ספר לימוד בגיאומטריה לכתה ז לפי התוכנית מ-2004

‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫תרשים‪-‬היסקים‬
‫מלבן הוא מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות וזוויותיו ישרות‪.‬‬
‫שני מצולעים נקראים חופפים אם צלעות האחד וזוויותיו שוות‪ ,‬על פי הסדר‪ ,‬לשל‬
‫חברו‪.‬‬
‫מרובע שצלעותיו‬
‫הנגדיות שוות ויש לו‬
‫זווית ישרה‪ ,‬הוא מלבן‪.‬‬
‫ניתן להזיז משולש ממקום‬
‫למקום‪ ,‬לסובבו ולהפכו‪ ,‬בלי‬
‫לשנות את צלעותיו‬
‫וזוויותיו‪.‬‬
‫אם למרובע שלוש‬
‫זוויות ישרות אז הוא‬
‫מלבן‪.‬‬
‫משולש ישר זווית ניתן‬
‫להשלמה למלבן עם‬
‫היתר כאלכסון‪,‬‬
‫והמשולש המשלים חופף‬
‫לו‪.‬‬
‫ניצבים לשוקי זווית‬
‫ישרה החותכים‬
‫אותם במרחקים‬
‫שווים יוצרים רשת‬
‫מלבנים חופפים‪.‬‬
‫אם אחד מהם ריבוע‬
‫אז כולם ריבועים‪.‬‬
‫סכום‬
‫הזוויות‬
‫במשולש ישר‬
‫זווית הוא‬
‫‪.1800‬‬
‫שטח מלבן‬
‫שווה למכפלת‬
‫אורכו ברוחבו‪.‬‬
‫שטח משולש‬
‫ישר זווית שווה‬
‫למחצית‬
‫המכפלה של‬
‫הניצבים‪.‬‬
‫שטח משולש‬
‫שווה‬
‫למחצית‬
‫המכפלה של‬
‫בסיס בגובה‪.‬‬
‫סכום‬
‫הזוויות‬
‫במשולש הוא‬
‫‪.1800‬‬
‫משפט פיתגורס‬
‫האנך הוא הקצר‬
‫שבקטעים מנקודה‬
‫לישר‬
‫אם תיכון אל‬
‫צלע במשולש‬
‫שוה לחצי הצלע‬
‫אז הזוית‬
‫שמולה ישרה‪.‬‬
‫ברשת המלבנים‬
‫החופפים‪ ,‬המשך‬
‫האלכסון של‬
‫מלבן הוא אלכסון‬
‫של חברו‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪48‬‬
‫דרך שתי נקודות‬
‫שונות עובר קו‬
‫ישר אחד בלבד‪.‬‬
‫משפט החפיפה‬
‫הראשון‪ :‬שני משולשים‬
‫השווים בשתי צלעות‬
‫ובזווית שביניהן –‬
‫חופפים‪.‬‬
‫חוצה זוית‬
‫הראש במשולש‬
‫שוה שוקיים‬
‫מחלק אותו‬
‫למשולשים‬
‫חופפים‪.‬‬
‫במשולש שוה‬
‫שוקיים שוות‬
‫זויות הבסיס‪.‬‬
‫במשולש שוה‬
‫שוקיים‪ ,‬חוצה‬
‫זוית הראש הוא‬
‫גם גובה אל‬
‫הבסיס וגם‬
‫תיכון לבסיס‪.‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫ב‪ .‬מ‪-‬א נובע ש‪ Bˆ 2 -‬שווה ל‪ , Cˆ 2 -‬לכן ‪ Bˆ1‬שווה ל‪. Cˆ1 -‬‬
‫כן נובע מ‪-‬א ש‪ Dˆ -‬שווה ל ˆ‪. E‬ונוסף לזה נתון ש‪.CE= BD -‬‬
‫משויונות אלה וממשפט החפיפה זצ"ז נובע שהמשולש ‪ BDF‬חופף ל‪. CEF-‬‬
‫ג‪ .‬כעת נקבל שהמשולש ‪ ADF‬חופף ל ‪ AEF‬על‪-‬פי משפט החפיפה צז"צ‬
‫ועל‪-‬פי השויון ‪ DF=FE‬הנובע מ‪-‬ב ‪ ,‬והשוויונות ˆ‪ Eˆ = D‬ו‪ AD=AE -‬שקיבלנו‬
‫לפני‪-‬כן‪.‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ומחפיפה זאת נובע ש‪■ A1 = A2 -‬‬
‫‪ ∆ CAD‬על פי שת צלעות וזוית )ישרה( שביניהם‪.‬‬
‫‪∆ BAD .4‬‬
‫לכן ‪Aˆ1 = Dˆ1‬‬
‫לכן‪ ,‬לפי המשפט שהוכחנו בתרגיל ‪ ,2‬המשולש ‪ AMC‬הוא שווה‪-‬‬
‫שוקיים‪.‬‬
‫ההוכחות בשביל שלושת המשולשים הנוספים דומות‪.‬‬
‫‪47‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫התיכון שוה לחצי הצלע שהוא חוצה לכן הזוית ‪ C‬ישרה‪.‬‬
‫‪ .4‬א‪) .‬ציור א(‬
‫‪ Cˆ1‬ישרה לכן‬
‫ב‪) .‬ציור ב(‬
‫ˆ‪ C‬ישרה לכן‬
‫ציור ב‬
‫ציור א‬
‫‪C S‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ Cˆ 2‬ישרה לכן ˆ‪ S‬חדה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ Tˆ2‬חדה לכן ‪ Tˆ1‬קהה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .5‬לפי תרגיל ‪ ,3‬כל אחת מארבע זויות המרובע היא‬
‫ישרה‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .6‬זויות הבסיס של משולשים שוי שוקיים שוות‪ ,‬לכן‬
‫‪ Cˆ1 = Bˆ1 , Aˆ 2 = Bˆ2 , Aˆ1 = Dˆ1‬ו‪. Cˆ 2 = Dˆ 2 -‬‬
‫סכום שמונה הזויות האלה הוא ‪.3600‬‬
‫לכן ‪. Aˆ1 + Aˆ2 + Cˆ 1 +Cˆ 2 = 180o‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪C‬‬
‫פתרונות לסעיף ‪ ,14‬משפט החפיפה השני‬
‫‪A‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ Aˆ1 = Aˆ2 .1‬כי ‪ AD‬חוצה זוית ‪.‬‬
‫‪ Dˆ1 = Dˆ 2‬כי שתיהן ישרות כי ‪ AD‬גובה‪.‬‬
‫‪ AD‬שוה לעצמו‪.‬‬
‫על‪-‬פי משפט החפיפה זצ"ז נובע מכאן שהמשולשים ‪ ADB‬ו‪ADC -‬‬
‫חופפים‪ .‬לכן ‪. AC=AB‬‬
‫‪12‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.2‬‬
‫נתון ש‪Bˆ = Cˆ -‬‬
‫‪A‬‬
‫מטרתנו להוכיח ש‪. AB=AC -‬‬
‫‪12‬‬
‫‪0‬‬
‫נוריד אנך ‪ AD‬ונסמן כבציור‪ ,‬ואז יהיה ‪ Dˆ1 = Dˆ 2‬כי שתיהן בנות ‪. 90‬‬
‫לכן ˆ‪ Aˆ = A‬כי אם שתי זויות של משולש שוות לשל חברו גם‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫(‬
‫השלישית שווה )כי סכום זוות משולש הוא ‪1800‬‬
‫ועל‪-‬פי משפט החפיפה השני )ושוויון ‪ AD‬לעצמה( יהיה‬
‫‪ ∆ ADC ∆ ADB‬לכן ‪■ AB=AC‬‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪ .‬המשולש ‪ ADC‬חופף ל‪ ABE -‬על‪-‬פי משפט‬
‫החפיפה זצ"ז והשוויונות ‪AC+CE=AB+BD ,AB=AC‬‬
‫ו‪. BAC = BAC -‬‬
‫‪46‬‬
‫‪B 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫‪.2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ME =13.75-2.25=11.5‬‬
‫‪ME = 3.391‬‬
‫‪ .3‬אם צלע הבסיס בן ‪ 4‬ס"מ והמקצוע הצדדי בן ‪ 3‬ס"מ אז‬
‫‪2‬‬
‫‪NE = 32 − 2 2 = 9 − 4 = 5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ME = 5-4 =1‬‬
‫‪ME = 1‬‬
‫‪(AB = BC = 2.MN , AE = BE ) .4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪NE = 102 + 52 = 125‬‬
‫‪NE = 125 = 11.180‬‬
‫‪2‬‬
‫‪BE = 25+125 = 150‬‬
‫‪BE = 12.247‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪AB = x = 162 = 12.728‬‬
‫‪MC =9‬‬
‫‪ .6‬נסמן ב‪ h-‬את הגובה של פיאה צדדית )‪ EN‬בציור שלעיל וגם בציורים שכאן(‪.‬‬
‫חצי צלע הבסיס הוא ‪.115‬‬
‫בעזרת משפט פיתגורס נקבל ש‪) . h=185.852 -‬ראה ציור א(‬
‫ציור ב מתאר פיאה צדדית אחת‪ .‬שטחה הוא כ‪ 21373 -‬מ"ר‪ ,‬לכן שטח כל ארבע הפיאות הצדדיות הוא‬
‫כ‪ 85492 -‬מ"ר ‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫ציור א‬
‫‪h=185.852‬‬
‫‪N‬‬
‫‪115‬‬
‫ציור ב‬
‫‪h=185.852‬‬
‫‪146‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪N‬‬
‫‪230‬‬
‫‪B‬‬
‫פתרונות לסעיף ‪ ,12‬תיכונים במשולש‬
‫‪ .1‬חוצה זוית הראש מחלק את הבסיס לשני חלקים‪ .‬בגלל החפיפה שוים שני החלקים זה לזה‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ DC=BD‬כי ‪ AD‬תיכון‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ Dˆ1 = Dˆ 2‬כי שתיהן בנות ‪. 90‬‬
‫‪ AD‬שוה לעצמו‪.‬‬
‫לפי משפט החפיפה צז"צ נובע מכאן שהמשולשים ‪ ACD‬ו‪ABD -‬‬
‫חופפים‪ ,‬ומכאן נובעים שני הדברים שהיה להוכיח‪.‬‬
‫‪ .3‬נסמן כבציור‪.‬‬
‫‪ CM‬הוא רדיוס‪ AB ,‬הוא קוטר ו‪ M-‬אמצעו‪ .‬מכאן שבמשולש ‪ABC‬‬
‫‪A‬‬
‫‪12‬‬
‫‪C‬‬
‫‪12‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫‪45‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫לכן ‪y=7.810..‬‬
‫‪ .12‬נסמן כבציור‪ ,‬ואז ‪h2+d2=k2‬‬
‫לכן ‪h2<k2‬‬
‫לכן ‪, h < k‬‬
‫וזה נכון בשביל כל ‪ k‬שהוא‬
‫אורך קטע מ‪ A-‬אל הישר ‪ a‬ואינו ‪ h‬עצמו‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪h‬‬
‫‪k‬‬
‫‪90o d‬‬
‫‪B C‬‬
‫‪a‬‬
‫פתרונות לסעיף ‪ ,10‬שטחי משולשים‬
‫‪ .2‬מהחפיפה נובע ש‪ 1ˆ = 2ˆ -‬ומכיוון שסכומן ‪ 1800‬כל אחת מהן היא בת ‪. 900‬‬
‫‪.3‬‬
‫א‪ .‬למשולש בעל זוית גדולה מ‪ 90o -‬יש שני גבהים חיצוניים וגובה פנימי אחד‪ .‬נכון‬
‫ב‪ .‬גובה פנימי מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי‪-‬זוית‪ .‬נכון‬
‫ג‪ .‬אם קטע מחלק משולש לשני משולשים ישרי זוית אז הוא גובה‪ .‬נכון‬
‫ד‪ .‬במשולש ישר‪-‬זוית‪ ,‬כל ניצב הוא גובה‪ ,‬והבסיס בשבילו הוא הניצב השני‪ .‬נכון‬
‫ה‪ .‬גובה של משולש קצר מכל צלע‪ .‬לא נכון )ראה למשל בציור של השאלה הקודמת(‬
‫‪ .4‬נסמן את הניצב השני ‪ h‬כבציור‪ ,‬ואז ‪ a2+52=132‬וחישוב יתן שמזה‬
‫נובע ש‪. a=12 -‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪13‬‬
‫מזה יתקבל שהשטח הוא ‪ 5 ⋅12 = 30‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬נסמן את הגובה ב‪ .h-‬כבתרגילים הקודמים נקבל ‪. h = 102 − 32 = 91 = 9.539‬‬
‫השטח שוה ‪ 6 ⋅ h = 28.618‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .6‬נסמן את חצי הבסיס ב‪ b -‬ואז ‪ b = 102 − 62 = 64 = 8‬והשטח ‪ 48‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .7‬שטח המשולש הוא ‪ 24‬סמ"ר‪ 10 .‬ס"מ = ‪ .c‬לכן ‪ , h ⋅10 = 24‬לכן ‪ 4.8=h‬ס"מ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪E‬‬
‫פתרונות לסעיף ‪ ,11‬חישובים בפירמידה‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪NE = 42 − 1.52 = 16 − 2.25 = 13.75‬‬
‫‪NE = 13.75 = 3.708‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪B‬‬
‫‪44‬‬
‫‪A‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫פתרונות לסעיף ‪ ,9‬משפט פיתגורס‬
‫‪7 + 13 = 2.645…+ 3.605.. = 6.250 .1‬‬
‫‪7 + 13 = 20 = 4.472 ...‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ y .5‬ו‪ z -‬ככתוב בציור‪.‬‬
‫אחרי עוד חמישה צעדים נגיע אל ‪ 9‬השוה ל‪. 3-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.732‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1.414‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.6‬‬
‫‪101 = 10.0498..‬‬
‫‪1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪.7‬‬
‫לכן‬
‫לכן‬
‫לכן‬
‫וזהו הגובה‪ ,‬במטרים‪ ,‬אליו יגיע הסולם‪.‬‬
‫‪12+h2=32‬‬
‫‪1+h2=9‬‬
‫‪h2=8‬‬
‫‪h = 2.824‬‬
‫‪ .8‬נסמן כבציור ואז ‪a2+82=102‬‬
‫‪a = 36 = 6‬‬
‫ומכאן יתקבל ש‪-‬‬
‫‪10‬‬
‫‪a‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .9‬גם בתרגיל זה‪ ,‬כמו בשני קודמיו‪ ,‬נתונים ניצב ויתר ויש‬
‫למצוא את הניצב הנוסף‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ניצב זה‪ ,‬שהוא מרחק יתד מן התורן‪ ,‬שווה ‪ 7 − 4 = 33 = 5.744‬מטר‪.‬‬
‫‪ .10‬א‪52=25 .‬‬
‫‪3.52+3.52= 12.25+12.25=24.5 < 25‬‬
‫לכן השוקיים גדולות )במקצת( מ‪ 3.5 -‬ס"מ‪.‬‬
‫ב‪ .‬אורכן האמיתי הוא ‪ 12.5 = 3.535 ...‬ס"מ‪.‬‬
‫‪x2= 62+ 42=36+16=52 .11‬‬
‫‪y2= x2+32= 52+9=61‬‬
‫‪5‬‬
‫‪? 3.5‬‬
‫‪? 3.5‬‬
‫‪y‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪43‬‬
‫‪6‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫ג‪ .‬לריבוע שצלעו ‪ 70‬אמה שטח בן ‪ 4900‬אמות רבועות‪.‬‬
‫)לריבוע ששטחו ‪ 5000‬אמות רבועות צלע בת כ‪ 70.71 -‬אמות(‬
‫‪ 6 .3‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ .4‬שטח החצר ‪ 22.24=528‬מ"ר‬
‫שטח הבית ‪ 9.11-3.3=99-9=90‬מ"ר‬
‫שטח השביל ‪ 10‬מ"ר‪.‬‬
‫השטח שירוצף )לסוכה ולכדור‪-‬סל( ‪ 60‬מ"ר‬
‫לכן השטח הנותר בשביל העצים הוא ‪ 428-90-10-60= 368‬מ"ר‪.‬‬
‫מספר העצים יהיה ‪. 46 = 368/8‬‬
‫‪ .5‬א‪ .‬הציור על ניר‪-‬משבצות משמאל‪ .‬הוא כולל ‪ 25‬ריבועים ששטח‬
‫כל אחד רבע סמ"ר לכן השטח הכללי הוא ‪ 61/4‬סמ"ר‪.‬‬
‫אותה תוצאה תתקבל מהמשפט‪ ,‬שהרי ‪. 2.5.2.5=6.25‬‬
‫ב‪ .‬ערך מדויק של אינץ' רבוע הוא‬
‫‪ 2.54.2.54 = 6.4516‬סמ"ר ‪.‬‬
‫‪ .6‬מכיוון שהשאלה מנוסחת בשברים פשוטים נפתור אותה בשברים‬
‫פשוטים‬
‫‪ 5 2 ⋅ 7 1 = 15 + 2 ⋅ 28 + 1 = 17 ⋅ 29 = 17 ⋅ 29 = 493 = 41 1‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪3⋅ 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫) בשברים עשרוניים תקבל משהו קרוב ל‪ , 41.083333333 -‬תלוי במספר ה‪-6-‬ים שתכתוב בשבר‬
‫העשרוני בשביל ‪(. 52/3‬‬
‫‪ 5.11=55‬וזה גדול מ‪ 49-‬אך קטן מ‪. 64 -‬‬
‫‪.7‬‬
‫‪7.1.7.1=50.41‬‬
‫‪7.2.7.2=51.84‬‬
‫‪7.3.7.3=53.29‬‬
‫‪7.4.7.4=54.76‬‬
‫‪7.5.7.5=56.25‬‬
‫לכן שטח המלבן שלנו נמצא בין שטח הריבוע שצלעו ‪ 7.4‬ס"מ ובין שטח הריבוע שצלעו ‪ 7.5‬ס"מ‪.‬‬
‫)יותר קרוב לשטח הריבוע שצלעו ‪ 7.4‬ס"מ(‬
‫‪ .8‬כן‪ .‬ריבוע הוא מין מלבן לכן המשפט על שטח מלבנים תקף גם בשביל ריבועים‪.‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪72>7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,‬‬
‫)(‬
‫‪1> 1‬‬
‫‪3 3‬‬
‫‪,‬‬
‫‪>5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫)(‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.10‬א‪ .‬שטחי הפיאות הם ‪ 200‬סמ"ר‪ 140 ,‬סמ"ר ו‪70 -‬‬
‫סמ"ר לכן שטח פני התיבה הוא‬
‫‪ 2.200+2.140+2.70=820‬סמ"ר ‪.‬‬
‫ב‪ .‬תחתית התיבה תכוסה על‪-‬ידי ‪ 200‬קוביות שאורכן‪,‬‬
‫רוחבן וגובהן הוא ס"מ אחד‪ ,‬והתיבה כולה תתמלא על‪-‬ידי‬
‫‪ 1400‬קוביות כאלה‪.‬‬
‫‪42‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪ 7‬ס"מ‬
‫‪ 20‬ס"מ‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫פתרונות לסעיף ‪ , 6‬משולש שווה שוקיים‬
‫‪ Pˆ .1‬היא זוית הראש‪.‬‬
‫‪. Qˆ = Rˆ = 800‬‬
‫‪400 .2‬‬
‫‪ .3‬כי אז תהיה גם זוית הבסיס השניה בת ‪ 900‬ויחד עם זוית הראש יהיו יותר מ‪. 1800 -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪450‬‬
‫‪90‬‬
‫‪0‬‬
‫‪45‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ .5‬כשמסתכלים על המשולש כעל משולש שוה שוקיים עם הצלע ‪ AB‬כבסיס מקבלים ש‪Aˆ = Bˆ -‬‬
‫וכשלוקחים את ‪ BC‬לתפקיד הבסיס מקבלים ש‪ . Bˆ = Cˆ -‬מכיוון ששלושת הזוויות שוות וסכומן‬
‫‪ ,1200‬כל אחת מהן היא בת ‪. 600‬‬
‫פתרונות לסעיף ‪ ,7‬רשת מלבנים‬
‫‪ .1‬הם מלבנים אך אינם חופפים‪.‬‬
‫החלק שבהוכחת משפט רשת המלבנים‪ ,‬המראה שהזויות ישרות ושהמרובעים אשר שם הם מלבנים‪,‬‬
‫הוא בתוקף גם כאן‪ .‬החלק הנותן שם את השוויונות של הצלעות יוצא מהנחה המתמלאת שם אך לא‬
‫כאן‪.‬‬
‫‪ .2‬ל‪ 99-‬מלבנים חופפים‪.‬‬
‫‪.3‬א‪ .‬מספר המלבנים המתקבלים שווה למספר חלקי הצלע האחת כפול במספר חלקי הצלע השניה‪.‬‬
‫המספר ‪ 6‬ניתן להכתב כמכפלה של שני מספרים טבעיים רק בצורות הבאות‪1 6 , 2.3 , 3.3 , :‬‬
‫‪ , 6.1‬לכן רק ארבע צורות החלוקה שבציור נותנות ‪ 6‬מלבנים‪.‬‬
‫ב‪ 9 = 1.9 = 3.3 = 9.1 .‬ואי אפשר לכתוב את ‪ 9‬כמכפלה אחרת של שני מספרים טבעיים‪ .‬לכן‬
‫ניתן לחלק את המלבן ל‪ 9-‬מלבנים חופפים ב‪ 3-‬אופנים בלבד‪.‬‬
‫ג‪ .‬בשני אופנים בלבד‪) .‬זה נכון לכל מספר ראשוני(‪.‬‬
‫ד‪ .‬המכפלות השוות ל‪ 15-‬הן ‪. 1.15 , 3.5 , 5.3 , 15.1‬‬
‫ה‪ .‬המכפלות השוות ל‪ 12-‬הן ‪ 1.12 , 2.6 , 3.4 , 4.3 , 6.2 , 12.1‬לכן יש ‪ 6‬אופנים‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫פתרונות לסעיף ‪ ,8‬שטח מלבן‬
‫‪.1‬א‪20.20=400 .‬‬
‫ב‪100.100=10000 .‬‬
‫ג‪ .‬שטח מלבן שצלעותיו ‪ 7‬ו‪ 9-‬ס"מ הוא ‪ 63‬סמ"ר ואילו שטח ריבוע שצלעו ‪ 8‬ס"מ הוא ‪ 64‬סמ"ר ‪.‬‬
‫‪ .2‬א‪ .‬באמה רבועה ‪ 2308‬סמ"ר )פחות מ‪ 6-‬מרצפות רגילות(‪.‬‬
‫ב‪ .‬שטחה של חצר המשכן היה ‪ 5000‬אמות רבועות‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫‪D‬‬
‫א ‪Hˆ 3 = 1800- Hˆ 1 = 1800-800= 1000‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Hˆ = 180 - Hˆ = 180 -80 = 100‬‬
‫‪1‬‬
‫ד‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪o‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Hˆ 2 = 180 - Hˆ 3 = 180 -100 = 80‬‬
‫ב‬
‫ב‪ HA=HB .‬כי ‪ H‬אמצע האלכסון ‪. AB‬‬
‫‪ HD=HC‬כי ‪ H‬אמצע האלכסון ‪.DC‬‬
‫‪ Hˆ 2 = Hˆ 1‬כי שתיהן בנות ‪.800‬‬
‫לכן‪ ,‬לפי משפט החפיפה הראשון‪ ,‬המשולשים א ו‪-‬ב‬
‫חופפים‪ ,‬לכן ‪. AD=BC‬‬
‫ההוכחה ש‪ AC=BD -‬דומה ולא נפרט אותה כאן‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪4‬‬
‫‪80o 2 H 1 80o‬‬
‫‪3‬‬
‫‪100o‬‬
‫א‬
‫ג‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫ג‪ .‬כן‪ 80 .‬היה מוחלף ב‪ 65 -‬ו‪ 100 -‬היה מוחלף ב‪ 115 -‬אך כל השיקולים היו נשארים בתוקפם‪.‬‬
‫פתרונות לסעיף ‪ , 5‬שימוש במשפט החפיפה צז"צ‬
‫‪ .1‬ממשפט החפיפה זצ"ז ומהמשפט על סכום הזויות במשולש‪.‬‬
‫‪400 0‬‬
‫‪50‬‬
‫‪ .2‬הזויות מפורטות בציור שמשמאל‪.‬‬
‫‪400‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫אם קיבלת תוצאות שונות עבור של השיקולים המפורטים‬
‫להלן‪.‬‬
‫לנוחיות ההסבר סומנו משולשים באותיות כבציור הנוסף‬
‫שלהלן‪.‬‬
‫מהחפיפה של ב‪+‬א ל‪ -‬ג‪+‬א נקבל ש‪. 1ˆ = 40o -‬‬
‫סכום הזויות של א הוא ‪ 1800‬לכן ‪. 2ˆ = 100o‬‬
‫לכן ‪ 4ˆ = 80o‬לכן ‪ 5ˆ = 100o‬לכן ‪. 6ˆ = 80o‬‬
‫‪ 1ˆ + 3ˆ = 90o‬לכן ‪. 3ˆ = 50o‬‬
‫סכום הזויות של ג הוא ‪ 1800‬לכן ‪. 7ˆ = 50o‬‬
‫‪ 7ˆ + 8ˆ = 90o‬לכן ‪8ˆ = 40o‬‬
‫סכום הזויות של ד הוא ‪ 1800‬לכן ‪9ˆ = 40o‬‬
‫‪ 10‬לכן ‪ˆ = 50o‬‬
‫‪ˆ + 9ˆ = 90o‬‬
‫‪10‬‬
‫סכום הזויות של ב הוא ‪ 1800‬לכן ‪ˆ = 50o‬‬
‫‪. 11‬‬
‫‪500‬‬
‫‪0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪o‬‬
‫‪40‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן ˆ‪. 1ˆ = 2‬‬
‫‪40‬‬
‫‪6‬‬
‫‪10‬‬
‫ב‬
‫‪11‬‬
‫א‬
‫‪40o‬‬
‫‪B‬‬
‫‪6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪D‬‬
‫‪40‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪H‬‬
‫‪500‬‬
‫‪9‬‬
‫ד‬
‫ג‬
‫‪ .3‬א‪ .‬ארבעת המשולשים שבפינות חופפים זה לזה על‪-‬פי צז"צ‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהחפיפות נובע ש‪. 3ˆ = 4ˆ = 5ˆ = 6ˆ -‬‬
‫ˆ‪1ˆ = 180 0 − 3ˆ − 4‬‬
‫ˆ‪2ˆ =1800 − 5ˆ − 6‬‬
‫‪100‬‬
‫‪0‬‬
‫‪800 80‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪50‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫פתרונות‬
‫פתרונות לסעיף ‪ ,1‬מבוא למלבנים‬
‫‪ 1‬ו‪.2-‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫פתרונות לסעיף ‪ , 3‬זויות במשולש‬
‫‪.1‬‬
‫ˆ‪3‬‬
‫ˆ‪2‬‬
‫ˆ‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫ו‪ 6ˆ -‬קטנות מ‪450 -‬‬
‫ו‪ 5ˆ -‬בין ‪ 450‬ו‪900 -‬‬
‫גדולה מ‪900 -‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ Cˆ =900 .2‬לכן ‪) Bˆ + Aˆ = 900‬כי סכום שלושתן ‪( 1800‬‬
‫עוד ידוע ש‪ Aˆ -‬גדולה כפליים מ‪ Bˆ -‬לכן ‪ Aˆ = 600‬ו‪. Bˆ = 300 -‬‬
‫‪ .3‬א‪ 180-104-47=43 .‬לכן הזוית השלישית היא בת ‪. 430‬‬
‫ב‪ .‬אי אפשר‪ .‬אין משולש כזה‪.‬‬
‫פתרונות לסעיף ‪ ,4‬חפיפת משולשים‬
‫פתרון החידה‬
‫פתרון התרגיל‪:‬‬
‫‪39‬‬
‫‪A‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫על שוקי ˆ‪ A‬שרטטו שני קטעים שוים ‪ AB‬ו‪ ,AC -‬ובהמשכיהם‬
‫‪D‬‬
‫שני קטעים שוים אחרים ‪ BD‬ו‪ . CE -‬אחר כך שרטטו את ‪CD‬‬
‫‪B 1‬‬
‫ואת ‪ , BE‬סימנו את נקודת פגישתם ‪ F‬וחיברו אותה ל‪,A-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪F‬‬
‫כבציור‪ .‬כמוכן סומנו זויות כבציור‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫בכוונתנו להוכיח ש‪. Aˆ1 = Aˆ 2 -‬‬
‫‪E‬‬
‫‪C‬‬
‫להוכחה שלושה שלבים שבכל אחד מהם מוכחת חפיפה של שני‬
‫משולשים‪ .‬השלם פרטים חסרים בכל שלב‪.‬‬
‫א‪ .‬המשולש ‪ ADC‬חופף ל_____________ על‪-‬פי משפט החפיפה ________‬
‫והשוויונות ______=______ ‪ _______=______ ,‬ו‪. _______=_______ -‬‬
‫ב‪ .‬מ‪-‬א נובע ש‪ Bˆ 2 -‬שווה ל‪ , _____-‬לכן ‪ Bˆ1‬שווה ל‪._____ -‬‬
‫כן נובע מ‪-‬א ש‪ Dˆ -‬שווה ל‪._____-‬‬
‫נוסף לזה נתון ש‪.______= BD -‬‬
‫משויונות אלה וממשפט החפיפה _______ נובע שהמשולש ‪ BDF‬חופף ל_______ ‪.‬‬
‫ג‪ .‬כעת נקבל שהמשולש ‪ ADF‬חופף ל_________ על‪-‬פי משפט החפיפה _______‬
‫ועל‪-‬פי השויון ______=______ הנובע מ‪-‬ב ‪ ,‬והשוויונות ______=_______‬
‫ו‪ _______=_______ -‬שקיבלנו לפני‪-‬כן‪.‬‬
‫ומחפיפה זאת נובע ש‪ˆ = Aˆ -‬‬
‫‪■ A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫הוכח שאלכסוני מלבן מחלקים אותו לארבעה משולשים שוי‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫)הנחיה‪ :‬לקבלת שוויונות זויות השתמש במשפט החפיפה הראשון‪ .‬אחר‪-‬כך השתמש במה שהוכחנו‬
‫בתרגיל ‪(. 2‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫‪.‬א‪ .‬נתון שהאלכסון ‪ AC‬שבמרובע ‪ ABCD‬חוצה את שתי הזויות של המרובע )כלומר‪ Aˆ1 = Aˆ 2 ,‬ו‪-‬‬
‫ˆ‪ , Cˆ = C‬כבציור א (‪ .‬הסבר כיצד נובע מכאן ש‪ AD=AB -‬ו‪. CD=CB -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬באותו מרובע העבירו גם את האלכסון השני ‪ ,BD‬וסימנו את מפגש האלכסונים באות ‪E‬‬
‫)כבציור ב(‪ .‬נמק את הטענה ש‪ DE=BE -‬ואת הטענה שהזויות ב‪ E-‬ישרות‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫ציור א‬
‫‪2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪E‬‬
‫ציור ב‬
‫‪1‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪38‬‬
‫‪D‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫ניתן להזיז משולש ממקום‬
‫למקום‪ ,‬לסובבו ולהפכו‪ ,‬בלי‬
‫לשנות את צלעותיו וזוויותיו‪.‬‬
‫דרך שתי נקודות‬
‫שונות עובר קו‬
‫ישר אחד בלבד‪.‬‬
‫לשני ישרים שונים‬
‫לכל היותר נקודה‬
‫משותפת אחת‬
‫משפט החפיפה השני‪:‬‬
‫שני משולשים השוים‬
‫בצלע ובשתי הזויות‬
‫שעל ידה – חופפים‬
‫על פי הוכחה ב הוא מצטרף כך‪:‬‬
‫ניתן להזיז משולש ממקום‬
‫למקום‪ ,‬לסובבו ולהפכו‪ ,‬בלי‬
‫לשנות את צלעותיו וזוויותיו‪.‬‬
‫דרך שתי נקודות‬
‫שונות עובר קו‬
‫ישר אחד בלבד‪.‬‬
‫משפט החפיפה הראשון‪:‬‬
‫שני משולשים השווים‬
‫בשתי צלעות ובזווית‬
‫שביניהן – חופפים‪.‬‬
‫משפט החפיפה השני‪:‬‬
‫שני משולשים השוים‬
‫בצלע ובשתי הזויות‬
‫שעל‪-‬ידה – חופפים‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫הוכח שאם ‪ AD‬הוא חוצה‪-‬זוית במשולש ‪ ABC‬והוא גם גובה‪ ,‬אז המשולש הוא שוה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫להלן הוכחה שאם במשולש שתי זוויות שוות אז המשולש שוה‪-‬שוקיים )כלומר‪ ,‬רק במשולש שוה‬
‫שוקיים יש שתי זויות שוות(‪ .‬העתק והשלם את הנימוקים החסרים‪.‬‬
‫נתון ש‪Bˆ = Cˆ -‬‬
‫‪A‬‬
‫מטרתנו להוכיח ש‪. AB=AC -‬‬
‫נוריד אנך ‪ AD‬ונסמן כבציור‪ ,‬ואז יהיה ‪ Dˆ1 = Dˆ 2‬כי‬
‫___________________________________‬
‫לכן ‪ Aˆ1 = Aˆ2‬כי‬
‫___________________________________‬
‫ועל‪-‬פי _________________________יהיה ‪∆ ADB ADC‬‬
‫לכן ‪■ AB=AC‬‬
‫‪37‬‬
‫‪12‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫הוכחה אחת מספיקה בהחלט‪ ,‬אך אנו מעדיפים להשאיר בידי הקורא את ההחלטה איזו הוכחה נראית לו‬
‫יותר יפה‪.‬‬
‫להוכחה א נקדים משפט עזר‪ :‬לשני ישרים שונים יש לכל היותר נקודה משותפת אחת‪.‬‬
‫הוכחת משפט העזר‪ :‬אם לא כן היו לנו שתי נקודות שדרכן עוברים שני ישרים שונים‪ ,‬בניגוד להנחת‬
‫יסוד האומרת שדרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד‪.‬‬
‫והרי הוכחה א עצמה‪:‬‬
‫)לנוחיות ההסבר ישורטט הצלעות ‪ AC‬ו‪ BC -‬של המשולש ‪ ABC‬בקו מרוסק עבה‪(.‬‬
‫על‪-‬ידי הזזה וסיבוב נעתיק את המשולש ‪ ABC‬באופן שהצלע ‪ AB‬תונח על ‪. DE‬‬
‫כך תתקבל האפשרות שבציור א או האפשרות שבציור ב‪ .‬אם התקבלה אפשרות א נהפוך את המשולש‬
‫‪ ABC‬וכך נגיע בכל מקרה לאפשרות שבציור ב‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B=E‬‬
‫‪B=E‬‬
‫ציור ב‬
‫ציור א‬
‫‪A=D‬‬
‫‪A=D‬‬
‫‪C=F‬‬
‫‪F‬‬
‫הזוית ˆ‪ A‬תהיה אפוא מונחת בדיוק על הזוית ˆ‪ D‬השווה לה‪ ,‬והזוית ˆ‪ B‬תהיה על ˆ‪ E‬השווה לה לכן‬
‫השוקים היוצרות את הזויות הן על אותם שני ישרים ולפי משפט העזר נובעת המסקנה ש‪ C -‬ו‪ F-‬הן‬
‫אותה נקודה ■‬
‫הוכחה ב‬
‫נתון שויון צלע ושתי זויות כמסומן בציור שמשמאל‪.‬‬
‫כצעד ראשון בבנית ההוכחה נשרטט על הישר ‪EF‬‬
‫קטע ‪ EG‬השוה ל‪ ,BC -‬ונחבר את ‪ G‬עם ‪.D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫בכוונתנו להוכיח ש‪ ,EF=BC -‬אך כל עוד לא הוכחנו‬
‫זאת עלינו להביא בחשבון שלוש אפשרויות‪,‬‬
‫‪ EF=BC ,EF>BC‬ו‪ .EF< BC-‬לפי האפשרות הראשונה י ֵראה השרטוט כבציור א‪ ,‬לפי האפשרות‬
‫השניה הוא יראה כבציור ב ולפי האפשרות השלישית הוא יראה כבציור ג‪) .‬אבל רק ציור אחד נכון(‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫ציור א‬
‫‪E‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫ציור ב‬
‫‪D‬‬
‫ציור ג‬
‫‪F=G‬‬
‫‪F‬‬
‫‪G‬‬
‫לפי משפט החפיפה צז"צ חייב המשולש ‪ DEG‬להיות חופף למשולש ‪ ,ABC‬לכן חייבת הזוית ‪EDG‬‬
‫להיות שוה ל‪ Aˆ -‬לכן גם ל‪) Dˆ -‬של המשולש ‪ DEF‬הנתון(‪.‬‬
‫זה פוסל הן את האפשרות שבציור א והן את האפשרות שבציור ג ומותיר רק את האפשרות שבציור ב‪.‬‬
‫לכן המשולש ‪ DEG‬והמשולש ‪ DEF‬הם אותו משולש‪ ,‬לכן המשולש ‪ ABC‬חופף גם ל‪■ DEF -‬‬
‫על‪-‬פי הוכחה א מצטרף משפט החפיפה השני לתרשים ההיסקים שלנו כך‪:‬‬
‫‪36‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫)‪ (13‬עוד על מלבנים‬
‫משפט האלכסונים ברשת‬
‫משפט‪ :‬ברשת המלבנים החופפים‪ ,‬המשך האלכסון של מלבן הוא אלכסון של חברו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהיו נתונים שני מלבנים מן הרשת‪ ,‬שהם בעלי קדקוד משותף אחד‪ .‬נסמנם ‪ ABCD‬ו‪CEFG-‬‬
‫כבציור‪ ,‬נשרטט את האלכסונים ‪ AC‬ו‪ CF -‬וניגש‬
‫‪G‬‬
‫‪F‬‬
‫להראות ששניהם על ישר אחד‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫כבציור‬
‫ב‬
‫‬‫ו‬
‫א‬
‫ומשולשים‬
‫נסמן זויות ‪ 4 ,3 ,2 ,1‬ו‪5-‬‬
‫ב‬
‫‪C‬‬
‫‪5‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫א ו‪-‬ב ישרי זוית‪ AB=CE ,‬ו‪ , BC=EF -‬לכן א ו‪-‬ב‬
‫‪3 4‬‬
‫חופפים )לפי צז"צ( לכן ‪. 5$ = 1$‬‬
‫‪ 2‬א‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ 2$ = 4$‬כי שתיהן ישרות‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫לכן ‪ 3$ + 4$ + 5$ = 3$ + 2$ + 1$ = 180o‬לכן ‪ C ,A‬ו‪ F -‬על‬
‫ישר אחד ■‬
‫בעית‪-‬הוכחה‬
‫נתון מלבן ‪ ABCD‬ונתון ש‪ E-‬ו‪ F-‬הם אמצעי צלעות נגדיות שלו‪ .‬צריך להוכיח ש‪ EF -‬ניצב לצלעות‬
‫אלה‪.‬‬
‫מהלך ההוכחה יכלול "מחיקת" קטע‪ ,‬בנית קטע אחר במקומו ואחר‪-‬כך הוכחה שהקטע החדש והקטע‬
‫הישן הם אותו קטע‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬נתעלם זמנית מהנקודה ‪ F‬ומהקטע ‪ , EF‬ודרך ‪ E‬נעלה אנך‬
‫לצלע ‪ AB‬ונסמן את נקודת פגישתו עם הצלע הנגדית ב‪.G-‬‬
‫לנוחיות הדיון נסמן קטעים ‪ a,b,c,d‬וזויות ‪ 1,2,3,4‬כבציור‪.‬‬
‫הקטע ‪ a‬יהיה אפוא שוה ל‪ ,b-‬והזויות ‪ 1$‬ו‪ 2$ -‬ישרות‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪G c‬‬
‫‪4 3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪2 1 a‬‬
‫‪E‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫על‪-‬סמך המשפט האומר שאם למרובע שלוש זוויות ישרות אז הוא מלבן‪,‬‬
‫נקבל שהמרובעים ‪ EFDA‬ו‪ EFCB -‬הם מלבנים לכן ‪ 3$‬ו‪ 4$ -‬ישרות ו‪. c=a=b=d -‬‬
‫מזה ש‪ c=d -‬נובע ש‪ G -‬היא ‪ , F‬ומכיוון שדרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד‪ EG ,‬הוא ‪ , EF‬לכן‬
‫‪ EF‬ניצב לצלעות המלבן ■‬
‫)‪ (14‬משפט החפיפה השני‬
‫משפט החפיפה השני‪ ,‬שיפורט ויוכח להלן‪ ,‬דומה למשפט החפיפה הראשון וקשור בו באופנים שונים‪.‬‬
‫הוא אינו מופיע בתרשים ההיסקים שלנו‪ ,‬אך יש לו מקום במערכת היסקים גיאומטרית יותר נרחבת‪,‬‬
‫ולהלן נראה כיצד הוא יכול להשתלב בתרשים‪.‬‬
‫המשפט‪. :‬שני משולשים השוים בצלע ובשתי הזויות שעל‪-‬ידה הם חופפים‪.‬‬
‫ובפירוט‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫אם במשולשים ‪ ABC‬ו‪ DEF -‬מתמלאים השוויונות‬
‫‪E‬‬
‫‪ Aˆ = Dˆ , AB=DE‬ו‪Bˆ = Eˆ -‬‬
‫אז ‪ , ∆ DEF ∆ ABC‬כלומר‪ ,‬גם ‪ , BC=EF‬גם‬
‫‪D‬‬
‫‪ AC=DF‬וגם ˆ‪. Cˆ = F‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫המשפט נקרא בקצרה משפט החפיפה זצ"ז‪.‬‬
‫להלן שתי הוכחות למשפט‪ .‬ההוכחה הראשונה תהיה דומה להוכחה של משפט החפיפה הראשון )צז"צ(‬
‫ואילו ההוכחה השניה תסתמך על משפט החפיפה הראשון‪.‬‬
‫‪35‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫תרגיל ‪) 4‬המשך של תרגיל ‪(3‬‬
‫א‪ .‬בחרו נקודה ‪ S‬מחוץ למעגל וחיברו אותה אל ‪ A‬ו‪ B-‬שהן קצותיו של קוטר‪ ,‬כבציור א שמימין‪.‬‬
‫הוכח ש‪ Sˆ -‬היא חדה )כלומר‪ ,‬קטנה מ‪.(90o-‬‬
‫ב‪ .‬בחרו נקודה ‪ T‬בפנים מעגל וחיברו אותה אל ‪ A‬ו‪ B-‬כמקודם‪ ,‬כבציור ב שמשמאל‪ .‬הוכח ש‪Tˆ1 -‬‬
‫היא קהה )כלומר‪ ,‬גדולה מ‪ . 90o-‬קהה הוא לא‪-‬חד‪ .‬כהה הוא לא‪-‬בהיר(‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫‪2‬‬
‫ציור א‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫ציור ב‬
‫‪T‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫הנחיות‪ :‬מכיוון ש‪ Cˆ1 -‬של א ו‪ Cˆ -‬של ב הן ישרות‪ ,‬כל מה שצריך לנמק בשביל א הוא ש‪Sˆ < Cˆ1 -‬‬
‫וכל מה שצריך לנמק בשביל ב הוא ש‪ . Tˆ > Cˆ -‬בשני המקרים נוכל להשתמש בזה שסכום שתי זויות‬
‫של משולש קטן מ‪. 180o -‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל ‪) 5‬שימוש בתרגיל ‪(3‬‬
‫הוכח שאם מחברים על‪-‬פי הסדר את הקצוות של שני קטרים של מעגל‪,‬‬
‫מתקבל מלבן‪.‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫)תרגיל זה אינו קשור בתיכונים והוא נזקק רק למשפטים על זויות הבסיס במשולש שוה‪-‬שוקיים ועל‬
‫סכום הזויות במשולש‪ .‬הוא מופיע כאן בגלל הקשרים שלו עם תרגיל ‪(5‬‬
‫‪A‬‬
‫א‪ .‬אם עדיין לא הוכחת זאת הוכח שסכום זויותיו של מרובע הוא‬
‫‪. 360o‬‬
‫ב‪ .‬מרובע שארבעת קדקודיו על מעגל נקרא חסום במעגל‪ .‬הוכח‬
‫שאם מרובע חסום במעגל ומרכז המעגל בפנים המרובע אז סכום‬
‫שתי זויות נגדיות של המרובע הוא ‪. 180o‬‬
‫) ‪( Aˆ1 + Aˆ2 + Cˆ1 + Cˆ 2 = 180o‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪D‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪C‬‬
‫נושא לדיון‪ :‬גם בתרגיל ‪ 5‬חסום המרובע במעגל‪ .‬מה ההבדל ומה הקשר שבין הטענות שבשני‬
‫התרגילים?‬
‫‪34‬‬
‫‪B 1‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫)‪ (12‬תיכונים במשולש‬
‫המילה "תיכון" מופיעה במקרא לראשונה בספר שמות‪ ,‬פרק כ"ו פסוק כ"ח‪ ,‬בתיאור בנית המישכן‪:‬‬
‫יכן בתוך הקרשים"‪ .‬פירוש המילה הוא "עובר באמצע"‪ .‬בגיאומטריה אנו משתמשים‬
‫"ו ַהבְּריח הַתִּ ֹ‬
‫במילה "תיכון" בשביל קטע מקדקוד של משולש אל אמצע הצלע שמולו‪.‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫הטענה שחוצה זוית הראש במשולש שוה‪-‬שוקיים הוא גם תיכון‪ ,‬נובעת ממשפטנו הראשון על משולש‬
‫שוה‪-‬שוקיים‪ .‬הסבר כיצד היא נובעת וסמן ‪ v‬במקום המתאים בתרשים ההיסקים‪.‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫הוכח שאם ‪ AD‬הוא תיכון במשולש ‪ ABC‬והוא גם גובה‪ ,‬אז המשולש הוא שוה‪-‬שוקיים ו‪ AD-‬הוא‬
‫גם חוצה‪-‬זוית‪-‬הראש‪.‬‬
‫את סיפורו של המשפט הבא נפתח במעשה שהיה‪ .‬חקלאי תכנן בנית חדר מלבני )על‪-‬יד הרפת‪ ,‬בשביל‬
‫מכונת‪-‬חליבה שעמד לקנות(‪ .‬מקומו של קיר ‪ a‬כבר היה מסומן על הקרקע באמצעות חבל מתוח‬
‫)בציור א שלהלן הוא מסומן בקו עבה(‪ .‬קיר ‪ b‬צריך היה להיות ניצב ל‪ a-‬בנקודת קצהו ‪. A‬‬
‫למציאת נקודה ‪ C‬שתהיה על ‪ b‬קשר לולאות‬
‫‪b‬‬
‫קטנות בקצות שלושה חבלים שוים וקשר את‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2‬‬
‫שלושתם בקשר אחד )כבציור ב(‪ .‬אחר‪-‬כך‬
‫‪1‬‬
‫תקע יתדות ב‪ A-‬ובנקודה ‪ B‬כלשהי על ‪,a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M‬‬
‫הרכיב עליהן שתים מן הלולאות‪ ,‬מתח‬
‫‪2‬‬
‫הלולאה‬
‫כבציור א ותקע יתד ‪ C‬במקומה של‬
‫‪B‬‬
‫ציור ב‬
‫ציור א‬
‫השלישית‪.‬‬
‫הבה נוכיח שבדרך זו התקבלה ב‪ A-‬זוית‬
‫ישרה‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬המשולשים ‪ AMB‬ו‪ AMC -‬הם שוי שוקיים לכן ˆ‪ Aˆ = B‬ו‪ˆA = Cˆ -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫לכן ˆ‪. Aˆ1 + Aˆ2 = Bˆ1 + C‬‬
‫ומצד שני‪ Aˆ1 + Aˆ2 + Bˆ1 + Cˆ = 180o ,‬כי הן מרכיבות את זוויותיו של המשולש ‪. ABC‬‬
‫מכאן ש‪Aˆ1 + Aˆ 2 = 90o -‬‬
‫■‬
‫בעצם הוכחנו כאן משפט כללי‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם תיכון אל אחת הצלעות במשולש שוה לחציה של אותה צלע אז המשולש הוא ישר זוית‪.‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫אם בוחרים נקודה על מעגל ומחברים אותה אל שני קצותיו של קוטר‬
‫של המעגל‪ ,‬מתקבלת זוית ישרה‪.‬‬
‫הסבר כיצד זה נובע ממשפטנו‪.‬‬
‫לצורך ההסבר העזר בעותק של הציור‬
‫שמשמאל‪ ,‬סמן נקודות באותיות ושרטט רדיוס‬
‫במקום המתאים‪ .‬ההסבר צריך להיות טוב‬
‫בשביל כל נקודה שתיבחר על המעגל‪ ,‬כבציור שמימין‪.‬‬
‫‪33‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫נוכל לחשב את ‪. ME‬‬
‫תרגיל ‪ : 2‬השלם את החישוב‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :3‬מה יהיה גובהה של הפירמידה אם צלע הבסיס יהיה ‪ 4‬ס"מ והמקצוע הצדדי )כך קוראים‬
‫לקטעים מקדקדי הבסיס אל הקדקוד העליון( יהיה בן ‪ 3‬ס"מ?‬
‫חישוב נוספים בפירמידה ריבועית ישרה‬
‫ציור א שלעיל טוב גם בשביל התרגילים הבאים‪.‬‬
‫תרגיל ‪ :4‬מה צריך להיות אורך מקצוע צדדי )‪ AE‬בציור א שלעיל( אם צלע הבסיס היא‬
‫‪ 10‬ס"מ = ‪ AB‬והגובה גם הוא ‪ 10‬ס"מ = ‪. ME‬‬
‫הצעה‪ :‬חשב תחילה את ‪. NE‬‬
‫תרגיל ‪:5‬‬
‫הפעם נתון שהמקצועות הצדדיים )כגון ‪ (AE‬הם בני ‪ 15‬ס"מ והגובה בן ‪ 12‬ס"מ ומבוקש אורכו של צלע‬
‫הבסיס‪.‬‬
‫כצעד ראשון נתבונן במשולש ‪ AEC‬המצויר בציור ג יחד עם הגובה ‪EM‬‬
‫‪E‬‬
‫של הפירמידה‪.‬‬
‫ציור ג‬
‫מכיוון שהמשולש הוא שוה שוקיים ו‪ M-‬באמצע הבסיס‪ EM ,‬הוא חוצה‬
‫‪15‬‬
‫זוית הראש וניצב לבסיס‪ ,‬לכן ‪ EMC‬הוא משולש ישר‪-‬זוית ‪ ,‬לכן ניתן‬
‫‪12‬‬
‫לחשב את ‪ MC‬בעזרת משפט פיתגורס‪ .‬עשה זאת!‬
‫בצעד השני נתבונן במשולש ‪ ABC‬שהוא חצי הבסיס של הפירמידה‪MC .‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫הוא חצי היתר שלו לכן היתר כבר ידוע‪.‬‬
‫‪ AB‬ו‪ BC -‬הם ניצבים שוים‪ .‬נסמנם ‪ . x‬נקבל ש‪x 2 +x 2 =(2 ⋅ MC)2 -‬‬
‫ומכאן נוכל לקבל את ‪ ,x‬שהוא צלע הבסיס‪ .‬עשה זאת!‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫גובהה של הפירמידה הגדולה שבגיזה )במצרים( הוא ‪ 146‬מטר וצלע הבסיס ‪ 230‬מטר בקירוב‪ .‬בעבר היו‬
‫פיאותיה הצדדיות מצופות אבן חלקה‪ .‬מה היה שטחו הכולל של הציפוי?‬
‫הערה‪ :‬הפירמידה לא נבנתה על‪-‬ידי בני ישראל ולא בהשתתפותם‪ .‬היא נבנתה עוד לפני זמנו של אברהם‬
‫אבינו‪.‬‬
‫‪32‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫)‪(11‬חישובים בפירמידה‬
‫חישוב הגובה‬
‫בציור ב ריבוע ‪ ABCD‬שצלעו ‪ 3‬ס"מ‪ ,‬ועל ארבע צלעותיו ארבעה משולשים שוי‪-‬שוקיים‪ .‬אורך כל שוק‬
‫‪ 4‬ס"מ‪ .‬העתק על ניר‪ ,‬גזור‪ ,‬קפל לאורך הצלעות של הריבוע והדבק )בעזרת נייר‪-‬דבק כגון סלוטייפ(‬
‫באופן שהקדקודים ‪ E1, E2, E3, E4‬יפגשו בנקודה אחת‪ .‬בציור א מסומנת נקודה זאת ‪. E‬‬
‫ציור א הוא מבט מן הצד על הפירמידה שהתקבלה מציור ב‪) .‬לכן ריבוע הבסיס מצויר שם כמקבילית‪,‬‬
‫והפאות הצדדיות מצוירות כמשולשים שאינם שוי‪-‬שוקיים‪ ,‬אך בדיון שלנו נתייחס לצורה האמיתית ולא‬
‫למה שמצויר‪(.‬‬
‫מרכז הבסיס‪ ,‬שהוא נקודת הפגישה של האלכסונים‪ ,‬מסומן ב‪ . M-‬הקטע ‪ ME‬הוא הגובה של הפירמידה‪,‬‬
‫ומטרתנו היא לחשב את אורכו‪.‬‬
‫‪E3‬‬
‫‪E‬‬
‫ציור א‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫ציור ב‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪E2‬‬
‫‪E4‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫‪ 3‬ס"מ‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E1‬‬
‫לצורך החישוב סימנו ב‪ N-‬את אמצע ‪ , BC‬לכן ‪ 1.5‬ס"מ = ‪.BN‬‬
‫אפשר להוכיח שגם ‪ 1.5‬ס"מ = ‪ ,MN‬ושהמשולש ‪ ENB‬הוא ישר זוית עם זוית ישרה ב‪ N-‬ושגם‬
‫המשולש ‪ EMN‬ישר זוית עם זוית ישרה ב‪ . M-‬לא נפרט כאן את ההוכחות‪ ,‬אך נשתמש בדברים האלה‬
‫כדי לחשב את גובה הפירמידה‪.‬‬
‫שלב א‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫לפי משפט פיתגורס ‪ BN + NE = BE‬כלומר‪1.52 + NE = 42 ,‬‬
‫תרגיל‪ :1‬השלם את חישוב ‪. NE‬‬
‫שלב ב‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫לפי משפט פיתגורס ‪ , NM + ME = NE‬ובעזרת זה ש‪ MN = 1.5 -‬ו‪ NE -‬ידוע מן השלב הקודם‪,‬‬
‫‪31‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫הנחיה‪ :‬הגובה מצויר במקווקו והוא צלע במשולש ישר‪-‬זוית ושוה‪-‬שוקיים‪ .‬תרגיל ‪ 10‬בסעיף ‪ 9‬התייחס למשולש‬
‫דומה‪.‬‬
‫‪ .9‬צלע אחת של מלבן היא בת ‪ 7‬ס"מ‪ .‬את הצלע הסמוכה‪ ,‬שהיא‬
‫בת ‪ 12‬ס"מ‪ ,‬חילקו לשלושה חלקים שוים‪ ,‬ואת קצות החלק‬
‫האמצעי חיברו אל קצות הצלע הנגדית‪ ,‬כבציור‪ .‬מה שטח המרובע‬
‫שהתקבל )המרובע הנקוד שבציור(?‬
‫‪ 7‬ס"מ‬
‫‪ 12‬ס"מ‬
‫‪ .10‬הציור שמשמאל הוא בקנה‪-‬מידה של ‪ ,1:2‬כלומר‪ ,‬כל משבצת‬
‫שבציור מיצגת משבצת שצלעה האמיתית היא בת סנטימטר אחד‪.‬‬
‫מצא את שטחו של המרובע הנקוד בשני אופנים‪ .‬פעם על‪-‬ידי חלוקתו‬
‫למשולשים ישרי‪-‬זוית‪ ,‬ופעם בעזרת חישוב השטחים "שנשארו בחוץ"‪.‬‬
‫‪30‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫בעזרת משפטנו זה נוכיח משפט על שטחו של כל משולש‪ ,‬לאו דווקא ישר‪-‬זוית‪.‬‬
‫משפט‪ :‬שטח משולש שווה למחצית המכפלה של גובה והבסיס המתאים‪.‬‬
‫ובאותיות‪ :‬אם ‪ a‬ו‪ h -‬הם בסיס וגובה של משולש ישר‪-‬זוית אז שטחו הוא ‪. ah‬‬
‫‪2‬‬
‫ההוכחה תתחלק לשני חלקים‪ .‬בחלק הראשון נוכיח את המשפט בשביל גובה פנימי ובחלק השני נוכיחו‬
‫בשביל גובה חיצוני‪.‬‬
‫כאשר הגובה הוא פנימי הוא מחלק את הבסיס ‪ a‬לשני חלקים שנסמנם ‪ p‬ו‪.q -‬‬
‫המשולש כולו מתחלק על‪-‬ידי הגובה לשני משולשים ישרי‪-‬זוית‪ ,‬ועל‪-‬פי‬
‫‪h‬‬
‫‪qh‬‬
‫‪ph‬‬
‫ו‪-‬‬
‫המשפט הקודם שטחיהם‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ph qh ph+qh (p+q)h ah‬‬
‫מכאן ששטח המשולש כולו הוא‬
‫‪.‬‬
‫= ‪+‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪.‬‬
‫נעבור למקרה שבו הגובה הוא חיצוני למשולש‪.‬‬
‫במקרה זה יהיה המשולש הנתון חלק ממשולש ישר זוית גדול‪,‬‬
‫שהגובה ‪ h‬הוא ניצב שלו והניצב האחר יסומן ‪ . p‬חלקו האחר של‬
‫המשולש הגדול אף הוא משולש ישר‪-‬זוית ו‪ h-‬הוא ניצב אחד שלו‪.‬‬
‫הניצב השני יסומן ‪ . q‬הפעם יהיה‬
‫‪ , a = p-q‬ושטח המשולש הנתון הוא‬
‫‪ph qh ph-qh (p-q)h ah‬‬
‫= ‪-‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪a‬‬
‫‪h‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪p‬‬
‫■‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫מה שטחו של משולש ישר‪-‬זוית שהיתר שלו בן ‪ 13‬ס"מ ואחד הניצבים בן ‪ 5‬ס"מ?‬
‫הנחייה‪ :‬מצא את אורך הניצב השני בעזרת משפט פיתגורס‪.‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫מה שטחו של משולש שוה‪-‬שוקיים ששוקיו בני ‪ 10‬ס"מ ובסיסו בן ‪ 6‬ס"מ? )עגל‬
‫מספרים לא שלמים לדיוק של שתי ספרות שאחרי הנקודה העשרונית‪(.‬‬
‫הנחייה‪ :‬חוצה זוית הראש מחלק אותו לשני משולשים ישרי‪-‬זוית חופפים‪ ,‬ושני‬
‫חלקי הבסים הם בני ‪ 3‬ס"מ‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫מה שטחו של משולש שוה‪-‬שוקיים ששוקיו בני ‪ 10‬ס"מ וגבהו בן ‪ 6‬ס"מ?‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫מה אורך הגובה‪-‬אל‪-‬היתר במשולש ישר זוית שניצביו בני ‪ 6‬ו‪ 8-‬ס"מ? )הגובה‬
‫המבוקש מסומן בציור ב‪.(h-‬‬
‫שלבי החישוב‪:‬‬
‫חשב את שטח המשולש‪ ,‬אחר‪-‬כך חשב את אורך היתר )מסומן בציור ב‪,(c-‬‬
‫‪c‬‬
‫‪8‬‬
‫‪h‬‬
‫ובהמשך השתמש בזה שהשטח שמצאת שווה ל‪. c ⋅ h -‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪ .8‬מה שטח המשולש שנתוניו מפורטים בציור?‬
‫‪0‬‬
‫‪45‬‬
‫‪ 22‬ס"מ‬
‫‪29‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫)‪ (10‬שטחי משולשים‬
‫מבוא‪ :‬גובה ובסיס במשולש‬
‫הגדרה‪ :‬בשם גובה של משולש קוראים לאנך מקדקוד של המשולש אל‬
‫הצלע שמולו‪ ,‬והצלע נקראת בסיס בשביל גובה זה‪.‬‬
‫גובה‬
‫בסיס‬
‫כל קדקוד של המשולש יכול לשמש נקודת מוצא לְגובה‪ .‬למטה משמאל דוגמה לבחירה נוספת של גובה‬
‫ובסיס למשולש שלעיל‪.‬‬
‫מימינו שרטוט המראה דבר נוסף‪ :‬לפעמים פוגש גובה את הישר של הבסיס מחוץ לבסיס עצמו‪ .‬לגובה כזה‬
‫נקרא גובה חיצוני‪.‬‬
‫ס‬
‫י‬
‫ס‬
‫גובה‬
‫ב‬
‫גובה‬
‫בסיס‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫גזור משולש‪-‬נייר שכל זוויותיו חדות )קטנות מ‪ ,(90 -‬קפל אותו באופן שהקפל יהיה גובה של המשולש‪,‬‬
‫ישר אותו‪ ,‬קפל שנית באופן שיתקבל גובה אחר‪ ,‬ישר וקפל קיפול שלישי שיתן גובה שלישי‪.‬‬
‫אם תעשה זאת בדייקנות תקבל ששלושת הגבהים נפגשים בנקודה אחת‪) .‬בעתיד נוכיח זאת‪(.‬‬
‫‪o‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫א‪ .‬מהמשפט האומר שחוצה זוית הראש במשולש שוה‪-‬שוקיים מחלק אותו לשני משולשים חופפים‪ ,‬נובע‬
‫שחוצה‪-‬זוית זה הוא גם גובה‪ .‬הסבר איך זה נובע!‬
‫ב‪ .‬אם הסברת זאת כהלכה הוכחת חלק ראשון של משפט המופיע בתרשים ההיסקים‪ .‬מצא שם את‬
‫המשפט וסמן ‪ v‬על‪-‬יד חלקו הראשון‪.‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫נכון או לא‪-‬נכון?‬
‫‪o‬‬
‫א‪ .‬למשולש בעל זוית גדולה מ‪ 90 -‬יש שני גבהים חיצוניים וגובה פנימי אחד‪.‬‬
‫ב‪ .‬גובה פנימי מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי‪-‬זוית‪.‬‬
‫ג‪ .‬אם קטע מחלק משולש לשני משולשים ישרי זוית אז הוא גובה‪.‬‬
‫ד‪ .‬במשולש ישר‪-‬זוית‪ ,‬כל ניצב הוא גובה‪ ,‬והבסיס בשבילו הוא הניצב השני‪.‬‬
‫ה‪ .‬גובה של משולש קצר מכל צלע‪.‬‬
‫שטח משולש‬
‫משפט‪ :‬שטח משולש ישר זוית שווה למחצית המכפלה של הניצבים‪.‬‬
‫ובאותיות‪ :‬אם ‪ a‬ו‪ b -‬הם ניצביו של משולש ישר‪-‬זוית אז שטחו הוא ‪. ab‬‬
‫‪2‬‬
‫משפט זה נובע מן המשפט על השלמת משולש ישר‪-‬זוית למלבן ומהמשפט‬
‫על שטחו של מלבן‪ .‬הבה נפרט את ההוכחה‪.‬‬
‫יהי נתון משולש ישר‪-‬זוית ‪ ABC‬שניצביו ‪ a‬ו‪) b -‬כבציור(‪.‬‬
‫נשלים אותו למלבן על‪-‬ידי משולש ‪ ABD‬החופף לו‪.‬‬
‫שטח המלבן הוא ‪ ab‬לכן שטח המשולש הוא ‪ab‬‬
‫‪2‬‬
‫■‬
‫‪28‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪b‬‬
‫‪B‬‬
‫‪o‬‬
‫‪C 90‬‬
‫‪a‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫תרגיל ‪7‬‬
‫סולם שאורכו ‪ 3‬מטר נשען על קיר‪ .‬רגלי הסולם הם במרחק ‪ 1‬מטר מהקיר‪ .‬לאיזה‬
‫גובה מגיע הסולם?‬
‫‪2‬‬
‫הנחייה‪ :‬סמן את הגובה המבוקש ב‪ ,h-‬מצא בעזרת משפט פיתגורס את ‪ h‬ולפיו מצא‬
‫את ‪. h‬‬
‫תרגיל ‪8‬‬
‫אלכסונו של מלבן הוא בן ‪ 10‬ס"מ ואורך צלע אחת הוא ‪ 8‬ס"מ‪ .‬מה אורך הצלע‬
‫השניה?‬
‫תרגיל ‪9‬‬
‫לפני שהעמידו תורן לדגל קשרו בו שלושה חבלים בגובה ‪ 4‬מטרים‪.‬‬
‫באיזה מרחק מו התורן יש לתקוע את היתדות אם אורך כל חבל הוא‬
‫‪ 7.3‬מטר‪ ,‬ו‪ 30-‬ס"מ מן החבל דרושים כדי לקשור אותו ליתד?‪.‬‬
‫תרגיל ‪10‬‬
‫היתר במשולש ישר‪-‬זוית ושוה‪-‬שוקיים הוא בן ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫א‪ .‬מצא ללא שימוש במקש‪-‬השורש אם השוקיים גדולות‪ ,‬קטנות או שוות ל‪ 3.5 -‬ס"מ ?‬
‫ב‪ .‬מצא את את אורך השוק )בעזרת מקש השורש(‪.‬‬
‫תרגיל ‪11‬‬
‫אורכו של חדר ‪ 6‬מטר‪ ,‬רוחבו ‪ 4‬מטר וגבהו ‪ 3‬מטר‪.‬‬
‫מה אורך האלכסון שלו? )אלכסון שבאויר(‬
‫הנחיה‪ :‬מצא תחילה את אלכסון הריצפה‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪6‬‬
‫תרגיל ‪12‬‬
‫נמק את הטענה הבאה‪:‬‬
‫אנך מנקודה לישר קצר מכל קטע אחר מהנקודה לישר‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫טענה זאת מופיעה כמשפט בתרשים ההיסקים‪ .‬מצא אותה שם וסמן ‪. v‬‬
‫‪a‬‬
‫‪C‬‬
‫‪27‬‬
‫‪90o‬‬
‫‪B‬‬
‫‪3‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫ציור‬
‫א‬
‫‪b‬‬
‫‪b2‬‬
‫ציור‬
‫ב‬
‫‪a‬‬
‫‪c2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫גם ‪ c2‬וגם ‪ a2+b2‬שווים אפוא למה שנותר משטח הריבוע שצלעו‪ a+b‬אחרי סילוק ארבעה עותקים של‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫המשולש הנתון‪ ,‬לכן ‪■ a +b =c‬‬
‫הערה‪ :‬בתרשים ההיסקים יש ארבעה חיצים המוליכים אל משפטנו‪ .‬האחד יוצא מן המשפט על‬
‫שטח מלבן‪ ,‬והוא נותן לנו ששטח הריבוע שצלעו ‪ c‬הוא ‪ ,c2‬וכן לריבועים האחרים‪ .‬חץ שני בא‬
‫מהמשפט האומר שמרובע בעל שלוש זויות ישרות הוא מלבן‪ ,‬וכאן הוא נותן את התחלקות ציור ב‬
‫למלבנים‪ .‬חץ שלישי בא ממשפט החפיפה צז"צ והוא נותן את החפיפות של שמונה המשולשים‬
‫ישרי הזוית שבציורים למשולש הנתון‪.‬‬
‫חץ רביעי בא מהמשפט על סכום הזויות במשולש‪ .‬משפט זה הופיע יחד עם משפט החפיפה צז"צ‬
‫בהוכחת המשפט על ריבוע החסום בריבוע )ציור א(‪ .‬כל חשיבותו של המשפט ההוא היא בתרומתו‬
‫להוכחת משפטנו הנוכחי‪ ,‬לכן לא הכנסנו את המשפט ההוא לתרשים‪ ,‬ואנו מסתכלים על הוכחתו‬
‫כעל חלק מהוכחת משפטנו‪ .‬לכן אנו מתיחסים אל המשפט על סכום הזויות במשולש כאל שותף‬
‫בהוכחת משפטנו‪.‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫בציור שלהלן קטעים מלאים וקטעים מקווקוים‪ .‬הקטעים המלאים הם באורך ‪ 1‬אינץ' כל אחד‪ .‬הזויות‬
‫המסומנות בקשתות קטנות הן ישרות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ממשפט פיתגורס נובע ש‪ x = 1 +1 = 1+1=2 -‬לכן ‪ .x= 2 =1.414‬שימוש נוסף במשפט פיתגורס יתן‬
‫ש‪. y2 = x2+12= 2+1=3 -‬‬
‫א‪ .‬מצא את ‪. y‬‬
‫ב‪ .‬מצא את ‪ z2‬ואחר‪-‬כך את ‪ z‬והשוה עם הציור‪.‬‬
‫ג‪ .‬עוד כמה צעדים דומים נגיע שוב ליתר שאורכו מספר שלם?‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫תרגיל ‪6‬‬
‫במשולש ישר זוית ניצב אחד בן ‪ 10‬ס"מ וחברו בן ס"מ אחד‪ .‬בכמה ארוך היתר מן הניצב הגדול? )בפחות‬
‫מחצי מילימטר!(‬
‫‪26‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫)‪ (9‬משפט פיתגורס‬
‫מבוא ראשון – שורשים‬
‫את העובדה ש‪ 32=9 -‬כותבים גם בצורה ‪ 9 = 3‬ובמלים‪ " :‬שורש ‪ 9‬שווה ‪" 3‬‬
‫דוגמה נוספת‪ 16 = 4 :‬כי ‪. 42=4.4=16‬‬
‫אך יש גם מספרים שלמים שהשורש שלהם אינו מספר שלם‪ .‬למשל‪ 2< 5 <3 ,‬כי‬
‫‪ 22=4<5‬ואילו ‪. 32=9>5‬‬
‫כמעט כל מחשבון מכיל מקש‪-‬שורש‪ ,‬ובעזרתו אפשר לקבל ש‪5 = 2.2360679… -‬‬
‫אך בחישובים שנערוך כאן נסתפק בדיוק של אלפיות בלבד‪ ,‬כלומר‪ ,‬נכתוב ‪. 5 = 2.236‬‬
‫בהמשך‪ ,‬אחרי שנלמד נושא שאצלו יש לשורשים חשיבות גדולה‪ ,‬נרבה בתרגילים על שורשים‪ .‬כרגע‬
‫נסתפק בתרגיל אחד המחייב היכרות עם מקש‪-‬השורש במחשבון‪:‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫מצא את ‪ 7 + 13‬ואת ‪ . 7 + 13‬האם הם שוים? אם לא‪ ,‬מי הגדול שבשניהם?‬
‫משפט פיתגורס‬
‫אם ‪ a‬ו‪ b -‬הם הניצבים במשולש ישר זוית ו‪ c -‬הוא היתר‬
‫אז ‪. a2+b2=c2‬‬
‫להלן נוכיח משפט זה‪ ,‬אך לפני‪-‬כן נתרגל את השימוש בו וגם נבדוק את נכונות‬
‫המסקנות מן המשפט‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫ובכן‪ ,‬אם נשרטט משולש ישר‪-‬זוית עם ניצבים באורך ‪ 3 = a‬ס"מ ו‪ 4= b -‬ס"מ ונסמן את היתר ב‪ c-‬אז‬
‫על פי המשפט יהיה ‪ c2 = 32+42=9+16=25‬לכן ‪. c=5‬‬
‫תרגיל ‪ 2‬שרטט על ניר משובץ משולש ישר זוית עם ניצבים ‪ 3‬ו‪ 4-‬ובדוק אם היתר אמנם שווה ‪. 5‬‬
‫אם ניצביו של משולש ישר זוית הם בני ‪ 5‬ס"מ ו‪ 6 -‬ס"מ אז חישוב היתר )נקרא לו ‪ (c‬יהיה כך‪:‬‬
‫‪ , c2 = 52+62=25+36=61‬לכן ‪. c = 61 = 7.810‬‬
‫תרגיל ‪ 3‬שרטט על ניר משובץ ובדוק‪.‬‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫על ניר משובץ שרטט משולש ישר זוית שניצביו ‪ 12‬ו‪) 5-‬סנטימטרים או חצאי‪-‬סנטימטרים‪ ,‬כרצונך(‪.‬‬
‫חשב את אורך היתר ובדוק בשרטוטך‪.‬‬
‫הוכחת המשפט‪:‬‬
‫נשרטט שני עותקים של ריבוע שאורך צלעו ‪.a+b‬‬
‫את צלעות האחד נחלק לחלקים ‪ a,b,a,b,a,b,a,b‬בסדר מעגלי כבציור א ונחבר את נקודות החלוקה‪ .‬נקבל‬
‫את המצב שעליו מדבר המשפט על ריבוע חסום בריבוע שהוכחנו בעבר‪ .‬על‪-‬פי משפט זה יתחלק הריבוע‬
‫שלנו לריבוע פנימי שצלעו ‪ c‬ולארבעה משולשים החופפים למשולש‪-‬ישר‪-‬הזוית הנתון‪ .‬שטח הריבוע‬
‫הפנימי הוא ‪. c2‬‬
‫בעותק השני נקצה על שתי צלעות שכנות‪ ,‬על‪-‬יד הקדקוד המשותף‪ ,‬קטעים באורך ‪ , a‬ונעלה שם אנכים‬
‫לצלעות‪ ,‬כבציור ב‪ .‬האנכים יחלקו את הריבוע שלנו למלבנים ששנים מהם הם ריבועים ששטחיהם ‪ a2‬ו‪-‬‬
‫‪ , b2‬ואלכסונים יחלקו את המלבנים האחרים למשולשים החופפים למשולש‪-‬ישר‪-‬הזוית הנתון‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫‪ .10‬נתונה תיבה )כל פיאותיה הם מלבנים( ומידותיה‬
‫כבציור‪.‬‬
‫א‪ .‬מה שטח פניה )כלומר‪ ,‬שטחם הכולל של המלבנים‬
‫היוצרים אותה(?‬
‫ב‪ .‬כמה קוביות שאורכן‪ ,‬רוחבן וגובהן הוא ס"מ אחד‪ ,‬יכסו‬
‫את תחתית התיבה? )את המלבן הנקוד‪ .‬בציור הוא נראה‬
‫מקבילית אך במבט מלמעלה הוא יראה מלבן(‬
‫ג‪ .‬כמה קוביות כאלה ימלאו את התיבה?‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫‪ 7‬ס"מ‬
‫‪ 20‬ס"מ‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪ .11‬א‪ .‬הגדילו כל צלע של מלבן פי ‪ .2‬פי כמה גדל שטחו?‬
‫ב‪ .‬הגדילו כל צלע של מלבן פי ‪ .3‬פי כמה גדל שטחו?‬
‫‪ .12‬דונם הוא שטח בן ‪ 1000‬מ"ר‪ .‬כמה דונמים בשדה מלבני שאורכו ‪ 300‬מטר ורחבו ‪ 200‬מטר?‬
‫‪ .13‬שטח ריבועי שארכו ורוחבו ‪ 8.5‬מטר הוקדש לגן‪-‬ירקות וחולק לשבילים ולערוגות בדרך הבאה‪ :‬שביל‬
‫היקפי שרחבו ‪ 1‬מטר מקיף את תחום הערוגות מארבעת צדדיו‪ ,‬שביל ברוחב ‪ 0.5‬מטר כל אחד חוצה את השטח‬
‫הנותר מאמצע צלע אל אמצע הצלע הנגדית‪ ,‬ושלושה שבילים נוספים‪ ,‬גם הם ברוחב ‪ 0.5‬מטר‪ ,‬ניצבים לשביל‬
‫זה במרחקים שווים באופן שמתקבלות שמונה ערוגות‪.‬‬
‫א‪ .‬שרטט את השטח הכולל ואת השבילים על ניר‪-‬משבצות באופן שסנטימטר אחד שבציור מייצג מטר אחד‬
‫בקרקע‪.‬‬
‫ב‪ .‬שרטט מחדש את השטח הכולל ואת הערוגות בלבד‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהו השטח של כל הערוגות ומהו שטח השבילים?‬
‫‪ .14‬רצף מרצף מדרכה במרצפות ריבועיות שאורך צלען אמה אחת‪ .‬חלק מן המרצפות הן‬
‫כהות‪ ,‬חלקן בהירות וחלקן נחצות על‪-‬ידי אלכסון למשולש כהה ומשולש בהיר כבציור זה‪:‬‬
‫קטע של המדרכה כלל שני ריבועים כהים שצלעם אמה וריבוע כהה יותר גדול‪,‬‬
‫כבציור התחתון‪.‬‬
‫א‪ .‬נמק את הטענה ששטח הריבוע הכהה הגדול שוה לסכום שטחי שני‬
‫הריבועים הכהים הקטנים‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬האם צלעו של הריבוע הכהה הגדול גדולה או קטנה מ‪ 1 /2 -‬אמות ?‬
‫ג‪ .‬האם היא גדולה או קטנה מ‪ 12/5 -‬אמות?‬
‫‪24‬‬
‫‪ 1‬אמה‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫נחלק את הצלע הקצרה ל‪ 2-‬קטעים שאורך כל אחד ‪ , 1/3‬נחלק את הצלע הגדולה ל‪ 7-‬חלקים‬
‫שאורך כל אחד ‪ 1/4‬ונעביר אנכים כבציור שלעיל ‪ ,‬ואז יתחלק המלבן ל‪ 2-‬שורות בנות ‪7‬‬
‫‪1 1 2 7‬‬
‫‪1 1‬‬
‫מלבנים ששטחו של כל אחד הוא ⋅ ‪ ,‬לכן שטח כל המלבן הוא ⋅ =‬
‫‪3 4 3 4‬‬
‫‪3 4‬‬
‫⋅ ⋅‪. 2⋅7‬‬
‫דוגמתנו האחרונה תהיה מלבן שצלעותיו ‪ a = 2 2‬ו‪) . b =1 1 -‬הדוגמה אינה מכילה שום רעיון חדש‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫שלא הופיע בדוגמה הקודמת(‬
‫נכתוב את הצלעות בצורה ‪ a = 12‬ו‪ b = 3 -‬ונַראה ששטח המלבן הוא ‪. ab = 12 ⋅ 3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5 2‬‬
‫‪2‬‬
‫לשם כך נחלק את ‪ a‬ל‪ 12-‬חלקים שאורך כל אחד‪ 1/5‬ס"מ ואת ‪ b‬נחלק ל‪3-‬‬
‫חלקים בני ‪ 1/2‬ס"מ ונשלים רשת מלבנים‪ .‬נקבל ‪ 3‬שורות שבכל אחת ‪12‬‬
‫מלבנים‪ ,‬ושטחו של כל אחד ‪ . 1 ⋅ 1‬השטח הכללי הוא אפוא ‪. 3 ⋅12 ⋅ 1 ⋅ 1‬‬
‫‪2 5‬‬
‫‪2 5‬‬
‫על החישובים האלה ניתן לחזור גם אצל ערכים אחרים של ‪ a‬ו‪. b -‬‬
‫בסך הכל קיבלנו ממשפט רשת המלבנים את משפט שטחי המלבנים‪ :‬שטחו של מלבן שווה למכפלת‬
‫האורכים של שתי צלעותיו‪) .‬ראה תרשים(‪.‬‬
‫הערה‪ :‬לאורך כל הדיון מדדנו קטעים בסנטימטרים ושטחים בסנטימטרים‪-‬רבועים‪ .‬כל מה שעשינו‬
‫ישאר בתקפו גם אם נמדוד קטעים במטרים ושטחים במטרים רבועים‪ ,‬גם אם נמדוד קטעים באמות‬
‫ושטחים באמות‪-‬רבועות וכדומה‪ ,‬ובלבד שיחידת המידה לשטח תהיה ריבוע שצלעו כיחידת המידה‬
‫לאורך‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪5‬א‪ .‬בבריטניה ובארה"ב נהוגה גם יחידת מידה לאורך הנקראת אִ ינְץ' )‪ .(Inch‬אורכה הוא ‪ 2.5‬ס"מ‬
‫בקירוב ‪ .‬שרטט אינץ'‪-‬רבוע על ניר משבצות ומצא את שטחו בסמ"ר‪ .‬חשב גם לפי משפט שטחי‬
‫המלבנים‪.‬‬
‫‪5‬ב‪ .‬ערך מדויק של אינץ' הוא ‪ 2.54‬ס"מ‪ .‬מהו הערך המדויק של אינץ'‪-‬רבוע?‬
‫‪ .6‬מה שטח מלבן שצלעותיו ‪ 7 1‬ו‪ 5 2 -‬ס"מ?‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .7‬נתון מלבן שצלעותיו ‪ 5‬ו‪ 11 -‬ס"מ‪ .‬הראה על‪-‬ידי חישוב ששטחו גדול משטח ריבוע שצלעו ‪ 7‬ס"מ‬
‫אך קטן משטח ריבוע שצלעו ‪ 8‬ס"מ‪.‬‬
‫חשב את שטחי הריבועים שצלעם ‪ 7.1‬ס"מ ‪ 7.2 ,‬ס"מ‪ 7.3 ,‬ס"מ וכן הלאה‪ ,‬עד שתגיע לשני ריבועים‬
‫ששטח המלבן שלעיל נמצא ביניהם‪.‬‬
‫‪ .8‬האם נכון שאם ארבע צלעותיו של ריבוע הן בנות ‪ a‬ס"מ אז שטחו ‪ a.a‬סמ"ר ? נמק!‬
‫‪ .9‬במקום ‪ a.a‬כותבים גם ‪ a2‬וקוראים זאת "‪ a‬בַּריבוע"‪ .‬לדוגמה‪. 52=5.5=25 ,‬‬
‫מה יותר גדול‪ 7 ,‬או ‪ ? 72‬מה יותר גדול‪ 1 ,‬או‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪( 3‬‬
‫‪ ? 1‬מה יותר גדול‪ 5 ,‬או‬
‫‪23‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪(4‬‬
‫‪? 5‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫רבועות?‬
‫ג‪ .‬האם ריבוע שצלעו ‪ 70‬אמות גדול בשטחו מחצר המשכן או קטן ממנו?‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫נתון מלבן שצלעותיו ‪ 4‬ס"מ ו‪ 9-‬ס"מ‪ .‬מה אורך צלעו של ריבוע ששטחו שווה לשטח המלבן הנתון?‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫בתרשים שמשמאל חצר‪ ,‬בית ושביל‪-‬כניסה‪ .‬המספרים‬
‫מציינים אורכים במטרים‪.‬‬
‫מה שטח החצר במטרים רבועים )מ"ר( ?‬
‫מה שטח הבית ומה שטח השביל?‬
‫בעל הבית מתכוון לרצף ‪ 60‬מ"ר משטח החצר הנותר‬
‫)לסוכה בחג הסוכות‪ ,‬לכדור‪-‬סל בשאר השנה(‪ ,‬ובשאר‬
‫השטח יטע עצי‪-‬פרי‪ .‬בכוונתו להקצות לכל עץ בממוצע ‪8‬‬
‫מ"ר )זה צפוף מדי בשביל מטע כלכלי אך סביר כאשר‬
‫הגיוון חשוב יותר מכמות הפרי(‪.‬‬
‫כמה עצים יוכל לטעת?‬
‫‪24‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪22‬‬
‫‪33‬‬
‫צלעות באורכים הניתנים במספרים לא שלמים‬
‫האם הנוסחה ‪ ab‬נותנת את שטחו של מלבן שצלעותיו ‪ a‬ו‪ b -‬גם כאשר ‪ a‬ו‪ b-‬אינם מספרים שלמים?‬
‫בכוונתנו להראות שהנוסחה תקפה תמיד‪ ,‬אך תחילה נעסוק במקרה אחד‪ ,‬שאצלו ‪ a = 1‬ו‪. b = 1 -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫הבה נתבונן בריבוע שצלעותיו ס"מ אחד‪ ,‬נחלק צלע אחת לשני חצאים ואת חברתה‬
‫לשלושה שלישים‪ ,‬ונעלה אנכים כבמשפט רשת המלבנים‪.‬‬
‫נקבל ששה מלבנים חופפים‪ ,‬לכן שטחו של כל אחד הוא ‪ 1/6‬וזה אומר שנוסחת שטח‬
‫המלבן תקפה גם כשאורכי הצלעות הם ‪ 1/2‬ו‪. 1/3 -‬‬
‫הדוגמה הבאה שונה מהדוגמה הקודמת רק בפרטים שאינם משנים את מהלך המחשבה‪ .‬בדוגמה זאת‬
‫נעסוק במלבן שצלעו האחת ‪ 1/7‬ס"מ וצלעו השניה ‪ 1/3‬ס"מ‪ ,‬כמו המלבן הכהה שבפינת‬
‫הציור הבא‪ .‬בעזרת רשת‪-‬מלבנים נמצא שריבוע שצלעותיו בנות ‪ 1‬ס"מ מתחלק ל‪3-‬‬
‫שורות שבכל אחת ‪ 7‬מלבנים כאלה‪ .‬מספרם הכולל הוא ‪ 3.7=21‬וכולם חופפים‪ ,‬לכן‬
‫שטח כל אחד הוא ‪ . 1/21‬גם הפעם שווה אפוא השטח למכפלת האורכים של הצלעות‪.‬‬
‫שים לב לכך שמה שעשינו כאן אינו רק שתי בדיקות שכל אחת טובה רק בשביל המלבן שעליו היא‬
‫מדברת‪ .‬למעשה היצגנו שיקול שהוא בתוקף לכל מקרה שבו צלע אחת היא ‪ 1/m‬ס"מ וצלע שניה היא‬
‫‪ 1/n‬ס"מ )עם ‪ m‬ו‪ n-‬מספרים שלמים(‪.‬‬
‫הדוגמה הבאה תתן צעד נוסף לכיוון ההוכחה הכללית‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫יהי נתון מלבן שצלעו האחת‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫וצלעו השניה ‪ 1‬ס"מ‪ ,‬כלומר ס"מ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫ס" מ‬
‫‪1 1‬‬
‫⋅‬
‫‪3 4‬‬
‫)מטעמי נוחיות הוא משורטט כאן‬
‫בהגדלה‪ ,‬בקנה מידה של ‪( 4:1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪22‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫תלמידים התבקשו לחלק מלבן נתון )שאינו ריבוע( לששה מלבנים חופפים‪ ,‬והם עשו זאת בארבעה‬
‫אופנים שונים כמודגם בציורים הבאים‪.‬‬
‫א‪ .‬הסבר‬
‫מדוע אין‬
‫דרך נוספת‬
‫לעשות‬
‫זאת‪.‬‬
‫ב‪ .‬בכמה אופנים ניתן לחלק את המלבן ל‪ 9-‬מלבנים חופפים?‬
‫ג‪ .‬בכמה אופנים ניתן לחלק אותו ל‪ 7-‬מלבנים חופפים?‬
‫ד‪ .‬בכמה אופנים ניתן לחלקו ל‪ 15-‬מלבנים חופפים?‬
‫ה‪ .‬בכמה אופנים ניתן לחלקו ל‪ 12-‬מלבנים חופפים?‬
‫)‪ (8‬שטח מלבן‬
‫סנטימטר‪ ,‬הנכתב בקצרה ס"מ‪ ,‬הוא יחידת‪-‬מידה למדידת אורך של קטע‪ .‬מידתה היא כך‪:‬‬
‫עשירית הס"מ נקראת מילימטר ונכתבת מ"מ‪ .‬מטר אחד הוא ‪ 100‬ס"מ‪.‬‬
‫במחברות המשובצות‪" ,‬מחברות‪-‬חשבון" הנהוגות בארץ‪ ,‬אורך כל משבצת הוא חצי ס"מ‪.‬‬
‫מרצפת‪-‬ריצפה מן הסוג השכיח ביותר בארץ היא באורך ‪ 20‬ס"מ‪ ,‬אך מצויות גם מרצפות באורך ‪30‬‬
‫ס"מ‪.‬‬
‫שטחים נמדדים בין השאר בסנטימטרים‪-‬רבועים‪ .‬סנטימטר‪-‬רבוע נכתב בקצרה סמ"ר‪ ,‬והוא‬
‫מידת שטחו של ריבוע שכל צלע שלו היא בת ס"מ אחד‪ .‬ראה משמאל‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫אם נתון מלבן שצלעו האחת בת ‪ 5‬ס"מ וצלעו השניה בת ‪ 4‬ס"מ )כמודגם למטה בקו עבה(‬
‫נוכל לחלק את צלעותיו לקטעים בני ס"מ אחד ולהעביר אנכים‬
‫בנקודות החלוקה‪ ,‬ועל‪-‬פי משפט רשת המלבנים יחולק המלבן‬
‫שלנו למלבנים שכולם ריבועים בני סמ"ר אחד‪.‬‬
‫אפשר לספור אותם ולראות שמספרם ‪ .20‬במקום לספור את‬
‫כולם נשים לב לכך שהם מסודרים ב‪ 4-‬שורות בנות ‪ 5‬ריבועים‬
‫כל אחת‪ ,‬או ב‪ 5-‬עמודים בני ‪ 4‬ריבועים כל אחד‪ ,‬ולכן מספרם‬
‫הכולל הוא ‪ . 4 ⋅ 5 = 20‬המלבן כולל אפוא ‪ 20‬ריבועים בני‬
‫סמ"ר אחד לכן שטחו ‪ 20‬סמ"ר‪.‬‬
‫בדרכנו אל המסקנה ששטח המלבן שלעיל הוא ‪ 20‬סמ"ר לא השתמשנו בשום תכונה מיוחדת של‬
‫המספרים ‪ 4‬ו‪ 5-‬אלא רק בזה שהם מספרים שלמים ומכפלתם ‪ .20‬באותה דרך אפשר לקבל בשביל כל‬
‫‪ a‬ו‪ b-‬שלמים‪ ,‬שאם צלע אחת של מלבן היא בת ‪ a‬ס"מ וצלעו השניה בת ‪ b‬ס"מ אז שטחו ‪ ab‬סמ"ר‪.‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫א‪ .‬מה שטחה של מרצפת ריבועית שצלעה ‪ 20‬ס"מ?‬
‫ב‪ .‬כמה סמ"ר במטר רבוע?‬
‫ג‪ .‬למי שטח יותר גדול‪ ,‬למלבן שצלעותיו ‪ 7‬ו‪ 9-‬ס"מ או למלבן ששתי צלעותיו ‪ 8‬ס"מ )ריבוע( ?‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫א‪ .‬בתנ"ך ובתלמוד משמשת אמה כיחידת מידה לאורך‪ .‬גודלה הוא ממרפק ועד קצות האצבעות של‬
‫אדם ממוצע‪ ,‬ומקובל לחשוב אותה ל‪ 48-‬ס"מ‪ .‬כמה סמ"ר באמה רבועה?‬
‫ב‪ .‬חצר המשכן )אוהל מועד( היתה מלבן שאורכו ‪ 50‬אמה ורחבו ‪ 100‬אמה‪ .‬מה היה שטחה באמות‪-‬‬
‫‪21‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫ההוכחות בשביל מרובע ז‪ ,‬בשביל מרובע ח וגם בשביל כל שאר המרובעים שלא סומנו באותיות‪,‬‬
‫דומות להוכחה בשביל ז‪.‬‬
‫בסך הכל הוכחנו אפוא שניצבים לשוקי זווית ישרה החותכים אותם במרחקים שווים יוצרים רשת‬
‫מלבנים‪.‬‬
‫בשלב הבא נראה שכל המלבנים האלה חופפים‪.‬‬
‫בציור א סומן ב‪ a-‬האורך המשותף לקטעי שוק אחת של הזוית הישרה‪ .‬כל הקטעים האלה הם צלעות‬
‫של מלבנים‪ ,‬לכן גם הצלעות הנגדיות להם שוות ל‪ .a-‬זה מיוצג בציור ג על‪-‬ידי שורת החיצים‬
‫התחתונה‪ .‬שורת החיצים שמעליה מראה איך נקבל עוד שורת צלעות השוות ל‪ ,a-‬וכן הלאה עד למעלה‪.‬‬
‫בדרך דומה‪ ,‬כמודגם בציור ד‪ ,‬נקבל את שוויון הצלעות האחרות ל‪.b-‬‬
‫ציור ג‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫ציור ד‬
‫בזאת הוכח שכל המלבנים הנ"ל חופפים זה לזה‪.‬‬
‫לשלב השלישי של הדיון ברשת המלבנים נקדים הגדרה )שמן הסתם אינה חדשה(‪:‬‬
‫מלבן שגם צלעותיו הסמוכות שוות‪ ,‬כלומר‪ ,‬כל ארבעת צלעותיו שוות זו לזו‪ ,‬נקרא ריבוע‪.‬‬
‫)מלבן הוא מרובע מסוג מיוחד‪ .‬ריבוע הוא מלבן מסוג מיוחד‪(.‬‬
‫אם אחד המלבנים שברשת שעליה דיברנו הוא ריבוע‪ ,‬אז ‪ ,a=b‬ולכן כל המלבנים שברשת הם‬
‫ריבועים‪ .‬נצרף זאת למה שהוכחנו לעיל‪ ,‬ונכתוב משפט מאוחד‪.‬‬
‫משפט רשת המלבנים‪ :‬ניצבים לשוקי זווית ישרה החותכים אותם במרחקים שווים יוצרים רשת‬
‫מלבנים חופפים‪ ,‬ואם אחד מהם ריבוע אז כולם ריבועים‪.‬‬
‫שים לב לכך שלכל אורך ההוכחה הסתמכנו רק על המשפט האומר שאם במרובע שלוש זויות ישרות‬
‫אז הוא מלבן )כלומר‪ ,‬גם הזוית הרביעית ישרה‪ ,‬וכל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו(‪ .‬לך אפוא אל‬
‫תרשים ההיסקים שבסוף החוברת‪ ,‬מצא שם את משפטנו ואת החץ המוליך אליו‪ ,‬וסמן ‪ v‬על‪-‬יד המשפט‪.‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫בציור שמשמאל זוית ישרה )בקו עבה(‪ ,‬וישרים הניצבים לשוק‬
‫אחת שלה וישרים הניצבים לשוק השניה‪ ,‬אך המרחקים שבין‬
‫נקודות המפגש עם השוקיים אינם שוים‪.‬‬
‫האם גם המרובעים המתקבלים כאן הם מלבנים?‬
‫האם הם חופפים?‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫צלע אחת של מלבן גדול חולקה ל‪ 9-‬חלקים שווים והצלע השכנה חולקה ל‪ 11-‬חלקים שווים‪ .‬בנקודות‬
‫החלוקה העבירו אנכים לצלעות‪ .‬לכמה מלבנים חופפים קטנים חולק המלבן הגדול?‬
‫‪20‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫)‪ (7‬רשת מלבנים‬
‫תהי נתונה זוית ישרה‪ .‬נקצה בזה אחר זה קטעים שוים על השוק האחת שלה ונקצה קטעים שוים גם על‬
‫השוק האחרת‪ .‬אורך כל אחד מהקטעים שעל השוק האחת יסומן ‪ ,a‬ואורך כל קטע שעל חברתה יסומן‬
‫‪) b‬כבציור א(‪.‬‬
‫בנקודות החלוקה שעל כל אחת משתי השוקיים נשרטט אנכים לאותה שוק )כבציור ב( ולצורך המשך‬
‫הדיון נסמן חלק מהמרובעים שהתקבלו באותיות א עד ח‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫ח‬
‫ה‬
‫‪b‬‬
‫ז‬
‫ו‬
‫ד‬
‫‪b‬‬
‫ג‬
‫ב‬
‫א‬
‫‪b‬‬
‫ציור א‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ציור ב‬
‫בכונתנו להוכיח שכל המרובעים המתקבלים בדרך זו הם מלבנים חופפים )גם אלה המסומנים באותיות‬
‫גם אלה שאינם מסומנים וגם אלה שהיו מתקבלים אילו המשכנו את הבניה ימינה ולמעלה(‪ .‬בשלב‬
‫ראשון נוכיח שהם מלבנים ורק אחר‪-‬כך נוכיח שהם חופפים‪.‬‬
‫יותיו ‪ˆ1‬א ‪ˆ 2 ,‬‬
‫נתבונן תחילה במרובע א )בציור המוגדל שמשמאל( ונסמן את זוו א‬
‫וכו' )כדי להבדילם במ‪ ˆ1 -‬וכדומה‪ ,‬שבמרובעים אחרים(‪.‬‬
‫א ‪ ˆ1‬היא ישרה שהרי זו הזוית שהיתה נתונה בתחילה‪.‬‬
‫א ‪ ˆ 2‬או‪ ˆ 3 -‬הן ישרות כי הישרים שהוספנו )בציור ב( הם אנכים לשוקי הזוית‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫א‬
‫‪a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1‬‬
‫הנתונה‪.‬‬
‫על פי המשפט על מרובע שיש לו שלוש זויות ישרות‪ ,‬המרובע א הוא מלבן‪.‬‬
‫נעבור להתבונן במרובע ב‪.‬‬
‫ב ‪ ˆ1‬בו‪ ˆ 2 -‬ישרות לפי הבניה‪.‬‬
‫כי ‪ ˆ 4‬ישרה‪.‬‬
‫ב ‪ ˆ 3‬ישרה א‬
‫לפי המשפט שהזכרנו לעיל מרובע ב הוא מלבן‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫ב‬
‫‪43‬‬
‫א‬
‫‪21‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫באופן דומה נקבל‪ ,‬כעת‪ ,‬שגם מרובע ג הוא מלבן‪ ,‬וכן לשאר המרובעים שלאורך השוק התחתונה של‬
‫הזוית הנתונה בציור א‪.‬‬
‫ההוכחה שמרובע ד הוא מלבן תהיה דומה להוכחה בשביל מרובע ב‪ .‬מזה נמשיך למרובע ה‪ ,‬וכן הלאה‬
‫לאורך השוק השמאלית של הזוית הנתונה בציור א‪.‬‬
‫נעבור אל מרובע ו‪ ,‬והפעם נשתמש הן במה שכבר הוכחנו על‬
‫מרובע ב והן במה שכבר הוכחנו על‪-‬ד‪.‬‬
‫ו ‪ˆ1‬ו ו‪ ˆ2 -‬ישרות בכי ‪ ˆ 3‬וב‪ ˆ 4 -‬ישרות ‪.‬‬
‫כי ‪ ˆ4‬ישרה‪.‬‬
‫ו ‪ ˆ3‬ישרה ד‬
‫לכן ו מלבן‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 3‬‬
‫ד‬
‫ו‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫ב‬
‫‪21‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫תרגיל ‪4‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא גם ישר‪-‬זוית וגם שווה‪-‬שוקיים‪.‬‬
‫הצלע ‪ AB‬היא היתר שלו כאשר מסתכלים עליו כעל ישר‪-‬‬
‫זוית ‪ ,‬והיא הבסיס שלו כאשר מסתכלים עליו כעל שוה‪-‬‬
‫שוקיים‪ .‬מצא את מידתה של כל אחת מזוויותיו‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫תרגיל ‪5‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬הוא משולש שוה‪-‬שוקיים "מכל צד"‪ ,‬כלומר‪,‬‬
‫‪ . CA = BC = AB‬משולש כזה נקרא "משולש שוה צלעות"‪ .‬הסבר‬
‫איך נובע מכאן שכל אחת מזויותיו היא בת ‪. 60o‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫נספח‪ :‬מהאמור בתרגיל ‪ 5‬אפשר להסיק שהיקף‬
‫מעגל גדול יותר מפי שלושה מהקוטר‪ .‬דרך ההיסק‪ :‬נצא מנקודה שעל המעגל‬
‫ובסיוע קשתות שמחוגן כמחוג המעגל נבנה בזה אחר זה משולשים שווי צלעות‬
‫כבציור‪ .‬נקבל סגירה מדויקת כי הזוויות בנות ‪ .600‬היקף המשושה קטן מהיקף‬
‫המעגל‪.‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪ .6‬חיברו את אמצע צלעו של מלבן עם שתי הקצוות של הצלע הנגדית‪ .‬צייר דוגמה על דף משובץ‪ ,‬והוכח‬
‫שהתקבל שם משולש שוה שוקיים‪.‬‬
‫‪ .7‬חידה‪ :‬שלושת המשולשים א‪ ,‬ב ו‪ -‬ב‪+‬א הם שוי שוקיים‪ .‬מה גודל כל זוית‬
‫שלהם?‬
‫)אין להשתמש במד‪-‬זוית כי הציור אינו מדוייק(‬
‫ב‬
‫א‬
‫*‪ .8‬להלן הוכחה שאם הצלע ‪ AB‬שבמשולש ‪ ABC‬קטנה מהצלע ‪ AC‬אז ˆ‪ B‬גדולה מ‪. Cˆ -‬‬
‫השלם את החלקים החסרים‪.‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬מצויר משמאל בקו עבה‪ .‬והזויות ˆ‪ B‬ו‪ Cˆ -‬מסומנות ב‪ 1-‬ו‪2-‬‬
‫‪A‬‬
‫‪.‬‬
‫על המשך ‪ AB‬נסמן נקודה ‪ D‬כך ש‪ ,AD=AC -‬נחבר אותה עם ‪ C‬ונסמן את‬
‫הזויות המתקבלות ב‪ 3-‬ו‪ 4-‬כבציור‪.‬‬
‫ˆ‬
‫ˆ‪ 3‬גדולה מ‪ 2ˆ -‬כי הנקודה ‪ D‬היא מחוץ ל‪. 2 -‬‬
‫_____ ‪ 4ˆ = 1800- Aˆ -‬כי______________________‬
‫‪B 1‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‪4‬‬
‫ואילו _____ ‪ 1ˆ = 1800- Aˆ -‬מסיבה דומה‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫לכן ˆ‪ _____ 1‬מ‪. 4ˆ -‬‬
‫ˆ‪ 3ˆ = 4‬כי _____________________________‬
‫ובסיכום נקבל ש‪. 1ˆ > 4ˆ = 3ˆ > 2ˆ -‬‬
‫‪18‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫‪ A .5‬היא מרכז מעגל‪ C ,B .‬ו‪ D-‬הן נקודות שעל המעגל‪.‬‬
‫הרדיוס ‪ AC‬מחלק את הזוית ‪ BAD‬לשני חלקים שווים‪.‬‬
‫הוכח ש‪. BC = CD -‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫)‪ (6‬משולש שווה שוקיים‬
‫הגדרות‪ :‬משולש שיש לו שתי צלעות שוות נקרא‬
‫משולש‪-‬שווה‪-‬שוקיים‪ .‬הצלעות השוות נקראות‬
‫שוקיים‪ .‬הזווית שביניהן נקראת זוית הראש‪ .‬הצלע‬
‫הנוספת נקראת בסיס והזויות שלידה נקראות זויות‬
‫הבסיס‪ .‬הקטע המחבר את קדקוד זוית הראש עם‬
‫הבסיס ומחלק את זווית הראש לשני חלקים שווים‬
‫נקרא חוצה‪-‬זוית‪-‬הראש‪.‬‬
‫זוית‬
‫הראש‬
‫חוצה זוית‬
‫הראש‬
‫שוק‬
‫זוית‬
‫בסיס‬
‫שוק‬
‫הבסיס‬
‫זוית‬
‫בסיס‬
‫משפט‪ :‬חוצה זווית הראש במשולש שווה‪-‬שוקיים מחלק אותו לשני משולשים חופפים‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫לקראת ההוכחה נסמן קדקודים וזויות כבציור שמשמאל‪) .‬למען‬
‫‪B‬‬
‫הגיוון לא צירנו את הבסיס מקביל לקרקע אלא נטוי‪ .‬זה אינו‬
‫מפריע למשולש להיות שווה‪-‬שוקיים‪(.‬‬
‫‪D‬‬
‫ההוכחה‪:‬‬
‫נתון ש‪) AB = AC -‬המשולש הוא שווה שוקיים(‬
‫‪C‬‬
‫נתון ש‪ AD) Aˆ1 = Aˆ2 -‬מחלק את זוית הראש לשני חצאים‪,‬‬
‫כלומר‪ ,‬לחלקים שווים(‬
‫וכמובן‪. AD = AD ,‬‬
‫המשולשים ‪ ABD‬ו‪ ACD -‬שווים אפוא בשתי צלעות ובזוית הכלואה ביניהם‪ .‬על‪-‬פי משפט החפיפה‬
‫הראשון נובע שהם חופפים ■‬
‫‪1 2‬‬
‫משפט‪ :‬במשולש שווה‪-‬שוקיים שוות זויות הבסיס זו לזו‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬הדבר נובע מהחפיפה שבמשפט הקודם ■‬
‫בתרשים ההיסקים שבסוף החוברת מופיעים שני המשפטים שהוכחנו זה עתה‪ ,‬ומסומנים חיצים‬
‫המראים ממה נובע כל אחד מהם‪ .‬מצא את המשפטים וסמן ‪ v‬על‪-‬יד כל אחד מהם‪.‬‬
‫תרגיל ‪1‬‬
‫נתון שבמשולש ‪ PQR‬שוות הצלעות ‪ PQ‬ו‪ . PR -‬האם ˆ‪ P‬היא זוית הראש או זוית בסיס?‬
‫עוד נתון ש‪ Pˆ = 20o -‬מצא את ˆ‪ Q‬ואת ˆ‪! R‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫מה גודלה של זוית הראש במשולש שוה‪-‬שוקיים אם אחת מזויות הבסיס שלו היא בת ‪?70o‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫הסבר מדוע לא יתכן משולש שוה‪-‬שוקיים שאחת מזויות הבסיס שלו היא בת ‪. 90‬‬
‫‪o‬‬
‫‪17‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫‪ AE=BF=CG=DH‬כבציור‪.‬‬
‫מכאן ש‪ ,HA=EB=FC=DD -‬ומכיוון שזויות הריבוע ישרות נקבל ממשפט החפיפה צז"צ‬
‫שהמשולשים שבפינות‪ FCG ,EBF ,HAE ,‬ו‪ , GDH -‬חופפים זה לזה‪ .‬מכאן שצלעות המרובע‬
‫הפנימי ‪ EFGH‬שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪ Fˆ + Eˆ + Bˆ = 180o‬ו‪ˆ -‬‬
‫‪ B‬ישרה לכן ‪Fˆ1 + Eˆ 2 = 90o‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫מהחפיפות שהוכחנו נובע ש‪ Eˆ1 = Fˆ1 -‬לכן ‪ Eˆ1 + Eˆ 2 = 90o‬לכן ‪. Eˆ3 = 90o‬‬
‫בדרך דומה נקבל שגם שאר זויות המרובע הפנימי ישרות לכן הוא ריבוע ■‬
‫הערה‪ :‬במקום "בדרך דומה נקבל ‪ "...‬שבשורה האחרונה יכולנו להסתמך על הנחת היסוד על מרובע‬
‫שצלעותיו הנגדיות שוות ויש לו זוית ישרה‪.‬‬
‫תרגיל ‪ 1‬אם רוצים לכלול את המשפט האחרון בתרשים‪ ,‬מאילו משפטים קודמים יש למשוך חיצים אל‬
‫משפט זה? ‪.‬‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫נתון מלבן ואלכסוניו וגודלה של זוית אחת )‪ ,(40o‬וזויות אחרות מסומנות במספרים מ‪ 1-‬עד ‪11‬‬
‫כבציור‪ .‬אין קשר בין גודלה של כל זוית ובין מספרה‪.‬‬
‫מצא את גודלה של כל זוית‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫הנחיות‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7‬‬
‫‪10‬‬
‫מוצע להעתיק את הציור על דף ולכתוב שם את מידת כל זוית מיד‬
‫‪5‬‬
‫כשתמצא אותה‪ .‬הדבר יעזור במציאת הזויות הבאות‪.‬‬
‫‪6 4‬‬
‫מוצע למצוא את הזויות לפי סדר מספריהן‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫את ˆ‪ 1‬אפשר למצוא לפי החפיפה שהופיעה בהוכחת המשפט על‬
‫‪11‬‬
‫‪3‬‬
‫‪o‬‬
‫‪1‬‬
‫‪40‬‬
‫אלכסוני המלבן‪.‬‬
‫ˆ‪ 2‬תתקבל בעזרת המשפט על סכום הזוויות במשולש‪.‬‬
‫ˆ‪ 3‬תתקבל מזה ש‪. 1ˆ + 3ˆ = 90o -‬‬
‫ˆ‪ 4‬תתקבל מזה ש‪. 2ˆ + 4ˆ = 180o -‬‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫הנקודות ‪ E,F,G,H‬הן אמצעי הצלעות של המלבן ‪. ABCD‬‬
‫א‪ .‬הסבר כיצד נובע מזה שכל צלעותיו של המרובע ‪EFGH‬‬
‫שוות זו לזו‪.‬‬
‫ב‪ .‬סמן את ‪ GHE‬ב‪ 1-‬וסמן את ‪ GFE‬ב‪ ,2-‬ונמק את הטענה ש‪-‬‬
‫ˆ‪ 1ˆ = 2‬בעזרת החפיפות שמצאת בשביל א ובעזרת סימון עוד זויות‬
‫על‪-‬פי הצורך‪.‬‬
‫‪G‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪H‬‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪ .4‬הקדקודים ‪ C‬ו‪ D -‬של המלבן ‪ ABCD‬חוברו אל הנקודה ‪ ,M‬שהיא אמצע‬
‫הצלע ‪. AB‬‬
‫א‪ .‬אילו שני משולשים שבציור נראים חופפים?‬
‫ב‪ .‬הוכח שהם חופפים !‬
‫ˆ‬
‫ˆ‬
‫ג‪ .‬הסבר כיצד נובע מהחפיפה ש‪. 1 = 2 -‬‬
‫‪16‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪M‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫)‪ (5‬שימוש במשפט החפיפה צז"צ‬
‫אלכסוני מלבן‬
‫אם נשרטט מלבן עם אלכסון אחד )כבציור א(‪ ,‬נעתיק אותו על נייר או על פלסטיק שקוף‪ ,‬נהפוך את‬
‫העותק ונניח אותו על השרטוט המקורי )כבציור ב( נקבל מלבן עם שני אלכסוניו‪.‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫שני אלכסונים אלה שוים באורכם‪ ,‬שהרי אחד מהם אינו אלא עותק של חברו‪.‬‬
‫טענה‪ :‬בכל מלבן שווים שני האלכסונים זה לזה‪.‬‬
‫אפשר לבדוק טענה זאת על‪-‬ידי נסיונות נוספים כדלעיל‪ .‬אפשר להשתכנע בנכונותה גם על‪-‬ידי‬
‫התבוננות ישירה )אנשים רבים פיתחו "עין‪-‬גיאומטרית‪-‬מחשבתית" המסוגלת להבחין גם בנכונותן של‬
‫טענות גיאומטריות יותר מסובכות מן הטענה הפשוטה שאנו דנים בה כעת( אך כאן נלך להראות‬
‫שהטענה היא משפט‪ .‬במלים אחרות‪ ,‬נראה שיש לה הוכחה המתבססת על משפטים קודמים‪ ,‬ולכן‬
‫הטענה היא מסקנה מהנחות היסוד שלנו‪.‬‬
‫והרי ההוכחה‪:‬‬
‫יהיו נתונים מלבן ‪ ABCD‬ושני אלכסוניו )כבציור האמצעי שלפנינו( ונתבונן בשני המשולשים ‪ABC‬‬
‫∆ ו‪) ∆ DCB -‬בשני הציורים הצדדיים הם מצוירים פעם נוספת(‪.‬‬
‫הצלע‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫‪D‬‬
‫‪AB‬‬
‫שווה‬
‫לצלע‬
‫‪C B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ DC‬כי‬
‫הן צלעות נגדיות במלבן‪.‬‬
‫הצלע ‪ BC‬שווה לצלע ‪ CB‬כי הן אותו קטע עצמו‪.‬‬
‫הזוית ‪ ABC‬שווה לזוית ‪ DCB‬כי שתיהן בנות ‪ ,90o‬כי שתיהן זוויות של מלבן‪.‬‬
‫לפי משפט החפיפה צז"צ נובע מכאן ש‪ , ∆ DCB ∆ ABC -‬וזה אומר‪ ,‬בין השאר‪ ,‬ש‪ AC -‬שוה‬
‫ל‪ .DB -‬זה מה שהיה להוכיח ■‬
‫לאור ההוכחה ניתן לשלב את המשפט בתרשים ההיסקים שלנו‪ ,‬עם חץ היוצא ממשפט החפיפה הראשון‬
‫אל משפטנו‪ .‬לא יכולנו לעשות זאת מיד אחרי הבדיקות הנסיוניות שבראש הסעיף‪ ,‬כי הבדיקות‬
‫הנסיוניות אינן מראות שהמשפט נובע מחלקים קודמים שבתרשים‪.‬‬
‫גם אחרי ההוכחה לא כללנו את המשפט בתרשים‪ ,‬וזאת כדי שהתרשים לא יהיה דחוס מדי‪.‬‬
‫המשפט הבא יהיה יותר חשוב מן המשפט הנוכחי‪ ,‬כי הוא ישמש בעתיד בסיס להוכחת משפט מרכזי‪,‬‬
‫אך גם הוא אינו מופיע בתרשים‪.‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫ריבוע חסום בריבוע‬
‫משפט‪ :‬אם על ארבע צלעות ריבוע נקצה ארבעה קטעים שווים‬
‫מהקדקודים‪ ,‬באותה מגמה‪ ,‬ונחבר את הנקודות הנוצרות על‬
‫הצלעות על פי סדר הצלעות‪ ,‬המרובע שיתקבל הוא ריבוע‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נתון ריבוע ‪ ,ABCD‬ועל צלעותיו נקודות ‪ G ,F ,E‬ו‪ ,H-‬כך ש‪-‬‬
‫‪15‬‬
‫‪C‬‬
‫‪1‬‬
‫‪G‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 E‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫‪H‬‬
‫‪D‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫היסוד החדשה( וחיצים מוליכים מהן אל חמשת המשפטים שהוכחנו )המשפט החדש וארבעה משפטים‬
‫קודמים(‪ .‬כן מכיל התרשים גם משפטים שעדיין לא הוכחנו‪ .‬מוצע אפוא לסמן שם ‪ v‬על‪-‬יד כל משפט‬
‫שכבר הוכחנוהו‪ ,‬וכך נוכל לעקוב אחר מהלך התקדמותנו‪.‬‬
‫ענין נוסף‪ :‬מבט כללי על תרשים ההיסקים הגדול יראה ששלושת הנחות היסוד שהנחנו עד כה הן כל‬
‫הנחות היסוד שתופענה בחוברת הנוכחית‪.‬‬
‫סימון‬
‫‪. ∆ ABC‬‬
‫את הטענה שהמשולשים ‪ ABC‬ו‪ DEF -‬שלעיל הם חופפים כותבים בצורה ‪∆ DEF‬‬
‫פירושו "חופף"‪.‬‬
‫במקום "משולש" כותבים ∆ ואילו‬
‫סדר כתיבת הקדקודים חייב להתאים לסדר החפיפה )מי מתאים למי( לכן נכתבת החפיפה הזאת גם‬
‫‪. ∆ ABC‬‬
‫‪ ∆ CAB‬אך לא בצורה ‪∆ EDF‬‬
‫בצורה ‪∆ FDE‬‬
‫חידות חפיפה‬
‫העתק כל אחת משלושת הצורות המצוירות כאן על ניר ונסה להוסיף לה קוים‬
‫המחלקים אותה לשלושה משולשים החופפים זה לזה‪ .‬אם נראה לך שהצלחת‪,‬‬
‫גזור ובדוק חפיפה על‪-‬ידי הנחת המשולשים זה על זה‪.‬‬
‫)הצורות צוירו באופן שאפשר לחלקן כמבוקש‪(.‬‬
‫תרגיל‬
‫נתון שהקטעים ‪ AB‬ו‪ CD -‬נפגשים ב‪ H-‬שהיא נקודת האמצע‬
‫של כל אחד מהם‪ ,‬כלומר‪ AH=BH ,‬ו‪.CH=DH -‬‬
‫נוסף לזה נתון שהזוית ‪ Hˆ 1‬היא בת ‪.800‬‬
‫א‪ .‬חשב את הזוויות האחרות שקדקודן הוא ‪.H‬‬
‫ב‪ .‬נמק )בעזרת חפיפות( ש‪AD=BC -‬‬
‫וש‪. AC=BD -‬‬
‫ˆ‬
‫ג‪ .‬האם השוויונות האלה היו תקפים גם אם הייתה הזוית ‪H1‬‬
‫בת ‪? 650‬‬
‫‪14‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2H 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫)‪ (4‬חפיפת משולשים‬
‫‪C‬‬
‫שני משולשים נקראים חופפים אם צלעות‬
‫האחד וזוויותיו שוות‪ ,‬על פי סדרן‪ ,‬לצלעות‬
‫השני ולזוויותיו‪ .‬לדוגמה‪ ,‬המשולשים ‪ABC‬‬
‫ו‪ DEF -‬חופפים כאשר מתקיימים ששת‬
‫השוויונות‬
‫‪, CA=FD , BC=EF , AB=DE‬‬
‫‪ˆ ˆ ,‬‬
‫ˆ ˆ‬
‫‪ˆ ˆ , A=D‬‬
‫‪. C=F‬‬
‫‪B=E‬‬
‫)בציור סומנו הצלעות המתאימות והזויות‬
‫המתאימות בסימון דומה(‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫בעזרת הנחת‪-‬היסוד על דבר העתקת משולשים‪ ,‬ובעזרת הנחת יסוד נוספת האומרת שדרך שתי נקודות‬
‫שונות עובר קו ישר אחד בלבד‪ ,‬נוכיח שאם שתי צלעות והזוית שביניהן אשר במשולש אחד שוות‬
‫לשתי צלעות ולזוית שביניהן במשולש שני‪ ,‬אז המשולשים חופפים‪ ,‬כלומר‪ ,‬גם הצלע הנוספת ושתי‬
‫הזויות הנוספות אשר במשולש האחד‪ ,‬שוות על פי הסדר לחברותיהן אשר במשולש השני‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A‬‬
‫נניח אפוא ש‪ˆ ˆ -‬‬
‫‪ , A=D‬ש‪ AB=DE -‬וש‪) AC=DF -‬כמסומן בציור( ונראה איך נובע מזה‬
‫שהמשולשים חופפים‪) .‬לנוחיות ההסבר ישורטט המשולש ‪ ABC‬בקו מרוסק עבה‪(.‬‬
‫על‪-‬ידי הזזה וסיבוב נעתיק את המשולש ‪ ABC‬באופן שהזוית ˆ‪ A‬תהיה מונחת על הזוית ˆ‪ . D‬כך תתקבל‬
‫האפשרות שבציור א או האפשרות שבציור ב‪ .‬אם התקבלה אפשרות א נהפוך את המשולש ‪ ABC‬וכך‬
‫נגיע בכל מקרה לאפשרות שבציור ב‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B=E‬‬
‫‪C‬‬
‫ציור א‬
‫ציור ב‬
‫‪A=D‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A=D‬‬
‫‪C=F‬‬
‫‪B‬‬
‫הצלע ‪ AB‬תהיה אפוא מונחת בדיוק על הצלע ‪ DE‬השווה לה‪ ,‬והצלע ‪ AC‬תהיה על ‪ DF‬השווה לה‪.‬‬
‫זה אומר שהקדקוד ‪ B‬יהיה על הקדקוד ‪ E‬והקדקוד ‪ C‬יהיה על ‪. F‬‬
‫מכיוון שדרך שתי נקודות עובר ישר אחד בלבד תהיה הצלע ‪ BC‬בדיוק על ‪ .EF‬המשולש ‪ABD‬‬
‫הועתק אפוא בדיוק על המשולש ‪ DEF‬וזה אומר שהם חופפים ■‬
‫מתוך שתי הנחות יסוד‪ ,‬אחת ישנה ואחת חדשה‪ ,‬הוכחנו אפוא את המשפט הבא‪:‬‬
‫אם שני משולשים שווים בשתי צלעות ובזווית הכלואה ביניהם אז הם חופפים‪.‬‬
‫משפט זה נקרא משפט החפיפה הראשון וגם משפט החפיפה צז"צ )ראשי תיבות של צלע‪-‬זווית‪-‬צלע(‪.‬‬
‫תרשים ההיסקים הגדול‬
‫את הנחת היסוד החדשה ואת המשפט החדש נוכל לצרף לתרשים‪-‬ההיסקים שבנינו בסעיף הקודם‪ ,‬אך‬
‫במקום להציג כאן את התרשים המורחב נפנה את הקורא לתרשים גדול המופיע בסוף החוברת‪ .‬בראש‬
‫התרשים הזה מופיעות במסגרות עבות שלושת הנחות היסוד שלנו )שתי הנחות היסוד הישנות והנחת‬
‫‪13‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫תרגיל ‪3‬‬
‫משמאל משולש ועליו כתובים אורכי הצלעות ומידות שתים מהזוויות )מעוגלות(‪.‬‬
‫א‪ .‬מה מידת הזוית השלישית?‬
‫‪o‬‬
‫מ‬
‫"‬
‫ס‬
‫‪3‬‬
‫הצלעות‬
‫הן‬
‫הקטנה‬
‫הזוית‬
‫שוקי‬
‫‪:‬‬
‫ב‪ .‬למשולש זה התכונה הבאה‬
‫‪104‬‬
‫‪ 2‬ס"מ‬
‫הגדולות )כלומר‪ ,‬הגדולה ביותר והבינונית( ושוקי הזוית‬
‫?‬
‫‪47o‬‬
‫הגדולה הן הצלעות הקטנות‪.‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫התוכל לשרטט משולש שאין לו תכונה זאת?‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪ .4‬חשב את ארבע הזויות שסביב ‪ A‬על‪-‬פי הזויות שמידותיהן כתובות בציור‪.‬‬
‫)הציור אינו מדויק(‬
‫‪A‬‬
‫‪600‬‬
‫‪0‬‬
‫‪40‬‬
‫‪ .5‬סכום זויותיו של מלבן הוא ‪ .3600‬האם הוא הדין לכל מרובע?‬
‫נמק!‬
‫‪A‬‬
‫‪ .6‬נתונות זויות כמסומן בציור‪ .‬חשב את האחרות‪.‬‬
‫________ = ‪ABC‬‬
‫________ = ‪ACD‬‬
‫________ = ‪CAD‬‬
‫‪0‬‬
‫‪30‬‬
‫‪850‬‬
‫‪350‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .7‬נתון משולש ‪. ABC‬‬
‫א‪ .‬כיצד תשתנה ˆ‪ C‬אם נזיז את הנקודה ‪ B‬אל נקודה שבהמשך השוק‬
‫‪ . AB‬האם היא תגדל או תקטן?‬
‫ב‪ .‬כיצד תשתנה ˆ‪? B‬‬
‫ג‪ .‬הסבר מדוע מובטח שהסכום ˆ‪ Bˆ + C‬לא ישתנה ‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪12‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫מרובע שצלעותיו‬
‫הנגדיות שוות ויש לו‬
‫זווית ישרה‪ ,‬הוא מלבן‪.‬‬
‫ניתן להזיז משולש ממקום‬
‫למקום‪ ,‬לסובבו ולהפכו‪ ,‬בלי‬
‫לשנות את צלעותיו וזוויותיו‪.‬‬
‫אם למרובע שלוש זוויות‬
‫ישרות אז הוא מלבן‪.‬‬
‫משולש ישר זווית ניתן‬
‫להשלמה למלבן עם היתר‬
‫כאלכסון‪ ,‬והמשולש‬
‫המשלים חופף לו‪.‬‬
‫סכום הזוויות במשולש‬
‫ישר זווית הוא ‪.1800‬‬
‫סכום הזוויות במשולש הוא ‪.1800‬‬
‫הערה א‪ :‬תרשים זה מבליט את העובדה שגם שני משפטינו החדשים הם‪ ,‬בעצם‪ ,‬מסקנות משתי הנחות‬
‫היסוד שבראש התרשים‪.‬‬
‫הערה ב‪ :‬תוכנו של המשפט שלפני האחרון )על סכום הזויות במשולש ישר זוית( נכלל במשפט האחרון‬
‫)על סכום הזויות בכל משולש(‪ ,‬אך נזקקנו לו לצורך הוכחת המשפט האחרון‪.‬‬
‫סכום הזויות במשולש דרך קיפולי ניר‬
‫כבר הוכחנו שסכום הזויות במשולש הוא ‪ ,180‬לכן אין לנו ספק בנכונות המשפט‪ .‬אך‬
‫כדי להסתכל על המשפט מנקודת‪-‬מבט אחרת נלך לבדוק אותו על‪-‬ידי קיפולי נייר‪.‬‬
‫נגזור משולש‪-‬נייר כלשהו כבציור א‪ ,‬נקפל אותו כבציור ב‪ ,‬ונחזור וניישר אותו כבציור ג‪ .‬כעת נקפל‬
‫את שני קצות הצלע שלמטה אל הנקודה שבה פוגש הקפל המאונך את הצלע הזאת )ציור ד( ונקפל את‬
‫הקדקוד העליון אל אותה נקודה )ציור ה(‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫נקבל‬
‫ששלושת‬
‫זויות‬
‫המשולש‬
‫מכסות בדיוק שתי זויות ישרות‪ ,‬לכן סכומן ‪. 180o‬‬
‫ד‬
‫תרגיל ‪2‬‬
‫שני עותקים של המשולש ישר הזוית ‪ ABC‬הונחו עליו כבציור‬
‫שמשמאל‪ ,‬והתקבל ש‪ Aˆ -‬מכילה את ˆ‪ B‬בדיוק פעמיים ‪.‬‬
‫מה תוכל להסיק מזה על גודלן )במעלות( של זוויות אלה?‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪11‬‬
‫ה‬
‫‪C‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫‪.‬‬
‫אם נקפל דף ניר מלבני כבציור הבא נקבל זוית בת ‪. 45o‬‬
‫בעזרתה תוכל לראות ש‪ 1ˆ -‬שלעיל קטנה מ‪ 90o -‬אבל‬
‫גדולה מ‪45o -‬‬
‫תרגיל ‪) 1‬חלק ב(‪ :‬מי מן הזויות שסימנת‬
‫קטנה מ‪ , 45o -‬מי בין ‪ 450‬ו‪ 90o-‬ומי גדולה מ‪? 90 -‬‬
‫‪o‬‬
‫‪45o‬‬
‫‪90o‬‬
‫סכום הזויות במשולש‬
‫על סמך המשפט האומר שכל משולש ישר זוית ניתן להשלמה למלבן על‪-‬ידי משולש חופף לו‪ ,‬נוכיח‬
‫את המשפט הבא‪:‬‬
‫משפט‪ :‬סכום זויותיו של משולש ישר זווית הוא ‪. 180o‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי נתון משולש ישר זוית כלשהוא )דוגמה מצויירת בקו רגיל(‪ .‬נשלים אותו למלבן כאמור‬
‫במשפט שהזכרנו לעיל )זה מצויר בדוגמתנו בקו מרוסק( ונסמן זויות כבציור‪.‬‬
‫כל זויותיו של מלבן הן בנות ‪ 90o‬לכן סכומן הוא ‪ , 360o‬כלומר‪,‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪. 1ˆ + 2ˆ + 3ˆ + 4ˆ + 5ˆ + 6ˆ = 360o‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫מכיוון שהמשולשים חופפים‪1ˆ + 2ˆ + 3ˆ = 4ˆ + 5ˆ + 6ˆ ,‬‬
‫לכן ‪ , 1ˆ + 2ˆ + 3ˆ = 180o‬וזה מה שאומר המשפט‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫■‬
‫שים לב לכך שהוכחה זאת טובה בשביל כל משולש ישר‪-‬זוית ולא רק למשולש שציירנו‪ .‬מצד שני‪,‬‬
‫הוכחה זאת טובה רק למשולשים ישרי‪-‬זוית‪.‬‬
‫בעזרת המשפט שהוכחנו זה עתה על סכום הזוויות של משולש ישר‪-‬זוית נוכל להוכיח שגם סכום‬
‫הזויות של כל משולש אחר הוא ‪. 180o‬‬
‫משפט‪ :‬סכום הזוויות במשולש הוא ‪. 180o‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫הוכחה‪ :‬לאחת הצלעות נשרטט אנך העובר דרך הקדקוד שמולה‪,‬‬
‫ומחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זוית‪ .‬נסמן זוויות כבציור‪.‬‬
‫על פי המשפט הקודם‪ 1ˆ + 2ˆ + 3ˆ = 180o ,‬וגם ‪. 4ˆ + 5ˆ + 6ˆ = 180o‬‬
‫‪5‬‬
‫מכיוון ש‪ 3ˆ = 90o -‬וגם ‪ 6ˆ = 90o‬נקבל ש‪-‬‬
‫‪ 1ˆ + 2ˆ = 90o‬וגם ‪, 4ˆ + 5ˆ = 90o‬‬
‫לכן ‪ , 1ˆ + 2ˆ + 4ˆ + 5ˆ = 180o‬וזה מה שאומר משפטנו‬
‫‪2 36‬‬
‫■‬
‫נציין שהוכחה זאת טובה בשביל כל משולש שהוא‪ ,‬כי כל משולש ניתן לחלוקה לשני משולשים ישרי‬
‫זוית‪.‬‬
‫את שני משפטינו החדשים נוכל לצרף לתרשים ההיסקים שבנינו בסעיף הקודם‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫מרובע שצלעותיו‬
‫הנגדיות שוות ויש לו‬
‫זווית ישרה‪ ,‬הוא מלבן‪.‬‬
‫אם למרובע שלוש זוויות‬
‫ישרות אז הוא מלבן‪.‬‬
‫ניתן להזיז משולש ממקום‬
‫למקום‪ ,‬לסובבו ולהפכו‪ ,‬בלי‬
‫לשנות את צלעותיו וזוויותיו‪.‬‬
‫משולש ישר זווית ניתן‬
‫להשלמה למלבן עם היתר‬
‫כאלכסון‪ ,‬והמשולש‬
‫המשלים חופף לו‪.‬‬
‫החיצים שבתרשים מציינים שכל אחד משני המשפטים הוא מסקנה משתי הנחות היסוד‪.‬‬
‫תרגיל למחשבה‬
‫החללית שלנו נחתה על כוכב‪-‬לכת מרוחק ולהפתעתנו נוכחנו שנחתנו במגרש משחקים של בית ספר‪ .‬נכנסנו‬
‫לכתה ונוכחנו שהם מדברים עברית ולומדים גיאומטריה ‪ ,‬ועל הלוח שלהם כתוב "הנחות‪-‬יסוד‪ :‬סכום הזויות‬
‫בכל מרובע הוא ‪) "3600‬אצלנו אין זו הנחת יסוד‪ ,‬ובעתיד נראה שהיא מתקבלת כמסקנה מהנחות היסוד‬
‫שלנו(‪ .‬המורה מבקש מן התלמידים להוכיח שסכום הזויות במשולש הוא ‪. 1800‬‬
‫תלמיד א‪ :‬נצרף למשולש שלנו משולש נוסף‪ ,‬צירוף הזויות של שני‬
‫משולש נוסף‬
‫המשולשים נותן זויות של מרובע לכן סכומן ‪ ,3600‬לכן לכל משולש ‪.1800‬‬
‫משולש נתון‬
‫תלמיד ב‪ :‬ההוכחה אינה טובה‪ .‬מה מבטיח לנו ש‪360 -‬‬
‫המעלות מתחלקות בשווה בין שני המשולשים? אך אם נשתמש בעקרון העתקת‬
‫המשולשים‪ ,‬ולתפקיד המשולש הנוסף ניקח עותק של המשולש הנתון נהפוך אותו‬
‫ונשים אותו כבציור שמימין‪ ,‬אז ההוכחה תהיה בסדר‪.‬‬
‫תלמיד א‪ :‬לא צריך את זה‪ .‬כמו שלכל המרובעים אותו סכום זויות כך גם לכל המשולשים‪.‬‬
‫המורה‪ :‬הנה באו אורחים מכדור הארץ‪ .‬שלום אורחים יקרים‪ .‬התוכלו לומר לני מי משני התלמידים צודק?‬
‫)‪ (3‬זויות במשולש‬
‫סימון זויות ומדידתן‬
‫הזוית שקדקודה בנקודה ‪ A‬ועל שתי שוקיה נמצאות הנקודות ‪ B‬ו‪) C -‬כבציור(‬
‫מסומנת ‪ BAC‬ונקראת "הזוית ‪."C ,A ,B‬‬
‫‪B‬‬
‫מסמנים אותה גם ‪ CAB‬וגם ‪ BAC‬וגם‬
‫‪ . CAB‬בכל מקרה יש להקפיד על כתיבת הקדקוד ‪ A‬באמצע‪.‬‬
‫כשאין חשש לטעות אפשר לקצר ולכתוב ˆ‪A‬‬
‫או ‪ . A‬קיצורים נוספים נכיר בהמשך‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫תרגיל ‪) 1‬חלק א(‪:‬‬
‫בציור שמשמאל מצויר מרובע ‪.ABCD‬‬
‫לנוחיות ההעתקה למחברת הוא מצויר בקו עבה‪ .‬העתק!‬
‫בתוך ‪ ADC‬כתובה הסיפרה ‪. 1‬‬
‫כתוב ‪ 2‬בתוך ‪ , DCA‬כתוב ‪ 3‬בתוך ‪ ,ACB‬כתוב ‪ 4‬ב‪-‬‬
‫‪ , CBA‬כתוב ‪ 5‬ב‪ BAC -‬וכתוב ‪ 6‬בתוך הזוית ‪.CAD‬‬
‫‪1‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫זוית ישרה מתחלקת ל‪ 90-‬מעלות‪ .‬כותבים זאת בצורה‪90o‬‬
‫‪B‬‬
‫‪9‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫שים לב לכך שהוכחה זאת מוכיחה את טענתנו בבת‪-‬אחת בשביל כל משולש ישר זוית‪ .‬השיקול‬
‫שבהוכחה אינו תלוי בצורת המשולש‪-‬ישר‪-‬הזוית המצויר‪ ,‬והוא בתוקף גם אם הציורים נראים‪ ,‬למשל‪,‬‬
‫כך‪:‬‬
‫הדבר החדש שראינו כאן אינו עצם העובדה שמשולש ישר זוית ניתן להשלמה למלבן‪ ,‬אלא שניתן‬
‫להוכיח זאת מהנחת היסוד על מרובע עם צלעות נגדיות שוות וזוית אחת ישרה‪.‬‬
‫כעת ניגש להראות שגם את כלל א שלעיל‪ ,‬האומר שאם למרובע שלוש זויות ישרות הוא מלבן‪ ,‬ניתן‬
‫להוכיח מתוך הנחת היסוד שלנו‪) .‬ההוכחה פחות פשוטה מההוכחה הקודמת‪ ,‬ולפי סדר העניינים‬
‫שבספר ניתן לדחותה אל אחרי סעיף ‪(.5‬‬
‫יהא נתון מלבן ששלוש מזויותיו ישרות‪ ,‬כמסומן בציור א‪ .‬נבצע בו‪ ,‬במחשבה בלבד‪,‬‬
‫את הפעולות הבאות ‪:‬‬
‫נשרטט בתוך המלבן אלכסון המחבר קדקודים של שתי זויות ישרות‪ ,‬ונמחק זמנית את שתי הצלעות‬
‫שמול הזוית הישרה הנוספת‪ .‬ישאר משולש ישר‪-‬זוית כבציור ב‪.‬‬
‫כעת ניצור עותק של המשולש‪ ,‬נזיז ונסובב אותו‪ ,‬ונצמיד אותו לאלכסון כבציור ג‪.‬‬
‫ציור א‬
‫ציור ב‬
‫ציור ג‬
‫כמו בהוכחה הקודמת נקבל מהנחת היסוד שלנו שהמרובע שהתקבל הוא מלבן‪ .‬ומכיוון שזויותיו‬
‫ישרות‪ ,‬וגם הזויות שמחקנו אצל המרובע הראשון הן ישרות‪ ,‬מונחות הצלעות החדשות של המלבן‬
‫בדיוק על הצלעות שמחקנו‪ .‬מכאן שהמלבן החדש הוא בדיוק המרובע המקורי‪ ,‬מכאן שגם המרובע‬
‫המקורי הוא מלבן‪ .‬זה מה שרצינו להוכיח ■‬
‫הנחת יסוד נוספת‬
‫עיון בהוכחה האחרונה וגם בהוכחה הקודמת יראה שבשתיהן הסתמכנו לא רק על הנחת היסוד בדבר‬
‫מרובעים בעלי זוית ישרה וצלעותיהם הנגדיות שוות‪ ,‬אלא גם על ההנחה שניתן לסובב ולהזיז משולש‬
‫אל מקום רצוי בלי שהדבר ישנה את אורכי הצלעות שלו‪ .‬הבה ננסח הנחת יסוד נוספת האומרת קצת‬
‫יותר‪:‬‬
‫ניתן להזיז משולש ממקום למקום‪ ,‬לסובבו ולהפכו‪ ,‬בלי לשנות את צלעותיו וזוויותיו‪.‬‬
‫לטענה המוכחת מתוך הנחות‪-‬יסוד קוראים משפט‪.‬‬
‫הנחות היסוד שבסעיף הנוכחי והמשפטים שהוכחו בעזרתם מסוכמים בתרשים הבא‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫דעות על התוכן אלא רק בשאלה ממה כדאי להתחיל‪.‬‬
‫תרגילים נוספים‬
‫‪ .1‬להלן שתי רשתות שנגזרו מדף‪-‬חשבון מהסוג הרגיל )משבצות של חצי סנטימטר(‬
‫על כל אחת מהן מודגשות שתי נקודות‪-‬רשת ומשורטט הקטע המחבר אותן‪ .‬בציור הימני מונח קטע זה על קו‪-‬‬
‫רשת ובציור השמאלי הוא אינו על קו‪-‬רשת‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪N‬‬
‫‪A‬‬
‫‪M‬‬
‫התוכל להשלים כל אחד מהקטעים למלבן שגם שני קדקוקיו האחרים הם בנקודות‪-‬רשת? )גם בציור השמאלי‬
‫ניתן לעשות זאת ביותר מאופן אחד‪ .‬ולתשומת לבך‪ ,‬ריבוע הוא מין מלבן‪(.‬‬
‫‪ .2‬שרטט במחברתך מלבנים נוספים שקדקודיהם בנקודות‪-‬רשת אבל צלעותיהם אינן על קוי רשת‪.‬‬
‫‪ .3‬גם תרגיל זה יעזר בקוי‪-‬הרשת של דף חשבון‪ ,‬אך בעתיד נראה שהמסקנה העולה ממנו היא בתוקף גם ללא‬
‫קשר עם קוי הרשת‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬הדגש שתי נקודות‪-‬רשת הנמצאות על קו רשת אופקי‪ ,‬סמן אותן‬
‫באותיות ‪ A‬ו‪ B -‬וחבר אותן בקטע כבציור‪.‬‬
‫שרטט בעזרת קוי הרשת אנך לקטע בנקודה ‪ A‬באופן שקצהו יהיה גם הוא‬
‫בנקודת‪-‬רשת‪ ,‬וסמן קצה זה ב‪ . C-‬שרטט אנך היוצא מ‪ B-‬שאורכו כאורך‬
‫האנך הקודם וסמן את קצהו ב‪ D-‬וחבר את ‪ C‬ו‪.D-‬‬
‫‪.‬‬
‫אחרים‬
‫באורכים‬
‫האם קבלת מלבן? חזור על הנסיון פעם נוספת אך‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫)‪ (2‬מהנחות‪-‬יסוד אל מסקנות‬
‫הבה נקבל כהנחת‪-‬יסוד את הכלל האומר שאם במרובע שוות הצלעות הנגדיות )כל צלע שוה לצלע‬
‫הנגדית( ואם יש לו זוית ישרה אז המרובע הוא מלבן‪.‬‬
‫על סמך הנחת יסוד זאת נוכיח שכל משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן עם היתר כאלכסון‪,‬‬
‫והמשולש המשלים חופף לו‪.‬‬
‫ההוכחה‪:‬‬
‫יהי נתון משולש ישר זוית כבציור א‪ .‬ניצור עותק שלו )במחשבה‬
‫בלבד( נזיז ונסובב אותו ונצמיד יתר עם יתר כבציור ב‪.‬‬
‫ציור ב‬
‫ציור א‬
‫למרובע שהתקבל )בציור ב( צלעות נגדיות שוות וזוית ישרה )אפילו שתים(‪,‬‬
‫ומהנחת היסוד שלנו נובע שהוא מלבן ■‬
‫‪7‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫הציור האחרון יעניין אותנו במיוחד‪ .‬בציור זה סובבנו את הצלע ‪ c‬באופן שתיצור עם הצלע ‪ b‬זוית‬
‫ישרה‪ .‬בדיקה תראה שכתוצאה מזה כל הזויות שבמקבילית הן ישרות ולכן המקבילית הזאת היא‬
‫מלבן‪.‬‬
‫האם כל מרובע שצלעותיו הנגדיות שוות ויש לו זוית ישרה הוא מלבן?‬
‫כנראה כן‪ .‬ניסוי כגון זה שעשינו נערך פעמים רבות‪ ,‬ובכולם התקבל מלבן‪.‬‬
‫הרכבת מלבן משני חלקים‬
‫בשם משולש ישר זוית קוראים למשולש שאחת מזויותיו ישרה‪ .‬לצלעות‬
‫הבונות את הזוית הישרה קוראים ניצבים‪ .‬לצלע שמול הזוית הישרה‬
‫קוראים י ֶתֶ ר‪.‬‬
‫יתר‬
‫ניצב‬
‫ניצב‬
‫קח דף נייר מלבני )ציור א(‪ ,‬קפל אותו באופן ששתי הפינות העליונות תמַ צאנה בדיוק על שתי הפינות‬
‫התחתונות ושרטט באחת הפינות קו אלכסוני )ציור ב( וגזור באופן שיתקבלו שני משולשים ישרי‪-‬זוית‬
‫החופפים זה לזה )ציור ג( ‪.‬‬
‫)שני משולשים נקראים חופפים אם צלעותיהם וזויותיהם שוות על‪-‬פי הסדר‪ ,‬ולכן אפשר להניח אחד‬
‫מהם בדיוק על חברו‪(.‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫ג‬
‫התוכל להצמיד את שני המשולשים זה לזה באופן שיתקבל מלבן?‬
‫התוכל להצמידם באופן שיתקבל מרובע שאינו מלבן?‬
‫התוכל להצמידם באופן שיתקבל משולש?‬
‫צייר את התוצאות!‬
‫סיכום הסעיף ומבוא לסעיף הבא‬
‫בסעיף זה היגענו בדרך של שרטוטים ובדיקות אל שני כללים‪:‬‬
‫כלל א‪ :‬אם במרובע שלוש זויות ישרות אז המרובע הוא מלבן )כלומר‪ ,‬גם זויתו הרביעית ישרה וכל‬
‫שתי צלעות נגדיות שלו שוות(‪.‬‬
‫כלל ב‪ :‬אם במרובע שוות הצלעות הנגדיות ויש לו זוית ישרה אז המרובע הוא מלבן )כלומר‪ ,‬גם שלוש‬
‫זויותיו האחרות הן ישרות(‪.‬‬
‫התרגיל בהצמדת משולשים מצביע על כלל נוסף‪:‬‬
‫כלל ג‪ :‬כל משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן עם היתר כאלכסון‪ ,‬והמשולש‬
‫המשלים חופף לו‪.‬‬
‫שלושת הכללים האלה קשורים זה בזה בקשר חזק‪ .‬אפשר להראות שאם נקבל אחד מהם כהנחת יסוד‬
‫יתקבלו שני הכללים האחרים כמסקנות הגיוניות ממנו‪ ,‬ונוכל לותר על השרטוטים והבדיקות שבאו‬
‫לצורך אימותם של שני הכללים האחרים‪.‬‬
‫בספר הנוכחי ישמש כלל ב כהנחת יסוד שתשמש בסיס להסקת כלל ג ואחר‪-‬כך גם להסקת כלל א‪ ,‬אך‬
‫בזמן שאני כותב ספר זה כותב חבר שלי ספר שהנחת היסוד שלו היא דווקא כלל א‪ .‬אין בינינו חילוקי‪-‬‬
‫‪6‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫ג‬
‫ב‬
‫א‬
‫ד‬
‫ה‬
‫ו‬
‫גזור את המרובע שבאמצע הדף )כבציור ו( ובידך יהיה מרובע בעל שלוש זויות ישרות‪.‬‬
‫בעזרת קיפול המרובע על עצמו תוכל לראות שגם הזוית הרביעית היא ישרה וכן שכל שתי צלעות‬
‫נגדיות שלו שוות זו לזו‪.‬‬
‫מסלול אחר אל מלבנים‬
‫מגליון פלסטיק שקוף וקשיח נגזור שני זוגות של רצועות‪ ,‬ונשרטט עליהם קטעים ‪ c ,b ,a‬ו‪ d -‬כך ש‪-‬‬
‫‪ a=b‬ו‪ .c=d -‬ראה ציור‪.‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪b‬‬
‫) הערה‪ :‬מקובל בגיאומטריה לסמן קטעים וישרים באותיות לטיניות קטנות‪ ,‬ולסמן נקודות באותיות‬
‫לטיניות גדולות‪(.‬‬
‫בעזרת סיכה ננקב חורים בקצות כל אחד מהקטעים‪ ,‬ובעזרת ארבעה נעצים שחודיהם מופנים כלפי‬
‫מעלה נרכיב מרובע כבציור הבא‪.‬‬
‫מרובע כזה‪ ,‬שכל זוג צלעות נגדיות שלו הן שוות‪,‬‬
‫נקרא מקבילית‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫המקבילית שלנו בנויה באופן המאפשר שינוי הזויות‬
‫‪c‬‬
‫שלה‪ .‬שינוי זוית אחת גורם לשינוי הזויות האחרות‪,‬‬
‫‪d‬‬
‫ושינויים כאלה יכולים לתת גם את המקביליות‬
‫‪b‬‬
‫שבציורים הבאים‪:‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪5‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫נמחק את הקטעים הבולטים החוצה או נתעלם מהם וניגש לוודא שקיבלנו מלבן‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫לצורך הדיון נסמן את נקודות‪ -‬הקדקוד‬
‫באותיות ‪ C ,B ,A‬ו‪ ,D -‬כבציור‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫מתהליך השרטוט נובע שהזויות שליד הקדקודים ‪ B ,A‬ו‪ C -‬הן זויות ישרות‪.‬‬
‫אם נניח את הזוית הישרה שקיבלנו מקיפול‪-‬נייר כפול על הזוית שבקדקוד ‪ D‬נמצא שגם היא ישרה‪.‬‬
‫כדי לבדוק אם הצלע ‪ AD‬שווה לצלע ‪ BC‬נניח גליון נייר על‪-‬יד הצלע ‪ ,AD‬נסמן עליו שני קטעים‬
‫קצרים שמרחקם כמו המרחק שבין ‪ A‬ו‪ D -‬ואחר‪-‬כך נניח את גליון הניר על‪-‬יד הצלע ‪ . BC‬נקבל‬
‫ששתי הצלעות אמנם שוות באורכן‪.‬‬
‫בדרך דומה נקבל גם את שוויונה של הצלע‬
‫‪ AB‬לצלע ‪. CD‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫בסך הכל קיבלנו שכל זויותיו של המרובע‬
‫‪ ABCD‬הן ישרות וכל שתי צלעות נגדיות‬
‫שלו שוות זו לזו‪ .‬מרובע בעל תכונות אלה‬
‫נקרא מלבן‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫האם כל מרובע שיש לו שלוש זויות ישרות הוא מלבן?‬
‫איננו יכולים לבדוק את כל המרובעים מסוג זה‪ ,‬לכן נסתפק‪ ,‬בשלב זה‪ ,‬בבדיקת הרבה מרובעים כאלה‪.‬‬
‫בדרך דומה לזו שבה שרטטנו את המלבן הראשון נבנה עוד מרובעים בעלי שלוש זויות ישרות ‪.‬‬
‫בדיקה תראה שלכולם גם זוית רביעית ישרה ובכולם שוות כל שתי צלעות נגדיות זו לזו‪ .‬כלומר‪ ,‬כולם‬
‫מלבנים‪.‬‬
‫אם רצונך להוסיף בדיקות הרי לפניך דרך נוספת לקבלת מרובע בעל שלוש זויות ישרות‪:‬‬
‫קפל דף נייר פעם אחת וישר אותו‪ .‬מקום הקיפול ימשיך להיראות על הנייר‪ .‬בציור א שלהלן מיוצג‬
‫מקום הקיפול על‪-‬ידי קו מקוטע‪.‬‬
‫קפל שנית באופן שחלקו האחד של הקפל הראשון יפול בדיוק על חלקו השני‪ ,‬כבציור ב‪ .‬ישֵ ר ותקבל‬
‫קֶ פֶל ניצב לראשון‪ ,‬כבציור ג‪.‬‬
‫קיפול שלישי שיעשה בדרך דומה יתן קפל הניצב לקפל השני‪ ,‬כבציור ד‪.‬‬
‫קיפול רביעי‪ ,‬גם הוא באופן ששני חלקי הקפל הקודם נופלים זה על זה‪ ,‬יתן קפל ניצב לקפל השלישי‪,‬‬
‫כבציור ה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫)‪ (1‬מבוא למלבנים‬
‫קו ישר וזוית ישרה על‪-‬ידי קיפולי ני ָר‬
‫א‬
‫ג‬
‫ב‬
‫קיפול שני יתן‬
‫זוית ישרה כאן‬
‫קיפול ראשון‬
‫יתן קו ישר כאן‬
‫בהמשך נשרטט במחברת כמה שרטוטים בעזרת דף בלתי מקופל )ציור א(‪ ,‬בעזרת דף מקופל פעם אחת‬
‫)ציור ב( ובעזרת דף מקופל פעמיים )ציור ג(‪ ,‬אך מספיק להכין רק דף מקופל פעמיים כי תמיד נוכל‬
‫ליישר אותו וגם לחזור ולקפל אותו‪.‬‬
‫שרטוט מלבן‬
‫הבה נשרטט מלבן בדרך הבאה‪:‬‬
‫בשלב ‪ 1‬נשרטט קטע ישר בעזרת ב‪.‬‬
‫דרך השרטוט‬
‫התוצאה‬
‫בשלב ‪ 2‬נשרטט ניצב לישר בעזרת ג‬
‫דרך השרטוט‬
‫התוצאה‬
‫בשלב ‪ 3‬נשרטט ניצב לניצב הקודם )בעזרת ג( ונאריך אותו )בעזרת ב(‬
‫התוצאה‬
‫דרך השרטוט‬
‫בשלב ‪ ,4‬שהוא השלב האחרון‪ ,‬נשרטט ניצב לניצב ששרטטנו בשלב ‪3‬‬
‫התוצאה‬
‫דרך השרטוט‬
‫‪3‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫‪2‬‬
‫עמוס ארליך גיאומטריה לכתה ז‬
‫גיאומטריה לכתה ז‬
‫לפי תוכנית תשס"ד‬
‫תוכן העניינים‬
‫)‪ (1‬מבוא למלבנים‬
‫)‪ (2‬מהנחות יסוד אל מסקנות‬
‫)‪ (3‬זויות במשולש‬
‫)‪ (4‬חפיפת משולשים‬
‫)‪ (5‬שימוש במשפט החפיפה צז"צ‬
‫)‪ (6‬משולש שוה‪-‬שוקיים‬
‫)‪ (7‬רשת מלבנים‬
‫)‪ (8‬שטח מלבן‬
‫)‪ (9‬משפט פיתגורס‬
‫)‪ (10‬שטחי משולשים‬
‫)‪ (11‬חישובים בפירמידה‬
‫)‪ (12‬תיכונים במשולש‬
‫)‪ (13‬עוד על מלבנים‬
‫)‪ (14‬משפט החפיפה השני‬
‫עמוס ארליך‬
‫‪3‬‬
‫‪7‬‬
‫‪9‬‬
‫‪13‬‬
‫‪15‬‬
‫‪17‬‬
‫‪19‬‬
‫‪21‬‬
‫‪25‬‬
‫‪28‬‬
‫‪31‬‬
‫‪33‬‬
‫‪35‬‬
‫‪35‬‬
‫‪39‬‬
‫פתרונות‬
‫תרשים היסקים‬
‫‪48‬‬
‫© כל הזכויות שמורות‬
‫מותר להעתיק ולצלם לשימוש עצמי‪ ,‬ומורים ובתי ספר רשאים לעשות זאת גם‬
‫לשימוש תלמידיהם בתשס"ה ובתשס"ו‪.‬‬
‫הערה מאוחרת‪ :‬בגלל השינויים בתוכנית הלימודים‪ ,‬הן אלו שעשתה‬
‫הוועדה שבראשותי והן אלו שעשתה הוועדה "המתקנת"‪ ,‬אבקש שלא‬
‫להעתיק קטעים לשימוש התלמידים אלא בתיאום אתי‪.‬‬
‫‪1‬‬