Något om Funktioner och Mathematica

HH/ITE/BN
Funktioner och Mathematica
1
Något om Funktioner och Mathematica
Bertil Nilsson
2015-08-15
y
r
a
bΘ
x
2
Funktioner och Mathematica
HH/ITE/BN
ť Förord
På följande sidor presenteras en elementär "streetwise guide" till funktioner med flitig användning av Mathematica. Framställningen
är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och
typiska exempel ges.
ť Funktionsbegreppet
Sedan lång tid har man betraktat en funktion som ett uttryck där det ingår en eller flera variabler. Släktskapet med begreppet
ekvation är flytande ska vi se och ibland är det inte någon större skillnad när vi betraktar en funktion i sin mer generella form
avbildning. I sin enklaste form kan man se en funktion som en process eller maskin vilken man matar med objekt och som sedan
utifrån vissa regler producerar nya objekt. Det vanligaste fallet som vi känner sedan tidigare är att maskinen matas med ett tal x och
därefter levererar ett tal y, så kallad envariabelanalys. Om vi döper funktionen till f skriver vi y f x och kallar x för den
oberoende variabeln eftersom den i någon mening kan matas in fritt och y kallas för den beroende variabeln då den beror både på
x och f. Man brukar säga att y är värdet eller bilden av x under funktionen f eller att x avbildas av f. Sådana här funktionssamband
brukar avbildas i vårt vanliga koordinatsystem.
y
8
6
4
2
y
x
2
y
1
f x
2
4
y f x
1
2
3
x
Exempel: De vanligaste reglerna som används är naturligtvis våra vanliga räkneregler och funktionen brukar helt enkelt beskrivas
med dessa. Exempelvis har vi den funktion f vilken "tar ett tal adderar 1 och slutligen kvadrerar summan" som f x
x 1 2 . Vi
kan nu rita in de bilder y f x vi får för exempelvis x
3, 2 .
Plot x
1
2
, x,
3, 2 , PlotStyle
Green, PlotRange
All, AxesLabel
"x", "y" 
y
8
6
4
2
3
2
1
1
2
x
Som väntat ligger Mathematica nära det matematiska språket. Här definierar vi funktionen i senaste exemplet.
f x
:
x
1
2
Notera speciellt hakparenteser kring den oberoende variabeln och att det ska vara ett _ "underscore" direkt efter variabeln för att
skilja den från annat x som kanske råkar vara i Notebooken. Konstruktionen med : är lite teknisk. Med endast = så förenklar
(beräknar) Mathematica högerledet så långt det är möjligt redan vid definitionstillfället till skillnad mot : som innebär att definitionen hålles symboliskt som den är inskriven och beräknas först när f x efterfrågas. Det finns anledning att ha båda möjligheterna!
Vi kan nu beräkna funktionens värde i de punkter vi önskar, såväl enskilda som en lista av dem.
f 2 ,f
3,
4, 8
9, 16, 9, 81
De tal som man vill mata in till funktionen, det vill säga alla tänkbara värden på den oberoende variabeln, kallas för definitionsmängden D f till f. De värden som den beroende variabeln sedan kan anta då x genomlöper D f kallas värdemängden V f till f. Vanligtvis
brukar man välja D f till de tal som maskinen "står pall för", den så kallade naturliga definitionsmängden. Men det finns ofta
anledning att inskränka den till en mindre mängd.
Exempel: Vi ser att till funktionen f x
x
1 2 kan vi mata in vilket tal som helst, det vill säga x
definitionsmängd. Eftersom en kvadrat bara kan anta ickenegativa värden har vi att V f
gäller däremot en naturlig Dg
1,
och Vg
3,
.
0,
, så D f
är dess naturliga
. För funktionen g x
3
x
1
HH/ITE/BN
Funktioner och Mathematica
Plot3
x
1 , x, 0, 10 , PlotStyle
3
Orange, AxesLabel
"x", "y" 
y
6.0
5.5
5.0
4.5
4.0
3.5
2
4
6
8
10
x
Mängden av alla punkter  x, f x ; x
y
D f  i planet kallas funktionskurvan
eller grafen G f . Denna fås enklast genom att rita funktionen i Mathematica
som vi gjort ovan. Detta ska man göra så ofta man hinner eftersom mycket
information finns att hämta inför nästa steg i ett modelleringsarbete. Vi
sammanfattar situationen i en liten bild.
y f x
Vf
Gf
Df
Exempel: Bestäm värdemängden V f till funktionen f x
Lösningsförslag: Eftersom D f
Plot 1
3 x, x,
1
3x, D f
1, 1 så har vi att max f
1, 1 , PlotStyle
1
x
x
1, 1 .
3
1
4, min f
Red, AxesLabel
1
3 1
2
Vf
2, 4 .
"x", "y"
y
4
3
2
1
1.0
0.5
1
2
0.5
1.0
x
y
En viktig frågeställning är om det finns någon entydig väg
tillbaka i bilden. Alltså givet s V f finns då ett x D f så
y
Ej injektiv
Injektiv
y s
y s
att ekvationen s f x har precis en lösning x ? Om detta
är möjligt kallas funktionen injektiv och betyder helt enkelt
att linjen y s får skära G f i högst en punkt.
x
x
För en sådan funktion f kan vi då definiera en ny funktion för
återresan. Denna kallas för inversen till f och betecknas med
f 1 för att markera släktskapet. Obs Ska ej förväxlas med
upphöjt till 1 Naturligtvis gäller då D f 1 V f och V f 1 D f .
y
y
Gf
Vf
Df x f
1
x
y
Att bestämma inverser kan verka lite akademiskt, men är mycket vanligt i matematisk modellering. Krav c på en modell ställs i
"verkliga" världen c V f så det gäller att lösa ekvationen c f x med avseende på modellparametern x D f . Om vi döper om
variabelnamnen i inversen visar sig släktskapet väldigt tydligt i det att G f och G f
Exempel: Bestäm inversen till y
f x
2x
1
är varandras spegelbilder i linjen y
x.
1.
Lösningsförslag: Vi försöker lösa x som funktion av y. Om detta är möjligt utan att behöva göra några val under processen har vi
entydighet. Eftersom vi har en rät linje kan vi förvänta oss en odramatisk resa y
y
f
1
x
1
2
x
1 . Här är D f
Vf
Df
1
Vf
1
. Till slut ritar vi f x , f
1
f x
2x
1
x och spegeln.
x
f
1
y
1
2
y
1
4
Funktioner och Mathematica
HH/ITE/BN
1
Plot2 x
1,
x
1 , x, x,
2, 2 , PlotRange
2, 2 ,
2, 2
,
2
AspectRatio
Automatic, PlotStyle
AxesLabel
Red, Blue, Orange, Dashing
"x", "y" , PlotLegends
0.025
,
"Expressions"
y
2
1
2x 1
x1
2
1
1
2
2
x
x
1
2
Exempel: En funktion behöver inte ha samma beskrivning i hela sin definitionsmängd. Den kan gott variera och då säger man att
den är styckvis definierad. I Mathematica används funktionen Piecewise, pw för att definiera en sådan.
1
x
Plot
x
x
1
2
2
x
1
x
3 , x,
4, 4 , PlotStyle
Red, AxesLabel
"x", "y" 
3
y
4
3
2
1
4
2
1
2
4
x
Exempel: Ibland behöver man rita mätdata som en funktion. Här USA:s befolkningsmängd under några år en gång i tiden. Vi
känner alltså bara funktionen punktvis men känner att vi har tillräckligt på fötterna för att fylla igen med räta linjer däremellan.
År
ListPlotRest
Joined
1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850
befolkning 106 
True, PlotRange
3.9
5.3
7.2
0, 25 , AxesLabel
9.6
12
17
23
"år", "befolkning
, PlotStyle
Orange,
106 "
befolkning 10 6
25
20
15
10
5
1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850
Om två funktioner f och g är sådana att V f
år
Dg kan man bilda en ny funktion genom sammansättningen y
hx
g f x . Detta
skrivs också y h x g f x och utläses "g ring f ". Observera ordningen! Naturligtvis kan man sätta samman flera funktioner i en
kedja förutsatt värdemängden för en funktion är en delmängd av den efterföljande funktionens definitionsmängd. I schematisk form
används variabler som mellanresultat för omlastning till nästa maskin. Kaffe genom tvättmaskinen går bra, men omvänd ordning
med tvätt genom kaffebryggaren är förenat med stora besvär!
x
y
u
u
f x
y
gu
g f x
HH/ITE/BN
Funktioner och Mathematica
5
Exempel: Antag att f x x2 och g x x 1 så har vi exempelvis sammansättningarna y
x2 1 vilka är helt olika funktioner. Så ordningen är mycket viktig!
y h2 x g f x
: x2 ; g x
f x
: x
h1 x
f gx
x
1
2
och
1
f g x
x
1
2
g f x
x2
1
Plot Evaluate f g x , g f x
, x, 2, 2 , PlotStyle
Red, Blue ,
AxesLabel
"x", "f g x , g f x " , PlotLegends "Expressions"
f g x ,g f x
8
6
1 x2
4
1 x2
2
2
1
1
2
x
I analys i en variabel säger vi att vi har en funktion som "avbildar ett tal på ett nytt tal" vilket skrivs
. Det finns inget som
hindrar att man har både fler oberoende variabler och flera beroende variabler vilket inte helt överraskande kallas analys i flera
n
variabler m
.
Exempel: Om vi mäter temperaturen T i vår lektionssal är det sannolikt att den varierar med platsen i rummet, T x, y, z , eftersom vi
har tre rumskoordinater, längd x, bredd y och höjd z för att beskriva läget av termometern. Alltså en funktion 3
. Eftersom vi
alla är små värmekaminer, med effekt som en stark glödlampa, finns det också anledning anta att temperaturen ökar med tiden sedan
lektionen startade, så vi kan bygga på till T x, y, z, t : 4
. Vid samma tidpunkt t har vi då olika temperaturer på olika platser i
rummet, men om vi å andra fixerar en plats i rummet kommer temperaturen där att variera allt eftersom tiden t går.
Exempel: När en byggingenjör gör en slutkontroll på ett bygge kanske det är av intresse att veta hur plant golvet är, det vill säga
är mycket vanliga i ingenjörssammanhang och brukar
felet i höjdled i förhållande till en nollnivå. Just sådana här samband 2
kallas "flygande mattor", z f x, y . Genom att markera i grafen kan man även rotera den med musen. Hand i hand med dessa
mattor brukar man se nivåkurvor, likt isobarer på en väderkarta, vilket är kurvor i xy-planet som sammanbinder punkter på mattan
som har samma höjd. Ofta brukar man färglägga området mellan dessa (eng. fringe plot), typ temperaturkartor i en väderleksprognos!
Plot3D Sin x
Cos y Sin x y , x, 0, 2 Π , y, 0, 2 Π ,
ContourPlot Sin x
Cos y Sin x y , x, 0, 2 Π , y, 0, 2 Π

,

Det finns gott om begrepp och teori kring funktioner. Vi nöjer oss med lite terminologi och hänvisar den intresserade till en lärobok,
t.ex. PB, för mer rigorös framställning av teorin.
6
Funktioner och Mathematica
Om f x
B för alla x
D f säges f vara en uppåt begränsad funktion.
Om f x
A för alla x
D f säges f vara en nedåt begränsad funktion.
B för alla x
HH/ITE/BN
Om A
f x
x1 , x2
D f och x1
x2
f x1
D f säges f vara en begränsad funktion.
f x2 säges f vara en växande funktion. Strängt växande om
x1 , x2
D f och x1
x2
f x1
f x2 säges f vara en avtagande funktion. Strängt avtagande om
Om f är strängt växande eller avtagande för alla x
D f säges f vara strängt monoton.
En funktion kallas jämn om f
D f . Exempelvis y
x
f x för alla x
byts mot
.
byts mot
.
x2 är en jämn funktion.
En funktion kallas udda om f x
f x för alla x D f . Exempelvis y x3 är en udda funktion.
Om f x p
f x säges f vara en periodisk funktion med periodiciteten p.
Om f ax b y a f x b f y , x, y D f och a, b konstanter säges f vara en linjär funktion.
Som vi kanske kan ana gör kravet på entydighet, det vill säga ett y f x för varje x, att vi inte kan beskriva alla samband som vi är
intresserade av i fysik och ingenjörssammanhang. Man brukar väsentligen skilja på funktioner i några olika skepnader, vilka vi
behandlar i tur och ordning.
Explicit form y f x . Man sätter in ett x och räknar fram ett entydigt y relativt smärtfritt. För att en beskrivning ska få
kallas funktion i klassisk mening krävs att den är entydig, så att för varje x får det bara avbildas ett y.
Implicit form f x, y 0. För att bestämma y från givet x krävs att man löser en ekvation. Detta kan kan vara förenat
med stora komplikationer.
Parameterform t
xt, yt,
. Funktionskurvan eller grafen kan beskrivas med en parameter.
ť Explicita funktioner
Här bor alla de elementära funktioner som vi kanske känner igen en del av sedan tidigare.
Absolutbelopp
Absolutbeloppet skrivs x och på tallinjen betyder x avståndet från talet x till origo och x
och V .
0,
och definieras av
Funktionen har D .
-2-5=-7=7
x
x
Plot Abs x , x,
då x
x då x
-2
0
0
5, 5 , PlotStyle
5
Brown, AxesLabel
y avståndet mellan talen x och y.
x
"x", "y"
y
5
4
3
2
1
4
2
2
x
4
I en del teoretiska överläggningar har man nytta av triangelolikheten x y
x
y . Den kan enkelt visas med absolutbeloppet och har sin geometriska grund och därmed namnsättning i det faktum att i en triangel är alltid längden av en sida kortare än
summan av de två andra.
Exempel: Antag att vi behöver två brädor med längderna 2 respektive 3 m för att läggas efter varann i ett utrymme om 5 m. På
grund av oundvikliga produktionsfel kan inte tillsågning ske exakt utan de två längderna kommer att representeras av x med felet
0.004 respektive y med felet 0.005. Vad kan man säga om felet i x y ?
Lösningsförslag: Enligt förutsättning har vi att x
Triangelolikheten ger nu en övre gräns för felet
x
y
2
3
x
2
2
0.004 och
y
3
x
y
2
3
0.005 och söker skillnaden mellan x
y
3
0.004
0.005
0.009
y och 2
3.
HH/ITE/BN
Funktioner och Mathematica
7
Polynom
Ett polynom y
n
i
i 0 ci x
pn x
c0
c2 x
c2 x2
cn xn är en summa (eller mer noggrannt en linjärkombination) av monom
xi . Man säger att polynomet är av grad n. Här har vi exempel på några
Plotx, x2
x3 , x,
3, 1
2, 2 , PlotStyle
Red, Blue, Orange ,
"x", "x, x2 3, 1 x3 "
AxesLabel
x, x 2 3, 1 x 3
5
2
1
1
x
2
5
Polynom är mycket vanliga i tillämpad matematik. Anledningen är enkel; vanliga operationer med polynom som addition, subtraktion, multiplikation, derivation och integration resulterar i ett nytt polynom. Grafen till ett n:te grads polynom "svänger" högst n 1
gånger. En polynomekvation av n:te graden pn x 0 har alltid n stycken rötter eller nollställen x1 , x2 , , xn . De komplexa
rötterna förekommer alltid komplexkonjugerade. Man säger ibland att lösningsmängden är x x1 , x2 , , xn . Enligt faktorsatsen
x x1 x x2
x xn . Speciellt har vi
kan man då skriva pn x
Andragradsekvationen x2
ax
b
a
2
0 har rötterna x1,2
a 2
2
b.
Det finns även formler för tredje- och fjärdegradsekvationer, som framtogs av de italienska matematikerna Niccolo Fontana
Tartaglia (1500-1557) och Gerolamo Cardano (1501-1576), men dessa är så krångliga att det är mycket sällsynt att en yrkesmatematiker har dem i minnet lika bra som Mathematica har. Däremot existerar det inte några formler för femtegradsekvationer och högre.
Detta visades av den norske matematikern Niels Henrik Abel (1802-1829). Man brukar nöja sig med en ren numerisk lösning för
polynomekvationer av ordning högre än två.
Solvex3
2 x2
1
x
4
0
7
x
3
3
71
9
7 1
2
6
3
3
9
58
2 x2
x
4
5 x4
4.92068 , x
58
1. , x
1
1
6
3
71
9
58
3
3
71
9
58 ,
6
1
3
3
71
9
58 
6
0
0.422733 1.10772 , x
2 x2
3
, x
58
71
2.84547 , x
NSolvex5
x
9
1
NSolvex3
x
71
3
x
3
7 1
2
3
2
x
3
1. , x
0.422733 1.10772
0
0.039662 0.779807 , x
0.039662 0.779807
Räta linjen
Räta linjen y kx m är det enklaste polynom (av grad 1) som man som ingenjör ska vara mycket god vän med! Här brukar k kallas
riktiningskoefficient eftersom den anger hur den räta linjen lutar. Parametern m anger var linjen skär y-axeln. I figuren nedan har vi
en bukett räta linjer y kx m med samma m men varierande k. Man brukar tala om positiv respektive negativ riktningskoefficient
beroende på dess uppenbara geometriska innebörd.
8
Funktioner och Mathematica
y
HH/ITE/BN
y
k 0
x,y
x1 ,y1
k 0
m
Θ
x0 ,y0
m
k 0
x
x
Man kan visa att k tan Θ , där Θ är linjens lutningsvinkel i förhållande till positiva x-axeln. Räta linjen y kx m brukar också
dyka upp som enpunktsformeln y y0 k x x0 , där x0 , y0 är en känd punkt på linjen. Denna är en direkt konsekvens av tan Θ ,
ty k
y y0
tan Θ
y
x x0
y0
kx
x0
y
kx
y0
kx0
kx
m.
Andragradspolynom
Ett andragradspolynom y
Plot1
c0
3 x2 , 5 1
2x
c2 x2 kallas parabel.
c1 x
x2 , x,
1, 1 , AxesLabel
"x", "y" 
y
6
5
4
3
2
1
1.0
0.5
0.5
1.0
x
Rationell funktion
En rationell funktion är en kvot av polynom y
pm x
pn x
. Dessa är mycket populära
i den matematik som utgör grunden i CAD–system för hantering av skulpterade ytor,
exempelvis en bilkaross eller animerad film. Rationella funktioner dyker också upp i
ämnet reglerteknik. Där söks nollställen till såväl täljare som nämnare, då m n är
polynomdivision av intresse och då m n gäller partialbråksuppdelning. Detta har
plågat generationer av ingenjörer med omfattande handarbete. Med Mathematica
är det lite smidigare.
Solvex3 x
x
0, x
1
0
0, x
0, x
Solvex2 x
x
1, x
1
0
0, x
x3 x
0
1
Apart
Polynomdivision

x
x3
1
2
2 x2
2x
2
x
1
x
pbu
11
4
3 x
x
1
4
3
3
2 x x
1
Partialbråksuppdelning

Together pbu
x
3
Apart
x3
8x
1
x
1
x
5
3
x2
x3
2
2
1
24 x
2
HH/ITE/BN
Funktioner och Mathematica
9
Potensfunktion
Uttryck av formen aΑ , a
0 och Α
n
Speciellt har vi skrivsättet a1 n
kallar vi potenser med basen a och exponenten Α. Vi har de viktiga potenslagarna.
1
3. a
2. a1
a
4. aΑ a Β
a för heltal n
4
x
x
x3 
8
Β
aΑΒ
aΑ
Β
6. aΑ bΑ
ab
Α
2 säger vi kvadratroten och skriver enbart
1
x
a.
1, 1 .
x3  .
x2
1
4
aΑ
5.
x och rötterna till ekvationen x2
12
1 4
,x
18
x1 4 
Lösningsförslag: Vi har direkt med potenslagarna f x
Simplify
Α
14
1
8
1. Då n
x2
Skilj speciellt på
Exempel: Förenkla f x
1
aΑ
1. a0
x 2 
14
x3 
x1 4 1 2 x
2 18
x3 1 4
x1 8
14 34
x5 8 .
0
x2
x5 8
Exempel: Lös ekvationen 3x
1
Lösningsförslag: 3x
12
Solve3x
x
1
1
3x
3x
3x
12.
3 3x
3x
12, x, Reals
4 3x
12
3x
12
31
x
1.
Endast reella lösningar, tack
1
Exempel: Lös ekvationen 2x
2
3 2x
Lösningsförslag: Potenslagar 2x
Solve2x
2
2x
3
2
7
.
2
7
2
3 2x
22 2x
3 2x
7
2
4
7
2
3 2x
1
2
2x
2x
2
1
x
1.
7
, x, Reals
Endast reella lösningar, tack
2
x
1
Vi fixerar nu Α och definierar en potensfunktion y f x xΑ , x 0. Det principiella utseendet beror på valet av Α. Potensfunktionen är alltid ickenegativ och de två till vänster är strängt växande och den till höger strängt avtagande.
y
y
4
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
3
2
y
xΑ ,
Α 1
1
0.5
1.0
y
1.5
2.0
x
20
15
y
xΑ ,
0 Α 1
y xΑ , Α 0
10
5
0.5
1.0
1.5
2.0
x
0.5
1.0
1.5
2.0
x
Exponentialfunktion
y
Om vi till skillnad mot potensfunktionen låter basen a 0 vara fix
och variera exponenten x
har vi en exponentialfunktion
x
y f x a . Exponentialfunktionen är alltid positiv och dess
principiella utseende beror av a, strängt växande alternativt
strängt avtagande.
y
4
4
3
3
2
1
2
1
2
a 1
1
1
2
x
2
1
0 a 1
1
2
x
10
Funktioner och Mathematica
HH/ITE/BN
De vanligaste baserna är den naturliga basen
2.71828 som är ett irrationellt tal, den historiska basen 10 och den i datorsammanhang förekommande basen 2. I Mathematica får man antingen från palette eller med escapesekvensen ee .
2x
Exempel: Sök reella lösningar till ekvationen
x
2
8
0.
x 2
x
Lösningsförslag: Vi har en andragradsekvation i x , ty 2x 2 x 8 0
2 x 8 0
1
Eftersom x 0 duger bara x 2 varav x ln 2 . Mathematica levererar även den komplexa roten om vi vill
2x
Solve
x
2
x
8
0, x, Reals
1
8
1
3.
Endast reella lösningar, tack
log 2
Logaritmfunktion
Om vi låter a vara ett positivt tal skilt från 1, har exponentialfunktionen y ax en entydig lösning x för givet y 0. Denna lösning
kallas a-logaritmen för y och skrives x loga y . Talet a kallas logaritmens bas. Detta kan uttryckas i ord som "loga y är det tal
som man ska upphöja a till för att få y". Beteckningen loga y är inte standardiserad, ibland ser man även a log y . Släktskapet med
exponentialfunktionen är alltså
x
loga y
y
ax
Genom att snegla på potenslagarna får vi de viktiga logaritmlagarna för x, y
1. loga 1
2. loga a
0
3. loga xy
x
1
4. loga  y 
loga x
0.
5. loga x y
loga y
loga x
loga y
6. logb x
y loga x
loga x
loga b
basbyte
Exempel: Visa basbyteslagen ovan.
Lösningsförslag: Utgå från x
x
b
y
b y och ta a- respektive b-logaritmen
loga x
loga b y 
logb x
b y 
logb
5.
loga x
logb x
y loga b
2.
y logb b
loga x
y loga b
logb x
y 1
Om vi låter basen a 1 vara fix och variera x 0 har vi en logaritmfunktion y
nämnda viktiga baserna och 10 och även 2 har fått speciella beteckningar
Naturliga logaritmen ln x
10 logaritmen
lg x
2 logaritmen
lb x
f x
Eliminera y
loga x
logb x
loga b
loga x som är strängt växande. De tidigare
log x
log10 x
log2 x
I Mathematica används funktionen Log[x] för ln x . Om man vill ha någon annan bas a måste detta anges Log[a,x]. Till vänster
x
och y ln x som är varandras
ser vi en bukett med lite olika baser a, och till höger sammanfattar vi de viktiga syskonen y
inverser.
y
y
4
2
y
3
1
x
Ökande bas
2
y ln x
1
1
2
3
4
5
1
x
2
1
1
1
2
2
2
3
4
x
HH/ITE/BN
Funktioner och Mathematica
Exempel: Lös ekvationen ln 1
x
Lösningsförslag: ln 1
x
ln x
Solve Log 1
x
1
1
1
11
ln x .
ln 1
x
ln
ln x
ln 1
x
ln x
1
x
x
1
ln23 
x
2 x
x
1
.
Log x , x
1
x

1
Exempel: Lös ekvationen ln x
2
ln x
3ln 2 .
Lösningsförslag: Ta hjälp av logaritmlagarna ln x
2
ln x
x 0
3ln 2
ln x
2 x
8
x
2 eller
x 2 0
x 4. Här är x
2 falsk rot med hänsyn till kravet ovan, ty logaritmlagen ln ab
Detta vet naturligtvis Mathematica
Solve Log x
x
2
Log x
ln b gäller ju bara om a
0 och b
0.
3 Log 2 , x
4
Exempel: Lös ekvationen lnx2
1
ln x
1
2ln x
3.
Lösningsförslag: Logaritmlagar, konjugat- och kvadreringsregeln lnx2
x 1 x 1
x 1
för x
ln a
x
3
2
x
1
x
3
Log x
1
2
x2
7x
10
0
x1
1
ln x
1
2ln x
Testa falska x2 1
x 1
x senare
3
x
3
2
2 och x2
5. Här duger endast x2
5 ty ln x bara definierad
ln
ln 2 x
x
x
x
10x
0. Detta vet Mathematica
SolveLogx2
x
1
2 Log x
3 , x
5
Exempel: Lös ekvationen ln
Lösningsförslag: ln
Solve Log
x
x
x
x
2
2
ln x
2
ln x .
ln
x
ln 2 
ln x
x
2
x
2
1
.
Log x , x

2
1
Exempel: Lös ekvationen lg 1
Lösningsförslag: Vi får lg 1
Solve Log 10, 1
x
x
x
1
1
1
lg x , där lg s
lg x
lg 1
log10 s .
x
lg 10
lg x
lg 1
x
lg 10x
1
x
1
.
9
Log 10, x , x
1
x

9
Exempel: För vilka x och y gäller sambandet ln x
y
Lösningsförslag: Med välkänd logaritmlag får vi ln x
Solve x
y
ln x
y
?
ln y ?
ln x
ln y
ln xy . Alltså ? sann om x
y
xy
y
x
.
x 1
x y, y
x
y

x
1
Så för varje givet x 1 finns ett entydigt y 1 sådant att ? gäller. Alltså gäller det för oändligt många x och y. Men omvänt för
varje givet x finns det då oändligt många y som det är falskt för. Detta sista fall brukar vara det vanliga när man försöker använda
den "distributiva logaritmlagen" på t.ex. en tenta. Så sant för oändligt många och falskt för oändligt många!!
12
Funktioner och Mathematica
HH/ITE/BN
Trigonometriska funktioner
Vi sammanfattar de viktigaste egenskaperna och satserna kring godtyckliga trianglar.
Area A
1
bh
2
b
Vinkelsumma Α Β Γ 180
Likformighet om alla vinklar är lika
a
a'
b
b'
c
c'
a
b
a'
b'
2
2
Cosinussatsen c
Sinussatsen
2
a
sin Α
a
b
c'
c
sin Γ
b
c
b
a
a'
g
g
2abcos Γ
sin Β
b
a
h
a
b'
b
Notera det vanligaste sättet att namnge vinklar och sidor. Vinklar med grekiska bokstäver och motstående sida med motsvarande
latinska. Ett vanligt beräkningsmoment är att bestämma samtliga vinklar och sidor då en tillräckligt stor blandning av dessa är kända.
Detta kallas att solvera triangeln. Om en av vinklarna är större än 90 säges triangeln vara trubbig och spetsig om samtliga vinklar
är mindre än 90 . Ett mycket viktigt specialfall är om en vinkel är 90 , då säger vi att det är en rätvinklig triangel. För denna känner
vi igen de viktiga begreppen
Rätvinklig triangel
Hypotenusa c
Kateter a och b
Pytagoras sats a2
b2
c2
cos Α
b
c
närliggande katet
sin Α
a
c
motstående katet
hypotenusan
tan Α
a
b
motstående katet
närliggande katet
c
hypotenusan
sin Α
cos Α
a
Α
1
cot Α
b
De ovan refererade funktionerna sin och cos kan defineras för godtyckliga argument t
. Detta åskådliggörs enklast i
enhetscirkeln, en cirkel med radien 1. Som enhet för vinkeln t används nu inte grader utan radian. Denna definieras som den vinkel
som motsvarar en längdenhet av bågen.
Radian [rad] är helt dominerande i matematik som enhet för vinkel. 1varv
2Π rad
360
2Π
360 . Så 1rad
57.3
I enhetscirkeln utgår vi från 1, 0 och låter detta motsvara vinkeln t 0 och räknar sedan moturs som positivt och medurs som
negativt. För att täcka upp t
får vi alltså veva på flera varv åt båda hållen. Värdet av de två funktionerna cos t och sin t för
givet t kan sedan avläsas som "skuggan" på x- respektive y-axeln av den punkt
på periferin som svarar mot en cirkelbåge med
längden t framvevad åt rätt håll beroende på om t är positiv eller negativ. Se figur till vänster nedan. I den mittersta har vi ritat in
sin t
cos t
ytterligare två ofta använda trigonometriska funktioner, nämligen tan t
och cot t
1
tan t
. Det hör till att kunna dessa
funktioners värde för de vinklar som ingår i en triangel genererad av en halv kvadrat respektive halv liksidig triangel, se tabell nedan.
y
y
1
cot t ,1
t rad t
1
1,tan t
sin t
sin t
t
1
cos t 1
x
t
1
cos t 1
1
x
1
cos t
sin t
tan t
cot t
0
0
1
0
0
Ej def .
Π
6
30
3
2
1
2
1
Π
4
45
1
1
2
2
1
Π
3
60
1
2
3
2
Π
2
90
0
1
3
3
Ej def .
3
1
1
3
1
Både cos och sin är periodiska med periodiciteten 2Π, det vill säga cos t n2Π cos t och sin t n2Π sin t för n
.
Funktionernas värde i andra kvadranter får vi genom att titta i enhetscirkeln och "spegla" första kvadranten på för ändamålet
lämpligt sätt. Exempelvis
cos t
cos Π
Π
cos 2
cos t
t
t
sin t
sin t
cos t
sin Π
t
sin t
sin t
Π
sin 2
t
cos t
Av första raden framgår speciellt att cos är en jämn funktion och sin en udda funktion. Eftersom variabelnamn inte har någon
HH/ITE/BN
Funktioner och Mathematica
13
betydelse sammanfattar vi och ritar
y
cos x
Dcos
y
sin x
Dsin
y
tan x
x
Dtan
Π
2
Vcos
1, 1
Vsin
1, 1
nΠ Vtan
,
Plot Cos x , Sin x , x, 10, 10 , PlotStyle
Blue, Red ,
AxesLabel
"x", "cos x ,sin x " , Ticks
Range 3, 3 Π, Automatic
cos x ,sin x
1.0
0.5
3Π
2Π
Π
Π
2Π
3Π
x
0.5
1.0
Π
PlotTan x , x,
10, 10 , PlotStyle
Orange, Exclusions
Range
5, 5 ,
2
AxesLabel
"x", "tan x " , Ticks
Range
3, 3 Π, Automatic 
tan x
6
4
2
3Π
2Π
Π
Π
2Π
3Π
x
2
4
6
Det finns ett stort antal trigonometriska formler härledda ur de basala additions- och subtraktionsformlerna
cos x
y
cos x cos y
sin x sin y
sin x
y
sin x cos y
cos x sin y
Den grundläggande av dessa är
cos x y cos x cos y sin x sin y . Detta
kan enkelt visas med metoder som kommer senare
i kursen, men också med hjälp av två rätvinkliga
trianglar som delar samma hypotenusa, som här
för enkelhets skull har längden 1. Med markerade
vinklar och sträckor ser vi lätt sambandet. De tre
andra får vi sedan genom att i tur och ordning göra
Π
de fiffiga valen y
y och y 2 y, följt av
förenkling med speglingsuttrycken ovan.
De absolut viktigaste att känna till är
cos2 x
cos 2x
sin 2x
sin2 x
2
sin y
sin y
x
sin x sin y
cos y
cos y
1
y
x y
x
cos x y
cos x cos y
1
Trigonometriska ettan
2
cos x sin x
2sin x cos x
Trig. 1:an
2
2cos x
1
å igen
1
2
2sin x
Dubbla vinkeln
Dubbla vinkeln
I en del utländsk litteratur och i utdata (indata också om man vill) från Mathematica påträffar man ofta funktionerna
sec Α
1
cos Α
, Sec Α och cosec Α
1
sin Α
, Csc Α . Dessa är en kvarleva från navigering på de gamla segelfartygens tid och
anses numera, åtminstone i Europa, som lite exotiska , och ingår därför inte i den svenska skolundervisningen. Det samma får nog
gälla för cot Α
1
tan Α
, Cot Α . Vill man inte se dessa är det lämpligt att också aktivera följande i en inputcell, vilket är gjort i
hela kursmaterialet Tillämpad matematik.
14
Funktioner och Mathematica
$PrePrint
. Csc z
Sec z
Cot z
1
1
1
HH/ITE/BN
Defer Sin z ,
Defer Cos z ,
Defer Tan z
&;
Inversen till de trigonometriska funktionerna kallar vi arcusfunktioner och skriver arccos x , arcsin x och arctan x . Som
vanligt ligger Mathematica nära med ArcCos[x], ArcSin[x]och ArcTan[x]. I amerikansk litteratur och på räknedosor är den
"inversa" namnsättningen sin 1 x , cos 1 x och tan 1 x vanlig. Även Mathematica använder dem gärna vid resultatutskrift. För att
dessa inverser ska existera är man tvungen att göra en restriktion av definitionsmängderna ovan. Vi sammanfattar och uppmanar
läsaren att projicera bilderna på enhetscirkeln!
cos x ,arccos x
sin x ,arcsin x
tan x ,arctan x
Π
Π
2
1
Π
2
Π
2
1
Π
1
Π
1
2
x
Π
2
x
Π
2
2
Π
1
1
Π
x
Π
2
1
2
Π
1
Darccos
2
1, 1 , Varccos
0, Π
Darcsin
1, 1 , Varcsin

Π Π
, 
2 2
,
Darctan
, Varctan
Π Π
, 
2 2

I många sammanhang, bland annat vid lösning av differentialekvationer som vi återkommer till i en senare kurs, får man uttryck på
formen asin Ωt bcos Ωt , där a och b är reella konstanter och Ω den så kallade vinkelhastigheten med enheten [rad/s]. Uttrycket
a2
brukar ofta skrivas om till en ren sinusvåg med hjälp av en rätvinklig triangel med kateterna a, b och hypotenusan
asin Ωt
a2
bcos Ωt
a
b2
2
a
2
b
a2
b2 cos
a2
b2 sin Ωt
a2
och identifierar amplitud R
b
sin Ωt
2
a
sin Ωt
b2 och fasvinkel
sin
cos Ωt
a
1
2
2
b
a
cos Ωt
1 och
b
1
2
2
b
b2 .
a
1
b2
Summaformel för sinus
a
som naturligtvis mäts i radianer. Punkten  R ,
b

R
ligger på enhetscirkeln
och fasvinkeln bestäms likt argumentet för ett komplext tal. Var och en av de oändligt många vinklar som löser ekvationerna
a Rcos
kan göra anspråk på att kallas för fasvinkel. På grund av periodiciteten hos cos och sin skiljer de sig åt med en
b Rsin
multipel av 2Π så alla ger "samma effekt". Ofta nöjer man sig med den så kallade principalvinkeln som ligger i intervallet Π, Π .
När man räknar för hand gäller det att se till så man hamnar i rätt kvadrant!! Om a 0 eller b 0 är det ju enkelt annars går det bra
b
arctan a 
att beräkna fasvinkeln som
Π eftersom arctan levererar vinklar i första och fjärde kvadranten. Den avslutande
om a 0
b
a
korrektionen kommer sig naturligtvis av att vi kan ha dividerat bort "negativ" information, ty
b
a
b
a
och
b
.
a
Det är inga
problem i Mathematica om vi använder versionen med två argument ArcTan[a,b]som alltid levererar rätt vinkel i intervallet
Π, Π och givetvis i radianer.
1
Exempel: Enkla trigonometriska ekvationer av typen sin 2t
2
som löses genom att rita (gör det!) och studera situationen i
enhetscirkeln ska man klara för hand. Dra en rät linje parallell med x-axeln ("cos"-axeln) genom
1
2
på y-axeln ("sin"-axeln). Vi ser
att denna linje skär enhetscirkeln i två punkter som enligt värdetabellen på sid 12 motsvarar vinklarna
periodiciteten 2Π får vi lösningarna 2t
Π
4
2nΠ eller 2t
Π
Π
4
2nΠ, för n
Π
4
, vilket förenklas till t
respektive Π
Π
8
nΠ eller t
Π
,
4
så med
3Π
8
nΠ
för n
. Naturligtvis räknar vi alltid i radianer! Ekvationslösaren Solve är gjord för att lösa polynomekvationer, men gör oftast
tappra försök även då det ingår lite andra elementära funktioner, så här kommer skolbokslösningen i repris
1
SolveSin 2 t
, t
Simplify
2
1
t
ConditionalExpressionΠ c1
8
3
, c1
, t
ConditionalExpressionΠ c1
8
, c1

HH/ITE/BN
Funktioner och Mathematica
15
För att få lösningarna i ett speciellt intervall, är det bara att hjälpa Solve med detta. Exempelvis principalvinklarna.
1
SolveSin 2 t
,
t
Π
Π, t
2
7Π
t
5Π
, t
Π
, t
8
3Π
, t
8

8
8
Åven svårare saker, som man endast efter lite möda reder ut för hand, går fint.
Solve2 Cos 2 t
2
2 Sin t
3 Cos t
0, t
5Π
t
ConditionalExpression2 Π c1
t
6
Π
ConditionalExpression2 Π c1
2
Π
, t
, c1
, c1
ConditionalExpression2 Π c1
, t
ConditionalExpression2 Π c1
, c1
2
5Π
, c1
6
,

Vi rör oss dock på mycket tunn is, en till synes harmlös ändring i ekvationen gör att det inte längre går att hitta analytiska lösningar
utan endast (väl så bra ;-) numeriska, även om Solve kämpar på ett tag och levererar dessa på ett lite kryptiskt sätt. För en ingenjör
i verkligheten är det då (nästan alltid :-) läge att visualisera situationen med Plot och bestämma just den rot man söker med hjälp
av den generella numeriska ekvationslösaren FindRoot som håller i alla väder! Låt oss hänga på ett t i slutet på vänsterledet i
ekvationen så blir det just ett sådant här läge!
f
2 Cos 2 t
2
2 Sin t
3 Cos t t; Plot f, t,
2 Π, 2 Π , AxesLabel
"t", "f t "
f t
10
5
6
4
2
2
4
6
t
5
10
FindRoot f
t
0, t,
1
0.802453
ť Implicita funktioner
Med en implicit funktion menas samband på formen f x, y 0, där det är svårt, onödigt eller rent av omöjligt att skriva om på
explicit form y f x . För givet x måste vi alltså lösa en ekvation för att få y. Detta är i det allmänna fallet långt ifrån odramatiskt.
Det finns gott om tillämpningar där man hamnar i detta läge, inte minst lösningar till första ordningens differentialekvationer som vi
ska se i en senare kurs. Vi nöjer oss här med att visa hur man ritar i Mathematica. Först enhetscirkeln, sedan ett annat litet konstverk
ContourPlotx2
y2
1, x,
ContourPlot Sin 2 x
1.0
1, 1 , y,
Cos 3 y
1, x,
1, 1 , ContourStyle
2 Π, 2 Π , y,
Orange,
2 Π, 2 Π , ContourStyle
Dashed 
6
4
0.5
2
, 0
 0.0

2
0.5
4
6
1.0
1.0
0.5 0.0
0.5
1.0
6
4
2 0
2
4
6
ť Parameterform
I många sammanhang har man ofta anledning att studera en partikels läge som funktion av tiden t, t.ex. några viltvårdare som pejlar
2
. Naturligtvis är det lika lätt att stryka eller lägga
en vargs läge på kartan som funktion av tiden t, x, y
x t , y t , alltså
till en koordinatfunktion, t.ex. positionen x t , y t , z t som funktion av tiden t av den satellit som används vid GPS-pejlingen. Vi
3
har nu istället
.
16
Funktioner och Mathematica
y
t h
x t km
y t km
0
0.5
0
0.1
0.47
0.39
0.2
0.45
0.72
0.5
0.3
0.42
0.93
1.0
0.4
0.39
0.99
1.0
0.5
0.6
0.4
HH/ITE/BN
0.2
0.2
0.4
x
0.6
1.5
Det typiska är att varje koordinat beskrivs av en funktion av en variabel, den så kallade parametern. Man kan naturligtvis använda
vilket namn man vill på parametern, bara det inte krockar med något annat. Vanliga namn är t (tiden), Θ, (vinkel) och lite mer
allmänt u. Så vi har generellt parameterform u
f u,gu,
.
Exempel: Cirkeln är ett enkelt exempel som inte ryms inom den explicita funktionsformen. Här med centrum i origo och radien 2.
Alltså Θ
xΘ,yΘ
2cos Θ , 2sin Θ , Θ 0, 2Π .
ParametricPlot 2 Cos Θ , Sin Θ , Θ, 0, 2 Π ,
PlotStyle Blue, AxesLabel
"x", "y" , AspectRatio
Automatic
y
2
1
2
1
1
2
x
1
2
Exempel: Här en partikelbana vid avloppet i ett badkar.
ParametricPlot3D t Sin 5 t , t Cos 5 t , t , t, 0, Π ,
PlotStyle Thickness 0.03 , ColorFunction Function
x, y, z, t , Hue t
Notera att vanliga explicita funktioner är ett specialfall av parameterformen, ty
Explicit form y
f x,x
Df
xu
yu
u
,u
f u
D f Parameterform
Exempel: En lodrät linje ryms inte inom den explicita funktionsformen, men med omskrivningen ovan blir det enkelt att rita. Här
linjen x 2, som vi väljer att rita för y
1, 1 .
ParametricPlot
2, u , u,
1, 1 , PlotStyle
Red, AxesLabel
"x", "y"
y
1.0
0.5
1
2
3
4
x
0.5
1.0
Naturligtvis är det lika enkelt att rita en vanlig rät linje, exempelvis y
2x
1, x
1, 3 .
HH/ITE/BN
Funktioner och Mathematica
ParametricPlot
u, 2 u
1 , u,
1, 3 , PlotStyle
17
Orange, AxesLabel
"x", "y"
y
4
2
1
x
1 2 3
2
Exempel: Vi vill rita en cirkel utgående från dess allmänna ekvation x x0 2 y y0 2 r2 , där x0 , y0 är centrumkoordinaterna
och r dess radie. Vi skriver om denna implicita form till parameterform
x t x0 r cos Θ
x x0 2 y y0 2 r2
3, 2 och r 4.
, t 0, 2Π . Provkör slutligen med x0 , y0
y t y0 r sin Θ
ParametricPlot 3 4 Cos Θ , 2 4 Sin Θ , Θ, 0, 2 Π , PlotStyle Blue,
AxesLabel
"x", "y" , AspectRatio Automatic, PlotRange
2, 8 ,
Epilog
Blue, Text "
x0 ,y0 ", 3, 2 ,
1, 0
3, 7
,
y
6
4
x0 ,y0
2
2
2
4
6
x
8
2
Om man har behov att "mörka" delar av cirkelbågen, görs detta enkelt genom att inskränka intervallet för parametern.
Π
ParametricPlot 3
AxesLabel
Epilog
4 Cos Θ , 2
4 Sin Θ
"x", "y" , AspectRatio
Green, Text "
, 2 Π, PlotStyle Green,
2
Automatic, PlotRange
2, 8 ,
3, 7
, Θ,
x0 ,y0 ", 3, 2 ,
1, 0
,

y
6
4
x0 ,y0
2
2
2
4
6
8
x
2
Exempel: Dividera båda sidor i cirkelns ekvation x
möjlighet att välja olika r under "x" respektive "y",
x0
2
x x 2
 a0
Parametrarna a och b kallas ellipsens halvaxlar.
x t x0 a cos Θ
y y 2
x x 2
 a0  b 0 1
, t
y t y0 b sin Θ
y
y0
y y 2
 b 0
2
r2 med r2 så får vi 
x x0 2

r

y y0 2

r
1. Här har vi nu
1 vilket är ekvationen för en ellips, "en tillplattad cirkel".
0, 2Π . Provkör slutligen med x0 , y0
3, 2 och a
4, b
2.
18
Funktioner och Mathematica
HH/ITE/BN
ParametricPlot 3 4 Cos Θ , 2 2 Sin Θ , Θ, 0, 2 Π , PlotStyle Red,
AxesLabel
"x", "y" , AspectRatio Automatic, PlotRange
2, 8 ,
Epilog
Red, Text "
x0 ,y0 ", 3, 2 ,
1, 0
1, 5
,
y
5
4
3
x0 ,y0
2
1
2
2
4
6
8
x
1
En vanlig kurvform är den polära formen. En punkt i planet x, y kan pekas ut från origo y
genom att man anger en vinkel från positiva x–axeln till punktens syftlinje och sedan talar
om hur långt man ska gå i denna riktning. Om vinkeln är Θ och sträckan i denna riktning är
r Θ får vi följande entydiga översättning till parameterform
x Θ ,y Θ
rΘ
Θ
x
Polär form r
rΘ,Θ
Dr
xΘ
yΘ
r Θ cos Θ
,Θ
r Θ sin Θ
Dr Parameterform
I vår omvärld finns det gott om exempel på spiraler och rosetter som ofta anges på polär form. Vi tar några.
Exempel: På ett segelfartyg kan man se vackert ihoprullade tåg, se fig. Detta är exempel
på en så kallad Arkimedes spiral r Θ aΘ. I Mathematica finns naturligtvis en funktion
för att rita kurvor på polär form. Namnet på denna kan man gissa.
PolarPlot Θ, Θ, 0, 12 Π , PlotStyle
Thickness 0.05 , Orange , AxesLabel
y
30
20
10
30
20
10
10
20
30
x
10
20
30
Exempel : Tillväxten av vissa blommor, tänder på en del rovdjur,
galaxer eller pärlbåtssnäckan chambered nautilus i figuren sker
enligt en så kallad logaritmisk spiral r Θ a bΘ .
"x", "y"
HH/ITE/BN
Funktioner och Mathematica
Θ 10
PolarPlot
, Θ,
PlotRange
16 Π, 2.1 Π , PlotStyle
2, 2 ,
2, 2
, AxesLabel
19
Orange,
"x", "y" 
y
2
1
2
1
1
2
x
1
2
Vi avslutar med en propeller
PolarPlot Sin 3 t , t, 0, 2 Π , PlotStyle
Blue, AxesLabel
"x", "y"
y
0.5
0.5
0.5
x
0.5
1.0
och när vi väl lyft får lite oläslig programkod, "Mathematicapornografi", generera en så kallad fraktal för att visa på möjligheterna
att visualisera med Mathematica.
poles
1
,
1
,1
,1
;
2
m
TableN j
i
, i,
1, 1,
201
m4
Dom
2
, j,
1, 1,
;
201
4
m
, i, 10 ;
4
m Map Position Abs poles
, Min Abs poles
ListDensityPlot m, ColorFunction "SiennaTones"
m3
1, 1 &, m, 2
;