גיאומטריה דדוקטיבית לכתה ח

‫‪1‬‬
‫גיאומטריה דדוקטיבית בחטיבת הבינים‬
‫עמוס ארליך‬
‫בכתוב להלן חלק לכל חברי ועדת התוכנית במתמטיקה לחט"ב‪ ,‬ובמיוחד יש להדגיש את חלקם של מיכאל קורן ושל דן‬
‫עמיר‪ ,‬עם זאת יש כאן פרטים שלא תואמו איתם והאחריות על הנוסח הנוכחי היא עלי‪.‬‬
‫אנו מלמדים גיאומטריה הן בגלל שימושיה המעשיים והן בגלל היותה דוגמת‪-‬מופת למבנה מחשבתי‬
‫שיטתי ומבוסס היטב‪.‬‬
‫אילו היו השימושים המעשיים עיקר הייתי מציע שרוב התלמידים יסתפקו בדרך לחישוב שטח מלבן‪.‬‬
‫אולי גם בזה ששטח עיגול שווה‪ ,‬עד כדי דיוק של חצי פרומיל‪ ,‬לשטח הריבוע החוסם כפול ב‪11/14 -‬‬
‫והיקף המעגל שווה לקוטר כפול ב‪ .22/7 -‬למען הגילוי הנאות אני מקדים ומצהיר שהצד הפרקטי של‬
‫הגיאומטריה הוא‪ ,‬בעיני‪ ,‬בעיקר מכשיר המסיע להכנסת חשיבה מתמטית‪.‬‬
‫אין אני סבור שמה שנקרא "חשיבה מתמטית" היא צורת חשיבה עליונה המתאימה לכל נושא‪ .‬למשל‪,‬‬
‫אי הבהירות והסתירות הפנימיות שבספר "שיר השירים" הם כלי ביטוי חיוני בספר זה‪ .‬אך הרשימה‬
‫הנוכחית מתכוונת לטפל בחלק קטן אחד של אגף אחד בלבד של התרבות האנושית‪.‬‬
‫מהו החלק החיוני לכלל התלמידים‬
‫אם נוותר על רכיבים פחות חיוניים של תוכניות הלימודים הישנות בגיאומטריה‪ ,‬ניתן לבנות תוכנית‬
‫לימודים )וספרי לימוד מתאימים( לכתות ז ח ‪ ,‬שיביאו את חלק הארי של התלמידים לידי הכרה‬
‫פסיבית של מערכת הכוללת הנחות‪-‬יסוד )אכסיומות( ברורות ומערכת היסקים חד משמעיים‬
‫המוליכים מהם אל מסקנות שיש בהן עניין‪.‬‬
‫ב"הכרה פסיבית" אני כולל עיון בשאלה האם ההנחות באמת מחייבות את המסקנות‪ .‬גם מי שאין לו‬
‫הצירוף המתאים של רצון ויכולת הדרושים לגילוי משפטים או למציאת הוכחות‪ ,‬יכול להקדיש‬
‫מחשבה מספקת לשאלה אם יש ממש במה שמציגים לפניו‪.‬‬
‫אינני מזלזל בפעילות של גילוי והוכחה בגיאומטריה אלמנטרית‪ .‬כל בני דורי שפנו למתמטיקה‬
‫וששאלתי אותם מה היה המניע העיקרי שלהם לבחירת כיוון זה‪ ,‬הצביעו על בעיות ההוכחה‬
‫בגיאומטריה‪ .‬חבל למנוע מתלמידים את ההזדמנות להתנסות בזה‪ ,‬אך לא הייתי רוצה שכשלונות‬
‫בתחום זה ימנעו מתלמידים רבים את האפשרות לראות מקרוב מערכת דדוקטיבית מסודרת‪ .‬לדעתי‬
‫זהו החלק החשוב ביותר של תרומתה של המתמטיקה לתרבות האנושית הכללית‪.‬‬
‫האם אני טוען שאנשי החינוך המתמטי שקדמו לנו לא היו שותפים למטרה המוצהרת שלנו?‬
‫הם היו שותפים! מחברים רבים הצהירו על מטרה זאת‪ ,‬אך אחר‪-‬כך הציעו תכנים שאינם מתיישבים‬
‫איתה‪ .‬המטרה הוחטאה בגלל דבקות במסורת‪-‬הוראה שנבנתה בתנאים מתמטיים ופדגוגיים שונים‬
‫משלנו‪.‬‬
‫כבר בשנות ה‪ 60-‬עלתה ההכרה בכך שתיקון הכשלים אשר הביאו להנמכת קומתה של הגיאומטריה‬
‫הדדוקטיבית בבתי הספר‪ ,‬מחייב סטיה ממסורת ההוראה הישנה‪ .‬כבר אז הוצע לוותר על הגישה‬
‫המפתחת חלק גדול ככל האפשר של הגיאומטריה לפני הכנסת נוסח זה או אחר של אכסיומת‬
‫המקבילים‪ .‬דובר במפורש על זה שלא כל מה שקסם לאוקלידס ושימש בסיס לפיתוחים מלהיבים בעת‬
‫החדשה‪ ,‬חייב או יכול להיות חלק מההשכלה המתמטית המוצעת לכלל התלמידים‪.‬‬
‫אוירת ההקשבה ההדדית ושיתוף הפעולה שהיתה בוועדת התוכנית‪ ,‬אפשרה לנו להעיז ולצעוד את‬
‫הצעדים הנוספים הנדרשים‪ .‬להערכתי היו קודמינו מקבלים בברכה את מה שבנינו‪.‬‬
‫על מה נוותר למען המטרה הראשית‪.‬‬
‫א‪ .‬נוותר על "תורת הגדרות"‪ .‬נסתמך במפורש על מושגים המוכרים מלימודי גיאומטריה בשלבים‬
‫מוקדמים‪ .‬לא נטרח להראות שכל המושגים שלנו מוגדרים תוך יציאה מרשימה מפורשת של מושגי‬
‫הוא‬
‫יסוד‪ .‬לא נגדיר משולש‪ .‬לא נגדיר מרובע למרות שהדבר משאיר אי בהירות בשאלה האם‬
‫‪2‬‬
‫מרובע )כי לא נעסוק בצורה כזאת(‪ .‬לעומת זאת נגדיר מלבן כדי שההוכחות הקשורות במושג זה‬
‫תהיינה בהירות ומלאות‪.‬‬
‫ב‪ .‬נותר על מינימליות של האכסיומות‪.‬‬
‫במסגרת הנוסחים הקלסיים של הגיאומטריה האוקלידית ניתן‪ ,‬למשל‪ ,‬להחליף את אכסיומת‬
‫המקבילים בטענה "יש מלבן"‪ ,‬כלומר‪ ,‬קיים לפחות מרובע אחד שכל זויותיו ישרות‪ .‬הנוסח "אם‬
‫במרובע שלוש זויות ישרות גם הרביעית ישרה" מכיל יותר מהמינימום הנדרש‪ .‬הנוסח המוסיף לזה‬
‫את המלים "וצלעותיו הנגדיות שוות זו לזו" חורג מן המינימליות הרבה מעבר למקובל‪ .‬אנו נשתמש‬
‫בנוסח "אם במרובע שלוש זויות ישרות אז הוא מלבן"‪ ,‬כאשר מלבן מתואר מראש כמרובע שזויותיו‬
‫ישרות וצלעותיו הנגדיות שוות‪ .‬ההגדרה הלא‪-‬מינימלית תואמת את התמונה ההיסתכלותית‬
‫והאכסיומה הלא‪-‬מינימלית מקצרת ומפשטת הוכחות‪.‬‬
‫ג‪ .‬נותר על פירוט הנחות נסתרות מסוימות הנראות ברורות מאליהן‪.‬‬
‫נתיחס אל העצמים הגיאומטריים כאל בעלי קיום עצמאי‪ ,‬ובני אדם יכולים ליצור לעצמם תמונות‬
‫סבירות שלהם‪ .‬כך נוכל להניח‪ ,‬למשל‪ ,‬שלכל קטע יש נקודת אמצע יחידה בלי לכתוב זאת כהנחה‬
‫ובלי להסיק זאת מהנחות היסוד שפירטנו‪ .‬כן נניח הנחה נסתרת יותר מרחיקת‪-‬לכת‪ ,‬ולפיה יש לכל‬
‫מצולע מידת‪-‬שטח‪ ,‬ואם קטע מחלק מצולע לשני מצולעים אז סכום שטחיהם שווה לשטחו‪.‬‬
‫ד‪ .‬נדחה את ההתנסות במציאת הוכחות לשלב יותר מאוחר‪.‬‬
‫לכתה ט‪ ,‬לקבוצה יותר מצומצמת של תלמידים‪ .‬גם זה יהיה יותר ממה שנעשה בשנים עברו‪.‬‬
‫הבדלים נוספים מן הגיאומטריה הישנה‬
‫הגיאומטריה המוצעת על ידינו היא גיאומטריה אוקלידית קלסית כי כל המשפטים והאכסיומות שלנו‬
‫הם גם משפטים‪-‬או‪-‬אכסיומות של הגיאומטריה האוקלידית המוכרת‪ .‬יותר מזה‪ ,‬כל השיקולים שיועלו‬
‫בפני התלמידים זהים או קרובים לאלה שהועלו בהצלחה גם בתוכניות הישנות‪ .‬ההבדלים בדרך‬
‫ההצגה נובעים לא רק מן הויתורים שסקרנו זה עתה אלא גם מזה שמושג הפַּשטוּת שלנו שונה מן‬
‫המקובל ומתכוון להתאים לעולמם של תלמידי חט"ב‪.‬‬
‫בעוד שסיפרי גיאומטריה מקובלים רואים במשולש מצולע פשוט ביותר )יש לו רק ‪ 3‬צלעות‪ ,‬אין לו‬
‫שום תכונה "מחייבת" אחרת‪ ,‬כל מצולע מורכב ממשולשים( אנו מעדיפים את המלבן‪ .‬המלבן מוכר‬
‫מאד‪ ,‬אנו מוקפים בצורות מלבניות ורגילים להשתמש בהן‪ ,‬ותכונות המלבן מאפשרות הסקת מסקנות‬
‫בקלות יחסית‪.‬‬
‫ודוגמה אחרת‪ :‬ישרים מקבילים הוגדרו בעבר‪ ,‬בגיאומטרית המישור‪ ,‬כישרים שאינם נפגשים )לא‬
‫לנגד עינינו ולא רחוק רחוק(‪ .‬מנקודת המבט של ניסוח לוגי זו הגדרה פשוטה‪ .‬העדפנו להגדיר הקבלה‬
‫על ידי קיומו של ניצב משותף‪ .‬זו הגדרה קונקרטית המתייחסת למה שמונח לפנינו‪ ,‬ומאפשרת הוכחה‬
‫מיידית לכך שמקבילים שומרים על מרחק קבוע‪) .‬רפלקסיביות יחס ההקבלה‪ ,‬שהיא תוצאה ישירה‬
‫מהגדרתנו‪ ,‬היא פחות חיונית מנקודת המבט של "מתמטיקה עכשיו"‪ ,‬אך היא תוצאה נעימה‪ .‬מצד שני‪,‬‬
‫בגישתנו קצת קשה להוכיח שאם ישרים במישור אינם מקבילים אז הם נפגשים‪ ,‬אך לא נזדקק‬
‫למשפט זה‪(.‬‬
‫הבדל נוסף נובע מזה שבימינו קל מאד לשלב טקסט ושרטוטים‪ .‬זה מאפשר לנו ללוות את הצגת‬
‫המבנה הדדוקטיבי בבניה הדרגתית של דיאגרמת היסקים הכוללת את האכסיומות‪ ,‬את המשפטים‬
‫ומערכת חיצים המראים מה נובע ממה‪ .‬פירוט להלן‪.‬‬
‫הכנה לפרק הדדוקטיבי‬
‫והרי סיכום הנושאים שהכללתם בתוכנית ל‪-‬ז ולחצי הראשון של ח נדרשת לצורך הפרק הדדוקטיבי‬
‫המסודר‪ .‬זה כולל הן תכנים שנזדקק להם בפרק הדדוקטיבי הראשון והן היכרות ראשונה עם שיקולי‬
‫הוכחה‪) .‬התוכנית שנוסחה בוועדה כוללת עוד נושאים‪ .‬חלקם נכנסו בגלל היותם עיבוי למפורט כאן‬
‫וחלקם בגלל חשיבותם העצמית‪(.‬‬
‫‪3‬‬
‫המלבן‬
‫מלבן הוא מרובע בעל ארבע זויות ישרות‪ ,‬אך אם נתון ששלוש מזויותיו של מרובע הן ישרות מובטח‬
‫שגם הרביעית ישרה ולכן המרובע הוא מלבן‪.‬‬
‫לבדיקה נייצר זוית ישרה על‪-‬ידי קיפול‪-‬נייר‬
‫כפול כבציור‪ ,‬ונשתמש בה הן לבנית‬
‫מרובעים בעלי שלוש זויות ישרות והן‬
‫לבדיקה שגם הזוית הרביעית ישרה‪.‬‬
‫כשיעמדו לרשותנו מספר מלבנים נוכל לבדוק ולראות שצלעותיו הנגדיות של מלבן שוות זו לזו‪.‬‬
‫הקבלה‬
‫)עניין ההקבלה לא יופיע בפרק הדדוקטיבי הראשון‪ .‬הוא משמש כאן הן חיזוק לעניין המלבן והן‬
‫דוגמה ראשונה להיסקים שאינם נסיוניים אלא הגיוניים(‬
‫שני ישרים הניצבים לישר אחד נקראים מקבילים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬הגדרה זאת שונה מההגדרה הקלסית‪ ,‬ולפי הגדרתנו כל ישר מקביל לעצמו‪.‬‬
‫טענה‪ :‬אם ישר ניצב לאחד משני מקבילים הוא ניצב גם לחברו‪.‬‬
‫זו מסקנה מזה שאם שלוש זויות של מרובע הן ישרות גם‬
‫הרביעית ישרה‪.‬‬
‫טענה‪ :‬ישרים מקבילים זה לזה שומרים על מרחק קבוע‪.‬‬
‫)משפט פסי הרכבת(‬
‫זו מסקנה מזה שצלעות נגדיות של מלבן שוות זו לזו‪.‬‬
‫חפיפת מלבנים‪ ,‬ריבוע‬
‫שני מצולעים נקראים חופפים אם צלעותיהם וזויותיהם שוות על פי הסדר‪ ,‬ולכן ניתן להעתיק את‬
‫האחד באופן שיכסה בדיוק את חברו‪.‬‬
‫בציור המצורף נתונים שני מלבנים‬
‫‪C‬‬
‫‪ ABCD‬ו‪ EFGH-‬שצלעותיהם שוות‪,‬‬
‫‪B‬‬
‫ומודגמת העתקת ‪ AB‬על ‪ EF‬באופן‬
‫‪G‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫ששויון הזויות ושויון הצלעות האחרות‬
‫‪A‬‬
‫מחייבים שכל המלבן ‪ ABCD‬יפול בדיוק‬
‫‪H‬‬
‫על המלבן ‪.EFGH‬‬
‫בדרך זו נוכל לקבל שכל שני מלבנים השוים בצלעותיהם חופפים זה לזה‪.‬‬
‫ריבוע הוא מלבן שכל צלעותיו שוות‪ .‬שני ריבועים בעלי צלע שווה חופפים אפוא זה לזה‪ .‬כל‬
‫הריבועים שצלעם ס"מ אחד חופפים זה לזה‪ ,‬וישמשו אצלנו יחידת מידה לשטח‪ ,‬שתכונה סמ"ר‪.‬‬
‫)נציין שאפשר למדוד שטחים גם ביחידת‪-‬מדה כגון מטר‪-‬רבוע או אינטש‪-‬רבוע‪ ,‬אך כאן נסתפק‬
‫בסמ"ר(‬
‫שטחו של מלבן‬
‫אם נתון מלבן שצלעו האחת בת ‪ 3‬ס"מ וצלעו הסמוכה בת ‪4‬‬
‫ס"מ )כמודגם משמאל בקו עבה( נוכל לחלק שתי צלעות אלה‬
‫לקטעים בני ס"מ אחד ולהעביר אנכים בנקודות החלוקה‪ ,‬ועל‪-‬פי‬
‫תכונות המלבן שלעיל יחולק המלבן שלנו למלבנים שכולם‬
‫ריבועים בני סמ"ר אחד‪ .‬הם מסודרים ב ‪ 3‬שורות בנות ‪ 4‬ריבועים כל אחת‪ ,‬ולכן מספרם הכולל‬
‫הוא ‪ . 3 ⋅ 4 = 12‬המלבן כולל אפוא ‪ 12‬ריבועים בני סמ"ר אחד לכן שטחו ‪ 12‬סמ"ר‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫באותה דרך אפשר לקבל בשביל כל ‪ a‬ו‪ b-‬שלמים‪ ,‬שאם צלע אחת של מלבן היא בת ‪ a‬ס"מ וצלעו‬
‫השניה בת ‪ b‬ס"מ אז שטחו ‪ ab‬סמ"ר‪.‬‬
‫הציור שמשמאל מראה ריבוע שצלעו ס"מ אחד והוא מחולק ל‪ 2.3 -‬מלבנים חופפים‬
‫שצלעותיהם ‪ 1/2‬ו‪. 1/3 -‬מכאן שלמלבן אחד כזה שטח של ‪ 1/6‬סמ"ר‪.‬‬
‫בדרך דומה נקבל את שטחו של כל מלבן שצלעותיו ‪ 1/m‬ו‪ 1/n -‬ומכאן נעבור‬
‫לשטחו של מלבן שצלעותיו‪ ,‬למשל‪ 2 ,‬ו‪ 7 -‬כבציור הבא‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 1‬‬
‫⋅‬
‫‪3 4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫הערה‪ :‬הפירוט המתייחס לשברים והתרגילים בנושא שטחים )שאיני מפרטם כאן( הם שימוש בנושא‬
‫הגיאומטרי כבהזדמנות לחזור על שברים‪.‬‬
‫משולש ישר זוית‬
‫א ‪ .‬באותה דרך שבה קיבלנו שמלבנים בשוים בצלעותיהם חופפים נוכל לקבל שמשולשים ישרי זוית‬
‫השוים בניצביהם חופפים‪ .‬ראה ציור למטה משמאל‪ .‬אמנם‪ ,‬לפעמים נצטרך להפוך את אחד‬
‫המשולשים תחילה‪ ,‬כבציור שלמטה מימין‪.‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪F‬‬
‫ב ‪ .‬בהנתן שתי צלעות ‪ a‬ו‪ b-‬ניתן ליצור מהן זוית ישרה ואחר‪-‬כך‬
‫להעלות ניצבים בקצותיהן‪ .‬למרובע שיתקבל שלוש זויות ישרות‬
‫לכן הוא מלבן‪ .‬מזה שצלעותיו הנגדיות שוות נובע שאלכסון מחלק‬
‫אותו לשני משולשים ישרי זוית החופפים זה לזה‪ ,‬וכל משולש ישר‬
‫זוית שניצביו ‪ a‬ו‪ b-‬חופף גם הוא למשולשים אלה‪.‬‬
‫‪a ⋅b‬‬
‫לכן‪ .1 :‬שטח משולש ישר זוית שוה למחצית מכפלת הניצבים )‬
‫‪2‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫(‪.‬‬
‫‪ .2‬במשולש ישר זוית סכום הזויות האחרות הוא ‪. 900‬‬
‫דוגמה לפעילות מקדימה להצגת משפט פיתגורס‪:‬‬
‫שטח מרוצף במרצפות ריבועיות שאורך צלען אמה אחת‪ .‬חלקן כהות‪ ,‬חלקן בהירות וחלקן נחלקות‬
‫לרבע כהה ושלושה רבעים בהירים‪ ,‬או להיפך‪ ,‬כבציור זה‪:‬‬
‫ב‬
‫א‬
‫הריצןף מתואר בציור הבא ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫א‪ .‬נמקו את הטענה ששטח הריבוע הכהה הגדול שווה לסכום שטחי שני הריבועים הכהים הקטנים‪.‬‬
‫)תשובה עוד כמה שורות(‬
‫‪1‬‬
‫ב‪ .‬האם צלעו של הריבוע הכהה הגדול גדולה או קטנה מ‪ 2 /4 -‬אמות ?‬
‫מהפעילות המקדימה אל המשפט הכללי‬
‫את שטח הריבוע הכהה הגדול שלעיל אפשר למצוא בדרכים הבאות‪.‬‬
‫דרך א‪ ,‬שהיא )לטעמי( הדרך הפשוטה ביותר‪ :‬ריבוע זה מורכב ממרצפת שלמה אחת הנמצאת במרכזו‬
‫ושטחה ‪ 1‬אמה‪-‬רבועה; ועוד ארבעה חלקי‪ -‬מרצפות כמו השטח הכהה במרצפת א שלעיל‪ ,‬ששטח כל‬
‫חלק כזה הוא ‪ 1/4‬אמה‪-‬רבועה; ועוד ארבעה חלקי‪ -‬מרצפות כמו השטח הכהה במרצפת ב שלעיל‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1+4‬‬
‫⋅‬
‫‪+‬‬
‫‪4‬‬
‫⋅‬
‫ששטח כל חלק כזה הוא ‪ 3/4‬אמה‪-‬רבועה; ובסך הכל ‪= 1 + 1 + 3 = 5‬‬
‫אמות‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫רבועות‪.‬‬
‫דרך ב‪ ,‬שאת היתרון שלה נראה בהמשך‪ ,‬היא כך‪:‬‬
‫נעתיק )במחשבה בלבד( את הריבוע בן ‪ 9‬המרצפות המכיל‬
‫את הריבוע "שלנו" ונסמן בקווקוים את המשולשים‬
‫שבפינותיו‪ ,‬כך שהריבוע "שלנו" ישאר לבן‪,‬כבציור השמאלי‪.‬‬
‫אחר‪-‬כך נזיז את משולשי הפינות ונצרפם לשני מלבנים‬
‫שיועמדו כבציור הימני‪ .‬השטח הלבן החדש יכיל ריבוע בן ‪4‬‬
‫מרצפות ועוד מרצפת אחת‪ ,‬והוא שווה‪ ,‬כמובן‪ ,‬לשטח הריבוע‬
‫"שלנו"‪.‬‬
‫יתרונה של דרך ב הוא בזה שניתן להשתמש בה גם‬
‫אצל אורכי‪-‬צלעות אחרים‪ ,‬כמו בבעיה הבאה‪:‬‬
‫על דף משובץ במשבצות שצלעותיהן ס"מ אחד שורטט‬
‫משולש ישר זוית שניצביו באורך ‪ 5‬ס"מ ו‪ 2 -‬ס"מ‬
‫)קדקודיו מודגשים בציור המצורף(‪ .‬על הניצבים בנו‬
‫ריבועים‪ .‬סכום שטחי הריבועים האלה הוא‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪52‬‬
‫‪ 5 + 2 = 25 + 4 = 29‬סמ"ר‪ .‬מה שטחו‬
‫של הריבוע שצלעו הוא היתר של המשולש?‬
‫הנחייה‪ :‬הריבוע המבוקש מוכל בתוך ריבוע שצלעו ‪ 5+2=7‬ס"מ‪ ,‬כבציור‪ ,‬ובפינותיו המשולש הנתון‬
‫ועוד שלושה משולשים החופפים לו‪.‬‬
‫‪22‬‬
‫בשלב עתידי נוותר על רשת הריבועים הקטנים ונקודת המוצא תהיה משולש ישר זוית שניצביו אינם‬
‫מפורשים אלא מסומנים באותיות ‪ a‬ו‪ , b-‬ונקבל שניצבים אלה והיתר ‪ c‬ממלאים את השוויון‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a +b =c‬אך לפני ההוכחה המלאה נתאמן בשימוש במשפט זה‪) .‬תרגילים יכללו גם שימוש‬
‫במקש השורש שבמחשבון(‬
‫‪6‬‬
‫מבנה היסקי לגיאומטריה‬
‫לאמצע כתה ח‬
‫א‪ .‬ממשפט פיתגורס אחורנית אל הנחות יסוד‬
‫משפט פיתגורס הוא משפט מפתיע שאינו ברור מאליו‪ .‬כדי להיות בטוחים בנכונותו היה עלינו להוכיח‬
‫אותו על סמך ידע קודם‪ .‬הבה נסתכל בשלבי ההוכחה של משפט פיתגורס‪ ,‬ובכל שלב נזכיר באיזה‬
‫ידע קודם השתמשנו‪) .‬בהמשך נבחן גם את הידע הקודם וגם את המשפטים הקודמים לקודמים‪ ,‬עד‬
‫שנגיע להנחות יסוד שסביר להניחן ללא פקפוק‪(.‬‬
‫‪c‬‬
‫ובכן‪ ,‬נתון משולש ישר זווית שניצביו ‪ a‬ו‪b-‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫א‪ .‬נבנה )במחשבה בלבד( זוית ישרה שכל אחד השני ניצביה הוא‬
‫באורך ‪) a+b‬כבקוים העבים שבציור א( ובקצה כל אחד נעלה אנך‬
‫)כמסומן בחיצים(‪ .‬כך נקבל ריבוע שכל צלע שלו שוה ‪. a+b‬‬
‫‪a‬‬
‫זאת על סמך הכלל האומר שאם במרובע יש שלוש זוויות‬
‫ישרות אז הוא מלבן‪.‬‬
‫ריבוע זה מופיע גם בציורים ב ו‪-‬ג שלהלן‪.‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫ב‪" .‬נרצף" ‪ 4‬משולשים החופפים למשולש הנתון סביב היקף‬
‫המרובע )מבפנים( כמתואר בציור ב‪ .‬המרובע שנותר הוא‬
‫ריבוע שצלעו ‪.c‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫ציור ב‬
‫‪c‬‬
‫‪b‬‬
‫ג‪ .‬נעתיק שנים ממשולשי הפינה ונצמידם לחבריהם ליצירת‬
‫מלבנים‪ ,‬ונעמיד את המלבנים בפינות הריבוע הגדול‪ ,‬כבציור‬
‫ג‪ .‬השטח הלא מרוצף יהיה מורכב כעת משני ריבועים שצלע‬
‫האחד ‪ a‬וצלע חברו ‪.b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫השתמשנו בזה שניתן להעתיק מצולע ממקום למקום לסובבו‬
‫ולהפכו‪ ,‬בלי לשנות את צלעותיו‪ ,‬זויותיו ושטחו‪ ,‬וכן בזה שסכום‬
‫הזוויות החדות במשולש ישר זווית הוא ‪) 900‬לכן כל זווית של‬
‫המרובע הפנימי היא ‪(900=1800-900‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫גם כאן השתמשנו בכלל ההעתקות שהזכרנו קודם‪ .‬קבלת‬
‫המלבנים נבעה מזה שסכום הזוויות החדות במשולש ישר זווית‬
‫ציור ג‬
‫הוא ‪) 900‬גם כלל זה נזכר כבר בשלב הקודם(‪.‬‬
‫ד‪ .‬מהשוואת השטחים הלא מרוצפים בשני הריבועים נקבל ששטח הריבוע הבנוי על היתר ‪ c‬שוה‬
‫לסכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים ‪ a‬ו‪. b-‬‬
‫כך מוכח משפט פיתגורס בנוסח המדבר על שטחי הריבועים‪ ,‬בלי להזכיר את הנוסחה ‪a2+b2=c2‬‬
‫הדרושה לצורך חישובים מספריים‪ .‬כדי לקבל את הנוסח הכולל את הנוסחה נזדקק גם למשפט על‬
‫שטח מלבן )‪ ,(S=a.b‬ובזה נטפל בהמשך‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫]ההערה הבאה מיועדת למורים‪ ,‬והיא במפורש שלא על דעת דן עמיר‪:‬‬
‫עקרונית ניתן להשתמש כאן כאן במשפט החפיפה הראשון במקום כלל ההעתקות‪ .‬זה מאריך במקצת‬
‫את ההוכחה‪ ,‬ובשלב זה יש חשיבות מכרעת לעניין הקיצור ולחיסכון בשיקולים‪ .‬אם נזכור שגם עצם‬
‫מושג החפיפה וגם שני משפטי החפיפה הראשונים וגם ההנחה שלמצולעים חופפים שטחים שווים‪,‬‬
‫מוצגים לרוב דרך עניין ההעתקות; נמצא שההעדפה שלנו להשתמש בהעתקות באופן ישיר היא צעד‬
‫טבעי ביותר‪ .‬בעתיד נפגוש עוד מקומות שבהם נחסוך בשיקולים בעזרת העתקת משולשים שלמים‪[.‬‬
‫לקראת צעדינו הבאים נשרטט תרשים המסכם את הטענות שעליהם מתבסס משפט פיתגורס ונפרט‬
‫את הוכחותינו לחלק מטענות אלה‪ .‬והרי התרשים ‪:‬‬
‫ניתן להעתיק מצולע‬
‫ממקום למקום‪ ,‬לסובבו‬
‫ולהפכו‪ ,‬בלי לשנות את‬
‫צלעותיו‪ ,‬זוויותיו ושטחו‪.‬‬
‫במשולש ישר זווית‪,‬‬
‫סכום שתי הזוויות‬
‫האחרות הוא ‪.900‬‬
‫אם במרובע יש‬
‫שלוש זוויות‬
‫ישרות אז הוא‬
‫מלבן‬
‫משפט‬
‫פיתגורס‬
‫הטענה על דבר האפשרות להעתיק מצולע נחשבת פשוטה וברורה‪ .‬לא נהוג לבסס אותה על טענות‬
‫קודמות אלא לראות בה הנחת יסוד‪ ,‬והיא נקראת "אכסיומת ההעתקות"‪.‬‬
‫גם הטענה על מרובע שיש לו שלוש זוויות ישרות תיחשב הנחת יסוד )כלומר‪ ,‬לא נוכיח אותה על‬
‫סמך משהו קודם(‪ .‬טענה זאת היא צירוף של שתי טענות מוכרות שנוסח מאוחד שלהן הוא כך‪ :‬אם‬
‫במרובע יש שלוש זוויות ישרות גם הרביעית ישרה‪ ,‬והצלעות הנגדיות שוות זו לזו‪ .‬נוסח זה יקרא‬
‫"אכסיומת המלבן"‪.‬‬
‫נעבור לטפל בטענה השלישית ששימשה בהוכחת משפט פיתגורס‪ ,‬ונראה שהיא יכולה להתקבל‬
‫כמסקנה מאכסיומת המלבן וממשפט מוכר נוסף‪ ,‬כמתואר בתרשים הבא‪:‬‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי‬
‫ניצבים שווים – חופפים‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫במשולש ישר זווית‪ ,‬סכום שתי הזוויות‬
‫האחרות הוא ‪.900‬‬
‫ובכן‪ ,‬יהי נתון משולש ישר זווית ‪ ) ABC‬מיוצג על ידי המשולש הנקוד שבציור שלהלן(‪ .‬לניצביו של‬
‫משולש זה נעלה אנכים בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬ונסמן את נקודת פגישתם ב‪.D -‬‬
‫מאכסיומת המלבן נובע שהמרובע ‪ ACBD‬הוא מלבן )כי זוויותיו‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫בקדקודים ‪ B ,C ,A‬הן ישרות(‪ .‬ומכאן נקבל שהזוויות ‪ C‬ו‪D-‬‬
‫שוות‪ ,‬שהרי גם זוית ‪ D‬ישרה‬
‫‪ AC = DB‬כי הן צלעות נגדיות במלבן‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ CB = AD‬כי הן צלעות נגדיות במלבן‬
‫‪A‬‬
‫וממשפט האומר שמשולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שווים הם חופפים זה לזה נובע שהמשולשים‬
‫‪ ACB‬ו‪ ADB -‬חופפים ‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫מהחפיפה נובע שסכום זוויות האחד שוה לסכום זוויות השני‪ ,‬ומכיוון שסכומם הכולל הוא ‪ 360‬יהיה‬
‫סכום זוויות האחד שווה ל‪ .1800 -‬כשנפחית את הזווית הישרה ישארו לשתי הזוויות האחרות ‪. 900‬‬
‫‪8‬‬
‫כעת נלך צעד נוסף אחורנית ונוכיח את המשפט על חפיפת משולשים ישרי זווית שניצביהם שווים על‬
‫סמך אכסיומת ההזזות בתוספת אכסיומה האומרת שדרך שתי נקודות שונות עובר ישר אחד בלבד )זו‬
‫נקראת "אכסיומת הישר"(‪.‬‬
‫פירוט‪ :‬אם נתון משולש ישר זווית‬
‫‪C‬‬
‫‪) ABC‬כמשולש הנקוד שבימין הציור(‬
‫‪C‬‬
‫ומשולש ישר זווית ‪) DEF‬כמשולש‬
‫‪F‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D A‬‬
‫המצויר בקו עבה(‪ ,‬נוכל להעתיק את‬
‫‪B‬‬
‫המשולש ‪ ABC‬באופן שהזווית הישרה‬
‫‪A‬‬
‫‪E‬‬
‫‪ C‬תונח בדיוק על הזווית הישרה ‪F‬‬
‫)כבציור(‪.‬‬
‫אם בנוסף על שוויון הזוויות הישרות יהיה נתון שהצלע ‪ CA‬שווה בדיוק לצלע ‪ FD‬והצלע ‪ CB‬שווה‬
‫בדיוק ל‪) FE-‬לא כמו בציור(‪ ,‬אז ‪ A‬תונח בדיוק על ‪ D‬ו‪ B-‬תונח על ‪.E‬‬
‫מכיוון שדרך שתי נקודות עובר ישר אחד תהיה הצלע ‪ AB‬מונחת על ‪ ,DE‬וזה אומר שהמשולשים‬
‫‪ ABC‬ו‪ DEF -‬חופפים‪.‬‬
‫נסכם בתרשים קטן שיצורף בהמשך לתרשימים הקודמים‪:‬‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫אכסיומת הישר‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים‬
‫שווים – חופפים‬
‫כעת נצרף את התרשימים באופן שהנחות היסוד‪ ,‬שלושת האכסיומות‪ ,‬תעמודנה בראש‪:‬‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫אכסיומת הישר‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי‬
‫ניצבים שוים – חופפים‬
‫במשולש ישר‬
‫זווית‪ ,‬סכום שתי‬
‫הזוויות האחרות‬
‫הוא ‪.900‬‬
‫משפט‬
‫פיתגורס‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫‪9‬‬
‫ב‪ .‬קדימה אל קבוצה ראשונה של משפטים נוספים‬
‫‪ -‬שטחים‬
‫הליכתנו אחורנית ממשפט פיתגורס אל הנחות היסוד נועדה למציאת בסיס לא רק למשפט פיתגורס‬
‫אלא לכל הגיאומטריה‪ .‬בסעיף זה נַראה כיצד מצטרפים משפטים נוספים למערכת שבנינו‪ .‬תחילה‬
‫נצרף משפטים מוכרים ובהמשך נצרף גם משפטים חדשים‪ .‬המשפט הראשון שנצרפו יהיה המשפט על‬
‫שטח מלבן שהזכרנוהו לעיל‪.‬‬
‫משפט‪ :‬שטח מלבן שווה למכפלת אורכי צלעות שכנות שלו‪.‬‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫)‪.(S=a.b‬‬
‫כבר הוכחנו משפט זה בעבר‪ ,‬וההוכחה הסתמכה על שתי הטענות‬
‫שאוחדו כאן תחת השם "אכסיומת המלבן"‪ .‬נרשום לעצמנו‬
‫המשפט על שטח מלבן‬
‫תזכורת בצורת התרשים הקטן שמשמאל ונעבור למשפט הבא‪:‬‬
‫‪S=a.b‬‬
‫משפט‪ :‬שטחו של משולש ישר זווית שווה לחצי מכפלת הניצבים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי נתון משולש ישר זווית ‪ ABC‬שניצביו באורכים ‪a‬‬
‫‪A‬‬
‫‪D‬‬
‫ו‪) b-‬מיוצג על ידי המשולש הנקוד שבציור המצורף(‪ .‬לניצבים‬
‫‪b‬‬
‫אלה נעלה אנכים בנקודות ‪ A‬ו‪ B-‬ונסמן את נקודת פגישתם ב‪-‬‬
‫‪ .D‬וכמו בהוכחת המשפט על זוויותיו של משולש ישר זווית‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪a‬‬
‫נקבל מאכסיומת המלבן וממשפט החפיפה של משולשים ישרי‬
‫זווית‪ ,‬שהמרובע ‪ ACBD‬הוא מלבן והמשולשים ‪ ACB‬ו‪ ADB -‬חופפים )ראה פירוט שם(‪.‬‬
‫שטח כל אחד מהמשולשים האלה שווה אפוא לחצי שטח המלבן‪ ,‬לכן שטחו של המשולש ישר הזוית‬
‫‪ ABC‬הוא ‪ , a.b/2‬וזה מה שרצינו להוכיח‪.‬‬
‫נרשום לפנינו שהוכחת המשפט התבססה על אכסיומת המלבן‪ ,‬על משפט החפיפה של משולשים ישרי‬
‫זווית ועל המשפט על שטח המלבן‪ .‬בתרשים הגדול הבא יופיע משפטנו מתחת למשפט על שטח מלבן‪,‬‬
‫וחיצי‪-‬היסק יקשרו אותו גם עם האכסיומה והמשפט הנוסף ששמשו בהוכחתו‪.‬‬
‫נשתמש במשפטנו להוכחת המשפט הבא‪.‬‬
‫משפט‪ :‬אם ‪ a‬הוא אורך אחת מצלעותיו של משולש ו‪ h-‬הוא הגובה אל צלע זאת אז שטח המשולש‬
‫הוא‬
‫‪a⋅h‬‬
‫‪2‬‬
‫=‪S‬‬
‫ההוכחה תתחלק לשני חלקים‪ .‬בחלק הראשון נוכיח את המשפט בשביל גובה פנימי ובחלק השני נו ִכחו‬
‫בשביל גובה חיצוני‪.‬‬
‫כאשר הגובה הוא פנימי הוא מחלק את הבסיס ‪ a‬לשני חלקים‬
‫שנסמנם ‪ p‬ו‪.q -‬‬
‫‪a‬‬
‫המשולש כולו מתחלק על‪-‬ידי הגובה לשני משולשים ישרי‪-‬זווית‪,‬‬
‫‪qh‬‬
‫‪ph‬‬
‫‪ .‬מכאן ששטח המשולש כולו הוא‬
‫ו‪-‬‬
‫ועל‪-‬פי המשפט הקודם שטחיהם‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪h‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ph qh ph+qh (p+q)h ah‬‬
‫= ‪+‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪p‬‬
‫‪.‬‬
‫נעבור למקרה שבו הגובה הוא חיצוני למשולש‪.‬‬
‫במקרה זה יהיה המשולש הנתון חלק ממשולש ישר זווית‬
‫גדול‪ ,‬שהגובה ‪ h‬הוא ניצב שלו והניצב האחר יסומן ‪. p‬‬
‫חלקו האחר של המשולש הגדול אף הוא משולש ישר‪-‬זווית‬
‫ו‪ h-‬הוא ניצב אחד שלו‪ .‬הניצב השני יסומן ‪. q‬‬
‫‪h‬‬
‫‪q‬‬
‫‪a‬‬
‫‪p‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ph qh ph-qh (p-q)h ah‬‬
‫= ‪-‬‬
‫=‬
‫=‬
‫הפעם יהיה ‪ , a = p-q‬ושטח המשולש הנתון הוא‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫■‬
‫)הנקודה העבה שלעיל היא סימון מקובל בשביל המלים "סוף ההוכחה"(‬
‫משפטנו התקבל אפוא מן המשפט הקודם לבדו‪ ,‬וזה מיוצג על ידי חץ אחד בתרשים הגדול שלהלן‪.‬‬
‫נצרף אפוא את שלושת משפטי השטחים האלה לתרשים שלנו‪ ,‬ובהזדמנות זאת נוסיף למשפט‬
‫פיתגורס גם את הנוסחה המתקבלת בעזרת המשפט על שטח מלבן‪.‬‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫אכסיומת הישר‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי‬
‫ניצבים שוים – חופפים‬
‫במשולש ישר זווית‪,‬‬
‫סכום שתי הזוויות‬
‫האחרות הוא ‪.900‬‬
‫משפט‬
‫פיתגורס‬
‫המשפט‬
‫על שטח‬
‫מלבן‪.‬‬
‫‪S=a.b‬‬
‫‪a2+b2=c2‬‬
‫שטחו של משולש ישר‬
‫זוית שוה לחצי מכפלת‬
‫הניצבים‬
‫שטח של משולש שוה‬
‫לחצי מכפלת צלע בגובה‬
‫הניצב לה‬
‫ג‪ .‬משולש שווה שוקיים‬
‫הראשון שבמשפטינו על משולשים שוי שוקיים יתקבל ממשפט פיתגורס‬
‫יחד עם משפט החפיפה של משולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שווים‪.‬‬
‫משפט‪ :‬הגובה אל הבסיס במשולש שווה שוקים מחלק אותו לשני‬
‫משולשים חופפים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן קטעים באותיות כבציור )מכיוון שהשוקיים שוות סימננו‬
‫את שתיהן באותה אות ‪ (c‬וכן נציין את הזויות הישרות שיוצר הגובה‪.‬‬
‫לפי משפט פיתגורס יהיה ‪ p2+h2=c2‬וגם ‪ q2+h2=c2‬לכן ‪ p2=q2‬לכן‬
‫‪.p=q‬‬
‫לכן שני המשולשים ישרי הזוית שקבלנו שוים בניצביהם לכן הם חופפים ■‬
‫‪c‬‬
‫‪h‬‬
‫‪c‬‬
‫במש‬
‫‪q‬‬
‫‪p‬‬
‫מהחפיפה שהוכחנו זה עתה נובע שהגובה ‪ h‬מחלק את זוית הראש של המשולש שוה השוקיים‪ ,‬וגם‬
‫את הבסיס‪ ,‬לחלקים שווים‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫נכתוב זאת כמשפט‪ :‬במשולש שווה שוקיים‪ ,‬הגובה לבסיס‪ ,‬התיכון לבסיס וחוצה זוית הראש –‬
‫מתלכדים )כלומר הם אותו קטע עצמו(‪.‬‬
‫מאותה חפיפה נובע גם שהזויות שיוצר הבסיס עם שתי השוקיים שוות זו לזו‪.‬‬
‫נכתוב גם זאת כמשפט‪ :‬במשולש שוה שוקיים שוות זויות הבסיס‪.‬‬
‫נצרף לתרשימנו גם את שלושת המשפטים על משולש שווה שוקיים‪ .‬כן נצרף לתרשים את המשפט‬
‫על סכום הזויות בכל משולש‪.‬‬
‫תרגיל‪ :‬התוכל לפרט הוכחה למשפט האחרון?‬
‫רמז‪ :‬שים לב לחץ הקישור שבתרשים‪ .‬חלק את המשולש לשני משולשים ישרי זוית על‪-‬ידי גובה‬
‫פנימי‪.‬‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫אכסיומת הישר‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי‬
‫ניצבים שוים – חופפים‬
‫במשולש ישר זווית‪,‬‬
‫סכום שתי הזוויות‬
‫האחרות הוא ‪.900‬‬
‫סכום הזויות‬
‫בכל משולש‬
‫הוא ‪1800‬‬
‫משפט‬
‫פיתגורס‬
‫המשפט‬
‫על שטח‬
‫מלבן‪.‬‬
‫‪S=a.b‬‬
‫‪a2+b2=c2‬‬
‫שטחו של משולש‬
‫ישר זוית שוה לחצי‬
‫מכפלת הניצבים‬
‫הגובה אל הבסיס במשולש‬
‫שווה שוקים מחלק אותו‬
‫לשני משולשים חופפים‪.‬‬
‫במשולש שווה שוקיים‬
‫מתלכדים הגובה‬
‫לבסיס‪ ,‬התיכון לבסיס‬
‫וחוצה זוית הראש‪.‬‬
‫במשולש שווה‬
‫שוקיים שוות‬
‫זויות הבסיס‪.‬‬
‫שטח של משולש‬
‫שוה לחצי מכפלת‬
‫צלע בגובה הניצב לה‬
‫ג‪ .‬משפטי החפיפה‬
‫משפט החפיפה הראשון‪ :‬אם שני משולשים שווים בשתי צלעות ובזוית שביניהם – המשולשים‬
‫חופפים‪.‬‬
‫לא נפרט כאן את ההוכחה במלואה‪ ,‬ובמקום זה נסביר מדוע אין צורך לעשות זאת‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬את המשפט האומר שמשולשים ישרי זווית בעלי ניצבים שווים – חופפים‪ ,‬ניתן לנסח גם כך‪:‬‬
‫אם שני משולשים שווים בשתי צלעות ואם בשניהם יש בין צלעות אלה זווית ישרה – אז המשולשים‬
‫חופפים‪ .‬אך בהוכחת המשפט לא השתמשנו בזה שהזויות ישרות אלא רק בזה שאפשר להניחן זו על‬
‫זו‪ ,‬כלומר ‪ ,‬בזה שהן שוות; לכן טובה ההוכחה גם בשביל זוויות שוות שאינן ישרות‪.‬‬
‫משפט החפיפה הראשון נקרא גם משפט החפיפה צלע‪-‬זווית‪-‬צלע ונכתב בקצרה צז"צ‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫אם נחזור ונעיין בהוכחה נמצא שהיא מסתמכת רק על שתי הנחות יסוד‪ :‬אכסיומת ההעתקות‬
‫ואכסיומת הישר‪ .‬על סמך שתי הנחות יסוד אלה נוכיח גם את‬
‫משפט החפיפה השני‪ :‬אם שני משולשים שווים בשתי זוויות ובצלע שביניהן – המשולשים חופפים‪.‬‬
‫משפט חפיפה זה נכתב בקצרה זצ"ז )זווית‪-‬צלע‪-‬זווית(‪.‬‬
‫הוכחה‪ : :‬אם נתון משולש ‪ABC‬‬
‫)כמשולש הנקוד שבימין הציור(‬
‫‪B‬‬
‫‪F‬‬
‫‪C‬‬
‫ומשולש ‪) DEF‬כמשולש המצויר‬
‫בקו עבה(‪ ,‬ואם הצלע ‪ AB‬שווה‬
‫‪C‬‬
‫לצלע ‪) DE‬הצלעות השוות סומנו‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫בציור בצמד קווקווים (‪ ,‬נוכל‬
‫‪A‬‬
‫להעתיק את המשולש ‪ ABC‬באופן‬
‫שצלע ‪ AB‬תונח בדיוק על הצלע ‪DE‬‬
‫‪D A‬‬
‫)כבציור‪ .‬הצלעות השוות סומנו‬
‫בצמדי קווקווים והצלעות האחרות‬
‫סומנו בחיצים (‪.‬‬
‫אם בנוסף על שוויון הזויות האלה יהיה נתון שהזוית ‪ A‬שווה בדיוק לזווית ‪ D‬והזוית ‪ B‬שווה בדיוק‬
‫לזווית ‪) E‬לא כמו בציור(‪ ,‬אז החיצים המתאימים יפלו זה על זה‪ ,‬כלומר‪ ,‬הקרן מ‪ A-‬לכיוון ‪ C‬תונח‬
‫בדיוק על הקרן מ‪ D-‬לכיוון ‪ F‬והקרן מ‪ B-‬לכיוון ‪ C‬תונח על הקרן מ‪ E-‬לכיוון ‪. F‬‬
‫שני ישרים שונים אינם יכולים להיפגש בשתי נקודות שונות כי דרך שתי נקודות עובר ישר אחד‬
‫בלבד‪ ,‬לכן ‪) C‬במקומה החדש( ו‪ F-‬הן אותה נקודה )נקודת המפגש( וזה אומר שהמשולשים ‪ ABC‬ו‪-‬‬
‫‪ CEF‬חופפים‬
‫נרשום אפוא את התרשים הבא‪:‬‬
‫) הסיבה לצורה המיוחדת בה‬
‫שרטטנו כאן את חיצי הקישור‬
‫קשורה באופן שבו ישולב תרשים‬
‫זה בהמשך בתרשים הגדול(‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫אכסיומת הישר‬
‫משפט החפיפה זצ"ז‬
‫משפט החפיפה‬
‫צז"צ‬
‫משפט החפיפה השלישי‪ ,‬צצ"צ‪ ,‬אומר שאם שני משולשים שווים בשלושת צלעותיהם אז הם חופפים‪.‬‬
‫המשפט יוכח בעזרת אכסיומת ההעתקות‪ ,‬המשפט על שוויון זוויות הבסיס במשולש שווה‪-‬שוקיים‬
‫ומשפט החפיפה הראשון‪.‬‬
‫ההוכחה‪ :‬יהיו נתונים שני משולשים ‪) DEF‬מצויר להלן בקו עבה( ו‪) ABC -‬המשולש הנקוד המצויר‬
‫בנפרד מהמשולש ‪( DEF‬‬
‫ויהי נתון ש‪ EF =BC , DE=AB -‬ו‪-‬‬
‫‪A‬‬
‫‪) FD=CA‬הקווקווים שבציור מציינים מי‬
‫‪F‬‬
‫‪D‬‬
‫שווה למי(‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫נעתיק את המשולש ‪ ABC‬באופן שהצלע‬
‫‪C‬‬
‫‪ AB‬תיפול על ‪ DE‬והקדקוד ‪ C‬ייפול מול‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪) F‬לא באותו צד של ‪ .DE‬זה עשוי לחייב‬
‫היפוך של המשולש המועתק(‪.‬‬
‫‪BE‬‬
‫‪13‬‬
‫נחבר את ‪) C‬במקומו החדש( אל ‪ ,F‬ואז נקבל בשני צדדיו של ‪ CF‬שני משולשים שוי שוקיים ש‪-‬‬
‫‪ CF‬בסיס שלהם‪.‬‬
‫זוויות הבסיס בכל צד תהיינה שוות )כמסומן בציור(‪ ,‬לכן הזוית המצורפת שעל‪-‬יד ‪ F‬תהיה שווה‬
‫לזווית המצורפת שליד ‪ ,C‬וממשפט החפיפה צז"צ נקבל שהמשולש ‪ ABC‬חופף ל‪DEF -‬‬
‫נצרף את שלושת משפטי החפיפה לתרשים ‪:‬‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫אכסיומת הישר‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי‬
‫ניצבים שוים – חופפים‬
‫במשולש ישר זווית‪,‬‬
‫סכום שתי הזוויות‬
‫האחרות הוא ‪.900‬‬
‫סכום הזויות‬
‫בכל משולש‬
‫הוא ‪1800‬‬
‫משפט‬
‫פיתגורס‬
‫המשפט‬
‫על שטח‬
‫מלבן‪.‬‬
‫‪S=a.b‬‬
‫‪a2+b2=c2‬‬
‫שטחו של משולש‬
‫ישר זוית שוה לחצי‬
‫מכפלת הניצבים‬
‫הגובה אל הבסיס במשולש‬
‫שווה שוקים מחלק אותו‬
‫לשני משולשים חופפים‪.‬‬
‫במשולש שווה שוקיים‬
‫מתלכדים הגובה‬
‫לבסיס‪ ,‬התיכון לבסיס‬
‫וחוצה זוית הראש‪.‬‬
‫במשולש שווה‬
‫שוקיים שוות‬
‫זויות הבסיס‪.‬‬
‫שטח של משולש‬
‫שוה לחצי מכפלת‬
‫צלע בגובה הניצב לה‬
‫משפט החפיפה צז"צ‬
‫משפט החפיפה זצ"ז‬
‫משפט החפיפה צצ"צ‬
‫תרשים זה יוכל להיות התרשים האחרון שלנו‪ .‬להלכה‪ ,‬אחרי שנוכיח כל משפט חדש נוכל לצרף אותו‬
‫לתרשים‪ ,‬כי כל המשפטים שנוכיח בעתיד ינבעו‪ ,‬דרך משפטי בינים‪ ,‬משלושת הנחות היסוד שלנו‪ .‬לא‬
‫נטרח לעשות זאת משתי סיבות‪ .‬האחת היא החשש שבדרך זו נגיע די מהר לתרשים עם קווי קישור‬
‫צפופים שקשה לעקוב אחריהם‪ ,‬והשנייה היא זה שהתרשים הנוכחי מספיק כדי להציג את הרעיון של‬
‫מערכת היסקים מסודרת היוצאת ממספר קטן של הנחות יסוד ברורות‪.‬‬
‫והערה אחרונה‪ :‬לא כל ספר גיאומטריה יוצא דווקא מהנחות היסוד שלנו ומוכיח משפטים בסדר שבו‬
‫הלכנו כאן‪ .‬יש הרבה דרכים סבירות לארגון הגיאומטריה כמערכת היסקים מסודרת‪ .‬אך כל ספר‬
‫גיאומטריה ראוי לשמו צריך להציג את הנחות היסוד שבחר‪ ,‬ולתת היסקים שאפשר לערוך אותם‬
‫בתרשים כמו שלנו‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫תרגילים‪.‬‬
‫חלקם מנוסחים כאן במונחים העשויים שלא להיות מוכרים לתלמידים‪.‬‬
‫התרגילים מיועדים למתקדמים בלבד‪ .‬בשלב זה אין הכוונה אלא לתת לכלל התלמידים תמונה של עניינו של המבנה הדדוקטיבי המסודר‪ ,‬אך אין לעכב את‬
‫המעוניינים ביותר מזה‪.‬‬
‫אכסיומת ההעתקות‬
‫אכסיומת הישר‬
‫אכסיומת המלבן‬
‫ישרים‬
‫מקבילים‬
‫שומרים על‬
‫מרחק קבוע‬
‫משולשים ישרי זווית בעלי‬
‫ניצבים שוים – חופפים‬
‫במשולש ישר‬
‫זווית‪ ,‬סכום שתי‬
‫הזוויות האחרות‬
‫הוא ‪.900‬‬
‫מנקודה‬
‫לישר רק‬
‫אנך אחד‬
‫סכום הזויות‬
‫בכל מרובע‬
‫הוא ‪3600‬‬
‫סכום הזויות‬
‫בכל משולש‬
‫הוא ‪1800‬‬
‫משפט‬
‫פיתגורס‬
‫המשפט‬
‫על שטח‬
‫מלבן‪.‬‬
‫‪S=a.b‬‬
‫‪a2+b2=c2‬‬
‫הגובה אל הבסיס במשולש‬
‫שווה שוקים מחלק אותו‬
‫לשני משולשים חופפים‪.‬‬
‫היתר ארוך‬
‫מהניצבים‬
‫במשולש שווה שוקיים‬
‫מתלכדים הגובה‬
‫לבסיס‪ ,‬התיכון לבסיס‬
‫וחוצה זוית הראש‪.‬‬
‫במשולש שווה‬
‫שוקיים שוות‬
‫זויות הבסיס‪.‬‬
‫אם ישר ניצב‬
‫למחוג בקצהו‬
‫שאר נקודותיו‬
‫מחוץ‬
‫למעגל‪.‬‬
‫סכום שתי צלעות‬
‫במשולש גדול‬
‫מהצלע השלישית‬
‫שטחו של משולש‬
‫ישר זוית שוה לחצי‬
‫מכפלת הניצבים‬
‫שטח של משולש‬
‫שוה לחצי מכפלת‬
‫צלע בגובה הניצב‬
‫לה‬
‫משפט החפיפה צז"צ‬
‫במשולש שוה‬
‫צלעות זויות‬
‫‪600‬‬
‫זוית הנשענת על‬
‫קוטר היא‬
‫ישרה‬
‫אנך אמצעי‬
‫לצלע מלבן‬
‫הוא גם אנך‬
‫אמצעי לצלע‬
‫שמולה‬
‫משפט החפיפה זצ"ז‬
‫משפט החפיפה צצ"צ‬
‫תיכון מחלק‬
‫משולש‬
‫למשולשים‬
‫שווי שטח‬
‫הגדול שבשני‬
‫גבהים של‬
‫משולש הוא‬
‫זה הניצב‬
‫לצלע‬
‫הקטנה‪.‬‬
‫האלכסון הראשי‬
‫של מעוין חוצה‬
‫זויות‪.‬‬
‫אחרי משפטי החפיפה אפשר לתת תרגילי חפיפה קלסיים‪ .‬שויון זויות קדקודיות הנדרש אצל כמה מתרגילים אלה‪ ,‬יחשב עובדה אריתמטית‪ .‬הוא יוכלל‬
‫מתוך דוגמה מספרית ומההבחנה שהדוגמה מנומקת ללא זיקה אל שום תכונה מיוחדת של המספר המעורב בה‪.‬‬
‫מה אחרי‬
‫פירמידה ריבועית ישרה תתואר בעזרת פריסה שלה‪ ,‬הבנויה מריבוע שצלעותיו בסיסים למשולשים‬
‫שווי‪-‬שוקיים חופפים‪ .‬הפריסה תשמש לבניית דגם )שקוף(‪ .‬נבקש מן התלמידים למצוא בציור או בדגם‬
‫משולשים שוי שוקיים וגבהים של משולשים כאלה‪ ,‬ובין השאר נצביע על זה ש‪) EF = BE = AB /2 -‬לא‬
‫נתעכב על הוכחות(‪ .‬בתרגילים יחושבו קטעים המסורטטים בציור המצורף על פי נתונים על אורכי קטעים‬
‫אחרים שם‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪C‬‬
‫‪E‬‬
‫‪D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪A‬‬
‫דוגמה )מסכמת(‪ :‬גובהה של הפירמידה הגדולה שבגיזה )במצרים(‪ ,‬שהיא משוכללת וישרה‪ ,‬הוא‬
‫‪ 146‬מטר וצלע הבסיס ‪ 230‬מטר בקירוב‪ .‬בעבר היו פאותיה הצדדיות מצופות אבן חלקה‪ .‬מה היה‬
‫שטחו הכולל של הציפוי?‬
‫מסלול פתרון אחד‪ :‬נמצא את ‪ DE‬ואחריו את ‪ EC‬ומכאן את שטחה של פאה צדדית‪.‬‬
‫ולכתות ט מתקדמות בלבד‪.‬‬
‫אחרי התנסות בהוכחות‪ ,‬תורת המקבילית וכדומה ‪ ,‬נוכל לחזור אל מערכת האכסיומות דרך הכנסת‬
‫הרעיון החדש )לתלמידים( הבא‪:‬‬
‫מערכת האכסיומות שלנו הניחה משהו שניתן להוכיחו מתוק חלק של המערכת‪ .‬הגדרנו מלבן כמרובע‬
‫שזויותיו ישרות וצלעותיו הנגדיות שוות‪ ,‬ואכסיומת המלבן שלנו אמרה שאם למרובע שלש זויות‬
‫ישרות אז הוא מלבן‪ ,‬בזאת נכללה הטענה שצלעוציו הנגדיות שוות‪ .‬אם נגדיר מלבן בהגדרה‬
‫מינימלית הדורשת רק את היות כל הזויות ישרות‪ ,‬לא תאמר אכסיומת המלבן במפורש שהצלעות‬
‫הנגדיות שוות אבל ניתן יהיה להוכיח זאת ‪.‬‬
‫והרי ההוכחה‪:‬‬
‫את משפטי החפיפה צז"צ ו‪-‬זצ"ז הוכחנו בעבר רק על סמך אכסיומת ההעתקות ואכסיומת הישר‪ ,‬לכן‬
‫נוכל להשתמש בהם גם כאן‪.‬‬
‫יהי נתון מרובע ‪ ABCD‬ששלוש מזויותיו ישרות‪ .‬גם לפי הצורה "החלשה" של אכסיומת המלבן‬
‫)שאינה מדברת אלא על הזוית הרביעית ולא על הצלעות( נקבל שגם‬
‫הרביעית ישרה‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫נסמן ב‪ E-‬את אמצע הצלע ‪ AB‬ונעלה שם אנך לצלע זאת‪ .‬את נקודת‬
‫פגישתו ב‪ CD -‬נסמן ‪ , F‬את ‪ F‬נחבר אל ‪ A‬ואל ‪ ,B‬ונסמן את הזויות‬
‫‪F‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪23‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪D‬‬
‫‪1‬‬
‫‪12‬‬
‫‪E‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A‬‬
‫שנוצרו במספרים כבציור‪.‬‬
‫הזויות ‪ E1‬ו‪ E2-‬ישרות לפי הבניה‪ .‬הזויות ‪ F1+2‬ו‪ F3+4 -‬ישרות כי כל אחת היא רביעית במרובע בעל‬
‫שלש זויות ישרות‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫)‬
‫)‬
‫)‬
‫)‬
‫המשולשים ‪ AEF‬ו‪ BEF -‬חופפים לפי צז"צ‪ ,‬לכן ‪ A1 = B1 , FB = FA‬ו‪. F2 = F3 -‬‬
‫)‬
‫)‬
‫)‬
‫)‬
‫לכן ‪ A2 = B2‬ו‪ F1 = F4 -‬ומכאן שהמשולשים ‪ AFD‬ו‪ BFC-‬חופפים לפי זצ"ז‪ ,‬לכן ‪.BC = AD‬‬
‫באופן דומה‪ ,‬ע"י אנך מאמצע ‪ ,AD‬נוכל להוכיח ש‪.DF = AB -‬‬