Stationsskema - VANDLØBS

Ib Michelsen
Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011
stx 2011 dec – svar
Opgave 7
Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne P og Q.
Find forskrift
P og Q indtastes med de oplyste koordinater. Den lineære funktion, hvis graf går gennem
punkterne, findes med kommandoen f(x) = fitLinje[P,Q]
Hermed fås:
f ( x )=3x+3
1
Ib Michelsen
Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011
Find funktionsværdi
Funktionsværdien findes direkte ved at indtaste f(10) : f (10)=33
Løs ligningen
Ligngen løses ved at finde skæringspunktet (A) mellem graf og linjen y=18. heraf ses:
f ( x )=18
x=5
Opgave 8
Der er givet nedenstående boksplot, der viser længden af fangede tun i de respektive
måneder.
Kvartilsæt
På tegningen er der markeret aflæsningen af kvartilsættet, som er:
kvartilsæt = {171 , 199, 211}
Kommentar
I juni er der en ret stor variation i længden af de fangede tun fra 140 til 243 cm i
modsætning til septemberfangsterne som kun varierer mellem 228 cm og 264 cm (dvs. ca.
3 gange mindre.)
2
Ib Michelsen
Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011
Det er tydeligt, at tun fanget i september er længere end tun fanget i juni: flere end
halvdelen er længere end den længste fangst i juni og den korteste tun fanget i september
er længere end mindst 75 % af junifangsten.
Den store variation i junifangsten kan skyldes enkelte ekstreme fangster, men af
kvartilsættet ses alligevel, at der er en væsentlig større variation i længderne.
Opgave 9
Der er givet en tabel med samhørende data fra en
dryppende hane vedr. tid og dybde af det opsamlede
vand.
Modellen er af typen: d =b⋅t a
Parametre
Sammenhængen (en potensfunktion) findes ved
regresion med GeoGebra:
De givne data indtastes i regnearket (se herunder) og funktionen findes med
kommandoen fitPot:
Funktionen f(x), hvor x svarer
til t og f(x) til d har forskriften
f ( x )=0,234 x 0,592
Dvs.:
a = 0,592 og b=0,234
Tidspunkt for overløb
Hvis der ses bort fra
adhæsionskræfter mv. og det
antages, at vandspejlet er plant samt at vandet løber over i det sekund, dybden når 3 cm,
fås:
3
Ib Michelsen
Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011
Tidspunktet bestemmes som x-værdien (tiden) i skæringpunktet (J) mellem grafen og
linjen y=3.
Koordinaterne for J aflæses som (74,5 ; 3) og heraf fås:
Vandet løber over kanten efter 74,5 minutter
Opgave 10
Der er givet trekant ABC med de på figuren oplyste mål. Halvlinjen fra A gennem D (på
BC) er vinkel A's vinkelhalveringslinje,
Bestem |BC|=a
a beregnes med cosinusrelationerne (der gælder for alle trekanter) i trekant ABC. 1
a=√ b 2+c 22 b c⋅cos ( A)
Med indsættelse af de oplyste tal fås:
a=√ 142 +722⋅14⋅7⋅cos ( A)
a=9,41
1 Man kunne også fortælle, hvordan trekanten konstrueres med GeoGebra og så aflæse alle svar.
4
Ib Michelsen
Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011
5
Bestem vinkel C
Vinkel C beregnes med cosinusrelationerne 2(der gælder for alle trekanter) i trekant ABC.
∠
2
2
a +b c
2a b
2
Med indsættelse af de oplyste tal fås:
∠
2
2
9,41 +14 7
2⋅9,41⋅14
2
∠ = 26,6º
Bestem vinkel ADC
Af 180-gradersreglen anvendt på trekant ADC fås: ∠ADC 180º- (∠
∠ AC )/2
∠ADC
Med indsættelse af de kendte tal fås:
∠ADC= 180º- 37º /2- 26,6º
∠ADC=134,9º
Bestem |AD|
|AD| beregnes med sinusrelationerne (der gælder for alle trekanter) i trekant ADC.
∣AD∣
∣AC∣
=
sin (C ) sin( ADC )
Med indsættelse af de kendte tal fås:
∣AD∣
14
=
sin (26,6) sin (134,9)
14
∣AD∣=
⋅sin (26,6)
sin (134,9)
|AD| =8,85
2 Man kunne også benytte sinusrelationerne, men så bør man også begrunde, hvorfor den spidse vinkel vælges.
Ib Michelsen
Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011
Opgave 11
En funktionen f er givet ved forskriften
x
f ( x )=5⋅2 x
Bestem tangentligningen
Funktionens graf findes i GeoGebra ved indtastningen af forskriften; punktet P tegnes
med kommandoen P=(1,f(1)).
Tangenten findes med tangentværktøjet. Ligningen for tangenten kan så aflæses som:
y=5,93 x + 3,07
6
Ib Michelsen
Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011
7
Monotoniforhold
I GeoGebra tegnes f'(x) og skæringspunktet S mellem grafen og x-aksen findes .
f'(x) = 5*ln(2)*2^x-1
(Der er ikke andre skæringspunkter, da f''(x) = 5*ln(2)*ln(2)*2^x > 0)
Heraf følger idet S = (-1,79 ; 0):
x
f'(x)
f(x)
x < -1,79
aftagende
Monotoniforholdene er:
I ] -∞ ; 1,79] aftager f
I [1,79 ; ∞[ vokser f
Opgave 12
En funktion er givet ved forskriften:
f (x )=2x 2+20 x 32
Dennes graf afgrænser sammen med
førsteaksen et område: M
Bestem arealet af M
Grafen for f indtegnes ved
indtastning af forskriften.
Skæringspunkter med x-aksen
findes. Da der er tale om en parabel,
er der kun de to viste: A og B.
Arealet kan derfor findes som:
x(B )
M = ∫ f ( x ) dx
x( A)
Med GeoGebra fås:
M = 72
x = 1,79
0
lok. min.
x > 1,79
+
voksende
Ib Michelsen
Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011
8
Bestem arealet af N
Grafen for g indtegnes ved indtastning af forskriften. Skæringspunkter med grafen for
findes. Da der er tale om en parabel og en ret linje er der højst to skæringspunkter, nemlig
de to viste: C og D.
Arealet kan derfor findes som:
x( D)
N = ∫ ( f ( x )g ( x)) dx - idet
f ( x )≥g ( x) i intervallet.
x (C )
Med GeoGebra fås:
N= 9
Opgave 13
Et fuglebur skal bygges med 4 sider
bestående af trådnet.
Overfladens areal
Forsiden=h∗6x
Siderne i alt=2∗h∗x
Loftet =6x∗x
Den samlede overflade O
O=h∗6x+2∗h∗x+6x 2=6x 2+8 h x
idet alle sider inklusive loftet er rektangler.
Volumen V af en kasse beregnes som: V =bredde⋅længde⋅højde
Med betegnelser fra tegningen fås:
V = x⋅6 x⋅h=6 h⋅x 2
hvormed formlerne er fundne.
Ib Michelsen
Vejledende løsning: Matematik stx B , december 2011
V(x)
Hvis O = 80 fås
80=6x 2 +8 h x ⇔
2
806x =8 h x ⇔
2
806x
=h
8x
I så fald kan V skrives:
2
2
806x 2 ( 48036 x )
2
3
V =6⋅
⋅x =
⋅x =(604,5 x )⋅x=4,5 x +60 x
8x
8
V ( x)=4,5 x 3+60 x
Maksimering af rumfang
Funktionsforskriften for V indtastes og lokale ekstrema findes med kommandoen:
Ekstremum[V]
Heraf ses, at V har et lokalt maksimum for x= 2,11; maksimum er 84,3.
Da x≥0 og V er voksende i [0 ; 2,11] og aftagende i [2,11 ; 3 [ har V sin størsteværdi for
x=2,11.
Heraf ses, at fugleburet
hardet størst mulige
rumfang, når x = 2,11 m.
9