Physik

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Physik

Lehrermaterial
Physik
Gymnasiale Oberstufe
Herausgeber
Prof. Dr. Lothar Meyer
Dr. Gerd-Dietrich Schmidt
Autoren
Prof. Detlef Hoche
Dr. Josef Küblbeck
Prof. Dr. Lothar Meyer
Prof. Dr. Oliver Schwarz
Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der
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Das Wort Duden ist für den Verlag Bibliographisches Institut GmbH als Marke geschützt.
1. Auflage, 2011
© 2011 Duden Paetec GmbH, Berlin
Internet www.duden-schulbuch.de
Redaktion Prof. Dr. Lothar Meyer
Gestaltungskonzept Britta Scharffenberg
Layout Claudia Kilian
Grafik Claudia Kilian, Jens Prockat, Walther-Maria Scheidt, Sybille Storch
Titelfoto Fotolia/Schiller Renato
ISBN 978-3-8355-3312-7
1
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1
Hinweise zur Arbeit mit dem Lehrermaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Empfehlungen und Materialien zur Unterrichtsgestaltung . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1
Denk- und Arbeitsweisen in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.4
Elektrizitätslehre und Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.5
Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.6
Quantenphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.7
Atom- und Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.8
Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.9
Astrophysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3
Lösungen der Aufgaben des Lehrbuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.1
Denk- und Arbeitsweisen in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.2
Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.3
Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.4
Elektrizitätslehre und Magnetismus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3.5
Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.6
Quantenphysik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3.7
Atom- und Kernphysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
3.8
Spezielle Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
3.9
Astrophysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
3.10
Komplexe Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Bildquellenverzeichnis
Corel Photos Inc.: 33/1, 38/1, 38/2, 38/3, 45/2; Deutsche Bahn AG: 15/1; Günter Liesenberg, Berlin: 45/1, 58/1;
Meyer, L., Potsdam 122/1; Christiane Mitzkus, Berlin: 145/1; Mountain High Maps: 50/1, 50/2; Photo Disc, Inc.: 15/2, 34/1,
58/2, 58/3; Phywe Systeme GmbH & Co. KG, Göttingen: 8/1; Oliver Schwarz, Eisenach: 105/1; Toyota: 145, 2;
Volkswagen AG: 26/1, 28/1.
© Duden Paetec GmbH. Alle Rechte vorbehalten. Internet: www.duden-schulbuch.de
0
2
Hinweise zur Arbeit mit dem Lehrermaterial
1
Hinweise zur Arbeit mit dem Lehrermaterial
Die folgenden Empfehlungen und Materialien für den Physikunterricht der gymnasialen Oberstufe sollen dem Lehrer
Anregungen für seinen Unterricht geben und ihm eine rationelle Unterrichtsvorbereitung und -durchführung ermöglichen. Dabei wird keine Vollständigkeit angestrebt, sondern es werden Anregungen zu Schwerpunkten des Unterrichts
gegeben.
Die Empfehlungen und Materialien sind abgestimmt mit dem Lehrbuch Physik, Gymnasiale Oberstufe,
Duden Schulbuchverlag 2011
ISBN 978-3-8355-3311-0
Damit werden weitgehend alle die Inhaltsbereiche abgedeckt, die in den Jahrgangsstufen 11–12 bzw. 10–12 in den
Grundkursen Physik oder in den für alle Schüler verbindlichen Kursen behandelt werden. Besonderheiten der Lehrpläne
einzelner Bundesländer können nur bedingt berücksichtigt werden. Wir orientieren uns vielmehr vorrangig an den EPA
Physik in der Fassung vom 12.03.2004.
Als Nachschlagewerke für die Hand des Schülers sind zu empfehlen:
− Basiswissen Schule Physik Abitur (mit DVD)
Duden Schulbuchverlag
ISBN 978-3-89818-077-1
Die Inhalte der DVD können auch über das Internetportal www.schuelerlexikon.de abgerufen werden.
− Formelsammlung bis zum Abitur: Formeln, Tabellen, Daten (mit CD-ROM)
ISBN 978-3-89818-700-8
− Formeln und Werte bis zum Abitur
ISBN 978-3-8355-9040-3
Über das gesamte Angebot des Duden Schulbuchverlags können Sie sich im Internet unter folgender Adresse
informieren:
www.duden-schulbuch.de
Die Lösungen der Aufgaben des Lehrbuchs sind auch zu finden unter:
www. lern-code.de
Das vorliegende Material enthält:
− konkrete Unterrichtsmaterialien (Tafelbilder, Kopiervorlagen, Arbeitsblätter, Experimente, Projekte),
− Hinweise zu den Experimenten des Lehrbuchs,
− die ausführlichen Lösungen aller Aufgaben des Lehrbuchs.
Für Anregungen, Vorschläge für konkrete Unterrichtsmaterialien, Kritiken und Hinweise ist der Duden Schulbuchverlags immer dankbar.
Redaktion Physik
Bouchéstraße 12, Haus 8
12435 Berlin
Denk- und Arbeitsweisen in der Physik
2
Empfehlungen und Materialien zur Unterrichtsgestaltung
Die nachfolgenden Empfehlungen und Materialien
zur Unterrichtsgestaltung orientieren sich zum einen
am Lehrbuch Physik. Gymnasiale Oberstufe des Duden
Schulbuchverlags, Berlin und Mannheim 2011. Zum anderen dienen uns die EPA Physik als wichtige Orientierung. In den EPA sind die fachlichen und methodischen
Kompetenzen festgelegt, die die Schüler bis zum Abitur
erwerben sollen. Festgeschrieben sind dort vier Kompetenzbereiche:
− Kompetenzbereich Fachkenntnisse, in dem die Schüler physikalisches Wissen erwerben, wiedergeben und
nutzen sollen.
− Kompetenzbereich Fachmethoden, bei dem es um die
Beschreibung und bewusste Nutzung von Erkenntnismethoden der Physik sowie typischen Methoden des
Faches geht.
bereichen, um die Vorbereitung auf eine weitere Ausbildungsphase.
Für die Entwicklung bzw. weitere Ausprägung der genannten Kompetenzen gibt es verschiedene methodische
Möglichkeiten. Einzelne fachliche Inhalte bieten unterschiedliche Ansatzpunkte. Es ist die ureigenste Aufgabe
des Lehrers zu entscheiden, an welchen Inhalten welche
Kompetenzen in den Vordergrund gestellt werden und
welche Unterrichtsformen dabei zweckmäßig sind. Wir
beschränken uns darauf, Anregungen zu geben und Materialien bereitzustellen, die der Lehrer in seinen Unterricht einbeziehen kann.
Länderspezifische Besonderheiten können dabei in der
Regel nicht berücksichtigt werden.
2.1
− Kompetenzbereich Kommunikation, in dem die Schüler befähigt werden, in der Physik und über Physik zu
kommunizieren.
− Kompetenzbereich Reflexion, bei dem es darum geht,
Bezüge zwischen Physik und anderen Bereichen herzustellen, Sachverhalte zu bewerten, historische und
gesellschaftliche Zusammenhänge zu reflektieren.
Im „Zusammenspiel“ der Kompetenzen sollen die Schüler
bis zum Abitur eine solche naturwissenschaftliche (physikalische) Grundbildung erwerben, die sie in die Lage
versetzt, ein Hochschulstudium oder eine qualifizierte
berufliche Ausbildung zu absolvieren. Die Zusammenhänge sind unten dargestellt. Wir betonen: Es geht um
die Vermittlung solider Grundlagen in allen Kompetenz-
Denk- und Arbeitsweisen in
der Physik
Ein wichtiger Kompetenzbereich sind die Fachmethoden,
die die Schüler kennen und anwenden sollen. Im Lehrbuch Physik, Gymnasiale Oberstufe des Duden Schulbuchverlags sind sie im einführenden Kapitel „Denk- und
Arbeitsweisen in der Physik“ zusammengefasst.
Die dort dargestellten Inhalte sollten im Laufe des Oberstufenunterrichts an die Schüler herangetragen werden.
Aus didaktisch-methodischer Sicht bieten sich für das
Herangehen drei Varianten an:
− Zu Beginn des Oberstufenunterrichts wird als eine
neue Qualität eine an wissenschaftlichen Methoden
orientierte Arbeitsweise postuliert. Dann bietet es
Kompetenzbereich
Fachkenntnisse
Kompetenzbereich
Fachmethoden
Naturwissenschaftliche
(physikalische) Grundbildung
bis zum Abitur
Kompetenzbereich
Kommunikation
Kompetenzbereich
Reflexion
3
4
sich an, in ein oder zwei Unterrichtsstunden an Beispielen auf Modelle sowie auf die induktive, deduktive und experimentelle Methode einzugehen. Aufmerksam machen kann man an dieser Stelle auch auf
einige besonders tragfähige physikalische Konzepte
wie zum Beispiel die Nutzung von Erhaltungssätzen,
die Betrachtung von Wechselwirkungen, die Beschreibung des Verhaltens von Systemen.
Im Laufe des Unterrichts wird an geeigneten Beispielen die eine oder andere Methode aufgegriffen und
damit die Methodenkompetenz der Schüler gefestigt
bzw. weiterentwickelt.
− Die Fachmethoden werden an Beispielen im Laufe des
Unterrichts ausführlich besprochen und angewendet.
Dazu kann Kapitel 1 des Lehrbuchs als Materialgrundlage genutzt werden.
− Eine Reihe von Inhalten können sich die Schüler auch
selbstständig aus dem Lehrbuch erschließen. Dazu gehören insbesondere die Lehrbuchabschnitte
− Begriffe in der Physik (S. 8 f.),
− Größen in der Physik (S. 10 f.),
− Physikalische Gesetze (S. 12 f.),
− Messunsicherheiten und Fehlerbetrachtungen
(S. 24 ff.).
Auf zwei Probleme sei nachfolgend aufmerksam gemacht: Nicht selten hört man die Meinung, dass Begriffe
der Alltagssprache häufig unklar und nicht eindeutig
sind, physikalische Begriffe dagegen klar und eindeutig.
Beide Teilaussagen sind problematisch. Bei Begriffen der
Alltagssprache wird durch den Zusammenhang, in dem
sie gebraucht werden, zumeist eine relativ große Klarheit
und Eindeutigkeit erreicht. Und die in der Physik bzw. im
Physikunterricht verwendete Terminologie ist mitunter
gar nicht so eindeutig und klar, wie manche Physiker und
Physiklehrer glauben.
Allein ein Blick in die Lehrpläne verschiedener Bundesländer zeigt, dass es die eindeutige und klare Terminolo-
gie in der Physik nicht gibt. So findet man z. B. in einem
Lehrplan von 2010 den Hinweis: „Die Kraftflussdichte B
sollte als magnetische Feldstärke eingeführt werden“.
Ein Blick in ein Fachbuch dürfte für Schüler das Durcheinander komplett machen.
Auch Begriffe wie Teilchen oder Strahlung sind relativ
diffus.
Ein besonderes Problem stellen die Synonyme dar. Dazu
nachfolgend einige Beispiele aus Lehrplänen:
Begriff
Synonyme
Wärme
Wärmemenge
Wärmeenergie
Entropie
Potenzielle Energie
Lageenergie
Höhenenergie
Energie der Lage
Radialkraft
Zentripetalkraft
Zentralkraft
Newtonsches Grundgesetz
2. newtonsches Gesetz
2. newtonsches Axiom
Grundgesetz der Mechanik
Die Schüler sollten auf unterschiedliche Begriffe aufmerksam gemacht werden, im Unterricht selbst ist ein
Begriff zu bevorzugen.
Ein zweites Problem sind die Tätigkeiten (b Lehrbuch
S. 30 f.), die von den Schülern insbesondere durch Aufgaben abgefordert werden. Den Schülern sollte an Beispielen verdeutlicht werden, was von ihnen erwartet wird,
wenn sie beschreiben, erklären, interpretieren … sollen.
Typische Mängel in Aufgabenstellungen wie z. B.
− Erklären Sie den Begriff ...
− Beschreiben Sie die Wirkungsweise …
− das Verwechseln von Begründen und Erklären oder
von Erklären und Erläutern
sollten vermieden werden.
Die induktiver Methode
Bei der induktiven Methode wird von Erfahrungen, Beobachtungen
und begründeten Vermutungen (Hypothesen) ausgegangen. Durch
experimentelle Untersuchungen und Verallgemeinerung der Ergebnisse
gelangt man zu einem Gesetz.
Erfahrungen, Beobachtungen, begründete Vermutungen
Experimentelle Untersuchungen
Auswerten und Zusammenfassen der Ergebnisse,
erste Verallgemeinerung
Ableiten von Voraussagen
Weitere experimentelle
Untersuchungen
Formulieren des Gesetzes
Anwenden in der Praxis
Beispiele:
− Zusammenhang zwischen Weg und Zeit bei einer geradlinigen,
gleichmäßig beschleunigten Bewegung
− Gewinnung einer Gleichung für die Radialkraft bei gleichförmiger
Kreisbewegung
− Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Stromstärke und
Spannung bei metallischen Leitern
5
FOLIE
FOLIE
6
Die deduktive Methode
Bei der deduktiven Methode wird von bekannten Zusammenhängen
und Gesetzen ausgegangen.
Unter Nutzung mathematischer Methoden und logischer Schlüsse wird
daraus ein neues Gesetz hergeleitet.
Problem- oder Zielstellung
Zusammenstellen von gesicherten Erkenntnissen
(Gesetze, Modelle) einschließlich
der Gültigkeitsbedingungen
bzw. der Grenzen der Anwendbarkeit
Deduktives Ableiten unter Anwendung
mathematischer Methoden und logischer Schlüsse
Formulieren des Gesetzes
Ableiten von Voraussagen
Experimentelles Prüfen
der Voraussagen
Anwenden in der Praxis
Beispiele:
− Gewinnung einer Gleichung für die Radialkraft
− Ableitung des Gesetzes für die Widerstände in einem verzweigten
Stromkreis
− Ableitung des Trägheitsgesetzes aus dem newtonschen Grundgesetz
Experiment und experimentelle (galileische) Methode
Ein Experiment ist eine „Frage an die Natur“. Es kann dazu dienen,
− Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen zu untersuchen,
− den Wahrheitswert von begründeten Vermutungen (Hypothesen)
und Voraussagen (Prognosen) zu prüfen,
− Stoff- und Naturkonstanten zu bestimmen.
Experimentelle oder galileische Methode
Erfahrungen und
Beobachtungen
Theorien und Modelle
Aufstellen einer Hypothese
Ableiten experimentell
prüfbarer Folgerungen
(Voraussagen)
Aufstellen einer
neuen Hypothese
Prüfen der Folgerungen
im Experiment
Widerlegen der Hypothese
Bestätigen der Hypothese
7
FOLIE
FOLIE
8
Modelle und ihre Nutzung
Ein Modell ist ein vom Menschen geschaffenes Ersatzobjekt für ein
reales Objekt. Es ist eine Vereinfachung des realen Objekts.
Modelle
Materielle Modelle
Ideelle Modelle
liegen in gegenständlicher Form
vor.
liegen als System von Aussagen
oder als zeichnerische Darstellung vor.
− Modell eines Motors
− Modell einer Turbine
− Teilchenmodell aus Kugeln
− Modell Massepunkt
− Modell Feldlinienbild
− Teilchenmodell als System von
Aussagen
–
+
+
–
–
–
+
+
–
Ein Modell wird immer für einen bestimmten Zweck geschaffen.
Deshalb gilt:
− Ein Modell ist für den jeweiligen Zweck brauchbar oder nicht. Es ist
nicht wahr oder falsch.
− Ein Modell ist dann brauchbar, wenn es plausible Erklärungen und
experimentell prüfbarer Voraussagen ermöglicht.
− Ein Modell ist nur innerhalb bestimmter Grenzen anwendbar.
Modelle können auch genutzt werden, um
− den Aufbau oder die Struktur von realen Objekten zu
veranschaulichen,
− die Wirkungsweise technischer Geräte zu verdeutlichen,
− Experimente (Modellexperimente) durchzuführen.
Mechanik
Mechanik
Die Kenntnis und Anwendbarkeit grundlegender Gesetze
der Kinematik und der Dynamik ist eine notwendige
Voraussetzung für das Verständnis vieler Sachverhalte
in anderen Inhaltsbereichen. Als Beispiele seien die Bewegungen von geladenen Teilchen in elektrischen und
magnetischen Feldern oder Stoßvorgänge bei Elementarteilchen genannt.
Es ist deshalb bei vielen Oberstufenlehrgängen üblich,
ein Kapitel voranzustellen, in dem die in Sekundarstufe 1
vermittelten Grundlagen aus der Mechanik vertieft,
systematisiert und partiell auch erweitert werden.
Wir folgen der Darstellung im Lehrbuch Physik, Gymnasiale Oberstufe, in dem diese Grundlagen bewusst relativ ausführlich dargestellt sind. Das ermöglicht auch ein
selbstständiges Arbeiten der Schüler mit dem Lehrbuch.
Bewegungen in Natur und Technik
Inhaltliche Schwerpunkte bei der Behandlung von gleichförmigen und gleichmäßig beschleunigten Bewegungen
sind
− die Einteilung von Bewegungen aus Natur und Technik nach der Bahnform und der Bewegungsart,
− die Wiederholung, Vertiefung bzw. Einführung der
Größen Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung
als vektorielle Größen,
− die Gesetze für gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegungen einschließlich des freien
Falls.
Dabei lassen sich zahlreiche Bezüge zur Erfahrungswelt
der Schüler und auch zu anderen Fächern herstellen. Damit bieten sich zugleich günstige Möglichkeiten zur Weckung und Aufrechterhaltung des Interesses der Schüler,
von dem der Unterrichtserfolg wesentlich abhängt.
Zum Einstieg ist es zweckmäßig, mit den Schülern einige
Grundlagen zu klären, die im nachfolgenden Unterricht
immer wieder eine Rolle spielen:
− Ruhe und Bewegung als Zustände von Körpern, die
nur bei Angabe eines Bezugssystems eindeutig sind,
wobei ein Bezugssystem ein Körper und ein damit
verbundenes Koordinatensystem ist.
− An Beispielen sollte dabei deutlich werden, dass sich
ein Körper je nach dem gewählten Bezugssystem sowohl in Ruhe als auch in Bewegung befinden kann.
− Es sollte auch herausgearbeitet werden, dass man bei
der Bearbeitung von Problemen prüfen muss, welches
Bezugssystem zweckmäßig ist. Wenn man z. B. die Bewegung einer Person auf einem fahrenden Schiff beschreibt, ist sicher ein mit der Erdoberfläche verbundenes Koordinatensystem nicht besonders günstig.
Bei der Beschreibung der Bahnkurve einer Last, die
von einem Flugzeug abgeworfen wird, ist dagegen
die Beschreibung gerade in einem solchen Bezugssystem sinnvoll.
Im Zusammenhang mit der Relativität von Ruhe und
Bewegung können auch historische Betrachtungen erfolgen, u. a. zu der Auffassung von ARISTOTELES und zum
historisch bedeutsamen Streit darüber, ob die Erde oder
die Sonne im Zentrum unseres Planetensystems stehen.
Ruhe und Bewegung
Ein Bezugssystem ist ein Bezugskörper und ein damit verbundenes Koordinatensystem.
Lage gegenüber einem Bezugssystem
ändert sich nicht
ändert sich
Ruhe
(z. B. Gebäude bez. Erdoberfläche)
Bewegung
(z. B. rollender Ball bez. Erdoberfläche)
TAFELBILD
2.2
9
ARBEITSBLATT
10
Bezugssysteme
1. Was versteht man in der Physik unter einem Bezugssystem?
2. Beschreiben Sie die folgenden Bewegungen in zwei unterschiedlichen Bezugssystemen. Wählen
Sie das zweite Bezugssystem selbst.
Vorgang
Bezugssystem Erdoberfläche
anderes Bezugssystem
(jeweils angeben)
Person auf Rolltreppe
Nach oben anfahrender Fahrstuhl
Laufende Person im
fahrenden Zug
Bewegung
des Monds
3. Welches Bezugssystem würden Sie zur Beschreibung der folgenden Bewegungen wählen?
Begründen Sie.
a) Bewegung der Erde um die
Sonne
b) Bewegung eines geostationären Nachrichtensatelliten
c) Laufende Person auf einem
flussabwärts fahrenden
Schiff
Bewegungen
Ein Körper ist in Bewegung, wenn er seine Lage gegenüber einem Bezugssystem ändert. Meist wird
ein mit der Erdoberfläche verbundenes Koordinatensystem gewählt.
Körper können sich bewegen
auf unterschiedlichen Bahnen
mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten
geradlinige
Bewegung
krummlinige
Bewegung
gleichförmige
Bewegung
ungleichförmige
Bewegung
fallender Stein
Auto in Kurve
herabschwebender
Fallschirmspringer
anfahrender Zug
Anhand einiger Körper (rollender Wagen, rollende Kugel) sollte den Schülern demonstriert werden, dass sich
ein Körper bzw. Teile davon auf sehr unterschiedlichen
Bahnen bewegen können oder sich auch bewegen können, ohne als Ganzes ihre Lage im Raum zu verändern
(z. B. rotierende Scheibe).
Den Schülern sollte deutlich werden, dass es neben der
(reinen ) Translation und der (reinen ) Rotation auch die
Kombination aus beiden gibt, im Unterricht aber eine
Beschränkung auf eine reine Translation oder Rotation
erfolgt. Bei der Beschreibung solcher Bewegungen ist es
sinnvoll, unterschiedliche Modelle zu nutzen. Für translatorische Bewegungen wird das Modell Massepunkt genutzt, für die Beschreibung der Rotation von Körpern das
Modell starrer Körper. Allgemeine Hinweise zum Modellbegriff sind im LB S. 14 f. zu finden.
Den Schülern muss bewusst sein: Alle nachfolgend formulierten Gesetze gelten für Massepunkte. Sie können
auch dann angewendet werden, wenn Körper näherungsweise mit dem Modell Massepunkt beschrieben
werden können, wobei dieser Massepunkt häufig mit
dem Körperschwerpunkt identisch ist, bei starren Körpern aber auch ein anderer Punkt als Bezugspunkt gewählt werden kann.
Die Klassifizierung von Bewegungen nach Bewegungsarten und Bahnformen kann in unterschiedlicher Weise
erfolgen. Im LB S. 46 ist eine Variante angegeben, es ist
aber nicht die einzig mögliche. So kann man z. B. bei den
Bewegungsarten auch Bewegungen mit konstantem
Betrag der Geschwindigkeit von solchen mit nicht konstantem Betrag unterscheiden.
Unterschieden werden könnte auch zwischen unbeschleunigten und beschleunigten Bewegungen.
Auf jeden Fall ist es sinnvoll, wenn sich der Lehrer auf
eine Klassifizierung festlegt. Erfahrungsgemäß bedarf
der historische Begriff „gleichförmige Kreisbewegung“
einer Erläuterung, da für diese Bewegung längs einer
Kreisbahn zwar alle Gesetze einer gleichförmigen Bewegung gelten, die Bewegung aber beschleunigt ist. Den
Schülern sollte bewusst werden, dass in diesem speziellen
Fall die Beschleunigung in Richtung Mittelpunkt der
Kreisbewegung erfolgt, die Bewegung längs der Bahn
aber gleichförmig ist (v = konstant).
11
TAFELBILD
Mechanik
ARBEITSBLATT
12
Bahnformen und Bewegungsarten (1)
1. Bewegungen kann man klassifizieren nach der Bahn, auf der sie sich bewegen. Ergänzen Sie
Beispiele aus Natur, Technik und Alltag.
Bahnformen
Geradlinige Bewegung
Krummlinige Bewegung
(Spezialfall: Kreisbewegung)
2. Bewegungen kann man klassifizieren nach der Art, wie sie sich längs einer Bahn bewegen.
Ergänzen Sie Beispiele aus Natur, Technik und Alltag.
Bewegungsart
Unbeschleunigte Bewegung
(v = konstant, a = 0)
Beschleunigte Bewegung
(v ≠ konstant, a ≠ 0)
Bahnformen und Bewegungsarten (2)
1. Analysieren Sie selbst gewählte Bewegungen aus Natur, Technik und Alltag hinsichtlich der
Bahnform und der Bewegungsart.
Beispiel für Bewegung
Bahnform
Bewegungsart
(mit Begründung)
2. Geben Sie an, welche Bewegungsarten den folgenden t-s-Diagrammen zugeordnet werden
können. Begründen Sie.
a)
b)
c)
s
s
s
t
t
t
3. Beschreiben Sie mit einer Skizze und in Worten die Bahnform und die Bewegungsart für einen
Punkt des Reifens eines rollenden Fahrrads. Wählen Sie ein zweckmäßiges Bezugssystem.
13
ARBEITSBLATT
Mechanik
14
Lineal (Messstrecke)
Umlenkrolle
Uhr
Motor
Die gleichförmige Bewegung wurde bereits in den Klassen 6 und 9 in elementarer Form behandelt. Daran kann
man anknüpfen. Will man gleichförmige Bewegungen
nochmals demonstrieren oder Weg-Zeit-Messungen
durchführen, so bieten sich folgende Experimentieranordnungen an:
− Luftkissenbahn,
− Wagen auf Schienen,
− Endloses Band,
− Faden mittels Experimentiermotor aufwickeln,
− Luftblase in einem wassergefüllten Glasrohr.
Die Skizze oben zeigt eine mögliche Experimentieranordnung. Genutzt werden kann auch das beiliegende
Arbeitsblatt.
Bei der Darstellung in Diagrammen sollte beachtet werden, dass die Graphen in Zeit-Weg-Diagrammen immer
einen positiven Anstieg haben oder parallel zur t-Achse
verlaufen.
Mitunter findet man auch Darstellungen folgender Art:
s
s
t
t
Das sind Zeit-Ort-Diagramme. Damit es bei den Schülern
nicht zu Missverständnissen kommt, sollte man mit ihnen
vereinbaren: s kann der Weg oder der Ort sein. Eine andere Möglichkeit ist die, stets klar zwischen dem Weg s
und dem Ort x zu unterscheiden. Nutzen die Schüler verschiedene Literatur, so werden sie auf eine dieser beiden
Varianten stoßen.
Die Wiederholung und Vertiefung der Gesetze der
gleichmäßig beschleunigten Bewegung sollte ebenfalls
mit Experimenten verbunden werden. Als Experimentieranordnungen eignen sich
− Reifenapparat,
− Luftkissenbahn,
− Fallrinne,
− Schienenwagen,
− atwoodsche Fallmaschine,
− computergestützte Messungen.
Genutzt werden können die Experimente vor allem
− zur Demonstration von Zusammenhängen zwischen
zwei Größen,
− zur Aufnahme von Messwerten, die die Schüler grafisch und analytisch auswerten.
Bei diesen gut überschaubaren Messungen bietet es sich
an, auf Messfehler sowie auf die Berücksichtigung von
Messfehlern bei grafischen Darstellungen einzugehen.
Hinweise dazu sind im Lehrbuch S. 24 ff. gegeben.
Aus inhaltlicher Sicht sollten zwei Aspekte beachtet werden:
− Erst die inhaltliche Interpretation der Gesetze zeigt,
ob die Schüler die Zusammenhänge tatsächlich erfasst
haben. Prüfen kann man das durch einfache Aufgaben der Art: Wie verändert sich der zurückgelegte
Weg, wenn die Zeit halb so groß oder doppelt so groß
ist?
− Bewegungen mit Anfangsweg bzw. Anfangsgeschwindigkeit kann man bei geschickter Wahl des Bezugssystems auf solche ohne Anfangsweg bzw. ohne
Anfangsgeschwindigkeit zurückführen. Das sollte an
einfachen Beispielen, z. B. bei Überholvorgängen, demonstriert werden.
Gleichförmige Bewegungen
1. Für einen ICE werden Wege und Zeiten gemessen. Die Messwerte sind im Diagramm dargestellt.
s in km
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
t in min
a) Interpretieren Sie das Diagramm.
b) Berechnen Sie aus verschiedenen Wertepaaren die Geschwindigkeit des ICE. Zeichnen Sie das
Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm.
v in
m/s
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
t in min
2. Ein Passagierflugzeug fliegt mit einer durchschnittlichen Reisegeschwindigkeit von 850 km/h.
a) Ergänzen Sie die folgende Tabelle.
t in min
0
2
4
6
10
30
s in km
b) Zeichnen Sie den Graphen mit anderer Farbe in das
t-s-Diagramm von Aufgabe 1 ein.
60
15
ARBEITSBLATT
Mechanik
16
FOLIE
Gleichförmige und gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Für die gleichförmige und die gleichmäßig beschleunigte Bewegung
gelten folgende Gesetze:
Gleichförmige Bewegung
bei Bewegung aus dem Stillstand
(bei t = 0 ist s0 = 0 und v0 = 0)
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung bei Bewegung aus dem
Stillstand
(bei t = 0 ist s0 = 0 und v0 = 0)
Bahnbeschleunigung
a=0
Bahnbeschleunigung
a = konstant ≠ 0
a
a
v = a·t
t
t
v = konstant ≠ 0
v ≠ konstant
v = }st
v = a·t
Δs
v=}
Δt
v
v
Δv
Δt
s = v·t
s=
v·t
}
2
t
t
s = }a2 · t 2
s = v·t
s
a = Δv
}
Δt
Δs
v·t
s=}
2
s
Δt
s
v= Δ
}
Δt
s~t
t
s ~ t2
t
Bewegungen in Diagrammen (1)
Die Bewegungen von vier Körpern sind durch ihre Zeit-Weg-Diagramme gegeben.
1
2
s
3
s
4
s
t
s
t
t
t
Welche der folgenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramme A– D bzw. der Zeit-Beschleunigung-Diagramme I–IV gehören zu den Diagrammen 1– 4? Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit
A
B
v
C
v
D
v
t
v
t
t
t
Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
I
II
a
III
a
t
IV
a
t
a
t
17
ARBEITSBLATT
Mechanik
t
ARBEITSBLATT
18
Bewegungen in Diagrammen (2)
1. Die Bewegungen von Körpern werden durch die nachfolgenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramme wiedergegeben. Beschreiben Sie jeweils die Bewegung des Körpers. Nutzen Sie dazu die
Rückseite des Arbeitsblatts.
A
B
v
C
v
v
t
t
D
t
E
F
v
v
v
t
t
t
2. Die Bewegung eines Körpers wird durch folgendes t-v-Diagramm beschrieben:
v in m/s
30
IV
25
III
20
V
II
15
10
I
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
t in min
a) Beschreiben Sie mit Worten die Bewegung des Körpers.
b) Zeichnen Sie das t-a-Diagramm. Berechnen Sie dazu die Beschleunigungen.
c) Welchen Weg legt der Körper insgesamt zurück?
Bewegung eines Förderkorbs
Experimentell untersucht wurde die Bewegung eines Förderkorbes, wie er von Bergleuten beim
Einfahren in einen Schacht genutzt wird. Beim Anfahren ergeben sich folgende Messwerte:
t in s
0
0,20
0,40
0,60
0,80
1,0
1,2
s in m
0
0,10
0,37
0,81
1,49
2,32
3,30
a) Untersuchen Sie, welche Bewegungsart vorliegt. Prüfen Sie dazu, ob s ~ t oder s ~ t 2 gilt.
b) Wie groß ist die Beschleunigung a? Berechnen Sie die Beschleunigung aus mehreren Messwertepaaren und bilden Sie den Mittelwert.
c) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten nach den angegeben Zeiten.
t in s
0
0,20
0,40
0,60
0,80
1,0
1,2
m
v in }
s
d) Zeichnen Sie das t-s-Diagramm und das t-v-Diagramm!
v
s
t
e) Interpretieren Sie das t-v-Diagramm.
19
ARBEITSBLATT
Mechanik
t
ARBEITSBLATT
20
Bewegungen mit konstanter Beschleunigung
Für Bewegungen mit konstanter Beschleunigung lassen sich eine Reihe von Fällen unterscheiden.
Zeichnen Sie für jeden Fall das t-v-Diagramm und das t-s-Diagramm.
Fall
t-a-Diagramm
t-v-Diagramm
t-s-Diagramm
a
a>0
v>0
t
a
a=0
v>0
t
a
a<0
v>0
t
a
a<0
v<0
t
a
a=0
v<0
t
a
a>0
v<0
t
a
a=0
v=0
t
Mechanik
Ausgangspunkt für die Betrachtungen zu zusammengesetzten Bewegungen sollten Beispiele sein, die die Schüler aus ihrem Erfahrungsbereich kennen, z. B.:
− Ein Boot bewegt sich in unterschiedlichen Richtungen
auf einem Fluss.
− Ein Schwimmer überquert einen Fluss.
− sportliche Disziplinen (Kugelstoßen, Speerwurf, Weitsprung u. a.).
− Bewegungen von Personen in Zügen oder auf Dampfern.
− Bewegung eines Flugzeuges bei unterschiedlichen
Windrichtungen.
Dabei kann in der Diskussion die Aufmerksamkeit der
Schüler auf die Teilbewegungen und damit auf eine Einteilung der zusammengesetzten Bewegungen gelenkt
werden. Wichtig ist hierbei, dass die Schüler erfassen: Es
erfolgen (zwei) Teilbewegungen, die im Zusammenwirken eine (resultierende) Bewegung ergeben.
Das Thema bietet auch gute Möglichkeiten für ein projektartigen Herangehen, z. B. in folgender Form:
Längerfristig vorbereitet werden Videoaufnahmen von
verschiedenen Bewegungen (z. B. Weitsprung, Hochsprung, Abschlag von Bällen unter verschiedenen Winkeln). Im Unterricht erfolgt dann eine Analyse ausgewählter Bewegungen unter verschiedenen Gesichtspunkten.
Als Systematik bietet es sich an, zunächst die Überlagerung zweier gleichförmiger Bewegungen und anschließend die Überlagerung von gleichförmiger und gleichmäßig beschleunigter Bewegung zu behandeln. Wie weit
man im letztgenannten Fall in der quantitativen Erfassung der Bewegung geht, sollte in Abhängigkeit von der
Klassensituation und den Lehrplananforderungen entschieden werden.
Unabhängig davon sollten im Mittelpunkt des Unterrichts nicht in erster Linie formale Berechnungen stehen,
sondern die Beschreibung und die Analyse von realen zusammengesetzten Bewegungen. Dabei ist zu beachten,
dass die behandelten Gesetze für Massepunkte und unter der Bedingung gelten, dass der Luftwiderstand null
ist. Von daher ist aus physikalischer Sicht stets zu analysieren, ob eine bestimmte reale Bewegung näherungsweise mit den behandelten Gesetzen beschrieben werden kann oder nicht.
Darüber hinaus bietet es sich bei der Anwendung von
Gesetzen an, mit den Schülern zu diskutieren, wie sich
der Luftwiderstand in der Realität z. B. auf Wurfhöhen,
Fallzeiten, Wurfweiten oder Bahnformen auswirkt. Während z. B. die maximale Wurfweite in der Theorie bei 45°
erreicht wird, beträgt der Abwurfwinkel bei Würfen im
Sport (Speerwurf, Diskuswurf, Weitsprung) meist 30°– 40°
und liegt damit als Erfahrungswert deutlich unter dem
theoretischen Wert. Werden Videoaufnahmen von realen Bewegungen einbezogen, so ist ein Vergleich von
realer und theoretischer Bahn und eine Diskussion zu Ursachen für die Abweichungen sehr zu empfehlen.
Zusammengesetzte Bewegungen
Zwei Teilbewegungen können sich zu einer zusammengesetzten Bewegung überlagern.
Die meisten Bewegungen lassen sich folgenden Fällen zuordnen:
Die Teilbewegungen erfolgen
in gleicher
Richtung
in entgegengesetzter Richtung
senkrecht
zueinander
in beliebiger
anderer Richtung
Die Teilbewegungen können gleichförmig oder gleichmäßig beschleunigt verlaufen.
TAFELBILD
Bei den zusammengesetzten Bewegungen orientieren
sich die Lehrpläne auf die senkrechten Würfe, den waagerechten und den schrägen Wurf.
21
FOLIE
22
Überlagerung einer gleichförmigen geradlinigen und einer
gleichmäßig beschleunigten geradlinigen Bewegung
Art der Überlagerung
Beispiel
Senkrechter Wurf nach unten Ein Stein wird
senkrecht nach
unten geworfen.
v0
vF = g ∙ t
Senkrechter Wurf nach oben
Resultierende Geschwindigkeit
v = v0 + g · t
Ein Ball wird
senkrecht nach
oben geworfen.
v0
v = v0 – g · t
vF = g ∙ t
Waagerechter Wurf
v0
vF = g ∙ t
Ein Skispringer
springt näherungsweise
waagerecht vom
Schanzentisch
ab.
}}
v = √ v 02 + (g ∙ t)2
Wurfparabel
Ein Speer wird
geschleudert.
Schräger Wurf
v0
vF = g ∙ t
Wurfparabel
Wurfweite
Die resultierende
Geschwindigkeit
ergibt sich aus der
Abwurfgeschwindigkeit und der
Geschwindigkeit
beim freien Fall.
Skispringen
Die Skizze zeigt das Profil einer Schanze mit dem Absprungpunkt (AP). Die durchschnittliche
Absprunggeschwindigkeit beträgt bei dieser Schanze 25 m/s. Der Absprungtisch ist etwas nach
unten geneigt. Da sich aber der Springer abstößt, kann von einem horizontalen Absprung
ausgegangen werden.
AP
Schanzenturm
Aufsprunghang
a) Zeichnen Sie in die Skizze maßstäblich den nach jeweils 0,4 s in horizontaler und vertikaler
Richtung zurückgelegten Weg sowie die Bahnkurve ein. Ein Weg von 10 m entspricht in der
Skizze 2 cm.
b) Ermitteln Sie aus der Skizze die ungefähre Flugzeit des Skispringers.
c) Schätzen Sie die Sprungweite ab. Der Absprunghang hat einen Radius von 170 m.
d) Wie groß ist theoretisch die Geschwindigkeit des Springers in m/s und km/h im Aufsetzpunkt
nach einer Flugzeit von 2,4 s? Ist seine tatsächliche Geschwindigkeit größer oder kleiner als die
berechnete?
23
ARBEITSBLATT
Mechanik
24
Kräfte, Energie, Arbeit, Leistung
In dem in der Überschrift genannten Inhaltsbereich geht
es in der Oberstufe vor allem darum, Grundlagen aus
dem bisherigen Physikunterricht zu wiederholen und zu
vertiefen.
Bei der Behandlung von Kräfte und ihre Wirkungen
sollten die Aspekte in den Vordergrund gestellt werden,
die man für den nachfolgenden Unterricht benötigt. Das
sind vor allem
− die Kennzeichnung der Kraft als vektorielle Größe,
− die Zusammensetzung von zwei Kräften und die Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten,
− ausgewählte Arten von Kräften,
− die newtonschen Gesetze,
− den Inhaltsbereich "Kräfte und Bewegungen", in
dem auch etwas komplexere Beispiele mit den Schülern diskutiert werden können.
FOLIE
Einige Materialien, die im Unterricht genutzt werden
können, sind hier und auf den folgenden Seiten ausgewiesen.
Trotz mehrfacher Behandlung im bisherigen Physikunterricht ist eine fundierte Wiederholung der Grundlagen
dringend zu empfehlen. Dabei kann der zeitliche Auf-
wand für eine Wiederholung der Gesetze knapp bemessen werden, der Zeitaufwand für die Lösung von Problemen und Aufgaben sollte entsprechend hoch sein.
An Beispielen, insbesondere auch an solchen aus dem Erfahrungsbereich der Schüler, sollen sie erfassen: Ob und
wie sich ein Körper bewegt, hängt von der Summe aller
auf ihn wirkenden Kräfte ab.
Betrachtet man z. B. einen auf ebener Strecke fahrenden
Radfahrer, dann könnte man neben den Antriebskräften
und den Reibungskräften auch noch die Gewichtskraft
und die nach oben wirkende gleich große Gegenkraft
einbeziehen. Da sich aber diese beiden Kräfte aufheben, kann man auf das Einbeziehen sollte Kräftepaare
verzichten, wenn man die Zusammenhänge den Schülern
einmal exemplarisch verdeutlicht hat.
Bei der Frage nach der resultierenden Kraft auf einen
Körper ergibt sich fast zwangsläufig die Notwendigkeit,
die Zusammensetzung von zwei Kräften zu einer Resultierenden und die Zerlegung einer Kraft in zwei Komponenten zu wiederholen.
Erörtert werden sollten mit den Schülern auch Beispiele
für ein Kräftegleichgewicht und der damit verbundene
Bewegungszustand eines Körpers.
Luftwiderstandskraft
FL = }12 cW · A · ρ · v 2
Auftriebskraft
Gewichtskraft
FG = m · g
FA = ρ · V · g
Kräfte in
Natur und Technik
Reibungskraft
FR = μ · FN
Druckkraft
F = p·A
Radialkraft
Federspannkraft
FE = D · s
v
Fr = m · }
r
2
4π · r
Fr = m · }
2
T
Kräfte und Bewegungen
Ob und wie sich ein Körper bewegt, hängt von
der Summe der auf ihn einwirkenden Kräfte ab.
Fgegen
FR
Ein Körper bewegt sich in Richtung der auf ihn
wirkenden resultierenden Kraft.
25
TAFELBILD
Mechanik
FAntrieb
FG
Fgesamt
Fgesamt = 0
Fgesamt = konstant ≠ 0
Körper ist in Ruhe oder in gleichförmiger
geradliniger Bewegung.
Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt.
Beispiele:
Beispiele:
Bei der Wiederholung und Vertiefung der newtonschen
Gesetze sollte auf den Erfahrungsbereich der Schüler und
auf einfache Experimente zurückgegriffen werden.
Bei der Wiederholung des Wechselwirkungsgesetzes
bieten sich ebenfalls einfache Experimente an.
Ausgangspunkt für die Behandlung des Trägheitsgesetzes kann der Erfahrungsbereich der Schüler sein (anfahrende, bremsende Fahrzeuge).
anfahrender Pkw
abbremsender Pkw
Beim newtonschen Grundgesetz kann man sich auf
einfache Experimente beschränken, mit denen man
Tendenzaussagen in folgender Form erhält:
− Je größer die Kraft F, desto größer die Beschleunigung a,
− Je größer die Masse m, desto kleiner die Beschleunigung a.
Das newtonsche Grundgesetz
Zusammenhang zwischen Kraft und
Beschleunigung
(m = konstant)
Zusammenhang zwischen Masse und
Beschleunigung
(F = konstant)
a
a
1
a~}
m
a~F
F
m
Je größer die wirkende Kraft, desto größer die
Beschleunigung.
Je größer die Masse des Körpers, desto kleiner
die Beschleunigung.
Allgemein gilt: F = m · a
TAFELBILD
Handy auf der Tischplatte
Pkw mit v = konstant
ARBEITSBLATT
26
Kräfte und Bewegung
1. Ein Fallschirmspringer bewegt sich nach dem Absprung aus einem
Flugzeug zunächst beschleunigt. Bei geöffnetem Fallschirm stellt
sich nach einiger Zeit eine konstante Sinkgeschwindigkeit von etwa
6 m/s ein.
a) Zeichnen Sie in die Skizze die Kräfte ein, die dann wirken.
Beschreiben Sie, welche Kräfte das sind.
Welche Aussage kann man über die Beträge der Kräfte machen?
b) Beschreiben Sie die Wechselwirkungen, die bei einem Fallschirmspringer auftreten.
2. Auf einen Körper, der auf einem Tisch liegt, oder auf ein mit konstanter Geschwindigkeit fahrendes Auto wirken verschiedene Kräfte. Benennen Sie diese Kräfte. Welche Aussagen kann man
über die Beträge der Kräfte und über die auf den Körper wirkende Gesamtkraft machen?
a)
b)
FM
FG
FR
FT
3. Das Foto zeigt den Crashtest eines Autos.
a) Zeichnen Sie die Kräfte ein, die bei einem solchen
Crashtest auf die beteiligten Körper wirken.
b) Welches Gesetz ist wirksam, wenn zwei Körper
aufeinander einwirken?
Wie lautet es?
27
ARBEITSBLATT
Mechanik
m
1. Ein Wagen wird durch unterschiedliche
Kräfte beschleunigt. Die Beschleunigung des
Wagens wird mit einem Beschleunigungsmesser gemessen. Es ergeben sich folgende
Messwerte:
F
F in N
0
0,40
0,80
1,2
1,6
2,0
m
a in }
2
0
0,32
0,59
0,94
1,16
1,45
s
a) Stellen Sie die Messwerte grafisch dar.
b) Interpretieren Sie das Diagramm.
2. Ein Jumbo-Jet vom Typ Boeing 747 hat vier Triebwerke. In Versuchen wurde ermittelt, wie sich
die Beschleunigung des Flugzeugs ändert, wenn es unterschiedlich beladen bzw. betankt wird.
Die Ergebnisse der Messungen sind in der Tabelle dargestellt. Die Messwerte wurden jeweils bei
maximaler Schubkraft ermittelt.
m in t
320
300
280
260
240
220
200
m
a in }
2
2,75
2,83
2,95
3,10
3,38
3,64
4,18
s
a) Stellen Sie die Messwerte grafisch dar.
Beachten Sie dabei, dass der Ursprung des
Koordinatensystems nicht bei (0;0) liegt.
b) Interpretieren Sie das Diagramm.
350
m in t
300
250
200
150
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
a in m/s2
ARBEITSBLATT
28
Sicherheitsgurt und Airbag
1. Das Bild zeigt den zeitlichen Ablauf der Bewegung eines Pkw-Fahrers bei einem Auffahrunfall.
Der Fahrer hat den Sicherheitsgurt angelegt. Das Auto verfügt über einen Airbag.
a) Welche Funktion haben Sicherheitsgurt und Airbag?
b) Der Fahrer wird in ca. 100 ms abgebremst. Wie groß ist die durchschnittlich auf ihn wirkende
Kraft, wenn die Geschwindigkeit 50 km/h betrug, der Fahrer eine Masse von 75 kg hat und er
beim Auftreffen des Autos auf einen Baum auf einer Strecke von 0,70 m abgebremst wird?
Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Gewichtskraft des Fahrers. Bewerten Sie das Ergebnis.
2. Ergänzen Sie die nachfolgende Tabelle durch Berechnen und Eintragen der jeweiligen Größe.
Situation/Vorgang
Kraft
Bremsen eines Pkw
Körper liegt auf dem Tisch
18,7 N
Abbremsen eines Fahrrads
160 N
Masse
Beschleunigung
1 200 kg
6,5 m/s2
9,81 N/kg
75 kg
Starten einer Rakete
300 t
7,5 m/s2
Anfahren eines Zuges
500 t
0,5 m/s2
Sonde auf dem Mars
6 700 N
1 800 kg
Mechanik
Für den Einstieg in den Lernbereich gibt es verschiedene
Herangehensweisen, die partiell miteinander kombiniert
werden können.
a) Es erfolgt eine Orientierung an der Fachsystematik, ausgehend vom Begriff der Energie, den Energieformen, den Transport- und Speicherformen bis
hin zu Energieumwandlungen und -flüssen bei ausgewählten Anlagen und Maschinen und zum allgemeinen Energieerhaltungssatz.
b) Es erfolgt eine stärker projektorientierte Arbeit, bei
der grundlegende Zusammenhänge am Beispiel erarbeitet und gefestigt werden.
Mögliche Themen sind bei einem solchen Herangehen z. B.:
− Energie und Energieumwandlungen im Haushalt
− Transport von Energie in Natur und Technik
− Speicherung von Energie in Natur und Technik
− Energie für Lebensprozesse
− Energie auf dem Weg zum Verbraucher
In der Wiederholung und Systematisierung sollten auch
einfach zu überschauende Experimente und Beispiele
aus dem Alltagsbereich oder aus anderen Naturwissen-
schaften einbezogen werden, zum Beispiel bei den Begriffen Energie und Energieumwandlung:
− Ein Lineal wird als Modell eines Schleuderbretts für
Artisten benutzt.
− Eine Glühlampe wird an eine Batterie angeschlossen
und leuchtet.
− Wir führen unserem Körper Nahrung zu. Es entsteht
Wärme (Körperwärme) und wir können Arbeit verrichten.
− Wenn Licht auf eine Solarzelle fällt, kann damit ein
kleiner Motor betrieben werden.
− Mit einem Dynamo wird eine Glühlampe zum Leuchten gebracht.
Ausgangspunkt für die Wiederholung des Energieerhaltungssatzes kann eine Diskussion der Energieumwandlungen bei Geräten und Anlagen aus dem Erfahrungsbereich der Schüler sein. Dabei spielt immer die zugeführte
(aufgenommene) und die genutzte (abgegebene) Energie eine Rolle. Ausgehend von einfachen Beispielen (Pkw,
Heizung im Haus, Leuchtstofflampe, Taschenlampe) kann
der Energieerhaltungssatz plausibel gemacht werden.
Nach Wiederholung des Energieerhaltungssatzes und
des Wirkungsgrades empfiehlt es sich, noch einige ausgewählte Schwerpunkte in den Mittelpunkt zu stellen,
bei deren Behandlung das Wissen über Energie gefestigt
wird. Der Lehrer kann z. B. aus folgenden Schwerpunkten
auswählen:
− Energieumwandlungen beim Menschen
− Rationelle Nutzung von Energie – Welche Konsequenzen ergeben sich daraus für uns?
− Nicht erneuerbare und erneuerbare Energien
− Energieerhaltung und Energieentwertung
Energie
Energie ist eine physikalische Größe. Mit ihr können Körper bewegt, verformt, erwärmt oder zur
Aussendung von Strahlung gebracht werden.
kann in verschiedenen
Energieformen vorliegen.
kann bei Energieumwandlungen entwertet werden.
kann von einer Energieform in
andere umgewandelt werden.
ist in Energieträgern (Heizund Brennstoffe, bewegte und
verformte Körper, Batterien)
gespeichert.
Energie
kann weder erzeugt noch
vernichtet werden.
kann transportiert und von
einem Körper auf andere
übertragen werden.
TAFELBILD
Im Lernbereich „Erhaltung der Energie“ bestehen die allgemeinen Schwerpunkte
− in der sauberen Verwendung der Fachsprache, vor
allem in Abgrenzung zum technischen und umgangssprachlichen Bereich,
− in der Befähigung der Schüler, Aufgaben und Probleme analytisch und mit zweckmäßigen Lösungsstrategien zu bearbeiten,
− darin, mit Größen und Einheiten sicher umzugehen
und Größen mit sinnvoller Genauigkeit anzugeben.
29
FOLIE
30
Energie, Energieformen, Energieträger
Energie ist die Fähigkeit eines Körpers, mechanische Arbeit zu verrichten oder Wärme abzugeben oder Strahlung auszusenden.
Energieform
Beispiele
Energieträger
Potenzielle Energie
Epot
angestautes Wasser
gehobene Körper
Kinetische Energie
Ekin
fahrendes Auto
strömendes Wasser
strömende Luft
Thermische Energie
Etherm
heißer Ofen
heißes Wasser
Flamme einer Kerze
Chemische Energie
Echem
Steinkohle, Braunkohle,
Erdgas, Propan
Benzin, Dieselkraftstoff, Heizöl
Nahrungsmittel
Elektrische Energie
Eel
elektrischer Strom
Kernenergie
Ekern
Sonne
Wasserstoff, Uran,
Plutonium
Energien in Natur und Technik (in Joule)
Energie eines Elektrons, das mit 1 V
beschleunigt wurde
Bindungsenergie eines Atomkerns von Uran
1,6 · 10–19
3 · 10–10
Erwärmung von 1 g Wasser um 1 K
4,2
Energie zum Heben eines Körpers
von 1 kg um 10 m
102
Kinetische Energie eines mit 100 km/h
fahrenden Pkw (1 000 kg)
4 · 105
Tägliche Energieaufnahme des Menschen
107
Heizwert von 1 kg Steinkohle (Steinkohleeinheit, SKE)
2,93 · 107
Jumbo-Jet (320 t) beim Abheben (310 km/h)
Energie, die bei der Explosion einer Atombombe frei wird
Täglicher Energiebedarf in der Bundesrepublik
Deutschland (Primärenergieverbrauch)
Täglicher Energieweltbedarf (2010)
Energie, die bei einem schweren Erdbeben
freigesetzt wird
Kinetische Energie der Erde auf ihrer Bahn um
die Sonne
Energievorrat der Sonne
31
FOLIE
Mechanik
1,2 · 109
≈1014
4 · 1016
1,6 · 1018
≈1020
5 · 1031
≈1045
TAFELBILD
32
Mechanische Energie
ist die Energie, die Körper aufgrund ihrer Lage oder ihrer Bewegung haben.
Formen mechanischer Energie
Lageenergie
(potenzielle Energie)
hat ein gehobener Körper.
Epot = FG · h
Epot = m · g · h
Bewegungsenergie
(kinetische Energie)
hat ein bewegter Körper.
Spannenergie
hat eine gespannte Feder.
Ekin = }12 m · v 2
ESp = }12 D · s 2
Gehen in einem abgeschlossenen System nur rein mechanische Vorgänge vor sich, dann gilt:
Die mechanische Energie eines Systems bleibt gleich.
Epot + Ekin + ESp = konstant
Ein spezieller Unterrichtsabschnitt sollte der Wiederholung der Formen mechanischer Energie gewidmet werden.
Der inhaltliche Schwerpunkt sollte dabei allerdings nicht
vorrangig auf der Wiederholung von Formeln liegen,
sondern auf mehr oder weniger komplexen Anwendungen. Beispiele dafür sind:
− Energieumwandlungen bei freien Fall
− Energieumwandlungen bei mechanische Schwingungen
− Energieumwandlungen bei der Bewegung auf einer
geneigten Ebene
In den Unterricht können auch weitere Beispiele aus Natur, Technik und Alltag einbezogen werden. Geeignet
sind z. B.
− die Fahrt auf einer Achterbahn (s. beiliegendes Arbeitsblatt),
− eine startende Rakete (s. beiliegendes Arbeitsblatt),
− die Bewegung eines Skaters oder eines Snowboardfahrers in einer Halfpipe,
− die Würfe von Bällen.
Den Schülern sollte an diesen oder anderen Beispielen
bewusst werden:
− Bei fast allen Vorgängen in Natur und Technik spielen nicht nur mechanische Energieformen eine Rolle.
Insbesondere durch die Reibung verringert sich in der
Regel die mechanische Energie eines Systems. Damit
hat der Energieerhaltungssatz der Mechanik nur einen relativ geringen Gültigkeitsbereich.
− Rein mechanische Vorgänge können qualitativ und
quantitativ mit den behandelten Energieformen der
Mechanik beschrieben werden.
Ob der Energieerhaltungssatz der Mechanik für einen
gegebenen Fall anwendbar ist oder nicht, kann den Schülern an Beispielen verdeutlicht werden. Ein solches Beispiel ist der Fall verschiedener Körper:
− Fall eines Steins aus 2 m Höhe: Energieerhaltungssatz
ist gut anwendbar, da die Reibung vernachlässigbar
klein ist.
− Fall eines Papiertrichters aus der gleichen Höhe:
Energieerhaltungssatz nicht mehr anwendbar, da die
Reibung die Bewegung des Körpers entscheidend beeinflusst.
− Diskussionsmöglichkeit: Ist auf einen aus 100 m Höhe
fallenden Regentropfen mit 5 mm Durchmesser der
Energieerhaltungssatz der Mechanik noch sinnvoll
anwendbar? Die Antwort lautet: nein. Die Diskussion kann sehr unterschiedlich angelegt werden. Man
könnte z. B. die Geschwindigkeit des Regentropfens
ohne Luftwiderstand berechnen und käme auf ein
Ergebnis von etwa 44 m/s = 160 km/h. Regentropfen
erreichen aber am Erdboden maximal etwa 40 km/h.
Das bedeutet. Der Luftwiderstand beeinflusst den Fall
von Regentropfen erheblich. Der Energieerhaltungssatz der Mechanik ist in diesem Fall nicht anwendbar.
Eine Achterbahn
Bei der Fahrt einer Achterbahn gehen verschiedene Energieumwandlungen vor sich.
a) Beschreiben Sie die Energieumwandlungen
vom Start bis zum Ziel.
b) Vom Start aus werden die Wagen (Gesamtmasse 800 kg) auf eine Höhe von 15 m gezogen.
Wie groß ist die Änderung der potenziellen Energie?
c) Beim Herunterfahren von diesem höchsten Punkt der Bahn erreichen die Wagen eine maximale
Geschwindigkeit von 16 m/s. Wie groß ist dann die kinetische Energie der Wagen?
d) Gilt für eine solche Achterbahn der Energieerhaltungssatz der Mechanik? Vergleichen Sie dazu
die Ergebnisse von b) und c) miteinander.
33
ARBEITSBLATT
Mechanik
ARBEITSBLATT
34
Eine startende Rakete
Die amerikanischen Raumfähren (Space Shuttle) werden mit einer Rakete in eine Erdumlaufbahn
gebracht. Die Startmasse beträgt ca. 2 000 t, die Raumfähre selbst hat eine Masse von ca. 100 t.
a) Beschreiben Sie die Energieumwandlungen,
die bei einer startenden Rakete vor sich gehen.
b) Die Raumfähre erreicht nach etwa 2 Minuten eine Höhe von 50 km. Wie groß ist in dieser Zeit
die Änderung ihrer potenziellen Energie?
c) In einer Umlaufbahn in 280 km Höhe über der Erdoberfläche bewegt sich die Raumfähre mit einer Geschwindigkeit von ca. 28 000 km/h. Vergleichen Sie potenzielle und kinetische Energie der
Raumfähre in dieser Höhe.
Die mechanische Arbeit
Mechanische Arbeit wird verrichtet, wenn ein Körper durch eine Kraft bewegt oder verformt wird.
F
s
s
F
Wenn die Kraft F konstant ist und in Richtung des Wegs wirkt, dann gilt:
mechanische Arbeit = wirkende Kraft · zurückgelegter Weg
W=F·s
Einheiten: 1 Newtonmeter (1 Nm)
1 Joule (1 J)
1 Nm = 1 J
Da der Begriff der Arbeit den Schülern aus dem Alltagsleben und meist auch aus dem bisherigen Physikunterricht bekannt ist, drängt es sich geradezu auf, zunächst
einmal mit den Schülern zu sammeln, in welchen Zusammenhängen und Bedeutungen der Begriff Arbeit verwendet wird, ehe man zum physikalischen Begriff der
mechanischen Arbeit übergeht.
Es bieten sich einfache Experimente an, die jeweils kommentiert werden:
1. Ein Körper (Wägestück, Buch) wird gehoben.
Kommentar: Auf den Körper wirkt eine Kraft. Der
Körper wird dadurch bewegt. Es wird mechanische
Arbeit verrichtet.
2. Ein Lineal, eine Blattfeder oder ein Holzstab wird gebogen.
3. Ein Körper wird in der Hand gehalten.
4. Ein Körper (Ball, Stein) fällt nach unten.
5. Ein Holzklotz wird mit konstanter Geschwindigkeit
über den Experimentiertisch gezogen.
6. Ein Experimentierwagen wird beschleunigt.
7. Ein Stück Knete wird verformt.
An einfachen Beispielen (z. B. Ziehen verschieden
schwerer Körper über eine bestimmte Strecke, Ziehen
eines Körpers eine kurze und eine längere Strecke, Dehnen eines Expanders mit einer Feder bzw. mit zwei Federn um eine bestimmte Strecke, unterschiedlich weites
Ausziehen einer Feder) kann den Schülern plausibel ge-
macht werden, dass die mechanische Arbeit von Kraft
und Weg abhängt, es also sinnvoll ist, die mechanische
Arbeit als Produkt aus Kraft und Weg zu definieren.
Die verschiedenen Arten mechanischer Arbeit können
anhand einfacher Experimente unter Einbeziehung der
Übersicht im LB an die Schüler herangetragen werden.
Außerdem sei auf folgende Aspekte aufmerksam gemacht:
− Für die Schüler ist es einprägsamer, wenn sie Arbeiten
ermitteln, die in ihrem Erfahrungsbereich eine Rolle
spielen, z. B.:
– Welche Arbeit verrichte ich, wenn ich 10 Treppenstufen hochsteige?
– Welche Arbeit verrichte ich, wenn ich einen Stein
in eine bestimmte Höhe hebe?
– Welche Arbeit verrichte ich, wenn ich einen Höhenunterschied von 100 m zurücklege?
− Einbezogen werden sollten in die Diskussion auch
Fälle, bei denen die Schüler erfahrungsgemäß Schwierigkeiten haben zu erkennen, ob Arbeit verrichtet
wird oder nicht. Dazu gehört z. B. die gleichförmige
Fahrt eines Autos oder eines Radfahrers auf ebener
Strecke, wo die Reibungsarbeit genauso groß ist wie
die vom Motor bzw. vom Fahrer verrichtete Arbeit.
− Für Schüler ist es immer wieder schwer verständlich,
dass es zwar anstrengend ist, eine schwere Tasche in
der Hand zu halten, dies aber keine Arbeit im physikalischen Sinn sein soll.
35
TAFELBILD
Mechanik
TAFELBILD
36
Arten mechanischer Arbeit
Hubarbeit
Spannarbeit
Beschleunigungsarbeit
Reibungsarbeit
wird beim Heben des
Körpers verrichtet.
wird beim Verformen eines Körpers
verrichtet.
wird beim Beschleunigen eines Körpers
verrichtet.
wird immer verrichtet, wenn Reibung
auftritt.
Die nutzbringende Arbeit ist fast immer kleiner als die aufzuwendende Arbeit.
nutzbringend:
− Arbeit zum Heben des Körpers K
aufzuwenden:
− Arbeit zum Heben des Körpers K
− Arbeit zum Heben der Rolle 1 und des Seils
− Reibungsarbeit
1
K
Hier ist zu klären: Nicht betrachtet werden in der
Physik die mikroskopischen Vorgänge in den Muskeln. In ihnen erfolgen ständig Anspannungen und
Entspannungen, verbunden mit mikroskopischen
Bewegungen. Dazu ist Energie erforderlich. Die Anstrengung beim Halten einer Tasche ist nicht nur eine
subjektive Empfindung. Wir verrichten dabei physiologische Arbeit. Diese wird aber in der Physik nicht
betrachtet. Auf diese Aspekthaftigkeit der Physik
sollte man Schüler aufmerksam machen.
− Nicht selten wird das Gehen auf ebener Strecke als
Beispiel dafür genommen, dass trotz Zurücklegen
eines Wegs keine Arbeit verrichtet wird, da Kraft
und Weg senkrecht zueinander sind. Eine etwas genauere Analyse des Bewegungsablaufes beim Gehen
zeigt allerdings, das wir dabei unseren Körper ständig heben und senken, also beim Gehen Hubarbeit
verrichtet wird. Setzt man den Energieaufwand beim
Gehen mit 100% an, so werden allein für die Hubarbeit im Durchschnitt 60% bis 70% der Energie benötigt. Hinzu kommt Beschleunigungsarbeit (Beschleunigung von Beinen und Armen).
Zur Verdeutlichung des Zusammenhangs zwischen Arbeit und Energieänderung ist es sinnvoll, eine Analogiebetrachtung durchzuführen und diese mit einer Wiederholung grundlegender physikalischer Zusammenhänge
zu verbinden: In der Sekundarstufe 1 sind die thermische
oder die innere Energie und die Wärme eingeführt wor-
den. Die Wärme wurde dabei als übertragene thermische
Energie gekennzeichnet: Q = ΔEtherm.
In analoger Weise kann die Arbeit als durch Kraft übertragene Energie aufgefasst werden. Die entsprechende
Beziehung lautet dann: W = ΔE.
Im Tafelbild auf der nächsten Seite ist diese Analogie
nochmal verdeutlicht.
Die Zusammenhänge zwischen den speziellen Arten
mechanische Arbeit und den jeweiligen Energieformen
können so an die Schüler herangetragen werden, wie es
im LB dargestellt ist. Ein Beispiel für eine unterrichtliche
Zusammenfassung ist auf der nächsten Seite unten angegeben.
Dabei sind Varianten möglich. Die Gleichungen lassen
sich plausibel herleiten. Man kann sie auch geben und
den Schwerpunkt auf die Interpretation und Anwendung
der Gleichungen legen.
Bei komplexen Anwendungen sollte am Beispiel verdeutlicht werden, dass sich eine Reihe von Aufgaben bzw.
Problemen mit einem energetischen Ansatz viel einfacher lösen lässt, als mit einem kinematischen Ansatz.
Beispiele dafür sind die Berechnung von Endgeschwindigkeiten beim freien Fall oder beim Wurf, die Ermittlung der Steighöhe beim senkrechten Wurf nach oben
oder die Berechnung der maximalen Geschwindigkeit
eines Pendels.
Energie, Arbeit, Wärme
Wärme Q
Eth
Eth
Q = ΔE
Arbeit W
Durch Arbeit verändert sich die mechanische
Energie eines Körpers.
v=0
W = ΔE
v>0
Arbeit und potenzielle Energie
Wird ein Körper gehoben oder elastisch verformt, so verändert sich seine potenzielle Energie.
Epot,2 = m · g · h
Epot,1 = 0
W = m·g·h
h
WF = }12 FE · s
s
– FG
FE
Epot,2 = }12 FE · s
Epot,1 = 0
Die Änderung der potenziellen Energie eines Körpers ist gleich der an ihm verrichteten Arbeit.
ΔE = W
TAFELBILD
Durch Wärme verändert sich die thermische
Energie eines Körpers.
37
TAFELBILD
Mechanik
ARBEITSBLATT
38
Mechanische Arbeit und Energie
1. Welche Arten von Arbeit werden bei den dargestellten Vorgängen verrichtet?
Welche Energieumwandlungen gehen dabei vor sich?
a)
b)
c)
2. Vergleichen Sie die mechanischen Arbeiten und Energieänderungen bei den dargestellten Vorgängen. Geben Sie die jeweilige Leistung an, wenn der Vorgang 5,0 s dauert.
a)
b)
m = 50 kg
c)
m = 60 kg
m = 70 kg
2m
3. Von verschiedenen Körpern sind einige Angaben bekannt. Ergänzen Sie in der Tabelle die
fehlenden Werte.
Masse m
Geschwindigkeit v
Höhe h
a)
20 kg
2,0 m
b)
200 t
1 000 m
c)
70 kg
d)
2,5 kg
Epot
Ekin
6,5 kg
2,5 m
125 J
Arbeit und Energie
Arbeit W
wird verrichtet, wenn ein Körper
durch eine Kraft bewegt oder
verformt wird.
Energie E
ist die Fähigkeit eines Körpers,
mechanische Arbeit zu verrichten
oder Wärme abzugeben oder
Strahlung auszusenden.
W = ΔE
Verrichtete Arbeit
Ergebnis
Änderung der mechanischen Energie
Hubarbeit
führt zur Änderung
der potenziellen
Energie
ΔEpot= m · g · Δh
der potenziellen
Energie
ΔEpot= }12 (FE · sE – FA · sA)
der kinetischen
Energie
ΔEkin= }12 m · (vE2 – vA2)
führt zu einer
Verringerung der
mechanischen
Energie
ΔEmech= EE – EA
WH= FG · h
WH= m · g · h
Verformungsarbeit
(Federspannarbeit)
WF= }12 FE · s
WF= }12 D · s 2
Beschleunigungsarbeit
WB= F · s
WB= m · a · s
Reibungsarbeit
WR= FR · s
WR= μ · FN · s
39
FOLIE
Mechanik
FOLIE
40
Der Stabhochsprung
Beim Stabhochsprung erfolgen zahlreiche Energieumwandlungen.
a)
b)
c)
1. Welche Energieformen hat das System „Springer-Stab“ in den drei
Abbildungen?
2. Formulieren Sie den Energieerhaltungssatz mit den Größen va, ha
und vc, hc. h bedeutet die Höhe des Schwerpunktes über dem Erdboden. Es wird angenommen, dass das System „Springer-Stab“ ein
abgeschlossenes mechanisches System ist.
3. Welche Höhe kann der 70 kg schwere Springer erreichen, wenn
seine Geschwindigkeit vor dem Absprung 9,0 m/s beträgt und sich
sein Schwerpunkt 1,2 m über dem Erdboden befindet?
4. Diskutieren Sie folgende Probleme:
a) Inwieweit sind die für die Rechnung angenommenen Voraussetzungen realistisch?
b) Wie wirken sich andere Voraussetzungen auf die erreichbare
Sprunghöhe aus?
c) Hängt die Sprunghöhe nur von der kinetischen Energie in der
Anlaufphase ab? Durch welche Faktoren wird sie eventuell noch
beeinflusst?
d) Ist die Aussage „Die Sprunghöhe beträgt 6,00 m.“ identisch mit
der Aussage „Der Körperschwerpunkt erreicht eine Höhe von
6,00 m“?
Bewegungen und Kräfte
1. Die geradlinigen Bewegungen verschiedener Körper werden durch
die nachfolgenden Zeit-Geschwindigkeit-Diagramme wiedergegeben. Beschreiben Sie qualitativ die Bewegungen dieser Körper.
A
B
C
v
v
v
t
t
D
t
E
v
F
v
v
t
t
t
2. a) Der Bewegungsablauf eines Omnibusses ist in dem folgenden
Diagramm dargestellt. Deuten Sie den Bewegungsablauf und
geben Sie für jede der drei Fahretappen die Bewegungsart an.
b) Der Fahrer des Omnibusses muss diesen scharf abbremsen. Dabei
bewegen sich die Fahrgäste nach vorn. Erklären Sie diese Erscheinung mithilfe eines physikalischen Gesetzes.
c) Der Omnibus hat eine Masse von 9,0 t und bewegt sich auf
geraden Strecke mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h. Wie
groß muss die Bremskraft sein, damit der Bus nach 25 m zum
Stehen kommt?
v
2
1
3
t
41
FOLIE
Mechanik
42
FOLIE
Fall und Wurf
1. Entwerfen Sie eine Versuchsanleitung, um in einem Experiment Ihre
Höhe auf einer Brücke über einem Fluss annähernd ermitteln zu können. Gehen Sie dabei entsprechend folgender Gliederung vor:
− Versuchsprinzip
− physikalische Grundlagen
− Versuchsdurchführung
2. Jemand beschleunigt (mit konstanter Beschleunigung) mit der Hand
0,20 s lang einen Stein der Masse 200 g auf der senkrechten Strecke
A–B. Beim Loslassen in Punkt B hat der Stein die Geschwindigkeit
15 m/s nach oben.
B
B
A
A
50 cm
t0 = 0 s
Beginn der Beschleunigung
t1 = 0,20 s
Moment des Loslassens
a) Wie groß ist die Kraft, die den Stein nach oben beschleunigt?
b) Wie lange dauert es (vom Moment des Loslassens ab gerechnet),
bis der Stein seinen höchsten Flugpunkt erreicht hat?
c) Zeichnen Sie ein t-v-Diagramm von der Bewegung des Steins von
t0 = 0 s bis zu dem Moment, in dem der Stein seinen höchsten
Flugpunkt erreicht.
d) Welche größte Steighöhe erreicht der Stein relativ zum Erdboden?
Mechanik
Impuls und Drehimpuls
Mit der Einführung der physikalischen Größe Impuls und
der Behandlung von Stößen lernen die Schüler eine Beschreibungsmöglichkeit für Vorgänge kennen, die es in
vielen Bereichen des Alltags und der Technik gibt. Im
Interesse der Motivierung der Schülerist es sinnvoll, zunächst einmal solche Vorgänge zu „sammeln“, bei denen
Kräfte auf Körper wirken und Bewegungs- bzw. Richtungsänderungen hervorrufen.
Beispiele dafür sind:
− die Wirkung von Kräften auf Bälle;
− Auffahrunfälle bei Autos;
− das Ankoppeln von Waggons;
− das Andocken einer Raumfähre an eine Weltraumstation;
− die Bewegung von Flugzeugen/Raketen durch Strahltriebwerke/Raketentriebwerke;
− das Eindringen eines Geschosses in ein Hindernis.
Unterstützt werden können diese Beispiele durch Modellexperimente, z. B. mithilfe von Schienenwagen oder
mithilfe einer Luftkissenbahn und den entsprechenden
Wagen.
Ehe Größen eingeführt werden, sollten die Schüler durch
die Diskussion von Beispielen (b oben) folgende qualitativen Zusammenhänge erfassen:
− Körper können in unterschiedlicher Weise miteinander wechselwirken. Dabei treten Bewegungs- oder
Formänderungen auf.
− Welche Wirkung ein Körper auf einen anderen hat, ist
nicht nur von seiner Geschwindigkeit, sondern auch
von seiner Masse und der Zeitdauer der Einwirkung
abhängig.
Davon ausgehend kann für den darauffolgenden Unterrichtsgang gemeinsam mit den Schülern eine Art Fragekatalog entwickelt werden, der dann „abgearbeitet“
wird.
Solche Fragen könnten sein:
− Wie kann man den Bewegungszustand eines Körpers
genauer kennzeichnen?
− Welche Zusammenhänge bestehen zwischen der
Krafteinwirkung auf einen Körper, der Dauer dieser
Einwirkung und der Bewegungsänderung?
− Wie kann man die Wechselwirkungen zwischen Körpern einteilen? Welche Gesetze gelten dabei?
− Wo spielen die betrachteten physikalischen Zusammenhänge in der Praxis eine Rolle? Welche Vorgänge
kann man damit erklären, welche nicht?
Erst nach diesen qualitativen Betrachtungen sollten die
physikalische Größen Impuls und Kraftstoß eingeführt
werden, wobei diese Begriffe natürlich auch vorher im
umgangssprachlichen Sinn verwendet werden können.
Bei der Einführung von Impuls und Kraftstoß sollte deutlich auf den unterschiedlichen Charakter (Zustandsgröße,
Prozessgröße) aufmerksam gemacht werden. Durch Einbeziehung weiterer, den Schüler bereits bekannter Größen (z. B. Arbeit, Energie, Druck, Temperatur) kann die
Zweckmäßigkeit einer Unterscheidung zwischen Zustands- und Prozessgrößen verdeutlicht werden.
Der Zusammenhang zwischen Kraftstoß und Impuls kann
theoretisch abgeleitet werden oder den Schülern gegeben und interpretiert werden. In jedem Falle empfiehlt
es sich, die Zusammenhänge experimentell zu verdeutlichen.
Gut geeignet sind dafür Experimente mit Wagen (Schienenbahn, Luftkissenbahn).
Sehr deutlich müssen die Schüler auf den vektoriellen
Charakter und damit auf die vektorielle Addition der
Größen aufmerksam gemacht werden. Das gilt auch für
Bewegungen längs einer Geraden, wo dem Vorzeichen
eine physikalische Bedeutung zukommt. Das spielt dann
vor allem bei der Interpretationen der Lösungen zu den
Aufgaben beim Stoß eine Rolle.
Wie die Vorzeichen festgelegt werden, ist willkürlich.
Wichtig ist nur, dass eine Bewegungsrichtung eindeutig
festgelegt wird. Das ist schon beim Ansatz der Aufgaben
zu beachten.
In welcher Ausführlichkeit auf den Drehimpuls und seine
Erhaltung eingegangen wird, hängt von den jeweiligen
Lehrplanforderungen ab. Notwendig ist dabei auf jeden
Fall die Einführung der beiden Größen Trägheitsmoment
und Winkelgeschwindigkeit als analoge Größen zu Masse
und Geschwindigkeit bei der Translation.
Eine Analogiebetrachtung (b Folie S. 47) ist gut zu Systematisierung und zugleich zur Strukturierung des Wissens
der Schüler geeignet.
43
TAFELBILD
44
Bewegungszustand und Wechselwirkung von Körpern
Der Bewegungszustand eines Körpers ist durch seine Geschwindigkeit und durch seine Masse
gekennzeichnet.
Bei der Wechselwirkung zweier Körper können unterschiedliche Wirkungen auftreten:
TAFELBILD
Wechselwirkung bewirkt
Formänderung
(plastisch, elastisch)
Bewegungsänderung
Form- und
Bewegungsänderung
Beispiel:
Verformen eines
Werkstücks
Beispiel:
Abwerfen eines Balls
Beispiel:
Auffahrunfall
zweier Autos
Impuls und Kraftstoß
Der Impuls p
kennzeichnet die Wucht, die ein Körper besitzt.
Der Kraftstoß F · Δt
kennzeichnet die zeitliche Einwirkung einer
Kraft auf einen Körper.
F
m
m
v1
v
p = m·v
v2
Kraftstoß F · Δt
bewirkt eine Änderung des Impulses.
Für den Zusammenhang zwischen Kraftstoß und Impuls gilt:
F · Δt = Δ p
Der Kraftstoß auf einen Körper ist genauso groß wie die Änderung seines Impulses.
Impuls und Kraftstoß
1. Ein Pkw (m = 1,2 t) fährt auf einer geraden Straße mit 50 km/h.
a) Wie groß ist sein Impuls?
b) Wie ändert sich der Impuls, wenn sich die Geschwindigkeit
verdoppelt
halbiert
auf null verringert wird
2. Ein Astronaut (m = 80 kg) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 0,10 m/s in der Nähe eines
Raumfahrzeugs. Mithilfe einer Rückstoßpistole ändert er seinen Bewegungszustand. Dabei wirkt
jeweils 4,0 s lang eine Kraft von 1,0 N. Ergänzen Sie die Skizzen und ermitteln Sie jeweils den
neuen Impuls.
a)
b)
p1
p2 =
c)
p1
p1
p2 =
p2 =
3. Ein ankommender Tennisball wird zurückgeschlagen. Beschreiben Sie diesen Vorgang mit der
physikalischen Größe Impuls.
45
ARBEITSBLATT
Mechanik
TAFELBILD
46
Der Impulserhaltungssatz
vor dem Stoß
nach dem Stoß
v1
v2
u1
u2
m1
m2
m1
m2
m1 · v1
+
m1 · v1
m2 · v2
+
m2 · v2
Für ein abgeschlossenes System mit zwei beteiligten Körpern gilt:
m1 · v1 + m2 · v2 = m1 · u1 + m2 · u2
pvor = pnach
Für ein beliebiges abgeschlossenes System gilt:
Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenes Systems ist eine Erhaltungsgröße.
p = Σ pi = konstant
Beim Impulserhaltungssatz ist im Hinblick auf Anwendungen vor allem eine klare Formulierung der Gültigkeitsbedingungen von Bedeutung. Dabei gibt es unterschiedliche Möglichkeiten der Formulierung. Man kann
den Begriff „abgeschlossenes System“ in den Vordergrund stellen und meint damit einen Raumbereich, der
kräftemäßig abgeschlossen ist, in dem also nur innere
Kräfte wirken. Energetisch braucht ein solches System
nicht abgeschlossen sein. Von daher ist zu überlegen, ob
man nicht von vornherein den Begriff „kräftemäßig abgeschlossenes System“ einführt.
Als Anwendungen empfehlen sich der Raketenantrieb,
der Rückstoß bei Waffen oder die Bestimmung der Geschossgeschwindigkeit. Die beiden erstgenannten Anwendungen sind im Lehrbuch ausführlich dargestellt.
Die Stöße können als Anwendungen des Impulserhaltungssatzes und des Energieerhaltungssatzes behandelt
werden. Das Lehrbuch enthält dazu einige Aufgaben.
Der Schwerpunkt sollte hier im Unterricht nicht auf den
Herleitungen der Gleichungen liegen, sondern auf vielfältigen Anwendungen.
Auf zwei Probleme sollten die Schüler deutlich aufmerksam gemacht werden:
− Wegen des vektoriellen Charakters der Geschwindigkeit muss bei Berechnungen die Richtung der Bewegung beachtet werden. Bei der Bewegung längs einer
Geraden ist die Festlegung einer positiven Bewegungsrichtung notwendig. Sie kann aber willkürlich
festgelegt werden.
− Bei Körpern mit näherungsweise gleicher Masse sind
Impulsänderungen meist gut beobachtbar. Hat einer
der beteiligten Körper eine sehr große Masse, dann
sind Impulsänderungen bei Wechselwirkungen häufig nur bei einem der Körper beobachtbar (Beispiel:
Ball – Wand, fallender Stein – Erde). Das ändert nichts
an der Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes.
Impuls und Drehimpuls
Impuls und Drehimpuls sind zwei physikalische Größen, für die jeweils
ein Erhaltungssatz gilt.
Impuls p
Drehimpuls L
Der Impuls eines Körpers kennzeichnet die Wucht, die dieser
Körper bei seiner Bewegung
längs einer Bahn hat.
Der Drehimpuls eines Körpers
kennzeichnet den Schwung, den
dieser Körper bei seiner Bewegung um eine Drehachse hat.
Die Bewegung des Körpers wird
mit dem Modell Massepunkt
beschrieben.
Die Bewegung des Körpers wird
mit dem Modell starrer Körper
beschrieben.
Der Impuls eines Körpers ist umso
größer,
− je größer die Masse m des
Körpers ist und
− je größer seine Geschwindigkeit v ist.
Der Drehimpuls eines Körpers ist
umso größer,
− je größer das Trägheitsmoment J des Körpers ist und
− je größer seine Winkelgeschwindigkeit ω Ist.
Masse m
Trägheitsmoment J
v
ω
L
p
}›
p = m·v
L = J ·ω
Impuls kann von einem Körper
auf andere Körper übertragen
werden.
Drehimpuls kann von einem
Körper auf andere Körper übertragen werden.
Beispiel: Stoß zweier Körper
Beispiel: Kupplung bei einem
Pkw-Motor
Impulserhaltungssatz:
In einem kräftemäßig abgeschlossenen System bleibt der gesamte
Impuls erhalten.
Drehimpulserhaltungssatz:
In einem kräftemäßig abgeschlossenen System bleibt der gesamte
Drehimpuls erhalten.
p = p1 + p2 + … + pn = konstant
L = L1 + L2 + … + Ln = konstant
47
FOLIE
Mechanik
48
Gravitationsgesetz und Gravitationsfelder
In diesem Lernbereich sind die Spezifika der einzelnen
Lehrpläne besonders zu beachten. In manchen Bundesländern werden das Gravitationsgesetz und die keplerschen Gesetze bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt.
Dann ist dieser Teil als systematisierende Wiederholung
anzulegen.
Für Schüler anderer Bundesländer geht es um eine Neuvermittlung. Dabei kann in unterschiedlicher Weise vorgegangen werden:
− Es erfolgt ein historischer Einstieg unter Einbeziehung der keplerschen Gesetze. Über die newtonsche
Mondrechnung kommt man zum Gravitationsgesetz.
Das ist der Weg, der im Lehrbuch dargestellt ist.
− Es wird sofort das Gravitationsgesetz in den Vordergrund gestellt, ausführlich interpretiert und dann
angewendet. Die keplerschen Gesetze werden in den
Abschnitt „Astrophysik“ verlagert, so der Lehrplan einen solchen Schwerpunkt vorsieht.
FOLIE
Unabhängig vom eingeschlagenen Weg sollten die Schüler zwei wesentliche Erkenntnisse gewinnen:
− Gravitationskräfte wirken zwischen allen massebehafteten Körpern. Der einzelne Körper unterliegt
vielfältigen Gravitationswechselwirkungen.
− Die Gravitationskräfte zwischen Körpern aus unserem
Erfahrungsbereich sind meist so klein, dass sie vernachlässigbar sind. Lediglich die Gravitationskräfte,
die die Erde auf Körper auf ihrer Oberfläche oder in
ihrer Nähe ausübt, spielen für uns in vielen Bereichen
eine Rolle.
Beispiele dafür sollten mit den Schülern diskutiert werden (z. B. vom Baum fallender Apfel, Bewegung eines
weggeworfenen Steins, Wirkung der Gravitationskraft
auf die Atmosphäre, Veränderung der Gravitationskraft
auf eine Person im Flugzeug am Erdboden und in 10 km
Höhe, Veränderung der Gravitationskraft beim Einfahren
in einen tiefen Schacht).
Neu sind für die Schüler das Gravitationsfeld und seine
Beschreibung durch Feldgrößen. Die Lehrkraft sollte bei
der Einführung der Schüler in diesen Inhaltsbereich die
Vorkenntnisse aus der Sekundarstufe 1 nutzen. In der
Regel kennen die Schüler magnetische und elektrische
Felder sowie deren Beschreibung mit Feldlinienbildern.
Daran kann angeknüpft und das Gravitationsfeld in analoger Weise als Raum um einen massebehafteten Körper gekennzeichnet werden, in dem auf andere Körper
Kräfte ausgeübt werden.
Bei dem Feldgrößen Potenzial und potenzielle Energie
sollten die Schüler deutlich darauf aufmerksam gemacht
werden, dass man das Bezugsniveau, das man null setzt,
unterschiedlich wählen kann. In Abhängigkeit davon erhält man verschiedene Werte für diese Größen.
Die Gleichung für die Arbeit im Gravitationsfeld muss
den Schülern aufgrund fehlender mathematischer Vorkenntnisse meist gegeben werden. Wichtig ist bei der
Interpretation: Für die Höhen über der Erdoberfläche, in
denen wir uns normalerweise bewegen, kann die vereinfachte Gleichung W = m ∙ g ∙ h angesetzt werden.
Das Gravitationsgesetz
Zwischen beliebigen Körpern
wirken aufgrund ihrer Massen
anziehende Kräfte.
Der Betrag dieser Kräfte ist umso
größer.
− je größer die Massen der Körper
sind und
− je kleiner ihr Abstand voneinander ist.
Es gilt:
m
F
–F
M
r
m·M
F = G·}
2
r
Gravitationskräfte wirken auch zwischen der Erde und auf ihr befindlichen Körpern und zwischen Himmelskörpern (z. B. Sonne – Erde,
Erde – Erdsatellit).
Gravitation
1. Um die Sonne bewegen sich acht große Planeten und eine Vielzahl von Planetoiden.
a) Benennen Sie in der Skizze die acht großen Planeten.
b) Die maximale Entfernung der Erde von der Sonne beträgt 152,1 Millionen Kilometer, ihre
minimale Entfernung 147,1 Millionen Kilometer.
Berechnen Sie jeweils die Gravitationskraft zwischen Erde und Sonne.
2. Für Raketen oder Satelliten ändert sich
der Betrag der Gravitationskraft mit der
Entfernung von der Erdoberfläche.
a) Stellen Sie den Zusammenhang dar.
rE ist der Erdradius. Die Gravitationskraft auf den Körper beträgt an der
Erdoberfläche 1 000 N.
b) Entnehmen Sie dem Diagramm, in
welcher Höhe über der Erdoberfläche
die Gravitationskraft halb so groß ist
wie auf der Erdoberfläche?
F in N
1000
800
600
400
200
0
rE
3. Bei den amerikanischen Mondlandeunternehmen
(Apollo-Mission), die 1969 –1972 stattfanden und
bei denen Astronauten mehrmals auf dem Mond
landeten, erfolgte der Flug auf der in der Skizze
dargestellten Bahn.
a) Zeichnen Sie die Kräfte auf das Raumschiff in
den Punkten 1, 2 und 3 ein.
b) Wie veränderten sich die Gravitationskräfte mit
Annäherung an den Mond?
2rE
3rE
4rE
2
3
Erde
1
49
ARBEITSBLATT
Mechanik
FOLIE
50
Das Gravitationsfeld der Erde
Das Gravitationsfeld der
Erde ist ein Radialfeld. Es
kann mit einem Feldlinienbild veranschaulicht werden.
Flächen gleichen Potenzials
(Äquipotenzialflächen)
verlaufen senkrecht zu den
Feldlinien.
Gravitationsfeldstärke
Arbeit im Gravitationsfeld und potenzielle Energie
F
g=}
m
1
1
W = G · m · M }
–
}
r
r
V=}
m
M
g = G·}
2
W = ΔEpot
M
V = –G·}
r
(
r
1
2
Potenzial im
Gravitationsfeld
Epot
)
Wird Epot,∞ = 0 gesetzt, so erhält man für einen Körper der Masse
m = 1,0 kg folgenden Potenzialverlauf:
Epot
0
R
3R
5R
7R
9R
r
–0,7 · 107 J
–1,3 · 107 J
–2,1 · 107 J
m ·M
Epot = –G · }
r
–6,3 · 107 J
Mechanik
In den verschiedenen Bundesländern wird dieser Inhaltsbereich teilweise in der Sekundarstufe 1 und teilweise
in der Sekundarstufe 2 behandelt. Die Akzente können
deshalb in der Oberstufe recht unterschiedlich sein. Das
betrifft auch die Einordnung dieses Inhaltsbereichs. Er
wird entweder als Teilbereich der Mechanik oder als Teil
eines Abschnitts "Schwingungen und Wellen" unter Einbeziehung von elektromagnetischen Schwingungen und
Wellen behandelt.
Im Abschnitt Schwingungen bestehen die Schwerpunkte
darin, dass die Schüler
− eine elementare Einführung in die Schwingungslehre
anhand mechanischer Schwingungen erhalten,
− mechanische Schwingungen mithilfe physikalischer
Größen (Auslenkung, Amplitude, Schwingungsdauer,
Frequenz) beschreiben können,
− Schwingungen nach unterschiedlichen Gesichtspunkten (harmonisch, nicht harmonisch, ungedämpft, gedämpft) einteilen können,
− erfassen, dass Schwingungen in vielen Bereichen der
Natur und der Technik auftreten, in einer Reihe von
Fällen genutzt werden, in anderen Fällen aber unerwünscht sind und verhindert oder gedämpft werden
müssen.
Bei der Einführung des Begriffs Schwingung ist es ist sinnvoll, periodische Vorgänge von den spezielleren Schwingungen zu unterscheiden. Geeignet sind dafür die im LB
genannten Beispiele, wobei den Schülern deutlich werden sollte: Jede Schwingung ist ein periodischer Vorgang,
aber nicht jeder periodischer Vorgang ist eine Schwingung.
Will man zunächst nur einen auf die Mechanik beschränkten Schwingungsbegriff einführen, dann reicht
eine Formulierung wie z. B.: Eine mechanische Schwingung ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers um eine Gleichgewichtslage. Um zu einer solchen
Formulierung zu kommen, empfiehlt es sich, zunächst
verschiedene Schwinger zu betrachten und anhand der
unterschiedlichen Schwinger das Gemeinsame – die periodische Bewegung um eine Gleichgewichtslage – herauszuarbeiten. Geeignet dafür sind z. B. Federpendel,
Fadenpendel, schwingende Blattfedern, große Stimmgabeln oder auch einfach schwingende Plastiklineale oder
eine schwingende Lampe.
An ausgewählten Beispielen kann den Schülern auch
verdeutlicht werden, unter welchen Bedingungen überhaupt eine mechanische Schwingung zustande kommt.
Vorhanden sein müssen
− ein schwingungsfähiger Körper,
− eine auslenkende Kraft und
− eine zur Ruhelage rücktreibende Kraft.
Unabhängig von der Art der Einführung sollte im Interesse der Praxisverbundenheit mit den Schülern diskutiert
werden, wo in Natur und Technik Schwingungen auftreten, wo sie genutzt werden und wo sie auftreten, aber
unerwünscht sind. Die wichtigsten Unterrichtsergebnisse
sind im TB zusammengefasst.
Bei der Einführung von Größen zur Beschreibung mechanischer Schwingungen bietet sich eine enge Verknüpfung zwischen einem realen Schwinger und dem t-yDiagramm an. Besonders eignet sich dazu ein langsam
schwingendes vertikales Federpendel, weil in diesem Fall
die Schwingungsrichtung mit der Darstellung im t-y-Diagramm übereinstimmt.
Mechanische Schwingungen
Eine mechanische Schwingung
ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers um eine
Gleichgewichtslage.
können erwünscht oder unerwünscht sein.
Erwünschte Schwingungen
Unerwünschte Schwingungen
Pendel einer Uhr
Schaukel
Unruh einer Uhr
Stimmgabel
Schwingungen eines Autos
Klirren von Fensterscheiben
Mitschwingen des Fundaments einer Maschine
TAFELBILD
Mechanische Schwingungen und Wellen
51
FOLIE
52
Beschreibung mechanischer Schwingungen
Auslenkung y
können durch t-y-Diagramme
beschrieben werden.
ymax
Größen zur Beschreibung von
Schwingungen sind:
ymax
– die Auslenkung y (jeweiliger
Abstand von der Gleichgewichtslage)
Zeit t
Schwingungsdauer T
– die Amplitude ymax (maximaler Abstand von der Gleichgewichtslage)
– die Schwingungsdauer T (Dauer einer vollständigen Hin- und
Herbewegung)
– die Frequenz f (Anzahl der Schwingungen je Sekunde)
(
)
2π
· t = ymax · sin (ω · t)
y = ymax · sin }
T
Geeignete Experimente zur Demonstration von Schwingungsbildern sind:
− Schwingungen einer angeschlagenen Stimmgabel:
Eine Stimmgabel mit Schreibspitze wird über eine
berußte Glasplatte gezogen. Damit dieses für alle
Schüler sichtbar ist, legt man die Glasplatte auf den
Tageslichtprojektor.
− Schallschwingungen unterschiedlicher Art: Mithilfe
von Mikrofon und Oszillograf lassen sich unterschiedliche Schwingungen sichtbar machen.
− Schwingungen eines Sandpendels: Ein bifilar aufgehängtes, mit Sand gefülltes Pendel wird genutzt, um
ein Schwingungsbild zu erzeugen.
Pendelkörper
mit Sand gefüllt
Unterlage
− Schwingungen eines Fadenpendels mit Schreibspitze:
Der Aufbau ist analog dem des Sandpendels. Als
Pendelkörper wird ein Körper großer Masse verwendet. Mit ihm verbunden ist ein vertikal beweglicher
Schreibstift. Als Unterlage wird Papier verwendet.
Zur Festigung kann das beiliegende Arbeitsblatt genutzt werden. Bei der Erarbeitung der Gleichung für die
Schwingungsdauer eines Fadenpendels können die Akzente z. B. sehr unterschiedlich gesetzt werden:
− Es wird beim Fadenpendel der Zusammenhang T ~ √}
l
untersucht.
Das Ergebnis dieser Untersuchung wird in der Regel
sein, dass man feststellt: Beide Größen sind nicht
proportional zueinander. Nicht ableitbar aus der üblichen grafischen Darstellung ist die oben genannte
Beziehung. Will man vom Experiment her zu dieser
Beziehung kommen, so sind mindestens folgende zusätzliche Schritte erforderlich:
− Es müssen Vermutungen über den Zusammenhang
entwickelt werden.
− Diese Vermutungen müssen durch Rechnung (z. B.
T: √}
l = konstant) oder durch spezielle grafische
Darstellungen erhärtet werden. Das bedeutet ein
Abtragen von T und √}
l auf den Achsen. Dann ergibt sich in der grafischen Darstellung eine Gerade.
Ein solches Herangehen scheint nur in leistungsstarken Klassen sinnvoll.
− Die Gleichung für die Schwingungsdauer wird vorgegeben und einzelne Zusammenhänge werden im SE
bestätigt.
− Es wird auf der Grundlage von Vermutungen experimentell untersucht, wovon die Schwingungsdauer
noch abhängig sein könnte. Das wären z. B. die maximale Auslenkung und die Masse des Pendelkörpers.
Arten von Schwingungen
Schwingungen können nach ihrer Form unterschieden werden.
harmonische (sinusförmige)
Schwingungen
nicht harmonische Schwingungen
y
y
t
t
Beispiel:
Fadenpendel
Federpendel
Beispiel:
klirrende Fensterscheibe
Schwingungen können nach der Art des Schwingungsverlaufs
unterschieden werden.
ungedämpfte Schwingungen
y
gedämpfte Schwingungen
y
t
t
ymax = konst.
Die Amplitude bleibt konstant.
Ekin
Epot
Ezu
ymax wird kleiner
Die Amplitude geht gegen null.
Epot
Etherm
Beispiel:
Pendel einer Pendeluhr
Ekin
Etherm
Beispiel:
einmal angeschlagene Stimmgabel
53
FOLIE
Mechanik
ARBEITSBLATT
54
1. Welche Größen ändern sich bei den skizzierten Schwingern zeitlich periodisch?
a)
b)
c)
2. Die Skizzen zeigen die Schwingungen eines Federpendels.
a) Markieren Sie die Gleichgewichtslage und die maximale Auslenkung. Zeichnen Sie jeweils die
resultierende Kraft ein.
b) Wie groß ist die Schwingungsdauer, wenn der zeitliche Abstand zwischen zwei Bildern 0,2 s
beträgt?
3. Bestimmen Sie aus dem t-y-Diagramm Amplitude, Schwingungsdauer und Frequenz.
y in cm
ymax =
20
T=
f=
10
0
1
2
3
4
t in s
–10
Schwingungsgleichung:
–20
–30
Mechanik
Ähnlich wie bei den Schwingungen ist es zunächst zu
empfehlen, den Schülern verschiedene mechanische Wellen zu demonstrieren. Dazu eignen sich u. a. folgende
Anordnungen:
− Mit einem an der Wand befestigten Seil können Seilwellen demonstriert werden.
− Anhand von gekoppelten Federschwingern oder gekoppelten Fadenpendeln kann man die Ausbreitung
in Schwingungen im Raum zeigen.
− Mithilfe einer Spiralfeder kann man – analog zu den
Seilwellen – sowohl Längswellen als auch Querwellen
demonstrieren.
− Eingesetzt werden können auch die unterschiedlichen Arten von Wellenmaschinen.
Im Ergebnis dieser Betrachtungen soll den Schülern das
Wesen mechanischer Wellen deutlich werden: Breitet sich
eine mechanische Schwingung im Raum aus, so spricht
man von einer mechanischen Welle.
Im Experiment werden Wellen erzeugt und unter zwei
Aspekten betrachtet:
a) Betrachtet man einen beliebig ausgewählten Schwinger über eine Zeit lang hinweg, so gilt für den einzelnen Schwinger: Er bewegt sich zeitlich periodisch um
eine Gleichgewichtslage.
b) Betrachtet man eine „Momentaufnahme“ aller
Schwinger, also die Schwinger zu einem bestimmten
Zeitpunkt, so gilt: Zu beobachten ist eine räumlich periodische Bewegung um die Gleichgewichtslage.
Erst nach diesen Betrachtungen sollte zu der gängigen
Formulierung „Eine Welle ist eine zeitlich und räumlich
periodische Änderung einer physikalischen Größe“ übergegangen werden. Die Schüler sollten auf folgende Voraussetzungen für das Entstehen mechanischer Wellen
aufmerksam gemacht werden:
− Es müssen schwingungsfähige Körper vorhanden sein.
− Die schwingungsfähigen Körper müssen kräftemäßig
gekoppelt sein.
− Es muss ein Erreger vorhanden sein, damit es überhaupt zu einer Welle kommt.
Gerade im Hinblick auf den Vergleich zu den elektromagnetischen Wellen ist es sinnvoll, am Beispiel der mechanischen Wellen den Unterschied zwischen Längs- und
Querwellen zu thematisieren.
FOLIE
Im Abschnitt Wellen bestehen die Schwerpunkte darin,
dass die Schüler
− wissen, was man unter einer Welle versteht,
− Größen zur Beschreibung mechanischer Wellen kennen und Wellen damit beschreiben können,
− wesentliche Eigenschaften von Wellen (Reflexion,
Brechung, Beugung, Interferenz) kennen und erfassen, welche Bedeutung diese Eigenschaften in der
Praxis haben.
55
Mechanische Wellen
Beispiele für mechanische Wellen sind Wasserwellen, Schallwellen, Erdbebenwellen, Seilwellen.
Eine mechanische Welle ist die Ausbreitung einer mechanischen Schwingung im Raum.
Nach der Beziehung zwischen Ausbreitungsrichtung und Schwingungsrichtung unterscheidet man Querwellen und Längswellen.
Mit Wellen wird Energie, aber kein Stoff transportiert.
Querwellen
Schwingungsrichtung
Ausbreitungsrichtung
Beispiel: Wasserwellen
Längswellen
Schwingungsrichtung
Ausbreitungsrichtung
Beispiel: Schallwellen
FOLIE
56
Beschreibung mechanischer Wellen
Bewegung eines Schwingers an
einem bestimmten Ort x
(x = konstant)
y
Bewegung der Schwinger zu
einen bestimmten Zeitpunkt t
(t = konstant)
y
ymax
ymax
x
t
Wellenlänge λ
Schwingungsdauer T
Die Wellenlänge λ gibt den Abstand zweier benachbarter Wellenberge
bzw. Wellentäler an.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v gibt an, wie schnell sich z. B. ein
Wellenberg ausbreitet.
y = ymax · sin 32 π }Tt – }xλ
(
v = λ·f
Es sei darauf aufmerksam gemacht, dass bei der Beschreibung von Wellen mit Diagrammen und Gleichungen unterschiedliche Bezeichnungen möglich sind:
− Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit wird mitunter
c gesetzt. Da c aber üblicherweise für die Lichtgeschwindigkeit genutzt wird, sollte man bei mechanischen Wellen v bevorzugen.
− Für den Ort wird s oder x verwendet. Wenn man in
Diagrammen für den Ort s nutzt, sollte auch die Wellengleichung entsprechend angepasst werden.
Einige Unterrichtsergebnisse sind auf den Folien zusammengefasst. Bei der Darstellung von Wellen im Diagramm
und bei der Behandlung von Größen zur Beschreibung
mechanischer Wellen kann unmittelbar an die Behandlung der Schwingungen angeknüpft werden. Besonders
deutlich werden die Zusammenhänge für die Schüler, wenn man ein reales Experiment mit den entsprechenden grafischen Darstellungen in Beziehung setzt, so
wie das im LB gemacht ist. Zur Festigung bietet das LB ein
breites Angebot an Aufgaben und Experimenten an. Genutzt werden können auch die beiliegenden Folien und
Arbeitsblätter.
)4
Wichtige Eigenschaften mechanischer Wellen sind im
LB in einer Übersicht zusammengefasst. Sie können gut
am Beispiel von Wasserwellen oder von Schallwellen demonstriert werden.
Die Reflexion lässt sich überzeugend mit Schallwellen
zeigen. Anwendungen dazu sind z. B. das Stethoskop,
das Sprachrohr oder das Echo.
Die Demonstration der Brechung mit Wasserwellen erfordert experimentelles Geschick und eine hinreichende
Erprobung, wenn der Effekt für die Schüler überzeugend
sein soll.
Beugung und Interferenz können gut mit Wasserwellen
oder Schallwellen demonstriert werden.
Im Internet gibt es auch verschiedene Simulationen, auf
die man die Schüler aufmerksam machen sollte und die
im Unterricht genutzt werden können. Zu empfehlen
ist das Portal www.schulphysik.de, bei dem zahlreiche
Simulationen zu allen Bereichen der Physik angeboten
werden.
Arten mechanischer Wellen
Art
Transversalwelle
Longitudinalwelle
Oberflächenwelle
Merkmal
Schwingungsund Ausbreitungsrichtung
stehen senkrecht
aufeinander.
Schwingungsund Ausbreitungsrichtung
fallen
zusammen.
Schwinger bewegen sich auf
Kreisbahnen,
deren Ebenen
parallel zur Ausbreitungsrichtung liegen.
x
x
x
Beispiel
Seilwellen
Schallwellen
Wasserwellen
Art
lineare Welle
Oberflächenwelle
räumliche Welle
Merkmal
eindimensionale
Ausbreitung
längs einer
Geraden
zweidimensionale
Ausbreitung auf
der Oberfläche
eines Körpers
dreidimensionale
Ausbreitung im
Raum
y
z
x
x
x
y
Beispiel
Wellen auf
Stäben oder
Schienen
Wasserwellen,
Erdbebenwellen
57
FOLIE
Mechanik
Schallwellen,
Erdbebenwellen
ARBEITSBLATT
58
Mechanische Wellen
1. In den Abbildungen sind Erscheinungen dargestellt. Notieren Sie jeweils, ob es sich um eine
mechanische Welle handelt. Begründen Sie Ihre Aussage.
2. Die folgenden Diagramme beschreiben eine Schallwelle, die von einer Stimmgabel ausgeht.
y in mm
2
1
0
–1
–2
y in mm
0,0025
0,005 t
2
1
0
–1
–2
x in cm
43
86
129
Ermitteln Sie aus den Diagrammen bzw. durch Berechnung die folgenden Kenngrößen der Welle:
ymax =
λ=
T=
f=
3. Eine Welle hat eine Amplitude von 2 cm, ihre Frequenz beträgt 5 Hz und ihre Wellenlänge 1,0 m.
Stellen Sie die Welle in einem t-y-Diagramm und in einem x-y-Diagramm dar.
Mechanik
unter www.schulphysik.de. Damit wird für die Schüler
verständlich, wie Beugung zustande kommt. Auf die
meist geringe Intensität der gebeugten Wellen sollten
die Schüler aufmerksam gemacht werden.
Zur Demonstration der Überlagerung von Wellen mithilfe
eines Tageslichtprojektors eignen sich zwei Wellenzüge,
die auf eine durchsichtige Folie kopiert werden (Vorlage
b unten). Dieses Modell ist gut geeignet, um die Entstehung von Verstärkung, Abschwächung und Auslöschung
zweier Wellen zu verdeutlichen. Ebenfalls demonstriert
werden kann damit die Entstehung stehender Wellen.
Beugung und Interferenz
Unter Beugung von Wellen versteht man die Eigenschaft, sich
hinter Öffnungen und Hindernissen in den Schattenraum hinein
auszubreiten.
FOLIE
Beugung und Interferenz können gut mithilfe eines Wasserwellengeräts demonstriert werden. Besonders überzeugend ist die Interferenz von Wellen für die Schüler
auch, wenn man 2 Lautsprecher im Abstand von ca. 1,5 m
auf einen drehbaren Tisch bringt, beide mit einem Tongenerator verbindet und den Tisch dann langsam dreht.
Für die Schüler sind dann deutlich Gebiete der Verstärkung und der Abschwächung wahrnehmbar.
Um die Eigenschaften von Wellen zu erklären, benötigt
man das huygenssche Prinzip. Zu seiner Einführung eignen sich Simulationen wie etwa die von Fendt, zu finden
59
Die ungestörte Überlagerung von
Wellen gleicher Wellenlänge, gleicher Ausbreitungsgeschwindigkeit
und gleicher Schwingungsrichtung
bezeichnet man als Interferenz.
Hindernis
Es bilden sich Bereiche der Verstärkung und der Abschwächung
(Auslöschung) heraus.
FOLIE
Die Intensität ist im Bereich des
Schattenraums gering.
ARBEITSBLATT
60
Konstruktion eines Interferenzbildes
Von zwei Erregern gehen Wellen aus. Die Wellenberge sind als durchgehende Linien gezeichnet, die
Wellentäler als gestrichelte Linien.
a) Ergänzen Sie die vom zweiten Erreger ausgehenden Wellen. Sie haben die gleiche Wellenlänge
und die gleiche Amplitude wie die vom ersten Erreger ausgehenden Wellen.
b) Markieren Sie farbig Gebiete der Verstärkung und der Auslöschung.
Entstehung eines Interferenzmusters
Kopieren Sie die Vorlage zweimal auf durchsichtige Folie. Mit zwei dieser Folien kann man die Entstehung von Interferenzmustern mit dem
Tageslichtprojektor demonstrieren.
61
FOLIE
Mechanik
62
Zum Thema „Anwendungen mechanischer Wellen“ gibt
es zahlreiche Möglichkeiten, längerfristig Schülerreferate vorbereiten zu lassen. Damit kann die in vielen Lehrplänen enthaltene Forderung erfüllt werden: Im Rahmen
von Referaten und Unterrichtsprojekten erarbeiten die
Schüler selbstständig neue Inhalte aus den angegebenen
Themenbereichen. Dabei erweitern sie ihre Fähigkeiten,
Probleme allein oder im Team eigenverantwortlich zu
behandeln und dabei auch wissenschaftliche Arbeitsmethoden zu benutzen. Vorschläge für Themen sind unten
angegeben.
FOLIE
Ein mögliches Projekt könnte lauten: „Lärm und Lärmschutz.“ Dabei sollte man auf einige Eigenschaften von
Schall, die beim Lärmschutz von Bedeutung sind, eingehen:
− Wenn Schall auf Körper trifft, wird er zum Teil absorbiert (aufgenommen). Wie viel Schall absorbiert wird,
hängt von dem betreffenden Stoff ab. Experimentell
lässt sich dies leicht demonstrieren, wenn man zwischen eine Schallquelle (an Tongenerator angeschlossener Lautsprecher) und die Schüler verschiedene
Stoffe bringt (z. B. Glasplatte, Pappe, dünnen Stoff,
dicke Stoffmatte).
− Wenn Schall auf Körper trifft, wird er zum Teil reflektiert.
− Wenn Schall auf Körper trifft, dann geht er teilweise
um diese Körper herum (wird gebeugt). Jeder Schüler
weiß aus der Erfahrung, das man z. B. ein heranfahrendes Auto auch hört, wenn man hinter einer Hausecke steht.
Aus fachlicher Sicht ist zu beachten: Lautstärke oder
Lautstärkepegel ist eine physiologische Größe, gemessen
in Phon (phon). Die entsprechende physikalische Größe
ist der Schallpegel in Dezibel (dB). Für 1 000 Hz stimmen
die Zahlenwerke überein, sodass heute meist nur Werte
in dB angegeben werden.
Bei der Erörterung von Problemen der Lärmvermeidung
und der Lärmbekämpfung sollten die örtlichen Gegebenheiten in den Vordergrund gestellt werden.
Die Schüler sind eindringlich darauf aufmerksam zu machen, dass auch „normaler“ Lärm zu erheblichen längerfristigen gesundheitlichen Beeinträchtigungen führen
kann.
Aktuelle Informationen zum Thema findet die Lehrkraft
in der Broschüre „Lärmschutz im Verkehr“ des Bundesministerium für Verkehr, Bau und Stadtentwickelung.
Themen für Schülerreferate
1. Raumakustik
2. Schalldämpfer bei Kraftfahrzeugen: Aufbau, Wirkungsweise
3. Echolot
4. Ultraschalldiagnose in der Medizin
Ultraschalldiagnose bei der Werkstattprüfung
Ultraschall zum Bohren und Schneiden von harten Werkstoffen
5. Doppler-Effekt, Überschallknall (Machscher Kegel)
6. Leben und Werk des niederländischen Physikers Christiaan Huygens
(1629 –1695)
7. Wellenkraftwerke
8. Historische Entwicklung der Vorstellungen von Schall
9. Orientierung und Verständigung bei Tieren mithilfe von Ultraschall
Thermodynamik
2.3
Thermodynamik
Im Lehrbuch Physik, Gymnasiale Oberstufe, sind darüber
hinaus die Grundlagen der Thermodynamik dargestellt,
die in der Sekundarstufe 1 Inhalt des Unterrichts sind. Es
handelt sich dabei vor allem um
− die Temperatur,
− die Übertragung von Energie in Form von Wärme,
− Aggregatzustände und ihre Änderungen,
− die Volumen- und Längenänderung von Körpern bei
Temperaturänderung.
Die Schüler haben damit die Möglichkeit, Grundlagen
der Thermodynamik selbstständig zu wiederholen.
1. Es wird bewusst an die Umgangssprache angeknüpft
und anhand einfacher Beispiele (Erwärmung von
Wasser in einem Teich durch die Sonnenstrahlung,
Abkühlung heißen Wassers usw.) mit den Schülern
diskutiert, wie man Vorgänge mit den Begriffen
Energie und Wärme beschreiben kann.
2. Die Schüler werden aufgefordert, Beispiele für die
Verwendung des Wortes Wärme bzw. warm zu nennen. Dabei sollte beachtet werden, dass der Begriff
Wärme mit sehr unterschiedlichen Inhalten verwendet wird:
FOLIE
Die Behandlung von Elementen der Thermodynamik in
der Oberstufe ist in den verschiedenen Bundesländern
extrem unterschiedlich. In einigen Bundesländern wird
Thermodynamik ausschließlich in der Sekundarstufe 1
und dort meist in den Anfangsklassen (Kl. 6 – 8) behandelt. Andere Bundesländer haben Elemente der Thermodynamik in die Lehrpläne der Oberstufe aufgenommen,
wobei es in der Regel um folgende inhaltlichen Schwerpunkte geht:
− Grundaussagen der kinetischen Gastheorie,
− Gasgesetze und Zustandsänderungen,
− Hauptsätze der Thermodynamik und Kreisprozesse.
Nachfolgend sind einige Materialien zusammengestellt,
die für eine Wiederholung von Grundlagen genutzt werden können. Darüber hinaus sind Materialien vorhanden,
die auf Inhalte zielen, die nur in der Oberstufe behandelt
werden.
Wichtig ist insgesamt eine klare und eindeutige Terminologie. Das gilt insbesondere für die Begriffe innere Energie und Wärme.
Die innere Energie wird mitunter auch als thermische
Energie bezeichnet.
Beim Begriff Wärme gibt es nicht selten bei den Schülern
Unklarheiten. Deshalb sollte der Begriff Wärme deutlich
von den Begriffen Temperatur und Energie abgegrenzt
werden. Dazu gibt es unterschiedliche Möglichkeiten:
Temperatur, innere Energie, Wärme
Temperatur T
innere Energie Ei
Wärme Q
gibt an,
wie kalt oder warm
ein Körper ist.
gibt an,
welche Energie ein
Körper aufgrund seiner Temperatur hat.
gibt an,
wie viel thermische
Energie von einem
Körper auf einen
anderen übertragen
wird.
hohe Temperatur
Ei
Körper 1
niedrigeTemperatur
Wärme Q = ΔEi
Temperatur sinkt
63
Körper 2
Ei
Temperatur steigt
64
a) Wärme als Zustand im Sinne von Energie (Wasser
ist ein Wärmespeicher).
b) Wärme als Zustand im Sinne von Temperatur ( „Mir
ist warm“, „Morgen soll es 25 °C warm werden,“)
c) Wärme als etwas, was von einem Körper auf einen anderen Körper übergeht. (Der Ofen strahlt
Wärme ab).
Inwieweit genauer auf einzelne Schwerpunkte eingegangen wird, hängt von den Lehrplanforderungen in
den einzelnen Bundesländern ab. Nachfolgend sind dazu
einige Materialien angeboten. Diese Materialien können
im Rahmen einer systematisierenden Wiederholung, zur
Festigung oder als Zusammenfassung genutzt werden.
FOLIE
Interessant ist eine Diskussion der Frage, was eigentlich
mit einem Körper geschehen kann, wenn ihm Wärme
zugeführt wird oder wenn vom Körper Wärme an die
Umgebung abgegeben wird. Das Ergebnis der Diskussion
könnte eine Zusammenstellung sein, so wie sie unten auf
der Folie dargestellt ist.
Körper bei Wärmezufuhr oder Wärmeabgabe
Wird einem Körper Wärme zugeführt oder von ihm Wärme
abgegeben, so kann das verschiedene Auswirkungen haben.
Die Temperatur des
Körpers ändert sich.
Bei der Umwandlungstemperatur ändert sich
der Aggregatzustand.
Q
ΔT = }
c·m
Qs = m · qs
Q = c · m · ΔT
Qv = m · qv
Wärmezufuhr
oder
Wärmeabgabe
Volumen bzw. Länge
des Körpers ändert sich.
ΔV = γ · V0 · ΔT
Die innere Energie des
Körpers ändert sich. Es
wird Wärme ausgetauscht
oder Arbeit verrichtet.
Δl = α · l0 · ΔT
ΔEi = W + Q
Energieübertragung durch Wärme
erfolgt durch wärmeleitende Stoffe hindurch.
erfolgt mit strömenden Stoffen.
erfolgt ohne Stoff.
Wärmeleitung
Wärmeströmung
Wärmestrahlung
gute Wärmeleiter
alle Metalle (z. B.Silber, Kupfer, Gold)
erfolgt in der Erdatmosphäre mit Luft,
in Gewässern und
Rohren mit Wasser.
kann durchsichtige
Stoffe durchdringen.
Sie wird von Körpern
teilweise reflektiert,
teilweise absorbiert.
schlechte Wärmeleiter
Gase und Flüssigkeiten, Nichtmetalle,
Holz, Kunststoffe
Die Art der Wärmeübertragung ist unerwünscht
z. B. zwischen Zimmer
und Umgebung
z. B. zwischen einem
kalten und einem
warmen Raum
z. B. bei einer Glühlampe
Die Art der Wärmeübertragung wird genutzt oder tritt auf
z. B. bei Kochtöpfen,
beim Lötkolben
z. B. in Räumen, in der
Atmosphäre, beim
Golfstrom
z. B. bei der Sonnenstrahlung, bei Infrarotstrahlern
Die Wärmeübertragung kann verringert werden
durch Verwendung
schlechter Wärmeleiter
durch die Beseitigung
strömender Stoffe
(Vakuum) oder Verringerung der Strömung
durch Verwendung
reflektierender Stoffe
(helle und glatte
Oberflächen)
65
FOLIE
Thermodynamik
FOLIE
66
Aggregatzustände und ihre Änderung
gasförmig
(z. B. Wasserdampf)
W är m ezufuhr
flüssig
(z. B. Wasser)
Sublimieren
Schmelzen
Resublimieren
W är m eab g ab e
Kondensieren
Sieden
Erstarren
fest
(z. B. Eis)
FOLIE
Die Übersichten auf dieser Seite dienen der rationellen
Wiederholung. Ein Problem, das mit den Schülern diskutiert werden könnte, ist der Unterschied zwischen Sieden
und Verdunsten. Dieser Unterschied ist erfahrungsgemäß bei Weitem nicht allen Schülern klar. Interessant ist
auch eine Diskussion der Frage, wo Verdunsten eine Rolle
spielt, wo und zu welchem Zweck es genutzt wird und wo
es als unerwünschter Effekt vermieden werden sollte. Als
Stichworte seien die Verdunstungskälte, das Kalthalten
von Getränken in porösen Gefäßen oder das Verdunsten
von Wasser mit anschließender Wolkenbildung genannt.
Sieden und Kondensieren
Es wird Wärme zugeführt (Verdampfungswärme).
Sieden
flüssiger Aggregatzustand
gasförmiger Aggregatzustand
Kondensieren
Es wird Wärme abgegeben (Kondensationswärme).
Sieden und Kondensieren erfolgt bei einer bestimmten Temperatur, der
Siedetemperatur. Während des Siedens und Kondensierens ändert sich
die Temperatur nicht. Verdampfungswärme und Kondensationswärme
sind gleich groß.
Die Gasgesetze
Für das Modell ideales Gas gilt folgender Zusammenhang zwischen
Druck p, Volumen V und Temperatur T einer abgeschlossenen Gasmenge:
p ·V
p·V
p ·V
1 1
2 2
=}
}
T
T
= konstant
}
T
1
2
Bei der Konstanz einer Größe ergeben sich folgende Spezialfälle:
Isobare Zustandsänderung
(p = konst.)
Isochore Zustandsänderung
(V = konst.)
Isotherme Zustandsänderung
(T = konst.)
V
}T = konst.
p
p · V = konst.
= konst.
}
T
V
V
p
p
1
2
=}
}
T
T
1
2
=}
}
T
T
p1 · V1 = p2 · V2
(Gesetz von
GAY-LUSSAC)
(Gesetz von
AMONTONS)
(Gesetz von BOYLE und
MARIOTTE)
1
2
1
V
2
p
p
V2
p
V
p2
p2
T
V1
p1
T1
p
T2
T
p
T1 T2
p
p1
T2
T1
T
V2
V
V1
p
T1 T2
p2
p2
p1
p1
T
V1 V 2
V
V
67
FOLIE
Thermodynamik
V
V1 V2
V
68
In der kinetischen Gastheorie geht es darum, die Beschreibung thermodynamischen Systeme mit Teilchengrößen vorzunehmen und damit auch das Verständnis
für Begriffe zu vertiefen, die die Schüler teilweise schon
aus dem Unterricht der Sekundarstufe 1 kennen. Es handelt sich dabei z. B. um Begriffe wie Temperatur, Druck,
kinetische und innere Energie.
FOLIE
Die räumliche Verteilung von Teilchen lässt sich gut mit
einem Luftkissentisch demonstrieren: Unabhängig von
der Ausgangslage erhält man nach hinreichender Zeit
stets eine Art Gleichverteilung der schwebenden Teilchen. Ein solches Modellexperiment ist zugleich ein guter
Ansatzpunkt, um die Schüler auf folgenden Sachverhalt
aufmerksam zu machen: Bei Experimenten oder in Zeich-
nungen hat man es immer mit relativ wenigen Teilchen
zu tun. Bei thermodynamischen Systemen geht es dagegen immer um große Teilchenzahlen und damit um statistische Betrachtungen.
Die Geschwindigkeitsverteilung lässt sich ebenfalls gut
experimentell zeigen (b LB S. 197, Aufg. 2). Die theoretischen Betrachtungen dazu können in unterschiedlicher
Tiefe durchgeführt werden.
Wichtig ist, dass die Schüler erkennen: Größen wie Druck
oder Temperatur, die wir messen können, lassen sich
auch mikrophysikalisch über Teilchengrößen deuten. Für
einige Größen ist das zusammenfassend in der Übersicht
unten dargestellt.
Kinetische Gastheorie
Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie lautet:
}
p · V = }23 N · E kin
Zustandsgröße
Kinetische-statistische Deutung
Druck p
Der Druck kommt durch elastische Stöße einer Vielzahl von Teilchen zustande.
}
N
p~}
V
Temperatur T
p ~ E kin
Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere
kinetische Energie der Teilchen.
}
}
T~ v 2
T~ E kin
Mittlere kinetische
}
Energie E kin
Die mittlere kinetische Energie der Teilchen
hängt von der Temperatur des Gases ab.
}
E kin ~ T
Innere Energie Ei
Die innere Energie eines Gases ist gleich der
Summe der mittleren kinetischen Energie
aller Teilchen.
}
Ei = N · E kin
69
FOLIE
Thermodynamik
Innere Energie und ihre Änderung
Innere Energie ist die insgesamt in eine Körper enthaltene Energie.
Änderung der inneren
Energie eines Körpers
durch Verrichten von Arbeit
W = ΔEi
W
ΔEi wird größer
durch Zufuhr oder Abgabe von Wärme
Q = ΔEi
W
ΔEi wird kleiner
Q
Q
ΔEi wird größer
ΔEi wird kleiner
Das Verrichteten von Arbeit und das Austauschen von Wärme kann
auch gleichzeitig erfolgen. Es gilt:
FOLIE
FOLIE
Δ Ei = W + Q
Kreisprozesse
Bei allen kontinuierlich arbeitenden Wärmekraftmaschinen erfolgen
Kreisprozesse.
Ein Kreisprozess ist eine Abfolge von Zustandsänderungen, mit denen
der Ausgangszustand wieder erreicht wird.
Beispiel:
Heißluftmotor (Stirling-Motor)
p
1. Isotherme Expansion
1
4
W
2. Isochore Abkühlung
3. Isotherme Kompression
4. Isochore Erwärmung
2
3
V1
T1
T2
V2
V
70
Der Begriff Entropie gehört zu den schwierigsten physikalischen Begriffen überhaupt. Seine Vielschichtigkeit
– insbesondere sein hohes Abstraktionsniveau – kann
von den Schülern wohl kaum vollständig erfasst werden. Daher ist es sinnvoll, sich auf einige grundlegende
Aspekte des Begiffs zu beschränken und die unterrichtliche Behandlung so anzulegen, dass bei Bedarf zu einem
späteren Zeitpunkt sinnvolle Ergänzungen und Erweiterungen eingeführt werden können.
Die didaktisch-methodischen Auffassungen zu Einführung und Nutzung des Begriffs Entropie sind recht unterschiedlich. Wir empfehlen – so wie im Lehrbuch dargestellt – die Entropie sowohl phänomenologisch als auch
kinetisch-statistisch einzuführen.
FOLIE
Dies ist didaktisch durch zwei unterschiedliche – leider
aber auch kaum zu vereinbarende – Vorteile eines jeden
Verfahrens motiviert. Die statistische Deutung der Entropie bietet dem Schüler in gewissen Grenzen die Möglichkeit, sich unter dem Begriff der Entropie und den damit
verbundenen irreversiblen Prozessen anschaulich etwas
vorstellen zu können (die Unwahrscheinlichkeit, dass
viele Teilchen von allein in ihre Ausgangslage zurüchkehren). Die phänomenologische Sicht eröffnet in VerbinQ
dung mit der Definition ΔS = }
die Möglichkeit zu prakT
tischen Berechnungen und zur Messung der Entropie.
Die Einführung der Entropie wird hauptsächlich über
die Notwendigkeit zur Kennzeichnung irreversibler und
reversibler Prozesse begründet. Tatsächlich ist diese Motivation aus physikalischer Sicht nicht ausreichend. Allerdings entspricht dieses Konzept nährungsweise dem
historischen Verlauf der Ereignisse im 19. Jahrhundert.
Dabei ist zu berücksichtigen, dass man damals hauptsächlich reversible und irreversible Vorgänge an Wärmekraftmaschinen untersucht hat.
Ein wenig Unterrichtszeit sollte man einplanen, um den
Schülern einen interessanten Aspekt der modernen Physik zu verdeutlichen – die Verknüpfung von Entropie und
Zeit.
Wir benutzen zur Zeitmessung möglichst streng periodische Vorgänge, z. B. die Schwingungen von Quarzkristallen, Atomgittern und Pendeln oder die Rotation der
Erde. Solche streng periodischen Vorgänge sind stets reversibel. Anhand reversibler Vorgänge kann man nicht
erkennen, dass die Zeit in einer bestimmten Richtung
abläuft. Sie eignen sich aber zur Zeitmessung. Um die
Richtung der Zeit wahrzunehmen, um zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft zu unterscheiden, bedarf es solcher Vorgänge , die nur in einer bestimmten
Richtung ablaufen können. Dies sind irreverversible Vorgänge, die ganz wesentlich durch die Entropiezunahme
beschrieben werden.
Die Entropie
Die Entropie ist eine physikalische Größe, die 1865 von dem deutschen
Physiker ROBERT CLAUSIUS (1822–1888) eingeführt wurde.
Die Entropie ist eine physikalische Größe, mit deren Hilfe man die
Irreversibilität eines Vorganges beschreiben kann.
Für ihre Definition und Veranschaulichung gibt es unterschiedliche,
physikalische gleichwertige Formulierungen:
− Die Entropie ist das Maß für die Wahrscheinlichkeit des Zustandes in
einem System.
ΔS = k · In W
− Die Entropie ist ein Maß für die bei einer bestimmten Temperatur
ausgetauschte Wärme.
Q
ΔS = }
T
− Die Entropie ist ein Maß für den Wert von Energie in einem System.
Mit der Erzeugung von Entropie ist eine Verringerung des Wertes
von Energie verbunden.
Die Gasgesetze
Reversible Vorgänge
Irreversible Vorgänge
sind Vorgänge, die von einem
Ausgangszustand aus von allein
wieder zu diesem Zustand
führen.
sind Vorgänge, die von einem
Ausgangszustand aus nicht von
allein wieder zu diesem Zustand
führen.
− Bewegung der Erde
− Lösung von Zucker in Tee
− Fadenpendel und Federschwinger (kurzzeitig näherungsweise)
− Abbremsen eines Autos
Für ein abgeschlossenes System
gilt:
Für ein abgeschlossenes System
gilt:
Die Entropie ändert sich nicht.
Die Entropie nimmt zu.
ΔS = 0
ΔS = SE – SA > 0
ΔEmech = 0
ΔEmech = EE – EA < 0
Bei einfachen thermodynamischen Systemen sind irreversible Vorgänge
durch folgende Merkmale gekennzeichnet:
− Wärme wird an die Umgebung abgegeben und zerstreut sich dort.
− Das System gelangt in den Zustand einer größeren Unordnung.
− Die Energie und die Teilchen des Systems nehmen eine wahrscheinlichere Verteilung an.
Durch reversible Vörgänge lässt sich ein Zeitmaß festlegen. Irreversible
Vorgänge verdeutlichen die Richtung des zeitlichen Verlaufs.
71
FOLIE
Thermodynamik
72
FOLIE
Der Inhaltsbereich „Strahlungsgleichgewicht und Strahlungsgesetze“ ist nicht nur im Hinblick auf die Astrophysik von Interesse. Hochaktuell sind Themen wie
− die Energiebilanz der Erde,
− der Treibhauseffekt oder
− moderne Lichtquellen und deren Spektren.
Welche Schwerpunkte für den Unterricht gewählt werden, muss der Lehrer in Absprache mit seinen Schülern
entscheiden.
Bei der Energiebilanz der Erde empfiehlt sich eine pauschale Energiebilanz unter dem Aspekt des thermodynamischen Gleichgewichts (b LB S. 221). Betrachtungen
zum Treibhauseffekt und mögliche Auswirkungen dieses
Effektes sind nur anhand relativ einfacher Modelle zu
empfehlen.
Dabei ist zu beachten: Die Emission und Absorption von
Strahlung durch die Erde und ihre Atmossphäre ist ein
komplizierter und komplexer Prozess, der auch heute bei
weitem noch nicht in allen Einzelheiten erforscht ist.
Hauptbereiche und Eigenschaften
von Temperaturstrahlung
Temperaturstrahlung der Sonne
Infrarotes Licht
Sichtbares Licht
38 %
48 %
Ultraviolettes
Licht
Sonstige
Strahlung
7%
7%
Temperaturstrahlung
wird an Körpern
reflektiert.
wird von Körpern
absorbiert.
Nach dem Energieerhaltungssatz gilt für die Intensität der
Strahlung:
wird von Körpern
hindurchgelassen.
Energiestrom
Strahlung I
Ir
Strahlung
wird reflektiert
I = Ir + Ia + Id
Strahlung
wird absorbiert
bzw. gestreut
Ia
durchlässiger
Körper
Strahlung
geht hindurch
Id
Die Strahlungsgesetze
Strahlungsgesetz von
G. R. KIRCHHOFF
(1859)
macht eine Ausage über die von
einem Körper ausgehende Strahlungsleistung:
P = PS · a
PS Strahlungsleistung eines
schwarzen Strahlers
a Absorptionsgrad
Strahlungsgesetz von
STEFAN und BOLTZMANN
(um 1880)
gibt an, wovon die Strahlungsleistung
P eines Körpers abhängig ist:
P = σ·A·T4
σ
A
T
Strahlungsgesetz von WIEN
(1896)
Stefan-Boltzmann-Konstante
strahlende Fläche
Temperatur
trifft eine Aussage über das Strahlungsmaximum:
λmax = }kT
k
T
Strahlungsgesetz von PLANCK
(1900)
wiensche Konstante
Temperatur
beschreibt die Strahlungsintensität in
Abhängigkeit von der Wellenlänge
I
9 000 K
6 000 K
5 000 K
4 000 K
3 000 K
λ
73
FOLIE
Thermodynamik
74
2.4
Elektrizitätslehre und
Magnetismus
− das Feld einer punktförmigen Ladung mit Feldstärke
und coulombschem Gesetz,
− ausgewählte Anwendungen aus Natur und Technik
insbesondere zur Bewegung geladener Teilchen im
elektrischen Feldern.
Elektrische und magnetische Felder
Die inhaltlichen Schwerpunkte für die Oberstufe sind
− das statisches elektrisches Feld,
− das statisches magnetisches Feld,
− die Bewegung von geladenen Teilchen in homogenen
Feldern,
− die elektromagnetische Induktion und
− die elektromagnetischen Schwingungen und Wellen
Dabei kann vielfach an Kenntnisse der Schüler angeknüpft werden, die sie im vorhergehenden Physikunterricht erworben haben. Kennzeichnend für die Oberstufe
ist die verstärkte mathematische Durchdringung. Im Vordergrund sollten dabei allerdings nicht formale Berechnungen stehen, sondern die Vertiefung des inhaltlichen
Verständnisses für die betrachteten physikalischen Sachverhalte.
TAFELBILD
Die Schüler haben bereits in den vorhergehenden Klassenstufen einige Kenntnisse über elektrische Felder gewonnen. Das höhere Niveau in der Oberstufe besteht vor
allem darin, dass die bisherige qualitative Betrachtung
nun durch quantitative Beschreibungen vertieft wird. Im
Mittelpunkt stehen dabei:
− die Beschreibung elektrischer Felder durch die elektrische Feldstärke,
− das homogene elektrische Feld mit dem Potenzial
und energetische Betrachtungen zur Energie geladener Teilchen im Feld,
− der Plattenkondensator als Ladungs- und Energiespeicher,
Im Interesse der Festigung von Grundlagen und zugleich
als eine Voraussetzung für die fundierte Behandlung des
statischen elektrischen Felds sowie von Anwendungen ist
es zweckmäßig, ausgewählte Grundlagen aus vorhergehenden Jahrgangsstufen zu wiederholen.
Im Lehrbuch sind dazu auf den Seiten 230 –234 in kurzer und übersichtlicher Form die Inhalte dargestellt, die
bis zum Ende der Jahrgangsstufe 10 im Physikunterricht
behandelt worden sind. Dem schließt sich auf den Seiten
235 –237 ein entsprechendes Aufgabenangebot an.
Für das methodische Herangehen bieten sich unterschiedliche Varianten an:
(a) Eine komplexe Wiederholung wird an den Anfang
des Unterrichts in Jahrgangsstufe 11 gestellt. Die
Schüler wiederholen anhand des Lehrbuchs weitgehend selbstständig die Inhalte. Im Mittelpunkt des
Unterrichts steht die Lösung ausgewählter Aufgaben, bei denen sich zeigt, inwieweit die Schüler die
Grundlagen tatsächlich beherrschen.
(b) Es werden jeweils nur die ausgewählten Inhalte wiederholt, die für ein erfolgreiches inhaltliches Voranschreiten erforderlich sind. Auf eine komplexe Wiederholung wird verzichtet.
Für eine Wiederholung können neben dem Lehrbuch
auch die beiliegenden Arbeitsblätter und Folien mit genutzt werden.
Das statische elektrische Feld
Ein elektrisches Feld ist der Zustand des Raums
um elektrisch geladene Körper.
+
Elektrische Felder, die sich zeitlich nicht ändern, werden als statische elektrische Felder
bezeichnet.
Die Beschreibung eines elektrischen Felds kann
durch ein Feldlinienbild erfolgen.
–
Ein Feldlinienbild ist ein Modell für ein real
existierendes elektrisches Feld, für das wir kein
Sinnesorgan haben.
Größen in elektrischen Stromkreisen
Die elektrische Ladung Q eines
Körpers gibt an, wie groß sein
Elektronenüberschuss oder sein
Elektronenmangel ist.
neutral
–
Einheit:
ein Coulomb (1 C)
Messgerät: Elektrometer
Die Stromstärke I
+–
+
+–
Die Spannung U
positiv
geladen
–
+
+
negativ
geladen
+–
– –+
+ ––
+
Der Widerstand R
gibt an, wie stark
gibt an, wie viele
der Antrieb des elekLadungsträger sich
pro Zeiteinheit durch trischen Stroms ist.
den Querschnitt eines
Leiters bewegen.
gibt an, wie stark der
Strom im Stromkreis
behindert wird.
Q
I=}
t
U = I·R
U
R=}
I
Einheit:
ein Ampere (1 A)
Einheit:
ein Volt (1 V)
Einheit:
ein Ohm (1 Ω)
Benannt ist die Einheit nach dem französischen Forscher
ANDRÉ MARIE AMPÈRE
(1775 –1836).
Benannt ist die Einheit nach dem italienischen Forscher
ALESSANDRO VOLTA
(1745 –1827).
Benannt ist die
Einheit nach dem
deutschen Forscher
GEORG SIMON OHM
(1789 –1854).
Messgerät:
Amperemeter
Messgerät:
Voltmeter
Messgerät:
Ohmmeter
U
R
U
I
l
R = ρ·}
A
Ω
A
V
Ein Amperemeter
wird immer in Reihe
zu dem Bauelement
geschaltet, für das die
Stromstärke gemessen werden soll.
R
U
Ein Voltmeter wird
immer parallel zu
dem Bauelement
geschaltet, für das die
Spannung gemessen
werden soll.
75
FOLIE
Elektrizitätslehre und Magnetismus
Ein Ohmmeter mit
interner elektrischer
Quelle wird an das
betreffende Bauelement angeschlossen.
FOLIE
76
Gesetze in Stromkreisen
U
I
Es fließt ein Strom, wenn
A
− der Stromkreis geschlossen ist
und
R
− eine elektrische Quelle vorhanden ist.
V
Unverzweigter Stromkreis
(Reihenschaltung)
Verzweigter Stromkreis
(Parallelschaltung)
U
I
U
I
R1
R2
U1
U2
I1
R1
I2
R2
U = U1 + U2
U = U1 = U2
I = I1 = I2
I = I1 + I2
R = R1 + R2
1 = 1 + 1
}
}
R }
R
R
Der Gesamtwiderstand ist immer
größer als der größte Teilwiderstand.
Der Gesamtwiderstand ist immer
kleiner als der kleinste Teilwiderstand.
Es gilt die Spannungsteilerregel:
Es gilt die Stromteilerregel:
U
R
1
1
=}
}
U
R
2
2
1
I
2
R
2
1
=}
}
R
I
2
1
Elektrische Energie und Leistung
Die elektrische Energie ist die Fähigkeit des elektrischen Stroms,
mechanische Arbeit zu verrichten, Wärme abzugeben oder Licht
auszusenden.
t
I
A
U
Die umgewandelte elektrische
Energie E ist umso größer,
Gerät
− je größer die am Gerät anliegende Spannung U ist,
V
U
− je größer die Stromstärke I
durch das Gerät ist und
− je länger die Zeit ist, die sich das
Gerät in Betrieb befindet.
Einheiten:
E=U·I·t
1 Ws, 1 kWh
E=P·t
1 kWh = 3 600 000 Ws
Die elektrische Leistung eines Geräts gibt an, wie viel elektrische
Energie je Zeiteinheit in andere Energieformen (innere Energie,
Strahlungsenergie, mechanische Energie) umgewandelt wird.
Die elektrische Leistung P ist umso
größer,
U
I
A
Gerät
V
U
− je größer die am Gerät anliegende Spannung U ist,
− je größer die Stromstärke I
durch das Gerät ist.
Einheiten:
P = }Et
1 W, 1 kW, 1 MW
P=U·I
1 MW = 103 kW = 106 W
77
FOLIE
ARBEITSBLATT
78
Stromstärke, Spannung, Widerstand
1. Die Xenonlampe eines Pkw hat die Kenndaten 24 V/50 W. Sie ist 30 min lang in Betrieb. Wie groß
ist die Stromstärke durch die Lampe? Welche Ladung fließt in 30 Minuten durch einen Leiterquerschnitt? Wie viele Elektronen sind das in jeder Sekunde?
2. Für ein Bauelement wurde die im Diagramm dargestellte Kennlinie aufgenommen.
a) Interpretieren Sie diese Kennlinie.
I in mA
120
80
40
0
0
1
3
2
U in V
b) Wie groß ist der elektrische Widerstand des Bauelements unterhalb von 0,7 V und bei
Spannungen darüber?
3. Nachfolgend sind einige Schaltungen gegeben. Berechnen Sie jeweils die angegebenen
fehlenden Größen.
b)
c)
a)
230 V
20 V
120 Ω
40 Ω
I
6 V/2,4 W
R
I1
R = 44 Ω
R
R
6,0 V
U2
20 Ω
2R
R
I2
2R
I2R
Igesamt
I=
Rgesamt =
Rgesamt =
I1 =
Igesamt =
Igesamt =
I2 =
I2R =
U1 =
R=
UR =
U2 =
Rgesamt =
Pgesamt =
U3 =
A
60 Ω
Die Beschreibung elektrischer Felder durch Feldlinienbilder ist den Schülern bereits bekannt. Der Schwerpunkt
des Unterrichts sollte folglich auf einer zusammenfassenden Wiederholung mit folgenden Schwerpunkten
liegen:
− Feldlinienbilder verschiedener Felder,
− homogene und inhomogene Felder,
− Feldlinienbild als Modell des real existierenden elektrischen Felds.
− Für einen bestimmten Ort in einem elektrostatischen
Feld ist die Kraft auf einen Probekörper proportional
seiner Ladung:
F
F ~ q oder
}
q = konstant
− In einem inhomogenen Feld, z. B. im Feld einer geladenen Kugel, verringert sich die Kraft F auf den Probekörper mit der Entfernung vom geladenen Körper,
F
d. h., der Quotient }
q verkleinert sich mit der Stärke
des Felds.
Die wichtigsten Kenntnisse sind im Tafelbild unten zusammengefasst. Zur Kennzeichnung und Interpretation
von Feldern kann auch die beiliegende Folie genutzt
werden.
F
Das bedeutet physikalisch: Der Quotient }
q ist gut geeignet, die Stärke eines elektrischen Felds zu kennzeichnen.
Er wird als elektrische Feldstärke definiert.
Wichtig ist dabei, dass die Schüler die in der Physik üblichen Festlegungen erfassen:
− Die Feldstärke ist definiert als Quotient aus der Kraft
auf einen positiv geladenen Probekörper und der Ladung dieses Körpers. Daraus folgt: Feldstärkevektor
und Richtung der Feldlinien stimmen überein.
− Bei einem negativ geladenen Probekörper sind demzufolge die Richtung der Kraft und die Richtung des
Feldstärkevektors entgegengesetzt.
Beschreibung elektrischer Felder durch Feldlinienbilder
Ein Feldlinienbild ist ein Modell für ein elektrisches Feld. Es ermöglicht Aussagen über die Struktur
des Felds und über Kräfte auf geladene Körper im Feld.
Homogenes Feld
Inhomogenes Feld
+
_
+
_
+
–
Die Feldlinien verlaufen parallel und in
gleichem Abstand voneinander.
+
–
Der Abstand der Feldlinien voneinander ist
in verschiedenen Bereichen des Felds unterschiedlich.
Allgemein gilt für das elektrische Feld:
− Die Feldlinien verlaufen von + nach –.
− Die Feldlinien beginnen und enden an Ladungen. Es sind keine geschlossenen Linien.
− Die Dichte der Feldlinien ist ein Maß für die (relative) Stärke des elektrischen Felds.
TAFELBILD
Ausgangspunkt für die Einführung der elektrischen
Feldstärke ist die Frage, wie man ein elektrisches Feld
quantitativ charakterisieren kann. Es ist für Schüler gut
nachvollziehbar, dass es dafür zweckmäßig ist, die Kraft
auf einen Probekörper zu untersuchen, der sich in einem
statischen elektrischen Feld befindet. Bei Verwendung
eines elektronischen Kraftmessers kann die Kraft auf einen Probekörper direkt gemessen werden. Ausreichend
sind halbquantitative Betrachtungen. Die experimentellen Untersuchungen ergeben:
79
FOLIE
80
Das elektrische Feld
Ein elektrisches Feld existiert im Raum um elektrisch geladene Körper,
in dem auf andere elektrisch geladene Körper Kräfte ausgeübt werden.
Elektrisches Feld um positiv bzw.
negativ geladene Kugeln
(Radialfeld)
–
+
Elektrisches Feld zwischen unterschiedlich geladenen Kugeln
–
+
Elektrisches Feld zwischen unterschiedlich geladenen Platten
+
_
+
_
+
–
+
+
Elektrisches Feld zwischen einer geladenen Platte und einer
geladenen Spitze
+
– –– – –
+
+
Die elektrische Feldstärke
Die elektrische Feldstärke E ist in einem Punkt
des Raums umso größer, je größer dort die
Kraft F auf eine Probeladung q ist:
F
q
V
Einheit: 1 }
m
+ F
+
Q
q +
Die Richtung der Feldstärke stimmt mit der
Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung und damit mit der Richtung der Feldlinien überein.
Feldlinienbilder und Feldstärkevektoren können die
Schüler im Internet selbst erkunden. Interaktive Darstellungen sind zu finden unter:
− http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/
efeld0.html
efeld1.html
elektfeld2.html
efeld2.html
efeld3.html
Dabei können die Bedingungen in vielfältiger Weise variiert werden. Die Lehrkraft kann bestimmte Bedingungen
vorgeben. Es sollte allerdings auch hinreichend Spielraum für die Schüler eingeräumt werden.
+
F
F
F
Die Einführung des Potenzials erfolgt zweckmäßiger
Weise in einem homogenen Feld (b Tafelbild unten). Dabei sollte den Schülern bewusst werden, dass man, ähnlich wie bei der potenziellen Energie in der Mechanik, ein
Nullniveau festlegen muss. Meist wird dazu die potenzielle Energie in Bezug auf die negativ geladene felderzeugende Ladung null gesetzt. Der Vorteil dieser Festlegung ist, dass dann der Betrag der Arbeit im Feld positiv
ist und damit auch das Potenzial einen positiven Wert
hat. Beim Radialfeld einer einzelnen felderzeugenden
Ladung wird als Bezugspunkt für das Nullpotenzial analog zum Gravitationsfeld ein Punkt im Unendlichen gewählt.
Damit die Schüler sinnvoll Größenvorstellungen zur elektrischen Feldstärke bekommen, ist es zweckmäßig, ihnen
in Natur und Technik auftretende Feldstärken zu geben
oder von den Schülern erkunden lassen. Einige Werte
sind auf der nachfolgenden Folie genannt.
Feldstärke, Potenzial und Spannung
Zum Verschieben einer Ladung q im homogenen Feld der Stärke E ist Arbeit erforderlich:
φ2 > 0
φ1 = 0
+
W = F·s
+
W = q · E · s = Epot
+
Das elektrische Potenzial wird definiert als:
+
s
+
+
φ=
Epot
}
q
= E·s
+
Die Spannung zwischen zwei beliebigen Punkten eines elektrischen Felds ist gleich der Potenzialdifferenz zwischen diesen Punkten:
U = Δφ
U = E·s
TAFELBILD
F
E=}
q
81
TAFELBILD
FOLIE
82
Elektrische Feldstärken in Natur und Technik
Feldstärken in der Natur:
Elektrisches Feld der Erde
am Erdboden:
ca. 130 V/m
Feldstärke bei Gewittern:
bis 20 000 V/m
Feldstärken bei elektrischen Geräten in 30 cm Abstand:
Elektrischer Boiler
260 V/m
Bügeleisen
120 V/m
Toaster
80 V/m
Föhn
80 V/m
Elektroherd
8 V/m
Glühlampe
5 V/m
Für Freileitungen und Kabel gilt:
380-kV-Leitung:
6 000 V/m
110-kV-Leitung:
2 000 V/m
Erdkabel (bis 380 kV):
0 V/m
(in 1 m Höhe über
dem Erdboden)
(in 1 m Höhe über
dem Erdboden)
(am Erdboden)
Für hochfrequente elektromagnetische Strahlung gelten für die
elektrische Feldstärke folgende Grenzwerte:
UKW-Sender
Fernsehsender
27,5 V/m
(1,5 km Abstand)
41 V/m
(1,5 km Abstand)
Mobilfunk-Basisstation
bis 61 V/m
Radarstationen (Flugüberwachung, Wetterradar)
bis 61 V/m
Grenzwert für Dauerbelastung:
5 000 V/m
(50 m Abstand)
(für statische Felder,
bei 50 Hz)
83
Analogien zwischen Gravitationsfeld und elektrischem Feld
FOLIE
Gravitationsfeld
Elektrisches Feld
Um einen massebehafteten Körper existiert ein Gravitationsfeld.
Auf einen Körper im Feld wird
eine Gravitationskraft ausgeübt.
Um einen geladenen Körper
existiert ein elektrisches Feld.
Auf einen geladenen Körper im
Feld wird eine elektrische Kraft
ausgeübt.
m
q+
FG
FE
negativ geladene Platte
Erdoberfläche
FG = m · g
FE = q · E
Beim Wegbewegen des Körpers
von der Erdoberfläche wird Arbeit verrichtet. Im oberflächennahen Bereich gilt:
W = F·s = m·g·s
Beim Wegbewegen der Ladung
von der geladenen Platte wird
Arbeit verrichtet. Im homogenen
Feld gilt:
W = F·s = q·E·s
Nimmt man die Erdoberfläche
als Nullniveau, dann gilt für die
potenzielle Energie:
Epot = W = m · g · h
Nimmt man die negativ geladene Platte als Nullniveau, dann
gilt für die potenzielle Energie:
Epot = W = q · E · s
Der Quotient aus potenzieller
Energie und Masse wird als
Potenzial definiert:
Der Quotient aus potenzieller
Energie und Ladung wird als
Potenzial definiert:
m·g·h
q·E·s
V=}
= g·h
m
φ=}
q = E·s
Potenzialverlauf bei einer Masse
V
Potenzialverlauf bei einer
Ladung
φ
V ~ }1r
Masse m
φ ~ }1r
r
Ladung q
r
ARBEITSBLATT
84
Das coulombsche Gesetz
1. Bei der experimentellen Untersuchung der Kraft zwischen zwei geladenen Kugeln, von denen
jede die Ladung Q trägt, erhält man die folgenden Ergebnisse:
Q in nC
F in mN
200
24,6
150
14,2
100
6,0
50
1,7
25
0,38
F in mN
20
10
0
0
50
100
150
200
Q in nC
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Kraft F und der Ladung Q einer Kugel? Wie kann
man diesen Zusammenhang nachweisen?
2. Bei der Untersuchung der Kraft zwischen zwei geladenen Kugeln in Abhängigkeit von ihrer Entfernung voneinander erhält man die folgenden Ergebnisse:
r in cm
F in mN
10
8,9
15
3,9
20
2,3
25
1,4
30
0,95
F in mN
10
5
0
0
10
20
30
40
r in cm
a) Interpretieren Sie das Diagramm.
b) Welcher Zusammenhang besteht? Wie kann man das nachweisen?
Feldstärke und Potenzial
1. Die Skizzen zeigen das Feldlinienbild einer Punktladung und das Feldlinienbild zwischen zwei
ungleichnamig geladenen Kugeln mit gleichem Betrag der Ladung.
+
+
–
a) Ergänzen Sie in den Skizzen Äquipotenziallinien.
b) Ein elektrisches Feld lässt sich durch ein Feldlinienbild oder durch ein Bild mit Äquipotenziallinien beschreiben. Worin bestehen die Gemeinsamkeiten, worin die Unterschiede?
2. Eine einzelne, elektrisch geladene Kugel hat ein radialsymmetrisches Feld, die
Überlagerung zweier solcher Felder ergibt
das typische Feldlinienbild zwischen zwei
ungleichnamig geladenen Kugeln.
Zeichnen Sie für die fünf markierten
Punkte die Feldstärkevektoren jeder
Ladung sowie den resultierenden Feldstärkevektor ein.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen
dem resultierenden Feldstärkevektor und
der Richtung der Feldlinie im jeweiligen
Punkt?
+
–
85
ARBEITSBLATT
TAFELBILD
86
Bewegung geladener Teilchen in elektrischen Feldern
In homogenen elektrischen Feldern wirkt auf geladene Teilchen eine konstante Kraft längs der Feldlinien:
F = Q∙E
Bewegung längs der Feldlinien
(Längsfeld)
Bewegung senkrecht zu den Feldlinien
(Querfeld)
+
–
+
–
–
+
–
Geladene Teilchen werden beschleunigt oder
abgebremst.
Bei der Behandlung der Bewegung geladener Teilchen
in elektrischen Feldern liegt der Schwerpunkt auf den
unterschiedlichen Arten von Bewegungen. Dabei sollte
bewusst an die Inhalte aus der Mechanik (newtonsche
Gesetze, Bewegungsgesetze, zusammengesetzte Bewegungen) angeknüpft werden.
Der Schwerpunkt sollte zunächst auf der Art der Bewegung liegen. Dabei bieten sich beim Querfeld Vergleiche
mit dem waagerechten Wurf an, der vorher behandelt
worden ist. Auch bei Aufgaben sollten formale Berechnungen eher im Hintergrund stehen.
Trotzdem wird man natürlich die eine oder andere Berechnung durchführen lassen. Für die meisten Schüler
ist es beeindruckend, welche Geschwindigkeiten Elektronen bereits bei relativ kleinen Beschleunigungsspannungen erreichen. Das ist auch die geeignete Stelle, um
die Schüler auf die Grenzen klassischer Betrachtungsweisen aufmerksam zu machen. Die Schüler sollten erfassen:
Die Masse eines Körpers ist geschwindigkeitsabhängig.
Sie sollen auch erkennen: Bei den Geschwindigkeiten,
mit denen wir es in unserem Alltag zu tun haben, spielt
die Masseänderung eines Körpers keine Rolle. Das kann
man gut verdeutlichen, wenn man z. B. die Masse eines
1,000 000 kg schweren Körpers bei einer Geschwindigkeit
von 100 km/h oder von 1 000 km/h berechnet lässt.
Bei Elektronen, die sich mit mehr als 10 % der Lichtgeschwindigkeit bewegen, ist diese Masseänderung aber
nicht mehr vernachlässigbar, insbesondere nicht bei technischen Anwendungen.
Welche Anwendung in den Vordergrund gestellt wird,
sollte der Lehrer in Absprache mit seinen Schülern entscheiden. Naheliegend ist die Elektronenstrahlröhre mit
Geladene Teilchen werden abgelenkt.
elektrostatischer Ablenkung, die im Lehrbuch ausführlich
dargestellt ist.
Bei der Behandlung von Magnetfeldern sind die Schwerpunkte:
− Dauermagnete mit ihrem Aufbau, ihren Eigenschaften und ihren Wirkungen,
− das Feldlinienbild als Modell des Magnetfelds,
− die quantitative Beschreibung des Magnetfelds mit
der magnetischen Flussdichte und
− die Bewegung von geladenen Teilchen im Magnetfeld.
Durch einfache Experimente (Demonstration von Anziehung und Abstoßung zwischen Magneten, Demonstration der Kräfte auf Körper aus ferromagnetischen
Stoffen, Fehlen dieser Kräfte bei Körpern aus anderen
Stoffen) ergeben sich zwei grundlegende Aussagen, die
auch für viele Anwendungen von Bedeutung sind:
− Zwischen Magneten wirken anziehende bzw. abstoßende Kräfte.
− Magnete ziehen Körper aus Eisen, Nickel oder Cobalt
(Körper aus ferromagnetischen Stoffen) an, Körper
aus anderen Stoffen aber nicht.
Ein grundlegender Unterschied zum elektrischen Feld ist
folgender: Im elektrischen Feld wirkt eine Kraft auf einen geladenen Körper, im magnetischen Feld wirkt häufig ein Kräftepaar auf einen Körper, das zur Ausrichtung
längs der Feldlinien führt.
Statische Felder
Statische elektrische Felder
Statische magnetische Felder
existieren um elektrisch geladene
Körper.
existieren um Dauermagnete und
stromdurchflossene Leiter bzw.
Spulen.
können mithilfe von Feldlinienbildern beschrieben werden.
können mithilfe von Feldlinienbildern beschrieben werden.
–
+
–
+
–
+
–
+
–
–
N
+
S
+
Ein Feldlinienbild ist ein Modell
des real existierenden Felds.
Ein Feldlinienbild ist ein Modell
des real existierenden Felds.
Die Feldlinien verlaufen von +
nach –. Sie beginnen und enden
an Ladungen.
Die Feldlinien verlaufen im Außenraum vom Nordpol zum Südpol. Es sind geschlossene Linien.
Die Dichte der Feldlinien ist ein
Maß für die Stärke des Felds.
Die Dichte der Feldlinien ist ein
Maß für die Stärke des Felds.
Auf positiv geladene Körper
oder Teilchen im Feld wirkt die
Feldkraft immer in Richtung der
Feldlinien, auf negativ geladene
Körper oder Teilchen entgegengesetzt dazu.
Magnetnadeln richten sich im
Feld so aus, dass sie längs der
Feldlinien liegen. Der Nordpol
der Magnetnadel zeigt in Richtung der Feldlinien.
87
FOLIE
FOLIE
88
Quantitative Beschreibung statischer Felder
Statische elektrische Felder
Statische magnetische Felder
Die Stärke des elektrischen Felds
hängt von der Ladung der felderzeugenden Körper ab.
Die Stärke des magnetischen
Felds hängt vom Aufbau des
Magneten und bei Leitern auch
von der Stromstärke ab.
Auf eine Ladung q im elektrischen Feld wird eine Kraft
(Feldkraft) ausgeübt.
Auf einen stromdurchflossenen
Leiter im Magnetfeld wird eine
Kraft (Feldkraft) ausgeübt.
+
–
+
q + F
+
+
A
–
l
–
F
+
–
–
Für die elektrische Feldstärke
gilt:
Für die magnetische Flussdichte
gilt:
F
E=}
q
F
B=}
I·l
V
Einheit: 1 }
m
N = 1T
Einheit: 1 }
Am
Die Richtung der Feldstärke ist
gleich der Richtung der Kraft auf
einen positiv geladenen Körper.
Flussdichte B, Stromstärke I (Bewegungsrichtung positiv geladener Teilchen) und Kraft F stehen senkrecht zueinander.
Für das homogene Feld eines
Plattenkondensators gilt:
Für das homogene Feld im Innern
einer langen, luftgefüllten Spule
gilt:
U
E=}
d
I·N
B = μ0 · μr · }
l
Die Feldstärke kann mit einem
Feldstärkemesser ermittelt
werden.
Die Flussdichte kann mit einem
Feldstärkemesser (einer HallSonde) ermittelt werden.
Auf Ladungsträger im elektrischen Feld wirkt eine Kraft
parallel oder antiparallel zur
Richtung der Feldlinien.
Auf bewegte Ladungsträger
wirkt im Magnetfeld eine Kraft
(Lorentzkraft) senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht
zur Richtung des Magnetfelds
(UVW-Regel).
F = q·E
F = B·q·v
Magnetische Flussdichten in Natur und Technik
Magnetische Flussdichte in der Natur:
Magnetfeld der Erde am Äquator:
ca. 30 μT
Magnetfeld der Erde in Mitteleuropa:
ca. 50 μT
Magnetfeld der Erde in Polnähe:
ca. 60 μT
Magnetische Flussdichte bei Haushaltsgeräten:
Gerät
Abstände
3 cm
30 cm
100 cm
Föhn
2 – 2 000 μT
0,01 – 7 μT
< 0,3 μT
Rasierapparat
15 – 1 500 μT
0,08 – 9 μT
–
Mikrowelle
73 – 100 μT
4 – 8 μT
< 0,6 μT
Computer
0,5 – 30 μT
< 0,01 μT
–
elektrischer Herd
1 – 50 μT
0,15 – 3 μT
< 0,15 μT
Für Freileitungen und Kabel gilt:
unter Fahrdrähten der Deutschen Bahn:
kurzzeitig bis 75 μT
380-kV-Leitung
38 μT
(in 1 m Höhe über dem
Erdboden)
110-kV-Leitung
19 μT
(in 1 m Höhe über dem
Erdboden)
Erdkabel (10 – 380 kV)
100 μT
(bei 1000 A in jedem Leiter)
100 μT
89
FOLIE
90
Bei der Behandlung von geladenen Teilchen in magnetischen Feldern ist zu beachten, dass die UVW-Regel
(Rechte-Hand-Regel) und die Lorentzkraft möglicherweise bereits Inhalt des Unterricht in Sekundarstufe 1
waren, wobei dort keine Gleichung für die Lorentzkraft
behandelt worden ist.
Ähnlich wie bei der Bewegung von geladenen Teilchen in
elektrischen Feldern sollte den Schülern zunächst am Beispiel einer Elektronenstrahlröhre demonstriert werden,
dass man einen Elektronenstrahl mit einem Magnetfeld
ablenken kann.
Bei der quantitativen Behandlung der Bewegung von
geladenen Teilchen sollte eine Beschränkung auf den
einfachsten Fall erfolgen: Bewegungsrichtung der geladenen Teilchen und Richtung der Feldlinien des Magnetfelds verlaufen senkrecht zueinander. Dann wirkt in
einem homogenen Magnetfeld die Lorentzkraft immer
als konstante Radialkraft.
TAFELBILD
Ein Hinweis auf schräg in ein Magnetfeld eintretende
Teilchen sollte nicht fehlen, insbesondere dann nicht,
wenn man im Unterricht die Entstehung von Polarlichtern mit einbeziehen will. Der Fall des schrägen Eintritts
mit den dabei entstehenden spiralförmigen Bahnen
sollte bewusst auf den oben genannten einfachsten Fall
zurückgeführt werden.
Die Anwendung der Rechte-Hand-Regel fällt vielen Schülern schwer, weil es immer wieder zu Verwechslungen bei
der Stromrichtung (= Richtung positiv geladene Teilchen)
kommt. Es kann auch die Linke-Hand-Regel genutzt werden.
Der zu behandelnde Hall-Effekt spielt aus messtechnischen Gründen eine wichtige Rolle: Er ist die physikalische Grundlage für Hall-Sonden, die eine direkte Messung der magnetischen Flussdichte ermöglichen.
Moderne Hall-Sonden werden heute aus dünnen Halbleiterplättchen hergestellt und sind häufig in Schaltkreise
integriert, in denen gleich auch eine Signalverstärkung
erfolgt. Es ist eine schöne Erkundungsaufgabe für Schüler herauszufinden, in welchen Bereichen heute HallSonden angewendet werden. Die Magnetfeldmessung
ist nur eine Möglichkeit ihrer Nutzung. Hall-Sonden können auch für Metalldetektoren, als berührungs- und kontaktlose Signalgeber oder in Schichtdickenmessgeräten
genutzt werden.
Als Anwendungen für die Bewegung geladener Teilchen
in magnetischen Feldern sind in den Lehrplänen der Massenspektrograf, das Zyklotron und die Anwendung von
Teilchenbeschleunigern ausgewiesen. Dazu sind im Lehrbuch Informationen zu finden. Ergänzend können die
beiliegenden Arbeitsblätter und Folien genutzt.
Bewegung geladener Teilchen in magnetischen Feldern
In homogenen magnetischen Feldern wird auf bewegte geladene Teilchen eine Kraft
ausgeübt. Bewegen sich die Teilchen senkrecht zu den Feldlinien, dann gilt:
F = Q∙v∙B
Für die geladenen Teilchen gilt
die Rechte-Hand-Regel:
(Lorentzkraft)
Magnetfeld zeigt in die
Blattebene hinein.
Magnetfeld zeigt aus der
Blattebene heraus.
I bzw. v
–
B
–
F
Die Lorentzkraft wirkt bei v ⊥ B immer als Radialkraft. Damit gilt:
2
v
Q∙v∙B = m∙}
r
m∙v
r=}
Q∙B
Geladenen Teilchen in Feldern
In einem homogenen elektrischen Feld wirkt auf geladene Teilchen
eine konstante Feldkraft F = q · E in Richtung der Feldlinien oder entgegengesetzt zu ihnen. Im elektrischen Längsfeld (links) erfolgt ein
Beschleunigen oder Abbremsen, im Querfeld (rechts) eine Ablenkung.
–
q
+
F
q
+
F
–
–
–
v
+
d
Positiv und negativ geladene Teilchen werden beschleunigt.
q · U = }12 m · v 2
Positiv geladene Teilchen werden
in Feldrichtung (nach oben), negativ geladene Teilchen entgegen
der Feldrichtung (nach unten) beschleunigt und damit abgelenkt.
In einem homogenen magnetischen Feld wirkt auf bewegte geladene
Teilchen eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung und senkrecht
zur Richtung des Magnetfelds. Die Richtung der Ablenkung hängt auch
von der Art der Ladung ab
v
–
q
FL
FL
Magnetfeld
in Blattebene
hinein
FL
FL
–
v
FL
q
Der Betrag der Lorentzkraft kann
mit folgender Gleichung berechnet
werden:
FL = q · v · B
Die Richtung der Lorentzkraft ergibt
sich mit der Rechte-Hand-Regel oder
der Linke-Hand-Regel.
91
FOLIE
FL
Magnetfeld
aus Blattebene
heraus
I bzw. v
B
F
ARBEITSBLATT
92
Geladene Teilchen in homogen elektrischen Feldern
1. Skizzieren Sie die Bewegung von geladenen Teilchen in einem homogenen elektrischen Feld.
a)
b)
c)
+
+
+
v0
–
v0
–
v0
+
–
–
–
2. Bei technischen Anwendungen ist der Ablenkwinkel α eines Elektronenstrahls eine wichtige
Größe. Daraus ergibt sich bei gegebenen geometrischen Abmessungen einer Elektronenstrahlröhre der Auftreffpunkt des Elektronenstrahls auf dem Leuchtschirm.
a) Ergänzen Sie die Geschwindigkeiten in vertikaler Richtung und die resultierende Geschwindigkeit.
b) Leiten Sie allgemein eine Gleichung für die
Berechnung des Ablenkwinkels α her. Interpretieren Sie diese Gleichung. Nutzen Sie dazu die
Rückseite des Blatts.
+
α
v0
–
v0
–
l
3. Die Skizze zeigt den prinzipiellen Aufbau einer braunschen Röhre. Benennen Sie die wichtigsten
Teile und kennzeichnen Sie deren Funktion.
+
+
–
– +
Der Massenspektrograf
1. Ionen treten mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in einen Plattenkondensator ein. Im
Bereich des Plattenkondensators befindet sich ein Magnetfeld (b Skizze). Nach dem Passieren
einer Blende treten die Ionen in ein zweites Magnetfeld und werden so abgelenkt, wie es die
Skizze zeigt.
Plattena) Wie muss das elektrische Feld des Platkondensator
Blende
tenkondensators gerichtet sein? Zeichnen
Sie dieses Feld ein. Tragen die Ionen eine
positive oder eine negative Ladung?
Ionenstrahl
b) Begründen Sie, weshalb nur Ionen mit einer bestimmten Geschwindigkeit das gekreuzte elektrische und magnetische Feld geradlinig durchlaufen.
2. Erläutern Sie anhand der Skizze die Wirkungsweise eines einfachen Massenspektrografen.
m3
m2
Fotoplatte
m1
B1
B2
+
Quelle von
Ionen
E
–
gekreuztes elektrisches
und magnetisches Feld
magnetisches Feld
93
ARBEITSBLATT
94
Elektromagnetische Induktion
Schwerpunkte bei der Behandlung der elektromagnetischen Induktion sind
− die quantitative Formulierung des Induktionsgesetzes,
− die Behandlung von Anwendungen dazu und
− energetische Betrachtungen zur Induktion und zum
Magnetfeld, Letzteres als Voraussetzung für die Behandlung elektromagnetischer Schwingungen und
Wellen.
Vorkenntnisse der Schüler zur elektromagnetischen Induktion gibt es bereits. In Sekundarstufe 1 erfolgt neben
einer qualitativen Behandlung des Induktionsgesetzes
die Vermittlung von Kenntnissen über
− die Richtung des Induktionstroms (lenzsches Regel),
− Wirbelströme und deren Nutzung sowie
− den Wechselstromgenerator (qualitativ) und den
Transformator.
TAFELBILD
Bei der Behandlung der Induktion in einem Leiter hat sich
ein Vorgehen bewährt, dass im Tafelbild unten skizziert
ist: Ausgangspunkt ist das den Schülern bereits bekannte
elektromotorische Prinzip. Das lässt sich auch experimentell gut demonstrieren. Die Frage nach der Umkehrung
führt unmittelbar zur elektromagnetischen Induktion.
Damit wird in stark vereinfachter Form der historische
Weg der Erkenntnisgewinnung nachvollzogen.
Die Ableitung der Gleichung für die Induktionsspannung
kann so erfolgen, wie es im Lehrbuch auf S. 321 dargestellt ist. Die Meinungen dazu, ob man hier schon ein
Vorzeichen (Minuszeichen) einführt, sind unterschiedlich.
Die Bedingungen für das Entstehen einer Induktionsspannung sollten in Verbindung mit Experimenten gründlich
wiederholt werden. Dabei sollte bei allen Experimenten
beachtet werden, dass die Schüler möglichst alle für
praktische Anwendungen wesentlichen Fälle erfassen.
Dies lässt sich durch entsprechende Teilexperimente realisieren:
− Verschiedene Dauermagnete werden gegenüber Spulen bewegt. Die Art der Bewegung wird variiert, die
Veränderungen mithilfe von Skizzen mit eingezeichneten Feldlinienbildern verdeutlicht, z. B. in folgender
Weise:
a)
V
b)
V
Dabei sind auch Bewegungen einzubeziehen, bei
denen sich das Magnetfeld nicht ändert (z. B. Drehung eines zylinderförmigen Stabmagneten um seine
Längsachse. Bewegung von Spule und Magnet, ohne
dass sich die Lage beider zueinander ändert).
Ergebnis:
Es wird nur dann eine Spannung induziert, wenn sich
das von der Spule umfasste Magnetfeld ändert.
Induktion in einem Leiter
Elektromotorisches Prinzip
Generatorprinzip
l
F
U Bewegte Ladungsträger (Strom)
V Magnetfeld
W Kraft auf den Leiter
F = B·l·I
+
l
v
–
Ui
U Kraft auf den Leiter (Bewegung)
V Magnetfeld
W Induktionsstrom
Ui = B · l · v
95
Bedingungen für das Entstehen einer Induktionsspannung
FOLIE
Zeitlich konstantes Magnetfeld
+ –
Zeitlich veränderliches
Magnetfeld
Ui
Bewegung
+ –
Ui
Änderung der Stromstärke
Alle Experimente zeigen:
In einer Spule wird eine Spannung induziert, solange sich das von ihr
umfasste Magnetfeld ändert.
− Es werden Spulen gegenüber Dauermagneten bewegt.
Ergebnis:
Ob eine Spannung induziert wird oder nicht, hängt
von der Relativbewegung zwischen Spule und Magnet ab.
− Der Dauermagnet wird durch einen Elektromagneten
ersetzt. Spule und Elektromagnet werden relativ zueinander bewegt.
Ergebnis:
Eine Spannung wird unabhängig davon induziert, ob
ein Dauermagnet oder ein Elektromagnet verwendet
wird.
− Spule und Elektromagnet sind zueinander in Ruhe.
Es wird die Stärke des Magnetfelds des Elektromagneten verändert.
Ergebnis:
Für das Entstehen einer Induktionsspannung ist offensichtlich nicht die Bewegung, sondern die Änderung des von der Spule umfassten Magnetfelds das
Entscheidende.
Erst auf einer solch breiten empirischen Basis sollte als
Verallgemeinerung formuliert werden, unter welchen
Bedingungen eine Induktionsspannung entsteht.
Anschließend sollte die Frage in den Mittelpunkt gestellt
werden, wovon der Betrag der Induktionsspannung abhängt. Das Herangehen kann dabei so erfolgen, wie es
im Lehrbuch auf den Seiten 322 ff. dargestellt ist.
Nachdem das Induktionsgesetz erarbeitet und ausreichend gefestigt wurde, ist die Frage zu stellen, wovon
der Betrag der Induktionsspannung abhängig ist.
Vor der experimentellen Untersuchung können Vermutungen formuliert werden.
Zur experimentellen Untersuchung sowie zur Festigung
sind im LB Aufgabenstellungen enthalten. Die wichtigsten Ergebnisse sind im TB zusammengefasst.
Zur Einführung des lenzschen Gesetzes eignen sich Überraschungsexperimente, z. B. eines der folgenden:
− Ein geschlossener Aluminiumring wird beim Schließen
des Schalters nach oben geschleudert (Induktionskanone).
Eisenkern
Ring
Spule
U
− Bei einem geöffneten Ring aus Aluminium und gleicher Versuchsdurchführung passiert nichts.
TAFELBILD
96
Selbstinduktion beim Ein- und Ausschalten
Experiment 1
Experiment 2
L1
L2
L1 leuchtet später als L 2 auf.
Beim Öffnen des Schalters
leuchtet die Glimmlampe auf.
Erklärung:
Beim Einschalten tritt in der Spule eine Induktionsspannung auf, die einen Strom bewirkt.
Dieser hemmt den ursprünglichen Strom.
− Ein Permanentmagnet wird gegenüber einem Aluminiumring bewegt. Der Ring kann geschlossen bzw.
geöffnet sein. Beachte: Die Aufhängung muss hinreichend lang sein. Sie sollte bifilar erfolgen.
S
Erklärung:
Beim Öffnen des Schalters wird in der Spule
eine Spannung induziert. Aufgrund der schnellen Änderung des Magnetfelds liegt diese
Induktionsspannung über der Zündspannung
der Glimmlampe.
Die Schüler sollten deutlich darauf aufmerksam gemacht
werden, dass das lenzsche Gesetz ein spezieller Fall des
Energieerhaltungssatzes ist. Das lässt sich besonders gut
am Beispiel der Wirbelstrombremse erläutern.
Auch bei der Selbstinduktion bietet sich ein experimentelles Herangehen an. Die Experimentieranordnungen
sind im TB skizziert. Sie sind so gewählt, dass die Schüler
wichtige Effekte erfassen können, die beim Einschalten
bzw. beim Ausschalten auftreten. Für das Experiment
zum Einschaltvorgang sollten beide Lampen eine Betriebsspannung von 4 Volt haben. Die Lampe 2 wird mit
einem regelbaren Widerstand (etwa 10 –20 Ohm) und
Lampe 1 mit einer Spule (einige hundert Windungen) mit
geschlossenem Eisenkern in Reihe geschaltet. Der Widerstand wird so eingeregelt, dass beide Lampen gleich hell
leuchten.
N
− Es wird die Wirkungsweise einer Wirbelstrombremse
gezeigt, zunächst mit einer geschlitzten Scheibe,
dann mit einer nicht geschlitzten Scheibe.
Erklärungen sollten erst nach der Durchführung der
vergleichenden Experimente gegeben werden. Bei den
Experimenten liegt der Schwerpunkt beim genauen Beobachten und beim Vergleichen der jeweiligen Bedingungen, also bei den Phänomenen und darauf, wie sie
zustande kommen.
Der typische Verlauf von Spannung und Stromstärke
sollte den Schülern gegeben und erläutert werden
(b beiliegende Folie).
Auf den nachfolgenden Seiten sind einige Arbeitsblätter
und Kopiervorlagen (Folien) zu finden, die teilweise im
Unterricht und teilweise auch für die häusliche Arbeit
genutzt werden können. Dabei sind bewusst wiederholende Aspekte mit aufgenommen worden.
Induktion in einem Leiter
1. Ein Leiter der Länge l wird senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfelds bewegt. Während
der Bewegung kann man eine Induktionsspannung Ui
registrieren.
a) Zeichnen Sie in die Skizze die Richtung des
Induktionsstroms ein.
b) Um den Leiter zu bewegen, muss Energie aufgewendet werden. Was geschieht mit dieser Energie?
B
l
v
Ui
c) Der 10 cm lange Leiter wird mit der Geschwindigkeit 75 cm/s gleichförmig im Magnetfeld
bewegt. Dessen Flussdichte beträgt 4,3 mT. Wie groß ist die entstehende Induktionsspannung?
d) An die beiden Anschlüsse (b Skizze oben) wird nun eine Spannung angelegt. Der Pluspol
befindet sich oben. Was geschieht mit dem beweglichen Leiterstück? Begründen Sie.
2. Eine Leiterschleife wird senkrecht zu den Feldlinien eines
homogenen Magnetfelds bewegt (b Skizze).
a) Markieren Sie den Teil der Leiterschleife, der für das
Entstehen einer Induktionsspannung zwischen den
Anschlüssen von Bedeutung ist. Begründen Sie.
Ui
v
b) Die Leiterschleife (b Skizze) fällt frei in das Magnetfeld hinein. Wird sie dann zusätzlich beschleunigt oder abgebremst? Begründen Sie.
97
ARBEITSBLATT
ARBEITSBLATT
98
Die elektromagnetische Induktion (1)
1. Ein kleiner Stabmagnet wird nacheinander jeweils gleich schnell in verschiedene Spulen hineinbewegt, so wie es in der Skizze dargestellt ist.
a) Begründen Sie die Art der Schaltung.
125
1 000
500
V
Spule 1
Spule 2
Spule 3
b) Vergleichen Sie die entstehenden Induktionsspannungen. Begründen Sie.
2. Ein Magnet wird gegenüber der Spule in unterschiedliche Weise bewegt. In welchem Falle entsteht eine Induktionsspannung, in welchem nicht? Begründen Sie.
a)
b)
V
c)
V
V
3. Jeweils gleiche Spulen werden verschieden schnell vollständig aus einem Magnetfeld herausbewegt. Vergleichen Sie die entstehenden Induktionsspannungen. Begründen Sie.
a)
b)
N
S
V
2s
c)
N
S
V
1s
N
S
V
5s
99
ARBEITSBLATT
Die elektromagnetische Induktion (2)
1. Ein Magnet wird in unterschiedlicher Weise bewegt. Skizzieren Sie das jeweilige Feldlinienbild.
Begründen Sie, ob in der Spule eine Spannung induziert wird oder nicht.
a)
b)
S
c)
S
N
N
S
V
V
V
N
2. Eine Spule wird in unterschiedlicher Weise bewegt. Begründen Sie, ob in der Spule eine
Spannung induziert wird oder nicht.
a)
b)
c)
N
S
S
N
N
V
S
V
V
V
V
V
3. Zwei Spulen befinden sich auf einem gemeinsamen Eisenkern. Geben Sie mindestens drei
Möglichkeiten an, wie man in der rechten Spule eine Spannung induzieren kann.
+ –
V
100
FOLIE
Ein- und Ausschaltvorgang bei einer Spule
I
I = konstant
Einschalten
Ausschalten
t
U
Ui = 0
FOLIE
t
Induktion einer Wechselspannung
homogenes Magnetfeld
(
)
2π
Ui = Umax · sin }
· t = Umax · sin (ω · t)
T
Ui
}T4
}2T
}34 T
t
In Spulen, die in einem homogenen magnetischen Feld gleichförmig
rotieren, wird eine sinusförmige Wechselspannung induziert.
Das Induktionsgesetz und seine Anwendungen
Ergänzen Sie die folgende Übersicht zum Induktionsgesetz und zu technisch wichtigen
Anwendungen.
Induktion im zeitlich konstanten Magnetfeld
(B = konstant)
Induktion im zeitlich veränderlichen Magnetfeld (A = konstant)
Zwischen Induktionsspule und Magnetfeld
erfolgt eine Relativbewegung.
Ui
Ui
Bewegung
B
Für die Induktionsspannung gilt:
Für die Induktionsspannung gilt:
Anwendung: Generator
Anwendung: Transformator
Primärspule
Stator
N1
N
Rotor
U1~
S
Sekundärspule
N2
~ U2
Ui
geschlossener Eisenkern aus Dynamoblechen
Wirkungsweise:
Wirkungsweise:
101
ARBEITSBLATT
102
Elektromagnetische Schwingungen und
Wellen
Die inhaltlichen Schwerpunkte bei der Behandlung elektromagnetischer Schwingungen und Wellen sind:
− die Entstehung und Beschreibung elektromagnetischer Schwingungen,
− die Erzeugung und Ausbreitung elektromagnetischer
Wechselfelder,
− wichtige Eigenschaften elektromagnetischer Wellen,
− Licht als elektromagnetische Welle und
− Beispiele für die Anwendung der behandelten Phänomene in Natur, Technik und Wissenschaft.
TAFELBILD
Vom methodischen Herangehen her ist es sinnvoll, Analogiebetrachtungen zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen und Wellen in den
Vordergrund zu stellen. Damit werden zugleich Inhalte
wiederholt und gefestigt, die sich die Schüler im vorhergehenden Unterricht angeeignet haben. Das betrifft insbesondere
− die Entstehung und Beschreibung mechanischer
Schwingungen,
− die Charakterisierung und Beschreibung harmonischer Schwingungen mit der Gleichung
2π · t = y
y (t) = ymax · sin (}
) max · sin (ω · t),
T
− die Entstehung und die Arten von Wellen,
− die Ausbreitung und die Eigenschaften von mechanischen Wellen.
Ausgangspunkt der Behandlung von elektromagnetischen Schwingungen sollte eine Wiederholung der
Kenntnisse über mechanische Schwingungen sein. Dabei
sollte auch der Begriff Schwingung wiederholt werden
(b Tafelbild). Zur Wiederholung kann das beiliegende Arbeitsblatt und die Kopiervorlage (Folie) genutzt werden.
Die Erzeugung elektromagnetischer Schwingungen sollte
zunächst experimentell demonstriert werden (Schwingkreis, Oszilloskop). Schon von den Schwingungsformen
her sind die Analogien für Schüler überzeugend.
Das Niveau, auf dem eine Erklärung für das Zustandekommen einer elektromagnetischen Schwingung gegeben wird, kann unterschiedlich gewählt werden.
Es bieten sich aufgrund der Vorkenntnisse der Schüler
zwei Varianten an:
a) Es wird der periodische Energiefluss zwischen Spule
(magnetisches Feld) und Kondensator (elektrisches
Feld) in den Vordergrund gestellt.
b) Ausgehend vom geladenen Kondensator werden
unter Einbeziehung von Induktionsgesetz und lenzschem Gesetz die Vorgänge analysiert, die insbesondere an der Spule vor sich gehen.
Fadenpendel
Federschwinger
Eine mechanische Schwingung ist
eine zeitlich periodische Bewegung
eines Körpers um eine Gleichgewichtslage.
l
Bedingungen für das Zustandekommen:
− schwingungsfähiger Körper
− auslenkende Kraft
− zur Gleichgewichtslage rücktreibende Kraft
}
l
T = 2 π √}
g
D
m
m
T = 2 π √}
}
D
Ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung (F ~ y), so verläuft die Schwingung
harmonisch (sinusförmig).
Es gilt:
2π ·t = y
y (t) = ymax · sin (}
) max · sin (ω · t)
T
Analogien zwischen mechanischen und
elektromagnetischen Schwingungen
Elektromagnetische
Schwingungen
Eine mechanische Schwingung
ist eine zeitlich periodische Bewegung eines Körpers um eine
Gleichgewichtslage.
Eine elektromagnetische Schwingung ist eine zeitlich periodische
Änderung der Stärke des elektrischen bzw. magnetischen Felds.
Beispiel: Federschwinger
Beispiel: Schwingkreis
N
++
F
|y| maximal
v=0
y
++
F
|y| = 0
v maximal
S
|y| maximal
v=0
|U| maximal
I=0
|U| = 0
I maximal
|U| maximal
I=0
U
t
t
Es wird potenzielle Energie in
kinetische Energie umgewandelt
und umgekehrt.
Es wird Energie des elektrischen
Felds in Energie des magnetischen
Felds umgewandelt und umgekehrt.
Ohne Energiezufuhr verläuft die
Schwingung gedämpft.
Ohne Energiezufuhr verläuft die
Schwingung gedämpft.
y
U
t
Ursache: Durch Reibung wird
mechanische Energie in innere
Energie umgewandelt.
t
Ursache: Durch den ohmschen
Widerstand wird elektrische
Energie in innere Energie umgewandelt.
103
FOLIE
104
Die Vorgänge im Schwingkreis lassen sich mithilfe statischer Bilder recht gut darstellen. Günstiger sind aber
Simulationen, etwa das betreffende Java-Applet von
Fendt, dass unter www.walter-fendt.de zu finden ist.
Die thomsonsche Schwingungsgleichung kann durch
halbquantitative Versuche plausibel gemacht werden, so
wie das im Lehrbuch auf Seite 339 dargestellt ist.
Liegt die Schwingungsdauer einer elektromagnetischen
Schwingung in der Größenordnung von einer Sekunde,
dann kann man eine solche Schwingung mithilfe eines
Amperemeters sichtbar machen, das man in den Schwingkreis schaltet. Ein Arbeitsblatt dazu ist auf der nächsten
Seite zu finden.
Es ist sinnvoll, durch Experimente und geeignete Visualisierungen plausibel zu machen, wie sich von einem Dipol
elektrische und magnetische Wechselfelder ausbreiten.
Dabei sind allerdings mehrere Probleme zu beachten:
FOLIE
1. Statische Bilder schaffen erfahrungsgemäß nur eine
unzureichende Vorstellung von den Vorgängen um
einen Dipol. Zu bevorzugen sind Simulationen, die
man in verschiedenen Varianten im Internet findet.
Dazu könnte eine Erkundungsaufgabe für die Schüler
formuliert werden. Zu empfehlen ist ein Verweis auf
die Internetadresse www.schulphysik.de.
Leider wird in den Simulationen meist nur die Ausbreitung des elektrischen Anteils dargestellt, nicht
aber die Verkettung mit dem magnetischen Feld.
2. Genau bei dieser Verkettung tritt ein weiteres Problem auf. Unmittelbar um den Dipol (beim Nahfeld)
sind die Felder gegeneinander verschoben. Beim Fernfeld dagegen ist das nicht der Fall. Die Skizzen unten
zeigen eine mögliche Variante. Dabei wird allerdings
die Verkettung der Felder, die sich wechselseitig erzeugen (b Lehrbuch S. 345 f.), nicht so recht deutlich.
Die Ausbreitung und die Eigenschaften elektromagnetischer Wellen lassen sich gut am Beispiel von Mikrowellen experimentell zeigen. Analogiebetrachtungen helfen bei der Strukturierung und der Systematisierung des
Wissens. Dabei können auch die beiliegenden Folien mit
genutzt werden.
Abstrahlung von einem Dipol
+
–
–
+
Elektromagnetische Schwingungen
Mit der rechts abgebildeten Schaltung lassen
sich elektromagnetische Schwingungen, bei
denen die Schwingungsdauer in der Größenordnung von einer Sekunde liegt, veranschaulichen.
Bestandteile der Schaltung sind eine Spannungsquelle, ein Schwingkreis und ein Amperemeter.
a) Wie groß ist die Schwingungsdauer eines Schwingkreises, der aus einem Kondensator der
Kapazität 40 μF und einer Spule der Induktivität 500 H besteht?
b) Zeichnen Sie die Schaltskizze der oben
angegebenen Schaltung. Geben Sie an, wo
man das Amperemeter einbauen muss, um
die Stromschwankungen zu messen.
c) Wie würden Sie die Spule (L = 500 H) herstellen, damit dieses Bauteile noch einigermaßen
handlich ist? Unterbreiten Sie einen praktikablen Vorschlag.
105
ARBEITSBLATT
FOLIE
106
Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
An metallischen Leitern werden die
Wellen reflektiert.
Es gilt das Reflexionsgesetz α = α‘.
Metallplatte
α
Sender
Beim Übergang von einem Isolator
in einen anderen können elektromagnetische Wellen ihre Ausbreitungsrichtung ändern. Sie werden
gebrochen.
Es gilt das Brechungsgesetz.
α'
Empfänger
Isolator
Sender
An Hindernissen können die Wellen
gebeugt werden und sich so auch in
Schattenräume hinein ausbreiten.
Empfänger
Hindernis
Sender
Elektromagnetische Wellen können
sich überlagern, sodass eine resultierende Welle als Addition der Ausgangswellen entsteht (Interferenz).
Dabei kommt es zu typischen Interferenzerscheinungen wie Verstärkung
und Abschwächung.
Empfänger
Doppelspalt
Sender
Elektromagnetische Wellen können
polarisiert werden, z. B. durch ein
engmaschiges Netz aus Metalldrähten. Die Feldvektoren schwingen
dann hinter dem Gitter nur in einer
Richtung.
Empfänger
Gitter
Sender
Empfänger
Sendung und Empfang hertzscher Wellen
Blockschaltbild eines Senders
NF-Schwingung modulierte HF-Schwingung
modulierte
HF-Wellen
Mischkreis
Verstärker
Mikrofon
Schwingkreis
HF-Generator
Antenne
HF-Schwingung
Blockschaltbild eines Empfängers
HF-Schwingung
NF-Schwingung
ankommende
modulierte
HF-Wellen
Demodulator
Abstimmkreis
Antenne
verstärkte
NF-Schwingung
Verstärker
Lautsprecher
107
FOLIE
ARBEITSBLATT
108
TOP-Download und Verschwörungstheorien
Zu den häufigsten Downloads der Raumfahrtgeschichte gehört der berühmte Mitschnitt des
Gespräches, das der US-Präsident NIXON nach der Landung der amerikanischen Astronauten
NEIL ARMSTRONG und EDWIN ALDRIN auf dem Mond im Juli 1969 führte. Nachfolgend ist die
Gesprächsmitschrift angegeben.
McCandless: ...We‘d like to get both of you in the field-of-view of the camera for a minute. Neil and Buzz, the President of the United States is in his office now and would like
to say a few words to you. Over.
Armstrong: That would be an honor.
McCandless: All right. Go ahead, Mr. President. This is Houston. Out.
Nixon: Hello, Neil and Buzz. I‘m talking to you by telephone from the Oval Room at the
White House, and this certainly has to be the most historic telephone call ever made. I just
can‘t tell you how proud we all are of what you (garbled). For every American, this has to
be the proudest day of our lives. And for people all over the world, I am sure they, too,
join with Americans in recognizing what an immense feat this is. Because of what you
have done, the heavens have become a part of man‘s world. And as you talk to us from
the Sea of Tranquility, it inspires us to redouble our efforts to bring peace and tranquility
to Earth. For one priceless moment in the whole history of man, all the people on this
Earth are truly one; one in their pride in what you have done, and one in our prayers that
you will return safely to Earth.
Armstrong: Thank you, Mr. President. It‘s a great honor and privilege for us to be here
representing not only the United States but men of peace of all nations, and with interests
and the curiosity and with the vision for the future. It‘s an honor for us to be able to participate here today.
Nixon: And thank you very much and I look forward...All of us look forward to seeing you
on the Hornet on Thursday.
Aldrin: I look forward to that very much, sir.
Von der Homepage der NASA kann man sich die Original Sound-Dateien und die Mitschrift des
Funkverkehrs zwischen der Erde und dem Mond herunterladen (Quelle: http://science.ksc.nasa.
gov/history/apollo/apollo-11). Während des „kalten Krieges“ kam die Verschwörungstheorie
auf, die Amerikaner wären gar nicht auf dem Mond gewesen, sondern hätten alles nur vorgetäuscht. Hört man das Gespräch jedoch sorgfältig an, dann kommt man zu dem Schluss, dass hier
tatsächlich zwei Personen sehr weit weg von der Erde waren ...
1. Hören Sie sich das Gespräch mehrfach an!
2. Aus den Pausen im Gespräch kann man die Entfernung zum Erdmond abschätzen.
Dazu muss man sich aber unbedingt tiefer in den Text einlesen und einhören, auch, um sich
nicht von Hintergrundgeräuschen irritieren zu lassen.
a) Erläutern Sie kurz den Inhalt des Telefongespräches! Welche Personen sind daran beteiligt
und wo befinden sie sich?
b) Ermitteln Sie die Länge der Gesprächspausen! Welcher Astronaut reagiert am schnellsten
auf die Worte des Präsidenten?
c) Schätzen Sie unter Nutzung der Daten aus dem Gespräch die Entfernung des Monds von
der Erde!
Die Lösungen zum Arbeitsblatt
Die Lösungen zum Arbeitsblatt sind nicht elementar.
Teilaufgabe 2a) ist noch relativ einfach:
MCCANDLESS und NIXON befinden sich, wie auch das
Aufzeichnungsgerät, auf der Erde, ARMSTRONG
und ALDRIN auf dem Mond.
Bei Teilaufgabe 2b) ergibt sich:
MCCANDLESS bereitet ARMSTRONG auf das Gespräch mit dem Präsidenten vor, ARMSTRONG
antwortet, wie auch im Laufe der übrigen Unterhaltung, überlegt und bedächtig. Er benötigt immer 7–8 Sekunden für die Antwort. Die
Funkwellen sollten zum Mond und wieder zurück mehr als 2 aber weniger als 3 Sekunden
benötigen. ARMSTRONG hat also zusätzlich einige
Sekunden für die gedankliche Formulierung der
Antwort gebraucht. NIXON reagiert mit einer
für Gespräche üblichen Reaktionsverzögerung
von ca. 1 Sekunde auf die einlaufenden Worte
ARMSTRONGS, eine Verzögerung durch die Signallaufzeit entfällt (das Tonbandgerät, das die Unterhaltung aufzeichnet, steht natürlich auf der
Erde). ALDRINS Gesprächspart ist nur sehr kurz, so
dass er nicht erst lange nachdenken muss. Wir
merken das an seiner deutlich kürzeren Antwortzeit im Vergleich zu ARMSTRONG.
Die ermittelten Zeiten der Gesprächspausen
sind:
McCandless–Armstrong:
7s
McCandless–Nixon:
<1s
Nixon–Armstrong:
8s
Armstrong–Nixon:
ca.1 s
Nixon–Aldrin:
ca. 3– 4 s
Für Teilaufgabe 2c gilt:
Geht man davon aus, dass bei ALDRIN die Reaktionszeit zum Formulieren der Antwort in der
Größenordnung von NIXONS Reaktionszeit liegt,
also ca. 1 Sekunde beträgt, dann kann man die
Entfernung zum Mond aus der bekannten Lichtgeschwindigkeit abschätzen. Mit den oben ermittelten 3– 4 Sekunden Gesprächspause findet
man für die reine Lichtlaufzeit 2– 3 Sekunden,
also für die Monddistanz:
r = }12 c · t
Mit den oben genannten Daten erhält man für
r einen Wert zwischen 300 000 und 450 000 km.
Tatsächlich ist der Mond im Mittel rund
380 000 km von der Erde entfernt.
109
ARBEITSBLATT
110
2.5
Optik
Inhalte der Optik, insbesondere die gesamte Strahlenoptik und meist auch einige Aspekte der Wellenoptik,
werden in allen Bundesländern in der Sekundarstufe 1
behandelt. Schwerpunkte in der Oberstufe sind, unabhängig von der Einordnung in den Gesamtlehrgang,
− das Modell Lichtwelle sowie das huygenssche Prinzip
mit ausgewählten Anwendungen,
− die Interferenz von Licht und Anwendungen dazu
(Bestimmung der Wellenlänge von Licht, Interferenz
an dünnen Schichten, Interferometer),
− die Polarisation von Licht als weiteres Merkmal für
den Wellencharakter.
Als Einstieg scheint es sehr sinnvoll zu sein, zunächst die
grundlegenden Eigenschaften von Licht und wichtige
Phänomene wie Ausbreitung, Reflexion, Brechung, Beugung, Streuung und Absorption zu wiederholen. Das
kann z. B. in Form einer Diskussion mit den Schülern erfolgen. Dabei wird zusammengetragen, was die Schüler
zum Licht noch wissen (b Tafelbild unten). Der Lehrer erhält damit zugleich eine wichtige Rückkopplung über das
Ausgangsniveau der Schüler.
Inwieweit auf einzelne Aspekte genauer eingegangen
wird, hängt von der Klassensituation und von den Intentionen des Lehrers ab.
TAFELBILD
Es sollte dann zunächst die Reflexion und die Brechung in
den Vordergrund gestellt werden. Die Beschreibung von
Reflexion und Brechung ist mit dem Modell Lichtstrahl
problemlos möglich. Den Schülern sollte aber verdeutlicht werden, dass damit noch keine Erklärung für die Phänomene Reflexion und Brechung gegeben ist.
Eine nachvollziehbare Erklärung bildet erst das Wellenmodell in Verbindung mit dem huygensschen Prinzip. Ein
mögliches Herangehen ist im LB skizziert. Dabei sollten
– auch mit Blick auf typischen Anwendungen – zwei Fälle
unterschieden werden.
a) Es liegen lineare Wellen vor. Da jeder Punkt einer
Wellenfront Ausgangspunkt von Elementarwellen ist
und sich alle Elementarwellen in einem Medium
gleich schnell ausbreiten, entstehen immer neue lineare Wellenfronten.
Wellennormale
Wellenfront
neue Wellenfront
Damit können Reflexion und Brechung erklärt werden.
b) Es liegen kreisförmige Wellen vor, die von einem
punktförmigen Erregerzentrum ausgehen. Damit
kann die Beugung an einem schmalen Spalt, einer
Kante oder einem kleinen Hindernis erklärt werden.
Statische Bilder zum huygensschen Prinzip sind erfahrungsgemäß für Schüler schwer verständlich. Es sollten
deshalb Simulationen genutzt werden. Sie sind z. B. unter
www.schulphysik.de zu finden.
Was ist Licht?
Absorption
Ausbreitung mit
großer Geschwindigkeit
(300 000 km/s)
Beugung
geradlinige
Ausbreitung
Licht und seine Eigenschaften
Streuung
Reflexion
Wellenlänge
Brechung
Farbe
Frequenz
Optik
Ausgangspunkt für die Behandlung der Welleneigenschaften von Licht ist eine bei mechanischen Wellen
herausgearbeitete Erkenntnis, die etwa folgendermaßen
formuliert werden kann:
Mechanische Wellen, z. B. Wasserwellen oder Schallwellen, breiten sich hinter Spalten, Kanten oder Hindernissen in den gesamten Raum hinein aus.
Bei Licht lassen sich Beugung an schmalen Spalten und
Hindernissen sowie Interferenz am Doppelspalt bzw.
Gitter in einem gut abgedunkelten Raum problemlos
experimentell nachweisen.
Die Frage, warum Interferenz nicht überall in unserer
Umgebung zu beobachten ist, führt unmittelbar zum
Problem des kohärenten bzw. des inkohärenten Lichts.
Die Tiefe der Behandlung dieses Problems sollte vom
Leistungsvermögen der Schüler abhängig gemacht
werden.
Die Zusammenhänge zwischen den Modellen Lichtstrahl
und Lichtwelle können an einigen Beispielen gut verdeutlicht werden.
Die beiliegende Übersicht kann dabei als Kopiervorlage
genutzt werden.
FOLIE
Auf die Streuung und die Absorption von Licht sollte
etwa auf dem Niveau eingegangen werden, wie es im
Lehrbuch auf S. 371 dargestellt ist. Dabei sollten die Schüler vor allem auch auf die energetischen Aspekte aufmerksam gemacht werden:
− Streuung von Licht bedeutet energetisch die Aufspaltung des ursprünglichen Energiestroms in die unterschiedlichen Richtungen. Das wird mitunter mit dem
Begriff Dissipation belegt.
− Absorption von Licht bedeutet energetisch, dass die
mit dem Licht transportierte Energie auf den betreffenden Körper übertragen wird und es zu einer Erhöhung der Temperatur des Körpers kommt, da sich
seine thermische Energie vergrößert.
Eigenschaften von Licht
An schmalen Spalten und Hindernissen wird Licht gebeugt.
Hinter einem Doppelspalt überlagert sich das gebeugte Licht.
Es tritt Interferenz auf.
Schirm
Die Intensität des gebeugten
Lichts ist gering.
111
Auf einem Schirm sind Bereiche
der Verstärkung (helle Streifen,
Aufhellung) und der Abschwächung (dunkle Bereiche) zu beobachten.
Aus dem Auftreten der Welleneigenschaften
Beugung und Interferenz bei Licht kann gefolgert werden:
Licht hat Welleneigenschaften.
FOLIE
112
Lichtstrahl und Lichtwelle
In der Physik werden Modelle genutzt, um physikalische Erscheinungen
beschreiben, erklären und voraussagen zu können. Für ein Modell gilt:
− Es stimmt in einigen Merkmalen oder Eigenschaften mit dem
Original überein, in anderen nicht.
− Es ist nur innerhalb bestimmter Grenzen gültig und sinnvoll anwendbar.
− Es ist weder richtig noch falsch, sondern zweckmäßig und geeignet
oder unzweckmäßig und nicht geeignet.
Für ein und dasselbe Original können verschiedene Modelle genutzt
werden.
Licht
kann beschrieben werden mit den Modellen
Lichtstrahl
Lichtwelle
Ein Lichtstrahl veranschaulicht den
Weg des Lichts.
Eine Lichtwelle veranschaulicht
den Charakter von Licht als elektromagnetische Welle.
Das Modell eignet sich gut zur
Beschreibung
− der geradlinigen Lichtausbreitung,
− der Schattenausbildung,
− der Reflexion und der Brechung.
Das Modell eignet sich gut zur Beschreibung und Erklärung
− der Beugung,
− der Interferenz,
− der Polarisation.
Zwischen den beiden Modellen für das Licht
gibt es auch Zusammenhänge:
L
Die Lichtstrahlen stehen senkrecht auf den Wellenfronten.
Interferenz von Licht
Konstruktive Interferenz
Es tritt maximale Verstärkung auf.
Destruktive Interferenz
Es tritt maximale Abschwächung
(Auslöschung) auf.
Δs = 2k ∙ }2λ
Δs = (2k – 1) ∙ }2λ
(k = 0, 1, 2, …)
(k = 1, 2, …)
Gibt man die Energieverteilung auf einem Bildschirm
an, dann wird klar, weshalb z. B. bei der Bestimmung der
Wellenlänge von Licht Messungen an Maxima günstiger
als Messungen an Minima sind.
Neben Simulationen kann man zur Demonstration der
Überlagerung von Wellen zwei Wellenzüge nutzen, die
auf eine durchsichtige Folie kopiert werden (Vorlage unten). Dieses Modell ist gut geeignet, um mithilfe eines
Tageslichtprojektors die Entstehung von Verstärkung,
Abschwächung und Auslöschung zweier Wellen zu verdeutlichen. Auch die Notwendigkeit der Nutzung kohärenter Wellen kann verdeutlicht werden.
FOLIE
Die Herleitung der Gleichung für Interferenzmaxima
kann so erfolgen, wie es im LB dargestellt ist. Ob dabei
die Begriffe konstruktive und destruktive Interferenz
eingeführt werden, bleibt der Lehrkraft überlassen. Entscheidend ist eine solide Interpretation der Gleichung.
Die Schüler sollen erfassen:
− Bei einer bestimmten Wellenlänge ergeben sich eindeutige Maxima, die auch messtechnisch gut erfasst
werden können.
− Da die Lage der Maxima von der Wellenlänge abhängig ist, ergibt sich bei Verwendung von weißem Licht
ein kontinuierliches Spektrum.
113
TAFELBILD
Optik
ARBEITSBLATT
114
Interferenz am Doppelspalt
1. Unter welchen Bedingungen treten bei Licht zeitlich stabile Bereiche der Verstärkung bzw. der
Auslöschung auf?
2. Zeichnen Sie für Licht einer Wellenlänge die von zwei Spalten (Doppelspalt) ausgehenden Wellen. Markieren Sie im Bereich der Überlagerung der Wellen und auf dem Schirm die Bereiche der
maximalen Verstärkung und der Auslöschung. Wählen Sie als Abstand der Wellenfronten 1 cm.
Schirm
3. Wie verändert sich die Lage der hellen Streifen auf dem Schirm, wenn man die Wellenlänge
größer wählt? Begründen Sie.
Wellen im Vergleich
Mechanische Wellen, hertzsche Wellen und Licht haben ähnliche Eigenschaften, die in analoger Weise beschrieben werden können.
Eigenschaft
Reflexion
Mechanische Wellen
Hertzsche Wellen
Licht
Hindernis
leitende Schicht
Spiegel
α α'
α α'
α α'
α = α'
Bei der Reflexion von Wellen gilt das Reflexionsgesetz:
Brechung
Wasser
flach
α
β
Wasser
tief
Isolator
α
Luft
β
n1
α
Luft
Glas,
Wasser
β
n2
Bei der Brechung von Wellen gilt das Brechungsgesetz:
n
sin α = 2
}
}
n1
sin β
Interferenz
Doppelspalt
Doppelspalt
Doppelspalt
Sender
Sender
(Lautsprecher)
Sender
(Leuchte)
(Mikrowellensender)
Wellen können sich überlagern (interferieren). Wo Verstärkung
und Abschwächung auftreten, hängt von den jeweiligen Bedingungen ab.
Polarisation
Spalt
Polarisationsfilter
Gitter
Empfänger
Sender
Seilwellen können
durch einen Spalt
polarisiert werden.
Hertzsche Wellen
können durch ein
Drahtgitter polarisiert werden.
115
FOLIE
Optik
Sender
Empfänger
Licht kann durch ein
Polarisationsfilter
polarisiert werden.
116
2.6
Quantenphysik
Schwerpunkte in diesem Lernbereich sind:
− der äußere lichtelektrische Effekt, seine Beschreibung
und seine quantenphysikalische Deutung sowie
− das Gewinnen eines Einblicks in die Eigenschaften
von Quantenobjekten, die wesentlich anders sind als
die von makroskopischen Objekten.
Die Behandlung des Fotoeffektes sollte zunächst auf
phänomenologischer Ebene erfolgen. Dabei ist es sinnvoll, den traditionellen Weg zu gehen, der auch im Lehrbuch dargestellt ist:
− Es erfolgt eine experimentelle Untersuchung des
Fotoeffekts und seine Deutung. Dazu kann das beiliegende Arbeitsblatt genutzt werden.
− Es werden energetische Betrachtungen zu den drei
Fällen E > WA, E = WA und E < WA durchgeführt.
Anschließend erfolgen quantitative Betrachtungen anhand der Einstein-Geraden bzw. der einsteinschen Gleichung für den Fotoeffekt. Der Schwerpunkt sollte dabei
auf der Interpretation der Einstein-Geraden bzw. der einsteinschen Gleichung liegen, nicht auf formalen Berechnungen.
− Elektronen teilweise wie Teilchen und teilweise wie
Wellen verhalten;
− Elektronen, Photonen und Masseteilchen (z. B. Atome,
Moleküle) Quantenobjekte sind, die sich anders verhalten als makroskopische Körper;
− für einzelne Ereignisse bei Quantenobjekten keine
Vorhersagen getroffen werden können, wohl aber
für eine hinrechend große Anzahl von Quantenobjekten;
− Erkenntnisse der Quantenphysik in der modernen
Technik nutzen lassen.
Für das Herangehen empfehlen wir den im LB skizzierten
Weg.
Die entscheidende Folgerung aus den Betrachtungen ist:
Wie sich einzelne Quantenobjekte verhalten, ist nicht
vorhersagbar. Bei einer großen Anzahl von Quantenobjekten sind Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich.
Den Schülern sollte auch deutlich werden: Quanteneffekte treten bei beliebigen Objekten auf. Sie sind allerdings bei makroskopischen Objekten so klein, dass sie
weit unter jeder Messbarkeitsgrenze liegen. In der beiliegenden Kopiervorlage ist dazu ein Beispiel angegeben.
FOLIE
Im nachfolgenden Unterrichtsabschnitt sollten die Schüler erfassen, dass sich
Verschiedene Modelle für das Licht
Modell Lichtstrahl
Modell Welle
Modell Photon
eignet sich zur
Beschreibung des
Wegs, den Licht
zurücklegt.
eignet sich zur
Erklärung von
Beugung und Interferenz.
eignet sich zur
Erklärung des Fotoeffekts.
Keine Aussage zur
Natur des Lichts
Licht hat Wellencharakter.
Licht hat Teilchencharakter.
Der äußere lichtelektrische Effekt
Die Erscheinung, dass aus der Oberfläche eines Körpers bei Bestrahlung mit Licht Elektronen austreten können, wird als äußerer lichtelektrischer Effekt bezeichnet.
Ekin = e · U
in eV
2
Ekin = h · f – WA
1
ΔE
=h
}
Δf
ΔE
Δf
0
–1
1
2
3
4
5
6
WA
Frequenz f
in 1014 Hz
Grenzfrequenz fG
–2
− Der Anstieg des Graphen ist das plancksche Wirkungsquantum h.
− Der Schnittpunkt des Graphen mit der Abszissenachse ist die Grenzfrequenz fG.
− Der Schnittpunkt des Graphen mit der Ordinatenachse ergibt den
Betrag der Ablösearbeit WA.
Die Energiebilanz beim äußeren lichtelektrischen Effekt lautet:
h · f = WA + Ekin
h
f
WA
Ekin
plancksches Wirkungsquantum (h = 6,626 · 10–34 J · s)
Frequenz des eingestrahlten Lichts
Austrittsarbeit (Materialkonstante)
kinetische Energie der herausgelösten Elektronen
117
FOLIE
Quantenphysik
ARBEITSBLATT
118
Die Elektronenbeugungsröhre
1. Die Skizze zeigt eine Elektronenbeugungsröhre. Beschriften Sie diese Skizze.
U
UH
2. Auf dem Schirm kann man Ringe erkennen. Ergänzen Sie die nachfolgenden Sätze.
Das Muster wird von den Elektronen erzeugt. Dafür sprechen die
folgenden Ergebnisse bei der Durchführung des Experiments:
− Erhöht man die Beschleunigungsspannung, so werden die Durchmesser der Kreise
.
− Bringt man einen Magneten in die Nähe des Beugungsmusters, so
wird die Ringstruktur
.
3. Im Ergebnis der Untersuchungen kann man formulieren:
Elektronen besitzen auch
. Elektronen kann eine
zugeordnet werden, die von der
von der
und damit
abhängt.
Lichtmikroskop und Elektronenmikroskop
Lichtmikroskop
Lichtquelle
Kondensor
Objekt
Objektiv
Zwischenbild
Elektronenmikroskop
Elektronenquelle
Kondensorspulen
(Magnetlinse)
Objekt
Objektspulen
(Magnetlinse)
Zwischenbild
Projektionsspulen
(Magnetlinse)
Auge
Okular
Auge
Leuchtschirm
mit Bild, Fotoplatte
Das Objekt wird mit Licht durchstrahlt.
Das Objekt wird mit schnell bewegten Elektronen durchstrahlt.
Die Abbildung erfolgt durch
optische Linsen
(Nutzung der Brechung von
Licht).
Die Abbildung erfolgt durch
Magnetlinsen
(Nutzung der Ablenkung von
Elektronen in Magnetfeldern).
Es entsteht ein vergrößertes Bild
des Objekts, das mit den Augen
betrachtet oder fotografiert
werden kann.
Es entsteht ein vergrößertes Bild
des Objekts, das mit den Augen
betrachtet oder fotografiert
werden kann.
Meist wird mit 20-facher bis
1000-facher Vergrößerung
gearbeitet.
Die Vergrößerung ist etwa um
den Faktor 103 größer als bei
einem Lichtmikroskop.
Das Auflösungsvermögen ist
durch die Wellenlänge des Lichts
begrenzt
(bei blauem Licht: 0,4 μm).
Das Auflösungsvermögen ist
durch die Beschleunigungsspannung begrenzt
(bei 100 kV : 0,3 nm).
119
FOLIE
Quantenphysik
FOLIE
120
Interferenz von Licht und von einzelnen Photonen
Doppelspalt
Schirm
Auf dem Schirm ergeben sich zwei Häufungsbereiche.
Lichtquelle
Doppelspalt
Schirm
Es entsteht ein Interferenzmuster mit Bereichen der Verstärkung
und der Abschwächung.
Quelle für
einzelne
Photonen
Doppelspalt
Quelle für
einzelne
Photonen
Doppelspalt
CCD-Array
Bei wenigen Photonen
ergibt sich ein Muster,
aus dem man keinen gesetzmäßigen Zusammenhang erkennen kann.
CCD-Array
Bei einer größeren Anzahl von Photonen ergibt sich ein typisches
Interferenzmuster, vergleichbar mit dem von
Licht.
Makroskopische Objekte und Quantenobjekte
Quantenobjekte sind die Objekte, mit denen sich die Quantenphysik beschäftigt.
Zu ihnen gehören Elektronen, Photonen, Neutronen, Protonen, Atome und Moleküle. Sie unterscheiden sich in ihrem Verhalten grundsätzlich von makroskopischen
Objekten.
Makroskopische Objekte
Quantenobjekte
z. B. Ball, Ziegelstein, Murmel
z. B. Elektronen, Photonen, Atome
Makroskopische Objekte bewegen
sich auf Bahnen.
Quantenobjekte bewegen sich nicht
auf Bahnen.
Für ein makroskopisches Objekt kann
man Ort und Impuls im Rahmen der
Grenzen der Messgenauigkeit angeben.
Je bestimmter der Ort eines Quantenobjekts ist, desto unbestimmter ist
sein Impuls und umgekehrt.
Schickt man ein makroskopisches
Objekt mehrfach durch einen Doppelspalt, so geht es stets entweder durch
den einen oder durch den anderen
Spalt.
Schickt man ein Quantenobjekt in großer Anzahl durch einen Doppelspalt,
so bildet sich auf einem Schirm ein
typisches Interferenzmuster heraus.
Elektronenquelle
Ein makroskopisches Objekt geht stets
durch genau einen Spalt hindurch.
Man kann vorhersagen, durch welchen Spalt es geht.
Für ein einzelnes Quantenobjekt ist
nicht vorhersagbar, durch welchen
Spalt es geht.
Eine große Anzahl von makroskopischen Objekten ändert nichts an der
Vorhersagbarkeit des Ergebnisses.
Bei einer großen Anzahl von Quantenobjekten sind Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich.
Für makroskopische Objekte sind
keine Quanteneffekte beobachtbar.
m = 1,0 kg, Ortsunschärfe: 1 Atomdurchmesser (10 –10 m)
Die Unbestimmtheit der Geschwindigm
keit beträgt: Δv ≥ 5,3 · 10 –25 }
s
Für Quantenobjekte spielen Quanteneffekte eine entscheidende Rolle.
Elektron: Bei einer Ortsunschärfe von
Δx = 0,0529 nm (bohrscher Radius)
beträgt die Unbestimmtheit der
km .
Geschwindigkeit Δv ≥ 1 000 }
s
121
FOLIE
Quantenphysik
FOLIE
122
Eigenschaften von Quantenobjekten
Zu den Quantenobjekten, mit denen sich die Quantenphysik
beschäftigt, gehören Elektronen, Photonen, Neutronen und Protonen,
aber auch Atome und Moleküle.
Im Unterschied zu den uns umgebenden makroskopischen Körpern gilt
für die Quantenobjekte:
− Quantenobjekte bewegen sich nicht auf Bahnen.
− Quantenobjekte sind keine kleinen Kügelchen.
− Bei Quantenobjekten treten Teilchen- und Welleneigenschaften auf.
haben etwas Welliges, was ihre Ausbreitung
bestimmt und z. B. auch Interferenz bewirkt.
Quantenobjekte
haben etwas Körniges oder Teilchenhaftes,
was sich z. B. bei einer Ortsmessung zeigt.
haben etwas Stochastisches, was keine Aussage über das Verhalten eines einzelnen
Quantenobjekts erlaubt, wohl aber Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine große Anzahl
von Quantenobjekten.
Das
Elektron
ist als klassisches Teilchen beschreibbar.
m = 9,1 · 10–31 kg
e = 1,6 · 10–19 C
Es besitzt eine bestimmte Geschwindigkeit
und damit kinetische Energie.
zeigt auch Welleneigenschaften.
Es treten Beugung
und Interferenz auf.
Grundlegende Prinzipien der klassischen Physik
123
FOLIE
Quantenphysik
1. Kausalitätsprinzip: Jede Wirkung beruht auf einer Ursache.
2. Determinismus: Alles Geschehen auf der Welt ist durch kausale
Zusammenhänge in seinem Verlauf unabänderlich bestimmt.
3. Objektivierbarkeit: Der beobachtete Naturvorgang läuft unabhängig
und unbeeinflusst von dem Beobachter ab. Das Naturgeschehen ist
objektivierbar. Es lässt sich unabhängig vom Beobachter objektiv beschreiben.
nung zugrunde legen, so wäre er fähig, die Bewegung
der größten Körper des Weltalls und der kleinsten Atome
vorherzusagen. Für ihn wäre nichts unbestimmt, Zukunft
und Vergangenheit lägen offen vor ihm.
Die Quantenphysik stellt die Kausalität und die Objektivierbarkeit infrage. Für eine große Anzahl von Quantenobjekten lassen sich Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen. Damit ist auch die Kausalität wieder hergestellt.
Überzeugend lassen sich die Zusammenhänge am Beispiel
der Interferenz von Licht und von einzelnen Photonen
darstellen (b beiliegende Folie). Eine Gegenüberstellung
von makroskopischen Objekten und Quantenobjekten
(b Folie) ist ebenfalls sehr hilfreich für das Verständnis.
Eigenschaften von Quantenobjekten
Quantenobjekte verhalten sich anders als die makroskopischen
Objekte, mit denen wir es in unserem Erfahrungsbereich zu tun haben:
− Für einzelne Quantenobjekte können Messergebnisse nicht vorhergesagt werden.
− Für eine große Anzahl von Quantenobjekten kann man Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen und Gesetze formulieren.
− Quantenobjekte können durch den Messprozess gravierend beeinflusst werden.
− Je bestimmter der Ort x eines Quantenobjekts ist, umso unbestimmter ist sein Impuls (seine Geschwindigkeit) und umgekehrt. Für
Quantenobjekte gilt die heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation:
h
Δx ∙ Δp ≥ }
4π
FOLIE
Das Verhalten von Quantenobjekten unterscheidet sich
deutlich von dem makroskopischer Objekte und damit
von unserem Erfahrungsbereich. Um diese Unterschiede
herauszuarbeiten, ist es zweckmäßig die Prinzipien der
klassischen Physik zunächst noch einmal zu verdeutlichen
(b Folie oben).
Laplace formulierte die Grundpositionen der klassischen
Physik so:
Wir müssen den jetzigen Zustand des Weltalls als Wirkung eines früheren und als Ursache des folgenden betrachten. Ein Dämon möge alle Kräfte der Natur sowie
die Lage und die Geschwindigkeit aller Teilchen, aus denen die Natur besteht, in einem bestimmten Augenblick
kennen. Könnte er zudem all diese Daten einer Rech-
124
2.7
Atom- und Kernphysik
In den Lehrplänen sind für diesen Lernbereich meist die
folgenden inhaltlichen Schwerpunkte ausgewiesen:
− Modelle für die Atomhülle,
− Emission und Absorption von Licht,
− Atomkerne, Kernumwandlungen und Radioaktivität,
− Kernspaltung und Kernfusion,
− Grundbausteine der Materie und das Standardmodell.
Eine Reihe von Inhalten wurde bereits in der Sekundarstufe 1 behandelt. Neu ist vor allem, dass verstärkt quantitative Betrachtungen erfolgen, etwa zum Wasserstoffspektrum, zum Massendefekt sowie zum Zerfallsgesetz
und zur Aktivität.
TAFELBILD
Ein erster Schwerpunkt besteht darin, den Schülern einen
Überblick über die Entwicklungsgeschichte der Vorstellungen vom Atombau zu geben. Es ist sicher im Unterricht nicht möglich und auch nicht sinnvoll, die komplizierten und teilweise widersprüchlichen Entwicklungen
in den wissenschaftlichen Auffassungen nachvollziehen
zu wollen. Einige wichtige Aspekte und Fakten sollten
den Schülern aber bewusst werden:
− Bis etwa 1860 spielten in der physikalischen Forschung
Fragen des Atombaus keine Rolle.
− Mit der Entwicklung der Elektrizitätslehre, insbesondere der Untersuchung von Gasentladungen, wurden
Erscheinungen registriert, die mit den bekannten Modellen nicht zu erklären waren. Diese Situation verschärfte sich mit der Entdeckung und Untersuchung
verschiedener Arten von Strahlungen (Katodenstrahlen und ihr Durchgang durch dünne Folien, Röntgenstrahlung (1895), ionisierende Strahlung (BECQUEREL
1896).
− Auf der Grundlage experimenteller Erkenntnisse versuchte man solche Modelle zu finden, mit denen man
experimentell ermittelten Fakten erklären konnte.
Das führte zu unterschiedlichen Modellen.
Einen Überblick über einige Etappen der Entwicklung der
Vorstellungen vom Atom gibt die beiliegende Kopiervorlage.
In Abhänigkeit vom Lehrplan steht entweder das bohrsche oder das quantenphysikalische Atommodell im Vordergrund. Während das bohrsche Atommodell nur für
Wasserstoff brauchbare Ergebnisse liefert, ist das quantenphysikalische Atommodell auch auf andere Elemente
anwendbar. Allerdings erfolgt auch dort in der Schule
aus Gründen der Verständlichkeit für Schüler einer Beschränkung auf die Beschreibung des Wasserstoffatoms.
Unabhängig vom behandelten Modell für die Atomhülle
sollten Energieniveauschemas in den Vordergrund gestellt werden.
Mithilfe einer solchen grafischen Darstellung lassen sich
Emission und Absorption von Licht (allgemeiner: von
Strahlung) zeitgemäß beschreiben und erklären. Dabei
können die beiliegenden Folien mit einbezogen werden.
Aufbau des Atoms
Ein Atom besteht aus
− einem positiv geladenen Atomkern
(r ≈ 10–15 m) mit Protonen und Neutronen,
–
+ Atomkern
− einer negativ geladenen Atomhülle
(r ≈ 10–10 m) mit Elektronen.
Atomhülle
Seine Masse beträgt 10–27 – 10–24 kg.
Bei einem neutralen Atom gilt:
Anzahl der Protonen = Anzahl der Elektronen
Für die Massen der Elementarteilchen gilt:
mp ≈ mn
1 m (m vernachlässigbar)
me ≈ }
e
1840 p
Massenzahl = Protonenzahl (Ordnungszahl) + Neutronenzahl
A=Z+N
Entwicklung der Vorstellungen vom Atom
1860 bis 1900
Untersuchung von Katodenstrahlen (EUGEN GOLDSTEIN, PHILIPP LENARD,
J. J. THOMSON)
Katodenstrahlen sind schnell bewegte Elektronen. Mit den Elektronen wurde das erste Elementarteilchen gefunden.
–
––
1902
Atommodell von J. J. THOMSON
Positiv geladene „Flüssigkeit“ mit
eingebetteten Elektronen
(Rosinenkuchen-Modell)
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
1911
Atommodell von ERNEST RUTHERFORD
(Planetenmodell)
+
–
–
–
–
–
1913
Atommodell von NIELS BOHR
(Schalenmodell)
–
+
–
–
–
–
–
ab 1925
Quantenmechanisches Atommodell
WERNER HEISENBERG
ERWIN SCHRÖDINGER
MAX BORN
Dieses Atommodell ist nur mit
mathematischen Mitteln beschreibbar. Die Elektronen sind
keine Teilchen und bewegen sich
nicht auf Bahnen.
125
FOLIE
FOLIE
126
Quantenhafte Emission und Absorption von Licht
Im bohrschen Atommodell bedeutet die Emission bzw. die Absorption
von Licht den Übergang eines Elektrons von einer Bahn auf eine andere.
Emission eines Photons
Absorption eines Photons
Ein Elektron „springt“ von einer kernferneren auf eine kernnähere Bahn.
Ein Elektron wird von einer kernnäheren auf eine kernfernere
Bahn „gehoben“.
n2
n2
n1
n1
h · f = ΔE
–
+
+
E1
E2
h · f = ΔE
–
E1
E2
Dabei wird Energie ausgesendet
(emittiert).
Dabei wird Energie aufgenommen (absorbiert).
Im quantenmechanischen Atommodell wird von Energieniveaus ausgegangen, die für die Elektronen in der Atomhülle existieren. Emission
bzw. Absorption bedeutet den Übergang eines Elektrons von einem
Energieniveau auf ein anderes.
Emission von Photonen
E
–
Absorption von Photonen
E4
E3
E2
E1
–
–
–
E
–
–
ΔE20
E4
E3
E2
E1
ΔE02
Photon
Es wird mit Photonen Energie
abgegeben.
E0
–
–
Photon
E0
Es wird mit Photonen Energie
aufgenommen.
Die Energie entspricht einer bestimmten Frequenz f und mit c = λ · f
einer bestimmten Wellenlänge.
Das Energieniveauschema des Wasserstoffs
13,6
12,8
12,1
E in eV
n=∞
n=4
n=3
Paschen-Serie
10,2
n=2
Balmer-Serie
+13,6 eV
+10,2 eV
0
Lyman-Serie
(Grundzustand)
n=1
− Für ein Wasserstoffatom im Grundzustand (n = 1) beträgt die Ionisierungsenergie 13,6 eV.
− Die möglichen Übergänge auf ein bestimmtes Niveau sind nach Physikern benannt (Lyman, Balmer, Paschen, Brackett, Pfund).
− Sichtbares Licht hat Energien zwischen 1,5 eV (langwelliges, rotes
Licht) und 3,3 eV (kurzwelliges, violettes Licht). Das bedeutet:
• Nur einige Spektrallinien der Balmer-Serie liegen im sichtbaren
Bereich.
• Die Linien der Lyman-Serie liegen im ultravioletten Bereich, die der
anderen Serien im infraroten Bereich.
Ausgewählte Energieniveaus der Balmer-Serie
E in eV
12,8
n=∞
n=5
n=4
12,1
n=3
Hα
(rot)
Hβ
(grün)
Hγ
(blau)
Hδ
(violett)
10,2
n=2
Hα: λ = 656,28 nm
Hβ: λ = 486,13 nm
Hγ: λ = 434,05 nm
Hδ: λ = 410,17 nm
127
FOLIE
FOLIE
128
Spontane und induzierte Emission
Spontane Emission
Induzierte Emission
E
E
E2
E1
E1
ΔE
ΔE
E0
E0
Angeregter Zustand besteht nur
ca. 10 –8 s. Die Emission erfolgt
ohne äußere Einwirkung.
Angeregter Zustand besteht
mehr als 10 –2 s. Die Emission wird
durch Photonen stimuliert.
Beispiel: glühender Wolframdraht Beispiel: Laser
Aufbau eines Lasers
Spiegel
Energiespeicher (Lasermedium)
teildurchlässiger Spiegel
Laserlicht
Energiequelle
Laserlicht unterscheidet sich vom Licht der meisten anderen
Lichtquellen:
− Laserlicht ist nahezu paralleles Licht.
− Laserlicht ist Licht einer Frequenz bzw. einer Wellenlänge (monochromatisches Licht).
− Die Frequenz (Wellenlänge, Farbe) hängt vom Lasermedium ab.
− Laserlicht kann eine hohe Leistungsdichte von bis zu einigen Megawatt je Quadratzentimeter haben.
stände, die als stehende Wellen oder als Aufenthaltswahrscheinlichkeiten (Orbitale) gedeutet werden
können. Analogieexperimente (schwingende Saiten,
chladnische Klangfiguren) bieten eine gewisse Veranschaulichung für das eingeführte Modell.
Egal, welchen Weg man geht. Den Schülern sollten drei
Sachverhalte immer wieder bewusst gemacht werden:
− Es wird mit Modellen gearbeitet, die nicht identisch
sind mit der Realität. Potenzialtöpfe oder Orbitale
sind Vorstellungen über die Atomhülle.
− Die mathematische Beschreibung von Atomen mithilfe der Schrödingergleichung ist so genau, dass sie
mit der Realität gut übereinstimmt und vielfältige
Anwendungen ermöglicht.
− Das Modell linearer Potenzialtopf eignet sich gut, um
die diskreten Energieniveaus für das Elektron in der
Atomhülle zu erklären. Man beachte aber: Die tatsächlichen Energiewerte werden von dem Modell nur
schlecht beschrieben.
Mitunter helfen Analogien, um die relativ unanschaulichen Sachverhalte der Quantenphysik zu verdeutlichen.
Eine solche Analogie ist bei der Folie unten genutzt – der
Vergleich des newtonschen Grundgesetzes mit der Schrödingergleichung.
Die Schrödingergleichung
Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der Quantenphysik,
ähnlich wie das newtonsche Grundgesetz F = m ∙ a Grundgleichung der
klassischen Mechanik ist.
Klassische Mechanik
Quantenphysik
Grundgleichung:
F = m∙a
Grundgleichung:
Schrödingergleichung
(allgemeine Form)
Das Verhalten eines Körpers wird
durch die Summe der auf ihn
wirkenden Kräfte bestimmt.
Das Verhalten eines Elektrons
der Atomhülle wird durch das
Potenzial bestimmt, in dem sich
das Elektron befindet.
Als Lösung ergibt sich eine Bahnkurve, die im einfachsten Fall in
x-Richtung verläuft.
Als Lösung ergibt sich eine Eigenfunktion Ψn (x), die im einfachsten Fall des linearen Potenzialtopfs die stationären Zustände
eines Elektrons verdeutlicht.
FOLIE
Mit dem Energieniveauschema verfügen die Schüler über
eine anschauliche Deutung der energetischen Verhältnisse in der Atomhülle. Wie diese Energieniveaus zustande kommen, bleibt allerdings offen. Den Ansatz dafür bietet die Schrödingergleichung, deren Lösungen für
ein Elektron im Potenzialtopf anschaulich verdeutlicht
werden. Dabei sollte immer wieder klargestellt werden:
Bei dem Potenzialtopf handelt es sich um ein stark vereinfachtes Modell, mit dem man das Vorhandensein diskreter Energieniveaus erklären kann. Bei Berechnungen
erhält man Ergebnisse, die mit der Realität nicht übereinstimmen.
Für das methodische Herangehen bieten sich unterschiedliche Varianten an:
− Es wird von Analogienexperimenten ausgegangen,
bei denen sich Objekte in stabilen Zuständen befinden. Das sind zum Beispiel lineare stehende Wellen
(Experimente mit Saiten) oder zweidimensionale stehende Wellen (chladnische Klangfiguren). Anschließend wird ein Modell mitgeteilt, mit dem man stationäre Zustände von Elektronen in der Atomhülle
beschreiben kann.
− Es wird von der Schrödingergleichung ausgegangen
und die Lösungen diese Gleichung für den Potenzialtopf erläutert. Die Lösungen ergeben stabile Zu-
129
FOLIE
130
Lösungen der Schrödingergleichung für ein Elektron im
linearen Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden
Die Lösungen der Schrödingergleichung sind Eigenfunktionen Ψn (x).
Sie beschreiben die stationären Zustände des Elektrons.
x·3π
Ψ3 (x) ~ sin (}
L )
x·2π
Ψ2 (x) ~ sin (}
L )
x·π
Ψ1 (x) ~ sin (}
L )
x
x
0
L
0
L
x
0
L
Das Quadrat der jeweiligen Eigenfunktion 3Ψn (x)4 2 ist ein Maß für die
Wahrscheinlichkeit (Aufenthaltswahrscheinlichkeit), ein Elektron im betreffenden Raumbereich nachzuweisen.
x·π 2
[Ψ1 (x)]2 ~ 3sin (}
L )4
x·2π 2
[Ψ2 (x)]2 ~ 3sin (}
L )4
x·3π 2
[Ψ3 (x)]2 ~ 3sin (}
L )4
0
0
0
L
L
L
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit lässt sich auch mithilfe von
„Wolken“ unterschiedlicher Dichte darstellen.
Je größer ihre Dichte an einem Ort ist, desto größer ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons an diesem Ort.
Nun sind allerdings Atome dreidimensionale Gebilde.
Daraus ergibt sich die Frage, wie man sich die Atomhülle
räumlich vorstellen kann.
Auch hier können Analogiebetrachtungen nützlich sein,
indem man von den bisher betrachteten eindimensionalen Bewegungen zu zweidimensionalen Bewegungen
übergeht. Das Analogon sind schwingende Platten, bei
denen die Bereiche, die nicht mit schwingen, als Linien
sichtbar werden, wenn man die schwingende Platte vorher mit feinem Sand gestreut hat. Diese chladnischen
Klangfiguren sind zweidimensionale stehende Wellen.
Das Analogon dazu in der Quantenphysik sind strukturierte Oberflächen, die von der Form her chladnischen
Klangfiguren ähneln.
Für den dreidimensionalen Potenzialtopf gibt es kein
einfaches mechanisches Analogon. Eine Vorstellung erhält man mit den Orbitalen, die beim Wasserstoff im einfachsten Fall kugelförmig beziehungsweise hantelförmig
sind (b LB S. 454).
Diese beiden Varianten lassen sich gut mit einem Luftballon veranschaulichen: Der Grundzustand ist der kugelförmige Luftballon, der angeregte Zustand der zu einer
Hantel umgeformte Luftballon, der bei etwas Geschick
nach kurzer Zeit von selbst wieder in den Grundzustand
„zurückspringt“.
FOLIE
Das Modell linearer Potenzialtopf liefert eine Erklärung
für die diskreten Energieniveaus des Elektrons eines Wasserstoffatoms. Die Lösungen der Schrödingergleichung
für diesen Fall haben die gleiche Form wie stehende
Wellen bei maximaler Auslenkung. Das legt die Analogie
zwischen den Eigenschwingungen einer Saite und den
Eigenfunktionen im linearen Potenzialtopf nahe, so wie
es auf der Folie unten dargestellt ist. Dabei ist aber zu
beachten, dass diese Analogie Grenzen hat: Eine Saite
schwingt zwischen den Knotenpunkten hin und her. Dagegen sind die Elektronenzustände stationär.
Eigenschwingungen einer Saite und Eigenfunktionen
im Potenzialtopf
Eigenschwingungen
einer Saite
Eigenfunktionen
im Potenzialtopf
λ1 = 2 L ; f1 = 100 Hz
λ1 = 2 L
Ψ1 (x)
2
h
E1 = }
2
8 m·L
0
λ2 = L ; f2 = 200 Hz
2
2
λ2 = L
L
x
Ψ2 (x)
2
h
·4
E2 = }
2
8mL
0
2 L ; f = 300 Hz
λ3 = }
3
3
131
2L
λ3 = }
3
2
L
x
Ψ3 (x)
h
·9
E3 = }
2
8 m·L
0
L
x
FOLIE
132
Zustände der Atomhülle und Quantenzahlen
Die Energieniveaus in der Atomhülle hängen von einer Zahl n mit
n = 1, 2, 3, ... ab. Für das Wasserstoffatom gilt:
1
En = –13,6 eV · }
2
1
En = – RH · h · c · }
2
n
n
Für n = 1 ergibt sich der Grundzustand, für n = 2 der erste angeregte
Zustand usw.
Für die verschiedenen energetischen Zustände erhält man unterschiedliche Orbitale.
Orbitale für n = 1
Orbitale für n = 2
x
x
y
z
y
y
z
x
x
Knotenfläche
z
Knotenfläche
Knotenfläche
y
z
Die geometrischen Eigenschaften der Orbitale lassen sich durch Zahlen
charakterisieren, die man Quantenzahlen nennt.
Quantenzahl
Bedeutung
Hauptquanten- kennzeichnet das
zahl n
jeweilige Energieniveau
des Elektrons der Hülle.
Nebenquanten- kennzeichnet die Anzahl
zahl l
der Knotenflächen im
(BahndrehOrbital.
impulsquantenzahl)
Magnetquankennzeichnet Orbitale mit
tenzahl m
gleichem n und l nach der
Orientierung im Raum.
Spinquantenzahl s
mögliche Werte
n = 1, 2, 3, ...
l = 0, 1, 2, ..., n – 1
(s, p, d, f )
m = – l, ..., –1, 0, 1, ..., + l
beschreibt die Richtung
s = + }12, – }12
der Eigenrotation des
Elektrons, hat aber keinen
Einfluss auf die Form des
Orbitals.
Ein Schwerpunkt dieses Inhaltsbereichs ist die Behandlung eines einfachen Modells für den Atomkern. Dabei
ist zu beachten, dass es unterschiedliche Kernmodelle
gibt, die genutzt werden, um verschiedene Phänomene
zu beschreiben bzw. zu erklären.
So ist das Tröpfchenmodell gut geeignet, Kernspaltung
oder Kernfusion anschaulich zu beschreiben.
Beim Potenzialtopfmodell des Atomkerns (b Folie unten)
geht es vorrangig um die Beschreibung der diskreten
Energieniveaus von Protonen und Neutronen im Atomkern sowie um die Erklärung des Zustandekommens von
α-, β- und γ-Strahlung. Eine zusammenfassende Darstellung ist auf der Folie S. 134 zu finden.
Diskutiert wird immer wieder, wie man diese Strahlungen
bezeichnet. Der historische Begriff "radioaktive Strahlung" ist weitverbreitet und auch nicht missverständlich,
wie mitunter behauptet wird. Ein sinnvoller Oberbegriff
ist "Kernstrahlung", weil die Quelle aller drei Strahlungsarten der Atomkern ist. Der Begriff "ionisierende Strahlung" umfasst dagegen neben der Kernstrahlung auch
die Röntgenstrahlung und die UV-Strahlung.
In welchem Umfang auf Eigenschaften und Anwendungen der Kernstrahlung eingegangen wird, hängt von
dem jeweiligen Lehrplan ab.
FOLIE
Bei der Behandlung des Atomkerns stehen folgende inhaltlichen Schwerpunkte im Zentrum:
− der Atomkern und seine Bestandteile (im Wesentlichen eine Wiederholung),
− das Potenzialtopfmodell als einfaches Modell für den
Atomkern,
− Kernumwandlungen und Radioaktivität,
− Energiefreisetzung durch Kernspaltung und Kernfusion.
Das Potenzialtopfmodell des Atomkerns
Mit dem Potenzialtopfmodell lassen sich die energetischen Zustände
von Protonen und Neutronen im Atomkern darstellen.
Potenzialwall
E(r)
}
E pot ~ 1r
r
Neutronen
133
Protonen
R-Kernradius
2R
Der Potenzialtopf für Neutronen
ist tiefer als der für Protonen.
Der Potenzialtopf für Protonen
ist aufgrund der coulombschen
Kräfte nicht so tief wie der für
Neutronen.
Für Neutronen gibt es keinen
Potenzialwall.
Auf Protonen wirkt die coulombsche Kraft auch außerhalb des
Kerns noch abstoßend. Das führt
zu einem Potenzialwall.
Es gibt je Energieniveau maximal
2 Neutronen.
Es gibt je Energieniveau maximal
2 Protonen.
FOLIE
134
Strahlung aus dem Atomkern
Art der
Strahlung
α-Strahlung
Darstellung im
Potenzialtopfmodell
Beispiel, Energien,
Kernumwandlungen
E(r)
226
Ra
88
g 222
Rn + 42 α
86
r
Protonen
Neutronen
Zwei Protonen und zwei
Neutronen bilden ein
α-Teilchen, das unter
Nutzung des Tunneleffekts
den Kern verlässt.
β-Strahlung
E(r)
ν β–
r
Energie
diskrete Energiewerte,
2 – 5 MeV
Es erfolgt eine Kernumwandlung.
214
Pb
82
g 214
Bi + –10 e + }ν
83
Energie
Kontinuierliches
Energiespektrum bis
etwa 1 MeV
Ein Neutron kann sich unter Energieabgabe in ein
Proton, ein Elektron und ein
Antineutrino umwandeln.
γ-Strahlung
E(r)
Es erfolgt eine Kernumwandlung.
208
Pb*
82
g 208
Pb + γ
82
Fermienergie
Energie
diskrete Energiewerte,
um 1 MeV
Ein Proton kann unter
Energieabgabe in einen
niedrigeren energetischen
Zustand übergehen.
Es erfolgt keine Kernumwandlung.
Mittlere Strahlenbelastung in Deutschland
Art der Strahlung
Dosis in mSv pro Jahr
Natürliche Strahlung
kosmische Strahlung
− auf Meereshöhe
− auf 1 500 m Höhe
terrestrische Strahlung
− bei Aufenthalt im Freien
− bei Aufenthalt in Gebäuden
„innere“ Strahlung beim
Menschen durch
− Einatmen von Radon
− durch Nahrung, Trinkwasser
0,25
0,50
0,06 … 2,2
0,09 … 2,4
1,4
0,3
Mittelwert: 2,4
Zivilisatorische Strahlung
Anwendung radioaktiver Stoffe
und ionisierender Strahlung
− bei medizinischen Untersuchungen und Behandlungen
1,5
− in Technik, Forschung und Alltag (hochfrequente Strahlung
bei PC, Fernseher)
0,02
− Kernwaffenversuche, Reaktorunfälle
< 0,02
Mittelwert: 1,6
Mittlere Strahlenbelastung
4,0
135
FOLIE
136
Bei Strahlenbelastungen ist zu beachten, dass dazu alle
Arten ionisierender Strahlung einen Beitrag leisten. Dazu
gehören nicht nur die beim Kernzerfall auftretenden
Strahlungen (Alpha-, Beta- und Gammastrahlung), sondern auch Röntgenstrahlung, kurzwelliges UV-Licht und
Höhenstrahlung. Erfasst werden die biologischen Wirkungen ionisierender Strahlung durch die Äquivalentdosis H, wobei gilt:
H = D·q
Dabei sind D die Energiedosis und q der Qualitätsfaktor.
Die Internationale Strahlenschutzkommission (ICRP) hat
1991 anstelle dieses Qualitätsfaktors den sogenannten
Strahlungs-Wichtungsfaktor wR eingeführt. Für eine
bestimmte Strahlungsart R gilt dann: Das Produkt aus
der von einem Organ oder Gewebe T aufgenommenen
Energiedosis DT,R und dem betreffenden StrahlungsWichtungsfaktor ergibt die Organdosis HT:
HT = DT,R · wR
Sie wird in Millisievert (mSv) gemessen. Erfolgt die Bestrahlung durch mehrere Strahlungsarten, so werden die
einzelnen Beiträge summiert und man erhält:
HT = S DT,R · wR
R
risiko ist die effektive Dosis E. Die effektive Dosis E für
eine Strahlungsart und ein Organ oder Gewebe T ist die
mit dem Gewebe- Wichtungsfaktor multiplizierte Organdosis:
E = wT · HT
Sind mehrere Strahlungsarten und verschiedene Organe
beteiligt, so ergibt sich die effektive Dosis als Summe aller Anteile zu:
E = SwT · HT
R
Gemessen wird die effektive Dosis ebenfalls in Millisievert (mSv). Auf die Zeit bezogen wird sie effektive Dosisleistung genannt. Diese auf den menschlichen Körper
bezogene effektive Dosisleistung liegt in Deutschland im
Mittel bei etwa 4 mSv/Jahr.
Wegen der sehr unterschiedlichen Individualität der Menschen geht man bei wissenschaftlichen Berechnungen
von einem Standardmenschen aus. Dieser Standardmensch hat ein Alter von 20 bis 30 Jahren, eine Gesamtlebensdauer von 70 Jahren, ein Körpergewicht von 70 kg,
eine Körperoberfläche von 1,8 Quadratmetern und eine
Körpergröße von 170 cm. Auch die Zusammensetzung
des Körpers dieses Standardmenschen ist festgelegt.
Für die Strahlungs-Wichtungsfaktoren gilt:
Strahlungsart und
Energiebereich
Strahlungs-Wichtungsfaktor
Einige Gewebe-Wichtungsfaktoren sind in der nachfolgenden Tabelle angegeben.
Photonen beliebiger Energie
1
Gewebe oder Organ
Elektronen beliebiger
Energie
1
Keimdrüsen
0,20
Dickdarm
0,12
Knochenmark (rot)
0,12
Lunge
0,12
Magen
0,12
Blase
0,05
Brust
0,05
Leber
0,05
Schilddrüse
0,05
Speiseröhre
0,15
Haut
0,01
Neutronen
< 10 keV
10 keV bis 100 keV
100 keV bis 2 MeV
2 MeV bis 20 MeV
> 20 MeV
Protonen
Alphateilchen, Spaltfragmente, schwere Kerne
5
10
20
10
5
5
20
Die Organdosis besagt nur wenig darüber, wie groß das
strahlenbedingte Risiko für Schädigungen tatsächlich ist,
da die Strahlenempfindlichkeit der einzelnen Organe
sehr unterschiedlich ist. Maß für das gesamte Strahlen-
Gewebe-Wichtungsfaktor
Wirkung ionisierender Strahlung auf den Menschen
Absorption von Strahlungsenergie
Zeitdauer
Physikalische Prozesse
(Ionisation, Anregung)
10 –16 s
Molekulare Veränderungen
(an Proteinen, Enzymen, Nukleinsäuren)
10 –6 s
Sekunden
bis Stunden
Veränderungen in den Zellen
Körperzellen
Keimzellen
Schäden beim bestrahlten
Individuum (einschl. Fötus)
Schäden bei
den Nachkommen
Akute oder
Frühschäden
Spätschäden
(kein Krebs)
Sicher eintretende Schäden
Leukämie,
Krebs
Genetische
Schäden
Stunden
bis Jahre
Zufällige Schäden
Die Wirkung ionisierender Strahlung auf Menschen ist abhängig von
− der Art und Energie der Strahlung,
− der Dosis der Strahlung,
− der räumlichen und zeitlichen Verteilung der Strahlung,
− den Milieufaktoren.
137
FOLIE
138
Bei den energetischen Betrachtungen von Kernprozessen geht es um zwei grundlegende physikalische Sachverhalte:
− Die Schüler sollen das Wesen der Bindungsenergie
bei Atomkernen erfassen, auch die Abhängigkeit der
Bindungsenergie je Nukleon von der Massenzahl.
Das lässt sich überzeugend anhand des üblichen Diagramms (LB S. 492) erläutern.
− Die Schüler sollen den Zusammenhang zwischen Massendefekt und Energie E = Δm · c 2 auf kernphysikalische Prozesse anwenden.
Für das Gesamtthema bietet sich ein historischer Einstieg
an: die Entdeckung der Kernspaltung durch HAHN und
STRASSMANN.
Bezüglich der Kernkraftwerke ist es sinnvoll, den Schülern u. a. einen Überblick über deren räumliche Verteilung in Deutschland und dem benachbarten Ausland und
über deren Bedeutung für die Elektroenergieerzeugung
heute zu geben.
TAFELBILD
Bezüglich der Sicherheit von Kernkraftwerken und der
Entsorgung radioaktiver Abfälle sollte u. a. auf Folgendes
aufmerksam gemacht werden:
− Kernkraftwerke sind nach heutigen Sicherheitsstandards gebaut. Wie bei jeder technischen Anlage kann
es auch in Kernkraftwerken Defekte und Havarien
geben.
− Aus physikalischen Gründen kann ein Kernkraftwerk
nicht wie eine Atombombe explodieren. Gefährlich
könnte der Austritt größerer Mengen radioaktiver
Stoffe sein, so wie es 1986 im ukrainischen Tschernobyl und 2011 im japanischen Fukushima passiert ist.
− Der radioaktive Abfall (85 % niedrig radioaktiv, 5 %
hoch radioaktiv) ist bei richtiger Lagerung ungefährlich. Das Problem besteht hier darin, dass wegen der
teilweise sehr langen Halbwertszeit eine sichere Lagerung über viele Jahrzehnte erfolgen muss.
Bei der Behandlung der Kernfusion bietet es sich an, auf
die Prozesse im Innern der Sonne einzugehen. Dazu sind
im Lehrbuch einige Informationen gegeben. Ergänzend
dazu sei auf folgende Aspekte aufmerksam gemacht.
Dass die Temperatur im Innern der Sonne trotz der niedrigen Umsatzrate so hoch ist, liegt daran, dass die Sonne
so groß ist. Sie isoliert sich praktisch selbst von innen nach
außen. Die Temperatur in der Sonne stieg solange an, bis
das Temperaturgefälle so groß war, dass gerade die je
Zeiteinheit im Innern erzeugte Energie zum Sonnenäußeren transportiert wird. Zwischen dem Innern der Sonne
und ihrem Äußeren herrscht ein Temperaturdifferenz
von mehreren Millionen Grad. Dieser große Temperaturunterschied verteilt sich aber auf mehrere hunderttausend Kilometer. Je Meter hat die Sonne im Durchschnitt
nur einen Temperaturabfall von etwa 0,1 °C.
Wieso explodiert die Sonne nicht?
Je höher die Temperatur bei der Kernfusion ist, umso
schneller läuft sie ab. Eine kleine Temperaturerhöhung
im Sonneninnern müsste demnach zu einer verstärkten
Kernfusionsrate und dadurch zu noch mehr Temperaturanstieg führen. Man wird also erwarten, dass die Sonne
nach kurzer Zeit explodieren müsste wie ein riesiger
Treibstofftank. Die Sonne explodiert jedoch nicht, weil
sie Gasball ist. Gas dehnt sich – sofern Platz dafür ist –
bei Temperaturerhöhung aus. Diese Ausdehnung gegen
ihre eigene Schwerkraft führt dazu, dass die Temperatur
des Gases sogar sinkt. Damit sinken auch die Temperatur
und die Umsatzrate der Kernfusion. Die Temperatur
stabilisiert sich.
Energie aus dem Atom
Bei einer Reihe von Kernumwandlungen wird Energie freigesetzt. Von praktischer Bedeutung sind
zwei Prozesse.
Kernspaltung
Ein schwerer Atomkern (z. B. Urankern) wird in
zwei mittelschwere Kerne aufgespalten.
Kernfusion
Leichte Atomkerne (z. B. Wasserstoffkerne)
verschmelzen zu einem schwereren Atomkern
(z. B. zu einem Heliumkern).
Dabei wird Energie freigesetzt.
Dabei wird Energie freigesetzt.
Beispiele:
− Kernkraftwerk,
− Atombombe
Beispiele:
− Energiefreisetzung in der Sonne,
− Wasserstoffbombe
Kernfusion im Innern der Sonne
Im Innern der Sonne verschmelzen in jeder Sekunde 567,0 Millionen
Tonnen Wasserstoff zu 562,7 Millionen Tonnen Helium. Der Vorgang
wird als Heliumsynthese oder als Proton-Proton-Zyklus bezeichnet.
1
1H
1
1H
1
1H
1
1H
2
1H
E
3
2He
E
1
1H
2
1H
3
2He
E
4
2He
1
1H
E
1
1H
E
1
1H
Durch Reaktionsgleichungen lässt sich der Gesamtprozess so
beschreiben:
+ e+ + ν + 1,19 MeV
1
H
1
+ 11 H
g
2
H
1
2
H
1
+ 11 H
g
3
He
2
+ γ + 5,49 MeV
3
He
2
+ 32 He g
4
He
2
+ 11 H + 11 H + 12,85 MeV
Der Massendefekt beträgt in jeder Sekunde Δm = 4,3 · 106 Tonnen.
Nach E = Δm · c 2 entspricht das einer Energie von 3,85 · 1026 J, die in jeder Sekunde von der Sonne in den Weltraum abgestrahlt wird.
Ein Teil dieser Energie erreicht die Erdoberfläche.
139
FOLIE
FOLIE
140
Streuexperimente zur Untersuchung
der Struktur der Materie
Eine grundlegende Methode zur Gewinnung von Erkenntnissen über
den Aufbau der Materie sind Streuexperimente.
Bekannte Teilchen (z. B. Protonen) werden gegeneinander oder auf
Targets (zu untersuchende Objekte) geschossen. Die Ergebnisse der
Wechselwirkungen werden registriert und daraus Folgerungen über
Strukturen und Eigenschaften von Teilchen abgeleitet.
Ein historisch bedeutsames Streuexperiment (E. RUTHERFORD, um 1910)
abgelenkte
α-Teilchen
Strahl von
α-Teilchen
Atomkern
Goldfolie
Leuchtschirm
Lichtblitz
Erkenntnisse aus diesem Experiment:
− Die Atomhülle ist weitgehend leer.
− Im Atom gibt es ein sehr kleines, massives Objekt, von dem
α-Teilchen unterschiedlich abgelenkt werden. Es wird als Atomkern
bezeichnet.
− Der Atomkern ist positiv geladen.
Insgesamt gilt für Streuexperimente:
− Effekte sind nur erzielbar, wenn streuendes und gestreutes Objekt
die gleiche Größenordnung haben und damit tatsächlich Wechselwirkungen auftreten.
− Die Erforschung immer kleinerer Strukturen erfordert immer größere
Geschwindigkeiten und Energien der Streupartner
(Beispiel: LHC Genf).
Experimente und theoretische Überlegungen führen zu neuen
Erkenntnissen über die Struktur der Materie und ihrer Grundbausteine.
Die gegenwärtigen Erkenntnisse sind im Standardmodell zusammengefasst.
Elementare Bausteine der Materie
Teilchen werden aus Gründen der Übersichtlichkeit in Familien zusammengefasst.
Teilchenfamilien
Hadronen
Leptonen
Elektron e
Myon μ
Tauon τ
Elektron-Neutrino νe
Myon-Neutrino νμ
Tauon-Neutrino ντ
Mesonen
Baryonen
Pion π+
Kaon K0
Proton p
Neutron n
Hyperonen
Alle Hadronen sind aus Quarks zusammengesetzt. Damit sind nach
heutigem Erkenntnisstand Quarks und Leptonen die Grundbausteine
für alle anderen massebehafteten Teilchen.
Familie
1
2
3
Quarks
Leptonen
u
up
c
charm
t
top
d
down
s
strange
b
bottom
νe
ElektronNeutrino
νμ
MyonNeutrino
ντ
TauonNeutrino
e
Elektron
μ
Myon
τ
Tauon
− Die vier Teilchen der 1. Familie bilden die stabile Materie.
Alle anderen Teilchen sind heute nur künstlich herstellbar.
− Zu jedem der 12 Elementarteilchen gibt es jeweils ein Antiteilchen.
Sie haben die gleiche Masse wie das jeweilige Teilchen, jedoch
die entgegengesetzten Ladungen (Farbladung, schwache Ladung,
elektrische Ladung).
141
FOLIE
FOLIE
142
Fundamentale Wechselwirkungen
Es existieren zwischen Teilchen vier fundamentale Wechselwirkungen
bzw. Kräfte. Eine Kraft zwischen Teilchen wirkt aber nur, wenn sie eine
ganz bestimmte Eigenschaft besitzen.
Wechselwirkung
bzw. Kraft
wirkt auf
die Eigenschaft
wirkt
zwischen
Austauschteilchen
starke
Kraft
Farbladung
Quarks,
Protonen,
Neutronen
Gluon
elektromagnetische
Kraft
elektrische
Ladung
elektrisch
geladene
Teilchen
Photon
schwache
Kraft
schwache
Ladung
allen
Teilchen
W- und
Z-Boson
Gravitationskraft
Masse
allen
Teilchen
Graviton
(?)
Reichweite
10–15 m
∞
1
F~}
2
relative
Stärke
1
10–2
r
10–17 m
10–13
∞
1
F~}
2
10– 40
r
− Die starke Kraft bewirkt, dass Protonen, Neutronen und Atomkerne
als stabile Teilchen existieren.
− Die elektromagnetische Kraft bewirkt, dass um einen positiv
geladenen Atomkern eine negativ geladene Atomhülle existiert,
also stabile Atome vorhanden sind.
− Gravitationskräfte spielen im Bereich von Teilchen eine untergeordnete Rolle und können dort – im Unterschied zur
Makrophysik – häufig vernachlässigt werden.
Spezielle Relativitätstheorie
Für die Behandlung von Elementen der Relativitätstheorie stehen in der Regel nur wenige Unterrichtsstunden zur Verfügung. Es geht um die Vermittlung ausgewählter Grundlagen, insbesondere um
− die erkenntnistheoretisch wichtigen Erkenntnisse
über Raum und Zeit,
− relativistische Effekte wie die Längenkontraktion,
die Zeitdilatation und die Addition von Geschwindigkeiten,
− die Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit
und
− die Äquivalenz von Energie und Masse.
Insbesondere sollte beim Einstieg in die SRT folgender
Fakt beachtet werden: Eine Reihe von Aussagen der
SRT widerspricht dem „gesunden Menschenverstand“,
das heißt in diesem Fall, der Erfahrungswelt der Schüler.
Darum ist es zweckmäßig, vom Begriffssystem und den
erkenntnistheoretischen Grundlagen der klassischen Mechanik (der Erfahrungswelt der Schüler) auszugehen und
die Ansätze für die von EINSTEIN eingeführte neuartige Betrachtung klar herauszuarbeiten. Vor allem ist die uneingeschränkte Akzeptanz der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit für die Schüler schwer zu verinnerlichen.
Daraus resultieren häufig Verständnisprobleme bei den
Schlussfolgerungen aus den einsteinschen Postulaten.
Daher ist es angebracht, immer wieder zu zeigen, dass die
bekannten Aussagen der klassischen Mechanik (z. B. der
Addition der Geschwindigkeiten) weiterhin als Grenzfall
(v << c) ihre Gültigkeit haben.
Als Ausgangspunkt für alle Betrachtungen kann die
klassische mathematische Beschreibung der Bewegung
eines Massepunkts gewählt werden. Wesentliches Ziel ist
hierbei neben einer Wiederholung bereits vermittelter
Grundlagen die erstmalige systematische Analyse der
newtonschen Vorstellungen von Raum und Zeit.
Dazu ist festzustellen: Lange bevor die Physik als Fachwissenschaft begründet wurde, gab es schon aus naturphilosophischer Sicht Diskussionen über die Begriffe
Raum und Zeit. Exemplarisch sollten ARISTOTELES und GALILEI
genannt werden, deren Auffassungen Eckpunkte für die
newtonschen Raum-Zeit-Vorstellungen waren. Letztendlich sind NEWTONS Vorstellungen historisch gewachsen. Er
entwickelte seine „Mechanik“, indem er von einer bestimmten Auffassung von Raum und Zeit ausging. In einer modernen Fassung könnte man die newtonsche Vorstellung von Raum und Zeit so formulieren: Raum und
Zeit existieren losgelöst von den physikalischen Körpern,
die sich im Raum bewegen.
Auffassungen von Raum und Zeit
Klassische Vorstellungen
(I. NEWTON, um 1700)
Relativistische Vorstellungen
(A. EINSTEIN, 1905)
Raum und Zeit existieren objektiv. Raum und Zeit sind nicht unabSie sind unabhängig vom Bewehängig voneinander. Insbesongungszustand eines Körpers.
dere sind sie nicht unabhängig
vom Bewegungszustand eines
Raum und Zeit beeinflussen sich
Körpers.
gegenseitig nicht.
Der Raum ist unendlich. Alle
Punkte und Richtungen sind
gleichberechtigt (absoluter
Raum).
Einen absoluten Raum gibt es
nicht.
Die Zeit vergeht gleichförmig und
ohne Beziehung zu irgendeinem
äußeren Gegenstand (absolute
Zeit).
Die Zeit ist eine relative Größe.
Die gemessene Zeitdauer eines
Vorgangs hängt vom Bezugssystem ab.
FOLIE
2.8
143
144
Das Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik kann,
ausgehend von der Beschreibung der Bewegung eines
Körpers von verschiedenen Bezugssystemen (Inertialsystemen) aus, zunächst anschaulich formuliert werden:
Die Beschreibung der Bewegung eines Körpers ist für
beide Bezugssysteme gleich (Struktur und physikalischer
Inhalt der Gleichungen). Kein Bezugssystem ist bevorzugt. Daran anschließend wird der Begriff Inertialsystem
mithilfe des Trägheitsgesetzes definiert und das Relativitätsprinzip entsprechend formuliert.
Im Unterrichtsgespräch ergibt sich sofort die Frage nach
den „Transformationsregeln“.
Folgende Aufgabenstellung kann als Ausgangspunkt für
die Erarbeitung der Galilei-Transformationsgleichungen
dienen:
− Ort und Geschwindigkeit eines Körpers sind im Inertialsystem S gegeben.
Wie werden Ort und Geschwindigkeit berechnet,
wenn sich der Beobachter im Inertialsystem S’ befindet (S’ bewegt sich bezüglich S mit der Geschwindigkeit v)?
− Welcher Zusammenhang besteht zwischen den verschiedenen Orts- und Geschwindigkeitsmessungen?
− Die Zeitmessung erfolgt auf der Grundlage der newtonschen Vorstellungen, d. h., es ist t = t’.
FOLIE
Für den Schüler ist ein konkretes Beispiel vorteilhaft,
z. B. die Bezugssysteme Bahndamm (S) und Zug (S’) oder
Baum (S) und fahrendes Auto (S’).
Die Lorentz-Transformation basiert auf der Annahme,
dass die Lichtgeschwindigkeit für jeden Beobachter, der
sich in einem Inertialsystem befindet, den gleichen Wert
haben muss. Als historisches Experiment dazu kann das
Michelson-Experiment einbezogen werden.
Das Postulat von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
sollte an dieser Stelle durch die Behandlung von weiteren
(neueren) Experimenten gestützt werden. So ist z. B. die
weltweite Synchronisation von Atomuhren mithilfe von
Radiosignalen unabhängig von der Bewegung der Erde
relativ zum Signal ein weiterer experimenteller Beleg für
die Konstanz von c.
Aus der Behandlung der Gleichzeitigkeit zweier räumlich
getrennter Ereignisse ergibt sich im Unterrichtsgespräch
die Frage nach der Zeitdauer eines Ereignisses an einem
Punkt im System S’ von beiden Systemen aus betrachtet
(kann auch als Zeitintervall zwischen zwei Ereignissen an
einem Ort aufgefasst werden).
Das im Lehrbuch (b S. 29) vorgeschlagene Gedankenexperiment für die Zeitdilatation eignet sich für die
selbstständige Erarbeitung durch den Schüler.
Als Übung können die Schüler mit Zahlenwerten die Zeitdilatation für eine Lichtuhr berechnen. Hierfür bietet sich
die konkrete Arbeit in der Darstellung im Lehrbuch auf
S. 29 an.
Die Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit
1
km
c=}
} = 299 792 }
s
√ε0 · +0
Klassische Geschwindigkeit
Relativistische Geschwindigkeit
u' = 299 711
km
u' = 3 }
h
Beobachter A
v=
}
60 km
h
Beobachter B
km
v = 60 }
h
km
}
s
Beobachter A
Beobachter B
km
v = 0,0170 }
s
u = u' + v
km
u = 63 }
h
v + u'
u=}
v · u'
1+}
2
c
km
u = 299 711 }
h
Die klassische Vorstellung über Bewegungen
1. Ein Auto bewegt sich geradlinig und gleichförmig auf einer Landstraße mit der Geschwindigkeit v. Seine Bewegung soll in zwei verschiedenen Bezugssystemen beschrieben werden.
Mit dem Baum
verbundenes Bezugssystem S (x, y, z)
Mit dem fahrenden Auto
verbundenes Bezugssystem S’ (x’, y’, z’)
z'
v
z
y
M
x
y'
x'
v
a) Beschreiben Sie in Worten von jedem der beiden Bezugssysteme aus die Bewegung des Baums
und die des Autos!
b) Die Zeit vergeht in beiden Bezugssystemen gleich schnell. Es gilt also t = t ’. Die Relativbewegung erfolgt nur in x-Richtung. Welche Aussage lässt sich dann über die Koordinaten in
y und y ’ bzw. z und z ’ treffen?
c) Bezüglich der x-Richtung lässt sich die Bewegung im jeweils anderen Bezugssystem beschreiben, wenn die Größen in einem Bezugssystem gegeben sind. Ergänzen Sie die Übersicht!
Größe in S gegeben und in S’ gesucht
(Transformation S g S’)
Größe in S’ gegeben und in S gesucht
(Transformation S’ g S)
2. Die oben beschriebene Transformation von einem Bezugssystem in ein anderes wird in der Physik
als Galilei-Transformation bezeichnet. Zeigen Sie mithilfe der Galilei-Transformation:
Die Relativgeschwindigkeit zweier Körper K1 und K2, die sich im System S mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 in Richtung der positiven x-Achse bewegen, ändert sich nicht, wenn man die
Geschwindigkeiten der Körper von S’ aus betrachtet (S’ bewegt sich mit v gegenüber S).
145
ARBEITSBLATT
146
FOLIE
Zeitdilatation und Längenkontraktion
Zeitdilatation
Längenkontraktion
1. Fall
An einer Stelle im System S’ findet der physikalische Vorgang in
der Zeit Δt’ statt.
Der Beobachter in S bestimmt
die Zeit Δt.
Zusammenhang zwischen Δt und
Δt’:
1. Fall
Der Maßstab ruht im System
S’ und hat dort die Länge l’.
Der Beobachter in S bestimmt
zu einem festen Zeitpunkt die
Länge l.
Zusammenhang zwischen l und
l’:
Δt’
Δt = }
}2
v
l = l’ · 1 – }
2
√
v
1–}
2
bzw.
Δt > Δt’
c
}2
√
c
bzw.
l < l’
2. Fall
An einer Stelle im System S
findet der physikalische Vorgang
in der Zeit Δt statt.
Der Beobachter in S’ bestimmt
die Zeit Δt’.
Zusammenhang zwischen Δt und
Δt’:
2. Fall
Der Maßstab ruht im System S
und hat dort die Länge l.
Der Beobachter in S’ bestimmt
zu einem festen Zeitpunkt die
Länge l’.
Zusammenhang zwischen l und
l’:
Δt
Δt’ = }
}2
v
l’ = l · 1 – }
2
√1 –
v
}
c2
bzw.
Δt < Δt’
In einer zusammenfassenden Betrachtung können die
Zusammenhänge bei verschiedenen Bedingungen dargestellt werden (b Übersicht oben).
Damit lässt sich das inhaltliche Verständnis für die Relativität von Zeit- und Längenmessungen vertiefen.
In einer Verallgemeinerung kann folgende Aussage getroffen werden:
Mit Δt0 als Zeitdauer des Vorgangs bzw. l0 als Länge des
Maßstabes im jeweiligen Ruhesystem folgt:
Δt
0
Δt = }
}2 = Δt0 · k
√
1–
v
}
c2
bzw.
}2
√
l
v = 0
l = l0 · 1 – }
}
k
c2
Die Beispiele aus dem Lehrbuch runden diese Sequenz
ab. Auch eine Besprechung des Zwillingsparadoxons
kann das Verständnis für die physikalischen Vorgänge
vertiefen.
}2
√
c
bzw.
l’ < l
Das Zwillingsparadoxon wird gern als Beispiel gewählt,
da gerade semantische Unbestimmtheiten der Voraussetzung des Gedankenexperiments eine scheinbar paradoxe Situation bei der Analyse – hier können die Schritte
durchaus logisch fehlerfrei sein – ergeben.
Die Zeitdauer beider Uhren (Lebensalter der Zwillinge)
ist, da die beiden Uhren auf unterschiedlichen Wegen
zum Ausgangspunkt zurückkehren, nicht symmetrisch.
Dann ist auch die Zeit, welche die beiden Uhren anzeigen, unterschiedlich.
Eine anschauliche Deutung einiger relativistischer Effekte
ist mithilfe von Minkowski-Diagrammen möglich. Die
Lehrpläne fordern ihre Behandlung in der Regel nicht. Im
Lehrbuch sind auf den Seiten 524 –525 einige Beispiele
für Minkowski-Diagramme dargestellt. Sie können in den
Unterricht einbezogen oder von interessierten Schülern
selbstständig erschlossen werden.
Grundlegende Aussagen der speziellen Relativitätstheorie
(ALBERT EINSTEIN, 1905)
Die zwei einsteinschen Postulate sind:
1. Relativitätsprinzip: Alle Inertialsysteme sind bezüglich physikalischer
Gesetze gleichberechtigt. Die fundamentalen Naturgesetze gelten in
jedem Inertialsystem in gleicher Weise.
2. Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen stets gleich groß.
Sie ist unabhängig vom Bewegungszustand der Lichtquelle und des
Beobachters bei der Messung.
Aus diesen Postulaten ergeben sich wichtige Folgerungen:
1. Raum und Zeit sind nicht unabhängig voneinander und
nicht absolut.
2. Zwei Ereignisse, die in einem Inertialsystem S gleichzeitig stattfinden, erfolgen in einem dazu bewegten Inertialsystem S’ nicht gleichzeitig (Relativität der Gleichzeitigkeit).
3. In seinem Ruhesystem S dauert ein physikalischer Vorgang am kürzesten (Eigenzeit). Von einem dazu bewegten System S’ aus wird die
Zeitdauer größer gemessen.
Δt
Δt’ = }
}2 = Δt · k
√
(Zeitdilatation)
v
1–}
2
c
4. In seinem Ruhesystem S hat ein Körper seine größte Länge (Eigenlänge). In einem dazu bewegten System S’ ist die Länge geringer.
}2
√
v = l
l’ = l · 1 – }
}k
2
c
(Längenkontraktion)
5. Die Masse eines Körpers hängt von seiner
Geschwindigkeit ab.
Es gilt:
m
0
m=}
}2 = m0 · k
√1 – }vc
2
6. Masse und Energie
sind zueinander
äquivalent:
E = m·c2
m
}
m0
4
3
2
1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
}vc
147
FOLIE
148
2.9
Astrophysik
Die Astronomie gehört als eine der ältesten Naturwissenschaften zu den festen Bestandteilen der Kultur der
Menschheit. Sie hat stets das Weltbild der Menschen
entscheidend geprägt, hat aber auch von jeher praktische Bedeutung gehabt. Grundlegendes Wissen über
die Entwicklung der Astronomie und des Weltbilds, über
die Stellung der Erde im Weltall, über die Natur der Himmelskörper sowie die im Kosmos wirkenden Gesetze und
Entwicklungsprozesse sind wesentlicher Bestandteil einer
fundierten naturwissenschaftlichen und humanistischen
Bildung.
Für die Astrophysik im Rahmen eines Physiklehrgangs
stehen in der Regel nur relativ wenige Unterrichtsstunden zur Verfügung. Das erfordert die Beschränkung auf
ausgewählte Inhaltsbereiche, die ihrerseits auch nur exemplarisch behandelt werden können. Als inhaltliche
Schwerpunkte, die auch im Lehrbuch ausgewiesen sind,
bieten sich an:
− ein Einblick in die grundlegenden Forschungsmethoden und die genutzten Beobachtungsinstrumente,
− ein Überblick über das Sonnensystem und die zu ihm
gehörenden Himmelskörper,
− die Behandlung der Sonne als ein typischer Hauptreihenstern,
− ein Überblick über Sterne und deren Entwicklung,
− eine Übersicht über große Strukturen im Weltall sowie Einblicke in einige Probleme der Kosmologie.
Dementsprechend ist dieses Kapitels auch für Kurse mit
Schwerpunkt Quantenphysik relevant, wenn auch nicht
alle Aspekte in der vollen Breite unterrichtet werden
müssen. Insbesondere fordert der Lehrplan die Vermittlung des aktuellen astrophysikalischen Weltbilds sowie
der speziellen Relativitätstheorie.
Um Aussagen über Himmelkörper und ihre Entwicklung
zu machen, sind Beobachtungen in allen Wellenlängenbereichen erforderlich. Die Astronomen verfügen heute
über die entsprechenden technischen Mittel.
Durch Kombination der Aussagen aus den einzelnen
Wellenlängenbereichen können zunehmend genauere
Aussagen über Himmelkörper und ihre Entwicklung gewonnen werden.
Bei den optischen astronomischen Instrumenten sollte
zunächst auf den Refraktor eingegangen werden. In
welchem Umfang das geschieht, hängt von den physikalischen Vorkenntnissen der Schüler und der Auffassung
dazu ab, ob man die Instrumente lediglich als Hilfsmittel
zur Gewinnung von Beobachtungsdaten auffassen will
oder die Schüler auch genauere Vorstellungen über die
Wirkungsweise dieser Geräte erhalten sollen.
− Linsen weisen eine Reihe von Abbildungsfehlern auf.
Diese lassen sich – wenn auch mit teilweise hohem
Aufwand – weitgehend korrigieren.
− Die Helligkeit eines Bildes wird weitgehend durch
den Linsen- oder Spiegeldurchmesser bestimmt. Linsen können aber nicht beliebig groß im Durchmesser gefertigt werden, da sie sich verformen würden.
Sie können nur am Rand zur Erhöhung der Stabilität
durch eine Metallfassung unterstützt werden. Damit
ergeben sich für Linsenfernrohre deutliche Grenzen.
− Hohlspiegel können in wesentlich größeren Durchmessern gefertigt werden. Diese Hohlspiegel werden
in Spiegelfassungen am Rand und an der Rückseite
unterstützt, behalten somit in allen beliebigen Lagen
ihre Form bei und gewähren damit eine exakte optische Abbildungsgüte.
Heutzutage ist es sogar möglich, durch in die Spiegelfassung integrierte Elemente den Spiegel für eine exakte
Abbildung gezielt zu beeinflussen (adaptive Optik). Es
sind verschiedene optische Anordnungen im Gebrauch,
wobei die großen Teleskope meist auf verschiedene
Strahlengänge umrüstbar sind.
Dabei ist zu beachten:
− Beim Einsatz der Teleskope von der Erdoberfläche aus
verschlechtert die Erdatmosphäre die Abbildungsgüte der Objektive. Insbesondere sind dies Ortsschwankungen (seeing) in Bereichen von 0,5‘‘ bis zu
einigen Bogensekunden. Dieser Nachteil kann durch
Beobachtungen von einer Erdumlaufbahn aus ausgeglichen werden (b Hubble-Space-Telescope). Die
dabei anfallenden hohen Kosten setzen eine Grenze
beim Einsatz größerer Spiegel. Durch die Entwicklung
der adaptiven Optiken – über eine kontinuierliche
Messung des seeing wird der Spiegel durch Druckelemente in der Spiegelfassung gezielt verformt – können Nachteile der erdgebundenen Beobachtung in
Grenzen eliminiert werden. So werden jetzt schon
beim 8-Meter-Spiegel Auflösungen von 0,00 015‘‘ erreicht. Dies entspricht auf dem Mond einer Auflösung
von 2 m! Der „Mann im Mond“ wird beobachtbar!
Damit führt die adaptive Optik von einer seeingbegrenzten Auflösung zu einer nur noch beugungsbegrenzten Auflösung. Vom Erdboden aus können die
gleichen Auflösungen wie bei einem Raumteleskop
erreicht werden, und dies mit größeren Spiegeldurchmessern und damit einer größeren Reichweite.
− Wichtig für die Arbeit mit Fernrohren ist, dass eine
Montierung das Teleskop sicher und erschütterungsfrei
in jeder beliebigen Lage hält und dass es sich auf jeden
Punkt an der Himmelskugel richten lässt.
Unabhängig davon sollten aber die Schüler auf einige
wichtige Aspekte aufmerksam gemacht werden.
Analyse und Registrierung des Lichts von Sternen
Licht als Informationsträger
Richtung, aus der
das Licht kommt
Intensität
des Lichtes
ermöglicht Aussagen
über den Ort und
die Bewegung der
Lichtquelle
über die Leuchtkraft,
die Entfernung und
die Größe der
Lichtquelle
Zusammensetzung
des Lichtes
über den physikalischen Zustand
und die chemische
Zusammensetzung
der Lichtquelle
Registrierung von Licht
Auge
fotografische
Schicht
Lichtempfindliche Halbleiterschicht
in CCD-Kameras
geringe Empfindlichkeit
und
Auflösungsvermögen,
hohe Empfindlichkeit
und hohes
höchste Empfindlichkeit
und
keine Speicherungsmöglichkeit,
längere Belichtungszeiten
erforderlich
geringer zeitlicher Aufwand
keine objektive
Bewertung
Fotometer
objektive
Bewertung der
Lichtintensität
149
FOLIE
Astrophysik
FOLIE
150
Arten von Spiegelteleskopen
Newton-Teleskop
Fokus liegt seitlich außerhalb
des Tubus, das wird durch
45°-Planspiegel vor dem
Primärfokus erreicht.
Cassegrain-Teleskop
FOLIE
Konvexhyperbolischer
Sekundärspiegel vor dem
Primärfokus gibt eine
Brennweitenverlängerung.
Spektroskopische Bestimmung der Sterntemperatur
Untersuchung der Absorption aus einem angeregten Zustand
zu niedrig
günstig
zu hoch
T e m p e r a t u r
Elektronen werden
nicht angeregt.
Elektronen
werden angeregt.
Atom wird ionisiert.
Absorptionslinie
wird nicht
beobachtet.
Absorptionslinie
E2 – E1 = h · f
wird beobachtet.
Absorptionslinie
wird nicht
beobachtet.
151
FOLIE
Astrophysik
Die Sternparallaxe
scheinbare Position
des Sterns
wahre Position
des Sterns
Erde
Sonne
scheinbare Position
des Sterns
Erdbahn
FOLIE
Position des Sterns im Fixsternbild
aus zwei unterschiedlichen Blickwinkeln
Gravitationslinse
Bild A
Licht und andere
elektromagnetische Strahlung
ferner
Quasar
Erde
Gravitationslinse
Bild B
Große Massenansammlungen im Universum können das Licht deutlich
ablenken und ähnlich wie Glaslinsen wirken.
FOLIE
152
Die Planeten unseres Sonnensystems
Erdähnliche Planeten
Jupiterähnliche Planeten
Merkur
Venus
Erde
Mars
Jupiter
Saturn
Uranus
Neptun
Physikalische Eigenschaften
Eigenschaft
Aufbau
Erdähnliche Planeten
Jupiterähnliche Planeten
Erde
Jupiter
D
0
A
2 000
D
C
B
4 000
6 000
0
A
20 000
r in km
C
B
40 000
60 000
r in km
A … fester Kern
B … flüssiger Kern
C … plastischer Mantel
D … feste Kruste
A … fester Kern
B … metallischer Wasserstoff
C … flüssiger Wasserstoff
D … Atmosphäre
Radius
2 440 … 6 378 km
24 800 … 71 825 km
Masse
0,34 · 1024 … 5,97 · 1024 kg
87 · 1024 … 1 900 · 1024 kg
Dichte
3,93 … 5,52 g · cm–3
0,69 … 1,65 g · cm–3
Oberfläche fest
gasförmig
Stofflicher
Aufbau
Eisen, schwere Oxide,
Silikate
Wasserstoff, Helium
Monde
und Ringsysteme
maximal 2 Monde,
kein Ringsystem
größere Anzahl von
Monden,
Ringsysteme vorhanden
Aufbau der Sonne
Fotosphäre:
sichtbare Oberfläche
der Sonne
300 – 500 km dick
körnige Struktur
(Granulation)
Chromosphäre:
10 000 km dick
Korona:
Übergang in den
interplanetaren
Raum
Chromosphäre
Korona
Fotosphäre
Die Sonnenstrahlung
Art der
Gammastrahlung
Wellen bzw. Röntgenstrahlung
Teilchen
UV-Strahlung
sichtbares Licht
Wärmestrahlung
Radiowellen
Strahlungsleistung
steigt
Elektromagnetische Wellen
Teilchen
Protonen
Elektronen
Heliumkerne
Geschwindigkeit
km
300 000 }
s
(Lichtgeschwindigkeit)
km
300 – 600 }
s
Zeit bis zur
Erde
t = 8,3 min
km
t = 5,8 d (bei 300 }
)
s
Ausbreitung Erdatmosphäre absorbiert
Teilchen werden vom
außer Licht und Radiowellen Magnetfeld der Erde
die Strahlung.
abgelenkt.
Einfallende
Strahlung
Die im Abstand Erde –Sonne senkrecht pro m2
einfallende Strahlungsleistung heißt Solarkonstante
kW )
(S = 1,37 }
2
m
Auswirkungen
Licht und Wärme zum Leben Magnetische Stürme
Polarlicht
Störung des Funkverkehrs
153
FOLIE
Astrophysik
154
Mit dem inhaltlichen Schwerpunkt Zustandsgrößen von
Sternen lernen die Schüler ausgewählte Zustandsgrößen
und Zusammenhänge zwischen ihnen kennen. Damit
werden zugleich notwendige Voraussetzungen für das
Verständnis der Sternentstehung und Sternentwicklung
geschaffen.
Die im Unterricht zu behandelnden Zustandsgrößen
Masse, Leuchtkraft, Oberflächentemperatur, mittlere
Dichte, Spektralklasse und Radius stellen nur eine kleine
Auswahl an Zustandsgrößen dar. Als weitere wichtige
sind zu nennen: Mittlere Energieerzeugungsrate, mittlere Molekularmasse, Schwerebeschleunigung an der
Oberfläche, Rotationsperiode, Magnetfeld.
Die Beschäftigung mit den Zustandsgrößen der Sterne
gehört zu den zentralen Aufgaben der Astrophysik, wobei zwei Schwerpunkte hervorzuheben sind:
− Erarbeitung und Verbesserung von Methoden der Ermittlung von Zustandsgrößen aus der Beobachtung,
− Untersuchung von Zusammenhängen zwischen Zustandsgrößen.
Mit Ausnahme der Sonne sind Zustandsgrößen an Sternen nicht ohne weiteres komplett aus der Beobachtung
zu entnehmen. Man kann stets nur einige wenige Zustandsgrößen direkt ermitteln und muss weitere indirekt
bestimmen. Dazu ist man auf die Kenntnis der Zusammenhänge zwischen diesen Größen angewiesen.
TAFELBILD
Im Unterricht sollten folgende Zusammenhänge vermittelt werden:
− Masse-Radius-mittlere Dichte eines Sterns
− Masse-Leuchtkraft-Beziehung für Hauptreihensterne
− Hertzsprung-Russel-Diagramm als Ausdruck der Zusammenhänge zwischen Oberflächentemperatur
(Spektralklasse) und Leuchtkraft der Sterne
− Farbe des Sternlichts-Spektralklasse-Oberflächentemperatur.
Anknüpfend an die bisher erworbenen Kenntnisse der
Schüler über Zustandsgrößen der Sonne kann zunächst
ein Überblick über die durch Beobachtung ermittelbaren
Zustandsgrößen gegeben werden (b Tafelbild unten).
Im weiteren Unterrichtsverlauf sollten exemplarisch einzelne Methoden genauer erläutert werden. Nachfolgend
ist dazu ein Angebot gemacht.
Die Bestimmung der Sternmasse kann bei Kenntnis des
Gravitationsgesetzes und der keplerschen Gesetze an
einem vereinfachten Modellsystem (ein Stern großer
Masse wird von einem Begleiter geringer Masse umkreist) erläutert werden.
Die Ermittlung des Sternradius kann am Beispiel von
Bedeckungsveränderlichen erläutert werden. Zur Erläuterung des Zusammenhangs zwischen dem Verlauf der
Lichtkurve und dem Radius der Sterne im System eignet
sich eine einfache Demonstration.
An der Tafel wird der Hauptstern des Bedeckungsveränderlichen mit Kreide eingezeichnet und an äquidistanten Punkten die von diesem Stern zum Beobachter
verlaufenden Lichtstrahlen (mithilfe von Spaltleuchten)
markiert. Aus Pappe schneidet man zwei „bedeckende
Sterne“mit unterschiedlichen Radien aus, die mit einem
Haftmagneten versehen werden. Mit den Schülern
wird vereinbart, dass diese beiden Sterne mit gleicher
Geschwindigkeit um den Hauptstern kreisen sollen. Die
Anzahl derjenigen Lichtstrahlen, die am bedeckenden
Stern vorbei zum Beobachter gelangen, ist ein Maß für
die auf der Erde registrierte Helligkeit beim Bedeckungsvorgang. Das Ergebnis der Betrachtungen wird in einer
vereinfachten Skizze dargestellt.
Es sei darauf hingewiesen, dass Sternbedeckungen formal nichts anderes als „Sonnenfinsternisse“ sind, wobei
der bedeckende Körper ebenfalls leuchtet.
Ermittlung von Zustandsgrößen durch Beobachtung (Auswahl)
Zustandsgröße
Möglichkeit zur Bestimmung
Masse
Beobachtung von Doppelsternen
Radius
Beobachtung von Bedeckungsveränderlichen,
Interferometerbeobachtungen
Leuchtkraft (absolute Helligkeit)
aus der Entfernung und scheinbare Helligkeit,
aus dem Spektrum
Oberflächentemperatur
aus der Beobachtung des Spektrums/Farbe des
Sternenlichts
Spektralklassen O .... M
Beobachtung des Sternenspektrums
Radien von Sternen
Riesen
Hauptreihensterne
Weiße Zwerge Neutronensterne
R bis 109 km
R ≈ 105 km …
106 km
R ≈ 103 km
R ≈ 10 km
der Erde
vergleichbar
der Ausdehnung
von Berlin vergleichbar
in den größten
der Sonne
Sternen findet die vergleichbar
Erdbahn Platz
Stern
Erde
Berlin
Weißer
Zwerg
Neutronenstern
Sonne
Erdbahn
Zur Veranschaulichung von Sternradien eignet sich eine
Übersicht, wie sie oben dargestellt ist.
Aus Masse und Radius eines Sterns lässt sich seine mittlere Dichte berechnen. Um diese sehr unterschiedlichen
Dichten zu veranschaulichen, bieten sich z. B. Vergleiche
mit Wasser (ρ = 1 g · cm–3) an.
Das Thema Ermittlung der Oberflächentemperatur eines
Sterns sollte durch einen zeitlich vorangehenden Beobachtungsabend bereits vorbereitet werden. Neben der
subjektiven Beobachtung ausgewählter Sterne kann man
mithilfe eines Fotoapparates Sternspuraufnahmen anfertigen, bei denen die unterschiedliche Färbung des Sternlichtes gut zu erkennen ist. Diese Fotos können dann im
Unterricht genutzt werden. Vergleiche mit Glühfarben
sind eine gute Möglichkeit, den Zusammenhang zwischen Oberflächentemperatur und Farbe des ausgesandten Lichts zu verdeutlichen: Die einfachste Möglichkeit
besteht im Betreiben einer Glühlampe über einen regelbaren Vorwiderstand.
Für die Glühfarben gilt etwa folgender Zusammenhang:
beginnende Rotglut
500 °C
Hellrotglut
850 °C
Gelbglut
1 100 °C
Weißglut
1 500 °C
Die Oberflächentemperaturen der Sterne lassen sich naturgemäß in Schuldemonstrationsexperimenten nicht
darstellen.
Gewarnt werden muss aber vor einem Fehlschluss: Der
subjektive Farbeindruck ist nicht gleichbedeutend mit
der Feststellung, dass das Licht, dessen Farbe wahrgenommen wird (etwa blau), auch am intensivsten vom
Stern (Lichtquelle) ausgesandt wird. Tatsächlich ist bei einer Temperatur von 10 000 K das Intensitätsmaximum der
Strahlung bereits im ultravioletten Bereich des elektromagnetischen Spektrums, während bei Verwendung von
Glühlampen das Intensitätsmaximum noch im infraroten
Spektralbereich liegt (schwarzer Strahler).
155
FOLIE
Astrophysik
FOLIE
156
Entstehung und Entwicklung von Sternen
Infolge der Gravitation
kommt es zur Kontraktion
der interstellaren Wolke.
Potenzielle Energie wandelt
sich um in thermische Energie
(Erhöhung der Temperatur)
und elektromagnetische
Strahlung.
Bei ca. 5 00 000 K im Innern der
Gaskugel: Kernfusion setzt ein.
Stern ist stabil, wenn die im
Innern erzeugte Energie gleich
der abgestrahlten Energie ist.
Bei Erschöpfung der Vorräte
an Kernbrennstoff g
Kontraktion in den
zentralen Gebieten; Hülle
nur locker gebunden.
langsame
Kontraktion
weißer
Zwerg
plötzliche
Kontraktion
Supernova
schwarzes
Loch
Neutronenstern
Astrophysik
den Galaxien. Sollte es hingegen zu einem späteren Zeitpunkt zu kontrahieren beginnen, dann fällt die Materie
in einem dem Urknall analogen Punkt zusammen.
Wichtig ist, dass die Schüler die im kosmologischen Prinzip verallgemeinerten Erfahrungen und Erkenntnisse in
einer der folgenden gleichberechtigten Formulierungen
erfassen:
Urknall
Eine viele Schüler interessierende Frage ist die nach der
Entwicklung und der Struktur des Kosmos als Ganzes, ist
es doch eine Frage, die eng mit weltanschaulichen Aspekten verknüpft ist.
Wesentliche Grundlage für die gegenwärtig diskutierten Weltmodelle sind die einsteinschen Gravitationsgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie. In dieser
Theorie wird die Gravitation geometrisiert, den Ort jedes
Massepunkts beschreibt man durch drei Raum- und eine
Zeitkoordinate. Physikalische Vorgänge spielen sich in
einer kontinuierlichen Mannigfaltigkeit dieser vier Koordinaten ab, wobei sich durch die Bewegung von Massen
die geometrischen Eigenschaften dieser Mannigfaltigkeit, des Raum-Zeit-Kontinuums, stetig verändern.
Den Schülern wird man diese Überlegung nicht mitteilen. Es ist aber sinnvoll, zuvor mit ihnen ausführlich den
Begriff des physikalischen Modells zu wiederholen, der
durch eine Vielzahl von Beispielen aus dem bisherigen
Physik- und Astronomieunterricht bekannt ist, um zu verdeutlichen, dass physikalische Modelle stets nur einige
Aspekte der Realität abbilden können.
Für die Entwicklung des Weltalls gibt es unterschiedliche Modelle (friedmannsche Weltmodelle). Wie sich die
künftige Entwicklung vollzieht, hängt im Wesentlichen
von der mittleren Dichte im Weltall ab.
Sollte sich das Universum weiter ausdehnen, dann vergrößert sich auch zukünftig der mittlere Abstand zwischen
Zeit
Zeit
Zeit
a
a
a
Zeit
Zeit
Zeit
b
b
b
Urknall
vor ca. 13,7 Mrd. Jahren
n Neutronen
– Elektronen
+ Protonen
Zeit
+n–
n+–
–
–
n
+ +
–
n
elektromagnetische
Strahlung
Bildung der Atome
+
Atom (H)
–
Expansion und
Abkühlung
n
Expansion und Abkühlung
Atome bilden sich
+
–
+
–
+n–
n+–
Atom (He)
+
–
+n–
n+–
Vergrößerung der Wellenlänge
der elektromagnetischen
Strahlung, die heute als
Hintergrundstrahlung
beobachtet wird
+
–
FOLIE
− Es existiert im Universum kein besonders ausgezeichneter Punkt.
− Alle Orte im Universum sind gleichberechtigt.
− Das Universum bietet unabhängig vom Standort eines
Beobachters stets den gleichen Anblick.
− Für die physikalische Beschreibung des Universums
darf man jeden beliebigen Punkt des Alls als Mittelpunkt eines Koordinatensystems wählen.
Das Standardmodell des Urknalls
+ –
157
158
Lösungen der Aufgaben des Lehrbuchs
3
3.1
(LB S. 67 – 71)
Denk- und Arbeitsweisen in
der Physik
b) Der Schnittpunkt der Graphen gibt den Ort und die
Zeit an, wo sich beide Fahrzeuge treffen. Das ist
etwa bei x = – 50 m und t = 57 s der Fall.
Keine Aufgaben vorhanden
4.
3.2
416 484 Begegnungen
Relativgeschwindigkeit bezüglich des Radfahrers:
Mechanik
km + 5 km = 20 km
Fußgänger: 15 }
}
}
h
h
h
km – 15 km = 35 km
50 }
}
}
h
h
h
Auto:
Bewegungen in Natur und Technik
(LB S. 67 – 71)
Relativgeschwindigkeit bezüglich des Fußgängers:
1.
416 754 Ort und Weg
Betrachtet wird zum Beispiel die Bewegung eines Radfahrers, der von einem bestimmten Ort (Ausgangsort)
losfährt, eine bestimmte Strecke fährt, dann umkehrt
und wieder zurückfährt. Er befindet sich nach einer bestimmten Zeit wieder am Ausgangsort. Der Weg, den er
zurücklegt, wird dagegen mit der Zeit immer größer.
Hinweis: Gut geeignet für die Erläuterung des Unterschieds sind periodische Bewegungen (Kreisbewegung,
Schwingung).
2.
418 394 Ort-Zeit-Diagramm
a) A gleichförmige Bewegung
B in Ruhe
C gleichförmige Bewegung mit größerer Geschwindigkeit als bei A
D gleichförmige Bewegung in entgegengesetzter
Richtung zu A und C
E in Ruhe
b) Abschnitt A:
Δs
m
m
km
v=}
= 60
=6}
= 21,6 }
Δt }
10 s
s
h
Auto:
km + 5 km = 55 km
50 }
}
}
Radfahrer:
km + 5 km = 20 km
15 }
}
}
h
h
h
5.
h
h
417 314 Verschiedene Bewegungsarten
a) I und II: Der Graph im Diagramm ist eine Gerade.
Daher liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor.
III: Der Graph im Diagramm ist gekrümmt. Daher
liegt eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung
vor. Die Beschleunigung nimmt im dargestellten
Zeitraum zu.
IV: Die Geschwindigkeit nimmt gleichmäßig ab.
Es handelt sich um eine gleichförmig beschleunigte
Bewegung mit negativer Beschleunigung. Dies wird
als Bremsvorgang bezeichnet.
b) Wenn sich bei einem bestimmten Wert für die Zeit t
zwei Graphen schneiden, dann haben die entsprechenden Körper zu diesem Zeitpunkt dieselbe
Geschwindigkeit.
6.
Abschnitt B: v = 0
h
417 134 Durchschnittsgeschwindigkeit
a) Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich aus
Weg und Zeit.
Δs
m
km
= 605 sm = 12 }
= 43,2 }
Abschnitt C: v = }
Δt }
s
h
15 km + 30 km
v = }}
0,33 h
3.
km
v = 135 }
h
418 294 Zwei Fahrzeuge
a) Im Ausgangszustand sind die Fahrzeuge A und B
400 m voneinander entfernt. Während B zunächst
steht, fährt A gleichförmig in Richtung B. Während
A immer gleichförmig in der gleichen Richtung weiterfährt, beginnt B bei t = 50 s gleichförmig in der
entgegengesetzten Richtung zu fahren. Beide Fahrzeuge sind nach etwa 57 s am gleichen Ort. Dann
entfernen Sie sich wieder voneinander.
25 km + 25 km
b) v = }}
1 000 s + 500 s
km
v = 120 }
h
Die Durchschnittsgeschwindigkeiten sind unterschiedlich, da sich im ersten Fall die Geschwindigkeit
auf gleiche Zeiten und im zweiten Fall auf gleiche
Wege bezieht.
Mechanik
7.
419 904 Schneller bedeutet kürzer
s
s
1
2
Δt = }
v –}
v
1
416 994 Wege und Geschwindigkeiten
10.
a) Es gilt s1 + s2 = 2 s1 mit s1 = v1 · t1
2
240 km – 240 km
Δt = }
}
km
km
100 }
h
s = 2 v1 · t1
130 }
h
m
s = 2 · 22,2 }
· 840 s
s
Δt = 0,55 h = 33 min
s = 37 296 m ≈ 37,3 km
8.
419 534 Bewegungsdiagramme
}
s
b) v = }
t1 + t2
a)
}
37 300 m = 25,9 m = 93,2 km
v =}
}
}
s
1 440 s
h
s in km
25
20
416 044 Ein Überholvorgang
11.
a) Als Dauer des Überholvorganges wird der Zeitraum
zwischen dem Wechsel auf die Überholspur bis zum
Einordnen angesehen. Neben der Relativgeschwindigkeit ist auch die Länge der Fahrzeuge zu beachten.
15
10
5
40 m
30 m
0
0
2
4
6
8
10
t in min
Das Fahrzeug bewegt sich gleichförmig.
Begründung: Der Graph ist eine Ursprungsgerade.
Es gilt demzufolge s ~ t. Das ist für gleichförmige
Bewegungen der Fall.
b) v = }st
27 km = 2,25 km = 135 km
v=}
}
}
12 min
min
h
v
20 m
Bezieht man die Bewegung des Pkw auf den Lkw,
dann gilt:
− Die Relativgeschwindigkeit beträgt
km – 72 km = 18 km oder 5 m .
90 }
}
}
}
s
h
h
h
− Der Gesamtweg des Pkw beim Überholen beträgt
40 m + 20 m + 30 m + 5 m = 95 m.
km
in }
h
− Die erforderliche Zeit ist dann:
t = }vs
135
95 m · s
t=}
= 19 s
5m
0
0
2
4
6
8
10
t in min
b) s = vPkw · t
9.
m
s = 25 }
· 19 s = 475 m
s
418 184 Reaktionszeit eines Torwarts
a) t = }vs
t=
11 m · s · 3,6
=
}
95 m
0,42 s
b) Beim Elfmeter ist der Abschusspunkt des Balls festgelegt. Eine Position vor der Torlinie würde zwar
die möglichen Winkel geringfügig einschränken,
zugleich aber die Reaktionszeit verkürzen. Sie würde
z. B. bei einer Position von 2 m vor der Torlinie nur
noch 0,34 s betragen. Eine Position deutlich vor der
Torlinie ist deshalb nicht zweckmäßig.
c) Einige dieser Bedingungen sind:
− Relativgeschwindigkeit sollte möglichst groß sein.
Dann verkürzt sich die Überholzeit.
− Die Gesamtstrecke muss einsehbar sein. Dabei ist
zu beachten, dass die Relativgeschwindigkeit zum
Gegenverkehr sehr groß sein kann. Bewegt er sich
mit etwa gleicher Geschwindigkeit, dann sollte die
einsehbare Strecke etwa 2 s = 1 000 m lang sein.
159
160
(LB S. 67 – 71)
414 884 Ein schneller 100-m-Lauf
12.
13.
a) Die Bewegung erfolgt in den ersten vier Sekunden
beschleunigt, dann bis zum Ziel näherungsweise
gleichförmig (b Diagramm).
419 234 Komplexe Bewegungen
a) Das Auto bewegt sich zunächst mit 2 m/s2 gleichmäßig beschleunigt, fährt dann gleichförmig weiter
(a = 0), beschleunigt dann mit a = 4 m/s2 und verzögert anschließend mit –2 m/s2.
s in m
b) Es wird davon ausgegangen, dass zum Zeitpunkt
t = 0 gilt: s0 = 0, v0 = 0
Dann kann man die für das Zeichnen der Diagramme
erforderlichen Werte berechnen:
v-t-Diagramm:
80
60
40
20
0
v1 = a · t
0
2
4
6
8
10
12
t in s
m
m
v1 = 2 }
· 15 s = 30 }
2
s
s
b) Die Berechnung der Beschleunigung erfolgt unter
der Annahme, dass die Bewegung des Läufers zum
Zeitpunkt t = 0 beginnt. Das ist aber in der Realität
nicht der Fall, weil bis zum Beginn der Bewegung
eine bestimmte Reaktionszeit erforderlich ist. Damit
ist die tatsächliche mittlere Beschleunigung größer
als die berechnete. Darüber hinaus gehen wir von
einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung aus.
Aus s = }a2 · t 2 erhält man durch Umstellung:
2s
a=}
2
m
m
v3 = v2 + 4 }
· 10 s = 70 }
s
2
s
m
m
v4 = v3 – 2 }
· 10 s = 50 }
2
s
s
(nach 45 s)
s-t-Diagramm:
s = }a2 · t 2
m
}2
s
s1 = 2 }
· (15 s)2 = 225 m
2
t
2 · 20 m = 2,9 m
a=}
}2
2
(3,70 s)
m
v2 = 30 }
s
m
s2 = s1 + v1 · t = 225 m + 30 }
· 10 s = 525 m
s
s
Die durchschnittliche Beschleunigung beträgt auf
m.
den ersten 20 m etwa 2,9 }
2
s3 = s2 + v2 · t = }a2 · t 2
}
m
s
s3 = 525 m + 30 }
· 10 s + 4 }
· (10 s)2
s
2
s
c) v = }st
}
100 m
v=}
10,27 s
m
}2
s3 = 525 m + 300 m + 200 m
}
m = 35 km
v = 9,7 }
}
s
h
s3 = 1 025 m
Δs bei
d) Für die Augenblicksgeschwindigkeit gilt v = }
Δt
kleinem Δt.
Eine Möglichkeit der Messung wäre die folgende:
Zwei Lichtschranken, die mit einer elektronischen
Uhr gekoppelt sind, werden in kurzer Entfernung
voneinander (z. B. Δs = 1 m) angebracht. Beim
Auslösen der 1. Lichtschranke beginnt die Uhr zu
laufen, beim Auslösen der 2. Lichtschranke wird sie
gestoppt. Dabei muss beachtet werden, dass die
Lichtschranken durch einen Körperteil ausgelöst werden, der sich nicht stark unterschiedlich bewegt (wie
das z. B. bei Beinen und Armen der Fall ist).
Bei der gleichzeitigen Messung für mehrere Läufer
ist z. B. die Variante denkbar, dass die Lichtschranken
senkrecht zur jeweiligen Bahn angeordnet werden.
s4 = s3 + v3 · t – }a2 · t 2
m
}2
m
s
s4 = 1 025 m + 70 }
· 10 s – 2 }
· (10 s)2
s
2
s4 = 1 025 m + 600 m – 100 m
s4 = 1 625 m
Damit ergeben sich folgende Diagramme:
e) Erkundungsaufgabe
161
Mechanik
m
419 074 Startphase eines Bobs
14.
v in }
s
Es liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor.
Damit können die betreffenden Bewegungsgesetze
genutzt werden.
60
50
40
30
a) v = a · t
20
m
v = 1,8 }
· 5,0 s
2
s
10
0
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45
v=9
t in s
m
}
s
b) s = }a2 · t 2
m
1,8 }
2
s in m
s
s=}
· (5 s)2
2
1 400
s = 22,5 m
1 200
c) v} = }st
22,5 m
v} = }
5,0 s
1 000
4,5 m
km
v} = }
= 16 }
s
h
800
600
417 834 Abbremsen eines Mopeds
15.
a) Im Diagramm ist der Zusammenhang zwischen
Geschwindigkeit und Zeit dargestellt. Die Geschwindigkeit, die anfangs 12,5 m/s betrug, verringert sich
innerhalb von 4 Sekunden gleichmäßig auf null.
400
200
Δv
b) a = }
Δt
0
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45
t in s
m
– 12,5 }
s
m
a=}
= – 3,1 }
2
4s
s
c) Aus den Betrachtungen zu den Diagrammen (siehe
Teilaufgabe b) ergibt sich:
c) s = v0 · t – }a2 · t 2
s = s3 + v3 · t – }a2 · t 2
s = 25 m
m
2}
2
m
s
s = 1 025 m + 60 }
·5 s – }
· (5 s)2
2
s
s = 1 025 m + 300 m – 25 m
16.
s = 1 300 m
a)
416 744 Bewegung eines Pkw
v in km/h
In 40 s wird ein Weg von 1300 m zurückgelegt.
50
40
d) Die Höchstgeschwindigkeit wird nach 35 s erreicht.
m
Sie beträgt 70 }
(siehe b).
s
30
m
e) a = konst. = 2 }
2
20
s
v = a·t
10
s = }a2 · t 2
Mit t =
}av
erhält man: s =
0
a v2
}2 · }
a2
=
v2
}
2a
2as
Die Umstellung nach v ergibt: v = v (s) = √}
0
5
10
15
20
25
t in s
162
(LB S. 67 – 71)
s4 = v2 · t4 – }a2 · t42
b) Für das t-s-Diagramm muss man die zurückgelegten
Wege berechnen:
s1 =
}a2 · t 21
m
13,9 }
s
m
6}
m
s
s4 = 9 }
· 120 s – }
· (120 s)2
s
120 s · 2
2
=}
· (7 s) = 49 m
2·7 s
s4 = 1 080 m – 360 m = 720 m
s2 = s1 + v · t2 = 258 m
s5 = v3 · t5
s3 = s2 + v · t3 – }a2 · t23
m
s5 = 3 }
· 120 s = 360 m
s
s3 = 286 m
s = s1 + s2 + s3 + s4 + s5
Damit erhält man die dargestellten Diagramme.
s in m
s = 540 m + 1 080 m + 450 m + 720 m+ 360 m
300
s = 3 150 m
200
18.
100
0
0
5
10
15
20
25
t in s
5
10
15
20
25
t in s
m
a in }
2
s
2
1
0
–1
–2
–3
Es soll näherungsweise die Augenblicksgeschwindigkeit des letzten Waggons am Bahnsteigende bestimmt
werden.
Δs
Für die Augenblicksgeschwindigkeit gilt: v = }
bei
Δt
kleinem Δt.
Geht man davon aus, dass die Zeit mit einer Stoppuhr
gemessen werden soll und unbedingt auch ein Sicherheitsabstand zum fahrenden Zug eingehalten werden
muss, dann könnte man z. B. folgendes Verfahren
wählen:
− Das Bahnsteigende dient als Markierung für die
Zeitmessung.
− Es wird die Zeit gemessen, die der letzte Waggon
zum Passieren dieser Markierung braucht.
− Aus der Länge des Waggons und der Zeit ergibt sich
ein Näherungswert für die Geschwindigkeit.
19.
17.
415 084 Geschwindigkeitsmessung
417 924 Perfekter Flugzeugstart
a) Aus s = }a2 · t 2 und v = a · t erhält man:
417 084 Weg eines Radfahrers
2
v
s=}
2a
Die Gesamtstrecke ergibt sich aus den fünf Teilstrecken.
Als Gesamtzeit wird 10 min angenommen.
Berechnet werden jeweils die Einzelwege s1 bis s5.
s1 = v0 · t1 +
s1 = 3
a
}2 · t12
m
· 120
}
s
Δv
mit a = }
Δt
m
3}
s
s+}
· (120
120 s · 2
2
((290 : 3,6) }m)
s
s = }}
= 1 160 m
m
2 · 2,8 }2
s
b)
s)2
m
v in }
s
80
s1 = 360 m + 180 m = 540 m
40
s2 = v1 · t2
s2 = 6
20
m
· 180
}
s
s3 = v1 · t3 +
60
s = 1 080 m
0
0
5 10 15 20 25 30 t in s
a
}2 · t32
m
3}
m
s
s3 = 6 }
· 60 s + }
· (60 s)2
s
60 s · 2
s3 = 360 m + 90 m = 450 m
Mechanik
b) Der Anhalteweg ergibt sich aus der gleichförmigen
Bewegung während der Reaktionszeit und dem
Weg, der während des Bremsens zurückgelegt wird
(Bremsweg).
s in m
1 000
800
s = v · t1 + }a2 · t 22
600
400
2
v
Mit t2 = }av erhält man: s = v · t1 + }
2a
200
0
0
Damit ergibt sich für die verschiedenen Geschwindigkeiten:
5 10 15 20 25 30 t in s
km :
v = 30 }
s = 14 m
km :
v = 50 }
s = 30 m
km :
v = 70 }
s = 52 m
h
20.
416 074 Geschwindigkeit und Bremsweg
h
Nimmt man eine gleichmäßig verzögerte Bewegung bis
zum Stillstand an, dann gilt:
h
km : s = 96 m
v = 100 }
h
s = v · t – }a2 t 2 (1)
v = a·t
(2)
Die Umstellung von (2) nach t ergibt t = }av . Eingesetzt in
(1) erhält man:
2
2
v – a·v
s=}
}2
a
2a
s=
v2
}
2a
Das bedeutet: Der Bremsweg ist von der ursprünglichen
Geschwindigkeit und von der Beschleunigung abhängig.
Eine doppelt so große Geschwindigkeit bedeutet bei
bestimmten Straßenverhältnissen (a = konstant) den
vierfachen Bremsweg. Eine Verdopplung der Bremsbeschleunigung führt zu einer Halbierung des Bremswegs
(bei v = konstant), wobei allerdings zu beachten ist, dass
es für den Wert der Bremsbeschleunigung Grenzen gibt.
Das Maximum liegt bei etwa 8,5 – 9 m/s2.
c) Der Anhalteweg vergrößert sich mit steigender
Geschwindigkeit überproportional. Damit wird bei
höheren Geschwindigkeiten ein Anhalten vor plötzlichen Hindernissen kaum noch möglich.
Hinweis: Bei den für Pkw angegebenen Bremswegen
(meist von 100 km/h auf null), die bei etwa 35– 40 m
liegen, handelt es sich um die reinen Bremswege bei
optimalen Bedingungen und ohne Berücksichtigung
der in der Praxis stets vorhandenen Reaktionszeit.
417 824 Verschiedene Bremsverzögerung
23.
Für die Berechnung der Bremswege kann die Gleichung
2
v
s=}
2a
genutzt werden.
2
(10 }m)
s
a) sRad = }
m = 20 m
21.
a)
s
2
(10 }ms )
v = √}
2·a·s
m · 26 m
v = }}
2 · 6,8 }
√
sPkw = }
m = 7,1 m
2 · 7 }2
s
s2
m = 67,7 km
v = 18,8 }
}
s
h
b) Die Geschwindigkeit lag erheblich über der innerhalb geschlossener Ortschaften erlaubten Geschwindigkeit.
22.
2 · 2,5 }2
419 024 Eine Vollbremsung
418 774 Bremsweg und Anhalteweg
b) Der Anhalteweg setzt sich aus dem Bremsweg und
dem Weg zusammen, der während der Reaktionszeit
zurückgelegt wird. Dieser Weg beträgt:
sRad = v · t
m
sRad = 10 }
· 0,80 s = 8,0 m
s
Für den Pkw ist dieser Weg genauso lang.
Damit erhält man als Anhaltewege:
a) Der Bremsweg ist derjenige Weg, der vom Beginn
des Bremsens bis zum Stillstand zurückgelegt wird.
Der Anhalteweg berücksichtigt die „Schrecksekunde“, die bis zum Beginn des Bremsens vergeht.
Er ist also länger als der Bremsweg.
sRad = 20 m + 8,0 m = 28 m
sPkw = 7,1 m + 8,0 m = 15 m
163
164
24.
(LB S. 67 – 71)
v2
m
0
Aus s = v0 · t – }
· t 2 ergibt sich mit v0 = 750 }
und
4 sH
s
sH = 5,0 cm:
415 794 Faustregeln
(750 }m)2
Weitere Faustregeln lauten:
m
s
s = 750 }
·t – }
·t2
4 · 0,05 m
s
a) Bei Nebel gilt: Sichtweite = Sicherheitsabstand.
t in ms
a) Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit
Anfangsgeschwindigkeit gilt:
(2)
a=}
2s
v 20
·t2
}
4 sH
v2
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
t in ms
v2
0
a=}
2s
H
(750 }ms )2
a=}
2 · 0,05 m
v 02
·t
}
2 sH
Die Verzögerung des Geschosses im Holz beträgt
m.
5,6 · 106 }
2
d) Es werden die in Teilaufgabe a abgeleiteten Gleichungen für s (t) und v (t) miteinander verknüpft:
H
ergibt sich mit v0 = 750
m
}
s
v2
0
Aus v = v0 – }
· t erhält man
2s
und
H
t=
(750 }m)2
m
s
v = 750 }
–}
·t
2 · 0,05 m
s
t in ms
0,03
0,06
0,09
0,12
m
v in }
s
581
413
244
75
(v0 – v) 2 sH
}
v 20
(1)
Einsetzen von t in die Gleichung für den Weg ergibt
nach Umformung und Vereinfachung:
v = v (s) = v0
}
sH – s
√}
s
H
Damit kann man eine Wertetabelle berechnen:
v in m/s
800
4
s
0
v (t) = v0 – }
·t
2s
b) Aus v = v0 –
sH = 5,0 cm:
4,95
s
Durch Einsetzen von (3) in (1) und (2) erhält man die
gesuchten Gleichungen:
s (t) = v0 · t –
4,47
m
a = 5,6 · 106 }
2
(3)
H
3,5
c) Die Verzögerung (Beschleunigung) ergibt sich aus
dem Zeit-Weg- und dem Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz:
Um zu den Gleichungen s = s (t) und v = v (t) zu gelangen, muss a eliminiert werden. Durch Umstellen
v0
von (1) nach a unter Nutzung derAbbremszeit t = }
a
erhält man:
v 20
2,0
2
417 724 Abgebremstes Geschoss
v = v0 – a · t
0,12
6
Die Bewertung kann im Vergleich zu der in der Aufgabe
genannten Faustregel erfolgen.
(1)
0,09
s in cm
8
c) Bei Nebel gilt: Sichtweite in Metern = Tempo in
Kilometern pro Stunde.
s = v0 · t – }a2 · t 2
0,06
m
v in }
s
b) Der Sicherheitsabstand sollte 2–3 Sekunden Fahrstrecke betragen (bei 50 km/h bedeutet das etwa
30 m Abstand als Minimum).
25.
0,03
s in cm
m
v in }
s
600
0
1
2
3
4
5
750
671
581
474
335
0
Damit erhält man das folgende Diagramm.
400
200
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
t in ms
Mechanik
800
414 444 Schnelle Regentropfen
28.
v in m/s
a) Aus
g 2
s=}
·t
und v = g · t
2
ergibt sich:
600
v = √}
2·g·s
400
m
km
m
v = 2 · 500 m · 9,81 }
= 99 }
s = 356 }
2
h
}}
√
200
0
0
1
2
3
4
5
s in cm
e) Aus dem Diagramm ist ablesbar: Die halbe Auftreffgeschwindigkeit hat das Geschoss in etwa 3,7 cm
Eindringtiefe.
Hinweis: Der exakte Wert ist 3,75 cm.
26.
417 454 Ein freier Fall
g 2
Aus s = }
· t und v = g · t ergibt sich:
2
2
v
s=}
2g
2
(13,89 }m)
km
m
≈ 13,89 }
(50 }
h
s)
s
s=}
m
2 · 9,81 }2
s
s = 9,83 m ≈ 10 m
27.
412 484 Geschwindigkeit eines Steins
a) Die Höhe (Weg) kann aus dem Weg-Zeit-Gesetz
ermittelt werden.
s
b) Die Auftreffgeschwindigkeit von Regentropfen bekm
.
trägt bis zu 30 }
h
Der Unterschied kommt zustande, weil auf die Regentropfen die Luftwiderstandskraft wirkt und ihre
Bewegung erheblich beeinflusst. Im Fall von Regentropfen kann deshalb nicht als freier Fall angesehen
werden.
418 054 Analyse eines Fallschirmsprungs
29.
a) Die Geschwindigkeit des Fallschirmspringers nimmt
zunächst stark zu und erreicht nach etwa 8 Sekunden freien Falls eine maximale Geschwindigkeit von
m
50 }
. Mit dieser konstanten Geschwindigkeit bewegt
s
sich der Fallschirmspringer weiter. Beim Öffnen des
Fallschirms bei etwa 12 s wird die Bewegung stark
abgebremst und erreicht schließlich eine konstante
m
km
Geschwindigkeit von etwa 6 }
= 22 }
.
s
s
b) Als freien Fall kann man die Bewegung eines Körpers
dann ansehen, wenn der Einfluss des Luftwiderstandes vernachlässigbar ist. Das ist bei vielen Körpern
der Fall, wenn die Fallstrecke und damit auch die
Fallzeit/Fallhöhe klein ist. Es ist auch bei schweren,
kleinen Körpern eher der Fall als bei leichten, größeren Körpern.
g
s = }2 · t2
418 894 Abschätzung der Höhe
9,81 m
s1 = }
· (1 s)2 = 4,9 m
2
30.
9,81 m
s2 = }
· (2 s)2 = 19,6 m
2
a) Bei dem gegebenen Sachverhalt kann man von
einem freien Fall ausgehen.
2s
2s
Der Körper befindet sich damit nach 1 s in 30,1 m
Höhe und nach 2 s in 15,4 m Höhe.
b) Aus
g 2
s=}
·t
2
}
g
2s
s = }2 · t 2 ergibt sich t = }
g
√
}
2 · 35 m
√
9,81m
s=}
· (4,0 s)2
2
2s
s = 78,5 m
t= }
m
9,81 }2
s
Das Felsplateau liegt ca. 79 m über der Wasseroberfläche.
t = 2,7 s
v = g·t
v = 9,81
v = 26
m
}
s
b) v = g · t
m
}2
s
m
v = 9,81 }
· 4,0 s
2
· 2,7 s
= 94
s
km
}
h
v = 39
m
}
s
km
= 140 }
h
m
Die Auftreffgeschwindigkeit beträgt etwa 39 }
s
km
140 }
.
h
(
)
165
166
(LB S. 67 – 71)
(46,5 }ms )2
c) Zur beobachteten Fallzeit von 4,0 s kommt die Zeit
hinzu, die Schall braucht, um vom Auftreffpunkt bis
zum Felsplateau zu gelangen. Für den Schall gelten
die Gesetze der gleichförmigen Bewegung.
m
a=}
= 270 }
2
2·4 m
s
m . Das ist etwa das
Die Verzögerung beträgt 270 }
s2
27-Fache der normalen Fallbeschleunigung.
Aus v = }st folgt t = }vs .
78,5 m
t=}
m
340 }
s
32.
414 794 Surfer in Aktion
t = 0,23 s
Folglich hört man den Aufschlag des Steines nach
einer Zeit von 4,0 s + 0,23 s = 4,23 s.
31.
Die gegebenen Größen sind in der nicht maßstäblichen
Skizze dargestellt.
m
v1 = 5 }
s
45°
415 254 Fallturm Bremen
v
a) Solche Experimente könnte man im Weltraum oder
während des Parabelflugs eines Flugzeugs realisieren.
b) Anzuwenden sind bei der Lösung die Gesetze des
freien Falls.
}
m
v2 = 1,6 }
s
Betrag und Richtung der resultierenden Geschwindigkeit können grafisch oder rechnerisch ermittelt werden.
}}}
2s
Aus s = }2 · t 2 ergibt sich t = √ }
g
g
v = √v12 + v22 + 2 v1 · v2 · cos α
}
√
}}}}
√(5,0 }ms )2 + (1,6 }ms )2 + 2 · 5,0 }ms · 1,6 }ms · cos 45°
}}}
}
m + 2,56 m + 11,31 m = 38,87 m
v = √25 }
}
} √
}
s
s
s
s
2 · 110 m = 4,7 s
t= }
9,81 m
v=
}2
s
2
Die maximale Dauer eines Experiments unter den
Bedingungen der Schwerelosigkeit beträgt 4,7 s.
2
2
2
2
2
2
2
m
km
v = 6,2 }
= 22 }
s
h
g
c) s = }2 · t 2
m
in Richtung Ostsüdost.
Der Surfer bewegt sich mit 6,2 }
s
Genauer: Der Winkel zwischen v1 und v beträgt 10,5°.
9,81 m
s=}
(9,4 s)2 = 433 m
2
2s
Wollte man die Zeit verdoppeln, so müsste der Weg
etwa viermal so groß sein.
Beachte: Die Abweichungen kommen durch Rundung der Werte zustande.
v und damit v = }
s=}
√2g·s
2g
2
m · 110 m
v = }}
2 · 9,81 }
2
Aus v = v0 – g · t ergibt sich mit v = 0:
s
v = 46,5
m
}
s
= 167
v0 = g · t = 0
km
}
h
Die maximale Geschwindigkeit der Fallkapsel beträgt
m.
46,5 }
s
Beachte: Man kann auch die Gleichung v = g · t
anwenden. Der Wert für t ist dann schon ein Näherungswert.
e) Es liegt eine gleichmäßig verzögerte Bewegung bis
zum Stillstand vor.
v0
Aus v = v0 – a · t folgt mit v = 0: t = }
a
Eingesetzt in s = v0 · t – }a2 t 2 erhält man:
s=
v20
}
a
–
v20
}
2a
und damit: a
v20
=}
2a
v20
=}
2s
414 864 Abwurfgeschwindigkeit gefragt
Es geht um einen senkrechten Wurf nach oben, wobei
die Wurfhöhe gegeben ist. Dabei ist die Abwurfhöhe zu
beachten.
g
v
d) Aus s = }2 · t 2 folgt mit t = }
g:
√
33.
v
0
oder t = }
g
(1)
g 2
·t
Für den Weg gilt: s = v0 · t – }
2
v
2
v
2
0
0
(1) eingesetzt ergibt: s = v02 – }
=}
2g
2g
Durch Umstellung nach v0 erhält man:
v0 = √}
2g·s
}}
√
m
v0 = 2· 9,81 }
· 5,5 m
2
v0 = 10,4
s
m
}
s
m
senkrecht nach
Das Kind wirft den Ball mit etwa 10 }
s
oben.
167
Mechanik
34.
414 954 Wurf nach unten
150
v = g·t
v = v0 + g · t
g 2
s=}
·t
2
g 2
s = v0 · t + }
·t
2
100
Für den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit
und Zeit ergibt sich damit:
50
freier Fall
t in s
v in
m
}
s
0
0
1
2
3
4
5
0
9,81
19,6
29,4
39,2
49,1
m
v in }
s
0
1
2
3
4
5
t in s
b) Beim waagerechten Wurf gilt für die Geschwindigkeit:
}}
Wurf nach unten
t in s
s in m
200
a) Für den freien Fall bzw. den Wurf nach unten gelten
folgende Gesetze:
0
1
2
3
4
5
10
19,8
29,6
39,4
49,2
59,1
v =√v02 + (g · t)2
Demzufolge erhält man:
t in s
m
v in }
s
Damit erhält man folgendes v-t-Diagramm:
0
1
2
3
4
5
10
14,0
22,0
31,1
40,4
50,1
m
v in }
s
80
Für den Weg in x- und y-Richtung gilt:
x = v0 · t
60
g 2
y=}
·t
2
Daraus ergibt sich die Bahnkurve, die man zeichnen
und näherungsweise ausmessen könnte.
Die Graphen sind in die Diagramme unter Teilaufgabe a gestrichelt mit eingezeichnet.
40
20
416 514 Bahn eines Geschosses
35.
0
0
1
2
3
4
5
t in s
a) Berechnung der Flugzeit:
Für den Zusammenhang zwischen Weg und Zeit
erhält man:
100 m
t=}
m = 0,18 s
550 }
s
freier Fall
In dieser Zeit fällt das Geschoss die Strecke:
t in s
0
1
2
3
4
5
s in m
0
4,9
19,6
44,1
78,4
122,6
m
9,81 }
2
g 2
s
s=}
·t = }
· (0,18 s)2
2
2
s = 0,159 m = 15,9 cm
Wurf nach unten
t in s
0
1
2
3
4
5
s in m
10
14,9
39,6
74,1
128,4
172,6
Damit erhält man folgendes s-t-Diagramm:
b) Man muss ca. 16 cm oberhalb des Mittelpunkts der
Zielscheibe zielen.
Hinweis: Tatsächlich ist der Sachverhalt komplizierter,
weil in dem genannten Fall der Luftwiderstand die
Bewegung merklich beeinflusst. Davon wurde bei den
Berechnungen abgesehen.
168
36.
(LB S. 67 – 71)
415 564 Skispringer in Aktion
37.
a) Für x und y ergeben sich aus den Daten folgende
Werte:
t in s
x in m
417 974 Ein Ballwurf
Es wird davon ausgegangen, dass Abwurf- und Auftreffpunkt in einer Ebene liegen. Für die Wurfweite gilt:
y in m
v
2 · sin
0
0
0
0,2
5
– 0,2
0,4
10
– 0,78
0,6
15
– 1,8
v0 = √}
sw · g
0,8
20
– 3,1
m
v0 = 20 }
s
1,0
25
– 4,9
1,2
30
– 7,1
1,4
35
– 9,6
1,6
40
– 12,6
1,8
45
– 15,9
2,0
50
– 19,6
2,2
55
– 23,7
2,4
60
– 28,3
0
10
20
30
40
50
}
s ·g
√
2α
0
sw = }
g
w
und damit v0 = }
sin 2 α
Die maximale Wurfweite wird (theoretisch) bei α = 45°
erzielt. Folglich ist sin 2 α = sin 90° = 1 und damit
m
Die Mindestgeschwindigkeit beim Abwurf beträgt 20 }
.
s
38.
416 084 Abwurf aus dem Flugzeug
Abwurfpunkt
200 m
Auftreffpunkt
60 x in m
0
}
2h
Die Fallzeit beträgt: t = }
g
√
km
m
= 50 }
In dieser Zeit bewegt sich das Paket mit 180 }
h
s
horizontal weiter. Die Strecke beträgt:
–5
–10
}
2h
s = v0 · t = v0 · }
g
–15
m }
2 · 200 m · s2
s = 50 }
· }
s
9,81 m
–20
s = 320 m
√
√
Das Abwerfen muss etwa 300 m vor dem vorgesehenen
Auftreffpunkt erfolgen.
–25
–30
y in m
39.
b) Für die Geschwindigkeit v gilt:
}
v = √v02 + vF2
km
m
Mit v0 = 90 }
= 25 }
h
s
und
m
m
vF = g · t = 9,81 }
· 2,4 s = 23,5 }
2
s
s
erhält man:
}}
√
m
m
v = 25 }
+ 23,5 }
2
2
s
s
m
km
v = 34,3 }
= 124 }
s
h
v0
vF
v
416 204 Bogenschießen
a) Mit Muskelkraft wird der Bogen gespannt. Dabei
wird chemische Energie in potenzielle Energie umgewandelt.
Beim Abschuss wird die potenzielle Energie des
gespannten Bogens in kinetische Energie des Pfeils
umgewandelt. Diese kinetische Energie wird durch
die Reibung teilweise in thermische Energie umgewandelt. Der Rest wird beim Auftreffen des Pfeils
in thermische Energie und Verformungsenergie
umgewandelt.
b) E = }12 m · v 2
(
)
m2
E = }12 m · 0,025 kg · 100 }
s
E = 125 J
169
Mechanik
c) Bei einer Fallhöhe von 1,70 m beträgt die Fallzeit:
}
2h
√
t= }
g
b) Genutzt wird die bei Teilaufgabe a) abgeleitete
Gleichung:
v
}
√
}}}
v 4 · cos4 α · tan2 α 2 v 2 · cos2 α · y
√
2 · cos2 α · tan α
0
0
0
x1,2 = }}
± }}
– }}
2
g
g
2 · 1,70 m
t= }
= 0,59 s
9,81 m
}2
g
s
Für die verschiedenen Winkel α erhält man mit
m
m
v0 = 8,0 }
, g = 9,81 }
und y = –1 m folgende Werte:
2
s
In dieser Zeit legt er folgende waagerechte Strecke
zurück:
s = v·t
s
α in Grad
x in m
m · 0,59 s = 59 m
s = 100 }
s
d) bei 70 m:
t = 0,7 s
s=
40
50
60
6,09
7,03
7,45
7,17
6,17
x in m
8
2
s
s=}
· (0,7 s) = 2,4 m
2
t = 0,9 s
9,81
30
Damit erhält man folgende grafische Darstellung:
g
}2 · t 2
m
9,81 }
2
bei 90 m:
20
6
m
}
s2
s = }2 = 4,0 m
4
2 · (0,9 s)
2
40.
416 294 Weitsprung optimal
0
a) Allgemein gilt für die Wurfparabel beim schrägen
Wurf:
g
y = tan α · x – }
·x2
2
2
0
20
40
60
80 α in Grad
(1)
2 v0 · cos α
Die Sprungweite x lässt sich allgemein ermitteln,
wenn man Gleichung (1) nach x umstellt:
g
· x 2 – tan α · x + y = 0
}
2
2
2 v0 · cos α
oder
2v
2
· cos2 α · tan α
2v
2
· cos2 α · y
0
0
x 2 – }}
· x + }}
=0
g
g
Als Lösung dieser quadratischen Gleichung erhält
man:
x1,2 =
v02 · cos2 α · tan α
}}
g
}}}
v04 · cos4 α · tan2 α 2v 2 · cos2 α · y
√
0
± }}
–}
2
g
Kräfte und ihre Wirkungen
(LB S. 91 – 93)
g
m
m
, g = 9,81 }
, α = 20 ° und y = –1 m erMit v0 = 8,0 }
s
s2
hält man:
}}
x1,2 = 2,1 m ± √(2,1 m)2 + 11,5 m2
1.
417 944 Kräftezusammensetzung
x1,2 = 2,1 m ± 4,0 m
Die resultierende Kraft kann man zeichnerisch oder
rechnerisch ermitteln.
x1 = 6,1 m
Es gilt: F = √F12 + F22 + 2 F1 · F2 · cos α
Für einen Winkel von 45 ° erhält man:
x1,2
}}
= 3,26 m ± √(3,26 m)2 + 6,52 m2
x1,2 = 3,26 m ± 4,14 m
x1 = 7,40 m
Hinweis: Eine negative Sprungweite macht physikalisch gesehen keinen Sinn.
}}}
Damit erhält man folgende Resultierende:
a) F = 86 N
b) F = 185 N
c) F = 114 N
d) F = 60 N
170
2.
(LB S. 91 – 93)
417 994 Kräftezerlegung
3.
a) Je nach Aufhängung wirken die Kräfte als Zug- oder
Druckkräfte.
(I)
418 044 Belastung von Seilen
Die Resultierende aus den beiden Teilkräften ist gleich
der Gesamtkraft, die auf die Aufhängung wirkt. Die
Kräfte auf die Seile können grafisch oder rechnerisch
ermittelt werden.
60°
F2
F1
F1
F2
F
F
(II)
F1
F2
Unter Nutzung der in der Skizze angegebenen waagerechten Hilfslinie erhält man:
F
F
}
F
·g
2
cos 30° = }
und damit F2 = }
= 2·m
F
2 · cos 30° }
cos 30°
2
m
600 kg · 9,81 }
2
s
F2 = }}
2 · cos 30°
F2 = 3 400 N
Aus den Skizzen ist die Richtung der Kräfte zu entnehmen.
b) Die Beträge der Teilkräfte können grafisch (maßstäbliche Skizze) oder rechnerisch ermittelt werden.
Aus Symmetriegründen hat F1 den gleichen Betrag.
4.
418 094 Eine geneigte Ebene
a)
Fall (I):
F
sin 30° = }
F
2
FH
F
tan 30° = }
F
1
FN
F
F2 = }
= 2 F = 50 N
sin 30°
FG
F
F1 = }
= 1,73 F = 44 N
tan 30°
Fall (II):
Analog zu Fall (I) erhält man:
α
F
F2 = }
= 2 F = 50 N
sin 30°
F1 =
F
}
tan 30°
b) FN = FG · cos α
= 1,73 F = 44 N
mit
FG = m · g
m
FN = 90 kg · 9,81 }
· cos 12°
2
s
c) Für eine solche Variante müsste sin α = tan α sein.
Das ist näherungsweise für kleine Winkel α der Fall.
Dann werden die Kräfte jedoch sehr groß.
FN = 864 N
FH = FG · sin α
m
FH = 90 kg · 9,81 }
· sin 12°
2
s
FH = 184 N
Mechanik
c) Bei konstanter beschleunigender Kraft gilt mit dem
newtonschen Grundgesetz:
Äquator: FG = 587,4 N
Mond:
FG = 97,2 N
Mars:
FG = 222,6 N
F
a=}
m
Mit
F = FH erhält man:
a=
m · g · sin α
}
m
a = 9,81
a = 2,0
6.
= g · sin α
418 194 Menschen auf dem Mond
a) Die Gewichtskraft kann mit der Gleichung
FG = m · g berechnet werden.
m
}2 · sin 12°
s
m
FG, Erde = 9,81 }
· 14 700 kg = 144 kN
2
m
}2
s
s
FG, Mond = 1,62
d) 8 % Gefälle bedeutet: Auf 100 m beträgt der Höhenunterschied 8 m.
8m
α
m
}2 · 14 700
s
kg = 23,8 kN
b) Die Gewichtskraft der Raumstation auf der Erde ist
etwa 12-mal so groß wie die eines Pkw.
Auf dem Mond ist sie etwa doppelt so groß wie die
Gewichtskraft eines Pkw auf der Erde.
100 m
7.
418 264 Trägheit von Körpern
Damit erhält man für den Neigungswinkel:
Aufgrund der Trägheit wirken beim schnellen Anheben
(große Beschleunigung) große Kräfte (Trägheitskräfte),
beim langsamen Anheben aber nur (näherungsweise)
die Gewichtskraft bzw. die Gegenkraft dazu.
8m
tan α = }
100 m
α = 4,6°
Damit betragen die Kräfte:
8.
FN = m · g · cos α
m
FN = 90 kg · 9,81 }
· cos 4,6°
2
s
FN = 880 N
FH = m · g · sin α
m
FH = 90 kg · 9,81 }
· sin 4,6°
2
s
FH = 71 N
5.
418 084 Masse und Gewichtskraft
Die Masse ist an den verschiedenen Orten konstant, die
Gewichtskraft kann mit der Gleichung
FG = m · g
berechnet werden.
Für den Ortsfaktor gilt:
m
N
gMond = 1,62 }
= 1,62 }
2
kg
s
gMars = 3,71
m
}2
s
N
= 3,71 }
kg
z. B.: m = 60 kg
Schulort: FG = 588,6 N
Nordpol: FG = 589,8 N
418 354 Sicherheit im Auto
Sicherheitsgurte: Beim schnellen Abbremsen (Auffahrunfall) wirken erhebliche Trägheitskräfte in Fahrtrichtung. Durch den Sicherheitsgurt wird ein Aufschlagen
des Körpers auf Lenkrad/Armaturenbrett vermieden.
Der Körper nimmt an der durch die Knautschzone verringerten Beschleunigung des Fahrzeugs teil (s. u.).
Airbag: Airbags, die sich bei großen Beschleunigungen
automatisch aufblasen, dienen als „Abfederung“ für
den Körper und verhindern ein Aufschlagen auf harte
Kanten.
Kopfstütze: Eine Kopfstütze verhindert das Zurückschlagen des Kopfes vor allem in zwei Gefahrensituationen:
− Auffahrunfall von hinten,
− Aufprall auf Hindernis, bei dem nach einer Vorwärtsbewegung des Körpers in der Regel eine Bewegung
des Oberkörpers und Kopfes nach hinten erfolgt.
Knautschzone: Durch eine Knautschzone vorn und
hinten wird bei Unfällen der Brems- und Beschleunigungsweg vergrößert und damit die Beschleunigung
verringert. Eine Verkleinerung der Beschleunigung, die
ein Vielfaches der Fallbeschleunigung auf der Erde betragen kann, bedeutet eine Verkleinerung der Trägheitskräfte, durch die die Unfallfolgen wesentlich beeinflusst
werden.
171
172
9.
(LB S. 91 – 93)
419 064 Radialkräfte
11.
a) Die Gleichungen lauten:
F = m·a
v2
F = m·}
r
2
v ist eine BeschleuniDer Vergleich zeigt: Der Term }
r
gung, die als Radialbeschleunigung bezeichnet wird
und die senkrecht zur Geschwindigkeit gerichtet ist.
b) Mit T = 27,3 d, r = 384 400 km und m = 7,35 · 1022 kg
erhält man:
418 444 Bremskräfte
Geht man von einem gleichmäßigen Abbremsen aus,
so können neben dem newtonschen Grundgesetz die
Gesetze der gleichmäßig beschleunigten Bewegung
angewendet werden.
F = m·a
(1)
Die Beschleunigung lässt sich folgendermaßen ausdrücken:
Aus v = a · t folgt t = }av . Eingesetzt in
2
2
v
s = }a2 · t 2 erhält man s = }
2a
4 π ·r
F = m·}
2
T
2
v
und damit a = }
2s
F = 2,0 ·1020 N
(2)
Einsetzen von (2) in (1) ergibt:
10.
2
v
F = m ·}
2s
418 374 Kraft und Beschleunigung
2
a)
m
(18 }
s)
F = 1 100 kg · }
2 · 55 m
m
s
a in }2
kg ·m
F = 3 240 }
2
s
12
Die erforderliche (durchschnittliche) Bremskraft beträgt
etwa 3 200 N.
10
8
12.
6
418 484 Eine Vollbremsung
a) F = m · a
m
F = 1 200 kg · 6,6 }
2
s
4
F = 7 900 N
2
2
v
b) s = }
2a
0
0
1
2
3
4
5
m2
(13,9 }
s)
s=}
2
F in N
2 · 6,6 m · s
s = 14,6 m
b) Die grafische Darstellung zeigt den Zusammenhang
zwischen der wirkenden Kraft F und der Beschleunigung a bei einem Körper mit bestimmter Masse.
Zwischen Kraft und Beschleunigung besteht direkte
Proportionalität. Das bedeutet: Je größer die Kraft
auf einen beweglichen Körper ist, desto größer ist
auch seine Beschleunigung.
c) Man kann entweder von der grafischen Darstellung
ausgehen (ein sinnvolles Wertepaar für die Gerade)
oder aus den gegebenen Wertepaaren den Mittelwert bilden.
Aus den Wertepaaren ergibt sich mit
m = }aF :
m1 = 3,33 kg, m2 = 3,39 kg,
m3 = 3,30 kg, m4 = 3,33 kg
und damit als Mittelwert:
m = 3,34 kg
c) Zum Bremsweg kommt der Weg während der Schrecksekunde. Bei t = 0,8 s sind das:
m
s = 13,9 }
· 0,8 s = 11 m
s
Der Weg bis zum Stillstand beträgt dann:
s = 14,6 m + 11 m = 25,6 m
13.
418 644 Ein gefährlicher Atlas
F = m·a
m
F = 1,4 kg · 50 · 9,81 }
2
s
F = 690 N
Das ist die Größenordnung der Gewichtskraft eines
Menschen.
Mechanik
14.
v
v
2
v
2
(55,6 }ms )2
Δv
a) a = }
Δt
s=}
m
2 · 0,6 }2
km
40 }
s
m
h
= 2,5 }
a=}
2
4,5 s
s = 2 576 m
s
Für die Bremskraft gilt:
b) F = m · a
F = m·a
m
F = 1 350 kg · 2,5 }
2
s
m
F = 500 000 kg · 0,6 }
2
s
F = 3 380 N
F = 300 000 N
Der Zug kommt nach etwa 2 600 m zum Stehen. Die
Bremskraft beträgt ca. 300 kN.
c) Sie sind z. B für die Kompensation der Reibungskräfte (Rollreibung, Luftwiderstand) erforderlich.
15.
2
0
0
0
s=}
–}
=}
a
2a
2a
418 734 Anfahren eines Pkw
d) Es liegt eine gleichmäßig verzögerte Bewegung bis
zum Stillstand vor, für die folgendes Weg-Zeit-Gesetz
gilt:
418 794 Die Fahrt eines ICE
a) Es wird von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ausgegangen. Folglich können zur Lösung
neben dem newtonschen Grundgesetz die betreffenden Bewegungsgesetze genutzt werden.
s = v0 · t – }a2 · t 2
km und a = 0,6 m erhält man:
Mit v0 = 200 }
}2
h
s
F
a=}
m
t in s
0
20
40
60
80
90
s in m
0
991
1 742
2 253
2 524
2 570
270 000 N
a=}
500 000 kg
m
a = 0,54 }
2
s in m
s
Die maximale Beschleunigung eines ICE beträgt etwa
m
0,5 }
.
2
2 500
2 000
s
b) Aus
v = a·t
folgt
m
27,8 }
1 500
t = }av
1 000
s
t=}
m
500
0,54 }2
s
0
t = 51,5 s
0
20
40
60
80
t in s
Für den Weg aus dem Stillstand gilt:
414 784 Ein Auffahrunfall
16.
s = }a2 · t 2
Δv
a) F = m · a = m · }
Δt
m
0,54 }
· (51,5 s)2
2
s
s = }}
2
8,3 m/s
F = 65 kg · }
= 6 000 N
0,09 s
s = 716 m
Bei konstanter Beschleunigung erreicht der Zug nach
ca. 50 s eine Geschwindigkeit von 100 km/h. Dabei
wird ein Weg von etwa 700 m zurückgelegt.
Für Pkw kann man eine durchschnittliche Zeit von
etwa 10 s bis zum Erreichen von 100 km/h annehmen. Die Beschleunigung ist bei einem Pkw also
wesentlich größer als bei einem ICE.
v
0
c) Aus v = v0 – a · t folgt mit v = 0: t = }
a
Das Weg-Zeit-Gesetz lautet:
s = v0 · t – }a2 · t 2
Setzt man (1) in (2) ein, so erhält man:
8,3 m/s
b) F = 0,65 kg · }
= 60 N
0,09 s
c) Schon allein die Kraft auf den Fahrer (Lösung Teilaufgabe a) zeigt, dass auch ein Auffahrunfall mit
30 km/h gefährlich sein kann (s. auch Ergebnis der
Teilaufgabe d).
2
v
d) s = }
2g
2
(8,3 m/s)
s=}
2
(1)
2 · 9,81 m/s
s = 3,5 m
(2)
Ein Auffahrunfall mit 30 km/h ist vergleichbar mit
einem Sprung aus etwa 3,5 m Höhe.
173
174
(LB S. 91 – 93)
e) ABS bewirkt, dass auch beim starken Abbremsen die
Lenkbarkeit des Pkw erhalten bleibt. Der Bremsweg
verkürzt sich durch ABS nicht. Eher verlängert er sich.
Das bedeutet:
− Beim geradlinigen Auffahren spielt ABS keine
Rolle.
− ABS ermöglicht unter Umständen ein Ausweichen
und damit ein Vermeiden des Auffahrens.
− Die Geschwindigkeit wird verringert.
− Der Kurvenradius wird größer.
419 504 Das Kettenkarussell
20.
a) Die Gondel bewegt sich tangential weiter.
b) Für die Geschwindigkeit bei einer Kreisbewegung
gilt:
17.
419 444 Geschwindigkeit der Erde
2π · r
v=}
T
v = 2π · }Tr
Damit erhält man:
2π · 9,0 m
m
km
v=}
= 9,0 }
= 32 }
6,3 s
s
h
Die Geschwindigkeit der Erde um die Sonne beträgt
6
2π · 149,6 · 10 km
km
v = }}
= 29,8 }
.
31 536 000 s
s
Die Geschwindigkeit des Monds um die Erde beträgt
v=
2π · 384 400 km
}}
2 360 059 s
= 1,02
km
.
}
s
419 864 Beschleunigung gefragt
21.
2
Die Bahngeschwindigkeit, mit der sich die Erde um die
Sonne bewegt, ist also etwa 30-mal so groß wie die
Bahngeschwindigkeit des Monds um die Erde.
v
a=}
r
2
(8,3 }m)
s
m
a=}
= 1,7 }
2
40 m
s
Die auf den Motorradfahrer wirkende Radialbeschleunim
gung beträgt 1,7 }
.
2
s
18.
417 914 Nachrichtensatelliten
22.
v = 2 · π · }Tr
Um die Kurve zu durchfahren, muss die Radialm · v 2 durch die Haftreibung aufgebracht
kraft F = }
r
werden.
42 000 km
v = 2·π· }
86 400 s
km
v = 3,1 }
s
19.
m·v2
= 4 500 N
}
r
417 774 Kurvenfahrt eines Pkw
a) Die Radialkraft ist gleich der Haftreibungskraft. Daraus ergibt sich die maximale Geschwindigkeit.
m·v2
}
r
414 584 Schnell durch die Kurven
= μ·m·g
oder
v = √}
μ·g·r
4 500 N · r
√}
m
v=
4 500 N · 40 m
√}
1 500 kg
}}
m
km
v = 11 }
= 40 }
s
h
km
Die Kurve kann mit maximal 40 }
durchfahren werden.
h
}}
√
}
v=
m
v = 0,55 · 9,81 }
· 30 m
2
s
m
v = 12,7 }
s
23.
km
v = 45,8 }
h
Der Pkw kann die Kurve mit einer maximalen Gekm
schwindigkeit von etwa 45 }
.
h
415 074 Eine sichere Fahrt
Die Kurve kann sicher durchfahren werden, wenn die
Reibungskraft (Haftreibung) größer ist als die notwendige Gegenkraft zur Radialkraft.
Die Bedingung für den Grenzfall lautet:
Fr = FR
b) Bei schnellerer Fahrt wird der Pkw aus der Kurve
getragen.
2
v
m·}
= μ·m·g
r
c) Das Elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) bremst
einzelne Räder gezielt ab, wenn das Fahrzeug droht,
ins Schleudern zu geraten. Drängt beispielsweise in
einer Kurve das Heck nach außen, wird das kurvenäußere Vorderrad verzögert.
Bei Durchfahren einer Kurve mit zu großer Geschwindigkeit hat dies zwei Effekte:
v2 = μ·g·r
v = √}
μ·g·r
Theoretisch sicher ist eine Kurvenfahrt mit v < √}
μ · g · r.
Mechanik
24.
415 644 Schneiden von Kurven
415 854 Potenzielle Energie
2.
a) Der Kurvenradius vergrößert sich.
b) Damit die zum sicheren Durchfahren erforderliche
Radialkraft noch vorhanden ist, muss bei einer bestimmten Geschwindigkeit der Kurvenradius größer
sein.
Man beachte: Die potenzielle Energie ist davon abhängig, welches Bezugsniveau man annimmt. Es sind
deshalb unterschiedliche Lösungen möglich.
a) Bezugsniveau Erdboden:
m
Epot = m · g · h = 1 kg · 9,81 }
·1 m
2
s
c) Es besteht die Gefahr schwerster Unfälle.
25.
Epot ≈ 10 J
Beachte: Die Höhe von 1 m müsste der Abstand
zwischen Bezugsebene und Schwerpunkt der Flasche
sein.
415 104 Hammerwerfen
Der Hammerwerfer muss die Gegenkraft zur Radialkraft
aufbringen.
km 2
}
h
(100 )
2
v
F = m·}
= 7,0 kg · }
r
2,5 m
m
b) Epot = 1,3 kg · 9,81 }
·7 m
s2
Epot = 89 J
F = 2 160 N
m
c) Epot = 120 000 kg · 9,81 }
· 8 000 m
2
s
Epot = 9 418 000 000 J
26.
416 394 Gefährliche Fahrt
Epot = 9,4 GJ
a) Die der Radialkraft Fr entgegengesetzt gleich große
Zentrifugalkraft (Fliehkraft) muss im obersten Punkt
des Loopings größer sein als die Gewichtskraft FG des
Motoradfahrers.
b) Aus der Bedingung
FG = m · g
und
Fr ≥ FG folgt mit
418 654 Kinetische Energie
3.
Auch die kinetische Energie ist abhängig vom Bezugssystem. Es muss gegebenenfalls mit angegeben werden.
2
m·v
Fr = }
r
a) Ekin = }12 m · v 2
für die gesuchte Geschwindigkeit
m2
Ekin = }12 · 75 kg · (10 }
s)
}}
m
m
v ≥ √}
g · r = 9,81 }
· 3,8 m = 6,1 }
.
√
s2
s
Ekin = 3,75 kJ
m2
b) Ekin = }12 · 0,0075 kg · (800 }
s)
Energie, Arbeit und Leistung
(LB S. 107 – 109)
1.
416 854 Bedeutende Physiker
Ausführliche Informationen zu J. R. MAYER, J. P. JOULE und
H. VON HELMHOLTZ sind im Internet zu finden.
Bei J. R. MAYER sollte darauf eingegangen werden, dass
er als Arzt wichtige Zusammenhänge entdeckte, aber
aufgrund seiner in der Physik unüblichen sprachlichen
Darstellungen seine physikalischen Fähigkeiten selbst
von bedeutenden Physikern angezweifelt wurden.
J. P. JOULE untersuchte vor allem den Zusammenhang
zwischen Arbeit und Wärme (mechanisches Wärmeäquivalent) und kam von daher zum Energieerhaltungssatz.
H. VON HELMHOLTZ war ein bemerkenswert vielseitiger Naturwissenschaftler. Er formulierte in seinem Werk „Über
die Erhaltung der Kraft“ (1847) den Energieerhaltungssatz in der damals üblichen physikalischen Terminologie.
Ekin = 2,4 kJ
(
)
130 m 2
c) Ekin = }12 · 1 300 kg · }
3,6 }
s
Ekin = 848 kJ
417 524 Energie eines Hubschraubers
4.
a) Epot = m · g · h
m · 250 m
Epot = = 5 600 kg · 9,81}
2
s
Epot = 13,7 MJ
Ekin = }12 m · v 2
(
)
m2
Ekin = }12 m · 5 600 kg · 50 }
s
Ekin = 7,0 MJ
175
176
(LB S. 107 – 109)
Unter den gegebenen Bedingungen ist die potenzielle Energie des Hubschraubers etwa doppelt so
groß wie seine kinetische Energie.
7.
416 354 Tal- und Bergfahrt
a) Ekin = Epot
1
}2 m · v 2 = m · g · h
b) Man kann entweder eine sinnvolle Höhe oder eine
sinnvolle Geschwindigkeit vorgeben und dann
jeweils die andere Größe berechnen, die allerdings
auch einen sinnvollen Wert haben sollte.
Es gilt:
2
v
h=}
2g
km 2
(30 }
)
h
h=}
m
2 · 9,81 }2
s
h ≈ 3,5 m
Epot = Ekin
Hinweis: Der errechnete Wert ist ein theoretischer
Wert. In der Praxis wird dieser Wert aufgrund der
Reibung nicht erreicht.
m · g · h = }12 m · v 2
und damit
b) Da Epot ~ h ist, bedeutet eine Verringerung der
mechanischen Energie um 20 %: Der Radfahrer
erreicht nur noch 80 % der Höhe ohne Reibung, also
h = 2,8 m.
v
h=}
oder v = √}
2g·h
2g
2
Beispiele:
m
v = 70 }
s
h = 400 m
h = 250 m
m
v = 89 }
s
Wie man leicht feststellt, gibt es für größere Höhen keine sinnvolle Lösung, weil der Hubschrauber
dann Geschwindigkeiten fliegen müsste, die er nicht
erreicht. Die Maximalgeschwindigkeit liegt bei Hubkm
schraubern in der Größenordnung von etwa 300 }
,
h
die maximale Höhe bei etwa 4 500 m.
5.
8.
416 654 Verschiedene Standpunkte
Lisa und Jannik wählen unterschiedliche Bezugsebenen
für die Betrachtung der Höhe des gehobenen Bechers.
Jannik hat die potenzielle Energie des Bechers in Bezug
auf den Fußboden und Lisa in Bezug auf die Tischplatte
angegeben.
415 294 Eine Ramme für Pfähle
9.
a) Beim Rammbär wird potenzielle in kinetische
Energie umgewandelt. Beim Auftreffen auf einen
Pfahl erfolgt die Umwandlung von kinetischer Energie des Rammbärs in kinetische Energie des Pfahls.
Es wird Verformungsarbeit verrichtet.
419 254 Energie ist relativ
a) Epot = m · g · h
m · 8 848 m = 7,1 MJ
Epot = 80 kg · 10 }
2
s
b) Epot = m · g · h
b) Nach dem Energieerhaltungssatz der Mechanik gilt:
m · g · h = }12 m · v 2
und damit
s
}}
√
m · (8 848 m – 6 850 m) = 1,6 MJ
Epot = 80 kg · 10 }
2
v = √}
2g·h
c) Epot = m · g · h
m
v = 2 · 9,81 }
· 3,5 m
2
s
m · (8 848 m – h
Epot = 80 kg · 10 }
Heimatort)
2
s
m
km
v = 8,3 }
= 30 }
s
h
Der Rammbär trifft mit einer Geschwindigkeit von
km
ca. 30 }
auf den Pfahl.
h
Beachte: Die Geschwindigkeit ist unabhängig von
der Masse. Praktisch wichtig ist der große Impuls, die
Wucht.
6.
10.
419 434 Energie eines ICE
(
)
km 2 = 147 MJ
a) Ekin = }12 m · v 2 = }12 · 380 t · 100 }
h
b) Die Energie vervierfacht sich: Ekin = 586 MJ
km · 1,414 = 140 km
c) v = 100 }
}
h
h
416 824 Lkw und Pkw
a) Bei gleicher Geschwindigkeit ist Ekin ~ m. Die kinetischen Energien verhalten sich also wie 32 : 1.
b) Die möglichen Unfallfolgen wären bei einem Pkw
wesentlich problematischer.
d) Bei mechanischen Bremsen wird die kinetische
Energie in thermische Energie umgewandelt und an
die Umgebung abgegeben. Bei elektrischen Bremsen
kann ein erheblicher Teil der kinetischen Energie
durch elektromagnetische Induktion in elektrische
Energie umgewandelt und in Akkus gepeichert
werden.
Mechanik
11.
416 444 Artisten in Aktion
a) Die potenzielle Energie des Springers wird in kinetische Energie des Springers und diese schließlich in
Spannenergie des Schleuderbretts umgewandelt.
Diese wandelt sich in kinetische Energie der Partnerin um. Am höchsten Punkt der Bewegung hat sich
die kinetische Energie der Springerin dann vollständig in potenzielle Energie umgewandelt.
418 314 Energie beim Fall
14.
a) Richtig, denn wegen h‘ = 2 h folgt:
Epot‘ = m · g · h‘ = m · g · 2h‘ = 2 · m · g · h = 2 · Eh
b) Richtig, denn wegen h‘ = 4 h folgt:
Ekin‘ = Epot‘ = 4 · Epot = 4 · Ekin
und damit
b) Epot, Artist = Epot, Partnerin
v‘2 = 4 · v 2 = (2v)2
m1 · g · h1 = m2 · g · h2
m ·h
70 kg · 2 m
1 1
h2 = }
=}
= 2,5 m
m
55 kg
2
c) Falsch, denn die Endgeschwindigkeit hängt nur von
der Fallhöhe ab.
Die Partnerin würde höchstens 2,5 m hoch geschleudert werden.
418 554 Mechanische Arbeit
15.
12.
419 614 Energie eines Balls
a) Abwurf: kinetische Energie
Aufstieg: Abnahme der kinetischen und Zunahme
der potenziellen Energie
Umkehrpunkt: potenzielle Energie
Abstieg: Abnahme der potenziellen Energie und
Zunahme der kinetischen Energie
Ausgangspunkt: kinetische Energie
Die auftretende Luftreibung kann vernachlässigt
werden.
Anzuwenden ist die Gleichung W = F · s · cos α. Damit
erhält man folgende Ergebnisse:
a) W = 120 Nm
b) W = 85 Nm
c) W = 60 Nm
d) W = 0
e) W = – 60 Nm
m)
b) Epot = 60 J (bei g = 10 }
2
s
c) Es gibt verschiedene Lösungsmöglichkeiten (kinetische, energetische). Besonders einfach: Vom höchsten Punkt seiner Bewegung (v = 0) fällt der Körper
2,0 m. Dann gilt:
m ∙ g ∙ s = }12 m ∙ v 2
oder
v = √}
2 g∙s
v=
}}
m ∙ 2,0 m
2 ∙ 9,81 }
√
s2
v = 6,3
m
}
s
f) Das Ergebnis bedeutet: Kraft und Weg haben die
entgegengesetze Richtung. Das Vorzeichen spielt
aber nur dann eine Rolle, wenn man Betrachtungen
an einem System durchführt und weitere Wechselwirkungen (z. B. der Austausch von Wärme) zu
beachten sind.
416 414 Beschleunigungsarbeit
16.
a) Die Beschleunigungsarbeit ist gleich der Änderung
der kinetischen Energie:
W = ΔEkin
Aus Symmetriegründen ist die Geschwindigkeit bei
der Aufwärtbewegung und bei der Abwärtsbewegung in 10 m Höhe gleich groß.
W = }12 m · v22 – }12 m · v21 = }12 m · (v22 – v12)
m2
m2
W = }12 · 950 kg 3 19,4 }
– 13,9 }
s
s 4
(
13.
417 434 Crash und freier Fall
Epot = Ekin
1
}2
m·g·h =
m·v2
) (
)
W = 87 000 Nm
Die kinetische Energie ergibt sich aus Masse und
Geschwindigkeit.
2
v
h=}
2g
2
km
(30 }
)
h
h=}
m = 3,5 m
2 · 10 }2
s
Ekin = }12 m · v 2
m2
Ekin = }12 m · 950 kg · 19,4 }
s
(
)
177
178
(LB S. 107 – 109)
Feder 1: W = }12 FE · s = }12 · 3 N · 4 cm = 6 N · cm
Ekin = 179 kJ
Feder 2: W ≈ 4,5 N · cm
Zum Beschleunigen des Autos ist eine Arbeit von
87 000 Nm erforderlich. Seine kinetische Energie
beträgt dann 179 kJ.
Dehnung von 4 auf 8 cm:
Feder 1: W = }12 FE · s22 – }12 FE1 · s21
b) Die Beschleunigungsarbeit W ist gleich der Änderung
der kinetischen Energie:
W = 24 N · cm – 6 N · cm
W = 18 N · cm
W = ΔEkin
Feder 2: W ≈ 19 N · cm
W = }12 m (v 2 – v12 ) mit v1 = 0
W = }12 m · v 2
419 214 Stauchung einer Feder
20.
Die Umstellung nach v ergibt:
}
Bei der Lösung ist zu beachten, dass die Feder noch zusammengedrückt wird. Damit lautet der Ansatz:
√
2W
v= }
m
v=
}}
m · g (h + s) = }12 D · s 2
2 · 87 000 Nm
√}
950 kg
Die Umformung ergibt als Lösung der quadratischen
Gleichung:
m
km
v = 13,5 }
= 48,6 }
s
h
1
s=}
m · g ± √}}
m · g (m · g + 2 D · h)
D
(
Mit der berechneten Beschleunigungsarbeit würde
das Auto aus dem Stillstand eine Geschwindigkeit
km
von knapp 50 }
erreichen.
h
17.
)
(
m
N ±
s=}
12 kg · 9,81 }
4 000 N
kg
}}}}}
N
N
N
· 12 kg · 9,81 }
+ 2 · 4 000 }
· 0,7 cm)
√(12 kg · 9,81 }
kg ) (
kg
m
)
417 414 Spannarbeit und Energie
s = 0,24 cm
N
Espann = }12 D · s 2 = }12 · 40 }
· (0,20 m)2 = 0,80 J
m
In der Feder steckt nun eine Spannenergie von
0,80 Joule.
414 774 Ein Federschussgerät
21.
ESp = Epot
1
18.
}2 D · s 2 = m · g · h
414 374 Dehnung einer Feder
2
Die Dehnung s verdreifacht sich. Wegen E ~
neunfacht sich die Spannenergie der Feder.
s2
D·s
h=}
2m·g
ver-
N
1,5 }
· (4 cm)2
cm
h = }}
m
2 · 50 g · 10 }2
s
19.
h = 24 cm
413 224 Aussagekräftiges Diagramm
a) Während bei Feder 1 ein linearer Zusammenhang
zwischen wirkender Kraft und Ausdehnung besteht,
ist bei Feder 2 ein nichtlinearer Zusammenhang erkennbar: Mit zunehmender Ausdehnung wächst die
Kraft überproportional.
Der Anstieg ΔF/Δs ist gleich der Federkonstanten D
an der betreffenden Stelle.
Die Fläche unter dem Graphen ist gleich der Arbeit,
die zum Dehnen der Feder erforderlich ist. Sie ist
zugleich gleich der potenziellen Energie, die dann in
der Feder gespeichert ist.
b) Für Feder 1 können die Arbeiten berechnet, für Feder 2 aus dem Diagramm abgeschätzt werden.
Dehnung von 0 auf 4 cm:
22.
417 114 Hochspringerin in Aktion
a) ΔEpot = m · g · Δh
N
ΔEpot = 56 kg · 9,81 }
· 1,11 m
kg
ΔEpot = 610 Nm
b) Ekin = }12 m · v 2 = ΔEpot
}
pot
√2 · ΔE
}
2 · 610 Nm
v = √}
56 kg
v= }
m
m
v = 4,7 }
s
Mechanik
23.
418 714 Stabhochsprung
a) Beim Anlaufen wird chemische Energie in kinetische
Energie umgewandelt.
Diese kinetische Energie wird in Spannenergie des
Stabs und in potenzielle Energie umgewandelt.
Darüber hinaus wird im Laufe des Sprungs auch die
Spannenergie in potenzielle Energie umgewandelt.
Hinzu kommt eine Umwandlung von chemischer
Energie in potenzielle Energie (Abstoßen vom Stab).
Vom höchsten Punkt der Bahnkurve an wird potenzielle in kinetische Energie umgewandelt.
Hinweis: Interessant ist in diesem Zusammenhang
eine Diskussion zur Bewegung des Körperschwerpunktes. Bei guten Springern bewegt sich der Körperschwerpunkt unter der Latte hinweg.
FG
α
10 m
100 m
b) Die Änderung der potenziellen Energie ergibt sich
aus dem Höhenunterschied. Bei einer Strecke von
500 m beträgt er:
x
sin α = }
und damit x = 500 m · sin α = 49,7 m
500 m
Damit ergibt sich für die Änderung der potenziellen
Energie:
ΔEpot = m · g · Δh
b) Ekin = }12 m · v 2
m
Ekin = }12 · 77 kg · (9,8 }
s)
2
ΔEpot = 1 100 kg · 9,81 · 49,7 m
ΔEpot = 536 kJ
Ekin = 3 700 J
Hinweis: Die anderen Angaben sind für die Lösung
der Teilaufgabe nicht erforderlich.
c) Ekin = Epot = m · g · h
E
kin
h=}
m·g
c) Bei einer gleichförmigen Fahrt besteht Kräftegleichgewicht, d. h. die Antriebskraft muss genauso groß
sein wie die Summe aus der Reibungskraft und der
Hangabtriebskraft. Für diesen Fall kann man die
Leistung folgendermaßen berechnen:
3 700 J
h=}
m
W = F·s
P=}
}
t
t
77 kg · 9,81 }2
s
Die Kraft F ergibt sich betragsgemäß aus Hangabtriebskraft und Reibungskraft:
h = 4,9 m
Es wäre eine Höhe von 4,9 m + 1,05 m ≈ 6,0 m
erreichbar.
F = m · g · sin α + μ · m · g · cos α
Damit erhält man für die Leistung:
m · g · s (sin α + μ · cos α)
d) Die tatsächlich erreichte Höhe liegt unter der
theoretisch ermittelten Höhe. Die Berechnung erfolgt unter der Annahme, dass sämtliche kinetische
Energie in potenzielle Energie umgewandelt wird.
Das ist in der Praxis nicht der Fall. Es erfolgen z. B.
auch Umwandlungen in thermische Energie. Es wird
auch nicht die gesamte Spannenergie des Stabs in
potenzielle Energie umgewandelt. Zu beachten ist
auch, dass der Schwerpunkt des Stabs sich ebenfalls
ändert (Hubarbeit).
24.
415 834 Arbeit, Energie, Leistung
a) Die Reibungsarbeit ergibt sich aus der bewegungshemmenden Reibungskraft und dem Weg:
WR = FR · s
P = }}
t
Setzt man die gegebenen bzw. berechneten Größen
ein, so ergibt sich:
m · 500 m (sin 5,7° + 0,05 · cos 5,7°)
1 100 kg · 9,8 }
2
s
P = }}}}
t
804,3 kJ
P=}
30 s
P = 26,8 kW
d) Kinetische Energie des Pkw wird in potenzielle Energie und Reibungsarbeit umgewandelt. Demzufolge
gilt:
}12 m · v 2 = m · g · h + μ · m · g · cos α · s
Mit h = s · sin α und Kürzen durch m erhält man:
Mit FR = μ · FN = μ · m · g · cos α erhält man:
}12 v 2 = g · s · sin α + μ · g · s · cos α
WR = μ · m · g · cos α · s
m · cos 5,7° · 500 m
WR = 0,05 · 1 100 kg · 9,81 }
2
s
WR ≈ 268 000 Nm
}12 v 2 = s (g · sin α + μ · g · cos α)
und damit
179
180
(LB S. 107 – 109)
2
v
s = }}
2 g (sin α + μ · cos α)
5m
(13,9 }ms )2
s = }}}
m
2 · 9,8 }2 (sin 5,7° + 0,05 · cos 5,7°)
α
s
100 m
(13,9 }ms )2
s=}
m
2,92 }2
Damit ergibt sich für den Winkel: α = 2,9°
Für die Steigung gilt:
s
s = 66 m
}12 m · v 2 = μ · m · g · cos α · s + m · g · h
mit h = s · sin α.
Einsetzen und Vereinfachen ergibt:
417 844 Spuren eines Unfalls
25.
Die zunächst vorhandene kinetische Energie wird durch
die Reibungsarbeit „aufgezehrt“. Demzufolge gilt:
2
v = ( μ · g · cos α + g · sin α) · s
}
2
und damit:
1
}2 m · v 2 = μ · m · g · s
2
v
s = }}
2 g (μ · cos α + sin α)
v = √}
2μ·g·s
2
m
(130 : 3,6)2 }
2
s
s = }}}
m
2 · 9,81 }2 (0,9 · cos 2,9° + sin 2,9°)
}}
√
s
m
v = 2 · 0,45 · 9,81 }
2 · 8,6 m
v = 8,7
s
s = 70 m
m
}
s
Für das Gefälle gilt:
km
v = 31 }
h
}12 m · v 2 + m · g · h = μ · m · g · cos α · s
Einsetzen von h = s · sin α und Umformen ergibt:
26.
416 864 Bremswege
2
v + g · s · sin α = μ · g · cos α · s
}
2
a) Ekin = }12 m · v 2
Ekin =
1
}2 · 1 700
2
kg ·
v
s · g ( μ · cos α – sin α) = }
2
130 m 2
}
3,6 s
(
)
2
v
s = }}
2 g (μ · cos α – sin α)
m2
(130 : 3,6)2 }
2
Ekin = 1,1 MJ
s
s = }}}
m
2 · 9,81 }2 (0,9 · cos 2,9° – sin 2,9°)
s
b) s = v · t
s = 78 m
km
· 0,80 s
s = 130 }
h
s = 28,9 m
27.
c) Es wird eine Reibungszahl von μ = 0,9 angenommen.
Für den Bremsweg ergibt sich:
}12 m · v 2
417 214 Leistung eines Autos
Es gilt:
W
F·s
P=}
=}
s = F·v
t
}v
= μ·m·g·s
⇒
30 kW
F = }Pv = }
m ≈ 831 N
36,1 }
s
und damit:
28.
2
v
s=}
2μ·g
a) η = η1 ∙ η2 ∙ …
2
s=
418 334 Wirkungsgrad
m
(130 : 3,6)2 }
2
s
}}
m
2 · 0,9 · 9,81 }
s2
η = 0,45 ∙ 0,9 ∙ 0,2 = 0,08
Der Gesamtwirkungsgrad beträgt lediglich 8 %.
s = 73,8 m ≈ 74 m
Hinweis: Bei einer anderen Annahme für die Reibungszahl ändert sich der Weg entsprechend.
d) 5 % Steigung beziehungsweise Gefälle bedeutet:
Auf 100 m steigt oder fällt die Straße um 5 m.
b) Der Gesamtwirkungsgrad einer Energieübertragungskette hängt vom Wirkungsgrad jedes einzelnen Glieds ab. Bereits ein geringer Wirkungsgrad
reicht aus, um einen niedrigen Gesamtwirkungsgrad
zu erzielen.
Mechanik
c) Solarzellen: 15 %
Zuleitungen: 95 %
Glühlampe:
5%
LED:
50 %
Damit erhält man einen Gesamtwirkungsgrad
zwischen 0,7 und 7 %.
418 724 Strahltriebwerke
4.
Strahltriebwerke dienen dem Antrieb von Flugzeugen.
Sie sind so aufgebaut, dass komprimierte Luft und Verbrennungsgase mit hoher Geschwindigkeit ausgestoßen
werden. Der Impuls beträgt mGase · vGase.
Nach dem Impulserhaltungssatz wirkt in der entgegengesetzter Richtung ein gleich großer Impuls mF · vF , der
eine Bewegung des Flugzeugs bewirkt.
419 454 Fallender Dachziegel
5.
Impuls und Drehimpuls von Körpern
(LB S. 123 – 125)
1.
419 194 Impuls im Vergleich
5,0 m
m
Fußgänger: p = 65 kg · }
= 90 kg · }
3,6 s
s
Geschoss:
m
m
p = 0,012 kg · 750 }
= 9,0 kg · }
s
s
Der Impuls des Fußgängers ist etwa 10-mal so groß wie
der Impuls des Geschosses.
2.
Betrachtet wird das System Erde – Ziegelstein in drei
Zuständen:
− Ziegelstein ist in Ruhe: Der Gesamtimpuls ist null.
− Ziegelstein fällt herunter: Während des Fallens wird
der Stein von der Erde angezogen und zieht seinerseits mit der gleichen Kraft die Erde an. Der Kraftstoß F · Δ t und damit auch die Impulsänderung
beider Körper ist gleich groß, aber entgegengesetzt
gerichtet. Der Gesamtimpuls bleibt null.
− Ziegelstein liegt auf dem Erdboden: Der Gesamtimpuls ist gleich null.
419 204 Impulsänderung
FG
a) vergrößert sich
Erde
b) verkleinert sich, ist im Umkehrpunkt null und
vergrößert sich dann wieder
c) nimmt zu, da die Geschwindigkeit senkrecht zur
Flugbahn durch das Fallen zunimmt (Impulsparallelogramm!).
– FG
d) wird null, da er auf dem Boden liegen bleibt.
Hinweis: Es wird hier kein System, sondern jeweils ein
isolierter Körper betrachtet.
419 474 Rückstoß beim Gewehr
6.
3.
419 394 Impuls beim Rudern
m1 · v1 = m2 · v2
a) Für den gegebenen Fall lautet der Impulserhaltungssatz:
Der Gesamtimpuls des Systems Ruderer – Boot – Wasser ist konstant. Wird durch die Ruder das Wasser in
der einen Richtung bewegt, so bewegt sich das Boot
in die entgegengesetzte Richtung. Geht man vom
Gesamtimpuls null aus, so ist jeweils die Impulsänderung des Wassers gleich der Impulsänderung des
Boots.
b) Die Geschwindigkeit des Boots ist umso größer,
− je mehr Wasser durch die Ruder bewegt wird
− und je schneller es bewegt wird.
m ·v
1 1
v2 = }
v
2
m
0,012 kg · 750 }
s
v2 = }}
5,2 kg
m
v2 = 1,7 }
s
7.
419 524 Impuls bei Spielzeug
Es wird das Rückstoßprinzip genutzt. Die Luft aus dem
Ballon strömt in der einen Richtung, das Fahrzeug
bewegt sich aufgrund des Impulserhaltungssatzes in die
entgegengesetzte Richtung.
181
182
8.
(LB S. 123 – 125)
(
m
) (
m +m
)
ΔE = 15,43 kJ – 12,60 kJ = 2,83 kJ
a) p = m · v
p = 0,45 kg · 26,7
m
}
s
11.
m
p = 12 kg · }
s
p
b) v = }
m
m
1
2
1
2
ΔE = }
· v12 + }
· v22 – }
· u2
2
2
2
419 544 Elfmeterschießen
419 374 Stöße von Wagen
a) Aufgrund der Impulserhaltung müssen sich die nach
dem Stoß verbundenen Wagen nach rechts bewegen. Nach dem Impulserhaltungssatz gilt für die
Geschwindigkeit:
m
12 kg · }
s
v=}
72 kg
m
v = 0,17 }
s
m · v1 = 4 · m · u
⇔
u = }14 v1
Der Wagen bewegt sich also mit }14 der Geschwindigkeit, die der Wagen vor dem Stoß hatte, nach rechts.
c) p = F · Δt
p
F=}
Δt
b) Es ist v1 = – v2 . Aufgrund der Impulserhaltung
müssen sich die nach dem Stoß verbundenen Wagen
nach links bewegen.
Nach dem Impulserhaltungssatz gilt für die Geschwindigkeit:
m
12 kg · }
s
F=}
0,1 s
F = 120 N
9.
⇔
m · v1 + 2 · m · v2 = 3 · m · u
419 714 Ein Raketenstart
m · v1 – 2 · m · v1 = 3 · m · u
Die Präsentation kann am Beispiel einer Ariane-Rakete
erfolgen. Die Fakten lassen sich schnell im Internet
recherchieren.
Beschrieben und physikalisch erklärt werden sollten
folgende Aspekte:
− Geringe Anfangsbeschleunigung
− Hohes Gesamtgewicht im Vergleich zur Nutzlast
− Die Rakete besteht aus mehreren Stufen
c) Beim elastischen Stoß zweier Wagen gleicher Masse,
von denen einer ruht, übernimmt der ruhende
Wagen den kompletten Impuls des anderen Wagens.
Wagen 1 steht also nach dem Zusammenstoß, während sich Wagen 2 mit v1 nach rechts bewegt.
v1 = 0
v2 = v1
12.
419 924 Stöße von Güterwagen
a) m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) u
m ·v + m ·v
1 1
2 2
u = }}
m +m
1
25 t · 4,0
2
km
}
h
u = – }13 v1
Der Wagen bewegt sich also mit }13 der Geschwindigkeit, die Wagen 1 vor dem Stoß hatte, nach rechts.
Eine Beispielrechnung soll zeigen, welche Masse an
Treibgasen pro Sekunde ausgestoßen werden muss, um
m
bei gegebener Austrittsgeschwindigkeit (3 000 }
die
s)
Gewichtskraft der Rakete auszugleichen.
10.
⇔
419 934 Impulsübertragung
Erläuterung eines selbst gewählten Beispiels, etwa:
− Auffahrunfall,
− Stoß zweier Billardkugeln,
− Auftreffen eines Geschosses auf einen Körper,
− Fußball beim Schuss auf den Torwart,
− Münze, die gegen eine andere gestoßen wird.
u=}
25 t + 5,0 t
km
u = 3,3 }
h
b) Die Impulsbilanz lautet:
m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) u
m
m
28 000 kg · }
= 28 000 kg · }
s
s
13.
419 974 Rückstoß bei Tieren
Beispiele könnten die Fortbewegung von Quallen,
Kraken oder von Tintenfischen sein.
Die Tiere saugen Wasser aus der Umgebung in ihren
Hohlkörper. Das zuströmende Wasser kommt dabei aus
vielen Richtungen:
Die Energiebilanz lautet:
Mechanik
418 634 Pkw und Lkw
16.
Anschließend stoßen sie das Wasser nach hinten aus:
Aufgrund seiner großen Masse besitzt der Lkw bei
bestimmter Geschwindigkeit einen wesentlich größeren
Impuls als der Pkw. Das bedeutet bei einem unelastischen Zusammenstoß:
Die Geschwindigkeitsänderung und damit auch die Beschleunigung ist beim Lkw wesentlich geringer als beim
Pkw. Auf die Insassen des Pkw wirken aufgrund der
größeren (negativen) Beschleunigung erheblich größere
Kräfte (Trägheitskräfte) als auf die Insassen des Lkw.
417 274 Geschossgeschwindigkeit
17.
Für den unelastischen Stoß gilt:
m1 · v1 = (m1 + m2) · u
und damit
Dabei bekommt das ausströmende Wasser einen nach
hinten gerichteten Impuls. Aufgrund der Impulserhaltung bewegt sich das Tier nach vorn.
u
v1 = (m1 + m2) · }
m
1
Die Geschwindigkeit u erhält man aus:
1
}2 (m1 + m2) ·u 2 = μ · FN · s
}
2μ·F ·s
14.
√
N
u= }
(m + m )
418 804 Der erste Astronaut
m · v = F · Δt
m=
1
2
Damit ergibt sich für v1:
}
2·F ·s
√
F ·Δt
}
v
N
(m1 + m2) · }
(m + m )
1
2
v1 = }}
m
1
6
5 ·10 N · 1 s
m=}
m
2 500 }
s
oder
√}}
(m + m ) · 2 · F · s
m = 2 000 kg = 2 t
1
2
N
v1 = }}
m
1
Pro Sekunde werden jeweils 2 t Treibstoff ausgestoßen.
}}}
m
0,61 kg · 2 · 0,4 · 6,1 kg · }
· 5,5 m
√
2
s
v1 = }}}
0,01 kg
15.
414 894 Rückstoßpistole
m
v1 = 405 }
s
a) F · Δt = m · v
m·v
F=}
Δt
m
0,04 kg · 120 }
s
F = }}
1s
F = 4,8 N
F
b) a = }
m
a=
Hinweis: Bei einem unelastischen Stoß (Eindringen des
Geschosses in den Holzklotz) wird mechanische Energie
in thermische Energie umgewandelt. Die Methode ist
nur sinnvoll anwendbar, wenn diese in thermische Energie umgewandelte mechanische Energie relativ klein ist.
417 334 Ballistisches Pendel
18.
4,8 N
}
83 kg
a = 0,058
m
}2
s
a) Beträgt die Masse des Holzklotzes M und die Höhe,
in die er gehoben wird, h, so ergibt sich mit dem
Impulserhaltungssatz:
m · v = (m + M) · u
c) v = a · t
m
·3 s
v = 0,058 }
2
s
m+M
und damit v = }
·u
m
Die Geschwindigkeit u ergibt sich aus dem Energieerhaltungssatz:
m
v = 0,17 }
s
(m + M) · u2 = (m + M) g · h
183
184
(LB S. 123 – 125)
u = √}
2g·h
Nach dem elastischen Stoß bewegen sich beide Kugeln in der gleichen Richtung, genauer: In der
ursprünglichen Bewegungsrichtung der schwereren
m
Kugel. Ihre Geschwindigkeiten betragen 8,95 }
bzw.
s
m
4,45 }
.
s
Damit erhält man für die Geschossgeschwindigkeit v:
m+M }
·√ 2 g · h
v=}
m
b) Die Massen m und M können mit einer Waage ermittelt, g einem Tabellenwerk entnommen werden. Die
Höhe h lässt sich in unterschiedlicher Weise bestimmen, z. B.
− Messen der Höhe mit einem Lineal (während der
1. und 2. Schwingung)
− Messen der horizontalen Auslenkung. Aus der
Länge des Pendels und dieser Auslenkung kann
man h ermitteln.
c) Einsetzen in die Gleichung aus a) liefert:
v=
20.
Die Erklärung für die Erscheinung liefern Energieerhaltungssatz der Mechanik und Impulserhaltungssatz. Nach
dem Energieerhaltungssatz wäre es z. B. möglich, dass
zwei Kugeln mit der Geschwindigkeit v stoßen:
Ekin = 2 · }12 m · v 2
Eine gestoßene Kugel hätte dann die gleiche kinetische
Energie:
}
m+M
· √2 g · h
}
m
}}
√
Ekin = m · v 2
3,81 kg
m
v=}
· 2 · 9,81 }
· 0,056 m
2
0,01 kg
v = 399
s
m
}
s
m
.
Die Geschossgeschwindigkeit beträgt etwa 400 }
s
19.
a)
415 484 Der Kugelstoßapparat
Bezieht man den Impulserhaltungssatz mit ein, so ist
diese Variante nicht möglich, da nach dem Impulserhaltungssatz die gestoßene Kugel die doppelte Geschwindigkeit haben müsste. Bei Beachtung beider Erhaltungssätze ist nur die beschriebene Variante möglich.
419 304 Stoßende Kugeln
m1
21.
m2
v1
v2
419 684 Eine Pirouette
Für ein abgeschlossenes System, das hier nur aus einem
Körper besteht, gilt:
L = J ∙ ω = konstant
Aus m1 · v1 – m2 · v2 = (m1 + m2) · u
u=
Bei konstantem Drehimpuls lässt sich die Winkelgeschwindigkeit nur durch Verkleinerung des Trägheitsmoments vergrößern. Das erreicht die Eiskunstläuferin,
indem sie alle Körperteile, insbesondere die Beine und
Arme, möglichst nah an die Drehachse bringt.
folgt:
m1 · v1 – m2 · v2
}}
m1 + m2
m
m
0,15 kg · 7,8 }
– 0,25 kg · 5,6 }
s
s
u = }}}
0,15 kg + 0,25 kg
m
u = – 0,58 }
s
m
in Richtung
Die Kugeln bewegen sich mit etwa 0,6 }
s
der Kugel mit der größeren Masse.
b) Es sind die unterschiedlichen Richtungen der Bewegung zu beachten.
2 m · v + (m – m ) · v
2 2
1
2
1
u1 = }}
m +m
1
2
m
m
– 2 · 0,25 kg · 5,6 }
+ (–10 kg) · 7,8 }
s
s
u1 = }}}
0,4 kg
m
u1 = – 8,95 }
s
a) Das Trägheitsmoment des Hohlzylinders ist größer als
das des Vollzylinders. Demzufolge ist die Beschleunigung des Vollzylinders größer. Er kommt eher unten
an.
b) Aus der Verknüpfung von s = }a2 · t 2 und v = a · t ergibt
sich:
2
2
m
m
2 · 0,15 kg · 7,8 }
– (10 kg) · 5,6 }
s
s
u2 = }}}
0,4 kg
m
u2 = 4,45 }
s
419 674 Schnelle Zylinder
v
a=}
2s
2 m1 · v1 + (m2 – m1) · v2
u2 = }}
m +m
1
22.
(1)
Die Geschwindigkeit ergibt sich aus energetischer
Betrachtung. Für den Vollzylinder gilt:
m · g · h = }12 m · r 2 + }12 J · ω2
J = }12 m · r 2 und
mit
ω = }vr
185
Mechanik
2
7v
h=}
10 g
Damit erhält man:
2
m · g · h = }12 m · v 2 + }14 m · v 2
m
7 · (0,99 }
)
s
h=}
m = 7,0 cm
10 · 9,81 }2
s
v 2 = }43 g · h
Die Höhe des Schwerpunkts über dem untersten Punkt der Schleifenbahn beträgt demzufolge
7,0 cm + R = 27 cm.
4 g·h
2 g·h
Eingesetzt in (1) ergibt: aVZ = }
=}
6s
3s
Analog ergibt sich für den Hohlzylinder mit sehr
dünner Wandung:
v2
= g·h
und
d) Oberer Punkt: F1 = 0
g·h
}
2s
aHZ =
Unterer Punkt: Die Kraft setzt sich aus Gewichtskraft
und Zentrifugalkraft zusammen.
Für einen reibungsfrei hinabgleitenden Körper gilt:
m · g · h = }12 m · v 2
v2
= 2 g·h
und
a=
2
(1,95 }m)
s
m + 2,0 kg ·
F2 = 2,0 kg · 9,81 }
}
2
0,1 m
g·h
}
s
s
Ein Vergleich der Beschleunigungen für die drei
Körper ergibt: Die Beschleunigung des reibungsfrei
hinabgleitenden Körpers ist am größten, die des
Hohlzylinders am kleinsten.
23.
2
v
F2 = m · g + m · }
R–r
und damit:
F2 = 96 N
Gravitationsfelder (LB S. 141 – 142)
417 804 Rollende Kugeln
418 564 Gravitationskräfte
1.
a) Zweckmäßig ist ein energetischer Ansatz:
m∙M
a) F = G ∙ }
2
m · g · h = }12 m · v 2 + }12 J · ω 2
r
3
Mit J = }25 m · r 2 und ω = }vr erhält man:
m·g·h =
1
}2
m·v2
+
1 2
}2 · }5
5,97 ∙ 1024 kg ∙ 7,35 ∙ 1022 kg
1
m
FErde – Mond = 6,673 ∙ }
∙ }}
11 }
2
2
16 2
10
kg ∙ s
3,844 ∙ 10
m
FErde – Mond = 1,98 ∙ 1020 N
m·v2
3
5,97 ∙ 1024 kg ∙ 1,99∙ 1030 kg
1
m
∙ }}
b) FErde – Sonne = 6,673 ∙ }
11 }
2
2
22 2
7 2
g·h = }
v
10
10
kg ∙ s
1,496 ∙ 10
m
FErde– Sonne = 3,54 ∙ 1022 N
}
√
10
v= }
g·h
7
}}
√
10
m · 0,70 m
v= }
· 9,81 }
2
7
v = 3,1
s
Gewichtskraft:
Die Kugel erreicht eine maximale Geschwindigkeit
m
von 3,1 }
.
s
b) Die Schleifenbahn wird sicher durchlaufen, wenn im
oberen Punkt der Bahn die Zentrifugalkraft mindestens gleich der Gewichtskraft ist.
FG = m ∙ g
m = 23 500 N
FG = 2 400 kg ∙ 9,81 }
2
s
Gravitationskraft:
m∙M
F = G∙}
2
r
2
v
Wir betrachten den Grenzfall: m · g ≤ m · }
R–r
F=
Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit:
v ≥ √}
g (R – r)
m · (0,2 m – 0,1 m)
v ≥ }}}
9,81 }
2
√
415 314 Kraft auf Satelliten
2.
m
}
s
s
6,673 m3 2 400 kg ∙ 5,97 ∙ 1024 kg
∙ }}
}
1011 kg ∙ s2 (6 371 km + 320 km)2
F = 21 400 N
Die Gravitationskraft in 350 km Höhe beträgt etwa 90 %
der Gewichtskraft auf der Erde.
m
v ≥ 0,99 }
s
Die schleifenförmige Bahn wird sicher durchlaufen,
weil die erforderliche Mindestgeschwindigkeit kleiner als die tatsächlich vorhandene ist.
7 2
c) Aus g · h = }
v (siehe Teilaufgabe a) erhält man:
10
3.
419 594 Die Gewichtskraft
a) Aufgrund der Rotation der Erde um ihre Achse wirkt
auf jeden Körper auf ihr auch eine Zentrifugalkraft,
die sich mit der Gravitationskraft zu einer Resultierenden zusammensetzt. Das, was wir z. B. an einem
186
(LB S. 141 – 142)
Kraftmesser ablesen, wenn ein Körper ruht, ist eine
resultierende Kraft, die etwas kleiner als die Gravitationskraft ist.
b) Bei Vernachlässigung der Zentrifugalkraft gilt:
m∙M
FG = m ∙ g = G ∙ }
2
r
Damit ergibt sich für Höhen h über der Erdoberfläche:
h in km
0
500
1 000
1 500
2 000
2 500
FG in N
981
843
733
643
568
506
4.
415 774 Ebbe und Flut
Präsentation zu Ebbe und Flut. Dabei sollte insbesondere auf folgende Aspekte eingegangen werden:
− Bewegung von Erde und Mond um einen
gemeinsamen Schwerpunkt,
− Einfluss der Gravitationskraft des Monds auf die
Wassermassen der Weltmeere,
− Einfluss der Fliehkraft infolge der Bewegung von
Erde und Mond um den gemeinsamen Schwerpunkt,
− Resultierende Kräfte und Entstehung von zwei Flutbergen,
− Einfluss der Sonne bei Springfluten und Nippfluten.
1000
5.
416 424 Gravitationskonstante
800
a) b LB S. 128
600
g∙r2
m ∙ M folgt g = G ∙ M oder G =
b) Aus m ∙ g = G ∙ }
}2
}
2
M
r
r
Mit M = ρ ∙ V und V = }43 π ∙ r 3 erhält man:
400
g∙r2∙3
3g
G = }3 = }
∙ 1ρ
4 π∙r }
ρ∙4 π∙r
200
0
0
500
1000
1500
2000
2500
h in km
m∙M
c) }12 m ∙ g = G ∙ }
2
6.
m∙M
a) Epot = – G ∙ }
r
r
}
√
3
G∙M∙2
r= }
g
Epot = – 1,89 ∙ 1010 J
kg ∙ s ∙ 9,81 m
r = 9 012 km
In einer Höhe von 9 012 km – 6 371 km = 2 641 km
über der Erdoberfläche verringert sich die Gewichtskraft eines Körper im Vergleich zu der auf der Erdoberfläche auf die Hälfte.
d) Wie man auch durch Berechnung zeigen kann, wird
die Gewichtskraft praktisch nicht beeinflusst.
(
FG = 785,00 N
2 962 m über NN:
FG = 784,45 N
)
1
b) W = – G ∙ m ∙ M }
– r1
r1 }
2
W = 1,03 ∙ 1011 Nm
2
2π
c) Ekin = }12 m ∙ v 2 = }12 m ∙ (ω ∙ r)2 = }12 m }
∙r
T
(
(
2π
Ekin = }12 ∙ 2 ∙ 103 kg ∙ }
∙ 3,58 ∙ 107 m
86 400 s
Beispiel: Bergsteiger mit einer Masse von 80 kg
720 m über NN:
24
kg ∙ s
r = }}}
11
2
10
3
m ∙ 2 ∙ 10 kg ∙ 5,97 ∙ 10 kg
Epot = – 6,673 ∙ 10–11 }
2 }}
42 171 km
}}}
6,673 m3 ∙ 5,97 ∙ 1024 kg ∙ 2 ∙ s2
√
414 624 Wettersatelliten
)
2
)
Ekin = 6,78 ∙ 109 J
7.
e) Das Erklärungsmuster hängt vom gewählten Bezugssystem ab. In einem mitbewegten (beschleunigten)
Bezugssystem ist die Erdanziehungskraft genau so
groß wie die entgegengesetzt gerichtete Zentrifugalkraft. Die Resultierende beider Kräfte ist null.
419 774 Eine astronomische Einheit
T
2
r
3
SE
E
=}
}
3
2
TM
(rSE + rEM)
Aus dieser Gleichung wird die 3. Wurzel gezogen und
die Gleichung nach rSE umgestellt.
Dann erhält man:
r
EM
rSE = }
}2
√} – 1
3 TM
TE2
Mechanik
6
78,4 ∙ 10 km
rSE = }
2
3}
√
(1,88 a)
}
(1 a)2
Betrachtet man die Kräfte auf einen Körper, dann
gilt für den gesuchten Punkt:
–1
FG, Erde = FG, Mond
rSE = 149,8 ∙ 106 km
Aus den angegebenen Daten ergibt sich eine Entfernung von 149,8 Mio. Kilometern zwischen Sonne und
Erde. Der (festgelegte) Wert für diese Entfernung beträgt 149,6 ∙ 106 km = 1 AE.
m∙M
m∙M
rE
rM
E
M
G∙}
= G∙}
2
2
Mit rM = r – rE erhält man:
M
M
rE
(r – rE)
M
}2E = }
2
(r – rE)2 ME = rE2 ∙ MM
8.
E
E
rE = }
±
M –M
E
r
4
M=}
2
G∙T
–}
M –M
E
M
kg und
rE = 3,89 · 105 km ± 0,42 · 105 km
Einsetzen der betreffenden Werte ergibt:
4 π2 · (149,6 · 109 m)3 · kg · s2
rE, 1 = 431 000 km
M = }}}
–11
3
2
m · (365,2 · 86 400 s)
M = 1,99 · 1030 kg
(von der Erde aus gesehen
hinter dem Mond)
rE, 2 = 347 000 km
418 404 Erste Mondlandung
a) Für die Bewegung eines
Satelliten um einen
Zentralkörper auf einer
Kreisbahn gilt:
Satellitenbahn
Es existieren zwei Punkte, an denen die Gravitationskraft von Erde und Mond gleich groß ist.
Der Punkt zwischen Erde und Mond befindet sich
etwa 347 000 km – 6 371 km = 341 000 km von der
Erdoberfläche entfernt.
h
c) Für eine Kreisbahn gilt:
2
v
m∙M
m∙}
= G∙}
2
r +h
r
kg ∙ s
r = 85 km + 1 738 km = 1 823 km erhält man:
Erde mit der
Masse M
2 π ∙ (r + h)
E
Mit v = }
erhält
T
man:
}}}
6,67 m3 ∙ 7,35 ∙ 1022 kg
√
v = }}}
–11
2
6
4 π2 ∙ (r + h) 2
E
M
= G∙}
}
2
2
(rE + h) T
3
m , M = 7,35 ∙ 1022 kg und
Mit G = 6,67 ∙ 10–11}
2
X
(rE + h)
}
√
2
v
m ∙ M oder v = G ∙ M
m∙}
= G∙}
}
2
r
r
rE
Fr = FG
(rE + h)
}3
√ (r + h)
Da G, M und rE für die Erde bestimmte Werte haben,
gilt: Die Umlaufzeit eines Satelliten um einen Zentralkörper ist, eine kreisförmige Bahn vorausgesetzt,
nur von der Höhe des Satelliten über der Oberfläche des Zentralkörpers abhängig. Je größer diese
Höhe ist, umso größer ist auch die Umlaufzeit des
Satelliten.
Erde
Mond
rM
X
10
v = 1 640
E
T=2π }
G∙M
rE
ME – MM
rE = 3,89 · 105 km ± √ 0,18 · 1010 km
π2 · r 3
b)
√ (})
}}
Die Umstellung nach M ergibt:
E
M
M
Mit r = 384 400 km, ME = 5,97 · 10
MM = 7,35 · 1022 kg erhält man:
2
9.
E
}}
r ∙ ME 2
ME ∙ r 2
24
4 π ·r = G∙ m∙M
m·}
}
2
2
6,673 · 10
M
r∙M
Für die Erde ist die Gravitationskraft zwischen Sonne
und Erde die Radialkraft. Demzufolge kann man setzen:
T
M ∙r2
2 r∙M
E
E
rE 2 – }
rE + }
=0
M –M
M –M
417 694 Die Sonnenmasse
kg ∙ s ∙ 1 823 km ∙ 10 m
m
=
}
s
km
1,64 }
s
Die Kreisbahngeschwindigkeit im Mondorbit beträgt
km
etwa 1,6 }
.
s
d) Für die Arbeit im Gravitationsfeld gilt:
(
)
1
1
–}
W = G∙m∙M }
r
r
1
2
W = 614 ∙ 106 J = 614 MJ
Um den Aufstiegsteil der Mondfähre auf eine Höhe
von 85 km zu heben, wäre eine Arbeit von 614 MJ
erforderlich.
e) Erkundungsaufgabe: Aktuelle Informationen sind im
Internet zu finden.
r
187
188
10.
(LB S. 141 – 142)
e) Die Schubkraft ergibt sich aus der Gewichtskraft und
der beschleunigenden Kraft:
415 264 Ein Nachrichtensatellit
a) Für einen geostationären Satelliten gilt:
Er befindet sich ständig über einem bestimmten
Punkt der Erdoberfläche. Das ist nur unter folgenden
zwei Bedingungen möglich:
− Der Satellit bewegt sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit wie die Erde. Dann gilt für ihn:
F = FG + m ∙ a
m + 6 500 kg ∙ 7 m
F = 6 500 kg ∙ 3,7 }
}2
2
s
s
F = 69,6 kN
m∙M
m∙ω2∙r = G∙}
2
r
Da m, M, ω und G Konstanten sind, ist damit
der Radius der geostationären Bahn eindeutig
bestimmt.
r=
}
√
3 G∙M
}
ω2
− Der Satellit bewegt sich in der Äquatorebene. Nur
dann fallen die Rotationsachse der Erde und die
Drehachse des Satelliten zusammen. Bei der Bewegung in jeder anderen Ebene würde der Satellit
über einem Punkt der Erdoberfläche pendeln.
b) Setzt man in der bei Teilaufgabe a genannten Glei2π
chung r = rE + h 2 und ω = }
, so erhält man als GleiT
chung für die Höhe h eines geostationären Satelliten
über der Erdoberfläche:
}
√
mit M
(Erdmasse), T = 86 400 s und
rE = 6 371 km (h = 35 856 km).
11.
416 524 Raumflug zum Mars
m∙M
a) m ∙ g = G ∙ }
2
r
M
g = G∙}
2
r
3
6,4 ∙ 1023 kg
m
g = 6,673 ∙ 10–11 }
∙ }}
kg ∙ s2 (3,394 ∙ 106 m)2
416 334 Voyager-Sonden
Die 1977 gestarteten amerikanischen Sonden Voyager 1
und Voyager 2 haben viele neue Erkenntnisse gebracht.
Ausführliche Informationen zu diesen beiden Sonden
sind im Internet zu finden. Bei der Präsentation sollte
insbesondere auf folgende Aspekte eingegangen werden:
− Ziele der Missionen,
− Startdaten und Flugverlauf,
− Geräte an Bord (Auswahl treffen),
− ausgewählte wissenschaftliche Ergebnisse (Bilder von
Planeten).
13.
3 G∙M∙T2
– rE
}
4 π2
= 5,97 · 1024 kg
h=
12.
419 994 Neues aus der Raumfahrt
Bei der NASA (www.nasa.gov) findet man unter dem
Button „Missions“ ausführliche Informationen zu
zurückliegenden, laufenden und geplanten Missionen.
Aufgrund der Vielzahl von solchen Missionen muss eine
Auswahl getroffen werden. Zu empfehlen ist die Konzentration auf ein laufendes Projekt, bei dem dargestellt wird:
− Ziele der Mission,
− Beginn der Mission,
− Stand der Mission (Ergebnisse, Probleme, geplanter
Verlauf)
m
g = 3,7 }
2
s
14.
416 264 ISS aktuell
b) Für eine Kreisbahn um einen Zentralkörper gilt:
2
v
m∙M
m∙}
= G∙}
2
r
r
}
√
G∙M
v = v (r) = }
r
}}
6,673 m3 ∙ 6,4 ∙ 1023 kg
√
c) v = }}
11
2
6
10
kg ∙ s ∙ 3,494 ∙ 10 m
km
v = 3,50 }
s
Bezüglich der Geschichte sollte eingegangen werden
auf
− Hinweise zu Raumstationen vor der ISS (russische
Saljut und Mir, amerikanische Skylab),
− Planung und Beginn des Aufbaus der ISS,
− beteiligte Länder,
− Stand des Ausbaus (Eingehen auf einige wichtige
Module),
− gegenwärtige Besatzung und aktuelle Forschungsvorhaben.
d) Die Schubkraft wäre gleich der Gewichtskraft.
Aktuelle Informationen findet man auf der Internetseite
der NASA unter www.nasa.gov, Button „Missions“.
FG = m ∙ g
m
F = 14 000 kg ∙ 3,7 }
2
s
F = 51,8 kN
Mechanik
Mechanische Schwingungen und Wellen
(LB S. 170 – 172)
Für die Beschleunigung gilt:
2
dv = – y
a=}
max · ω · sin (ω · t)
dt
und damit
1.
2
415 844 Der Pulsschlag
4π
amax = – ymax · ω 2 = – ymax · }
2
T
2
4π
amax = – 0,2 · }
2
a) Experiment (typischer Wert: 12,4 Hz)
T
m
amax = –12,3 }
2
b) Da sich die Pulsfrequenz in Abhängigkeit von der
Belastung stark ändert, ist sie für Zeitmessungen
ungeeignet.
c) Solche periodischen Vorgänge sind z. B.:
− Schwingungen eines Pendels – Pendeluhr
− Drehschwingungen einer Unruh – mechanische
Uhren
− Schwingungen eines Schwingquarzes – Quarzuhr
− Schwingungen im atomaren Bereich – Atomuhr
2.
Die maximale Geschwindigkeit der Schwinger bem
m.
trägt 1,6 }
, die maximale Beschleunigung 12,3 }
2
s
s
}
l
a) T = 2 π √}
g
}
0,56 m
T = 2π }
9,81 m
√
410 274 Eine Stimmgabel
1
f = }1T = }
= 500 Hz
0,002 s
b) Allgemein lautet die Schwingungsgleichung:
y = ymax · sin (ω t + φ0)
2π
sowie mit den obigen
Mit φ0 = 0 und ω = }
T
Werten erhält man:
y = 2 mm · sin
(
417 024 Ein Fadenpendel
4.
}2
s
T = 1,50 s
a) ymax = 2 mm, T = 2 ms = 0,002 s,
3.
s
)
2π
·t
}
0,002 s
b) Aus T ~ √}l ergibt sich:
halbe Pendellänge:
1 -Fache (0,707-Fache)
T verkürzt sich auf das }
√}
2
doppelte Pendellänge:
T verlängert sich auf das √}
2 - Fache (1,414-Fache).
vierfache Pendellänge:
T verlängert sich auf das Doppelte.
c) Da sich mit zunehmender Höhe der Ortsfaktor g verkleinert, vergrößert sich die Schwingungsdauer.
d) Nur für kleine Auslenkwinkel (α < 10°) ist die rücktreibende Kraft näherungsweise proportional der
Auslenkung, damit die Schwingung näherungsweise
harmonisch. Die Gleichung für die Schwingungsdauer gilt exakt nur für harmonische Schwingungen.
412 034 Eine harmonische Schwingung
a) Aus der Schwingungsgleichung ergibt sich:
ymax = 0,2 m; T = 0,8 s
Damit erhält man folgendes Diagramm:
415 574 Das foucaultsche Pendel
5.
y in cm
20
a) Ein Pendel behält seine Schwingungsebene bei. Wegen der Rotation der Erde ändert sich die Lage des
Fußbodens bezüglich der Schwingungsebene.
10
0
1,6
–10
–20
3,2
t in s
b) Gesucht: T
Gegeben: l = 67 m
m
g = 9,81 }
2
s
b) Für die Geschwindigkeit gilt:
Lösung:
dy
dt
v = } = ymax · ω · cos (ω · t)
und damit
2π
vmax = ymax · ω = ymax · }
T
2π
vmax = 0,2 m · }
0,8 s
m
vmax = 1,6 }
s
}
l
T = 2 π √}
g
}
√
67 m
T = 2π }
9,81 m
T = 16,4 s
}2
s
189
190
6.
(LB S. 170 – 172)
f) E = }12 D · s 2
418 134 Verschiedene Fadenschwinger
N
E = }12 ∙ 4,8 }
· (0,050 m)2
m
a) Allgemein gilt für die Schwingungsdauer eines
Federschwingers:
E = 0,006 J
}
m
}
T = 2π√D
Die Schwingungsdauer beträgt:
}
}
0,100 kg · m
Für die „Reihenschaltung“ von Federn gilt
1
}
D
=
1
+ D1
}
D1 }
2
m
T = 2 π √}
D
und
√
T=2π }
= 0,91 s
4,8 N
D = D1 + D2.
für die „Parallelschaltung“
Die kinetische Energie ändert sich mit der Geschwindigkeit sinusförmig. Man erhält folgendes
Diagramm:
}
m
}
(1)
T = 2π√D
(2)
2m
T = 2 π √}
D
}
Ekin
}
m
}
T = 2 π √2 D
(3)
N
b) F = 4,8 }
· 0,078 m
m
F = 0,37 N
W = }12 D · s 2
W=
0
1
N
· (0,078
}2 · 4,8 }
m
7.
W = 0,015 Nm
c) Ein Körper führt eine harmonische (sinusförmige)
Schwingung aus, wenn das lineare Kraftgesetz gilt:
Für eine elastische Feder ist bei
D = konstant und
411 124 Zerspringendes Glas
Genutzt wird die Resonanz: Durch Singen des Tons wird
das Glas in seiner Eigenfrequenz angeregt. Das kann zu
einer „Resonanzkatastrophe“ (Zerspringen des Glases)
führen.
8.
416 134 Schwingende Flüssigkeit
a) Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn ein
lineares Kraftgesetz gilt, also die rücktreibende Kraft
proportional der Auslenkung ist.
Im gegebenen Fall gilt für die rücktreibende Kraft:
d) Für die Geschwindigkeit gilt:
v = ymax · ω · cos (ω t )
und damit für die maximale Geschwindigkeit:
F = –p·A
}
2π
m
mit T = 2 π √}
v = ymax · ω = ymax · }
T
D
Mit
}
m
}
}
√
m
v = 0,54 }
s
e) Die größte Beschleunigung tritt in den Umkehrpunkten auf. Für die maximale Beschleunigung gilt:
a = – ymax · ω 2
Mit
a=
=
4 π2
}
T2
und
=
4,8 N
a = – 0,078 m · }
0,1 kg · m
a = – 3,7
m
4 π2 · }
D
erhält man:
und A = π · r 2 erhält man:
(–2 ρ · g · π · r 2) · h
·
= –D·h
Für eine bestimmte Flüssigkeit ist ρ = konstant, für
ein gegebenes U-Rohr ist r = konstant. g kann ebenfalls als konstant angenommen werden.
Demzufolge gilt: F ~ h
Die Flüssigkeitssäule führt also eine harmonische
Schwingung aus. Für eine solche harmonische
}
m
Schwingung gilt allgemein: T = 2 π √}
D
Mit
T2
D
– ymax · }
m
m
}
s2
p = ρ·g·2h
F=
4,8 N
v = 0,078 m · }
0,1 kg ·m
ω2
t
F~s
somit die notwendige Bedingung für eine harmonische Schwingung erfüllt.
v = ymax · √ D
0,91 s
m)2
m = ρ·V = ρ·π·r2·l
und D = 2ρ · g · π · r 2 erhält man:
}
ρ·π·r2·l
√
T = 2π }2
2ρ·g·π·r
}
l
}
√
T = 2π 2 g
Mechanik
b) Die Schwingungsdauer einer Flüssigkeitssäule in einem U-Rohr hängt nur von der Länge dieser Flüssigkeitssäule sowie vom Ortsfaktor ab. Sie ist unabhängig davon, welche Flüssigkeit schwingt und welchen
Durchmesser das Rohr hat.
c) Für ein Fadenpendel gilt:
}l
T = 2π }
g
√
Ein Fadenpendel müsste demzufolge halb so lang
(l = 20 cm) sein, damit es die gleiche Schwingungsdauer wie eine 40 cm lange Wassersäule hat.
9.
417 064 Arten von Wellen
a) Bild A: Eine Frau spricht in ein Telefon. Die Töne
breiten sich als Schall aus und werden so
übertragen. Diese Ausbreitung erfolgt räumlich und es wird kein Stoff übertragen.
Es handelt sich somit um eine Welle.
Bild B: Auf dem Wasser sind Wellen zu sehen.
Es handelt sich um eine mechanische Welle,
speziell um eine Kreiswelle.
b) Bei den Schallwellen von Bild A handelt es sich um
Längswellen, da die Druckschwankungen in Ausbreitungsrichtung erfolgen.
Bei den Wasserwellen im Bild B handelt es sich um
Querwellen. Die Schwingungsrichtung ist senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung.
c) Bei den Schallwellen in Bild A ändert sich der Luftdruck.
Bei den Wasserwellen in Bild B ändert sich die Auslenkung.
Schwinger schwingen senkrecht zu der Richtung, in der
die Reihe der Schwinger aufgebaut ist, also quer zur der
Ausbreitungsrichtung.
416 054 Schallwellen einer Stimmgabel
11.
T = }1f
1
T=}
= 0,0019 s
523 Hz
m
Mit v = 344 }
erhält man:
s
λ = }cf
m
344 }
s
λ=}
= 0,66 m
523 Hz
Bei Verringerung der Temperatur verkleinert sich die
Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die Wellenlänge wird
demzufolge kleiner. Die Frequenz ändert sich nicht.
412 374 Wasserwellen
12.
a) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit lässt sich über den
Zusammenhang c = λ · f bestimmen.
Dazu kann man in einer Wellenwanne mit bestimmter Frequenz f Wellen erzeugen und diese fotografieren. Am besten hat man einen Maßstab (Zollstock)
mit fotografiert. Dann kann man in dem Foto die
Wellenlänge bestimmen und über obigen Zusammenhang die Ausbreitungsgeschwindigkeit berechnen. Andere Möglichkeit: Ermittlung der Ausbreitungsgeschwindigkeit eines Wellenbergs an einem
Teich durch Weg- und Zeitmessung.
b) Experiment
10.
418 974 Gekoppelte Schwinger
414 514 Stimmgabel mit 400Hz
13.
Longitudinalwellen
Der erste Schwinger wird in der Ebene, in der die gekoppelten Fadenpendel hängen, zur Seite ausgelenkt
und losgelassen. Er beginnt zu den anderen Schwingern
hin und wieder weg zu schwingen. Durch die Kopplung
wird diese Bewegung auf den zweiten Schwinger übertragen, der sich dieser Bewegung anschließt. Von hier
aus wird die Schwingung in dieser Ebene auf den dritten
Schwinger übertragen usw. Die Schwinger schwingen
in der Richtung, in der die Reihe der Schwinger aufgebaut ist, also längs dieser Richtung und somit längs der
Ausbreitungsrichtung.
Aus den gegebenen Daten können Schwingungsdauer
und Wellenlänge berechnet werden:
T = }1
f
1
T=}
= 0,0025 s
400 Hz
λ = }v
λ=
f
m
344 }
s
}
400 Hz
= 0,86 m
y in mm
2
Transversalwellen
Der erste Schwinger wird senkrecht zur Ebene, in der die
gekoppelten Fadenpendel hängen, zur Seite ausgelenkt
und losgelassen. Er beginnt seitlich zu schwingen. Durch
die Kopplung wird diese Bewegung auf den zweiten Schwinger übertragen, das sich dieser Bewegung
anschließt. Von hier aus wird die Schwingung in dieser
Ebene auf den dritten Schwinger übertragen usw. Die
1
0
–1
–2
0,0005
0,001
0,0015
0,002
0,0025
t in s
191
192
(LB S. 170 – 172)
t1 = }T2 = 1 s:
y in mm
2
y
1
1 cm
0
–1
0,15
0,3
0,45
0,6
0,75
0,9
x in m
–2
416 624 Schwinger und Wellengleichung
14.
a) Aus der Schwingungsgleichung lässt sich ablesen:
ymax = 3 cm und T = 3 s.
Die Frequenz erhält man aus f = }1T zu 0,33 Hz.
Für die Wellenlänge gilt:
4 cm
8 cm
12 cm
4 cm
8 cm
12 cm
4 cm
8 cm
12 cm
4 cm
8 cm
12 cm
4 cm
8 cm
12 cm
4 cm
8 cm
12 cm
x
t2 = }34 T = 6 s:
y
1 cm
m
5,0 }
s
λ = }cf = }
0,33 Hz
λ = 15 m
b)
y in cm
x
t3 = T = 4 s:
+3
y
1 cm
0
3
t in s
–3
x
y in cm
+3
t4 = }T8 + T = 9 s:
y
0
15
x in m
1 cm
–3
x
c) Allgemein lautet die Wellengleichung:
y = ymax · sin 32 π }Tt – }xλ )4
(
t5 = }T4 + T = 10 s:
Damit erhält man im gegebenen Fall:
y
t – x
y = 3 cm · sin 32 π (}
15 m )4
3s }
1 cm
411 784 Harmonische Welle
15.
x
y
t6 = }38 T + T = 11 s:
1 cm
y
1 cm
2s
t
x
Mechanik
16.
Längswellen breiten sich als Druckwellen aus. Die
Energie pendelt zwischen Spannenergie (Kompression des Gesteins) und kinetischer Energie (Längsbewegung) hin und her.
Querwellen breiten sich als Verformungswellen aus.
Die Energie pendelt zwischen Spannenergie (Querverformung des Gesteins) und kinetischer Energie
(Querbewegung) hin und her.
417 154 Eine Schallwelle
a) ymax = 1,0 mm
T = 0,002 s
λ = 0,6 m
f = }1T = 500 Hz
v = λ·f
v = 0,6 m · 500 Hz
m
v = 300 }
s
b) y = ymax · sin 32 π }Tt – }xλ )4
t
y = 1,0 mm · sin 32 π }
– 0,6x m 4
0,002 s }
(
(
)
c) Für x = 40 cm erhält man:
(
)
t
y = 1,0 mm · sin 32 π }
– 0,67 4
0,002 s
17.
419 664 Hörbereich und Stimmumfang
a) Hörbereich
Frequenzbereich, in dem ein Mensch Schall mit den
Ohren wahrnimmt.
Stimmumfang
Frequenzbereich, in dem ein Mensch Schall selbst
hervorruft, z. B. beim Sprechen oder beim Singen.
b) Bei 20 °C (v = 344 m/s) ergibt sich:
b) Auch wenn die Amplitude der Erdbebenwellen mit
wenigen Zentimetern relativ klein erscheinen mag,
ist aufgrund der großen Massen, die sich bewegen,
viel kinetische Energie in ihnen enthalten.
Ebenso kann man mit der Spannenergie argumentieren: Die Kompressibilität von Gestein ist gering,
entsprechend groß ist die „Federkonstante“. So entspricht eine Kompression von wenigen Zentimetern
bereits gewaltigen Energiemengen.
Innerhalb der Erde wird die Energie elastisch weitergegeben. Die Gebäude an der Erdoberfläche jedoch
können die Energie nicht weitergeben. Sie erfahren
einen Kraftstoß, der sie zerstört.
414 614 Interferenz bei Schall
19.
a) Der Schall, der von beiden Lautsprechern ausgeht,
überlagert sich. Man würde mit dem Mikrofon
Stellen größerer Lautstärke (Interferenzmaxima)
und Stellen geringer Lautstärke (Interferenzminima)
registrieren.
m
344 }
s
λ1 = }
= 21,5 m
16 Hz
m
344 }
s
λ2 = }
= 0,017 m
20 000 Hz
b) Das erste Minimum wird registriert, wenn der
Gangunterschied gerade }2λ beträgt.
m
344 }
x = 1,40 m
s
λ3 = }
= 4,05 m
85 Hz
m
344 }
s
λ4 = }
= 0,31 m
1 100 Hz
Bei 20 °C umfasst der Hörbereich Wellenlängen zwischen 1,7 cm und 21,5 m. Der Stimmumfang umfasst
Wellenlängen zwischen 31 cm und 4,05 m.
Mikrofon
L1
s = 70 cm
a
c) Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Schallwellen
verringert sich mit Verringerung der Temperatur.
Damit ändern sich die genannten Intervalle.
Hinweis: Die Frequenz ist nicht temperaturabhängig.
Sie hängt nur von der Schallquelle ab.
L2
18.
418 704 Erdbeben
a) Kontinentalplatten sind an ihren Stoßstellen ineinander verhakt. Kommt es zu Verschiebungen, dann
kann das mit der Entstehung von mechanischen
Wellen (Erdbebenwellen) verbunden sein. Dabei
können Längswellen und Querwellen entstehen, die
sich teilweise an der Erdoberfläche und teilweise im
Erdmantel ausbreiten.
Der Weg von L2 zum Mikrofon beträgt nach dem
Satz von Pythagoras:
}
a = √ x 2 +s 2
}}
a = √ (1,4 m)2 + (0,7 m)2 = 1,57 m
Demzufolge gilt: a – x = }2λ und damit λ = 34 cm.
Die Frequenz des Schalls ergibt sich dann zu:
193
194
(LB S. 170 – 172)
f = }cf
21.
340
m
}
s
f=}
0,34 m
f = 1 000 Hz
Der Schall, der von den Lautsprechern abgegeben
wird, hat eine Frequenz von 1000 Hz.
c) Es wird von der Anordnung der Geräte ausgegangen, so wie sie bei Teilaufgabe b angegeben ist.
Ein Lautstärkemaximum wird registriert, wenn der
Gangunterschied λ oder ein Vielfaches davon
beträgt. Für den Gangunterschied Δs gilt:
}
Δs = a – x = √ x 2 + s 2– x
Stellt man diese Gleichung nach x um, so erhält man:
}
Δs + x = √ x 2 + s 2
(Δs + x)2 = x 2 + s 2
(Δs)2 + 2 · Δs · x + x 2 = x 2 + s 2
2
2
s – (Δs)
x=}
2 · Δs
Damit erhält man:
2
2
(0,70 m) – (0,34 m)
für Δs = λ: x = }}
= 0,55 m
2 ∙ 0,34 m
Das erste Maximum wird erreicht, wenn das Mikrofon 55 cm von der Schallquelle L1 entfernt ist.
d) Erhöhung der Frequenz bedeutet Verkleinerung der
Wellenlänge, denn bei v = konstant gilt:
λ ~ }1f bzw. f ~ }1λ
Der Wegunterschied Δs bleibt aber gleich, wenn
sich die Lage der Geräte zueinander nicht ändert.
Er beträgt also bei Verkleinerung der Wellenlänge
nicht mehr λ, bei doppelter Wellenlänge aber 2 λ.
Das bedeutet: Die Lautstärke verringert sich zunächst
und erreicht bei doppelter Frequenz wieder ein Maximum. Zugleich wird der Ton mit Vergrößerung der
Frequenz höher.
20.
419 054 Kausalität
414 754 Chaotisch oder nicht
Experimentelle Untersuchung: Der kritische Öffnungswinkel hängt von verschiedenen Faktoren ab.
Wird der Öffnungswinkel bei einem Papiertrichter
variiert, so müssen zwangsläufig auch andere Größen
verändert werden:
− Entweder sein Querschnitt, wenn der erzeugende
Kreissektor mal mehr und mal weniger überlappt
wird,
− oder seine Masse, wenn bei gleichen Querschnitt jedesmal ein neuer Kreisektor (mit einem veränderten
Radius) benutzt wird.
Je nachdem, welche dieser Varianten und welche Papiersorte gewählt wird, erhält man etwas andere Werte
für den kritischen Öffnungswinkel, bei dem der Kegel
beim Herunterfallen stark trudelt, umkippt und von der
senkrechten Bahn stark abweicht. Bei der Verwendung
eines Kegels mit einem Querschnitt von 15 cm und einer
Papiersorte mit der spezifischen Masse von 80 g/m3
erhält man als kritischen Winkel etwa 160°.
Begründung des Verhaltens
Der Schwerpunkt des Kegels befindet sich über der
Kegelspitze. Durch kleine Störungen (z. B. die Unsymmetrie des Klebefalzes, das nicht ganz exakte Loslassen)
beginnt der Kegel zu kippen. Dem wird jedoch durch
starke Kräfte, die die vorbeiströmende Luft in unterschiedlich starker Weise auf die verschieden geneigten
Kegelseiten ausübt, entgegengewirkt. Der Kegel kippt
wieder in die Gleichgewichtslage.
Schon bei relativ kleinen Fallgeschwindigkeiten kommt
es zu einer turbulenten Umströmung des Kegels und
damit zu chaotischem Verhalten.
22.
417 344 Übergang zum Chaos
Erläuterung am selbst gewählten Beispiel. Geeignet sind
z. B.:
− Magnetpendel,
− Doppelmulde,
− Doppelpendel,
− Fall von Körpern (Blatt Papier in verschiedener
Form).
Starke Kausalität
Ähnliche Ursachen haben ähnliche Wirkungen.
Beispiele: Werfen eines Balls, Schießen oder Werfen auf
eine Zielscheibe, Betätigen eines Schalters, …
Schwache Kausalität
Ähnliche Ursachen können zu sehr unterschiedlichen
Wirkungen führen.
Beispiele: Herabfallen eines Blattes, viele Glücks- und
Geschicklichkeitsspiele, Billard, Wetterentwicklung, Würfeln, …
Thermodynamik
3.3
Thermodynamik
Thermisches Verhalten von Körpern
und Stoffen (LB S. 187 – 188)
1.
414 984 Temperaturmessung
Temperaturmessung
Physikalisches Prinzip
Flüssigkeitsthermometer
Das Volumen einer Flüssigkeit ändert sich mit der Temperatur.
Gasthermometer
Das Volumen eines Gases ändert
sich mit der Temperatur.
Bimetallthermometer
Die Krümmung eines Bimetallstreifens ändert sich mit der Temperatur.
Elektrisches Thermometer
Der elektrische Widerstand eines
Sensors ändert sich mit der Temperatur.
Messung mit
Thermofarben
Nutzung von Stoffen, die mit der
Temperaturänderung ihre Farbe
ändern.
Glühfarben
Nutzung von Stoffen, die mit der
Temperaturänderung ihre Farbe
ändern.
Seger-Kegel
Die Form eines glühenden Körpers
ändert sich mit der Temperatur.
Galilei-Thermometer
Die Dichte von Stoffen ändert sich
mit der Temperatur.
2.
418 454 Temperatur und Wärme
Die Temperatur ist eine Zustandsgröße, die kennzeichnet, wie warm oder kalt ein Körper ist. Die Wärme
dagegen ist eine Prozessgröße. Sie ist ein Maß dafür,
wie viel Energie von einem Körper (System) übertragen
wird.
Die innere Energie kennzeichnet die gesamte Energie, die in einem Körper (System) vorhanden ist. Für
einen bestimmten Körper (System) gilt dabei: Je höher
die Temperatur ist, desto größer ist auch seine innere
Energie.
Das Wärmeempfinden ist im Unterschied zu den genannten physikalischen Größen ein subjektives Empfinden, das individuell sehr verschieden sein kann.
Die gefühlte Temperatur ist die Lufttemperatur, die
vom Einzelnen wahrgenommen wird. Um sie überhaupt
angeben zu können, wird von einem Modell-Menschen
ausgegangen und es werden Bedingungen festgelegt,
auf deren Grundlage eine gefühlte Temperatur angegeben wird. Genauere Hinweise dazu sind unter den
genannten Internet-Adressen zu finden.
419 014 Wärmeübertragung
3.
Wärmeleitung: Es wird Energie durch einen Stoff hindurch übertragen. Beispiel: Ein Lötkolben wird elektrisch
erhitzt. Die Spitze des Lötkolbens erhitzt sich durch
Wärmeleitung.
Wärmeströmung: Es wird Energie mit einem Stoff transportiert. Beispiel: Warme Luft wird mit einer südlichen
Luftströmung zu uns transportiert.
Wärmestrahlung: Es wird Energie durch elektromagnetische Wellen übertragen. Beispiel: Sonnenenergie wird
von der Sonne auf die Erde übertragen.
418 024 Längenänderung
4.
a)
Δl in mm
8
6
4
2
0
0
40
20
60
80
100
t in °C
Im Diagramm ist der Zusammenhang zwischen der
Längenänderung und der Temperatur dargestellt. Je
höher die Temperatur ist, desto größer ist die Änderung der Länge. Zwischen Temperaturänderung und
Längenänderung besteht direkte Proportionalität.
b) Für die Längenänderung gilt:
Δl
damit α = }
.
l ∙ ΔT
Δl = α ∙ l0 ∙ ΔT
und
0
Damit könnte man für verschiedene Wertepaare (Δl,
ΔT ) den Wert berechnen und dann den Mittelwert
bilden. Man kann auch von der grafischen Darstellung ausgehen und ein sinnvolles Wertepaar auswählen, z. B. Δl = 8 mm und ΔT = 100 K.
0,008 m
α=}
5 m ∙ 100 K
1
α = 0,000016 }
K
Das Metall hat einen linearen Ausdehnungskoeffizienten von 1,6 ∙ 10–5 K–1. Es könnte sich um Kupfer
handeln.
195
196
5.
(LB S. 187 – 188)
1 kg
V0 = }
ρ
416 954 Volumenänderung
Der Winkel α ändert sich nicht. Das hängt damit zusammen, dass sich die Metallscheibe nicht nur in einer
Richtung, sondern im Raum ausdehnt, wenn sie erwärmt
wird. Dabei gilt für den Radius Δr ~ r · ΔT und für ein
Kreissegment Δl ~ l0 · ΔT bzw. Δl ~ r · ΔT, da l0 = 2 π · r
ist. Radius und Länge des Kreissegments verändern sich
proportional zu r und ΔT.
und mit den Tabellenwerten für die Dichte bei 20 °C:
3
1 000 g ∙ cm
= 111,6 cm3
für Kupfer: V =}
8,96 g
3
1 000 g ∙ cm
für Zink: V = }
= 140,3 cm3
7,13 g
Damit erhält man für Kupfer:
θ in °C
ρ in g ∙ cm–3
6.
40
60
80
100
8,96
8,94
8,93
8,93
8,92
20
40
60
80
100
7,13
7,11
7,10
7,08
7,07
418 154 Temperatur und Länge
Für Zink ergibt sich:
a) Es treten bei Temperaturänderung deutliche Längenänderungen auf, die man durch Ausdehnungsschleifen abfangen kann.
θ in °C
–3
ρ in g ∙ cm
b) Gesucht: Δl
Gegeben: l0 = 55m
θ1 = 245 °C
θ1 = 18 °C
ΔT = 227 K
α = 1,2 ∙ 10–5 K–1
ρ in g · cm–3
9
Kupfer
8
Lösung:
Zink
7
Δl = α ∙ l0 ∙ ΔT
Δl = 1,2 ∙ 10–5 K–1 ∙ 55 m ∙ 227 K
0
0
Δl = 15 cm
Bei einer Temperaturänderung von 227 K beträgt
die Längenänderung einer 55 m langen Stahlleitung
etwa 15 cm.
c) Die Längenänderungen werden bei Brücken durch
eine Lagerung auf Rollen in Verbindung mit Dehnungsfugen berücksichtigt. Bei langen Geländern
baut man bewegliche Elemente ein.
7.
20
419 914 Temperatur und Dichte
20
40
60
80
100
θ in °C
c) Die Temperaturabhängigkeit der Dichte scheint gering (b Diagramm), spielt aber in Natur und Technik
eine durchaus bedeutsame Rolle:
− Die temperaturveränderliche Dichte von Wasser
führt zu charakteristischen Temperaturschichtungen in Gewässern, die besonders im Sommer und
im Winter ausgeprägt sind.
− Die temperaturveränderliche Dichte wird beim galileischen Thermometer zur Temperaturmessung
genutzt.
− Die temperaturveränderliche Dichte von Luft führt
zu Luftströmungen.
a) Die Dichte eines Stoffes ergibt sich allgemein zu:
m
ρ=}
V
8.
Während die Masse konstant ist, ändert sich das
Volumen mit der Temperatur: Für die Volumenänderung bei Temperaturänderung gilt: ΔV = γ ∙ V0 ∙ ΔT.
Damit ist: V = V0 + ΔV = V0 + γ ∙ V0 ∙ ΔT = V0 (1 + γ ∙ ΔT ).
Damit erhält man für die Dichte:
m
ρ = ρ (T ) = }
V0 (1 + γ ∙ ΔT )
b) Für die Volumenausdehnungskoeffizenten gilt γ ≈ 3 α
und damit:
γKupfer = 4,8 ∙ 10–5 K–1
415 864 Stoffkonstanten
a) Durch die Wärmezufuhr steigt die Temperatur des
festen Körpers auf 5 °C. Bei weiterer Wärmezufuhr
bleibt die Temperatur konstant, d. h., der Körper
schmilzt. Nach dem vollständigen Schmelzen erhöht
sich die Temperatur gleichmäßig auf 80 °C und bleibt
dann konstant. Das bedeutet: Bei dieser Temperatur
siedet der Körper.
Q
S
b) qS = }
m
12,9 kJ
qS = }
= 129 kJ ∙ kg–1
0,1 kg
γZink = 10,8 ∙ 10–5 K–1
Geht man z. B. von jeweils 1 kg aus, dann beträgt das
Volumen
Thermodynamik
c) Aus Q = c ∙ m ∙ ΔT ergibt sich:
c=
Q
}
m ∙ ΔT
12,9 kg
c=}
0,1 kg ∙ 75 K
kJ
c = 1,72 }
kg ∙ K
Die spezifische Schmelzwärme des Stoffs beträgt
129 kJ ∙ kg–1, seine spezifische Wärmekapazität
1,72 kJ ∙ kg–1 ∙ K–1.
Hinweis: Es könnte sich um Benzol (Benzen) handeln.
9.
417 734 Wasserdampf zum Erwärmen
11.
a) Der Effekt kommt zustande, weil beim Kondensieren
von Wasser eine relativ große Verdampfungswärme
(2256 kJ ∙ K–1) frei wird.
416 704 Mischungstemperatur
a) Es entsteht Wasser mit einer Mischungstemperatur,
die man so berechnen kann:
θM =
Nimmt man die Kurve experimentell auf, so wird ein Teil
der zugeführten Wärme an die Umgebung abgegeben.
Deshalb ist bei gleichmäßiger Wärmezufuhr die tatsächlich erreichte Temperatur geringer als bei der idealisierten Kurve. Die Wärmeabgabe an die Umgebung
ist umso größer, je höher die Temperatur ist. Darüber
hinaus treten Messfehler auf, die beim Zeichnen
des Graphen zu beachten sind.
m1 ∙ θ1 + m2 ∙ θ2
}}
m1 + m2
1 kg ∙ 0 °C + 1 kg ∙ 100 °C
2 kg
θM = }}
b) Ein formales Herangehen liefert folgendes Ergebnis:
Der Wasserdampf kondensiert und kühlt sich dann
weiter ab. Das übrige Wasser erwärmt sich. Damit
ergibt sich folgende Energiebilanz:
m1 ∙ qV + c ∙ m1 (T1 – TM) = c ∙ m2 (TM – T2)
θM = 50 °C
Die Umstellung nach TM und Einsetzen ergibt:
kJ
kJ
4,19 }
(2 kg ∙ 293 K + 0,5 kg ∙ 373 K) + 0,5 kg ∙ 2 256 }
kg ∙ K
kg
TM = }}}}}
kJ
b) Das Eis schmilzt. Anschließend erwärmt sich das kalte
Wasser. Für die Wärmebilanz gilt:
4,19 }
(0,5 kg + 2 K)
kg ∙ K
TM = 416,7 K
vom heißen
Wasser abgegebene Wärme
= Schmelzwärme
c ∙ m (100 °C – θM) = m ∙ qS
θM
vom kalten
+ Wasser aufgenommene
Wärme
Das ist eine Temperatur von über 100 °C und damit
praktisch nicht möglich. Eine genauere Analyse zeigt:
Beim Kondensieren des Dampfes wird folgende
Wärme frei:
+ c ∙ m (θM – 0 °C)
= 10,1 °C
Es entstehen 2 Liter Wasser mit einer Temperatur von
etwa 10 °C.
Hinweis: Bei dieser Lösungsvariante könnten den
Schülern die Einheiten Probleme bereiten.
Es gilt: 1 K = 1 °C.
c) Für die Wärmebilanz gilt:
c ∙ m (100 °C – θM) =
cEis ∙ m ∙ 20 K + m ∙ qS + c ∙ m (θM – 0 °C)
θM = 5,2 °C
Es entstehen 2 Liter Wasser mit einer Temperatur von
etwa 5 °C.
kJ
QV = m1 ∙ qV = 0,5 kg ∙ 2 256 }
= 1 128 kJ
kg
Zum Erwärmen des Wassers von 20 °C auf 100 °C ist
folgende Wärme erforderlich:
kJ
Q = m2 ∙ c ∙ ΔT = 2 kg ∙ 4,19 }
∙ 80 K = 670 kJ
kg ∙ K
Das bedeutet: Das Wasser wird auf 100 °C erhitzt.
Dazu ist nur ein Teil des Wasserdampfes erforderlich.
Es stellt sich somit eine Temperatur von 100 °C ein.
c) Bezeichnet man die Masse des Wasserdampfes mit
mD und die des zu erwärmenden Wassers mit mW,
dann gilt wie bei Teilaufgabe b) für die Energiebilanz:
mD ∙ qV + c ∙ mD (T100 – TM) = c ∙ mW (TM – T15)
Mit mW = m – mD und den eingesetzten Temperaturdifferenzen erhält man:
mD ∙ qV + c ∙ mD ∙ 20 K = c ∙ mW (m – mD) ∙ 65 K
Die Umstellung nach der Masse des Dampfes ergibt:
10.
417 094 Theorie und Praxis
m ∙ c ∙ 65 K
mD = }}
q + c ∙ 20 K + c ∙ 65 K
V
Bei der schwarz eingezeichneten Kurve geht man davon
aus, dass keinerlei Wärmeaustausch mit der Umgebung
erfolgt. Es ist eine idealisierte Kurve.
kJ
0,06 kg ∙ 4,19 }
∙65 K
kg ∙K
mD = }}}}
kJ
kJ
kJ
2 256 }
+ 4,19 }
∙ 20 K + 4,19 }
∙ 65 K
kg
kg ∙ K
kg ∙ K
197
198
(LB S. 187 – 188)
mD = 0,0063 kg = 6,3 g
p2 = 3,13 bar
Eine mögliche Variante wäre damit: Man leitet 6,3 ml
Wasserdampf von 100 °C in 60 ml – 6,3 ml = 53,7 ml
Wasser von 15 °C.
Der Reifendruck würde sich von 2,8 bar auf 3,1 bar
erhöhen.
b) In diesem Falle ergäbe sich:
d) Ein Teil der Wärme wird an die kühlere Umgebung
und die Tasse übertragen. Dadurch hat der Espresso
eine niedrigere Temperatur als berechnet.
12.
417 984 Eis und Wasserdampf
55 °C
= 7,7 bar,
p2 = 2,8 bar ∙ }
20 °C
also fast der dreifache Wert für den Reifendruck.
14.
In allen Fällen gilt: Vom Wasserdampf wird Wärme
abgegeben, er kondensiert. Vom Eis wird Wärme
aufgenommen, es schmilzt. Dann gilt allgemein für die
Energiebilanz:
Luft wird als ideales Gas betrachtet. Damit lassen sich
die betreffenden Gesetze anwenden.
Aus p ∙ V = m ∙ RS ∙ T erhält man durch Umstellen nach m:
p∙V
m=}
R ∙T
S
mD ∙ qV + c ∙ mD (TD – TM) = mE ∙ qS + c ∙ mE (TM – TS)
101,6 ∙ 103 N ∙ 5,7 m ∙ 4,2 m ∙ 2,8 m ∙ kg ∙ K
m = }}}
2
Die Umstellung nach der Mischungstemperatur ergibt:
TM =
m = 80,4 kg
Der Raum enthält 80,4 kg Luft.
Das Einsetzen der Werte ergibt:
a) TM = 384 K
Die Temperatur ist größer als 100 °C. Es liegt folglich
ein unvollständiger Kondensationsvorgang vor. Im
Kalorimeter befindet sich eine Mischung aus Dampf
und Wasser. Die Rechnung liefert für die kondensierte Dampfmenge
mD ∙ qV = mE ∙ qs + mE ∙ cW ∙ ΔT
414 874 Druck im Reifen
1
328 K
p2 = 2,80 bar ∙ }
293 K
Um die Luft im Wohnraum von 8 °C auf 22 °C zu
erwärmen, ist eine Wärme von 1,64 MJ erforderlich.
1,64 MJ
· 1 kg = 0,082 kg = 82 g
b) x = }
20 kg
Die dafür notwendige Wärme entsteht, wenn man
82 g Kohle vollständig verbrennt.
c) Bei einem Wirkungsgrad von 35 % erhöht sich die
Menge des Brennstoffs:
E
nutz
Aus η = }
folgt:
E
zu
E
nutz
Ezu = }
η
Die zugeführte Energie erhöht sich um den Faktor }1η ,
damit auch der erforderliche Heizstoff:
82 g
x=}
= 234 g
0,35
a) Es wird davon ausgegangen, dass das Volumen des
Reifens konstant bleibt. Dann gilt das Gesetz von
AMONTONS.
p1
p2
Aus }
=}
folgt:
T
T
T
Q = cp · m · Δθ mit m = ρ · V und ρ = 1,29 kg · m–3
Q = 1,64 MJ
c) TM = 258 K
Es liegt ein unvollständiger Schmelzvorgang vor. Eine
dem Fall a) analoge Rechnung liefert eine Mischung
aus 80 g Eis und 30 g Wasser von 0 °C.
2
a) Genutzt werden kann die Gleichung zur Berechnung
der Wärme.
kg
b) TM = 278 K
Es befinden sich 85 g Wasser von 4,7 °C im Kalorimeter.
1
419 414 Heizen eines Zimmers
m
Dies bedeutet eine Mischung aus 13,3 g Wasser und
6,7 g Dampf von 100 °C.
2
p2 = p1 ∙ }
T
15.
kJ
Q = 1,01 }
· 1,29 }3 · 90 m3 · 14 K
kg · K
mE ∙ qS + mE ∙ cW ∙ ΔT
}}
qV
mD = 3,3 g
13.
m ∙ 287 J ∙ 295 K
mD ∙ qV – mE ∙ qs + c (mD ∙ TD – mE ∙ Ts)
}}}
c (mD + mE)
mD =
417 574 Masse von Luft
d) Die zugeführte Wärme bewirkt nicht nur eine Erhöhung der Lufttemperatur, sondern auch der Temperatur der Wände, der Decke und aller Einrichtungsgegenstände. Alle diese Körper nehmen Wärme
auf. Die Luft erwärmt sich demzufolge weniger als
berechnet.
Thermodynamik
16.
415 784 Unbekanntes Gas
Die Art des Gases könnte sich aus der spezifischen Gaskonstanten ergeben.
Aus p ∙ V = m ∙ RS ∙ T ergibt sich:
p∙V
RS = }
m∙T
3
–3
3
202 ∙ 10 Pa ∙ 8,2 ∙ 10 m
RS = }}
0,02 kg ∙ 320 K
b) Unter Diffusion versteht man einen physikalischen
Vorgang, bei dem die Teilchen eines Stoffs sich mit
den Teilchen eines anderen Stoffs aufgrund ihrer
thermischen Bewegung mischen. Bei Gasen und Flüssigkeiten kann das zu einer vollständigen Durchmischung zweier oder mehrerer Stoffe führen.
Beispiele:
− Ausbreitung von Zigarettenrauch in Luft
− Ausbreitung von Parfüm in Luft
RS = 259 J ∙ kg–1 ∙ K–1
416 874 Teilchenzahlen
4.
Es könnte sich bei dem Gas um Sauerstoff handeln.
Hinweis: Die Gasart kann auch über die molare Masse M
m
mit der Gleichung p ∙ V = }
∙ R ∙ T bestimmt werden.
M
a) Die Teilchenanzahl kann mit der allgemeinen
Zustandsgleichung des idealen Gases in der Form
p ∙ V = N ∙ k ∙ T berechnet werden. Aus p ∙ V = N ∙ k ∙ T
ergibt sich:
p∙V
N=}
k∙T
Die kinetische Gastheorie
(LB S. 197 – 198)
–9
1,38 ∙ 10
1.
N=
415 054 Brownsche Bewegung
a) Unter der brownschen Bewegung versteht man die
mit einem Mikroskop beobachtbare unregelmäßige
Bewegung von Teilchen (Blütenstaub, Zigarettenrauch).
Es gibt für die Unterschiede zwischen dem experimentellen Ergebnis und dem theoretischen Kurvenverlauf
unterschiedliche Gründe:
− Beim Experiment ist die Anzahl der Teilchen relativ
klein. Die theoretische Verteilung gilt für große
Teilchenzahlen.
− Mit der Experimentieranordnung werden nur die
Teilchen erfasst, die sich in einer bestimmten Höhe
näherungsweise waagerecht nach rechts bewegen.
Diese durch die Experimentieranordnung hervorgerufene Auswahl ist nur bedingt repräsentativ.
3.
J ∙ K ∙ 293 K
1,29 ∙ 108
–4
3
101 325 Pa ∙ 4 ∙ 10 m
N = }}
–23
–1
1,38 ∙ 10
J ∙ K ∙ 293 K
N = 1,00 ∙ 1022
Die Anzahl der Gasmoleküle beträgt bei dem Restdruck 1,29 ∙ 108, bei normalem Luftdruck 11,00 ∙ 1022.
416 234 Die Grundgleichung
5.
414 704 Geschwindigkeitsverteilung
3
b) Als Druck ist p = 101,325 kPa einzusetzen. Damit
erhält man:
b) Ursache für die brownsche Bewegung sind Stöße
nicht sichtbarer Teilchen (Atome, Moleküle) mit den
mikroskopisch sichtbaren Teilchen. Durch diese vielfältigen Stöße führen die mikroskopisch sichtbaren
Teilchen unregelmäßige Bewegungen aus.
2.
–4
1,3 ∙ 10 Pa ∙ 4 ∙ 10 m
N = }}
–23
–1
a) Eine Form der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie lautet:
}
p ∙ V = }23 N ∙ E kin
Dabei bedeuten p der Druck im Gas, V das Volumen,
}
N die Teilchenanzahl und E kin die mittlere kinetische Energie der Teilchen. Die Gleichung gilt für das
ideale Gas.
Wichtige Zusammenhänge werden deutlich, wenn
man z. B. die Gleichung nach jeweils einer Größe
umstellt:
}
2 N∙E
kin
(I) p = }
3V
417 244 Diffusion
a) Aufnahme (1) wurde später als Aufnahme (2) gemacht. Aufgrund der thermischen Bewegung der
Teilchen verteilt sich die Tinte allmählich im Wasser.
Es wird gleichmäßig gefärbt.
Bei konstanter Teilchenanzahl und konstantem
Volumen ist der Druck im Gas der mittleren kinetischen Energie der Teilchen proportional.
Bei konstantem Volumen und bestimmter kinetischer Energie der Teilchen ist der Druck proportional der Teilchenanzahl.
Bei konstanter Teilchenanzahl und konstanter
kinetischer Energie der Teilchen sind Druck und
Volumen umgekehrt proportional zueinander.
199
200
}
(LB S. 197 – 198)
3 p∙V
(II) E kin = }
2N
8.
Bei konstantem Druck und Volumen ist die mittlere kinetische Energie der Teilchen umso kleiner,
je größer die Teilchenanzahl ist.
usw.
b) b Lehrbuch S. 193
}
Für den Zusammenhang zwischen Temperatur und Geschwindigkeit gilt:
}2
} √}
v
}
T ~ v 2 oder
√T ~
a) Eine Vervierfachung der Temperatur T führt zu
einer Verdopplung des mittleren Geschwindigkeitsquadrats.
}
√
3p
c) v = }
ρ
}
415 434 Temperatur und Geschwindigkeit
}}3
b) Ein Viertel der Temperatur T führt zu einer
Halbierung des mittleren Geschwindigkeitsquadrats.
√
3 ∙ 101 325 Pa ∙ m
v = }}
1,25 kg
}
m
v = 493 }
s
9.
Die mittlere Geschwindigkeit von Stickstoffmoleküm
len beträgt bei Normbedingungen 493 }
.
s
6.
419 264 Stickstoff der Luft
a) Luft wird als ideales Gas angesehen. Dann kann die
Zustandsgleichung in der Form p ∙ V = N ∙ k ∙ T angewendet werden. Die Umformung ergibt:
418 284 Teilchengrößen
p∙V
N=}
k∙T
a) Zur Lösung genutzt werden kann die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie.
}
Aus p ∙ V = }23 N · E kin folgt:
}
E kin =
2
–3
3
1013 ∙ 10 Pa ∙ 10 m
N = }}
–23 J
∙ 293 K
}
K
1,381 ∙ 10
N = 2,69 ∙ 1022
3 p∙V
}
2N
}
6
b) Für die Abschätzung der mittleren Geschwindigkeit
gilt:
3
3 ∙ 1,1 ∙ 10 Pa ∙ m
E kin = }}
26
2 ∙ 10
}
Geht man vom normalen Luftdruck aus und betrachtet man Luft mit seinen Bestandteilen als ideales Gas,
dann erhält man:
b) Aus p ∙ V = N ∙ k ∙ T folgt:
T=
T=
1,1 ∙ 106 Pa ∙ m3 ∙ 10–23 ∙ K
}}
1026 ∙ 1,38 J
√
3p
v≈ }
ρ
Die mittlere Energie der Argonatome beträgt
1,65 ∙ 10–20 J.
p∙V
}
N∙k
}
}
E kin = 1,65 ∙ 10–20 J
}}
N
3 ∙ 101 300 }
√ }}
√
}
m
m
v Stickstoff = }
= 493 }
kg
s
2
1,25 }3
m
N
3 ∙ 101 300 }
2
}
m
m
v Sauerstoff = }
= 461 }
kg
s
1,43 }3
m
T = 797 K oder θ = 524 °C
In dem Gas herrscht eine Temperatur von 524 °C.
415 454 Geschwindigkeit von Teilchen
10.
7.
Für die Geschwindigkeiten gilt:
415 554 Eine Verteilung
}
a) Nach einem längeren Zeitraum ist eine Durchmischung der roten und blauen Teilchen zu erwarten. Aufgrund der relativ kleinen Teilchenzahl ist
aber eine Gleichverteilung eher unwahrscheinlich.
b) Bei der Erläuterung sollte vor allem das betrachtete thermodynamische System klar festgelegt sein.
Einige mögliche Beispiele:
− Tasse mit heißem Tee + Umgebung
− Mischung von zwei Wassermengen in einem
Gefäß
− Speise bei Zimmertemperatur + Kühlraum eines
Kühlschranks
}
}
vW : v : √ v 2 = 1 : 1,13 : 1,22
m
erhält man:
Mit vW = 485 }
s
}
m
v = 1,13 ∙ vW = 548 }
s
m
√}
v 2 = 1,22 ∙ vW = 592 }
s
}
11.
414 594 Energie eines Gases
a) Ekin = }12 m ∙ v 2
m2
Ekin = }12 ∙ 2,66 ∙ 10–26 kg ∙ (480 }
s)
Thermodynamik
Ekin = 3,06 ∙ 10–21 J
b) In 1 mol Sauerstoff befinden sich 6,022 ∙ 1023 Teilchen
(Avogadro-Konstante). Damit ergibt sich für die
Energie:
Ekin = 6,022 ∙ 1023 ∙ 3,06 ∙ 10–21 J
Ekin = 1,84 ∙ 103 J = 1,84 kJ
Aus dem Diagramm (und auch aus der Gleichung) ist
erkennbar:
− Die kinetische Energie eines Teilchens ist der absoluten Temperatur direkt proportional.
− Für T = 0 K ist die kinetische Energie eines Teilchens
null.
416 924 Zusammenhang zwischen T und v
14.
}
a) Mit T = v 2 erhält man das folgende Diagramm:
418 884 Innere Energie
12.
T
Ein wesentlicher Unterschied zwischen dem Modell
ideales Gas und einem realen Gas ist: Beim Modell
ideales Gas wird von elastischen Wechselwirkungen und
damit vom Erhalt der mechanischen Energie ausgegangen. Bei realen Gasen spielen dagegen zwei Faktoren
eine Rolle:
− Gasteilchen haben ein Eigenvolumen. Das führt
dazu, dass unter ansonsten gleichen Bedingungen
das Volumen eines realen Gases größer ist als das des
idealen Gases.
− Es treten zwischenmolekulare Wechselwirkungen
auf. Dadurch ist der Druck im realen Gas unter ansonsten gleichen Bedingungen kleiner als im idealen
Gas.
Für die Energie spielen bei realen Gasen vor allem die
zwischenmolekularen Wechselwirkungen eine Rolle, die
beim idealen Gas nicht betrachtet werden.
}
}
√v 2
b) Die Geschwindigkeit der Teilchen kann nicht beliebig
groß werden. Demzufolge gibt es eine obere Grenze
für die Temperatur T.
15.
Aufsuchen, Testen und Präsentieren von Simulationen
zur kinetischen Gastheorie
416 724 Energie eines Teilchens
13.
418 604 Simulationen
Für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens gilt:
}
E kin = }32 k ∙ T
(Boltzman-Konstante)
16.
419 704 Präsentation
Damit erhält man:
T in K
100
200
300
400
Ekin in 10–21 J
2,07
4,14
6,21
8,29
Ekin in 10–21 J
Anfertigen einer Präsentation: Es ist sinnvoll, bei einer
Darstellung der kinetisch-statistischen Betrachtungsweise auf die zweite Betrachtungsmöglichkeit, die
phänomenologische Betrachtungsweise, zumindest
hinzuweisen. Ansonsten sollte man sich auf die in der
Aufgabe genannten Schwerpunkte beschränken.
8
6
4
2
0
0
100
200
300
400
T in K
201
202
(LB S. 218 – 220)
Hauptsätze der Thermodynamik und
Kreisprozesse (LB S. 218 – 220)
f) Q = 0: ΔEi = W
5.
1.
Natur: Meteorite dringen mit hoher Geschwindigkeit in
die Lufthülle der Erde ein und verdampfen. Dabei wird
mechanische Energie teilweise in innere Energie umgewandelt. Beim Reiben der Hände aneinander erfolgt
ebenfalls eine Umwandlung mechanischer Energie in
innere Energie.
Technik: Sägen und Feilen sind Beispiele für Vorgänge,
bei denen sich mechanische Energie teilweise in innere
Energie umwandelt.
2.
418 224 Innere Energie
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik lautet:
ΔEi = W + Q.
isotherm:
W = –Q
isobar:
W = ΔEi – Q
adiabatisch: W = ΔEi
6.
418 864 Isothermer Prozess
a) Für eine isotherme Zustandsänderung gilt das Gesetz
von BOYLE und MARIOTTE: p1 · V1 = p2 · V2
Damit kann man die erforderlichen Werte berechnen.
V in cm3
a) Zufuhr von Wärme von der Heizplatte, Zufuhr von
Wärme durch Sonnenstrahlung, Verrichten von Reibungsarbeit am Topf, Mischen mit Wasser höherer
Temperatur.
p1 = 100 kPa
V1 = 8 000 cm3
p2 =
b) Die Temperatur von Wasser erhöht sich, da sich die
innere Energie des Körpers vergrößert.
3.
415 754 Mechanische Arbeit
416 664 Energieumwandlung
p1 · V1
}
V2
415 924 Energieumwandlung
p in kPa
8 000
7 000
100
114
6 000
5 000
133
160
4 000
3 000
2 000
200
267
400
p in kPa
Präsentation: Die meisten Vorschläge für ein Perpetuum
mobile widersprechen dem Energieerhaltungssatz. Das
ist allerdings in manchen Fällen nicht ohne Weiteres zu
erkennen.
400
300
200
4.
414 714 Energiebilanzen
100
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik lautet:
ΔEi = W + Q.
0
0
Es ergeben sich folgende Energiebilanzen:
a) p = konst.: ΔEi = W + Q mit ΔEi = m ∙ cv ∙ ΔT
Q = m ∙ cp ∙ ΔT
2 000
4 000
6 000
V in cm3
8 000
b) Beim Auszählen der Fläche unter dem Graphen sind
die Einheiten zu beachten:
N · m3 =
1 kPa · cm3 = 103 Pa · 10–6 m3 = 10–3 · }
2
W = – p ∙ ΔV
m
10–3 N · m
b) V = konst.:
c) T = konst.:
W=0
ΔEi = Q mit Q = m ∙ cv ∙ ΔT
ΔEi = 0
Q = –W
d) siehe c)
e) V = konst.:
oder
W = –Q
Die Auszählung ergibt: W ≈ 1 100 Nm
7.
416 064 Ein Kreisprozess
a) Vom Ausgangszustand A ausgehend lassen sich die
Größen für die weiteren Zustände berechnen:
W=0
ΔEi = Q
Thermodynamik
Zustand B: TB = TA = 293 K
pB = 2 pA = 480 kPa
VB =
pA · VA
}
pB
=
1
}2
VA = 1,2
a) Die fehlenden Größen können, ausgehend vom Ausgangszustand, berechnet werden.
Zustand A: pA = 450 kPa
VA = 500 l
TA = 600 k
dm3
Zustand C: VC = 1,2 dm3
TC = 453 K
pC =
pB
TC · }
TB
419 554 Größen beim Kreisprozess
8.
Zustand B: TB = 600 k
VB = 2 000 l
= 742 kPa
p ·V
A A
pB = }
= 112,5 kPa
V
B
Zustand D: TD = 453 K
pD = 240 kPa
Zustand D: VD = 500 l
pD = 150 kPa
p ·V
C C
VD = }
= 3,7 dm3
p
D
T
A
TD = pD · }
p = 200 K
A
b) Damit ergibt sich folgendes V-p-Diagramm:
Zustand C: VC = 2 000 l
TC = 200 K
p in kPa
800
p
B
pC = TC · }
= 37,5 kPa
T
C
B
T –T
H
K
b) η = }
T
600
H
600 K – 200 K
η = }}
= 0,67
600 K
B
400
A
200
Der thermische Wirkungsgrad für diesen Prozess
beträgt 67 %.
D
0
0
1
2
3
4
5
V in dm3
c) Die Gesamtbilanz ergibt sich aus den energetischen
Betrachtungen zu den Teilprozessen.
QAB = –W = pA · VA · ln
VB
}
VA
QBC = ΔEi = m · cV · ΔT =
c
414 574 Heißluftmotor
9.
TK
a) Für den Kreisprozess gilt: η = 1 – }
TW
Die Umstellung nach TW ergibt:
T
K
TW = }
1–η
= –399 J
pB · VB cV
·}
}
TB
RS
280 K
TW = }
1 – 0,3
(TC – TB)
TW = 400 K
c
V
V
1
1 erhält man:
Mit }
=}
cP – cV = }
c –c =}
R
κ–1
S
P
QBC =
V
}
cV
pB · VB
1
·}
}
TB
κ–1
Das heiße Reservoir muss eine Temperatur von 400 K
haben, damit der Wirkungsgrad 0,3 beträgt.
(TC – TB) = 786 J
V
D
QCD = W = pC · VC · ln }
= 1 003 J
V
C
QDA = ΔEi + p · ΔV = m · cV (TA – TD) + pD (VD – VA)
b) Vortrag: Hinweise sind im Lehrbuch auf Seite 206 zu
finden. Informationen und Simulationen zum Heißluftmotor findet man auch im Internet.
p ·V
D D
1 (T – T ) + p (V – V )
QDA = }
·}
D
D
D
A
T
κ–1 A
D
QDA = – 472 J
10.
426 824 Viertaktmotor
a) Die vier Takte sind im LB S. 207 erläutert.
Damit ergibt sich folgende Gesamtbilanz:
Q = QAB + QBC + QCD + QDA = 918 J > 0
Es muss demzufolge Wärme zugeführt werden.
b) Die Interpretation des Diagramms ist im LB S. 207 zu
finden. Die Idealisierungen beziehen sich insbesondere auf den gleichmäßigen Verlauf der Graphen bei
den verschiedenen Prozessen.
203
204
(LB S. 218 – 220)
c) Die rot markierte Fläche ist ein Maß für die Energie,
die „verbraucht“ wird. Die grün markierte Fläche ist
ein Maß für die Energie, die vom Motor abgegeben
wird und die z. B. den Antrieb des Fahrzeugs bewirkt.
Eine Wärmekraftmaschine funktioniert nur, wenn ein
Temperaturunterschied zwischen dem Bereich der
Wärmezufuhr und dem der Wärmeabgabe vorhanden ist.
b) Darstellung an einem selbst gewählten Beispiel.
11.
417 304 Motoren für Pkw
Präsentation: Die Schwerpunkte für die Darstellung
eines der zwei Verbrennungsmotoren sind in der Aufgabenstellung genannt. Hingewiesen werden sollte
auch auf Hybridantriebe (Kopplung eines Verbrennungsmotors mit einem Elektromotor) und auf reine Elektroantriebe. In der Präsentation sollte hier als Ausblick auf
den aktuellen Entwicklungsstand eingegangen werden.
12.
415 944 Motorkühlung
Der Motor muss gekühlt werden, um die Ausgangsbedingungen wieder zu erreichen. Nur bei einer Temperaturdifferenz kann Wärme abgegeben werden. Je
größer diese Differenz ist, desto wirkungsvoller arbeiten
Wärmekraftmaschinen. Kühlmittel sind Wasser und Luft.
13.
415 374 Unterschiedliche Motoren
Der Dieselmotor arbeitet effizienter. Bei beiden Motortypen erfolgt die Wärmeabgabe an die Fahrzeugumgebung (und daher mit nahezu gleich niedriger Temperatur). Beim Dieselmotor ist aber die Betriebstemperatur
höher. Da die maximale zu gewinnende mechanische
Arbeit bei einer Wärmekraftmaschine durch die
Differenz aus Betriebstemperatur und Wärmeabgabetemperatur bestimmt wird, kann ein Dieselmotor bei
sonst gleichen Bedingungen mehr mechanische Arbeit
als ein Benzinmotor erbringen.
14.
416 174 Wärmekraftmaschinen
a) Die grundsätzliche Wirkungsweise einer Wärmekraftmaschine besteht darin, dass eine Umwandlung
von Wärme und Arbeit ineinander erfolgt und damit
durch Zufuhr von Wärme mechanische Arbeit verrichtet werden kann (Bei Kältemaschinen und Wärmepumpen wird mechanische Energie zugeführt.).
Im dargestellten Fall wird Wärme Q1 zugeführt. In
der Wärmekraftmaschine erfolgt eine Umwandlung
in mechanische Energie, mit der Nutzarbeit (z. B. der
Antrieb eines Fahrzeugs) verrichtet werden kann.
Ein Teil der zugeführten Wärme wird als Abwärme
an die Umgebung abgegeben. Für die Energiebilanz
gilt:
Q1 = W + Q2
15.
417 634 Verschiedene Vorgänge
Näherungsweise reversibel sind rein mechanische
Vorgänge in Natur und Technik, an denen eine relativ
geringe Anzahl von Körpern beteiligt ist.
Beispiel: Pendelbewegung
Dazugehörige Energieumwandlungen: potenzielle Energie – kinetische Energie – potenzielle Energie.
Als reversibel können auch solche Vorgänge wie die Bewegung der Planeten um die Sonne angesehen werden.
Da der Lichtweg stets umkehrbar ist, handelt es sich bei
der Ausbreitung von Licht unter Idealbedingungen um
einen reversiblen Vorgang – er könnte auch rückwärts
ablaufen. Meist erfolgen dabei keine unmittelbaren
Energieumwandlungen, d. h., die elektromagnetische
Energie der Lichtwellen bleibt erhalten (z. B. vollständige Reflexion).
Irreversible Vorgänge laufen unter Beteiligung vieler
Körper/Teilchen ab und sind oft mit der Abgabe von
Wärme an die Umgebung verbunden.
Verbrennen von Holz oder Kohle zu Heizzwecken
Dazugehörige Energieumwandlung: chemische Energie
– innere Energie
Zusammenstürzen eines Sandhaufens
Energieumwandlung: potenzielle Energie – kinetische
Energie – Reibungswärme zwischen den Sandkörnern.
16.
416 184 Irreversibilität
Irreversible Prozesse gehen oft unter Beteiligung großer
Teilchenzahlen und Wärmeabgabe an die Umgebung
vonstatten. Außerdem nimmt bei ihnen der Ordnungszustand in einem System ab. Diese Merkmale können
– müssen aber nicht gleichzeitig – erfüllt sein, damit ein
irreversibler Vorgang vorliegt.
Beim Zerstampfen von großen Salzkristallen in kleinere Kristalle nimmt der Ordnungszustand ab und die
Teilchenzahl wird extrem vergrößert. Beim Bremsen
in einem Fahrzeug entweicht Reibungswärme in die
Umgebung, der Ordnungzustand des Systems Fahrzeug
bleibt aber enthalten. Dennoch sind beide Prozesse irreversibel, da jeweils einige Merkmale der Irreversibilität
auf sie zutreffen.
17.
417 164 Reversibel oder nicht
a) Kurzzeitig kann die Erdrotation als reversibel angesehen werden. Tatsächlich verringert sich durch
die Gezeitenreibung die Winkelgeschwindigkeit der
Thermodynamik
Erde, sodass man langfristig die Erdrotation als irreversibel ansehen kann.
b) Reversibler Vorgang. Es wird periodisch Energie
zugeführt.
c) Irreversibler Vorgang: Der umgekehrte Vorgang ist
nie beobachtet worden.
d) Reversibler Vorgang: Durch Wärmeabgabe an die
Umgebung verringert sich die Temperatur des Wassers wieder bis zum Anfangszustand.
18.
416 464 Entropieänderungen
a) Entropie nimmt ab.
b) Entropie nimmt zu.
c) Entropie nimmt ab.
d) Entropie nimmt zu.
b) Erläuterung an einem selbst gewählten Beispiel.
a) Es erfolgt zwischen Körper 1 und Körper 2 ein Temperaturausgleich. Dabei sinkt die Temperatur von
Körper 1, die von Körper 2 steigt. Es geht Wärme von
Körper 1 auf Körper 2 über. Die innere Energie von
Körper 1 sinkt, die von Körper 2 steigt. Die Gesamtenergie bleibt gleich.
Im Endzustand liegt ein System aus zwei Körpern
gleicher Temperatur vor.
b) Ein unbeeinflusstes System strebt immer dem
wahrscheinlichsten Zustand zu. Ein System gleicher
Temperatur ist der wahrscheinlichste Zustand.
Q
c) Für die Entropie gilt allgemein: ΔS = }
T
Körper 1 gibt die Wärme Q1 bei der Temperatur T1
ab. Körper 2 nimmt die Wärme Q2 (Q1 = Q2) bei
der Temperatur T2 auf. Damit erhält man für die
gesamte Entropieänderung:
Q
Q
ΔS = }
–}
T
T
Die Begründung kann jeweils mithilfe des veränderten
Ordnungszustandes der Teilchen bei Änderung des
Aggregatzustandes gegeben werden. Die Entropie ist
dabei ein Maß für die Unordnung der Teilchen.
19.
417 684 Betrag der Entropie
Q
Allgemein gilt für die Entropieänderung ΔS = }
. Die
T
Gleichung ist auf die drei genannten Fälle anzuwenden.
q ∙m
kJ
59 }
∙ 0,3 kg
kg
q ∙m
kJ
2 256 }
∙ 0,2 kg
kg
2
q ∙m
270
kJ
}
kg
∙ 700 kg
kJ
S
= }}
= 107 }
c) ΔS = }
T
1 773 K
K
415 214 Zunahme von Entropie
a) Natur:
Schmelzen von Eis, Verdunsten von Wasser,
Temperaturausgleich innerhalb von kleinen
Bereichen der Atmosphäre, Verfaulen von
Holz.
Technik: Heizen eines Zimmers (Verteilung der
Wärme im Raum), Thermodiffusion, Verbrennen von Kraftstoff.
Alltag: Lösen von Zucker im Tee oder Kaffee, Mischen von kaltem und heißem Wasser.
417 054 Verschiedene Stoffe
22.
Die Verdampfungswärme von Gold ist wesentlich kleiner
als die von Zinn.
kJ
qV, Gold = 1 578 }
kg
kJ
qV, Zinn = 2 386 }
kg
418 914 Entropie und Wärme
23.
Q = ΔS · T
kJ
Q=2}
· 310 K
kg
Während sich bei a) und b) die Entropie vergrößert,
wird sie bei c) kleiner. Das kann man auch durch Vorzeichen verdeutlichen.
20.
1
Da T1 > T2 ist, erhält man einen positiven Wert für
die Entropieänderung. Das bedeutet: Es erfolgt eine
Zunahme der Entropie.
kJ
S
=}
= 0,035 }
a) ΔS = }
T
K
505 K
kJ
V
= }}
= 1,21 }
b) ΔS = }
T
K
373 K
416 114 Temperaturausgleich
21.
Q = 620 kJ
415 714 Entropieexport
24.
Die Betrachtungen werden auf 1 s bezogen.
ΔS
1017 W
1017 W
= 5 800 K – }
}
1s }
260 K
17
17
10 Ws 10 Ws
ΔS = }
–}
5 800 K
260 K
J
ΔS = –3,7 · 1014 }
K
205
206
25.
(LB S. 228)
b) Da bei hohen Temperaturen das Strahlungsmaximum
außerhalb des sichtbaren Bereichs liegt, kann es trotz
unterschiedlicher Oberflächentemperaturen zu ähnlichen Farbeindrücken kommen.
416 274 Entropie und Mensch
a) b LB S. 216
b) Die Abgabe von Entropie an die Umgebung ist
lebensnotwendig. Geht man davon aus, dass sich ein
Mensch in der Regel in einem Gleichgewichtszustand
befindet, so muss die bei Verdauungs- und Entwicklungsprozessen produzierte Entropie an die Umgebung abgegeben werden. Wäre das nicht der Fall,
so befände sich der menschliche Körper schnell weit
weg von einem Gleichgewichtszustand. Der Mensch
würde sterben.
3.
413 874 Die Sonne
Das Gesetz von STEFAN und BOLTZMANN lautet:
P = σ∙A∙T4
W , einem mittleren Sonnenradius
Mit σ = 5,67 ∙ 10–8 }
2 4
m ∙K
von 696 000 km und einer Oberflächentemperatur von
5 780 K erhält man:
26.
418 424 Wärmetod
W ∙ 4 π ∙ (6,96 ∙ 108 m)2 ∙ (5 780 K)4
P = 5,67 ∙ 10–8 }
2 4
Kurzreferat: Dabei sollte herausgearbeitet werden, dass
es um die Betrachtung eines Systems geht. Wenn das
Universum ein abgeschlossenes System ist, dann nimmt
in ihm die Entropie ständig zu. Irgendwann müsste das
Universum und damit auch die Erde einen Zustand erreichen, bei dem ein vollständiger Temperaturausgleich
zwischen allen Objekten eingetreten ist. Das gesamte
Universum wäre dann ein System mit sehr niedriger
Temperatur. Es würden keinerlei Veränderungen mehr
im System vor sich gehen. Leben wäre damit nicht mehr
möglich. Dieser Zustand wird als Wärmetod bezeichnet.
Strahlungsgleichgewicht und Strahlungsgesetze (LB S. 228)
1.
418 934 Strahlungsgleichgewicht
Nicht im Strahlungsgleichgewicht zu sein würde bedeuten: Die Erde gibt entweder mehr Energie ab, als sie
aufnimmt, oder weniger. Im ersten Fall würde sich die
Energie der Erde verringern und damit eine Abkühlung
erfolgen. Im zweiten Fall würde sich die Energie der
Erde vergrößern und damit eine Erwärmung erfolgen.
2.
416 534 Sternfarben
a) Von der Oberflächentemperatur eines Sterns ist es
abhängig, in welchem Bereich des Spektrums das
Strahlungsmaximum liegt und welcher Farbeindruck
demzufolge hervorgerufen wird. Ähnlich wie bei
glühenden Körpern gilt:
rot:
relativ niedrige Temperatur (≈ 4000 K)
gelb:
höhere Temperatur
(≈ 6000 K)
bläulich: sehr hohe Temperatur
(≈ 15 000 K)
In der Astronomie werden die Sterne nach ihrer
Farbe in Spektralklassen eingeteilt. Jeder der Spektralklassen (Farben) kann ein Temperaturbereich
zugeordnet werden.
m ∙K
P = 3,85 ∙ 1026 W
Dieser Wert entspricht dem Tabellenwert.
4.
417 934 Hell oder dunkel
Das Problem kann mithilfe der Strahlungsgesetze gelöst
werden, wobei man mit Modellen arbeiten muss, wenn
man die Strahlungsgesetze anwenden will.
Das Ergebnis lautet: Stehen die beiden Autos so lange
an einem Ort, dass sich ein Strahlungsgleichgewicht mit
der Umgebung herausbilden kann, dann erhitzen sie
sich wegen des kirchhoffchen Gesetzes näherungsweise
auf die gleiche Innentemperatur. Allerdings bildet sich
dieser Gleichgewichtszustand für das schwarze Auto
schneller heraus, da es während des Erwärmungsvorgangs pro Zeiteinheit mehr Strahlungsenergie aus der
Umgebung aufnimmt (Absorptionsgrad a = 1).
Die fachliche Begründung könnte man folgendermaßen geben: Vereinfachend betrachten wir das schwarze
Auto als schwarzen Körper, das weiße Auto als beliebigen Körper mit dem Emissionsgrad e. Die Temperatur
im Auto kann sich nicht mehr ändern, wenn die pro
Zeiteinheit vom erhitzten Auto emittierte Strahlung
gleich derjenigen Strahlung ist, die das Auto pro Zeiteinheit von seiner Umgebung erhält. Wir bezeichnen
die Temperatur des Autos mit TA und die Temperatur
der Umgebung mit TU. Dabei ist zu beachten, dass TU
nicht allein die Sonnentemperatur und auch nicht allein
die Lufttemperatur ist, sondern ein gemittelter Wert,
der sich aus der Oberflächentemperatur aller Körper in
der Umgebung des Autos, der Lufttemperatur und der
Sonnenstrahlungstemperatur zusammensetzt.
Das schwarze Auto strahlt mit der Strahlungsleistung
P = σ ∙ A ∙ TA 4
(1)
und empfängt aus der Umgebung die Strahlungsleistung
P = σ ∙ A ∙ TU 4
(2)
Thermodynamik
Unter der Annahme, dass die absorbierende Fläche
nur ein Viertel der abstrahlenden Fläche beträgt,
gilt:
Daraus folgt für den Gleichgewichtszustand
(1) = (2) : TA = TU.
Das weiße Auto emittiert als realer Körper mit dem
Emissionsgrad e:
P = e ∙ σ ∙ A ∙ TA
4
)
Pe = e ∙ Ae ∙ σ ∙ (TK 4 – TU 4
(3)
}}}}
√
84 W
TK = 4 }}}
+ (293 K)4
2
–8 W
Die Umgebung, die man immer als schwarzen Körper
ansehen darf, emittiert dem Auto folgende Strahlungsleistung zu:
P = A ∙ σ ∙ TU 4
0,7 ∙ 4 ∙ 0,15 m ∙ 5,67 ∙ 10
}
2
4
m ∙K
TK = 323 K
θK = 50 °C.
(4)
Allerdings absorbiert das Auto davon nur den Anteil a,
entsprechend dem Absorptionsgrad a seiner Oberfläche:
6.
416 984 Treibhauseffekt
a) b siehe LB S. 224, Abb.1
P = a ∙ A ∙ σ ∙ TU 4
(5)
Im Gleichgewicht gilt somit:
e ∙ A ∙ σ ∙ TA 4 = a ∙ A ∙ σ ∙ TU 4
Wegen des kirchhoffchen Strahlungsgesetzes ist aber
immer e = a und deshalb auch für das weiße Auto
TA = TU.
b) Vortrag zum Treibhauseffekt: Genutzt werden kann
auch die Darstellung im Lehrbuch, S. 224–225. Die
in der ersten Auflage des Lehrbuchs auf Seite 225 in
Abb. 3 dargestellte Gesamtbilanz ist schwierig zu interpretieren. Einfacher überschaubar ist die folgende
Darstellung:
100 %
5.
30 %
10 % 60 %
417 654 Sonnenstrahlung
P
a) 0,7 ∙ S = }
A
20 %
P = A ∙ 0,7 ∙ S
kW
P = 0,15 m2 ∙ 0,7 ∙ 0,8 }
2
m
P = 84 W = 84 }Js
50 %
b) Q = m ∙ c ∙ Δθ
Q
Δθ = }
m∙c
84 J
Δθ = }}
J
2 kg ∙ 4 190 }
kg ∙ K
Δθ = 0,01 K (Temperaturanstieg pro Sekunde)
K
θE = θA + 0,01 }
s∙t
K
θE = 20 °C + 0,01 }
∙ 3 ∙ 3 600s
s
θE = 128 °C
Diese Endtemperatur ist nicht möglich, da das Wasser vorher verdampfen würde. Dieses nummerische
Ergebnis kommt deshalb zustande, weil die Temperaturstrahlung des Wassers vernachlässigt wurde.
Hinweis: Nachfolgend wird eine Modellrechnung
angegeben, die mit den Schülern besprochen werden könnte. Es wird die Frage untersucht, welche
Temperatur sich mit Berücksichtigung der Temperaturstrahlung einstellen würde.
7.
417 444 Globale Erwärmung
a) Aktuelle Informationen findet man im Internet unter
solchen Suchwörtern wie „Globale Erwärmung“,
„Klimawandel“ oder „Treibhauseffekt“. Es sollte
auch darauf verwiesen werden, dass einige Thesen
zur globalen Erwärmung kontrovers diskutiert
werden und angegebene Temperaturwerte und
mögliche Auswirkungen einer globalen Erwärmung
Prognosen sind, die auf der Grundlage von Modellen
gewonnen wurden. Sie spiegeln unseren jetzigen
Erkenntnisstand wider.
b) Präsentation zur globalen Erwärmung
c) Diskussion zum Klimaschutz: Es ist sinnvoll, den Akzent darauf zu legen, welchen Beitrag jeder Einzelne
zum Klimaschutz leisten kann.
Pa = Pe = 84 W
207
208
(LB S. 228)
3.4
Elektrizitätslehre und
Magnetismus
6.
410 194 Spannungsteiler
a)
Der Gleichstrom – Grundlagen
(LB S. 235 – 237)
R1
b) Bei Reihenschaltung gilt:
410 294 Ohmsches Gesetz
1.
R2
R
U
1
1
=}
}
R
U
U
I=}
R
2
2
R
2
U2 = U1 · }
R
1
418 684 Länge eines Drahts
2.
100 Ω
U2 = 12 V · }
= 24 V
50 Ω
Für einen metallischen Leiter gilt das Widerstandsgesetz
c) z. B. zur Anpassung des Messbereichs eines
Messgeräts.
ρ·l
R=}
.
A
Dabei ist ρ der spezifische elektrische Widerstand des
Materials und beträgt für Kupfer 0,017 Ω · mm2 · m–1.
7.
R·A
l=}
ρ
419 364 Voltmeter
Vor das Messwerk wird ein Widerstand R geschaltet.
( )2
d
R·π }
2
l=}
ρ
R
2
72 Ω · π · (0,2 mm)
l = }}
2
–1
0,017 Ω · mm · m
l = 532 m
U
Der Widerstand muss so gewählt werden, dass 1 V am
Messwerk und 9 V am Widerstand abfallen.
410 024 Parallelschaltung
3.
Es gilt:
U = U1 = U2
und
8.
I = I1 + I2
Daraus folgt:
I
}
U
=
I1
}
U
+
I2
}
U
=
I1
}
U1
+
I2
;
}
U2
1
}
R
=
1
}
R1
+
Für die Berechnung des Gesamtwiderstands zwischen
den Punkten A und B zeichnet man das Schaltbild in
einer übersichtlicheren Form und vereinfacht es durch
Ersatzschaltungen, z. B.:
1
}
R2
3Ω
410 364 Reihenschaltung
4.
Es gilt U = U1 + U2
Daraus folgt:
U
}I
U
U
und
I = I1 = I2
A
U
U
1
2
410 124 Gesamtwiderstand
1
2
1
2
=}
+}
=}
+}
;
I
I
I
I
B
2Ω
R4
R = R1 + R2
1Ω
5.
1Ω
410 554 Zwei Widerstände
Gesamtwiderstand:
R=
R1 · R2
}
R1 + R2
=
50 Ω · 100 Ω
}
50 Ω
Gesamstromstärke:
U
12 V
I=}
=}
= 0,36 A
R
33 Ω
Teilstromstärke:
I1 = 0,24 A
= 33 Ω
I2 = 0,12 A
Die Spannung ist an den beiden Widerständen gleich
groß.
R2
1Ω
1Ω
R3
R1
R12 = }12 Ω
R123 = }32 Ω
209
210
(LB S. 235 – 237)
3Ω
Rges = R2 + R1/3
(3)
R ·R
A
R1
R2
B
R3
1 3
Rges = R2 + }
R +R
1
3
10 Ω · 30 Ω
Rges = 20 Ω + }
10 Ω + 30 Ω
Rges = 27,5 Ω
2Ω
R'2
Ω
3
}
2
1Ω
R ·R
R'3
R'1
R'12 = }67 Ω
Rges = R3 + R1/2
(4)
R1
R3
R2
5
}Ω
Rges = 1 34
R123 = 1 }67 Ω
1 2
Rges = R3 + }
R +R
1
Rges = 30 Ω +
2
10 Ω · 20 Ω
}
10 Ω + 20 Ω
Rges = 36,7 Ω
410 014 Spannungsmessung
9.
1
A
R3
U
1
1
1
1
1
Rges = 5,5 Ω
1
1
1
=R +}
}
R }
R
R1
A
R2
1
}
R
R3
R1
3
1
1
=}
R +R +}
R
R=
R2
1
11
1/2
U
3
ges
(6)
R3
1
2
=}
Ω–1
}
R
60
R3
oder
1
ges
R2
V
R1
ges
=}
+}
+}
}
R
10 Ω
20 Ω
30 Ω
R1
R2
1
=}
+}
+}
}
R
R
R
R
(5)
1
(
2
1
}
R1 + R2
3
)
1 –1
+}
R
3
(
)
1
R= }
+ 301Ω –1
10 Ω + 20 Ω }
V
R = 15 Ω
10.
410 174 Widerstände kombiniert
(
a) Mit den drei zur Verfügung stehenden Widerständen
lassen sich verschiedene Gesamtwiderstände realisieren.
R1
R1
R2
R3
3
2
(
)
1
R= }
+ 201Ω –1
10 Ω + 30 Ω }
R = 13,3 Ω
Rges = 10 Ω + 20 Ω + 30 Ω
(
)
1
1 –1
R= }
+}
R +R
R
(8)
R2
Rges = 60 Ω
R3
2
(
3
1
)
1
R= }
+ 101Ω –1
20 Ω + 30 Ω }
R = 8,3 Ω
R1
Rges = R1 + R2/3
(2)
R3
1
R2
Rges = R1 + R2 + R3
(1)
)
1
1 –1
R= }
+}
R +R
R
(7)
R ·R
R1
R2
R3
2 3
Rges = R1 + }
R +R
2
Rges = 10 Ω +
Rges = 22 Ω
3
20 Ω · 30 Ω
}
20 Ω + 30 Ω
b) Die Stromstärke besitzt an jedem Punkt der Reihenschaltung den gleichen Betrag. Für ihn gilt:
U
I=}
R
ges
I=
100 V
}
60 Ω
= 1,67 A
Folgende Teilspannungen fallen an der Widerständen ab: Ui = Ri · I
U1 = 10 Ω · 1,67 A = 16,7 V
13.
U2 = 20 Ω · 1,67 A = 33,4 V
a) Es gilt:
410 424 Potenziometerschaltung
U
I=}
R +R
1
und UL = R2 · I
2
U
U3 = 30 Ω · 1,67 A = 50,1 V
R2
c) Sind die Widerstände parallel geschaltet, so fällt an
jedem die Spannung U ab. Für die Teilströme gilt
dann:
Ii =
U
}
Ri
I1 =
100 V
}
10 Ω
UL
Eliminieren der Stromstärke liefert die Beziehung
für die Spannung UL, im Falle eines unbelasteten
Potenziometers:
= 10 A
100 V
I2 = }
=5A
20 Ω
I3 =
100 V
}
30 Ω
R1
R
2
UL = U · }
R +R
1
= 3,3 A
d) Reihenschaltung
2
b)
U
R2
Parallelschaltung
P = (U1 + U2 + U3) · I
P = (I1 + I2 + I3) · U
P = 100 V · 1,67 A
P = 18,3 A · 100 V
P = 167 W
P = 1 830 W
R1
RL,UL
Da R2 und RL parallel geschaltet sind, errechnet sich
ihr Gesamtwiderstand R2L zu:
410 324 Passende Widerstände bilden
11.
R ·R
2 L
R2L = }
R +R
2
10 Ω
5Ω
10 Ω
35 Ω
R
50 Ω
10 Ω
2L
UL = U · }
R +R
1
50 Ω
105 Ω
50 Ω
L
Ersetzen des Widerstandes R2 in der Gleichung für
den unbelasteten Fall durch den Widerstand
R2L liefert die gesuchte Abhängigkeit.
R ·R
2 L
UL = U · }}
R ·R
(
)
2 L
(R2 + RL) · R1 + }
R +R
10 Ω
50 Ω
2L
2
L
R2
UL = U · }}
R ·R
10 Ω
1 2
R1 + R2 + }
R
L
12.
c) Mit
418 384 Anschlussmöglichkeiten
R = R1 + R2 folgt:
R
Zur Inbetriebnahme der Lampe kann entweder ein
Transformator oder ein Vorwiderstand verwendet
werden.
Beim Transformator muss das Verhältnis der Windungszahlen dem Verhältnis der Spannungen entsprechen.
UR
2
UL = U · }
(R – R ) · R
2
2
R+}
R
L
Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte ergibt die
Gleichungen der darzustellenden Graphen.
U
R
U0
Bei Verwendung eines Vorwiderstands gilt:
U –U
0
R=}
I
P
und mit I = }
:
U
U
R = (U0 – U ) · }
P
Für den gegebenen Fall erhält man:
12 V
R = (230 V – 12 V ) · }
= 52 Ω
50 W
211
212
(LB S. 235 – 237)
UL in V
30,0
15.
UL (RL = 25 Ω)
P
60 W
I=}
=}
= 5,0 A
U
12 V
a) Halogenlampe H 4:
UL (RL = 110 Ω)
25,0
410 234 Autoscheinwerfer
35 W
I=}
= 2,9 A
12 V
Xenonlampe:
UL (RL A∞)
50 W
I=}
= 2,1 A
24 V
U
15.0
Energiesparlampe:
20 W
I=}
= 0,09 A
230 V
Glühlampe:
100 W
I=}
= 0,44 A
230 V
10.0
Die Stromstärke ist bei Pkw-Lampen erheblich größer
als bei Energiesparlampen (oder Glühlampen) im
Haushalt.
5.0
0,0
0
20
40
60
80
R
R2 in Ω
b) Für die Pkw-Lampen ergibt sich folgende Lichtausbeute (Lichtstrom/Watt):
Halogenlampe:
R
2
UL (RL = 110 Ω) = 20 V · }}
(100 Ω – R ) · R
2
2
100 Ω + }}
110 Ω
R2
lm
Xenonlampe: 80 –100 }
W
UL (RL = 25 Ω) = 20 V · }}
(100 Ω – R ) · R
UL (RL ⇒ ∞) = 20
2
2
100 Ω + }}
25 Ω
R2
V·}
100 Ω
Das bedeutet für die drei Lampen:
60 W:
900 –1 200 lm
35 W:
2 800 – 3 500 lm
50 W:
4 000 – 5 000 lm
d) Die Kurve UL geht unabhängig von dem Widerstand
RL durch die Punkte (0/0) und (R/U). Bei unbelastetem
Potenziometer (RL → ∞) ergibt sich eine Gerade, die
bei Belastung umso mehr „durchhängt“, je kleiner
der Widerstand RL ist, d. h. je mehr das Potenziometer vom Verbraucher belastet wird.
14.
U
I=}
R +R
1
2
A
und
16.
410 214 Wasserkocher
a) P = U · I
P
I=}
U
800 W
= 3,5 W
I=}
230 V
410 484 Schaltkreis
Es gilt:
lm
15 –20 }
W
b) Die erforderliche Energie kann mithilfe der Leistungsdefinition berechnet werden.
UL = R2 · I
P = }Et
A
t = }EP
c · m · ΔT
t=}
P
J · 0,5 kg ·57 K
4,19 · 103 }
kg · K
t = }}
800 W
t = 2,5 min
B
Die Punkte A und B sind leitend (Widerstand 0 Ω)
miteinander verbunden, daher beträgt die Spannung
zwischen ihnen 0 V. Folglich sind die Spannungen an
den 25-Ω-, 4-Ω- und 10-Ω-Widerständen alle null. Die
Spannung von 12 V liegt am 100-Ω-Widerstand an.
U
I=}
= 0,12 A
R
Die Stromstärke durch den 25-Ω-Widerstand ist 0 A.
c · m · ΔT
c) t ‚ = }
P‚
t‚ =
(P ‚ = 0,8 P)
t
}
0,8
2,5 min
t‚ = }
0,8
t ‚ = 3,1 min
Durch die Heizspirale fließt ein Strom von ca. 3,5 A.
Sieht man von Energieverlusten ab, so erreicht das
Wasser nach etwa 2,5 min die Temperatur θ2. Liegt
der durchschnittliche Wirkungsgrad η = 0,8 vor, so
dauert der Erwärmungsvorgang ungefähr 3,1 min.
17.
410 104 Verzweigter Stromkreis
414 804 Innenwiderstand
20.
Spannungsquelle
Es gilt P = U · I.
Da U = konst = in beiden Verzweigungsarmen gleich,
teilt sich E proportional zu I auf.
– +
Ri
Ui
18.
410 284 Bedeutung der Stromversorgung
a) Argumente, die für diese Aussage sprechen, sind
z. B.:
− Fast alle Haushaltsgeräte werden mit elektrischer
Energie betrieben.
− Moderne Elektronik, die heute in allen Bereichen
des täglichen Lebens, der Technik und der Industrie umfangreich genutzt wird, funktioniert nur
mit elektrischer Energie.
− Elektrische Energie kann aus verschiedenen
Energieformen gewonnen und leicht in viele
Energieformen umgewandelt werden.
− Elektrische Energie lässt sich gut über größere
Entfernungen transportieren und verteilen.
Gegenargumente sind:
− Die starke Abhängigkeit von elektrischer Energie
kann bei Ausfall der Energiezufuhr zu erheblichen
Komplikationen bis hin zu Katastrophen führen.
− Der größte Anteil der im Haushalt genutzten
Energie wird für die Heizung verwendet. Hier sind
Öl und Gas die entscheidenden Energieträger. Der
zweitgrößte Anteil betrifft den Kraftfahrzeugverkehr. Hier sind Benzin und Diesel die entscheidenden Energieträger.
UK
Subtrahieren der am Innenwiderstand Ri abfallenden
Spannung Ui von der Leerlaufspannung U0 ergibt die
Klemmspannung Uk.
Uk = U0 – Ri · I
Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte führt auf ein
eindeutig lösbares Gleichungssystem:
I)
c) Präsentation:
Hier können die Schüler ihrer Fantasie freien Lauf
lassen. Es sollte deutlich werden, was alles ohne
Strom nicht funktioniert und wie abhängig wir von
dieser Energieform sind.
Der innere Widerstand Ri der Spannungsquelle errechnet sich zu 23 Ω, die Leerlaufspannung U0 beträgt ca.
24,9 V.
410 444 Lebensgefahr
21.
a) Der Widerstand zwischen beiden Händen beträgt
1 200 Ω. Mit dem Grenzwert von 20 mA = 0,020 A
erhält man:
U = I·R
U = 0,020 A · 1 200 Ω = 24 V
Bei 25 V bleibt man in der Regel weit unter dem
Grenzwert, da an den Händen noch ein Übergangswiderstand besteht, der aber bei feuchten Händen
sehr klein sein kann.
b) Bei Netzspannung (U = 230 V) und einem Widerstand
von 1 200 Ω ergibt sich für die Stromstärke:
U
I=}
R
410 344 Alltagssprachliche Bedeutung
Beispiele für Formulierungen aus der Umgangssprache
sind neben dem in der Aufgabe genannten Beispiel:
− Er ist geladen.
− Er hat einen geladen.
− Sie führt eine spannungsreiche Diskussion.
− Sie steht unter Hochspannung.
− Er setzt dieser Position Widerstand entgegen.
24,6 V = U0 – 12 mA · Ri
II) 24,3 V = U0 – 25 mA · Ri
b) Erkundungsaufgabe: Im Internet sind z. B. unter dem
Suchwort „Stromausfall“ Beispiele zu finden.
19.
Ui
230 V
I=}
1 200 Ω
I = 0,19 A = 190 mA
Dieser Wert liegt weit über dem Grenzwert und
kann insbesondere durch die Beeinflussung der Herztätigkeit lebensgefährlich sein.
Q
c) I = }
t
–3
0,01 · 10 As
I=}
0,1 s
I = 0,1 mA
Diese Stromstärke ist ungefährlich. Sie liegt weit
unter dem Grenzwert von 20 mA.
213
214
(LB S. 235 – 237)
d) Die Gefahr besteht vor allem darin, dass es durch
den (ungefährlichen) elektrischen Schlag zu einer
Schreckreaktion kommt und man sich dadurch erheblich verletzen kann.
22.
410 474 Akkumulatoren
a) Angegeben sind maximale Spannung und gespeicherte Ladung. Die Angabe 70 Ah bedeutet, dass
die Autobatterie 70 h lang eine Stromstärke von 1 A
hervorrufen kann. Die Spannung zwischen den Polen
beträgt 12 V.
Der abgebildete Nickel-Metall-Hybrid-Akkumulator
kann bei 1,2 V über eine Zeit von 1 800 Stunden eine
Stromstärke von 1 mA liefern.
b) Wir gehen davon aus, dass die Batterie beim Abstellen des Pkw voll geladen ist und die Kenndaten
12 V/70 Ah hat. Es leuchten insgesamt vier Glühlampen mit den Kenndaten 12 V/5 W. Sie leuchten
insgesamt 9,5 Stunden.
Durch eine Glühlampe fließt bei U = konstant = 12 V
eine Stromstärke von:
P
5W
I=}
=}
= 0,42 A
U
12 V
I=
= 1,67 A
In 9,5 Stunden beträgt demzufolge die abgeflossene
Ladung:
420 164 Akku eines Handys
E
Aus E = U · I · t folgt: I = }
U·t
Zu ergänzen sind innerhalb von 30 min = 30 · 60 s die
fehlenden 90 % der maximal möglichen Energie von
5,6 Wh oder 5,6 · 3 600 Ws:
5,6 · 3 600 Ws 9
I = }}
· 10
3,7 V · 30 · 60 s }
I = 2,7 A
24.
424 914 Knotensatz
Die Summe der zufließenden Ströme ist gleich der
Summe der abfließenden Ströme:
I1 + I2 = I3 + I4 + I5
25.
410 394 Maschensatz
U1 + U2 + U3 = 0
26.
Da die Glühlampen parallel geschaltet sind, fließt
eine Gesamtstromstärke von:
5W
4·}
12 V
23.
419 824 Eine Ersatzschaltung
a) Die Ersatzschaltung sollte schrittweise entwickelt
werden:
R1
Q = I·t
R2
R3
Q = 1,67 · 9,5 h = 15,9 Ah ≈ 16 Ah.
30 % der Batteriekapazität sind 21 Ah, vorhanden
sind demzufolge noch 70 Ah – 16 Ah = 54 Ah. Ein
Kaltstart müsste sicher möglich sein.
R1,R2,R3
c) Durch eine Glühlampe fließt eine Ladung von:
P
Q=}
·t
U
b) Für R2 erhält man:
1
5W
Q=}
· 9,5 h ~ 4,0 Ah
12 V
1 e = 1,6 · 10
As
N · e = 4,0 · 3 600 As
Daraus folgt:
N=
9 · 1022
1
1
2
Die Anzahl der Elektronen ergibt sich über einen
einfachen Ansatz:
–19
1
=}
+ }
+ }
}
R
R
R
R
R
R2 = }
3
Der Gesamtwiderstand beträgt somit:
R
Rgesamt = R + }
+ R = }73 R
3
Rgesamt = }73 ∙ 25 Ω = 46,7 Ω
c) Die Stromstärke durch R1 und R2 ist gleich groß.
Durch den einzelnen Widerstand bei R2 fließt demzufolge jeweils ein Drittel der Stromstärke.
U
d) Für die Stromstärke gilt: I = }
R
12 V
I=}
= 0,26 A
46,7 Ω
27.
410 544 Wasserkraftwerke
a) Lageenergie des Wassers, Bewegungsenergie des
Wassers. Bewegungsenergie der Rotoren im Generator, elektrische Energie.
b) 84 m3 haben eine Gewichtskraft von 840 000 N und
eine Lageenergie von 168 MJ.
Bei einer Abgabe von 124 MW ergibt sich ein Wir124
kungsgrad von }
= 74 %
168
28.
410 064 Energiesparen
Heizung:
sinnvolles Lüften, geringe Zimmertemperatur ...
Beleuchtung:
Energiesparlampen einsetzen, nicht unnötig Licht brennen lassen, Beleuchtung der Situation anpassen, ...
2.
a) Dargestellt ist der Zusammenhang zwischen der
angelegten Spannung U und der dann fließenden
Stromstärke I. Je größer die Spannung ist, desto größer ist auch die Stromstärke. Es besteht aber keine
direkte Proportionalität.
Bei gleichmäßiger Zunahme der Spannung wächst
die Stromstärke überproportional.
b) Der Widerstand in einem Punkt ergibt sich aus dem
Anstieg der Tangente in diesem Punkt. Aus Spannungsänderung und Stromstärkeänderung erhält
man:
bei 15 V: 580 Ω
bei 30 V: 380 Ω
Das bedeutet: Mit zunehmender Spannung verringert sich der Widerstand.
Hinweis: Berechnet man den Widerstand aus Spannung und Stromstärke, dann erhält man
15 V
bei 15 V: R = }
= 750 Ω
20 mA
Kühlschrank:
entsprechend der Temperaturzonen bestücken, Tür nur
selten und kurz öffnen, im Winter Balkon als Kühlschrank nutzen, ...
Elektrische Leitungsvorgänge
(LB S. 261 – 263)
30 V
bei 30 V: R = }
= 600 Ω
50 mA
c) Nein. Bei einem metallischen Leiter vergrößert sich
der Widerstand mit der Temperatur, die sich ihrerseits mit der Stromstärke vergrößert.
3.
1.
418 494 Verschiedene Modelle
a) Teilchenmodell: In einem metallischen Leiter befinden sich Metallionen und freie Elektronen. Diese
bewegen sich aufgrund der Temperatur regellos.
Bändermodell: Das Bändermodell charakterisiert die
Energiezustände von Elektronen in einem Metall. Infolge der Wechselwirkungen zwischen den Atomen
sind die energetischen Zustände von Elektronen
nicht durch diskrete Werte, sondern durch Energiebereiche (Bänder) gekennzeichnet.
417 744 Unbekanntes Bauelement
418 764 Metallfadenlampe
Im Diagramm ist der Zusammenhang zwischen Spannung und Stromstärke dargestellt.
Je größer die Spannung ist, desto größer ist die Stromstärke. Mit zunehmender Spannung wird der Anstieg
der Stromstärke immer geringer.
Zwischen Spannung und Widerstand besteht folgender
prinzipielle Zusammenhang:
R
b) Teilchenmodell: Liegt an einem Leiter keine Spannung an, so bewegen sich die freien Ladungsträger
regellos. Nach Anlegen einer Spannung bewegen
sich die ungebundenen Elektronen in eine Vorzugsrichtung, es fließt ein elektrischer Strom. Behindert
wird diese gerichtete Bewegung durch Zusammenstöße der freien Ladungsträger mit den Metallionen.
Bändermodell: Bei Metallen überschneiden sich ab
einer bestimmten Höhe die Potenzialtrichter, weshalb manche Energiebänder durchgehend werden.
Befindet sich eine Ladung in einem solchen Band,
dem Leitungsband, dann ist sie nicht an einen Gitterpunkt gebunden, sondern kann sich durch das gesamte Metallgitter bewegen. Es fließt beim Anlegen
einer Spannung ein Strom.
U
215
216
4.
(LB S. 261 – 263)
Feldes zur Katode, die negativ geladenen Cl–-Ionen
(Anionen) gelangen zur Anode. Somit fließt durch
die Flüssigkeit ein elektrischer Strom.
Der entscheidende Unterschied zur Leitung in Metallen ist, dass bei der Flüssigkeitsleitung nicht nur
Elementarladungen, sondern auch Stoff transportiert
wird.
418 174 Widerstandsthermometer
a)
A
U
Messwiderstand
b) Wirkungsweise: Unterschiedliche Temperatur am
Messfühler (Messwiderstand) bewirkt unterschiedlichen elektrischen Widerstand des Messwiderstands
und damit unterschiedliche elektrische Stromstärke
(U = konstant). Wird eine Eichung des Strommessers
vorgenommen, zeigt er direkt die Temperatur an.
c) Bei einem Heißleiter nimmt bei U = konstant die
Stromstärke mit der Temperatur zu, bei einem Kaltleiter nimmt sie ab. Damit sind grundsätzlich beide
Bauelemente als Sensoren geeignet. Vorzuziehen ist
aber ein Kaltleiter, weil bei den meisten Kaltleitern
ein Bereich existiert, in dem sich die Stromstärke
gleichmäßig mit der Temperatur ändert.
5.
416 694 Supraleiter
Vortrag zu Supraleiter: Es sollte auch oft wichtige Entwicklungsetappen eingegangen werden, etwa
− auf die Entdeckung der Supraleitung durch den
niederländischen Physiker HEIKE KAMERLINGH ONNES bei
Quecksilber im Jahr 1911,
− auf die Entdeckung der Hochtemperatur-Supraleitung durch G. BEDNORZ und K. A. MÜLLER (1986).
Als Anwendungen bieten sich an:
− supraleitende Kabel,
− Magnete in Teilchenbeschleunigern (LHC Genf) oder
in der Medizin (bei Computertomografen).
6.
418 074 Leitung in Flüssigkeiten
a) Für die gesuchten Dissoziationen gelten die folgenden Reaktionsgleichungen:
NaCl g Na+ + Cl–
H2SO4 g 2 H+ + SO42–
HNO3 g H+ + NO3–
CuSO4 g Cu2+ + SO42–
MgCl2 g
Mg2+
+2
c) Genutzt werden die Leitungsvorgänge in Flüssigkeiten z. B. bei der Verkupferung von Metallen, bei der
Elektrolackierung oder auch bei der Metallgewinnung.
Eine Möglichkeit, um metallische Körper zu galvanisieren, also mit einer dünnen Metallschicht zu
überziehen, stellt die Verkupferung dar. In Wasser
gelöstes Kupfersulfat (CuSO4) dissoziiert in Cu2+- und
SO2–
-Ionen. Der zu verkupfernde, in die Lösung ge4
tauchte Gegenstand wird an die Katode einer Spannungsquelle angeschlossen, worauf die Kupferionen
von ihm angezogen werden. Die Schmelzflusselektrolyse ist ein besonderes Verfahren der Metallgewinnung, das ebenfalls auf der Leitung in Flüssigkeiten beruht. Bei der Elektrolackierung lagern sich die
negativ geladenen Wasser-Lack-Teilchen an der auf
positivem Potenzial liegenden Karosserie ab.
Unerwünscht sind die Leitungsvorgänge in Flüssigkeiten z. B. bei nass gewordenen Elektrogeräten oder
Zuleitungen. Die elektrische Leitung im Wasser kann
einen Kurzschluss hervorrufen oder im schlimmsten
Fall sogar tödlich sein. Dies ist der Fall, wenn der
Strom beim Anfassen des Geräts oder des Kabels
nicht über den Nullleiter, sondern über den menschlichen Körper abfließt.
7.
419 274 Leitende Luft
Damit Luft leitend wird, muss eine Ionisierung der Luft
erfolgen. Das kann in unterschiedlicher Weise geschehen:
− Die Luft wird stark erhitzt.
− Die Luft wird durch Strahlung ionisiert.
− Es liegt zwischen zwei Körpern eine solch hohe Spannung an, das die Luft zwischen ihnen durch elektrische Vorgänge ionisiert wird.
Letzteres ist z. B. bei Funkenüberschlägen oder
Blitzen der Fall. Durch Vorentladungen bildet sich
infolge Stoßionisation ein Blitzkanal aus, durch den
die Hauptentladung erfolgt.
418 474 Energiesparlampen
8.
Kurzvortrag zu Aufbau und Wirkungsweise: Energiesparlampen sind Leuchtstofflampen. Der Aufbau kann
anhand einer Skizze beschrieben werden.
Cl–
b) Beim Lösen des Kochsalzes dissoziieren die NaClMoleküle zu Na+- und Cl–-Ionen. Legt man an den so
entstehenden Elektrolyten eine elektrische Spannung an, dann wandern die positiv geladenen Na+Ionen (Kationen) unter der Wirkung des elektrischen
b)
230 V
Drosselspule
Lichtschalter
S1
S2
L1
L2
zu
auf
X
–
auf
zu
–
X
zu
zu
X
X
c) Experiment
Starter
Bei der Wirkungsweise sollte insbesondere auf die Rolle
des Leuchtstoffs, mit dem die Lampen innen beschichtet
sind, eingegangen werden. Durch diesen Leuchtstoff
wird ein Großteil der in der Röhre entstehenden ultravioletten Strahlung in sichtbares Licht umgewandelt.
Gleichzeitig wird durch ihn die Farbe des Lichts bestimmt.
9.
415 614 Metalle und Halbleiter
Gemeinsamkeiten: Wird eine Spannung angelegt, so
bewegen sich sowohl im Drahtwiderstand als auch im
Halbleiter Ladungen gerichtet durch einen Leiterquerschnitt.
Unterschiede: Bei einem Drahtwiderstand sind die
Ladungsträger Elektronen, bei einem Halbleiter Elektronen oder Löcher.
415 124 Gleichrichterschaltung
12.
Jede Gleichrichterschaltung besitzt den gleichen grundsätzlichen Aufbau. An der Primärseite eines Transformators liegt eine Wechselspannung an, die nach Passieren
der Gleichrichtereinheit als Gleichspannung abgegriffen
werden kann.
Je nachdem, ob die gleichrichterseitige Wicklung der
Transformatoreinheit in eine oder in zwei Richtungen
vom Strom durchflossen wird, spricht man von einer
Einweg- oder einer Zweiweggleichrichterschaltung.
a) Die Einweg-Einpuls-Gleichrichterschaltung stellt den
einfachsten Einweggleichrichter dar. Im Sekundärkreis der Transformatoreinheit sind ein Lastwiderstand RL und eine Diode in Reihe geschaltet.
+
230 V ~
10.
a) Bei Temperaturerhöhung vergrößert sich der Widerstand des Drahtwiderstands, der des Heißleiters
verringert sich.
b) Da sich beide Widerstände zum Gesamtwiderstand
addieren, können je nach der Stärke der Widerstandsänderung folgende drei Fälle auftreten:
− Gesamtwiderstand wird größer (Einfluss des
Drahtwiderstands überwiegt).
− Gesamtwiderstand bleibt gleich (Einfluss beider
Widerstände heben sich auf).
− Gesamtwiderstand wird kleiner (Einfluss des Heißleiters überwiegt)
11.
a)
RL
418 614 Heißleiter
–
Da diese eine Durchlass- und eine Sperrrichtung
besitzt, kann nur eine Hälfte des ursprünglichen
Wechselstroms die Gleichrichtereinheit durchfließen.
Am Widerstand RL fällt dadurch eine pulsierende
Gleichspannung ab.
b) Die Weit verbreitetste Zweiweggleichrichterschaltung ist die nach ihrem Erfinder benannte GraetzSchaltung. Ihre Gleichrichtereinheit ist aus vier
Dioden aufgebaut, die so angeordnet sind, dass
unabhängig von der Polung der gleichrichterseitigen
Spule der Lastwiderstand stets in gleicher Richtung
vom Strom durchflossen wird.
A
419 654 Schaltung mit Dioden
S1
S2
L1
F
L2
zu
auf
–
X
auf
zu
–
X
zu
zu
–
X
+
–
E
230 V ~
D
RL
B
C
Liegt der Punkt A bei der ersten Halbschwingung der
Wechselspannung auf positivem Potenzial, so fließt
der Strom über D, E, C nach B. Ist bei der zweiten
217
218
(LB S. 261 – 263)
Halbschwingung B positiv, so fließt der Strom über
D, E, F nach A. Zu der am Widerstand abfallenden
Gleichspannung tragen dadurch beide Halbschwingungen der Wechselspannung bei.
13.
418 214 Eine Konstantspannungsquelle
a) Der Grund für den konstanten Spannungsabfall geht
aus dem typischen Verlauf der Kennlinie einer Diode
hervor. Da das Diffusionsfeld dem äußeren Feld entgegenwirkt, fließt bis zum Erreichen der Schwellenspannung Us auch in Durchlassrichtung kein Strom.
Nach Überschreiten der Spannung Us überwiegt
das äußere Feld, infolgedessen die Ladungsträger
nahezu ungehindert den pn-Übergang passieren. Daher verläuft die Kennlinie sehr steil und somit liegt
trotz unterschiedlicher Belastung nahezu der gleiche
Spannungsabfall vor.
Für eine Siliciumdiode beträgt die Schwellenspannung 0,7 V, die an zwei in Reihe geschalteten Siliciumdioden abfallende Spannung somit 1,4 V.
b) Bei Verwendung von Dioden unterschiedlicher
Schwellenspannung können sehr verschiedene
Spannungswerte erreicht werden. So stellt z. B.
die Hintereinanderschaltung einer Siliciumdiode
(Us = 0,7 V) mit einer Germaniumdiode (Us = 0,35 V)
eine Konstantspannungsquelle von 1,05 V dar.
16.
Bei intaktem Aluminiumstreifen ist die Basis-EmitterSpannung sehr gering, der gesamte Strom fließt an der
Lampe bzw. der Klingel vorbei.
Wird der Sicherungsstreifen beschädigt, dann nimmt
die Potenzialdifferenz zwischen Emitter und Basis zu.
Die Folge ist ein Basisstrom, der den Kollektorstrom und
dadurch die Alarmanlage einschaltet.
17.
419 384 Automatische Steuerung
Wird der Fotowiderstand beleuchtet, dann ist sein elektrischer Widerstand sehr gering und der gesamte Strom
fließt am Transistor vorbei (rote Linie).
Behindert z. B. eine Person die Lichtausbreitung zum
Fotowiderstand, dann nimmt der elektrische Widerstand und damit auch die Potenzialdifferenz zwischen
Basis und Emitter zu. Die Folge ist ein Basisstrom, der
den Kollektorstrom und so den Motor einschaltet. Der
Vorwiderstand RV schützt die Basis vor zu großen Stromstärken.
15.
417 234 Transistor als Schalter
a) Ein Schalter ist durch die Zustände „Ein“ und „Aus“
gekennzeichnet. Diese Zustände können beim
Transistor durch Veränderung der Basis-Emitter-Spannung erreicht werden:
UBE < 0,7 V: Es fließt kein Kollektorstrom.
UBE > 0,7 V: Es fließt ein Kollektorstrom.
b) Transistoren schalten kontaktfrei, benötigen geringe
Steuerspannungen, ermöglichen eine hohe Schaltgeschwindigkeit. Mit einer einfachen Transistorschaltung ist es allerdings nicht möglich, einen Stromkreis
zu schalten, in dem große Stromstärken fließen.
414 684 Ein Mikrofonverstärker
An der Basis eines npn-Transistors ist ein Mikrofon, am
Kollektor ein Lautsprecher angeschlossen. Die an der
Basis und dem Emitter anliegende Spannung wird durch
die beiden Widerstände bestimmt und kann am Regelwiderstand R1 variiert werden.
Die Basis-Emitter-Spannung wird so eingestellt, dass ein
mittlerer Kollektorstrom fließt. Die Membran des Lautsprechers befindet sich zunächst in Ruhe. Fällt nun Schall
auf das Mikrofon, so ändert sich dessen elektrischer
Widerstand und dadurch die Basisstromstärke. Da eine
kleine Änderung des Basisstroms eine große Änderung
der Kollektorstromstärke bewirkt, wird das ursprüngliche akustische Signal durch den Transistor verstärkt
und am Lautsprecher wieder in Schall umgewandelt.
18.
14.
418 144 Eine spezielle Sicherung
419 354 Solarzellen
a) Kurzvortrag zu Aufbau und Wirkungsweise einer
Solarzelle: Es sollte herausgearbeitet werden, dass
eine Solarzelle eine großflächige Ausführung einer
Fotodiode ist. Bei Lichteinfall entsteht zwischen pund n-Schicht eine Spannung.
b) Der Wirkungsgrad von Solarzellen auf Silicium-Basis
liegt bei etwa 15 %. Er verringert sich mit Verunreinigung der Oberfläche und hängt auch vom Einstrahlwinkel ab.
c) Vorteile: Mit der Sonnenstrahlung wird erneuerbare
Energie genutzt.
Nachteile: Die gewonnene Elektroenergie ist abhängig von der Sonneneinstrahlung. Nachts wird keine
Elektroenergie gewonnen.
d) Die Solarzellen sind mit Akkumulatoren gekoppelt.
Durch diese Akkumulatoren wird der Betrieb der
Geräte auch dann gewährleistet, wenn in den Zellen
keine Elektroenergie gewonnen wird.
19.
419 174 Leuchtdioden
Vortrag zu Leuchtdioden
20.
einer entgegengesetzten Aufladung von Kamm und
Haar und dadurch zur beschriebenen Anziehung.
Verbundene Effekte:
− Ladungstrennung durch Influenz
− Ladungstrennung durch Kontakt und Reibung
− Ladungstrennung durch dielektrische Polarisation
(Ladungsverschiebung bei Nichtmetallen)
− Ladungstrennung durch Dissoziation
− Ladungstrennung durch elektrochemische Vorgänge
− Ladungstrennung durch elektromagnetische
Induktion
417 044 Lichterketten
Zu jeder Lampe wird ein Heißleiter parallel geschaltet.
Ist die Lampe in Ordnung, so fließt aufgrund des großen
Widerstands durch den Heißleiter nur ein kleiner Strom.
Ist die Lampe kaputt, fließt durch den Heißleiter ein
größerer Strom. Sein Widerstand wird damit deutlich
kleiner.
21.
418 624 Integrierter Schaltkreis
Referat zur Entwicklung der Halbleiterelektronik.
Informationen dazu sind im Internet zu finden.
2.
Elektrische Felder (LB S. 294 – 297)
1.
411 504 Ladungstrennung
Beispiele für Ladungstrennung
− Eine Ladungstrennung erfolgt z. B. innerhalb einer
Gewitterwolke. Der zugrundeliegende Mechanismus
ist bis heute zwar noch nicht vollständig verstanden,
man geht jedoch davon aus, dass das Zusammenspiel
unterschiedlicher Vorgänge die Ursache der Ladungstrennung darstellt.
− Aufgrund der einfallenden UV-Strahlung, der radioaktiven sowie der kosmischen Strahlung erfolgt eine
teilweise Ionisation der Luftmoleküle in der oberen
Atmosphäre. Es entsteht so eine leitende Schicht,
welche in einer Höhe von 60 km beginnt, positiv
geladen ist und Ionosphäre genannt wird. Infolge
der Influenz trägt die Erdoberfläche eine negative
Ladung.
− Eine Ladungstrennung kann z. B. mit einem Bandgenerator erreicht werden. Das Funktionsprinzip
beruht auf der Reibungselektrizität, die auf seiner
großen Kugel eine positive Ladung hervorruft.
− Bei galvanischen Elementen erfolgt durch elektrochemische Vorgänge an den Elektroden eine
Ladungstrennung. Auf diesem Prinzip beruht die
Wirkungsweise von Monozellen, von Batterien und
auch von Brennstoffzellen.
− Häufig bekommt man beim Anfassen der Autotür
einen elektrischen Schlag. Der Grund dafür ist die Ladungstrennung infolge des Kontakts und insbesondere der Reibung zwischen Kleidung und Autositz.
− Beim Kämmen der Haare werden diese manchmal
vom Kamm angezogen. Auch diese Beobachtung
geht auf die Reibungselektrizität zurück. Sie führt zu
418 844 Eine haarige Sache
a) Mit der stark aufgeladenen Kugel besteht durch das
Anfassen eine leitende Verbindung. Damit lädt sich
auch der gesamte menschliche Körper einschließlich
der Haare auf. Die abstoßenden Kräfte zwischen
gleichnamigen Ladungen führen zu dem abgebildeten Effekt.
b) Es sollten 20 mA nicht überschritten werden. Das ist
selbst bei starker Aufladung wegen der insgesamt
kleinen Ladung gewährleistet.
3.
410 224 Das Feldlinienbild
Ein elektrisches Feld existiert in der Wirklichkeit. Ein
Feldlinienbild ist ein Modell des real existierenden Felds.
4.
411 474 Das Feld geladener Kugeln
a) Zwischen gleichnamig geladenen Kugeln wirken abstoßende Kräfte, zwischen ungleichnamig geladenen
Kugeln anziehende Kräfte.
b) Eine Deutung könnte so erfolgen, dass man sich die
Feldlinien wie eine Art Gummischnüre vorstellt (faradaysche Vorstellung).
5.
410 434 Das Feld einer Nadelspitze
a) Die Skizze zeigt das Feldlinienbild zwischen einer
positiv geladenen leitenden Spitze und einer negativ
geladenen leitenden Platte.
Eine positive Probeladung erfährt eine Kraft tangential zu den Feldlinien. Die Feldlinien treten senkrecht
in die Oberflächen von Nadel und Platte ein.
b) Aus dem unterschiedlichen Abstand der Feldlinien
ergibt sich: Das Feld ist in der Nähe der Spitze am
stärksten und auch stärker als in der Nähe der Platte.
219
220
6.
(LB S. 294 – 297)
412 564 Grieskörnchen
Hinweis: Nachfolgend ist eine bestimmte Ladungsverteilung angenommen. Bei Veränderung der Art der
Ladung ändert sich lediglich die Richtung der Feldlinien.
–
a)
+
Es liegt ein radialsymmetrisches Feld vor. Das Feld ist
inhomogen.
+
+
+
b)
+
_
+
_
+
–
c)
+
–
d)
+
7.
+
Zwischen den Platten ist das
Feld weitgehend homogen,
in den beiden Randbereichen inhomogen.
Um die beiden ungleichnamig geladenen Platten
(Kugeln) besteht ein inhomogenes Feld.
Um die beiden gleichnamig
geladenen Platten (Kugeln)
besteht ein inhomogenes
Feld.
418 594 Feldlinienbilder
9.
411 634 Das Feld an der Oberfläche
Die Richtung einer Feldlinie ist
F
immer gleich der Richtung, in
die im Feld eine Kraft auf eine
Ladung wirkt.
Würde eine Feldlinie nicht
Feldlinie
–
senkrecht zur Leiteroberfläche
stehen (b Skizze), dann würde
das bedeuten: Auf die LadungsOberfläche
träger in der Leiteroberfläche
würde eine Kraft F wirken.
Da die Ladungsträger auf der
Leiteroberfläche beweglich sind, würde die senkrechte
Komponente der Kraft F solange eine Verschiebung bewirken, bis F senkrecht zur Oberfläche steht. Damit steht
auch die Feldlinie senkrecht zu Oberfläche.
10.
410 774 Kugel im Kasten
Die Feldlinien stehen senkrecht auf den Oberflächen
von Kugel und Kasten.
Die Äquipotenziallinien verlaufen in der Nähe der Oberflächen parallel zu den Oberflächen.
Die Äquipotenzialflächen und die Feldlinien stehen
senkrecht aufeinander.
Erkundung im Internet, Präsentation
8.
411 984 Feldlinien
Die Feldlinien stehen senkrecht auf der Oberfläche des
Hufeisens, das Innere des Hufeisens ist feldfrei. In großer
Entfernung gleicht das Feld dem einer geladenen Kugel.
221
11.
411 594 Kugel im Feld
411 604 Geladene Pendel
13.
Nach dem Einbringen der ungeladenen Kugel zwischen
die unterschiedlich geladenen Platten kommt es zu
einer Ladungstrennung durch Influenz.
Die Rückstellkraft FR eines ausgelenkten Pendels muss
im Gleichgewicht sein mit der Coulombkraft FC, die zwischen den beiden Ladungen wirkt. Bei einem mathematischen Pendel beträgt die Rückstellkraft
F
G
FR = }
·y
l
+
–
Gesucht:
Gegeben:
Q, Q‘
FG = 0,3 N
l = 80 cm = 0,8 m
d = 8 cm = 0,08 m
r = 12 cm = 0,12 m
r‘ = 3 cm = 0,03 m
– +
– +
– +
Lösung:
a)
Der positiv geladene Teil der Kugel wird von der
negativen Platte angezogen, die negativ geladene
Kugelhälfte von der positiv geladenen Platte. Da die
resultierende Kraft dadurch null ist, kann keine Auslenkung beobachtet werden. Bringt man eine ungeladene
Kugel in die Nähe eines geladenen Körpers, so erfolgt
ebenfalls durch Influenz eine Ladungsverschiebung, was
eine anziehende Kraft zur Folge hat. Nun ist nämlich die
resultierende Kraft in Richtung des geladenen Körpers
gerichtet.
d
l
l
r
y
2
F
Q
G
FR = }
·y = }
= FC
2
l
4 π · ε0 · r
}
·y
√4 π · ε · F
0 G
Q= }
·r
l
}}}
As · 0,3 N · 0,02 m
4 π · 8,854 · 10 –12 · }
+
√
V·m
Q = }}}
· 0,12 m
0,8 m
– +
– +
– +
Q = 1,1 · 10 –7 C
b)
d
l
12.
l
r
410 054 Nah- und Fernwirkung
In der Fernwirkungstheorie wirkt die Kraft zwischen
geladenen Körpern ohne Verzögerung über beliebige
Entfernungen.
In der Nahwirkungstheorie gehen alle Kraftwirkungen
auf lokale Wechselwirkungen zwischen geladenen
Körpern und Feldern zurück.
y
2
F
Q‘
G
· y‘ = }
= FC
FR = }
2
l
4 π · ε0 · r‘
}
· y‘
√4 π · ε · F
0 G
Q‘ = }
· r‘
l
Erst die Nahwirkungstheorie führt in ihrer von MAXWELL
entwickelten Form auf die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wechselwirkungen und der elektromagnetischen Wellen.
}}}
As · 0,3 N · 0,025 m
4 π · 8,854 · 10 –12 · }
√
V·m
Q‘ = }}}
· 0,03 m
0,8 m
Q‘ = 3,1 · 10 – 8 C
Die gesuchten Werte der Ladungen betragen
Q = 1,1 · 10 –7 C und Q‘ = 3,1 · 10 – 8 C.
222
14.
(LB S. 294 – 297)
416 564 Feldstärke im Kondensator
17.
U
a) E = }
415 624 Geladenes Fadenpendel
a)
d
E=
55 V
}
0,20 m
= 275
V
}
m
l
b) W = ΔE
l
W = F·s = q·E·s
E
V
W = 3,2 · 10 – 8 C · 275 }
· 0,10 m
m
Fel
y
FG
W = 8,8 · 10 –7 J
Die potenzielle Energie vergrößert sich um
8,8 · 10 –7 J.
Epot
c) Für das Potenzial gilt: φ = }
q
Mit Epot = 2 · 8,8 · 10–7 J
man:
und
q = 3,2 · 10–8 C erhält
b) Die elektrische Feldkraft Fel , die auf die geladene
Kugel wirkt, ist im Gleichgewicht mit der Rückstellkraft FR des Pendels. Bei den vorliegenden Abmessungen ist die elektrische Feldkraft in guter Näherung antiparallel zur Rückstellkraft.
m·g
l
Fel = } · y
–7
2 · 8,8 · 10 V · A · s
φ = }}
= 55 V
–8
3,2 · 10
0,5 · 10–3 kg · 9,81 m · s–2
A·s
Fel = }}
· 0,05 m
1,5 m
}
Fel = 0,16 · 10–3 N
q
d) v = √ 2 U · }
m
}}
–8
√
3,2 · 10 C
v = 2 · 55 V · }
–6
0,2 · 10
Die auf die Kugel wirkende elektrische Feldkraft
beträgt etwa 0,16 · 10–3 N.
kg
m
v = 4,2 }
s
18.
15.
411 614 Zwei Kugeln
a) sin α = }yl
413 104 Probeladung im Kondensator
r
α = arc sin (}
2l )
U
F = q·E = q·}
d
3
20 C · 1,5 · 10 V
F = }}
= 937,5 · 10 – 6 N
9
α = arc sin
F = 9,4 · 10 – 4 N
α = 2,9°
10 · 0,032 m
16.
0,1 m
}
2·1 m
(
α
)
Die abstoßende Kraft entspricht der Rückstellkraft eines
Pendels.
Es gilt also:
413 174 Geerdete Schaltung
a) Für den Gesamtwiderstand erhält man:
r
y = }r
2
m·g
FC = }
·y
l
R = 84 Ω
–3
–2
1 · 10 kg · 9,81 m · s
FC = }}
· 0,05 m
1m
Damit beträgt die Gesamtstromstärke:
U
I=}
R
FC = 4,9 · 10 – 4 N
50 V
I=}
= 0,60 A
84 Ω
1 Q
FC = }
2
4π · ε }
2
0
b) Die Potenzialdifferenzen ergeben sich aus den Spannungsabfällen an den Widerständen:
C – A: 38 V
C – B: 30 V
C – D: 34 V
r
Q = √}
4π · ε0 · FC · r
}}}
√
As
Q = 4π · 8,84 · 10 –12 }
· 4,9 · 10 – 4 N · 0,1 m
V·m
Q = 2,3 · 10 – 8 C
b)
410 304 Gravitation und elektrische Kraft
19.
a) Gewichtskraft FG:
FG = m · g
+
N
FG = 9,8 · 10 –31 kg · 9,81 }
= 9,6 · 10 –31 N
kg
+
Q1
Kraft im elektrischen Feld:
Q2
U
F = q·E = q·}
d
1V
F = 1,6 · 10 –19 C · }
= 1,6 · 10 –18 N
0,1 m
c) Für die elektrische Feldstärke eines Radialfelds gilt:
b) Beide Kräfte wirken in entgegengesetzter Richtung.
Da die Feldkraft wesentlich größer als die Gewichtskraft ist, bewegt sich das Elektron nach oben.
1
E=}
·Q
4π · ε }2
r
0
–8
1
· 2,3 · 10 2
E = }}}
–12
–1
–1 }
20.
E = 20,7 · 103 V · m–1
a)
4π · 8,854 · 10
As · V
·m
410 254 Schwebende Watte
(0,1 m)
–
–
–
–
–
–
+
+
+
FE
d) FR = FC
m·g r
+
Q2
r
1
· }2 = }
· }2
}
l
4π · ε
0
r=
–
FG
1
}3
l · Q2
}
2π · ε0 · m · g
(
)
Q
r}
= }12
2
( ) ()
Q
= }12
r}
2
( ) ()
1
}
23
1
}
23
+
·r
+
+
b) Beim Schweben müssen Gewichtskraft FG und Feldkraft FE gleich groß sein:
· 0,1 m = 0,06 m
FG = FE
1
2
+
}3
r (2Q) = 2 · r
m·g = E·q
1
}
23
r (2Q) = 2 · 0,1 m = 0,16 m
U
·q
m·g = }
d
e)
r in m
Damit erhält man für die Spannung:
1,60
m·g·d
U=}
q
1,40
1,20
m
0,15 · 10 –3 kg · 9,81 }
· 0,05 m
2
1,00
s
U = }}}
–9
5 · 10
0,80
U=
0,60
1,5 · 104
C
V
0,40
0.20
0,00
0
20
40
60
80
Q in 10–8 C
Bei Vergrößerung der Spannung vergrößert sich die
Feldstärke und damit die Feldkraft. Die Gewichtskraft bleibt gleich. Damit bewegt sich der Wattebausch nach oben.
Der Abstand r der Kugel vergrößert sich mit zunehmender Ladung Q.
223
224
(LB S. 294 – 297)
b)
413 654 Kapazität
21.
I in μA
140
a) Kondensatoren einzeln:
U = U1 = U2 = 10 V
120
Q1 = C1 · U
100
80
Q1 = 4 · 10 – 6 F · 10 V
60
Q1 = 4 · 10 –5 C
40
20
Q2 = C2 · U
0
Q2 = 10 · 10 – 6 F · 10 V
0
Q2 = 1 · 10 – 4 C
U=
+
4
6
8 10 12 15 t in s
Beim Entladen eines Kondensators über einen Widerstand nimmt die Entladestromstärke exponentiell ab.
b) Kondensatoren in Reihe:
Q
}
C1
2
U = U1 + U2
c) Nach 6,4 s ist die Stromstärke auf die Hälfte ihres
Anfangswertes zurückgegangen. Ein Viertel der
Anfangsstromstärke liegt nach 12,8 s vor.
Q
}
C2
C +C
1
2
U = Q·}
C ·C
1
dQ
d) Nach der Definition der Stromstärke I = }
erhält
dt
man die gesuchte Ladung durch Integration.
Für eine Abschätzung kann der Entladestrom in den
angegebenen Intervallen als konstant angenommen
werden. Es gilt:
2
C ·C
1 2
Q=}
·U
C +C
1
Q=
2
4 · 10 – 6 F · 10 · 10 – 6 F
· 10
}}
4 · 10 – 6 F + 10 · 10 – 6 F
V = 2,86 · 10 –5 C
Q ≈ (130 μA + 91 μA + 68 μA + 51 μA + 35 μA) · 3 s
Q
U1 = }
C
Q ≈ 1,1 · 10 –3 C
1
–5
2,86 · 10 C
U1 = }
–6
4 · 10
F
Die Fläche unter dem Graphen kann auch ausgezählt
werden. Die ursprüngliche Ladung des Kondensators
betrug ca. 1,1 · 10 –3 C.
U1 = 7,15 V
Q
U2 = }
C
1
U2 =
2,86 · 10 –5 C
}
10 · 10 – 6 F
23.
U2 = 2,86 V
Für einen Plattenkondensator gilt:
c) Kondensator parallel: Die an den Kondensatoren
abfallenden Spannungen U1, U2 entsprechen der
anliegenden Spannung U.
Die Ladungen Q1 und Q2 ergeben sich, analog zum
Aufgabenteil a), zu
Q1 =
C
und
Q2 =
1 · 10 – 4
C
a)
+
–
Q
C=}
,
U
A
C = ε0 · }
d
Die Ladung der Platten wird als konstant angenommen.
b) Die Spannung ist doppelt so groß, die Feldstärke
bleibt gleich.
1
· d. Die
c) Der Abstand der Platten beträgt dann }
10
Spannung beträgt ein Zehntel, die Feldstärke bleibt
gleich.
413 974 Kondensatorentladung
22.
U
E=}
,
d
a) Die Spannung ist halb so groß, die Feldstärke bleibt
gleich.
U1 = U2 = U = 10 V
4 · 10 –5
414 464 Offener Kondensator
A
d) Der Abstand der Platten beträgt dann 1,3 d. Damit
verringert sich C auf das 0,77-Fache. Die Spannung
steigt auf das 1,3-Fache, die Feldstärke bleibt gleich.
24.
414 414 Energievermehrung
413 424 Potenzial im Kondensator
27.
Um den Plattenabstand zu vergrößern, benötigt man
Energie, da man eine Kraft gegen die Anziehung der
Platten längs eines Weges ausüben muss. Diese Energie
wird dem Feld zugeführt.
Δ EFeld = F · s
a) U = d · E
V
U = 0,012 m · 7,0 · 104 }
m
U = 840 V
b) Bezüglich der negativ geladenen Platte:
φ = 280 V
25.
Bezüglich der positiv geladenen Platte:
415 884 Energie in zwei Kondensatoren
φ = – 560 V
Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren gilt:
Q = Q1 = Q2.
Werden die Kondensatoren parallel geschaltet, so bleibt
die gesamte Ladung erhalten. Sie verteilt sich aber jetzt
so, dass an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung
liegt.
Für die Energie gilt:
c) E = }12 C · U 2
A
C = ε0 · }
= 18 · 10 –12 F = 18 pF
d
E = }12 · 18 pF · 840 V = 7,6 · 10 – 9 J
d) Epot = F · d = E · e · d
E = }12 · C · U 2
V
= 7 · 104 }
· 1,6 · 10–19 C · 0,012 m
m
Mit Veränderung der Schaltung ändert sich nicht nur
die Gesamtkapazität, sondern auch die Spannung und
damit die Energie.
Für die Reihenschaltung gilt:
ER = }12 C · U 2
ER =
mit
1 C1 · C2 Q2(C1 + C2)2
·}
}2 · }
C1 + C2
(C · C )2
1
2
=
Q
U=}
C
1 C1 + C2
· Q2
}2 · }
C1 · C2
= 1,3 · 10 –16 J
28.
a) E = }12 C · U 2
E = }12 · 2,4 · 10 – 6 F · (120 V)2
Für die Parallelschaltung erhält man:
2
2
E = 0,017 Ws
Q
Q
EP = }12 (C1+ C2) · }
= }12 · }
2
C +C
(C1 + C2)
1
415 304 Energie im Kondensator
2
Der Vergleich ergibt: EP < ER
Mit der Parallelschaltung verringert sich die in den Kondensatoren gespeicherte Energie.
b) E = m · g · h
E
h=}
m·g
0,17 Nm · kg
h = }}
= 17 cm
0,010 kg · 9,81 N
26.
412 984 Plattenkondensator
a) W = F · s = q · E · s =
Mit
U
q·}
d
·s
c) E = }12 m · v 2
}
2E
v= }
m
√
d = s erhält man:
}
2 · 0,017 Nm
m
v= }
= 1,8 }
0,010 kg
s
√
W = q·U
3
6,5 C · 1,5 · 10 V
W = }}
6
10
W = 9,75 · 10 –3 J
b) Die Potenzialdifferenz beträgt 750 V.
Für das Potenzial gilt φ = E · s. Bei konstanter Feldstärke E ist φ ~ s, nimmt also von der negativ geladenen Platte (φ = 0) in Richtung positiv geladener
Platte gleichmäßig bis φ = 1,5 kV zu.
29.
412 804 Feldstärkemessung
Wir betrachten die beiden Platten als Kondensator. Es
werden solange Ladungen getrennt, bis die Feldstärke
im kleinen Kondensator gleich groß ist, wie die Feldstärke im großen Kondensator. Dies ist der Fall, wenn
U
Q
Q
E=}
=}
= QA = }
2
d
C·d }
ε0 · }
·d
d
ε0 · π · r
ist.
Damit erhält man für die Feldstärke E:
Q
E=}
2
ε0 · π · r
225
226
(LB S. 294 – 297)
–10
2,7 · 10
C
E = }}}
–12
–1
–1
2
32.
E = 24,3 kV · m–1
F
q·E
q·U
a) a = }
=}
=}
m
m
m·d
8,854 · 10
As · V
· m · π · (0,02 m)
418 164 Protonen im Längsfeld
–19
1,6 · 10
C · 800 V
a = }}
–27
30.
1,672 · 10
412 644 Felder in der Umgebung
m
a = 1,9 · 1012 }
2
a) Die in Natur und Technik auftretenden Feldstärken
sind sehr unterschiedlich.
Beispiele:
V
− Elektrisches Feld der Erde am Erdboden: 130 }
m
V
− Bügeleisen: 120 }
m (in 30 cm Entfernung)
V
− Föhn: 80 }
(in
30
cm Entfernung)
m
V
− Mobilfunk-Basisstation: bis 61 }
m (in 50 m Entfernung)
V
− 380-V-Freileitung: 6000 }
m (in 1 m Höhe über dem
Erdboden im Bereich der größten Durchhängung
der Leitungen)
Der Grenzwert für Dauerbelastung bei statischen
Feldern und bei Feldern mit einer Frequenz von 50
V
Hz (Netzfrequenz) beträgt 5 000 }
m.
Gesundheitliche Gefährdungen werden zwar
teilweise behauptet, sind aber bei Einhaltung der
Grenzwerte nicht belegt.
b) Befinden sich Körper in einem elektrischen Feld,
so kommt es zur Influenz (bei Leitern) bzw. zur
dielektrischen Polarisation (bei Nichtleitern).
Beide Effekte können zum Nachweis eines elektrischen Felds genutzt werden, z. B. beim Elektrofeldmeter.
Hinweis: Unter diesem Suchwort findet man im
Internet ausführliche Informationen zu Aufbau und
Wirkungsweise.
31.
kg · 0,040 m
s
b) Die Geschwindigkeit kann mit der Beschleunigung
oder mit der Beschleunigungsspannung berechnet
werden:
}
}}}
2 · 1,9 · 1012 m · 0,040 m
v = √}
2 a·s
v=√
Aus den gegebenen Werten lässt sich berechnen:
Ein Luft-Kondensator, der mit einer Spannung von 5 V
geladen werden soll, darf keinen Plattenabstand kleiner
als 2,5 μm haben.
Für einen Mikrochip bedeutet dies auch: Elektrische Leitungen, die einen Potenzialunterschied von 5 V haben,
dürfen sich nicht näher als 2,5 μm kommen, sonst kann
es zu einem Durchschlag der isolierenden Luftschicht
kommen.
Der Leitungsabstand aktueller Computerprozessoren
ist allerdings wesentlich kleiner (z. B. 135 nm). Dies ist
möglich, da die Durchschlagfestigkeit der isolierenden
Schichten (Siliziumdioxid) wesentlich höher ist, als die
von Luft.
}
s
m
v = 3,9 · 105 }
s
Mit der Beschleunigungsspannung erhält man das
gleiche Ergebnis.
414 824 Ablenkung im Feld
33.
a) Die Bahnkurve des Elektrons innerhalb des homogenen elektrischen Felds ist Teil einer Parabel.
y
+
+
+
+
+
+
+
+
Fel
d
y1
v0
x
–
416 004 Miniaturisierung
q
v = √2 U·}
m
–
–
–
I
–
–
–
–
Nach dem Superpositionsprinzip überlagert sich
die Bewegung in x-Richtung ungestört mit der in
y-Richtung. Es gilt:
x
x = v0 · t g t = }
v
0
und y = }12 · a · t 2
Die konstante Feldkraft führt zu einer gleichmäßig
beschleunigten Bewegung in y-Richtung mit der
Beschleunigung:
e·E
F
a=}
m=}
m
Einsetzen in den Ausdruck für y führt zu:
e · E · t 2 bzw. zu y = 1 · U · e · 1 · x 2
y = }12 }
}2 }
} }2
m
d m
v0
b) Die Geschwindigkeit des Elektrons nach Durchlaufen
des elektrischen Längsfelds kann mit folgender Gleichung berechnet werden:
e
v0 = √}
2UB · }
m
}}}
v0 = √ 2 · 600 V · 1,759 · 1011 C · kg–1
Magnetische Felder (LB S. 316 – 319)
v0 = 14,5 · 106 m · s–1
410 584 Eisenfeilspäne
1.
c) Einsetzen von v0 in die Gleichung von y (x) aus Teilaufgabe a) mit x = 5 cm ergibt:
a)
y = 0,02 cm
Das Elektron trifft nicht auf eine der Platten sondern
verlässt das elektrische Querfeld auf der rechten
Seite (Skizze).
34.
419 574 Gegenfeldmethode
Die Elektronen bewegen sich durch eine Öffnung in
einer Katode auf eine Anode zu. Die an der Anode
auftreffenden Elektronen werden als Strom nachgewiesen. Erhöht man die (positive) Spannung der Anode
gegenüber der Katode, werden die Elektronen auf
ihrem Weg zwischen der Katode und der Anode abgebremst. Übersteigt der Wert e · U die kinetische Energie
der Elektronen, erreichen sie die Anode nicht und kein
Strom kann mehr nachgewiesen werden. Aus dem Wert
der Gegenspannung, bei dem gerade eben kein Strom
mehr nachgewiesen werden kann, lässt sich die kinetische Energie der Elektronen berechnen: Ekin = e · U
Auffangelektrode
Gitterelektrode
geladene
Teilchen
mit v > 0
F
–
b)
–
v2
v1
Informationsgehalt eines Feldlinienbilds:
− Die magnetischen Feldlinien sind geschlossen,
d. h., das magnetische Feld ist ein quellenfreies
Wirbelfeld.
− Je dichter die Feldlinien an einem Ort des Felds
zusammenliegen, desto größer ist die dort wirkende Kraft auf einen Probekörper.
− Die Richtung der Feldlinien entspricht der Richtung der wirkenden Kraft auf einen Probekörper.
Grenzen des Modells:
− Ein Feldlinienbild suggeriert ein zweidimensionales Feld. Das magnetische Feld wirkt jedoch im
ganzen Raum, ist also ein dreidimensionales Feld.
− Ein Magnet ist umgeben von einem den gesamten
Raum ausfüllenden Magnetfeld. Auch dort, wo
ein Punkt des Feldlinienbilds nicht von einer Feldlinie durchsetzt wird, wirkt eine Kraft auf einen
Probekörper.
I
A
V
U
+ –
2.
412 574 Erdmagnetfeld
a) Folgende Elemente sollten enthalten sein:
− Das Magnetfeld der Erde ist ein magnetisches Dipolfeld, das in der nahen Erdumgebung mit dem
Feld eines Stabmagneten verglichen werden kann.
227
228
(LB S. 316 – 319)
− Die mittlere magnetische Flussdichte des Felds
beträgt zwischen 60 μT (in Polnähe) und 20 μT (im
Äquatorbereich). Es ist also ein relativ schwaches
Feld.
− Zu unterscheiden sind die Vertikal- und die
Horizontalkomponente des Erdmagnetfelds.
− Die Erdachse und die magnetische Achse des Felds
sind um ca. 11,4° gegeneinander geneigt. Magnetischer Nord- und Südpol des Felds fallen mit den
geografischen Polen also nicht zusammen.
− Der magnetische Nordpol liegt in der Nähe des
geografischen Südpols, der magnetische Südpol
liegt in der Nähe des geografischen Nordpols.
− Das Erdmagnetfeld unterliegt zeitlichen und
räumlichen Schwankungen, die verbunden sind
mit eruptiven Prozessen der Sonne (z. B. Flares).
− Die Entstehung des Erdmagnetfelds beruht auf
dem Prinzip des selbsterregenden Dynamos.
− Mit Magnetosphäre bezeichnet man das gesamte,
die Erde umgebende Magnetfeld.
− Die Form der Magnetosphäre wird vom Sonnenwind beeinflusst.
− Das Erdmagnetfeld schützt uns vor dem Einfall
energiereicher Teilchen und macht dadurch
menschliches Leben auf der Erde erst möglich.
b) Auch andere Planeten und Monde haben Magnetfelder, die durch unterschiedliche Ursachen
zustande kommen (Jupiter – selbst erregter Strömungsdynamo, Mars – Felder durch dauermagnetisierte Stoffe, Jupitermond Io – fremdinduziertes
Magnetfeld).
3.
412 594 Leiter im Magnetfeld
In dem skizzierten Fall wirkt die Kraft auf den Betrachter zu gerichtet.
Die neben der skizzierten Variante weiteren möglichen
Fälle ergeben sich
− durch Umpolen der Spannungsquelle bzw.
− durch Umdrehen des Magneten.
Die Kraft kehrt sich jeweils beim Umpolen der
Spannungsquelle bzw. beim Umdrehen des Magneten in
die entgegengesetzte Richtung.
B
r
c) Bei gleicher Stromrichtung „umschlingen“ die
meisten Feldlinien beide Leiter. Zwischen den Leitern
wirken anziehende Kräfte. Bei unterschiedlicher
Stromrichtung „verdrängen“ sich die näherungsweise kreisförmigen Feldlinien um die beiden Leiter.
Zwischen den Leitern wirken abstoßende Kräfte.
5.
Magnetfelder beeinflussen Magnetnadeln bzw. die
Bewegung von Ladungsträgern in dünnen Schichten
(Hall-Effekt). Beides kann zum Nachweis eines Magnetfelds genutzt werden:
− Einbringen einer Magnetnadel in den Raum,
− Magnetfeldmesser (Hall-Sonde).
6.
414 554 Simulation von Magnetfeldern
a) Unter der genannten Internetadresse ist eine Simulation zu finden, mit der sich die Schüler zunächst
beschäftigen sollten.
b) Für die magnetische Flussdichte um einen geraden,
stromdurchflossenen Leiter gilt:
412 764 Abschirmung von Magnetfeldern
a) Körper aus ferromagnetischen Stoffen werden nicht
durchdrungen, solche aus Isolatoren werden durchdrungen.
Diamagnetische und paramagnetische Stoffe beeinflussen Magnetfelder nur wenig.
b) Besonders geeignet zur magnetischen Abschirmung
sind weichmagnetische Stoffe.
Der betreffende Raum könnte mit Blechen aus
weichmagnetischem Eisen umschlossen werden.
7.
4.
412 754 Nachweis von Magnetfeldern
410 764 Drehspulmesswerk
Die drehbare Spule befindet sich in einem Magnetfeld. Wird sie von einem Strom durchflossen, so wirkt
aufgrund der Lorentzkraft ein Kräftepaar, das zu einer
Drehung der Spule führt.
F
F
B ~ }1r
Damit erhält man folgenden prinzipiellen Zusam
menhang:
Eine Rückstellfeder sorgt dafür, dass nur ein bestimmter
Ausschlag erreicht wird. Je größer die Stromstärke durch
die Spule ist, desto größer ist die Kraft und desto größer
ist demzufolge auch der Ausschlag.
c)
F in mN
10
5
8.
416 494 Verschiedene Stoffe
0
Die betreffenden Stoffe unterscheiden sich vor allem dadurch, dass sie Magnetfelder in unterschiedlicher Weise
beeinflussen. Das kommt in den verschiedenen Werten
für die Permeabilitätszahl zum Ausdruck:
ferromagnetische Stoffe: μr @ 1 (Eisen, Nickel, Cobalt)
paramagnetische Stoffe: μr > 1 (Luft, Aluminium)
diamagnetische Stoffe:
μr < 1 (Wasser, Kupfer)
α in º
30
90
150
210
270
–5
–10
Aus dem Verlauf des Graphen kann man ableiten:
9.
F ~ sin α
416 364 Kraft auf Leiterschleife
a)
+ –
411 294 Spule im Magnetfeld
11.
F
F
b) B = }
I·l
a) Auf die Teile, die parallel zu den Feldlinien liegen,
wirkt keine Kraft, da I und B parallel zueinander
sind. Eine Kraft wirkt auf die Teile der Spule, bei
denen die Wicklungen senkrecht zum Magnetfeld
verlaufen. Das ist oben und unten der Fall. Die Richtung der Stromstärke ist allerdings oben und unten
entgegengesetzt, damit auch die wirkenden Kräfte.
Vereinfacht lässt sich das für eine Leiterschleife so
darstellen:
–3
12 · 10 N
B=}
= 24 mT
2,5 A · 0,2 m
I
c) Die Kräfte auf den linken und rechten Teil der Leiterschleife sind gleich groß, aber entgegengesetzt
gerichtet. Ihre Summe ist null.
F1
F2
I
10.
412 694 Leiterschleife im Feld
F
a) B = }
I·l
–3
11,6 · 10 N
B=}
= 29 mT
10 A · 0,04 m
Beide Kräfte sind gleich groß und entgegengesetzt
gerichtet. Für den Betrag einer Kraft erhält man:
F = l·I·B
b) Vorzeichenwechsel bedeutet eine Änderung der
Kraftrichtung.
F = 500 · 0,06 m · 2,6 A · 40 · 10 –3 T
F = 3,1 N
Die Kräfte bewirken eine Drehung der Spule.
b) Es wirkt nur noch eine Kraft auf den unteren Teil der
Spule. Die Kräfte bewirken eine Verschiebung der
Spule in Längsrichtung.
229
230
12.
(LB S. 316 – 319)
418 234 Ströme und Kräfte
a)
14.
416 784 Flussdichte in einer Spule
N·I
a) B = μ0 · μr · }
l
Nord (magnetischer Südpol)
U
Mit μr = 1 und I = }
erhält man:
R
West
Ost
N·U
B = μ0 · }
l·R
I
Vs
1 000 · 4,0 V
B = 1,257 · 10–6 }
· }}
Am 0,080 m · 16 Ω
Süd (magnetischer Nordpol)
B = 3,9 · 10–3 T = 3,9 mT
b) Mit Eisenkern vergrößert sich die Flussdichte um den
Faktor 750:
Die Kraft wirkt auf den Leiter nach oben.
b) F = l · I · B
F = 25 · 10
–6
B = 750 · 3,9 · 10–3 T = 2,9 T
T · 120 m · 500 A
F = 1,5 N
15.
13.
419 154 Magnetfelder um uns
a) Die Stärke des Erdmagnetfelds hängt von der geografischen Breite ab und beträgt im Bereich des
Äquators etwa 30 μT und im Bereich der magnetischen Pole etwa 60 μT. In Mittel Europa sind es etwa
50 μT.
Hinweis: Die angegebenen Werte sind Mittelwerte.
Es gibt erhebliche Magnetfeldanomalien.
418 964 Untersuchungen an Spulen
a) Genutzt werden könnte eine Hall-Sonde. Möglich ist
auch die Verwendung eines kleinen, stromdurchflossenen Leiterstücks in Verbindung mit einem Kraftsensor (Stromwaage).
Geändert werden die Stromstärke durch die Feldspule, die Länge der Feldspule und ihre Windungszahl.
b)
b) Für technische Geräte und Anlagen findet man zum
Beispiel folgende Werte:
Gerät
Abstände
3 cm
30 cm
100 cm
Föhn
2 – 2000 μT
0,01 – 7 μT
< 0,3 μT
Rasierapparat
15 – 1500 μT
0,08 – 9 μT
–
Mikrowelle
73 – 100 μT
4 – 8 μT
< 0,6 μT
Computer
0,5 – 30 μT
< 0,01
–
Elektrischer
Herd
1 – 50 μT
0,15 – 3 μT
< 0,15 μT
c) Aus der grafischen Darstellung oder durch Rechnung
erhält man:
B~I
d) Für das Magnetfeld im Innern einer langen Spule
gilt:
N·I
B = μ0 · }
l
380-kV-Leitung:
38 μT (in 1 m Höhe über dem Erdboden im
Bereich der größten Durchhängung)
100 μT
Die Umstellung der Gleichung ergibt:
B·l
I=}
μ ·N
0
7
3,5 T · 0,15 m · 10 Am
I = }}
3
10 · 4π · Vs · 30
c) Beachten Sie: Gesundheitliche Auswirkungen durch
Magnetfelder mit Stärken unterhalb der Grenzwerte
sind nicht belegt.
I = 14 A
e)
l in cm
15
20
25
30
35
40
B in mT
4,98
3,97
3,11
2,62
2,32
2,05
l · B in cm · mT
74,7
79,4
77,8
78,6
81,2
82,0
B in mT
417 264 Gerade Leiter
17.
5,0
2A
a) B(r) = }
· μ · }1
2π 0 r
–7
4,0
2A · 4π · 10
Vs 1
Vs 1
· } = 4 · 10 –7 }
·}
B(r) = }
}
2π
Am r
Am r
B ~ }1l
Damit erhält man z. B. die folgenden Werte:
3,0
2,0
r in cm
2,0
4,0
6,0
8,0
10
B in μT
20
10
6,7
5,0
4,0
1,0
Damit erhält man das folgende Diagramm:
l in cm
0
0
10
20
30
B in T
40
20
N · I liefert Werte von etwa 1,9 · 10 –6 V · s .
f) B = μ0 · }
}
l
A·m
16.
16
416 404 Selbst gewickelte Spule
12
a) Für die magnetische Flussdichte im Innern einer langen stromdurchflossenen Zylinderspule gilt:
8
N·I
B = μ0 · μr · }
l
4
l
}
d
(N = )
B=
N·I
μ0 }
l
B=
μ0 · }l · }Il
d
r in cm
0
0
40 mm · 50 mA
B = 1,25 · 10–6 Vs · A–1 · m–1 · }
0,1 mm }
40 mm
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
b)
B = 0,63 mT
b) U = I · R
I·ρ·l
l erhält man: U =
Mit R = ρ · }
}
A
A
Die Drahtlänge l ergibt sich aus der Windungszahl
und dem Umfang der Spule:
c) F = B · I · l
μ
0
·I2·l
F=}
2π · r
l = N · π · d = 400 · π · 8 mm
2
4π Vs · (1 A) · 1 m
F = }}
7
10 Am · 2π · 1 m
l = 10 053 mm = 10,1 m
F = 2 · 10 –7 N
Die Querschnittsfläche ergibt sich aus dem Drahtdurchmesser:
2
2
π · d = π · (0,1 mm) = 0,007 9 mm2
A=}
}
4
4
18.
411 424 Teilchenbahnen
Damit erhält man für die Spannung:
2
0,05 A · 0,017 Ω · mm · 10,1 m
U = }}}
2
m · 0,0079 mm
U = 1,1 V
Die Richtung der Kraft auf die geladenen Teilchen ergibt sich jeweils mithilfe der Rechte-Hand-Regel.
a)
–
+
231
232
(LB S. 316 – 319)
b)
b) Bewegt sich ein geladenes Teilchen in einem homogenen Magnetfeld auf einer Kreisbahn, dann wirkt
die Lorentzkraft als Radialkraft. Daraus folgt:
–
2
m·v = Q·v·B
}
r
m·v
r=}
Q·B
+
Das gesuchte Verhältnis der Radien errechnet sich
somit zu:
rp
mp
}
re = }
me = 1 836
c)
ω = 1 =v
Für die Frequenz f gilt: f = }
2π }
2π }r
Nach Einsetzen der Beziehung für den Radius erhält
man:
f
1 e·B
f=}
m
2π }
d) keine Ablenkung
19.
415 814 Elektronen im Feld
a) Die Spannung ergibt sich aus der Energie von 500 eV.
Sie beträgt 500 V.
b)
p
Um unterschiedliche Ladungsträger auf die gleiche
Geschwindigkeit zu bringen, muss das Verhältnis
der Beschleunigungsspannungen dem vorliegenden
Massenverhältnis entsprechen. Die Beschleunigungsspannung der Protonen ist 1 836-mal größer als
die der Elektronen. Bewegen sich Elektronen und
Protonen im gleichen homogenen magnetischen
Feld auf Kreisbahnen, dann verhalten sich die Radien
ebenfalls wie die Massen. Im Gegensatz dazu verhalten sich die Umlauffrequenzen umgekehrt zu den
Teilchenmassen.
+
–
mp
und somit }e = }
me = 1 836
f
me · v 2
}
r
m ·v
}
e
2
m·v = Q·v·B
}
r
Es gilt also:
e
B=}
r·e
2E
√}
m
417 464 ß-Strahlung im Magnetfeld
a) Die Lorentzkraft FL zwingt die β –-Teilchen auf eine
Kreisbahn, wobei sie als Radialkraft FR wirkt.
= e·v·B
Mit v =
21.
Q·B·r
Auflösen nach v ergibt: v = }
m
erhält man:
}
1
B=}
r · e √ 2 me · E
Nach Einsetzen des Ausdrucks für die Geschwindigkeit v in die Beziehung der kinetischen Energie
erhält man:
Einsetzen der Werte ergibt: B = 3 mT
2
2
2
Q ·B ·r
Ekin = }
2m
20.
413 184 Teilchenbeschleunigung
a) Die Geschwindigkeit v in Abhängigkeit der BeschleuQ
nigungsspannung U und der spezifischen Ladung }
m
beträgt:
}
}
e
e
v = √}
2Ue · }
me = 2Up · }
mp
√
Up
führt zu
Auflösen nach dem Verhältnis }
U
mp
2
2
–19
Da Elektronen und Protonen auf die gleiche Geschwindigkeit gebracht werden sollen, gilt:
Up
2
e ·B ·r
b) Ekin = }
2 me
Q
v = √ 2U · }
m
=}
}
me = 1 836
U
Da es sich bei der β –-Strahlung um negativ geladene
Elektronen handelt, kann die Ladung Q durch die
Elementarladung e und die Masse m durch die Elektronenmasse me ersetzt werden.
e
2
(1,602 · 10
C · 0,01 T · 0,12 m)
Ekin = }}}
–31
2 · 9,109 · 10
kg
Ekin = 2,09 · 10–14 J = 0,13 MeV
Die kinetische Energie der β –-Teilchen beträgt etwa
0,13 MeV.
e
22.
418 904 Gekreuzte Felder
a) Bewegt sich ein geladenes Teilchen in der beschriebenen Anordnung, so wird es infolge des vorhandenen magnetischen und elektrischen Felds abgelenkt.
Nur für den Fall, dass die beiden Feldkräfte gleich
groß sind und in entgegengesetzter Richtung wirken, kann die Ladung die gekreuzten Felder geradlinig durchlaufen.
Es gilt dann: Fel = Q · E = Q · v · B = FL
E
Auflösen nach der Geschwindigkeit ergibt: v = }
B
Lediglich die Teilchen mit dieser Geschwindigkeit
durchlaufen die Anordnung geradlinig.
b) Mögliche sinnvolle Kombinationen sind z. B.:
E = 250 · 103 V · m–1;
B = 0,1 T
E = 750 · 103 V · m–1;
B = 0,3 T
E = 1,25 · 106 V · m–1;
B = 0,5 T
23.
419 004 Die Hall-Spannung
I·B
UH = RH · }
d
3
m 0,30 A · 0,850 T
UH = 0,00 040 }
· }}
0,001 m
C
UH = 0,1 V
24.
417 514 Hall-Sonden
Präsentation. Hinweise zur Nutzung von Hall-Sonden
sind im Internet zu finden.
25.
e) m = 2,2 · 10 –25 kg
Angegeben in u erhält man: m = 132 u
Es könnte sich demzufolge um Xenon handeln.
26.
419 784 Massenspektrograf
a) Positiv geladene Ionen werden durch das elektrische
Feld nach unten abgelenkt, der Einfluss des Magnetfelds bewirkt eine Ablenkung nach links in Richtung
der z-Achse. Die Ablenkung in y-Richtung ist abhängig von der Länge des elektrischen Felds d, von
dessen Feldstärke E, von der Ladung Q, Masse m und
Geschwindigkeit v des Teilchens. In z-Richtung wird
die Ablenkung beeinflusst von der Länge d des magnetischen Felds, von dessen magnetischer Flussdichte
B, von der Ladung Q, Masse m sowie Geschwindigkeit v des Ions.
b) Ein Massenspektrograf wird benutzt, um unterschiedliche Isotope eines Elements zu trennen. Auf
die von einer Ionenquelle emittierten Teilchen wirkt
die elektrische Feldkraft in y-Richtung sowie die
Lorentzkraft in z-Richtung. Das Zusammenwirken der
Kräfte hat zur Folge, dass die auf dem Schirm auftreffenden Teilchen gleicher Ladung und Masse auf
einer Parabel liegen. Auf welchem Punkt der Kurve
ein Teilchen auftrifft, hängt von dessen Anfangsgeschwindigkeit ab. Da die Ablenkung der Ladungsträger auch von deren Massen beeinflusst werden,
liegen die Teilchen unterschiedlicher Isotope auf
verschiedenen Parabeln, was die Isotopentrennung
ermöglicht.
419 804 Ionen im Magnetfeld
a) Die Ionen sind positiv geladen, wie man aus der
Ablenkung im Magnetfeld ableiten kann. Sie müssen
demzufolge durch das elektrische Feld nach unten
abgelenkt werden. Das elektrische Feld ist demzufolge von oben nach unten gerichtet.
E
v=}
B
b) Es gilt
E=
und damit
m
4,0 · 104 }
· 1,2
s
E = v · B.
T
V
E = 4,8 · 104 }
m
c) Für die Bewegung von Ionen mit bestimmter Geschwindigkeit wirkt im Magnetfeld die dann konstante Lorentzkraft als Radialkraft.
2
v
= e·v·B
d) m · }
r
e
= r ·vB
}
m }
e
}
m
e
=
Elektromagnetische Induktion
(LB S. 335 – 337)
1.
Es wird immer dann eine Spannung induziert, solange
sich das von der Spule umfasste Magnetfeld ändert. Das
ist bei vier der fünf Bewegungen der Fall.
Ausnahme: Drehung des Dauermagneten um seine
Längsachse (Drehung 5).
2.
m
4,0 · 104 }
s
}
0,045 · 1,2 T
C
= 7,4 · 105 }
}
m
kg
413 204 Bewegter Magnet
411 484 Bewegte Spule
a) Induktionsspannung: (2), (4)
keine Induktionsspannung: (1), (3)
Begründung: Es wird eine Spannung induziert,
solange sich das von der Induktionsspule umfasste
Magnetfeld ändert.
233
234
(LB S. 335 – 337)
b) Induktionsspannung: Spule (Beispiel 4) rotiert um
eine Achse, die senkrecht zur Blattebene steht.
keine Induktionsspannung: Spule befindet sich außerhalb des Magnetfelds und wird dort bewegt.
3.
5.
411 494 Leiterstück
Ui = B · l ·v
m
Ui = 2,6 ·10– 3 T · 0,15 m ·0,80 }
s
Ui = 0,31 mV
413 354 Spule im Feld
a) Rotation um die y-Achse, Rotation um die z-Achse,
Verschieben der Spule, sodass sie das Magnetfeld
verlässt.
Die angegebenen Bewegungen sind verbunden mit
einer Änderung der wirksamen Spulenfläche bzw.
einer Änderung der die Spule durchsetzenden magnetischen Flussdichte.
Beides führt zu einer Induktionsspannung, deren
Betrag von der Schnelligkeit der Bewegung abhängt.
b) Rotation um die x-Achse, Verschieben der Spule in x-,
y- oder z-Richtung, jedoch nicht bis in den feldfreien
Raum hinein Da die magnetische Flussdichte keiner
zeitlichen Änderung unterliegt und nun auch die
wirksame Spulenfläche konstant bleibt, wird keine
Spannung induziert.
y
413 364 Freier Fall im Feld
a) Es wird der freie Fall des Leiters angenommen.
v = √}
2g·s
m · 0,50 m
v = }}
2 · 9,81 }
2
√
v = 3,1
s
m
}
s
b) Die Elektronen bewegen sich nach links.
c) Ui = B · l ·v
m
Ui = 4,8 · 10– 3 T · 0,10 m · 3,1 }
s
Ui = 1,5 mV
d) Mit der Vergrößerung der Geschwindigkeit (v = g · t)
vergrößert sich die Induktionsspannung zwischen
den Enden des Leiters.
z
B
6.
7.
x
417 364 Induktionsspannung
a) – Schließen oder Öffnen des Schalters
− Veränderung des regelbaren Widerstands
− Herausziehen des Eisenkerns aus Spule 2
V
4.
416 674 Induktion
a) Ein typisches Beispiel für die Induktion ohne Relativbewegungen ist der Transformator. Hier führt die
Veränderung des Primärstroms zu einem veränderten Magnetfeld und dieses zu einem induzierten
Sekundärstrom.
b) Ein typisches Beispiel für die Induktion durch Bewegungen ist der Generator. Hier führt die Rotation
der Induktionsspule im konstanten Magnetfeld zur
Induktion in der Spule.
c) In einer Spule wird eine Spannung induziert, wenn
sich das von der Spule umfasste Magnetfeld ändert.
Die Ursache dafür kann entweder eine Änderung der
wirksamen Spulenfläche oder ein zeitlich veränderliches Magnetfeld sein.
b) Dazu muss sich das von Spule 2 umfasste Magnetfeld
möglichst schnell und möglichst stark ändern. Eine
Variante wäre:
− große Spannung an Spule 1, damit große Stromstärke durch die Spule und
− schnelle Änderung des Magnetfelds durch Öffnen
des Schalters.
c) Spule 2 wird entlang des Eisenkerns verschoben oder
sie wird um den Eisenkern gedreht.
8.
411 574 Induktionsschleife
a) Der durch die Induktionsschleife fließende elektrische Strom ist von einem Magnetfeld umgeben.
Durch das auf die Schleife fahrende Auto wird dieses
Feld beeinflusst, d. h., es unterliegt einer zeitlichen
Änderung, was nach dem Induktionsgesetz eine
Spannung hervorruft. Diese kann registriert werden
und so eine Ampel oder z. B. eine Schranke ansteuern.
b) Ja! Bei einer stromlosen Induktionsschleife nutzt
man die Tatsache, dass die meisten Autos selbst
von einem schwachen Magnetfeld umgeben sind.
Dieses vorwiegend von der Lichtmaschine des Autos
erzeugte Magnetfeld induziert beim Überfahren
der Schleife eine Spannung, welche wiederum zum
Ansteuern von Geräten genutzt werden kann. Bei
dieser Variante muss die Stromstärkemessung jedoch
sehr empfindlich sein.
c) Mithilfe zweier in die Straße eingelassenen Induktionsschleifen kann die Geschwindigkeit von Fahrzeugen ermittelt werden. Beide Leiterschleifen rufen
beim Überfahren der Anordnung eine Induktionsspannung hervor. Eine elektronische Uhr ermöglicht
die Messung der Zeitdifferenz zwischen den beiden
Magnetfeldänderungen. Der Schleifenabstand, dividiert durch die gemessene Zeit, ergibt die Geschwindigkeit des Fahrzeugs.
Δs
d) v = }
Δt
5,2 m
v=}
0,28 s
m
km
= 67 }
v = 19 }
s
h
414 184 Transformator Wirkungsgrad
11.
Für den Wirkungsgrad gilt:
P
P
ab
ab
η=}
und damit Pzu = }
η
P
zu
15 MW
Pzu = }
0,98
Pzu = 15,3 MW
Die Stromstärke im Primärkreis ergibt sich aus der aufgenommenen Leistung:
P = U·I
P
I=}
U
15,3 MW
I=}
220 kV
I = 70 A
412 494 Bewegte Leiterschleife
12.
a) Φ = B · A
Φ = 4,5 · 10– 3 T · 3,6 · 10– 3 m2
Φ = 1,6 · 10–5 Wb
9.
412 044 Anwendungen
a) Die Wirkungsweise eines Transformators beruht
auf einem Induktionsstrom infolge der zeitlichen
Änderung der magnetischen Flussdichte, ein Generator erzeugt eine Induktionsspannung aufgrund der
Änderung der wirksamen Fläche.
b) Beschreibung des Aufbaus und der Wirkungsweise
von Transformator und Generator ist im Lehrbuch
angegeben.
10.
bei φ = 45°: 1,1 · 10–5 Wb
bei φ = 90°: 0
b) Es wird keine Spannung induziert, da sich der magnetische Fluss durch die Leiterschleife nicht ändert.
ΔA
c) Ui = – B · }
Δt
2
Ui = 3,2 · 10– 5 V
Ui = 0,032 mV
414 064 Präsentation Transformator
Der Vortrag sollte
− einen Zusammenhang herstellen zwischen dem
Induktionsgesetz und dem typischen Aufbau eines
Transformators: Zweck des Eisenkerns, Verlauf der
Feldlinien, Zahl der Windungen, unterschiedliche
Drahtstärke in Primär- und Sekundärspule, Wirbelströme
− Möglichkeiten und Auswirkungen der Nutzung von
Transformatoren aufzeigen: Wechselstrom, Netzspannung, Hochspannungsnetze, Kleinspannung,
Stand-by-Verbrauch, Elektrosmog
–3
– 3,6 · 10 m
Ui = – 4,5 · 10– 3 T · }}
0,50 s
411 994 Veränderliches Magnetfeld
13.
Zwischen der induzierten Spannung Ui und dem magnetischen Fluss Φ besteht der Zusammenhang
dΦ .
Ui = – N }
dt
In den Abschnitten I, III und V ist die Steigung des Graphen und somit auch die Induktionsspannung null.
Im Bereich II ist die Änderung des magnetischen Flusses
positiv, was aufgrund des negativen Vorzeichens im
Induktionsgesetz (Lenzsche Regel) eine negative Induktionsspannung zur Folge hat.
Zwischen t3 und t4 liegt eine negative Steigung vor, weshalb in diesem Bereich eine positive Spannung induziert
wird.
235
236
(LB S. 335 – 337)
Es gilt: E ~ I 2
Halbe Stromstärke bedeutet ein Viertel der Energie, doppelte Stromstärke bedeutet die vierfache
Energie.
Der Betrag der induzierten Spannung im Abschnitt II ist
um das 1,5-Fache größer als der im Bereich IV.
414 494 Selbstinduktion
14.
Ui =
b) E = }12 C · U 2
}
2E
U= }
C
ΔI
–L·}
Δt
Ui =
√
N 2 · A ΔI
– μ0 · }
·}
l
Δt
}
2 · 23 ·10 – 3 J
U= }
–6
√
2
()
d
π}
·N2
ΔI
2
Ui = – μ0 · }
·}
l
Δt
F
U = 86 V
Vs ΔI
Ui = – 3,3 · 10 –3 }
·}
A Δt
Abschnitt I:
ΔI
=0
Ui = 0, da }
Δt
Abschnitt II:
Δ I = 250 mA , Δt = 10 ms
ΔI
c) Ui = – L · }
Δt
2
2
3,0 A
1,257 Vs · (500) · 2,46 m
Ui = }}
·}
6
3
0,020 s
10 Am · 10 · 0,15 m
Vs 250 mA
Ui = – 3,3 · 10 – 3 }
·}
A 10 ms
Ui = 0,77 V
Ui = 82,5 mV
Hierbei handelt es sich um eine näherungsweise
Lösung, bei der der Ausschaltvorgang durch eine
lineare Abnahme des Stroms beschrieben wird.
Da die Stromstärke abnimmt, hat die Induktionsspannung einen positiven Betrag.
Abschnitt III:
ΔI
Ui = 0, da }
=0
Δt
Abschnitt IV:
Δ I = 200 mA , Δt = 5 ms
16.
419 874 Spule mit Eisenkern
a) E = }12 L ·I 2
Vs 200 mA
Ui = – 3,3 · 10 –3 }
·}
A
5 ms
· · N 2 · A ·I 2
0 r
E = }}
2l
Ui = – 132 mV
2
2
2
1,257 Vs · 480 · (1 500) · 85 m · (4,2 A)
E = }}}}
6
4
10 Am · 10 · 2 ·0,25 m
Da nun die Steigung des Graphen positiv ist, liegt im
Bereich IV eine negative Induktionsspannung vor.
ΔI
Ui = 0, da }
=0
Δt
Abschnitt V:
6,2 · 10
E = 410 J
b) E = m ·g · h
E
h=}
m·g
Ui in mV
410 J
h = }}
m = 420 m
0,1 kg · 9,81 }2
150
s
100
c) Wegen E ~ r verringert sich beim Entfernen
des Eisenkerns die Energie des Magnetfelds um das
480-Fache.
50
0
–50
–100
t in ms
–150
0
15.
10
20
30
40
50
413 384 Kondensator und Spule
a) E = }12 C · U 2
E = }12 · 2,4 · 10 – 6 F · (120 V)2 = 17 mJ
415 024 Energie in der Spule
E = }12 L ·I 2
a) E = }12 L ·I 2
Mit
17.
2
E = }12 ·1,2 H · (2,5 A)2 = 3,75 J
N ·A
L = 0 · }
erhält man:
l
· N 2 · A ·I 2
π ·d
(A = }
4 )
2
0
E=}
2l
2
2
2
1,257 Vs · (500) · 2,46 m · (3,0 A)
E = }}}
6
3
Die im magnetischen Feld der Spule gespeicherte
Energie ist wesentlich größer als die im elektrischen
Feld des Kondensators gespeicherte Energie.
10 Am · 10 · 2 · 0,15 m
E = 23 mJ
b) Es müsste gelten:
1
}2 C · U 2
=
1
}2 L · I 2
20.
oder
C·U2
=
L·I2
Es sind verschiedene Lösungen möglich. Geht man
z. B. von U = 100 V und I = 1 A aus, dann würde sich
ergeben (ohne Einheiten):
C · 10 4 = L
oder
L
= 104
}
C
Das wäre z. B. erfüllt mit L = 1 H und C = 100 μF.
c) m · g · h = }12 m ·v 2
Bei einer Höhe von 10 m würde man eine Geschwinm erhalten. Es sind natürlich auch
digkeit von 14 }
s
viele andere Kombinationen möglich.
Der geschlossene Eisenkern ist so gewickelt, dass sich die
Magnetfelder von Null- und Außenleiter bei störungsfreiem Betrieb gerade gegenseitig kompensieren. Fließt
der Strom jedoch fehlerhaft nicht über den Nullleiter,
sondern z. B. über einen menschlichen Körper ab, so
unterscheiden sich die Stromstärken in Hin- und Rückleitung und somit auch deren Magnetfelder. Diese heben
sich nun nicht mehr gegenseitig auf, was eine Magnetfeldänderung und somit einen Induktionsstrom in
der linken Spule hervorruft. Er betätigt einen Schalter,
wodurch der Stromkreis unterbrochen wird.
21.
18.
414 734 Magnet im freien Fall
418 954 Energieerhaltung
a) E = }12 L · I 2
2
N ·A 2
E = }12 0 · r · }
·I
l
2
2
2
1,257 Vs · 320 · (250) · 15 m · (4,3 A)
E = }}}
6
4
2 · 10 Am · 10 · 0,20 m
E = 1,7 J
b) Wenn der Schalter geöffnet wird, bricht das Feld
zusammen. Feldenergie wird in elektrische Energie
(Stromfluss) umgewandelt. Der Strom bewirkt eine
Erwärmung des Leiters. Die innere Energie wird in
Form von Wärme an die Umgebung abgegeben.
Den Stabmagnet umgibt ein inhomogenes Magnetfeld.
Dadurch ändert sich das Magnetfeld in der umgebenden Röhre bei der Bewegung des Magneten. Es werden
eine Spannung und daraus resultierend Wirbelströme
induziert. Je schneller der Magnet fällt, desto größer ist
die Spannung und desto stärker sind die Wirbelströme.
Die Wirbelströme rufen nach dem lenzschen Gesetz
eine bremsende Kraft hervor, die umso größer ist, je
stärker die Wirbelströme sind. Deshalb beschleunigt der
Magnet seinen Fall nur solange, bis die bremsende Kraft
gleich groß wie seine Gewichtskraft ist. Dann fällt er mit
konstanter Geschwindigkeit.
22.
19.
414 484 FI-Schalter
412 584 Induktionsherd
a) Unter einer glaskeramischen Platte sind Spulen
verschiedener Induktivität installiert. Beim Fließen
eines Wechselstromes wird um diese Spulen ein magnetisches Feld aufgebaut. Das Feld durchdringt die
Keramikkochfläche. Werden Metallgegenstände in
das Kochfeld gebracht, induzieren die magnetischen
Felder Wirbelströme, die das Material stark erhitzen.
414 844 Wechselstromwiderstand
Bei Wechselspannung wird in der Spule ständig eine
Spannung und ein Strom induziert, der nach dem
lenzschen Gesetz dem ursprünglichen Strom entgegen gerichtet ist und diesen schwächt. Die Spule wirkt
demzufolge wie ein zusätzlicher Widerstand (induktiver
Widerstand).
b) Nur in Metallen (Kupfer, Aluminium, Stahl. u. Ä.)
können Wirbelströme entstehen.
c) Geringe elektrische Arbeit im Leerlauf, dadurch
Energieeinsparung, geringe Erwärmung im Leerlauf,
geringe Gefahr für Verbrennungen, rasche Abkühlung nach der Benutzung, geringe Energieverluste,
da es keine Heizplatte gibt, von der Wärme an die
Umgebung abgestrahlt wird.
Schnelle Reaktionszeit, da keine wärmespeichernde
Heizplatte erhitzt wird.
Hinweis: Die Wärmeentwicklung beim Ummagnetisieren ferroelektrischer Materialien überwiegt die
Wärmeentwicklung durch die induzierten Wechselströme. Daher funktioniert ein Induktionsherd nur
mit magnetischem Kochgeschirr optimal.
237
238
(LB S. 357 – 358)
Elektromagnetische Schwingungen und
Wellen (LB S. 357 – 358)
1.
Bei Abnahme der Stromstärke bewirkt der Induktionsstrom ein Weiterfließen des Stromes und damit
ein Aufladen des Kondensators im Schwingkreis in
umgekehrter Richtung. Dieser Vorgang wiederholt
sich ständig.
414 834 Schwingkreis
a) Bei der Entladung des Kondensators über eine Spule
wird in der Spule ein Magnetfeld aufgebaut.
Diese Magnetfeldänderung ruft eine Induktionsspannung hervor, die mit einem Induktionsstrom
verbunden ist. Nach dem lenzschen Gesetz ist dieser
Induktionsstrom seiner Ursache entgegengerichtet.
Aufgrund dieses Induktionsstromes wird die Entladung des Kondensators verlangsamt. Wenn das Feld
im Kondensator abgebaut ist, nimmt die Entladestromstärke ab, wodurch wiederum in der Spule eine
Spannung induziert wird. Diese Induktionsspannung
ist mit einem Induktionsstrom verbunden, der nach
dem lenzschen Gesetz seiner Ursache entgegengerichtet ist. Dieser Induktionsstrom bewirkt eine
entgegengesetzte Aufladung am Kondensator. Die
im magnetischen Feld der Spule gespeicherte Energie
wird somit wieder in die Feldenergie des Kondensators umgewandelt. Wenn in der Spule keine magnetische Energie mehr gespeichert ist und kein Strom
mehr fließt, beginnt der Vorgang von Neuem.
Wenn der ohmsche Widerstand zu vernachlässigen
ist, wird in jeder Periode wieder die ursprüngliche
Kondensatorspannung erreicht.
Mit dem ohmschen Widerstand geht in jeder Periode
ein Teil der Energie in thermische Energie über. Die
Spannung nimmt von Periode zu Periode ab.
3.
415 334 Vergleich der Schwingungen
Merkmal
Mechanische
Schwingungen
Elektromagnetische
Schwingungen
a)
sich periodisch
ändernde
Größen
y, v, a, p, r,
Epot, Ekin
U, I, Eel, Emag
b)
Voraussetzung
für die Entstehung
− Schwingungsfähiger Körper bzw.
Schwingkreis
− eine einmalige Energiezufuhr
oder
− eine periodische Energiezufuhr
c)
Energieübertragungen
Epot a Ekin
Eel a Emag
d)
Ursache für die
Dämpfung
Reibung
Emech g Ei
− Stromfluss in
Leitern und Spule
führt zu ihrer
Erwärmung
− Im Eisenkern
der Spule wird
eine Spannung
induziert, die zu
Wirbelströmen
im Kern führt,
dadurch erwärmt
sich der Kern
− Efeld g Ei
b) T = 2 π √}
L · C = 5,6 ms
f = }1T = 178 Hz
4.
2.
415 244 Verlauf der Schwingung
a)
I in mA
415 964 Kondensator und Spule
1
a) f = }
}
2 π · √L · C
Induktivität und Kapazität ergeben sich aus
2
N ·A
L = μ0·}
l
100
50
0
–50
Mit
t in s
L = 9,4 mH
A
bzw. C = ε0 · }
.
d
und C = 18 pF
erhält man:
1
f=}
}
9,4 H · 18 F
0,02
√ 10 · 10
2π }
3
12
–100
f = 3,9 · 105 Hz = 0,39 MHz
b) An der Spule liegt eine Wechselspannung an.
Dadurch ändert sich ständig das von der Spule
umschlossene Magnetfeld. Dabei sind verschiedene
Phasen zu unterscheiden:
Bei Zunahme der Stromstärke verändert sich das von
der Spule umfasst Magnetfeld. Der damit verbundene Induktionsstrom wirkt seiner Ursache entgegen, bewirkt also ein langsameres Ansteigen der
Stromstärke.
b) Mit Einführen eines Eisenkerns vergrößert sich die
Induktivität der Spule. Demzufolge verkleinert sich
1 .
die Eigenfrequenz, da f ~ }
}
√L
5.
414 934 Frequenz des Schwingkreises
1
f= }
}
2 π √L · C
Es werden entweder sinnvolle Werte für C vorgegeben
und L berechnet oder man gibt Werte für L vor und
berechnet C. Wir wählen als Beispiel die erste Variante.
Die Umstellung nach L ergibt:
c) Die Resonanzfrequenz f eines Dipols errechnet sich
für seine Grundschwingung zu:
c
f=}
2l
λ·f
f=}
2l
1
L=}
2 2
4π ·f ·C
Für
C = 10 pF
erhält man:
3,4 m
l=}
2
1
L = }}}
2
6
–12
4 π · (433 ·10 Hz) · 10 · 10
L=
1,35 · 10 – 8
F
Weitere Werte können nach dem gleichen Verfahren
berechnet werden.
6.
410 094 Schwingkreis mit Rückkopplung
a) Um eine ungedämpfte Schwingung zu erhalten,
muss dem Schwingkreis ständig so viel Energie
zugeführt werden, wie in innere Energie umgewandelt wird. Dies muss im Takt der Eigenfrequenz des
Schwingkreises und in der richtigen Phase erfolgen.
b) Die Induktivität des Schwingkreises bildet die Primärspule eines Transformators, dessen Sekundärseite im
Basis-Emitterkreis eines Transistors liegt.
Fließt durch die Spule des Schwingkreises ein elektrischer Strom, so wird nach dem Induktionsgesetz auf
der Sekundärseite ein Basisstrom induziert. Dieser ist
verbunden mit einer Änderung des Kollektorstroms,
der im Takt der Eigenfrequenz des Schwingkreises
diesem seine Verlustenergie zuführt. Infolgedessen bleibt die Amplitude der elektromagnetischen
Schwingung konstant, es liegt eine ungedämpfte
Schwingung vor.
7.
l = 1,7 m
H
d) Bei vielen modernen Empfängern wird die Frequenz
des jeweiligen Senders angezeigt. Die Erläuterung
der Informationsübertragung kann sich an der Lehrbuchdarstellung orientieren. Statt des dort dargestellten analogen Verfahrens werden heute Informationen meist digital übertragen.
9.
412 854 Im Schatten des Hauses
a) Rundfunk:
Die Wellenlänge beträgt 0,1 bis 104 m
Sichtbares Licht:
Die Wellenlänge beträgt 3,9 · 10 – 7 bis 7,8 · 10 – 7 m
(390 –780 nm)
Wärmestrahlung:
Die Wellenlänge beträgt 3 · 10 – 5 bis 7,8 · 10 – 7 m
b) Für Radiowellen stellt das Haus ein Hindernis im
Bereich der Wellenlänge dar. Hinter dem Hindernis
breiten sich die Wellen durch Beugung aus.
412 654 Energieübertragung
Bei den genannten Bedingungen befinden sich die
Dipole in Resonanz, d. h., im Empfangsdipol fließt im
Bereich der Lampe eine maximale Stromstärke (Schwingungsbauch).
8.
412 794 Radioempfang
a) Es handelt sich um einen UKW-Sender, d. h., er ist im
VHF-Band zu empfangen.
b) c = λ · f
λ = }cf
c) Das Modell Lichtstrahl beschreibt den Schatten eines
Gebäudes für sichtbares Licht und Wärmestrahlung.
Dieses Modell ist sinnvoll für Hindernisse, die groß
sind gegenüber der Wellenlänge
Das Modell Welle beschreibt, wie die Radiowellen
auch hinter einem Gebäude zu empfangen sind, dieses Modell ist sinnvoll für Hindernisse, deren Größe
im Bereich der Wellenlänge liegt.
m
3 · 108 }
s
λ=}
6
88,8 · 10 Hz
λ = 3,4 m
239
240
10.
(LB S. 357 – 358)
c) t = }vs
413 554 Wellen im Vergleich
2 · 384 400 km · s
t = }}
300 000 km
Merkmal
Mechanische
Wellen
Elektromagnetische Wellen
a)
sich periodisch
ändernde Größen
y, v, a, p, r, Epot,
Ekin
u, i, Eel, Emag
b)
Voraussetzung
für die Entstehung
− mechanische
Schwingungen
− schwingungsfähige Teilchen/Körper,
die miteinander gekoppelt
sind
− elektromagnetische
Schwingungen
− Antenne
c)
13.
Eigenschaften
b) Mit f = 9,4 GHz ergibt sich eine Welle mit einer
Wellenlänge von:
λ = }cf
m
3 · 108 }
s
λ=}
= 3,2 cm
9
9,4 · 10 Hz
− breiten sich
im Vakuum
geradlinig mit
Lichtgeschwindigkeit aus
− durchdringen
Isolatoren
Da der Abstand zweier Schwingungsknoten }2λ ist,
erhält man auf 17 cm zehn Schwingungsknoten
(10 · 1,6 cm).
14.
413 464 Mobilfunk
Referat zum Mobilfunknetz:
Der Vortrag sollte eingehen auf die Bedeutung der
Funkzellen, deren Größe und gegenseitige Überschneidung, Strahlungsleistung und Reichweite der Sender für
die Netze bei unterschiedlichen Frequenzen.
414 094 Radar
Präsentation:
Radar ist die Abkürzung für „Radio Detection and Ranging“ („Funkortung und -abstandsmessung“). Das Prinzip besteht im Aussenden eines Funkimpulses und der
Detektion seines Echos, wenn der Funkimpuls an einem
Körper gestreut wurde. Aus der Zeitdifferenz zwischen
Aussenden und Empfangen des Pulses lässt sich der
Abstand des streuenden Körpers ermitteln. Wenn man
diese Messtechnik rotierend in alle Himmelsrichtungen
ausführt, bekommt man ein Bild von den Hindernissen
(oder Flugzeugen) in seiner Umgebung. (Das sind die
rotierenden Antennen auf den Masten von Schiffen und
auf den Türmen am Flughafen.)
Die Präsentation sollte neben der prinzipiellen Funktionsweise auf die historische technische Entwicklung
sowie auf eine aktuelle Anwendung eingehen.
12.
410 614 Stehende Mikrowellen
a) Bei der Wand muss es sich um einen Leiter handeln.
− Brechung
− Beugung
− Interferenz
− können Stoffe
durchdringen,
werden dabei
gedämpft bzw.
absorbiert
11.
t = 2,26 s
413 664 Interplanetarisches Radar
a) s = v · t
s = 300 000
km · 742,5
}
s
s
s = 2,2275 m · 108 km
b) Die Entfernung Erde – Mars entspricht bei der
beschriebenen Stellung etwa dem 1,5-Fachen der
Entfernung Erde – Sonne.
Vorschläge für Fragestellungen, die spezielle Themen
hervorheben:
a) Katastrophenschutz: was passiert, wenn alle gleichzeitig telefonieren wollen?
b) Wie können alle Mobiltelefone durcheinandersenden, ohne sich gegenseitig zu stören?
15.
413 684 Antenne am Kofferradio
Die Stabantenne am Kofferradio dient dem Empfang
der UKW- Sender im Bereich von 100 bis 200 MHz.
Nach der Formel für einen Sendedipol
l = }2λ
ergibt sich danach eine Länge von 37,5 bis 75 cm.
Das stimmt nicht mit der Beobachtung überein, dass das
Kofferradio typischerweise eine Teleskopantenne hat,
die sich bis auf maximal 40 cm ausziehen lässt.
Tatsächlich sind die Antennen des Radioempfängers
meistens als }4λ -Antennen ausgeführt. Damit erreicht man
ein Maximum für die Spannung am offenen Ende der
Antenne und ein Maximum für den Strom am anderen
Ende der Antenne. Hier muss eine geeignete Schaltung
der Empfangselektronik einen Stromfluss ermöglichen.
16.
413 694 Radio im Tunnel
Am Tunneleingang ist der Empfang des Radiosenders
noch gegeben. Im Tunnel werden die hertzschen Wellen
abgeschirmt. Dies passiert, wenn Stahlbeton oder Stahlträger als Baumaterialien verwendet wurden oder das
Erdreich sehr mineralhaltig ist. Die hertzschen Wellen
werden dann reflektiert und können nicht in den Tunnel
eindringen.
b) Für die Handystrahlung stimmt die genaue Abstimmung der Geräteöffnungen nicht exakt für die Wellenlänge der Strahlung. Daher kann die Strahlung
durch Beugung das Gehäuse passieren.
Handys stellen ihre Sendeleistung auf die gegebene
Situation ein. Das Handy in der Mikrowelle erhöht
also seine Sendeleistung, bis sie zu Kommunikation
mit der Basisstation ausreicht.
19.
17.
Ein einfacher Rundfunkempfänger besteht aus einem
Abstimmkreis, einem Demodulationskreis, einem Verstärker und einem Lautsprecher.
Mithilfe des Drehkondensators wird die Eigenfrequenz
des Abstimmkreises auf die Frequenz der Trägerschwingung abgestimmt. Liegt Resonanz vor, so empfängt der
Empfänger die hertzschen Wellen des Radiosenders, auf
denen die eigentliche Information (Sprache, Musik usw.)
aufmoduliert wurde.
Im Demodulationskreis erfolgt die Trennung vom Träger- und niederfrequenten Informationssignal. Dabei
stellt eine Halbleiterdiode, sie wirkt als Gleichrichter, das
wichtigste Bauteil dar. Sie trennt den negativen Schwingungsanteil ab und sorgt so für einen pulsierenden
Gleichstrom, der den Kondensator periodisch auflädt.
Durch geeignete Wahl eines parallel zum Kondensator
geschalteten Widerstandes verliert die hochfrequente
Trägerschwingung ihren Einfluss auf den Auf- und
Entladevorgang. Nach erfolgreicher Trennung vom
Trägersignal wird die eigentliche Information mithilfe
eines Transistors verstärkt und abschließend von einem
Lautsprecher oder Kopfhörer in Schall umgewandelt.
18.
418 584 Elektrosmog
410 874 Rundfunkempfänger
Unter Elektrosmog versteht man die in unserer Umwelt
vorhandenen, durch technische Anordnungen hervorgerufenen elektrischen, magnetischen und elektromagnetischen Felder.
Für elektrische, magnetische und elektromagnetische
Felder gibt es Grenzwerte, die nicht überschritten werden sollten. Teilweise werden auch Vorsorgewerte angegeben, die unter den Grenzwerten liegen. Angaben
dazu sind im Internet zu finden.
Für Mobiltelefone und andere Geräte werden SARWerte (spezifische Absorptionsrate) angegeben. Der
SAR-Wert ist ein Maß für die Absorption elektromagnetischer Strahlung in biologischem Gewebe. Bei Handys
liegt dieser Wert zwischen 0,10 und 2,0 W/kg.
Ob Elektrosmog für den Menschen gesundheitsschädlich ist, kann bisher nicht eindeutig belegt werden. Die
bisherigen Erfahrungen und Forschungen zeigen: Bei
Einhaltung der Grenzwerte ist keine gesundheitliche
Beeinträchtigung zu erwarten.
413 194 Mikrowellenstrahlung
a) Ein faradayscher Käfig, das heißt, eine vollständige
elektrisch leitende Hülle, sollte die Strahlung abhalten können. Damit jedoch keine Strahlung durch
Beugung an den notwendigen Öffnungen des Geräts
(Lüftungsöffnungen, Türspalt) austreten kann, müssen diese sehr klein gegenüber der Wellenlänge sein.
Tatsächlich stimmen jedoch die Hersteller der Geräte
die Öffnungen genau auf die verwendete Wellenlänge ab, sodass durch destruktive Überlagerung
(Wellenberg überlagert sich mit Wellental) keine
Strahlung aus dem Gerät austreten kann.
Daher ist es gefährlich, Gegenstände in den Türspalt
des Mikrowellengeräts zu schieben oder ein Mikrowellengerät in Betrieb zu nehmen, bei dem die Tür
verbogen ist, auch wenn der Spalt dadurch kleiner
geworden ist.
241
242
(LB S. 357 – 358)
Optik
3.5
Optik
β in Grad
Luft–Glas
40
30
Ausbreitung von Licht und Wechselwirkung mit Stoffen (LB S. 373 – 374)
Luft–Diamant
20
10
1.
0
415 414 Die Lichtgeschwindigkeit
418 524 Spiegelbilder
Die geschilderte Beobachtung an den Wänden des
Aquariums entsteht durch Totalreflexion. Da man sein
Spiegelbild nur sehen kann, wenn man senkrecht in den
Spiegel schaut, wird hier keine Totalreflexion auftreten.
Da der Fisch jedoch ausgedehnt ist, könnte für das Licht,
das von der Schwanzflosse ins Auge fällt der Grenzwinkel überschritten werden, sodass der Fisch immerhin
einen Teil seines Körpers in Totalreflexion sieht. Außerdem findet immer auch Reflexion zusätzlich zur Brechung statt. Dies hängt stark von der Beleuchtung ab.
Da Aquarien häufig beleuchtet sind und es deshalb im
Inneren deutlich heller als außen ist, dürfte der reflektierte Anteil des Lichts nicht unerheblich sein. Also wird
der Fisch sein Spiegelbild beobachten können.
3.
10
Luft – Glas
b)
30
40
50
60
70
α in Grad
80
c) Dieser Zusammenhang tritt auf, wenn die optische
Dichte beider Stoffe gleich groß ist. Das ist z. B.
bei Kanadabalsam (n = 1,54) oder Zedernholzöl
(n = 1,505) und bestimmten Glassorten der Fall.
415 744 Totalreflexion und Brechzahl
4.
Für den Grenzwinkel der Totalreflexion gilt:
c
1
1
sin αG = }
c oder sin αG = }
n
2
414 104 Brechung an Oberflächen
a) Je größer der Einfallswinkel α ist, desto größer ist
der Brechungswinkel β. Der Zusammenhang ist nicht
linear. Mit zunehmendem Einfallswinkel vergrößert
sich der Brechungswinkel immer weniger.
20
Die Grenzwinkel für die Totalreflexion betragen
beim Übergang von Glas in Luft 41,8° und beim
Übergang von Diamant in Luft 24,6°.
Es kann eine der im Lehrbuch dargestellten Möglichkeiten ausgewählt werden.
2.
0
n
αG
1,2
56,4°
1,4
45,6°
1,6
36,7°
1,8
33,7°
2,0
30,0°
αG in °
80
Luft – Diamant
α
β
α
β
20°
13,2°
20°
8,2°
40°
25,4°
40°
15,5°
60°
35,5°
60°
21,2°
80°
41,0°
80°
24,2°
90°
41,8°
90°
24,6°
Damit ergibt sich folgendes Diagramm:
60
40
20
0
0
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
n
Mit Verkleinerung der (relativen) Brechzahl wird der
Grenzwinkel der Totalreflexion immer größer und strebt
schließlich gegen 90°.
243
244
5.
(LB S. 373 – 374)
418 754 Glasfaserkabel
1
a) Für die Grenzwinkel der Totalreflexion gilt: sin αG = }
n
Damit erhält man:
1
sin αG = }
1,60
αG = 38,7°
1
sin αG = }
1,55
αG = 40,2°
Für den Übergang zwischen den beiden Stoffen gilt:
1,55
}
1,60
sin αG =
αG = 75,6°
b) Unter dem maximal möglichen Einstrahlwinkel
versteht man den Winkel, der vorhanden sein muss,
damit das einfallende Licht im Kern fortgeleitet wird.
Aus geometrischen
Betrachtungen folgt:
α = 2 (90° – αG)
Strahl 2:
Der Brechungswinkel
ist bei Strahl 1 berechnet.
Im Weiteren verläuft
der Lichtstrahl symmetrisch.
30°
18°
18°
78°
60°
30°
Strahlen 3 und 4:
(3) Bei 45° tritt Totalreflexion auf, da der Grenzwinkel
folgenden Wert hat:
1
1 ; α ≈ 39°
sin αG = }
= 1,6
G
n }
(4) α1 = 45°
sin α
sin 45°
1
=}
= 1,6; β1 ≈ 26°
}
sin β
sin β
1
1
α2 = 19°
α
sin β
sin β
2
2
=}
; β ≈ 31°
}
sin 18,8° 2
sin α
2
α = 28,8°
45°
(3)
6.
60°
414 654 Rechtwinkliges Prisma
45°
45°
In der Skizze ist der prinzipielle Strahlenverlauf
angegeben.
α2
α1
(4)
β1
β2
α1
β1
α2
β4
α2'
α4
α3
45°
α3' 45°
Mit α1 = 45° und n = 1,5 ergibt sich:
sin α
1
sin β1 = }
n = 0,4714
45°
β1 ≈ 28,1°
α2 = 90° – β1 = 67,9° = α2‘
α3 = α2 – 45° = 16,9°
α4 = 45° – α3 = 28,1° = β1
β4 = α1 bzw. sin β4 = n · sin α4
7.
8.
418 364 Verschiedene Prismen
Angegeben sind die Strahlenverläufe und die Winkel für
eine Brechzahl des Glases von n = 1,6.
α1 = 30
Strahl 1:
sin α1 sin 30°
=}
}
sin β1
sin β1
= 1,6; β1 ≈ 18°
β1 = 18
1
1 ; α ≈ 39°
sin αG = }
= 1,6
G
n }
Totalreflexion bei α2 = 42°
sin β
sin β
3
3
=}
= 1,6; β1 ≈ 30°
}
sin α
sin 180°
3
60°
α2 = 42
α3 = 18
60°
60°
β3 = 30
414 994 Planparallele Glasplatte
Der Abstand x kann
allgemein berechnet
werden. Damit erhält
man eine Gleichung mit
den Parametern α, n
und d.
α
β
d
c
x
Aus sin(α – β) = }xc folgt:
x = c · sin(α – β)
d
Mit c = }
erhält man:
cos β
d · sin(α – β)
x=}
(1)
cos β
}
sin α
Mit cos β = √1 – sin2β und sin β = }
ergibt sich:
n
Optik
}
2
√
sin α .
cos β = 1 – }
2
n
In (1) eingesetzt erhält man:
Lichtquelle
d · sin(α – β)
.
x=}
}
2
weißes
Licht
farbiges
Licht
sin α
√1 – }
n
2
Mit sin(α – β) = sin α · cos β – cos α · sin β ergibt sich:
Prisma
d (sin α · cos β – cos α · sin β)
x = }}
}
2
sin α
√1 – }
n
2
oder umgeformt:
415 044 Reflexion an einem Spiegel
11.
d · n · cos α · sin β
x = d · sin α – }}
}
2
2
√n – sin α
sin α
Mit sin β = }
erhält man nach Umformung:
n
cos α
x = d · sin α 1 – }
.
}
2
2
(
√n – sin α
)
Zeichnet man die Elementarwellen in den Auftreffpunkten auf dem Spiegel zu dem Zeitpunkt, bei dem die
äußerste Wellenfront den Spiegel trifft, dann ergibt sich
als Einhüllende dieser Wellen gerade die von der gespiegelten Wellenfront ausgehende Welle.
Die Interpretation ergibt:
a) Mit Vergrößerung des Einfallswinkels vergrößert sich
bei d = konst. und n = konst. der Abstand x.
b) Mit Vergrößerung der Brechzahl vergrößert sich bei
α = konst. und d = konst. der Abstand x.
c) Mit Vergrößerung der Dicke vergrößert sich bei
α = konst. und n = konst. der Abstand x.
9.
414 334 Lichtgeschwindigkeit in Glas
Auf die Rückseite eines quaderförmigen Glasblocks
klebt man einen Maßstab. Die Vorderseite klebt man bis
auf einen schmalen Spalt ab.
Nun lässt man zunächst Licht senkrecht durch den
Spalt fallen und liest an dem Maßstab die Position des
Lichtflecks ab. Dann kippt man den Quader um einen
definierten Winkel α. Und liest erneut die Position auf
dem Maßstab ab.
Aus den abgelesenen Positionen und der Dicke des
Quaders kann man den Brechungswinkel bestimmen.
Zusammen mit dem Kippwinkel kann man unter Verwendung des Brechungsgesetzes den Brechungsindex
n bestimmen. Dieser liefert als Quotient zur Lichtgeschwindigkeit im Vakuum dann die Lichtgeschwindigkeit in Glas.
10.
414 354 Spektralfarben
Fällt weißes Licht auf ein Prisma, so entsteht hinter dem
Prisma ein Farbband (Spektrum). Die Ursache hierfür ist
die Dispersion, das heißt, die unterschiedliche Brechung
an der Grenzfläche für unterschiedliche Wellenlängen.
L
Spiegel
L'
414 814 Totalreflexion
12.
Totalreflexion kann nur beim Übergang von einem
optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium
auftreten, hier also beim Übergang von Glas in Luft. Der
Einfallswinkel ist in diesem Fall gleich dem Brechungswinkel beim Übergang Luft – Glas:
c
G
sin β = sin α ∙ }
c
L
Bei α = 90° (sin α = 1) würde das einfallende Licht gerade
den Grenzwinkel der Totalreflexion erreichen. Es erfolgt
also bei allen Winkeln α < 90° keine Totalreflexion. Das
entspricht den Alltagserfahrungen.
Hinweis: Die zu beobachtenden Reflexionen an Glasscheiben sind nicht auf Totalreflexion zurückzuführen,
sondern auf eine partielle Reflexion des einfallenden
Lichts.
13.
423 904 Fata Morgana
Heißere Luft hat eine geringere Dichte als kalte Luft.
Aus diesem Grunde ist auch der Brechungsindex geringer.
An Luftschichten unterschiedlicher Temperatur kann
das Licht daher, wie in der Skizze gezeigt, eine Kurve
beschreiben.
Auf heißem Asphalt sind die wärmeren Schichten unten.
Folglich sieht man den Himmel, wenn man seinen Blick
nach unten richtet.
In der Wüste wird dieser sich am Boden spiegelnde Himmel leicht fälschlicherweise für eine ferne Küste gehal-
245
246
(LB S. 373 – 374)
ten. Gelegentlich kommt es in der Wüste aufgrund der
starken Temperaturschwankungen zwischen Tag und
Nacht auch zu einer umgekehrten Luftschichtung. Diese
führt dazu, dass man quasi um die Erdkrümmung herum
sehen kann. Eine sehr weit entfernte Stadt scheint dann
in erreichbarer Entfernung zu sein.
15.
414 674 Wege und Zeiten
a) Für die Rettung sollte die Zeit, die der Rettungsschwimmer von A nach B braucht, ein Minimum sein.
Das dürfte bei Weg 3 der Fall sein, denn der Rettungsschwimmer bewegt sich auf Land wesentlich
schneller als im Wasser und es gilt t ~ }1v .
b)
A
s1
50 m
x
80 m – x
E
C
s2
D
30 m
B
Die Zeit t ergibt sich mit t = }vs aus den Teilwegen und
den entsprechenden Geschwindigkeiten:
419 094 Die Drehspiegelmethode
14.
t(x) = t1 + t2
Der prinzipielle Versuchsaufbau ist in der Skizze dargestellt. Durch eine Blende fällt Licht im Punkt C auf einen
drehbar gelagerten Spiegel. Dieser Spiegel reflektiert
das Licht auf den Hohlspiegel H, dessen Krümmungsmittelpunkt in C liegt. Licht, das auf den Hohlspiegel trifft,
wird von ihm in Richtung C reflektiert.
Solange der Spiegel S seine Lage nicht ändert, würde
das Bild des Spalts genau im Bereich der Blendenöffnung entstehen.
Rotiert der Spiegel S, so trifft das vom Hohlspiegel H
reflektierte Licht den Spiegel nach der Reflexion in einer
etwas anderen Stellung. Hat sich der Spiegel um den
Winkel α gedreht, so ist das Bild des Spalts gegenüber
der ursprünglichen Reflexionsrichtung um 2 α abgelenkt.
Aus dem Winkel und der Drehzahl des Spiegels kann
man die Zeit berechnen, in der das Licht die Strecke
durchläuft. Die Lichtgeschwindigkeit ergibt sich dann
zu:
c
}
2  CH
=}
t
1862 gab FOUCAULT einen experimentell ermittelten Wert
von 298 000 km/s an.
Die Bedeutung des Verfahrens von FOUCAULT besteht
neben der hohen Messgenauigkeit vor allem darin, dass
zwischen Spiegel und Hohlspiegel auch andere Stoffe
eingebracht werden konnten. So wies FOUCAULT nach,
dass die Lichtgeschwindigkeit in Wasser und Glas wesentlich kleiner als die in Luft ist.
√}}
√}}
(50 m)2 + x2
(30 m)2 + (80 m – x)2
t(x) = }}
+ }}
m
m
8}
s
4}
s
c) Das Minimum der Zeit lässt sich aus dem Graphen
der unter b) genannten Funktion ablesen. Diesen
Graphen erhält man aus berechneten Wertepaaren.
Einfacher ist die Eingabe der Funktion in einen Funktionsplotter (stehen im Internet zur Verfügung) bzw.
einen GTR. Das Minimum liegt bei etwa 67 m.
Hinweis: Das Bilden der ersten Ableitung und das Berechnen des Extremwerts übersteigt die schulischen
Möglichkeiten.
Aus dem Brechungsgesetz ergibt sich:
sin α
m
8}
c
s
= c1 = }
}
m = 2,0
sin β }
2
4}
s
}
Mit x = 67 m erhält man für s1 = AE = 83,6 m und
67 m
sin α = }
.
83,6 m
}
Entsprechend ergibt sich für s2 = EB = 32,7 m und
13 m
sin β = }
.
32,7 m
Damit erhält man:
sin α
67 m ∙ 32,7 m
= 83,6 m ∙ 13 m = 2,01
}
sin β }
247
Optik
Spiegel, Linsen und optische Geräte
(LB S. 389 – 390)
1.
Abstand dieses Punkts von der Linse ist die Brennweite.
g
b) Aus der Linsengleichung folgt, dass f = }
ist.
2
419 814 Größe eines Spiegels
Bei an der Wand senkrecht aufgehängten Spiegeln beobachtet man, dass sich der Ausschnitt, den man sehen
kann, mit dem Abstand des Betrachters vom Spiegel verändert, jedoch der Ausschnitt, den der Betrachter von
sich selbst sieht, nahezu unverändert bleibt. Der Spiegel
muss so aufgehängt werden, dass die obere Kante des
Spiegels auf Höhe der Mitte zwischen den Augen und
dem oberen Rand der Person ist. Er muss genau halb so
groß wie die Person sein. Entsprechend muss er genau
halb so breit wie die Person sein. Der Betrachter kann
sich dann in jeder Entfernung vom Spiegel vollständig
sehen, wenn er sich mittig zum Spiegel stellt.
Man kann jedoch auch mit einem kleineren Spiegel auskommen, wenn man ihn z. B. schräg an die Decke hängt.
c)
I
G
B
d
g1
b1
z
1
1
1
1
+}
=}
+}
Es gilt: }1f = }
g
b
g
b
1
2.
II
1
2
2
g b
g b
1 1
2 2
oder f = }
=}
;
g +b
g +b
1
1
2
2
Für z und d ergibt sich:
417 124 Zerstreuungslinse
z = g1 + b1
a)
d = b1 – g1
G
F
Beide Gleichungen kann man miteinander
verbinden:
F
(z + d)
z + d = 2 b1 gb1 = }
2
B
(z – d)
z – d = 2 g1 gg1 = }
2
2
2
4b g
(z + d) (z – d)
z –d =
1 1
=}
=f
}
}
4z
4z
4 (g + b )
1
1
d) Experimentelle Bestimmung der Brennweite
b) Man erhält ein virtuelles Bild.
c) Das Bild ist immer verkleinert, aufrecht und seitenrichtig.
d) Aus der Skizze oben ergibt sich nach dem Strahlensatz:
B
}
G
=
b
}
g
=
=1–
b
}f
Durch weitere Umformungen erhält man:
1
}
–f
=
1
}
g
1
a) Die Abbildungsgleichung lautet: }1f = }
+ b1 . Die Umg }
stellung nach der Bildweite b ergibt:
f·b
b(g) = }
= ff
b–f }
(1 – }g)
f–b
}
f
Die Umformung ergibt:
b
}
g
419 514 Die Abbildungsgleichung
4.
+
1
}
–b
Der Vergleich mit der Abbildungsgleichung zeigt: Für
eine Zerstreuungslinse gilt die Abbildungsgleichung.
Man muss aber f und b negativ ansetzen.
Die Bildweite ist von der Brennweite der Linse und
von der Gegenstandsweite abhängig. Bei konstanter
Brennweite f gilt:
(
)
f
− Bei g > f ist der Term 1 – }
< 1, damit die Bildg
weite größer als die Brennweite.
(
)
f
gegen null, die
− Bei g g f geht der Term 1 – }
g
Bildweite damit gegen unendlich.
(
)
f
< 0, die Bildweite
− Bei g < f ist der Term 1 – }
g
damit negativ. Das Bild liegt auf der gleichen Seite
3.
der Linse wie der Gegenstand (virtuelles Bild).
416 284 Brennweite einer Linse
a) Man bewegt die Linse solange senkrecht zum Schirm,
bis sich die Lichtstrahlen in einem Punkt treffen. Der
b) Als Brennweite wird ein beliebiger Wert, z. B.
f = 10 cm, angenommen. Dann erhält man folgende
Wertetabelle:
248
(LB S. 389 – 390)
g in cm
10
20
30
40
50
b in cm
∞
20
15
13,3
12,5
g in cm
60
70
80
90
100
b in cm
12
11,7
11,4
11,3
11,1
b)
Film als Schirm
Bild
b in cm
Linse
Gegenstand
20
10
c)
0
–10
f
20
40
60
80
100
g in cm
Schirm
Umlenkspiegel
–20
Bild
Geht die Gegenstandsweite gegen die Brennweite,
so geht die Bildweite gegen unendlich.
Bei ständiger Vergrößerung der Gegenstandsweite
nähert sich die Bildweite der Brennweite.
Bei g < f nähert sich bei Verringerung der Gegenstandsweite die Bildweite null.
5.
Objektiv
Gegenstand
Kondensor
Lichtquelle
415 384 Verschiedene Bilder
Hohlspiegel
Bildkonstruktion und Berechnungen. Man erhält mit
den angegebenen Daten folgende Werte:
7.
a) Sammellinse
g = 1 cm
g = 4,5 cm
b = – 1,5 cm
b = 5,6 cm
B = 2,6 cm (virtuell)
B = 2,1 cm (reell)
b) Zerstreuungslinse
g = 1 cm
b = – 0,7 cm
g = 4,5 cm
b = – 1,6 cm
c) Hohlspiegel
g = 1 cm
g = 4,5 cm
b = – 1,5 cm
b = 5,0 cm
B = 1,7 cm (reell)
d) Wölbspiegel
g = 1 cm
g = 4,5 cm
b = – 0,7 cm
b = – 1,5 cm
6.
416 454 Verschiedene Geräte
a)
Hohlspiegel
Objektiv
Kondensor
Lampe
Schirm
419 184 Sehfehler
Bei Nacht ist die Pupille geweitet. Deshalb sind die
Scheibchen auf der Netzhaut größer und man sieht
unschärfer.
8.
418 254 Ein spezielles Fernrohr
Ein Mikroskop ist so konstruiert, dass man kleine Gegenstände in der Brennebene des Objektivs vergrößert
beobachten kann. Ein Fernrohr dagegen soll weit entfernte Gegenstände unter einem größeren Sehwinkel
und nicht wirklich vergrößert anzeigen. Dazu wählt man
beim Objektiv des Mikroskops eine kleine Brennweite
und beobachtet mit dem Okular das reelle Zwischenbild,
das das Objektiv in vielen Brennweiten Entfernung im
Tubus erzeugt. Würde man dieses Mikroskop auf einen
weit entfernten Gegenstand richten, so würde es ein
verkleinertes Bild nahe am Objektiv im Tubus erzeugen.
Dies wäre weit außerhalb der Brennweite des Okulars,
sodass dieses nicht als Lupe wirken würde, sondern ein
noch mal verkleinertes reelles Bild erzeugen würde.
Deshalb kann das Mikroskop nicht als Fernrohr benutzt
werden. Außerdem ist die Helligkeit des Bildes von der
Objektivöffnung abhängig. Diese wäre beim Mikroskop
viel zu klein.
Dia
249
Optik
419 084 Brennpunkt gefragt
9.
Man zeichnet einen beliebigen Gegenstand ein und
von einem Punkt den Mittelpunktstrahl. Dieser schneidet den gegebenen Strahl im Bildpunkt. Durch diesen
wiederum muss der Parallelstrahl gehen, der aus dem
Brennpunktstrahl durch Brechung an der Linse wird.
Er schneidet die optische Achse im Brennpunkt. Den
2. Brennpunkt erhält man durch Spiegelung an der
Linsenebene.
F
417 624 Brille als Feuerzeug
Man kann mit einer Sammellinse ein Feuer anzünden,
indem man brennbares Material in den Brennpunkt der
Sammellinse bringt und von der anderen Seite der Linse
Sonnenlicht parallel zur optischen Achse einfallen lässt.
Nicht jede Brille besteht aus einer Sammellinse, deshalb
muss es eine Brille für Weitsichtige (Lesebrille) sein. Eine
Gleitfocusbrille ist für den genannten Zweck ungeeignet.
11.
419 404 Ein scharfes Bild
1
Die Bildweite ergibt sich aus }1f = }
+ b1 zu:
g }
1
1
= 1f – }
oder
}
b }
g
a) Ebene Spiegel haben den Vorteil, dass andere Fahrzeuge, Personen oder Gegenstände in der Größe erscheinen, die sie haben. Der Blickwinkel ist allerdings
relativ stark eingeschränkt.
Bei einem Wölbspiegel ist der Blickwinkel größer. Gegenstand und Bild haben allerdings unterschiedliche
Größe. Das kann von Nachteil sein.
b) Das ist bei einem ebenen Spiegel der Fall.
Begründung: Bei einem ebenen Spiegel sieht man
den Gegenstand so, wie man ihn auch ohne Spiegel
sehen würde. Das Spiegelbild entspricht den Sehgewohnheiten. Damit sind auch Relativgeschwindigkeiten besser abschätzbar als bei einem Wölbspiegel,
bei dem die Bildgröße nicht gleich der Größe ist, die
man ohne Spiegel wahrnehmen würde. Darüber hinaus verändert sich die Bildgröße mit der Entfernung,
was eine Geschwindigkeitseinschätzung schwieriger
macht.
L
10.
416 154 Pkw-Spiegel
12.
f·g
b=}
g–f
0,3 m ∙ 50 m
b=}
= 0,302 m
50 m – 0,3 m
417 294 Brennweite eines Objektivs
13.
Nach der besselschen Methode ergibt sich die Brennweite zu:
2
2
2
(100 cm) – (13 cm)
f = }}
4 ∙ 100 cm
f = 24,6 cm = 246 mm
Es gäbe folgende weiteren Möglichkeiten: Es wird paralleles Licht durch das Objektiv geschickt, der Brennpunkt
ermittelt und daraus die Brennweite bestimmt. Dabei
entsteht allerdings bei einem realem Objektiv das kaum
zu lösende Problem der Bezugsebene für die Brennweite (Linsenebene).
Das Gleiche gilt für die Bestimmung der Brennweite aus
Gegenstandsweite und Bildweite.
Für die unterschiedlichen Bildweiten kann man die Gegenstandsweiten (Bereich der Tiefenschärfe) berechnen:
f·b
g=}
b–f
2
z –d
f=}
4z
(I)
(II)
G
0,3 m ∙ 0,304 m
g1 = }}
= 22,8 m
0,304 m – 0,3 m
0,3 m ∙ 0,300 m
g2 = }}
g∞
0,300 m – 0,3 m
Es werden Gegenstände scharf abgebildet, die sich in
etwa 23 m Entfernung oder weiter vom Fotoapparat
entfernt befinden.
Hinweis: In diesem Zusammenhang kann der Einfluss
der Blende auf die Tiefenschärfe ausführlicher diskutiert
werden.
d = 13 cm
z = 100 cm
14.
416 244 Strahlengang umgekehrt
a) Wenn ich z. B. die Augen einer Person im Spiegel
sehe, dann sieht die Person meine Augen ebenfalls.
S
250
(LB S. 410 – 412)
Beugung, Interferenz, Polarisation,
Spektren (LB S. 410 – 412)
b) Wenn man b und g vertauscht, dann erhält man
dieselbe Gleichung.
c) Man erhält einen Fotoapparat.
1.
15.
418 504 Fernrohre
Recherche-Aufgabe: Ein wesentlicher Unterschied besteht darin, dass beim keplerschen Fernrohr ein umgekehrtes, seitenvertauschtes Bild und beim galileischen
Fernrohr ein aufrechtes, seitenrichtiges Bild entsteht. Ein
umgekehrtes Bild kann im Hinblick auf Anwendungen
von Nachteil sein.
Zu beobachten sind typische Interferenzerscheinungen.
Feines Gewebe oder Vogelfedern wirken wie ein optisches Gitter.
Hinweis: Bei Gewebe handelt es sich um ein Kreuzgitter,
auf das im Unterricht in der Regel nicht näher eingegangen wird.
2.
16.
410 664 Doppelspalt
Beleuchtet man zwei eng benachbarte Spalte mit kohärentem, monochromatischem und parallelem Licht, dann
können die beiden Spalte als Zentren von huygensschen Elementarwellen betrachtet werden. Die beiden
Wellensysteme überlagern sich und ergeben auf einem
Bildschirm ein stabiles Interferenzmuster mit Bereichen
der Verstärkung und Bereichen der Abschwächung bzw.
Auslöschung, so wie das in der Skizze dargestellt ist.
413 804 Ein Beamer
Die optische Bauweise eines Beamers entspricht der
416 454 ).
eines Bildwerfers (b Lern-Code
17.
418 244 Interessante Phänomene
419 794 Digitalkameras
Recherche-Aufgabe: Bei modernen Digitalkameras gibt
es recht viele verschiedene Varianten. Typische Beispiele
sind:
Porträtaufnahmen: Kurze Verschlusszeit, große Blende,
Zusatzbeleuchtung zur Vermeidung des Rote-AugenEffekts.
Landschaftsaufnahmen: Längere Verschlusszeit, kleine
Blende zur Erhöhung der Tiefenschärfe
Sportaufnahmen: Kurze Verschlusszeit, große Blende,
damit auch bei schnellen Bewegungen ein scharfes Bild
entsteht.
Die Verschlusszeiten werden automatisch so gewählt,
dass die Verwacklungsgefahr gering ist. Um eine Verwacklung zu vermeiden, werden auch Bildstabilisatoren
genutzt.
3.
18.
410 684 Konstruktive Interferenz
416 884 Brille als Linse
Es gilt nach dem Satz des PYTHAGORAS:
Man benötigt die Brille eines weitsichtigen Menschen,
denn diese Brille hat als Brillengläser Sammellinsen.
Hinweis: Eine Gleitsichtbrille ist ungeeignet.
19.
(
)
(
)
b 2 + e 2 und y 2 = x – b 2 + e 2
y 21 = x + }
}2
2
2
Subtrahiert man die beiden Gleichungen voneinander,
dann ergibt sich:
(
) (
)
b2– x–b2=
y 21 – y 22 = x + }
}2
2
416 094 Trick mit Loch
2
Bei einem kurzsichtigen Menschen entsteht auf der
Netzhaut des Auges von einem Gegenstandspunkt kein
scharfer Bildpunkt, sondern ein mehr oder weniger
großer Lichtfleck. Dadurch erscheint das Bild des Gegenstands insgesamt unscharf. Durch eine Blende wird
die Größe des Lichtflecks reduziert. Das Bild des Gegenstands ist schärfer.
2
b – x2 + b·x – b = 2b·x
x2 + b·x + }
}
4
4
oder
(y1 – y2) · (y1 + y2) = 2 b · x.
Nun ist Δy = y1 – y2 und y1 + y2 ≈ 2a.
Damit ergibt sich
2 b · x = b · x,
Δy = }
}
e
2e
b · x.
also ist für das 1. Maximum λ = }
e
251
Optik
b) Für die Beugungsmaxima 2. Ordnung ist k = 2
2,1
der Abstand zur Schirmmitte x = }
cm.
2
Damit gilt:
410 704 Unbekanntes Gitter
4.
Für die Maxima beim Gitter gilt allgemein:
–6
und
2
x · b = 1,05 · 0,4 mm = 1,2 · 10 m = 700 nm
λ=}
}
}
3 m·2
6m
k·λ
sin αk = }
b
e·k
Die Umstellung nach b ergibt:
k·λ
c) Betrachtet man die Formel für die Maxima α = }
b
mit k = 0, ±1, ±2, …, so ist der Winkel, unter dem
Maxima für k ≠ 0 beobachtet werden, von der
Wellenlänge abhängig. Licht mit größerer Wellenlänge wird stärker gebeugt. Für k = 0 ist der Winkel aber immer 0°, deshalb treffen im 0. Maximum
alle Farben zusammen und man beobachtet weißes
Licht.
k·λ
b=}
sin α
k
Mit
k = 1 und
α1 = 30°
erhält man:
500 nm = 1 000 nm
b=}
sin 30°
5.
416 194 Interferenz am Doppelspalt
d) Das Maximum 1. Ordnung ist vom Maximum 2. Ordnung scharf zu trennen, wenn die am weitesten abgelenkte Farbe des Maximums 1. Ordnung weniger
abgelenkt wird als die am wenigsten abgelenkte
Farbe des Maximums 2. Ordnung.
a)
1·λ
b
2·λ
1
2
<}
.
}
b
b
α
α
Dies ist erfüllt, weil
780 nm < 2 · 400 nm.
Δs
Für einen relativ weit entfernten Schirm können wir
die Strahlen aus den beiden Spalten, die zum gleichen Schirmpunkt gehen, als parallel annehmen.
Der Winkel α, den sie zum Lot auf den Schirm einnehmen, tritt dann auch in dem kleinen Dreieck auf,
das den Gangunterschied der Strahlen enthält. In
diesem Dreieck gilt:
Δs
sin α = }
b
Für Maxima muss der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches von λ sein, für Minima ein ungeradzahliges Vielfaches von }2λ .
k · λ , k = 0, ±1, ±2, …
Maxima: sin α = }
b
Minima: sin α =
(2 k+ 1) · λ
,
}
2b
410 724 Anzahl der Maxima
6.
Für die Maxima beim Gitter gilt:
k·λ
sin α = }
k = 0, ±1, ±2, …
b
Die rechte Seite dieser Gleichung wächst monoton mit
zunehmendem k. Die Sinus-Funktion kann aber nur
Werte zwischen –1 und 1 annehmen. Es muss also für k
k · λ ≤ 1 erfüllt sein.
die Bedingung | }
b |
Daraus ergibt sich für positive k:
–6
b = 2 · 10 m ≈ 2,6.
k≤}
}
–6
λ
0,78 · 10
m
Es können also nur Maxima bis zur 2. Ordnung beobachtet werden. Das sind auf jeder Seite 2 und
das 0. Maximum, also insgesamt 5 Maxima.
k = 0, ±1, ±2, …
7.
410 744 Messung der Wellenlänge
x
α
x
}2
e
α
Im Dreieck, das der Strahl mit dem Lot auf den
Schirm bildet, gilt:
tan α = }ax .
Da für kleine Winkel tan α ≈ sin α ist, kann man
die beiden Gleichungen gleichsetzen:
k·λ
}ex = }
b
e
Um die Wellenlänge messen zu können, muss mindestens ein weiteres Maximum auf dem Schirm beobachtet
werden. Der Rand des Schirms ist mit der Mitte des
Schirms vom Gitter unter einem Winkel α zu sehen, für
den gilt:
252
(LB S. 410 – 412)
x
1m
tan α = }
=}
= }14 und damit ergibt sich
2e
2·2 m
k > }12
α = 14°.
Es überlappen sich also schon das 1. und das 2. Maximum.
Für das Maximum 1. Ordnung beim Gitter gilt:
b) Das Spektrum 2. Ordnung beginnt mit λ2 (blau). Sei λ
die Wellenlänge 1. Ordnung, die auf den Beginn des
Spektrums 2. Ordnung fällt, dann gilt:
1 mm , also
sin α = }λ mit b = }
200
b
1 mm · sin 14° = 1,21 · 10–6 m.
λ = b · sin α = }
200
8.
λ2 · (2 · 2 + 1) = λ · (2 · 1 + 1)
λ = }53 λ2 = 667 nm
418 994 Interferenz am Gitter
c) Alle Farben von 400 nm bis 666 nm (blau bis hellrot)
im Spektrum 1. Ordnung sind also Spektralfarben, da
erst bei 667 nm die Überlappung mit dem Spektrum
2. Ordnung beginnt.
a) Für die Maxima beim Gitter gilt:
s
k·λ = k
sin αk = }
}
e
(für sk >> e).
b
s
k·λ = k
b) Aus }
}
e
b
mit k = 1:
ergibt sich durch Umstellung nach λ
s
k
λ = b·}
e
λ = 0,01
d) Damit eine Überlappung beobachtet werden kann,
muss man das Blau der 2. Ordnung noch beobachten,
also muss gelten:
5λ
2b
sin αblau, 2. Ordnung = }2 < 1
2,3 cm
mm · }
50 cm
b > 2,5 λ2 = 1 μm
λ = 0,00 046 mm = 460 nm
c) f = }λc
e) Damit die Randfarben der Spektren m-ter und n-ter
Ordnung aufeinander fallen, muss gelten:
km
300 000 }
m
3 ∙ 10 8}
(2 n + 1) · λ
(2 m + 1) · λ
s
s
f=}
=}
–7
460 nm
2
2
=}
}
2b
2b
f = 6,5 ∙ 1014 Hz
(2 n + 1) · 400 nm = (2 m + 1) · 800nm
4,6 ∙ 10
m
2n + 1 = 4m + 2
9.
410 814 Weißes Licht am Doppelspalt
n = 2 m + 0,5
Ist m ganzzahlig, dann ist n nicht ganzzahlig, also
können die Randfarben nicht aufeinander fallen.
a) Überlappung tritt auf, wenn die am weitesten gebeugte Farbe des Spektrums weiter abgelenkt wird
als die am wenigsten gebeugte Farbe des Spektrums
nächsthöherer Ordnung. Es gilt:
m
3 · 108 }
c =
s
λ1 = }
= 800 nm
}
14 1
f1
und
m
3 · 108 }
c =
s
λ2 = }
= 400 nm
}
14 1
f2
7,50 · 10
10.
410 824 Biprisma von Fresnel
}s
3,75 · 10
}s
Für Überlappung muss gelten:
Das von der Lichtquelle L ausgehende Licht wird an
den beiden Prismen gebrochen. Durch die Brechung am
Biprisma entstehen die beiden virtuellen Bilder L1 und
L2 der Lichtquelle L, also Stellen, von denen das Licht
herzukommen scheint. Durch die Gangunterschiede
entstehen typische Interferenzmuster.
αn + 1 < αn
sin αn + 1 < sin αn
32
(k + 1) +14 λ
(2k + 1) λ
2
< }1
}}
2b
2b
(2k + 3) · 400 nm < (2k + 1) · 800 nm
11.
410 944 Grünes Licht am Doppelspalt
Aus
Δs erhält man:
sin α k = }
b
Δs
b=}
sin α
k
–4
2k + 3 < 4k + 2
2 · 4,93 · 10 mm
b = }}
sin 30°
b = 1,97 · 10 –3 mm = 2 μm
1 < 2k
Der Spaltabstand (Gitterkonstante) beträgt 2 μm.
Optik
12.
415 984 Drei Farben am Gitter
a) Die Wellenlänge in Wasser ist kleiner als die Wellenlänge in Luft. Es gilt:
λ
415 464 Fernrohre
14.
c
3
W
W
1
=}
}
cL = }
n=}
4
λ
L
Für die Maxima beim Gitter gilt:
Je größer der Objektivdurchmesser ist, desto mehr Licht
kann „eingesammelt“ werden. Das ist erforderlich, um
auch lichtschwache Objekte beobachten zu können.
Das Auflösungsvermögen vergrößert sich mit Vergrößerung des Objektivdurchmessers.
k · λ mit k = 0, ± 1, ± 2 …
sin α = }
b
Da Licht mit größerer Wellenlänge stärker gebeugt
wird, muss man, um vollständige Spektren zu beobachten, die gelbe Linie mit 578 nm untersuchen.
Da die Sinusfunktion nur Werte zwischen –1 und 1
annehmen kann, muss für positive k
k·λ ≤ 1
}
b
sein. Also
b = 1 750 nm = 3,03.
k≤}
}
λ
578 nm
gelb
Man kann also Spektren bis zur 3. Ordnung in Luft
beobachten. Unter Wasser beobachtet man dann bis
zur 4. Ordnung, weil sich die Wellenlängen wie 3 : 4
verhalten.
b) Für die Abstände auf dem Schirm gilt:
tan α = }ex und
1 · λ.
sin α = }
b
Setzt man die Werte ein, erhält man folgende Ergebnisse:
13.
Farbe
blau
grün
gelb
xLuft in cm
2,0
2,6
2,7
xWasser in cm
1,5
1,9
2,0
417 544 Mikroskope
15.
Aus der genannten Gleichung ist ablesbar:
Das Auflösungsvermögen ist umso größer,
− je kleiner die Wellenlänge des verwendeten Lichts
ist,
− je kleiner die Brennweite des Objektivs ist und
− je größer der Durchmesser des Objektivs ist.
410 894 Seifenhaut
16.
a) An der Grenzschicht Luft–Seifenhaut wird ein Teil
des Lichts reflektiert. Dabei tritt ein Phasensprung
von }2λ auf. Der andere Teil des Lichts wird gebrochen.
An der Grenzschicht Seifenhaut– Luft wird wiederum ein Teil reflektiert und ein Teil gebrochen. Der
reflektierte Teil trifft auf die obere Grenzschicht
Seifenhaut– Luft und wird dort teilweise gebrochen
und teilweise reflektiert.
417 474 Unbekannte Gitterkonstante
Möglichkeit 1:
Mit Licht bekannter Wellenlänge wird ein Interferenzmuster erzeugt. Aus der Wellenlänge, dem Abstand e
zwischen Gitter und Schirm und dem halben Abstand
der beiden Maxima 1. Ordnung s kann man die Gitterkonstante folgendermaßen berechnen:
b=
λ · }es
(e >> s)
Möglichkeit 2:
Wenn die genannte Bedingung nicht erfüllt ist, dann
λ
kann man die Beziehung sin α = }
und damit b = λ · sin α
b
nutzen.
Seifenhaut
n = 1,3
d
b) Wir gehen von dem skizzierten Fall aus, dass das
Licht in der Seifenhaut näherungsweise den Weg d
bzw. 2d zurücklegt. Dann gilt für das Maximum beim
reflektierten Licht:
2k + 1 · λ
2d = }
}2
n
Damit ergibt sich für die Wellenlänge:
4d · n .
λ=}
2k + 1
Möglichkeit 3:
Es wird mit einer Sammellinse bekannter Brennweite
ein stark vergrößertes Bild des (Transmissions-) Gitters
erzeugt und die Gitterkonstante mithilfe der Abbildungsgleichung
1
1
+ b1 und damit
}f = }
g }
Damit erhält man:
f·g
b=}
bestimmt.
f–g
Möglichkeit 4:
Das Gitter wird mit einem Komparator ausgemessen.
k=0
4d · n = 1 820 nm
λ=}
1
k=1
4d · n = 607 nm
λ=}
3
k=2
4d · n = 364 nm
λ=}
5
Es wird oranges Licht verstärkt.
Für das Maximum beim durchgehenden Licht gilt:
253
254
k λ und damit
d=}
n·}
2
(LB S. 410 – 412)
2d · n
λ=}
k
Damit tritt für eine bestimmte Schichtdicke und
Farbe (Wellenlänge) Dunkelheit auf, wenn gilt:
Damit erhält man:
2 d = (2k + 1) · }2λ mit
2d · n = 910 nm
λ=}
1
k=1
k=2
k=3
λ=
2d · n
}
2
= 455 nm
λ=
2d · n
}
3
= 303 nm
Die Mitte ist hell.
b) Ist R der Krümmungsradius der Linse und r der Radius einer Linse, dann gilt nach dem Höhensatz:
r 2 = d (2 R – d ) = 2 R · d – d 2
Es wird blaues Licht verstärkt.
17.
k = 0, 1, 2, …
410 974 Newtonsche Ringe
a) Entscheidend für das Zustandekommen der newtonschen Ringe ist die dünne Luftschicht zwischen Linse
und Glasplatte.
2R
Reflektiertes Licht:
Das Licht soll fast senkrecht auffallen, sodass der im
Luftspalt zurückgelegte Weg mit 2 d angenommen
werden kann. Es kommt zu einer Überlagerung
des an der Rückseite der Linse und an der Vorderseite der Glasplatte reflektierten Lichts, wobei an
der Grenzfläche Luft – Glas ein Phasensprung von }2λ
auftritt.
1
r
d
Glasplatte
2
Da R sehr groß gegen d ist, kann man auch schreiben:
Glas
d
r2 = 2R·d
Luft
Für den k-ten hellen Ring im reflektierten Licht gilt:
Glas
2 d = (2k + 1)· }2λ
Es kommt zur Auslöschung, wenn der Gangunterschied bei den Strahlen 1 und 2 ein ungeradzahliges
Vielfaches der halben Wellenlänge ist, also wenn gilt:
2d =
2k · }2λ
In (1) eingesetzt erhält man:
r 2 = R · (2k + 1)· }2λ
(k = 1, 2, 3, …)
und damit
Aus Symmetriegründen ist diese Bedingung bei
d = konst. für einen Kreis erfüllt. Bei monochromatischem Licht ist dieser Kreis dunkel. Durch die
unterschiedliche Dicke erscheint eine größere Anzahl
von Ringen. Die Mitte ist dunkel.
Durchgehendes Licht:
Auch im durchgehenden Licht sieht man helle und
dunkle Ringe. Es kommt zu einer Überlagerung
der Strahlen 1 und 2. Strahl 2 wird zweimal an der
Grenzschicht Luft – Glas reflektiert, der Phasensprung
beträgt damit
2 · }2λ
= λ.
Glas
d
(1)
Luft
Glas
2
2r
R=}
(2k + 1) · λ
Für den gegebenen Fall ergibt sich:
2
2 · (4,5 mm)
R = }}
6
7 · 600 · 10 mm
R = 9 643 mm ≈ 9,64 m
Der Krümmungsradius der Linse beträgt 9,64 m.
18.
410 924 Oberflächenvergütung
a) Mit Licht wird Energie transportiert. Reflexion von
Licht bedeutet auch die Umlenkung von Energie.
Verringert man die Reflexion, so geht mehr Licht und
damit mehr Energie in die Linse über. Auch für Licht
gilt der Energieerhaltungssatz.
1 2
Optik
λ
b) Bedingung für die Auslöschung ist: 2d = }
2n
Für Magnesiumfluorid (n = 1,38) erhält man:
λ = 600 nm
d=}
4n }
4 · 1,38
d = 109 nm
Bei einer Schichtdicke von 109 nm wird bei einer Entspiegelungsschicht aus Magnesiumfluorid Licht der
Wellenlänge 600 nm ausgelöscht. Licht benachbarter
Wellenlänge wird partiell ausgelöscht.
c) Die Empfehlung ist sinnvoll. Insbesondere bei
ungünstigen Lichtverhältnissen gelangt mehr Licht
durch die Brillengläser in die Augen.
Außerdem werden auch störende Reflexe von
Lichtquellen unterdrückt, die sich schräg hinter dem
Brillenträger befinden.
Hinweis: Die Verminderung von Reflexionen aus der
Sicht anderer Personen sind ein eher nebensächlicher
Effekt.
19.
416 014 LCD-Anzeige
a) Das Licht der LCD-Anzeige ist linear polarisiert.
Deshalb gelangt bei einer bestimmten Stellung eines
Polarisationsfilters kein Licht mehr hindurch.
b) Aufbau und Wirkungsweise einer LCD-Anzeige sind
im Lehrbuch für die gymnasiale Oberstufe auf S. 403
dargestellt.
20.
b) Wegen cGlas < cLuft und λ ~ c gilt für f = konstant:
Beim Übertritt von Licht aus Luft in Glas wird die
Wellenlänge kleiner.
c) Im menschlichen Auge sind für die Farbwahrnehmung drei Arten von Zapfen verantwortlich:
L-Zapfen nehmen vorrangig größere Wellenlängen wahr. Das Absorptionsmaximum liegt bei etwa
560 nm (grüngelber Bereich).
M-Zapfen nehmen Wellenlängen etwas kleinerer
Wellenlänge wahr. Das Absorptionsmaximum liegt
bei etwa 530 nm (gelber Bereich).
S-Zapfen nehmen kleine Wellenlängen wahr. Das
Absorptionsmaximum liegt bei etwa 420 nm (blauer
Bereich).
22.
419 854 Arten von Spektren
a) Will man ein Spektrum erzeugen, so muss man das
Licht in seine Bestandteile (Wellenlängen) zerlegen.
Möglichkeit 1: Das Licht wird durch ein Prisma geschickt. Aufgrund der Dispersion wird Licht unterschiedlicher Wellenlänge verschieden stark gebrochen (Dispersionsspektrum).
Möglichkeit 2: Das Licht wird auf ein Gitter gelenkt.
Aufgrund der wellenlängenabhängigen Beugung
und Interferenz kommt es zu einer Aufspaltung des
Lichts (Gitterspektrum).
b) Ein kontinuierliches Spektrum entsteht bei glühenden festen Körpern und glühenden Gasen unter
hohem Druck. Ein Linienspektrum entsteht bei
glühenden Gasen unter geringem Druck.
416 024 Frequenz und Wellenlänge
a) Beim Übergang von einem Stoff in einen anderen
ändert sich die Frequenz nicht. Sie beträgt in Luft
ebenfalls 5,5 · 1014 Hz.
b) λ = }cf
23.
415 524 Spektrometer
Bei einem Spektrometer wird genutzt, das Licht unterschiedlicher Wellenlänge unterschiedlich stark gebrochen wird.
6
3 · 10 mm · s
λ=}
14
5,5 · 10
s
Rot
λ = 545 nm
Das Licht hat eine Wellenlänge von 545 nm. Es handelt sich also um grünes Licht.
Licht einer
Lichtquelle
Prisma
Violett
21.
417 504 Farbiges Licht
a) λ = }cf
24.
414 854 Spektralanalyse
3 ∙ 108
m∙s
λ=}
14
4 ∙ 10
s
λ = 750 nm
Die Wellenlänge des Lichtes beträgt 750 nm.
Es erfolgt eine spektralanalytische Untersuchung des
Sternenlichts und ein Vergleich mit den Spektrallinien
bekannter Stoffe. Aus diesem Vergleich kann man folgern, welche Stoffe an der Oberfläche eines Sterns bzw.
in seiner Atmosphäre vorhanden sind.
255
256
25.
(LB S. 410 – 412)
419 634 Dunkle Linien
Von der Sonnenoberfläche wird ein kontinuierliches
Spektrum abgestrahlt. Auf seinem Weg durchläuft das
Licht die kühleren äußeren Schichten der Sonnenatmosphäre (Korona). Dabei werden durch Absorption genau
diejenigen Frequenzen herausgefiltert, die die dort
vorhandenen Stoffe selbst aussenden würden. Dadurch
sind im kontinuierlichen Spektrum eine Vielzahl dunkler Linien zu beobachten, die nach ihrem Entdecker
J. v. FRAUNHOFER benannt sind.
26.
417 184 Unterschiedliche Farben
Licht einer Mischfarbe besteht aus unterschiedlichen
Wellenlängen, Licht einer Spektralfarben hat eine bestimmte Wellenlänge. Das bedeutet: Schickt man Licht
auf ein Prisma oder auf ein optisches Gitter und wird
dieses Licht in verschiedene Anteile (Farben) zulegt, so
liegt eine Mischfarbe vor. Im anderen Fall handelt es sich
um eine Spektralfarbe.
Hinweis: Durch einfache Beobachtung mit den Augen
lässt sich eine Mischfarbe nicht von einer Spektralfarbe
unterscheiden.
27.
419 584 Spektren von Lampen
Recherche, Vortrag: Glühlampen und Halogenlampen
senden ein kontinuierliches Spektrum aus, LED- und
Energiesparlampen (Leuchtstoffröhren) ein Linienspektrum.
Bei Vor- und Nachteilen von Glühlampen sollte vergleichend eingegangen werden auf
− den Wirkungsgrad und
− die Wahrnehmung des abgestrahlten Lichts.
Quantenphysik
3.6
Quantenphysik
EINSTEIN:
Licht ist weder Welle noch Teilchen, sondern etwas, was teilweise
Welleneigenschaften und teilweise
Teilcheneigenschaften zeigt. Licht
besteht aus Lichtquanten (Photonen).
Photonen und Elektronen als Quantenobjekte (LB S. 428 – 429)
1.
416 104 Modelle für das Licht
a) Ein Modell ist ein Ersatzobjekt für ein Original. Es
stimmt in einigen Eigenschaften mit dem Original
überein, in anderen nicht. Ein solches Modell kann
ideell (in Form eines Aussagesystems) oder materiell
(gegenständlich) sein.
Die Funktion eines Modells kann sehr unterschiedlich
sein, z. B.:
− Mithilfe eines Modells kann man Sachverhalte
mathematisch erfassen.
− Mithilfe eines Modells kann man Sachverhalte
erklären oder voraussagen.
− Mithilfe eines Modells kann man experimentieren,
z. B. bestimmte Zusammenhänge untersuchen
(Modellexperimente).
− Mithilfe von Modellen kann man Sachverhalte
veranschaulichen.
b) Strahlenmodell: Zweckmäßig bei der Erklärung der
Schattenbildung oder der Entstehung einer Sonnenfinsternis.
Wellenmodell: Zweckmäßig bei der Erklärung der
Beugung von Licht.
Teilchenmodell: Zweckmäßig bei der Erklärung des
äußeren lichtelektrischen Effekts.
b) Die Schwerpunkte für eine Präsentation können unterschiedlich gesetzt werden. Sinnvoll erscheint eine
Orientierung am sehr widersprüchlichen historischen
Erkenntnisgang, der sich an bei Teilaufgabe a) genannten Namen orientieren kann.
411 734 Licht auf Fotokatode
3.
a) Mit Erhöhung der Intensität des Lichts werden mehr
Elektronen emittiert, ihre Energie verändert sich
aber nicht.
b) Mit Erhöhung der Frequenz vergrößert sich wegen
E ~ f die kinetische Energie der Fotoelektronen, nicht
aber ihre Anzahl.
414 944 Austrittsarbeit
4.
a) Genutzt werden zur Berechnung kann die einsteinsche Gleichung für den lichtelektrischen Effekt.
Aus h · f = WA + Ekin ergibt sich mit f = }λc und bei Umstellung nach WA:
WA = h · }λc – Ekin
m
6,626 · 10–34 J · s · 3 · 108 }
s
WA = }}
–1,8 · 1,6 · 10–19 J
–9
400 · 10
c) Reflexion oder Brechung von Licht kann man gut mit
dem Strahlenmodell beschreiben. Beide Phänomene
können aber auch mit dem Wellenmodell beschrieben werden.
WA =
4,97 · 10–19
m
J – 2,88 · 10–19 J = 2,1 · 10–19 J
Die Ablösearbeit beträgt 2,1 · 10–19 J = 1,3 eV.
Für die Grenzfrequenz gilt:
d) Im Wellenmodell kann man nicht erklären, dass bei
Licht bestimmter Wellenlänge unabhängig von der
Intensität der Strahlung keine Fotoemission auftritt,
obwohl die Zunahme der Wellenamplitude eine Vergrößerung der Energie bedeutet, die von der Welle
transportiert wird.
2.
W
h
fG = }A
–19
2,1 · 10
J
fG = }}
= 3,17 · 1014 Hz
–34
6,626 · 10
J·s
Die Grenzfrequenz hat einen Wert von etwa
3,2 · 1014 Hz. Diese Frequenz liegt im Bereich des
infraroten Lichts.
417 814 Was ist Licht?
a) NEWTON:
HUYGENS:
YOUNG, FRESNEL:
Licht ist ein Strom von kleinstenTeilchen (Korpuskulartheorie).
Licht besitzt Wellencharakter
(Wellentheorie des Lichts).
Versuche zur Beugung und Interferenz belegen den Wellencharakter
von Licht.
b) Im Wellenbild ist die transportierte Energie mit der
Amplitude verknüpft. Eine Vergrößerung der transportierten Energie würde man dann z. B. erreichen,
wenn man die Intensität des Lichts vergrößert.
Experimente zeigen aber: Liegt die Frequenz des
Lichts unterhalb der Grenzfrequenz, so werden auch
bei beliebiger Intensität des Lichts keine Photonen
emittiert. Eine Deutung der Grenzfrequenz mit dem
Wellenmodell ist deshalb nicht möglich.
257
258
5.
(LB S. 428 – 429)
wird und der in der nachfolgenden grafischen Darstellung für die Alkalimetalle Natrium und Caesium
dargestellt ist.
411 744 Fotoeffekt
a) Äußerer lichtelektrischer Effekt: Durch Bestrahlung
mit Licht werden aus Oberflächen Elektronen abgelöst.
Innerer lichtelektrischer Effekt: Im Inneren von Stoffen (Halbleitern) werden durch Licht Elektronen aus
der Bindung herausgelöst und stehen dann im Stoff
als wanderungsfähige Ladungsträger zur Verfügung.
2
e · U = Ekin in eV
Caesium auf Wolfram
Natrium
1
ΔE
1
WA
–1
b) Nachweis des äußeren Lichtelektrischen Effekts:
WA
2
3
4
5
6
Δf
f in 1014 Hz
Grenzfrequenz fG
–2
Der Anstieg der Geraden ergibt sich als Quotient
ΔE : Δf. Er ist für alle Materialien gleich und wird als
ΔE .
plancksches Wirkungsquantum bezeichnet: h = }
Δf
6.
Wenn man eine negativ geladene Zinkplatte mit
ultraviolettem Licht (UV-Licht) bestrahlt, dann wird
die Platte entladen.
Verwendet man statt UV-Licht sichtbares Licht, so
wird die negativ geladene Zink-Platte praktisch nicht
entladen, selbst wenn man die Lichtintensität sehr
hoch wählt.
Bestrahlt man eine positiv geladene Platte mit beliebigem Licht, so tritt kein Effekt auf.
Erklärung:
Licht kann nur die beweglichen Elektronen aus der
Platte herauslösen, die positiven Atomrümpfe jedoch
nicht.
Zur Ablösung der Elektronen aus einem Festkörper ist eine bestimmte Energie erforderlich, die
als Ablöseenergie Eab oder auch als Austrittsarbeit
bezeichnet wird.
c) Mithilfe einer Vakuum-Fotozelle kann man quantitativ untersuchen, wie die kinetische Energie der
Elektronen von der Frequenz des verwendeten Lichts
abhängt. Licht fällt auf eine Katode aus Alkalimetall. Die austretenden Elektronen besitzen eine
bestimmte maximale kinetische Energie Ekin. Es fließt
ein Strom. Vergrößert man die Gegenspannung zwischen Katode und Anode, so werden die Elektronen
in dem Gegenfeld abgebremst. Wenn die kinetische
Energie der Elektronen nicht mehr ausreicht, um das
Gegenfeld zu überwinden, ist die Stromstärke null.
Für diesen Grenzfall gilt: e · U = Ekin = }12 m · v 2
Dabei ist U die Spannung zwischen Anode und Katode bei I = 0 und damit e · U gleich der Arbeit
gegen das elektrische Feld. Bestrahlt man die Katode
der Fotozelle mit Licht verschiedener Frequenz, dann
erhält man einen Zusammenhang zwischen Energie
und Frequenz, der als Einstein-Gerade bezeichnet
411 814 Vakuumkatode
a) Aus der Wellenlänge des Lichts kann man mit der
Gleichung f = }λc die betreffende Frequenz berechnen.
Die Bewegungsenergie Ekin ergibt sich aus der
jeweiligen Gegenspannung: Ekin = e · UG.
Damit erhält man folgende Werte:
f in 1014 Hz
7,50
6,67
6,00
5,45
5,00
Ekin in eV
1,25
0,90
0,62
0,40
0,17
Ekin in eV
1,5
1
0,5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f in 1014 Hz
Je höher die Frequenz des Lichts ist, mit dem die
Katode einer Vakuumfotozelle beleuchtet wird,
desto größer ist die kinetische Energie der Fotoelektronen. Es gilt Ekin ~ f .
b) Für das plancksche Wirkungsquantum gilt:
ΔE
Δf
kin
h=}
Aus dem Diagramm sollten zwei sinnvolle Werte
ausgewählt werden, z. B.:
1,25 eV
h=}
14
4 · 10
Hz
Quantenphysik
–19
1,25 · 1,6 · 10
Ws
h = }}
14
4 · 10
b) Die Strahlungsleistung für 1 cm2 beträgt 2 · 10– 4 W,
die Anzahl N der Photonen demzufolge:
Hz
h ≈ 5 · 10–34 J · s
P·t
N=}
E
Die Grenzfrequenz ist der Schnittpunkt der EinsteinGeraden mit der f-Achse, also ergibt sich:
–4
2 · 10 W · 1 s
N=}
–19
6,6 · 10
fG ≈ 4,5 · 1014 Hz
N = 3 · 1014
Die Austrittsarbeit erhält man, wenn man die Einstein-Gerade bis zur negativen Ekin-Achse verlängert.
Es ergibt sich ein Wert von etwa 1,8 eV.
Die Berechnung ergibt:
c) Mit WA = 2 eV und E = 4,1 eV erhält man:
Ekin = h · f – WA
WA = h · fG
Ekin = 4,1 eV – 2 eV = 2,1 eV
WA = 6,6 · 10–34 J · s · 4,5 · 1014 Hz
Die kinetische Energie der Elektronen beträgt 2,1 eV
oder 3,4 · 10–19 J.
WA ≈ 3 · 10–19 J = 1,9 eV
c) Die Geschwindigkeit der schnellsten Fotoelektronen
ergeben sich nach der Beziehung
e · U = Ekin = }12 m · v 2
zu
e
v = √}
2U·}
m
Damit erhält man unter Nutzung der angegebenen
Gegenspannungen:
}}}
11 C
√
v1 = 2 · 1,25 V · 1,759 · 10
m
= 6,6 · 105 }
}
kg
s
m
v2 = 5,6 · 105 }
s
d) Bei einer kinetischen Energie von 2,1 eV beträgt die
maximale Gegenspannung, die ein Elektron überwinden könnte, gerade 2,1 V.
419 734 Geschwindigkeit von Elektronen
9.
a) Aus h · f = WA + }12 m · v 2 erhält man mit f = }λc durch
Umstellen nach v:
}
c
A
√2 (h · } – W )
λ
v= }
m
m
v3 = 4,7 · 105 }
s
}}}
6,626 · 10
J ·s · 3 · 10 }
–19
m
v4 = 3,8 · 105 }
s
v=
m
v5 = 2,4 · 105 }
s
7.
v=
411 824 Photonenimpuls
m.
Der Impuls des Lichtblitzes beträgt 20 kg · }
s
p=
8.
a) Die Energie eines Lichtquants ergibt sich aus der
Wellenlänge und der Lichtgeschwindigkeit:
m
3 · 108 }
s
E = 6,626 · 10–34 J · s · }
–9
300 · 10
E=
10.
9,109 · 10
–31
J
kg
m
0,75 · 106 }
s
411 384 Schnelle Elektronen
a) Kinetische Energie Ekin = 1,5 keV
}
√2 · E
7m
kin
v= }
me = 2,3 · 10 }
s
c
}λ
6,6 · 10–19
8m
kg
e
}
m kann einem Tabellenwerk entnommen, die
Gegenspannung U direkt gemessen werden.
km .)
}
h
415 904 Energie beim Fotoeffekt
E = h·f = h·
–34
444 · 10
e
e · U = }12 m · v 2 und damit: v = √}
2U·}
m
m.
= 0,02 }
s
(Also nicht einmal 0,1
√
(
)
}}}
s
2 }}
– 1,9 · 10
–31
b) Experimentell könnte man die Geschwindigkeit mit
der Gegenfeldmethode bestimmen.
Diese Methode ist unter dem Lern-Code 419 574
dargestellt.
Für den Grenzfall I = 0 gilt:
Den gleichen Impuls hat ein Auto mit 1 000 kg und
m
20 }
s
}
1 000
J
b) de-Broglie-Wellenlänge
m
J ≈ 4,1 eV
–11 m = 32 pm (Picometer)
h
λ=}
m · v = 3,2 · 10
259
260
c)
(LB S. 428 – 429)
Auf die gesamte Kugelfläche treffen in jeder Sekunde N = 2,2 ∙ 1017 Photonen. Auf 1 cm2 entfallen
demzufolge:
Δs = λ
Interferenzmuster
17
2
2,2 · 10 · 1 cm
x = }}
2
4 π · (100 cm)
x = 1,75 · 1012
d) Auf die gesamte Kugelfläche von 4π · r 2 fällt eine
Leistung von 75 mW. Auf 1 cm2 sollen 5 · 10–12 W
fallen. Dann gilt:
–3
2
75 · 10 W · 1 cm = 4 π · r 2
}}
–12
5 · 10
W
oder
}}
75 · 10–3 W ·1 cm2
r = }}
–12
Gitter
528 Spalte/mm ⇒ Spaltabstand b =
Erstes Maximum:
λ
sin α = }
⇒
b
1,9 · 10 –6
√ 5 · 10
m.
W·4π
r = 3,45 · 104 cm = 345 m
α = 9,7 · 10 – 4 Grad
Ort auf dem Schirm s:
12.
10 m · λ
s=}
= 1,7 · 10 – 4 m
b
Die Energie von Photonen muss in Beziehung gesetzt
werden zu der gegebenen Lichtleistung.
Abstand der hellen Streifen:
2 s = 3,4 · 10
–4
416 574 Anzahl der Photonen
m = 0,34 mm
N·E = P·t
Mit E = h · f
11.
419 744 Gelbes Licht
N · h · }λc = P · t
a) Für die Energie eines Photons gilt:
erhält man:
P·t·λ
oder N = }
h·c
–18
–9
1,7 · 10
W · 1 s · 550 · 10 m
N = }}}
–34
8m
E = h·f
6,626 · 10
Mit f = }λc erhält man:
E=
und f = }λc
J · s · 3 · 10 }
s
N = 4,7
h · }λc
m
3 · 108 }
416 214 Wellenlänge gefragt
s
E = 6,626 · 10–34 J · s · }
–9
13.
E = 3,4 ·10–19 J = 2,1 eV
a) Zwischen Beschleunigungsspannung und Geschwindigkeit besteht die folgende Beziehung:
589 · 10
m
b) Wenn ein Photon eine Energie von 3,4 · 10–19 J besitzt
und die Strahlenleistung 75 mW beträgt, dann gilt:
N · 3,4 · 10–19 J
}}
s
e · U = }12 m · v 2
kg
m
U = }12 · }
· (2,65 · 107 }
s)
11
1,758 · 10
= 75 mW
m·v2
und damit U = }12 · }
e
2
C
U = 1,99 · 103 V ≈ 2 kV
oder
–3
75 · 10 W · s
N=}
–19
3,4 · 10
b) Es gilt:
J
h · f = WA + }12 m · v 2 und mit f = }λc
N = 2,2 · 1017
h · }λc = WA + }12 m · v 2
c) Geht man von einer
punktförmigen Lichtquelle aus und breitet sich
das Licht gleichmäßig im
gesamten Raum aus, dann
kann man die Bezugsfläche 1 cm2 als Teil einer
Kugelfläche ansehen.
Die Umstellung nach der Wellenlänge ergibt:
r
1 cm2
h·c
λ=}
2
1
WA + }2 m · v
Vernachlässigt man die Austrittsarbeit, so erhält
man:
2h·c
λ=}
2
m·v
Quantenphysik
m
2 · 6,626 · 10–34 J · s · 3 · 108 }
s
λ = }}}
2
Für den Zusammenhang zwischen Beschleunigungsspannung und Geschwindigkeit gilt:
m
9,109 · 10–31 kg · (2,62 · 107 }
s)
λ = 0,62 · 10–9 m
e
v2 = 2U·}
m
Diese Wellenlänge würde im Bereich der Röntgenstrahlung liegen. Bei Berücksichtigung der Austrittsarbeit müsste die Wellenlänge noch kleiner sein.
(2)
Durch Gleichsetzen von (1) und (2) erhält man:
2
e
h
2U·}
m=}
2 2
m ·λ
h
λ=}
}
√2 m · U · e
14.
Damit erhält man folgende Werte:
412 614 Protonenwellenlänge
a) Geht man von ursprünglich ruhenden Protonen aus,
dann beträgt die kinetische Energie:
U in kV
2
4
6
8
10
λ in pm
87
61
50
43
39
E = e·U
E = 1,6 · 10 –19 C · 200 · 103 V
λ in pm
100
E = 3,2 · 10 –14 J = 2 · 105 eV
80
b) Für die de-Broglie-Wellenlänge von Quantenobjekten gilt:
60
h
λ=}
m·v
40
Mit E = }12 m · v 2 erhält man:
}
2E
v= }
m
√
20
und damit:
0
h
h
λ=}
=}
}
}
2E
m · √}
m
0
√2 E · m
–34
6,626 · 10
J ·s
λ = }}}
}}}
–14
–27
√2 · 3,2 · 10
J · 1,673 · 10
kg
λ = 6,4 · 10–14 m
Im Vergleich zu grünem Licht ist die Wellenlänge
etwa um den Faktor 1,3 · 10 –7 kleiner.
15.
a) In diesem Experiment tritt der Wellencharakter von
Quantenteilchen zutage.
Man erhält ein Interferenzmuster. Folglich gibt es für
die Elektronen zwei mögliche Wege und es existiert
keine vollständige „Welcher-Weg-Information“.
Folglich überdeckt die Wahrscheinlichkeitswolke der
Elektronen beide Spalte des Doppelspalts.
Ferner haben die Elektronen alle dieselbe Wellenlänge und damit dieselbe kinetische Energie.
h = 1,7 · 108 m
v=}
}
s
m·λ
2
m · v = 1,3 · 10 –14 J = 82 keV
Kinetische Energie: E = }
2
h
ergibt sich:
c) Aus der de-Broglie-Wellenlänge λ = }
m·v
h
v=}
oder
m·λ
2
h
v2 = }
2 2
m ·λ
4
6
8
10 U in kV
Zwischen der Beschleunigungsspannung und der
Wellenlänge besteht ein nichtlinearer Zusammenhang: Je größer die Beschleunigungsspannung ist,
desto kleiner ist die Wellenlänge.
Eine Wellenlänge bis herunter zu 10 –11 m erreicht
man mit relativ moderaten Spannungen im
kV-Bereich.
411 374 Elektroneninterferenz
– 12 m
h
b) λ = }
m · v = 4,3 · 10
2
(1)
261
262
(LB S. 441 – 442)
Eigenschaften von einzelnen Quantenobjekten (LB S. 441 – 442)
1.
412 604 Klassische Physik am Ende
Interferenzexperimente mit Elektronen oder Atomen
können nicht klassisch erklärt werden.
Beispiele sind die Elektronenbeugung und das Atominterferometer.
Widerspruch:
Quantenobjekte sollten nach klassischer Sicht im Interferometer an jedem Strahlteiler entweder durchgelassen
oder reflektiert werden. Dann müssten aber an den Detektoren 50 % der Quantenobjekte an Detektor A und
50 % an Detektor B nachgewiesen werden.
Strahlteiler
ren nachgewiesen werden. Also z. B. kann Detektor
A alle 4 nachweisen, oder Detektor B alle 4, oder
Detektor B eines und Detektor C drei, usw.
b) Bei 4 000 Photonen ist es sehr unwahrscheinlich, dass
ein Detektor alle 4 000 nachweist. Mit großer Wahrscheinlichkeit wird etwa die Hälfte der Photonen von
Detektor B nachgewiesen, etwa ein Viertel von A
und ein Viertel von C.
4.
411 284 Modell für Quantenobjekte
a)
A
Spiegel 1
B
Quelle für
einzelne
Quantenobjkete
C
A
A
StrahlSpiegel 2
B
teiler
B
C
oder
Erklärung mit der Quantenphysik:
Jedes Quantenobjekt teilt sich an jedem Strahlteiler, die
Teilwolken überlagern sich und bilden Verdichtungen
und Verdünnungen.
Dementsprechend wird das Quantenobjekt stets nur an
Detektor A nachgewiesen.
2.
A
B
411 244 Zufall
C
A
B
C
oder
Münzwurf: im Prinzip determiniert (Mechanik)
A
A
Junge oder Mädchen: im Prinzip determiniert (Mechanik
und Genetik)
Blitzschlag: im Prinzip determiniert (E-Lehre)
B
Heirat:
Ungeklärt (Gibt es einen freien Willen? Hängen Entscheidungen von quantenphysikalischen Prozessen ab?)
3.
411 314 Ergebnis bei der Messung
C
B
C
b) Die Hälfte der Wolke läuft auf Detektor B zu: Nachweiswahrscheinlichkeit 50 %
Die andere Hälfte teilt sich noch einmal, jede der
Teilwolken läuft auf die
Detektoren A und C zu: Nachweiswahrscheinlichkeit
jeweils 25 %.
a) Jedes der 4 Photonen kann (unabhängig von den
anderen drei Photonen) an jedem der drei Detekto-
Quantenphysik
5.
411 334 Interferometer
a)
Spiegel
Quelle für
einzelne
Photonen
Strahlteiler
A
b)
411 324 Polarisation
6.
2
1
a) Grundprinzip:
„In der Quantenphysik kann der Zustand eines Quantenobjekts durch eine Messung schlagartig und stark
geändert werden.“
Wenn das Photon auf das 45°-Filter fällt und durchgelassen wird, dann ist sein Zustand nachher verändert: Es geht nun mit 100 % Wahrscheinlichkeit
durch ein weiteres 45°-Filter und mit P2 = 50 %
Wahrscheinlichkeit durch das Filter mit senkrechter
Vorzugsrichtung.
b) Die Wahrscheinlichkeit für ein waagerecht polarisiertes Photon, durch ein 45°-Filter zu kommen,
beträgt P1 = 50 %. Damit ist die Wahrscheinlichkeit
für P = P1 · P2 = 25 %.
411 394 Ein reales Experiment
7.
A
A
3
a) Für die Maxima gilt:
4
k·λ
sin αK = }
b
Mit
k=1
s
1
und sin α1 ≈ tan α1 = }
e erhält man:
s ·b
1
λ=}
e
30 μm · 100 nm
λ = }}
9
1,25 · 10 nm
λ = 2,4 · 10–12 nm
A
A
Die Masse ergibt sich aus der de-Broglie-Beziehung:
c) 1. Möglichkeit: Man kann einen der beiden Spiegel
etwas verschieben, sodass die Laufzeit leicht unterschiedlich wird.
2. Möglichkeit: Man kann ein Interferenzmuster bekommen, wenn man den Detektor A in horizontaler
Richtung verschiebt.
Begründung jeweils: Dadurch haben die beiden
Wege unterschiedliche Weglängen.
h
λ=}
m·v
und damit
h
m=}
λ·v
–34
6,626 · 10
J·s
m = }}
m
–12
2,4 · 10
m=
d) Durch Einbringen von Polfiltern mit zueinander
orthogonaler Vorzugsrichtung in die beiden „Arme“
des Interferometers kann man die Wege markieren.
A
Das Interferenzmuster kann dann nicht mehr
beobachtet werden.
m · 200 }
s
1,4 · 10–24
kg
b) Da die Breite eines Spalts halb so groß ist wie die
Gitterkonstante, ist der Abstand des ersten Einzelspaltminimums doppelt so groß wie der Abstand des
ersten Gittermaximums. Mit anderen Worten: Das
erste Einzelspaltminimum unterdrückt das zweite
Gittermaximum.
c) Bei einem Gitter treten neben einem ausgeprägten
Maximum 0-ter Ordnung weitere Maxima auf, deren
Intensität nach Art einer Glockenkurve abnimmt.
Die Maxima sind scharf ausgeprägt, wenn Licht einer
Wellenlänge oder Quantenobjekte einer Geschwindigkeit verwendet werden.
Bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten und damit
auch unterschiedlichen de-Broglie-Wellenlängen der
263
264
(LB S. 441 – 442)
Fullerene ist bereits das Maximum 0-ter Ordnung
nicht mehr so stark ausgeprägt, das Maximum 1.
Ordnung ist bereits „verschmiert“. Entscheidend für
das entstehende Interferenzbild ist also die Geschwindigkeitsverteilung der Moleküle.
8.
411 254 Nachweiswahrscheinlichkeit
Quantenobjekten transportierten Informationen beim
Abhören verändert und damit unkenntlich gemacht
werden.
Mittlerweile ist es gelungen, Informationen mit einzelnen Photonen über größere Strecken zu übertragen.
11.
a)
411 354 Atominterferenz
a) Licht mit 532 nm Wellenlänge ist grün.
Die stehende Lichtwelle hat eine Gitterkonstante von
266 nm (halbe Wellenlänge).
b) Kleine-Winkel-Näherung:
g·x
266 nm · 20 = 10,6 · 10 –12 m.
λ=}
a =}
500 000
h
c) λ = }
m · v ; also ist
– 34
6,63 · 10
Js
h =
m=}
= 6,7 · 10 – 27 kg.
3m
–12
v · λ }}
b) An den Orten, wo das Bild der Lichtquelle ist,
werden besonders viele Photonen nachgewiesen.
9,3 · 10 }
s · 10,6 · 10
m
Das ist ein Atomgewicht von etwa 4 u. Es handelt
sich also um Heliumatome.
12.
419 244 Unbestimmtheitsrelation
a) Die heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation besagt:
Je bestimmter der Ort eines Quantenobjektes ist,
umso unbestimmter ist sein Impuls und umgekehrt.
h
Diese Unbestimmtheit ist nie kleiner als }
.
4π
b) Es gilt dann:
h
oder
Δx·Δp = }
4π
9.
h
Δx = }
4π · Δ p
Damit sinnvolle Werte entstehen, sollte Δ x · Δ p in der
Größenordnung von h liegen.
411 344 Interferenz mit Fulleren
Rechercheaufgabe
Die Fullerene werden erhitzt, wodurch sie verdampfen.
Entsprechend ihrer Temperatur ist ihre Geschwindigkeit
verteilt. Sie durchqueren mit einer mittleren Geschwinm im Hochvakuum eine Strecke von
digkeit von 220 }
s
etwa 2 Metern. Dabei passieren sie ein Gitter aus einer
freitragenden Siliziumnitrid-Struktur. Im Detektor werden sie von einem 25-Watt-Laser, der auf 4 μm fokussiert
ist, schlagartig thermisch ionisiert und danach elektrisch
auf eine Fotokatode beschleunigt. Die aus der Katode
herausgeschlagenen Elektronen zeigen das Auftreffen
des Fulleren-Moleküls als zählbaren Puls an. Die „Detektorposition“ ist durch den Fokus des Lasers bestimmt.
Dieser kann nach links und rechts verschoben werden.
kg · m
Δ p in }
s
kg · m
Δ x in m
Δ p in }
s
Δ x in m
10– 4
5 · 10–31
10 –16
5 · 10–19
10– 8
5 · 10–27
10 –20
5 · 10–15
10–12
5 · 10–23
10 –24
5 · 10–11
10–10
Δx in m
10–20
10–30
10.
kg · m
416 164 Verschlüsselung
Kurzvortrag Quantenverschlüsselung: Die Quantenverschlüsselung oder Quantenkryptografie ist eine
Methode, Informationen abhörsicher zu übermitteln.
Das Grundprinzip besteht darin, dass die mit einzelnen
10–40
10–24
Δp in }
s
10–20
10–16
10–12
10–8
10–4
Aus diesem Diagramm ist ablesbar: Je größer die
Unschärfe des Impulses ist, desto kleiner ist die Unschärfe des Ortes und umgekehrt.
c) Mit
m = 500 g = 0,500 kg
erhält man für
Δp =
und
mm
Δ v = ±1 }
s
kg · m
10 – 3 }
.
s
3.7
Physik der Atomhülle (LB S. 468 – 470)
Als Größenordnung für die Ortsunschärfe erhält
man:
1.
h
Δx = }
4π·Δp
3
6,626 J · s · 10 · s
Δ x = }}
34
10
· 4 π · kg · m
411 864 Ölfleckversuch
Schülervortrag.
Material siehe 410 085
Δ x = 5,3 ·10–32 m
Ein solcher Wert liegt unterhalb jeder Messmöglichkeit.
2.
411 874 Atommodelle
a) Ein Modell ist ein ideelles (gedankliches) oder
materielles (gegenständliches) Objekt, das als Ersatzobjekt für ein Original genutzt wird. Es ist eine
Vereinfachung des Originals.
(1) Thomsonsches Atommodell
b) Nach THOMSON besteht ein Atom aus einer neutralen
Substanz, in die positive Ladungen (Protonen) und
negative Ladungen (Elektronen) eingebettet sind.
Die Protonen und Elektronen sind dabei unregelmäßig verteilt wie Rosinen in einem Kuchen. Das
Modell beschreibt die Körnigkeit der Materie und
elektrische Neutralität der Atome.
c) Das Modell beschreibt nicht die Zerlegung von
Atomen in Protonen und Elektronen. Das Modell
kann den Streuversuch von RUTHERFORD nicht erklären.
(2) Rutherfordsches Atommodell
b) Elektronen kreisen auf elliptischen Bahnen um den
Atomkern (Planetenmodell).
Es beschreibt richtig die Massen- und Ladungsverhältnisse im Atom.
c) Es kann die Stabilität von Atomen und die Entstehung von Spektrallinien nicht erklären.
(3) Bohrsches Atommodell
b) Es existieren stabile Bahnen, auf denen sich Elektronen strahlungsfrei bewegen.
Es ermöglicht die Abschätzung des Atomradius und
die Berechnung des Wasserstoffspektrums. Es führt
Erkenntnisse der Quantenphysik in die Atomphysik
ein.
c) Es geht im Widerspruch zur Quantenphysik von
Bahnen aus und führt nur bei Wasserstoff zu richtigen Ergebnissen.
(4) Quantenmechanisches Atommodell
b) Die Elektronen halten sich mit bestimmter Wahrscheinlichkeit in einem Raumbereich auf.
Es steht im Einklang mit dem Wellencharakter der
Elektronen. Es erklärt das Periodensystem der Elemente.
265
266
(LB S. 468 – 470)
c) Es ist ein mathematisches Modell und nur sehr bedingt anschaulich zu deuten.
3.
411 884 Atome messen
Recherche-Aufgabe
Die Masse von Atomen lässt sich mithilfe eines Massespektrografen bestimmen.
Der Radius von Atomen kann z. B. aus einmolekularen
Schichten (Ölfleckversuch siehe 410 085 ) oder aus
Strukturmodellen (dicht gepackte Atome) abgeschätzt
werden.
− von der Masse eines Elektrons me,
− von der Breite des Potenzialtopfs L und
− von der Zahl n mit n = 1, 2, 3, ...
Da h und me Konstanten sind, ergibt sich, dass für die
möglichen Energiewerte En gilt:
1 und E ~ n2
En ~ }
n
2
L
7.
412 224 Elektronen im Potenzialtopf
Übergang 3. angeregter Zustand ⇒ 2. angeregter Zustand:
2
2
2
h
h
h
Δ E43 = E4 – E3 = 16 }
– 9}
= 7}
8m·L
8m·L
8m·L
2
4.
2
2
Übergang 2. angeregter Zustand ⇒ Grundzustand:
411 904 Gravitation im Atom
2
Anzuwenden sind das Gravitationsgesetz und das coulombsche Gesetz.
Als Abstand zwischen Atomkern und Elektron wird der
bohrsche Radius (r = 0,53 · 10 –10 m) angesetzt.
m ·m
1
2
F1 = G · }
2
2
2
h
h
h
Δ E31 = E3 – E1 = 9 }
– 1}
= 8}
.
8m·L
8m·L
8m·L
2
2
2
Der Energieunterschied ist beim Übergang vom 2. angeregten Zustand in den Grundzustand größer als vom
3. angeregten Zustand in den 2. angeregten Zustand,
also ist die zugehörige Wellenlänge kleiner.
r
3
1,673 · 10–27 kg · 9,109 · 10–31 kg
m ·
F1 = 6,673 · 10–11 · }
2 }}}
–10
2
kg · s
F1 =
3,6 · 10– 47
(0,53 · 10
m)
8.
N
428 824 Ein Lithiumatom
2
h
E=}
· n2
2
8 me · L
(6,626 · 10 –34 Js)2
E = }}}
= 2,15 · 10–19 J
8 · 9,109 · 10–31 kg (3,5 · 10–10 m)2
Q ·Q
1 · 1 2
F2 = }
2
4π·ε }
0
r
–19
E = 3,07 eV
2
(1,602 · 10
C)
1
F2 = }}
· }}
–10
2
–12 A · s
4 π · 8,854 · 10
(0,53 · 10
}
V·m
m)
Der Unterschied zum realen Wert kommt zustande, weil
mit einem stark vereinfachten Modell gearbeitet wurde.
F2 = 8,2 · 10– 8 N
Die Gravitationskraft zwischen Atomkern und Elektron
ist um viele Größenordnungen geringer als die elektromagnetische Kraft zwischen positiv geladenem Kern
und negativ geladenem Elektron.
Die Kräfte zwischen Ladungen spielen offensichtlich für
den Zusammenhalt eines Atoms eine wesentlich größere
Rolle als Gravitationskräfte.
5.
427 944 Gewichtskraft des Elektrons
Die Gewichtskraft des Elektrons im Schwerefeld der Erde
beträgt g · me = 9,1 · 10 –30 N.
Die elektrostatische Anziehung beträgt 8,2 · 10 – 8 N.
Somit ist die Gewichtskraft des Elektrons für die Eigenschaften der Atomhülle nicht relevant.
6.
9.
412 394 Tunneleffekt
In der klassischen Physik kann ein System seinen Zustand
nur verändern, wenn es ausreichend Energie für jeden
der kontinuierlich durchlaufenen Zwischenzustände
besitzt. So kann eine Kugel auf einer Kugelbahn nur
Hochpunkte der Bahn überwinden, wenn ihre kinetische
Energie vorher mindestens so groß war, wie die potenzielle Energie am höchsten Punkt.
In der Quantenmechanik kann die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Quantenobjekts auch an solchen
Orten gegeben sein, die vom Ursprungsort durch eine
klassisch unüberwindliche Barriere getrennt sind. Voraussetzung ist allerdings, dass jeweils die Gesamtenergie
des Ausgangszustands und des Endzustands gleich sind.
Das klassisch nicht zulässige Überwinden einer solchen
Barriere wird als „Tunneleffekt“ bezeichnet.
412 254 Energie im Potenzialtopf
Die möglichen Energiewerte in einem linearen
Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden sind
abhängig
− vom planckschen Wirkungsquantum h,
Übertragen auf klassische Objekte würde das zum Beispiel bedeuten, dass von den Erbsen in einer geschlossenen Konservendose plötzlich eine Erbse neben der Dose
liegt. Derartiges ist noch nie beobachtet worden.
Theoretisch besteht eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit
für jedes Quantenobjekt, aus dem die Erbse besteht,
auch 1 cm neben dem ursprünglichen Ort der Erbse. (Die
Wahrscheinlichkeitswolke hat keinen scharfen Rand,
sondern erstreckt sich bis ins Unendliche.) Doch müssten alle Atome der Erbse gleichzeitig um den gleichen
Betrag verschoben auftauchen, um wieder dieselben
Moleküle zu bilden. Nur in demselben Bindungszustand
würde die Gesamtenergie der Erbse wieder der des
Ursprungszustands entsprechen.
Um die Wahrscheinlichkeit für das Tunneln eines
klassischen Objekts zu berechnen, müsste man die
Wahrscheinlichkeiten des gleichzeitigen Tunnelns aller
beteiligten Quantenobjekte multiplizieren. Dies führt
bei Erbsen zu praktisch unendlich kleinen Wahrscheinlichkeiten.
10.
412 274 Wellenfunktion
a)
E4
E3
E2
E1
0
L
x
Damit erhält man für den Übergang von n = 4 nach
n = 3:
–19
2,7 eV
2,7 · 1,602 · 10
J
f=}
= }}
–34
h
6,626 · 10
14
f = 6,5 · 10
J·s
Hz
c) Experimentell ergibt sich eine Energie von 0,65 eV
und damit eine kleinere Frequenz von 1,6 ∙ 1014 Hz.
Die Unterschiede sind mit der Nutzung des stark
vereinfachten Modells Potenzialtopf erklärbar.
412 634 Orbitaldarstellung
12.
Ein Orbital veranschaulicht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Elektronen in der Atomhülle. Im gegebenen
Fall handelt es sich um das Modell eines angeregten
Wasserstoffatoms (n = 2, l = 1). Das Elektron befindet
sich mit über 90 %-iger Wahrscheinlichkeit im farbig
markierten Bereich.
427 794 Energieniveaus
13.
a) Für folgende Übergänge der Balmer-Serie liegen die
Spektrallinien im sichtbaren Bereich:
n = 4 g n = 2 (2,55 eV)
n = 3 g n = 2 (1,90 eV)
b) Für den Übergang von n = 3 zu n = 2 (E = 1,90 eV)
ergibt sich als Wellenlänge:
b)
E4
h·c
λ=}
E
m
6,626 · 10 –34 Js · 3,0 · 108 }
s
λ = }}
= 654 nm
–19
E3
3,04 · 10
J
Als Frequenz erhält man:
E2
f = }E oder f = }λc
h
E1
0
L
–19
1,9 · 1,602 · 10
J
f = }}
–34
x
6,626 · 10
f=
11.
4,6 · 1014
J·s
Hz
412 284 Wasserstoffatom
14.
2
h
a) E = }
· n2
2
8 me · L
(6,626 · 10 –34 Js)2
E1 =}}
= 0,60 · 10–19 J
–31
–9
2
8 · 9,109 · 10
kg (10
412 054 Blaues Licht
a) Aus
E = h·f
und c = λ · f
folgt:
h·c
E=}
λ
m)
E1 = 0,38 eV
m
6,626 · 10 –34 J · s · 3,0 · 108 }
s
E = }}
–9
434,05 · 10
E2 = E1 · 4 = 1,5 eV
E3 = E1 · 9 = 3,4 eV
E4 = E1 · 16 = 6,1 eV
E=
b) Für den Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz gilt:
E = h · f oder f = }E
h
4,58 · 10–19
m
J = 2,9 eV
b) Dem Energieniveau n = 5 kann eine Energie von
– 0,50 eV zugeordnet werden.
c) Die Energiedifferenz zwischen dem Grundzustand
(n = 1) und dem Energieniveau n = 5 beträgt 13,1 eV.
267
268
(LB S. 468 – 470)
m
6,626 · 10 –34 J · s · 3,0 · 108 }
s
λ2,3 = }}
= 776 nm
–19
Ein Elektron müsste demzufolge mit 13,1 V beschleunigt werden, damit es diese Energie besitzt.
15.
1,6 · 1,602 · 10
Eine Energie von 4,9 eV hat ein Photon mit einer
Wellenlänge von 253 nm. Das ist Licht im ultravioletten Bereich.
Eine Energie von 1,6 eV hat ein Photon mit einer
Wellenlänge von 776 nm. Das ist Licht im Grenzbereich zum Infrarot.
411 964 Lichtemission
a) Sichtbar sind die Spektrallinien mit den Wellenlängen 700 nm und 500 nm.
b) Mit E = h ∙ f = h ∙ }λc kann jeder Wellenlänge eine
Energie zugeordnet werden. Man erhält:
18.
für λ = 700 nm: E = 1,77 eV
für λ = 292 nm: E = 4,25 eV
Δ E = h · }λc
Der Ausschnitt aus dem Energieniveauschema
könnte dann z. B. so aussehen:
E in eV
und damit
h·c
λ=}
ΔE
E3
1,77
–2,77
m
6,626 · 10 –34 J · s · 3,0 · 108 }
s
λ = }}
–19
E2
4,25
2,48
412 204 Rubinlaser
Entscheidend für das Laserlicht ist der Übergang von E1
in den Grundzustand.
Aus Δ E = h · f mit f = }λc folgt
für λ = 500 nm: E = 2,48 eV
–1,0
J
–5,25
2,863 · 10
λ=
E1
6,94 · 10–7
J
m = 694 nm
4,25
–9,25
Die Wellenlänge von 694 nm entspricht der von rotem
Licht.
E0
Hier würde es für die Linie mit einer Wellenlänge
von 292 nm zwei Möglichkeiten geben.
16.
412 084 Spektralapparat
Die diskreten Änderungen der Energie in der Atomhülle
führen zur Emission von Strahlung, wobei jeder Energie
eine bestimmte Frequenz bzw. Wellenlänge entspricht:
19.
412 194 Übergänge im Laser
Dieser scheinbare Widerspruch löst sich, wenn man
„strahlungslos“ richtig interpretiert. Es bedeutet, dass
die Energiedifferenz nicht als Photon emittiert oder
absorbiert wird, sondern z. B. eine Erwärmung des Stoffs
bewirkt. Der Energieerhaltungssatz ist uneingeschränkt
gültig.
E = h ∙ f = h ∙ }λc
Bei einem Spektralapparat wird das auffallende Licht
in seine spektralen Anteile zerlegt. Das kann durch ein
Prisma oder durch ein Gitter realisiert werden. Die Spektrallinien können ausgemessen und mit den Spektrallinien bekannter Stoffe verglichen werden.
17.
411 974 Quecksilberlampe
a) Eine Ionisierungsenergie von 10,4 eV bedeutet: Bei
Zufuhr dieser Energie zu einem Atom kann ein Elektron aus dem Grundzustand die Atomhülle verlassen.
Aus dem Atom wird dann ein positiv geladenes Ion.
b) Mit ΔE1,2 = 4,9 eV
ergibt sich:
und
ΔE2,3 = 1,6 eV
h·c
λ=}
E
m
6,626 · 10 –34 J · s · 3,0 · 108 }
s
λ1,2 = = }}
= 253 nm
–19
4,9 · 1,602 · 10
J
20.
412 234 Gefahr durch Laser
Laserlicht ist insbesondere wegen seiner hohen
Energiedichte für das menschliche Auge gefährlich.
So erreicht bereits ein zulässiger Laserpointer mehr als
1 mW/mm2. Das ist wesentlich mehr, als eine 100-WGlühlampe aus 1 cm Entfernung.
Es kann leicht zu Verbrennungen auf der Netzhaut und
damit zu irreparablen Augenschäden führen.
Hinweis: In der Augenheilkunde wird Laserlicht genutzt,
um z. B. sich ablösende Netzhaut an den Augenhintergrund „anzuschweißen“.
21.
412 244 Laser in der Medizin
Recherche unter den Stichworten:
− Lasermedizin
− Laserskalpell
− LASEK
− Tatooentfernung
und Präsentation
22.
Auf ihrem Weg zur Anode stoßen die Elektronen
mit Quecksilberatomen zusammen. Bei niedriger
Beschleunigungsspannung erfolgen diese Stöße elastisch. Die Elektronen geben dabei keine kinetische
Energie an die Atome ab und sind deshalb in der
Lage, das Gegenfeld vor der Anode zu überwinden.
Erreicht die kinetische Energie der Elektronen
einen bestimmten Wert, dann kommt es zu unelastischen Stößen zwischen Elektronen und Atomen.
Die Quecksilberatome nehmen dabei Energie von
den Elektronen auf. Diese gelangen aufgrund ihrer
geringeren Energie nicht mehr bis zur Anode. Die
Stromstärke sinkt. Wird die Beschleunigungsspannung weiter erhöht, vergrößert sich die Energie der
Elektronen wieder, der Strom steigt erneut an. Bei
einer stetigen Steigerung der Spannung erreichen
die Elektronen auch wieder diejenige Energie, bei
der unelastische Stöße erfolgen.
Auf diese Weise können die Elektronen auf ihrem
Weg zur Anode gleich zwei- oder mehrmals ihre
Energie an Quecksilberatome abgeben. So erklärt
sich das Auftreten mehrerer Maxima bzw. Minima in
der Spannungs-Stromstärke-Kurve.
Bei Quecksilber unterscheiden sich die Maxima jeweils um die Spannung 4,9 V.
Geht man von diskreten Energieniveaus in der Hülle
des Quecksilberatoms aus, dann zeigt dieser Versuch:
Nur wenn die kinetische Energie eines Elektrons
mindestens der Differenz zweier atomarer Energieniveaus entspricht, kann sie durch das Quecksilberatom
aufgenommen werden.
412 664 Spontane Emission
1 Mol Wasserstoff bedeutet: Es liegen 6 ∙ 1023 (genauer:
6,022 ∙ 1023) Teilchen vor. Wenn 10 % angeregt sind,
handelt es sich um 6 ∙ 1022 Teilchen, von denen innerhalb
von 1,6 ∙ 10–9 s die Hälfte in den Grundzustand zurückfällt und dabei Photonen emittiert. Die zeitliche Abhängigkeit zeigt die folgende Übersicht:
Zeit in t
Anzahl der angeregten Teilchen
0
6 ∙ 1022
1,6 ∙ 10 –9 s
3 ∙ 1022
3,2 ∙ 10 –9 s
1,5 ∙ 1022
4,8 ∙ 10 –9 s
0,75 ∙ 1022
23.
420 354 Franck-Hertz-Röhre
a) Von einer Glühkatode werden Elektronen emittiert
und durch eine regulierbare Spannung zwischen Katode und Gitter beschleunigt. Durch Regulieren der
Beschleunigungsspannung lässt sich die Geschwindigkeit und damit die kinetische Energie der Elektronen verändern.
Nach Passieren des Gitters durchlaufen die Elektronen ein Gegenfeld. Nur solche Elektronen, die ein
gewisses Mindestmaß an Bewegungsenergie besitzen, gelangen bis zur Anode. In welchem Umfang
Elektronen zur Anode gelangen, wird anhand des
Stroms ermittelt, der zwischen der Katode und der
Anode fließt.
Die Beschleunigungsspannung wird dann langsam
erhöht und die Stromstärke wird gemessen. Dabei
zeigt sich: Zunächst vergrößert sich die Stromstärke
durch die Röhre. Bei einer bestimmten Spannung
sinkt die Stromstärke deutlich ab. Nun erreichen nur
noch wenige Elektronen die Anode. Erhöht man
die Beschleunigungsspannung weiter, so steigt die
Stromstärke wieder an und sinkt nach Erreichen
eines erneuten Maximums wieder ab.
b)
24.
428 614 Licht vom Quecksilber
a) Aus der Energiedifferenz ΔE = 4,9 eV ergibt sich:
Δ E = h · f = h · }λc
h·c
und damit λ = }
ΔE
m
6,626 · 10 –34 J · s · 3,0 · 108 }
s
λ = }}
–19
4,9 · 1,602 · 10
J
λ = 253 nm
b) Strahlung dieser Wellenlänge liegt im ultravioletten Bereich. Solche Strahlung lässt sich mithilfe von
Leuchtschirmen (z. B. mit Zinksulfid) oder durch
spezielle Detektoren nachweisen.
I in mA
30
4,9 V
4,9 V
4,9 V
25.
424 204 Natriumdampf
a) Die Energie der emittierten Elektronen beträgt
2,12 eV.
20
b) Für die Wellenlänge ergibt sich:
10
h·c
λ=}
ΔE
m
6,626 · 10 –34 Js · 3 · 108 }
0
s
λ = }}
–19
2,12 · 1,602 · 10
0
5
10
15
U in V
J
269
270
(LB S. 497 – 500)
Physik des Atomkerns (LB S. 497 – 500)
λ = 585 nm
Es handelt sich um Licht im gelben Spektralbereich.
423 874 Dichte des Atomkerns
1.
26.
m = ρ∙V
429 554 Eine Röntgenröhre
g
Diese Aufgabe sollte bei der angegebenen Beschleunigungsspannung von 50 kV relativistisch gelöst werden.
Vermutlich wird aber ein Teil der Schüler eine klassische
Lösung angeben. Es sind deshalb nachfolgend beide
Lösungsvarianten dargestellt.
m = 1,8 ∙ 1014 }3 ∙ 1 cm3
cm
m = 1,8 ∙ 1014 g = 1,8 ∙ 1011 kg =1,8 ∙ 108 t
1 cm3 Wasser hat eine Masse von 1 g. Demzufolge wiegt
1 cm3 Kernmaterie das 1,8 ∙ 1014-Fache.
a) Für die Energie der Elektronen ergibt sich klassisch:
425 324 Kernradius
2.
E = e·U
E = 50 keV =
8,0 · 10–15
J
Für den Kernradius gilt allgemein:
r = 1,4 ∙ 10–15 ∙ √}
A
Als Gesamtenergie (relativistisch) ergibt sich:
3
Eges = Ekin, rel + E0
Damit erhält man:
Kohlenstoff: r = 1,4 ∙ 10–15 m ∙ √}
12
Mit E0 = me, 0 · c 2 = 8,2 · 10–14 J = 5,11 · 105 eV
3
ergibt sich als maximale Gesamtenergie:
r=
m ∙ √}
56
3}
–15
r = 1,4 ∙ 10
m ∙ √208
3
–15
r = 1,4 ∙ 10
m ∙ √}
238
Eisen:
Eges = 9,0 · 10–14 J = 5,6 · 105 eV
3
1,4 ∙ 10–15
Blei:
Uran:
= 3,2 ∙ 10–15 m
= 5,4 ∙ 10–15 m
= 8,3 ∙ 10–15 m
= 8,7 ∙ 10–15 m
b) Klassisch erhält man:
}
2e·U
v = √}
m
3.
}}}
2 · 5 · 104 V · 1,759 · 1011 c
v=
√
v=
m
1,33 · 108 }
s
}
kg
a) Als Gravitationskraft ergibt sich:
m ·m
1
2
FG = G · }
2
r
3
kg · s
F1 =
Eges = m · c 2 = Ekin, rel + E0 und
m
0
m=}
}2
√1 –
v
}
c2
folgt:
v
}
c2
m)
N
Q ·Q
0
FE =
(Ekin, rel + E0)
Die Geschwindigkeit des Elektrons beträgt etwa
41 % der Lichtgeschwindigkeit. Daraus ergibt sich
ein Wert von:
r
(1,602 · 10–19 C)2
1 · Vm
· }}
}}
–12
4 π · 8,854 · 10
As
(10–15 m)2
FE = 2,3 · 102 N
}}
(E )2
0
≈ 0,41
}vc = 1 – }}
2
v = 1,24 · 108 m · s–1
(10
1 · 1 2
FE = }
2
4π·ε }
Sinnvoll ist jetzt ein Umstellen der Gleichung nach }vc ,
da daraus erkennbar ist, in welcher Relation sich v
zur Lichtgeschwindigkeit c verhält. Die Umstellung
ergibt:
√
1,9 · 10– 34
Als abstoßende Kraft zwischen den Ladungen ergibt
sich:
E
0
}
}2 = Ekin, rel + E0
√1 –
(1,673 · 10–27 kg)2
m ·
FG = 6,673 · 10–11 }
2 }}
–15
2
Das sind ca. 43 % der Vakuumlichtgeschwindigkeit.
Relativistisch ergibt sich:
Mit
427 904 Kräfte im Atomkern
b) Die Ergebnisse von a) zeigen:
Die Gravitationskraft spielt eine untergeordnete
Rolle. Die Coulombkraft ist wesentlich größer. Da
aber die anziehende starke Wechselwirkung etwa
100-mal stärker als die Coulombkraft ist, überwiegt
sie und hält die Bestandteile des Atomkerns (Protonen, Neutronen) zusammen.
4.
413 134 Tröpfchenmodell
a) Zwischen den Teilchen des Wassers wirken zwischenmolekulare (coulombsche) Kräfte, die im Idealfall
einen kugelförmigen Wassertropfen bewirken.
Infolge seiner Gewichtskraft hat ein auf ebener
Fläche liegender Wassertropfen eine linsenförmige
Form.
b)
b) Das Tröpfchenmodell lässt sich so kennzeichnen:
Atomkern
Ein Wassertropfen ist ein
Gebilde, bestehend aus
vielen kleinen Wassertröpfchen
Entscheidend für die
Stabilität eines Atomkerns
sind die starken Kräfte
zwischen den Nukleonen.
Entscheidend für die Stabilität eines Wassertropfens
sind die zwischenmolekularen Kräfte, die die vielen
kleinen Wassertröpfen
zusammenhalten.
Ein Atomkern kann in
Teile zerfallen. Dazu ist
meist eine Anregung
erforderlich.
Ein Wassertropfen kann in
kleinere Tröpfen zerlegt
werden. Dazu ist eine
Anregung erforderlich.
Zwei Atomkerne können
sich zu einem neuen
Atomkern zusammenschließen. Dazu ist eine
Anregung erforderlich.
Aus zwei Wassertröpfchen kann sich ein neuer
Wassertropfen bilden.
Dazu ist eine Anregung
erforderlich.
c) Nach außen ist ein Wassertropfen elektrisch neutral.
Daher wirkt zwischen zwei eng benachbarten Wassertropfen nur die überaus geringe Gravitationskraft.
5.
200
Analogie
Wassertröpfchen
Ein Atomkern ist ein kompaktes Gebilde, bestehend
aus Nukleonen.
426 634 Kernkraft
Die Kernkraft spielt außerhalb des Atomkerns keine
Rolle, weil ihre Reichweite mit etwa 10–15 m sehr klein
ist.
Impulse je Minute
250
150
100
50
0
0
5
10
15
20
25
r in cm
Das Diagramm bestätigt die unter a) genannte Vermutung: Mit zunehmendem Abstand verringert sich
die Intensität der Strahlung. Daraus ergibt sich für
den Strahlenschutz: Ein möglichst großer Abstand
von Quellen radioaktiver Strahlung ist eine Möglichkeit, sich vor solcher Strahlung zu schützen.
c) Die Strahlung, die dann registriert wird, kommt nicht
in erster Linie von der Strahlungsquelle, sondern ist
Folge der natürlichen Radioaktivität in unserer Umgebung (Nulleffekt).
8.
429 394 Nachweis von Kernstrahlung
Präsentation: Der Schwerpunkt kann entweder auf die
genauere Erläuterung eines Nachweisgeräts oder auf
einen Überblick gelegt werden. Anregungen dazu sind
im Lehrbuch zu finden.
9.
428 014 Nebelkammer in Aktion
a) Kurzreferat zu Aufbau und Wirkungsweise einer
Nebelkammer.
6.
428 444 Kernumwandlungen
14
N
7
+ 42 α g
17
8O
+ 11 p
9
Be
4
+ 42 α g
12
6C
+ 10 n
7.
422 324 Das Abstandsgesetz
a) Da sich die radioaktive Strahlung im Raum ausbreitet und sich die Oberfläche einer Kugel mit dem
Radius (Abstand) quadratisch vergrößert, nimmt
wahrscheinlich die Intensität der Strahlung mit dem
Quadrat des Abstandes ab.
b) (1) ist Alphastrahlung, die stets eine bestimmte,
diskrete Energie besitzt.
(2) ist Betastrahlung mit einem kontinuierlichen
Spektrum.
10.
a)
424 634 Ablenkung in Feldern
+
α-Teilchen
–
Positronen
271
272
(LB S. 497 – 500)
In 2
T1/2 · 100 a
m = 1 g · e– }
b) Vorausgesetzt wird ein homogenes elektrisches Feld,
in das die Teilchen senkrecht zu den Feldlinien eintreten (b Skizze). Dann erfolgt in vertikaler Richtung
eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
F
s = }a2 t 2 mit a = }
m und
m = 1 g · e– 0,043
m = 0,96 g
F = q∙E
Damit gilt für die Ablenkung s:
s~
Nach 100 Jahren sind noch 0,96 g des Radium-Nuklids nicht zerfallen.
q
}
m
c) Es gilt das Zerfallsgesetz N = N0 · e–λ · t.
Mit N = 0,1 · N0 erhält man:
Für ein α-Teilchen ist die spezifische Ladung:
3,2 ∙ 10–19
q
C
kg
C
= 4,8 ∙ 107 }
}
m = }}
–27
kg
6,644 ∙ 10
0,1 N0 = N0 · e–λ · t oder
Für ein Positron gilt:
0,1 = e–λ · t
Logarithmieren liefert:
q
11 C
}
m = 1,759 ∙ 10 }
kg
ln 0,1 = –λ · t
Das bedeutet: Bei ansonsten gleichen Bedingungen
ist die Ablenkung von Positronen größer als die von
Alphateilchen.
In 0,1
t = –}
λ
In 0,1
t = –}
–11 1
}s
1,4 · 10
11.
427 024 Radium zerfällt
t=
≈ 5 070 a
Die Aktivität einer bestimmten Menge Radium-226
hat in etwa 5 100 Jahren (das ist das 3,2-fache der
Halbwertszeit) auf 10 % abgenommen.
a) Es muss zunächst die Anzahl der Kerne (Atome)
bestimmt werden. Dann lässt sich mithilfe der Halbwertszeit ermitteln, wie viele dieser Atomkerne in
einer Sekunde zerfallen.
Für den Anfangszustand gilt:
12.
m
N0 = NA · }
m
1,6 · 1011 s
428 164 Aktivität von Quellen
mol
1g
226 }
mol
a) Da Holmium doppelt so schnell wie Phosphor zerfällt, liegt bei der gleichen Anzahl von Kernen bei
Holmium die doppelte Aktivität vor.
Für die Aktivität einer radioaktiven Substanz gilt:
b) Für die gleiche Aktivität ist vom halb so schnell
zerfallenden Phosphor die doppelte Anzahl Kerne
erforderlich.
1
N0 = 6 · 1023 · }
·}
g
mol
N0 = 2,7 · 1021
A0 =
ΔN
}
Δt
Setzt man für N das Zerfallsgesetz ein, so kann man
für kleine Zeitintervalle schreiben:
13.
ΔN
= –λ · N0 · e–λ · t
}
Δt
Mit
t = 0 (Anfangszustand) erhält man:
ΔN
}
Δt
Mit
1/2
ΔN
a) 19 Jahre sind mehr als 3 Halbwertszeiten. Somit ist
die Aktivität kleiner als ein Achtel der Anfangsaktivität und damit kleiner als 50 kBq. Sie liegt also unter
der Freigrenze.
= –λ · N0
In 2
λ=}
T
erhält man:
N · In 2
0
= –}
}
T
Δt
b) Aus dem Gesetz für die Aktivität
1/2
ΔN
A = A0 · e–λ · t
2,7 · 1021 · In 2
= –}
}
Δt
1 600 a
ΔN
422 974 Aktuelle Aktivität
erhält man nach Umstellung und Logarithmieren:
10 1
}s
= –3,7 · 10
}
Δt
A0
ln }
= λ·t
A
Geht man vom Anfangszustand aus, so zerfallen in
einer Sekunde 3,7 · 1010 Kerne des Radium-Nuklids.
b) Für die Masse gilt analog zur Teilchenzahl:
m = m0 · e–λ · t
Bei den gegebenen Werten erhält man:
(
und damit
370 kBq
)
In }
· 5,26 a
50 kBq
t = }}
In 2
t = 15,2 a
Die Aktivität des Cobalt-60-Strahlers ist nach 15,2 a
auf unter 50 kBq abgesunken.
14.
Dann beträgt der Massendefekt:
423 374 Unbekannte Strahlung
Δm = ΔA·u
a) Nach der UVW-Regel ist die Ladung der Strahlung
negativ. Es handelt sich um Betastrahlung. Die Zerfallsgleichung lautet:
215
Bi
83
g
0
–1 e
Δ m = 0,563 7 · 1,66 · 10–27 kg = 9,36 · 10–28 kg
Als Bindungsenergie je Nukleon erhält man:
+ 215
Po
84
2
Δm·c
E=}
A
m
9,36 · 10–28 kg · 3 · 108 }
(
b) A = 215 + 5 ∙ 4 = 235
Z = 83 + 2 ∙ 5 – 1 = 92
Das Ausgangselement ist demzufolge 235
U (Uran92
Actinium-Reihe).
c) 64 Minuten sind 8 Halbwertszeiten. Damit gilt:
N
N = }80 = 0,0039 N0
2
2
)
s
E = }}
60
E = 1,4 · 10–12 J ≈ 8,8 MeV
427 594 Bindungsenergie
18.
Die Bindungsenergie eines Atomkerns ergibt sich zu
15.
423 644 Strahlenbelastung
Präsentation zur natürlichen Strahlenbelastung :
Aktuelle Informationen findet man unter dem Suchwort
„Strahlenbelastung“ im Internet.
Bei der Bewertung ist zu beachten: Menschen sind
ständig einer natürlichen Strahlenbelastung ausgesetzt.
16.
a)
Demnach erhält man als Zusammenhang:
EB
423 984 Altersbestimmung
14
N
7
+ 10 n g
14
6C
+ 11 p
b) Wenn der Anteil noch 25 % beträgt, dann sind zwei
Halbwertszeiten vergangen. Die Mumie ist also
2 · 5 730 Jahre = 11 460 Jahre alt.
17.
EB = mK ∙ c 2 mit mK ≈ Z ∙ mp + N ∙ mm und N + Z = A.
0
A
0
Zwischen der Massenzahl A und der Bindungsenergie des Atomkerns besteht näherungsweise direkte
Proportionalität.
425 594 Eine charakteristische Kurve
19.
a) EB ist die Kernbindungsenergie je Nukleon. Es ist
die Energie, die man aufwenden muss, um den
Atomkern in Nukleonen zu zerlegen. Es ist zugleich
die Energie, die frei wird, wenn sich der Kern aus
Protonen und Neutronen zusammensetzt. A ist die
Massenzahl, also die Anzahl der Nukleonen. Die
Grafik zeigt: Die Bindungsenergie je Nukleon ist bei
leichten Kernen gering, erreicht bei mittelschweren
Kernen ein Maximum und fällt dann wieder ab. Daraus ergeben sich zwei grundsätzliche Möglichkeiten
der Energiefreisetzung:
− Aufspaltung eines schweren Kerns in zwei mittelschwere Kerne (Kernspaltung),
− Fusion zweier leichter Kerne (Kernfusion).
421 554 Massendefekt bei Helium
Die Atommasse von Helium beträgt 4,001 506 u. Der
Atomkern besteht aus 2 Protonen und 2 Neutronen.
Dann gilt für einen Atomkern:
E = Δm·c2
Δ m = (2 · 1,007 276 + 2 · 1,008 665) · u – 4,001 506 u
Δ m = 0,030 376 u
Mit u · c 2 = 931,49 MeV ergibt sich:
ΔE = 0,030 376 ∙ 931,49 MeV
ΔE = 28,3 MeV
b) Es gilt:
Δ A = 27 · Ap + 33 · An – ACo
Δ A = 27 · 1,007 83 + 33 · 1,008 67 – 59,933 81
20.
422 044 Massendefekt bei Eisen
Für den Massendefekt erhält man:
Δ m = 0,514 187 u
Δ A = 0,563 7
Daraus ergibt sich als Bindungsenergie des Atomkerns:
273
274
(LB S. 497 – 500)
EB = Δ m · c 2
Mit
u·c2
Als Energiebilanz ergibt sich dann:
ΔE = 4,3 MeV = ER
= 931,49 MeV ergibt sich:
EB = 0,514 187 ∙ 931,49 MeV = 478,96 MeV
b) Nach dem Impulserhaltungssatz haben α-Teilchen
und Thorium-Kern den gleichen Impuls, allerdings
mit entgegengesetzter Richtung (Gesamtimpuls
null).
Für die kinetische Energie Ekin = }12 m · v 2 kann man
mit p = m · v auch schreiben:
Die Bindungsenergie je Nukleon beträgt dann:
E
478,96 MeV
B
=}
= 8,55 MeV
}
A
56
21.
414 534 Potenzialtopfmodell
2
p
Ekin = }
2m
Die Kernkräfte haben eine sehr kurze Reichweite und
wirken nur zwischen unmittelbar benachbarten Protonen und Neutronen. Daher ist die potenzielle Energie an
allen Positionen im Innern des Kerns praktisch identisch.
Daher wird das Potenzial durch einen kasten- oder topfförmigen Verlauf beschrieben.
Damit erhält man für den gegebenen Fall:
ER
ER
p2
}
2 mα
(1 +
Th
mα
}
mTh
)
(
mα
= Ekin, α 1 + }
m
Th
)
E
R
Ekin, α = }
mα
r
(
)
1+}
m
Protonen
Neutronen
2
Für die kinetische Energie des α-Teilchens erhält man
somit:
Epot ~ }1r
r
α
=
Potenzialwall
E(r)
2
p
p
= Ekin, α + Ekin, Th = }
+}
2m
2m
Th
4,3MeV
Ekin, α = }
4
1+}
234
Ekin, α ≈ 4,23 MeV
Da die coulombsche Kraft auf die Protonen im Kern der
Anziehung durch die Kernkraft entgegenwirkt, ist der
Potenzialtopf für die Protonen nicht so tief wie für die
Neutronen. Das ist in der Abbildung auf der rechten
Seite dargestellt. Außerdem wirkt die coulombsche
Kraft auch außerhalb des Kerns noch abstoßend auf die
Protonen, was zu einem Potenzialwall für die Protonen
führt.
In einem solchen Kastenpotenzial können die Kernbausteine nur bestimmte Energiezustände einnehmen.
22.
Wegen der wesentlich kleineren Masse des
α-Teilchens gegenüber der Masse des Rückstoßkerns
wird fast die gesamte Reaktionsenergie auf das
α-Teilchen übertragen.
R-Kernradius
2R
413 144 γ-Spektrum
Protonen im Atomkern befinden sich in bestimmten
energetischen Zuständen, die für ein gegebenes Nuklid
festliegen. Beim Übergang von einem höheren auf ein
niedrigeres Niveau wird eine bestimmte Energie freigesetzt. Dem betreffenden Gammaquant kann deshalb
auch eine bestimmte Wellenlänge zugeordnet werden.
Damit entsteht stets ein Linienspektrum.
24.
416 554 Energieniveauschema
Das Energieniveauschema zeigt: Ein Cäsium-137-Kern
kann sich in verschiedener Weise verändern:
− Cs-137 zerfällt unter Abgabe von β-Strahlung in
Ba-137, wobei die Energie der β-Strahlung 1,39 MeV
beträgt.
− Cs-137 gibt β-Strahlung mit einer Energie von
0,51 MeV ab. Es entsteht Ba*-137 in einem angeregten Zustand. Beim Übergang in den Grundzustand wird Gammastrahlung mit einer Energie von
0,66 MeV abgegeben.
Die Reaktionsgleichungen lauten:
137
55
Cs g 137
Ba + –10 e
56
137
55
Cs g 137
Ba* + –10 e
56
137
56
23.
Ba* g
137
56
Ba + γ
413 284 α-Zerfall
a) Für den α-Zerfall von U-238 gilt:
238
92
Ug α+
4
2
234
90
Th
25.
429 314 Tritium und Helium
a) Ein Tritiumkern besteht aus einem Proton und zwei
Neutronen.
Δ m = (1 · 1,007 276 u + 2 · 1,008 665 u) – 3,016 049 u
Die Bewertung des Sachverhalts durch einzelne Schüler
kann sehr unterschiedlich sein.
Δ m = 0,008 557 u
EB = 7,971 MeV
Ein Helium-3-Kern besteht aus zwei Protonen und
einem Neutron.
Δ m = (2 · 1,007 276 u + 1 · 1,008 665 u) – 3,016 029 u
a) Präsentation zu Druckwasserreaktor und zu Siedewasserreaktor: Entscheidender Unterschied ist die
Anlage der Wasserkreisläufe.
Δ m = 0,007 188 u
b) Eine mögliche Lösung wäre:
EB = 6,696 MeV
b) Der Unterschied ergibt sich aus der unterschiedlichen
Zusammensetzung des Kerns. Beim Helium-3-Kern
mit zwei Protonen spielt die elektromagnetische
Wechselwirkung eine größere Rolle.
26.
a)
427 524 Eine Kernreaktion
212
Po
84
g 42 α + 208
Pb
82
b)
212
Po
84
α
7 MeV
208
Pb
82
27.
413 214 Uranspaltung
E = m·c2
m
E = 0,223 55 · 1,66 · 10–27 kg · (3 · 108 }
s)
2
E = 3,34 · 10–11 J ≈ 209 MeV
28.
426 884 Kernreaktoren
29.
Wiederaufarbeitung
Endlagerung
Pro
− Der hoch aktive Abfall
enthält nur noch geringe
Mengen an Uran und
Plutonium.
− Der Abfall enthält keine
flüchtigen radioaktive
Stoffe.
− Die Wärmeentwicklung
nimmt schnell ab.
− Das Plutonium kann
keine unerwünschte
Kettenreaktion auslösen.
− Plutonium wird der Energieerzeugung zurückgeführt.
− Andere Stoffe (Tc, Xe,
Pd u. a.) werden nutzbar
gemacht.
Pro
− Geringeres Weiterverbreitungs-Risiko für die
nächste Zukunft.
− Wiederaufarbeitungsanlagen fallen weg –
höhere Akzeptanz bei
der Bevölkerung.
Kontra
− Weiterverbreitungsrisiko
durch die Plutoniumgewinnung.
− Es entstehen mittel- und
leichtradioaktive Abfälle.
− Störfälle in der Anlage
belasten eventuell die
Umgebung stärker mit
Strahlung.
Kontra
− Der gesamte radioaktive
Abfall muss gelagert
werden: Endlager nimmt
viel mehr Aktivität auf.
− Erst nach Millionen von
Jahren gleicht das gelagerte Gefährdungspotential dem des natürlichen Uranerzes
− Wärmeentwicklung ist
sehr hoch und klingt nur
sehr langsam ab.
− Unkontrollierte Freisetzung von flüchtigen
radioaktiven Zerfallsprodukten ist nicht auszuschließen.
− Die Abfälle werden nicht
genutzt.
− Es muss mehr Uran abgebaut werden.
− Das Endlager enthält
hohe Mengen vom hochgiftigen Plutonium, was
langfristig wieder das
Problem der Weiterverbreitung (Proliferation)
verstärkt.
413 244 Kernenergie
Es bietet sich an, zu diesem Thema eine vorbereitete
Diskussion zu führen, in der Vor- und Nachteile der
Nutzung von Kernenergie gegenübergestellt werden.
Aus physikalisch-technischer Sicht erscheint wesentlich,
folgende zwei Positionen deutlich zu machen:
− Die gesteuerte Kernspaltung ist heute gut beherrschbar.
− Bei beliebigen technischen Prozessen (nicht nur bei
der Nutzung von Kernenergie!) gibt es ein Restrisiko, dass mit der Wahrscheinlichkeit des Versagens
einzelner Komponenten eines technischen Systems
zusammenhängt. Dieses Restrisiko lässt sich minimieren. Die Wahrscheinlichkeit des Versagens eines komplexen technischen Systems beträgt aber nie null.
275
276
30.
(LB S. 497 – 500)
− Gehen später die Heliumvorräte zur Neige, löst
ein erneuter Kontraktionsvorgang und die damit
verbundene Temperaturerhöhung die Fusion von
Elementen mit noch höherer Ordnungszahl aus
(b Skizze).
413 154 Wasserstofffusion
a) Δ m = (1,007 276 u + 1,008 665 u) – 2,013 553 u
Δ m = 0,002 387 8 u
H
EB = 2,22 MeV
b) Der Prozess lautet:
1
H
1
+ 11 H g 21 D + 01 e + ν + E
Vernachlässigt man das Neutrino geringer Energie
und das Positron, dann erhält man für den Massendefekt:
H
He
He
C,O
C
N,Mg
N
O,Mg
O
Si
Si
Fe
Fe
Δ m = 2 ∙ 1,007 276 u – 2,013 553 u
Δ m = 0,000 998 8 u
In diesem fortgeschrittenen Entwicklungsstadium
gleicht der Stern einer Zwiebel, in der die verschiedenen Brennzonen übereinander geschichtet
sind.
E = 0,93 MeV
31.
b) Die Kernfusion stellt nur bis zum Element Eisen eine
Möglichkeit dar, um Kernbindungsenergie freizusetzen. Jenseits des Eisens wird die Energiebilanz negativ (siehe Kernbindungsenergie je Nukleon in Abhängigkeit von der Massenzahl). Bei der Eisenfusion
wird der Umgebung Energie entzogen. Es entsteht
ein Eisenkern. Die Temperatur im Zentrum des Sterns
sinkt sehr schnell und er stürzt in sich zusammen. Der
Stern leuchtet als Supernova extrem hell auf.
421 334 Eine Kernfusion
a) E = [(2,014 102 u + 3,016 049 u) – (4,002 603 u +
MeV = 17,6 Mev
1,008 665 u)] 931,5 }
u
26
6,02 · 10 u
· 17,6 MeV = 2,65 · 1027 MeV
b) E = }
4,00 u
= 1,18 · 108 kWh
c) Ein Kraftwerk mit P = 1 000 MW liefert in 24 Stunden
eine Energie von
33.
P = 106 kW · 24 h = 2,4 · 107 kWh.
Der Vergleich mit b) zeigt: Die Energie, die bei der
Fusion von 1,00 kg Helium frei wird, ist etwa 5-mal
so groß wie die Energie, die ein großes Kraftwerk an
einem Tag zur Verfügung stellt.
32.
420 904 Stand der Fusionsforschung
Es sollte der aktuelle Forschungsstand verdeutlicht werden, so wie er aktuellen Informationsquellen (Internet)
zu entnehmen ist. Als Stichworte seien genannt:
− Forschungsreaktor Iter (internationales Projekt),
− Fusionsreaktor Wendelstein (Greifswald).
423 784 Schalenbrennen bei Sternen
34.
a) Bei massereichen Sternen kann das sogenannte Schalenbrennen auftreten. Das bedeutet:
− Zunächst erfolgt – wie bei allen Sternen – eine
Fusion von Wasserstoff zu Helium im Zentrum des
Sterns.
− Sind die Wasserstoffvorräte aufgebraucht, so kann
es im Innern des Sterns zur Fusion von Helium
kommen. Die erforderliche Temperatur von ca.
108 K kommt zustande, weil in kernnahen Regionen Gravitationsenergie durch Kontraktion in
innere Energie umgewandelt wird. Die Fusion
von Wasserstoff kommt dabei nicht zum Erliegen,
verlagert sich aber in kernfernere Bereiche des
Sterns, in denen noch ausreichend Wasserstoff
vorhanden ist.
428 414 Nuklearmedizin
Bei der Präsentation sollte auf die Nutzung der Nuklearmedizin in der Diagnostik und der Therapie eingegangen werden. Als Stichworte seien genannt:
− Szintigrafie (Schilddrüsen, Niere, Skelett),
− Behandlung von Karzinomen.
Sinnvoll ist die Konzentration auf jeweils ein diagnostisches und therapeutisches Verfahren.
q·B·r
Grundbausteine der Materie (LB S. 510)
v=}
(1)
m
Aus Geschwindigkeit und Masse lässt sich über
1.
413 164 Streuversuche von Rutherford
E = }12 m · v 2
Zu den ersten Wissenschaftlern, die Streuexperimente
durchführten, zählt der britische Physiker ERNEST
RUTHERFORD (1871–1937). RUTHERFORD nutzte bereits zu
Beginn des 20. Jahrhunderts α-Teilchen als Geschosse.
Diese Teilchen sind rund 7 000-mal schwerer als ein Elektron und zweifach positiv geladen. RUTHERFORD lenkte
α-Teilchen auf sehr dünne, nur etwa 100 Atomschichten
starke Goldfolien. Die Registrierung der Teilchen erfolgte auf einem Leuchtschirm. Dabei beobachtete man:
Die weitaus meisten dieser Teilchen passierten die Folie
ungehindert, bzw. wurden nur geringfügig abgelenkt.
Nur in wenigen Fällen werden die α-Teilchen um nahezu
180° umgelenkt.
Erklärung: Die stark umgelenkten α-Teilchen sind auf
ein massives Hindernis gestoßen, den Atomkern. Da die
meisten α-Teilchen praktisch ungehindert die Folie passieren, muss die Ausdehnung des Atomkerns bedeutend
kleiner sein als das Atom. Den prinzipiellen Versuchsaufbau von Rutherford zeigt die Skizze unten. Die Deutung
der Ergebnisse ist darunter dargestellt.
Strahl von
α-Teilchen
abgelenkte
α-Teilchen
die kinetische Energie der Teilchen berechnen:
2
2
2
q ·B ·r
E=}
2m
Da Positron und Elektron den gleichen Betrag der
Ladung und die gleiche Masse haben, kann gefolgert
werden:
Aufgrund des kleineren Radius ist die Energie des
Positrons kleiner als die des Elektrons.
413 314 Paarvernichtung
3.
E = 2·m·c2
m 2
E = 2 · 1,673 · 10–27 kg · (3 · 108 }
s)
E = 3,0 · 10–10 J = 1,87 GeV
428 354 Streuexperimente
4.
a) Die Objekte, an denen gestreut wird, müssen in der
gleichen Größenordnung sein wie die Objekte, die
gestreut werden sollen.
b) Den Elektronen und anderen Teilchen muss eine
Wellenlänge in der Größenordnung 10–15 m zugeordnet werden können. Daraus ergibt sich für die
Energie der Teilchen:
Goldfolie
E = }12 m · v 2
Leuchtschirm
h
Die Geschwindigkeit ergibt sich aus λ = }
zu
m·v
Lichtblitz
h
v=}
m·λ
2
h
Damit erhält man: E = }
2
2 m·λ
6,626 · 10 –34 J · s
E = }}}2
2 · 9,109 · 10–31 kg · (10–15 m)
E = 2,41 · 10–7 J = 1,5 · 1012 eV
Atomkern
413 254 Bahnradius
5.
2.
a) Bewegen sich die geladenen Teilchen im homogenen
Magnetfeld der Stärke B senkrecht zu den Feldlinien
mit der Geschwindigkeit v, dann wirkt auf sie die
Lorentzkraft
413 274 Paarerzeugung
a) Spur 1 stammt von einem Elektron, Spur 2 von einem
Positron (UVW-Regel).
b) Für den Zusammenhang zwischen E, B und r gilt:
2
v
q·v·B = m·}
r
oder
F = q · B · v.
Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft. Demzufolge gilt:
q · B = m · }vr
Lorentzkraft = Zentripetalkraft
2
v
q·B·v = m·}
r
277
278
(LB S. 510)
Daraus ergibt sich:
9.
413 594 Fundamentale Kräfte
m·v2
·v
r=}
=m
q·v·B }
q·B
Das bedeutet: Der Radius der Kreisbahn eines geladenen Teilchens, das sich senkrecht zu den Feldlinien
eines homogenen Magnetfelds bewegt, ist umso
größer,
− je größer die Geschwindigkeit v des geladenen
Teilchens ist,
q
− je kleiner seine spezifische Ladung }
m ist und
− je kleiner die magnetische Flussdichte B ist.
b) Bei Verdopplung der Geschwindigkeit (Vergrößerung
auf 200 %) verdoppelt sich der Bahnradius.
6.
413 334 Auflösung von Mikrostrukturen
Grundsätzlich gilt: Die Strukturen, die man auflösen
kann, müssen in der gleichen Größenordnung liegen
wie die Wellenlängen, die man den entsprechenden
Teilchen zuordnen kann. Es gilt:
h · f = h und damit
}Ec = }
}λ
c
h·c
λ=}
ΔE
m
6,626 · 10 –34 Js · 3,0 · 108 }
s
λ = }}
9
–19
J
λ = 1,2 · 10–16 m
Die Abschätzung zeigt: Zur Auflösung von Mikrostrukturen muss die Wellenlänge der verwendeten
Teilchen so klein wie die Struktur selbst sein.
7.
413 404 Large Hadron Collider
a) Kurzreferat: Informationen zu den aktuellen Forschungen sind im Internet zu finden.
b) E = m · g · h
E
h=}
m·g
12
–19
7 · 10 · 1,602 · 10
J
h = }}
–6
m
10
Starke Kraft:
Wirkung: Wirkt auf Quarks: Jeweils drei Quarks ziehen
sich gegenseitig an und bilden zum Beispiel ein Proton
oder ein Neutron, sodass die „Farbladung“ ausgeglichen ist. In unmittelbarer Nähe des Neutrons aber ist
die Farbladung nicht vollständig ausgeglichen, da der
Abstand zu den Quarks unterschiedlich ist. In dieser
Entfernung wirkt die starke Kraft anziehend zwischen
Kernteilchen. Die Reichweite beträgt zwischen Kernteilchen 10 –15 m.
Beispiele:
Zusammenhalt von Protonen und Neutronen, Bildung
von Atomkernen
Schwache Kraft:
Wirkung: Die schwache Kraft wirkt auf die Eigenschaften der Quarks und kann daher eine Umwandlung der
verschiedenen Quarks ineinander bewirken. Sie wirkt
daher auf alle Teilchen, allerdings mit einer extrem geringen Reichweite von 10 –17 m.
Beispiele:
Beta-Zerfall. Die schwache Kraft ist die einzige Wechselwirkung für Neutrinos. Daher sind sie kaum nachzuweisen.
Eine Abschätzung ergibt:
10 · 10 · 1,602 · 10
Elektromagnetische Kraft:
Wirkung: Wirkt auf elektrisch geladene Teilchen und
Körper. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an. Bewegte
Ladungen werden im Magnetfeld abgelenkt, bewegte
Ladungen erzeugen ein Magnetfeld. Die Wirkung
1 ab.
nimmt mit }
r2
Beispiele:
Zusammenhalt des Atoms, Funktion von Elektromotor
und Dynamo
Gravitationskraft:
Wirkung: Wirkt auf alle Teilchen anziehend. Sie ist die
einzige Kraft, die im kosmischen Maßstab nicht durch
einen „Ladungsausgleich“ aufgehoben ist. Daher dominiert sie das Geschehen in großen Maßstäben, obwohl
sie die schwächste der fundamentalen Kräfte ist. Die
1 ab.
Wirkung nimmt mit }
r2
Beispiele:
Zusammenhalt des Planetensystems
kg · 9,81}2
s
h = 0,114 m
8.
413 444 Kollisionsexperimente
Neutronen sind in einem Beschleuniger aufgrund der
nicht vorhandenen Ladung grundsätzlich nicht nutzbar.
Protonen bzw. Bleiionen werden gegenüber Elektronen
bevorzugt, weil sie aufgrund ihrer wesentlich größeren
Masse eine erheblich größere Energie erreichen können.
3.8
Einem Zeitunterschied von 10 – 6 s entspricht ein
Entfernungsunterschied von 300 m.
Hinweis: Für ein gutes Navigationssystem wäre ein
solcher Unterschied nicht akzeptabel.
(LB S. 533 – 534)
1.
412 974 Galilei-Transformation
Im Bahnabteil ist es ein freier Fall auf einer geraden
Flugbahn Richtung Erdmittelpunkt. Vom Bahndamm aus
betrachtet erfolgt diese Bewegung als Wurfparabel, die
dem waagerechten Wurf entspricht.
c) Kurzvortrag zum europäischen Satellitennavigationssystem GALILEO: Aktuelle Informationen zu diesem Satellitennavigationssystem sind in Internet zu finden.
411 204 Geschwindigkeitsaddition
5.
Für die relativistische Addition von Geschwindigkeiten
gilt:
v +v
2.
1
2
v=}
v1 ∙ v2
1+}
2
412 994 Albert Einstein
c
Ausführliche Informationen zu ALBERT EINSTEIN und zur
speziellen Relativitätstheorie sind unter www.schuelerlexikon.de zu finden.
3.
0,8 c + 0,7 c
v=}
1 + 0,8 · 0,7
v = 0,96 c
413 004 Funkuhren
424 364 Länge einer Rakete
6.
a) Das Signal breitet sich mit konstanter Geschwindigkeit aus. Für 2 000 km beträgt die Laufzeit des
Signals:
}2
√
v
l = l’ 1 – }
2
c
l = 550 m
6
2 · 10 m ≈ 6,7 · 10 –3 s
t = }cs = }
8m
3 · 10 }
s
b) Im täglichen Leben spielt diese Zeitdifferenz keine
Rolle. Bei vielen technischen Experimenten und Messungen kann diese Differenz jedoch nicht vernachlässigt werden. Hier muss gegebenenfalls die Laufzeit
der Signale berücksichtigt werden.
c) Eine Funkuhr, die synchronisiert werden soll, erhält
von einer anderen Funkuhr ein Signal, das beim
Eintreffen sofort zurückgesendet wird. Aus der
Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ergibt sich der
genaue Zeitpunkt des Eintreffens des Signals aus der
halben Gesamtlaufzeit.
Hinweis: Unter Einbeziehung von GPS-Satelliten und
dem Vergleich verschiedener Standorte kann die Genauigkeit bis auf 1 Nanosekunde (10 – 9 s) gesteigert
werden.
429 664 Längenkontraktion
7.
}2
√
v
l = l’ 1 – }
2
c
Für die drei Geschwindigkeiten erhält man:
l100
l1 000
l 0,1 C
}}
0,028 2
= 4,56 m 1 – }
= 4,56 m
300 000
√ (
)
}}
0,28 2
= 4,56 m √ 1 – (}
= 4,56 m
300 000 )
}
0,1 c 2
= 4,56 m √ 1 – (}
= 4,54 m
c )
427 924 Eine schnelle Rakete
8.
}2
√
1
folgt l’ = }
}2 und somit
v
Mit l = l’ 1 – }
2
√ 1 – }vc
c
2
l’ = 809 m
4.
423 864 Satellitennavigation
a) t = }cs
t=
411 164 Weltraumreise
9.
20 200 km · s
}
300 000 km
= 0,07 s
Die Laufzeit eines Signals zwischen GPS-Satellit und
Erdoberfläche beträgt mindestens 0,07 Sekunden.
b) s = Δt · c
Δ s = 9 Jahre
a) Δ t = }
v
}2
√
v = 3,9 Lichtjahre
b) Δ s‘ = Δ s · 1 – }
2
c
Δ s‘ = 7,8 Jahre
Δ t‘ = }
v
m
s = 10 – 6 s · 3 · 108 }
= 300 m
s
279
280
(LB S. 533 – 534)
413 064 Zeitdilatation
10.
13.
Mit Δt‘ als Zeitdauer des physikalischen Vorgangs in
seinem Ruhesystem (S‘) und Δt als Zeitdauer des physikalischen Vorgangs vom Inertialsystem S aus gemessen gilt:
In seinem Ruhesystem (Rakete) ändert sich die Masse
nicht. Er bestimmt auf der Waage seine Ruhemasse von
75 kg. Für einen Erdbeobachter ergibt sich die Masse zu
Δt‘
Δt = }
}2
m
0
m=}
}2
√1 – }vc
√1 – }
v
c2
2
und damit
Δt
}
Δt‘
426 784 Masse eines Menschen
75 kg
m=}
}
√1 – 0,64
1
= }
}2
√1 – }vc
2
m = 125 kg
Damit erhält man z. B. folgende Wertepaare:
v
}c
Δt
}
Δt'
v
}c
Δt
}
Δt'
0
0,1
0,2
0,3
0,4
1,000
1,005
1,021
1,048
1,091
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,155
1,250
1,400
1,667
2,294
Dies bedeutet, dass der Mensch, vom Erdbeobachter aus
betrachtet, eine wesentlich größere Trägheit besitzt, die
sich aus der Masse von 125 kg ergibt.
Allgemein gilt: Mit Vergrößerung der Geschwindigkeit
vergrößert sich die Masse eines Körpers.
14.
Δt
}
Δt'
421 364 Ruheenergie
a) Für den Zusammenhang zwischen Masse und Energie
gilt die einsteinsche Beziehung:
3
E = m·c2
2
Mit
m = 9,109 · 10 –31 kg
E=
1
8,198 · 10 –14
ergibt sich:
2
kg · m · s–2 = 8,198 · 10 –14 J
E = 5,12 MeV
0
0
0,2
0,4
Diagramm
0,8
}vc
km
ergibt sich mit c = 3 · 105 }
s
Δt = 1,5
Bei }
Δt‘
}vc
0,6
aus dem
zwischen 0,74 und 0,75.
E
b) Mit E = m · c 2 ist m = }
. Gibt man die Energie in
c2
MeV an, dann erhält man die genannte Einheit.
Üblich ist die Verwendung dieser Einheit bei Elementarteilchen.
km .
Bei }vc = 0,74 ergibt sich v = 222 000 }
s
km .
Bei }vc = 0,75 ergibt sich v = 225 000 }
s
15.
425 414 Elektron wird schwerer
m
0
Mit m = }
}2 ergibt sich:
11.
m0
}
m
413 044 Verzerrte Erde
a) Mit
}
v2
√
l = l‘ · 1 – }2
c
ergibt sich l = 2,18 m.
√
v
1–}
2
}2
c
√
v
= 0,9901 = 1 – }
2
c
Durch Quadrieren erhält man:
2
v
0,9803 = 1 – }
2
Der Beobachter E misst l‘ = 5 m.
Der Beobachter P misst l = 2,18 m.
c
oder v 2 = (1 – 0,9803) c 2
m
v = 4,21 · 107 }
s
b) Für E ist die Versuchsanordnung ebenfalls nur 2,18 m
lang, für den Beobachter P in der Rakete natürlich
5 m.
m
ergibt sich, dass die Geschwindigkeit
Mit c = 3 · 108 }
s
etwa 14 % der Lichtgeschwindigkeit entspricht.
1
c) t = 5 Minuten · }
}2 = 11,47 Minuten
16.
√1 – }vc
411 774 Energieverdopplung
2
12.
Die Masse muss sich verdoppelt haben. Aus dieser Erkenntnis und der Formel für die Massenveränderlichkeit
folgt:
411 274 Massenzuwachs
Die bewegte Masse unterscheidet sich von der ruhenden
um 10 – 5 %.
2 m0 = k · m0
Das bedeutet:
Die Masse der Protonen ist bei dieser Beschleunigungsenergie etwa das 7450-Fache der Ruhemasse.
1
}
}2 = 2
√1 – }vc
2
b) Aus
Umstellen liefert:
}
√1 –
v
}2
c
}
}
√
√
v
1
1 = 1–
}c = 1 – }
}7
2
k
5,5 · 10
und damit: v = 0,999 999 991 c
√
v = c · 1 – }14 = 0,866 c
426 144 Elektronen im Beschleuniger
20.
424 874 Wachsende Masse
17.
Die effektiv bestrahlte Fläche ergibt sich aus dem mittleren Radius der Erde (r = 6 371 km).
Mit A = π · r 2 erhält man:
Der Anteil der kinetischen Energie an der Gesamtenergie ergibt sich aus der gegebenen Gesamtenergie
und der Ruheenergie. Diese kann man folgendermaßen
berechnen:
E0 = m0 · c 2
Aeff = 1,28 · 1014 m2
Mit
E = P·t
E0 = 9,109 · 10 –31 kg · 9 · 1016 m2 · s–2
folgt:
E = 1,4 · 103 W · 1,28 · 1014 · 24 · 3 600 s
22
E = 1,55 · 10
Aus E =
m=
m·c2
E0 = 8,198 · 10 –14 J = 5,12 MeV
Ws
folgt:
folgt:
Ekin = 44,9 MeV
E
}2
c
Für das Verhältnis der Massen gilt:
a) Ekin = (m – m0
2
Mit
E = m · c 2 und E0 = m0 · c2 ergibt sich:
√1 –
E
√1 – }
v
}2
c
v
c2
1
=}
}
}2
E
√
0
1
= m0 · c · }
}2 – 1
v
1–}
2
c
)
E
22
v
1–}
2
c
50 MeV
=}
= 9,766
}
E
5,12 MeV
0
m0 = 5 · 105 kg, v = 0,9 c
Ekin = 5,8 · 10
0
m · c2 = }
}2
0
m=}
}2 folgt
)·c2
(√
m ·c 2
m
Aus
411 704 Leider noch keine Enterprise
Mit
E = E0 + Ekin
Aus
m = 1,73 · 105 kg
18.
1
k=}
}2 folgt
ergibt sich
Ws
b) Das Kraftwerk produziert in einem Jahr
43,5 · 1015 Ws, es müsste also 1,33 Mio. Jahre
arbeiten.
Das Verhältnis der Gesamtmasse des Elektrons zu seiner
Ruhemasse beträgt etwa 9,8.
Die Geschwindigkeit kann in unterschiedlicher Weise
berechnet werden.
Variante 1:
E
1
Mit }
=}
}2 = 9,766
E
√1 – }
v
c2
0
ergibt sich durch Umstellung
nach der Geschwindigkeit v:
19.
429 084 LHC bei Genf
v = 1,32 · 108 m · s–1
a) Es gilt (relativistisch)
E=
m · c2
= k · m0
· c2
1
mit k = }
}2 .
√1 – }
v
c2
Die Geschwindigkeit des Elektrons beträgt
m . Das sind etwa 44 % der Lichtgeschwinv = 1,32 · 108 }
s
digkeit.
Variante 2:
Aus der obigen Gleichung folgt:
1
1
Ekin = m0 · c2 · }
– 1 = E0 }
–1
}
}
v2
v2
3√
Mit
E
k=}
2
m0 · c
E
Mit E = 7 · 1012 eV (aus der Tabelle),
m
m0 = 1,672 · 10 –27 kg und c = 3 · 108 }
s
ergibt sich:
k=
7 · 1012 · 1,602 · 10 –19 J
}}}
1,672 · 10 –27 kg · 9 · 1016 m2 · s–2
≈
3√
1
1 – }2
c
4
3√
1 – }2
c
4
folgt:
4
= }
}
}2 – 1
E
0
v
1–}
2
c
Es ergibt sich der gleiche Wert für die Geschwindigkeit.
7,45 · 103
281
282
21.
(LB S. 533 – 534)
413 394 Beschleunigung von α-Teilchen
22.
q · U = }12 m · v 2
a) Allgemein gilt:
Der Masseverlust der Sonne pro Sekunde beträgt:
}
2q · U
√
ΔE
Δm = }
= 4,3 · 109 kg
2
v= }
m
und damit:
c
b) Die Ruhemasse eines α -Teilchens beträgt
6,645 · 10 –27 kg. Für die Abhängigkeit der Masse von
der Geschwindigkeit gilt:
m
0
m=}
}2 = k · m0
√
v
1–}
2
c
Damit erhält man:
k
v
m in
10 –27
kg
424 894 Masseverlust der Sonne
1,021
1,091
1,25
1,667
0,2 c
0,4 c
0,6 c
0,8 c
6,78
7,24
8,30
11,1
Demzufolge verliert die Sonne pro Jahr etwa:
4,3 · 109 kg · 365 · 86 400 = 1,4 · 1017 kg
Daraus ergibt sich eine theoretische „Lebensdauer“ der
Sonne von 1,4 · 1013 Jahren. Dies sind weit über 10 Billionen Jahre.
Hinweis: Als tatsächliche Lebensdauer der Sonne werden in der Astronomie Werte von etwa 5 Milliarden
Jahren angegeben.
m in 10–27 kg
11
10
9
8
7
6
v in c
0,2
0,4
0,6
0,8
1
c) Die Geschwindigkeit bei Verdreifachung der Masse
ergibt sich aus:
m
0
m=}
}2
√1 – }
v
c2
Mit
m = 3 m0 erhält man:
m
0
3 m0 = }
}2 oder vereinfacht:
√1 – }
}
v
c2
v = c · √ }89 = 0,94 c
Bei nichtrelativistischer Betrachtung würde man für
die Beschleunigungsspannung erhalten:
m · v2
0
U=}
2Q
(
)
m2
6,645 · 10 –27 kg · 0,94 · 3 · 108 }
s
U = }}}
–19
2 · 1,602 · 10
C
U = 1,7 · 109 V
Da sich aber die Masse auf das Dreifache vergrößert,
muss sich auch die Beschleunigungsspannung auf
den dreifachen Wert vergrößern.
Hinweis zu c): Bei einer Verdopplung der Masse
gelten die analogen Betrachtungen. Die Ergebnisse
lauten dann:
v = 0,87 c
U = 1,4 · 109 V
Astrophysik
3.9
Astrophysik
Forschungsmethoden der Astrophysik
(LB S. 544 – 545)
1.
426 414 Der Schattenstab
3.
Kurzvortrag zum Schattenstab: Er ist einer der ältesten
astronomischen Beobachtungsinstrumente. Die Skizze
zeigt seinen Aufbau.
senkrechter
Papier mit
konzentrischen Stab
Kreisen
428 244 Fernrohre und Teleskope
Grundplatte
a) In der historischen Entwicklung wurden zunächst
vor allem Linsenfernrohre (Refraktoren) verwendet,
ehe sich Spiegelteleskope durchsetzten. Das hängt
unmittelbar mit den jeweiligen technischen Möglichkeiten zusammen. Nachfolgend sind einige Aspekte
genannt und verglichen.
Vorteile
Nachteile
Refraktor
Spiegelteleskop
Mit mäßigem Aufwand herstellbar
Relativ einfache
Montierung durch
„starre Struktur“
Lichtstärke und Auflösungsvermögen
deutlich größer als
bei Refraktoren und
(bis 10 m Spiegeldurchmesser)
Lichtstärke und Auflösungsvermögen
durch Linsendurchmesser begrenzt
(Linsendurchmesser
bis zu 1 m)
Herstellung sehr
aufwendig.
Lagerung und
Justierung der großen Spiegelflächen
problematisch.
b) Präsentation zum VLT: Ausführliche Informationen
und zahlreiche interessante Bilder sind im Internet
unter www.eso.org zu finden.
Mit einem solchen Schattenstab kann man bestimmen:
− die Nord-Süd-Richtung,
− den Zeitpunkt des wahren Mittags an einem Ort.
413 764 Sternfarben
4.
a) Aus der Erfahrung ist bekannt, dass es einen Zusammenhang zwischen der Glühfarbe eines erhitzten
Körpers und seiner Leuchtfarbe gibt:
− dunkelrötlich glühend (Temperatur relativ niedrig),
− bläulich-weißlich glühend (Temperatur relativ
hoch).
Dieser Zusammenhang wird durch das planckschen
Strahlungsgesetz beschrieben.
b) Temperaturfolge: 3, 1, 4, 2.
2.
416 124 Immer größere Teleskope
Die Spiegelflächen A verhalten sich wie die empfangenen Lichtmengen I, denn die Empfangsfläche der Strahlung ist die Oberfläche des jeweiligen Spiegels.
Damit gilt:
A1 I1
=I
}
A2 }
2
bzw., da die Flächen vom Quadrat des Spiegeldurchmesser d abhängen:
d2
I
25 .
1
1
=}
=}
}
2
I
1
d2
2
Der größere Spiegel empfängt 25-mal mehr Licht.
414 164 “Punkte“ und „Scheiben“ im All
5.
a) Die Lösung erfolgt mithilfe der unten angegebenen
Zeichnung. Dieser Zeichnung entnimmt man die
Zusammenhänge:
R bzw.
tan }2α = }
r
α‘
R
tan }
=}
,
2
r‘
R Mondradius,
für sehr kleine Winkel darf man den Tangens weglassen (man kann aber natürlich auch damit rechnen!)
und erhält durch Umstellen nach R den Zusammenhang:
α‘ · r‘ = α · r
r‘ =
α·r
}
α‘
oder
= 384 000 km · 31 = 11 904 000 km
r
}2α
R
283
284
(LB S. 544 – 545)
b) Es sind zwei Varianten möglich:
Variante 1:
Aus der Aufgabenstellung entnimmt man, dass von
der Erde aus auch für die Sonne für den scheinbaren
Winkeldurchmesser gilt:
α ≈ 31‘.
Anhand der Lösung der Teilaufgabe a) ist dann
für die 30-fach größere Entfernung zu Neptun zu
folgern:
α
α‘ = }
≈ 1‘.
30
Antwort: Auf Neptun würde die Sonne noch gerade
(an der Auflösungsgrenze) für das menschliche Auge
als sehr kleines flächenhaftes Objekt erscheinen.
Variante 2:
Man nutzt den (in der Aufgabe nicht gegebenen)
Abstand Erde – Sonne 1 AE = 149,6 Mio. km), und
rechnet:
8.
413 724 Sterntemperaturen „messen“
Eine Absorptionslinie entsteht, wenn durch Photonenabsorption in der Atomhülle ein Elektron von einem
niedrigeren auf ein höheres Energieniveau gelangt.
Von besonderem Interesse für die astrophysikalische
Bestimmung der Sterntemperatur sind solche Elektronenübergänge, bei denen bereits das Ausgangsniveau
ein angeregtes Elektronenniveau ist.
In dieses Ausgangsniveau gelangen Elektronen z. B.
durch Stoßanregung. Die Energie dieser Stoßanregung
hängt dabei von der Temperatur des Sterngases ab.
Beobachtet man also eine bestimmte Spektrallinie, die
durch Elektronenübergang aus einem bereits angeregten Niveau entstanden ist, dann muss die Temperatur
etwa so groß sein, dass die betreffende Stoßanregung
in einer nennenswert großen Anzahl von Atomen in der
Gashülle des Sterns erfolgen kann. Durch eine Analyse
vieler Absorptionslinien kann man die Temperatur auf
wenige 10 K genau eingrenzen.
Entfernung Neptun – Sonne:
9.
r = 30 · 149,6 · 106 km = 4,488 · 109 km.
Der Sehwinkel von Neptun zur Sonne ist dann:
tan }2α
6.
a) richtig
Begründung: Das Licht, das wir von einem Stern
registrieren, wird von dessen Oberfläche abgestrahlt.
Die Zusammensetzung dieses Lichts hängt im
Wesentlichen von seiner Oberflächentemperatur ab.
= R · r, α = 0,0179° = 1,07‘.
413 714 Lichtzerlegung
Hauptbestandteile: Spalt, Gitter oder Prisma, System für
eine optische Abbildung auf einem Schirm (im einfachsten Fall eine Sammellinse), Projektionsschirm für das
Spektrum.
Der Spalt erzeugt auf dem Schirm eine Linie, durch das
Prisma (oder Gitter) wird das eintretende Licht in seine
farblichen Bestandteile zerlegt (der Wellenlänge nach
„sortiert“) und mithilfe der Abbildungslinse entsteht
eine scharfe Abbildung des Spektrums auf dem Schirm.
7.
414 054 Spuren lesen im Spektrum
413 844 Absorptionslinien
b) falsch
Begründung: Die jeweilige Sternatmosphäre beeinflusst die im Sternspektrum feststellbaren Absorptionslinien, nicht aber das von der Sternoberfläche
abgestrahlte Emissionsspektrum.
10.
1
1
r=}
= 3,2 pc
p=}
0,31“
11.
Eine Absorptionslinie entsteht, wenn durch Photonenabsorption in der Atomhülle ein Elektron von einem
niedrigeren auf ein höheres Energieniveau gelangt.
Der Spalt erzeugt auf dem Schirm letztlich die (Spektral)
linie. Durch das Prisma (oder Gitter) wird das eintretende Licht in seine farblichen Bestandteile zerlegt
(der Wellenlänge nach „sortiert“) und mithilfe der
Abbildungslinse entsteht eine scharfe Abbildung des
Spektrum auf dem Schirm. Das kontinuierliche Spektrum
besteht im Grunde aus den sortierten und nebeneinander auf dem Schirm abgebildeten Spaltbildern in jeder
Wellenlänge. Dort aber, wo Photonen mit bestimmten
Wellenlängen durch atomare Prozesse absorbiert wurden, befindet sich eine dunkle Linie – die betreffende
Absorptionslinie.
414 234 Sternstunde
414 254 Sternentfernung
p = }1r = 0,39“
12.
413 774 Lichtreise
Zur Lösung benötigt man die Umrechnung von Parsec in
Lichtjahre: 1 pc = 3,26 Lichtjahre.
Dann folgt: 11 pc = 35,86 Lichtjahre. Das Licht benötigt
nahezu 36 Jahre.
285
Astrophysik
13.
414 144 Kleine Winkel
a) Der Radius der Erdbahn ist mehr als 20 000-fach
größer als der Erdradius. Um genau diesen Faktor
würden sich die Sternparallaxen verkleinern, wenn
man den Erdradius als Basis der Winkelmessung
verwenden würde.
b) Exakt: 3,27 · 10 – 5“ also im Bereich von Mikrobogensekunden. Auch wenn man derartige Messgenauigkeiten zukünftig erreichen wird, würde man Entfernungsmessungen von Sternen nur extrem ungenau
und nur für die allernächsten Sterne realisieren
können.
14.
Wolken verdeckt. Mehr Glück hatten seine Kollegen in
Sobral, wo der Himmel wolkenfrei war.
Die beiden Gruppen ließen sich Zeit mit der Auswertung. Erst am 6. November waren sie bereit, gemeinsam
an die Öffentlichkeit zu treten. An einer gemeinsamen
Sitzung der Royal Society und der Royal Astronomical
Society wurde das Ergebnis der beiden Expeditionen bekanntgegeben. EDDINGTONs Gruppe hatte einen Wert von
1,61 Bogensekunden gefunden, die Gruppe aus Sobral
einen Wert von 1,98 Bogensekunden. Die Fehlergrenzen waren zwar groß, sie schlossen aber den von der
newtonschen Gravitationstheorie favorisierten Wert von
0,88 Bogensekunden aus. Damit hatte die allgemeine
Relativitätstheorie eine glänzende Bestätigung erfahren.
428 364 Forschungssatelliten
428 214 Vergleich der Sterne
16.
Recherche-Aufgabe: Aktuelle Informationen sind im
Internet zu finden, vor allem auf den Seiten
www.nasa.gov und www.esa.int/esaCP/Germany.html.
15.
414 404 Lichtablenkung
Lichtteilchen fallen in einem Gravitationsfeld (wie alles
andere) schon wegen der Krümmung der Raumzeit in
Richtung des Massenzentrums. Da dieses Fallen unabhängig ist von der Masse des fallenden Teilchens,
konnte man diesen Effekt bereits berechnen, bevor man
wusste, welche träge Masse die Lichtteilchen haben. Der
27-jährige JOHAN SOLDNER hat 1803 einen Aufsatz vorgelegt, in welchem er aufgrund von NEWTONs Theorie die
Ablenkung eines Lichtstrahls berechnete, der knapp am
Sonnenrand vorbei läuft. Das Ergebnis seiner Rechnung war ein Winkel von 0,875 Bogensekunden. Genau
diesen Wert erhielt EINSTEIN auch, als er 1911 seine noch
etwas unausgegorene neue Theorie testete.
1916 lieferte die „fertige“ Allgemeine Relativitätstheorie aber eine Prognose von 1,75 Bogensekunden, also
den doppelten Wert. Die Beobachtung dieser winzigen
Abweichung konnte nur bei einer totalen Sonnenfinsternis gelingen. Denn nur wenn das Licht der Sonne vollständig vom Mond abgeschirmt wird, treten die Sterne
in ihrem unmittelbaren Umfeld zum Vorschein.
Zur experimentellen Überprüfung unternahm EDDINGTON
eine Expedition nach Westafrika, um am 29. Mai des
Jahres 1919 von der im Golf von Guinea gelegenen
Vulkaninsel Principe die Sonnenfinsternis zu beobachten. Zur Absicherung wurde eine zweite Expedition mit
dem gleichen Zweck nach Sobral in Brasilien organisiert.
Die benötigte Messgenauigkeit lag an der Grenze dessen, was damals erreichbar war. Insbesondere Temperaturunterschiede innerhalb der Atmosphäre führten
zu Lichtablenkungen und damit zu Messfehlern. Hinzu
kam, dass auch die Wetterbedingungen nicht optimal
waren. Von den 16 Platten, die EDDINGTON in Principe belichtete, waren nur wenige brauchbar. Auf den anderen
waren die im Umfeld der Sonne gelegenen Sterne durch
Die Intensität der beobachteten Sternstrahlung ist proportional zur tatsächlichen Strahlungsintensität (bzw.
zur Leuchtkraft) des Sterns und indirekt proportional
zum Abstandsquadrat zu diesem Stern (lambertsches
Gesetz):
L.
I~}
2
r
Haben zwei Sterne gleiche Radien und gleiche Oberflächentemperaturen, dann sind ihre Leuchtkräfte auch
gleich groß. Aus der oben formulierten Proportionalität
ergibt sich dann für zwei Sterne 1 und 2:
I
r
2
1
2
=}
.
}
2
I
2
r1
Das Intensitätsverhältnis beträgt 1 : 10, also ist der lichtschwächere Sterne √}
10-fach weiter als der hellere Stern
von der Erde entfernt (3,16-fach).
17.
421 584 Hubble-Weltraumteleskop
Recherche und Präsentation zum Hubble-Weltraumteleskop. Ausführliche Informationen dazu sind im
Internet zu finden.
Das Sonnensystem (LB S. 555 – 556)
1.
423 304 Planetensystem als Modell
Wenn 1 AE einem Meter entspricht, dann haben die
Planeten den folgenden mittleren Abstand zur Sonne:
Me
Ve
Er
Ma
Ju
Abstand
zur Sonne 0,38 0,72 1,00 1,52 5,2
in m
Sa
Ur
Ne
9,53 19,20 30,50
286
(LB S. 555 – 556)
3
4 π 2 ∙ (2,279 ∙ 1011 m) ∙ kg ∙ s 2
M = }}}3
427 454 Die galileische Methode
2.
6,673 ∙ 10–11 m3 ∙ (1,88 ∙ 365 ∙ 86 400 s)
M = 1,99 ∙ 1030 kg
a) Ja. Setzt man die Tabellenwerte in die Form
T 2 : a 3 = konstant ein, erhält man:
Io: 4,1687 · 10–8, Europa: 4,1714 · 10–8,
Ganymed: 4,1732 · 10–8, Kallisto: 4,17821 · 10–8.
8.
b) KEPLER hat mit seinen Planetengesetzen die Bewegungen der Jupitermonde erklärt, bevor diese Himmelskörper überhaupt entdeckt wurden bzw. ihre
Existenz bekannt war.
429 304 Erde und Mars
3.
2 π∙R
v=}
T
6
2 π ∙ 149,6 ∙ 10 km
vErde = }}
= 29,79 km ∙ s–1
365,2422 ∙ 86 400 s
6
2 π ∙ 227,9 ∙ 10 km
vMars = }}
= 24,12 km ∙ s–1
1,88 ∙ 365,2422 ∙ 86 400 s
Ursache bildet die geringe Entfernung des Merkur von
der Sonne, damit ist er unmittelbar den Einflüssen der
Sonnenstrahlung und der Sonnenaktivität ausgesetzt.
Infolge der energiereichen Strahlung der Sonne können
eventuell vorhandene Gasmoleküle das Schwerefeld des
Planeten relativ leicht verlassen.
Bei einer physikalischen Betrachtung setzt man die von
der Gastemperatur T und der Teilchenmasse m abhängige Bewegungsenergie der (idealen) Gasteilchen zur
Gravitationswirkung des Planeten in Relation. Es gilt
dabei
3 kT
2 GM
<}
,
}
m
R
d. h. ist die Teilchengeschwindigkeit größer als die
Fluchtgeschwindigkeit, können Teilchen aus dem Anziehungsbereich des Himmelskörpers herausdriften.
427 464 Massenanziehung
4.
426 324 Sternatmosphären
Setzt man die entsprechenden Werte für Sonnenmasse,
Erdmasse und Abstand Erde –Sonne in das Gravitationsgesetz ein, so erhält man eine Kraft von 3,54 · 1022 N.
9.
421 564 Fluchtgeschwindigkeit
}
√
2G∙m
vF = }
r
429 784 Ein Zwergplanet
5.
T
2
1
=
}
2
T2
a13
}
a23
km
vF = 630 }
s
}
a23 ∙ T12
√
g T2 = }
3
a1
10.
T2 = 252,03 Jahre
424 844 Dichte-Radius-Diagramm
Dichte aus R und M berechnen:
424 104 Der Planetoid Eros
6.
T
2
a
3
1
1
Aus }
=}
folgt:
2
3
T2
a2
a2 = a1 ∙
}
√}
3 T22
T12
Mit a1 = 1 AE und T1 = 1 a (Erde als Bezug) erhält man:
a2 = 1 AE ∙ √}
(1,76)2
3
kg
Io:
3,6 ∙ 103 }
m3
Europa:
3,0 ∙ 103 }
m3
Ganymed:
1,9 ∙ 103 }
m3
Kallisto:
1,8 ∙ 103 }
m3
kg
kg
kg
Damit folgt nach Eintragung in das Radius-DichteDiagramm: Io – erdartig, Europa – erdartig, Ganymed –
eisartig, Kallisto – eisartig.
a2 = 1,46 AE
11.
427 084 Sonnenmasse
7.
2
m∙M = m∙ 4 π ∙r
G∙}
}
2
2
r
T
Die Umformung nach M ergibt:
2
3
4 π ∙r
M=}
2
423 054 Größe der Sonne
R = r ∙ sin α
α ist dabei der halbe Winkel, unter dem man die Sonne
sieht. Damit erhält man:
R = 149,6 ∙ 106 km ∙ sin 0,266 55°
R = 0,696 ∙ 106 km
G∙T
Astrophysik
m Masse des Wassers,
c
Wärmekapazität von Wasser
ΔT Temperaturunterschied
427 864 Masse der Sonne
12.
2
m∙M = m∙ 4 π ∙r
G∙}
}
2
2
r
T
Die Umstellung nach der Sonnenmasse ergibt:
M=
4 π2∙r3
}
G∙T2
Hinweis: Es handelt sich natürlich nur um eine grobe Abschätzung, die viele Faktoren (Erdatmosphäre, Wärmeverluste im Gefäß, etc.) unberücksichtigt lässt.
Mit r = 149,6 ∙ 106 km und T = 365 d erhält man:
M = 1,99 ∙ 1030 kg
Das entspricht annähernd dem Tabellenwert.
13.
Mittlere Dichte =
(π · R )
1,4 g
=}
,
3
W.
Die Solarkonstante für Merkur ist: s = 9 146 }
2
m
cm
also etwas mehr als die Dichte von Wasser.
14.
S = 1,7 · 1017 W
S
s=}
2
413 944 Mittlere Dichte
Sonnenmasse
}}
Volumen der Sonnenkugel
413 564 Merkur‘s Solarkonstante
16.
413 734 Sonnenenergie
W
a) s = 1 368 }
2
m
(Der in Joule gegebene Wert pro Quadratmeter
und Sekunde, man nennt diesen Wert auch Solarkonstante) wird mit der Querschnittsfläche der Erde
multipliziert (R: Erdradius):
17.
425 404 Sonnenbeobachtung
Die Projektionsmethode ist die für den Beobachter
ungefährlichste Art der Sonnenbeobachtung. Darin und
in der Möglichkeit, das Bild durch mehrere Personen
gleichzeitig betrachten zu lassen, besteht ihr wesentlicher Vorteil.
Die Filtermethode ist, vor allem bei Anwendung eines
Objektivfilters, als direkte Art der Sonnenbeobachtung
für einen einzelnen Beobachter zu empfehlen, der relativ leicht die Nachführung des Fernrohrs betätigen kann.
S = s · π · R 2 = 1,7 · 1017 W.
18.
b) Die von der Sonne je Sekunde ankommende Strahlungsenergie übertrifft den gegenwärtigen Leistungsbedarf der Menschheit um das 10 000-fache.
Könnte man die Sonnenstrahlung auf einer vergleichsweise kleinen Teilfläche der Erdoberfläche
„aufsammeln“, dann wären die Energieprobleme der
Menschheit gelöst.
c) Lösungsidee: Man legt gedanklich eine Kugel mit
Erdbahnradius r um die Sonne und multipliziert die
Solarkonstante s mit der Fläche dieser Kugel:
L = s · 4 π · r 2 = 3,8 · 1026 W
15.
413 524 Strahlungsleistung
Stellt man fest, wie lange die Sonnenstrahlung benötigt,
um eine bestimmte Menge Wasser durch senkrechten
Strahlungseinfall zu erwärmen, dann kann man die
Strahlungsleistung je Quadratmeter ausrechnen. Ist Q
die in das Wasser übergegangene Wärme und t die daQ
für benötigte Zeit, so ist P = }
die Strahlungsleistung
t
auf der Fläche des Erlenmeyerkolbens. Für Q gilt:
Q = m · c ·ΔT
422 844 Sonnenaktivitäten
a) Zu den Sonnenaktivitäten gehören Sonnenflecken,
Sonnenfackeln, Protuberanzen, Filamente als spezielle Protuberanzen, Eruptionen. Diese verschiedenen
Sonnenaktivitäten lassen sich genauer charakterisieren. Informationen findet man in Astronomiebüchern und im Internet.
b) Präsentation zu Sonnenaktivitäten. Es kann dabei
auch auf das Weltraumwetter eingegangen werden.
19.
424 474 Sonnenflecken
a) Sonnenflecken sind dunkle Gebilde in der Fotosphäre, die eine niedrigere Temperatur als ihre Umgebung aufweisen und die deshalb als dunkle Flecke
sichtbar sind. Für ihre Entstehung gibt es bis heute
keine alle Einzelheiten aufklärende Theorie. Wahrscheinlich sind zwei Effekte entscheidend:
− Durch die differenzielle Rotation der Sonne (die
äquatornahen Bereiche rotieren schneller als die
polnahen Bereiche) nehmen die Feldlinien des
Magnetfelds, die in das elektrisch leitfähige heiße
Gas der Sonnenoberfläche „eingefroren“ sind, an
dieser ungleichförmigen Rotation teil und werden
so allmählich „aufgewickelt“. Dadurch verringert
287
288
(LB S. 567 – 568)
sich der Abstand zwischen den Feldlinien und es
bilden sich unter der Sonnenoberfläche Flussröhren.
− Hinzu kommt die Konvektion in der Konvektionszone. Riesige Plasmablasen steigen innerhalb der
Konvektionszone auf und wirbeln die Flussröhren
durcheinander, sodass verflochtene Strukturen
entstehen. Dadurch steigt der Druck im Innern der
Röhre an. Gas wird nach oben gepresst und die
Röhren werden leichter als ihre Umgebung, sodass
sie aufsteigen und die Fotosphäre durchstoßen.
Ein Fleckenpaar entsteht.
b) Der Durchmesser des Sonnenflecks beträgt auf dem
Foto 1 mm = 10–3 m. Die Sonne hat auf dem Foto
einen Durchmesser von 4,2 cm = 4,2 ∙ 10–2 m. Der
Durchmesser der Sonne beträgt 1,392 ∙ 109 m. Damit
erhält man für den Durchmesser des Sonnenflecks:
9
Hinweis: In der Regel beträgt der Fleckendurchmesser zwischen 1 000 und 10 000 km. Es wurden auch
schon Flecken mit einem Durchmesser von mehr als
100 000 km beobachtet.
422 104 Größe einer Protuberanz
Der Durchmesser der Sonne beträgt 1,392 ∙ 109 m.
Auf dem Foto hat sie einen Durchmesser von
5,2 cm = 5,2 ∙ 10–2 m. Die Höhe der Protuberanz über
der Sonnenoberfläche beträgt 1,5 cm = 1,5 ∙ 10–2 m, ihre
Breite etwa 2,3 cm = 2,3 ∙ 10–2 m.
Mit diesen Werten erhält man:
9
5,2 ∙ 10
h=
m
m = 400 000 km
9
–2
1,392 ∙ 10 m ∙ 2,3 ∙ 10 m
b = }}
–2
5,2 ∙ 10
b=
6,2 ∙ 108
Stern
Scheinbare Helligkeit
in mag
Sternbild
Sirius A
–1,5
Großer Hund
Canopus
–0,7
Kiel des Schiffes
Arktur
–0,05
Bärenhüter
Wega
+0,03
Leier
Rigel
+0,12
Orion
427 334 Nahe Sterne
Stern
Entfernung in pc
Proxima Centauri
1,30
α Centauri A
1,33
α Centauri B
1,33
Barnards Stern
1,83
Lalande 21185
2,53
3.
426 684 Sternspuren
a) Die scheinbare Bewegung der Sterne kommt durch
die tägliche Rotation der Erde um ihre Achse zustande.
–2
1,392 ∙ 10 m ∙ 1,5 ∙ 10 m
h = }}
–2
4,0 ∙ 108
423 504 Helle Sterne
m
x = 33 000 km
20.
1.
2.
–3
1,392 ∙ 10 m ∙ 10 m
x = }}
–2
4,2 ∙ 10
Sterne und ihre Entwicklung
(LB S. 567 – 568)
m
b) In 24 h beschreibt ein Stern eine kreisförmige Bahn
um den jeweiligen Himmelspol. Das entspricht einem
Winkel von 360°. Auf dem Foto ergibt sich ein Winkel der Sternspuren von etwa 30°. Mit diesem Wert
erhält man:
24 h ∙ 30°
x=}
360°
m = 620 000 km
x=2h
Die Belichtungszeit betrug bei der Aufnahme etwa
2 Stunden.
4.
416 374 Energieerhaltung
Die Sterne sind selbstleuchtende Gaskugeln. Die von
ihnen je Sekunde freigesetzte und in das Weltall abgegebene Energie müssen durch Energieumwandlung aus
anderen Energieformen stammen, die im Stern gespeichert sind. Jedenfalls kann die Sternenergie auf Grund
des Energieerhaltungssatzes nicht einfach im Inneren
der Sterne „entstehen“.
Astrophysik
Wie auch immer die konkrete Energieumwandlung im
Stern funktioniert, sie kann nicht ewig ablaufen, da
jeder Energieträger (chemische Energie, Kernspaltungsoder Kernfusionsenergie von Atomen) irgendwann zur
Neige geht. Deshalb müssen sich Sterne im Laufe der
Zeit verändern – sie entstehen und sie verlöschen.
5.
413 624 Sternenleben
Auf Grund des Energieerhaltungssatzes kann die
Sternenergie nicht einfach im Inneren der Sterne
„entstehen“.
Wie auch immer die konkrete Energieumwandlung im
Stern funktioniert, sie kann nicht ewig ablaufen, da
jeder Energieträger irgendwann zur Neige geht.
Wenn es das Weltall seit unendlicher Zeit gäbe, dann
wären bereits alle Sterne erloschen – es wäre im All
„dunkel“. Da dies ganz offenbar nicht der Fall ist, muss
das Weltall in der Vergangenheit zu einem Zeitpunkt
entstanden sein, der es ermöglichte, dass auch heute
noch die Energievorräte der Sterne (hauptsächlich Wasserstoff für die Kernfusion zu Helium) nicht verbraucht
sind. Auch wenn gegenwärtig noch neue Sterne im All
entstehen, ändert dies nichts Grundsätzliches an diesem
Argument.
6.
428 694 Zustandsgrößen
Die Oberflächentemperatur ergibt sich aus der spektralen Energieverteilung.
Die Masse von Sternen lässt sich aus Untersuchungen an
Doppelsternen ermitteln.
Der Radius von Sternen kann aus Untersuchungen an
Bedeckungsveränderlichen oder durch interferometrische Untersuchungen bestimmt werden.
Die mittlere Dichte von Sternen ergibt sich aus Masse
und Radius.
astronomischen Einheiten und die Zeit in Jahren angegeben. Damit erhält man:
3
(170 AE)
M=}
2
(400 a)
M = 30,7 MSonne
428 174 Dichte von Sternen
9.
Riesenstern:
m = 15 · 1,99 · 1030 kg ≈ 3 · 1034 g
r = 227,9 · 106 km ≈ 2 · 1013 cm
}
m
ρ=}
≈ 3 · 1034 g/(4 π/3 · 8 · 1039 cm3)
V
}
ρ ≈ 10–6 g · cm–3
Weißer Zwerg:
m = 1,99 · 1030 kg ≈ 2 · 1033 g
r = 6 378 km ≈ 6 · 108 cm
}
m
ρ=}
≈ 2 · 1033 g/(4 π/3 · 216 · 1024 cm3)
V
}
ρ ≈ 2 · 106 g · cm–3
10.
a) Stern 1: Hauptreihenstern
Stern 2: Riese
Stern 3: Hauptreihenstern
Stern 4: Riese
Stern 5: weißer Zwerg
b) Es handelt sich um einen Riesen.
11.
7.
429 804 Oberflächentemperatur
Zwischen der Oberflächentemperatur eines Sterns und
der Farbe des Lichts, dass wir von ihm wahrnehmen, besteht ein enger Zusammenhang: Rot leuchtende Sterne
haben eine niedrigere Temperatur als gelb leuchtende
Sterne und gelb leuchtende Sterne eine niedrigere Temperatur als bläulich leuchtende Sterne. Einer bestimmten Spektralklasse (Farbe) entspricht ein bestimmter
Temperaturbereich.
8.
423 514 Arbeiten im HRD
421 274 HRD-Hauptreihe
a) Oberflächentemperatur steigt, Leuchtkraft wird größer, Masse und Radius werden größer.
b) Oberflächentemperatur sinkt, Leuchtkraft wird kleiner, Masse und Radius werden kleiner.
c) Senkrecht: Bei konstanter Oberflächentemperatur
wird die Leuchtkraft größer, Masse und Radius ebenfalls.
Waagerecht: Bei konstanter Leuchtkraft verringert
sich die Temperatur. Masse und Radius werden
größer.
429 494 Masse eines Sterns
Für die Masse eines Sterns gilt vereinfacht die Beziehung
a 3 (vereinfachte Kepler-Gleichung). Dabei wird die
M=}
T2
Masse in Vielfachen der Sonnenmasse, der Abstand in
289
290
12.
(LB S. 567 – 568)
413 934 Leuchtkräfte
Die folgenden Angaben sind in Vielfachen der Sonnenleuchtkraft gegeben:
1 – L = 0,1 L3
2 – L = 0,95 L3
3 – L = 10 000 L3
4 – L = 3 L3
13.
Dabei sind die Sternmassen in Vielfachen der Sonnenmasse, T in Jahren und a in astronomischen Einheiten
anzugeben. Für Sirius A und B erhält man:
}}
√ T 2 (M1 + M2)
3 }}
a = √ (50 a)2 (2,3 + 1,1)
a=
a = 20,4 AE
Der Abstand zum gemeinsamen Schwerpunkt ergibt sich
aus dem Schwerpunktsatz:
413 914 Anderer Stern
Zur Lösung wird das Stefan-Boltzmann-Gesetz benötigt.
Für die Leuchtkraft L gilt:
L=
3
M
a
a–a
1 = 1 =
2
}
}
}
M
a
a
2
2
2
a
a2 = }
M
4 π · R2 · σ · T 4
(} + 1)
1
M2
Variante 1:
Für zwei Sterne 1 und 2 folgt der Zusammenhang:
L1
L2
R1 · T1
R2 · T2
20,4 AE
a2 = }
2,3
+1
}
1,1
=}
}
2
4
2
4
a2 = 6,6 AE
Mit der bekannten Sonnentemperatur T = 5 770 K und
der Angabe, dass die Leuchtkraft des Sterns 1 000-fach
höher als die der Sonne sein soll, folgt unmittelbar die
Lösung in Vielfachen des Sonnenradius.
R = 77 R3.
R = 77 R3.
v = c = 2π·f·R
Umstellen nach f ergibt die Lösung:
c = 4 775 Hz
f=}
2π·R
414 424 Masse-Leuchtkraft-Beziehung
18.
428 974 Ein Planetensystem entsteht
Ähnlich wie ein Stern entsteht auch ein Planetensystem
aus Gas und Staubwolken.
413 924 Zukunft der Sonne
Die Dichte der Sonne beträgt dann
g
ρ = 8,1 · 10 –7 }3.
cm
Auf der Erde kann man diesen geringen Wert in hinreichender Näherung als „Vakuum“ ansehen.
16.
413 894 Rotierende Neutronensterne
Die kurzperiodischsten Neutronensterne drehen sich
nicht so schnell, man kennt aber durchaus sogenannte
Millisekundenpulsare.
Stern mit fünffacher Sonnenmasse: L = 125 L3
Stern mit halber Sonnenmasse: L = 0,125 L3 = }18 L3
15.
17.
Aus dem in der Aufgabe gegebenen Hinweis folgt im
Grenzfall:
Variante 2:
Man verwendet die Sonnenleuchtkraft L = 3,8 · 1026 W
und die Sonnentemperatur und stellt das Stefan-Boltzmann-Gesetz nach R um.
14.
a1 = 20,4 AE – 6,6 AE = 13,8 AE
420 064 Doppelsterne
Genutzt werden kann die Kepler-Gleichung in der Form
2
T
oder vereinfacht in folgender Form:
3
T
(2) Die Verklumpung setzt sich fort. Der Gesamtimpuls
des Systems bleibt dabei erhalten. Alle Teilchen
bewegen sich in einer Drehrichtung. Aufgrund der
Kräfte bei Kreisbewegungen in Kombination mit
Gravitationskräften bildet sich eine Art Scheibe
heraus.
3
4π a
M1 + M2 = }
·
G }2
a
M1 + M2 = }
2
(1) Infolge der Gravitation kommt es zu einer Verklumpung, wobei sich im Zentrum dieses Bereichs der
künftige Stern befindet.
(3) Durch Inhomogenitäten bilden sich Bereiche mit
besonders großen Massekonzentrationen heraus.
Das sind die Bereiche, in denen sich ein Stern bzw.
Planeten entwickeln.
Astrophysik
(4) Es entsteht ein Planetensystem mit
− einem Stern,
− Planeten als Massekonzentration,
− einer Vielzahl von Kleinkörper.
Das Alter unseres Sonnensystems wird auf etwa
4,6 Milliarden Jahre geschätzt.
Beachten Sie dabei: Unser Sonnensystem entwickelt sich
wie auch das gesamte Universum weiter.
19.
punkt des Aussendens einer bestimmten Wellenlänge
entsprechend der Beziehung:
h·c
λ=}
E
Je länger das Licht unterwegs ist, bis es uns heute erreicht, d. h., je weiter der Stern entfernt ist, auf dem das
Licht entstanden ist, desto größer ist die Wellenlänge
in der Zwischenzeit durch die Ausdehnung des Raums
geworden. Diese Verschiebung der Wellenlänge hin zu
größeren Werten wird als Rotverschiebung bezeichnet.
413 964 Ferne Planetensysteme
414 504 Unendlich weit weg?
4.
Es gibt offenbar Planetensysteme, bei denen massereiche Planeten sehr dicht an ihrer Sonne stehen. Diese
Planeten umkreisen ihr Zentralgestirn auf Bahnen,
die teilweise näher als die Bahn Merkurs an der Sonne
verlaufen.
Anhand der Abbildung meint man zu erkennen, dass
es bei anderen Planetensystemen keine erdähnlichen
Planeten gibt, doch dies ist ein Trugschluss: Die Messgenauigkeit reicht bislang nur in einigen Ausnahmefällen aus, um Planeten mit relativ geringen Massen
nachzuweisen.
Diese Hoffnung kann nicht erfüllt werden. Da das Universum erst seit einer endlichen Zeit existiert, können
wir nicht beliebig weit in das All hinein blicken, sondern
nur so weit, wie die Strecke reicht, die das Licht seit Entstehung unserer Welt bereits durchlaufen konnte.
425 344 Galaxienflucht
5.
Nach dem Gesetz von Hubble gilt v = H ∙ r und damit:
v
r=}
H
Große Strukturen im Universum
(LB S. 576)
km
erhält man:
Mit v = 0,13 c = 39 000 }
s
km
39 000 }
∙ s ∙ Mpc
s
r = }}
75 km
r = 520 Mpc = 5,20 ∙ 108 pc
1.
428 474 Die Milchstraße
Die Milchstraße verläuft u. a. durch folgende Sternbilder: Einhorn, Fuhrmann, Casseopeia, Cepheus,
Schwan, Adler.
2.
414 394 Massenschätzung
Es gilt der in der Aufgabenstellung beschriebene Ansatz:
2
G·M·M
Galaxis
M·v =
}
}}
r
2
r
M Sonnenmasse
r
Entfernung Sonne-Zentrum der Galaxis
2
r · v = 2,2 · 1041 kg (ca. 1 011 Sonnenmassen)
MGalaxis = }
G
3.
414 454 Rotverschiebung
Seit dem sogenannten Urknall dehnt sich der Raum des
Universums aus. Dies hat zur Folge, dass die Wellenlänge
von Licht im Laufe der Zeit größer wird.
6.
Zur lokalen Gruppe gehören u. a. folgende Galaxien:
Milchstraßensystem, kleine und große magellansche
Wolke, Leo I und Leo II, der Andromedanebel (M 31),
NGC 185, NGC 147, NGC 205, … . Bekannt sind über
50 Galaxien, die zur lokalen Gruppe gehören. Alle
diese Objekte befinden sich in einem Umkreis von bis
zu 7 Millionen Lichtjahren. Die Mitglieder der lokalen
Gruppe sind durch Gravitationskräfte aneinander gebunden.
7.
426 934 Außerirdisches Leben
Präsentation zum Thema „Außerirdisches Leben“. Dabei
ist der Aspekt zu beachten, dass Leben in vielfältigen
Formen existieren kann und nicht auf intelligentes
Leben beschränkt werden sollte.
8.
Wurde nun Licht in einem Stern zum Beispiel bei einem
bestimmten Übergang eines Wasserstoffatoms ausgesendet, so entsprach die Übergangsenergie zum Zeit-
424 484 Lokale Gruppe
414 434 Zivilisationen im All
Die relativen Häufigkeiten fi, fZ, T sind frei wählbar
– man sollte aber auf eine vernünftige Begründung
achten.
291
292
(LB S. 578 – 590)
Dies könnte so aussehen:
Höheres Leben gibt es auf der Erde seit ca. 500 Mio.
Jahren, der Mensch entwickelte sich vor ca. 1. Mio. Jahren. Man könnte aus diesen beiden Zahlen entnehmen,
dass es auf jedem 500-ten Planeten mit Leben eventuell
intelligentes Leben gibt:
3.10 Komplexe Aufgaben
Komplexe Aufgaben (LB S. 578 – 590)
1.
fi = 0,002.
Intelligentes Leben gibt es auf der Erde seit ca. 1 Mio.
Jahre, eine technische Zivilisation haben wir seit
ca. 100 Jahren, also:
fZ = 0,0001.
Als Pessimist würde man angesichts der globalen Probleme eventuell schätzen, dass wir die Lebensspanne
unserer technischen Zivilisation nahezu erreicht haben:
T = 200 a.
(Hinweis: Die Einheit Jahr ist wichtig, damit sich die
Einheiten insgesamt herauskürzen und eine Zahl als
Ergebnis herauskommt!).
Lösung:
N = 2 · 10 –7.
Das wäre eine extrem pessimistische Schätzung, die vor
allem dadurch zustande kommt, dass in diesem Beispiel
die Lebensdauer einer technischen Zivilisation nur als
sehr kurz angenommen wurde.
417 074 Sicherheit im Straßenverkehr
a) Zu erläutern und zu begründen sind die drei nachfolgenden genannten Sicherheitskomponenten.
Knautschzone: Die Knautschzone verlängert bei
einem Crash den „Bremsweg“ der Personen. Längerer Bremsweg bedeutet kleinere Beschleunigung
und damit nach F = m · a auch eine kleinere Kraft, die
auf die Person wirkt. Darüber hinaus wird durch die
Verformung des Pkw Energie absorbiert.
Sicherheitsgurt mit Gurtstraffer und Gurtkraftbegrenzer: Beim plötzlichen Abbremsen bewegt sich
eine Person aufgrund Ihrer Trägheit weiter in Fahrtrichtung, wenn keine Gegenkraft wirkt. Sicherheitsgurt und Gurtstraffer sorgen dafür, dass eine Person
sofort abgebremst wird. Zu große abbremsende
Kräfte, die nur im Bereich des Gurts wirken, können
erhebliche Verletzungen bewirken. Deshalb werden
diese Kräfte durch einen Gurtkraftbegrenzer auf
einen bestimmten Wert begrenzt.
Airbag: Airbags sollen vor allem verhindern, dass
Körperteile auf harte Fahrzeugteile (Armaturenbrett,
Türverkleidung) aufschlagen. Durch Airbags werden
Körperteile, z. B. der Kopf, zusätzlich „weich“ abgebremst.
b) Für den Weg s gilt s = }a2 (Δt)2, für die BeschleuniΔv . Einsetzen von a und Umstellen nach Δt
gung a = }
Δt
ergibt:
Δv
s=}
· (Δt)2
2 · Δt
und damit
2s
Δt = }
Δv
2 · 0,70 m
Δt = }
km
50 }
h
Δt = 0,10 s
Für die Beschleunigung ergibt sich damit:
km
50 }
Δv
h
a=}
=}
0,1 s
Δt
m
a = 140 }
2
s
Das bedeutet: Der Airbag wird aktiviert.
2.
419 334 Waagerechter Wurf
a) In x-Richtung gilt: x = v0 · t
(1)
g
In y-Richtung gilt: y = h1 – }2 t 2
(2)
Umstellen von (1) nach t und Einsetzen in (2) ergibt:
g
y = h1 – }2 · x 2
2 v0
(3)
Komplexe Aufgaben
b) Die Wurfweite beträgt 0,90 m.
Die Abwurfhöhe lässt sich aus Gleichung (3) berechnen, wenn man Wertepaare aus der gegebenen
Wertetabelle einsetzt (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten). Es ergibt sich: h1 = 0,25 m.
Die Abwurfgeschwindigkeit kann man z. B. so berechnen:
− Aus der Fallhöhe von 0,20 m ergibt sich aus
g
s = }2 · t 2 die Fallzeit (t = 0,20 s).
− Aus x = 0,8 m und t = 0,20 s erhält man:
m
v = }xt = 4,0 }
s
c) Ein Körper bewegt sich gleichförmig und geradlinig,
wenn die Summe der auf den Körper wirkenden
Kräfte null ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die
resultierende Kraft in Bewegungsrichtung und die
bewegungshemmenden Reibungskräfte gleich groß
sind.
c) h2 = h1 = 25 cm
Die Auftreffgeschwindigkeit des senkrecht nach
unten fallenden Körpers beträgt:
m
a) a = 3 }
2
v = g·t
Mit
} erhält man:
} 2s·g
v = g· 2s = }
2s
t = √}
g
√}g
Mit
t = }av
m
13,9 }
3,0 }2
s
t=}
m
s
s
t = 4,6 s
Für den Weg erhält man:
s = }a2 t 2
m
3,0 }
2
y
s
s=}
· (4,6 s)2
2
}}
√(4,0 }ms )2 + (2,2 }ms )2
m
v = 4,6 }
s
a = 0.
Damit erhält man als Zeit für die Beschleunigungsphase:
}
v 2+v 2
v=
auch
s
m
v = 2,2 }
s
v=√ x
F = m·a
km
m
v = 50 }
= 13,9 }
h
s
m
v = }}
2 · 0,25 m · 9,81 }
2
Für die Geschwindigkeit des waagerecht geworfenen
Bauteils erhält man:
ist nach
415 594 Bewegungen von Pkws
4.
√
√
F=0
s = 32 m
b) s
Pkw 2
Pkw 1
Die Geschwindigkeit des waagerecht geworfenen
Bauteils ist wesentlich größer, weil sich bei ihm die
Geschwindigkeit in x-Richtung und die in y-Richtung
vektoriell zusammensetzen.
3.
t
417 964 Kräfte und mechanische Arbeit
a) Maßstäbliche Skizze.
Rechnerisch ergibt sich:
Pkw 2
km
50 }
h
Pkw 1
}}}
F = √F12 + F22 + 2 F1 · F2 · cos α
F = 30,7 MN
b) Bei der Berechnung kann man von der resultierenden Kraft ausgehen oder die Arbeit für jeden der
Schlepper einzeln berechnen.
W = F·s
W = 30,7 MN · 800 m
t1
t2
t
km
folgenden
c) Pkw 1 liegt bis zum Erreichen von 50 }
h
Weg zurück:
s = }a2 t 2
Mit t = }av erhält man:
W = 24,5 · 109 J
2
2
v = v
s = }a2 · }
}
2
2a
a
293
294
(LB S. 578 – 590)
2
m
(13,9 }
s)
s=}
m
c) Aus sehr großer Entfernung sieht das Feld wie das
einer einzelnen, positiven Punktladung mit Q1/2 aus.
2 · 2,0 }2
s
s = 48,3 m
Die Zeit dafür beträgt:
m
13,9 }
2 }2
s
t = }av = }
m = 6,95 s
s
Pkw 2 legte in dieser Zeit folgenden Weg zurück:
s1 = 32 m in 4,6 s (b Aufg. a)
m · (6,95 s – 4,6 s) = 32,7 m
s2 = 13,9 }
s
Der Gesamtweg in 6,95 Sekunden beträgt damit
64,7 m. Damit entsteht folgende Situation:
Pkw 1
d) Gewitterentstehung:
Durch vertikale Luftströmungen von Wassertröpfchen und leichten Eis oder Staubpartikeln kommt es
zur Ladungstrennung innerhalb einer Wolke, z. B.
oben positiv und unten negativ. Die Erdoberfläche
wird durch Influenz entgegengesetzt zur Wolkenunterseite geladen. Durch die hohe Feldstärke kommt
es zu Entladungen in Form von Blitzen. Dabei weitet
sich ein anfangs sehr dünner Entladungskanal von
oben und unten her zu einem Plasmakanal mit sehr
hoher Stromstärke.
Pkw 2
Xerografie:
Eine Metalltrommel ist mit einem Halbleiter beschichtet, der bei Beleuchtung leitend wird.
1. Schritt: Die Beschichtung wird im Dunkeln über
Sprühentladung bei hoher Spannung geladen.
2. Schritt: Die Trommel wird über eine Optik je nach
Schwärzung der Vorlage belichtet und dabei werden
die hellen Teile entladen.
3. Schritt: Geladene Tonerteilchen werden von den
geladenen Trommelteilen angezogen.
4. Schritt: Das aufgedrückte Papier nimmt den Toner
auf.
12,4 m
48,3 m
60,7 m
64,7 m
Der Abstand der beiden Pkw beträgt mehr als 10 m,
genauer: etwa 12 m.
5.
a)
418 574 Elektrische Feldstrukturen
E2
1
r
2
A
E1
Piezoelektrischer Effekt:
Phänomen: Wenn ein Kristall (z. B. ein Quarz) zusammengedrückt wird, entsteht zwischen den Druckflächen eine Spannung, die umso größer ist, je stärker
die Kontraktion ist.
Erklärung: Der Kristall ist aus unterschiedlichen Ionen
aufgebaut, die unterschiedlich geladen sind. Bei der
Verformung werden die Ionen gegenüber ihrer elektrischen Gleichgewichtslage verschoben. Dadurch
entsteht in der Grenzschicht eine Raumladung.
Es gilt:
r = 10 cm
Q1 = 3,2 ∙ 10–9 As
Q
Q
1
|Q2| = }
2
Q
1
E1 = }
2
2
E2 = }
2
4 π ε0 r
4 π ε0 r
Die Feldstärken sind beide nach rechts gerichtet.
Demzufolge ergibt sich:
kV
E = E1 + E2 = 4,3 }
m
b)
6.
415 424 Ein Plattenkondensator
a) Für die Berechnung der Kapazität gilt:
A
C = εr · ε0 · }
d
B
Mit den Werten ergibt sich:
C
F 0,12 m · 0,12 m
C = 1,00 · 8,85 · 10 –12 }
· 0,008 m
m }}
1
A
2
C = 1,6 · 10 –11 F = 16 pF
Die Ladung lässt sich so berechnen.
Q
ergibt die Umformung:
Aus C = }
U
Q = C·U
Mit den Werten ergibt sich:
Q = 1,6 · 10 –11 F · 230 V
Komplexe Aufgaben
Q = 3,7 · 10 – 9 As
b) Für einen Plattenkondensator gilt:
U
E=}
d
c) Hängt man ein mit der Probeladung q geladenes
Kügelchen in den Kondensator, wird es durch die
Feldkraft ausgelenkt. Dabei zeigt die Resultierende
aus elektrischer Kraft und Gewichtskraft in die gleiche Richtung wie der gespannte Faden.
230 V
V
E=}
= 2,9 · 104 }
.
0,008 m
m
Für die im Feld gespeicherte Energie gilt:
φ
E = }12 C · U 2
l
E = }12 16 pF · (230 V)2
E = 4,2 · 10 –7 F · V 2
E = 4,2 · 10
–7
J
φ
c) Die angeschlossene Spannung ändert sich nicht.
Befindet sich zwischen den Platten ein Dielektrikum mit εr = 3,5 ,so erhöht sich die Kapazität auf
den 3,5-fachen Wert. Entsprechend verändert sich
auch die Ladung auf den Platten des Kondensators
auf den 3,5-fachen Wert. Die elektrische Feldstärke
ändert sich nicht, da Spannung und Abstand der
Platten gleich bleiben.
Die gespeicherte Energie ist wegen E = }12 C · U 2
3,5-mal größer. Ab abgetrennter Spannungsquelle
gilt: Da keine Ladungen ab- oder zufließen, ist die
elektrische Ladung konstant. Die Kapazität erhöht
sich bei εr = 3,5 um den Faktor 3,5.
Aus
C=
Q
}
U
bzw.
U=
Q
}
C
FG
Es gilt:
F
tan φ = }
F
G
F
E=}
q
a) Für die Kapazität des Kondensators gilt:
C=
A
ε0 · εr · }
d
x
F =
}
}l
F
G
(2)
x·F
Alle rechts stehenden Größen können bestimmt und
damit kann die Feldstärke ermittelt werden.
415 544 Zusammenhang zwischen Q und U
8.
a) An den Messkurven erkennt man den linearen Zusammenhang zwischen Plattenladung Q und Spannung U:
Q = C·U
A gehört d zum Kondensator
Wegen C = ε0 · εr · }
1
d
mit dem kleineren Plattenabstand, also der größeren
Kapazität und der steileren Geraden A.
C = 20 pF
b) Beim Auseinanderziehen der Kondensatorplatten
gelten die Formeln:
sowie
x·F
G
oder F = }
l
G
E=}
q·l
2
σ=
(1)
Einsetzen in (1) ergibt:
π · 0,12
C = 8,85 · 10 –12 · 1 · }
F
0,020
Q
}
A
sin φ = }xl
Wegen der kleinen Winkel kann man sin α = tan α
setzen. Damit gilt:
folgt:
426 164 Experiment mit einem Kondensator
sowie
Für die elektrische Feldstärke E gilt:
1
Die Spannung verringert sich um den Faktor }
.
3,5
U
Entsprechendes gilt wegen E = }
für
die
Feldstärke
d
und wegen E = }12 C · U 2 auch für die im Kondensator
gespeicherte Energie.
7.
F
x
σ = ε0 · E .
Darin ist σ die Flächenladungsdichte. Wenn die
Kondensatorplatten auseinander gezogen werden,
nachdem die Spannungsquelle abgetrennt wurde,
bleibt die Ladung Q erhalten.
Die Flächenladungsdichte ändert sich nicht. Deshalb
bleibt auch die elektrische Feldstärke konstant.
b) Wenn die elektrische Feldstärke E einen zu großen
Wert erreicht, wird die Luft leitend. Es kommt zu
einer elektrischen Entladung im Kondensator. Wegen
E ~ U kann ein Kondensator nur bis zu einer maximalen Spannung aufgeladen werden. Bei diesem Wert
endet der Graph.
c) Für die in einem Kondensator gespeicherte Energie
gilt:
295
296
(LB S. 578 – 590)
E = }12 C · U 2
Diagramm 4:
Der Graph ist keine Gerade, d. h. der Anstieg
(Beschleunigung) ist hier nicht konstant.
Diagramm 4 ist nicht geeignet.
Der Energieinhalt des Kondensators sinkt von anfangs
E1 = }12 C · U12 = }12 · 1,0 · 3,02 J = 4,5 J
bis die LED erlischt auf
E2 =
1
}2 C · U22
=
1
}2 · 1,0 · 1,52
10.
J = 1,125 J.
416 594 Die magnetische Flussdichte
a)
Wegen Δ E = P · Δ t gilt für die mittlere
Leistung P = 0,02 W.
F in mN
40
35
ΔE
3,375 J
Δt = }
=}
= 169 s.
P
0,02 W
30
Die Diode leuchtet somit etwa 2 Minuten und
50 Sekunden.
25
20
15
9.
10
417 864 Eine Ladung im Feld
5
0
a) Berechnung der Geschwindigkeit:
Nach dem Energieerhaltungssatz gilt:
0
Q ∙ U = }12 m · v 2
}
2Q·U
v= }
m
√
3
4
5
I in A
F
mN
}I = 7,00 }
A
}}
2 · 5 · 10 –9 As · 104 V ≈ 5,8 m
v = }}
}
–6
s
3 · 10
2
Die Kraft F ist näherungsweise proportional zur
Stromstärke I. Die Steigung der eingezeichneten
Geraden beträgt:
Daraus folgt:
√
1
Für die magnetische Flussdichte gilt bei der gegebenen Leiterlänge l = 8,0 cm:
kg
b) Da das elektrische Feld innerhalb des Plattenkondensators konstant ist, wirkt auch eine konstante
Kraft auf das Kügelchen. Es bewegt sich demzufolge
gleichmäßig beschleunigt.
Trifft es auf die rechte Platte, gibt es seine Ladung
ab, wird neu (mit anderer Polung) aufgeladen und
dadurch mit einer betragsmäßig gleichgroßen und
konstanten Kraft nach links beschleunigt. Da die
Kugel ohne Energieverluste an der rechten Platte
reflektiert wird, bleibt der Betrag der Geschwindigkeit erhalten und die Kugel wird konstant weiter
beschleunigt.
Diagramm 1:
Nach der Reflexion wird die Geschwindigkeit (betragsmäßig) größer und nicht wie im Diagramm
dargestellt kleiner. Diagramm 1 ist nicht geeignet.
Diagramm 2:
Richtungswechsel der Geschwindigkeit stimmt, aber
die Beschleunigung ist auf dem Rückweg kleiner (Betrag des Anstiegs). Diagramm 2 ist nicht geeignet.
Diagramm 3:
Der Vorzeichenwechsel der Geschwindigkeit ist
richtig dargestellt und der Betrag des Anstiegs (Beschleunigung) in beiden Phasen ist gleich. Die physikalischen Verhältnisse werden richtig dargestellt.
F
B = }
= F·1
I · l }I }l
mN
1
B = 7,00 }
· 0,080
A }
m
B = 87,5 mT
b)
U
N
S
Eine stromdurchflossene Leiterschaukel hängt mit
ihrer Unterkante im senkrecht verlaufenden Magnetfeld eines Hufeisenmagneten. Sie erfährt unter dem
Einfluss der Lorentzkraft FL und der Gewichtskraft
FG eine Auslenkung. Dabei zeigt die Resultierende
aus beiden Kräften in die gleiche Richtung wie die
seitlichen Schnüre der Schaukel. Es gilt:
F
L
tan φ = }
F
G
sowie
sin φ = }xl
Komplexe Aufgaben
b) Ein Leiterstück wird so in das Magnetfeld gebracht,
dass es sich senkrecht zu den magnetischen Feldlinien befindet. Fließt durch das Leiterstück der Länge
l ein Strom bestimmter Stromstärke I, dann wirkt auf
das Leiterstück eine Kraft F, die mit einem Kraftmesser gemessen werden kann. Es gilt:
φ
l
Leiter
x
F = l·I·B
FL
Daraus ergibt sich:
F
B=}
l·I
φ
Alle rechts stehenden Größen können gemessen
werden.
FG
Für kleine Auslenkungen gilt
damit:
sin φ = tan φ
und
F
x
L
bzw. FL = FG · }xl .
}l = }
FG
Die Größen rechts sowie die Stromstärke I können
gemessen werden.
c) Ein Magnetfeld durchdringt senkrecht ein Halbleiterplättchen oder einen Metallstreifen. Wird dieser
Leiter von einem Strom durchflossen, so kann an den
seitlichen Anschlüssen 1 und 2 des Leiters eine Spannung gemessen werden.
+
–
I
1
v
UH
–
B
417 484 Spannung am geraden Leiter
12.
a) Für die induzierte Spannung gilt Uind = B · l · v.
Da die Spannung mit einem hochohmigen Messgerät
gemessen wird, fließt kein Strom und keine bremsende Lorentzkraft wirkt auf den Stab. Daher steigt
die Geschwindigkeit v linear an.
Die beiden Diagramme (1) und (3) kommen deshalb
nicht infrage.
Diagramm (2) ist dann richtig, wenn der Leiter zum
Zeitpunkt 0 aus der Ruhe startet. Diagramm (4) ist
dann richtig, wenn der Leiter zum Zeitpunkt 0 bereits eine Anfangsgeschwindigkeit hat.
b) Jetzt kommt es zu einem Induktionsstrom, der nach
der lenzschen Gesetz seiner Ursache entgegenwirkt
und den Stab abbremst. Je schneller der Stab wird,
desto größer wird die bremsende Kraft, bis beide
Kräfte im Gleichgewicht sind und der Stab mit konstanter Geschwindigkeit weiter gleitet.
Damit ergibt sich folgendes t-I-Diagramm:
I
2
Die Elektronen mit der Geschwindigkeit v werden
im magnetischen Querfeld der Flussdichte B von der
Lorentzkraft FL = B · e · v abgelenkt.
Durch die Ladung baut sich ein elektrisches Feld E
auf, bis die elektrische Feldkraft Fel und die Lorentzkraft FL den gleichen Betrag haben.
11.
t
414 964 Zeitlich konstantes magnetisches Feld
13.
a) Das Feldlinienbild eines Hufeisenmagneten sieht
etwa so aus:
N
417 784 Elektronen im magnetischen Feld
a) Die Gleichung ergibt sich aus folgender Überlegung:
Bei der Bewegung von geladenen Teilchen in einem
homogenen Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft als
Radialkraft. Es gilt also:
Radialkraft = Lorentzkraft
S
m·v2
= Q·v·B
}
r
297
298
(LB S. 578 – 590)
Austrittsphase dauert schließlich ebenfalls 0,5 s. Diagramm (4) ist damit die richtige Lösung.
Die Vereinfachung und Umformung der Gleichung
ergibt:
m·v
= Q·B
}
r
c) | Uind | = B · l · v = 0,5 T · 0,080 m · 0,16 m · s –1
= 6,4 mV.
Diese Spannung wird beim Eintritt und beim Austritt
induziert, die Polarität ist verschieden, da zuerst
rechts und dann links die Spannung induziert wird.
Befindet sich im Stromkreis ein Widerstand von 5 Ω,
so misst man die Stromstärke:
oder
Q
v
= B·r
}
m }
Für ein Elektron ist Q = e und damit:
e
v
= B·r
}
m }
Mit den gegebenen Werten erhält man:
e
=
}
m
e
U
± 6,4 mV
ind
I=}
=}
= ± 1,3 mA
R
5,0 Ω
m
1,7 · 107 }
s
}}
–3
1,4 · 10 T · 0,074 m
I in mA
1,3
C
= 1,64 · 1011 }
}
m
kg
C
Der Tabellenwert beträgt 1,76 · 1011 }
.
kg
2
0
t in s
1
b) Im gegebenen Falle wirkt auf die Elektronen eine
konstante Kraft (Lorentzkraft) stets senkrecht zur
Bewegungsrichtung. Die Lorentzkraft wirkt demzufolge als Radialkraft. Damit ist die Bahn kreisförmig.
c) Protonen haben den gleichen Betrag der Ladung
wie Elektronen, ihre Masse ist aber etwa 1800-mal so
groß. Das bedeutet:
− Der Betrag der Lorentzkraft verändert sich nicht.
− Wegen der größeren Masse ist aber der Radius der
Kreisbahn bei ansonsten gleichen Bedingungen
größer als bei Elektronen.
14.
–1,3
d) Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter der
Länge l wird mit der Formel FL = B · I · l berechnet:
FL = 0,5 T · 1,28 mA · 0,080 m
FL = 0,051 mN = 51 μN
Wegen des lenzschen Gesetzes ist die Kraft immer
der Ursache entgegengesetzt, d. h. dass die Kraft im
Gegensatz zur Spannung bzw. Stromstärke immer
das gleiche Vorzeichen hat.
417 674 Induktion in einer Leiterschleife
F in μN
a) Diagramm (4) ist die richtige Darstellung.
51
b) Die induzierte Spannung wird mit der Formel
Uind = B · l ·v berechnet. Der Drahtrahmen bewegt
sich mit konstanter Geschwindigkeit. Folglich sind
die induzierten Spannungen konstant bzw. null und
nicht an- oder absteigend wie in den Diagrammen
(2) und (3).
Was unterscheidet die Diagramme (1) und (4)?
In Diagramm (4) sind alle Zeitabschnitte gleich lang,
während in Diagramm (1) die Zeit, in der keine Spannung gemessen werden kann (also die Zeit, in der
sich der Drahtrahmen ganz im Magnetfeld befindet)
kürzer als die Zeiten ist, in denen eine Spannung
gemessen werden kann (Ein- bzw. Austrittsphase des
Drahtrahmens).
cm , der
Die Geschwindigkeit beträgt v = 16 }
s
Rahmen ist zu Beginn 8,0 cm vom Magnetfeld
entfernt. Nach 0,5 s wird das Magnetfeld erreicht
und eine Spannung induziert. Da der Rahmen eine
Seitenlänge von ebenfalls 8,0 cm hat, dauert auch
die Eintrittsphase 0,5 s. Für die restlichen 8,0 cm im
Magnetfeld werden nochmals 0,5 s benötigt, die
0
1
15.
2
t in s
415 674 Rotation einer Leiterschleife
a) Bei der Rotation des Drahtrahmens wird in den
beiden achsenparallelen Leiterstücken der Länge
l = 8,0 cm eine Spannung induziert, da hier Elektronen längs des Leiters verschoben werden können.
Bewegt sich die obere Kante des Drahtrahmens nach
unten, so erfahren die Elektronen wegen der UVWRegel eine Kraft nach links.
Entsprechend erfahren die Elektronen der unteren
Kante eine Kraft nach rechts. Die beiden anderen
Seiten tragen nichts zur Induktionsspannung bei,
da hier die Elektronen quer zum Leiter verschoben
werden. Der Maximalwert der Spannung wird mit
der Formel U = 2 · B ·l · v berechnet.
Komplexe Aufgaben
Der Faktor 2 folgt aus der Tatsache, dass die Spannungen in der oberen und der unteren Hälfte des
Drahtrahmens addiert werden; v ist der Betrag der
Umdrehungsgeschwindigkeit, für den gilt:
den halben Wert. Außerdem wird die Periodendauer
verdoppelt.
U in V
2π·r
v=}
= 2 π ·r · f
T
0,4
m
v = 2 π · 0,040 · 20 }
s
0,2
m
v = 5,03 }
s
0
0,02
Beim Radius ist zu beachten, dass man nur die Hälfte
der Seitenlänge einsetzt.
0,04
0,06
0,08
0,1
t in s
0,2
0,4
vi
α
α
415 514 Selbstinduktion und Transformator
16.
vù
B
U
a) I = }
R
12 V
I=}
= 0,24 A
50 Ω
v
U = I·R
vù = v · sin α
Wegen der Anfangsbedingung ist der Winkel α zum
Zeitpunkt t = 0 s null. Die Geschwindigkeitsfunktion lautet deshalb (b Abb.):
v (t) = v · sin (2 π · f · t )
Für die Spannungsfunktion folgt:
U (t) = 2 · B · l · v (t) = 2 ·B · l · v ·sin (2 π · f · t )
U = 0,24 A · 1 1 = 0,24 V
b) Mit Veränderung der Stromstärke ändert sich die
Stärke des Magnetfelds der Spule. Nach dem Induktionsgesetz entsteht dadurch zwischen den Enden der
Spule eine Induktionsspannung, die in der Physik als
Selbstinduktionsspannung bezeichnet wird.
Für die Selbstinduktion gilt:
· ·N2·A
ΔI
ΔI
Ui = – L · }
= 0 rl
·}
Δt }
Δt
U (t) = 2 · 0,5 · 0,080 · 5,03 V · sin (2 π · 20 s –1 · t)
Soll Ui kleiner sein, so muss man zum Beispiel die
Länge l der Spule vergrößern.
U (t) = 0,40 V · sin (40 π · s –1 · t )
b) Es entsteht eine sinusförmige Wechselspannung mit
dem Scheitelwert 0,40 V.
U in V
0,4
0,2
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
t in s
0,2
0,4
c) Aufbau: siehe Skizze
Eisenkern
Wirkungsweise:
An die Primärspule
N1
N2
U1
U2
wird eine Wechselspannung angelegt.
Dadurch entsteht
um die Primärspule
und damit im Eisenkern ein sich ständig änderndes
Magnetfeld, das auch die Sekundärspule durchsetzt.
Dadurch wird nach dem Induktionsgesetz in der
Sekundärspule eine Spannung induziert.
d) Es gilt:
U
N
1
1
=}
}
U
N
2
c) Wird die Frequenz halbiert, so sinkt der Betrag
der Geschwindigkeit auf die Hälfte und wegen
U = 2 · B · l · v sinkt der Scheitelwert der Spannung auf
2
Wenn die Sekundärspannung U2 10-mal so groß wie
U1 sein soll, dann muss auch die Sekundärwindungszahl 10-mal so groß wie die Primärwindungszahl
sein.
299
300
(LB S. 578 – 590)
Die Sekundärstromstärke beträgt dann nur etwa ein
Zehntel der Primärstromstärke (Energieerhaltungssatz).
Bei genauerer Betrachtung der geometrischen
Verhältnisse am Gitter findet man für ein Maximum die Beziehung:
Δs
b
sin αk = }k .
17.
417 884 CD als Beugungsgitter
a) Auf dem Schirm ergibt sich ein Interferenzmuster, so
wie man es bei der Nutzung eines optischen Gitters
beobachten kann.
b
αk
b) Für die Wellenlänge erhält man:
k·λ
s
K
=}
}
a
b
Δs
s
K
λ=}
a ·b
Mit der Bedingung Δ s = k · λ folgt die Gleik · λ , mit der sich die Wellenlänge
chung sin αk = }
b
bestimmen lässt.
–6
0,086 m · 1,6 · 10 m
λ = }}
0,20 m
λ = 688 nm
c) Grüner statt roter Laser: Da die Wellenlänge von
grünem Licht kleiner ist als die von rotem Licht, sind
die Maxima näher zusammen. Bei Verwendung einer
DVD ist die Gitterkonstante kleiner, der Abstand der
Maxima demzufolge größer als bei einer CD.
18.
19.
414 634 Wellenlänge von Licht
a) Die Experimentieranordnung könnte so gestaltet
sein:
Spalt
Gitter
Schirm
416 794 Interferenz am Gitter
a)
Quecksilberdampflampe
Spalt
großer
Gitter Abstand Schirm
1
P
2
1
sK
3
2
3
Kondensor
Linse
Lichtquelle
Abbildungslinse
Durch die Lichtquelle wird ein Spalt ausgeleuchtet.
Dieser Spalt wird mit einer Sammellinse (Abbildungslinse) auf dem Schirm scharf abgebildet. Anschließend wird hinter die Linse ein Gitter gesetzt. Auf
dem Schirm ist ein Interferenzmuster zu sehen.
e
Hauptmaximum k-ter Ordnung
Hauptmaximum 0-ter Ordnung
b) Folgende Größen sind direkt messbar:
e –
Abstand Schirm – Gitter
sk –
Abstand der 0-ten Ordnung zur k-ten
Ordnung der Spektrallinie auf dem
Schirm.
sk
Es gilt tan α = }
e .
sk
αk
b
e
b) Beim Maximum 0. Ordnung besteht zwischen den
von verschiedenen Spalten ausgehenden Wellen kein
wellenlängenabhängiger Gangunterschied.
Für die Maxima 1. Ordnung und für die höherer
Ordnung gilt:
k·λ
sin αK = }
b
Das bedeutet: Der Winkel _k, unter dem ein Maximum auftritt, ist abhängig von der Wellenlänge λ.
Bei rotem Licht (große Wellenlänge) ist der Winkel
größer als bei blauem Licht (kleine Wellenlänge).
Bei Verwendung von weißem Licht entsteht in jeder
Ordnung (außer in der nullten Ordnung) ein kontinuierliches Spektrum.
c) Es gilt allgemein:
k·λ
Gitter
Schirm
s
K
=}
}
e
b
Für die 1. Ordnung erhält man:
Komplexe Aufgaben
s
λ
1
=}
}
e oder
b
428 744 Betrachtungen zum Fotoeffekt
21.
s
1
λ = b·}
e
–5
–3
8,00 · 10 m · 6,25 · 10 m
λ = }}
0,650 m
a) Wegen des äußeren lichtelektrischen Effekts werden
durch die Photonen Elektronen aus dem Katodenmaterial herausgelöst. Es gilt folgende Energiebilanz:
EPhoton = WAblöse + Ekin, Elektron
λ = 769 nm
20.
418 324 Der fotoelektrische Effekt
a) Aus
h ∙ fG = WA folgt:
W
h
fG = }A
–19
4,27 ∙ 1,602 ∙ 10
J
fG = }}
= 1,03 ∙ 1015 Hz
–34
6,626 ∙ 10
Js
Damit erhält man als Grenzwellenlänge:
λ = }c
f
m
3,00 ∙ 108 }
s
λ=}
= 291 nm
15
1,03 ∙ 10
Hz
Licht mit einer Wellenlänge von 800 nm hat eine
Energie von:
h∙ c
E=}
λ
Damit Elektronen herausgelöst werden können,
muss die Energie des Photons EPhoton ≥ WAblöse
sein. Bei der entsprechenden Energie der Photonen erhalten die Elektronen die Energiedifferenz EPhoton – WAblöse = Ekin, Elektron als kinetische
Energie.
Die austretenden Elektronen besitzen demzufolge
eine bestimmte maximale kinetische Energie. Es
fließt ein Strom, der durch die angelegte Gegenspannung beeinflusst wird. Vergrößert man die Gegenspannung zwischen Katode und Anode, so werden
die Elektronen durch das Gegenfeld stärker abgebremst. Wenn die kinetische Energie der Elektronen
nicht mehr ausreicht, um das Gegenfeld zu überwinden, ist die Stromstärke null. Für den Grenzfall
(maximale Energie) gilt:
e · U = Wkin, Elektron
m
6,626 ∙ 10–34 Js ∙ 3 ∙ 108 }
s
E = }}
–9
800 ∙ 10
m
E = 2,48 ∙ 10–19 Hz = 1,55 eV
Die Energie bei λ = 400 nm ist doppelt so groß, also
3,1 eV. Beide Werte liegen deutlich unter dem Wert
für die Austrittsarbeit (bei Zink: 4,27 eV). Damit kann
bei Verwendung von sichtbarem Licht bei Zink kein
Fotoeffekt auftreten.
b) Es gilt:
EPhoton = h · f = WAblöse + Ekin, Elektron
Zunächst kann man aus c = λ · f
Lichts berechnen. Es ergibt sich:
die Frequenz des
m
3 · 108 }
s
f = }λc = }
= 1,2 · 1015 Hz
–7
2,5 · 10
m
Daraus erhält man:
b) Bei λ = 254 nm beträgt die Energie der Photonen:
EPhoton = h · f = 6,63 · 10 – 34 Js · 1,2 · 1015 s –1
h∙ c
E=}
λ
EPhoton = 7,96 · 10 –19 J = 4,96 eV
m
6,626 ∙ 10–34 Js ∙ 3 ∙ 108 }
s
E = }}
–9
254 ∙ 10
m
E = 4,89 eV
Mit der gegebenen kinetischen Energie der Elektronen ergibt sich die Ablösearbeit zu:
WAblöse = 3,2 eV
Damit beträgt die kinetische Energie des herausgelösten Elektrons:
Ekin = 4,89 eV – 4,27 eV = 0,62 eV
Daraus kann man die Geschwindigkeit des Elektrons
berechnen:
Ekin = }12 m ·v 2
}
√2E
kin
v= }
m
}}
–19
√
2 · 0,62 · 1,602 · 10
J
v = }}
–31
v=
9,109 · 10
m
4,7 · 105 }
s
c) Durch die Intensitätserhöhung wird der gemessene
Fotostrom größer, d. h. es werden mehr Elektronen
herausgelöst.
Diese Erhöhung der Intensität bewirkt aber keine
Veränderung der maximalen Energie der herausgelösten Elektronen des Lichts; die Gegenspannung
für I = 0 bleibt gleich.
Schlussfolgerung: Die (maximale) kinetische Energie
der herausgelösten Elektronen hängt nicht von der
Intensität des Lichts ab.
kg
Vergrößert man die Frequenz des Lichts, so erhöht
sich die notwendige Gegenspannung für I = 0.
Schlussfolgerung: Die maximale kinetische Energie
des Fotoelektronen steigt an.
301
302
(LB S. 578 – 590)
d) Nach dem Wellenmodell der klassischen Physik
entspricht eine Intensitätserhöhung des Lichts einer
größeren Energie der Welle. Demzufolge müssten
im Experiment durch eine Intensitätserhöhung
auch die kinetische Energie der herausgelösten
Elektronen und die notwendige Gegenspannung
für I = 0 größer werden. Dies ist nicht der Fall.
e)
λ=
1
f in 1014 Hz
2
4
6
–1
–2
Aus dem Diagramm ist ablesbar:
− Die Austrittsarbeit beträgt etwa 2,0 eV.
− Das plancksche Wirkungsquantum (Anstieg) hat
einen Wert von etwa
–34
√ 4,5 · 10
λ=
m!
kg
m (bei E = 4,5 MeV)
h
v=}
λ∙m
–34
6,626 ∙ 10 Js
v = }}}
–9
–27
0,1 ∙ 10
–19
4,7 · 10
Hz
m ∙ 1,675 ∙ 10
kg
m
v = 4,0 ∙ 103 }
s
Das bedeutet: Für einen Weg von 250 m benötigen
die Neutronen weniger als eine Zehntelsekunde.
Demzufolge spielt die Halbwertszeit von 11,7 Minuten keine nennenswerte Rolle. Der Anteil der zerfallenden Neutronen ist vernachlässigbar.
416 474 Neutronen als Quantenobjekte
4
2
J · 1,674 · 10
10–10
h folgt:
p = m∙v = }
λ
g) Aus
Das liegt nahe am Tabellenwert von 6,626 · 10 –34 J · s.
Hinweis: Die Berechnung kann auch mithilfe der
gegebenen Werte erfolgen.
a)
· 1,602 · 10
1,3 · 10–14
f) Bei Stoßprozessen mit Stoßpartnern etwa gleicher
Masse findet maximaler Impuls- und damit maximaler Energieübertrag statt. Daher geben die
Neutronen bereits bei wenigen Stößen mit den im
Wasser zahlreich vorhandenen Wasserstoffkernen
ihre Energie ab. Bei Blei tritt aufgrund der hohen
Kernmassen nur eine vergleichsweise geringe Wirkung auf. Ein Magnetfeld hat keinen Einfluss auf die
Energie der Neutronen. eine zweckmäßige Variante
wäre: Abbremsen der Neutronen durch eine (dünne)
Wasserschicht.
2,0 · 1,602 · 10
J
kin
h=}
= }}
= 6,7 · 10–34 J · s
14
22.
folgt:
Damit sind diese Neutronen zu energiereich, um
Strukturen von Atomgröße untersuchen zu können.
2
ΔE
Δf
2 m∙λ
h
}
√}
2 E∙m
6,626 · 10
Js
λ = }}}
}}}}
6
–19
–27
Ekin in eV
0
2
h
E=}
2
e) Aus
He + 94 Be g 126 C + 10 n
b) ΔEB = Δm · c 2
23.
)
(
ΔEB = mHe + mBe – mC – mn · c
a) Bei Quantenobjekten gilt für die Wellenlänge
h
λ=}
p
ΔEB = (4,002 603 + 9,012 182 – 12,000 00
– 1,008 665) u · c 2
und für den Impuls
p = me · v
ΔEB = 5,70 MeV > 0
Die Reaktion kann also ablaufen. Es wird Energie
freigesetzt.
c) Die α-Teilchen benötigen eine ausreichend hohe
kinetische Energie, um die Coulombabstoßung zu
überwinden.
d) Aus
p2
E=}
2m
und
410 354 Elektronen als Quantenobjekte
2
2
h folgt: E = h
p=}
}2
λ
2 m∙λ
Aufgrund der Energieerhaltung beim Beschleunigungsvorgang gilt:
1
}2 me · ve2 = e · U
Damit erhält man für die Geschwindigkeit:
}
2·e·U
v= }
me
√
Mit den Werten folgt:
}}
m
2 · 1,6 · 10 –19 As · 5 · 104 V
v = }}
≈ 1,33 · 108 }
.
–31
s
√
9,11 · 10
kg
Komplexe AufgabenKomplexe Aufgaben
Daraus ergibt sich für den Impuls:
Die frei werdende Energie beträgt dann:
E = Δm·c2
p = m·v
kg · m
p = 1,21 · 10 –22 }
.
s
2
m
E = 0,3275 · 10–27 kg · (3 · 108 }
s)
Mit diesen Werten erhält man die de-BroglieWellenlänge der Elektronen zu:
E = 2,9 · 10–11 J = 180 · 106 eV = 180 MeV
–34
6,63 · 10
Js
λ = }}
= 5,5 pm .
kg · m
1,21 · 10 –22
}
s
b) Da die Entfernung zwischen Doppelspalt und Schirm
wesentlich größer ist als der Abstand benachbarter
Interferenzstreifen, gelten die bekannten geometrischen Beziehungen am Doppelspalt.
Mit b = 100 nm, e = 5 cm und dem Abstand
zweier benachbarter Maxima s = 2,75 μm folgt
λ
s·b
aus }
= es die Wellenlänge λ = }
zu 5,5 pm.
b }
e
Das Experiment steht im Einklang mit der Theorie.
c) Elektronen zeigen hier deutliche Eigenschaften von
Quantenobjekten. Das Verhalten einzelner Quantenobjekte (Auftreffpunkt auf dem Schirm) kann
in der Regel nicht vorhergesagt werden. Es können
aber Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Auftreffpunkte getroffen werden. Wenn mehr Elektronen
betrachtet werden, überlagern sich die Wahrscheinlichkeiten und es entstehen die typischen Intensitätsverteilungsmuster (Interferenzstreifen).
24.
d) Abschirmung: Durch die Abschirmung wird Kernstrahlung absorbiert.
Kontrollierte Ableitung radioaktiver Stoffe: Es dürfen nur bestimmte Mengen unter Einhaltung von
vorgegebenen Grenzwerten abgeleitet werden.
416 224 Kernstrahlung
25.
a)
212
Bi
83
g 42 α + 208
Tl
81
212
Bi
83
g
415 734 Kernumwandlungen des radioaktiven
Isotops U-235
235
U
92
g 42 α + 231
Th
90
c) Die Reaktionsgleichung lautet:
1
n
0
+ 235
U g
92
144
Ba
56
+ 89
Kr + 3 10 n
36
Es wird zunächst der Massendefekt bestimmt:
Links:
1,674 928 6 · 10–27 kg
+ 390,216 09 · 10–27 kg
391,891 018 6 · 10–27 kg
Rechts:
3 · 1,674 928 6 · 10–27 kg
+ 238,938 37 · 10–27 kg
+ 147,600 37 · 10–27 kg
+ 212
Po
84
b) Nachfolgend sind einige mögliche Vergleichsaspekte
genannt:
a) Beschrieben werden können Filmdosimeter oder
Zählrohr.
b)
0
e
–1
Alphastrahlung
Betastrahlung
besteht aus doppelt positiv
geladenen Heliumkernen.
besteht aus Elektronen.
wird schon durch Papier
absorbiert (geringes
Durchdringungsvermögen).
hat ein etwas größeres
Durchdringungsvermögen
als Alphastrahlung.
kann in elektrischen und
magnetischen Feldern
abgelenkt werden.
kann in elektrischen und
magnetischen Feldern
abgelenkt werden.
hat eine große biologische
Wirksamkeit
(Q = 20).
hat eine geringe biologische Wirksamkeit
(Q = 1).
c) Die Aufgabe kann in unterschiedlicher Weise gelöst
werden:
Variante a: Die angegebene Zeit ist das Vierfache der
Halbwertszeit. Also sind noch nicht zerfallen:
− nach T1/2: 50 %
− nach 2 T1/2: 25 %
− nach 3 T1/2: 12,5 %
− nach 4 T1/2: 6,25 %
Demzufolge sind 100 % – 6,25 % = 93,75 % der ursprünglich vorhandenen Atomkerne zerfallen.
Variante b: Man kann bei der Lösung auch vom Zerfallsgesetz ausgehen:
391,563 525 8 · 10–27 kg
Der Massendefekt beträgt demzufolge:
Δm = 0,327 492 8 · 10–27 kg
N = N0 · e
N = N0 · e
ln 2
–}
·t
T
1/2
ln 2 · 242,4 min
– }}
60,6 min
N = N0 · 0,062 5
N
= 0,062 5
}
N
0
oder
6,25 %
303
304
(LB S. 578 – 590)
d) Für die Energie gilt:
E=
b)
E1 = –13,6 eV
Daraus ergibt sich:
}
2E
√
E3 = –1,51 eV
}}
2 · 6,08 · 106 · 1,602 · 10–19 J
√
0 eV
– 0,54 eV
– 0,85 eV
–1,51 eV
E2 = –3,40 eV
v= }
m
6,644 781 · 10
Übergänge (1d)
E4 = –0,85 eV
v = }}
–27
v=
E in eV
1
}2 m · v 2
J
E5 = –0,54 eV
m
1,71 · 107 }
s
–3,4 eV
EIon = 13,6 eV
e) Die α-Teilchen bewegen sich auf einer kreisförmigen
Bahn. Die Richtung der Ablenkung ergibt sich aus
der UVW-Regel.
f) Für den Bahnradius gilt die Gleichung:
m·v
r=}
Q·B
Bei gleichem v und B spielen Masse und Ladung eine
Rolle. Die Ladung eines Elektrons ist halb so groß wie
die eines Alphateilchens. Seine Masse ist aber mit
9,1 · 10–31 kg um einige Größenordnungen kleiner
als die eines Alphateilchens. Demzufolge ist bei den
gegebenen Bedingungen der Bahnradius bei Elektronen kleiner als bei Alphateilchen.
Hinweis: Die Begründung kann auch mit den spezifiQ
schen Ladungen }
m erfolgen.
26.
414 694 Spektrum und Energieniveaus
a) Es kann ein Spektralapparat (Zerlegung des Lichts
mit Prisma oder Gitter) genutzt werden. Die Ausmessung von Spektrallinien im sichtbaren Bereich kann
mit einem Spektrometer erfolgen.
–13,6 eV
c) Bild links n = 3, Bild Mitte n = 2, Bild rechts n = 1
Begründung: Wenn die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons auch in großem Abstand vom Kern
noch relativ groß ist, gehört es zu einem Zustand
hoher Energie.
Oder:
Das Niveau ohne Knotenfläche gehört zu n = 1.
Das Niveau mit einer Knotenfläche gehört zu n = 2.
Das Niveau mit zwei Knotenflächen gehört zu n = 3.
d) Das Atom befindet sich im ersten angeregten Zustand, also n = 2.
Die Übergänge nach n = 3 und nach n = 4 sind energetisch möglich.

Physik

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