הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל, הפקולטה להנדסת מכונות

‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬
‫תרגול מס' ‪ – 13‬עיצוב החוג (תכן בקרי קידום – פיגור) – פתרון‬
‫תכן בקרי קידום – פיגור‬
‫בקר קידום‪ :‬מגדיל את עודף הפאזה של המערכת על ידי קידום פאזה בתדר הנדרש‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בוחרים ‪ , m  c‬שם הבקר נותן קידום פאזה מרבי ‪ m‬ולא משנה את ההגבר‪ .‬לקידום גדול מ ‪ 60‬משתמשים‬
‫בשני בקרי קידום‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הבקר מקטין את הגבר החוג הפתוח בתדרים נמוכים‪ ,‬ולכן פוגע בביצועי מצב מתמיד (פוגע בעקיבה ובוויסות)‪.‬‬
‫הבקר מגדיל את הגבר החוג הפתוח בתדרים גבוהים‪ ,‬ולכן‪ :‬מקטין עודף הגבר‪ ,‬פוגע בהנחתת רעשים‪.‬‬
‫‪Clead  jm   1‬‬
‫‪  1 ‬‬
‫‪Clead  jm   m    sin 1 ‬‬
‫‪ ,‬‬
‫‪  1‬‬
‫; ‪,  1‬‬
‫‪ s  m‬‬
‫‪s  m‬‬
‫‪Clead  s  ‬‬
‫בקר פיגור‪ :‬מגדיל את הגבר החוג הפתוח בתדרים נמוכים ועל ידי כך משפר תכונות עקיבה וויסות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בוחרים ‪ , m  c‬שם הגבר הבקר הוא ‪ ,1‬ובתדרים קטנים מ ‪ m‬הגבר הבקר גבוה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הבקר מוסיף פיגור פאזה בתדרים נמוכים‪ .‬בתדר ‪ m‬מתווסף פיגור פאזה עד ‪ 5.7‬ויש להתחשב בכך בתכן‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Clag  jm   5.7 ,0‬‬
‫‪Clag  jm   1 ,‬‬
‫איור ‪ :A‬ימין – עקום בודה של בקר קידום‬
‫; ‪,  1‬‬
‫‪10s  m‬‬
‫‪10s  m ‬‬
‫‪Clag  s  ‬‬
‫שמאל – עקום בודה של בקר פיגור‬
‫‪1‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪Bode Diagram‬‬
‫‪50‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-50‬‬
‫‪P‬‬
‫‪-100‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪System: P‬‬
‫‪Frequency (rad/s): 10‬‬
‫‪Magnitude (dB): -28.5‬‬
‫‪-150‬‬
‫‪-90‬‬
‫‪-135‬‬
‫‪-180‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪System: P‬‬
‫‪Frequency (rad/s): 10‬‬
‫‪Phase (deg): -199‬‬
‫‪-225‬‬
‫‪-270‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Frequency (rad/s‬‬
‫איור ‪ :1‬עקום בודה של התהליך בשאלה מס' ‪1‬‬
‫שאלה ‪1‬‬
‫‪60‬‬
‫עקום בודה של התהליך‬
‫‪s  s  5 s  10 ‬‬
‫‪ P  s  ‬נתון באיור ‪.1‬‬
‫א‪ .‬דרוש לבקר את התהליך בחוג סגור כך שתתקיימנה הדרישות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬שגיאת מצב מתמיד אפס לכניסת מדרגה באות הייחוס‬
‫‪ .2‬רוחב סרט של חוג סגור ‪b  12.5r s‬‬
‫‪ .3‬עודף פאזה ‪ ph  35‬‬
‫תכננו בקר מתאים ונתחו את ביצועי החוג הסגור תחת הפרעות מדרגה‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף א'‬
‫דרישה ‪ :1‬מתקיימת‪ ,‬כי בתהליך כבר קיים אינטגרטור‪ ,‬לכן אין צורך להוסיף אינטגרטור בבקר‪.‬‬
‫דרישה ‪ :2‬הדרישה היא על מהירות תגובה של החוג הסגור‪ .‬נשתמש בכלל האצבע המקובל כדי לתרגם את הדרישה‬
‫לחוג הפתוח (כאשר נבחר ערך מתוך התחום)‪:‬‬
‫‪b  1.2  1.5c  c  12.5 / 1.25  10r s‬‬
‫‪ ‬נשים לב כי עודפי היציבות של התהליך עצמו (כלומר של חוג עם בקר ‪ )C=1‬גדולים‪ :‬עודף פאזה ‪,  ph  70‬‬
‫עודף הגבר ‪ , g  20dB  10‬עודף זמן מת ‪ . d   ph c  1.22sec‬הבעיה היא ש ‪ c  1r s‬נמוך מדי‪ ,‬כי זה‬
‫יגרור רוחב סרט קטן מדי של חוג סגור‪ ,‬כלומר תגובות איטיות בזמן‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫מעקום בודה של התהליך רואים כי דרישה זו לא מתקיימת‪ ,‬כי הגבר התהליך בתדר ‪ c  10r s‬הוא ‪ . 28.5dB‬נוסיף‬
‫בקר הגבר שיתקן זאת‪.‬‬
‫‪C1  28.5dB  26.61  L1  s   C1P  s   26.61P  s ‬‬
‫דרישה ‪ :3‬הפאזה של התהליך (או של ‪ ) L1  s ‬בתדר ‪ c  10r s‬היא ‪ , 198‬כלומר אם נסגור את החוג עם הבקר‬
‫‪ C1‬בלבד נקבל חוג סגור לא יציב‪ .‬אנו צריכים חוג סגור יציב עם עודף פאזה של לפחות ‪ , 35‬לכן דרוש קידום פאזה‬
‫של ‪ . 18  35  53‬נתכנן בקר קידום‪.‬‬
‫‪ s  m‬‬
‫‪s  m‬‬
‫‪C2  s   Clead  s  ‬‬
‫על מנת לשמור על ‪ c‬שקבענו‪ ,‬נבחר ‪ . m  c  10r s‬ההגבר של בקר הקידום בתדר זה הוא ‪ ,1‬והוא נותן בתדר‬
‫‪ 1 ‬‬
‫זה קידום פאזה מרבי של ‪‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪ . m  sin 1 ‬נוכל לחשב את ‪ ‬במדויק‪ ,‬או להוציא אותו מהגרף של ‪. m  ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1  sin 53‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 8.93  9‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1  sin 53‬‬
‫‪sin m  sin 53 ‬‬
‫איור ‪ :2‬קידום פאזה של הבקר ‪ C2  s ‬בתדר ‪   m‬כפונקציה של ‪‬‬
‫הבקר והחוג הפתוח המתקבלים‪ ,‬הם‬
‫‪3s  10‬‬
‫‪3s  10‬‬
‫‪ L  s   C1C2 P  26.61‬‬
‫‪Ps‬‬
‫‪s  30‬‬
‫‪s  30‬‬
‫עקום בודה של החוג הפתוח יהיה כעת‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪9s  10‬‬
‫‪s  10 9‬‬
‫‪C2  s  ‬‬
‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering
Bode Diagram
100
System: L=C1C2P
Frequency (rad/s): 10
Magnitude (dB): 0.0325
Magnitude (dB)
50
0
-50
-100
-150
-90
System: L=C1C2P
Frequency (rad/s): 10
Phase (deg): -145
Phase (deg)
-135
-180
P
-225
L=C1C2P
-270
-2
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
10
Frequency (rad/s)
1 '‫ בשאלה מס‬L  s   C1C2 P ‫ עקום בודה של החוג הפתוח‬:3 ‫איור‬
. g  11dB  3.55 :‫נשים לב שהבקר הגדיל הגבר בתדרים גבוהים ולכן הקטין עודף הגבר‬
‫ מה שהתבטא‬,‫ קיבלנו רוחב סרט מעט גדול יותר מהנדרש ופיק יחסית לא גבוה‬y/r ‫בתגובת התדר של החוג הסגור‬
.35% ‫בתגובת מדרגה מהירה ועם תגובת יתר סבירה של כ‬
Step Response
Bode Diagram
1.4
10
Gyr
1.2
0
System: Gyr
Frequency (rad/s): 16.8
Magnitude (dB): -3.01
1
Magnitude (dB)
Amplitude
-10
0.8
0.6
-20
-30
0.4
-40
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
-50
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/s)
Time (seconds)
r  t   1 t  ‫שמאל – תגובת החוג הסגור ל‬
T  s   y r  s  ‫ ימין – בודה של‬:4 ‫איור‬
4
2
10
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫כעת נבדוק את תגובת החוג הסגור לכניסת מדרגה בהפרעה‪ ,‬ונצייר עקום בודה של התמסורת ‪. Td  s   y d  s ‬‬
‫‪Step Response‬‬
‫‪Bode Diagram‬‬
‫‪0.12‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪Gyd‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪-30‬‬
‫‪0.08‬‬
‫‪-60‬‬
‫‪0.06‬‬
‫‪Amplitude‬‬
‫‪-50‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪-40‬‬
‫‪0.04‬‬
‫‪-70‬‬
‫‪0.02‬‬
‫‪-80‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-90‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1.8‬‬
‫‪1.6‬‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.2‬‬
‫)‪Frequency (rad/s‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫)‪Time (seconds‬‬
‫שמאל – תגובת החוג הסגור ל ‪d  t   1 t ‬‬
‫איור ‪ :5‬ימין – בודה של ‪Td  s   y d  s ‬‬
‫מהבודה של ‪ Td  s ‬רואים כי ההגבר של ‪ Td  0 ‬נמוך יחסית‪ , Td  0  19dB  0.112 ,‬כלומר ההפרעה (שהיא‬
‫אות בתדר עיקרי אפס) מונחתת על ידי המסנן ‪ Td  s ‬יחסית טוב‪ .‬נחשב במדויק את השגיאה‪ ,‬כאשר ‪. yd  ed‬‬
‫‪P  0‬‬
‫‪1e‬‬
‫‪60‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ lim‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.112‬‬
‫‪s ‬‬
‫‪sd‬‬
‫‪1  C  0  P  0  s 0 s  s  5  s  10   60C  0  C  0  26.61 3s  10‬‬
‫‪s  30 s 0‬‬
‫‪edss  lim s‬‬
‫‪s 0‬‬
‫על מנת להקטין את השגיאה לכניסת מדרגה בהפרעה דרוש להגדיל את ההגבר הסטטי של הבקר‪. C  0  ,‬‬
‫ב‪ .‬כעת‪ ,‬בנוסף על הדרישות בסעיף א'‪ ,‬דרוש כי השגיאה לכניסת מדרגה בהפרעה לא תעלה על ‪.1%‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף ב'‬
‫‪C1‬‬
‫כאמור‪ ,‬עלינו להגדיל את ‪ , C  0 ‬כאשר עבור הבקר שתכננו‬
‫‪‬‬
‫מהנדרש‪ ,‬ואילו אם נגדיל את ‪ C1‬נגדיל את ‪ . c‬בהרצאה למדנו שקיימת דרך להגדיל את הגבר החוג הפתוח בתדרים‬
‫‪ . C  0  ‬אם נקטין את ‪ ‬נקבל עודף פאזה קטן‬
‫נמוכים מבלי לפגוע הרבה בהגבר ובפאזה בתדרים גבוהים יותר‪ .‬נתכנן בקר פיגור ושוב נבחר ‪. m  c  10r s‬‬
‫‪Clag  jm   5.7‬‬
‫‪Clag  jm   1 ,‬‬
‫‪5‬‬
‫;‬
‫‪10s  m‬‬
‫‪10s  m ‬‬
‫‪C3  s   Clag  s  ‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫נשים לב כי בקר הפיגור יכול להוסיף פיגור פאזה מרבי של ‪ 5.7‬בתדר ‪ , m  c‬לכן נצטרך לתקן מעט את בקר‬
‫הקידום שתכננו‪ .‬נתכנן בקר קידום חדש שמקדם ‪ . 53  6  59‬מהגרף של ‪ m  ‬מקבלים כי דרוש ‪.   13‬‬
‫לקיום דרישת הוויסות ‪ , edss  0.01‬על ההגבר הסטטי של הבקר השקול לקיים‬
‫‪1‬‬
‫‪ 100‬‬
‫‪0.01‬‬
‫‪C  0 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0.01 ‬‬
‫‪C  0‬‬
‫‪edss ‬‬
‫ובהצבת הבקרים שתכננו‪ ,‬נקבל את ההגבר הסטטי הנדרש של בקר הפיגור‪.‬‬
‫‪100 13‬‬
‫‪ 13.6‬‬
‫‪26.61‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  100   ‬‬
‫‪ new‬‬
‫‪13s  10‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪s  10 13 s  0.0735‬‬
‫לסיכום‪ ,‬הבקר השקול הינו‪:‬‬
‫‪C  0   C1C2  0  C3  0   C1‬‬
‫‪C  s   C1C2 _ new  s  C3  s   26.61‬‬
‫רואים כי הבקר הגדיל את הגבר החוג הפתוח בתדרים נמוכים‪ ,‬אך בסביבות נקודת העבודה‪ ,   10r s ,‬אין שינויים‪.‬‬
‫‪Bode Diagram‬‬
‫‪100‬‬
‫‪P‬‬
‫‪L=C1C2P‬‬
‫‪50‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-50‬‬
‫)‪Magnitude (dB‬‬
‫‪Ln=C1C2nC3P‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪-150‬‬
‫‪-90‬‬
‫‪-135‬‬
‫)‪Phase (deg‬‬
‫‪-180‬‬
‫‪-225‬‬
‫‪-270‬‬
‫‪3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪10‬‬
‫)‪Frequency (rad/s‬‬
‫איור ‪ :6‬עקום בודה של החוג הפתוח ‪ L  s   C1C2 _ newC3 P‬בשאלה מס' ‪1‬‬
‫בתמסורת ‪ Td  s ‬הקטנו את ‪ , Td  0 ‬אך בתדרים גבוהים יותר ההגבר של ‪ Td  s ‬לא השתנה‪ ,‬לכן קיבלנו מעין פיק‬
‫בבודה של ‪ . Td  s ‬כעת גם בתגובת החוג להפרעת מדרגה רואים תגובת יתר‪ .‬הערך הסופי של התגובה החדשה‪ ,‬הוא‬
‫‪ , ydss  0.01‬כמתוכנן‪ ,‬כאשר ‪. Td  0  40dB  0.01‬‬
‫‪6‬‬
‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬
TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering
Step Response
Bode Diagram
0.12
0
Gyd
Gydn
0.1
Gyd
Gydn
-50
Magnitude (dB)
Amplitude
0.08
0.06
-100
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-150
-2
10
9
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/s)
Time (seconds)
d  t   1 t  ‫שמאל – תגובת החוג הסגור ל‬
Td _ new  s   y d  s  ‫ ימין – בודה של‬:7 ‫איור‬
.‫ כעת דרוש שהשגיאה לכניסת מדרגה בהפרעה תתאפס לגמרי‬.‫ג‬
'‫ סעיף ג‬1 ‫פתרון שאלה‬
‫ הבקר השקול החדש יהיה‬.    ‫ לכן נתכנן בקר פיגור חדש עם‬,‫כעת דרוש אינטגרטור בבקר‬
C1C2 _ new  s  C3_ new  s   26.61
13s  10 s  1
s  10 13 s
7
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫שאלה ‪2‬‬
‫איור ‪ :8‬עקום בודה של התהליך בשאלה מס' ‪2‬‬
‫דיאגרמת בודה של תהליך כלשהו ללא קטבים ב ‪ ORHP‬נתונה באיור ‪.8‬‬
‫א‪ .‬תכננו בקר פשוט ככל האפשר וללא אינטגרטורים כך שהחוג הסגור עונה על הדרישות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬שגיאת מצב מתמיד למדרגה באות הייחוס קטנה מ ‪ 10%‬של גובה המדרגה‪.‬‬
‫‪ .2‬תדירות מעבר הגבר ‪. 10r s‬‬
‫‪ .3‬עודף פאזה ‪. 45‬‬
‫מהו עודף הזמן המת של המערכת עם הבקר שתכננתם?‬
‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף א'‬
‫מעקום בודה של התהליך רואים כי בתדר ‪   10r s‬ישנו עודף פאזה של ‪ , 51‬אך ההגבר של התהליך בתדר זה הוא‬
‫‪ , 20dB‬לכן נבחר בקר הגבר ‪ K  20dB  10‬ובכך נקיים דרישות ‪ 2‬ו ‪.3‬‬
‫את קיומה של דרישה ‪ 1‬נבדוק מתוך משפט הערך הסופי‪ ,‬כאשר ההגבר הסטטי של התהליך הינו ‪. 4.3dB  0.61‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.14  0.1‬‬
‫‪s 1  C  s  P  s  1  10P  0  1  10  0.61‬‬
‫‪erss  lim s‬‬
‫‪s 0‬‬
‫כפי שרואים‪ ,‬דרישה ‪ 1‬לא מתקיימת‪ .‬על מנת להקטין את השגיאה דרוש להגדיל את הגבר החוג הפתוח בתדר אפס‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬
‫‪0.61C  0   1  10‬‬
‫‪C  0  P  0   1  10 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0.1 ‬‬
‫‪1  C  0 P  0‬‬
‫‪erss ‬‬
‫כדי לא לפגוע בקיום דרישות ‪ 2‬ו ‪ ,3‬נתכנן בקר פיגור‪ .‬נשים לב כי בקר פיגור יכול להוסיף פיגור פאזה של עד ‪, 5.7‬‬
‫אך עדיין יהיה לנו מספיק עודף פאזה‪ ,‬כי ‪. 51  6  45‬‬
‫‪C  0   K   10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪ 1.5  C  s   10‬‬
‫‪6.1‬‬
‫‪s  0.667‬‬
‫‪ ph  4‬‬
‫‪‬‬
‫עם בקר זה‪ ,‬למערכת זמן מת של ‪ 0.0785sec‬‬
‫‪c‬‬
‫‪10‬‬
‫;‬
‫‪10s  m‬‬
‫‪10s  m ‬‬
‫‪C s  K‬‬
‫‪6.1  1  10  6.1  1  10   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. d ‬‬
‫ב‪ .‬חזרו על סעיף א' בהינתן שלתהליך נוספה השהייה של ‪ 0.080‬שניות‪.‬‬
‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ב'‬
‫ההשהיה שנוספה גדולה מההשהיה המרבית המותרת‪ ,‬לכן החוג הסגור עם הבקר שתכננו בסעיף א' יהיה לא יציב‪.‬‬
‫בתדר ‪   10r s‬ההשהיה מוסיפה פיגור פאזה של ‪ 0.089 10 180   51‬ולא משנה את ההגבר בשום תדר‪ .‬כיוון‬
‫שללא ההשהיה יש לנו את עודף הפאזה הנדרש‪ ,‬נתכנן בקר קידום שיקדם בתדר ‪   10r s‬ב ‪ . 51‬לפיכך‪:‬‬
‫‪8s  10‬‬
‫‪s  10 8‬‬
‫‪  8 ; Clead  s  ‬‬
‫אבל‪ ,‬נשים לב כי בקר קידום מקטין הגברים בתדרים נמוכים לכן כנראה קלקל את דרישת העקיבה (דרישה ‪ .)1‬נצטרך‬
‫לתקן זאת על ידי שדרוג של בקר הפיגור‪ .‬הבקר כעת הוא‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ C  0   K  new‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪8s  10‬‬
‫‪s  1  new s  10 8‬‬
‫‪C s  K‬‬
‫נציב את ‪ C  0 ‬בתנאי העקיבה שרשמנו בפתרון סעיף א' ונקבל‬
‫‪1‬‬
‫‪9 8‬‬
‫‪ new  1  10   new ‬‬
‫‪ 4.24  1.5‬‬
‫‪6.1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪6.1‬‬
‫והבקר הסופי הוא‪:‬‬
‫‪s 1‬‬
‫‪8s  10‬‬
‫‪s  1 4.24 s  10 8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪C  s   10‬‬