חישובי שטחים

‫מתמטיקה לכיתה ח' ‪ -‬חלק א' ‪ -‬אתי עוזרי & יצחק שלו‬
‫מעודכן ליום‪12.11.2010 :‬‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫חומר השלמה בנושא "חישובי שטחים"‪ ,‬הנדרש על‪-‬פי הוראת משרד‬
‫החינוך‪ .‬יש לשלב חומר זה כמפורט בפריסה השבועית של תוכנית ההוראה‬
‫על‪-‬פי ספרנו לכיתה ח' ‪ -‬חלק א'‪.‬‬
‫חישובי שטחים‬
‫משולש‬
‫‪ = a + b + c‬היקף‬
‫‬
‫‪c‬‬
‫‪h‬‬
‫____‬
‫‪a·h‬‬
‫​    ‪ = ​  2‬שטח‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫משולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫(משולש ששתיים מצלעותיו שוות)‬
‫‪ = a + b + b = a + 2 · b‬היקף‬
‫‬
‫‪b hb‬‬
‫‪a‬‬
‫____‬
‫‪a·h‬‬
‫​    ‪ = ​  2‬שטח‬
‫‬
‫משולש שווה‪-‬צלעות‬
‫(משולש שכל צלעותיו שוות)‬
‫‪ = a + a + a = 3 · a‬היקף‬
‫‬
‫‪h a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫____‬
‫‪a·h‬‬
‫​    ‪ = ​  2‬שטח‬
‫‬
‫‪b‬‬
‫משולש ישר‪-‬זווית‬
‫‬
‫‪c‬‬
‫ ‪ = a + b + c‬היקף‬
‫____‬
‫‪a·b‬‬
‫​    ‪ = ​  2‬שטח‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫מלבן‬
‫‬
‫‬
‫‪b‬‬
‫‪ = a · b‬שטח‬
‫‪ = 2 · (a+b) = 2 · a + 2 · b‬היקף‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫ריבוע‬
‫‪2‬‬
‫​ ​‪ = a · a = ​a‬שטח‬
‫‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪ = 4 · a‬היקף‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫עיגול‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫​‪ ​= π · ​R2‬שטח‬
‫‪R‬‬
‫‪ = 2 · π · R‬היקף‬
‫ ‬
‫~ ‪(π‬‬
‫)‪​ ​  3.14‬‬
‫~‬
‫‪-1-‬‬
‫מתמטיקה לכיתה ח' ‪ -‬חלק א' ‪ -‬אתי עוזרי & יצחק שלו‬
‫מעודכן ליום‪12.11.2010 :‬‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫חומר השלמה בנושא "חישובי שטחים"‪ ,‬הנדרש על‪-‬פי הוראת משרד‬
‫החינוך‪ .‬יש לשלב חומר זה כמפורט בפריסה השבועית של תוכנית ההוראה‬
‫על‪-‬פי ספרנו לכיתה ח' ‪ -‬חלק א'‪.‬‬
‫תרגילים‬
‫‪1 .1‬האורך של מלבן הוא ‪ 6‬ס"מ והיקפו ‪ 16‬ס"מ‪ .‬מה שטחו של המלבן בסמ"ר?‬
‫‪2 .2‬מהו היקף ריבוע ששטחו ‪ 100‬מ"ר?‬
‫‪3‬‬
‫‪ 9‬ס"מ ס"מ‬
‫‪3 .3‬מהו השטח בסמ"ר של הצורה שלפניכם?‬
‫‪ 8‬ס"מ‬
‫‪ 12‬ס"מ‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫‪4 .4‬נתונה צורה המורכבת ממלבנים‪.‬‬
‫חשבו את ההיקף והשטח של הצורה‪.‬‬
‫הציגו את דרך החישוב ורשמו יחידות מידה מתאימות‪.‬‬
‫‪ 4‬מ'‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫‪ 4‬מ'‬
‫‪ 4‬מ'‬
‫‪ 12‬מ'‬
‫‪ 2‬ס"מ‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫‪5 .5‬בסרטוט שלפניכם ריבוע ובתוכו מסורטט משולש אפור‪.‬‬
‫מהו השטח של המשולש האפור?‬
‫‪6 .6‬מהו שטח השוליים של התמונה (הנתונים בס"מ)‪.‬‬
‫‪ .‬א‪ 165‬סמ"ר‬
‫‪ .‬ב‪ 500‬סמ"ר‬
‫‪ .‬ג‪ 1900‬סמ"ר‬
‫‪ .‬ד‪ 2700‬סמ"ר‬
‫‪60‬‬
‫‪40‬‬
‫‪20‬‬
‫‪7 .7‬מסביב לבריכת שחיה בצורת מלבן ישנה מדרכה כפי שמראה הציור‪.‬‬
‫מהו שטח המדרכה? (הנתונים ב‪-‬מ')‬
‫‪ .‬א‪ 100‬מ"ר‬
‫‪23‬‬
‫‪18‬‬
‫‪ .‬ב‪ 161‬מ"ר‬
‫‪ .‬ג‪ 710‬מ"ר‬
‫‪ .‬ד‪ 1610‬מ"ר‬
‫‪-2-‬‬
‫‪45‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪70‬‬
‫‪50‬‬
‫בריכה‬
‫מדרכה‬
‫מתמטיקה לכיתה ח' ‪ -‬חלק א' ‪ -‬אתי עוזרי & יצחק שלו‬
‫מעודכן ליום‪12.11.2010 :‬‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫חומר השלמה בנושא "חישובי שטחים"‪ ,‬הנדרש על‪-‬פי הוראת משרד‬
‫החינוך‪ .‬יש לשלב חומר זה כמפורט בפריסה השבועית של תוכנית ההוראה‬
‫על‪-‬פי ספרנו לכיתה ח' ‪ -‬חלק א'‪.‬‬
‫‪8 .8‬בחזית בניין יש גינה הצמודה לקיר החזית‪.‬‬
‫את הגינה מקיף שביל (צבוע באפור) שמידותיו נתונות בציור‬
‫מהו שטח השביל?‬
‫ג‪ 48 .‬מ"ר‬
‫א‪ 100 .‬מ"ר‬
‫ד‪ 36 .‬מ"ר‬
‫ב‪ 52 .‬מ"ר‬
‫גינה‬
‫‪ 8‬מ'‬
‫‪9 .9‬לכמה משולשים בצורה ובגודל של המשולש הצבוע באפור‪,‬‬
‫ניתן לחלק את הטרפז?‬
‫‪ .‬אשלוש‬
‫‪2‬‬
‫‪ .‬בארבע‬
‫‪ .‬גחמש‬
‫‪ .‬דשש‬
‫בנין‬
‫‪ 10‬מ'‬
‫‪ 6‬מ'‬
‫‪ 10‬מ'‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1010‬בסרטוט נתון מלבן ושני משולשים ישרי‪-‬זווית ושווי‪-‬שוקיים‬
‫החופפים זה לזה והמחוברים למלבן‪.‬‬
‫על‪-‬סמך הנתונים הרשומים על גבי הסרטוט‪,‬‬
‫חשבו את שטח הצורה שהתקבלה‪.‬‬
‫הציגו את דרך החישוב‪.‬‬
‫‪ 6‬ס"מ‬
‫‪ 3‬ס"מ‬
‫‪1111‬הטרפז שבסרטוט חולק למלבן ולמשולש‪.‬‬
‫למי משניהם שטח גדול יותר?‬
‫הסבירו את תשובתכם‪.‬‬
‫‪ 20‬ס"מ‬
‫‪ 15‬ס"מ‬
‫‪ 3‬ס"מ‬
‫‪1212‬בציור שלפניכם מלבן הצבוע‬
‫באפור והנמצא בתוך מקבילית‪.‬‬
‫מה שטח המלבן הצבוע באפור?‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫‪ 8‬ס"מ‬
‫‪ 2‬ס"מ‬
‫‪1313‬לפניכם מלבן ובתוכו מקבילית‬
‫הצבועה באפור‪.‬‬
‫חשבו את שטח המקבילית‪.‬‬
‫‪ 3‬ס"מ‬
‫‪ 2‬ס"מ‬
‫‪-3-‬‬
‫‪ 10‬ס"מ‬
‫מתמטיקה לכיתה ח' ‪ -‬חלק א' ‪ -‬אתי עוזרי & יצחק שלו‬
‫מעודכן ליום‪12.11.2010 :‬‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫חומר השלמה בנושא "חישובי שטחים"‪ ,‬הנדרש על‪-‬פי הוראת משרד‬
‫החינוך‪ .‬יש לשלב חומר זה כמפורט בפריסה השבועית של תוכנית ההוראה‬
‫על‪-‬פי ספרנו לכיתה ח' ‪ -‬חלק א'‪.‬‬
‫‪1414‬הצורה מורכבת מ ‪ 5 -‬ריבועים בעלי אותו שטח‪.‬‬
‫שטח הצורה כולה הוא ‪ 245‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .‬אמצאו את השטח של ריבוע אחד‪.‬‬
‫‪ .‬במצאו את אורך הצלע של ריבוע אחד‪.‬‬
‫‪ .‬גמצאו את ההיקף בס"מ של הצורה כולה‪.‬‬
‫‪1515‬לפניכם צורה המורכבת מריבועים זהים לאלה שבסרטוט ‪.1‬‬
‫השטח של הצורה הוא ‪ 54‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .‬אמה אורך הצלע של ריבוע אחד (סרטוט ‪?)1‬‬
‫(סרטוט ‪)1‬‬
‫‪ .‬במה היקף הצורה כולה (סרטוט ‪?)2‬‬
‫‪ .‬גכתבו ביטוי אלגברי לשטח של צורה המורכבת‬
‫מ ‪ n -‬ריבועים זהים כמו אלה שבסרטוט ‪.1‬‬
‫(סרטוט ‪)2‬‬
‫‪1616‬בסרטוט ‪ 1‬יש מלבן‪.‬‬
‫לפניכם צורה המורכבת ממלבנים זהים לאלה שבסרטוט ‪.1‬‬
‫השטח של הצורה הוא ‪ 48‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪ .‬אמה השטח של כל אחד מהמלבנים?‬
‫‪ .‬בהאורך של כל מלבן גדול פי שניים מרוחבו‪.‬‬
‫(סרטוט ‪)1‬‬
‫מהן המידות של צלעות המלבן? (סרטוט ‪)1‬‬
‫‪ .‬גמה היקף הצורה כולה (סרטוט ‪?)2‬‬
‫‪ .‬דכתבו ביטוי אלגברי לשטח של צורה המורכבת‬
‫מ ‪ n -‬מלבנים זהים כמו אלה שבסרטוט ‪.1‬‬
‫(סרטוט ‪)2‬‬
‫‪ a‬ס"מ‬
‫‪1717‬נתון מלבן שמידותיו הן ‪ a‬ס"מ ו ‪ 4 -‬ס"מ‪:‬‬
‫‪ .‬ארשמו ביטוי אלגברי להיקף המלבן‪.‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫מעין סרטטה שלושה מלבנים צמודים זה לזה‪,‬‬
‫כמתואר בסרטוט הבא‪:‬‬
‫‪ .‬ברשמו ביטוי אלגברי להיקף הצורה שהתקבלה‪.‬‬
‫‪ .‬גרשמו ביטוי אלגברי לשטח הצורה שהתקבלה‪.‬‬
‫‪-4-‬‬
‫‪ a‬ס"מ‬
‫‪2‬‬
‫ס"מ‬
‫‪ a‬ס"מ ‪ a‬ס"מ‬
‫‪3‬‬
‫ס"מ‬
‫‪4‬‬
‫ס"מ‬
‫מתמטיקה לכיתה ח' ‪ -‬חלק א' ‪ -‬אתי עוזרי & יצחק שלו‬
‫מעודכן ליום‪12.11.2010 :‬‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫חומר השלמה בנושא "חישובי שטחים"‪ ,‬הנדרש על‪-‬פי הוראת משרד‬
‫החינוך‪ .‬יש לשלב חומר זה כמפורט בפריסה השבועית של תוכנית ההוראה‬
‫על‪-‬פי ספרנו לכיתה ח' ‪ -‬חלק א'‪.‬‬
‫רוחב‬
‫‪1818‬לפניכם סרטוט של מלבן‪.‬‬
‫‪ .‬אסרטטו במשבצות שלהלן מלבן שאורכו פי אחד וחצי מאורך המלבן‬
‫שבסרטוט ורוחבו חצי מרוחב המלבן שבסרטוט‪.‬‬
‫ציינו על גבי הסרטוט את האורך ואת הרוחב בסנטימטרים של‬
‫המלבן החדש‪ .‬ממדי כל משבצת הם ‪ 1‬ס"מ על ‪ 1‬ס"מ‪.‬‬
‫‪ 4‬ס"מ‬
‫‪ 6‬ס"מ‬
‫אורך‬
‫‪ .‬בבכמה קטן שטח המלבן החדש משטח המלבן המקורי?‬
‫‪ 2‬ס"מ‬
‫‪ .‬במהו היחס בין שטח המלבן המקורי לבין שטח המלבן החדש?‬
‫‪-5-‬‬
‫רוחב‬
‫‪1919‬לפניכם סרטוט של מלבן‪.‬‬
‫‪ .‬אסרטטו במשבצות שלהלן מלבן שאורכו שלושה רבעים‬
‫מאורך המלבן הנתון ורוחבו גדול פי שניים וחצי‬
‫מרוחב המלבן הנתון‪.‬‬
‫ציינו על גבי הסרטוט את האורך ואת הרוחב‬
‫בסנטימטרים של המלבן החדש‪.‬‬
‫אורך‬
‫‪ 8‬ס"מ‬
‫מתמטיקה לכיתה ח' ‪ -‬חלק א' ‪ -‬אתי עוזרי & יצחק שלו‬
‫מעודכן ליום‪12.11.2010 :‬‬
‫‪www.mathstar.co.il‬‬
‫חומר השלמה בנושא "חישובי שטחים"‪ ,‬הנדרש על‪-‬פי הוראת משרד‬
‫החינוך‪ .‬יש לשלב חומר זה כמפורט בפריסה השבועית של תוכנית ההוראה‬
‫על‪-‬פי ספרנו לכיתה ח' ‪ -‬חלק א'‪.‬‬
‫‪2020‬נתון מלבן ‪.ABCD‬‬
‫הנקודה ‪ E‬היא אמצע הקטע ‪ .AB‬חיברו את הנקודה ‪ E‬עם קודקודי המלבן ‪D, C‬‬
‫‪ .‬אנמקו מדוע משולש ‪ DEC‬הוא משולש שווה שוקיים‪ ,‬כלומר ‪.EC = ED‬‬
‫‪ .‬בפי כמה גדול שטח המלבן ‪ ABCD‬משטח המשולש ‪?DEC‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪2121‬בציור שלפניכם‪ ABCD ,‬הוא מלבן‪,‬‬
‫ולכל אחד מהמעגלים ‪ P, Q‬רדיוס של ‪ 5‬ס"מ‪.‬‬
‫מהו שטח המלבן?‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ 5‬ס"מ‬
‫‪P‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪C‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ 50‬סמ"ר‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ 60‬סמ"ר‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ 100‬סמ"ר‬
‫ד‪.‬‬
‫‪2222‬בכיכר עגולה שהרדיוס שלה הוא ‪ 5‬מ' הוחלט לרצף מגרש מלבני‬
‫שאורכי צלעותיו הם ‪ 6‬מ' ו ‪ 8 -‬מ'‪.‬‬
‫‪ .‬גחשבו את שטח הכיכר ושטח המגרש המלבני‪.‬‬
‫‪ .‬דמצאו פי כמה גדול שטח הכיכר משטח המגרש‪.‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ 200‬סמ"ר‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫תשובות‬
‫‪ 12 .1‬סמ"ר ‪ 40 .2‬ס"מ ‪ 69 .3‬סמ"ר ‪ .4‬שטח‪ 112 :‬מ"ר‪ ,‬היקף‪ 64 :‬מ'‬
‫‪ .7‬ג ‪ .8‬ב ‪ .9‬ג ‪ 27 .10‬סמ"ר‬
‫‪ .6‬ג‬
‫‪.11‬‬
‫‬
‫‪.12‬‬
‫‪.15‬‬
‫‪.16‬‬
‫‪.17‬‬
‫‪.18‬‬
‫‪.20‬‬
‫‪ 18 .5‬סמ"ר ‬
‫למלבן‪ .‬הנימוק‪ :‬נסמן את הצלע המשותפת ב ‪ .a -‬שטח המלבן הוא ‪ 15a‬ושטח המשולש הוא‬
‫___‬
‫‪20a‬‬
‫‪. ​  2    ​= 10a‬‬
‫‪ 20‬סמ"ר ‪ 24 .13‬סמ"ר ‪ .14‬א) ‪ 49‬סמ"ר ב) ‪ 7‬ס"מ ג) ‪ 84‬ס"מ‬
‫א) ‪ 3‬ס"מ ב) ‪ 36‬ס"מ ג) ‪ 9n‬סמ"ר‬
‫א) ‪ 8‬ס"מ ב) ‪ 4‬ס"מ על ‪ 2‬ס"מ ג) ‪ 40‬ס"מ ד) ‪ 8n‬סמ"ר‬
‫א) ‪ 8 + 2a‬ס"מ ב) ‪ 6a + 8‬ס"מ ג) ‪ 9a‬סמ"ר‬
‫__‬
‫ב) ‪ 6‬סמ"ר ‪ .19‬ב) ​ ​   ‪8‬‬
‫‪15‬‬
‫א) ‪ ∆AED ≅ ∆BEC‬לפי שוויון של שתי צלעות (‪ AE = EB‬ו ‪ )AD = BC -‬והזווית ביניהן‬
‫‬
‫‬
‫‪8‬‬
‫‬
‫)‪ ,( A = B = 90°‬כלומר המשולשים חופפים לפי משפט החפיפה צ‪.‬ז‪.‬צ‪ .‬לכן ‪ DE = EC‬כי הן‬
‫הזוויות שמול הצלעות השוות במשולשים החופפים‪ .‬ב) פי ‪2‬‬
‫‪ .21‬ד ‪ .22‬א) שטח הכיכר‪ 78.5 :‬מ"ר; שטח המגרש המלבני‪ 48 :‬מ"ר ב) פי ‪1.635‬‬
‫‪-6-‬‬