עבודת פסח אורלי

‫רמה א‪2‬‬
‫תרגול במתמטיקה לחופשת הפסח כיתה ט'‬
‫פונקציה ריבועית – פרבולה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪1‬‬
.5
.6
.7
.8
2
‫‪y‬‬
‫‪ .9‬נתונה הפונקציה ‪ . y  x 2  2 x  8‬כמו כן‪ ,‬נתון גרף הפונקציה‪:‬‬
‫א‪ .‬הפונקציה חותכת את ציר ‪ y‬בנקודה )‪.(0 , –8‬‬
‫‪x‬‬
‫הקיפו‪ :‬נכון‪/‬לא נכון נימוק‪_____________________ :‬‬
‫ב‪ .‬מהו שיעור ה‪ x -‬של קודקוד הפרבולה? ______________‬
‫ג‪ .‬הפונקציה עולה עבור ‪ x < –1‬הקיפו‪ :‬נכון‪/‬לא נכון‬
‫נימוק‪________________ :‬‬
‫ד‪ .‬מהן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה‪________________________ ?x -‬‬
‫ה‪ .‬הפונקציה שלילית בתחום‪–4 < x < 2 :‬‬
‫הקיפו‪ :‬נכון‪/‬לא נכון‬
‫נימוק‪_________ :‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .11‬לפניכם סרטוט של גרף הפונקציה‪y = –x2 + 6x – 5 :‬‬
‫‪K‬‬
‫א‪ .‬מהם שיעורי הנקודה ‪( C‬נקודת החיתוך עם ציר ה‪(___,___) :)y-‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את שיעורי נקודת הקודקוד של הפונקציה‪K(___,___) :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪B‬‬
‫ג‪ .‬חשבו את המרחק בין הנקודות ‪ A‬ו‪.B -‬‬
‫‪A‬‬
‫ד‪ .‬מהו התחום בו הפונקציה חיובית? ______________‬
‫‪C‬‬
‫ה‪ .‬מהו התחום בו הפונקציה יורדת? _______________‬
‫‪ .11‬נתונה הפונקציה הריבועית‪:‬‬
‫‪f(x) = x2 – 6x + 8‬‬
‫א‪ .‬חשבו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשבו את שיעורי נקודת הקודקוד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מצאו את תחום העלייה של הפונקציה‪.‬‬
‫‪ .12‬קבעו אם הטענות הבאות נכונות או לא נכונות‪ .‬הסבירו‪.‬‬
‫א‪ .‬לפונקציות ‪ f(x) = x2 – 7x‬ו‪ g(x) = –x2 + 7x -‬אותו ציר סימטריה‬
‫ב‪ .‬לפונקציות ‪ f(x) = x2 – 7x + 3‬ו‪ g(x) = –x2 + 7x – 3 -‬אותו קדקוד‬
‫ג‪ .‬הפונקציות ‪ f(x) = (x – 2)2 + 5‬ו‪ g(x) = x2 – 4x + 5 -‬הן פונקציות זהות‪.‬‬
‫ד‪ .‬הפונקציה )‪ y = (2 – x)(x + 5‬חיובית בעבור כל ‪ .x‬כלומר‪" :‬מרחפת" מעל ציר ‪x‬‬
‫‪ .13‬לפונקציה )‪ y = (x – 4)(x + 2‬שתי נקודות חיתוך עם ציר ‪ .x‬מהו קדקוד הפרבולה?‬
‫‪ .14‬קדקוד של פרבולה (‪ )M‬נמצא ברביע השלישי ובמרחק שווה משני הצירים (ראו שרטוט(‬
‫‪y‬‬
‫א‪ .‬רשמו שתי פונקציות ריבועיות שקדקודן יכול להיות הנקודה ‪M‬‬
‫ב‪ .‬רשמו פונקציה ריבועית שקדקודה ‪ M‬ואין לה נקודות חיתוך עם ציר ‪x‬‬
‫ג‪ .‬רשמו הצגה אלגברית של פונקציה ריבועית שקדקודה ‪M‬‬
‫‪x‬‬
‫והיא עוברת בראשית הצירים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪M‬‬
‫טכניקה אלגברית‪ ,‬משוואות ובעיות מילוליות‬
‫‪ .1‬פתרו את המשוואה הבאה במספר דרכים‪2(x – 4)2 – 18 = 0 :‬‬
‫‪ .2‬הסבירו מדוע למשוואה ‪ (x + 5)2 + 5 = 0‬אין פתרון‪.‬‬
‫‪ .3‬פתרו את המשוואות הבאות‪ ,‬בדקו את הפתרונות של המשוואות ושימו לב ל‪ -‬ק‪.‬הצבה‪:‬‬
‫‪2x2 – 3x + 6 = x2 + 2x‬‬
‫‪(x + 6)(x – 6) = 0‬‬
‫‪.‬א‬
‫‪.‬ב‬
‫‪(x + 4)2 – x(x – 8) = 0‬‬
‫‪.‬ד‬
‫‪(x  1)(x  2)  - 8x -12‬‬
‫‪.‬ג‬
‫‪2x2 – 1 = (x + 2)2 + 6x – 14‬‬
‫‪.‬ו‬
‫‪(x – 2)2 + (x + 1)(x – 6) = –2‬‬
‫‪.‬ה‬
‫‪x‬‬
‫‪38‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  2 5x  10 5‬‬
‫‪.‬ח‬
‫‪x x x5‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪12‬‬
‫‪.‬ז‬
‫‪.‬י‬
‫‪5x  6 x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x 2  4 3x  6‬‬
‫‪.‬ט‬
‫‪.‬יב‬
‫‪x 2  7 x  10‬‬
‫‪ 2x 1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪.‬יא‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x2 x 4 x2‬‬
‫‪x 2 1‬‬
‫‪ 2x  3‬‬
‫‪x 1‬‬
‫‪ .4‬פשטו את הביטויים הבאים‪ ,‬צמצמו במידת האפשר ורשמו את קבוצת ההצבה‪.‬‬
‫‪a 1 a 2 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 7a  7‬ד‬
‫‪x 2  16‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 2  4x‬‬
‫‪.‬ג‬
‫‪2x  8‬‬
‫‪‬‬
‫‪3x  24‬‬
‫‪.‬ב‬
‫‪a 2  a a 2  2a  1‬‬
‫‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪. a  a (a  5)(a  1‬ח‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 4 x2‬‬
‫‪.‬ז‬
‫‪5x 3‬‬
‫‪x 2  25‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 2  5x 10x 2‬‬
‫‪.‬ו‬
‫‪2‬‬
‫‪x 2  3x‬‬
‫‪‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪x 2  2x x 2  25‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬ה‬
‫‪x2‬‬
‫‪x 5‬‬
‫‪ .5‬אם נאריך כל אחת מצלעותיו של ריבוע א' ב – ‪ 3‬ס"מ נקבל ריבוע ב' ששטחו‬
‫גדול ב – ‪ 51‬סמ"ר משטח ריבוע א'‪.‬‬
‫מה אורך כל אחת מצלעות ריבוע א'?‬
‫‪x+3‬‬
‫‪x‬‬
‫ריבוע‬
‫א'‬
‫ריבוע‬
‫ב'‬
‫‪ .6‬נתון ריבוע שאורך צלעו ‪ 3a‬ס"מ‪ .‬אם נגדיל שתי צלעות נגדיות ב‪ 2 -‬ס"מ ונקטין את שתי‬
‫הצלעות הנגדיות האחרות ב‪ 2 -‬ס"מ נקבל מלבן‪.‬‬
‫שטחו של מי‪ ,‬הריבוע או המלבן‪ ,‬גדול יותר ובכמה?‬
‫‪ .7‬היקפו של מגרש מלבני הוא ‪ 641‬מ'‪ .‬צלע אחת של המגרש גדולה ב – ‪ 81‬מ' מן הצלע‬
‫השנייה שלו‪ .‬במרכז המגרש שתלו דשא וסביב הדשא סללו שביל הליכה‬
‫(החלק המושחר) ברוחב ‪ 2‬מ' (ר' שרטוט)‪:‬‬
‫א‪ .‬מה שטח המגרש?‬
‫ב‪ .‬מה שטח הדשא?‬
‫‪.‬א‬
‫דשא‬
‫‪4‬‬
‫גיאומטריה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .3‬חשבו את הזוויות ‪ ,,‬במקבילית (הסבירו את אופן החישוב)‪:‬‬
‫‪D‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪O 52‬‬
‫‪30‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .4‬במעויין ‪ ABCD‬נתון‪ :‬ס"מ ‪ ,DB=12‬ס"מ ‪.AC=16‬‬
‫חשב‪ :‬א) את אורך הצלע של המעויין‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫‪B‬‬
‫ב) היקף המעויין‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫ג) שטח המשולש ‪.AOB‬‬
‫ד) שטח המעויין ‪.ABCD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .5‬המרובע ‪ ABCD‬הוא מקבילית‪ .‬הנקודה ‪ O‬היא אמצע האלכסון ‪B .AC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫הנקודות ‪ E‬ו‪ F -‬נמצאות על צלעות המקבילית‪.‬‬
‫‪O‬‬
‫הקטע ‪ EF‬עובר דרך הנקודה ‪.O‬‬
‫הוכח כי המרובע שקדקודיו הם‪ C , F , A:‬ו‪ E -‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪ .6‬מרובע ‪ ABCD‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D E‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ - N‬נקודת פגישה של האלכסונים‬
‫‪CK = DN‬‬
‫‪N‬‬
‫‪K‬‬
‫‪CK || BD‬‬
‫הוכיחו‪ :‬מרובע ‪ NBKC‬הוא מעוין‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ ABCD .7‬מלבן‪ .‬הנקודה ‪ K‬נמצאת על המשך ‪.AB‬‬
‫הקטע ‪ CK‬שווה לאלכסון ‪.DB‬‬
‫הוכיחו‪ :‬א‪ .‬המשולש ‪ ACK‬הוא משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪ .‬המרובע ‪ CDBK‬הוא מקבילית‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .8‬הטרפז ‪ ABCD‬ישר זווית ‪. )DC || AB( ABC  900‬‬
‫‪K‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫בטרפז זה אורך השוק ‪ AD‬שווה לאורך הבסיס הקטן ‪. DC‬‬
‫הוכח שהאלכסון ‪ AC‬חוצה את הזווית החדה של הטרפז ( ‪) DAB‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪6‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪.11‬‬
‫‪ .11‬במשולש ‪ KLM‬נתון‪:‬‬
‫‪, KA = AM‬‬
‫‪MB = BC‬‬
‫‪K‬‬
‫‪AB  ML ,‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו‪AB II KC :‬‬
‫ב‪ .‬נתון‪:‬‬
‫‪A‬‬
‫‪O‬‬
‫‪ 5‬ס"מ = ‪MB‬‬
‫‪ 4‬ס"מ = ‪AB‬‬
‫‪L‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫חשבו את שטח הטרפז ‪ ,ABCK‬נמקו את דרך החישוב‪.‬‬
‫‪ ABCD .12‬מעוין‪.‬‬
‫‪ R‬נקודת מפגש האלכסונים ‪BD ,AC‬‬
‫‪ RT‬הוא תיכון לצלע ‪DC‬‬
‫א‪ .‬הוכיחו‪ TR :‬הוא קטע אמצצעים במשולש ‪.ADC‬‬
‫ב‪ .‬עוד נתון‪DC || VR :‬‬
‫הסבירו מדוע ‪ VRTD‬מעוין‬
‫‪7‬‬
‫‪M‬‬