sygeeksamen august 2015

GUX
Matematik
A-Niveau
August 2015
Kl. 9.00 -14.00
Prøveform b
GUX152 - MAA
1
Matematik A
Prøvens varighed er 5 timer.
Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Besvarelsen af denne delprøve skal afleveres efter en time.
Delprøven med hjælpemidler består af opgaverne 7 til 14 med i alt 19 spørgsmål.
De 25 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse.
I prøvens første time må kun særligt tilladte hjælpemidler benyttes.
I prøvens sidste del er alle hjælpemidler tilladt.
I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt
vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er:
−
en kort præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte spørgsmål går ud på
−
en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen
−
dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger,
forklarende tekst og brug af it-værktøjer
−
brug af figurer og illustrationer
med en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer
−
en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart
sprog og med brug af sædvanlig matematisk notation.
GUX matematik A august 2015 side 1 af 7
Delprøven uden hjælpemidler
Kl. 9.00 – 10.00
Opgave 1
Figuren viser en sumkurve over alderen på førstegangsfødende mødre i Grønland i år 2013.
kumuleret frekvens i %
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
alder
20
a)
25
30
35
40
45
Bestem medianen, og bestem hvor stor en andel af kvinderne, der var over 31 år ved første fødsel.
Kilde: bank.stat.gl
Opgave 2
To rette linjer l og m er bestemt ved
l: =
y 8 x + 10
m:=
y 20 x + 58
a)
Bestem koordinatsættet til skæringspunktet P mellem l og m.
Opgave 3
To vektorer er givet ved
  4
a = 
 2
og
  k − 2
b =

 −10 
hvor k er et tal.
a)


Bestem tallet k således, at a og b bliver parallelle.
GUX matematik A august 2015 side 2 af 7
Opgave 4
Tre parabler A, B og C, er indtegnet i samme koordinatsystem.
a)
Forklar hvilken parabel, der er graf for funktionen med forskriften f (=
x) 2 x 2 − 1 .
Opgave 5
a)
Tegn grafen for en funktion f , der opfylder følgende:
] −8;6]
[ −4;5]
•
definitionsmængden er Dm( f ) =
•
værdimængden er Vm( f ) =
•
grafen for funktionen f går gennem punktet P (−1, 2)
•
funktionen f har præcis to lokale ekstrema
Bilag 1 kan benyttes.
Opgave 6
En kugle C er givet ved ligningen
C : x 2 − 4 x + y 2 − 2 y + z 2 + 16 z − 31 =
0
a)
Gør rede for, at C har centrum i punktet P (2,1, −8) og radius 10.
Besvarelsen afleveres kl. 10.00
GUX matematik A august 2015 side 3 af 7
Delprøven med hjælpemidler
Kl. 9.00 - 14.00
Opgave 7
De grønlandske fartøjer fisker i større og større grad i andre farvande. Tabellen viser udviklingen i dette fiskeri.
Årstal
2010
2011
2012
2013
Samlet fiskerifangst (ton)
19071
25800
38677
51678
En model for udviklingen i den samlede fiskerifangst i andre farvande har formen
f ( x)= b ⋅ a x
hvor x er antal år efter 2010, og f ( x) er den samlede fiskerifangst i andre farvande målt i ton.
a)
Benyt tabellens data til at bestemme a og b, og forklar betydningen af a.
b)
Bestem den samlede fiskerifangst i 2016 ifølge modellen.
Bestem hvilket år, den samlede fiskerifangst første gang overstiger 200000 ton ifølge modellen.
Opgave 8
For en parabol med diameter d, dybde L
og brændvidde b gælder følgende sammenhæng
b=
d2
16 L
L
De tre størrelser d, L og b angives i meter.
a)
Bestem dybden L for en parabol med en
brændvidde på b = 2,5 m og en
diameter på d = 8 m.
b)
Bestem brændvidden b for en parabol med dybde L = 2, 4 m og diameter d = 12 m.
Med hvor mange procent øges brændvidden b for en parabol med dybde L = 2, 4 m, når diameteren d øges
med 10 %?
Foto: Michael Hollerup
GUX matematik A august 2015 side 4 af 7
Opgave 9
Funktionen f er bestemt ved forskriften
f ( x) =−2 ⋅ x 2 + ln ( x ) + 3 ,
x ∈ ] 0;3]
Nedenfor er det lokale maksimumspunkt for f bestemt. Bilag 2 kan benyttes.
a)
Forklar med ord hvad der sker i hvert trin i beregningerne.
Funktionen f differentieres.
f ′( x) =
− 4x +
1
x
− 2x 2 differentieres og bliver til − 2 ⋅ 2 x =− 4 x .
1
.
x
Konstanten 3 bliver 0, når den differentieres.
ln( x) differentieres og bliver til
− 4x +
1
=
0
x
____________________________________________
1
1
x = − eller x =
2
2
____________________________________________
1
2
____________________________________________
Løsningen er x =
Funktionen har lokalt maksimum i
punktet ( 0,5;1,81)
b)
Bestem monotoniforholdene for funktionen f.
____________________________________________
GUX matematik A august 2015 side 5 af 7
Opgave 10
På en arbejdsplatform til offshoreindustri er der monteret en
helikopterlandingsplads.
På figuren ses en model af en helikopterlandingsplads
indlagt i et koordinatsystem. Enheden på akserne er 1m.
Størrelsesforholdene er ikke korrekte
Punkterne har koordinaterne F(4;2;1), H(3;4;1) og L(3,3;2,3;1).
a)
Bestem en ligning for den plan α , som indeholder helikopterlandingspladsen med punkterne F, H og L.
Benet LP fra helikopterlandingspladsen til den vandrette plan β : z = 0 ligger på linjen l med
parameterfremstillingen
x
 
=
 y
z
 
b)
 3,3   0,3 

  
 2,3  + t  0,3 
 1   1 

  
Bestem længden af benet LP, og bestem vinklen mellem benet LP og β .
GUX matematik A august 2015 side 6 af 7
Opgave 11
En cirkel C er givet ved ligningen ( x − 7 ) + ( y − 6 ) =
25 .
2
2
y
En ret linje l er givet ved ligningen y =
−2 x + 10 .
a)
Bestem de to skæringspunkter P og Q mellem den
rette linje l og cirklen C.
C
l
(7,6)
P
b)
v
Bestem længden af korden PQ .
Gør rede for, at centervinklen v = 53,13 .
Q
x
Linjen l og cirklen C afgrænser et gråt område som vist
på figuren.
Det grå område har et areal A, der kan beregnes ved formlen:
r  π ⋅v

A =⋅ 
− sin(v ) 
2  180°

2
hvor r er radius i cirklen, og v er centervinklen.
c)
Bestem arealet af det grå område.
Opgave 12
I en model betegner A antallet af personer, der har hørt en nyhed på KNR.
I modellen antages det, at A som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen
dA
=
0,05 ⋅ (40000 − A)
dt
hvor t er tiden målt i timer efter nyheden er udgivet.
a)
Bestem væksthastigheden, når 1000 personer har hørt nyheden.
b)
Bestem en løsning til differentialligningen, når det antages, at ingen havde hørt nyheden, da den blev
udgivet. Det vil sige A(0) = 0 .
c)
Bestem, hvor lang tid der ifølge modellen går, før 9000 personer har hørt nyheden.
GUX matematik A august 2015 side 7 af 7
Opgave 13
Funktionen f er bestemt ved forskriften
f ( x) = x + 1 + 2 ⋅ cos( x) , 0 ≤ x ≤ 2π
a)
Bestem en forskrift for den stamfunktion F til f ,
y
som opfylder at F (0) = 5 .
f
Et område M afgrænses af grafen for f , koordinatakserne
og linjen med ligningen x = 2π , som vist på figuren.
M
b)
M
Bestem arealet af M.
x
0
c)
2π
Bestem rumfanget af det
omdrejningslegeme, der fremkommer,
når M drejes 360° om x-aksen.
Opgave 14
I en model for en bestemt art af hunkalkuner gælder det, at vægten af en hunkalkun som funktion af tiden kan
beskrives ved funktionen
m(=
t ) 3750 ⋅ (1 + 57,84 ⋅ e(0,005166⋅t − 0,3663) ⋅ t )
−1,096
, 0 ≤ t ≤ 60
hvor t er tiden efter udklækning af et kalkunæg målt i uger, og m(t) er vægten af en hunkalkun målt i gram.
a)
Tegn grafen for m, og benyt modellen til at bestemme de tidspunkter efter udklækning,
hvor en hunkalkun vejer 3000 g.
b)
Benyt modellen til at bestemme det tidspunkt efter udklækning, hvor vægten af en hunkalkun er størst.
Naqinneqarfia • Tryk: Inerisaavik
12
Ilinniartitaanermut, Kultureqarnermut, Ilisimatusarnermut Ilageeqarnermullu Naalakkersuisoqarfik
Departementet for Uddannelse, Kultur, Forskning og Kirke