4.1 Vinklar - Iceclimbers.net

4.1 Vinklar
Triangelns vinkelsumma och yttervinkelsatsen
Lite olika begrepp
𝑣 = ∧𝐵 = ∧𝐴𝐵𝐶 = ∧𝐶𝐵𝐴
180° = ett halvt varv
360° = ett helt varv
Två sidovinklar v1 och v2
v1 + v2 = 180°
Lite olika begrepp
Spetsig vinkel
då v < 90°
Rät vinkel
då v = 90°
Vinkelsumman i en triangel är 180°
Trubbig vinkel
då v > 90°
Yttervinkelsatsen
Visa den så kallade yttervinkelsatsen, dvs
y=a+b
b
a
a + b + c = 180 (triangelns vinkelsumma)
y + c = 180 (sidovinklar)
Vi löser ut c ur den andra ekvationen och får då
c = 180 – y
Vi ersätter c i den första ekvationen med c från den andra.
a + b + (180 – y) = 180
a + b + 180 = 180 + y
a + b = y v.s.b.
c
y
Lite olika trianglar
Rätvinklig triangel
Likbent triangel
Basvinklar
Liksidig triangel
Några användbara samband
𝑙1
𝑙2
𝑙1 ∥ 𝑙2 (𝑙𝑖𝑛𝑗𝑒𝑟𝑛𝑎 ä𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑙𝑎)
Supplementvinklar – De bildar tillsammans en rak vinkel
Likbelägna vinklar
Alternativvinklar
Vertikalvinklar – Motstående
Bisektris
En bisektris delar en vinkel i två lika stora delar.
Vinkelsumman i månghörningar
Vinkelsumman i en triangel är alltid 180°
Man kan se en fyrhörning som två
trianglar på 180° vardera.
Vinkelsumman = 180° × 2 = 360°
Man kan se en femhörning som tre
trianglar på 180° vardera.
Vinkelsumman = 180° × 3 = 540°
Exempel
Beräkna den med 𝑥 markerade vinkeln.
Vinklarnas sammanlagda summa
kommer att vara 180°
3𝑥
𝑥
Vi kan ställa upp en ekvation för denna likhet.
𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 + 15 = 180
5𝑥 + 15 = 180
5𝑥 = 165
𝑥 = 33
Svar: Den vinkel som är markerad med 𝑥 är 33°.
𝑥 + 15°
Dagens uppgifter
1. En triangel har vinklar som är 3𝑥, 4𝑥 och 5𝑥
stora. Hur stora är dess vinklar i grader?
2. Hur stor är ∧𝐶?
3. Hur stor är ∧𝛼 och ∧β?
𝑙1 ∥ 𝑙2
𝑙1
𝑙2
48°
36°
𝛼
4. Hur stor är ∧γ?
β
34°
5. Ställ upp en formel för
vinkelsumman i en månghörning
med 𝑛 stycken hörn.
Mer uppgifter finns på s.121
γ
52°
6. Klockan är kvart över tre. Hur stor
är vinkeln mellan timvisaren och
minutvisaren?