Løsningsforslag

Eksamen 1P, Høsten 2011
Del 1
Tid: 2 timer
Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt.
Oppgave 1 (18 poeng)
a) Bjørn skal lage havregrøt. Han har 6 dL havregryn.
Bak på posen finner han oppskriften du ser til høyre.
Hvor mange liter vann trenger han?
Til 1
1
dL havregryn trenger han 5 dL vann.
2
1
1 4  6
2
Til 6 dL havregryn trenger han 5dL  4  20dL  2,0L vann.
Han trenger 2L vann.
1
b)
Kari vil sette opp et gjerde langs den stiplede linjen fra punkt A til punkt B .
Gjerdet selges i ferdige lengder på 1 m.
Hvor mange lengder må hun kjøpe?
AB  62  52  36  25  61
72  49
82  64
Avstanden fra A til B er mellom 7 meter og 8 meter.
Hun må kjøpe 8 lengder.
c) I løpet av noen år steg Gretes lønn fra 160 kroner per time til 184 kroner per time.
1) Hvor mange prosent steg lønnen?
184  160  24
24 12 6
3
15


 
160 80 40 20 100
Lønnen steg med 15 %.
Konsumprisindeksen (KPI) var 100 det året Grete tjente 160 kroner per time.
2) Hva var konsumprisindeksen det året Grete tjente 184 kroner per time, dersom vi antar at
hun hadde samme reallønn de to årene?
Lønnen har steget med 15 %. Hvis reallønnen er den samme, må indeksen også ha steget
med 15 %.
Indeksen var 115.
2
d) Eva har én pakke blåbærgelé, to pakker kiwigelé, to pakker sitrongelé og tre pakker
bringebærgelé.
Hun tar tilfeldig to pakker gelé.
1) Hva er sannsynligheten for at den første pakken hun tar, er kiwigelé?
2 1
P(Den første pakken er kiwigelé)  
8 4
2) Hva er sannsynligheten for at hun tar to pakker kiwigelé?
2 1 1 1 1
P(To pakker kiwigelé)     
8 7 4 7 28
3) Hva er sannsynligheten for at hun tar én pakke kiwigelé og én pakke blåbærgelé?
2 1 1 2
1
1
P(Én pakke kiwigelé og én pakke blåbærgelé)      2  
8 7 8 7
28 14
e) En pakke melis har tilnærmet form som et rett prisme med lengde 8 cm,
bredde 6 cm og høyde 16 cm.
Vil melisen få plass i en sylinderformet boks med diameter 12 cm og høyde
10 cm?
8  6  16  48  20  480  480  960
Volumet av melispakken er mindre enn 960 cm3.
  62  10  3  36  10  108  10  1080
Volumet av boksen er større enn 1080 cm3.
Melisen vil få plass i boksen.
3
f)
Ivar plukker moreller. Den grafiske framstillingen ovenfor viser hvor mye han tjener i løpet av en
time når han plukker x kg.
Forklar hvordan lønnen til Ivar blir beregnet.
Den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor har stigningstall 5 og skjærer y - aksen
i punktet  0,50  .
Ivar har en fast lønn på 50 kroner per time.
I tillegg får ham 5 kroner for hvert kilogram moreller han plukker.
Vi kan bruke den lineære modellen y  5x  50 for å illustrere dette.
4
g)
Stian og Sondre har tegnet tre rektangler. Hvert rektangel har areal 36.
Stian påstår at lengde og bredde i alle rektangler med areal 36 er proporsjonale størrelser, mens
Sondre mener at lengde og bredde er omvendt proporsjonale størrelser.
Forklar hva det betyr at to størrelser er proporsjonale, og hva det betyr at to størrelser er omvendt
proporsjonale. Avgjør hvem som har rett.
y
To størrelser x og y er proporsjonale dersom  k og omvendt proporsjonale dersom x  y  k .
x
4  9  36
3  12  36
6  18  36
Lengde og bredde er omvendt proporsjonale størrelser fordi lengde  bredde  k  36 .
Sondre har rett.
5
h) Tegn et trapes med areal 18 cm2, der den ene av de to parallelle sidene er 2 cm lengre enn den
andre. Sett mål på figuren, og vis hvordan du regner ut arealet.
Høyden kan være 3 cm.
De to parallelle sidene må da til sammen være 12 cm.
Den ene siden skal være 2 cm lengre enn den andre.
Den ene siden kan være 5 cm og den andre siden 7 cm.
A
 5  7  3  18
2
Arealet er 18 cm2.
6
Oppgave 2 (6 poeng)
Jonas trenger 100 000 kroner. Han går i banken og får tilbud om to ulike typer lån. Hvert av lånene
har en rentefot på 10,0 % per år. Lånene skal nedbetales over 10 år, med én innbetaling per år.
Nedenfor ser du en nedbetalingsplan for hvert av lånene.
a) Hva kaller vi et lån som nedbetales slik nedbetalingsplanen for Lån 1 viser, og hva kaller vi et lån
som nedbetales slik nedbetalingsplanen for Lån 2 viser?
Hva kjennetegner hver av disse to typene lån?
Lån 1 er et annuitetslån.
Alle terminbeløpene er like store.
Til å begynne med er rentedelen stor og avdragene små. Etter hvert blir rentedelen mindre og
avdragene større.
7
Lån 2 er et serielån.
Alle avdragene er like store.
Rentedelen blir mindre og mindre, og terminbeløpet blir derfor også mindre og mindre.
b) Forklar hvorfor renteutgiftene for Lån 2 avtar med 1000 kroner per år.
Hvor mye må Jonas totalt betale tilbake til banken for dette lånet?
For hver termin blir det 10 000 kroner mindre å betale renter av.
Terminbeløpene avtar derfor med samme beløp, 10000kroner  0,1  1000 kroner , hvert år.
20  19  18  17  16  15  14  13  12  11  (20  11)  5  100  55  155
Jonas må betale tilbake 155 000 kroner.
c) For hvilket lån må Jonas totalt betale mest tilbake til banken? Hvorfor må han betale mer for
dette lånet, selv om rentefoten for de to lånene er den samme?
Jonas må totalt betale tilbake mest for annuitetslånet (over 160 000 kroner), fordi han da i hele
låneperioden har større gjeld (restgjeld) og derfor et større beløp å betale renter av, enn han har
med serielånet.
8
Del 2
Tid: 3 timer
Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater
kommunikasjon.
Oppgave 3 (4 poeng)
Frode skal sette opp en grunnmur til en hytte. Grunnflaten i hytten skal ha form som et rektangel
med sider 7,00 m og 5,00 m. Se figuren ovenfor.
a) Regn ut hvor lang diagonalen BD må være.
Vi bruker Pythagoras’ setning og regner i wxMaxima.
BD er ca. 8,60 m.
Siden Frode ikke har med seg kalkulator, finner han en tilnærming for kvadratroten av et tall ved å
regne slik babylonerne gjorde for flere tusen år siden.
Når babylonerne skulle finne kvadratroten av et tall T , fant de det kvadrattallet K som lå nærmest
T , og brukte formelen:
1
T 
T  K

2
K
9
Eksempel
Vi skal finne 31 .
36 er det kvadrattallet som er nærmest 31, og formelen gir oss:
1
31  1  31  67
31   36 
   6  6   12  5,58
2
36  2 

b) Bruk denne formelen når du regner ut hvor lang diagonalen BD må være. Sammenlikn med
resultatet i a).
1
74  1 
74 
74   81 
  9    8,611

2
9 
81  2 
BD er ca. 8,61 m.
Dette er en forskjell på 0,01 i forhold til resultatet i a).
Babylonernes metode gir en meget god tilnærmingsverdi.
10
Oppgave 4 (6 poeng)
Kari vil bake en kake. Hun finner oppskrifter på tre runde kaker i ulike størrelser.
Alle kakene har tilnærmet form som sylindre med høyde 7 cm.
Liten kake:
Medium kake:
Stor kake:
- Diameter 20 cm
- Beregnet til
10 personer
- Diameter 26 cm
- Beregnet til
16 personer
- Diameter 30 cm
- Beregnet til
25 personer
a) For hvilken kakestørrelse er det beregnet mest kake per person?
Vi regner ut volumet av hver av de tre kakene og dividerer med antall personer.
Det er beregnet mest kake per person for medium marsipankake.
11
Kakene er dekket med marsipan på toppen og på siden. Marsipanlaget er tilnærmet
3 mm tykt.
b) Omtrent hvor mye marsipan går med for å lage den store kaken?
Vi regner først ut volumet av kake med marsipan.
Så regner vi ut volumet av kake uten marsipan.
Volumet av marsipanen blir da
Det går med ca. 400 cm3 marsipan.
Kari går til butikken for å kjøpe marsipan. En marsipanpølse har form som en sylinder med diameter
4 cm og lengde 20 cm.
c) Hvor mange marsipanpølser må Kari kjøpe for å ha nok marsipan til den store kaken?
Volumet av en marsipanpølse blir
Kari må kjøpe to marsipanpølser.
12
Oppgave 5 (10 poeng)
Nedenfor er en oversikt som viser hvordan skatt kan beregnes.
Enkel skatteberegning
Personinntekt er det en person tjener i løpet av et år.
Noen viktige tall:
Skatteberegning:
Alminnelig inntekt:
Grunnlaget for toppskatt:
Personinntekt minus 72 800 kroner
Personinntekt minus 456 900 kroner *
Nettolønn:
Personinntekt minus skatt
Inntektsskatt
28 % av alminnelig inntekt
Trygdeavgift
7,8 % av personinntekt
Toppskatt
9 % av grunnlaget for toppskatt
Skatt totalt
Summen av de tre skattene ovenfor
* Dersom personinntekten er lavere enn 456 900 kroner, beregnes det ikke toppskatt.
Erik og Elin er lektorer. Erik er nyutdannet og tjener 409 700 kroner i året. Elin har jobbet mange år i
skolen og tjener 518 000 kroner i året.
a) Regn ut nettolønnen til Erik og nettolønnen til Elin.
Vi bruker regneark.
13
Formlene som er brukt i regnearket:
Erik har en nettolønn på 283 411,40 kroner.
Elin har en nettolønn på 347 441,00 kroner.
b) Hvor mange prosent av personinntekten betaler hver av dem i skatt?
Erik
Elin
Erik betaler ca. 30,8 % av personinntekten i skatt.
Elin betaler ca. 32,9 % av personinntekten i skatt.
14
I lokale lønnsforhandlinger får begge et lønnstillegg på 20 000 kroner.
c) Hvor mange prosent av lønnstillegget må hver av dem betale i skatt?
Erik må betale inntektsskatt og trygdeavgift, dvs. 28%  7,8%  35,8%
Elin må i tillegg betale toppskatt, dvs. 35,8%  9%  44,8%
Tabellen nedenfor viser konsumprisindeksen (KPI) for 2007 og 2010.
År
2007
2010
KPI
118,6
128,8
I 2007 tjente Elin 441 300 kroner.
d) Hvor mye ville Elin tjent i 2010 dersom reallønnen hennes ikke hadde endret seg fra 2007 til
2010?
Elin hadde tjent 479 253 kroner.
15
Oppgave 6 (8 poeng)
I klasse 1B er det 12 jenter og 15 gutter. 8 av jentene og 9 av guttene kjører moped til skolen.
a) Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram.
Venndiagram
(Vi velger å lage en mengde for elevene som kjører moped og en mengde for jentene. De som blir
stående utenfor begge mengdene, er da gutter som ikke kjører moped.)
U
M
J
9
8
4
6
16
27
Krysstabell
Moped
Ikke moped
Totalt
Jenter
8
4
12
Gutter
9
6
15
Totalt
17
10
27
Vi trekker tilfeldig en elev fra klassen.
a) Hva er sannsynligheten for at eleven ikke kjører moped?
P(En elev fra klassen ikke kjører moped) 
10
27
Vi trekker tilfeldig en av elevene fra klassen som kjører moped.
b) Hva er sannsynligheten for at denne eleven er en gutt?
9
P(En elev som kjører moped er en gutt) 
17
Sannsynligheten for at en elev som kjører moped kommer for sent til første time, er 10 %.
Sannsynligheten for at en elev som ikke kjører moped kommer for sent til første time, er 5 %.
Vi antar at elevene kommer for sent uavhengig av hverandre.
c) Forklar at sannsynligheten for at alle jentene i klassen kommer presis til første time,
er 0,98  0,954 .
8 jenter kjører moped.
Sannsynligheten for at hver av disse kommer presis er 1  0,1  0,9 .
4 jenter kjører ikke moped.
Sannsynligheten for at hver av disse kommer presis er 1  0,05  0,95 .
Jentene kommer presis uavhengig av hverandre.
Vi bruker produktsetningen og får
P(Alle jentene presis)  0,98  0,954
17
d) Hva er sannsynligheten for at minst én elev i klassen kommer for sent til første time?
P Minst én elev kommer for sent   1  P  Alle presis 
Sannsynligheten for at minst én elev kommer for sent er ca. 90 %.
Oppgave 7 (8 poeng)
I denne oppgaven skal vi se på hvor mye det koster å lage en kopp kaffe med tre ulike typer
kaffemaskiner.
Maskin 1
Maskin 2
Maskin 3
Pris:
1500 kroner
Pris:
700 kroner
Pris:
9000 kroner
Driftsutgifter per kopp:
2,71 kroner
Driftsutgifter per kopp:
3,12 kroner
Driftsutgifter per kopp:
1,27 kroner
a) Ta for deg hver av de tre maskinene som er beskrevet ovenfor.
Ta hensyn til driftsutgifter og utgifter til innkjøp av maskin.
1) Finn ut hva det koster å lage 1000 kopper kaffe.
Det koster 4210 kroner å lage 1000 kopper kaffe med maskin 1.
Det koster 3820 kroner å lage 1000 kopper kaffe med maskin 2.
Det koster 10 270 kroner å lage 1000 kopper kaffe med maskin 3.
18
2) Finn ut hvor mange kopper kaffe du kan lage for
10 000 kroner.
Du kan lage 3136 kopper med maskin 1.
Du kan lage 2980 kopper med maskin 2.
Du kan lage 787 kopper med maskin 3.
b) Hvor mange kopper må du lage for at det skal lønne seg å kjøpe henholdsvis maskin 1, maskin 2
og maskin 3?
Vi setter opp uttrykk som viser hvor mye det koster å lage x kopper kaffe med hver av de tre
maskinene
y1  1500  2,71x
y2  700  3,12 x
y3  9000  1,27 x
Vi tegner så de tre rette linjene i et koordinatsystem og løser oppgaven grafisk.
19
Type 2 lønner seg dersom en lager mindre enn 1952 kopper.
Type 1 lønner seg dersom en lager 1952 kopper eller mer, men mindre enn 5209 kopper.
Type 3 lønner seg dersom en lager 5209 kopper eller mer.
(Se koordinatsystemet ovenfor.)
Anta at en familie i gjennomsnitt lager seks kopper kaffe per dag. Far påstår at det vil lønne seg å
kjøpe den dyreste maskinen hvis denne varer i mer enn tre år.
c) Undersøk om fars påstand stemmer.
Ja, fars påstand stemmer.
Type 3 lønner seg dersom en lager 5209 kopper eller mer. (Se oppgave b).)
20
Bildeliste
Havregrøt
Foto: Utdanningsdirektoratet
Melis
Foto: Dansukkers mediebank
Marsipankake
Foto: Thorfinn Bekkelund/Samfoto/Scanpix
Moped
Foto: Espen Bratlie/Samfoto/Scanpix
Kaffimaskin
Foto: Utdanningsdirektoratet
21