לפניכם אוסף סדרות חשבוניות, שכל אחת מהן פועלת לפי חוקיות קבועה הייחודי

‫סדרות‬
‫סדרה מתמטית היא רשימה סדורה של מספרים‪ ,‬הנקראים איברי הסדרה (איבר ראשון‪,‬‬
‫שני‪ ,‬שלישי וכו')‪ ,‬ומסודרים בהתאם לחוקיות מסוימת‪ .‬ערכו של כל איבר נקבע אך ורק לפי‬
‫מיקומו בסדרה‪ ,‬בהתאם לחוקיות העומדת בבסיסה‪.‬‬
‫יתכנו סדרות סופיות או אינסופיות‪.‬‬
‫איבר עוקב ‪ -‬כאשר נתון איבר כלשהו‪ ,‬האיבר שבא מיד אחריו (ואין איברים נוספים ביניהם)‪,‬‬
‫הוא האיבר העוקב‪ .‬כך למשל‪ ,‬במספרים הטבעיים‪ 8 ,‬הוא העוקב ל‪ 42 ,7 -‬הוא העוקב ל‪-‬‬
‫‪ 42‬וכן הלאה‪.‬‬
‫איבר קודם ‪ -‬כאשר נתון איבר כלשהו‪ ,‬האיבר שבא מיד לפניו (ואין איברים נוספים ביניהם)‪,‬‬
‫הוא האיבר הקודם‪ .‬כך למשל‪ ,‬במספרים הטבעיים‪ 5 ,‬הוא הקודם ל‪ 42 ,6 -‬הוא הקודם ל‪-‬‬
‫‪ 45‬וכן הלאה‪.‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫הסדרה‪ 5,  1, 3, 7,11 :‬היא סדרת מספרים בה ההפרש בין כל איבר לאיבר העוקב לו הוא‬
‫‪.2‬‬
‫הסדרה‪ 18.2,19.5, 20.8, 22.1 :‬היא סדרת מספרים בה ההפרש בין כל איבר לאיבר העוקב‬
‫לו הוא ‪.4.2‬‬
‫סימנים מקובלים עבור סדרות‪:‬‬
‫‪ - a1‬האיבר הראשון של הסדרה‬
‫‪ – n‬מספר איברי הסדרה‬
‫)‪ - a(n‬המיקום של האיבר הספציפי בסדרה‪.1,2,3…n .‬‬
‫לדוגמא‪ a5 :‬הוא האיבר החמישי בסדרה‪.‬‬
‫‪ - an‬האיבר הכללי של הסדרה‪ .‬כלומר‪ ,‬נוסחא שתאפשר לחשב איבר בסדרה לפי מספר‬
‫האיבר בה (החוקיות)‪.‬‬
‫‪ – Sn‬סכום איברי הסדרה‪.‬‬
‫סדרה חשבונית היא הצורה הפשוטה ביותר של סדרה מתמטית‪ .‬סדרה חשבונית היא סדרה‬
‫מתמטית בה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע‪ .‬שתי הסדרות שלעיל הן‬
‫דוגמאות לסדרות חשבוניות‪.‬‬
‫בנוסף לסדרה חשבונית‪ ,‬יתכנו אינספור סוגים אחרים של חוקיות לסדרה מתמטית‪ .‬כדי‬
‫לחשב חוקיות של סדרה חשבונית כאשר היא איננה נתונה‪ ,‬יש להבין את הקשר בין כל איבר‬
‫לאיבר העוקב או הקודם לו בסדרה‪ .‬מאחר שיתכנו סוגים רבים של קשרים‪ ,‬אין נוסחא אחת‬
‫הקובעת כיצד יש לעשות זאת והדרך הטובה ביותר היא ניסוי ותעייה‪ .‬שאלו את עצמיכם מה‬
‫הקשר בין שני איברים עוקבים בסדרה‪ ,‬בססו על פיו חוקיות אפשרית ובדקו האם היא פועלת‬
‫גם עבור האיברים הבאים‪ ,‬ואם לא – נסו שוב‪.‬‬
‫כאשר ידועה לנו החוקיות‪ ,‬נוכל לחשב עבור כל איבר שהוא בסדרה את האיבר העוקב‬
‫והקודם לו‪ .‬אם ברצוננו לחשב את מיקומו של איבר רחוק יותר בסדרה‪ ,‬עלינו לייצג את‬
‫החוקיות בצורת נוסחא אלגברית שלוקחת בחשבון גם את נקודת ההתחלה של הסדרה‪ ,‬כך‬
‫שכל ‪ n‬שיוצב בנוסחא יתאים ל)‪ a(n‬בסדרה‪ .‬לאחר שמצאנו את הנוסחא המתאימה לחוקיות‪,‬‬
‫נוכל לגלות את ערכו של כל איבר בסדרה על ידי הצבת מספרו בנוסחא‪.‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫נתונה הסדרה ‪2, 6, 18, 54, 162‬‬
‫מחיפוש מהיר של קשר בין האיברים‪ ,‬מתגלה שהחוקיות בה היא כפל ב ‪ .3‬אבל הסדרה‬
‫שונה מהסדרה ‪ 3, 9, 27, 81‬שהחוקיות עבורה היא ‪ ,a(n(= 3n‬מאחר שהמספר הראשון‬
‫בה הוא ‪ ,4‬לכן יש ליצור נוסחא בהתאם‪ ,‬ובמקרה הזה‪.a(n)= 2*3^(n-1) :‬‬
‫אם נרצה לדעת מהו האיבר ה‪ 7‬בסדרה‪ ,‬נציב בנוסחא‪:‬‬
‫‪a(100)=2*3^(7-1)=2*3^6=4374‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬אם דרוש לנו חישוב איבר אחד מסוים בתוך סדרה‪ ,‬כאשר נתון עבורו איבר‬
‫קודם או עוקב‪ ,‬נניח בסדרה‪( 5, 20, 80, X, 1280 :‬בה יש לחשב את ‪ ,)X‬לא חייבים‬
‫למצוא את הנוסחא לחישוב כל איבר אפשרי‪ ,‬אלא מספיק להבין שהחוקיות הבסיסית היא‬
‫כפל ב ‪ . 2‬כך שכפל האיבר הקודם ב ‪ ,)2*88( 2‬מוביל לאיבר עוקב של‪.X=320 :‬‬
‫דוגמאות לסוגים נוספים של חוקיות‬
‫הסדרה ‪ 2, 5, 4, 7, 6, 9‬היא סדרה בעלת חוקיות לא קבועה‪ .‬כלומר‪ ,‬החוקיות איננה תמיד‬
‫אותו הדבר אלא משתנה לסירוגין‪ .‬במקרה זה‪ ,‬במעבר מאיבר שמספרו בסדרה (‪ )n‬זוגי‬
‫לאיבר שמספרו אי זוגי החוקיות היא חיסור של ‪ ,4‬ואילו במעבר מאי זוגי לזוגי החוקיות היא‬
‫הוספת ‪.2‬‬
‫הסדרה ‪ 66, 32,15 , 6.5 , 2.25 , 0.125‬היא דוגמא לסדרה בה החוקיות כוללת יותר‬
‫מפעולה אחת‪ ,‬במקרה הזה חיסור ‪ 4‬ואז חלוקת ‪ 4‬עבור כל שלב בסדרה‪.‬‬
‫בסדרה ‪ 1 , 9 , 16 , 22 , 27 , 31 , 34‬היא סדרה בעלת חוקיות קבועה בה המספר שיש‬
‫לחבר משתנה כל פעם‪ ,‬במקרה הזה כדי להגיע לאיבר ‪ ,n‬יש לחבר לאיבר הקודם לו את‬
‫המספר (‪.)10-n‬‬
‫הסדרה ‪ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21‬היא סדרה בה שני האיברים הראשונים הם ‪ 4‬וכל איבר‬
‫נוסף הוא סכומם של שני האיברים הקודמים לו‪ .‬זוהי סדרה חשבונית מפורסמת מאוד‬
‫המכונה "טור פיבונאצ'י"‪ ,‬הנחשבת לבעלת תכונות כמעט מכושפות‪.‬‬
‫ניתן גם לייצר סדרה בעלת חוקיות מופשטת יותר‪.‬‬
‫לדוגמא‪ ,‬הסדרה ‪ 2, 3, 6, 7, 8, 12, 13, 16‬היא סדרת המספרים השלמים ששמותיהם‬
‫מתחילים באות שין‪.‬‬