null

‫מחירים ב'‬
‫‪1‬‬
‫מנהלה‬
‫• ש"ק‪ ,‬תרגילים‪ ,‬אתר הקורס‪ ,‬בחינה‬
‫• דרך העבודה – חזרה‪ ,‬תרגול‪ ,‬הכללה‬
‫• המטרה – רכישת יכולת מילולית וכמותית לנתח ולהציג‬
‫בעיות ופתרונות‪.‬‬
‫• לשמור על קשר עם החומר‪ ,‬המרצה והמתרגלים בשעות‬
‫קבלה וב – ‪.Email‬‬
‫‪2‬‬
‫נושאי הקורס‬
‫•‬
‫רווחה ושיווי משקל תחרותי‬
‫–‬
‫•‬
‫תחרות לא משוכללת‬
‫–‬
‫–‬
‫•‬
‫מונופול‪ ,‬מונופסון‪ ,‬מונופול מפלה‪ ,‬דואופול‪... ,‬‬
‫עיוותים ותיקונים‬
‫אינפורמציה אסימטרית‬
‫–‬
‫–‬
‫•‬
‫פארטו יעילות‪ ,‬התנהגות תחרותית‪ ,‬משפטי הרווחה‬
‫מודל הלימונים ומודל האיתות‬
‫עיוותים ותיקונים‬
‫השפעות חיצוניות‬
‫–‬
‫–‬
‫בצריכה ובייצור‪ ,‬מוצרים ציבוריים‬
‫עיוותים ותיקונים‬
‫‪3‬‬
‫מבוא ‪1 -‬‬
‫•‬
‫הגישה הנורמטיבית ‪ -‬מה צריך להיות? )הרצוי(‬
‫– יש להגדיל את דמי האבטלה‬
‫– יש להטיל מכסות על יבוא מכוניות‬
‫•‬
‫הגישה הפוזיטיבית ‪ -‬מה יש? )המצוי(‬
‫– הגדלת דמי האבטלה תגדיל את שיעור האבטלה‬
‫– הטלת מכסות על יבוא מכוניות מיפן תעלה את מחירן של מכוניות יפניות‬
‫•‬
‫הגישה הנורמטיבית ‪ -‬שיפוט ערכי הגישה הפוזיטיבית – שיפוט עובדתי‬
‫‪4‬‬
‫מבוא ‪2 -‬‬
‫• הדיון בכלכלת רווחה יהיה בעיקרו נורמטיבי‪.‬‬
‫• הדיון בהתנהגות תחרותית ושיווי משקל יהיה בעיקרו פוזיטיבי‪.‬‬
‫• משפטי הרווחה )הראשון והשני( יספקו את הקשר בין שתי גישות‬
‫אלו‪.‬‬
‫• משפטי הרווחה מראים כי התנהגות תחרותית מביאה לתוצאות‬
‫"טובות"‪ ,‬וכל תוצאה "טובה" יכולה להתקבל כתוצאה מהתנהגות‬
‫תחרותית‪.‬‬
‫• משפטים אלו תקפים תחת הנחות מסויימות‪ ,‬ולא יתקיימו בתנאים‬
‫של אינפורמציה אסימטרית או כשיש השפעות חיצוניות‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫כלכלת רווחה‪-‬נושאי השיעור‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫הקצאות והקצאות אפשריות‬
‫שליטה פארטו ופארטו יעילות‬
‫תיבת אדג'וורת'‬
‫יעילות בצריכה וקבוצת פארטו‬
‫עקומת אפשרויות התועלת‬
‫ייצור יעיל‬
‫עקומת תמורה‬
‫‪6‬‬
‫כלכלת חליפין טהורה‬
‫• ליורם ורותי יש ‪ 30‬בננות ו – ‪ 40‬תפוזים‪.‬‬
‫• איך לחלק את זה ביניהם?‬
‫– בצורה שוויונית במישור המוצרים או במישור התועלות‬
‫– בצורה שתמקסם את סכום התועלות‬
‫– בצורה שלא תעורר קנאה‬
‫• קריטריונים קרדינאליים )תלויים בייצוג המספרי של‬
‫ההעדפות(‬
‫• קריטריונים אורדינאליים )תלויים בהעדפות בלבד ולא‬
‫בייצוגן המספרי(‬
‫‪7‬‬
‫שליטה פארטו ופארטו יעילות‬
‫• הקצאה ‪ A‬שולטת פארטו על הקצאה ‪ B‬אם קיים פרט שמעדיף ממש את ‪ A‬על‬
‫‪ ,B‬וכל שאר הפרטים מעדיפים את ‪ A‬על ‪B‬‬
‫•‬
‫נאמר ש ‪ A‬מהווה שיפור פארטו ל ‪ B‬או שהמעבר מ ‪ B‬ל – ‪ A‬הנו שיפור פארטו‪.‬‬
‫•‬
‫הקצאה ‪ A‬הנה פארטו יעילה אם היא‪:‬‬
‫– )‪ (i‬אפשרית‬
‫– )‪ (ii‬אין שום הקצאה אפשרית אחרת ששולטת עליה פארטו‪.‬‬
‫•‬
‫שימו לב שהקצאה פארטו יעילה לא חייבת לשלוט על הקצאות אחרות פארטו‪.‬‬
‫•‬
‫הקצאה היא פארטו יעילה אם אי אפשר לשפר לאחד הפרטים מבלי לפגוע בפרט‬
‫אחר‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫דוגמאות – מוצר אחד‬
‫אלף ומיצי‪:‬‬
‫אלף אוהב לאכול חתולים‬
‫מיצי אוהבת להישאר בחיים‬
‫אילו הקצאות הן פארטו יעילות?‬
‫‪9‬‬
‫דוגמאות – מוצר אחד‬
‫אליס ובוב‪:‬‬
‫תקועים במדבר עם ליטר אחד של מים‪.‬‬
‫אילו הקצאות הן פארטו יעילות?‬
‫חייבים לפחות רבע ליטר כדי להישאר בחיים‪.‬‬
‫אילו הקצאות הן פארטו יעילות?‬
‫רוויה מעבר לשני שליש ליטר‪.‬‬
‫אילו הקצאות הן פארטו יעילות?‬
‫‪10‬‬
‫שני מוצרים ‪ -‬הצגה אלגברית‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫ליורם )פרט ‪ (1‬ורותי )פרט ‪(2‬‬
‫‪ 8‬בננות )‪ (X‬ו – ‪ 6‬תפוזים )‪.(Y‬‬
‫הקצאה הינה )‪(x1,y1) (x2 ,y2‬‬
‫הקצאה אפשרית בלי השלכה חופשית‪:‬‬
‫‪x1 +x2 =8‬‬
‫‪y1 +y2 =6‬‬
‫‪x1,y1,x2,y2≥0‬‬
‫כשיש השלכה חופשית ה = מוחלף ב ‪.≤ -‬‬
‫‪11‬‬
‫הצגה גראפית של הקצאות‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫הקצאה הנה רביעייה של מספרים‬
‫תיבת אדג'וורת' מאפשרת לרדת מארבעה מימדים‬
‫לשני מימדים‪.‬‬
‫לתיבה יש שתי "ראשיות צירים"‪.‬‬
‫סך המקורות קובע את מימדי התיבה‪.‬‬
‫כל נקודה בתיבה מתארת הקצאה אפשרית )בלי‬
‫השלכה חופשית(‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫תיבת אדג'וורת'‬
‫‪02‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪Y‬‬
‫בנקודה זו )‪(E‬‬
‫לפרט ‪ 1‬יש )‪(x1,y1‬‬
‫לפרט ‪ 2‬יש )‪(x2,y2‬‬
‫‪X‬‬
‫‪01‬‬
‫‪13‬‬
‫תיבת אדג'וורת ‪ -‬הקצאות‬
‫‪O2‬‬
‫‪x2=2‬‬
‫‪y2=2‬‬
‫‪y=6‬‬
‫הקצאה‬
‫‪y1= 4‬‬
‫‪O1‬‬
‫‪x1=6‬‬
‫‪x=8‬‬
‫‪14‬‬
‫העדפות שמתנהגות "יפה"‬
‫‪x2‬‬
‫‪02‬‬
‫‪U1=U‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪U2=U y2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪01‬‬
‫ההעדפות מתנהגות יפה אם הקבוצה ש‬
‫"עדיפה‪/‬אדישה" הינה קבוצה קמורה‪ ,‬או ‪ MRS‬אינו‬
‫‪15‬‬
‫עולה משמאל לימין בציור השמאלי‬
‫העדפות והקצאה ‪ E‬בתיבה‬
‫‪02‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪01‬‬
‫‪16‬‬
‫הקצאות שמשפרות פארטו‬
‫‪02‬‬
‫‪x2‬‬
‫בהינתן הקצאה ‪E‬‬
‫קבוצת ההקצאות שמשפרות פארטו הינה ‪...‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪E‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪01‬‬
‫‪17‬‬
‫שיפור פארטו‬
‫• בנקודה ‪MRS2>MRS1 E‬‬
‫• כלומר פרט ‪ 2‬אוהב יותר את ‪ x‬באופן יחסי‪.‬‬
‫• ניתן להשיג שיפור פארטו אם פרט ‪ 2‬יוותר על‬
‫מעט ‪ y‬תמורת כמות מסויימת של ‪.x‬‬
‫‪18‬‬
‫שיפור פארטו‬
‫מתחילים בנקודה ‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫המעבר לנקודה השנייה‬
‫משפר את מצבו של כל‬
‫פרט‬
‫זהו שיפור פארטו‬
‫‪19‬‬
‫שיפור פארטו נוסף‬
‫בנקודה החדשה עדיין יש‬
‫נקודות שמשפרות את מצב‬
‫שני הפרטים‬
‫‪E‬‬
‫קבוצת ההקצאות שמהווה שיפור פארטו‬
‫‪20‬‬
‫הקצאה פארטו יעילה‬
‫בנקודה זו‬
‫‪E‬‬
‫אין אפשרות לשפר את‬
‫מצבו של אחד הפרטים‬
‫מבלי לפגוע בפרט אחר‪.‬‬
‫זו הקצאה פארטו יעילה‬
‫‪21‬‬
‫הקצאה פארטו יעילה‬
‫מצבו של פרט ‪ 1‬מוטב אך‬
‫מצבו של פרט ‪ 2‬מורע‬
‫מצבם של שני‬
‫הפרטים מורע‬
‫מצבם של שני‬
‫הפרטים מורע‬
‫מצבו של פרט ‪ 2‬מוטב אך‬
‫מצבו של פרט ‪ 1‬מורע‬
‫‪22‬‬
‫פארטו יעילות בתיבה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫כיצד נקבע אם הקצאה בתיבה פארטו יעילה?‬
‫נעביר דרכה עקומות אדישות של שני הפרטים‪.‬‬
‫במידה והן "נחתכות" אזי נוצרת עדשה‪.‬‬
‫הקצאות בתוך העדשה שולטות פארטו על ההקצאה המקורית‪.‬‬
‫הקצאה פנימית )אף קואורדינטה אינה מתאפסת( המהווה נקודת‬
‫חיתוך אינה פארטו יעילה‪.‬‬
‫כל הקצאה פארטו יעילה פנימית חייבת להיות נקודת השקה‪.‬‬
‫כל נקודת השקה פנימית הינה פארטו יעילה במידה ועקומות‬
‫האדישות "מתנהגות יפה" )‪ MRS‬הולך ופוחת משמאל לימין‪,‬‬
‫עקומות אדישות קמורות(‪.‬‬
‫‪23‬‬
‫קבוצת פארטו‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫בדרך כלל ישנן הרבה נקודות פארטו יעילות‪.‬‬
‫קבוצת פארטו הינו אוסף ההקצאות הפארטו‬
‫יעילות‪.‬‬
‫קבוצת פארטו עשויה להיות "שטח"‪.‬‬
‫קבוצת פארטו מתארת את ההקצאות היעילות‬
‫במישור המוצרים‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫קבוצת ההקצאות הפארטו יעילות‬
‫קבוצת פארטו‬
‫‪x2‬‬
‫‪02‬‬
‫‪y1‬‬
‫‪y2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪01‬‬
‫‪25‬‬
‫חישוב קבוצת פארטו‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מציאת הקצאות פארטו יעילות פנימיות כשעקומות‬
‫האדישות "מתנהגות יפה"‬
‫תנאי ההשקה ‪MRS1yx =MRS2yx‬‬
‫מגבלת המקורות‬
‫ישנן שלוש משוואות וארבעה נעלמים‪.‬‬
‫אוסף הפתרונות של משוואות אלו מהווה את‬
‫קבוצת פארטו‪.‬‬
‫‪26‬‬
1 ‫דוגמה‬
2 1
3 3
1 1
2 1
3 3
2 2
U1 = X Y ; U 2 = X Y
X = 30 ; Y = 40
2Y1
2Y2
MRS1 =
; MRS2 =
X1
X2
2Y1 2Y2
=
X1 X 2
‫תנאי ההשקה‬
X1 + X 2 = 30
‫מגבלת המקורות‬
Y1 + Y2 = 40
27
‫חישוב קו החוזה‬
‫• הצבת מגבלת המקורות לתוך תנאי‬
‫ההשקה‬
‫‪4‬‬
‫‪Y1‬‬
‫‪40 − Y1‬‬
‫= ‪⇒ Y1‬‬
‫‪X1‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪X 1 30 − X 1‬‬
‫•בדיקה מראה כי קו זה מתחיל בראשית של פרט ‪ 1‬ומסתיים‬
‫בראשית של פרט ‪.2‬‬
‫•כל נקודה על קו זה הינה נקודת השקה‪ ,‬ומכיוון שההעדפות‬
‫מתנהגות יפה‪ ,‬מהווה הקצאה פארטו יעילה‪.‬‬
‫•כל נקודה מחוץ לקו זה מהווה נקודת חיתוך ולכן איננה‬
‫הקצאה פארטו יעילה‪.‬‬
‫•משוואת קבוצת פארטו בדוגמה זו הינה‪Y1=(4/3)X1 :‬‬
‫‪28‬‬
‫דוגמה ‪ – 1‬קבוצת פארטו‬
‫‪29‬‬
‫עקומת אפשרויות התועלת‬
‫נתאר בגרף את כל זוגות‬
‫התועלות שניתן להשיג‪:‬‬
‫‪uB‬‬
‫‪uA‬‬
‫‪30‬‬
‫עקומת אפשרויות התועלת‬
‫האפשרויות הפארטו יעילות‪:‬‬
‫‪uB‬‬
‫‪uA‬‬
‫‪31‬‬
‫עקומת אפשרויות התועלת‬
‫• עקומת אפשרויות התועלת מראה לכל רמת‬
‫תועלת של פרט אחד מהי הרמה המקסימאלית‬
‫שיכול הפרט השני להשיג‪.‬‬
‫• עקומת אפשרויות התועלת היא ההשתקפות של‬
‫קבוצת פארטו במישור התועלות‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫מציאת עקומת אפשרויות התועלת‪:‬‬
‫‪uB‬‬
‫‪OB‬‬
‫‪uA‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪OA‬‬
‫‪33‬‬
‫מציאת עקומת אפשרויות התועלת‪:‬‬
‫‪uA‬‬
‫‪′‬‬
‫‪uB‬‬
‫‪OB‬‬
‫‪uA‬‬
‫‪′ uA‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪OA‬‬
‫‪34‬‬
‫מציאת עקומת אפשרויות התועלת‪:‬‬
‫‪uB‬‬
‫‪′′′‬‬
‫‪OB uB‬‬
‫‪uA‬‬
‫‪′ uA‬‬
‫‪0‬‬
‫‪uA‬‬
‫‪′‬‬
‫‪0‬‬
‫‪OA‬‬
‫‪uB′′′‬‬
‫‪35‬‬
:‫מציאת עקומת אפשרויות התועלת‬
uA
′
uB
′′′
OB uB
uB′′
uA
′′
uB′′
OA
36
uB′′′
0
0
uA
′′ uA
′ uA
:‫מציאת עקומת אפשרויות התועלת‬
uA
′
u$B
uB′′
u$B
uA
′′
uB′′
OA
37
uB′′′
uB
′′′
OB uB
0
0
uA
′′ uA
′ uA
:‫מציאת עקומת אפשרויות התועלת‬
uA
′
u$B
uB′′
u$B
uA
′′
uB′′
OA
38
uB′′′
uB
′′′
OB uB
0
0
uA
′′ uA
′ uA
:‫מציאת עקומת אפשרויות התועלת‬
uA
′
uB
′′′
OB uB
Utility possibility
frontier (upf)
u$B
uA
′′
uB′′
OA
39
uB′′′
0
0
uA
′ uA
:‫מציאת עקומת אפשרויות התועלת‬
uA
′
uB
′′′
OB uB
Utility possibility
frontier (upf)
u$B
uA
′′
uB′′
OA
40
uB′′′
0
0
uA
′ uA
Utility possibility set
‫עקומת אפשרויות התועלת ‪ -‬דוגמה ‪1‬‬
‫‪X = 30 ; Y = 40‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪U1 = X Y ; U 2 = X Y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪Y1 = X 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪41‬‬
‫חישוב עקומת אפשרויות התועלת‬
‫• מהי התועלת המקסימאלית אותה יכול להשיג פרט ‪2‬‬
‫כאשר תועלתו של פרט ‪ 1‬ניתנת על ידי ‪?A‬‬
‫• הקצאת המקורות המתאימה למצב זה מתקבלת‬
‫מפתרון שתי המשוואות הבאות‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫צריכה יעילה ‪Y1 = X 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪1 1‬‬
‫תועלת ‪ A‬לפרט ‪X Y = A 1‬‬
‫‪42‬‬
‫המשך החישוב‬
:‫פתרון שתי המשוואות גורר כי‬
1/ 3
3
x1 =  
4
4
⋅ A ; y1 =  
3

3
U 2 =  30 −  

4

1/ 3
2/ 3


3


= 30−   A


4




= 33.02− A
1/ 3
43

A


2/3
2/3
⋅A⇒

 40 −  4 

3

2/3
1/ 3
1/ 3

A


=


3


30−   A (4 / 3)1/ 3 =


4




1/ 3
‫המשך החישוב ‪2 -‬‬
‫• משוואת עקומת אפשרויות התועלת הינה לכן‪:‬‬
‫‪U2 = 33.02−U1‬‬
‫או‬
‫‪U1 +U2 = 33.02‬‬
‫‪44‬‬
‫הקצאות פינתיות ופרטו יעילות‬
‫• הקצאה הינה פינתית כאשר אחד מרכיבי ההקצאה‬
‫הינו אפס‪ .‬כלומר היא על שפת התיבה‪.‬‬
‫• במקרה כזה התנאי ההכרחי עבור פ"י אינו שוויון‬
‫‪ MRS‬אלא אי שוויון מהצורה ‪) MRS1 ≥MRS2‬או‬
‫ההיפך(‬
‫‪45‬‬
‫פארטו יעילות בהקצאה פינתית‬
‫לא‬
‫פ"י‬
‫פ"י‬
‫לא‬
‫לא‬
‫פ"י‬
‫לא‬
‫פ"י‬
‫‪46‬‬
‫פארטו יעילות בהקצאה פינתית‬
‫קיבלנו‪ :‬הקצאה היא פ"י‬
‫אם‪ MRS1≥MRS2 :‬ו‪ y1=0 -‬או ‪x2=0‬‬
‫או‪ MRS1≤MRS2 :‬ו‪ y2=0 -‬או ‪x1=0‬‬
‫דרך אחרת לחשוב על זה‪:‬‬
‫אם ‪ ,MRS1≥MRS2‬פרט ‪ 1‬אוהב יותר‪ ,‬יחסית‪ ,‬את ‪x‬‬
‫היינו יכולים להשיג שיפור פארטו ע"י מסחר בו ‪ 1‬נותן ‪ y‬ו ‪ 2‬נותן ‪.x‬‬
‫ההקצאה היא פ"י אם זה בלתי אפשרי‪,‬‬
‫כלומר אם ל ‪ 1‬אין ‪ y‬או ל ‪ 2‬אין ‪.x‬‬
‫אם ‪ ,MRS1≤MRS2‬פרט ‪ 2‬אוהב יותר‪ ,‬יחסית‪ ,‬את ‪x‬‬
‫היינו יכולים להשיג שיפור פארטו ע"י מסחר בו ‪ 2‬נותן ‪ y‬ו ‪ 1‬נותן ‪.x‬‬
‫ההקצאה היא פ"י אם זה בלתי אפשרי‪,‬‬
‫כלומר אם ל ‪ 2‬אין ‪ y‬או ל ‪ 1‬אין ‪.x‬‬
‫‪47‬‬
‫הערות‬
‫• התנאים ההכרחיים מספיקים כאשר עקומות‬
‫האדישות "מתנהגות יפה" )‪ MRS‬הולך ופוחת‬
‫משמאל לימין(‪.‬‬
‫• דרך העבודה הסטנדרטית מתחילה בחישוב כל‬
‫ההקצאות הפארטו יעילות הפנימיות‪ .‬במידה‬
‫וקבוצת פארטו נפגשת בדפנות התיבה עוברים‬
‫לחשב את כל ההקצאות הפארטו יעילות‬
‫הפינתיות‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫הערות‬
‫• אם עקומות האדישות אינן מתנהגות יפה הפתרון‬
‫הינו בדרך כלל גראפי‪.‬‬
‫• כשעקומות אדישות לא מתנהגות יפה יתכן וצריך‬
‫לזוז הרבה כדי למצוא שיפור‪.‬‬
‫• ציור‪:‬‬
‫‪49‬‬
‫דוגמא ‪ :2‬תחליפים מושלמים‬
‫הקצאות‬
‫פ"י‬
‫‪x A + xB = 4‬‬
‫‪u = 2x + y‬‬
‫‪y A + yB = 3‬‬
‫‪u = x + 2y‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪50‬‬
2 ‫עקומת אפשרויות התועלת – דוגמא‬
u
A
(xA, yA) = 2xA + yA;
x A + x B = 4;
u
B
(xB , yB ) = xB + 2 yB
yA + yB = 3
uB
Slope 1/2
10
6
Slope 2
51
8
11
uA
3 ‫דוגמא‬
u
A
(xA, yA) = xA ⋅ yA;
x A + x B = 4;
u
B
(xB , yB ) = xB + yB
yA + yB = 3
yA
MRS = MRS ⇒
=1
xA
A
52
B
‫קבוצת פארטו ‪ -‬דוגמא ‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪53‬‬
‫ מציאת עקומת אפשרויות התועלת‬:3 ‫דוגמא‬
u
A
u
B
( x
A
, y
A
) =
x
A
⋅ y
A
;
x
A
+ xB = 4;
( x
B
, y
B
) =
x
B
+
y
B
y
A
+ yB = 3
Along the interior part of the
contract curve yA=xA, so uA=(xA)2.
Therefore along this part:
7
u A = xA2 ; u B = 1 + 2(3 − xA )
= 1 + 2(3 − u A )
On the upper edge each unit of x
“costs” A 3 utils and yields B 1 util
so the slope of the UPF here is 1/3.
1
54
9
12
‫ – משלימים מושלמים‬4 ‫דוגמא‬
u
A
( x A , y A ) = m in { x A , y A } ;
u
B
(xB , yB ) = xB + yB
x A + x B = 4; y A + y B = 3
55
‫דוגמא ‪ – 4‬קבוצת ‪3‬פארטו‬
‫לא פ"י!‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪56‬‬
‫ מציאת עקומת אפשרויות התועלת‬:4 ‫דוגמא‬
u
A
u
B
( x
A
, y
A
) = m in { x
( x
B
, y
B
) =
x
B
+
y
A
, y
A
} ;
B
7
1
3
The Pareto set is the diagonal; as we move
along the curve we transfer 1 unit of each
good from A to B (or conversely) and this is a
transfer of utils at a rate of 1:2.
57
‫דוגמה ‪ - 5‬העדפות קוואזי‪-‬ליניאריות‬
‫; ‪xA + xB = x‬‬
‫; ‪u ( xA , yA ) = vA ( xA ) + yA‬‬
‫‪yA + yB = y‬‬
‫‪u ( xB , yB ) = vB ( xB ) + yB‬‬
‫‪A‬‬
‫בהקצאות פנימיות יעילות ה ‪ MRS‬ים שווים‪.‬‬
‫ה‪ MRS -‬של כל פרט אינו תלוי ב – ‪.y‬‬
‫עקומות האדישות מקבילות "אנכית"‪.‬‬
‫ניתן לחשוב על מוצר ‪ y‬ככסף ועל מוצר ‪ x‬כמוצר "קטן‬
‫יחסית"‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫העדפות קוואזי‪-‬ליניאריות‬
‫; ‪xA + xB = x‬‬
‫; ‪u ( xA , yA ) = vA ( xA ) + yA‬‬
‫‪yA + yB = y‬‬
‫‪u ( xB , yB ) = vB ( xB ) + yB‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫בכל ההקצאות הפארטו יעילות הפנימיות מתחלק‬
‫ה ‪ X‬בין שני הפרטים כך ש ‪vA’(xA) = vB’(xB) -‬‬
‫שאר קבוצת פארטו מתלכדת עם דפנות התיבה‬
‫עד הראשיות‪.‬‬
‫העדפות קוואזי‪-‬ליניאריות‬
‫משמאל לקו האנכי עקומות האדישות של ‪A‬‬
‫יותר תלולות מעקומות האדישות של ‪ ,B‬לכן‬
‫הדופן התחתונה של התיבה הינה פארטו‬
‫יעילה‪ .‬מימין לקו האנכי הנימוקים‬
‫"מתהפכים"‪.‬‬
‫העדפות ק"ל‪-‬דוגמה מספרית‬
‫; ‪xA + xB = x‬‬
‫‪yA + yB = y‬‬
‫;‪+ yA‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪u ( xA , yA ) = 2 xA‬‬
‫‪A‬‬
‫‪u ( x B , y B ) = ln( x B ) + y B‬‬
‫זו דוגמא מספרית למקרה הכללי הקודם‪.‬‬
‫ה‪ MRS -‬של פרט ‪ 1‬הינו ‪ xA-1/2‬ואינו תלוי ב – ‪.y‬‬
‫ה‪ MRS -‬של פרט ‪ 2‬הינו ‪ 1/xB‬ואינו תלוי ב – ‪.y‬‬
‫‪B‬‬
‫העדפות ק"ל‪-‬דוגמה מספרית‬
‫‪MRS A = 1/ x‬‬
‫‪1/ 2‬‬
‫‪A‬‬
‫) ‪MRSB = 1/ xB = 1/ ( x − xA‬‬
‫שיוויון בין השניים גורר‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 ± 1 + 4x‬‬
‫‪x = ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫*‬
‫‪A‬‬
‫פתרון ה ‪ +‬אינו אפשרי מאחר ו – ‪ XA‬עולה על סך ה –‬
‫‪ X‬במשק‪.‬‬
‫העדפות קוואזי‪-‬ליניאריות‬
‫מציאת עקומת אפשרויות התועלת‬
‫לאורך הקטע האנכי של קבוצת פארטו‪ ,‬המוצר ‪ y‬עובר בין שני‬
‫הפרטים ולכן יחידות התועלת עוברות בין הפרטים ביחס של ‪1:1‬‬
‫ושיפוע ה ‪ UPF -‬הינו ‪.1‬‬
‫לא נחשב את הצורה המדויקת של ה – ‪ UPF‬הנגזר מתנועה‬
‫לאורך קבוצת פארטו על דפנות התיבה‪ ,‬ונסתפק בחישוב נקודות‬
‫הקצה בלבד‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬כיצד ישתנו התשובות עם שינויים במקדם של ‪ y‬בפונקציית‬
‫התועלת של אחד הפרטים?‬
‫מציאת עקומת אפשרויות התועלת‬
uB ( x , y )
u B ( x B* , y )
u B ( x B* , 0)
x
*
A
*
A
*
A
u A ( x , 0 ) uA(x , y) uA(x, y)
‫דוגמא ‪ – 6‬אפשרויות בדידות‬
‫ישנם שלושה פרטים‪.‬‬
‫סל המוצרים המצרפי הינו תמונה אחת ו –‬
‫‪.₪ 10,000‬‬
‫פרטים ‪ 1,2,3‬מעריכים את התמונה ב –‬
‫‪ 400,600,800‬בהתאמה‪.‬‬
‫תועלתו של כל פרט ניתנת על ידי כמות הכסף‬
‫שיש לו ועוד ערך התמונה במידה וקיבל אותה‪.‬‬
‫‪65‬‬
‫דוגמא ‪ – 6‬אפשרויות בדידות‬
‫מהן ההקצאות הפארטו יעילות?‬
‫כל הקצאה בה פרט ‪ 3‬מקבל את התמונה‪ ,‬עם חלוקה‬
‫כלשהיא של כמות הכסף בין הפרטים הינה פארטו יעילה‪.‬‬
‫האם אלו כל ההקצאות הפארטו יעילות?‬
‫לא!!!‬
‫ניתן למשל לתת את כל הכסף והתמונה לפרט ‪ ,2‬וישנן‬
‫כמובן הקצאות רבות אחרות כמו לתת את התמונה לפרט‬
‫‪ ,1‬בתנאי שלאף פרט אחר אין יותר מ ‪ ,₪ 400‬או לתת‬
‫את התמונה לפרט ‪ 2‬בתנאי שלפרט ‪ 3‬אין יותר מ ‪.₪ 600‬‬
‫‪66‬‬
‫דרכים נוספות לקבלת תנאי ההשקה‬
‫• גישת הלאגראנג'יאן‬
‫– ניסוח משפחה של בעיות אופטימיזציה שפתרונן‬
‫מתלכד עם אוסף ההקצאות הפארטו יעילות‪.‬‬
‫– תנאי הסדר הראשון המתקיימים בפתרון של בעיות‬
‫אופטימיזאציה אלו מתלכדים עם תנאי ההשקה‪.‬‬
‫‪67‬‬
‫הנפשות הפועלות‬
1848-1923
68
Francis Ysidro Edgeworth
1845-1926
‫כלכלות ייצור‬
‫• שני גורמי ייצור ‪ K‬ו ‪L -‬‬
‫• שני מוצרים ‪ X‬ו – ‪Y‬‬
‫• ייצור ‪ X‬ניתן על ידי‪X=f(KX,Lx) :‬‬
‫• ייצור ‪ Y‬ניתן על ידי‪Y=g(KY,LY) :‬‬
‫• הכמויות התחיליות מגורמי הייצור ניתנות על‬
‫• ידי‪:‬‬
‫‪K ,L‬‬
‫‪69‬‬
‫פארטו יעילות בכלכלות ייצור‬
‫• הקצאה פארטו יעילה של גורמי ייצור הנה הקצאה‬
‫אפשרית של גורמי ייצור בה לא ניתן לייצר יותר מאחד‬
‫המוצרים מבלי לייצר פחות ממוצר אחר‪.‬‬
‫• תיבת אדג'וורת במישור גורמי הייצור מציגה את‬
‫ההקצאות האפשריות של גורמי הייצור בין שני הענפים‪.‬‬
‫)‪Lerner (1933), Stolper and Samuelson (1941‬‬
‫• קבוצת פארטו מתארת את ההקצאות היעילות במישור‬
‫גורמי הייצור‪.‬‬
‫‪70‬‬
‫קבוצת פארטו בכלכלות ייצור‬
‫• בדרך כלל ישנן הרבה נקודות פארטו יעילות‪.‬‬
‫• קבוצת פארטו הינו אוסף ההקצאות הפארטו יעילות‪.‬‬
‫• קבוצת פארטו עשויה להיות "שטח"‪.‬‬
‫• קבוצת פארטו מתארת את ההקצאות היעילות במישור‬
‫גורמי הייצור‪.‬‬
‫‪71‬‬
‫תיבת אדג'וורת' במישור גורמי הייצור‬
‫‪0y‬‬
‫‪Kx‬‬
‫‪Ky‬‬
‫‪Ly‬‬
‫‪Lx‬‬
‫‪L‬‬
‫בנקודה זו מקצים‬
‫)‪ (Kx,Lx‬לייצור ‪,X‬‬
‫ו ‪ (Ky,Ly) -‬לייצור ‪.Y‬‬
‫‪K‬‬
‫‪0x‬‬
‫‪72‬‬
‫עקומות שוות תפוקה ב ‪E -‬‬
‫‪0y‬‬
‫‪Ly‬‬
‫‪Ky‬‬
‫‪E‬‬
‫‪Kx‬‬
‫‪Lx‬‬
‫‪0x‬‬
‫‪73‬‬
Pareto-improving allocations
If we start at point E,…
Ky
0y
the set of Pareto-improving allocations.
Lx
0x
74
E
Kx
Ly
A Pareto-efficient allocation
qx and qy
fall.
qy rises,
but qx falls.
75
qx rises,
but qy falls.
qx and qy
fall.
The set of Pareto-efficient allocations
The Pareto Set
Ky
0y
Lx
Ly
76
0x
Kx
‫את ‪ 6‬השקפים הקודמים ניתן היה להחליף ב –‬
‫ניתוח פ"י בייצור‪ :‬כמו פ"י בצריכה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫גו"י ‪ ⇔ K,L‬מוצרי צריכה ‪x,y‬‬
‫)נסמן ‪ K‬בציר האופקי ו‪ L -‬באנכי(‬
‫פונקציית ייצור )‪ ⇔ f(K,L‬פונקציית תועלת )‪u1(x,y‬‬
‫פונקציית ייצור )‪ ⇔ g(K,L‬פונקציית תועלת )‪u2(x,y‬‬
‫עקומות שוות תפוקה ⇔ עקומות האדישות‪.‬‬
‫שיפוע עק' שוות תפוקה ‪MRS ⇔ TRS=MPK/MPL‬‬
‫תנאי השקה ‪MRS1 =MRS2 ⇔ TRSX =TRSY‬‬
‫• לפיכך‪ ,‬הקצאה פנימית יעילה של גורמי ייצור הנה בהכרח‬
‫נקודת השקה של העקומות שוות התפוקה העוברות דרכה‪.‬‬
‫‪77‬‬
‫חישוב קבוצת פארטו בייצור‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מציאת הקצאות יעילות פנימיות כשעקומות שוות‬
‫תפוקה "מתנהגות יפה"‬
‫תנאי ההשקה ‪TRSXLK =TRSYLK‬‬
‫מגבלת המקורות‬
‫ישנן שלוש משוואות וארבעה נעלמים‪.‬‬
‫אוסף הפתרונות של משוואות אלו מהווה את‬
‫קבוצת פארטו‪.‬‬
‫‪78‬‬
7 ‫דוגמה‬
2
3
X
1
3
X
1
2
Y
1
2
Y
f (KX , LX ) = K ⋅ L ; g(KY , LY ) = K ⋅ L
K = 8 ; L =10
X
TRS LK
=
2 LX
L
Y
; TRS LK
= Y
KX
KY
2 LX LY
=
K X KY
‫תנאי ההשקה‬
K X + KY = 8
‫מגבלת המקורות‬
L X + LY = 10
79
‫דוגמה ‪ -7‬חישוב קבוצת פארטו בייצור‬
‫הצבת מגבלת המקורות לתוך תנאי ההשקה‬
‫‪2 LX 10 − Lx‬‬
‫=‬
‫‪KX‬‬
‫‪8− KX‬‬
‫‪10 K X‬‬
‫= ‪⇒ LX‬‬
‫‪16 − K X‬‬
‫•בדיקה מראה כי קו זה מתחיל בראשית של יצרן ‪ X‬ומסתיים‬
‫בראשית של יצרן ‪.Y‬‬
‫•כל נקודה על קו זה הינה נקודת השקה‪ ,‬ומכיוון שעקומות‬
‫ש"ת מתנהגות יפה‪ ,‬מהווה הקצאה פארטו יעילה של גורמי‬
‫ייצור‪.‬‬
‫•כל נקודה מחוץ לקו זה מהווה נקודת חיתוך ולכן איננה‬
‫הקצאה פארטו יעילה של גורמי ייצור‪.‬‬
‫•משוואת קבוצת פארטו בדוגמה זו הינה‪:‬‬
‫• )‪LX=(10KX)/(16-KX‬‬
‫‪80‬‬
‫עקומת התמורה‬
‫• עקומת התמורה מראה לכל רמת תפוקה של אחד‬
‫המוצרים מהי רמת התפוקה המקסימאלית שניתן‬
‫להשיג עבור המוצר השני‪.‬‬
‫• עקומת התמורה היא השתקפות קבוצת פארטו‬
‫במישור המוצרים‪.‬‬
‫• עקומת התמורה היא המקבילה של עקומת‬
‫אפשרויות התועלת‪ .‬בניגוד לעקומת אפשרויות‬
‫התועלת‪ ,‬לעקומת התמורה משמעות ריאלית – כי‬
‫פונקצית הייצור היא קרדינלית‪.‬‬
‫‪81‬‬
‫שיפוע עקומת התמורה‬
‫• שיפוע עקומת התמורה )כשיש שני מוצרים ‪ X‬ו – ‪ (Y‬מייצג את‬
‫ה"קצב" בו יש לוותר על יחידות ‪ Y‬כדי לייצר עוד יחידות ‪ .X‬זהו‬
‫למעשה ‪ dY/dX‬לאורך עקומת התמורה‪.‬‬
‫• שיפוע עקומת התמורה מסומן ב – ‪ ,RPTYX‬ובכל נקודה עליה ניתן‬
‫על ידי‪:‬‬
‫‪ MPLY‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪‬‬
‫‪ ‬השיוויון נובע מיעילות בייצור‬
‫‪X‬‬
‫‪ MPL‬‬
‫‪‬‬
‫‪MPKY‬‬
‫=‬
‫‪MPKX‬‬
‫‪RPTYX‬‬
‫• שימו לב שליחס זה אין משמעות של "שיפוע" או "ויתור‬
‫נדרש" בנקודות מחוץ לעקומת התמורה‪.‬‬
‫•‬
‫עקומת התמורה "מתנהגת יפה" כשה – ‪ RPT‬הולך וגדל‬
‫משמאל לימין‪ .‬הויתור הנחוץ מ – ‪ Y‬הולך וגדל ככל‬
‫שמייצרים יותר ‪.X‬‬
‫‪82‬‬
‫שיפוע עקומת התמורה ‪2 -‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫ניתן לקבל את הנוסחה עבור שיפוע עקומת התמורה תוך‬
‫שימוש ב "משפט המעטפת"‪.‬‬
‫לחילופין ניתן לחשוב על השינויים בכמויות ‪ X‬ו – ‪Y‬‬
‫כשמתחילים מנקודה יעילה ומעבירים גורם ייצור ‪) K‬או ‪(L‬‬
‫מייצור ‪ Y‬לייצור ‪.X‬‬
‫לשיפוע עקומת התמורה יש משמעות ריאלית‪.‬‬
‫שיפוע עקומת אפשרויות התועלת שהינו גודל קרדינאלי‬
‫ניתן לחישוב בצורה דומה‪.‬‬
‫במידה ויש יותר מוצרים או גורמי ייצור ה – ‪ RPT‬בין כל‬
‫שני מוצרים מוגדר ומחושב בצורה דומה‪.‬‬
‫‪83‬‬
‫קבוצת פארטו ועק' תמורה – דוגמה ‪8 -‬‬
‫•‬
‫פונקציות הייצור של ‪ x‬ושל ‪ Y‬הינן‪:‬‬
‫•‬
‫סך כמות ה – ‪ K‬במשק הינה ‪.100‬‬
‫•‬
‫סך כמות ה – ‪ L‬במשק הינה ‪.200‬‬
‫•‬
‫•‬
‫תנאי ההשקה ניתן על ידי ‪:‬‬
‫‪f ( K X , LX ) = 20.75 K X0.75 L0X.25‬‬
‫‪g ( K Y , LY ) = 2 −0.25 KY0.75 L0Y.25‬‬
‫‪LY‬‬
‫=‬
‫‪K Y‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪L‬‬
‫‪K‬‬
‫‪84‬‬
‫המשך הדוגמה – )‪(1‬‬
‫• הצבת מגבלת המקורות לתנאי ההשקה גוררת את‬
‫משוואת קבוצת פארטו הבאה‪LX=2KX :‬‬
‫• משוואת עקומת התמורה ניתנת על ידי פתרון שתי‬
‫המשוואות הבאות‪:‬‬
‫ייצור יעיל‬
‫‪LX = 2K X‬‬
‫ייצור ‪ A‬יחידות של ‪20.75 K X0.75L0X.25 = A X‬‬
‫הצבת המשוואה הראשונה בשנייה גוררת‪:‬‬
‫‪85‬‬
(2) – ‫המשך הדוגמה‬
LX = 2 K X
2
0.75
K
0.75
X
0.25
X
L
=A
A
⇒ KX = ; LX = A
2
−0.25
⇒ Y =2
=2
86
A

100 − 
2

K
0.75
X
(2KX )
0.25
=A
A
⇒ KY =100− ; LY = 200− A
2
0.75
A

100 − 
2

0.75
−0.25
⇒2
0.75
(200− A)
0.25
A

100 − 
2

0.25
2
=
0.25
A
= 100 −
2
‫המשך הדוגמה – )‪(3‬‬
‫• עקומת התמורה ניתנת לכן על ידי‪Y=100-X/2:‬‬
‫• שיפוע עקומת התמורה )‪ (RPT‬הינו לכן ½ )בערך מוחלט(‪.‬‬
‫• כיצד ניתן להגיע לזה מהנוסחה? ‪MPY‬‬
‫‪K‬‬
‫‪X‬‬
‫‪K‬‬
‫‪MP‬‬
‫= ‪RPTYX‬‬
‫‪MPKY‬‬
‫‪0 .75 ⋅ 2 −0.25 K Y−0.25 L0Y.25‬‬
‫=‬
‫=‬
‫=‬
‫‪X‬‬
‫‪0 .75‬‬
‫‪− 0 .25 0 .25‬‬
‫‪MPK‬‬
‫‪0 .75 ⋅ 2 K X L X‬‬
‫‪RPT YX‬‬
‫‪K Y− 0.25 L0Y.25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪LY‬‬
‫‪LX‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪(since‬‬
‫=‬
‫) ‪by efficiency‬‬
‫‪− 0 .25 0 .25‬‬
‫‪2 K X LX‬‬
‫‪2‬‬
‫‪KY KX‬‬
‫‪87‬‬
‫חזרה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫פארטו יעילות בכלכלות חליפין‪ ,‬או יעילות בצריכה‪,‬‬
‫מחייבת שוויון ‪ MRS‬בין כל שני מוצרים על פני כל‬
‫הפרטים‪.‬‬
‫פארטו יעילות בכלכלות ייצור‪ ,‬או יעילות בייצור‪ ,‬מחייבת‬
‫שוויון ‪ TRS‬בין כל שני גורמי ייצור על פני כל היצרנים‪.‬‬
‫אלו תנאי ההשקה אותם חייבות לקיים תכניות צריכה‬
‫ותכניות ייצור יעילות‪.‬‬
‫הם הכרחיים עבור יעילות פנימית‪ ,‬ומספיקים כאשר‬
‫"העקומות מתנהגות יפה"‪.‬‬
‫ביחד עם מגבלות המקורות הם מגדירים את קבוצות‬
‫פארטו בצריכה ובייצור‪.‬‬
‫‪88‬‬
‫הנפשות הפועלות ‪2 -‬‬
‫‪1915 -2009‬‬
‫‪1903-1982‬‬
‫‪89‬‬
2a - ‫הנפשות הפועלות‬
90
Wolfgang Stolper and Paul Samuelson
Ann Arbor, MI, November 1991