Föreläsning 19

Sidor i boken
KB 7-15
Linjära ekvationssystem
Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 300 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur
många kulor har var och en?
Lösning: Antag att Kalle har x kulor. Då har Pelle 2x kulor, som leder till ekvationen
x + 2x = 300
som ger x = 100
Svar: Kalle har 100 kulor och Pelle har 200.
Detta problem ledde till en ekvation av första graden. Här ett alternativt sätt att lösa problemet
Lösning: Antag att Kalle har x kulor och Pelle y kulor. Vi får då två ekvationer som vi sätter
samman till ett ekvationssystem
x + y = 300
y = 2x
Då vi vet att y = 2x från den andra ekvationen kan vi substituera detta i den första och får
x + 2x = 300
som är identisk med den första lösningen. När vi löst ut och fått x = 100, sätter vi in detta resultat i
den andra ekvationen och får y = 2 · 100 ≡ 200. Samma svar förstås.
Om du skriver om ekvationerna i systemet till
y =
y =
300 − x
2x
ser du att detta är två räta linjer. Lösningen kan då åskådliggöras med hjälp av en graf.
250
200
150
100
50
0
50
100
150
200
Lösningen hittar vi där linjerna skär varandra, (100, 200).
Klassificering av ekvationssystem
Det inledande ekvationssystemet ovan är ett linjärt ekvationssystem med 2 obekanta. Det är linjärt
därför att det de obekanta har gradtalet ett.
Håkan Strömberg
1
KTH STH
Här har vi ett linjärt ekvationssystem med 3 obekanta.

 x+y+z =
2x − y + 3z =

x + 4y − 2z =
6
9
3
med lösningen x = 1, y = 2, z = 3. Systemet är lite svårare att lösa än det med 2 obekanta och
mycket svårare att åskådliggöra i en graf.
Det finns förstås ingen övre gräns för hur många obekanta man kan ha i ett ekvationssystem. Det
finns tillämpningar där antalet obekanta är flera tusen! Då är man förstås tvungen att använda en
dator för att hitta lösningen.
Här har vi ett icke linjärt ekvationssystem med 2 obekanta. Systemet är icke linjärt därför att x (och
även y) förekommer med graden 2.
(x − 2)2 + (y − 3)2 = 36
2y + 3x = 10
Den första ekvationen beskriver en ellips och den andra en rät linje.
Vi kan läsa av de två rötterna på ett ungefär, (−1.78, 7.66) och (4.85, −2.28)
Som tur är kommer vi här bara att syssla med linjära ekvationssystem av 2 obekanta.
En, ingen eller oändligt många lösningar
Ett linjärt ekvationssystem kan ha en, ingen eller oändligt många lösningar. Detta är ett system med
en lösning
2x + 3y = 12
4x − 6y = 0
Med substitutionsmetoden löser vi ut x eller y ur en av ekvationerna och substituerar dess värde i
den andra ekvationen. Vi löser ut x ur den andra ekvationen
4x − 6y =
x =
Vi ’sätter in’
3y
2
3y
2
får vi x =
3·2
2
3y
2
+ 3y
6y
y
=
=
=
12
12
2
≡ 3. Om vi löser ut y ur de två ekvationerna får vi:
y =
y =
Håkan Strömberg
3y
2
för x i den första ekvationen
2·
Från x =
0
− 2x
3 +4
2x
3
2
KTH STH
Två räta linjer som vi kan plotta
Svar: x = 3, y = 2
Det här systemet har ingen lösning.
3y − 9x − 9 =
4y − 12x + 8 =
0
0
Hur kan man se det? Vi löser ut y ur första ekvationen och får y = 3x + 3. Resultatet substituerar vi
i den andra ekvationen och får:

 4(3x + 3) − 12x + 8 = 0
12x + 12 − 12x + 8 = 0

20 = 0
vilket bevisar detta. Hade vi kunna se det på något annat sätt? Om vi löser ut y även ur den andra
ekvationen får vi
y = 3x + 3
y = 3x − 2
Ekvationerna representerar nu två räta linjer. Att de inte skär varandra förstår vi då båda linjerna
har k = 3. Här har vi grafen
Det här systemet har oändligt många lösningar
3y − 3x − 6 =
6y − 6x − 12 =
0
0
Hur kan man se det då? Vi gör som i förra exemplet löser ut y i första ekvationen och får y = x + 2,
sätter in det i andra ekvationen

 6(x + 2) − 6x − 12 = 0
6x + 12 − 6x − 12 = 0

0 = 0
Detta betyder att för varje värde på x så finns det ett värde på y som satisfierar båda ekvationerna.
Hade vi kunna se det på något annat sätt? Om vi löser ut y även ur den andra ekvationen får vi
y = x+2
y = x+2
Håkan Strömberg
3
KTH STH
De båda ekvationerna representerar samma linje! Grafen ger då endast en linje och självklart finns
det då till varje x-värde ett y-värde.
Problem 1. Givet
x2 + ax + b = 0
Bestäm a och b, som är reella tal då man vet att ekvationen har rötterna x1 = −7 och x2 = 9.
Bestäm
Substitutionsmetoden och Additionsmetoden
I systemen vi löst ovan har vi använt oss av substitutionsmetoden som innebär
1 Lös ut en obekant ur den ena ekvationen
2 Ersätt denna lösning med den denna obekanta i den andra ekvationen
3 Lös denna ekvation som nu består av en obekant
4 Sätt in denna lösning i lösningen från steg 2
Vi löser detta system
2y − 6x
6x − 3y − 12
=
=
10
0
efter schemat ovan. (1) Vi löser ut y ur den första ekvationen
2y − 6x =
2y =
y =
10
10 + 6x
5 + 3x
(2) Vi ersätter y med 5 + 3x i den andra ekvationen och löser ekvationen (3).
6x − 3(5 + 3x) − 12
6x − 15 − 9x − 12
6x − 15 − 9x − 12
−27
x
=
=
=
=
=
0
0
0
3x
−9
(4) Vi sätter in x = −9 i lösningen från (1)
y =
y =
5 + 3(−9)
−22
Svar: x = −9 och y = −22
Vi löser så samma system med additionsmetoden. Först städar vi lite grann.
2y − 6x = 10
−3y + 6x = 12
Håkan Strömberg
4
KTH STH
När vi nu adderar V.L. i första ekvationen med V.L. i andra och H.L. i första ekvationen med med
H.L. i den andra får vi
−y = 22
y = −22
Med lite tur fick vi direkt y = −22. Detta värde sätter
väljer den första:

 2(−22) − 6x =
−6x =

x =
vi så in i vilken som helst i ekvationerna. Vi
10
10 + 44
−9
Svar: x = −9 och y = −22 Så där enkelt blir det förstås inte alltid. Vi tar ett exempel till:
y − 5x − 2 = 0
3y + 2x − 40 = 0
Här multiplicerar vi först båda sidor av första ekvationen med −3, innan vi adderar
−3(y − 5x − 2) = −3 · 0
3y + 2x − 40 = 0
och får
Efter additionen har vi
−3y + 15x + 6
3y + 2x − 40
17x − 34
x
=
=
−3 · 0
0
=
=
0
2
Vi sätter in x = 2 i den andra ekvationen 3y + 2 · 2 − 40 = 0, som ger y = 12.
Svar: x = 2 och y = 12.
Ett ännu mer krävande exempel
7x − 3y
3x + 2y
=
=
−13
1
Här multiplicerar vi båda leden i första ekvationen med 2 och båda leden i den andra med 3
2(7x − 3y) = 2 · (−13)
3(3x + 2y) = 3 · 1
Vi får
Efter additionen har vi
14x − 6y
9x + 6y
23x
x
=
=
−26
3
= −23
= −1
x = −1 insatt i den andra ekvationen ger 9(−1) + 6y = 3 ger y = 2.
Svar: x = −1 och y = 2.
Vilken metod ska man då välja? Ibland leder den ena till enklare räkningar än den andra. Eftersom
båda leder till rätt svar kan man låta smaken avgöra.
Håkan Strömberg
5
KTH STH
Läxa 1. Lös ekvationssystemet grafiskt
4y − 2x
2y + x
= 30
= 21
Läxa 2. Lös ekvationssystemet
3(x − 2) − 4(y + 5)
3y − 2x + 5y + 3x
=
=
−3
−11
Läxa 3. Lös ekvationssystemet
13x + 15y
6x + 8y
=
=
19
12
Läxa 4. Bonden Per Olsson har har på sin gård kor och höns. Räknar han huvudena på sina djur
kommer han fram till 23. Räknar han benen kommer han fram till 66. Hur många kor och hur
många höns har Per Olsson?
Läxa 5. HT 1958. Lös ekvationssystemet exakt

 3x + 15y
5x

10
− y3
=
7
=
1
3
Läxa 6. En arbetare arbetade en vecka dels 48 timmar efter en viss timlön och dels 5 timmar
övertid. Totalt fick han då ut 193 kr. En annan vecka arbetade han 40 timmar med samma timlön
och 4 timmar övertid med samma övertidsersättning. Denna vecka tjänade han 160 kr. Beräkna
timlönen för det ordinarie arbetet och för övertidsarbetet.
Läxa 7. VT 1956. Lös ekvationssystemet exakt

 3x + 4y
5
7
 5x + 3y
6
8
=
38
5
=
61
8
Läxa 8. Lös ekvationssystemet

x+y+z+u



y+z+u
z+u



u
=
=
=
=
10
6
3
1
Läxa 9. Adam kunde ta sig från A-stad till D-stad på två olika sätt. Dels kunde han gå de 12 km till
B-stad och därefter cykla 24 km till D-stad. Eller så kunde han gå 14 km till C-stad och fortsätta 16
km på cykel till D-stad. Resan tog i båda fallen 4.5 timmar. Bestäm Adams hastighet till fots och på
cykel.
Håkan Strömberg
6
KTH STH
Läxa 10. En linje med k = 3 går genom punkten (0, −14). En annan med k = −2 går genom
punkten (8, 0). I vilken punkt skär de två linjerna varandra?
Läxa 11. Kalle köpte bananer för 7 kr/st och apelsiner för 6 kr/st. Totalt handlade han för 34 kr.
Hur många bananer och apelsiner köpte han?
Läxa 12. Lös de två ekvationssystemen

x+y

3x − 2y

x + 4y
grafiskt
=
=
=


x+y =
3x − 2y =

x + 6y =
2
1
5
2
1
5
Läxa 13. VT 1913. En person har åtagit sig att fullborda ett arbete på 50 arbetsdagar och använder
i början 33 man vid detsamma. När 28 arbetsdagar förgått, är endast halva arbetet verkställt. Hur
mycket behöver han öka arbetsstyrkan för att kunna fullgöra sitt åtagande?
Läxa 14. Vid en utställning sänktes inträdesbiljetten med 25% efter första veckan. Under andra
veckan ökades inkomsten med 8%. Med hur många procent hade antalet besökare ökat?
Läxa Lösning 1.
Vi utläser lösningen x = 3 och y = 9 från diagrammet. Genom att sätta in lösningen i ekvationerna
ser vi att avläsningen är korrekt.
Svar: x = 3 och y = 9.
Läxa Lösning 2. Uppgiften är inte svårare än de tidigare efter att vi förenklat ekvationerna
3x − 6 − 4y − 20 = −3
8y + x = −11
så får vi
−4y + 3x =
8y + x =
23
−11
Additionsmetoden ger
och
Efter addition får vi
Håkan Strömberg
2(−4y + 3x) =
8y + x =
−8y + 6x =
8y + x =
7x
x
=
=
7
2 · 23
−11
46
−11
35
5
KTH STH
Så får vi fram y = 8y + 5 = −11 som ger y = −2
Svar: x = 5, y = −2.
Läxa Lösning 3. Vilken metod ska vi välja? Varför inte substitutionsmetoden. Vi löser ut x ur andra
ekvationen
6x + 8y = 12
x
=
x
=
12−8y
6
6−4y
3
Som vi så sätter in in första
3
13(6−4y)
+ 15y
3
13(6−4y)
+ 15y
3
=
19
=
3 · 19
78 − 52y + 45y
=
57
−7y =
−21
y =
3
som till sist ger x = 6−4·3
≡ −2
3
Svar: y = 3 och x = −2.
Läxa Lösning 4. Antag att han har k kor och h höns. Vi får då följande ekvationssystem.
x + y = 23
4x + 2y = 66
Från första ekvationen får vi y = 23 − x som vi sätter in i den andra och får
4x + 2(23 − x)
4x + 46 − 2x
2x
x
=
=
=
=
66
66
20
10
Insatt i y = 23 − 10, ger y = 13
Svar: Han har 10 kor och 13 höns.
Läxa Lösning 5. Vi startar med att fixa bort nämnarna

 10 3x + 15y
= 10 · 7
10
y

= 3 · 31
3 5x − 3
som ger
30x + 15y =
15x − y =
70
1
Genom additionsmetoden får vi
30x + 15y =
−2(15x − y) =
70
−2 · 1
som ger
= 68
= 4
17y
y
y = 4 insatt i någon av de tidigare ekvationerna får vi
15x − 4
x
Svar: y = 4 och x =
Håkan Strömberg
= 1
= 13
1
3
8
KTH STH
Läxa Lösning 6. Antag att han tjänade x kronor/timmen under ordinarie arbete och y kronor/timmen under övertidsarbetet. Vi får då följande system:
48x + 5y = 193
40x + 4y = 160
Additionsmetoden ger
eller
−4(48x + 5y)
5(40x + 4y)
=
=
−192x − 20y
200x + 20y
−4 · 193
5 · 160
=
=
−772
800
som ger
8x =
x =
28
3.5
Övertidsersättningen är
40 · 3.5 + 4y =
4y =
y =
160
160 − 140
5
Svar: De olika timlönerna är 3.50 kr respektive 5.00 kr
Läxa Lösning 7. Först gör vi oss av med nämnarna

 35 3x + 4y
=
7
5
 48 5x + 3y
=
6
8
35
38
5
48
61
8
som övergår i
Nu tillämpar vi additionsmetoden
21x + 20y
40x + 18y
=
=
266
366
18(21x + 20y)
−20(40x + 18y)
=
=
18 · 266
−20 · 366
=
=
4788
−7320
som ger
378x + 360y
−800x − 360y
och
Till sist får vi så
−422x
x
=
=
21 · 6x + 20y
20y
y
−2532
6
= 266
= 266 − 126
= 7
Svar: x = 6 och y = 7.
Läxa Lösning 8. Detta är ett linjärt ekvationssystem med 4 obekanta, trots att vi lovat att det inte
skulle förekomma fler än 2 obekanta. Nu är det ju så att detta system kan lösas med huvudräkning.
Tekniken som man ska använda är så kallad bakåtsubstitution. Eftersom u = 1 ser vi enkelt, från
den tredje ekvationen, att z = 2. Lika enkelt ser vi från den andra ekvationen att y = 3 och från
den första får vi då x + 3 + 2 + 1 = 10, ger x = 4. Bakåtsubstitution ingår som ett moment i lösandet
av större ekvationssystem. Mer om detta i er matematiska framtid.
Svar: x = 4, y = 3, z = 2 och u = 1.
Håkan Strömberg
9
KTH STH
Läxa Lösning 9. Antag att han gick med x km/tim och cyklade med y km/tim. Från den bekanta
formeln s = t · v, kan vi lösa ut t = vs . Vi får då ekvationssystemet

 12 + 24 = 4.5
x
y
 14 + 16 = 4.5
x
y
Bästa sättet att lösa detta system är att substituera a = x1 och b =
12a + 24b = 4.5
14a + 16b = 4.5
1
y.
Vi får
Med additionsmetoden får vi
eller
−7(12a + 24b)
6(14a + 16b)
−84a − 168b
84a + 96b
−72b
b
Då b =
1
y
=
=
=
=
−7 · 4.5
6 · 4.5
= −31.5
= 27
−4.5
4.5
72
får vi y = 16. Sätter vi in y = 16 direkt i
12
x
+
24
16
= 4.5
12
x
= 4.5 − 1.5
12
3
x
=
x
= 4
Svar: Gånghastigheten är 4 km/tim. Cykelhastigheten är 16 km/tim.
Läxa Lösning 10. Vi kan utan vidare bestämma ekvationerna för de två linjerna. Den första har
m-värde −14 = 3 · 0 + m, ger m = −14 och ekvationen y = 3x − 14. Den andra har m-värde
0 = (−2) · 8 + m, ger m = 16 och ekvationen y = −2x + 16. Återstår att lösa ekvationssystemet
y = 3x − 14
y = −2x + 16
Enkel substitution ger
3x − 14
5x
x
= −2x + 16
= 30
= 6
x = 6 insatt i första ekvationen ger y = 3 · 6 − 14 ger y = 4. Att vi troligtvis räknat rätt ser vi i grafen
Håkan Strömberg
10
KTH STH
Läxa Lösning 11. Antag att han köpte x bananer och y apelsiner. Det är inte svårt att teckna
ekvationen
7x + 6y = 34
Men sen? Att problemet är meningsfullt beror på att antalet bananer och apelsiner måste vara heltal.
Denna typ av ekvationer kallas diofantiska och nämns aldrig i gymnasiematematiken. Här har vi
grafen
Hur kan vi utläsa svaret? Jo, en lösning finns där linjen skär en gitterpunkt. Gitterpunkterna i
diagrammet är skärningen mellan blå linjer. I dessa punkter är alltid antalet bananer och apelsiner
heltal.
Vi avläser svaret 4 bananer och 1 apelsin. Normalt finns det flera lösningar. Ja, det finns för vår
ekvation oändligt många lösningar om man tillåter ett negativt antal bananer och/eller apelsiner.
Nog om diofantiska ekvationer.
Läxa Lösning 12. Vi får följande grafer
Båda systemen har tre ekvationer men endast två obekanta. Ett sådant system kallas överbestämt.
För att det ska finnas en lösningen måste alla tre linjerna gå genom en gemensam punkt. Så är fallet
i det vänstra systemet Punkten är (1, 1). I det högra systemet finns ingen gemensam punkt för de
tre linjerna och systemet saknar därför lösning.
Läxa Lösning 13. Antag att han behövde anställa x man ytterligare. 33 · 28 ’mandagar’ fixade
hälften av jobbet. Den andra häften klarades av på (33 + x) · 22 mandagar. Vi får ekvationen
33 · 28
924
x
x
=
=
=
=
(33 + x)22
726 + 22x
924−726
22
9
Svar: Han behövde anställa 9 man till.
Läxa Lösning 14. Vi vet inget om biljettpriset (p), eller antalet besökare (b) men kan ändå ställa
upp en ekvation. Antag att antalet besökare ökade med tillväxtfaktorn x. Första veckan var intäkten
p · b. Andra veckan 0.75p · x · b. Detta ger ekvationen
1.08 · p · b
1.08
x
x
=
=
=
=
0.75 · p · x · b
0.75 · x
1.08
0.75
1.44
Svar: Antalet besökare steg med 44%.
Håkan Strömberg
11
KTH STH