R1: Eksamensoppgaver i geometri

R1: Eksamensoppgaver i geometri
Eksamen V15
Eksamen H14
Oppgave 7 (4 poeng)
På figuren nedenfor har vi tegnet kvadratene ABCD og AEFC .
Vi setter siden i kvadratet ABCD lik a.
a) Vis at kvadratet AEFC har dobbelt så stort areal som kvadratet ABCD.
b) Konstruer et kvadrat med areal eksakt lik 50 cm2.
Oppgave 6 (3 poeng)
I en sirkel med sentrum S er det innskrevet en
� ABS
der ∠ASB =
u. Sirkelen har tangent i
punktet A. Vinkelen mellom tangenten og siden AB er v.
a) Vis at ∠BAS= 90° −
u
.
2
u
b) Vis at v = .
2
Eksamen V14
Oppgave 5 (2 poeng)
En
� ABC
er innskrevet i en sirkel med sentrum S der ∠ABS =
27° .
Bestem ∠ACB ved et geometrisk resonnement.
Eksamen H13
Eksamen H11
Del 1
f)
En sirkel har sentrum i O . AB skjærer av en bue på 60° , mens DE skjærer av en bue på 20° . Se
skissen nedenfor.
1)
Bestem ∠ ADB
2)
Bestem ∠DBE
Vis at ∠ ACB =
20°
Del 2
Oppgave 3 (6 poeng)
En sirkel med sentrum i S er innskrevet i en rettvinklet ∆ ABC . Sidene i trekanten tangerer sirkelen i
D , E og F . Linjen AS skjærer EF i G og ED i H .
En setning i geometrien sier at da er AD = AE .
a)
1)
Forklar at ∠GHE =
90°
2)
Bestem ∠HEG og ∠HGE
b) I vedlegget er det tegnet en sirkel med to vilkårlige korder.
Lag en konstruksjon på vedlegget med passer og linjal slik at du finner plasseringen til sentrum S
i sirkelen.
Vedlegg
Eksamen V11
Del 1
Oppgave 1H
Et linjestykke AB har lengde 10 cm. Konstruer en ∆ ABC der ∠C = 90° og AC = 7 cm
Oppgave 2 (6 poeng)
I en ∆ABC er ∠A = 90° . En sirkel med sentrum i S er
innskrevet i trekanten. Sidene AC og BC tangerer
sirkelen i punktene D og E . Linjen gjennom B og S
skjærer DE i F .
Se skissen til høyre.
Du får oppgitt at DC = EC .
Vi setter ∠ABC =
v , ∠BCA =
u og ∠BFE =
x
a) Forklar at u + v = 90° og at ∠DEC= 90° −
u
2
u
v
b) Forklar at ∠FBE =
og at ∠BEF= 90° +
2
2
Vis at x= 45°
Del 2
Oppgave 8 (8 poeng)
Matematikeren Arkimedes (ca. 287 - 212 f.Kr) studerte figuren du ser nedenfor. Det hvite området på
figuren kalles skomakerkniven.
Området er avgrenset av en ytre halvsirkel og to indre halvsirkler. De to indre halvsirklene, som er
fargelagt på figuren, har sentrum i D og E .
De indre halvsirklene har radius R og r . Punktene D , C og E ligger på linjestykket AB .
a) Vis at lengden av sirkelbuen AB er lik summen av lengdene av de to sirkelbuene AC og CB .
På figuren er CH ⊥ AB .
b) Forklar at ∆ACH er formlik med ∆HCB .
c) Bruk dette til å vise at =
CH 2 R ⋅ r
d) Vis at arealet av en sirkel med diameter CH er lik arealet av skomakerkniven.