עבודת קיץ

‫קיץ תשע"ג‬
‫עבודת קיץ במתמטיקה לבוגרי כיתה ח'‬
‫תלמידים יקרים‪,‬‬
‫כמידי סוף שנה אנו מציידים אתכם בעבודת קיץ במתמטיקה לחזרה וריענון בנושאים השונים שנלמדו‬
‫השנה‪.‬‬
‫בתחילת שנת הלימודים תשע"ד ייערך מבחן במתמטיקה שייכלול את הנושאים שנלמדו בכיתה ח' ומופיעים‬
‫בעבודה זו‪:‬‬
‫ יחס‪ ,‬פרופורציה וקנה מידה‬‫ פונקציה קוית‬‫ דימיון משולשים‬‫ משוואות‪ ,‬אי שיוויונות ובעיות מילוליות‬‫ אחוזים‬‫ סטטיסטיקה והסתברות‬‫ משפט פיתגורס‬‫ מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים‬‫ טכניקה אלגברית (חוק הפילוג המורחב‪ ,‬הוצאת גורם משותף‪ ,‬צמצום שברים אלגבריים)‬‫ גיאומטריה (חפיפת משולשים‪ ,‬ישרים מקבילים‪ ,‬משולש שווה שוקיים‪ ,‬משפט חפיפה רביעי‪ ,‬משולש ישר‬‫זוית‪ ,‬התיכון ליתר שווה למחציתו‪ ,‬שטחים והיקפים ‪ ‬דגש על כתיבת הוכחות)‬
‫אנו מקווים שתדעו לנצל את החופשה היטב‪ ,‬תהנו ‪ ,‬תנוחו ותאזרו כוחות לקראת השנה הבאה‪.‬‬
‫בברכת חופשה נעימה‪,‬‬
‫צוות המתמטיקה‬
‫‪1‬‬
‫יחס‪ ,‬פרופורציה וקנה מידה‬
‫‪ .0‬במבחן במתמטיקה שנערך בכיתות ח'‪ 0‬ו‪ -‬ח'‪ ,2‬היחס בין מספר הנכשלים לבין מספר העוברים‬
‫הוא ‪ 2:7‬בכל אחת מהכיתות‪.‬‬
‫א‪ .‬ידוע כי ‪ 8‬תלמידים בכיתה ח'‪ 0‬נכשלו במבחן‪ .‬כמה תלמידים עברו את המבחן?‬
‫ב‪ .‬כמה התלמידים לומדים בכיתה ח'‪?0‬‬
‫ג‪ .‬בכיתה ח'‪ 2‬עברו את המבחן ‪ 20‬תלמידים‪ .‬כמה תלמידים נכשלו?‬
‫ד‪ .‬כמה תלמידים לומדים בכיתה ח'‪?2‬‬
‫ה‪ .‬האם ייתכן שבכיתה ח'‪ 0‬נכשלו ‪ 9‬תלמידים? נמקו‪.‬‬
‫‪ .2‬אייל וארז קנו ביחד חבילה אחת של סוכריות‪ .‬אייל שילם ‪ 03‬ש"ח וארז שילם ‪ 21‬ש"ח‪.‬‬
‫א‪ .‬מה היחס בין הסכום ששילם אייל לבין הסכום ששילם ארז?‬
‫ב‪ .‬בחבילה היו ‪ 28‬סוכריות והן חולקו בהתאם ליחס בין הסכומים ששילמו אייל וארז‪.‬‬
‫כמה סוכריות קיבל כל אחד מהם?‬
‫‪ .5‬נתון משולש ישר זווית שאורכי ניצביו הם ‪ 7‬ס"מ ו‪ 01 -‬ס"מ‪.‬‬
‫הקטינו את אורכי הניצבים בצורה פרופורציונלית‪,‬‬
‫וקיבלו משולש ישר זווית‪ ,‬שאחד מניצביו הוא‬
‫‪ 7‬ס"מ‬
‫‪ 5.3‬ס"מ‬
‫‪ 5.3‬ס"מ (ראה שרטוט)‪ .‬חשבו את היקף המשולש החדש‪.‬‬
‫‪ 01‬ס"מ‬
‫‪ .4‬לפניכם תרשים של דירה (‪.)ABCD‬‬
‫התרשים משורטט בקנה מידה של ‪.0:231‬‬
‫א‪ .‬מהן מידותיו של חדר המגורים במציאות?‬
‫ב‪ .‬מהו שטח הדירה במציאות?‬
‫ג‪ .‬מהו אורך הטפט לו ההורים זקוקים‪,‬‬
‫אם הם רוצים לתלות אותו מסביב לכל חדר המשחקים?‬
‫אחוזים‬
‫‪ .0‬בשקית יש סוכריות חמוצות וסוכריות מתוקות‪ 41% .‬מהסוכריות בשקית הן מתוקות‪ .‬מהו מספר‬
‫הסוכריות החמוצות‪ ,‬אם ידוע שמספר הסוכריות המתוקות הוא ‪?08‬‬
‫‪ .2‬חקלאים בקיבוץ ארזו תפוזים בקופסאות קרטון‪ 21% .‬מהקופסאות נמכרו לחנויות בצפון‪ ,‬ו‪061 -‬‬
‫הקופסאות הנותרות נמכרו לחנויות במרכז הארץ‪ .‬כמה קופסאות ארזו בקיבוץ בסה"כ?‬
‫‪ .5‬קופסת קורנפלקס במבצע מכילה ‪ 21%‬יותר מאשר קופסת קורנפלקס רגילה‪ .‬בקופסא במבצע יש ‪841‬‬
‫גרם קורנפלקס‪ .‬כמה גרם יש בקפסא רגילה?‬
‫‪2‬‬
‫‪ .4‬נתון מלבן שאורכי צלעותיו הם ‪ 4‬ס"מ ו‪ 8 -‬ס"מ‪ .‬הגדילו את שתי הצלעות הנגדיות הקצרות של‬
‫המלבן ב‪ ,23% -‬והקטינו את שתי הצלעות הנגדיות הארוכות של המלבן ב‪.73% -‬‬
‫א‪ .‬חשב את השטח וההיקף של המלבן המקורי‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את שטח וההיקף של המלבן החדש‪.‬‬
‫ג‪ .‬בכמה אחוזים קטן שטח המלבן החדש משטח המלבן המקורי?‬
‫פונקציה קוית‬
‫‪2‬‬
‫‪ .0‬נתונות הפונקציות הבאות‪g ( x)  2 x  8 :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f ( x)   x  4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪,‬‬
‫א‪ .‬התאם לכל פונקציה את הגרף שלה‪.‬‬
‫ב‪ .‬מצא את שיעורי הנקודות ‪ C ,B ,A‬ו‪.D -‬‬
‫ג‪ .‬הראה כי ‪. S1  S 2‬‬
‫ד‪ .‬חשב את משוואת הישר ‪.BD‬‬
‫ה‪ .‬האם הישר ‪ AC‬מקביל לישר ‪ ?BD‬נמק‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.5‬‬
‫ו‪ .‬מהו התחום עבורו )‪? g ( x)  f ( x‬‬
‫‪ .4‬א‪ .‬מצא את משוואת הישר ששיפועו ‪ 3‬ועובר דרך נקודת החיתוך של הישר ‪ y  4 x  10‬עם ציר ‪.y‬‬
‫ב‪ )i .‬מצא את משוואת הישר ששיפועו ‪ -5‬ועובר דרך הנקודה (‪.)-5 ; 8‬‬
‫‪ )ii‬אילו מבין הנקודות הבאות נמצאות על הישר מסעיף (ב‪)-0 ; 2( ,)-4 ; 3( ,)-2 ; 0(, )0 ; -4( :)i -‬‬
‫‪3‬‬
‫משוואות‪ ,‬אי שיוויונות ושאלות מילוליות‬
‫‪ .0‬פתרו את המשוואות הבאות‪ ,‬רשמו קבוצת הצבה במשוואות המתאימות ובדקו את תשובותכם‪.‬‬
‫‪5 x  6 3x  6‬‬
‫‪‬‬
‫א‪ 0 .‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫ה‪.‬‬
‫‪3  5x 2  7 x 5  x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪6x‬‬
‫‪3x  1 11x  1 5 x  11‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫ו‪.‬‬
‫‪20 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪x 1 x‬‬
‫‪3x  4 5 x  3 2 x  4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫ז‪.‬‬
‫‪3x  6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪6 3 4 1‬‬
‫‪  ‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪x 4 x 12‬‬
‫ח‪.‬‬
‫‪4x 1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪ .2‬פתרו את אי השיוויונות הבאים‪ ,‬שרטטו את הפיתרון על ציר המספרים‪.‬‬
‫א‪ 33x  1  7 x  5 .‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪x  7x  2  xx  9‬‬
‫ג‪ 35  x   4 x  3  47 .‬‬
‫‪x  3 4 x  12‬‬
‫‪‬‬
‫ד‪ 0 .‬‬
‫‪2‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .5‬סכום הגילאים של אב ובנו הוא ‪.31‬‬
‫לפני ‪ 3‬שנים גיל האב היה פי ‪ 7‬מגיל הבן‪.‬‬
‫בני כמה האב והבן היום?‬
‫‪ .4‬בעל חנות גלידה קנה סוכריות צבעוניות ופתיתי שוקולד לקישוט כדורי הגלידה שנמכרים בחנותו‪.‬‬
‫מחיר ק"ג אחד של סוכריות צבעוניות הוא ‪ 23‬ש"ח‪ ,‬ומחיר ק"ג אחד של פתיתי שוקולד הוא ‪ 53‬ש"ח‪.‬‬
‫בסך הכל קנה בעל החנות ‪ 8‬ק"ג‪ ,‬ושילם עבור הקנייה ‪ 221‬ש"ח‪.‬‬
‫כמה ק"ג סוכריות צבעוניות וכמה ק"ג פתיתי שוקולד קנה בעל חנות הגלידה?‬
‫‪ .3‬מונית ומשאית יצאו באותו הזמן מעיר א' לעיר ב'‪.‬‬
‫מהירות המשאית הייתה ‪ 31‬קמ"ש‪ ,‬ומהירות המונית הייתה ‪ 73‬קמ"ש‪.‬‬
‫המשאית הגיעה לעיר ב' ‪ 5‬שעות אחרי המונית‪.‬‬
‫חשב את זמן הנסיעה של כל אחד מהרכבים ואת המרחק בין הערים‪.‬‬
‫‪ .6‬משני מקומות שהמרחק בינהם הוא ‪ 052‬ק"מ יצאו בשעה ‪ 6:11‬שני רוכבי אופניים ורכבו זה לקראת‬
‫זה‪ .‬מהירותו של רוכב אחד הייתה קטנה ב‪ 5 -‬קמ"ש ממהירותו של הרכב השני‪.‬‬
‫שני הרוכבים נפגשו בשעה ‪.01:11‬‬
‫מצא את המהירות של כל אחד מהרוכבים ואת המרחק שכל אחד מהם עבר עד הפגישה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים‬
‫‪ .0‬פתור את מערכות המשוואות הבאות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪2 x  y  7‬‬
‫‪‬‬
‫‪7 x  2 y  19‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ 2x  y 9 y  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪5 x  4 y  33‬‬
‫ד‪.‬‬
‫‪ 2x y‬‬
‫‪ 3  2  5‬‬
‫‪‬‬
‫‪5x  3 y  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪7  2x y  8‬‬
‫‪ 5  10  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x 1  4  5y  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ .2‬מחירם של ‪ 7‬ק"ג אפרסקים ו‪ 5 -‬ק"ג ענבים הוא ‪ 21‬ש"ח‪.‬‬
‫המחיר של ‪ 3‬ק"ג אפרסקים גבוה ב‪ 6 -‬ש"ח מהמחיר של ‪ 2‬ק"ג ענבים‪.‬‬
‫א‪ .‬סמנו ב‪ x -‬את מחיר ק"ג האפרסקים וב‪ y -‬את מחיר ק"ג הענבים‪ ,‬ורשמו מערכת משוואות‬
‫המתאימה לבעיה זו‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו המחיר של ק"ג אפרסקים? ומהו המחיר של ק"ג ענבים?‬
‫‪ .5‬התאם בין הייצוג האלגברי לייצוג הגרפי והסבר‪:‬‬
‫‪6 x  9 y  12‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 x  3 y  4‬‬
‫‪6 x  9 y  4‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 x  3 y  12‬‬
‫‪9 x  3 y  12‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3 x  2 y  8‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪5‬‬
‫טכניקה אלגברית (חוק הפילוג המורחב)‬
‫‪.0‬‬
‫‪ .2‬נתון ריבוע שאורך צלעו ‪ x‬ס"מ‪.‬‬
‫האריכו את צלעות הריבוע כמתואר בשרטוט וקיבלו מלבן‪.‬‬
‫ידוע כי שטח המלבן שהתקבל גדול ב‪ 47 -‬סמ"ר משטח הריבוע‪.‬‬
‫א‪ .‬רשום משוואה מתאימה ומצא את אורך צלע הריבוע‪.‬‬
‫ב‪ .‬חשב את היקף המלבן‪.‬‬
‫‪ .5‬היקפו של המלבן משמאל הוא ‪ 06‬ס"מ‪.‬‬
‫אם מגדילים את הצלע האחת שלו ב‪ 5 -‬ס"מ ואת הצלע השנייה ב‪ 4 -‬ס"מ‪,‬‬
‫מקבלים מלבן חדש ששטחו גדול ב‪ 40 -‬סמ"ר משטח המלבן המקורי‪.‬‬
‫חשב את צלעות המלבן המקורי‪.‬‬
‫פירוק לגורמים‬
‫‪ .0‬פרקו לגורמים את הביטויים הבאים‪:‬‬
‫א‪ 5x  15 .‬‬
‫ב‪ 3x 2  9 x .‬‬
‫ג‪5 x  x 2 .‬‬
‫ד‪4 x 3  16 x .‬‬
‫‪ .2‬פתרו את המשוואות הבאות‪ ,‬העזרו בפירוק לגורמים‪:‬‬
‫ב‪6 x 2  18x  0 .‬‬
‫א‪x 2  7 x  0 .‬‬
‫ג‪5x 2  3x  4 x 2  x .‬‬
‫‪ .5‬פתרו את המשוואות הבאות (העזרו בפירוק לגורמים)‪ ,‬רשמו קבוצת הצבה ובדקו את הפתרון‪.‬‬
‫‪x2  7x‬‬
‫א‪ 0 .‬‬
‫‪x‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪x 2  4x‬‬
‫ב‪ 0 .‬‬
‫‪3x  12‬‬
‫‪x 2  8x‬‬
‫ג‪ 15  6 x .‬‬
‫‪x 8‬‬
‫‪x 2  6x‬‬
‫ד‪ 2 .‬‬
‫‪3x  18‬‬
‫א‪ .‬השלימו מספרים או ביטויים כך שאפשר יהיה לצמצם את השבר‪.‬‬
‫)‪)( x  1‬‬
‫‪x  x2‬‬
‫‪3‬‬
‫(‬
‫)‪iii‬‬
‫(‪5 x‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪4x  4x‬‬
‫)‪ii‬‬
‫ב‪ .‬צמצמו את השברים האלגבריים (רשום את קבוצת ההצבה)‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪)( x  1‬‬
‫(‬
‫‪2‬‬
‫‪6 x  18x‬‬
‫)‪i‬‬
‫סטטיסטיקה והסתברות‬
‫‪ .0‬הציון הממוצע של תלמיד בחמישה מבחנים הוא ‪.72‬‬
‫התלמיד נבחן במבחן נוסף (שישי) וקיבל בו את הציון ‪.91‬‬
‫א‪ .‬מהו ממוצע הציונים של התלמיד בששת המבחנים?‬
‫ב‪ .‬התלמיד נבחן במבחן נוסף (שביעי)‪ ,‬וציונו הממוצע בשבעת המבחנים גדל ל‪.78 -‬‬
‫מהו הציון של התלמיד במבחן השביעי?‬
‫ג‪ .‬בחישוב חמשת הציונים הראשונים של התלמיד התגלתה טעות‪ .‬כדי לתקן אותה הוסיף המורה‬
‫‪ 2‬נקודות לכל אחד מחמשת הציונים הראשונים‪ .‬מהו ממוצע הציונים של התלמיד בשבעת המבחנים‬
‫לאחר תיקון הטעות?‬
‫‪.2‬‬
‫‪ .5‬במסיבה נמכרו ‪ 511‬כרטיסי הגרלה‪ .‬הפרסים שחולקו בהגרלה הם‪:‬‬
‫‪ 0‬אופניים‪ 5 ,‬מערכות סטריאו‪ 02 ,‬משחקי מחשב‪ ,‬ו‪ 51 -‬תקליטורי מוזיקה‪.‬‬
‫א‪ .‬מה ההסתברות לזכות במערכת סטריאו?‬
‫ב‪ .‬מה ההסתברות לזכות בתקליטור מוזיקה?‬
‫ג‪ .‬מה ההסתברות לזכות בפרס כלשהו?‬
‫ד‪ .‬מה ההסתברות לא לזכות כלל בפרס?‬
‫‪.4‬‬
‫‪7‬‬
‫הצבות‬
‫‪ .0‬נתונה הפונקציה ‪y = x2 - 2x +1 :‬‬
‫מהו הערך של ‪ y‬אם נתון ‪x = -1 , x = 0 , x = 5 :‬‬
‫‪ .2‬נתונה הפונקציה ‪y = - x2 - 2x +1 :‬‬
‫הצבות – תזכורת‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , x‬הציבו ‪x = -2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(-2) = 4‬‬
‫הצבה של מספר שלילי תמיד בתוך סוגריים!‬
‫‪2‬‬
‫‪x = -2‬‬
‫‪ , - x‬הציבו ‪x = 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪-( -2 ) = -4‬‬
‫‪-2 = - 4‬‬
‫מהו הערך של ‪ y‬אם נתון ‪x = -2 , x = -1 , x = 0 :‬‬
‫‪ .5‬נתונה הפונקציה ‪y = -2x2 - 4x +4 :‬‬
‫מהו הערך של ‪ y‬אם נתון ‪x = -3 , x = -3 , x = 5 :‬‬
‫משפט פיתגורס ודימיון משולשים‬
‫‪ .0‬בשרטוט משמאל נתונים מלבן ‪ CBED‬ומשולש ‪.BEA‬‬
‫נתון כי‪ 9 :‬ס"מ = ‪ 40 ,AE‬ס"מ = ‪ 59 ,AB‬ס"מ = ‪.AD‬‬
‫א‪ .‬חשב את אורך צלע ‪.BE‬‬
‫ב‪ .‬חשב את אורך צלע ‪.BC‬‬
‫ג‪ .‬חשב את היקף מרובע ‪.ABCD‬‬
‫ד‪ .‬חשב את אורך אלכסון ‪ CE‬במלבן ‪.BCDE‬‬
‫‪ .2‬מצאו על פי הנתונים שבשרטוט את אורך הקטע ‪.x‬‬
‫ב‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ .5‬בשרטוט שלפניך נתון כי ‪DE‬‬
‫‪. AB‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע המשולשים שבשרטוט דומים וכתוב את הדימיון בכתיב אלגברי‪.‬‬
‫ב‪ .‬מהו יחס הדימיון בין המשולש הקטן למשולש הגדול?‬
‫ג‪ .‬חשב על פי הנתונים שבשרטוט את אורכי הצלעות ‪ DE‬ו‪.CE -‬‬
‫ד‪ .‬מהו יחס השטחים בין המשולש הקטן למשולש הגדול?‬
‫ה‪ .‬ידוע כי שטח המשולש הגדול הוא ‪ 093‬סמ"ר‪.‬‬
‫חשבו את שטח המשולש הקטן‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫גיאומטריה‬
‫‪.0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ .6‬משולש ‪ ABC‬הוא שווה שוקיים (‪)AB = AC‬‬
‫הנקודה ‪ D‬נמצאת על המשך הצלע ‪.AB‬‬
‫הנקודה ‪ E‬נמצאת על המשך הצלע ‪.AC‬‬
‫א‪ .‬הסבר מדוע‬
‫ב‪ .‬נתון גם‪BD = CE :‬‬
‫הנקודה ‪ F‬היא אמצע ‪BC‬‬
‫הוכח כי ‪BDF  CEF‬‬
‫(פרט את החפיפה ואת משפט החפיפה בו השתמשת)‬
‫‪.7‬‬
‫פתרו בשתי דרכים שונות‬
‫‪.8‬‬
‫א‪ .‬משולש ‪ DEC‬הוא שווה שוקיים‪.‬‬
‫ב‪A  C .‬‬
‫ג‪BE + ED = AB .‬‬
‫‪.9‬‬
‫‪.01‬‬
‫‪11‬‬