Søjleteori

STÅLSØJLER
Mads Bech Olesen
30.03.15
Centralt belastede søjler
Ved aksial trykbelastning af et slankt konstruktionselement er der en tendens til at elementet slår ud til
siden. Denne form for instabilitet kaldes i daglig tale søjlevirkning (eng: flexural buckling). Bæreevnen
afhænger både af søjlens statik (søjlelængde), stivheder (elasticitetsmodul og inertimoment) samt
materialets styrke (flydestyrke). De forøgede bøjningsnormalspændinger som opstår pga. deformationen,
når søjlen slår ud til siden, er afgørende for beregningen af trykkapaciteten.
Det ideelle tilfælde: Centralt belastet søjle uden imperfektioner
Der betragtes en stålsøjle uden imperfektioner såsom forhåndskrumninger, egenspændinger m.m.
Søjlen belastes med en centralt virkende trykkraft Nc i aksialretningen.
I dette tilfælde benyttes Eulers formel til bestemmelse af den kritiske normalkraft Ncr.
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
𝑁𝑐 ≤ 𝑁𝑐𝑟 =
(1)
𝑙𝑠 2
Figur 1: Centralt belastet søjle
Hvis den centrale tryklast N c øges udover den kritiske normalkraft Ncr vil søjlen teoretisk set knække ud til
siden. Dette fænomen kaldes for søjleinstabilitet. Udbøjningen kombineret med den aksiale trykkraft Nc
giver et moment i søjlen og normalspændingerne fra dertil hørende tryk og bøjning vil overskride
materialestyrken. Dermed kollapser søjlen. For den centralt belastede søjle uden imperfektioner afhænger
selve bæreevneudtrykket for N cr alene af søjlens stivhed (E og I) og søjlelængde (ls ) selvom det faktisk er en
overskridelse af kapaciteten for normalspændingerne som får søjlen til at kollapse.
Eulers formel gælder udelukkende for ideelle trykpåvirkede elementer som er meget slanke. Såfremt
trykpåvirkede elementer er meget kompakte, og dermed har en lille slankhed, er det alene materialets
flydestyrke som begrænser trykbæreevnen. Dette tydeliggøres i et tænkt tilfælde hvor en søjle har uendelig
lille søjlelængde ls . Teoretisk set ville der forekomme uendelig stor værdi af N cr ved brug af Eulers formel.
1
Dette kan imidlertid ikke lade sig gøre idet tryknormalspændingen σc i en søjle aldrig kan blive større end
selve flydestyrken fy. For den centralt belastede søjle uden imperfektioner er Eulers formel dermed kun
gældende, når den tilhørende kritiske spænding σ cr er mindre end den karakteristiske flydestyrke fy,k .
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
𝜎𝑐𝑟 =
≤ 𝑓𝑦,𝑘 (2)
2
𝑙𝑠 ∙ 𝐴
Formlen kan ved division med f y,k omskrives til:
𝜎𝑐𝑟
𝑓𝑦,𝑘
=
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
2
𝑙𝑠 ∙ 𝐴 ∙ 𝑓𝑦,𝑘
= χ𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 ≤
𝑓𝑦,𝑘
𝑓𝑦,𝑘
=1
(3)
Ovenstående udtrykker ratio mellem den kritiske spænding for tryk og den karakteristiske flydestyrke.
Dette kan også benævnes Euler-søjlereduktionsfaktoren χEul er ,idet denne ved multiplikation med
flydestyrken netop giver bæreevnen, som den kritiske spænding σcr.
𝜎𝑐𝑟
𝑓𝑦,𝑘
∙ 𝑓𝑦,𝑘 = 𝜎𝑐𝑟
Der indføres det geometriske slankhedsforhold: 𝜆 =
𝑙𝑠
𝑖
(4)
𝐼
og inertiradius: 𝑖 = √ og der indføres det relative
𝐴
slankhedsforhold:
𝜆𝑟𝑒𝑙 = √
𝑓𝑦,𝑘
𝜎𝑐𝑟
=√
𝑙𝑠 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝑓𝑦,𝑘
𝑙 2 𝑓𝑦,𝑘
𝜆
𝑓𝑦,𝑘
√( 𝑠 )
=
= ∙√
2
2
𝜋 ∙𝐸 ∙𝐼
𝑖 𝜋 ∙𝐸 𝜋
𝐸
(5)
Det bemærkes at det geometriske slankhedsforhold λ er forskelligt fra det relative slankhedsforhold λrel .
Der gælder følgende:
1
𝜆2𝑟𝑒𝑙
=
𝜎𝑐𝑟
= χ𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 ≤ 1
𝑓𝑦,𝑘
(6)
Ovenstående udtrykker dermed søjlereduktionsfaktoren for en centralt belastet søjle uden imperfektioner
og er afbilledet på grafen i figur 2. Bemærk at udtrykket kun er gældende for værdier af λrel større end 1.
For værdier af λrel mindre end eller lig med 1 svarer bæreevnen blot til trykstyrken f y,k .
2
Figur 2: χEuler som funktion af λrel
3
Det virkelige tilfælde 1: Centralt belastet søjle med imperfektioner
Den ideelle søjle uden imperfektioner findes imidlertid ikke i virkeligheden og det er derfor nødvendigt med
et udvidet bæreevneudtryk som tager hensyn hertil.
Der betragtes en stålsøjle med imperfektioner i form af en initialudbøjning u0. Elementet har altså en
krumning (forhåndsudbøjning) inden trykbelastningen forekommer (Figur 3).
Søjlen belastes med en centralt virkende trykkraft N c i aksialretningen. Lasten giver en udbøjningsforøgelse
uN og summen af udbøjningerne utota l er initialudbøjnigen plus udbøjningsforøgelsen (Figur 4).
Figur 3: u0
Figur 4: utotal
Søjlens deformation antages i den ubelastede situation at følge initialudbøjningsfunktionen:
𝑥
𝑢0 (𝑥 ) = 𝑢0 ∙ sin (𝜋 ∙ )
𝑙
(7)
Ved central trykpåvirkning N c opstår der tilsvarende udbøjningsforøgelsesfunktionen:
𝑥
𝑢𝑁 (𝑥 ) = 𝑢𝑁 ∙ sin (𝜋 ∙ ) (8)
𝑙
Den totale udbøjningsfunktion er summen af initialudbøjningen og udbøjningsforøgelsen:
𝑥
𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑥 ) = 𝑢0 (𝑥 ) + 𝑢𝑁 (𝑥 ) = 𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∙ sin (𝜋 ∙ )
𝑙
(9)
Hvor u0, uN og utota l er udbøjningerne midt på søjlen, l er søjlens længde og x er aksen i søjlens aksialretning.
4
Ved central trykpåvirkning N c opstår der tilsvarende en momentfunktion for initialudbøjningen:
𝑥
𝑀0 (𝑥 ) = 𝑁𝑐 ∙ 𝑢0 ∙ sin (𝜋 ∙ )
𝑙
(10)
Og en momentfunktion for udbøjningsforøgelsen:
𝑥
𝑀𝑁 (𝑥 ) = 𝑁𝑐 ∙ 𝑢𝑁 ∙ sin (𝜋 ∙ )
𝑙
(11)
Den totale momentfunktion kan udtrykkes som
𝑥
𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑥 ) = 𝑀0 (𝑥 ) + 𝑀𝑁 (𝑥 ) = 𝑁𝑐 ∙ 𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∙ sin (𝜋 ∙ )
𝑙
(12)
Figur 5: Mtotal
5
For bestemmelse af den totale udbøjning utota l som funktion af initialudbøjningen u0 tages der
udgangspunkt i bjælkens differentialligning:
𝑑2 𝑢
𝑑𝑥 2
=−
𝑀
𝐸∙𝐼
(13)
Ligningen kan omskrives til:
𝑀=−
𝑑2 𝑢
𝑑𝑥 2
∙ 𝐸 ∙ 𝐼 (14)
Funktionsudtrykkene fra søjlen indsættes:
𝑀𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑥 ) = −
𝑑 2 𝑢𝑁 (𝑥 )
𝑑𝑥 2
∙ 𝐸 ∙ 𝐼 (15)
Da momentet i søjlen udelukkende optræder når udbøjningsforøgelsen uN forekommer, er det også kun
denne del af udbøjningen som indgår i ovenstående differentialligning.
Der gælder at hvis der ikke er nogen søjlelast N c så er udbøjningen alene u0 og der forekommer dermed
ingen momentpåvirkning. Initialudbøjningen u0, alene, forekommer altså udelukkende i en situation hvor
der ikke er spændinger i søjlen.
Udtrykket omskrives ved brug af forudsætningerne for søjlen:
𝑁𝑐 ∙ 𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑥 ) = −
𝑁𝑐 ∙ 𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑑 2 (𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑥 ) − 𝑢0 (𝑥 ))
∙ 𝐸 ∙ 𝐼 (16)
𝑑𝑥 2
𝑥
𝑥
𝑑 2 (𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∙ sin (𝜋 ∙ ) − 𝑢0 ∙ sin (𝜋 ∙ ))
𝑥
𝑙
𝑙 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼 (17)
∙ sin (𝜋 ∙ ) = −
𝑙
𝑑𝑥 2
𝑁𝑐 ∙ 𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑥
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
𝑥
(
)
(
)
(
)
∙ sin 𝜋 ∙
=
∙
𝑢
−
𝑢
∙
sin
𝜋
∙
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
0
𝑙
𝑙2
𝑙
(18)
Eulers formel benyttes og udtrykket forkortes yderligere:
𝑁𝑐𝑟 =
𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
𝑙2
(1)
𝑁𝑐 ∙ 𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝑐𝑟 ∙ (𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑢0 ) (19)
𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 ∙ (𝑁𝑐𝑟 − 𝑁𝑐 ) = 𝑢0 ∙ 𝑁𝑐𝑟
𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑢0 ∙
𝑁𝑐𝑟
𝑁𝑐𝑟 − 𝑁𝑐
(20)
(21)
6
Den totale udbøjning utota l kan dermed udtrykkes som en funktion af initilaludbøjningen u0 og en
forøgelsesfaktor. Det ses af (21) at når tryklasten Nc er nul bliver den totale udbøjning lig initialudbøjningen.
Tilsvarende gælder at når N c nærmer sig N cr bliver den totale udbøjning uendelig stor.
Forøgelsesfaktoren udtrykkes som:
𝑁𝑐𝑟
𝑁𝑐𝑟 − 𝑁𝑐
=
1
1−
𝑁𝑐
𝑁𝑐𝑟
(22)
Forøgelsesfaktoren, som også kaldes andenordenseffekten eller momentforøgelsesfaktoren, kan grafisk
vise at der i et trykpåvirket element ikke er ligefrem proportionalitet mellem last og bæreevne.
Figur 6: Forøgelsesfaktoren
1
𝑁
1− 𝑐
𝑁𝑐𝑟
som funktion af
𝑁𝑐
𝑁𝑐𝑟
7
For bestemmelse af bæreevnen tages der udgangspunkt i brudbetingelsen:
𝜎𝑐
𝜎𝑚
+
=1
𝑓𝑦,𝑘 𝑓𝑦,𝑘
(23)
Hvor σc er tryknormalspændingen i aksialretningen fra normalkraften, σ m er normalspændingen fra
momentet, f y,k er den karakteristiske flydestyrke.
Spændingerne erstattes af følgende udtryk:
𝜎𝑐 =
𝑁𝑐
(24)
𝐴
𝜎𝑚 =
𝑁𝑐
𝐴 ∙ 𝑓𝑦,𝑘
+
𝑀
(25)
𝑊
𝑁𝑐 ∙ 𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑊 ∙ 𝑓𝑦,𝑘
Fra tidligere haves:
𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑢0 ∙
𝑀 = 𝑁𝑐 ∙ 𝑢𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (26)
=1
𝑁𝑐𝑟
𝑁𝑐𝑟 − 𝑁𝑐
(27)
(21)
𝐴
Udtrykkene sammensættes og der mulitipliceres med brøken :
𝐴
𝑁𝑐
𝐴 𝑁𝑐 ∙ 𝑢0
𝑁𝑐𝑟
+ ∙
∙
=1
𝐴 ∙ 𝑓𝑦,𝑘 𝐴 𝑊 ∙ 𝑓𝑦,𝑘 𝑁𝑐𝑟 − 𝑁𝑐
(28)
Udtrykket reduceres:
𝜎𝑐
𝜎𝑐 𝐴
𝜎𝑐𝑟
+
∙ ∙ 𝑢0 ∙
=1
𝑓𝑦,𝑘 𝑓𝑦,𝑘 𝑊
𝜎𝑐𝑟 − 𝜎𝑐
Der multipliceres med (σ cr - σc):
𝜎𝑐
𝑓𝑦,𝑘
∙ (𝜎𝑐𝑟 − 𝜎𝑐 ) +
(29)
𝜎𝑐 ∙ 𝜎𝑐𝑟 𝐴
∙ ∙ 𝑢0 = 𝜎𝑐𝑟 − 𝜎𝑐
𝑓𝑦,𝑘
𝑊
(30)
Der indføres søjlereduktionsfaktoren χ som er forholdet mellem tryknormalspændingen og trykstyrken:
χ=
𝜎𝑐
𝑓𝑦,𝑘
(31)
Udtrykket (31) indsættes i (30):
χ ∙ 𝜎𝑐𝑟 − χ ∙ 𝜎𝑐 + χ ∙ 𝜎𝑐𝑟 ∙
𝐴
∙ 𝑢0 = 𝜎𝑐𝑟 − 𝜎𝑐
𝑊
Der divideres med flydestyrken f y,k:
𝜎𝑐𝑟
𝜎𝑐
𝜎𝑐𝑟 𝐴
𝜎𝑐𝑟
𝜎𝑐
χ∙
−χ∙
+χ∙
∙ ∙ 𝑢0 =
−
𝑓𝑦,𝑘
𝑓𝑦,𝑘
𝑓𝑦,𝑘 𝑊
𝑓𝑦,𝑘 𝑓𝑦,𝑘
(32)
(33)
8
1
Fra tidligere haves:
𝜎𝑐𝑟
=
𝜆2𝑟𝑒𝑙
(6)
𝑓𝑦,𝑘
Udtrykket (6) indsættes sammen med udtrykket for χ (31) i (33):
1
1 𝐴
1
χ ∙ 2 − χ2 + χ ∙ 2 ∙ ∙ 𝑢0 = 2 − χ
𝜆𝑟𝑒𝑙
𝜆𝑟𝑒𝑙 𝑊
𝜆𝑟𝑒𝑙
Der multipliceres med λ2rel :
χ − χ2 ∙ 𝜆2𝑟𝑒𝑙 + χ ∙ (
(34)
𝐴
∙ 𝑢 ) = 1 − χ ∙ 𝜆2𝑟𝑒𝑙
𝑊 0
(35)
Der indføres faktoren ή som ud fra søjlens initialudbøjningen, geometri og styrker udtrykker søjlens rethed:
ή=
𝐴
𝑊
∙ 𝑢0
(36)
Initialbøjningen kan som udgangspunkt sættes til 1/100 af søjlelængden:
𝑢0 =
𝑙𝑠
1000
(37)
Bæreevneudtrykket reduceres nu yderligere:
χ2 ∙ 𝜆2𝑟𝑒𝑙 − χ ∙ ( 𝜆2𝑟𝑒𝑙 + ή + 1) + 1 = 0
(38)
Søjlereduktionsfaktoren kan nu udtrykkes som:
χ=
𝜆2𝑟𝑒𝑙 + ή + 1 − √𝜆4𝑟𝑒𝑙 + 2 ∙ 𝜆2𝑟𝑒𝑙 ∙ (ή − 1) + (ή + 1)2
2 ∙ 𝜆2𝑟𝑒𝑙
(39)
Dette kan på nemmere vis opstilles som to kombinerede udtryk:
𝜙 = 0,5 ∙ (1 + ή + 𝜆2𝑟𝑒𝑙 ) (40)
χ=
1
𝜙+√𝜙2 −𝜆 2
𝑟𝑒𝑙
(41)
Bæreevne (karakteristisk) ved trykpåvirkning:
𝑵𝒄
𝛘∙𝑨∙𝒇𝒚,𝒌
≤𝟏
(42)
I specialtilfældet hvor u0 er nul bliver ή ligeledes nul og dermed bliver søjlereduktionsfaktoren χ =
𝜎𝑐𝑟
𝑓𝑦,𝑘
svarende til den ideele søjle uden forhåndskrumninger.
9
Bæreevne (karakteristisk) ved kombineret trykpåvirkning og momentpåvirkning om én akse:
Når et element er påvirket af både aksialt tryk og bøjning om én akse kan bæreevnen eftervises ved brug af
følgende udtryk:
𝑵𝒄
𝑴
𝑵𝒄𝒓
+
∙
≤𝟏
𝛘 ∙ 𝐀 ∙ 𝒇𝒚,𝒌 𝑾𝒆𝒍 ∙ 𝒇𝒚,𝒌 𝑵𝒄𝒓 − 𝑵𝒄
(43)
Hvor trykbæreevnen er reduceret med søjlereduktionsfaktoren χ og hvor momentbelastningen er forøget
med forøgelsesfaktoren
𝑁𝑐𝑟
𝑁𝑐𝑟 −𝑁𝑐
(22) således at både tryknormalkraft og momentpåvirkning tager højde for
andenordenseffekterne.
10
Beregning efter DS/EN 1993
I DS/EN 1993 er faktoren ή erstattet af et udtryk som dækker imperfektioner såsom forhåndkrumninger,
egenspændinger, skævheder m.m. og hvor et reelt kendskab til initialudbøjningen u0 ikke er nødvendigt.
λrel benævnes i DS/EN 1993 som 𝜆̅
ή = 𝛼 ∙ (𝜆𝑟𝑒𝑙 ,𝑦 − 0,2)
(44)
Svarende til:
𝑢0 = 𝛼 ∙ (𝜆𝑟𝑒𝑙 ,𝑦 − 0,2) ∙
𝑊
(45)
𝐴
idet
ή=
𝐴
𝑊
∙ 𝑢0
(36)
Hvor 𝛼 er en variabel imperfektionsfaktor som afhænger af ståltværsnittes udformning, den betragtede
udbøjningsakse, fremstillingsmetode m.m. Imperfektionsfaktoren 𝛼 varierer i intervallet 0,13 – 0,76.
λrel ,y skal mindst have værdien 0,2. Ved værdier mindre end 0,2 er der ingen søjlevirkning og flydestyrken fy
er alene begrænsende for bæreevnen.
I DS/EN 1993 er formeludtrykkene for bestemmelse af bæreevne i forhold til y og z-aksen:
1
χ=
𝜙+
√𝜙2
(46)
−
𝜆2𝑟𝑒𝑙
Hvor:
𝜙 = 0,5 ∙ (1 + 𝛼 ∙ ( 𝜆𝑟𝑒𝑙 − 0,2) + 𝜆2𝑟𝑒𝑙 ) (47)
Bæreevne ved trykpåvirkning (tværsnitsklasse 1-3):
𝑵𝒃,𝑹𝒅 =
𝛘 ∙ 𝑨 ∙ 𝒇𝒚,𝒌
𝜸𝑴𝟏
≥ 𝑵𝑬𝒅 (48)
Hvor Nb,rd er den regningsmæssige bæreevne mht. stabilitetssvigt af et trykpåvirket element og N Ed er den
regningsmæssige værdi af trykkraften.
Ovenstående udtryk for søjlereduktionsfaktoren er afbilledet i nedenstående figur hvor λrel er x-aksen og χ
er y-aksen.
Den røde kurve viser den imperfekte søjle som kun gælder for værdier af λrel større end 0,2.
Imperfektionsfaktoren 𝛼 er sat til værdien 0,21 svarende til søjlekurve a.
Den grå kurve viser den ideelle Euler søjle, som kun gælder for værdier af λrel større end 1.
11
Figur 7: Søjlereduktionsfaktorer χ som funktion af λrel
Bæreevne ved kombineret trykpåvirkning og momentpåvirkning (tværsnitsklasse 1-3):
Når et element er påvirket af både aksialt tryk og bøjning kan bærevenen eftervises ved brug af følgende
udtryk udtryk:
𝑴𝒚,𝑬𝒅
𝑵𝑬𝒅
𝑴𝒛,𝑬𝒅
+
𝒌
∙
+
𝒌
∙
𝒚𝒚
𝒚𝒛
𝛘𝒚 ∙ 𝑵𝑹𝒌
𝑴𝒚,𝑹𝒌
𝑴𝒛,𝑹𝒌 ≤ 𝟏
𝛘𝑳𝑻
𝜸𝑴𝟏
𝜸𝑴𝟏
𝜸𝑴𝟏
𝑴𝒚,𝑬𝒅
𝑵𝑬𝒅
𝑴𝒛,𝑬𝒅
+ 𝒌𝒛𝒚 ∙
+ 𝒌𝒛𝒛 ∙
≤𝟏
𝛘𝒛 ∙ 𝑵𝑹𝒌
𝑴𝒚,𝑹𝒌
𝑴𝒛,𝑹𝒌
𝛘
𝑳𝑻 𝜸
𝜸𝑴𝟏
𝜸𝑴𝟏
𝑴𝟏
(49)
(50)
Hvor:
χ𝐿𝑇 er kipningsreduktionsfaktoren
𝑘𝑦𝑦 , 𝑘𝑦𝑧 , 𝑘𝑧𝑦 og 𝑘𝑧𝑧 er interaktionsfaktorer
For yderligere information henvises til Stålkonstruktioner efter DS/EN 1993 af Bjarne Chr. Jensen og DS/EN
1993.
12