פרק-3

‫‪ §7‬גרפים של דרך ומהירות בתנועה קצובה‬
‫דוגמה‪ :‬מכונית נוסעת מאילת לחיפה במהירות ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬מה הדרך שהיא תעבור‬
‫בשעה אחת? בשעתיים? ב‪ 3 -‬שעות? ב‪ t -‬שעות?‬
‫על‪-‬פי נוסחת הדרך (‪ )6.2‬אפשר לרשום‪:‬‬
‫)‪(7.1‬‬
‫‪s = 90t‬‬
‫נציב בנוסחה את הערכים של ‪ t‬ונרשום את התוצאות בצורת הטבלה‪:‬‬
‫זמן (שעות)‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫דרך (ק"מ)‬
‫‪90‬‬
‫‪180‬‬
‫‪270‬‬
‫‪360‬‬
‫?‬
‫?‬
‫אפשר למלא גם את המשבצות הריקות ‪ ,‬אולם הרישום מסו ג זה אינו מאפשר לראות‬
‫באופן מיידי‪ ,‬מה הדרך שאותה תעבור המכונית ב‪ 3.5 -‬שעות‪ ,‬או בשעה ורבע‪.‬‬
‫כדי לה ראות ש‪ s -‬תלוי ב‪ ,t -‬רושמים‪( s(t) :‬מבטאים‪ s " :‬של ‪ "t‬או "דרך כתלות‬
‫בזמן")‪ ,‬ואומרים שהקשר בין ‪ s‬ל‪ t -‬הוא פונקציה‪.‬‬
‫כאשר מציבים בנוסחה )‪ (7.1‬במקום ‪ t‬ערך מסוים של הזמן‪ ,‬מקבלים את הערך של‬
‫‪( s‬דרך)‪ ,‬המתאים לרגע הזמן ‪.t‬‬
‫לדוגמה‪:‬‬
‫אם רוצים לדעת את הדרך ‪ s‬ברגע מסוים ‪ t‬ללא חישוב ‪ ,‬אפשר להיעזר בגרף של‬
‫הפונקציה )‪. s(t‬‬
‫גרף הוא קו רציף העובר דרך כל הנקודות במערכת צירים ישרה‪,‬‬
‫כאשר שיעורי‪ x -‬של כל נקודה שווים לערכי‬
‫שווים לערכי הפונקציה המתאימים )‪. y(x‬‬
‫נניח שבמערכת הצירים מתואר גרף של‬
‫פונקציה כלשהי )‪.y(x‬‬
‫כדי למצאו על‪ -‬פי הגרף הזה את ערך הפונקציה‬
‫)‪ y(x‬עבור ערך מסוים של ‪ ,x‬מעלים אנך לנקודה‬
‫על ציר האופקי ששיעורה‬
‫‪4‬‬
‫‪ ,x‬עד למפגש עם קו‬
‫‪ ,x‬וערכי ה‪y -‬‬
‫הגרף‪ .‬שיעור ה‪ y -‬של נקודת המפגש הוא ע רך‬
‫הפונקציה )‪ y(x‬המבוקש‪.‬‬
‫במקרה שלנו‪ ,‬המשתנה הבלתי תלוי הוא הזמן ‪ ,t‬והפונקציה היא הדרך ‪.s‬‬
‫כדי לשרטט גרף )‪ ,s(t‬נבצע את הפעולות הבאות‪:‬‬
‫א‪ .‬נשרטט מערכת צירים ישרה‬
‫ב‪ .‬נסמן את הצירים על‪-‬ידי שם‬
‫המשתנה והיחידות;‬
‫ג‪ .‬נסמן את שנתות החלוקה‪ ,‬בהתאם‬
‫לערכי ‪ t‬ו‪ s -‬הנתונים;‬
‫ה‪ .‬נעביר קו רציף המחבר את הנקודות‪:‬‬
‫כדי לדעת ‪ ,‬מה יהיה ערך הדרך ‪ s‬ברגע כלשהו ‪,t‬‬
‫‪5‬‬
‫ד‪ .‬נסמן כמה נקודות )‪ (s, t‬הנתונות;‬
‫עלינו להעלות אנך מהנקודה הנתונה של‬
‫‪ t‬עד‬
‫למפגש עם קו הגרף ‪ ,‬וממנו לשרטט קו אופקי‬
‫לכיוון הציר ‪:s‬‬
‫כך נמצא מהגרף שבנינו‪:‬‬
‫‪s(6) = 540 km‬‬
‫התלות של דרך בזמן )‪ s(t‬בתנועה קצובה היא‬
‫פונקציה קווית של יחס ישר‪:‬‬
‫רואים‪ ,‬שב"תפקיד" השיפוע‬
‫‪ k‬מופיעה המהירות ‪:v‬‬
‫מכיוון שגרף הפונקציה של יחס ישר עובר תמיד דרך ראשית הצירים ‪ ,‬מספיק רק‬
‫עוד נקודה אחת כדי לשרטט אותו‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬לאחר הבעיטה כדורגל עף במהירות של ‪ 10‬מטר‪/‬שנייה‪ .‬שרטטו גרף של מקום‬
‫כתלות בזמן עבור תנועת הכדור ‪ ,‬ומצאו באמצעות הגרף היכן היה הכדור לאחר ‪2.5‬‬
‫שניות מתחילת המעוף‪.‬‬
‫פתרון‪ .‬תנועת הכדור היא שוות‪ -‬מהירות‪ ,‬לכן דרך ‪ s‬שהוא עבר תלויה בזמן על‪ -‬פי‬
‫הנוסחה ‪ ,s = vt‬כלומר התלות היא יחס ישר ‪ .‬כדי לשרטט גרף מספיק לדעת‬
‫נקודה אחת מלבד נקודת הראשית ‪.‬‬
‫ניקח‪ t = 5 sec :‬ונציב בנוסחה‪:‬‬
‫הגרף הוא הישר העובר בין הראשית לנקודה‬
‫שמצאנו‪.‬‬
‫נעלה אנך לציר ‪ t‬מהנקודה ‪ t = 2.5‬ונמצא‬
‫את הנקודה המתאימה על ציר ‪s = 25 m :s‬‬
‫‪6‬‬
‫כיצד למצוא את גודל המהירות מהגרף של דרך‬
‫כפונקציה של זמן?‬
‫מכיוון שפונקציה )‪ s(t‬מהווה יחס ישר‪:‬‬
‫המקדם ‪ v‬שווה לשיפוע הגרף ‪,‬‬
‫כלומר לתנועה בעלת מהירות גבוהה יותר גרף‬
‫הפונקציה )‪ s(t‬הוא תלול יותר ‪.‬‬
‫כדי לחשב את המהירות באמצעות גרף הדרך‬
‫כתלות בזמן ‪ ,‬צריך לבחור נקודה כלשהי על קו‬
‫הגרף‪ ,‬למצוא את שיעוריה (הערכים של ‪ t‬ו‪,)s -‬‬
‫ולחשב את השיפוע‬
‫הנוסחה‪:‬‬
‫(השווה למהירות ) על‪-‬פי‬
‫הקשר בין דרך ומקום‬
‫במקרים רבים יש צורך לדעת את מקום הג וף יחסית לגוף ייחוס ‪ ,‬הנמצא בראשית‬
‫צירי הקואורדינאטות‪ .‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬מציינים את מקומנו במערכות ניווט )‪ (GPS‬או במפות‬
‫מודפסות; כך מסמנים את מקום הסמן על מסך מחשב או מקום הרכיב על מעגל‬
‫אלקטרוני מודפס‪.‬‬
‫במקרה של תנועה בקו ישר ‪ ,‬מסמנים את מקומו של הגוף באות‬
‫‪ ,x‬וגודלו שווה‬
‫לשיעור ‪( x‬קואורדינאטה) יחסית לראשית הציר‪.‬‬
‫אם מקומו של גוף בתחילת התנועה היא ‪ x1‬וברגע מסוים ‪ t‬הוא היה ‪ , x2‬אז הדרך‬
‫שאותה עבר הגוף שווה ל ‪:‬‬
‫‪s = x2 – x1‬‬
‫אם ידוע מקום התחלתי של הגוף )‪ (x0‬ומהירות התנועה ‪ ,v‬אז אפשר למצוא את‬
‫מקומו של הגוף בכל רגע ‪:t‬‬
‫)‪(7.2‬‬
‫‪7‬‬
‫דוגמה‪ :‬מכונית יצאה מנתניה‪ ,‬הנמצאת במרחק של ‪ 35‬ק"מ מתל‪-‬אביב‪ ,‬לכיוון חיפה‪.‬‬
‫מהירות המכונית –‪ 80‬קמ"ש‪ .‬איפה תהיה המכונית‪ ,‬יחסית לתל‪-‬אביב‪ ,‬כעבור רבע שעה‬
‫של נסיעתה?‬
‫פתרון‪ .‬נרשום את הנתונים‪:‬‬
‫נציב בנוסחת המקום )‪:(7.2‬‬
‫כאשר מקום התחלתי של הגוף היה בראשי ת הצירים )‪ ,(x0 = 0‬אז מקום הגוף ברגע ‪t‬‬
‫כלשהו שווה לדרך שהגוף עשה ‪ ,x = s :‬וגרף של מקום כתלות בזמן אינו שונה מגרף‬
‫של דרך‪:‬‬
‫אולם‪ ,‬אם בתחילת הנסיעה‬
‫)‪(t = 0‬‬
‫הגוף לא היה בראשית הציר ‪ ,‬אלא במקום‬
‫כלשהו )‪ ,(x0‬אז גרף התנועה נשאר קו ישר‬
‫(הרי תלות המקום בזמן נשאר ה פונקציה‬
‫קווית‪:‬‬
‫‪ ,) x(t) = x0 + vt‬אבל הוא לא‬
‫עובר דרך ראשית הצירים‪:‬‬
‫גרף של מהירות עבור תנועה קצובה‪.‬‬
‫יכול לקרות מצב שהמשתנים מחליפים תפקידים ‪ ,‬והמשתנה הבלתי תלוי הופך‬
‫לתלוי ולהפך‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬מכונית נוסעת מאילת לחיפה במהירות ‪ 90‬קמ"ש‪ .‬תוך כמה זמן היא תעב ור‬
‫דרך של ‪ 135‬ק"מ? ‪ 180‬ק"מ? ‪ 292.5‬ק"מ?‬
‫‪8‬‬
‫נסתכל בנוסחה (‪ )1‬כאל משוואה שבה הנעלם הוא ‪ ,90t = s :t‬ונפתור אותה‪:‬‬
‫לנוסחה זו אפשר להתייחס כאל ה פונקציה ‪ t‬של המשתנה בלתי תלוי ‪ :s‬לכל ערך‬
‫הדרך ‪ s‬מתאים זמן נסיעה )‪.s(t‬‬
‫אפשר גם למלא את טבלת ההתאמה כמו שעשענו עבור הפונקציה )‪:s(t‬‬
‫דרך‬
‫(ק"מ)‬
‫‪135‬‬
‫‪180‬‬
‫‪292.5‬‬
‫זמן‬
‫(שעות)‬
‫‪1.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3.2‬‬
‫‪5‬‬
‫כדי למלא את המשבצות הריקות ‪ ,‬יש להציב בנוסחה (‪ )2‬את הערכים השונים של ‪s‬‬
‫ולחשב את הערכים המתאימים של ‪.t‬‬
‫במתמטיקה מסמנים בדרך כלל את המשתנה הבלתי תלוי באות‬
‫‪ x‬ואת המשתנה‬
‫התלוי (הפונקציה) באות ‪.y(x) :y‬‬
‫אפשר להגדיר פונקציה בדרכים שונות‪.‬‬
‫‪ §7‬תנועה במהירות משתנה‬
‫‪ .‬בקטעי‬
‫רוב התנועות שמתרחשות בטבע אינן שייכות לסוג של תנועה קצובה‬
‫מסלול שונים ג וף יכ ול לנוע במהירויות שונות ‪ ,‬כמו לדוגמה‪ ,‬הרכבת שהיוצאת‬
‫מתחנה‪ ,‬או מעבורת חלל בעת שיגור ‪.‬‬
‫נבצע ניסוי הבא ‪ :‬נציב על העגלה בקבוק עם טפטפת שממנה יורדות טיפות נוזל‬
‫בכל פרקי זמן שווים ‪ .‬נעמיד את העגלה על מישור משופע ונשחרר אותה ‪ .‬במהלך‬
‫הגלישה‪ ,‬המרחקים בין סימני הטיפ ות הולכים וגדלים (ראו איור ‪ .)12‬משמעות הדבר‬
‫היא שהמרחקים שאותם עוברת העגלה בפרקי זמן שווים הם שונים‪ .‬מהירות העגלה‬
‫וגדלה‪ .‬אפשר להוכיח שבפרקי זמן שווים מהירות העגלה גדלה באותו גודל ‪.‬‬
‫הולכת ַ‬
‫גדלה (או קטֵ נה ) באותו גודל ‪ ,‬אז לתנ ועה‬
‫אם מהירות הגוף הנע במהירות משתנה ‪ֵ ,‬‬
‫זאת קוראים תנועה שוות‪-‬תאוצה‪.‬‬
‫כך‪ ,‬למשל‪ ,‬הוכח בניסויים רבים ‪ ,‬שמהירות הגוף הנופל חופשי‬
‫‪9‬‬
‫(ללא התנגדות‬
‫אוויר) בכל שנייה גדלה ב‪ 9.8 -‬מ'‪/‬ש'‪ ,‬כלומר אם תחילה הגוף היה נייח ‪ ,‬אז לאחר‬
‫שנייה אחת של הנפילה מהירותו תהיה ‪ 9.8‬מ'‪/‬ש'‪ ,‬בעוד שנייה – ‪ 19.6‬מ'‪/‬ש'‪ ,‬כעבור‬
‫עוד שנייה – ‪ 29.4‬מ'‪/‬ש' וכו'‪.‬‬
‫הערך הפיזיקלי שמראה בכמה משתנה מהירות הגוף בכל שנייה של תנועה שוות‪-‬‬
‫תאוצה מכונה תאוצה‪ .‬את התאוצה מסמנים באות ‪.a‬‬
‫יחידת התאוצה במערכת היחידות ‪ SI‬היא תאוצה כזאת שמהירות הגוף משתנה כל‬
‫שנייה ב‪ 1 -‬מ'‪/‬ש'‪ ,‬כלומר מטר בנייה בכל שנייה ‪ .‬את יח ידות התאוצה מסמנים איפו‬
‫כ‪( m/sec2 -‬וקוראים "מטר לשנייה בריבוע")‪.‬‬
‫תאוצה מסמנת קצב שינוי המהירות‪.‬‬
‫אם לדוגמה ‪ ,‬תאוצה הגוף שווה ל‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ,10 m/sec‬משמע בכל שנייה מהירות הגוף‬
‫גדלה ב‪.10 m/sec -‬‬
‫ֵ‬
‫ערכי התאוצה הנפוצים בחיי יום‪ -‬יום אפשר לראות בטבלה הבאה ‪:‬‬
‫רכבת פרוורים‬
‫‪0.6 m/sec2‬‬
‫אוטובוס היוצא מתחנה‬
‫‪1.2 m/sec2‬‬
‫מטוס נוסעים בהמראה‬
‫‪1.7 m/sec2‬‬
‫מעבורת חלל בעת השיגור‬
‫‪60 m/sec2‬‬
‫קליע בקנה הרובה‬
‫‪600 000 m/sec2‬‬
‫כיצד לחשב תאוצת הגופים המתחילים לנוע ?‬
‫נניח שידוע לנו שמהירות הרכבת היוצאת מהרציף‬
‫‪ ,‬ב‪ 2 -‬שניות ראשונות של‬
‫גדלה בשנייה אחד ‪ ,‬צריך‬
‫נסיעתה גדל ה ב‪ .1.2 m/sec -‬אז‪ ,‬כדי לדעת ‪ ,‬בכמה היא ֵ‬
‫לחלק את ‪ 1.2 m/sec‬ב‪ .2 sec -‬נקבל‪:‬‬
‫זוהי תאוצת הרכבת‪.‬‬
‫ובכן‪ ,‬על‪-‬מנת למצוא את תאוצת הגוף המתחיל לנוע ממנוחה בתאוצה קבועה‬
‫צריך לחלק את המהירות שאותה רכש הגוף ‪ ,‬בזמן שבו היא נרכשה ‪:‬‬
‫תאוצה‬
‫‪10‬‬
‫מהירות הנרכשת‬
‫זמן‬
‫‪,‬‬
‫נסמן את כל הערכים באותיות לועזיות ‪:‬‬
‫‪ – a‬תאוצה‪ – v ,‬מהירות הנרכשת (מהירות סופית)‪ – t ,‬זמן‪.‬‬
‫אז אפשר לרשום את הנוסחה לחישוב התאוצה כך ‪:‬‬
‫)‪(7.1‬‬
‫הערה‪ :‬נוסחה זו נכונה רק כאשר הגוף מתחיל לנוע ממנוחה ‪.‬‬
‫מהי תאוטה?‬
‫כאשר מכונית מאטה מהירות ּה הולכת וקטנה‪ ,‬כלומר התנועה היא במהירות‬
‫משתנה‪ .‬אם במשך הזמן ‪ t‬המהירות משתנה בגודל מסוים )‪ ,(-v‬אז בכל שנייה שינוי‬
‫המהירות יהיה שווה ל‪-‬‬
‫)‪(7.2‬‬
‫גודל זה נקרא תאוטה‪ ,‬והוא מראה את קצב ההאטה‪.‬‬
‫ההבדל בשתי הנוסחאות ‪ )7.1( ,‬ו‪ )7.2( -‬הוא שבמקרה של תאוצה ‪ ,‬המהירות ‪ v‬היא‬
‫המהירות הסופית של הגוף המאיץ ‪ ,‬ובנוסחה (‪ ,)7.2‬המהירות ‪ v‬היא המהירות‬
‫ההתחלתית‪.‬‬
‫דוגמה‪ :‬מכונית נוסעת במהירות של ‪ 72‬קמ"ש‪ .‬פתאום על הכביש קופצת חיית‪ -‬בר‪,‬‬
‫והנהג מתחיל לבלום ‪ .‬מה תאוצת המכונית במהלך הבלימה ‪ ,‬אם עד העצירה הסופית‬
‫עברו ‪ 5‬שניות?‬
‫פתרון‪.‬‬
‫א‪ .‬נמיר את יחידות המהירות למטר‪/‬שנייה‪:‬‬
‫ב‪ .‬נשתמש בנוסחת התאוטה‪:‬‬
‫ג‪.‬‬
‫תשובה‪:‬‬
‫בדומה למהירות‪ ,‬לתאוצת הגוף יש לא רק גודל אלא גם כיוון‪ .‬כלומר‪ ,‬גם התאוצה‬
‫היא ערך ווקטורי‪ .‬לכן משרטטים אותה בצורת חץ ‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫אם מהירות הגוף‪ ,‬הנמצא בתנועה בתאוצה‪ ,‬גדלה‪ ,‬אז התאוצה מכוונת באותה מגמה‬
‫כמו המהירות (איור ‪ (13‬א)); ואילו המהירות הולכת וקטֵ נה ‪ ,‬אז מגמת התאוצה בכיוון‬
‫ההפוך (איור ‪( 13‬ב))‪.‬‬
‫כאשר גוף נמצא בתנועה קצובה (שוות‪-‬מהירות)‪ ,‬מהירות אינה משתנה ‪ .‬לכן תאוצת‬
‫הגוף שווה ל‪ ,0-‬ואי‪-‬אפשר לשרטט אותה באיורים ‪.‬‬
‫‪12‬‬