t - Grubelnik

Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
MATEMATIČNI UVOD
MATEMATIČNI UVOD
INTEGRAL
1. Nedoločeni integral
Pri integralnem računu iščemo funkcijo F(x), katere odvod
F (x ) = ∫ f ( x )dx ⇔
primer 1:
dF ( x)
je enak znani funkciji f(x).
dx
F (x )
= f (x)
dx
Naj bo podana funkcija f ( x) = 2 x 2 − 3 x . Poišči funkcijo F ( x ) = ∫ f (x )dx .
(
)
F ( x ) = ∫ 2 x 2 − 3 x dx ,
2 3 3 2
x − x + konst.
3
2
V kolikor dobljeno funkcijo F(x) odvajamo, dobimo:
dF ( x)
= f ( x) = 2 x 2 − 3 x .
dx
F (x ) =
primer 2:
Izračunaj F (t ) = ∫ A0 sin (ωt )dt , pri čemer sta A0 in ω konstanti.
F (t ) = −
cos(ωt ) + konst .
ω
V kolikor dobljeno funkcijo odvajamo po t, dobimo:
A0
F (t )
= A0 sin (ωt ) . Dobili smo torej prvotno funkcijo, ki smo jno integrirali.
dt
Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
MATEMATIČNI UVOD
2. Tabela nedoločenih integralov elementarnih funkcij
Nedoločeni integrali
elementarnih funkcij
x n +1
n
x
dx
=
∫
n +1
1
∫ x dx = ln x
∫ sin xdx = − cos x
∫ cos xdx = sin x
∫ e dx = e
x
1
∫ cos
2
x
x
dx = tgx
primeri
2
∫ 3t dt =
3t 3
= t3
3
1
∫ t dt = ln t
∫ sin (ωt )dt =
− cos(ωt )
ω
sin (ωt )
∫ cos(ωt )dt = ω
e − βt
−β
tg (ωt )
dt =
− βt
∫ e dt =
1
∫ cos (ωt )
2
ω
Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
MATEMATIČNI UVOD
3. Določeni integral, geometrijski pomen integrala
V koordinatnem sistemu vzemimo lik, ki je omejen z abscisno osjo, premicama x=a in x=b in
grafom zvezne funkcije y=f(x).
- Razdelimo interval [a,b] z n+1 točkami na n podintervalov.
- Na vsakem podintervalu izberemo po eno točko ti.
- produkt f(ti).∆xi je ploščina pravokotnika označenega na sliki.
n
- V kolikor seštejemo vse pravokotnike
∑ f (t )∆x , dobimo ploščino prej omenjenega lika.
i
i =1
i
n
∑ f (t )∆x
Vsota ploščin vseh pravokotnikov
i =1
i
i
se tem bolj približa ploščini krivočrtnega lika,
čim ožji so vsi pasovi, torej čim manjše so ploščine podintervalov. Natančna ploščina lika je
torej vrednost limite: lim
n
∑ f (t )∆x , ki jo imenujemo določeni integral.
n →∞
∆xi →0 i =1
i
i
Določeni integral na intervalu [a, b] zvezdne funkcije f(x) je število, ki je enako:
b
∫
a
f ( x )dx = lim
n
∑ f (t )∆x
n →∞
∆xi →0 i =1
i
i
b
Določen integral
∫ f (x )dx
pozitivne zvezdne funkcije f(x) je število, ki podaja ploščino lika
a
med krivuljo, abscisno osjo in pravokotnicama na os-x, ki gresta skozi začetno in končno
točko danega intervala [a, b].
Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko
MATEMATIČNI UVOD
primer 1:
Hitrost avtomobila se spreminja kot:
v(t ) = v0 + at , pri čemer sta v0 in a konstanti.
Kolikšno pot s opravi avtomobil na časovnem intervalu [0, t1]?
Pot, ki jo opravi avtomobil na časovnem intervalu [0, t1] je:
t1
s = ∫ v(t )dt .
0
t1
s = ∫ (v0 + at )dt
0
⇒
s = v0t1 +
at12
.
2
Vrednost s je enaka ploščini pod krivuljo v(t ) = v0 + at na intervalu [0, t1].