חלק 1 טכניקה אלגברית:

‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫‪19‬‬
‫סדרה הנדסית‬
‫חוברת שאלות לתלמיד לשאלון‪35802 :‬‬
‫פרק ‪1.1‬‬
‫פונקציות וגרפים‬
‫פרק ‪1.2‬א‬
‫סדרה חשבונית‬
‫פרק ‪1.2‬ב‬
‫סדרה הנדסית ‪ -‬שאלות‬
‫פרק ‪1.3‬‬
‫גדילה ודעיכה‬
‫פרק ‪2.1‬‬
‫סטטיסטיקה‬
‫פרק ‪2.2‬‬
‫הסתברות‬
‫פרק ‪2.3‬‬
‫התפלגות נורמלית‬
‫פרק ‪3.1‬‬
‫טריגונומטריה במישור‪.‬‬
‫פרק ‪3.2‬‬
‫טריגונומטריה יישומים במרחב‪.‬‬
‫כתב וערך‪ :‬יוסי דהן‬
‫פתרונות מלאים ניתן למצוא באתר "מתמטיקה באומץ – יוסי דהן"‬
‫בכתובת ‪https://sites.google.com/site/matematikabomez/home :‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫סדרה הנדסית‬
‫‪20‬‬
‫חלק ‪ 2‬א' ‪ -‬סדרה הנדסית‬
‫הנוסחה לסכום הסדרה‬
‫נוסחת האיבר הכללי‬
‫‪a1  a‬‬
‫‪an1  an  q‬‬
‫)‪a1  (q n 1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪Sn ‬‬
‫‪an  a1  q n  1‬‬
‫סדרה הנדסית‬
‫שאלה מספר ‪1‬‬
‫מ ‪12 /‬‬
‫‪.‬‬
‫ספורטאי הלך ‪ 7‬שעות רצופות‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫בכל שעה עבר מרחק השווה ל‪ 5 -‬מהמרחק שעבר בשעה הקודמת‪.‬‬
‫בשעה השלישית הוא עבר ‪ 4000‬מטר‪.‬‬
‫חשב את המרחק שעבר הספורטאי בשעה הראשונה‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫חשב את סך כל המרחק שעבר הספורטאי ב‪ 7 -‬שעות‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫‪ 6250‬מטר‬
‫(א)‬
‫(ב)‬
‫‪ 24,696.4‬מטר‬
‫שאלה מספר ‪1‬א‪ :‬מבחן בגרות ‪ 35802‬מועד חצב ברק תשע"א ‪2011‬‬
‫ספורטאי רכב על אופניים במשך ‪ 6‬שעות רצופות‪.‬‬
‫במשך כל שעה הוא עבר מרחק השווה ל‪ 56 -‬מהמרחק שעבר בשעה הקודמת‪.‬‬
‫במשך השעה השלישית הוא עבר ‪ 5400‬מטר‪.‬‬
‫חשב את המרחק שעבר הספורטאי במשך השעה הראשונה‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫חשב את סך כל המרחק שעבר הספורטאי במשך ‪ 6‬השעות של רכיבתו‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪( a1  7,776‬ב) ‪S6  31,031‬‬
‫שאלה מספר ‪1‬ב‪ .‬מבחן בגרות ‪ 35802‬מועד א' קיץ תשע"ב ‪.2012‬‬
‫יוסי הלך ‪ 8‬שעות רצופות‪.‬‬
‫בכל שעה עבר ‪ 2‬מהמרחק שעבר בשעה הקודמת‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫במשך השעה השלישית עבר ‪ 2368‬מטר‪.‬‬
‫(א)‪ .‬חשב את המרחק שעבר יוסי בשעה הראשונה‪.‬‬
‫(ב) חשב את סך כל המרחק שעבר יוסי ב‪ 8 -‬השעות (דייק עד ‪ 2‬ספרות אחרי הנקודה העשרונית) ‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א)‬
‫‪ 5328‬מטר‬
‫(ב)‬
‫‪ 15,360.32‬מטר‬
‫פתרונות מלאים ניתן למצוא באתר "מתמטיקה באומץ – יוסי דהן"‬
‫בכתובת ‪https://sites.google.com/site/matematikabomez/home :‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫‪21‬‬
‫סדרה הנדסית‬
‫שאלה מספר ‪ 2‬מ ‪. 14 /‬‬
‫יש להכניס שלושה מספרים בין המספרים ‪ 31‬ל‪, 496 -‬‬
‫כך שתתקבל סדרה הנדסית שבה חמישה איברים‪.‬‬
‫מצאו את האיבר השני בסדרה המתקבלת ‪ ,‬אם היא סדרה עולה‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫מצאו את האיבר השני בסדרה המתקבלת ‪ ,‬אם היא איננה סדרה עולה‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(ב)‬
‫(א)‬
‫‪a 2  62‬‬
‫‪a 2  62‬‬
‫שאלה מספר ‪2‬א‪.‬‬
‫יש להכניס שלושה מספרים בין המספרים ‪ 23‬ל‪, 368 -‬‬
‫כך שתתקבל סדרה הנדסית שבה חמישה איברים‪.‬‬
‫מצא את האיבר השני בסדרה המתקבלת ‪ ,‬אם היא סדרה עולה‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫מצא את האיבר השני בסדרה המתקבלת ‪ ,‬אם היא איננה סדרה עולה‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(ב)‬
‫(א)‬
‫‪a 2  46‬‬
‫‪a 2  46‬‬
‫שאלה מספר ‪2‬ב‪ .‬מבחן בגרות ‪ 35002‬מועד חצב ברק תשס"ח ‪2008‬‬
‫בין המספרים ‪ 9‬ל‪ 2304 -‬יש להכניס שלושה מספרים‪ ,‬כך שתתקבל סדרה הנדסית עולה‬
‫שיש בה חמישה איברים‪ .‬מצא את האיבר השני בסדרה המתקבלת‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א)‬
‫‪a 2  36‬‬
‫שאלה מספר ‪3‬‬
‫מ ‪13 /‬‬
‫בסדרה הנדסית עולה האיבר החמישי הוא ‪ 48‬והאיבר השביעי הוא ‪. 192‬‬
‫מצאו את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫חשבו את סכום שבעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(ב) ‪S7  381‬‬
‫(א) ‪a1  3‬‬
‫שאלה מספר ‪3‬א‪ .‬מבחן בגרות ‪ 35002‬מועד פברואר תשע"א ‪. 2011‬‬
‫בסדרה הנדסית עולה האיבר הרביעי הוא ‪ 54‬והאיבר השישי הוא ‪.486‬‬
‫מצא את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון בסדרה‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫מצא את סכום חמשת האיברים הראשונים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(ב) ‪S5  242‬‬
‫(א)‬
‫‪a1  2 q  3‬‬
‫שאלה מספר ‪3‬ב‪ :.‬מבחן בגרות ‪ 35802‬מועד א קיץ תשע"ג ‪. 2013‬‬
‫בסדרה הנדסית האיבר השלישי הוא ‪ , 640‬והאיבר הרביעי הוא ‪.512‬‬
‫חשב את הסכום של תשעת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫‪S9  4328,9‬‬
‫פתרונות מלאים ניתן למצוא באתר "מתמטיקה באומץ – יוסי דהן"‬
‫בכתובת ‪https://sites.google.com/site/matematikabomez/home :‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫שאלה מספר ‪4‬‬
‫מ ‪15 /‬‬
‫סדרה הנדסית‬
‫‪22‬‬
‫‪.‬‬
‫האיבר הרביעי בסדרה הנדסית הוא ‪ . 1000‬מנת הסדרה היא ‪.5‬‬
‫(א)‪ .‬חשב את האיבר הראשון של הסדרה‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬חשב את סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪( a1  8‬ב) ‪S8  781,248‬‬
‫שאלה מספר ‪4‬א‪.‬‬
‫האיבר הרביעי בסדרה הנדסית הוא ‪ . 448‬מנת הסדרה היא ‪. 4‬‬
‫(א)‪ .‬חשב את האיבר הראשון של הסדרה‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬חשב את סכום חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(ב)‪S5  2,387 .‬‬
‫(א)‪a1  7 .‬‬
‫שאלה מספר ‪ 5‬מ ‪. 16 /‬‬
‫בתחרות השתתפו ‪ 10‬קבוצות‪ .‬כל קבוצה זוכה בפרס בהתאם למיקומה בסיום התחרות‪.‬‬
‫הפרסים מהווים סדרה הנדסית שבה כל פרס קטן מקודמו פי ‪.2‬‬
‫הקבוצה במקום הראשון מקבלת את הפרס הגדול ביותר‪,‬‬
‫והקבוצה במקום האחרון מקבלת את הפרס הקטן ביותר‪.‬‬
‫קבוצת "עירוני תמר" סיימה את התחרות במקום השישי וקיבלה סכום של ‪.₪ 20,000‬‬
‫קבוצת "צור יואב" סיימה במקום הראשון‪ .‬מהו הסכום שקיבלה?‬
‫(א)‪.‬‬
‫קבוצת "עירוני אפרת" סיימה את התחרות במקום האחרון‪ .‬מהו הסכום שקיבלה?‬
‫(ב)‪.‬‬
‫מהו סכום הפרסים הכולל שחולק לכל הקבוצות המשתתפות בתחרות?‬
‫(ג)‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(ב) ‪a10  1,250‬‬
‫(א) ‪a1  640,000‬‬
‫(ג) ‪S10  1,278,750‬‬
‫שאלה מספר ‪ 6‬מ ‪ . 17 /‬מבחן בגרות ‪ 35802‬מועד נובמבר תשע"ג ‪. 2013‬‬
‫ההיקפים של משולשים שווי‪-‬צלעות מהווים סדרה הנדסית עולה‪.‬‬
‫בסדרה ישנם ‪ 8‬משולשים‪.‬‬
‫אורך הצלע של המשולש הראשון הוא ‪ 2‬ס"מ‪,‬‬
‫ואורך הצלע של המשולש השני הוא ‪ 6‬ס"מ‪.‬‬
‫(א)‪ .‬מהו ההיקף של המשולש השלישי בסדרה?‬
‫(ב)‪ .‬מהי הצלע של המשולש האחרון בסדרה?‬
‫(ג)‪ .‬מהו סכום ההיקפים של שמונת המשולשים?‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(ג) ‪S8  19,680‬‬
‫(א) ‪a3  54‬‬
‫(ב) ‪ 4,374‬ס"מ‬
‫…‬
‫שאלה מספר ‪ 7‬מ ‪. 18 /‬‬
‫כאשר מסדרים את המשכורות של ‪ 5‬עובדים בסדר עולה (מהמשכורת הנמוכה אל המשכורת הגבוהה)‪,‬‬
‫מקבלים סדרה הנדסית‪ .‬המשכורת הנמוכה ביותר היא ‪,₪ 4,000‬‬
‫והמשכורת הגבוהה ביותר היא ‪.₪ 8,294.40‬‬
‫חשבו את מנת הסדרה ההנדסית‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫חשבו את סכום המשכורות של חמשת העובדים‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫חשבו את הממוצע של חמשת משכורות העובדים‪.‬‬
‫(ג)‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪q  1.2‬‬
‫(ב) ‪S5  29,766.4‬‬
‫(ג) ‪x  5,953.28‬‬
‫פתרונות מלאים ניתן למצוא באתר "מתמטיקה באומץ – יוסי דהן"‬
‫בכתובת ‪https://sites.google.com/site/matematikabomez/home :‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫שאלה מספר ‪8‬‬
‫מ ‪19 /‬‬
‫‪23‬‬
‫סדרה הנדסית‬
‫‪.‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪ -‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪an 1  an  4‬‬
‫(א)‪ .‬רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬קבע האם הסדרה ההנדסית עולה ‪ /‬קבועה ‪ /‬יורדת‪.‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫(ד)‪ .‬חשב את הממוצע של עשרת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪( a1  5 a2  20 a3  80 a4  320 a5  1280‬ב) הסדרה הנדסית ‪q  4‬‬
‫(ג) ‪S10  1,747,625‬‬
‫שאלה מספר ‪9‬‬
‫מ ‪20 /‬‬
‫(ד) ‪x  174,762.5‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a1  5‬‬
‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪ -‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪an 1  3  an‬‬
‫(א)‪ .‬הסבר מדוע הסדרה היא סדרה הנדסית‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את סכום שמונת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) הסדרה הנדסית ‪( q  3‬ב) ‪a1  5 a2  15 a3  45 a4  135 a5  405‬‬
‫(ג) ‪S8  8,200‬‬
‫שאלה מספר ‪10‬‬
‫מ ‪21 /‬‬
‫‪.‬‬
‫סדרה מוגדרת לכל ‪ n‬טבעי על‪-‬ידי כלל הנסיגה‪:‬‬
‫‪a1  80‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪an‬‬
‫‪an 1  2‬‬
‫(א) ‪.‬רשום את חמשת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫(ב)‪ .‬הסבר מדוע הסדרה הנתונה היא סדרה הנדסית יורדת‪.‬‬
‫(ג)‪ .‬חשב את סכום ששת האיברים הראשונים בסדרה‪.‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪( a1  80 a2  40 a3  20 a4  10 a5  5‬ב) הסדרה הנדסית ‪q  0.5‬‬
‫(ג) ‪S6  157.5‬‬
‫פתרונות מלאים ניתן למצוא באתר "מתמטיקה באומץ – יוסי דהן"‬
‫בכתובת ‪https://sites.google.com/site/matematikabomez/home :‬‬
‫לא נכשלת כל עוד לא חדלת לנסות‬
‫שאלה מספר ‪11‬‬
‫מ ‪22 /‬‬
‫‪24‬‬
‫סדרה הנדסית‬
‫‪.‬‬
‫בגרף שלפניכם מתוארת סדרה הנדסית‪.‬‬
‫(א)‪.‬‬
‫(ב)‪.‬‬
‫מצאו על‪-‬פי הגרף את האיבר הראשון בסדרה‪ ,‬ואת מנת הסדרה‪.‬‬
‫חשבו את סכום עשרת האיברים הראשונים של הסדרה‬
‫(שימו לב! חלק מהאיברים אינם מופיעים בגרף‪).‬‬
‫תשובה סופית‪:‬‬
‫(א) ‪a1  1 q  2‬‬
‫(ב) ‪S10  1,023‬‬
‫פתרונות מלאים ניתן למצוא באתר "מתמטיקה באומץ – יוסי דהן"‬
‫בכתובת ‪https://sites.google.com/site/matematikabomez/home :‬‬