svensson formula. Six parameters is estimated by fitting the formula to a
interest swap curve from the 17.03.2014.
Side 3 af 77
Vejleder
Claus Juhl
To measure the risk on the bonds in this analysis the duration and convexity is used.
Duration on a bond can be used as an expression of the average time before the bond
owner will have received his investment amount back. It also gives an approximately
value on the percentage change in the bond value, when the interest level is changing.
Duration is also an expression for the time in years before the bond is independent from
changes in the interest level. For this analysis the Fisher-Weil interpretation of the duration and convexity on bonds is used. That means that they are calculated with the rates
from the zero rates curve. It means that there is an assumption on proportional shift in
the curve. Therefore the expression is more exact then duration and convexity calculated on the bonds current yield.
In this analysis all the bonds are bullet loans with only one annually payment. That
means that the expected duration is close to the maturity on the bonds. The BRF 2017
bond have a duration on 2,7 with an convexity on 10,4. The NYK 2019 bond have a
duration on 4,6 with an convexity on 26,3. And NYK 2021 bond have a duration on 6,4
with an convexity on 48,9. In a test of the convexity’s meaning for the risk on the bonds
was that meaning determinate to be of less importance and in the rest of the analysis
only duration and the base point value (BPV) will be used.
To have a foundation to compare the alternative investment possibilities to the benchmark there have been established a method to estimate the expected yield on the bonds
on the 15.11.2016. The basic assumption is that we will buy the bonds on 17.03.2014
and sell them again on the 15.11.2016. The zero interest rates are used to estimate a
present value on the bonds and a future value on the 15.11.2016. The future value is the
value of all cash flows on the bonds that are discounted to present value and forward
discounted to a future value using the zero interest rates curve. The accrued interest on
both the 17.03.2014 and the 15.11.2016 is calculated and added to two values. The reinvestment of the coupons in the period between the 17.03.2014 and the 15.11.2016 is
added to the future value. The reinvestment rates used in this analysis is the forward
rates for the reinvestment periods.
In an estimation of the horizontal yield on the bonds I this analysis, all bonds have a
better yield then benchmark. BRF 2017 is 1,28%, NYK 2019 is 1,35% and NYK 2021
is 1,54%. In the sensitivity test, where there was made a parallel shift in the zero rates
Side 4 af 77
Vejleder
Claus Juhl
curve at + 50 basis points, the yield on the BRF 2017 is 1,27%, NYK 2019 is 1,01% and
NYK 2021 is 0,87%. The conclusion is that all bonds give a significant better yield
then benchmark.
The investment sum of DKK 10 m. can therefore be placed in any of the bond, and give
a better yield. But by creating a portfolio of the bonds it was determined that a portfolio
of 65,8% of BRF 2017 and 34,2% of NYK 2021, will give a yield on 1,37% when the
maximum Fisher-Weil duration is set to be 4. The duration of the portfolio is roughly
1,4 year more than the maturity of benchmark. That I accepted because of the yield on
the bonds is considered as strong compered to benchmark.
The conclusion is that in the present interest marked an investment in the alternative
bonds will give a significant better pay off then the benchmark, when the time period I
set to approximately 2,6 years. The yield is considered so strong, that it is recommended
to take a higher risk on the portfolio, measured as Fisher-Weil duration.
But there is a risk that the value of the investment will be challenged if the interest rates
rise to a higher level. To protect the value there will be established a method to eliminate that risk. By using a plain vanilla interest swap the value of the portfolio of bond
can be neutralized.
There are some operational and counterpart risks, that has to be taken in consideration
before making a swap agreement. Swap are typically traded Over-The-Counter and
therefore not a standardized product. The most important items are securities and an
stop loss agreement if the negative value reach a definite level.
The interest swap starts with a theoretical value at zero and because it can be compared
to a bond it will also have a marked value of zero at maturity. But between these two
time points, it will be exposed to changes in the interest level. The sensitivity on the
swap will be lower as the swap gets closer to maturity and the payment on the swap
mature. That means that a swap with a longer time to maturity and with more future
payments will be more sensitive to changes.
In this analysis the investor will pay a fix rate payment and receive a floating rate payment. The floating is set to be the Danish CIBOR 12 interest. The fixed rate is calculat-
Side 5 af 77
Vejleder
Claus Juhl
ed by using 2 methods. The bond method and the FRA method is both used to calculate
the fixed rate when the value on contract is zero at the agreement time. Both methods
are using a zero rates curve estimated using the Nelson-Siegel-Svensson parameters.
The result of both methods is a fixed rate on approximately 1,05%, which gives a market value at zero on the agreement time. The BPV on the portfolio is 0,0393 and the
BPV on the interest swap is 0,0389. On that background the hedge ratio is estimated to
be 1,009, which gives a principal on the swap of 10.094.439,77 Dkr.
The value of the interest swap is tested against the value of the portfolio of bonds established earlier. The value is tested in four different scenarios, where there is estimated a
parallel shift in the zero rates curve with +- 1 basic point af +- 50 basis point. The test
result is that in all scenarios the value of the interest swap will have a positive value
equal to the loss on the portfolio when the interest rates level is rising. When the interest
level is falling the value will have a negative value equal to the gain on the portfolio.
There is a tendency to a bigger difference in the values, when the change is 50 basis
points. That’s because the convexity on the swap and the portfolio is slightly different.
It is a small difference compared to the investment sum and the conclusion is that the
uses of an interest swap to eliminate the interest risk on a portfolio are good option.
Side 6 af 77
Vejleder
Claus Juhl
2. Indledning
Når man ser på det danske marked for obligationer, har det generelt været et godt marked for investorerne de senere år. Dette skyldes primært en periode med faldende renter
og deraf følgende kursstigninger. 1 De danske renter er faldet til et meget lavt niveau og
det er et spørgsmål om de ikke har nået bunden. Den store uro på finansmarkederne har
siden starten af finanskrisen drevet mange investorer mod specielt danske statsobligationer og presset kurserne op og dermed renterne ned.2 Da danske realkreditobligationer
også kan betragtes som en relativ sikker investering er de også blevet påvirket af denne
tendens. Generelt er danske stats- og realobligationer blevet betragtet som en ”sikker
havn”, hvilket har givet en stigende efterspørgsel efter disse obligationstyper.
Med et historisk lavt renteniveau, hvor korte danske statsobligationer i perioder har været handlet på negativt rente, er det svært at forstille sig, at der fremadrettet vil kunne
hentes flere kursgevinster på den konto. Rente på en 10-årige dansk statsobligation
handles på et niveau omkring 1,5 %.3 Derfor må det forventes, at det absolutte afkast på
obligationer fremadrettet skal komme fra kuponbetalingerne. Kuponrenterne er meget
lave og vil derfor ikke kunne generere et afkast, hvor der er plads til ret meget risiko.
De meget lave afkast kan også have den konsekvens, at en del investorer vil søge væk
fra danske obligationer. Dette vil medføre en faldende efterspørgsel i forhold til udbuddet. Konsekvensen vil være stigende renter og fald i kursværdierne. Denne risiko for
stigende danske renter er noget som obligationsinvestorerne skal forholde sig til, hvis de
af den ene eller anden grund bliver i obligationsmarkedet.
1
Kilde: www.Finanswatch.dk, Nordea: Værste obligationsafkast i dette årtusinde, 12.12.2013
Kilde: Børsen, 10-årig dansk rente i laveste niveau i ni måneder, 19.02.2014
3
Kilde: www.epn.dk , Renten satte årsbund, 15.04.2014
2
Side 7 af 77
Vejleder
Claus Juhl
3. Problemformulering.
Med udgangspunkt i de udfordringer der blev skitseret i indledningen til denne analyse,
er hovedområdet med analysen, at undersøge mulighederne for at skabe et afkast der
overstiger det risikofrie afkast for en investeringshorisont på maksimalt 3 år. Derudover
ønskes et bud på en afdækning af den renterisiko, på en portefølje af obligationer, i et
marked hvor der er forventning om stigende renteniveau.
I afhandlingen er følgende hovedproblemstillinger opstillet.

Hvordan kan afkastet på en obligation eller portefølje af obligationer synliggøres
ud fra en given investeringshorisont og risikovillighed, så det direkte kan sammenlignes med et benchmark.

Hvordan kan renterisikoen på en portefølje af obligationer afdækkes ved brug af
rentederivater.
For at besvare overstående problemstillinger, er der opstillet nedenstående undersøgelsespunkter. Ud over at besvare problemstillingerne er undersøgelsespunkterne opstillet
for at holde en god struktur på besvarelsen af problemstillingerne.
Undersøgelsesspørgsmål:

Hvordan udledes nulkuponrenterne til værdiansættelse af obligationer og rentederivater
Dette spørgsmål er helt centralt i analysen, da nulkuponrentestrukturen danner grundlag
for prissætning af både obligationerne og de anvendte rentederivater i analysen. Under
dette punkt, vil teorierne omkring rentedannelse ligeledes blive belyst.

Hvordan kan risikoen på en obligation og en portefølje af obligationer estimeres.
Dette spørgsmål skal afdække den risiko, som investor påtager sig ved, at investere i
obligationer, hvor strategien ikke er hold til udløb. Derudover anvendes risikomålene i
forbindelse med risikoafdækningen. Her danner de grundlag for en afdæknings strategi.

Hvordan beregnes den optimale portefølje af obligationer, med udgangspunkt i
en given tid og given risiko.
Side 8 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Formålet med spørgsmålet er, at få etableret en portefølje der giver det bedst mulige
afkast ud fra en given tidshorisont og med en given risiko.

Hvordan kan et rentederivat anvendes til afdækning af renterisikoen på en portefølje af obligationer.
Dette undersøgelsesspørgsmål skal afdække, hvordan det valgte afdæknings instrumenter prissættes og hvordan et optimalt hedge af renterisikoen kan etableres. Udgangspunktet vil være den portefølje af obligationer, som blev etableret tidligere i analysen.

Hvilke konsekvenser har ændringer i rentestrukturen for en obligationsportefølje
og en risikoafdækning af renterisikoen på porteføljen.
Dette spørgsmål er også helt centralt for analysen. Der vil på alle ovenstående spørgsmål blive foretaget følsomhedsanalyser. Formålet er, at få belyst de risici der er ved
investering i obligationer ud fra en horisont betragtning og ligeledes konsekvenserne
ved en afdækning af renterisikoen på porteføljen af obligationer.
4. Metodevalg
Afhandlingen har udgangspunkt i de undersøgelsesspørgsmål der er opstillet i problemformuleringen. Gennem analysen vil de anvendte teorier blive præsenteret og beskrevet.
Der vil i analysen være fokus på udledning af en nulkuponrentestruktur, som kan anvendes til prissætning af obligationer og rentederivater.
Med udgangspunkt i prissætningen af obligationerne, vil sammensætningen af den optimale portefølje blive etableret. Denne portefølje sammensætning vil blive etableret på
baggrund af de forventede horisontafkast og varigheder på de enkelte obligationer.
Der vil i analysen løbende blive foretaget følsomhedsanalyser på resultaterne. Opstillede forudsætninger testes, hvor dette vurderes relevant.
Med baggrund i analysens omfang er det valgt, at begrænse antallet af metoder til risikoafdækning af obligationsporteføljen.
Til beregning og vurdering af metoder til afdækning af risikoen på obligationsporteføljen er følgende tilgang/metode valgt.
Side 9 af 77
Vejleder
Claus Juhl

Anvendelse af renteswap
I analyse vil de væsentligste risici ved anvendelse af renteswaps blive belyst. Prissætningen af en renteswap vil også blive gennemgået i denne del af analysen.
Ændringer i rentestrukturen vil blive analyseret for betydningen og konsekvens ved:

Værdien, risikoen og afkastet på obligationsporteføljen og de enkelte obligationer analyseres ud fra den givne tidshorisont.

Konsekvenser for værdien af kundens investeringsbeløb, ved en risikoafdækning
af porteføljen, med den anvendte risikoafdækningsmetode
5. Afgrænsning
Afhandlingen vil have sit omdrejningspunkt omkring muligheden for at synliggøre det
forventede afkast på en obligationsportefølje, hvor strategien ikke er hold til udløb. Det
vil sige, at der investeres i obligationer med en løbetid der overstiger benchmark obligationens løbetid.
Der vil blive etableret et benchmark og et obligationsunivers, som vil være gennemgående i hele afhandlingen. Konklusionerne i analysen vil være på baggrund, af dette investeringsunivers. Der vil ikke være delkonklusioner i afhandlingen.
Der vil i afhandlingen blive etableret en optimal portefølje på baggrund af forventet
afkast og risiko. På baggrund af denne portefølje vil der blive etableret en plain vanilla
renteswap, som metode til afdækning af renterisikoen på porteføljen.
I analyserne vil de skattemæssige aspekter ikke blive behandlet. Transaktionsomkostninger i forbindelse med handel med obligationer og indgåelse af renteswapaftale, vil
ikke blive medtaget.
Gennem hele afhandlingen vil der kun blive regnet med rentekonventionen, faktisk/faktisk.
Investor vil blive betragtet efter finanstilsynets fortolkning af en detailkunde og investeringsbeløbet er sat til DKK 10 mio.
Side 10 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Til udledning af nulkuponrentestruktur anvendes kun Nelson-Siegel-Svensson modellen. Der findes flere andre metoder til udledning af nulkuponrente struktur, men der vil
ikke blive anvendt andre metoder til udledning af nulkuponrenter i denne afhandling.
I forbindelse med følsomhedsanalyser på obligationerne i afhandlingen, vil der kun blive foretaget beregninger på et stigende renteniveau. Begrundelsen er, at faldende renteniveau vil give et øget afkast til investor set i forhold til det afkast som fremkommer i
analyserne. Dette betragtes ikke som en risiko for investor i denne analyse.
I følsomhedsberegningerne på risikoafdækningen, vil der blive foretaget analyser på
både stigende og faldende renteniveau. Begrundelsen er, at alle tre senarier kan få negative økonomiske konsekvenser for investor.
Analysen vil ikke forholde sig til de likviditetsmæssige konsekvenser, som etablering af
en renteswap vil have for kunden og det forventede afkast på den samlede investering.
Der vil løbende gennem afhandlingen blive opstillet forudsætninger og antagelser, hvor
det vurderes relevant.
Side 11 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
6. Strukturering af afhandlingen
Værdiansættelse af obligationer
generelt
Nelson-Siegel-Svensson metoden
Udledning/beregning af nulkupon
rentestruktur
Prissætning af obligationerne
Fisher Weil Varighed og
konveksitet
Risikomål på obligationer
Base Point Value
Horisontafkast metoden
Etablering og risikomål på
porteføljen
Plain Vanilla Renteswap
Risikoafdækning af renterisiko
Risci ved anvendelse af
renteswaps
Beregning af risikomål og
optimal hedge
Konklusion
Afhandlingen indledes med etablering af benchmark og investeringsunivers for analysen. Herefter en generel betragtning af prissætning og afkast på obligationer.
Dernæst beskrives Nelson Siegel Svensson metoden til udledning af nulkuponrenter.
Med denne metode udledes en nulkuponstruktur, som anvendes gennem hele analysen.
På baggrund af i prissætningen af obligationerne i analysen, beregnes risikomål og horisontafkastet på de enkelte obligationer. Disse risikomål og horisontafkast danner grundlag for etablering af den portefølje, der giver den bedste afkast ud fra en given horisont
og en given risiko.
Side 12 af 77
Herefter præsenteres en metode til afdækningen af renterisiko på porteføljen af obligationer. Herunder generelle risici, prissætning og beregning af risikomål på rentederivatet.
Dernæst vil der blive beregnet et optimalt hedge, som scenarie testes .
Struktureringen af analysen er opbygget med det formål, at skabe en tråd gennem afhandlingen. Denne tråd vil sikre, at der kan konkluderes på hovedproblemstillingen i
afhandlingen.
7. Kildekritik
Alt data i denne afhandling er indhentet fra offentlige kilder. Disse kilder tæller blandt
andet NASDAQ OMX børsen, Finanstilsynet, Finansrådet, Danmarks National Bank og
arbejdsgruppe under EU kommissionen. Disse kilder anses som værende troværdige
kilder. Al litteratur som anvendes i afhandlingen er udarbejdet af anerkendte forfattere.
En stor del af denne litteratur indgår som undervisningsmateriale på HD Finansiering
studiet.
Der vil løbende gennem afhandlingen blive refereret til kilderne i fodnoter eller direkte i
teksten. Der vil blive påført kilde på alle tabeller og figurer i afhandlingen, der ikke er
fremkommet ved egen tilvirkning. Det vil sige, at hvis der ikke er påført en kilde på en
tabel eller figur er denne fremkommet ved egen tilvirkning. Beregningsmodellerne er
vedlagt på USB stick.
8. Etablering af benchmark og investeringsunivers
Som benchmark i analysen er der valgt en dansk statsobligation, med specifikationerne
som er vist i tabel 8.1
Tabel 8.1 Specifikationer på benchmark obligation
DGB 2,5% 15-11-2016
ISIN
Udsteder
Lukkekurs den 17.03.2014
Kup onrente
DK0009922759
Danmarks Nationalbank
105,94
2,500%
Kup ondato
15-nov
Udløbsdato
15.11-2016
Obligationsty p e
Nominal bond
Konverterbarhed
Inkonverterbar
Ammortisering
Effektiv rente den 17.03.2014
Stående
0,19%
Side 13 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Der er valgt en dansk statsobligation, da rente på disse generelt bliver betragtet som et
udtryk for den risikofrie rente og dermed det risikofrie afkast. DGB 2,5% 15-11-2016 er
valgt, idet løbetiden er på niveau med den horisont som er fastsat til analysen. Forudsætningen for anvendelsen er, at obligationen købes den 17.03.2014 og holdes til udløb.
Dermed kan obligationens effektive rente anvendes som benchmark afkast i analysen.
Tabel 8.2 Investeringsunivers for analysen
BRF 2% 10-01-2017
ISIN
Udsteder
NYK 2% 04-01-2019 NYK 2% 01-01-2021
DK02009374951
DK0009793762
DK0009792608
BRF Kredit A/S Nykredit Realkredit A/S Nykredit Realkredit A/S
Lukkekurs den 17.03.2014
Kuponrente
103,70
103,90
102,40
2,000%
2,000%
2,000%
Kupondato
10-jan
04-jan
01-jan
Udløbsdato
10.01.2017
01.04.2019
01.01.2021
Obligationstype
SDO
SDO
SDO
Konverterbarhed
Inkonverterbar
Inkonverterbar
Inkonverterbar
Stående
Stående
Stående
0,73%
1,20%
1,61%
Ammortisering
Effektiv rente den 17.03.2014
Disse tre obligationer er valgt med baggrund i, at profilen ligner den profil der er på
benchmark obligationen. Ligesom benchmark har de tre obligationer en stående amortisering, med en årlig kuponbetaling. Derudover vurderes en dansk realkreditobligation
som værende tilnærmelsesvis risikofri.
Dermed opfyldes en væsentlig forudsætning om, at de alternative investeringsmuligheder er tilnærmelsesvis sammenlignelige med benchmarket.4
9. Værdiansættelse af obligationer
Værdien af en obligation er et udtryk for den nutidsværdi, som af alle de fremtidige betalinger på obligationen har.
Et meget anvendt mål for afkastet på en obligation er den effektive rente på obligationen. Den effektive rente udtrykker det afkast man som køber af en obligation får, såfremt man holder obligationen til udløb. Det vil sige en gennemsnitsrente for alle de
betalinger som er på obligationen.
4
Michael Christensen, Obligations investering (2009: side 145)
Side 14 af 77
En forudsætning for denne betragtning er, at den fremtidige rentestruktur er flad. Denne
betragtning giver blandt andet nedenstående udfordringer, hvis den skal anvendes til
sammenligning med andre obligationer.

En betaling der modtages om 1 år har samme værdi som en betaling der modtages om 10 år.

At den effektive rente kun gælder for betalingerne på den enkelte obligation og
kan kun anvendes til sammenligning med andre obligationer med nøjagtig sammen løbetid og kuponbetaling.

At alle betalinger på obligationen kan geninvesteres til samme rente.
Da dette meget sjældent er tilfældet eller anvendeligt, er der behov for en anden mere
realistisk måde, at anskue og beregne prisen på en obligation.
9.1.
Nulkuponobligationer
En nulkupon obligation er en finansiel fordring der kun har en enkelt betaling. Denne
betaling forfalder ved udløb på obligationen og der er ingen kuponrente på obligationen.
Afkastet består derfor udelukkende af den kursgevinst der måtte være på obligationen
ved udløb. Derfor kan afkastet på nulkupon obligationen betragtes som en unik rente på
netop det tidspunkt, hvor obligationen har udløb. Denne nulkuponrenten er ens for alle
betalinger der forfalder på samme tidspunkt, uanset hvilket betaling der er tale om.5
Nulkupon rente beregnes som:
Formel 9.1 K0 = yt * (1+nt)^-t => nt = (K0/yt)-1/t-1
Hvor
K0 = Kursen på tidspunkt 0
nt = Nulkuponobligationens rente
yt = Er betalinger der forfalder i tidspunkt t i obligationens løbetid
t = Tidspunkt for betalinger på obligationen
5
Side 15 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Nulkuponrentekurven er meget central, da den kan anvendes til prissætning af obligationer og en lang række finansielle instrumenter.
Da der ikke handles ret mange nulkuponobligationer på det danske marked, kan der ikke
aflæses nogen nulkuponrentestruktur direkte i markedet. De eneste nulkuponobligationer der handles er Skattekammerbeviser. Disse obligationer har typisk en løbetid der er
mindre end 1 år. Da der til denne analyse er behov for nulkuponer med en løbetid udover 1 år, kan disse obligationer ikke anvendes i denne analyse. Det er derfor nødvendigt, at beregne nulkuponstrukturen, syntetisk ud fra kuponbærende obligationer der
handles i markedet eller alternativt ud fra en swaprente kurve.
9.2.
Estimering af nulkuponkurve
En relativ nem måde, at beregne nulkuponrenter på er ved anvendelse af bootstrapping
metoden. Ved denne metode findes en nulkuponrente, som passer præcist til et betalingstidspunkt. Der er dog visse udfordringer ved anvendelse af denne metode til udledning af en nulkuponrentestruktur. Det kræves, at der findes ligeså mange obligationer
med udløb, som der er betalingstidspunkter. Da dette typisk ikke er tilfældet, er der til
denne analyse valgt en anden tilgang til beregning af nulkuponstrukturen.
9.3.
Nelson Siegel Svensson modellen
Brugen af Nelson Sigel (1987) modellen, med en forlængelse af formlen af Svensson
(1994), er udbredt blandt flere centralbanker og andre markedsdeltagere.6
Nelson-Siegel-Svensson modellen bygger på, at en rentekurve kan beskrives som et
funktionsudtryk. Til estimering af rentekurven ud fra Nelson-Siegel-Svensson skal værdien af 6 forskellige parametre beregnes. Disse parametre kan estimeres ud fra blandt
andet observeret markedskurser, priser på kuponbærende obligationer eller swaprenter.
Når de 6 parametre er beregnet, kan der findes en nulkuponrente til et hvert tidspunkt,
blot ved at ændre tid til udløb (T) i funktionen.
Det er vigtigt, at understrege at de beregnede parametre kun er gældende for det tidspunkt som de beregnes på. Sker der ændringer i de markedskurser eller priser der ligger
6
COMISEF, Calibrating the Nelson-Siegel.-Svensson model, (2010)
Side 16 af 77
Vejleder
Claus Juhl
til grund for beregningen, skal der foretages en ny beregning af de parametre der er
gældende for den nye situation.
Nelson-Siegel-Svensson metoden er valgt med baggrund i de ovenstående egenskaber
og at den er anvendt af flere centralbanker. Derudover har obligationerne i analysen
forskellige betalingsdatoer og det er derfor nødvendigt med en model, der relativt nemt
kan beregnes nulkuponrenter til flere tidspunkter.
Nelson- Siegel-Svensson funktionen skrives som:
Formel 9.2
Kilde til formel: COMISEF, Calibrating the Nelson-Siegel.-Svensson model, (2010)
Hvor y(T) er nulkuponrenten for udløbstidspunktet T.
De 6 parametre der skal estimeres er:
Β1, som er uafhængig af tiden og kan betragtes som renteniveauet på lang sigt.
β2, som er en vægtet funktion af tid til udløb og går mod 0 når tiden øges. Derfor har
den kun indflydelse i den korte ende af kurven.
β3, som også er en vægtet funktion af tiden (T). Når T øges stiger beta 3 og falder derefter tilbage mod 0 og giver dermed et bump på kurven.
β4, har samme egenskaber som beta 3.
λ1, er den vægtede funktion af β2 og β3 og definere placeringen af bumpet
λ2, er den vægtede funktion af β3 og β4 og definere også placering af bumpet
De første 3 led i formel 9.2 er den oprindelige Nelson-Siegel model, mens det fjerde led
er tillagt af Svensson. Dermed opnås en nulkuponrentestruktur der har et så glat og kontinuerligt forløb som muligt.
Side 17 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Jævnfør Computational Optimization Methods in Statistics, Econometics and Finance7
(COMISEF) (2010), så er en kalibrering af modellen nødvendig for at den fungerer optimalt. I denne analyse er medtaget nedenstående tre begrænsninger, som er anbefalet i
deres rapport. β1 > 0, β1+β2 > 0 og λ > 0
Som kuponbærende obligation anvendes statsobligationer ofte til beregning af nulkuponrentestruktur. Set i forhold til realkreditobligationer, handles statsobligationer med
et mindre likviditets- og kreditrisiko tillæg8. Hvis statsobligationerne anvendes til beregning af nulkuponrentekurven er det derfor nødvendigt, at beregne et likviditets- og
kreditspænd mellem realkreditobligationerne og statsobligationerne. Dette spænd tillægges nulkuponrenterne, når de skal anvendes som diskonteringskurve, i forbindelsen
med prissætning af realkreditobligationer.
Da det er horisontafkast og risikoafdækning på realkredit obligationer der analyseres,
vil nulkuponrentekurven blive udledt af en swaprentekurve. Swaprentekurven antages,
at indeholde et likviditets- og kredittillæg, der er mere sammenligneligt med realkreditobligationer.
9.3.1. Beregning af nulkuponrentekurve
Nelson-Sigel-Svensson parametrene estimeres i denne analyse på baggrund af en swap
referencerentekurven fra den 17.03.2014. Data er indhentet på Finansrådets hjemmeside
og er et gennemsnit af indberetningerne fra 6 forskellige pengeinstitutter9. Valørdatoen
er sat til den 19.03.2014, da swaprenter typisk afregnes med 2 dages valør. Normalt
anvendes rentekonventionen 30/360 i forbindelse med prissætning af renteswap. Til
beregningerne i denne analyse anvendes dog rentekonventionen faktisk/faktisk. Begrundelsen er, at det er denne rentekonvention der anvendes på handel med obligationerne i analysen.
7
8
9
COMISEF er en arbejdsgruppe, finansieret af EU Kommissionen.
www.nationalbanken.dk / Finansiel styring i Danmarks Nationalbank
Danske Bank, Jyske Bank, Nordea, Nykredit, Sydbank og SEB.
Side 18 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Tabel 9.1 Swapkurve til estimering af nulkuponrentekurve
Tid i år
Swaprentekurve
1,0
2,0
0,006677
3,0
0,008205
4,0
0,010168
5,0
0,012222
6,0
0,014175
7,0
0,016037
8,0
0,017757
9,0
0,019312
10,0
0,020697
11,0
Kilde. www.finansraadet.dk /Tal og statistik
Som tidligere beskrevet estimeres nulkuponrentekurven ved hjælp af Nelson-SiegelSvensson modellen. Beregningen er foretaget ved, at indtaste tilfældige parametre i
formlen. Herefter tilpasses kurven til swap rentekurven i tabel 9.1. Dette gøres ved at
minimere kvadratroden af forskellen mellem swaprentekurven og nulkuponrentekurven,
beregnet med Nelson-Siegel-Svensson formelen. Excel SOLVER er anvendt til beregningen, med de begrænsninger som er anbefalet af COMISEF.
Følgende parametre er estimeret på baggrund af ovenstående metode:
Tabel 9.2 Nelson-Siegel-Svensson parametre
β1
β2
β3
β4
λ1
λ2
0,02
-0,01
-0,10
0,12
3,90
5,42
På baggrund af ovenstående parametre er nulkuponkurven beregnet, se figur 9.1 og bilag 1.
Side 19 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Figur 9.1: Estimeret rentekurver
Som det ses af figur 9.1 er renten stigende gennem hele analyse perioden. Rentestrukturen er relativ flad frem til ca. år 3, hvorefter stigningstakten øges frem til ca. år 7. Herefter begynder den at flade ud igen. Forløbet ses tydeligere i forwardrentekurven.
9.3.2. Test af nulkuponrentestrukturen
Testen af validiteten af nulkuponrentekurven laves med udgangspunkt i hypotesen om
de effektive markeder. Markedsdeltagerne på det danske rente eller obligationsmarked
antages, at have adgang til al historisk og offentlig tilgængelig information på markedet.
Dermed opnås et marked med semi-stærk efficiens og dermed minimal mulighed for at
opnå risikofri arbitragegevinster.10
For at teste om nulkuponrentekurven er valid, beregnes de teoretiske kurser på de obligationer der er valgt i analysen. Der er nulkuponrenter til de forskellinge betalingstidspunkter, ud fra de parametre som er estimeret i afsnit 9.3.1. Nulkuponrenterne til de
enkelte betalingstidspunkter er omregnet til en diskonteringsfaktor, som ganges på de
tilhørende cash flows. Nulkuponrenterne er omregnet med nedenstående formel. Se bilag 2
Formel 9.3. (dt) = (1+nt)-t
Hvor dt = diskonteringsfaktoren, nt = Nulkuponrenten det tilhører tidspunkt t
10
Michael Christensen, Obligations investering (2009: side 37-38)
Side 20 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Tabel 9.3: Test af nulkuponrentekurven
BRF 2% 10-01-2017
NYK 2% 04-01-2019
NYK 2% 01-01-2021
20-03-2014 Tid (t) Ydelse (yt)
dt
yt*dt
dt
yt*dt
10-01-2015 0,811
2
0,9954
1,991
04-01-2015 0,795
2
0,9955
1,991
01-01-2015 0,786
2
0,99554
1,991
10-01-2016 1,811
2
0,9880
1,976
04-01-2016 1,795
2
0,9881
1,976
01-01-2016 1,786
2
0,98821
1,976
10-01-2017 2,814
102
0,9770 99,656
04-01-2017 2,797
2
0,9772
1,954
01-01-2017 2,789
2
0,97734
1,955
0,378
04-01-2018 3,797
2
0,9623
1,925
01-01-2018 3,789
2
0,96243
1,925
04-01-2019 4,797
102
0,9435 96,239
01-01-2019 4,789
2
0,94369
1,887
0,411
01-01-2020 5,789
2
0,92178
1,844
01-01-2021 6,792
102
Vedhængende rente
Vedhængende rente
dt
yt*dt
0,89746 91,541
Vedhængende rente
K*+V
Markedskurs
103,70 K+V
Difference
104,00
104,08 Markedskurs
-0,077
K*+V
103,90 K+V
Difference
104,496
104,311 Markedskurs
0,185
0,427
K*+V
102,40 K+V
103,546
102,827
Difference
0,719
K*+V er den teoretiske kurs på obligationerne, som er beregnet ved at tilbagediskontere
alle de fremtidige betalinger til en nutidsværdi med de beregnede diskonteringsfaktorer
+ den vedhængende rente på obligationen. K+V er markedskursen som er observeret
den 17.03.2014 + den vedhængende rente på obligationen.
Ud fra beregningerne i tabel 9.3 ses det, at de teoretiske kurser ikke afviger markant fra
de observerede markedskurser. Dog bemærkes det, at den teoretiske kurs på obligationen med en længste løbetid, NYK 2% 01.01.2021, afviger med 0,719 kurspoint fra
markedskursen.
Dette kunne tyde på, at der er en unøjagtighed i nulkuponrente beregningerne, i forhold
til den kurve som markedet handler på. Afvigelserne bliver større, når løbetiden på obligationerne øges. Dette kan blandt andet skyldes, at referenceswaprenten i beregningerne
er en gennemsnitsrente, som er indberettet om formiddagen den 17.03.2014, mens markedskursen er den kurs som obligationerne lukkede på den 17.03.2014.
Kvaliteten af den beregnede nulkuponrentekurve vurderes som tilfredsstillende og vil
blive anvendt som nulkuponstruktur fremadrettet i analysen.
9.3.3. Kritik af Nelson-Siegel-Svensson modellen
Modellen er relativ enkel at arbejde med. Dog har en rapport udarbejdet af COMISEF
vist, at det er nødvendigt med en kalibrering af Nelson Siegel-Svensson modellen, før
den kan anvendes optimalt. Derudover har modellen historisk haft udfordringer med
Side 21 af 77
estimering af specielt nulkuponrenterne med kort løbetid. Modellen har haft en tendens
til, at lave ”hægekøjer” på de korte renter, som vist i figur 9.2
I 1999 gik Unibank væk fra brugen af Nelson-Siegel modellen, med baggrund i tendensen til, at lave hængekøjer på de korte renter11.
Figur 9.2 Hængekøje på rentekurven
I samme analyse testede Unibank en Nelson-Siegel model med et ekstra led, hvor tendensen var den samme. Dog var tendensen ikke så udtalt som i den rene Nelson- Siegel
model, når der blev tilføjet et ekstra led.12
10. Rentestruktur
Der findes flere forskellige teorier vedrørende rentestrukturens udseende og form. I
denne analyse vil fire af de mest udbredte teorier vedrørende rentestrukturens udseende
kort blive gennemgået.
10.1. Forventningshypotesen
I forventningshypotesen er tilgangen, at den nuværende rentestruktur hænger sammen
med markedets forventninger til den fremtidige rentestruktur. Hypotesen bygger på en
antagelse om, at det forventede afkast på alle obligations investeringsstrategier er det
samme. Det vil sige, at hvis en investor køber en nulkuponobligation med en løbetid på
to år vil afkastet være det samme som hvis en anden investor køber en nulkuponobligation med en løbetid på et år og om et år geninvestere i en ny nulkuponobligation, med
en løbetid på et år. Ud fra denne antagelse vil den forwardrente der er mellem nulkuponrenten i tidspunkt nt og nt+1, vil være lig med nulkuponrenten nt+1.
11
12
Finansiel Analyse, Morten Holm Pedersen, Unibank Markets 3 september 1999
Finansiel Analyse, Morten Holm Pedersen, Unibank Markets 3 september 1999
Side 22 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Ifølge forventningshypotesen vil nulkuponrentestrukturen typisk være stigende og afspejle en forventning om, at de korte renter vil blive ved med at stige uendeligt.
Figur 10.1 Udviklingen i den korte og lange realkreditrente 1997-2014
Kilde: www.realkreditraadet .dk
Denne antagelse holder dog ikke altid i virkeligheden, hvis man tager udgangspunkt i
renteudviklingen i figur10.1. Når renterne på realkredit obligationerne falder, må det
antages at renteniveauerne på nulkuponrentestrukturen også vil være faldende. Omvendt
må det også antages, at nulkuponrentestrukturen er stigenden, når tendensen på realkreditrenterne er stigende. Derfor kan man ikke bare pr automatik antage, at nulkuponrenterne altid vil være stigende.
En mere realistisk forklaring på forventningen om altid stigende renter er nok mere, at
der geninvesteres til en ukendt rente. Derfor antages det i strukturen, at investor får tillagt en form for risikopræmie13
10.2. Likviditetspræferencehypotesen
Hypotesen tager udgangspunkt i at priserne på obligationer med lang løbetid er mere
påvirkelige over for ændringer i rente niveauerne end obligationer med kort løbetid.
Derfor vil investorerne kræve en ekstra betaling, i form af en risikopræmie på obligationer med lang løbetid. Denne risikopræmie forventes, at være stigende i takt med at løbetiden på obligationen øges14.
13
14
Claus Munk og Christian Riis Flor, Indledende obligations- og rentestruktur analyse (2007: side 56)
Side 23 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Hvis man igen tager udgangspunkt i figur 10.1 kan man se, at den ekstra risikopræmie,
der er på de lange rente i forhold til de korte renter stiger og falder i gennem perioden.
Hvis udviklingen i realkreditrenterne antages at være udtryk for den generelle udvikling
på rentemarkederne, så ses der en tendens til at spændet mellem de korte og lange renter
bliver mindre, når de korte renter stiger og spændet udvides, når de korte renter falder.
I figur 10.1 ses det også, at de korte renter er mere følsomme, set i forhold til de lange
renter. Ud fra denne betragtning er de lange renter mindre påvirket af ændringer i renteniveauet, hvilket modsiger hypotesen.
10.3. Markedssegmenteringshypotesen /Preferred Habitats
Ifølge denne hypotese vil investorerne have præferencer for obligationer i et bestemt
løbetidssegment. Denne præference hænger typisk sammen med, at de har forpligtelser
med en bestemt løbetid. Pensionskasser har typisk meget lange forpligtelser og vil derfor købe obligationer med lange løbetider15. Pengeinstitutter vil derimod typisk have
kortere forpligtelse og vil gå efter obligationer med korte løbetider16. Renterne i de forskellige segmenter udvikler sig derfor uafhængigt af hinanden. Afhængigt af hvor mange segmenter der er, må man derfor forvente en meget ujævn rentekurve ifølge markedssegmenteringshypotesen. En videreudvikling af denne hypotese, kaldet preferred
habitats siger, at investorerne vil koncentrere sig om et bestemt løbetidssegment. De er
dog villige til, at købe i et andet segment, såfremt præmien er tilpas høj. Derfor kan man
i denne videre udvikling af hypotesen forvente en glat og kontinuert rentekurve17. Dette
er mere lig den kurve der ses i virkeligheden. Blandt andet en kurve estimeret ud fra
Nelson-Siegel-Svensson metoden, som er anvendt i denne analyse.
11. Risiko på obligationer
Som risikomål på obligationerne i denne analyse anvendes begreberne varighed og konveksitet.
15
17
16
Side 24 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Macaulay (1938) definerede et mål for renterisikoen, den såkaldte Macaulay varighed 18.
Macaulay varigheden er beregnet med udgangspunkt i den effektive rente på en obligation. Som tidligere diskuteret i analysen, er den effektive rente ikke et godt mål når resultatet skal anvendes til sammenligning af obligationer. Ved at bruge den effektive
rente som tilbagediskonteringsrente antages det, at rentestrukturen er flad og alle renter
påvirkes ens ved en ændring i rentestrukturen. Det vil sige, at hele den flade rentekurve
parallelforskydes op eller ned, hvilket meget sjældent er tilfældet.
I denne analyse anvendes derfor Fisher-Weil (1971) varigheden og den deraf afledte
konveksitet. Denne metode tager udgangspunkt i nulkuponrentestrukturen og dermed
antagelsen om, at rentestrukturen kan tage en vilkårlig form og ændringer kan sker i
form af proportionale skift, når tiden øges.19
11.1. Fisher-Weil varigheden som risikomål
Varigheden udtrykker den reelle løbetid der er på obligationen, når man tager hensyn til
kuponbetalinger og eventuelle udtræk på obligationen. Hvis man blot anvender den faktiske restløbetid der er på obligationen, tages der ikke højde for, at kuponbetalinger og
udtræk kan geninvesteres til en ændret rente. Ved anvendelse af varigheden, som udtryk
for restløbetiden, tages der højde for gevinst/tab ved geninvestering af de betalinger der
er på obligationen. Generelt gælder det, at varigheden på en obligation altid er mindre
end eller lig med restløbetiden på en obligation.20 Dog er varigheden på en nulkuponobligation altid lig med restløbetiden. Årsagen er, at der kun findes et betalingstidspunkt,
som er ved udløb af obligationen.
Varigheden er en punktobservation og gælder kun på beregningstidspunktet og vil hele
tiden ændre sig. Generelt vil varigheden falde jo tættere den bagvedliggende kuponobligation kommer på udløbsdatoen og de enkelte kuponer forfalder.
Varigheden kan også anvendes som udtryk for den forventede procentvise ændring i
kursen på obligationen, hvis den bagvedliggende rentefaktor, udtrykt som
(1+rentefaktoren), ændrer sig med 1%. Stiger rentefaktoren med 1%, vil investeringsbe18
19
20
Michael Christensen, Obligations investing (2009: side 92)
Side 25 af 77
Vejleder
Claus Juhl
løbet falde med varigheden i procent. Omvendt vil investeringsbeløbet stige med varigheden i procent, såfremt rentefaktoren falder med 1%. Det betyder, at en høj varighed
på en obligation er lig med en høj risiko for ændring i kursen, hvis det sker ændringer i
den bagvedliggende rentefaktor.
Varigheden på obligationen kan også anvendes som immuniseringsredskab ved investering i obligationer, da den tager højde for kursrisiko og geninvesteringsrente.
Hvis renten stiger, så vil kursen falde på obligationen. Varigheden udtrykker ifølge
denne fortolkning hvor langt tid der går, før dette tab er hentet hjem som følge af en
højere geninvesteringsrente. Dermed kan varigheden anvendes til, at tilpasse en porteføljes immuniseringshorisont, hvis investor forventer ændringer i renteniveauerne. Forventes et stigende renteniveau, kan varigheden nedbringes ved køb af obligationer eller
finansielle instrumenter, der nedbringer varigheden på porteføljen. Dermed vil investors
kurstab hurtigere blive hentet tilbage via den højere geninvesteringsrente.
Ved at beregne varigheden med udgangspunkt i nulkuponstrukturen, får man en varighed der kan sammenlignes med Macaulays modificeret varighed. Macaulays modificeret varighed er defineret ved, at den måler den relative kursfølsomhed, ved en ændring i
renten på 1% point eller 100 basispunkter.21
Dermed kan Fisher-Weil varigheden også anvendes til beregning af Base Point Value
(BPV), som angiver ændring i kursen ved en ændring i rente på 1 basispunkt.
Fisher-Weil varigheden beregnes med formel 11.1
Formel 11.1 V = ∑ t*wt
Hvor t = tiden til betaling, wt = (Yt*(1+nt)^-t) / (K*+V)
I Fisher-Weil er det nulkuponstrukturen der anvendes og ikke den effektive rente, derfor
anvendes nt = nulkuponrenten til tidspunkt t i formlen.
Det er igen vigtigt, at understrege at varigheden er en punktobservation der kun er gældende på beregningstidspunktet. Derfor vil varigheden ændre sig efterhånden som tiden
til udløb minimeres og de enkelte kuponbetalinger på obligationen forfalder. Hvis man
21
Michael Christensen, Obligations investing (2009: side 91)
Side 26 af 77
Vejleder
Claus Juhl
har en portefølje af obligationer, hvor man som investor ønsker en given varighed på
porteføljen, er det derfor nødvendigt løbende at rebalancere porteføljen. Dette bør, som
minimum gøres umiddelbart efter der har været en kuponbetaling på obligationerne.
11.1.1. Base Point Value og Kronevarighed
På samme måde som ved Macaulay varigheden kan Fisher-Weil varighed omregnes til
Base Point Value (BPV) og Kronevarighed.
BPV udtrykker den ændring i investeringsbeløbet (K+V) der er i kursen på obligationen, såfremt renteniveauet ændres med 0,01%22, også kaldet 1 basispunkt. BPV beregnes som vist i formel 11.2
Formel 11.2 ∆(K+V) = -V*0,001*(K+V)
Hvor
K+V = Investeringsbeløbet
V = Fisher-Weil varigheden på obligationen
Kronevarigheden er et udtryk for ændringen i investeringsbeløbet (K+V) ved en ændring i renteniveauet med 100 basispunkter. Det vil sige BPV*100.
11.2. Fisher-Weil konveksiteten
Ved små ændringer i rentestrukturen er varigheden en god indikator for ændringerne i
investeringsbeløbet. I varigheden antages det, at der er en lineær sammenhæng mellem
varigheden og rentestrukturen. Dette er typisk ikke tilfældet og derfor vil varigheden
ved større ændringer i rentestrukturen være misvisende. Ved en stigning i renteniveauet
(1+ rentefaktoren), vil varigheden overvurdere det fald dette vil medføre på obligationskursen. Hvis renteniveauet (1+ rentefaktoren) falder, vil varigheden undervurdere den
forventede stigning i obligationskursen som illustreret i figur 11.1
22
Side 27 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Figur 11.1 Illustration af konveksitet
Kilde: Michael Christensen, Obligations Investering (2009: side100)
Derfor er der behov for et nøgletal der kan vise, hvor stor en procentvis fejl der er i varigheden. Ved at beregne konveksiteten får man et udtryk for den følsomhed som varigheden har over for ændringer i rentefaktoren.
Fisher-Weil konveksiteten beregnes som:
Formel 11.3 K = ∑ (t2+t)*wt
Hvor, K = Fisher-Weil konveksiteten, t = tid til betaling, wt = (yt*(1+nt)^-t) / (K*+V)
Konveksiteten er et udtryk for den procentvise fejl der er i varigheden, ved en ændring i
(1+rentefaktoren). Det betyder, at jo højere konveksitet jo større vil fejlen i beregningen
være og dermed risikoen for, at over- eller undervurdere effekten af en ændring i renteniveauet.
11.3. Beregninger af Fisher-Weil varighed og konveksitet
Med udgangspunkt i den nulkuponrentekurve, som blev estimeret tidligere i analysen er
Fisher-Weil varigheden og konveksiteten beregnet på obligationerne. Se bilag 2.
Side 28 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Tabel 11.1 Beregning af Fisher-Weil varighed og konveksitet
BRF 2% 10-01-2017
t
yt
dt
0,811
2,00 0,9954
1,811
2,00 0,9880
2,814 102,00 0,9770
sum
Output
Fisher Weil Varigheden
Fisher Weil Konveksiteten
BPV
Kronevarigheden
NYK 2% 04-01-2019
K+v
104,00
wt
t*wt (t2+t)*wt t
yt
dt
0,02
0,02
0,03 0,795 2,00 0,9955
0,02
0,03
0,10 1,795 2,00 0,9881
0,96
2,70
10,28 2,797 2,00 0,9772
1,00
2,75
10,41 3,797 2,00 0,9623
4,797 102,00 0,9435
sum
2,746
10,407
0,029
2,856
Output
BPV
Kronevarigheden
NYK 2% 01-01-2021
wt
0,02
0,02
0,02
0,02
0,92
1,00
K+v
104,50
t*wt
(t2+t)*wt
0,02
0,03
0,03
0,09
0,05
0,20
0,07
0,34
4,42
25,61
4,59
26,27
4,590
26,270
0,048
4,796
t
yt
0,786
2,00
1,786
2,00
2,789
2,00
3,789
2,00
4,789
2,00
5,789
2,00
6,792 102,00
dt
0,9955
0,9882
0,9773
0,9624
0,9437
0,9218
0,8975
sum
Output
BPV
Kronevarigheden
wt
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,88
1,00
K*+v
103,546
t*wt (t2+t)*wt
0,02
0,03
0,03
0,10
0,05
0,20
0,07
0,34
0,09
0,51
0,10
0,70
6,00
46,78
6,37
48,65
6,367
48,648
0,066
6,593
Beregningerne i tabel 11.1 viser ikke overraskende, at jo længere løbetid der er på obligationen, jo højere er risikoen udtrykt som varighed.
Kronevarigheden viser hvor stort et kursfald investor kan forvente, såfremt rente stiger
med 100 basispunkter. Her har løbetiden en stor betydning for resultatet. Som det ses i
tabel 11.1 er NYK 2021 obligationen meget mere følsom over for ændringer i renteniveauet end BRF 2017 obligationen, som har den korteste løbetid af obligationerne i
denne analyse.
Samtidig viser beregningerne, at den procentvise fejl man laver ved ændring af
(1+rentefaktoren) også stiger med løbetiden. For at få et mere præcist udtryk for risikoen på obligationen er det derfor nødvendigt, at korrigere for den procentvise fejl der
laves i beregningen.
11.3.1. Taylors 2-ordens approksimation
For at få et mere præcist billede af kursrisikoen på obligationerne, ved en ændring i den
bagvedliggende rentekurve, anvendes i denne analyse en 2-ordens Taylor approksimation til at korrigere for konveksiteten på varigheden.
Taylors 2-ordens approksimation kan omskrives til nedenstående formel23
Formel 11.4
23
∆(K*+V) = ∆n*(K*+V)*V + 0,5*∆n2*(K*+V)*K
Side 29 af 77
Hvor ∆n = ændring i rentefaktoren, (K*+V) = Nutidsværdien af betalingen i tidspunkt t,
V = Fisher Weil varigheden, K = Fisher Weil konveksiteten
Det første led i formlen, ∆n*(K*+V)*V, er en Taylors 1-ordens approksimation, hvor
det er varighedens betydning for risikoen, der tages højde for. Ved at lægge det andet
led i formelen, 0,5*∆n2*(K*+V)*K, til det første led, får man en Taylors 2-ordens approksimation. Dermed tages der højde for den konveksitet der er afledt af den beregnede
varighed. Resultatet er et mere præcist udtryk for den kursændring der vil være på obligationen, såfremt der sker en ændring i renteniveauet.
Tabel 11.2 Beregning af kursrisiko med 2-ordens Taylor approksimation
BRF 2% 10-01-2017
NYK 2% 04-01-2019
NYK 2% 01-01-2021
∆ n (K*+V) V
K
∆ n (K*+V) V
K
∆ n (K*+V) V
K
1,0% 104,00 2,75 10,407
1,0% 104,50 4,598 26,316
1,0% 103,55 6,411 48,988
2-ordens Taylor approksimation -2,8018 2-ordens Taylor approksimation
-4,6669 2-ordens Taylor approksimation
-6,3852
Kronevarigheden
-2,8560 Kronevarigheden
-4,7959 Kronevarigheden
-6,5928
Tallene i tabellen viser det fald i kursen, som kan forventes, hvis nulkuponrenterne stiger med 100 basispunkter. Det er en antagelse i beregningen, at der sker i parallelforskydning i rentestrukturen. Det vil sige, at alle nulkuponrenter påvirkes med + 100 basispunkter.
I tabel 11.2 er en sammenlignes det forventede fald i kurserne på obligationerne, beregnet som 2-ordens Taylor approksimation, med den beregnede Kronevarighed. Denne
sammenligning viser, at når der korrigeres for konveksitet på obligationerne, så falder
risikoen, målt som ændring i kursen ved en stigning i renteniveauet på 100 basispunkter.
11.4. Test af risikomål
For at teste om de beregnede risikomål er valide nok til beregning af den optimale portefølje er der i tabel 11.3 lavet er simulering af en parallelforskydning af nulkuponrente
kurven med +50 basispunkter. Beregning af obligationskurser (K*+V) og risikomål kan
findes i bilag 3
Side 30 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Tabel 11.3 Test af risikomål på obligationerne i analysen
BRF 2% 10-01-2017
K+V uændret rente
Beregnet K+V + 50bp
Forskel i kurserne
2-ordens Taylor approksimation
BPV ved ændring på 50bp
Difference Taylor
Difference BPV
NYK 2% 04-01-2019
104,00 K+V uændret rente
102,60 Beregnet K+V + 50bp
-1,4031 Forskel i kurserne
-1,4280 BPV ved ændring på 50bp
0,0114 Difference Taylor
0,0249 Difference BPV
NYK 2% 01-01-2021
104,50 K+V uændret rente
102,16 Beregnet K+V + 50bp
-2,3362 Forskel
-2,3979 BPV ved ændring på 50bp
0,0316 Difference Taylor
0,0617 Difference BPV
103,55
100,36
-3,1851
-3,2560
-3,2964
0,0710
0,1113
Testen i tabel 11.3 bekræfter, at man med en 2-ordens Taylor approksimation får et mere præcist udtryk for ændringen i kurserne når renteniveauet stiger. På alle tre obligationer har Taylor approksimationen en mindre difference mellem K*+V ved uændret rente
og K*+V ved en ændring af renteniveauet med +50 basispunkter.
Da den vedhængende rente er den samme, når tidspunktet for beregningen er det samme, vil hele ændringen i K*+V være på kursen K*. Hvor K* er obligationskursen beregnet med ud fra nulkuponrenterne.
Da alle tre obligationer i analysen er inkonverterbare obligationer, med stående profil,
har de en relativ begrænset konveksitet. På andre typer af obligationer, hvor konveksiteten er højere, må differencen forventes at være større på de to beregningsmetoder, end
det er tilfældet i denne analyse.
Med baggrund i ovenstående test af risikomål, vurderes forskellen mellem differencerne
som små og inden for et acceptabelt niveau. Fremadrettet i analysen vil Fisher-Weil
varighed og den deraf afledte BPV derfor blive anvendt som risikomål.
12. Horisontafkast
Når man som investor skal sammensætte en optimal portefølje af obligationer, ud fra en
given horisont og et given risikomål, er det nødvendigt at kende risikoen og det forventede afkast på de enkelte obligationer. Som alternativ til den vurdering af afkastet man
får ud fra den effektive rente på obligationen, kan man anvende et beregnet forventet
horisontafkast på obligationerne ud fra nulkuponrentekurven.
Når man som investor kender risikoen og det forventede afkast over en given periode,
kan man sammensætte en portefølje af obligationer, med det bedst mulige afkast ud fra
Side 31 af 77
den ønskede risikoprofil. Ideen med at fastsætte et horisonttidspunkt er, at man dermed
kan lave en direkte sammenligning af det forventede afkast på de enkelte obligationer.
Beregning af horisontafkastet i denne analyse tager udgangspunkt i den estimerede nulkuponstruktur i afsnit 9.3.1. Der er en forudsætning om, at rentestrukturen er uændret
gennem analyse perioden. Der vil senere i analyse blive foretaget følsomhedsberegninger på resultaterne.
Ved beregning af horisontafkastet forudsættes det, at obligationerne købes til markedskursen på primo datoen og sælges igen på ultimo datoen.24 Det forventede afkast beregnes som periodens kursgevinster eller kurstab, samt kuponbetalinger på obligationerne.
Eventuel vedhængende rente på henholdsvis primo datoen og ultimo datoen beregnes
også og tages med i beregningerne. Til sidst tillægges en gevinst fra geninvesteringen
kuponbetalinger og obligationer der er udtrukket i perioden. Formålet er, at man ender
med at have en primo værdi og en ultimo værdi.
Herefter kan periodens afkast beregnes med nedenstående formel.
Formel 12.1 Horisontafkast = ((1+(K+v)t+1 –(K+v)t + Rt + At )/ (K+v)t )365/antal dage -1
Hvor K+vt = Markedskursen + vedhængende rente på primo datoen, K+vt+1 = Forventede markedskurs + vedhængende rente på ultimo datoen, Rt = Geninvesteringsrenter +
kuponbetalinger fremdiskonteret til ultimo datoen, At = Udtrukne obligationer fremdiskonteret til ultimo datoen.
12.1. Forudsætninger for horisontafkastet
Til beregning af horisontafkastet er der opstillet følgende forudsætninger

Primo dato 17.03.2014 med valør 20.03.2014

Ultimo dato 15.11.2016 med valør 18.11.2016
Ved brug af de tidligere beregnede parametre i Nelson Siegel-Svensson metoden er følgende nulkuponrente og tilhørende fremdiskonteringsfaktor beregnet. Derudover er den
vedhængende rente på obligationerne beregnet pr. 18.11.2016, se bilag 4
24
Svend Jacobsen, Beregning af horisontafkast (1996: side 250)
Side 32 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Tabel 12.1 Nulkuponrente og vedhængende rente 18.11.2016
Dato
tid (t)
Nulkuponrente
18-11-2016
2,668
0,804%
Fremdiskonterings faktor
1,02160
BRF 2% 10-01-2017 NYK 2% 04-01-2019
Vedhængende rente
1,710
NYK 2% 01-01-2021
1,743
1,760
Metoden der anvendes er, at tilbagediskontere alle de cashflows som obligationerne har,
der ligger efter den 18.11.2016, til en nutidsværdi på tidspunkt t0. Her anvendes de diskonteringsfaktorer der tilhører de enkelte betalingstidspunkter. Herefter fremdiskonteres
nutidsværdien til den 18.11.2016 med fremdiskonteringsfaktoren i tabel 12.1. Samme
metode anvendes til de kuponbetalinger der ligger før den 18.11.2016, som tilbagediskonteres til nutidsværdien og herefter fremdiskonteres til 18.11.2016.
Som geninvesteringsrente anvendes de forwardrenter der hører til de respektive betalingstidspunkter. Geninvesteringsrenterne fremdiskonteres også til den 18.11.2016.
Dermed har man en primo værdi og en ultimo værdi og det er muligt, at beregne horisontafkastet for den givne periode med formel 12.1
Tabel 12.2 Horisontafkast beregning 18.11.2016 ved uændret rentestruktur
BRF 2% 10-01-2017
Horisontafkast beregning
Cash flow tilbagediskonteret til t0
Fremdiskonteret til
18-11-2016
Dato
NYK 2% 04-01-2019
99,66
NYK 2% 01-01-2021
100,12
101,81
18-11-2016
99,151
102,28
Vedh. Rente Inv. bel
Kurs
15-11-2016
101,292
Kurs
Vedh. rente
Inv. bel
Kurs
Vedh. Rente
Inv bel
20-03-2014
103,70
0,38
104,08
103,90
0,41
104,31
102,40
0,43
102,83
18-11-2016
101,81
1,74
103,55
102,28
1,73
104,01
101,29
1,69
102,99
Antal dage
974,00
974,00
971,00
Dage p.a
365,00
365,00
365,00
Kursværdi afkast
18-11-2016
103,55
20-03-2014
104,08
104,01
-0,53
104,31
102,99
-0,30
102,83
0,16
Renter
Kuponbetaling
10-01-2015
2,03
04-01-2015
2,03
01-01-2015
2,03
Kuponbetaling
10-01-2016
2,02
4,05 04-01-2016
2,02
4,05 01-01-2016
2,02
4,05
Geninvesteringsrente
af kupon
0,75%
0,04 af kupon
0,74%
0,04 af kupon
0,74%
0,04
af kupon
1,12%
0,02 af kupon
1,12%
0,02 af kupon
1,11%
0,02
0,00
Samlet gevinst
3,587
3,81
4,27
Periodens afkast
1,28%
1,35%
1,54%
Omregnet til årlig afkast
0,48%
0,50%
0,58%
Varighed
2,75%
4,60%
6,41%
0,47
0,29
0,24
Forventet afkast/risiko
Side 33 af 77
Alle obligationerne i analysen giver hver for sig et horisontafkast, der overstiger det
benchmark afkast, som investor kan forvente på den risikofrie investering over samme
periode. Hvis man udelukkende ser på det absolutte forventede horisontafkast, får man
det højeste afkast ved, at investere i NYK 2% 2021. Her vil det forventede horisontafkast være 1,58% mod BRF 2% 2017 obligationen, som har det laveste forventede horisontafkast i analysen med 1,28%. Hvis man inddrager varigheden som risikomål på obligationerne i betragtningen, forholder det sig anderledes. Her har BRF 2% 2017 den
højeste ratio med 0,47 og NYK 2021 den laveste ratio med 0,24. Det vil sige, at man på
BRF 2% 2017 får et højere horisontafkast set i forhold til den risiko som investor påtager sig.
Periodens afkast er omregnet til et årligt afkast, hvor der tages højde for geninvesteringsrenten
12.2. Følsomhed på horisontafkastet på obligationerne
I følsomhedsberegningen er der taget udgangspunkt i en rentestigning på 50 basispunkter. Det antages at rentestigningen rammer alle nulkuponrenter med 50 basispunkter,
som vist til figur 12.1
Figur 12.1 Forskydning af rentekurven med 50 basispunkter
Alle andre forudsætninger og metoden til beregning af horisontafkastet er uændret i
forhold til beregningerne i tabel 12.2
Side 34 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Tabel 12.3 Følsomhed på horisontafkastet ved ændring på 50 basispunkter
BRF 2% 10-01-2017
Horisontafkast beregning
Cash flow tilbagediskonteret til t0
Fremdiskonteret til
18-11-2016
Dato
NYK 2% 04-01-2019
98,28
Kurs
NYK 2% 01-01-2021
97,81
101,74
18-11-2016
101,25
95,991
Kurs
15-11-2016
99,368
vedh. Rente
Inv bel
Kurs
vedh. Rente
Inv bel
vedh. Rente
Inv bel
20-03-2014
103,70
0,38
104,078
103,90
0,41
104,31
102,40
0,43
102,83
18-11-2016
101,74
1,74
103,479
101,25
1,73
102,97
99,37
1,69
101,06
Antal dage
974
974,00
971,00
Dage p.a
365
365,00
365,00
Kursværdi afkast
18-11-2016
103,48
20-03-2014
104,08
102,97
-0,60
104,31
101,06
-1,34
102,83
-1,77
Renter
Kuponbetaling
10-01-2015
2,05
04-01-2015
2,05
01-01-2015
2,05
Kuponbetaling
10-01-2016
2,03
4,08 04-01-2016
2,03
4,08 01-01-2016
2,03
4,08
Geninvesteringsrente
af kupon
1,25%
0,06 af kupon
1,24%
0,06 af kupon
1,24%
0,06
af kupon
1,62%
0,03 af kupon
1,62%
0,03 af kupon
1,61%
0,03
Samlet gevinst
3,57
2,84
2,41
Periodens afkast
1,27%
1,01%
0,87%
Omregnet til årlig afkast
0,48%
0,38%
0,33%
En forskydning i rentekurven med 50 basispunkter rammer helt som forventet, obligationen med den højeste risiko, hårdest. Mens BRF 2017 obligationen stort set har et uændret horisontafkast, så går NYK 2021 obligationen fra et forventet horisontafkast på
1,54% til et forventet afkast på 0,87%. NYK 2019 obligationen går fra et forventet horisont afkast på 1,35% til 1,01%.
Ultimo værdien af kuponbetalinger der ligger før horisonttidspunktet og geninvesteringsrenterne, er stort set upåvirket af renteændringen. Den samlede ultimo værdi af
kuponbetalingerne stiger i niveauet 0,03 på alle tre obligationer.
Da alle obligationer har den samme kuponrente er det løbetiden, der ligger ud over horisonttidspunktet, der gør den store forskel i horisontafkastet.
BRF 2017 obligationen rammes ikke så hårdt, selvom cashflowet skal tilbagediskonteres med en højere rente. Obligationen har kun en betaling der forfalder efter horisonttidspunktet. Dette opvejes af, at betalingen skal fremdiskonteres med en højere rente.
Forskellen i nutidsværdien på de to scenarier er -1,38 kurspoint, men når det er fremdiskonteret med den nye diskonteringsfaktor er forskellen kun -0,07 kurspoint.
Side 35 af 77
Helt anderledes er det med NYK 2021 obligationen. Obligationen har fem betalinger
der ligger efter horisonttidspunktet. Her er forskellen på nutidsværdierne -3,16 kurspoint og selvom nutidsværdien fremdiskonteres med en højere rente er ultimo værdien
1,924 lavere i følsomhedsberegningen.
Ovenstående tendens ligger eksplicit i de beregnede risikomål på obligationerne. Hvis
man anvender horisontafkastene til sammenligning af obligationerne er det derfor vigtigt også, at tage højde for den risiko der på obligationerne, med hensyn til cashflows
efter horisonttidspunktet.
Derudover har placeringen af horisonttidspunktet også en stor betydning for resultatet.
Jo længere væk fra tidspunkt (t0) horisonttidspunktet er, jo mere tabt nutidsværdi som
følge af en rentestigning, kan hentes tilbage, da det også skal fremdiskonteres med en
højere rente.
I denne analyse er der anvendt et horisonttidspunkt på 2,668 år. Dette er en meget lang
periode og resultaterne er derfor behæftet med en relativ stor løbetidsrisiko.
Det er værd at bemærke, at selv med en stigning i renteniveauet på 50 basispunkter,
giver alle obligationerne et bedre afkast end den risikofrie benchmark obligation.
13. Porteføljesammensætning
I den moderne porteføljeteori, som blev introduceret af Markowitz (1952), blev forholdet mellem afkast og risiko inddraget som et parameter, når en portefølje skal sammensættes. Ideen er, at man ved at se på korrelationen mellem de aktiver der investeres i,
kan sammensættes en portefølje, hvor risikoen i forhold til afkastet optimeres. Ved at
investere i aktiver der har en negativ korrelation med hinanden, vil en investor kunne
bortdiversificere den usystematiske risiko der påvirker det enkelte aktiv. Dermed opnås
en situation, hvor man som investor kun bliver belønnet for, at påtage sig systematisk
risiko.
I denne analyse investeres der kun i obligationer, som prissættes ud fra den samme nulkuponrentekurve. Da obligationerne betragtes som tilnærmelsesvis risikofrie, vil de som
udgangspunkt kun blive påvirket af systematisk risiko.
Side 36 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Det vil sige, at hvis løbetid og betalingstidspunkter på obligationerne er tilnærmelsesvis
ens, forventes de at korrelere positivt med hinanden. Det samme gør sig gældende, når
der sker parallelle skift på hele rentekurven. Derimod vil en ændring hvor rentekurven
stejler eller falder påvirke meget forskelligt, hvis obligationerne har meget forskelige
løbetider.
Korrelationen mellem obligationerne i denne analyse er beregnet på baggrund af de daglige afkast på obligationerne i perioden fra 01.10.2013 til og med den 17.03.2014. Data
er hentet på NASDAQ OMX og afkastet er beregnet på baggrund af lukkekursen på de
enkelte dage. Beregningen findes i bilag 5. Følgende formel er anvendt til beregning af
korrelation:
Formel 13.1: Kovariansxy / (Standardafvigelsenx*Standardafvigelseny )
Tabel 13.1 Korrelation mellem BRF 2017, NYK 2019 og NYK 2021
BRF 17
BRF 17
NYK 19
NYK21
NYK 19
1
-0,02885
1
0,379545 -0,01692
NYK21
1
Ud fra ovenstående tabel ses det, at der er en positiv korrelation mellem BRF 2017 og
NYK 2021. Korrelationen er ikke 100% perfekt, men vurderes som en indikation på, at
afkastet på de to obligationer påvirkes på samme måde.
Det ses også, at både BRF 2017 og NYK 2021 har en negativ korrelation i forhold til
NYK 2019. Den negative korrelation er dog ikke stærk nok til, at kunne anvendes til at
bortdiversificerer risiko.
En del af forklaringen på, at korrelationen mellem dem ikke er stærkere kan findes i
preferred habitats renteteorien. Tager man eksempelvis udgangspunkt i finanstilsynets
segmentering af løbetider på rentekurven, som anvendes af danske pensionskasser, som
diskonteringskurve.
Side 37 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Tabel 13.2 Finanstilsynets segment inddeling af rentekurven
Finanstilsynets segmentering af rentekurven
Korte segment
Mellemlangt segment
0-2 år
2-7 år
7-20 år
Lange segment
>20 år
Kilde: www.Finanstilsynet.dk /Teknisk beskrivelse af ny diskonteringsrente, 13.06.2012
25
Segmentet 2-7 år har ikke noget segment navn. Her beregnes diskonteringssatserne ved
hjælp af linenær interpolation26.
Ud fra segmenteringen i tabel 13.2 kan der argumenteres for, at BRF 2017 og NYK
2019 ligger i segmentet 2-7 år og NYK 2021 i segmentet 7-20 år. Da BRF 2017 og
NYK 2019 har samme kuponrente vil investorerne have en risikopræmie for at påtage
sig den ekstra løbetidsrisiko på NYK 2019. Når denne risikopræmie ikke er stor nok, vil
de vælge obligationen med den korteste løbetid.
Hvis investorerne i segmentet 7-20 år skulle skifte segment til 2-7 år, vil BRF 2017 også være mere attraktiv for dem. Derfor bliver NYK 2019 fanget mellem de to segmenter. Dette kan delvist forklare den negative korrelation mellem NYK 2019 og de to andre obligationer i analysen.
Med baggrund i ovestående kan det konkluderes, at den moderne porteføljeteori, som
defineret af Markowitz (1952), ikke kan anvendes til at finde den optimale portefølje
sammensætning af obligationerne i denne analyse.
Derfor vil den optimale portefølje sammensætning blive fastsat med baggrund i de tidligere beregnede risikomål for obligationerne.
13.1. Forudsætninger for beregning af den optimale portefølje
Investeringshorisonten er 2,668 år, som er lig restløbetiden på benchmark obligationen i
analysen. Følsomhedsberegningen viser, at horisontafkastet er over benchmark, selvom
25
26
Side 38 af 77
der sker en parallelforskydning på rentekurven med +50 basispunkter. Derfor vurderes
det forventede afkast som relativt stærkt overfor benchmark afkast.
Med baggrund i ovenstående argumentation, er der i forudsætningen for beregningen af
den optimale portefølje en immuniseringshorisont, målt som varighed, der overstiger
den faktiske restløbetid på benchmark obligationen. Det vil sige, at porteføljen først er
immuniseret over for ændringer i renteniveauet efter fire år, hvilket er ca 1,4 år efter
udløb på benchmark obligationen.
En anden årsag til, at der er valgt en højere varighed i forhold til benchmark obligationen er, at varigheden er en punktobservation og varigheden vil falde efterhånden, som
tiden til udløb på obligationerne minimeres og de enkelte kuponbetalinger forfalder.
Dette testes senere i analysen.
Der er opstillet følgende forudsætninger for beregning af den portefølje der giver det
bedste horisontafkast.

Porteføljevarigheden ≤ 4,00

Summen af de enkelte andele i porteføljen = 100%
Det samlede investeringsbeløb udgør 10.000.000 kr. og vil det være den maksimale
kursværdi på obligationsporteføljen.
13.2. Varighed og konveksitet på porteføljen
Når man anvender Fisher Weil varigheden og deraf afledte konveksitet beregnes de på
baggrund af nulkuponrentekurven. Dermed er der en antagelse om proportionale skift i
rentekurven. Når porteføljen sammensættes vil den vægtede varighed og konveksitet da
være et meget præcist udtryk for porteføljens varighed og konveksitet på beregningstidspunktet.
I analysen anvendes nedenstående formler til beregning af porteføljens varighed og
konveksitet.
Side 39 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Formel 13.2 Vport = ∑ Vi * Zi
Hvor Vi = Varigheden på obligationen beregnet med Fisher Weil metoden og Zi = Obligationens procentvise andel af den samlede portefølje
Og
Formel 13.3 Kport = ∑ Ki * Zi
Hvor Ki = Konveksiteten på obligationen beregnet med Fisher Weil metoden og Zi =
Obligationens procentvise andel af den samlede portefølje.
Tabel 13.3 Optimal porteføljesammensætning ved uændret rente
Optimal portefølje
BRF 2% 10-01-2017
NYK 2% 04-01-2019
NYK 2% 01-01-2021
Vægtet gennemsnit
Forventet afkast / risiko
K*+V
104,00
104,50
103,55
Varighed
2,746
4,598
6,411
4,000
Samlet investeringsbeløb
10.000.000,00
Konveksitet
Horisont afkast
Vægt Nominelværdi Kursværdi
10,407
1,28%
65,8% 6.325.951,39 6.579.050,68
26,316
1,35%
0,0%
0,00
48,988
1,54%
34,2% 3.303.792,50 3.420.949,32
23,606
1,37%
0,34
100%
9.629.743,89 10.000.000,00
Beregningen er lavet i Excel med brug af SOLVER funktionen, ud fra de forudsætninger som tidligere er beskrevet.
Med baggrund i de opstillede forudsætninger for beregningen, består den optimale portefølje af 65,8% BRF 2017 og 34,2% NYK 2021 obligationer. Horisontafkastet ved en
uændret nulkuponrentestruktur er 1,37% og det forventet afkast / risiko ratio er 0,34.
Der er værd at bemærke, at horisontafkastet på porteføljen, er på niveau med afkastet på
NYK 2019, men med en lavere risiko udtrykt som varighed. NYK 2019 har en forventet
afkast / risiko ratio på 0,29, hvor porteføljen har 0,34.
På den baggrund vurderes en portefølje bestående af 65,8% BRF 2017 og 34,2% NYK
2021 som et væsentligt bedre alternativ end en investering på 100% NYK 2019, da risikoen målt som varighed er lavere og afkastet er højere.
Da investeringsbeløbet er 10.000.000 kr. er det nominelle beløb der kan købes obligationer for udregnet i tabel 13.3.
Side 40 af 77
Da kurserne er > 100 vil det nominelle beløb der kan købes obligationer for være < investeringsbeløbet. Hvis kurserne havde været <100 ville det nominelle beløb være >
investeringsbeløbet.
13.2.1. Test af varighedsforudsætning i beregningen
I forudsætningerne til beregning af den optimale portefølje er antaget en immuniseringshorisont på fire år, målt som Fisher Weil varigheden på porteføljen.
Et argument for en højere varighed end den faktiske restløbetid på benchmark obligationen er, at varigheden er en punktobservation der falder med kuponbetalinger og faktisk
restløbetid til udløb.
For at teste denne antagelse er K*+V om tolv måneder beregnet ud fra nedenstående
metode.

Nulkuponrente og diskonteringsfaktor på de enkelte obligationer holdes uændret
i forhold tidligere beregnet.

Alle betalinger på obligationerne som ligger efter den 20-03-2015 tilbagediskonteres til 20-03-2014.

Betalingerne fremdiskonteres herefter til værdien den 20.03.2015 og den vedhængende rente tillægges.

På baggrund af den nye K*+V beregnes Fisher Weil varighed og konveksitet efter samme metode som tidligere er anvendt
I tabel 13.4 er K*+V og den tilhørende Fisher Weil varighed og konveksitet kun beregnet på de to obligationer der indgår i den optimale portefølje.
Side 41 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Tabel 13.4 Fisher Weil varighed og konveksitet om 12 måneder
BRF 2% 10-01-2017
20-03-2015 Tid (t)
Ydelse (y t) dt
10-01-2016
0,8110
2
10-01-2017
1,8137
102
Vedhængende rente
PV
FV
t
0,811
1,814
Sum
wt
0,02
0,97
0,99
Outp ut
t*wt
0,02
1,76
1,775
0,988
0,977
K*+V
K*+V
(t2+t)*wt
0,03
4,95
4,98
y t*dt
1,976
99,656
0,378
102,010
102,720
NYK 2% 01-01-2021
20-03-2015 Tid (t)
01-01-2016
0,786
01-01-2017
1,789
01-01-2018
2,789
01-01-2019
3,789
01-01-2020
4,789
01-01-2021
5,792
Vedhængende rente
t
PV
FV
t*wt
wt
0,786
1,789
2,789
3,789
4,789
5,792
Ydelse (y t) dt
2
2
2
2
2
102
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,89
0,98
Sum
Outp ut
1,775 Fisher Weil Varigheden
4,979 Fisher Weil Konveksiteten
0,02
0,03
0,05
0,07
0,09
5,16
5,42
0,988
0,977
0,962
0,944
0,922
0,897
K*+V
K*+V
(t2+t)*wt
0,03
0,09
0,20
0,33
0,50
35,06
36,22
y t*dt
1,976
1,955
1,925
1,887
1,844
91,541
0,427
101,982
102,693
5,420
36,216
Ovestående beregning viser, at varighed og konveksitet falder, med baggrund i den forventede værdi af obligationerne om tolv måneder.
På BRF 2017 obligationen falder varigheden fra 2,746 til 1,775 og konveksiteten fra
10,407 til 4,979. På NYK falder varigheden fra 6,411 til 5,420 og konveksiteten fra
48,988 til 36,216.
Konsekvensen for porteføljen er beregnet med baggrund i de vægte der blev fundet i
afsnittet vedrørende den optimale portefølje og giver nedenstående resultat.
Tabel 13.5 Varighed og konveksitet på porteføljen om 12 måneder, uændret renteniveau
Varighed og konveksitet på porteføljen om 12 mdr.
Optimal portefølje
K*+V
Varighed Konveksitet
BRF 2% 10-01-2017
102,72
1,775
4,979
NYK 2% 01-01-2021
102,69
5,420
36,216
Vægtet gennemsnit
3,022
15,665
Vægt
65,8%
34,2%
100%
Som det ses i tabel 13.5 falder porteføljens varighed fra 4,00 på tidspunkt t0 til 3,022 om
tolv måneder og konveksiteten fra 23,606 på tidspunkt t0 til 15.665 om tolv måneder.
Dette bekræfter argumentet om, at porteføljens varighed falder, efterhånden som tiden
til udløb minskes og kuponbetalingerne forfalder.
Hvis man holder faldet i varigheden op imod restløbetiden på benchmark obligationen
bliver billedet et lidt andet. Forholdet mellem varigheden på porteføljen og restløbetiden
stiger fra ca 1,5 til 1,8, når tiden rykkes tolv måneder frem på den uændrede nulkupon-
Side 42 af 77
Vejleder
Claus Juhl
rentekurve. Forholdet er beregnet som Porteføljens varighed/tid til udløb på benchmark
obligationen. Det vil sige, at immuniseringshorisonten, relativt set er steget og dermed
er risikoen på porteføljen steget. Dette accepteres med baggrund i, at det forventede
afkast er relativt stærkt overfor benchmark afkastet.
13.3. Rentefølsomhed i horisontafkastet på porteføljen
Følsomhedsberegningen på horisontafkastet er foretaget, som en choktest af porteføljen.
Der er opstillet følgende forudsætninger for testen.

Starttiden er t0 og dermed uændret

Nulkuponrenteniveauet er parallelforskudt med +50 basispunkter

K*+V er beregnet med udgangspunkt i den ny rentestruktur

Horisontafkastet beregnet efter samme metode

Vægten af de enkelte obligationer er uændret
Ud fra ovenstående forudsætninger er horisontafkast og konsekvenser for porteføljen
beregnet.
Tabel 13.6 Følsomhed på porteføljens horisontafkast
+ 50 bp
Varighed
2,745
Konveksitet
10,404
Horisontafkast
følsomhed +50bp
1,27%
102,16
4,586
26,248
1,01%
0,0%
0,00
0,00
100,36
6,358
3,981
48,567
23,460
0,87%
1,14%
0,29
34,2%
100%
3.303.792,50
9.629.743,89
Tab/gevinst
3.315.721,28
9.806.014,35
-193.985,65
Optimal portefølje
BRF 2% 10-01-2017
K*+V
102,60
NYK 2% 04-01-2019
NYK 2% 01-01-2021
Vægtet gennemsnit
Vægt Nominelværdi Ny Kursværdi
65,8% 6.325.951,39 6.490.293,06
Ud fra beregningen i tabel 13.6 vil horisontafkastet falde fra 1,37% til 1,14% for perioden. Den økonomiske konsekvens for investor er et fald i kursværdien (K+V) på
193.985,65 kr. svarende til 1,93% af det samlede investeringsbeløb.
Der er kun et begrænset fald i varigheden og konveksiteten. Dette var forventet, da løbetiden er den samme og der har ikke været kuponbetaling på nogen af de tre obligationer
endnu.
Side 43 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Som følge af faldet i horisontafkastet og en meget lille ændring i det valgte risikomål
ændres også forventet afkast / risiko forholdet. Ratioen falder fra 0,34 til 0,29 og dermed en mindre præmie til investor for, at påtages sig risikoen. Afkastet er dog forsat
markant over benchmark afkastet på 0,19 %.
13.3.1. Rebalancering af porteføljen
I denne analyse vil der ikke blive gået i dybden med emnet rebalancering af obligationsporteføljer og de overvejelser, som investor bød gøre sig i den forbindelse.
Udgangspunktet for investors fordele ved en rebalancering af porteføljen tager udgangspunkt i de samme forudsætninger, som er opstillet i beregning af den optimale
portefølje.

Porteføljevarigheden ≤ 4,00

Summen af de optimale andele i porteføljen = 100%
Dog er de beregnede obligationskurser (K+V) fra følsomhedsanalysen samt de tilhørende horisontafkast indsat i tabellen.
Herefter er SOLVER funktionen i Excel sat til, at finde den optimale portefølje under de
nye forudsætninger.
Tabel 13.7 Rebalancering af portefølje med følsomhedskurser og horisontafkast
Optimal portefølje
BRF 2% 10-01-2017
NYK 2% 04-01-2019
NYK 2% 01-01-2021
Vægtet gennemsnit
K*+V
103,97
104,45
103,48
Varighed
2,746
4,589
6,367
2,746
Konveksitet
10,407
26,269
48,647
10,407
Horisontafkast
følsomhed +50bp
1,27%
1,01%
0,87%
1,27%
0,46
Vægt
100,0%
0,0%
0,0%
100%
Med baggrund i de nye obligationskurser (K+V) og de tilhørende horisontafkast, er den
nye optimale porteføljesammensætning beregnet i tabel 13.7
Anbefalingen til investor vil, under de givne forudsætninger være, at investor sælger
sine NYK 2021 obligationer og køber BRF 2017 for provenuet. Dermed vil vægten af
Side 44 af 77
investeringen i BRF 2017 komme op på 100% og dermed den eneste obligation i porteføljen.
I forhold til den tidligere vægtning af obligationerne i porteføljen, vil horisontafkastet
stige fra 1,14% til 1,27%, samtidig med at immuniseringshorisonten, målt som varigheden på porteføljen, falder fra 3,981 år til 2,745 år.
Dermed opnår investor et højere forventet horisontafkast på en mindre risiko. Det er dog
vigtigt, at understrege at forudsætningen for denne betragtning er, at den nye rentestruktur holder sig uændret.
Da dette typisk ikke er tilfældet, vil det løbende være nødvendigt at foretage rebalancerings beregninger. Som tidligere nævnt, vil der være omkostninger forbundet med en
omlægning af porteføljen. Disse omkostninger er ikke medtaget i denne analyse, men
vil kunne påvirke på hvilke niveauer investor med fordel vil kunne omlægge sin portefølje.
14. Afdækning af renterisiko på obligationsporteføljen
I denne del af analysen vil fokus være på afdækning af renterisikoen på den optimale
portefølje, som blev etableret i tabel 13.3.
I denne analyse ses der på renterisikoen vedrørende en stigning eller et fald i renteniveauet, da begge senarier kan medfører tab for kunden. Risici som likviditetsrisiko og
kreditrisiko på obligationerne vil ikke blive behandlet i denne analyse. Dette fravalg er
lavet med baggrund i, at obligationerne i analysen alle er obligationer med en høj rating
og disse risici vurderes derfor som begrænset.
I analysen etableres en afdækning af renterisikoen i 4 år, som er lig med immuniseringshorisonten på porteføljen.
BRF 2017 obligationen udløber efter 2,814 år. Dette antages i analysen, at provenuet
geninvesteres i obligationer, der har udløb som stemmer overens med udløb på renteswappen.
Side 45 af 77
Vejleder
Claus Juhl
14.1. Renterisiko
Definitionen af renterisiko afhænger i høj grad af om man er låntager eller långiver. For
eksempelvis en virksomhed, der skal investere i nyt produktionsudstyr, vil renterisikoen
være risikoen for at renten stiger og deres omkostninger dermed stiger. Derfor vil de
søge mod fast rente og så lang en løbetid på deres finansiering som muligt. Dermed
eliminerer virksomheden den renterisiko der er forbundet med et stigende renteniveau
og opnå budget sikkerhed på deres investering. Ved at vælge fast rente mister virksomheden dog muligheden for, at opnå en besparelse på renteudgifterne ved faldende renteniveau. Det vil sige at uanset hvilken strategi der vælges, vil det betyde en eller anden
form for renterisiko.
I denne analyse er udgangspunktet investering i obligationer. Da obligationer kan defineres som et standardiseret gældsbrev, vil køber af en obligation kunne defineres som
långiver. I modsætning til låntager, ønsker långiver, variabel rente på fordringen således
betalingen hele tiden matcher den rente der er på udlån i markedet.
For en obligationsinvestor kan man definere renterisikoen, som risikoen for at man ikke
opnå et afkast på sin investering, der matcher det afkast som markedet giver på et given
tidspunkt.
En generel stigning i renteniveauet vil medføre et fald i obligationskursen. Dette opvejes dog til en vis grad af en højere geninvesteringsrente på de eventuelle kuponbetalinger der er på obligationen. Hvis det generelle renteniveau falder, vil obligationskursen
stige og investor opnår dermed en kursgevinst på obligationen. Det skal dog medregnes
i kursgevinsten, at geninvesteringsrenten også falder og denne konsekvens skal medregnes ved opgørelse af den faktiske gevinst.
Hvis investor beholder obligationen til udløb, opnår investor det afkast som obligationen er købt på. Hvis man tager udgangspunkt i NYK 2021 obligationen i denne analyse,
betyder det at investor skal holde sin investering i næsten 7 år, til et afkast der ligger
under markedsafkastet. Forudsætningen for denne betragtning er, at renteniveauet i hele
perioden ligger over det renteniveau som obligationen er købt på. Investor får ikke noget direkte tab på investeringen, hvis obligationen holdes til udløb. Investor vil derimod
ikke opnå det bedst mulige afkast, med den givne løbetid på investering.
Side 46 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Ud fra den betragtning kan renterisikoen defineres som det tab af merafkast som investor kunne have fået, hvis investor havde en investering hvor afkastet til enhver tid er lig
med det afkast, som man kan opnå i markedet med den givne løbetid på investeringen.
Uanset om renteniveauet stiger eller falder, kræver det at investor sælger sine obligationer og køber nye obligationer, hvis investor vil udnytte ændringerne i renteniveauet til
at optimere sit afkast.
I denne analyse vil fokus være på afdækning af renterisikoen på den portefølje, som
blev beregnet i tabel 13.3
Forudsætning er en forventning om et stigende renteniveau over de næste fire år og at
denne stigning kommer løbende over perioden. Hvis investor skal maksimere sit afkast
under denne forudsætning, vil det have den konsekvens, at porteføljen løbende skal rebalanceres. Det vil betyde mange handelsomkostninger og risiko for at investor ikke har
den rigtige timing i rebalancering af porteføljen.
Derfor ønskes det at finde en metode, hvor investor opnår en afdækning, hvor investor
kan beskytte sin porteføljeværdi mod stigende renteniveauer.
15. Renteswap
Den mest almindelige form for renteswap er en såkaldt plain vanilla renteswap.27 En
plain vanilla renteswap er en aftale mellem to parter om, at bytte betalingsstrømme i en
på forhånd aftalt periode og på forhånd aftalte vilkår. Den ene part betaler en variabel
rente og modtager en fast rente. Den anden part i aftalen betaler en fast rente og modtager en variabel rente.28
De fleste renteswap aftaler handles over-the-counter (OTC). Dette betyder, at der er en
meget høj grad af aftalefrihed parterne imellem. Elementer som hovedstol, løbetid, reference renter m.m. bestemmes før aftalen indgås. Der findes et meget lille marked standardiseret renteswaps, som handles gennem en central modpart på samme måde som
børsnoterede aktier og obligationer. I denne analyse forudsættes det, at renteswappen er
handlet OTC.
27
28
John C Hull, Options, Futures And Other Derivatives, 8. Version, 2012 side 147
Side 47 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Som nævnt er der to parter i en renteswap aftale, hvor den ene betaler en variabel rente
og den anden en fast rente, som illustreret i figur 15.1.
Figur 15.1. Illustration af betalingsstrømme i renteswap
Betalingsstrømme
Betaler fast rente
A
Modtager variabel rente
Modtager fast rente
B
Betaler variabel rente
Renten på det faste ben kan beregnes med baggrund i renten på det variable ben i renteswappen. Derfor skal der mellem parterne aftales en variabel referencerente. Som referencerente på renteswaps, der handles danske kroner, anvendes typisk CIBOR rentesatserne. Disse rentesatser fastsættes dagligt for løbetiderne på 1 og 2 uger samt fra
1,2,3,6,9,12 måneder.29
I praksis er det ikke almindeligt, at en detailkunde selv går i markedet og laver en renteswap direkte med en anden investor. Derfor handles der typisk gennem en market maker, som kan være en bank eller en anden finansiel institution30. Det betyder, at den
investor som ønsker, at indgå i en renteswap aftale, har banken eller en anden finansiel
institution som modpart i handelen. Market makeren vil herefter finde en anden kunde
der ønsker, at lave en modsatrettet forretning, som illustreret i figur 15.2
Figur 15.2. Betalingsstrømme på renteswap med Market Maker
Betalingsstrømme med Market Maker
Betaler fast rente
A
Modtager fast rente
Market Maker
Modtager variabel rente
B
Betaler variabel rente
Som alternativ til at finde en anden kunde kan Market Makeren afdække deres risiko
med køb af obligationer, Forward rate agreements eller rente futures.31
Der kan være mange forskellige incitamenter for parterne, med at indgå en renteswap
aftale. I pengeinstitutterne anvendes renteswaps blandt andet til, at skabe balance mel29
30
31
Kilde. www.finansraadet.dk /tal og statistik
Side 48 af 77
lem de forpligtelser de har på henholdsvis aktivsiden og passivsiden af deres balancer.
Ved at bruge renteswapes kan pengeinstitutterne meget hurtig for ændret deres balancestruktur således, at et eventuelt gap mellem rentesammensætningen på aktiv og passiv
siden, hurtig kan lukkes og dermed eliminere deres renterisiko.
I denne analyse vil fokus være på brugen af renteswaps til afdækning af renterisiko på
investering i en obligationsportefølje.
15.1. Risici ved anvendelse af renteswaps
Ud over renterisikoen eller markedsrisikoen er der flere andre risici man skal være opmærksom på, når man anvender renteswaps. Listen af risici i denne analyse er ikke udtømmende. Analysen indeholder kun de risici der vurderes mest relevant for analysen,
ud over renterisikoen som tidligere er beskrevet.
I denne analyse vil nedenstående risici bliver diskuteret.

Operationelrisiko

Kredit/modpartsrisiko
Operationelrisiko dækker blandt andet over dokumentationsrisikoen, som kan have stor
betydning for specielt renteswaps med lange løbetider. Når professionelle parter på det
finansielle marked laver renteswaps med hinanden anvendes typisk standardiserede ISDA kontrakter. Disse kontrakter dækker de fleste udfordringer der kan opstå ved handel
med finansielle kontrakter som rentesats32. Disse kontrakter ligger uden for denne analyse og vil ikke blive belyst yderligere.
I denne analyse er den ene modpart en professionel Market Maker, mens den anden part
er detailkunde. I denne analyses forudsættes Market Makeren, at være et dansk pengeinstitut.
En detailkunde kan defineres, som en part der ikke primært handler med finansielle produkter33. Derfor er der skærpede krav til rådgivning af en sådan kunde. Emnet behandles ikke yderligt i denne analyse, men det forudsættes, at alle krav i forhold til MIFID
reglerne er overholdt.
32
33
Kilde. www.isda.org
Kilde. www.finanstilsynet.dk ,Bekendtgørelse om investorbeskyttelse ved værdipapirhandel
Side 49 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Der laves typisk en rammeaftale mellem parterne, når det indgås en renteswapaftale.
Denne aftale vil indeholde krav til den sikkerhedsstillelse som detailkunden skal komme
med for, at aftalen kan indgås. Som detailkunde bør man være særligt opmærksom på
eventuelle stoploss klausuler i aftalen.
Hvis renteswappen får en negativ markedsværdi over et given niveau, vil pengeinstituttet kunne kræve yderligere sikkerheder eller lukke swappen uden varsel. Dette kan medføre store tab for kunden. Typisk vil aftalen kun omfatte krav til sikkerheder fra detailkunden og ikke fra det pengeinstitut der er modpart i renteswappen.
Kredit/modpartsrisiko er risikoen for, at den ene part i aftalen ikke kan overholde sine
forpligtelser. Den professionelle part i aftalen, vil som tidligere beskrevet, været dækket
af i form af sikkerheder og stoploss klausuler. Derimod vil detailkunden typisk ikke
have nogen sikkerheder for den risiko som de løber, når de laver den finansielle kontakt
med et pengeinstitut. De vil derfor være nødsaget til, at bero sig på en ekstern rating af
pengeinstituttet eller selv foretage den kreditvurdering af pengeinstituttet. En god rating
er dog ikke nogen sikkerhed for, at pengeinstituttet kan overholde deres forpligtelser.
Eksempelvis havde den amerikanske investeringsbank Lehman Brothers en meget høj
rating indtil få dage før de gik konkurs34. Risikoen for detailkunden er derfor, at markedsværdien af renteswappen er positiv, men modparten kan ikke overholde deres forpligtelser, hvis detailkunden ønsker, at lukke aftalen. Da der typisk ikke udveksles hovedstol i en plain vanilla renteswap er risikoen begrænset til betalingen fra pengeinstituttet og en eventuel urealiseret gevinst på renteswappen.
16. Prisfastsættelse af renteswap
Da der findes mange forskellige former for renteswaps, er der også mange forskellige
måde at prissætte renteswaps på.
I denne analyse tages der udgangspunkt i en prisfastsættelse af en plain vanilla renteswap, hvor den ene part betaler en fast rente og modtager en variabel rente. Den anden
part i swappen betaler en variabel rente og modtager en fast rente.
34
theguardian.com: 13.09.2013 Lehman Brothers, Was capitalism to blame
Side 50 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Ved indgåelse af en renteswap aftale er værdien af swappen lig med nul35. Her ses der
bort fra eventuelle omkostninger til en Market Maker. Det skyldes, at aftalen mellem
parterne er et udtryk for, at de blot bytter betalingsstrømme i en aftalt periode.
En renteswap udløber umiddelbart efter den sidste betaling. De to ben i renteswappen
kan sammenlignes med to obligationer. Det betyder, at renteswappen udløber i kurs 100
og har dermed en markedsværdi på nul, når den udløber. Følsomheden på renteswappen
bliver også mindre jo tættere den kommer på udløb og de enkelte betalinger i swap aftalen bliver afregnet. Dette er også argumentet for, at følsomheden er større på en renteswap med lang løbetid set i forhold til en renteswap med kort løbetid.
I virkeligheden vil værdien af en renteswap, næsten altid starte med en negativ markedsværdi for detailkunden. Det skyldes, at Market Maker typisk lægger deres indtjenings marginal på den rente, som kunden skal betale. Det betyder, at den faktiske rente
som kunden i denne analyse skulle betale, ville være højere end den teoretiske pris som
beregnes i analysen.
Der er to metoder der anvendes til værdiansættelse af en renteswap.36

Obligationsmetoden

Forward Rate Agreement metoden (FRA metoden)
Obligationsmetoden tager sit udgangspunkt i en fast rente obligation og en variabel forrentet obligation. Swappen konstrueres ved at købe en obligation med en løbetid på t0+1,
som er det variable ben i renteswappen. Det faste ben fastsættes ved at sælge en obligation med en løbetid på t0+n , hvor n er lig med løbetiden på aftalen.
FRA metode tager sit udgangspunkt i forwardrente strukturen på tidspunkt t0. Her beregnes værdien af renteswappen som værdien af alle de købte FRA’er.
Med baggrund i den tidligere beregnede obligationsportefølje, er der opstillet følgende
forudsætninger for beregningen af renteswappen. Der er valgt en løbetid på fire år, da
35
36
Side 51 af 77
Vejleder
Claus Juhl
obligationsporteføljen har en varighed på fire år. Dette svarer til, at porteføljen om fire
år, vil være upåvirket af eventuelle ændringer i rentestrukturen.

Løbetid
4 år

Hovedstol
10.000.000 kr.

Startdato
17.03.2014

Slutdato
17.03.2018

Rentekonvention
Faktisk/Faktisk, valør 2 dage

Referencerente
CIBOR 12

Rentetilskrivning
Årlig og ultimo perioden

Amortisering
Stående
Med en antagelse om, at de Nelson-Siegel-Svensson parametre der blev beregnet i tabel
9.2 også gælder for beregning af nulkuponstrukturen til renteswappen, anvendes disse
også til beregning af nulkupon- og forwardrentestruktur i denne del af analysen.
Til denne analyse anvendes rentekonventionen Faktisk/Faktisk. Denne rentekonvention
er valgt med baggrund i, at det er denne rentekonvention der anvendes på obligationerne
i analysen.
Da renteswaps handles OTC, er der ikke nogen rentekonvention, der er den rigtige. Typisk handles finansielle kontrakter med rentekonventionen 30/360 eller Faktisk/360. I
princippet kan der være en rentekonvention på den ene ben og en anden rentekonvention på det andet ben.
16.1. Prisfastsættelse af renteswappen med obligationsmetoden
Når obligationsmetoden anvendes til prisfastsættelse af renteswappen er værdien lig
med værdien af den solgte obligation fratrukket værdien af den købte obligation. Dermed kan værdien beregnes ud fra formel 16.137
Formel 16.1 Vswap = Bvar – Bfast
37
Side 52 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Hvor
Vswap = Værdien af renteswappen
Bvar = Værdien af variabelrente benet
Bfast = Værdien af fastrente benet
Som tidligere nævnt er værdien af renteswappen nul på det tidspunkt hvor den bliver
indgået. Derfor kan den faste eller variable rente i swappen beregnes ud fra formel 16.2
Formel 16.2
Bvar = Bfast
Denne sammenhæng mellem det faste og det variable ben, kan kun antages på tidspunktet for indgåelse af renteswap aftalen. Når der sker ændring i den bagvedliggende rentestruktur, vil værdien af de to ændre sig uafhængigt af hinanden.
16.1.1. Værdiansættelse af det variable ben
Når værdien af det variable ben i en renteswap skal fastsættes kender man kun cashflowet for den første periode. I denne analyse anvendes CIBOR 12 måneder som reference
rente og der er årlig tilskrivning. På den baggrund kan renten på det variable ben for den
første periode fastsættes til CIBOR 12 satsen den 17.03.2014. Denne sats er 0,7650%38.
De variable rentesatser for resten af løbetiden på renteswappen er ikke kendt på tidspunktet for indgåelse af aftalen. Disse satser kendes først, når der sker en ny rentefixing
om henholdsvis 12,24 og 36 måneder.
Da der udveksles betalinger efter hver termin, er kursen på det variable ben lig med hovedstolen umiddelbart efter afregningen. Det vil sige kurs 100. Værdien af det variable
ben kan skrives som
38
Kilde. www.finansraadet.dk /tal og statistik
Side 53 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Formel 16.3 (L+k*)*(1+r*)-t*
Hvor
L = Hovedstolen på renteswappen
k* = Renter som tilskrives terminen
r* = Terminsrenten
t* = Tidspunktet lige efter afregningen af rentebetalingerne
Da rentebetalingen tilbagediskonteres med den samme rente, som anvendes i forbindelse med rentetilskrivningen, vil værdien af det variable ben være lig med hovedstolen på
renteswappen. Denne sammenhæng kan skrives som Bvar = Lt*
Værdien af den variable ben i denne analyse, kan derfor beregnes som
Nutidsværdi = (10 mio. + (10 mio*0,7650))*(1+0,7650)-1 = 10 mio. kr. = kurs 100
16.1.2. Værdiansættelse af det fastforrentede ben
Når det fastforrentede ben i renteswappen skal værdiansættes, gøres det ved at finde
nutidsværdien af alle de fremtidige cashflows, der er på det faste ben i hele løbetiden.
Metoden der er anvendt i denne analyse er, at opstille alle fire cashflow der skal betales
på det faste ben i renteswappen. Derefter er disse cashflows tilbagediskonteret, med den
nulkuponrentestruktur der er beregnet til værdiansættelse af renteswappen.
Derefter er Excels Målsøgningsanalyse funktion anvendt til, at finde den rentesats der
sikre, at nutidsværdien af det faste ben i renteswappen er lig med nutidsværdien af det
variable ben i renteswappen. Dermed har man fundet den faste rente på renteswappen
og forudsætningen om, at Bvar = Bfast er opfyldt.
I tabel 16.1 ses de nulkuponrente og tilhørende diskonteringsfaktorer der er beregnet
ved brug af Nelson-Siegel-Svensson modellen.
Side 54 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Tabel 16.1 Nulkuponrente til prissætning af renteswap ved obligationsmetoden
Tid (t)
Nulkuponrente
19-03-2014
0,0
19-03-2015
19-03-2016
19-03-2017
19-03-2018
1,0
2,0
3,0
4,0
Diskonteringsfaktor (dt)
1,00000
0,583%
0,696%
0,864%
1,059%
0,99420
0,98620
0,97449
0,95873
Tabel 16.2 viser beregning af både det faste ben og de variable ben i renteswappen ud
fra obligationsmetoden.
Tabel 16.2 Beregning af den faste rente i renteswappen ud fra obligationsmetoden.
Prisfastsættelse renteswap ved obligationsmetoden
Hovedstol
Fast rente ben
Antal terminer p.a.
Løbetid
10.000.000,00
1,05%
1
4 år
CIBOR 12
Tid (t)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
0,765%
0,992408078 (dt)
Nulkupon Diskonteringsfaktor Cashflow faste Cashflow
NV variable
rente
(dt)
ben
variable ben
NV faste ben ben
1,000000
0,58%
0,994202
105.464,85
10076500
104.853,35 10.000.000,00
0,70%
0,986199
105.464,85
104.009,37
0,86%
0,974495
105.464,85
102.774,95
1,06%
0,958725 10.105.464,85
9.688.362,32
Sum
10.000.000,00 10.000.000,00
Værdi af variabelt ben
Værdi af fast ben
Værdi af swappe n
10.000.000,00
10.000.000,00
0,000
Ud fra beregningen i tabel 16.2 er den faste rente der får værdien til være lig nul på indgåelsestidspunktet = 1,05%, (rentesatsen er afrundet).
Dermed vil investor skulle betale en fast rente på 1,05% til modparten og investor vil
modtage CIBOR 12 satsen.
Side 55 af 77
Vejleder
Claus Juhl
17. Forwardrentemetoden
Forwardrenten udtrykker den perioderente der er mellem to terminer på nulkuponrentekurven39. Den beregnes ud fra nulkuponstrukturen ved brug af formel 17.1
Formel 17.1 ft-,1-t = ((1+nt)t/(1+nt-1)t-1) -1
Hvor ft-,1-t = forwardrenten mellem tiden t-1 og tiden t, n = Nulkuponrente med løbetiden t
Forwardrenterne anvendes i prissætningen af en lang række finansielle instrumenter
som renteswaps, forward rate agrements (FRA) og optioner. Forwardrentekurven har
den sammenhæng med nulkuponrentekurven, at når nulkuponrenten stiger vil forwardrenten være højere og omvendt40.
17.1. Værdiansættelse med FRA metoden
Når FRA metoden anvendes til værdiansættelse af en renteswap, betragtes det variable
ben i swappen, som en portefølje af FRA’er. Dermed kan værdien estimeres som nutidsværdien af det netto cashflow der er på renteswappen.
I denne analyse anvendes nedenstående fremgangsmåde til beregning af værdien på
FRA’erne i renteswappen41.
1. Beregning af forwardrenterne ud fra den nulkuponkurve, som anvendes i analysen
2. Beregning af det cashflow der vil være til hvert tidspunkt, hvor der sker en fixing af renteswappen på baggrund af forwardrenterne
3. Alle cashflows tilbagediskonteres med de diskonteringsfaktorer der tilhører nulkuponkurven.
Ved at anvende ovenstående fremgangsmåde opnås en netto nutidsværdi af cashflowet
på renteswappen. I lighed med fastsættelse af det faste ben i obligationsmetoden er Excel Målsøgningsanalysen anvendt til, at finde den faste rente der gør at Bvar = Bfast.
39
40
41
Side 56 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Forwardrentekurven som anvendes i denne analyse er vist i tabel 17.1. Da den estimerede nulkuponkurve er stigende i hele perioden, ligger forwardrenten over nulkuponkurven i hele perioden.
Tabel 17.1 Beregning af forwardrenter til værdiansættelse på renteswap
Start
0,0
1,0
2,0
3,0
Slut
1,0
2,0
3,0
4,0
Nulkuponrente
0,58%
0,70%
0,86%
1,06%
Forward renten
0,58%
0,81%
1,20%
1,64%
17.1.1. Test af fowardrenten
Der er indbygget et væsentligt arbitrage argument i forwardrenten.42 Det vil sige, at hvis
man køber en nulkuponobligation med en løbetid på eksempelvis 2 år, så skal afkast
være lig med afkast på en 1 årig nulkuponobligation, hvor afkastet geninvesteres til
forwardrenten mellem år 1 og 2.
Jævnfør den tidligere beskrevet forventningsteori er udgangspunktet for den rene forventningsteori givet ved sammenhængen mellem nulkuponrentekurven og forwardrentekurven.43 Sammenhængen kan skrives som
Formel 17.2 (1+nt) = ((1+f0,1)*(1+f1,2)*…..(1+ft-1,t)
Hvor nt = Nulkuponrenten til tidspunkt t, ft-1,t = Forwardrenten mellem tidspunkt t-1 og t
I tabel 17.2 er forwardrenterne i tabel 17.1 testet ud fra ovenstående sammenhæng
Tabel 17.2 Test af forwardkurven
Test af Forwardrenten
Afkast nulkupon obligation
0,58%
0,70%
0,86%
1,06%
42
43
Afkast forwardrentekurven
0,58%
0,70%
0,86%
1,06%
Side 57 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Ud fra ovenstående beregning er der sammenhæng mellem afkastet ved en investering i
nulkuponobligationer og en investering i forwardkurven ud fra formel 17.2
Da forwardrenterne er beregnet ud fra nulkuponkurven, er resultatet ikke overraskende.
I virkeligheden vil der ind imellem kunne opstå arbitrage muligheder i markedet, hvis
markedsdeltagerne har forskellige opfattelser af nulkuponstrukturen. Hvis man antager
at markederne er effektive, vil disse muligheder dog hurtigt blive lukket.44
17.2. Fastsættelse af det faste ben med FRA metoden
Tabel 17.3 viser beregningen af værdien af både det faste og det variable ben på renteswappen ud fra FRA metoden.
Tabel 17.3 Beregning af den faste rente ud fra FRA metoden.
Prisfastsættelse af renteswap med FRA metoden
Hovedstol
Fast rente ben
Antal terminer p.a.
Løbetid
Tid (t)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
10.000.000,00
1,05%
1
4 år
Nulkupon
rente
Forwardrenten
0,583%
0,696%
0,864%
1,059%
Cashflow faste Cashflow
ben
variable ben
0,5832%
0,8114%
1,2011%
1,6449%
Værdi af swappen
105.465,23
105.465,23
105.465,23
105.465,23
58.318,73
81.145,00
120.108,81
164.487,51
Sum
Nutidsværdi af Diskonteringsf
Netto cashflow netto cashflow aktor (dt)
-47.146,50
-24.320,23
14.643,58
59.022,28
-46.873,14
-23.985,06
14.270,43
56.587,77
0,00
0,9942
0,9862
0,9745
0,9588
0,000
Ud fra beregningerne i tabel 17.3, vil den faste rente sikre, at værdien af renteswappen
vil være nul på tidspunktet for indgåelse af aftalen. Beregningen viser en fast rente på
1,05 % (rentesatsen er afrundet).
Det betyder at den samlede nutidsværdi af cashflowet i renteswappen skal være lig med
nul. Nutidsværdien af de enkelte FRA’er kan være positiv eller negativ, så længe den
44
Side 58 af 77
samlede værdi er lig med nul.45 I figur 17.1 er værdien af FRA ’erne i denne analyse
illustreret.
Figur 17.1 Nutidsværdi af FRA’er i renteswap
Ud fra værdien af de enkelte FRA’er i renteswappen, kan man udlede strukturen på
forwardrentekurven, på tidspunktet for indgåelse af aftalen.46
Hvis værdierne er negative i starten af renteswappen og positive i slutningen, indikere
det en forwardrente der er stigende med tiden. Årsagen er de første cashflows betaler en
rente der er lavere end den faste rente i swappen og netto cashflowet bliver dermed negativt. De cashflows der forfalder sidst i renteswappen betaler en rente der er højere end
den faste rente og værdien bliver dermed positiv.
Hvis det omvendte er tilfældet viser det, at forwardrentestrukturen er faldende med tiden.
For renteswappen i denne analyse gælder nedenstående med hensyn til værdien af den
enkelte FRA’er.

Værdien af FRA’en er > 0 når forwardrenten er > 1,05 %

Værdien af FRA’en er = 0 når forwardrenten er = 1,05 %

Værdien af FRA’en er < 0 når forwardrenten er < 1,05 %
18. Sammenligning af obligationsmetoden og FRA metoden
I foregående afsnit blev det faste ben i renteswappen fastsat, med baggrund i obligationsmetoden og FRA metoden. I begge tilfælde blev den faste rente i swappen 1,05 %
45
4646
Side 59 af 77
Vejleder
Claus Juhl
(afrundet). Resultatet er ikke overraskende, da begge beregninger har udgangspunkt i
den samme nulkuponrente struktur.
Det vil sige, at da forwardrenterne og diskonteringsfaktorerne bliver udledt af den samme rentekurve, bør resultatet derfor også blive det samme, uanset hvilken metode der
anvendes.
Som nævnt i afsnittet vedrørende nulkuponobligationer, er der ikke noget stort marked
for handel med nulkuponobligationer i danske kroner. Derfor kan der ikke aflæses nogen nulkuponrente struktur direkte i markedet. Hver part i renteswappen vil derfor, i
princippet, selv skulle beregne en nulkuponrentekurve til prisfastsættelse af renteswappen. Dermed kan parterne godt have forskelige nulkuponrentekurver og dermed komme
frem til forskellige priser på renteswappen. Da renteswaps handles OTC, vil den ”rigtige” pris dermed blive en forhandling mellem de to parter.
I denne analyse er den ene part en detailkunde og prisen på renteswappen vil typisk ikke
være til forhandling. Det vil være pengeinstituttet der stiller prisen. Derfor vil det være
kundens tillid til modparten, der i mange tilfælde vil afgøre om prisen er ”rigtig” for
kunden.
19. Afdækning af renterisikoen på obligationsporteføljen
Da renteswappen består af to obligationer, kan BPV på renteswappen, beregnes som
ændringen i markedsværdien, ved en ændring i renteniveauet med 1 basispunkt.
I denne beregning vil BPV blive beregnet med udgangspunkt i renteswappen som blev
prisfastsat ved hjælp af FRA metoden i tabel 17.3.
Tabel 19.1 Beregning af BPV på renteswappen
Side 60 af 77
Vejleder
Claus Juhl
BPV af renteswap, FRA metoden
Hovedstol
Fast rente ben
Antal terminer p.a.
Løbetid
∆ Forwardrenten
Tid (t)
1,0
2,0
3,0
4,0
10.000.000,00
1,05%
1
4 år
0,00%
Nulkupon
Cashflow faste Cashflow
Nutidsværdi af Diskonterings
rente
Forwardrenten
ben
variable ben
Netto cashflow netto cashflow faktor (dt)
0,593%
0,5932%
105.465,23
59.318,73
-46.146,50
-45.874,38
0,9941
0,706%
0,8215%
105.465,23
82.147,76
-23.317,47
-22.991,55
0,9860
0,874%
1,2111%
105.465,23
121.108,80
15.643,57
15.240,41
0,9742
1,069%
1,6549%
105.465,23
165.487,49
60.022,26
57.523,73
0,9584
Sum
3898,21
Værdi af swappen
3898,206
Forudsætningerne i beregningen i tabel 19.1, er en parallelforskydning af nulkuponrenterne med 1 basispunkt. Ud fra beregningen vil markedsværdien på renteswappen ændre
sig med 3.898,206 kr.
Da kursen på obligationerne er 100 på tidspunkt t*, kan BPV beregnes til
BPV = (∆ markedsværdien / Hovedstolen) *100 = 0,03898 (afrundet)
På samme måde som ved renteswappen er ændringerne i markedsværdien på obligationsporteføljen beregnet, ved en ændring i renteniveauet på 1 basispunkt.
Tabel 19.2 BPV på obligationsporteføljen
+ 1bp
Porteføljen
BRF 2% 10-01-2017
K*+V
103,973
Vægt
65,8%
Nominelværdi
6.325.951,39
Ny Kursværdi
6.577.259,16
NYK 2% 01-01-2021
103,481
34,2%
3.303.792,50
3.418.805,82
100%
9.629.743,89
Tab/gevinst
9.996.064,98
-3.935,02
Ved en parallelforskydning i nulkuponstrukturen på + 1 basispunkt vil værdien af obligationsporteføljen blive reduceret med 3.935,02 kr. Dermed kan porteføljens BPV beregnes til 0,0393. Alternativ kunne den BPV på obligationerne, som blev beregnet ud
Side 61 af 77
Vejleder
Claus Juhl
fra Fisher Weil varigheden. Ved at gange BPV med vægten af de enkelte obligationer i
porteføljen, ville det give en portefølje BPV på ca. 0,041.
Det er tidligere i analysen belyst, at der er en difference mellem BPV beregnet ud fra
varigheden og det faktiske fald i kursværdien. Derfor er det valgt at bruge den sikre,
men noget mere regne tunge metode, hvor BPV udledes direkte fra obligationernes
cashflows.
BPV anvendes i denne analyse til beregningen af en hedge ratio, som anvendes til beregning af hovedstolens størrelse i renteswappen. Da selv små udsving i BPV kan give
fejl i beregningen af hedge ratioen, kan det også give en fejlberegning af hovedstolen i
renteswappen. Denne fejl kan betyde, at afdækningen bliver skæv og medføre utilsigtede tabs risiko for kunden. Disse tab vil være urealiserede tab, som vil gå mod nul, efterhånden som tid til udløb falder. Dog opstår der risiko for, at en eventuel stop loss klausul effektueres og dermed bliver det et realiseret tab. Derudover er skatte- og regnskabsmæssige konsekvenser forbundet med en negativ markedsværdi. Dette behandles
ikke yderligere i denne analyse.
19.1. Etablering af optimalt hedge
Det optimale hedge i denne analyse er defineret som der, hvor renterisikoen på obligationsporteføljen er så tæt på fuldt afdækket som muligt.
I denne analyse foretages et såkaldt delta hedge47, hvor forholdet mellem BPV på obligationsporteføljen og renteswappen anvendes. Dette forhold omregnes til en hedge ratio, som anvendes til at bestemme størrelsen på hovedstolen i renteswappen.
Tidligere i analysen blev det konstateret, at konveksiteten ikke havde den store indflydelse på følsomheden i denne analyse. Havde der været en høj konveksitet på porteføljen eller derivatet, kunne det være nødvendigt at korrigere for dette. Delta tilføjes i dette
tilfælde et gamma hedge, der korrigere for konveksiteten. 48
47
48
Side 62 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Ved at anvende varighed eller BPV som udtryk for risikoen, anvendes dermed en 1ordens Taylor approksimation. Hvis konveksiteten inddrages er det en 2-ordens Taylor
approksimation der anvendes, som gennemgået tidligere i analysen
Når en renteswap anvendes til afdækning af renterisikoen, er der forudsætninger som
skal være opfyldt, for at opnå en 100 % afdækning af porteføljen. Det er for eksempel
nødvendig, at alle cashflows skal afdækkes nøjagtigt med hensyn til betalingsdatoer og
beløb. Derudover skal varighed og konveksitet være ens. Dette er meget sjældent muligt
når, det er en portefølje af obligationer der skal afdækkes. Betalingsdatoerne og løbetid
på obligationerne vil typisk afvige fra hinanden.
De to obligationer i porteføljen har forskelige kuponbetalingsdatoer, som igen er forskelige fra betalingsdatoerne på renteswappen. Derudover er BPV på porteføljen og swappen ikke ens og konveksiteten afviger også.
Betalingsdatoen på renteswappen er lagt efter kuponbetalingerne på de to obligationer i
porteføljen. Dette er valgt for, at minimere de likviditetsmæssige konsekvenser for investor.
Derfor må der forventes en mindre difference i afdækningen, hvilket vurderes som acceptabelt. Dette er ikke afgørende for at kunne konkludere på om en renteswap kan anvendes som afdækningsredskab på en obligations portefølje.
Nedenstående formel bruges til, at identificere hedge ratioen.
Formel 19.1 Hedge ratio = BPVport/BPVswappen
Med baggrund i ovenstående formel er den hedge ratio der anvendes i denne analyse
beregnet i tabel 19.3
Tabel 19.3 Beregning af hedge ratio og hovedstol i renteswappen
Hovedstol i renteswappen
BPV obligationsportefølje
BPV renteswappen
Hedge ratio
Kursværdi oblitagionsporteføljen
Renteswap beløb
0,03935
0,03898
1,009
10.000.000,00
10.094.439,77
Side 63 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Beregningerne i tabel 19.3 betyder, at der etableres en renteswap med en hovedstol på
10.094.439,77 kr. og en fast rente på 1,05 % (afrundet). Ved en uændret rentestruktur
er nutidsværdien og dermed markedsværdien på tidspunkt t* en værdi på nul, som er
vist i tabel 19.4
Tabel 19.4 Renteswap til afdækning af renterisikoen på obligationsporteføljen
Følsomhed på renteswappen
Hovedstol
Fast rente ben
Antal terminer p.a.
Løbetid
∆ Nulkuponrenten
Tid (t)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
10.094.439,77
1,05%
1
4 år
0,00%
Nulkuponrente
0,583%
0,696%
0,864%
1,059%
Forwardrenten
0,5832%
0,8114%
1,2011%
1,6449%
Cashflow faste
ben
Cashflow
variable ben
106.461,24
106.461,24
106.461,24
106.461,24
58.869,49
81.911,33
121.243,12
166.040,93
Sum
Værdi af swappen
Netto cashflow
-47.591,75
-24.549,91
14.781,87
59.579,69
Nutidsværdi af Diskonterings
netto cashflow faktor (dt)
-47.315,81
-24.211,57
14.405,20
57.122,19
0,00
0,9942
0,9862
0,9745
0,9588
0,00
Ud fra renteswapmodellen i tabel 19.4 og obligationsporteføljen i tabel 13.3 er der foretaget en række scenarie analyser. Her forudsættes parallelforskydninger i nulkuponrentekurven på henholdsvis -1 basispunkt, -50 basispunkter, +1 basispunkt og +50 basispunkter. Beregning af obligationskurserne (K*+V) og renteswaps findes i bilag 5 og
bilag 6
Side 64 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Tabel 19.5 scenarie analyser ved parallelforskydning i nulkupon renterne
+ 1bp
Porteføljen
BRF 2% 10-01-2017
NYK 2% 01-01-2021
K*+V
103,97
103,48
Vægt
Nominelværdi
Ny kursværdi
65,8%
6.325.951,39
6.577.259,16
34,2%
3.303.792,50
3.418.805,82
100,0%
9.629.743,89
9.996.064,98
Tab/gevinst obligationsportefølje
-3.935,02
Tab/gevinst renteswappen
3.935,02
Difference
-0,00
Difference i %
0,000%
+ 50bp
Porteføljen
BRF 2% 10-01-2017
NYK 2% 01-01-2021
K*+V
102,60
100,36
Vægt
Nominelværdi
65,8%
6.325.951,39
34,2%
3.303.792,50
100,0%
9.629.743,89
Difference
Difference i %
- 1 bp
Porteføljen
BRF 2% 10-01-2017
NYK 2% 01-01-2021
K*+V
104,029
103,611
Vægt
65,8%
34,2%
Nominelværdi
6.325.951,39
3.303.792,50
100,0%
9.629.743,89
Difference
Difference i %
- 50 bp
Porteføljen
BRF 2% 10-01-2017
NYK 2% 01-01-2021
K*+V
105,43
106,85
Vægt
Nominelværdi
65,8%
6.325.951,39
34,2%
3.303.792,50
100,0%
9.629.743,89
Difference
Difference i %
Ny kursværdi
6.490.293,06
3.315.721,28
9.806.014,35
-193.985,65
194.402,37
416,72
0,004%
Ny kursværdi
6.580.842,88
3.423.094,43
10.003.937,31
3.937,31
-3.936,96
0,35
0,000%
Ny kursværdi
6.669.492,15
3.530.209,47
10.199.701,63
199.701,63
-199.244,28
457,34
0,005%
Ud fra beregningerne i tabel 19.5 vil obligationsporteføljen være afdækket over for renterisikoen under de opstillede forudsætninger.
Ved små forskydninger i nulkuponrente kurven er afdækningsgraden meget høj. Ved
ændringer på + 1 basispunkt, vil det tabet på obligationsporteføljen være afdækket
100%. Hvis der derimod kommer et fald i nulkuponrenteniveauet med – 1 basispunkt,
vil differenceværdien være 0,35 kr. Set i forhold til den samlede kursværdi på DKK 10
mio., kan denne afdækning betragtes som en fuld afdækning.
Ved en ændring i renten på + 50 basispunkter, vil differencen, mellem obligationsporteføljen og renteswappen, være +416 kr. Ved en fald i nulkuponrenteniveauet med – 50
Side 65 af 77
basispunkter, vil differencen være +457 kr. I begge senarier betragtes dette som en fuld
afdækning af renterisikoen.
En del af forklaringen på, at renteswappen har en mindre følsomhed over for ændringer
i renteniveauerne, kan henføres til en lavere konveksitet på renteswappen. Den vægtede
konveksitet på obligationsporteføljen er beregnet til 23,606, mens en beregning af konveksiteten på renteswappen giver en konveksitet på 19,612. Dermed er der en mindre
procentvis fejl i varigheden på renteswappen, set i forhold til obligationsporteføljen. Da
BPV har en sammenhæng med varigheden, vil BPV på renteswappen derfor alt andet
lige være mere præcis.
Med baggrund i beregningerne er det påvist, at på den portefølje af obligationer, som er
etableret i denne analyse, kan en plain vanilla renteswap godt anvendes til afdækning af
renterisiko.
Som tidligere beskrevet, er det sjældent at der forekommer parallelle forskydninger i
rentestrukturen. Der er i analysen anvendt en rentekurve, hvor der er mulighed for proportionale skift i rentekurven. Derfor vurderes det, at en forskydning af kurven med 50
basispunkter, vil dække over de fleste realistiske scenarier. Der er også lavet en choktest
med + 100 basispunkter. Her har renteswappen en positiv værdi på ca. 1.640 kr. i forhold til obligationsporteføljen. Et lignede senarie med –100 basispunkter er ikke lavet,
da det vil have den konsekvens, at nulkuponrenterne på tidspunkt 1,2 og 3 år ville blive
negative. Dette senarie vurderes som meget urealistisk og derfor ikke relevant.
20. Konklusion
Udgangspunktet for denne analyse har været, at svare på problemstillinger som er opstillet i problemformuleringen med de begrænsninger som er forudsat for analysen.
Til analysen, vedrørende synliggørelse af et forventet afkast for en periode på ca 2,6 år,
er etableret et benchmark afkast. Dette benchmark er en investering i en dansk statsobligation med udløb 15.11.2016 og en hold til udløb strategi. Dette giver et benchmark
afkast på 0,19%, som er lig den effektive rente på statsobligationen. Der er etableret et
investeringsunivers bestående af tre danske realkreditobligationer, som alternative investeringsmuligheder. Dette er udvalgt således, at betalingsprofil og amortiseringsprofilen
Side 66 af 77
Vejleder
Claus Juhl
er tilnærmelsesvis sammenlignelig med benchmark obligationen. Alle obligationerne
har dog en længere løbetid end benchmark.
Der er estimeret en nulkuponrentestruktur, som er anvendt gennem hele analysen. Denne nulkuponrentestruktur er udledt, af en reference swaprente kurve fra 17.03.2014.
Denne struktur er udledt ved hjælp af Nelson-Siegel-Svensson modellen. Denne metode
er valgt, da den tillader alle former for forløb af rentekurven frem i tiden. Rentekurven
blev testet på obligationerne i investeringsuniverset og viste et tilfredsstillende resultat,
som redskab til prissætning af obligationerne. Dog fremkom der en mindre afvigelse
ved prissætning af obligationen med den længste løbetid, når den blev sammenlignet
med den markedspris, som blev observeret den 17.03.2014.
På alle obligationerne i investeringsuniverset er risikoen på hver obligation beregnet. I
denne analyse er anvendt Fisher-Weil varigheden og den deraf afledte konveksitet. Fisher-Weil metoden tager udgangspunkt i nulkuponrentestrukturen og tillader proportionale skift i rentekurven. Dermed opnås en varighed der tager højde for en mere realistisk renteudvikling end andre metoder. Varigheden vil derfor være mere præcis som
udtryk for kursrisikoen, restløbetiden og immuniseringshorisont på obligationerne.
Analysen viste ikke overraskende, at obligationernes tid udløb har en stor indflydelse på
varigheden. Den beregnede varighed og konveksitet blev i analysen choktestet ved, at
parallelforskyde nulkuponrentestrukturen med +50 basispunkter. Ved denne test blev
det påvist, at konveksiteten på obligationerne i denne analyse ikke havde den store indflydelse.
Med baggrund i den estimerede nulkuponrentestruktur, blev horisontafkastet på obligationerne beregnet. Denne beregning blev foretaget under forudsætning af, at obligationerne blev købt den 17.03.2014 og solgt igen den 15.11.2016. Ved at fremdiskontere
alle fremtidige betalinger og tillægge geninvesteringsgevinsten på de betalinger der falder inden 15.11.2016, blev værdien estimeret.
Analysens resultat viste, at alle obligationerne gav et horisontafkast der er markant bedre end benchmark. Ved investering i obligationerne enkeltvis, kan investor forvente et
afkast mellem 1,28 % og 1,54 %. En følsomhedstest på afkastet, hvor rentekurven blev
hævet med 50 basispunkter, viste at afkastet stadigvæk ville være bedre end benchmark.
Side 67 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Resultaterne viste her et horisontafkast mellem 0,87% og 1,27 %. Den samlede konklusion er, at horisontafkastet på obligationerne er meget stærkt overfor benchmark.
På baggrund af analyserne på de enkelte obligationer, blev der beregnet en optimal porteføljesammensætning. Den optimale portefølje blev beregnet under forudsætning af
bedst muligt horisontafkast, hvor den vægtede varighed på porteføljen skulle være ≤ 4.
Dette resulterede i en portefølje bestående af to obligationer, hvor 65,8% skulle investeres i BRF 2017 og 34,2% i NYK 2021 obligationen. Horisontafkastet på porteføljen,
med en vægtet varighed på 4, blev 1,37 % ved uændret renteniveau og 1,14 % ved en
choktest, hvor renteniveauet blev løftet med 50 basispunkter på alle renterne.
Det samlede konklusion er, at en investering i en portefølje af de alternative investeringsmuligheder giver et absolut afkast der er langt bedre afkast end benchmark afkastet.
Da de valgte obligationer i analysen har en løbetid der er længere end benchmark er
løbetidsrisikoen dermed højere. I denne analyse er det valgt kun, at fokusere på den renterisiko, som der er ved investering i alternativerne. Renterisiko opstår primært som
følge af den længere løbetid, da kuponerne er stort set ens. I analysen blev det valgt, at
undersøge en afdækning af renterisikoen i fire år. Baggrunden for dette valg er taget ud
fra porteføljens varighed på 4. Dette betyder, at porteføljen efter fire år, vil være upåvirket af eventulle ændringer i rentestrukturen.
Til analyse blev der valgt en plain vanilla renteswap, hvor investor skal betale en fast
rente og modtage en variabel. Efter en gennemgang af produktet og de overordnede
risici ved at deltage i en renteswap, blev prisen på den faste rente i renteswappen fastsat.
Der er i analysen anvendt to metoder til prissætning af den faste rente. Obligationsmetoden, hvor man kender den første variable betaling på swappen. Den faste rente er den
rente der gør, at værdien af swappen bliver nul, på det tidspunkt hvor aftalen indgås.
Den anden metode er FRA metoden. Her betragtes betalingerne på det variable ben,
som en portefølje af FRA’er. I analysen er de forward rente der tilhøre nulkuponrentekurven beregnet. Med udgangspunkt i nutidsværdien af netto cashflowet på den enkelte
betalinger i swappen, fastsættes den faste rente. Dette er gjort ved, at finde den faste
rente der gør, at summen af netto cashflowet i swappen bliver nul.
Side 68 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Ved begge beregningsmetoder er den faste rente fastsat til 1,05 %. Da der i begge metoder er anvendt den samme nulkuponrentestruktur, skal resultatet også tilnærmelsesvis
være det samme.
Med baggrund i en BPV på obligationsporteføljen på 0,0393 og en BPV på renteswappen på 0,0389, blev en hedge ratio beregnet til 1,009. Da kursværdien på obligationsporteføljen på beregningstidspunktet var DKK 10 mio., blev en renteswap etableret med
en hovedstol på DKK 10.094.439,77 kroner.
Den etablerede renteswap blev i analysen følsomhedstestet ved parallelforskydning af
nulkuponrentekurven med +- 1 basispunkt og +- 50 basispunkter. I følsomhedstesten
blev det påvist, at markedsværdien af renteswappen, vil stige med en modværdi der
matcher faldet i kursværdien på obligationsporteføljen ved en rentestigning. Det blev
også påvist, at ved et fald i renteniveauet, vil markedsværdien af swappen blive negativ,
med en værdi der modsvare stigningen i kursværdien. Ved ændring i renteniveauerne på
+- 1 basispunkt vurderes afdækningen som 100 %. Ved ændringer med +- 50 basispunkter er der en lille afvigelse. Dette kan til en vis grad tilskrives, at der ikke er 100 %
match mellem konveksiteten på obligationsporteføljen og renteswappen.
Den samlede konklusion er derfor, at en plain vanilla renteswap, med de forudsætninger
der er i analysen er et godt redskab til afdækning af investors renterisiko på en obligationsportefølje.
Side 69 af 77
Vejleder
Claus Juhl
21. Kildefortegnelse
Litteratur, tidsskrifter og analyser:
Christensen, Michael (2009): Obligationsinvestering: Teoretiske overvejelser og praktisk anvendelse, Jurist- og Økonomiforbundets Forlag.
John C Hull, (2012) Options, Futures And Other Derivatives, 8. Version,
Svend Jacobsen, (1996) Beregning af horisontafkast
Claus Munk og Christian Riis Flor, (2007) Indledende obligations- og rentestruktur
analyse
Morten Holm Pedersen, Finansiel Analyse, Unibank Markets 3 september 1999
Computational Optimization Methods in Statistics, Econometics and Finance
(COMISEF) (2010) Calibrating the Nelson-Siegel.-Svensson model
Artikler:
Finanswatch,12.12.2013 Nordea: Værste obligationsafkast i dette årtusinde,
Børsen, 19.02.2014 10-årig dansk rente i laveste niveau i ni måneder
EPN 15.04.2014, Renten satte årsbund
theguardian.com: 13.09.2013 Lehman Brothers, Was capitalism to blame
Hjemmesider
www.nationalbanken.dk
www.finansraadet.dk
www.finanstilsynet.dk
Side 70 af 77
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Bilag 1. Nulkuponrente beregning
Nelson-Siegel-Svensson
β1
β2
β3
β4
λ1
λ2
0,02
-0,01
-0,10
0,12
3,90
5,42
20-03-2014 tid (t)
20-03-2015
20-03-2016
20-03-2017
20-03-2018
20-03-2019
20-03-2020
20-03-2021
20-03-2022
20-03-2023
20-03-2024
20-03-2025
Swapkurven
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
0,67%
0,82%
1,02%
1,22%
1,42%
1,60%
1,78%
1,93%
2,07%
Nelson Siegel Svensson
Diskonteringsfaktor
nulkuponrente
(dt)
Forskel ^2
0,583%
0,99420
0,696%
0,98620
0,0000000818
0,864%
0,97449
0,0000001903
1,059%
0,95873
0,0000001749
1,261%
0,93925
0,0000001488
1,459%
0,91670
0,0000001705
1,644%
0,89205
0,0000001622
1,813%
0,86605
0,0000001362
1,963%
0,83943
0,0000000992
2,094%
0,81268
0,0000000596
2,207%
0,78641
Sum
0,0000012234
Rentekurver
4,000%
3,500%
3,000%
2,500%
2,000%
1,500%
1,000%
0,500%
0,000%
0,0
2,0
4,0
6,0
Nelson Siegel Svensson nulkuponrente
Side 71 af 77
8,0
Forwardrente
10,0
12,0
Bilag 2: Nulkuponrenter, test af obligationspris, beregning af risikomål
BRF 2% 10-01-2017
Start
Nelson Siegel
Svensson
nulkuponrente
Slut
0,00
0,81
1,81
NYK 2% 04-01-2019
Start
0,811
1,811
2,814
Nelson Siegel
Svensson
nulkuponrente
Slut
0,00
0,79
1,79
2,80
3,80
NYK 2% 01-01-2021
Start
0,795
1,795
2,797
3,797
4,797
Nelson Siegel
Svensson
nulkuponrente
Slut
0,00
0,786
1,786
2,789
3,789
4,789
5,789
0,7863
1,7863
2,7890
3,7890
4,7890
5,7890
6,7918
Side 72 af 77
Diskonterings
faktor (dt) Forwardrente
0,571%
0,99539
0,571%
0,669%
0,98799
0,749%
0,830%
0,97702
1,123%
Diskonterings
0,570%
0,99549
0,570%
0,667%
0,98814
0,744%
0,827%
0,97723
1,116%
1,018%
0,96229
1,553%
1,219%
0,94352
1,989%
Diskonterings
0,570%
0,99554
0,570%
0,666%
0,98821
0,742%
0,825%
0,97734
1,113%
1,016%
0,96243
1,550%
1,218%
0,94369
1,986%
1,417%
0,92178
2,377%
1,606%
0,89746
2,710%
Vejleder
Claus Juhl
Vejleder
Claus Juhl
Bilag 3: Beregninger test af risikomål
BRF 2% 10-01-2017
10-01-2015
0,811
2
10-01-2016
1,811
2
10-01-2017
2,814
102
Vedhængende rente
dt
yt*dt
0,9914 1,983
0,9792 1,958
0,9635 98,279
0,378
K*+V
102,60
103,70 K+V
104,08
Difference -1,480
Markedskurs
NYK 2% 04-01-2019
04-01-2015 0,795
2
04-01-2016 1,795
2
04-01-2017 2,797
2
04-01-2018 3,797
2
04-01-2019 4,797
102
Vedhængende rente
dt
0,9916
0,9794
0,9638
0,9444
0,9215
K*+V
103,90 K+V
Difference
Markedskurs
NYK 2% 01-01-2021
01-01-2015 115,082
2
01-01-2016 116,082
2
01-01-2017 117,085
2
01-01-2018 118,085
2
01-01-2019 119,085
2
01-01-2020 120,085
2
01-01-2021 121,088
102
Vedhængende rente
yt*dt
1,983
1,959
1,928
1,889
93,991
0,411
102,160
104,311
-2,151
Markedskurs
BRF 2% 10-01-2017
t
0,811
1,811
2,814
yt
2,00
2,00
102,00
NYK 2% 04-01-2019
dt
0,9914
0,9792
0,9635
sum
wt
0,02
0,02
0,96
1,00
K+v
102,60
t*wt (t2+t)*wt
0,02
0,03
0,03
0,10
2,70
10,28
2,75
10,40
t
yt
0,795
2,00
1,795
2,00
2,797
2,00
3,797
2,00
4,797 102,00
2,745
10,404
0,028
2,817
K*+V
102,40 K+V
Difference
yt*dt
1,983
1,959
1,928
1,889
1,843
1,792
88,539
0,427
100,361
102,827
-2,466
NYK 2% 01-01-2021
dt
0,9916
0,9794
0,9638
0,9444
0,9215
sum
Output
BPV
Kronevarigheden
dt
0,99167
0,97950
0,96395
0,94459
0,92168
0,89591
0,86803
Output
BPV
Kronevarigheden
wt
0,02
0,02
0,02
0,02
0,92
1,00
K+v
102,16
t*wt
(t2+t)*wt
0,02
0,03
0,03
0,10
0,05
0,20
0,07
0,34
4,41
25,59
4,59
26,25
4,586
26,248
0,047
4,686
Side 73 af 77
t
0,786
1,786
2,789
3,789
4,789
5,789
6,792
yt
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
2,00
102,00
dt
0,9917
0,9795
0,9639
0,9446
0,9217
0,8959
0,8680
sum
Output
BPV
Kronevarigheden
wt
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,88
1,00
K*+v
100,361
t*wt
(t2+t)*wt
0,02
0,03
0,03
0,10
0,05
0,20
0,07
0,34
0,09
0,51
0,10
0,70
5,99
46,69
6,36
48,57
6,358
48,567
0,064
6,381
Vejleder
Claus Juhl
Bilag 4: Nulkuponrente horisonttid + beregning vedhængende rente
Beregning vedr. Horisontafkast uændret rente
Dato
tid (t)
Nulkuponrente
18-11-2016
2,668
0,804%
BRF 2% 10-01-2017 NYK 2% 04-01-2019
Vedhængende rente
1,710
Valør
Sidste termin
Næste termin
Kuponrenten R
D
D'
v
18-11-2016
10-01-2016
10-01-2017
2
313,00
366,00
1,710
1,743
18-11-2016
04-01-2016
04-01-2017
2
319,00
366,00
1,743
Side 74 af 77
Fremdiskonterings faktor
1,02160
NYK 2% 01-01-2021
1,760
18-11-2016
01-01-2016
01-01-2017
2
322,00
366,00
1,760
Vejleder
Claus Juhl
Bilag 5: Beregning af korrelation mellem obligationerne
Dato
BRF 17
NYK 19
NYK21
02-10-2013
102.310
101.000
97.950 BRF 17
NYK 19
NYK21
03-10-2013
102.820
101.000
97.950
0,5%
0,0%
0,0%
04-10-2013
102.820
101.000
97.950
0,0%
0,0%
0,0%
07-10-2013
102.820
101.000
97.950
0,0%
0,0%
0,0%
08-10-2013
102.820
101.000
97.950
0,0%
0,0%
0,0%
09-10-2013
102.820
101.000
97.950
0,0%
0,0%
0,0%
10-10-2013
102.820
101.000
97.700
0,0%
0,0%
-0,3%
11-10-2013
102.820
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
14-10-2013
102.950
101.000
97.700
0,1%
0,0%
0,0%
15-10-2013
102.910
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
16-10-2013
102.650
101.000
97.700
-0,3%
0,0%
0,0%
17-10-2013
102.650
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
18-10-2013
102.650
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
21-10-2013
102.650
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
22-10-2013
102.650
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
23-10-2013
103.180
101.000
97.700
0,5%
0,0%
0,0%
24-10-2013
103.180
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
25-10-2013
103.180
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
28-10-2013
103.180
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
29-10-2013
103.180
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
30-10-2013
103.180
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
31-10-2013
103.180
101.000
97.700
0,0%
0,0%
0,0%
01-11-2013
103.880
101.000
99.700
0,7%
0,0%
2,0%
04-11-2013
103.880
101.000
99.700
0,0%
0,0%
0,0%
05-11-2013
103.880
101.000
99.700
0,0%
0,0%
0,0%
06-11-2013
103.880
101.000
99.850
0,0%
0,0%
0,2%
07-11-2013
103.880
101.000
99.850
0,0%
0,0%
0,0%
08-11-2013
104.275
101.000
99.850
0,4%
0,0%
0,0%
11-11-2013
104.275
101.000
99.850
0,0%
0,0%
0,0%
12-11-2013
104.275
101.000
99.860
0,0%
0,0%
0,0%
13-11-2013
103.950
101.000
99.860
-0,3%
0,0%
0,0%
14-11-2013
103.950
101.000
99.860
0,0%
0,0%
0,0%
15-11-2013
103.950
101.000
99.860
0,0%
0,0%
0,0%
18-11-2013
103.950
101.000
99.860
0,0%
0,0%
0,0%
19-11-2013
103.950
101.000
99.860
0,0%
0,0%
0,0%
20-11-2013
103.950
101.000
99.860
0,0%
0,0%
0,0%
21-11-2013
103.950
101.000
99.800
0,0%
0,0%
-0,1%
22-11-2013
103.950
101.000
99.800
0,0%
0,0%
0,0%
25-11-2013
103.950
101.000
99.800
0,0%
0,0%
0,0%
26-11-2013
104.310
101.000
99.800
0,3%
0,0%
0,0%
27-11-2013
104.310
101.000
100.950
0,0%
0,0%
1,2%
28-11-2013
104.310
101.000
100.950
0,0%
0,0%
0,0%
29-11-2013
104.310
101.000
100.950
0,0%
0,0%
0,0%
02-12-2013
104.310
101.000
100.950
0,0%
0,0%
0,0%
03-12-2013
104.310
101.000
100.950
0,0%
0,0%
0,0%
04-12-2013
104.220
101.000
100.950
-0,1%
0,0%
0,0%
05-12-2013
104.220
101.000
100.950
0,0%
0,0%
0,0%
06-12-2013
104.220
101.000
100.950
0,0%
0,0%
0,0%
09-12-2013
103.750
101.000
99.450
-0,5%
0,0%
-1,5%
10-12-2013
103.750
101.000
99.450
0,0%
0,0%
0,0%
11-12-2013
103.750
101.000
99.450
0,0%
0,0%
0,0%
12-12-2013
103.750
101.000
99.450
0,0%
0,0%
0,0%
13-12-2013
103.750
101.000
99.450
0,0%
0,0%
0,0%
16-12-2013
103.750
101.000
99.450
0,0%
0,0%
0,0%
17-12-2013
103.750
102.600
99.450
0,0%
1,6%
0,0%
18-12-2013
103.890
102.600
99.550
0,1%
0,0%
0,1%
19-12-2013
103.890
102.600
99.550
0,0%
0,0%
0,0%
20-12-2013
103.880
102.600
99.550
0,0%
0,0%
0,0%
23-12-2013
103.880
102.600
99.550
0,0%
0,0%
0,0%
27-12-2013
103.880
102.600
99.550
0,0%
0,0%
0,0%
30-12-2013
103.880
102.600
98.700
0,0%
0,0%
-0,9%
02-01-2014
103.880
102.600
98.700
0,0%
0,0%
0,0%
03-01-2014
103.670
102.600
98.700
-0,2%
0,0%
0,0%
06-01-2014
103.800
102.600
98.700
0,1%
0,0%
0,0%
07-01-2014
103.800
102.600
98.700
0,0%
0,0%
0,0%
08-01-2014
103.800
102.600
98.700
0,0%
0,0%
0,0%
09-01-2014
103.800
102.600
98.700
0,0%
0,0%
0,0%
10-01-2014
103.800
102.600
98.700
0,0%
0,0%
0,0%
13-01-2014
103.800
102.600
98.700
0,0%
0,0%
0,0%
14-01-2014
103.800
102.600
98.700
0,0%
0,0%
0,0%
15-01-2014
103.800
102.600
98.700
0,0%
0,0%
0,0%
16-01-2014
103.800
102.600
99.510
0,0%
0,0%
0,8%
17-01-2014
103.800
102.600
99.510
0,0%
0,0%
0,0%
20-01-2014
103.800
102.600
99.510
0,0%
0,0%
0,0%
21-01-2014
103.800
102.600
99.510
0,0%
0,0%
0,0%
22-01-2014
103.800
102.600
100.790
0,0%
0,0%
1,3%
23-01-2014
103.800
102.600
100.790
0,0%
0,0%
0,0%
24-01-2014
103.800
102.600
100.790
0,0%
0,0%
0,0%
27-01-2014
103.800
102.600
101.050
0,0%
0,0%
0,3%
28-01-2014
104.030
102.600
101.050
0,2%
0,0%
0,0%
29-01-2014
104.030
102.600
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
30-01-2014
104.030
103.200
101.050
0,0%
0,6%
0,0%
31-01-2014
104.030
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
03-02-2014
104.030
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
04-02-2014
104.030
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
05-02-2014
104.030
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
06-02-2014
104.030
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
07-02-2014
104.030
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
10-02-2014
104.030
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
11-02-2014
104.420
103.200
101.050
0,4%
0,0%
0,0%
12-02-2014
104.420
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
13-02-2014
104.420
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
14-02-2014
104.420
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
17-02-2014
104.420
103.200
101.050
0,0%
0,0%
0,0%
18-02-2014
104.420
103.200
102.200
0,0%
0,0%
1,1%
19-02-2014
104.600
103.200
102.200
0,2%
0,0%
0,0%
20-02-2014
104.390
103.200
102.200
-0,2%
0,0%
0,0%
21-02-2014
104.350
103.200
102.200
0,0%
0,0%
0,0%
24-02-2014
104.360
103.200
102.200
0,0%
0,0%
0,0%
25-02-2014
104.360
103.200
101.500
0,0%
0,0%
-0,7%
26-02-2014
104.360
103.200
101.500
0,0%
0,0%
0,0%
27-02-2014
104.360
103.200
101.500
0,0%
0,0%
0,0%
28-02-2014
104.360
103.958
101.500
0,0%
0,7%
0,0%
03-03-2014
104.360
103.870
101.500
0,0%
-0,1%
0,0%
04-03-2014
104.250
104.050
101.500
-0,1%
0,2%
0,0%
05-03-2014
104.250
104.050
101.500
0,0%
0,0%
0,0%
06-03-2014
104.000
103.980
101.500
-0,2%
-0,1%
0,0%
07-03-2014
104.160
103.830
101.500
0,2%
-0,1%
0,0%
10-03-2014
104.160
103.900
101.500
0,0%
0,1%
0,0%
11-03-2014
104.160
103.900
101.500
0,0%
0,0%
0,0%
12-03-2014
104.370
103.900
101.500
0,2%
0,0%
0,0%
13-03-2014
104.430
103.900
101.500
0,1%
0,0%
0,0%
14-03-2014
104.430
103.900
101.500
0,0%
0,0%
0,0%
17-03-2014
104.430
103.900
102.400
0,0%
0,0%
0,9%
Korrelation
BRF 17
NYK 19
NYK21
BRF 17
1
-0,02885
0,379545
NYK 19
NYK21
BRF 17
0,0002%
0,0000%
0,0002%
NYK 19
NYK21
0,0003%
0,0000%
0,0012%
1
-0,01692
1
Kovarians
BRF 17
NYK 19
NYK21
0,135% Std BRF
0,173% Std. Afv. Nyk 19
0,343% Std afv. Nyk 21
Korrelation
BRF 17
NYK 19
BRF 17
1
NYK 19
-0,028854
1
NYK21
0,379545 -0,016924
Side 75 af 77
NYK21
1
Vejleder
Claus Juhl
Bilag 6: Følsomhedsberegninger renteswap
Hovedstol
Fast rente ben
Antal terminer p.a.
Løbetid
∆ Nulkuponrenten
Tid (t)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
10.094.439,77
1,05%
1
4 år
0,01%
Nulkuponrente
0,593%
0,706%
0,874%
1,069%
Forwardrenten
Cashflow faste
ben
0,5932%
0,8215%
1,2111%
1,6549%
Cashflow
variable ben
106.461,24
106.461,24
106.461,24
106.461,24
59.878,93
82.923,56
122.252,55
167.050,35
Netto cashflow
-46.582,31
-23.537,68
15.791,31
60.589,11
Sum
Værdi af swappe n
Nutidsværdi af
netto cashflow
-46.307,62
-23.208,68
15.384,34
58.066,98
3935,02
Diskonterings
faktor (dt)
0,9941
0,9860
0,9742
0,9584
3.935,02
Hovedstol
Fast rente ben
Antal terminer p.a.
Løbetid
∆ Nulkuponrenten
Tid (t)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
10.094.439,77
1,05%
1
4 år
0,50%
Nulkuponrente
1,083%
1,196%
1,364%
1,559%
Forwardrenten
Cashflow faste
ben
1,0832%
1,3128%
1,7011%
2,1449%
Cashflow
variable ben
106.461,24
106.461,24
106.461,24
106.461,24
109.341,69
132.523,21
171.714,90
216.512,00
Netto cashflow
2.880,45
26.061,96
65.253,65
110.050,76
Sum
Værdi af swappe n
Nutidsværdi af
netto cashflow
2.849,58
25.449,42
62.654,46
103.448,92
194402,37
Diskonterings
faktor (dt)
0,9893
0,9765
0,9602
0,9400
194.402,37
Hovedstol
Fast rente ben
Antal terminer p.a.
Løbetid
∆ Nulkuponrenten
Tid (t)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
10.094.439,77
1,05%
1
4 år
-0,01%
Nulkuponrente
0,573%
0,686%
0,854%
1,049%
Forwardrenten
Cashflow faste
ben
0,5732%
0,8014%
1,1911%
1,6349%
Cashflow
variable ben
106.461,24
106.461,24
106.461,24
106.461,24
57.860,05
80.899,10
120.233,68
165.031,51
Netto cashflow
-48.601,20
-25.562,14
13.772,44
58.570,26
Sum
Værdi af s wappe n
Nutidsværdi af
netto cashflow
-48.324,21
-25.214,86
13.425,48
56.176,63
-3936,96
Diskonterings
faktor (dt)
0,9943
0,9864
0,9748
0,9591
-3.936,96
Hovedstol
Fast rente ben
Antal terminer p.a.
Løbetid
∆ Nulkuponrenten
Tid (t)
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
10.094.439,77
1,05%
1
4 år
-0,50%
Nulkuponrente
0,083%
0,196%
0,364%
0,559%
Forwardrenten
0,0832%
0,3101%
0,7011%
1,1449%
Cashflow faste
ben
Cashflow
variable ben
106.461,24
106.461,24
106.461,24
106.461,24
8.397,29
31.300,14
70.771,34
115.569,87
Sum
Værdi af s wappe n
-199.244,28
Side 76 af 77
Netto cashflow
-98.063,95
-75.161,10
-35.689,90
9.108,62
Nutidsværdi af
netto cashflow
-97.982,44
-74.866,89
-35.302,85
8.907,91
-199244,28
Diskonterings
faktor (dt)
0,9992
0,9961
0,9892
0,9780
Vejleder
Claus Juhl
Bilag 7: Beregning af obligationskurser til følsomhed på swap
Ændring i rente
0,01%
BRF 2% 10-01-2017
20-03-2014
Tid (t) Ydelse (yt)
10-01-2015
0,811
2
10-01-2016
1,811
2
10-01-2017
2,814
102
Vedhængende rente
M arkedskurs
K*+V
103,70 K+V
Difference
Ændring i rente
0,50%
BRF 2% 10-01-2017
20-03-2014
Tid (t)
Ydelse (yt)
10-01-2015
0,811
2
10-01-2016
1,811
2
10-01-2017
2,814
102
Vedhængende rente
M arkedskurs
dt
0,9955
0,9882
0,9773
K*+V
103,70 K+V
Difference
Ændring i rente
-0,50%
BRF 2% 10-01-2017
20-03-2014
Tid (t)
Ydelse (yt)
10-01-2015
0,811
2
10-01-2016
1,811
2
10-01-2017
2,814
102
Vedhængende rente
M arkedskurs
dt
0,9914
0,9792
0,9635
K*+V
103,70 K+V
Difference
Ændring i rente
-0,01%
BRF 2% 10-01-2017
20-03-2014
Tid (t)
Ydelse (yt)
10-01-2015
0,811
2
10-01-2016
1,811
2
10-01-2017
2,814
102
Vedhængende rente
M arkedskurs
dt
0,9953
0,9878
0,9767
dt
0,9994
0,9969
0,9908
K*+V
103,70 K+V
Difference
NYK 2% 01-01-2021
20-03-2014
Tid (t) Ydelse (yt)
dt
01-01-2015
0,786
2
0,99546
01-01-2016
1,786
2
0,98804
01-01-2017
2,789
2
0,97707
01-01-2018
3,789
2
0,96207
01-01-2019
4,789
2
0,94324
01-01-2020
5,789
2
0,92125
01-01-2021
6,792
102
0,89686
Vedhængende rente
103,97
K*+V
104,08 M arkedskurs
102,40 K+V
-0,105
Difference
yt*dt
1,991
1,976
99,628
0,378
yt*dt
1,983
1,958
98,279
0,378
NYK 2% 01-01-2021
20-03-2014
Tid (t) Ydelse (yt)
01-01-2015
0,786
2
01-01-2016
1,786
2
01-01-2017
2,789
2
01-01-2018
3,789
2
01-01-2019
4,789
2
01-01-2020
5,789
2
01-01-2021
6,792
102
Vedhængende rente
102,60
104,08 M arkedskurs
-1,480
yt*dt
1,991
1,976
99,684
0,378
yt*dt
1,999
1,994
101,060
0,378
K*+V
102,40 K+V
Difference
NYK 2% 01-01-2021
20-03-2014
Tid (t) Ydelse (yt)
01-01-2015
0,786
2
01-01-2016
1,786
2
01-01-2017
2,789
2
01-01-2018
3,789
2
01-01-2019
4,789
2
01-01-2020
5,789
2
01-01-2021
6,792
102
Vedhængende rente
104,03
104,08 M arkedskurs
-0,049
Side 77 af 77
dt
0,99562
0,98839
0,97761
0,96279
0,94413
0,92231
0,89806
K*+V
102,40 K+V
Difference
NYK 2% 01-01-2021
20-03-2014
Tid (t) Ydelse (yt)
01-01-2015
0,786
2
01-01-2016
1,786
2
01-01-2017
2,789
2
01-01-2018
3,789
2
01-01-2019
4,789
2
01-01-2020
5,789
2
01-01-2021
6,792
102
Vedhængende rente
105,43
104,08 M arkedskurs
1,353
dt
0,99167
0,97950
0,96395
0,94459
0,92168
0,89591
0,86803
dt
0,99945
0,99704
0,99099
0,98069
0,96633
0,94853
0,92804
K*+V
102,40 K+V
Difference
yt*dt
1,991
1,976
1,954
1,924
1,886
1,843
91,480
0,427
103,481
102,827
0,654
yt*dt
1,983
1,959
1,928
1,889
1,843
1,792
88,539
0,427
100,361
102,827
-2,466
yt*dt
1,991
1,977
1,955
1,926
1,888
1,845
91,602
0,427
103,611
102,827
0,784
yt*dt
1,999
1,994
1,982
1,961
1,933
1,897
94,660
0,427
106,853
102,827
4,026

OBLIGATIONSINVESTERING

Transcription

Similar documents

Endelige vilkår for ISIN LU1209180287

Bilag 3 interviewguide

Ordinær eksamen januar 2015 svarark

Danske Bank Eurozone Recovery 2016

peter skeel hjorth/feed/rss2/ http://stilhed.eu/wp

ViseTiden - Visens Venner

Introkursus for nyansatte i Folkekirken tirsdag den 11

Realkredit – og Statsobligations-vindere

REFERAT - Solsideskolen