גיאומטריה דדוקטיבית מקוצר

‫כיצד בונים מערכת אכסיומות‬
‫עמוס ארליך‬
‫תקציר‬
‫בתוכנית הלימודים לחט"ב שהוגשה בסוף ‪ 2008‬נכללה הצעה שמטרתה להנגיש למספר רחב ככל‬
‫האפשר של תלמידים את עניינן של בנית תורה אכסיומטית ושל מערכת דדוקטיבית מסודרת‪ .‬עיקרה של‬
‫ההצעה מפורט כאן והוא כולל רקע עיוני‪ ,‬סקירה חלקית של ההכנות הנדרשות‪ ,‬תיאור המהלך אחורנית‬
‫ממשפט פיתגורס אל מערכת האכסיומות שלנו‪ ,‬וצעדים ראשונים קדימה‪ .‬ההצעה הוסרת מהתוכנית על ידי‬
‫ועדה "מתקנת"‪ .‬היא מועלית כאן הן כדי לשמרה לצורך תיקון התיקון והן כדי לאפשר למורים בעלי‬
‫שליחות ללמד את התרומה העיקרית של המתמטיקה לחשיבה האנושית‪.‬‬
‫מבוא‬
‫לאוקלידס היה חשוב לעקוף את האיום הספקני של זנון‪ ,‬ואולי גם לקוות שיצליח להפוך את אכסיומת המקבילים למשפט‬
‫מוכח‪ .‬להילברט היה חשוב לבנות מערכת הנעזרת‪ ,‬אמנם‪ ,‬באינטואיציה הסתכלותית אך אינה כבולה אליה‪ .‬לנו חשוב‬
‫לבנות מערכת נוחה שתדגים את התועלת שבהיסקים מסודרים ואת היופי שבזיהוי הבסיס של שיקולינו‪ .‬ל‪30-‬‬
‫המתמטיקאים שחתמו על המכתב הגלוי לשר ב"הארץ" )יא בחשון תשע"א( היה חשוב‪ ,‬כנראה‪ ,‬לפסול רעיונות שהעלו‬
‫אנשי חינוך‪.‬‬
‫אין בכוונתי להיכנס לניתוח משוער של מניעי החותמים הנ"ל‪ ,‬ואתרכז בתיאור התוכנית שעלה בידם לבטל זמנית )כך אני‬
‫מקוה(‪ ,‬עם זאת אציין שהאוניברסיטה שבה למדתי והאוניברסיטה שבה אני מלמד‪ ,‬ירושלים ותל אביב‪ ,‬תרמו את מספרי‬
‫החותמים הקטנים ביותר למכתב ההוא‪ .‬אולי הבחינו בשקריותה של הטענה המתמטית על מושג השטח‪ ,‬שעלתה שם‪.‬‬
‫על מה נוותר לטובת המטרות שלנו‬
‫א‪ .‬נוותר על "תורת הגדרות"‪ .‬נסתמך במפורש על מושגים המוכרים מלימודי גיאומטריה בשלבים מוקדמים‪.‬‬
‫הוא מרובע )כי לא נעסוק‬
‫לא נגדיר משולש‪ .‬לא נגדיר מרובע למרות שהדבר משאיר אי בהירות בשאלה האם‬
‫בצורה כזאת(‪ .‬לעומת זאת נגדיר מלבן כדי שההוכחות הקשורות במושג זה תהיינה בהירות ומלאות‪.‬‬
‫ב‪ .‬נותר על מינימליות של האכסיומות‪.‬‬
‫את אכסיומת המקבילים נחליף בטענה "אם במרובע שלוש זויות ישרות אז הוא מלבן"‪ ,‬כאשר מלבן מתואר מראש‬
‫כמרובע שזויותיו ישרות וצלעותיו הנגדיות שוות‪ .‬ההגדרה הלא‪-‬מינימלית תואמת את התמונה ההיסתכלותית‪ ,‬והאכסיומה‬
‫הלא‪-‬מינימלית מקצרת ומפשטת הוכחות‪.‬‬
‫במקום להניח מראש רק את האפשרות להעתיק קטעים וזויות ממקום למקום )כמו הילברט( נניח אפשרות להעתקת‬
‫משולשים שלמים בלי לשנות אל צלעותיהם‪ ,‬זויותיהם ושטחם‪ .‬גם זה מקצר הוכחות‪.‬‬
‫ג‪ .‬נותר על פירוט הנחות נסתרות מסוימות הנראות ברורות מאליהן‪.‬‬
‫נתיחס אל העצמים הגיאומטריים כאל בעלי קיום עצמאי‪ ,‬ובני אדם יכולים ליצור לעצמם תמונות סבירות שלהם‪ .‬כך נוכל‬
‫להניח‪ ,‬למשל‪ ,‬שלכל קטע יש נקודת אמצע יחידה בלי לכתוב זאת כהנחה ובלי להסיק זאת מהנחות היסוד שפירטנו‪ .‬כן‬
‫נניח ללא הוכחה הנחה נסתרת יותר מרחיקת‪-‬לכת‪ ,‬ולפיה יש לכל מצולע מידת‪-‬שטח‪ ,‬ואם קטע מחלק מצולע לשני‬
‫מצולעים אז סכום שטחיהם שווה לשטחו‪ .‬איננו רוצים להפוך את הגיאומטריה מדגם לחשיבה מסודרת לדוגמה של דיבור‬
‫טרדני ומסורבל שאין מן הראוי לחקותו‪.‬‬
‫ד‪ .‬לרוב נדחה את ההתנסות במציאת הוכחות לכתה ט‪ .‬כן נדחה לאותה כתה את הבניות בסרגל ובמחוגה )"למה לא הבאת‬
‫כלי שרטוט?"‪" ,‬המורה הוא דוקר אותי!"(‪.‬‬
‫הכנה לפרק הדדוקטיבי‬
‫תוכניתנו לכתה ז ולחצי הראשון של ח כוללת הן תכנים שנזדקק להם בפרק הדדוקטיבי הראשון והן היכרות ראשונה עם‬
‫שיקולי הוכחה‪ .‬להלן פירוט של השלב הפותח ושל השלב המסיים את ההכנות הנדרשות‪.‬‬
‫המלבן‬
‫אם נתון ששלוש מזויותיו של מרובע הן ישרות מובטח שגם הרביעית‬
‫ישרה‪ .‬לבדיקה נייצר זוית ישרה על‪-‬ידי קיפול‪-‬נייר כפול כבציור‪,‬‬
‫ונשתמש בה הן לבנית מרובעים בעלי שלוש זויות ישרות והן לבדיקה שגם‬
‫הזוית הרביעית ישרה‪.‬‬
‫כשיעמדו לרשותנו מספר מרובעים כאלה נוכל לבדוק ולראות שצלעותיהם הנגדיות שוות זו לזו‪.‬‬
‫נסכם כלל א‪ :‬אם במרובע שלוש זויות ישרות אז גם זויתו הרביעית ישרה וכל שתי צלעות נגדיות שלו שוות זו לזו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫מרובע כזה יקרא מלבן‪.‬‬
‫דוגמה של הוכחה‬
‫קח דף נייר מלבני‪ ,‬קפל אותו באופן ששתי הפינות העליונות ת ַמצאנה בדיוק על שתי הפינות‬
‫התחתונות‪ ,‬שרטט באחת הפינות קו אלכסוני וגזור באופן שיתקבלו שני משולשים ישרי‪-‬זוית‬
‫החופפים זה לזה כבציור ‪.‬‬
‫התוכל להצמיד את שני המשולשים זה לזה באופן שיתקבל מלבן?‬
‫תרגיל זה מדגים את כלל ב ‪:‬כל משולש ישר זווית ניתן להשלמה למלבן עם היתר כאלכסון‪ ,‬והמשולש המשלים חופף לו‪.‬‬
‫את כלל א בדקנו בדיקות רבות ואילו בשביל כלל ב הסתפקנו בהסתכלות אחת‪ .‬הסיבה לכך היא כוונתנו להראות שכלל ב‬
‫הוא מסקנה הגיונית מכלל א‪ ,‬לכן אינו נזקק לבדיקות נפרדות‪ .‬והרי ההוכחה‪:‬‬
‫יהי נתון משולש ישר זוית כמשולש הנקוד שבציור שלהלן‪ .‬נעלה אנכים כבציור‪ ,‬וכלל‬
‫א יתן שהמרובע המתקבל הוא מלבן‪ .‬את המשולש המקורי נזיז כבציור‪ ,‬ובגלל שויון‬
‫הצלעות הנגדיות של המלבן נוכל "להלביש" אותו בדיוק על המשולש השני שבמלבן‬
‫כך היגענו הן אל כלל א שיקרא בהמשך "אכסיומת המלבן"‪ ,‬הן אל ענין העתקתו של‬
‫משולש ממקום למקום‪ ,‬שיקרא בהמשך "אכסיומת ההעתקות"‪ ,‬והן אל ענין ההוכחה‪.‬‬
‫התוכנית שבנתה ועדתנו לכתה ז ולחצי הראשון של ח כוללת עוד נושאים‪ .‬חלקם נכנסו בגלל היותם אימון נוסף ברעיונות‬
‫שהעלינו זה עתה וחלקם בגלל חשיבותם העצמית‪ .‬בין השאר ישולב כאן הלימוד על שטחו של מלבן‪ ,‬ובו גם הוכחות על‬
‫סמך מה שיקרא בהמשך אכסיומת המלבן וגם חזרה על עניינם של השברים‪ .‬הבה נדלג אל שלב ההכנה האחרון‪.‬‬
‫היכרות ראשונה עם משפט פיתגורס‬
‫המשפט עצמו אינו ברור מאליו‪ ,‬לכן הוכחתו מראה שהוכחה נותנת משהו‪ .‬הכרה בחשיבותו של משפט תורמת גם‬
‫היא לחשיבותה של הוכחתו בעיני התלמידים‪ .‬מצד שני‪ ,‬וכאילו בסתירה‪ ,‬כדי שהתלמידים יאמינו שהוכחה נותנת‬
‫משהו נכון צריך שלתלמידים יהיה אמון ראשוני בנכונות המשפט המוכח )בעקבות גב' קריגובסקה מקרקוב ב‪-‬‬
‫‪ .(ICME2‬לאור זה נקדים לתהליך האכסיומטיזציה סיבוב ראשון של טיפול במשפט פיתגורס‪.‬‬
‫שטח מרוצף במרצפות ריבועיות שאורך צלען אמה אחת‪ .‬חלקן כהות‪ ,‬חלקן‬
‫בהירות וחלקן נחלקות לרבע כהה ושלושה רבעים בהירים‪ ,‬או להיפך‪ ,‬כבציור‬
‫שמימין‪ .‬הריצוף מתואר בציור שמשמאל ‪.‬‬
‫א‬
‫ב‬
‫את שטח הריבוע הכהה הגדול שלעיל אפשר למצוא בדרכים הבאות‪.‬‬
‫דרך א‪ ,‬שהיא )לטעמי( הדרך הפשוטה ביותר‪ :‬ריבוע זה מורכב ממרצפת שלמה אחת הנמצאת במרכזו ושטחה ‪1‬‬
‫אמה‪-‬רבועה; ועוד ארבעה חלקי‪ -‬מרצפות כמו השטח הכהה במרצפת א שלעיל‪ ,‬ששטח כל חלק כזה הוא ‪ 1/4‬אמה‪-‬‬
‫רבועה; ועוד ארבעה חלקי‪ -‬מרצפות כמו השטח הכהה במרצפת ב שלעיל‪ ,‬ששטח כל חלק כזה הוא ‪ 3/4‬אמה‪-‬‬
‫רבועה; ובסך הכל ‪ 1+4.1/4+4.3/4=1+1+3=5‬אמות רבועות‪.‬‬
‫דרך ב‪ ,‬שאת היתרון שלה נראה בהמשך‪ ,‬היא כך‪:‬‬
‫נעתיק )במחשבה בלבד( את הריבוע בן ‪ 9‬המרצפות המכיל את הריבוע‬
‫"שלנו" ונסמן בקווקוים את המשולשים שבפינותיו‪ ,‬כך שהריבוע "שלנו"‬
‫ישאר לבן‪,‬כבציור השמאלי‪ .‬אחר‪-‬כך נזיז את משולשי הפינות ונצרפם‬
‫לשני מלבנים שיועמדו כבציור הימני‪ .‬השטח הלבן החדש יכיל ריבוע בן ‪4‬‬
‫מרצפות ועוד מרצפת אחת‪ ,‬והוא שווה‪ ,‬כמובן‪ ,‬לשטח הריבוע "שלנו"‪.‬‬
‫תפקידה של דרך א היא ליצור אמון במסקנה של דרך ב וכך גם בדרך ההסקה‪.‬‬
‫דוגמה נוספת‪ .‬שרק דרך ב טובה בשבילה‪ .‬היא מציאת שטח הריבוע שעל היתר של משולש ישר זוית שניצביו בני‬
‫‪ 2‬ו‪ 5-‬ס"מ‪.‬‬
‫מכאן נעבור לניסוח כללי של משפט פיתגורס‪ ,‬נבטיח לתלמידים שבעתיד ניתן לו הוכחה כללית‪ ,‬ונעבור לתרגילי‬
‫חישוב המשתמשים במשפט‪ ,‬כולל שימוש במקש השורש שבמחשבון‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫את החלק העיקרי של תהליך האכסיומטיזציה נתאר כאן בניסוח קצת יותר מפורט‪.‬‬
‫מבנה היסקי לגיאומטריה לאמצע כתה ח‬
‫א‪ .‬ממשפט פיתגורס אחורנית אל הנחות יסוד‬
‫משפט פיתגורס הוא משפט מפתיע שאינו ברור מאליו‪ .‬כדי להיות בטוחים בנכונותו היה עלינו להוכיח אותו על סמך ידע‬
‫קודם‪ .‬הבה נתבונן בשלבי ההוכחה של משפט פיתגורס‪ ,‬ובכל שלב נזכיר באיזה ידע קודם השתמשנו‪) .‬בהמשך נבחן גם‬
‫את הידע הקודם וגם את המשפטים הקודמים לקודמים‪ ,‬עד שנגיע להנחות יסוד שסביר להניחן ללא פקפוק‪(.‬‬
‫‪c‬‬
‫ובכן‪ ,‬נתון משולש ישר זווית שניצביו ‪ a‬ו‪b-‬‬
‫א‪ .‬נבנה )במחשבה בלבד( זוית ישרה שכל אחד משני ניצביה הוא‬
‫)כבקוים העבים שבציור א( ובקצה כל אחד נעלה אנך )כמסומן בחיצים(‪ .‬כך‬
‫נקבל ריבוע שכל צלע שלו שוה ‪. a+b‬‬
‫זאת על סמך הכלל האומר שאם במרובע יש שלוש זוויות ישרות אז הוא‬
‫מלבן‪.‬‬
‫ריבוע זה מופיע גם בציורים ב ו‪-‬ג שלהלן‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫באורך ‪a+b‬‬
‫‪a‬‬
‫ציור א‬
‫‪a b‬‬
‫ב‪" .‬נרצף" ‪ 4‬משולשים החופפים למשולש הנתון סביב היקף המרובע‬
‫)מבפנים( כמתואר בציור ב‪ .‬המרובע שנותר הוא ריבוע שצלעו ‪.c‬‬
‫השתמשנו בזה שניתן להעתיק מצולע ממקום למקום לסובבו ולהפכו‪ ,‬בלי‬
‫לשנות את צלעותיו‪ ,‬זויותיו ושטחו‪ ,‬וכן בזה שסכום הזוויות החדות‬
‫במשולש ישר זווית הוא ‪) 900‬לכן כל זווית של המרובע הפנימי היא‬
‫‪(900=1800-900‬‬
‫ג‪ .‬נעתיק שנים ממשולשי הפינה ונצמידם לחבריהם ליצירת מלבנים‪ ,‬ונעמיד‬
‫את המלבנים בפינות הריבוע הגדול‪ ,‬כבציור ג‪ .‬השטח הלא מרוצף יהיה‬
‫מורכב כעת משני ריבועים שצלע האחד ‪ a‬וצלע חברו ‪.b‬‬
‫גם כאן השתמשנו בכלל ההעתקות שהזכרנו קודם‪ .‬קבלת המלבנים נבעה‬
‫מזה שסכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא ‪) 900‬גם כלל זה נזכר‬
‫כבר בשלב הקודם(‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪F‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫ציור ב‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ד‪ .‬מהשוואת השטחים הלא מרוצפים בשני הריבועים נקבל ששטח הריבוע‬
‫הבנוי על היתר ‪ c‬שוה לסכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים ‪ a‬ו‪. b-‬‬
‫ציור ג‬
‫כך מוכח משפט פיתגורס בנוסח המדבר על שטחי הריבועים‪ ,‬בלי להזכיר את הנוסחה ‪ a2+b2=c2‬הדרושה לצורך‬
‫חישובים מספריים‪ .‬כדי לכלול את הנוסחה נזדקק גם למשפט על שטח מלבן )‪ ,(S=a.b‬ובזה נטפל בהמשך‪.‬‬
‫לקראת צעדינו הבאים נשרטט תרשים המסכם את הטענות שעליהם מתבסס משפט פיתגורס ונפרט את הוכחותינו לחלק‬
‫מטענות אלה‪ .‬והרי התרשים ‪:‬‬
‫ניתן להעתיק מצולע ממקום למקום‪,‬‬
‫לסובבו ולהפכו‪ ,‬בלי לשנות את‬
‫צלעותיו‪ ,‬זוויותיו ושטחו‪.‬‬
‫במשולש ישר זווית‪,‬‬
‫סכום שתי הזוויות‬
‫האחרות הוא ‪.900‬‬
‫אם במרובע יש‬
‫שלוש זוויות ישרות‬
‫אז הוא מלבן‬
‫משפט‬
‫פיתגורס‬
‫הטענה על דבר האפשרות להעתיק מצולע נחשבת פשוטה וברורה‪ .‬לא נהוג לבסס אותה על טענות קודמות אלא לראות בה הנחת‬
‫יסוד‪ ,‬והיא נקראת "אכסיומת ההעתקות"‪.‬‬
‫גם הטענה על מרובע שיש לו שלוש זוויות ישרות תיחשב הנחת יסוד‪ ,‬כלומר‪ ,‬לא נוכיח אותה על סמך משהו קודם‪ .‬טענה זאת היא‬
‫צירוף של שתי טענות מוכרות שנוסח מאוחד שלהן הוא כך‪ :‬אם במרובע יש שלוש זוויות ישרות גם הרביעית ישרה‪ ,‬והצלעות‬
‫הנגדיות שוות זו לזו‪ .‬נוסח זה יקרא "אכסיומת המלבן"‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫נעבור לטפל בטענה השלישית ששימשה בהוכחת משפט פיתגורס‪ ,‬ונראה שהיא יכולה להתקבל כמסקנה מאכסיומת המלבן וממשפט‬
‫מוכר נוסף‪ ,‬כמתואר בתרשים הבא‪:‬‬
‫משולשים ישרי זווית עם ניצבים‬
‫שווים – חופפים‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫במשולש ישר זווית‪ ,‬סכום שתי הזוויות‬
‫האחרות הוא ‪.900‬‬
‫ההוכחה על ידי השלמת המשולש הנתון למלבן‪ ,‬על ידי חפיפת שני חלקי המלבן שהתקבל ועל ידי חשבון זוויות‪ .‬המשפט על חפיפת‬
‫משולשים ישרי זוית יהיה מוכר משלבי ההכנה‪.‬‬
‫כעת נלך צעד נוסף אחורנית ונוכיח את המשפט על חפיפת משולשים ישרי זווית שניצביהם שווים על סמך אכסיומת ההזזות בתוספת‬
‫אכסיומה האומרת שדרך שתי נקודות שונות עובר ישר אחד בלבד )זו נקראת "אכסיומת הישר"(‪.‬‬
‫פירוט‪ :‬אם נתון משולש ישר זווית ‪) ABC‬כמשולש הנקוד שבימין‬
‫‪C‬‬
‫הציור( ומשולש ישר זווית ‪ DEF‬עם ניצבים השוים לאלה של‬
‫המשולש הקודם )כמשולש המצויר בקו עבה(‪ ,‬נוכל להעתיק את‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬באופן שהזווית הישרה והניצבים שלו יפלו בדיוק‬
‫‪D‬‬
‫על השוים להם במשולש ‪ . DEF‬זה יבטיח ש‪ B-‬תיפול על ‪ E‬ו‪A-‬‬
‫על ‪ ,D‬ובגלל אכסיומת הישר יפול היתר על היתר‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪A‬‬
‫נסכם בתרשים קטן שיצורף בהמשך לתרשימים הקודמים‪:‬‬
‫אכסיומת הישר‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים‬
‫שווים – חופפים‬
‫שימו לב לכך שזהי הדרך בה נהגנו )לפחות חלק מאתנו( להסביר מהי חפיפה ולנמק את קבלת משפט החפיפה הראשון כאכסיומה‪.‬‬
‫כעת נצרף את התרשימים באופן שהנחות היסוד‪ ,‬שלושת האכסיומות‪ ,‬תעמודנה בראש‪:‬‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫אכסיומת הישר‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי‬
‫ניצבים שוים – חופפים‬
‫במשולש ישר זווית‪,‬‬
‫סכום שתי הזוויות‬
‫האחרות הוא ‪.900‬‬
‫משפט‬
‫פיתגורס‬
‫בזאת יסתיים השלב הראשון של האכסיומטיזציה של הגיאומטריה‪.‬‬
‫שלב זה‪ ,‬וגם השלבים הקרובים הבאים יהיו "הצגה של המורה"‪ ,‬ללא הנחית תלמידים לגילוי עצמי ואפילו ללא‬
‫תרגילים‪ .‬לטובת העניין מותר לסטות מן ההרגלים הטובים שלנו כמורים למתמטיקה‪.‬‬
‫נעיר שמבקרינו מתארים את המהלך שעשינו כאן במלים "המחברים בעצם חוזרים על אותה הוכחה‪ ,‬אך נאלצים‬
‫להוסיף לה מספר משפטי עזר שלא הוכחו כראוי"‪ .‬סילוף מכוון או עיורון?‬
‫ב‪ .‬וממערכת האכסיומות קדימה‬
‫‪4‬‬
‫ב‪ .1‬קבוצה ראשונה של משפטים נוספים ‪ -‬שטחים‬
‫הליכתנו אחורנית ממשפט פיתגורס אל הנחות היסוד נועדה למציאת בסיס לא רק למשפט פיתגורס אלא לכל‬
‫הגיאומטריה‪ .‬בסעיף זה נַראה כיצד מצטרפים משפטים נוספים למערכת שבנינו‪ .‬תחילה נצרף משפטים מוכרים ובהמשך‬
‫נצרף גם משפטים חדשים‪ .‬המשפט הראשון שנצרפו יהיה המשפט הטוען ששטח מלבן שווה למכפלת אורכי צלעות‬
‫שכנות שלו‪ .(S=a.b) .‬נסקור מחדש את ההוכחה שראינו בשלב המכין ונדגיש את זה שהחלק הראשון של אכסיומת‬
‫המלבן מבטיח שכל ניצב לצלע אחת של המלבן יוצר זוית ישרה עם כל ניצב לצלע הסמוכה )מזה שהזויות המסומנות‬
‫שבציורים המצורפים )למטה מימין( ישרות נובע שכל הזויות שבציורים ישרות(; והחלק השני של אכסיומה זאת מבטיח‬
‫שמשוויון הקטעים שהקצינו על זוג הצלעות הניצבות של המלבן נובעים השוויונות האחרים הדרושים לנו‪ .‬המשפט על‬
‫שטח המלבן נובע אפוא מאכסיומת המלבן )החזקה שלנו( לבדה‪.‬‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫‪1‬‬
‫מלבן ‪/2x /3‬‬
‫מלבן ‪3x4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫המשפט על שטח מלבן ‪S=a b‬‬
‫נעבור למשולש ישר זוית‪ ,‬נשלים אותו למלבן )בעזרת אכסיומת המלבן( והחפיפה של שני חלקי מלבן זה תתן ששטח‬
‫המשולש שלנו הוא חצי שטח המלבן‪ .‬בעזרת משפטנו האחרון נקבל ששטח משולש ישר זוית שוה לחצי מכפלת הניצבים‪.‬‬
‫מזה ינבע המשפט הכללי על שטח משולש‪ ,‬בעזרת המשולשים ישרי הזוית שיוצר הגובה‪.‬‬
‫נצרף הכל לדיאגרמה שלנו‪ ,‬וכן נוסיף למשפט פיתגורס את הנוסחה האלגברית‪.‬‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫אכסיומת הישר‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי‬
‫ניצבים שוים – חופפים‬
‫במשולש ישר זווית‪,‬‬
‫סכום שתי הזוויות‬
‫האחרות הוא ‪.900‬‬
‫משפט‬
‫פיתגורס‬
‫‪a2+b2=c2‬‬
‫המשפט על‬
‫שטח מלבן‬
‫שטחו של משולש ישר‬
‫זוית שוה לחצי מכפלת‬
‫הניצבים‬
‫שטח של משולש‬
‫שוה לחצי מכפלת‬
‫צלע בגובה הניצב לה‬
‫ב‪ .2‬וקצת עם יותר הפעלה של התלמידים‬
‫התלמידים מכירים מן הסתם את ענין סכום הזויות בכל משולש‪ ,‬וכן כבר ראו את זה שגובה מחלק משולש למשולשים ישרי זוית )לפחות‬
‫הגובה מקדקוד הזוית הגדולה(‪ .‬להערכתי יש בזה רקע מספיק כדי לקבל בשיתוף התלמידים את השיקול המסיק את המשפט המתאים ממה‬
‫שכבר יש לנו על הזויות החדות במשולשים ישרי זוית‪ .‬התוספת המתאימה לדיאגרמת ההיסקים מופיעה בדיאגרמה הבאה‪.‬‬
‫ב‪ .3‬משולשים שוי שוקים‬
‫הערה מקדימה‪ :‬בשלב זה אין קושי עקרוני לקבל את נשפטי החפיפה צז"צ הכללי בדרך שבו קיבלנו את המקרה הפרטי שלו המצטמצם‬
‫למשולשים ישרי זוית‪ .‬למרות זאת מוצע לפתוח את הטיפול במשולש שוה‪-‬שוקיים לא בחלוקתו ע"י חצית זוית הראש אלא בהורדת גובה‬
‫לבסיס‪ .‬סיבה אחת לכך היא הרצון לעשות שימוש במשפט פיתגורס )המבטיח שהבסיס יתחלק לשני חלקים שוים( וסיבה אחרת היא הרצון‬
‫להשאר יותר בעולמם של המשולשים ישרי הזוית‪) .‬מנוגד להרגלים הישנים של המורים אך טבעי לתלמידים(‪ .‬כך תתקבל תת‪-‬הדיאגרמה‬
‫הבאה‪:‬‬
‫משולשים ישרי זוית בעלי‬
‫נצבים שוים ‪ -‬חופפים‬
‫משפט פיתגורס‬
‫במשולש שוה שוקיים‬
‫הגובה לבסיס‬
‫‪5‬‬
‫מחלק אותו לשני משולשים חופפים‬
‫נצרף זאת לדיאגרמה הקודמת ונוסיף שתי מסקנות הממשפט האחרון‪:‬‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫אכסיומת הישר‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי‬
‫ניצבים שוים – חופפים‬
‫במשולש ישר זווית‪,‬‬
‫סכום שתי הזוויות‬
‫האחרות הוא ‪.900‬‬
‫סכום הזויות‬
‫במשולש‬
‫הוא ‪1800‬‬
‫משפט‬
‫פיתגורס‬
‫‪a2+b2=c2‬‬
‫שטחו של משולש ישר‬
‫זוית שוה לחצי מכפלת‬
‫הניצבים‬
‫שטח של משולש‬
‫שוה לחצי מכפלת‬
‫צלע בגובה הניצב לה‬
‫הגובה לבסיס במשולש‬
‫שוה שוקיים מחלק אותו‬
‫לשני משולשים חופפים‬
‫במשולש שוה שוקיים‬
‫מתלכד חוצה זווית הראש‬
‫עם הגובה והתיכון לבסיס‬
‫המשפט על‬
‫שטח מלבן‬
‫במשולש שוה‬
‫שוקיים שוות‬
‫זוויות הבסיס‬
‫ג‪ .‬ומה הלאה?‬
‫לטעמי ניתן לעצור כאן את נושא האכסיומטיקה והמבנה הדדוקטיבי ולחזור לתפקיד של "מורה טוב‬
‫למתמטיקה‪ ,‬מן הסוג הישן"‪ ,‬כלומר‪ ,‬לעבור להפעלת התלמידים במערכת של תרגילי חישוב הבנויים על‬
‫משפט פיתגורם‪ ,‬משפטי השטח ומשפטי המשולש שווה השוקיים‪.‬‬
‫הקשרים שבין מרכיביה השונים של פירמידה ריבועית ישרה מציעים אוסף יפה של תרגילים כאלה‪.‬‬
‫אפשרות אחרת‪ ,‬המתאימה רק לכתות חזקות‪ ,‬היא להוסיף לתרשים את משפטי החפיפה צז"צ וזצ"ז )על‬
‫סמך אכסיומת ההעתקות ואכסיומת הישר ואת משפט החפיפה צצ"צ )על סמך אכסיומת ההעתקות‪ ,‬המשפט על זויות הבסיס במשולש ש"ש‬
‫ומשפט החפיפה זצ"ז(‪ ,‬ואח"כ לצרף אליה אוסף נרחב של בעיות הוכחה כמפוקט בתרשים היסקים שבאתר שלי )‬
‫‪ ( www.MathematicAmos.co.il‬ובכתה י להראות שיכולנו להחליש את אכסיומת המלבן )גם זה באותו אתר(‪.‬‬
‫ובכל מקרה נוכל לשלב בלימוד הגיאומטריה התבוננויות‪ ,‬העלאת השערות מתוך דוגמאות‪ ,‬שימוש בתוכנות גיאומטריה דינמית ועוד‪,‬‬
‫כאשר המשפטים יבדלו מן ההשערות בזה שניתן עקרונית לשלבם בהמשך הדיאגרמה שלנו‪.‬‬
‫לסיום אציין שהאמור עד כאן כולל תרומות של כל חברי וועדת התוכנית‪ ,‬במיוחד של מיכאל קורן ושל דן עמיר‪ ,‬עם זאת יש כאן פרטים‬
‫שלא תואמו איתם והאחריות על הנוסח הנוכחי היא עלי‪.‬‬
‫‪6‬‬