CHƯƠNG 5: Ứng dụng tích phân trong sách Calculus của Stewart

Comments

Transcription

CHƯƠNG 5: Ứng dụng tích phân trong sách Calculus của Stewart
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN
---------------------------o0o--------------------------HỒ THỊ LOAN
LÊ THỊ THU CÚC
NGUYỄN THỊ THU HUYỀN
LÊ THỊ MỸ LAN
CHƯƠNG 5: Ứng dụng tích phân
trong sách Calculus của Stewart
BÀI TẬP LỚN
HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3
NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS.NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC
Huế 9/2014
1
LỜI NÓI ĐẦU
Sách Calculus của tác giả Stewart là cuốn sách nói về giải tích. Trong sách có
nhiều chương khác nhau, tuy nhiên nhóm chúng tôi thấy Chương 5: Ứng dụng
tích phân là chương thú vị.
Chương này nhóm chúng tôi giới thiệu ứng dụng tích phân trong toán học,
vật lý và thực tế với bản dịch bằng tiếng việt. Nhóm chúng tôi muốn trình bày
những lời giải của tác giả Stewart trong chương 5:Ứng dụng của tích phân trong
sách Calculus về việc giải các bài diện tích, thể tích của các khối hình cầu, hình
chóp và tìm hiểu cách xây dựng Kim tự tháp từ toán học và tính công, lực của vật
trong vật lý. Một số bài toán thực tế gần gũi, cần thiết trong cuộc sống của chúng ta
như: Công cần thiết để đưa một vật từ mặt đất lên đến đỉnh của tòa nhà theo
phương thẳng đứng, tính công cần thiết để bơm một lượng nước vào trong bể,hoặc
tính công để kéo thùng nước lên khỏi miệng giếng,… Đặc biệt là bài toán về bóng
chày do ông Robert Adair phát hiện.
Trong quá trình dịch sách có nhiều sai sót mong đọc giả góp ý thêm để bài dich
ngày càng hoàn chỉnh.
Xin chân thành cảm ơn !
Các tác giả
Hồ Thị Loan
Lê Thị Mỹ Lan
Lê Thị Thu Cúc
Nguyễn Thị Thu Huyền
2
Mục lục
Diện tích miền giới hạn bởi các đường cong ......................................... 5
5.1
Một số bài tập .................................................................................... 13
Chỉ số Gini ....................................................................................... 18
5.2.
Thể tích ............................................................................................. 21
Một số bài tập .................................................................................. 32
5.4
Tính thể tích bằng phương pháp vỏ hình trụ .................................. 39
Một số bài tập ................................................................................... 45
5.4
Công .................................................................................................. 48
Một số bài tập ................................................................................... 53
5.5.
Giá trị trung bình của một hàm. ...................................................... 57
Một số bài tập. .................................................................................. 61
Giải tích bóng chày. ......................................................................... 64
5.
Nhận xét và một số bài tập. ............................................................. 66
3
CHƯƠNG 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Kim tự tháp lớn của vua Khufu được xây dựng ở Ai Cập từ 2580 TCN đến 2560
TCN và là cấu trúc nhân tạo cao nhất trên thế giới trong hơn 3800 năm. Các kỹ
thuật của chương này sẽ cho phép chúng ta ước tính tổng công việc được thực hiện
trong cách xây dựng kim tự tháp này và do đó để thực hiện một chương trình giáo
dục ,đoán được ngày công của người lao động cần để xây dựng nó.
Trong chương này, chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của tích phân xác định bằng
cách sử dụng tích phân để tính toán diện tích giữa các đường cong, thể tích của các
vật thể, và công cần thiết thực hiện bởi một lực khác nhau. Các chủ đề chung là
phương pháp tổng quát sau đây, nó tương tự như những gì chúng ta sử dụng để tính
diện tích đường cong: Chúng ta chia phần lớn thành nhiều phần nhỏ. tính xấp xỉ
từng phần nhỏ trong phần lớn của các hình và do đó tính xấp xỉ bằng tổng
Riemann. Sau đó, chúng ta lấy giới hạn và trình bày như tích phân. Cuối cùng
chúng ta tính toán tích phân bằng cách sử dụng định lý cơ bản của giải tích hoặc
quy
tắc
chèn
điểm
giữ.
Trong chương 4, chúng ta đã xác định và tính diện tích miền nằm dưới đồ thị hàm
số. Trong chương này, chúng ta sử dụng tích phân để tính diện tích miền nằm giữa
đồ thị của hai hàm số.
4
Xét miền S nằm giữa hai đường cong y=f(x), y=g(x) và giữa hai đường thẳng x=a,
x=b, với f và g liên tục và f(x) g(x) với mọi x thuộc đoạn [a,b] (xem hình 1).
Tương tự chúng ta đã tính đối với diện tích dưới đường cong trong phần 4.1, chúng
ta chia S thành n phần có độ rộng bằng nhau và sau đó chúng ta tính xấp xỉ phần
thứ i của hình chữ nhật với cơ sở là x và chiều cao là f( )-g( ) (xem hình 2).
Nếu muốn chúng ta có thể lấy tất cả các điểm cuối là đúng trong trường hợp này).
Tổng Riemann là:
Là diện tích gần đúng của miền S.
Hình 1
S=
a)Hình chữ nhật đặc trưng
(b) Hình chữ nhật gần đúng
Hình 2
5
Đại lượng gần đúng này sẽ đúng hơn khi cho n
. Vì vậy chúng ta xác định diện
tích A của miền S như là giới hạn của tổng diện tích các hình chữ nhật gần đúng.
[1]
Chúng ta thấy giới hạn trong [1] là hữu hạn của hàm f-g. Vì vậy ta có công thức để
tính diện tích.
[2] Diện tích miền A được giới hạn bởi các đường cong y=f(x), y=g(x) và các
đường thẳng x=a, x=b, với f và g đều liên tục và f(x) g(x) với mọi x thuộc
[a,b] là:
A=
Chú ý rằng trong trường hợp đặc biệt với g(x)=0, S là miền nằm dưới đồ thị của
hàm f, chúng tôi đã rút gọn định nghĩa diện tích [1] trong định nghĩa trước(định
nghĩa 2 phần 4.1).
Hình 3
Hình 4
6
Trong trường hợp cả f và g đều dương, bạn có thể nhìn trong hình 3 lý do tại sao
[2] đúng.
A=[ miền dưới y=f(x)]- [miền dưới y=g(x)]
=
Ví dụ 1: Tìm diện tích miền giới hạn bị chặn trên bởi đường cong y=x2+1, giới hạn
dưới bởi đường cong y=x và giới hạn ở hai bên bởi x=0 và x=1.
Giải: Miền này được thể hiện trong hình 4. Đường cong giới hạn bị chặn trên là
y=x2+1 và đường cong giới hạn bị chặn dưới là y=x. Do đó chúng ta sử dụng công
thức tính diện tích [2] với f(x)= y=x2+1, g(x)=x, a=0, b=1.
A=
=
=
Trong hình 4, chúng ta đã vẽ một hình chữ nhật đặc trưng với chiều rộng gần
đúng, đó là một ghi nhớ về các quy trình, trong đó, diện tích này được xác định
trong [1]. Nói chung, khi chúng ta xây dựng công thức tích phân cho một diện tích
thì nó rất hữu ích để mô tả miền xác định đường cong trên , đường cong dưới
và một hình chữ nhật gần đúng, cụ thể như trong hình 5. Sau đó, diện tích của hình
chữ nhật điển hình là ( - ) và công thức là:
A=
=
Tóm tắt các quy trình bổ sung thêm (theo nghĩa hẹp) diện tích tất cả các hình chữ
nhật điển hình.
Hình 5
Hình 6
Chú ý rằng trong hình 5, đường biên bên tay trái dần đến 1 điểm, trong khi đó hình
3 đường biên bên phải dần đến 1 điểm khác.
Trong ví dụ sau, cả hai đường biên dần đến cùng một điểm, do đó bước đầu tiên là
tìm a, b.
7
Ví dụ 2: Tìm diện tích được giới hạn bởi các parabol y=x2 và y=2x-x2.
Giải: Đầu tiên chúng ta tìm giao điểm của các parabol bằng cách giải phương
trình: x2=2x-x2
Hoặc 2x2-2x=0, do đó 2x(x-1)=0, vậy x=0 hoặc 1. Các giao điểm là: (0,0) và (1,1)
Chúng ta nhìn hình 6, biên trên và biên dưới lần lượt là các đường:
=x2.
Diện tích hình chữ nhật là: (
=(2x- x2- x2)
thẳng x=0 và x=1. Vì vậy tổng diện tích là:
A=
=2
=2x-x2,
và miền nằm giữa đường
=2
Đôi khi việc này gặp khó khăn hoặc không thể tìm chính xác các giao điểm của các
đường cong. Nhưng trong ví dụ sau đây, chúng ta có thể sử dụng máy tính đồ họa
hoặc máy tính để tìm giá trị gần đúng của các giao điểm và sau đó tiếp tục quá
trình trên.
Ví dụ 3: Tìm diện tích gần đúng của miền giới hạn bởi các đường cong y=
và y=
.
Giải: Nếu chúng ta cố gắng tìm các chính xác các giao điểm, chúng ta phải giải
phương trình sau:
=
.
Đây là phương trình rất khó để tìm nghiệm một cách chính xác(trong thực tế nó
không thể). Vì vậy, thay vào đó chúng ta sử dụng một thiết bị đồ họa để vẽ đồ thị
của hai đường cong trong hình 7. Một giao điểm là gốc. Chúng ta phóng to về phía
giao điểm khác và tìm được x
(nếu cần chính xác hơn chúng ta có thể sử
dụng phương pháp của Niu-tơn hay công cụ tìm gốc, nếu nó có sẵn trên thiết bị của
bạn).Như vậy giá trị gần đúng phần diện tích giới hạn bởi hai đường cong là:
A
.
Để tính tích phân trên, đầu tiên chúng ta đặt u=
x
, chúng ta có u
. Do đó,
A
8
. Sau đó, du=2xdx và với
=
-1-
.
(giây)
Hình 7
Hình 8
Ví dụ 4: Hình 8 biểu diễn đường cong vận tốc của hai chiếc xe A và B, xuất phát
cùng chỗ và di chuyển dọc theo hai con đường giống nhau. Tính diện tích giữa hai
đường cong đó. Sử dụng quy tắc chèn điểm để tính nó.
Giải: Chúng ta đã biết ở phần 4.4 rằng diện tích dưới đường cong vận tốc A là
khoảng cách đi bởi ô tô A trong 16 giây đầu tiên. Tương tự như vậy, diện tích dưới
đường cong vận tốc B là khoảng cách đi bởi ô tô B trong cùng khoảng thời gian
trên. Vì vậy, diện tích giũa hai đường cong đó là diện tích phần chênh lệch giữa
chúng, là khoảng cách giữa hai ô tô sau 16 giây. Chúng ta nhìn vận tốc từ đồ thị và
chuyển chúng thành bộ mỗi giây (1mi/h=
ft/s).
Chúng ta sử dụng quy tắc chèn điểm giữa với n=4 khoảng, do đó
. Điểm
giữa các khoảng là
. Chúng ta tính khoảng cách giữa hai xe sau
16 giây như sau:
9
Nếu chúng ta được yêu cầu tìm diện tích giữa các đường cong y=f(x) và y=g(x) mà
f(x) g(x) với 1 vài giá trị của x nhưng g(x) f(x) với những gúa trị khác của x, thì
chúng ta chia miền S thành các miền
… lần lượt tương ứng với diện tích
… như hình 9. Sau đó chúng ta xác định diện tích của miền S là tổng diện
tích của những miền nhỏ hơn
… đó là A=
Vì vậy:
Chúng ta có biểu thức A
[3]: Diện tích giứa hai đường cong y=f(x) và y=g(x) và giữa x=a và x=b là:
A=
Tuy nhiên khi tính tích phân trong [3], chúng ta phải chia nó thành cá tích phân
tương ứng với
…
Hình 9
Hình 10
Ví dụ 5: Tìm diện tích miền giới hạn bởi đường cong y=sin(x), y=cosx, x=0 và
x=
Giải: giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình:
sinx=cosx  x= ( do
).
10
Miền này được biểu diễn như trong hình 10. Ta thấy cosx sinx khi
nhưng sinx cosx khi
A=
. Do đó diện tích cần tìm là:
=
=
+
=[sinx+cosx] +[-cosx-sinx]
=(
=2
+(-0-1+ + )
-2
Trong ví dụ này chúng ta có thể rút gọn việc tính toán do nhận thấy rằng miền này
đới xứng nhau qua x= và do đó:
A=2
=2
Một số miền được tính tốt nhất bằng cách cho x phụ thuộc vào hàm y. Nếu một
miền được giới hạn bởi đường cong có phương trình x=f(y), x=g(y), y=c và y=d,
với f và g đều liên tục f(y) g(y) với c
(nhìn hình 11), do đó diện tích của
miền là:
A=
Hình 11
Hình 12
11
Nếu chúng ta kí hiệu
minh họa chúng ta có:
là biên bên phải và
A=
là biên bên trái thì như hình 12
.
Đó là một hình chữ nhật có kích thước xấp xỉ là
Hình 13
và
.
Hình 14
Ví dụ 6: Tìm diện tích phần tạo bởi đường thẳng y= x-1 và parabol y2=2x+6
Giải: Bằng việc giải các phương trình chúng ta tìm được các giao điểm là (-1,-2)
và (5,4). Chúng ta giải phương trình cảu parabol theo x và chú ý hình 13 rằng các
đường biên bên trái và bên phải lần lượt là:
và
.
Chúng ta tính tích phân giữa các giá trị y thích hợp là y=-2 và y=4. Do đó:
A=
=
=
=
=
Chú ý: Chúng ta cũng tính được diện tích trong ví dụ 6 bằng cách lấy tích phân
theo x thay vì theo y, nhưng việc tính toán dài. Nó có nghĩa là ta phải chia chúng
thành 2 miền và tính các diện tích các miền
như trong hình 14. Phương pháp
chúng
ta
sử
dụng
trong
ví
dụ
6
dễ
hơn
nhiều
12
1.4) Tìm diện tích miền tô đậm:
5-12. Hãy biễu biểu miền được giới hạn bởi các đường cong. Quyết định nên lấy
tích phân theo x hay theo y? Vẽ một hình chữ nhật gần đúng và xác định chiều cao
chiều rộng của nó. Sau đó tìm diện tích của miền.
5.y=x+1, y=9-x2, x=-1, x=2
6. y=sinx, y=x, x=
9. y=
, y=(x+3)/2
, x=
7. y=(x-2)2, y=x
11. x=1-y2, x=y2-1
8. y=x2-2x, y=x+4
12. 4x+y2=12, x=y
13-28. Biểu diễn miền tạo bởi đường cong và tìm diện tích của nó.
13. y = 12 – x2, y = x2 – 6
21. y=cosx, y=1-2x/
14. y=x2, y=4x-x2
22. y=x2, y=x
15. y=sec2x, y=8cosx, - /3
23. y=cosx, y=sin2x, x=0, x=
16. y=cosx, y=2-cosx,
24. y=cosx, y=1-cosx,
17. x=2y2, x=4+y2
25. y=
, y=
18. y=
, x-y=1
26. y=
, y=x2-2
19. y=cos
, y=4x2-1
27. y=1/x2, y=x, y=
20. x=y4, y=
, x=9
28. y= x2, y=2x2, x+y=3, x
, y=0.
29-30. Sử dụng tính toán để tìm diện tích tam giác với các đỉnh cho trước:
13
29. (0,0) , (3,1) , (1,2)
30. (2,0) , (0,2), (-1,1)
31-32: tính diện tích sau và giải thích nó là diện tích của một miền nào đó. Biểu
diễn miền đó:
31.
32.
33-36. Sử dụng một đồ thị để tìm tọa độ x gần đúng của giao điểm các đường
cong. Sau đó(một cách gần đúng) tìm diện tích miền giới hạn bởi các đường cong.
33. y=xsin(x2), y=x4, x
35. y=3x2-2x, y=x2-3x+4
, y=x5-x, x
34. y=
36. y=x2cos(x2), y=x10
37-40. Vẽ miền đồ thị giữa các đường cong và sử dụng máy tính để tính diện tích
chính xác đến 5 chữ số thập phân.
37. y=
, y=x2
39. y=tan2x, y+
38. y=x6, y=
40. y=cosx, y=x+2sin4x
41. Sử dụng máy tính để tìm chính xác diện tích tạo bởi các đường cong
y=
và y=x.
42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn miền được xác định bởi bất đẳng thức
x-2y2
và 1-xvà tính diện tích của nó.
43. Xe đua được diều khiển bởi Chris và Kelly nằm cạnh nhau khi bắt đầu cuộc
đua. Bảng sau đây cho thấy vận tốc của mỗi xe(dặm/h) trong 10s đầu của cuộc
đua( sử dụng quy tắc chèn điểm để ước tính Kelly đi xa hơn Chris bao nhiêu trong
10s đầu tiên).
14
44. Chiều rộng(tính bằng mét) của một hồ bơi hình quả thận đã được đo tại các
khoảng 2 mét như đã nêu trong hình. Sử dụng quy tắc chèn điểm giữa để tính diện
tích của hồ bơi.
45. Một mặt cắt của một cánh máy bay được thể hiện như hình. Đo độ dày của
cánh máy bay bằng cm, tại khoảng 20cm là 5.8, 20.3, 26.7, 29.0, 27.6, 27.3, 23.8,
20.5, 15.1, 8.7 và 2.8. Sử dụng quy tắc chèn điểm giữa để tính diện tích của mặt cắt
ngang cánh máy bay.
46. Nếu tỉ lệ sinh của dân số là b(t)=2200+52.3t+0.74t2 người/năm và tỉ lệ chết là
d(t)=1460+28.8t người/năm, tìm diện tích giữa các đường cong với 0
Diện tích này thể hiện điều gì?
47. Hai chiếc xe A và B, xuất phát cùng nhau từ trạng thái nghỉ, tăng tốc dần. Vẽ
đồ thị biểu diện hàm tốc độ:
a) Hai xe xuất phát trước sau 1 phút. Giải thích.
b) Ý nghĩa của diện tích miền tô đậm là gì?
15
c) Hai xe xuất phát trước sau 2 phút. Giải thích.
d) Tính thời gian để hai xe gặp nhau một lần nữa.
(phút)
48. Đồ thị biểu diễn hàm doanh thu biên R’ và hàm chi phí cận biên C’ của một
nhà sản xuất như sau( nhớ lại từ phần 3.7, R(x) và C(x) đại diện cho doanh thu và
chi phí khi x đơn vị sản xuất. giả sử R và C được tính bằng đô-la). Ý nghĩa miền tô
đậm là gì? Sử dụng quy tắc chèn điểm giữa để tính giá trị của số lượng này.
49. Đường cong có phương trình y2=x2(x+3) được gọi là khối Tschirnhausen. Nếu
vẽ đồ thị của đường cong này sẽ thấy rằng 1 phần đường cong tạo thành một vòng
lặp. tìm diện tích giới hạn bởi các vòng lặp.
50. Tìm diện tích miền được giới hạn bởi parabol y=x2, tiếp tuyến của parabol tại
(1,1) và trục Ox.
51. Tìm b, biết đường thẳng y=b chia miền giới hạn bởi đường cong y=x2 và y=4
thành hai miền có diện tích bằng nhau.
52.a) Tìm a biết đường thẳng x=a chia đôi diện tích dưới đường cong y=
1
.
b) Tìm b, biết đường thảng y=b chia đôi diện tích trong phần a.
16
,
53. Tìm giá trị của c sao cho diện tích giới hạn bởi parabol y=x2-c2 và y= c2-x2 là
576.
54. Giả sử rằng 0< c < . Với giá trị nào của c thì diện tích của miền được giới hạn
bởi đường cong y=cosx, y=cos(x-c) và x=0 bằng diện tích miền giới hạn bởi đường
cong y=cos(x-c), x= và y=0?
Các bài tập sau đây chỉ dành cho những người đã đọc chương 6.
55-57: Hãy biểu diễn miền giới hạn bởi các đường cong sau và tính diện tích miền
đó.
55. y=1/x, y=1/x2, x=2
56. y=sinx, y=ex, x=0, x=
57. y=tanx, y=2sinx, -
.
58. Với giá trị nào của m thì đường thảng y=mx và đường cong y=
tạo thành
một miền. Tìm diện tích miền đó.
Làm thế nào để có thể đánh giá phân phối thu nhập giữa các dân cư của một quốc
gia? Một giải pháp đó là chỉ số Gini, được đặt tên theo nhà Kinh tế học người Ý
Corrado Gini-người đầu tiên phát minh ra chỉ số Gini vào năm 1912. Đầu tiên,
chúng ta xếp hạng tất cả các hộ gia đình trong một quốc gia theo thu nhập và sau
đó tính toán tỷ lệ % hộ gia đình có thu nhập cao nhất, đó là một tỷ lệ nhất định của
tổng số thu nhập của đất nước. Chúng ta xác định một đường cong Lorenz y=L(x)
trên đoạn [0,1] bằng cách vẽ các điểm (
trên đường cong đó, nếu dưới a%
số hộ nhận được nhiều nhất b% trong tổng thu nhập.
Ví dụ trong hình 1, điểm (0.4,0.12) nằm trên đường cong Lorenz của Hoa Kỳ trong
năm 2008, bởi vì 40% dân số nghèo nhất chỉ nhận được 12% tổng thu nhập.
Tương tự như vậy dưới 80% dân số nhận được 50% tổng thu nhập, vì vậy điểm
(0.8,0.5) nằm trên đường cong Lorenz. (Đường cong Lorenz được đặt tên theo nhà
kinh tế học người Mỹ Max Lorenz).
17
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 2 cho thấy một số đường cong Lorenz điển hình. Tất cả chúng đều đi qua
điểm (0,0) và (1,1) và hướng mặt lõm lên trên. Trong trường hợp đặt biệt L(x)=x,
thì xã hội bình đẳng, tức là: a% dân số nghèo nhất được nhận a% tổng thu nhập và
vì vậy tất cả mọi người nhận được thu nhập như nhau. Diện tích giữa đường cong
Lorenz và đường thẳng y=x và có bao nhiêu biện pháp phân phôi thu nhập khác
với bình đẳng tuyệt đối. Chỉ số Gini (đôi khi còn gọi là hệ số Gini Coffiicent hoặc
coefficient of inequality) là diện tích giữa đường cong Lorenz và đường thẳng y=x
(hình 3) chia diện tich dưới đường thẳng y=x.
1(a). Chứng minh rằng chỉ số Gini bằng hai lần diện tích giữa đường cong Lorenz
và đường thẳng y=x là:
18
G=2
(b) Giá trị G của một xã hội hoàn toàn bình đẳng (tất cả mọi người đều có cùng thu
nhập) là gì? Giá trị G của một xã hội hoàn toàn độc tài chuyên chế là gì( một người
duy nhất nhận được tất cả thu nhập)?
2. Bảng sau đây(lấy từ dữ liệu được cung cấp bởi US Census Bureau) cho thấy giá
trị của hàm Lorenz đối với phân phối thu nhập ở Mỹ năm 2008.
X
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
L(x)
0.000
0.034
0.120
0.267
0.500
1.000
a) 20% dân số giàu nhất Mỹ nhận được bao nhiêu phần trăm trong tổng thu nhập
của nước Mỹ?
b) Sử dụng máy tính hoặc máy vi tính để tìm một hàm bậc hai phù hợp với các dữ
liệu cho trong bảng. Vẽ các điểm dữ liệu và đồ thị hàm bậc hai. Đó có phải là một
hàm bậc hai thực sự không?
c) Sử dụng hàm bậc hai đối với hàm Lorenz để tính chỉ số Gini của Hoa Kỳ trong
năm 2008.
3. Bảng dưới đây cung cấp các giá trị của hàm Lorenz trong những năm 1970,
1980, 1990, và 2000. Sử dụng phương pháp của Bài 2 để ước tính chỉ số Gini của
Hoa Kỳ trong những năm đó và so sánh với câu trả lời trong Bài 2 (c) . Bạn nhận
ra được xu hướng gì?
X
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1970
0.000
0.041
0.149
0.323
0.568
1.000
1980
0.000
0.042
0.144
0.312
0.559
1.000
1990
0.000
0.038
0.134
0.293
0.530
1.000
2000
0.000
0.036
0.125
0.273
0.503
1.000
4. Một hàm mũ thích hợp thường cho ta một cách chính xác hơn là so với một
hàm bậc hai của hàm Lorenz. Sử dụng một máy tính với phần mềm Maple hoặc
19
Mathematical, với một hàm mũ thích hợp (y=axk) để tính các dữ liệu trong Bài 2
và sử dụng nó để đánh giá chỉ số Gini của Hoa Kỳ trong năm 2008 so sánh với câu
trả lời trong phần (b) và (c) của bài 2.
5.2 THỂ TÍCH:
Dù cố gắng để tìm ra thể tích của một vật rắn, nhưng chúng tôi phải đối mặt với
cùng một loại vấn đề như trong việc tìm diện tích của một miền. Chúng tôi có một
ý tưởng trực quan về việc tìm thể tích của vật rắn, nhưng chúng ta phải làm cho ý
tưởng này chính xác bằng cách sử dụng tính toán để đưa ra một định nghĩa chính
xác về thể tích.
(a). Hình trụ
(b). Hình trụ tròn
(c). Hình hộp chữ nhật
Hình 1
Ta bắt đầu với một loại vật rắn đơn giản được gọi là một hình trụ (hay chính xác
hơn, là một hình trụ bị cắt bên phải). Như minh họa trong hình 1(a), một hình trụ
được bao quanh bởi một mặt phẳng B1, được gọi là mặt cơ sở và miền B2 đồng
dạng trong một mặt phẳng song song.Hình trụ là hình bao gồm tất cả các điểm trên
mặt cơ sở và đoạn thẳng nối B1 đến B2. Nếu diện tích của mặt cơ sở là A và chiều
cao của hình trụ (khoảng cách từ B1 đến B2) là h, thì thể tích V của hình trụ được
định nghĩa là: V=Ah
Đặc biệt, nếu mặt cơ sở là đường tròn có bán kính là r, thì gọi là hình trụ tròn với
thể tích V=
h [xem hình 1(b)], và nếu mặt cơ sở là hình chữ nhật với chiều dài l
và chiều rộng w, thì gọị là một hộp hình chữ nhật (còn được gọi là -hình hộp hình
chữ nhật) với thể tích V=lhw [xem hình 1(c)].
Đối với một vật rắn S không phải là một hình trụ, đầu tiên chúng ta "chia" S thành
từng mảnh và xấp xỉ từng mảnh bởi một lát cắt. Chúng tôi ước tính thể tích của S
bằng cách cộng thể tích của các lát cắt. Chúng ta tính thể tích chính xác của S qua
20
việc lấy giới hạn, trong đó số lượng các mảnh lớn dần. Ta bắt đầu bằng cách giao S
với một mặt phẳng và được một thiết diện được gọi là một mặt cắt ngang của S.
Cho A (x) là diện tích mặt cắt ngang của S trong một mặt phẳng Px vuông góc với
trục Ox và đi qua qua điểm x, trong đó a
b. (Xem Hình 2: Hãy nhận xét về lát
cắt S với một mặt cắt thông qua x và tính toán diện tích của miền này.) Diện tích
một mặt cắt ngang A(x) sẽ khác nhau khi x tăng từ a đến b.
Hình 2
Cho S chia thành n phần(tấm,lát) với số gia
bằng cách sử dụng các mặt phẳng
,
,…để cắt vật rắn (nghĩ về cắt một ổ bánh mỳ ).Nếu ta chọn tùy ý những
điểm trong
,trong chúng ta có thể chia xấp xỉ i tấm (phần nằm giữa S
là các phẳng
và )bởi hình trụ với diện tích đáy A( ) và chiều cao (xem
hình 3)
Hình 3
Thể tích của hình trụ là A(
diện tích tấm phần thứ i của
V(
) ,vì vậy một xấp xỉ với khái niệm trực giác của
là
A( )
21
Thêm các thể tích của các tấm ,chúng ta nhận được xấp xĩ với tổng diện tích (nghĩa
là ,những gì chúng ta nghĩ về trực giác cũng như thể tích )
V
Những xấp xĩ này dường như lớn hơn rất nhiều n
.(những lát cắt mỏng hơn rất
nhiều).Vì vậy chúng ta định nghĩa thể tích như giới hạn của những tổng n
.Nhưng chúng ta nhìn nhận giới hạn của tổng Riemann như một định nghĩa tích
phân và do đó chúng ta có định nghĩa sau
Định nghĩa của thể tích cho S là vật thể chất rắn nằm giữa đường x=a và x=b . Nếu
mặt cắt ngang diện tích của S trong phẳng qua x và vuông góc với trục ox là
A(x),với A là hàm số liên tục , thì thể tích của S là
V=
Khi chúng ta sử dụng công thức thể tích V=
,điều quan trọng cần nhớ
rằng A(x) là diện tích của một chuyển động cắt ngang thu được bởi lát cắt qua x
vuông góc với trục ox
Chú ý rằng,đối với một hình trụ,diện tích cắt mặt ngang không đổi,A(x)=A với mọi
x.Vì vậy định nghĩa của thể tích V=
=A(b-a);điều này đồng nghĩa với công
thức V=Ah
( nó có thể chứng minh rằng định nghĩa này là độc lập, mặt cắt S nằm đối với trục
ox,nói cách khác , không có vấn đề nào chúng ta cắt S với các phẳng song song
,chúng ta luôn luôn có câu trả lời cho V )
Hình 4
22
Ví dụ 1: Chứng minh thể tích của một hình cầu có bán kính r là V=
Giải: Nếu chúng ta đặt hình cầu để gốc làm trung tâm (xem hình 4), thì các phẳng
cắt mặt cầu là một vòng tròn có bán kính (từ định lý Pythago)là y=
vậy diện tích mặt cắt ngang là
.Vì
A(x)=
Sử dụng định nghĩa của thể tích với a=-r và b=r , chúng ta có
V=
dx
=2
=2
=2
=
Hình 5 minh họa cho định nghĩa của thể tích khi vật rắn là một hình cầu có bán
kính r=1.Từ kết quả của ví dụ 1,chúng ta biết thể tích của hình cầu là
.Mà nó
xấp xĩ 4,18879.Ở đây những tấm là những hình trụ tròn,hoặc những hình đĩa ,và ba
phần của hình số 5 thể hiện giải thích hình học của một tổng Riemann
Khi n =5,10,và 20 nếu chúng ta chọn tùy ý điểm đến trung điểm .Chú ý rằng
khi chúng ta tăng số lượng của các hình trụ xấp xĩ tương ứng tổng riemann trở nên
gần với thể tích thực sự
n=5,V 4,2726
n=10,V 4,2097
Hình 5: Thể tích của những hình xấp xĩ nhau
23
n=20,V 4,1940
Ví dụ 2: Tìm thể tích của vật rắn thu được bằng cách quay về trục ox dưới đường
cong y=
từ 0 đến 1.Mô tả định nghĩa về thể tích bởi phác thảo một hình trụ xấp
xĩ điễn hình
Giải : Miền xác định thấy trong hình 6(a).nếu chúng ta quay quanh trục ox ,chúng
ta nhận được vật rắn trong hình 6(b).Khi chúng ta cắt qua điểm x,chúng ta nhận
được một hình đĩa với bán kính .Diện tích mặt cắt ngang này là A(x)=
=
Và thể tích của hình trụ xấp xĩ (một hình đĩa với bề dày
) là
A(x)
Vật rắn nằm giữa đường x=0 và x=1 , có thể tích là
V=
(Chúng ta có được câu trả lời trong ví dụ 2 kiểm tra công việc ,trong định nghĩa
hình vuông với đáy trong khoảng
và chiều cao 1.Nếu chúng ta xoay hình
vuông chúng ta có được hình trụ với bán kính 1,chiều cao 1 và khối lượng
.Chúng ta tính cho vật rắn có một nữa thể tích được vẽ bên phải
Hình 6
Ví dụ 3: Tìm thể tích của vật rắn thu được bằng cách xoay miền xác định bị chặn
bởi y= ,y=8 và x=0 quay quanh trục oy
24
Giải : Miền xác định thấy trong hình 7(a) và kết quả của vật rắn thể hiện trong
hình 7(b).Bởi vì miền xác định này quay quanh trục oy,nghĩa là cắt vật rắn vuông
góc với trục oy và do đó, tích phân liên quan với y.Nếu chúng ta cắt tại chiều cao
y,chúng ta nhận được hình tròn hình đĩa có bán kính x tại x=
mặt cắt ngang qua y là
A(y)=
=
.Vì vậy diện tích
=
Và thể tích hình trụ xấp xĩ ảnh trong hình 7(b) là
A(y)
Do đó vật rắn nằm giữa các đường y=0 và y=8 có thể tích là
V=
dy=
=
Hình 7
Ví dụ 4: Cho miền R kèm theo đường cong y=x và y=
quanh trục ox.Tìm thể tích của kết quả vậtt rắn
là những đường quay
Giải: Đường cong y=x và y= cắt nhau tại điểm (0,0) và (1,1).Miền xác định
giữa vật rắn quay quanh và mặt cắt ngang vuông góc với ox thể hiện trong hình
8.Mặt cắt ngang trong mặt phẳng có hình dạng của một vòng đệm (một vòng
tròn ) với bán kính trong là
và bán kính ngoài là x,chúng ta tìm diện tích mặt cắt
ngang bằng cách lấy diện tích của vòng tròn ngoài trừ diện tích vòng tròn trong
A(x)=
=
25
Do đó chúng ta có
V=
=
Hình 8
Ví dụ 5: Tìm thể tích của chất rắn bằng cách quay quanh miền xác định như trong
ví dụ 4 bởi đường y=2
Giải: Vật rắn và mặt cắt ngang trong hình 9 ,một lần nửa mặt cắt ngang là một
vòng đệm ,nhưng thời gian này bán kính trong là 2-x và bán kính ngoài là 2-
26
Hình 9
Diện tích mặt cắt ngang là
A(x)=
Và thể tích của S là
V=
=
dx
=
=
=
Vật rắn trong ví dụ 1-5 được gọi là vật rắn của sự quay quanh trục bởi vì chúng thu
được bởi việc quay quanh trục một miền xác định về một đường thẳng,Nói chung,
chúng ta tính toán thể tích một vật rắn của sự quay quanh trục bởi sử dụng công
thức trên cơ sở định nghĩa
V=
hoặc
V=
Và chúng ta tìm được diện tích mặt cắt ngang là A(x)hoặc A(y) ở một trong những
cách sau:
 Nếu mặt cắt ngang là một hình cái đĩa (như trong ví dụ 1-3) chúng ta tìm
thấy bán kính của hình cái đĩa (quay quanh x hoặc y)và chúng ta sử dụng
A=
 Nếu mặt cắt ngang là một hình vòng đệm (như trong ví dụ 4 và 5)chúng ta
tìm thấy bán kính trong và bán kính ngoài từ phác thảo (như trong hình
8,9,10)và tính diện tích của hình vòng đệm bởi cách lấy diện tích hình đĩa
trong trừ diện tích hình đĩa ngoài
A=
27
Hình 10
Ví dụ tiếp cho minh họa của phương pháp phản đề
Ví dụ 6: Tìm thể tích của vật rắn bởi cách quay quanh miền trong ví dụ 4 bởi
đường x=-1
Giải: Hình 11 cho ta thấy theo chiều ngang mặt cắt ngang .Nó là một hình vòng
đệm với bán kính trong là 1+y và bán kính ngoài là 1+
ngang là
A(y)=
-
=
Thể tích là
V=
=
28
,do đó diện tích mặt cắt
Hình 11
Bây giờ chúng ta tìm thể tích của hai vật rắn không phải vật rắn của sự quay quanh
trục
Ví dụ 7: Hình 12 cho ta một vật rắn với đáy là một đường tròn bán kính 1.Những
đường song song mặt cắt ngang cắt vuông góc với đáy là tam giác đều .Tìm thể
tích của vật rắn
Giải: Cho đường tròn
.Vật rắn,có đáy và điển hình mặt cắt ngang tại
khoảng cách từ gốc thấy trong hình 13
Hình 12
Hình 13
a)chất rắn
b)cơ sở
Từ đó,đặt B là điểm trong đường tròn,chúng ta có y=
giác ABC là |AB|=2
13(c)
Chiều cao là
c)mặt cắt
và cạnh đáy của tam
.Vì vậy tam giác là tam giác đều ,chúng ta xem hình
.Do đó ,Diện tích mặt cắt ngang là
y=
A(x)=
=
)
Và thể tích của vật rắn là
V=
=2
Ví dụ 8: Tìm thể tích của hình chóp với đáy là hình vuông với đường sinh L và
chiều cao là h
29
Giải: Chúng ta đặt gốc O là đỉnh của hình chóp và trục ox làm trung tâm như trong
hình 14.Bất kì phẳng đi qua và vuông góc với trục ox cắt hình chóp trong hình
vuông với chiều dài S,chúng ta có thể biểu diễn S trong trục x bằng cách quan sát
từ hình tam giác trong hình 15
Và vì vậy s=Lx/h.[Phương pháp khác là quan sát thấy đường OP có độ biến thiên
L/(2h) và phương trình y=Lx/(2h)].Do đó diện tích mặt cắt ngang là
A(x)=
Hình 14
hình 15
hình 16
Hình chóp nằm giữa đường x=0 và x=h .Có thể tích là
V=
Chú ý: Chúng ta không cần phải đặt đỉnh của hình chóp tại gốc trong hình
8.Chúng ta làm vậy chỉ đơn thuần làm cho các phương trình đơn giản hơn.Nếu
,thay đổi, chúng ta đặt gốc tại tâm của đáy và đỉnh trên phần dương của trục oy
,như trong hình 16,bạn có thể xác định chúng ta có tích phân
V=
dy=
Ví dụ 9: Một chêm được cắt từ một hình trụ tròn có bán kính 4 bởi hai phẳng
.Phẳng thứ nhất trực giao với trục của hình trụ.Giao nhau đầu tiên tại góc
theo
đường kính của hình trụ.Tìm thể tích của cái chêm
30
Giải : Nếu chúng ta đặt trục ox theo đường kính nơi mà các phẳng gặp nhau , thì
vật rắn là một nửa đường tròn với phương trình y=
,-4
Mặt cắt
ngang vuông góc với trục ox tại khoảng cách từ gốc đến x là tam giác ABC,như
trong
hình
17,có
đáy
là
y=
và
có
chiều
cao
là
.Do đó diện tích mặt cắt ngang là
|AB|=ytan30 =
A(x)=
Và thể tích là
V=
=
=
Hình 17
Các phương pháp khác xem bài tập 62
5.2
1-18: Tìm thể tích của vật rắn thu được bằng cách quay quanh miền xác định bị
chặn bởi đường cong một đường xác định cho trước
1,
2,
3,
31
4,y=
5,x=
,x=o,y=9 quay quanh trục oy
6,
7,
8,
9,
10,
11,
12,
13,
14,
15,
16,
17,
18,
19-30 Hình tham khảo dưới và ta tìm diện tích bằng cách quay quanh miền nhất
định về đường thẳng cho trước
19.
25.
quay quanh AB
20.
26.
quay quanh BC
21.
27.
32
22.
28.
23.
29.
24.
30.
31-34 Thiết lập tích phân cho thể tích của vật rắn thu được bằng cách quay quanh
miền xác định bị chặn cho bởi đường cong một đường xác định nào đó cho
trước.Thì sử dụng dụng cụ máy tính của bạn để tính tích phân chính xác đến chữ số
thập phân thứ năm
31. y=tan x, y=0,x=
(a) quay quanh trục ox
(b) quay quanh y=-1
32. y=0,y=
(a) quay quanh trục ox
(b) quay quanh y=1
33.
(a) vquay quanh y=2
(b)quay quanh x=2
34.
(a) quay quanh trục ox
(b) quay quanh trục oy
35-36 Sử dụng đồ thị tìm tọa độ gần đúng của giao điểm các đường cong cho
trước.Sau đó sử dụng dụng cụ máy tính của bạn tìm(xấp xỉ) diện tích vật rắn thu
được bằng cách quay quanh trục ox miền bị chặn bởi những đường cong
35.
36.
37-38 Sử dụng đại số trên máy tính để tìm thể tích chính xác của vật rắn quay
quanh miền xác định bị chặn bởi những đường cong
37.
38.
39-42 Mỗi tích phân đại diện cho thể tích của vật rắn.Vẽ hình của vật rắn
39.
40.
33
41.
42.
43. Một quét CAT đưa ra quan điểm cắt ngang cách đều nhau của con người cung
cấp thông tin về cơ quan nếu không thu được chỉ bằng phẫu thuật.Giả sử máy quét
CAT của con người cho thấy mặt cắt cách nhau 1.5cm,trong cm vuông ,là
0,18,58,79,94,106,117,128,63,39 và 0.Sử dụng trung điểm để ước tính thể tích
44. Một khúc gỗ dài 10m cắt khoảng 1m và cắt ngang a(khoảng cách từ x đến cuối
khúc gỗ ) được liệt kê theo bảng.Sử dụng trung điểm với n=5 ước tính thể tích của
khúc gỗ
45.(a) Nếu miền xác định trong hình quay quanh trục ox để tạo thành vật rắn, sử
dụng trung điểm với n=4 ước lượng thể tích của chất rắn
(b) Ước tính thể tích nếu miền xác định quay quanh oy.Một lần nữa sử dụng trung
điểm với n=4
46(a) Một mô hình có dạng quả trứng quay quanh trục ox dưới đồ thị của
f(x)=(a
sử dụng một CAS để tìm thể tích như một quả trứng
(b) đối với lòng đỏ a=-0.06,b=0.04,c=0.1, và d=0.54.Đồ thị f và tìm thể tích của
quả trứng loại này
47-59 Tìm thể tíchcủa mô tả vật rắn S
47. Một hình nón vòng tròn với chiều cao và cơ sở bán kính r
34
48. Một hình chóp cụt với chiều cao h, bán kính đáy lớn là R và bán kính đáy nhỏ
là r
49. Một chỏm của hình cầu với bán kính r và chiều cao chỏm đó là h
50. Một khối chóp cụt của hình chóp với đáy lớn hình vuông cạnh b ,đáy nhỏ hình
vuông a và chiều cao h
Điều gì xảy ra nếu a=b?điều gì xảy ra nếu a=0?
51. Một hình chóp với chiều cao h và đáy hình chữ nhật với kích thước b và 2b
52. Một hình chóp với chiều cao h và đáy là hình tam giác đều cạnh a (một tứ diện)
53. Tứ diện với ba mặt vuông góc với nhau và ba cạnh bên vuông góc với nhau với
độ dài 3cm,4cm và 5cm
35
54. Đáy của S là hình đĩa tròn với bán kính r.Những đường song song mặt cắt
ngang vuông góc với đáy hình vuông
55. Đáy của S là ellip với miền xác định bị chặn bởi đường cong là 9
mặt cắt ngang vuông góc với trục ox là hình tam giác cân với cạnh huyền làm
cạnh đáy
56. Đáy của S là hình tam giác với miền xác định là đỉnh (0,0),(1,0),(0,1).Mặt cắt
ngang vuông góc trục oy là hình tam giác đều
57. Đáy của S giống như ví dụ 56, nhưng mặt cắt ngang vuông góc trục ox là hình
vuông
58. Đáy của S là miền xác định bao quanh bởi parabol y=1ngang vuông góc trục oy là hình vuông
và trục ox. Mặt cắt
59. Đáy của S giống như ví dụ 58 ,nhưng mặt cắt ngang vuông góc trục ox là tam
giác cân với chiều cao tương đương làm đáy
60. Đáy của S là một hình đĩa tròn với bán kính r.Những đường song song mặt cắt
ngang vuông góc với đáy là hình tam giác cân với chiều cao h và cạnh tương
đương làm đáy
(a) thiết lập tích phân cho thể tích của S
(b)bằng cách giải thích trong tích phân như trong diện tích ,tìm thể tích của S
61 a) Thiết lập tích phân cho thể tích của vật rắn hình xuyến (vật rắn hình
tronftrong hình dưới) với bán kính r và R
b) Bằng cách giải thích tích phân như một diện tích .Tìm thể tích của hình xuyến
62. Giải ví dụ 9 lấy mặt cắt ngang là song song với giao điểm của hai phẳng
63.a) Nguyên tắc của cavalieri nói rằng tập hợp các phẳng song song cho diện tích
mặt cắt ngang hai vật rắn
và bằng nhau thì thể tích của
là bằng
nhau,chúng minh nguyên tắc này
36
b) Sử dụng nguyên tắc Cavalier để tìm thể tích của hình trụ xiên thấy trong hình
sau
64. Tìm thể tích chung của hai hình trụ tròn.Mỗi bán kính r,nếu các trục của hình
trụ giao nhau với góc bên phải
65.Tìm thể tích chung của hai hình cầu.Mỗi bán kính r,nếu trung tâm của mỗi hình
cầu nằm trên mặt của hình cầu khác
66.Một cái bát có hình dạng giống nửa hình cầu với đường kính 30cm .Một quả
bóng lớn có đường kính 10cm được đặt trong cái bát và nước được đổ vào bát đó
với độ sâu h cm.Tìm thể tích của nước trong bát đó
67. Một lổ hổng cố bán kính r là lỗ hổng giữa một hình trụ bán kính R
tại góc
phải của trục hình trụ lập thành , nhưng không ước lượng được tích phân cho thể
tích được cắt ra
68. Lổ hỏng có bán kính r là lổ hổng nằm giữa của một hình cầu bán kính R
.Tìm thể tích phần còn lại của hình cầu
69.Một số người tiên phong của giải tích ,chẳng hạn như Kepler và Newton được
truyền cảm hứng với các vấn đề của việc tìm thể tích của thùng rượi vang (trong
thực tế Kepler xuất bản cuốn sách stereometria doliorum năm 1615 dành cho
phương pháp để tìm kiếm thể tích của thùng ).Họ thường xấp xỉ hình dạng của mặt
bởi parabol
37
a) Một thùng với chiều cao h với bán kính lớn R dựng bằng cách quay quanh trục
ox vói parabol y=R-c ,-h/2
trong đó c là hằng số thực sự ,Bán kính
mỗi đầu của thùng là
b)thấy thể tích bao bọc bởi thùng là
70. Chứng minh miền R có diện tích A và đường nằm trên trục ox.Khi R quay
quanh trục ox,vật rắn ở ngoài với thể tích Khi R quay quanh
(trong dó k
là số thực) vật rắn ở ngoài với diện tích .Thể hiện trong điều kiện
5.3. THỂ TÍCH BẰNG VỎ HÌNH TRỤ
Một vài bài toán tính thể tích rất khó giải quyết bằng các phương pháp có trước đó.
Ví dụ, tính thể tích của vật thể thu được khi quay quanh trục Oy giới hạn bởi
và
(Hình 1).
Hình 1
Nếu ta cắt vuông góc với trục Oy, ta được một vòng đệm. Nhưng để tính bán kính
trong và bán kính ngoài của vòng đệm, ta cần phải có nghiệm của phương trình bậc
ba của y theo x:
, việc này không dễ.
Nhờ may mắn, có một phương pháp, được gọi là phương pháp vỏ hình trụ, phương
pháp này sử dụng dễ hơn trong một vài trường hợp. Hình 2 biểu diễn một vỏ hình
trụ với bán kính trong là r1, bán kính ngoài là r2 và chiều cao là h.
38
Hình 2
Thể tích V được tính bằng hiệu của thể tích hình trụ ngoài V2 và thể tích hình trụ
trong V1 như sau:
Nếu ta đặt
( bề dày cuả vỏ) và
( bán kính trung bình
của vỏ) thì công thức tính thể tích của vỏ hình trụ trở thành:
(1)
và có thể nhớ là : V= [chu vi hình tròn] [chiều cao] [bề dày].
Bây giờ với S là vật thể thu được khi quay quanh trục Oy giới hạn bởi
( Hình 3)
Hình 3
39
Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn bằng nhau [xi-1, xi] với khoảng cách
tùy ý trên đoạn [xi-1, xi].
và
lấy
Nếu hình chữ nhật có đáy là đoạn [xi-1, xi] và chiều cao
được quay quanh
trục Oy thì kết quả là một vỏ hình trụ với bán kính trung bình là , chiều cao
và bề dày vỏ là , vì vậy công thức (1) được viết lại là:
Hình 3
Bởi vậy, thể tích V của S xấp xỉ với tổng thể tích của các vỏ hình trụ như vậy:
Sự xấp xỉ xuất hiện trở nên tốt hơn khi
biết rằng:
. Từ định nghĩa tích phân chúng ta
.
Do đó công thức tiếp theo sau đây có vẻ hợp lí:
(2) Thể tích của vật thể trong hình 3, được quay quanh trục Oy miền dưới đường
cong
từ a đến b, là:
.
Sử dụng lập luận vỏ hình trụ làm cho công thức 2 có vẻ hợp lý, nhưng sau này có
thể ta sẽ phải chứng minh nó( ví dụ 71 trong phần 7.1).
Cách tốt nhất để nhớ công thức 2 là nghĩ về hình trụ điển hình , cắt và trải phẳng
như trong hình 5, với bán kính x, chu vi 2 , chiều cao f(x) và bề dày
40
dx.
Hình 5
Đây là lý luận rất hữu ích trong những trường hợp khác, chẳng hạn như khi ta quay
quanh đường thẳng khác với trục Oy.
Ví dụ 1 : Tính thể tích khối vật thể thu được khi quay quanh trục Oy giới hạn bởi
Hình 6
Hình 7
Giải :Từ bản vẽ phát thảo trong hình 6 ta thấy rằng vỏ hình trụ đặc trưng ta thấy
rằng một vỏ hình trụ đặc trưng có bán kính x, chu vi
. Vì vậy, bằng phương pháp vỏ hình trụ, thể tích là :
41
Điều này cho thấy, phương pháp vỏ hình trụ cho đáp án như cắt lát.
Chú ý : Đối chiếu lời giải của ví dụ 1 với nhận xét lúc bắt đầu phần này, ta thấy
rằng phương pháp vỏ hình trụ là đễ hơn nhiều so với phương pháp vòng đệm. Ta
không phải tìm tọa độ của điểm cực đại và ta không phải giải phương trình đường
cong của x theo y. Tuy nhiên, trong các ví dụ khác phương pháp của các ví dụ khác
có thể dễ hơn.
Ví dụ 2 : Tính thể tích của khối vật thể thu được khi quay quanh trục Oy giới hạn
giữa
.
Hình 8
Giải : Miền và một hình trụ đặc trưng được biểu diễn trong hình 8. Ta thấy rằng vỏ
có bán kính x, chu vi 2
.Vì vậy, thể tích là :
.
Trong hình biểu diễn ví dụ trên, phương pháp vỏ có giải được nếu ta quay quanh
trục Ox. Đơn giản ta phải vẽ một biểu đồ để nhận biết bán kính và chiều cao của
một vỏ.
Ví dụ 3 : Sử dụng phương pháp vỏ hình trụ để tính thể tích của vật thể thu được
khi quay quanh trục Ox và miền dưới đường cong
từ 0 đến 1.
42
Hình 9
Giải : Bài toán này sử dụng đĩa trong ví dụ 2, bộ phận 5.2 để giải. Từ phương pháp
vỏ ta relabel đường cong
như
trong hình 9.
Cho quay quanh trục Ox ta thấy rằng vỏ hình trụ đặc trưng có bán kính y, chu vi
. Vì vậy, thể tích là :
.
Trong bài toán này phương pháp đĩa dễ hơn.
Ví dụ 4 : Tính thể tích của khối vật thể khi quay quanh đường x=2 giới hạn bởi
.
Hình 10
Giải :Hình 10 biểu diễn hình dạng của miền và một vỏ hình trụ khi quay quanh
đường x = 2. Hình trụ có bán kính 2-x, chu vi 2
.
Thể tích của khối vật thể là :
43
201= 2.
5.4.
1. S là khối vật thể thu được khi quay quanh trục Oy có miền giới hạn biểu
diễn như hình vẽ.Giải thích tại sao gặp khó khăn khhi sử dụng phương
pháp lát cắt để tính thể tích V của S. Vẽ phát thảo một vỏ gần giống với
vỏ hình trụ đặc trưng. Chu vi và chiều cao là bao nhiêu ? Dùng phương
pháp vỏ để tính V.
2. S là khối vật thể thu được khi quay quanh trục Oy có miền giới hạn biểu
diễn như hình vẽ. Vẽ phát thảo một vỏ hình trụ và tìm chu vi, chiều cao
của nó. Sử dụng phương pháp vỏ để tính thể tich của S. Bạn thích sử
dung phương pháp này hay phương pháp lát cắt hơn ? Giải thích.
3-7 : Sử dụng phương pháp vỏ hình trụ để tính các thể tích khi quay quanh
trục Oy của các vật thể giới hạn bởi các đường cong :
3.
4.
5.
6.
7.
---------------------------------------------------------------------------------------
44
8. V là thể tích của khối vật thể thu được khi quay quanh trục Oy giới hạn
bởi
. Tính V bằng phương pháp lát cắt và phương pháp
vỏ hình trụ. Vẽ biểu đồ giải thích trong từng phương pháp.
9-14 : Sử dụng phương pháp vỏ hình trụ để tính các thể tích khi quay quanh
trục Ox của các vật thể giới hạn bởi các đường cong :
9.
10.
11.
12.
13.
14.
---------------------------------------------------------------------------------------15-20 : Sử dụng phương pháp vỏ hình trụ để tính các thể tích khi quay quanh
trục và giới hạn bởi các đường cong xác định sau :
15.
16.
17.
18.
19.
20.
---------------------------------------------------------------------------------------21-26 :
(a). Thiết lập một khoảng cho thể tích của vật thể thu được khi quay quanh
trục và giới hạn bởi các đường cong xác định
(b). Sử dụng máy tinhd của bạn để đánh giá khoảng đúng đến 5 số thập
phân.
21.
;quay quanh trục Oy
22.
quay quanh đường
23.
24.
25.
26.
-----------------------------------------------------------------------------------45
27. Sử dụng quy tắc trung điểm với n=5 để ước tính thể tích thu được khi
quay quanh trục Oy giới hạn bởi đường cong
.
28. Nếu miền biểu diễn trong hình được quay quanh trục Oy để tạo thành
một vật thể, sử dụng quy tắc trung điểm với n=5 để ước tính thể tích của
vật thể.
29-32 : Mỗi khoảng đại diện cho thể tích một khối vật thể. Hãy mô tả vật thể
đó.
29.
30.
31.
32.
-------------------------------------------------------------------------------------33-34 : Sử dụng đồ thị để ước tính hoành độ giao điểm của các đường cong.
Sau đó sử dụng thông tin dưới và máy tính của bạn để ước tính thể tích của
khối vật thể thu được khi quay quanh trục Oy, giới hạn bởi miền kèm theo
các đường cong này.
33.
34.
35-36 : Sử dụng hệ thống đại số máy tính để tính chính xác thể tích của khối
vật thể quay quanh trục xác định giới hạn bởi đường cong :
35.
36.
------------------------------------------------------------------------------------37-43 : Miền giới hạn bởi các đường cong được quay quanh trục xác định.
Tính thể tích của vật thể bằng các phương pháp trên.
46
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
----------------------------------------------------------------------------------------44. T là tam giác với các đỉnh (0,0), (1,0) và (1,2) và V là thể tích khối vật
thể thu được khi quay quanh đường x=a, a>1, a
.
45-47 : Sử dụng phương pháp vỏ hình trụ để tính thể tích vật thể.
45. Một quả cầu bán kính là r.
46. Đường gờ rắn trong ví dụ 61 phần 5.2
47. Hình nón tròn có chiều cao h và bán kính là r.
48. Gỉa sử bạn khoang hai lỗ vòng khăn ăn có đường kính khác nhau trên hai
quả bóng bàn (cũng có đường kính khác nhau). Bạn phát hiện ra rằng cả
hai vòng khăn ăn có cùng chiều cao, như thể hiện trong hình.
(a) Dự đoán vòng nào có nhiều gỗ trong đó ?
(b) Kiểm tra dự đoán của bạn : Sử dụng phương pháp vỏ hình trụ để tính
toán thể tích của một vòng khăn ăn được tạo ra bằng cách khoang một lỗ
với bán kính qua tâm của một hình cầu có bán kính R và thể hiện câu trả
lời về h.
5.4 : CÔNG :
Từ công được sử dụng trong ngôn ngữ hằng ngày có nghĩa là tổng năng lượng cần
thiết để thực hiện một nhiệm vụ. Trong vật lý nó có ý nghĩa kỹ thuật mà phụ thuộc
vào ý tưởng của một lưc.Bằng trực giác, bạn có thể nghĩ đến một lực như mô tả
một lực đẩy hoặc kéo trên một vật-Ví dụ,đẩy ngang quyển sách trên bàn hoặc lực
kéo xuống của Trái Đất lên một quả bóng. Nói chung, nếu một vật di chuyển dọc
47
theo một đường thẳng với hàm vị trí s(t), thì lực F trên vật( trong cùng một hướng)
được đưa ra bởi định luật 2 Newton bằng tích khối lượng và gia tốc của nó :
[1]
Trong hệ thống số liệu SI, khối lượng được đo bằng kilôgam (kg), sự dịch chuyển
đo bằng mét (m), thời gian tính bằng giây (s), và các lực được đo bằng Newton(
N=kg.m/s2). Vì vậy,một lực 1N là tích của 1 kg và gia tốc của 1 m/s2.
Trong hệ thống của Mỹ các đơn vị cơ bản được lựa chọn là đơn vị của lực, đó là
pound.
Trong trường hợp gia tốc không đổi thì lực cũng không đổi và công được định
nghĩa là tích của lực F vsf khoảng cách d mà đối tượng đó di chuyển:
W= F.d
Công = lực X khoảng cách [2]
Nếu F đo bằng N và d là m thì đơn vị của W là Nm, được gọi là Jun( J). Nếu F đo
bằng pounds và d là feet thì đơn vị của W là foot- pound(ft-lb), và bằng 1.36 J.
Ví dụ 1:
(a) Tính công khi nâng một quyển sách từ mặt bàn lên độ cao 0.7 m?Thực tế lấy
gia tốc trong trường là 9.8 m/s2.
(b) Tính công khi nâng một vật nặng 20 lb lên khỏi mặt đất 6 ft?
Giải:
(a) Các lực tác dụng là bằng nhau và bằng đói của lực hấp dẫn, vì vậy công thức
1 : F =m.g = (1.2)(9.8) = 11.76N.
Và theo công thức 2 thì công thực hiện được là:
W=Fd = (11.76)(0.7) =8.2 J
(b) Lực được cho là F = 20lb, vì vậy công thực hiện được là:
W = Fd = 20.6=120 ft-lb.
Chú ý rằng câu b không giống câu a, ta không phải nhân với g vì ta được cho
trọng lượng(là một lực) không phải là khối lượng của vật.
Phương trình 2 định nghĩa công khi lực không thay đổi, nhưng điều gì sẽ xảy ra
nếu lực là biến? ãy giả sử rằng vật di chuyển dọc theo trục Ox theo hướng dương
từ x=a đến x=b và tại mỗi điểm x giữa a và b lực f(x) tác động lên vật là một hàm
liên tục. Ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn con với các điểm x1, x2, …, xn và chiều
48
rông bằng . Ta chọn điểm mẫu xi* trong đoạn con thứ i [xi-1, xi]. Thì lực tại điểm
này là f(xi*). Nếu n lớn thì
nhỏ. Và vì f là hàm liên tục nên giá trị của f không
thay đổi nhiều trên đoạn [xi-1, xi]. Nói cách khác, f không đổi trên đoạn [a, b], vì
vậy công Wi thực hiện được khi di chuyển từ a đến b là gần đúng cho bởi phương
trình 2:
Vì vậy, công có thể xấp xĩ là :
Dường như công thức xấp xĩ càng đúng khi ta cho n càng lớn. Vì vậy ta định nghĩa
công thực hiện được khi vật di chuyển từ a đên b là giới hạn của tổng đó khi n vô cùng. Vế phai của công thức (3) là một tổng Riemann, ta nhận ra giới hạn đó là
tích phân trên đoạn [a, b] và như vậy:
Ví dụ 2: Khi một hạt có khoảng cách từ vị trí dến điểm gốc là x feet, một lực là
pounds tác động lên nó. Tính công thu được khi vật di chuyển từ x= 1 dến
x = 3?
Giải:
Công thực hiện được là
.
Trong ví dụ sau ta sử dụng định luật Vật lý: Định luật Hooke nói rằng lực cần thiết
để duy trì một lò xo giãn x đơn vị so với chiều dài tự nhiên của nó là tỷ lệ thuận
với x:
Hình 1
49
Với k là một hằng số dương( được gọi là hệ số đàn hồi). Định luật ooke nắm giữ
với điều kiện là x không quá lớn( trong hình 1).
Ví dụ 3:Để giữ một vật từ chiều dài tự nhiên của nó là 10cm đến 15cm cần một lực
là 40N.Tính công để thực hiện kéo lò xo từ 15cm đến 18cm?
Giải: Theo địnhluật ooke, Lực cần thiết để giữ lò xo giãn x m so với chiều dài tự
nhiên của nó. Khi lò xo được kéo dài từ 10cm đến 15cm, lượng kéo dài là
5cm=0.05m. Có nghĩa là:
Như vậy
18cm là:
và công thực hiện được khi kéo giãn lò xo từ 15cm đến
Ví dụ 4: Một dây cáp điện trọng lượng 200 lb dài 100 ft và được treo theo chiều
dọc từ trên đỉnh của một tòa nhà cao.Tính công cần thiết để nâng dây cáp lên đến
đỉnh tòa nhà?
Hình 2
Giải: Ở đây ta không có công thức cho hàm lực, Nhưng ta có thể sử dụng lập luận
tương tự như một cách dẫn đến định nghĩa 4.
ãy đặt góc ở trên đỉnh của tòa nhà và trục Ox chĩa xuống phía dưới như trong
hình 2.Ta chia đây cáp thành nhiều đoạn nhỏ có chiều dài bằng . Nếu xi* là một
điểm trong đoạn thứ i, thì tất cả những điểm nằm trên đoạn được nâng lên một
đoạn như nhau, cụ thể là xi*. Cáp nặng 2kg mỗi phần, vì vậy trong lượng của phần
thứ i là 2 .Vì vậy, công thực hiện trên mỗi phần là:
50
Ta nhận tổng công thực hiện được bằng cách cộng tất cả các xấp xĩ lại với nhau và
cho
lớn dần(
.
Ví dụ 5: Một bể có hình dạng của một hình nón ngược với chiều cao 10 m và
bán kính 4 m. Nó được làm đầy bằng nước đến độ cao 8 m. Tìm công cần thiết để
làm sạch bể bằng cách bơm nước đến đầy miệng bể. (Mật độ của nước là
1000 kg /m3.).
Hình 3
Hình 4
Giải: Để đo độ sâu từ đỉnh của bể bằng cách đưa vào hệ tọa độ thẳng đứng như
trong hình 3. Nước kéo dài từ đọ sâu 2m đến độ sâu 10m và ta chia đoạn [2, 10]
thành n đoạn con bằng nhau với các điểm x1, x2,...,xn và chon xi* là điểm trong
đoạn thứ i. Nó sẽ chia nước thành n lớp.Lớp thứ i xấp xĩ hình trụ tròn với bán kính
r1 và chiều cao .Ta có thể tính r1 từ các tam giác đồng dạng, trong hình 4 như
sau:
Vì vậy, thể tích của lớp nước xấp xĩ là :
Và khối lượng là:
M=mật độ X thể tích
Lực cần thiết để nâng lớp nước lên phải lớn hơn lực hấp dẫn và vì vậy
51
Mỗi phần trong lớp nước phải đi được khoảng xấp xĩ .Công thực hiện khi nâng
lớp nước lên đến đỉnh xấp xĩ tích của lực Fi và khoảng cách :
Để tìm tổng công thực hiện đổ đầy bể, ta lấy tổng của các công như với n lớp, sau
đó tính giới hạn khi n
:
Bài tập:
1. Một con khỉ nặng 360 lb trèo một cây cao 20 ft.Tính công thực hiện được nếu
khỉ đạt đến chiều cao trong:
(a) 10 giây
(b) 5 giây
2. Tính công thực hiện khi một cần trục nâng một tảng đá 200kg đến đọ cao 3m?
3. Một biến lực 5
pound di chuyển một vật trên đường thẳng từ gốc đến vị trị x
feet.Tính công thực hiện khi vật di chuyển từ x=1ft đến x =10ft?
4. Khi một vật nằm ở vị trí x m tính từ gốc, có một lực
N tác động lên
nó.Tính công thực hiện khi vật dịch chuyển từ x =1 đến x=2? Giải thích câu trả lời
khi xét công thực hiện từ x = 1 đến x = 1.5 và từ x = 1.5 đến x = 2?
5. Đây là đồ thị của hàm lực (N) tăng đến giá trị lớn nhất và sau đó không đổi.Tính
công thực hiện được bởi các lực khi vật dịch chuyển một khoảng 8 m?
6. Bảng sau là giá trị của hàm lực f(x), đơn vị của x là m và f(x) là N.Sử dụng quy
tắc trung điểm để ước tính công thực hiện bằng các lực khi vật di chuyển từ x = 4
đến x = 20.
52
7. Một lực 10 lb cần thiết để giữ cho lò xo giản ra 4 lần so với chiều dài tự nhiên
của nó. Hỏi công cần thiết để lò xo giản từ chiều dài tự nhiên đến 6 lần ngoài độ
dài tự nhiên của nó?
8. Lò xo có chiều dài tự nhiên 20 cm. Nếu tác dụng một lực 25 N thì chiều dài giãn
đến 30 cm. Hỏi công cần thiết để lò xo giãn từ 20 cm đến 25 cm?.
9. Giả sử để lò xo giãn từ chiều dài tự nhiên của nó là 30 cm đến chiều dài là 42 cm
cần thực hiện một công là 2J
1. Hỏi cần một công bao nhiêu để lò xo giản từ 35 cm đến 40 cm
2. Lò xo sẽ cách xa độ dài tự nhiên của nó bao nhiêu nếu tác dụng một lực là
30 N
10. Nếu công cần để giãn một lò xo từ độ dài tự nhiên là 1 ft đến 12 ft. Hỏi cần
thực hiện một công là bao nhiêu để lo xo giản 9 lần so với độ dài tự nhiên ?.
11. Lò xo có chiều dài tự nhiên là 20 cm. So sánh công
làm lò xo giãn từ 20 cm
đến 30 cm, với công
làm cho nó giãn từ 30 cm đến 40 cm. Tìm mối quan hệ
giữa
?.
12. Cần một công 6 J để lò xo giãn từ 10cm đến 12 cm, và nếu thêm10 J thì lò xo
giãn từ 12 cm đến 14 cm. Hỏi độ dài tự nhiên của lò xo là bao nhiêu ?.
13-20 Tính công gần đúng bằng tổng Rieman. Sau đó biểu thị công bằng tích phân
và nhận xét nó.
13 Một sợi dây thừng dài 50 ft và có trọng lượng
của một tòa nhà cao 120 ft.
. Và treo trên các cạnh
a. Hỏi cần một công bao nhiêu để kéo sợi dây thừng lên đỉnh tòa nhà này
b. Hỏi cần một công bao nhiêu để kéo một nửa sợi dây thừng lên đỉnh tòa nhà
nay.
14. Dây xích nằm trên mặt đất có chiều dài 10 m, khối lượng 80 kg .Tính công để
nâng một đầu của dây xích lên cao 6 m?
dùng để nâng 800 lb than đá lên, từ độ
15. Một sợi dây cáp có trọng lựơng 2
sâu 500 ft. Tính công thực hiện ?.
16. Một thùng có trọng lượng 4 lb và một sợi dây thừng có trọng lượng không
đáng kể. Dùng để kéo nước từ giếng sâu 80 ft. Thùng nước đầy 40 lb, và được kéo
53
lên với vận tốc 2 ft/s. Nhưng do rò rỉ nước ra khỏi xô với vận tốc 0.2 lb/s. Tính
công để kéo thùng lên đỉnh giếng.
17. Một thùng 10 kg bị rò rỉ được nâng lên từ mặt đất tới độ cao 12 m, với một vận
tốc không đổi bằng dây thừng có trọng lượng 0.8
. Ban đầu thùng chứa 36
kg nước, nhưng nước bị rò rỉ ở vận tốc không đổi, và hoàn tất khi thùng nước đạt
được độ cao 12 m. Tính công để làm xong công việc này.
18. Một dây xích nặng 25 lb và cách trần nhà 10 ft. Tính công thực hiện để đưa dây
xích từ dưới lên trần nhà ?.
19. Một hồ nuôi cá dài 2 m, rộng 1 m, sâu 1 m. Tính công để bơm một nửa nước ra
khỏi hồ. ( Khối lượng riêng của nước là 1000
)
20. Hồ bơi hình tròn có đường kính là 24ft, cạnh cao 5 ft và độ sâu của nước là 4
ft. Tính công cần thiết để bơm toàn bộ nước ra ngoài. ( khối lượng riêng của nước
là 62,5
)
21-24: Một bể chứa đầy nước. Tìm các công việc cần thiết để bơm nước ra khỏi bể.
Ở bài tập 23 và 24 thực tế khối lượng riêng của nước là 62.5 lb/ft3.
54
25. Giả sử bể nước trong bài tập 21 bị phá vở sau khi bơm với công là
Hỏi độ sâu của bể nước còn lại ?.
J.
26. Giải bài tập 22 nếu một nửa bể nước đầy dầu và dầu có khối lượng riêng là
.
27. Khi mở rộng khí trong hình trụ với bán kính r, áp lực tại một thời điểm nhất
định là hàm của thể tích: P= P (V). Lực tác dụng của khí trên pittông ( xem hình )
là tích số của áp lực và diện tích: F
. Cho thấy rằng công thực hiện được bởi
khí khi thể tích tăng từ đến
là:
28. Trong máy bơm nước áp suất P và thể tích Vcủa hơi nước thõa mãn phương
trình
, k là hằng số. ( Điều này đúng với đoạn nhiệt giãn nở, đó là, giãn
nở không có truyền nhiệt giữa hình trụ và môi trường xung quanh. ) Sử dụng bài
tập 27 để tính công thực hiện bởi cơ trong một chu kì khi hơi nước bắt đầu ở áp
suất 160 lb và tăng thể tích từ 100 in3 đến 800
.
29. Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton nói rằng hai vật bất kì có khối lượng
và
hút nhau bằng một lực
Với r là khoảng cách giữa hai vật và G là hằng số hấp dẫn. Nếu một trong hai vật là
cố định. Tính công cần thiết để vật còn lại chuyển động từ
đến
.
(b) Tính công cần thiết để phóng một vệ tinh 1000 kg theo chiều dọc đến độ cao
1000 km. Giả sử rằng khối lượng của trái đất là 5,98
kg, và được tập trung
55
tại trung tâm của nó. Lấy bán kính của trái đất là 6.37
m và
N.
30.Kim tự tháp của vua Kufu được xây dựng bằng đá vôi ở Ai Cập trong thời gian
20 năm từ 2580 TCN đến 2560 TCN. Đáy của nó là hình vuông với cạnh dài 756 ft
và độ cao của nó khi xây dựng là 481 ft. ( Đó là cấu trúc nhân tạo cao nhất trên thế
giới hơn 3800 năm ). Mật độ của đá vôi là 150
a) Ước tính tổng công thực hiện được khi xây kim tự tháp
b) Nếu mỗi người lao động làm việc 10 giờ mỗi ngày trong 20 năm, 340
ngày của một năm và công thực hiện nâng khối đá vôi vào vị trí là 200ftlb/h.Hỏi cần bao nhiêu người lao động để xây xong kim tự tháp
5.5 Giá trị trung bình của một hàm số
Thật dễ dàng để tính giá trị trung bình của dãy số hữu hạn
,
,……,
.
Nhưng ta có thể tính nhiệt độ trung bình trong một ngày nếu nhiều , có thể đọc là
vô hạn vô tận ?. Hình 1 chứng tỏ biểu đồ của hàm nhiệt độ T(t). Trong đó t đo bằng
giờ và
bằng , và tính được nhiệt độ trung bình
.
56
Tóm lại, hãy thử tính giá trị trung bình của hàm y
,a
đầù tiên ta
chia đoạn [ a ;b ] thành n đoạn bằng nhau mỗi đoạn có độ dài
. Ta
chọn
là điểm đại diện cho mỗi đoạn và tính trung bình của số là
( Ví dụ nếu hàm f là hàm của nhiệt độ và n = 24, điều này có nghĩa là ta đo nhiệt
độ mỗi giờ và sau đó tính trung bình ). Vì
, ta có thể viết n= ( a-b
)/
và giá trị trung bình trở thành
=
Nếu n tăng, ta sẽ tính được giá trị trung bình của một số lớn các giá trị cách
đều nhau ( Ví dụ như ta có thể tính được trung bình số đo nhiệt độ từng phút hoặc
từng giờ ). Giá trị giới hạn là
dựa vào định nghĩa của tích phân.
Vì vậy ta xác định giá trị trung bình của f trên đoạn [ a ; b ] là
57
Ví dụ 1 :
trên đoạn [-1 ; 2 ]
Tìm giá trị trung bình của hàm
Giải : Với a = -1 và b = 2 ta có :
Nếu T(t) là nhiệt độ ở thời gian t, chúng ta có thể biết được đặc điểm lúc mà
nhiệt độ giống nhiệt độ trung bình. Cho biểu đồ hàm nhiệt độ hình 1, ta thấy rằng
có hai thời gian mà nhiệt độ bằng nhiệt độ trung bình như là ngay trước giữa trưa
và trước nửa đêm. Tóm lại, là có một số c mà tại đó giá trị hàm f bằng chính giá trị
trung bình của hàm, đó là,f(c)=ftb ?theo định lý sau nói rằng điều này vẫn đúng cho
hàm liên tục
Định lý giá trị trung bình cho tích phân : nếu f liên tục trên đoạn [a, b], thì tồn tại
một số c trong [a,b] sao cho
Hay
Định lý giá trị trung bình cho tích phân là hệ quả của định lý giá trị trung bình cho
đạo hàm và định lý cơ bản của giải tích. Chứng minh được tóm tắt trong bài tập 23.
Giải thích hình học của định lý giá trị trung bình cho tích phân là cho hàm f dương,
có số c sao cho hình chữ nhật với đáy [ a ; b ] và độ cao
có cùng diện tích
như vùng dưới biểu đồ của hàm f, từ a đến b ( Xem hình 2 và giải thích như hình
vẽ ở những ghi chú ngoài lề)
58
Bạn có thể cắt đỉnh của 1 ( hay 2 chiều thứ nguyên ) núi ở độ cao chắc chắn và
dùng nó để điền vào vùng thung lủng sao cho ngọn núi bằng phẳng hơn.
liên tục trên đoạn [ -1 ;2 ]
Ví dụ 2 :Từ hàm
Định lý giá rị trung bình cho tích phân nói rằng có số
sao cho
Trong trường hợp cụ thể này ta có thể tính được c. Từ ví dụ 1 ta biết rằng
thì giá trị của c thỏa mản
Do đó
nên
Vì vậy, trong trường hợp này có 2 số
lý giá trị trung bình trong tích phân.
thuộc đoạn [-1 ; 2 ] thõa trong định
Ví dụ 1 và ví dụ 2 được minh họa ở hình 3.
59
Ví dụ 3 : Cho thấy rằng vận tốc trung bình của xe trên khoảng thời gian
giống vận tốc trung bình khi nó chuyển động.
Giải: Nếu s(t) là quãng đường của xe đi được thời gian t, thì định nghĩa vận tốc
của xe trên khoảng thời gian này là .
Mặt khác giá trị trung bình của hàm vận tốc trong khoảng thời gian này là
(do định lý thay đổi thuần)
= vận tốc trung bình
5.5 BÀI TẬP
1-8. Tính giá trị của các hàm trong các khoảng đã cho.
1.
2.
3.
4.
[0,4]
,
,
[1,8]
,
[1,3]
60
5.
6.
7.
8.
[0,2]
[1,6]
9-12.
a) Tìm giá trị trung bình của hàm f trong các khoảng đã cho.
b) Tìm c sao cho
c) Vẽ đồ thị hàm số f và hình chữ nhật có diện tích giống diện tích dưới biểu
đồ.
9.
[2,5]
10.
,
[1,4]
11.
,
12.
[0,2]
13. Nếu hàm f liên tục và
, sao cho f đạt giá trị bằng 4 ít nhất một
lần trong đoạn [ 1, 3] .
14. Tìm những số b sao cho giá trị trung bình của
khoảng [0, b ] là bằng 3.
15. Tìm giá trị trung bình của hàm f trên [0, 8 ]
16. Đồ thị của một chiếc xe tăng tốc được biểu thị :
61
thuộc
a) Dùng quy tắc trung điểm để ước lượng vận tốc trung bình của xe khi 12s
đầu tiên.
b) Vận tốc tức thời bằng vận tốc trung bình lúc mấy giờ.?
17. Trong một thành phố nhất định nhiệt độ (F), t là giờ sau khi 9 giờ sáng được
mô phỏng bằng hàm số
Tính nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian 9.00 giờ sáng đến 9.00 giờ tối
18. Vận tốc v dòng máu trong mạch máu với bán kính R, vàchiều dài l tai khoảng
cách là r từ trục giữa là:
Trong đó P là hệ số áp suất giữa hai đầu mạch máu và là độ nhớt của máu ( Xem
ví dụ 7 trong phần 2.7 ). Tính vận tốc trung bình (đối với r) trong khoảng thời gian
. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc tối đa.
19. Mật độ tuyến tính trong một thang dài 8m là
. Trong đó x
đo bằng m từ một bậc của cái thang. Tìm mật độ trung bình của thang.
20. Nếu một vật thể bắt đầu rơi tự do từ vị trí nghĩ,thì quãng đường dịch chuyển
của nó được tính bằng công thức
, Với vận tốc sau thời gian T là
Chứng minh rằng nếu ta tính vận tốc trung bình đối với t ta lấy
nếu ta tinh vận tốc trung bình đối với s thì ta lấy
62
.
.
.Nhưng
21. Sử dụng kết quả bài tập 57 trong phần 4.5 để tính thể tíchtrung bình của không
khí trong phổi, trong một vòng tuần hoàn hô hấp .
22. Dùng biểu đồ để chứng minh rằng nếu hàm f là hàm lõm trên [a, b] thì
23. Chứng minh định lý giá trị trung bình cho tích phân bằng ứng dụng định lý giá
trị trung bình của đạo hàm ( Xem phần 3.2 ) để cho hàm
.
24. Nếu
biểu thị cho giá trị trung bình của hàm f trên [a , b] và
, chứng minh rằng :
Trong dự án này chúng ta tìm hiểu hai trong số nhiều các ứng dụng của giải tích
để chơi bóng chày. Các tương tác vật lý của trò chơi đặc biệt là sự va chạm của
quả bóng chày và cây gậy, khá phức tạp và mô hình của họ sẽ được thảo luận chi
tiết trong cuốn sách của Robert Adair, Vật lý của bóng chày,3d ed (New York,
2002 )
1, Chắc bạn phải ngạc nhiên khi biết rằng va chạm của bóng chày và cây gậy chỉ
kéo dài độ một phần nghìn giây thứ hai, ở đây chúng ta tính lực trung bình trên
cây gậy trong khi va chạm này và bằng cách thứ nhất là tính toán sự thay đổi động
lực của quả bóng.
Động lực p của vật là tích của khối lượng m và vận tốc v của nó đó là
.
Giả sử vật di chuyển dọc theo một đường thẳng, chịu tác động của một lực
, đó là một hàm liên tục theo thời gian t.
63
a) Chứng minh rằng sự thay đổi của động lực trong một khoảng thời gian
bằng tích phân của hàm F từ đến . Chứng minh
Tích phân này được gọi là động lực thúc đẩy của lực trên khoảng trên.
b) Một bình ném 90-mih, quả bóng đến người đập,người đó sẽ đánh trực tiếp
lái theo một đường thẳng trở lại người thủ môn.Bóng tiếp xúc với cây gậy
0.001s và rời khỏi cây gậy với vận tốc 110mi/h.Quả bóng chày nặng 5
oz,trong đơn vị kí hiệu của Mỹ,khối lượng của nó được đo bằng slugs
:m=
trong đó g=32ft/s2
i)
tìm sự thay đổi động lực của quả bong
ii)
tìm lực trung bình trên cây gậy
2.Trong vấn đề này ,chúng ta tính công cần thiết cho một người thủ môn ném bóng
đầu tiên với động năng
Động năng k của một vật khối lượng m và vận tốc v,được cho bởi công thức
.Giả sụ vật có khối lượng m,di chuyển trên đường thẳng chịu tác động
K=
của một lực F=F(s),mà s phụ thuộc vào vị trí của nó,theo định luật II newton
F(s)=ma=m
Trong đó a là gia tốc và v là vận tốc
a) chứng minh rằng công di chuyển một vật từ vị trí s0 đến s1 bằng sự thay đổi
động năng của vật
mv12 -
W=
Trong đó v0=v(s0),và v1=v(s1) là vận tốc của vật tại vị trí s0 và s1
Gợi ý theo quy tắc chain :
m
b) Công thực hiện để ném quả bóng chày với tốc độ 90 mih thì cần bao nhiêu
ft/kg
Chú ý : một ứng dụng khác của giải tích cho bóng chày có thể tìm được trong
bài tập 16 trang 658
64
5 NHẬN XÉT:
Kiểm tra khái niệm
1.
a) Vẽ hai đường cong điển hình
và
trong đó
và
. Chứng minh rằng diện tích giữa hai đường cong này bằng tổng
Riemann và phác họa hình chữ nhật tương ứng. Hãy viết biểu thức tính diện
tích chính xác.
b) Giải thích tình huống thay đổi nếu đường cong có phương trình là
và
trong đó
và
.
2. Giả sử Sue chạy nhanh hơn Kathy suốt một cuộc chạy 1500 m. Ý nghĩa vật lý
của diện tích đường cong vận tốc trong phút đầu cuộc đua?.
3. (a). Giả sử S là một chất rắn cho biết diện tích mặt cắt ngang. Giải thích thể tích
gần đúng của vật bằng tổng Riemann. Viết biểu thức tính thể tích?.
(b). Nếu vật tròn xoay, bạn tìm diện tích thiết diện mặt cắt ngang bằng cách nào.
4.
a) Thể tích vỏ hình trụ là gì?
b) Giải thích cách sử dụng vỏ hình trụ để tính thể tích của một vật tròn xoay ?
c) Tại sao bạn có thể thay phương pháp vỏ cho phương pháp cắt ?
5. Giả sử rằng bạn đẩy một cuốn sách trên một bàn dài 6 m bởi tác dụng của một
đến
lực f(x) từ
.
biểu đạt gì ? Nếu f(x) được đo bằng đơn
vị newton thì đơn vị tích phân trên là gì ?.
6.
a) Giá trị trung bình của hàm số trên đoạn [a,b] là gì ?
b) Định lý giá trị trung bình cho tích phân nói gì ? giải tích hình học của nó là
gì ?
1-6. Tìm diện tích tạo bởi giới hạn của các đường cong đã cho.
1.
2.
,
,
65
3.
4.
5.
6.
,
,
,
,
,
7-11 Tính thể tích của vật rắn thu được khi quay quanh trục xác định giới hạn bởi
các đường cong đã cho sau:
7.
8.
9.
10.
11.
,
quay quanh trục Ox
, quay quanh trục Oy
quay quanh trục
, quay quanh trục
,
( với
) quay quanh trục oy
,
,
,
12-14. Thiết lập, nhưng không nhận xét, tích phân cho thể tích chất rắn có thể tính
được khi quay quanh trục xác định giới hạn bởi các đường cong cho sau :
12.
,
quay quanh trục Oy
13.
14.
,
,
,
quay quanh trục
quay quanh trục
15.Tính thể tích chất rắn giới hạn bởi đường cong
quanh các đường sau.
và
khi quay
(a) Trục ox
(b) Trục oy
(c)
16, Giả sử R là góc phần tư thứ nhất bị chặn bởi đường cong
. Tính các giá trị sau.
và
(a) Tính diện tích của R.
(b) Thể tích thu được bằng cách xoay R quanh trục Ox
(c) Thể tích thu được bằng cách xoay R quanh trục Oy
17. Cho R là miền được xác định bởi giới hạn các đường cong
y = 0. Dùng quy tắc trung điểm với n = 4 để ước tính gá trị sau :
(a) Tính diện tích của R
66
x = 1 và
(b) Tính thể tích thu được bằng cách xoay R quanh trục Ox.
18. Giả sử R là miền giới hạn bởi các đường cong
. Đẻ ước tính các giá trị sau đây:
a)
b)
c)
d)
, và
Hoành độ giao điểm của các đừơng cong
Diện tích của R
Thể tích thu được bằng cách xoay R quanh trục Ox
Thể tích thu được bằng cách xoay R quanh trục Oy
19-22. Mổi một tích phân biểu thị cho thể tích của một vật.Mô tả vật thể đó.
19.
20.
21.
22.
23. Đáy của một vật thể đĩa cầu có bán kính là 3.Tính thể tích khối vật thể nếu cắt
bằng những mặt cắt song song vuông góc với đáy là tam giác cân có cạnh huyền
nằm cùng đáy của vật thể.
24. Đáy của chất rắn là miền giới hạn bởi parabol
và
. Tìm thể
tích của chất rắn nếu cắt bằng lát cắt vuông góc với trục hoành là hình vuông với
một cạnh nằm dọc theo đáy của vật thể.
25. Chiều cao của một di tích là 20 m. Một mặt cắt ngang ở khoảng cách x mét từ
đỉnh tam giác đều. Tính thể tích của di tích ?
26. (a). Đáy của một chất rắn là một hình vuông có đỉnh nằm ở vị trí
và
mỗi mặt cắt ngang vuông góc với trục hoành là nửa
đường tròn. Tìm thể tích của vật rắn.
(b). Chứng minh rằng bằng cách cắt một phần chất rắn của câu (a), chúng ta có thể
xếp nó lại tạo thành một hình nón. Như vậy thì thể tích sẽ đơn giản hơn.
27. Một lực 30 N cần thiết để lò xo giãn từ chiều dài tự nhiên 12 cm đến chiều dài
15 cm. Tính công để lò xo giãn từ 12 cm đến 20 cm.
67
28. Một thang máy 1600 lb được treo bằng một dây cáp 200 ft có trọng lượng 10
.Tính công cần thiết để thang máy đi từ tầng hầm đến tầng thứ ba, có khoảng
cách 30 ft ?.
29. Một bể chứa nước có dạng là paraboloit tròn xoay như trong hình, đó là, hình
dạng của nó thu được bằng cách quay một parabol quanh một trục thẳng đứng.
a) Nếu chiều cao của nó là 4 ft và bán kính phía trên là 4 ft, Tìm công cần thiết
để bơm nước ra khỏi bể ?
(b) Sau 4000 ft-lb công đã được thực hiện. Tính độ sâu của nước còn lại trong bể?
trên đoạn [0,10]
30. Tìm giá trị trung bình của hàm
31. Nếu f là một hàm liên tục, giới hạn
đoạn [x, x+h] là bao nhiêu ?
32. Cho
và
thì giá trị trung bình của hàm f trên
miền bị chặn bởi hàm
là miền bị chặn bởi
a) Tìm giá trị b sao cho
b) Tìm giá trị b sao cho
trục hoành?
c) Tìm giá trị b sao cho
d) Tìm giá trị b sao cho
trong đó
và
và
.
và
có cùng diện tích?.
có cùng thể tích khi quay quanh truc tung và quanh
và
và
có cùng thể tích khi quay quanh trục hoành?
có cùng thể tích khi quay quanh trục tung?
1.a)Tìm một hàm số dương liên tục sao cho diện tích dưới biểu đồ là từ 0 đền
vô cùng
68
b)Vật rắn được tạo ra bằng cách quay đường cong quanh trục. Tại đó hàm số
dương.Thể tích được tạo ra bằng một phần của đường cong
là . Với
mọi
.Tìm hàm số f?
2. Một đường thẳng qua gốc tọa độ và chia miền bị chặn bởi paraboloit
và trục hoành, thành hai miền có diện tích bằng nhau. Hỏi hệ số góc
của đường thẳng là bao nhiêu ?
3. ình dưới cho thấy đường thẳng nằm ngang
cắt đường cong
. Tìm số c sao cho diện tích của miền tô đậm bằng nhau.
4. Một ly thủy tinh hình trụ có bán kính r và độ cao L đầy nước, nghiêng ly
nước cho đến khi nước trong ly còn lại đến chân đế.
a) Xác định cách để “ cắt “nước thành những mặt cắt song song hình chữ
nhật và sau đó,thiết lập một tích phân xác định của thể tích nước trong ly
thủy tinh.
b) Xác định cách để “ cắt “ nước thành những mặt cắt song song tạo thành
hình thang và sau đó , thiết lập tích phân xác định của thể tích nước trong
ly đó?
c) Tính thể tích nước trong ly thủy tinh bằng cách nhận xét một trong những
tích phân trong câu (a) và câu (b).
d) Tìm thể tích của nước trong ly thủy tinh xét từ hình học đơn giản
e) Giả sử ly nghiêng cho đến nước chính xác đến nửa đáy.Bạn có thể cắt
nước thành những mặt cắt là tam giác nào?. Mặt cắt ngang có phân đoạn
của vòng tròn? Tìm thể tích của nước trong ly thủy tinh ?.
69
5.a) Chứng minh rằng thể tích chỏm cầu(segment) ở độ cao h của hình cầu
bán kính r là :
(b) Chứng minh rằng nếu một quả cầu bán kính 1 được cắt bằng một mặt phẳng
cách tâm đoạn x sao cho một thể tích chỏm cầu(segment) gấp đôi thể tích khác, thì
x là một nghiệm của phương trình :
Trong đó 0<x<1 . Dùng phương pháp của Newton để tìm x chính xác số thập phân
thứ tư.
(c) Dùng công thức thể tích của chỏm hình cầu, có thể chỉ ra rằng độ sâu x của
hình cầu bán kính r thay đổi chìm trong nước là một nghiệm có phương trình :
Trong đó s là trọng lương riêng của hình cầu. Giả sử hình cầu bằng gỗ có bán kính
0.5 m và trọng lượng riêng là 0.75. Tính chính xác đến số thập phân thứ tư, độ sâu
của hình cầu sẽ chìm.
70
(d). Một cái bát bán hình cầu có bán kính 5 inch và nước đang chảy vào bat theo tỷ
lệ
.
i.
ii.
Cách để tăng nhanh mực nước trong bát dâng lên đến độ sâu 3 inch.
Tại một lúc nhất định, độ sâu của nước là 4 inch. Phải mất bao nhiêu thời
gian để đầy bát.
6. Quy tắc Archimedes nói rằng lực đẩy lên một vật nổi lên một phần hoặc toàn bộ
vật chìm trong chất lỏng bằng với trọng lượng của chất lỏng mà vậtchiếm chỗ. Vì
vậy, cho vật có mật độ
chìm một phần trong chất lỏng có mật độ . Lực tác
động lên vật đó được tính bằng
. Trong đó g là gia tốc do trọng lực và A(y) là diện tích mặt
cắt ngang của vật. Tính trọng lượng của vật bằng
a. Chứng minh rằng tỷ lệ phần trăm thể tích trên bề mặt chất lỏng là
b. Mật độ nước đá là 971
và mật độ nước biển là 1030
. Tính tỷ
lệ phần trăm thể tích một tảng băng trôi nổi trên mặt nước ?
c. Một khối nước đá trong bình thủy tinh chứa đầy nước. Tính lượng nước tràn
ra khi băng tan chảy.
d. Một hình cầu bán kính 0.4 m và có trọng lượng không đáng kể và bể nước
lớn. Tính công cần thiết để nhấn chìm hoàn toàn hình cầu ? Với mật độ của
nước là 1000
7. Nước trong bát mở bay hơi với tốc độ tỷ lệ thuận với diện tích bề mặt nước. (
Điều này ,có nghĩa là tỷ lệ thể tích giảm, tỷ lệ thuận với diện tích bề mặt ). Chứng
minh rằng độ sâu của nước giảm với tốc độ không đổi , không phụ thuộc vào hình
dạng của bát
8. Một hình cầu bán kính 1 chồng lên hình cầu bán kính nhỏ hơn r sao cho giao của
hai hình cầu là vòng tròn bán kính r. ( Nói cách khác chúng cắt trong vòng tròn lớn
của hình cầu nhỏ ). Tìm thể tích hình cầu nhỏ và mặt ngoài của hình cầu lớn, lớn
nhất có thể.
71
9. Hình bên cho thấy đường cong C với tính chất, cho mỗi điểm P trên đường cong
Diện tích A và B bằng nhau. Tìm phương trình C.
10. Một cốc nước hình nón bằng giấy có độ cao h và nữa góc theo chiều thẳng
đứng ( Xem hình). Quả bóng được đặt cẩn thận vào cốc,từ đó,có một ít nước
tràn ra. Tính bán kính của quả bóng làm nước tràn ra khi thể tích nước trong cốc
lớn nhất
11. Đồng hồ nước , là đồng hồ căn cứ theo lượng nước chảy mà tính thời gian, là
vật đựng bằng thủy tinh có lổ nhỏ dưới đáy qua bình chứa nước, “ đồng hồ “ định
chi số thời gian bằng cách đánh dấu trên vật tương ứng với mực nước tại thời điểm
cách đều nhau.
Cho
là liên tục trên đoạn [a,b]. Giả sử vật chứa đựng được tạo thành
bằng cách quay đồ thị của f quanh trục. Gọi V là thể tích của nước và h là độ cao
của mực nước ở thời gian t.
(a) Xác định V như là hàm số của h.
(b) Chứng minh rằng:
72
(c) Giả sử A là diện tích của có lổ dưới đáy bát. Theo định luật Torcicelli rằng
vận tốc biến thiên của lượng nước :
Trong đó k là một hằng số âm. Xác định công thức cho hàm f sao cho
một hằng số C. Ưu điểm trong việc
là gì ?.
là
12. Một hộp hình trụ bán kính r và độ cao L chứa đầy chất lỏng có thể tích V.
Nếu vật chứa đựng quay quanh trục đối xứng với tốc độ góc không đổi thì
vật chứa đựng sẽ cảm sinh chuyển động quay trong chất lỏng quanh cùng một
trục. Cuối cùng, chất lỏng sẽ quay ở cùng một tốc độ góc như vật chứa đựng.
Mặt của chất lỏng sẽ lồi, khi chỉ ra trong hình, vì lực ly tâm trên hạt chất lỏng
tăng với khoảng cách với trục của vật chứa đựng. Nó có thể thấy rằng bề mặt
chất lỏng là một parabol tròn xoay tạo ra bằng cách xoay parabol.
Quanh trục tung, trong đó g là gia tốc.
a) Xác định hàm h như một hàm số của
b) Tại tốc độ góc nào thì mặt chất lỏng sẽ chạm đáy? Ở tốc độ nào thì nó sẽ nổi lên
trên cùng?
c) Giả sử bán kính của vật chứa đựng là 2ft, độ cao là 7ft, vật chứa đựng và chất
lỏng là quay cùng một tốc độ góc. Các bề mặt của chất lỏng là 5ft dưới cùng tại
trục trung tâm và 4ft dưới cùng của bể 1ft ra khỏi trung tâm.
i. Xác định tốc độ góc của vật chứa đựng và thể tích của chất lỏng?
73
ii.
Dưới cùng của bể chứa chất lỏng và thành tường cách nhau bao xa
13. Giả sử đồ thị của một đa thức bậc ba cắt parabol tại
,
và
trong đó
. Nếu hai miền giữa đường cong có cùng diện tích, Hãy tìm
mối quan hệ giữa b và a?.
74