2. Wohlfahrtstheorie

2. Wohlfahrtstheorie
Prof. Dr. Christian Holzner
LMU München
WS 2011/2012
2. Wohlfahrtstheorie
2.1 Grundlagen
2.2 Die optimale Güterverteilung
2.3 Der optimale Faktoreinsatz
2.4 Die optimale Produktionsstruktur
2.5 Die kritischen Annahmen
Literatur
Jean Hindricks und Gareth D. Myles. Intermediate Public
Economics, MIT Press, Cambridge, MA, 2006, Kapitel 2.
Wellisch, Finanzwissenschaft I - Rechtfertigung der
Staatstätigkeit, Vahlen, München, 1999, Kapitel 2. [*]
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Optimale Allokation
In diesem Kapitel sollen einige der wesentlichen Bedingungen
für eine effiziente Allokation hergeleitet werden.
Die Fragestellung:
Wie sollten Güter auf Haushalte verteilt werden? (Kapitel 2.2)
Wie sollten die Produktionsfaktoren in der Produktion verteilt
werden? (Kapitel 2.3)
Welche Güter sollten produziert werden? (Kapitel 2.4)
Die Vorgehensweise
Zunächst Herleitung der optimalen Allokation (benevolenter
Planer)...
... dann Nachweis, dass ein perfekter Markt dezentral genau
diese optimale Lösung realisiert.
Einige weitere Aspekte der optimalen Allokation
(intertemporale Allokation, Allokation von Risiken etc.) werden
hier nicht behandelt.
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2.1. Grundlagen
Es gebe N Individuen mit Nutzenfunktionen ui (xi ) definiert
über den Konsum von M Gütern: xi = (xi1 , xi2 , ..., xiM ).
Definition: Eine Allokation x = (x1 , x2 , ...xN ) ist
paretoeffizient, wenn es keine andere Allokation gibt, bei der
alle Individuen mindestens gleich gut und mindestens ein
Individuum strikt besser gestellt wird, d.h. wenn es keine
Allokation x′ gibt mit
ui (x′i ) ≥ ui (xi ) für alle i und
ui (x′i ) > ui (xi ) für mindestens ein i.
Pareto-Effizienz: Minimalkriterium für wohlfahrtsoptimale
Allokationen, in der die Nutzen verschiedener Individuen nicht
gewichtet werden.
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Wohlfahrtsfunktion: Individuelle Nutzen werden gewichtet:
W
= W (u1 (x1 ), u2 (x2 ), ...uN (xN ))
∂W
mit
> 0 für alle i
∂ui
(1)
(2)
z.B. Summe der Nutzen (utilitaristische Wohlfahrtsfunktion):
W =
N
X
ui (xi )
(3)
i=1
Wohlfahrtsfunktion setzt interpersonellen Nutzenvergleich
voraus.
Aber: Jede Allokation, die eine Wohlfahrtsfunktion maximiert,
ist paretoeffizient.
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2.2. Die optimale Güterverteilung
Effiziente Allokation: Verteile die exogen gegebenen Gütermengen
x1 und x2 so auf die beiden Haushalte A und B, dass es nicht
möglich ist, durch Umverteilung der Güter entweder A oder B
besser zu stellen, ohne den jeweils anderen schlechter zu stellen.
Individuen haben quasikonkave Nutzenfunktionen
ui = u(xi1 , xi2 ), i = A, B
und Anfangsausstattungen ω1i , ω2i .
A
B
B
B
Seien xA = (xA
1 , x2 ) und x = (x1 , x2 ) die
Konsumgüterbündel von A und B und x = (xA , xB ).
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Paretoeffiziente Allokationen (benevolenter Planer)
Allokation ist möglich innerhalb der Edgeworth Box.
Tausch erfolgt ausgehend vom Ausstattungspunkt Ω.
Paretoeffizienz ist erreicht, wenn es nicht möglich ist, A besser
zu stellen ohne B schlechter zu stellen und umgekehrt.
→ Tauschlinse: geometrischer Ort aller Güterkombinationen,
für die sich verglichen mit Ω alle mindestens gleich gut stellen
(Pareto-Verbesserung).
→ Kontraktkurve: geometrischer Ort aller paretoeffizienten
Güterkombinationen
Zeichnen Sie die Indifferenzkurven für A und B ausgehend von Ω in
Abbildung 1 ein und markieren Sie die Tauschlinse und die
Kontraktkurve.
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w1B
w2
A
Gut 2
B
B
w2
A
A
w1
Gut 1
Abbildung 1: Edgeworth Box
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Maximiere den Nutzen des Individuums A bei gegebenem
B
Nutzen des Individuums B [u(xB
1 , x2 ) ≥ ū]
B
A
B
und halte die Ressourcenbeschränkung [xA
1 + x1 = ω1 + ω1
A
B
B
und xA
2 + x2 = ω2 + ω2 ] ein.
Formal:
max
A B B
xA
1 ,x2 ,x1 ,x2
A
u(xA
1 , x2 )
B
u.d.B. u(xB
1 , x2 ) ≥ ū
(4)
B
A
B
xA
1 + x1 = ω1 + ω1
(5)
xA
2
(6)
+
xB
2
=
ω2A
+
ω2B
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Lagrange Funktion:
A
B
B
A
B
A
B
L = u(xA
1 , x2 ) + λ(u(x1 , x2 ) − ū) + µ1 (x1 + x1 − ω1 − ω1 )
B
A
B
+ µ2 (xA
2 + x2 − ω2 − ω2 )
Bedingungen 1. Ordnung (FOCs) - auch für λ, µ1 , µ2 :
∂uA
+ µ1 = 0
xA
:
1
∂xA
1
(7)
∂uA
+ µ2 = 0
∂xA
2
(8)
: λ
xB
1
∂uB
+ µ1 = 0
∂xB
1
(9)
xB
: λ
2
∂uB
+ µ2 = 0
∂xB
2
(10)
xA
:
2
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(7)-(10) folgt
∂uA /∂xA
∂uB /∂xB
µ1
1
1
=
=
B /∂xB
µ2
∂uA /∂xA
∂u
| {z 2} | {z 2}
A
U1
A
U2
(11)
B
U1
B
U2
oder
GRSA = GRSB
(12)
Interpretation: Tauscheffizienz ist erreicht, wenn die Grenzraten der
Substitution im Konsum für alle Individuen übereinstimmen
→ Kontraktkurve.
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B
Gut 2
Kontraktkurve
A
Gut 1
Abbildung 2: Paretoeffizienter Tausch
Welche Allokation folgt aus dem Maximierungsproblem oben für Ω?
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Dezentrale Lösung des Marktes
Sichert der Markt eine effiziente Güterallokation, wenn die
Individuen dezentral entscheiden?
Ja, falls die Individuen Preisnehmer sind und für alle die
gleichen Güterpreise gelten.
Markt als Institution: Aus Sicht der Individuen sind Preise
gegeben (Auktionator wählt Preise p1 , p2 ).
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Individuen bestimmen, wieviel sie (ver-)kaufen wollen, um ihren
Nutzen unter Berücksichtigung der Budgetbeschr. zu maximieren,
z.B. für A:
A
max u(xA
1 , x2 )
(13)
A
xA
1 ,x2
A
u.d.B. p1 xA
1 + p2 x2 =
p1 ω1A + p2 ω2A
|
{z
}
(14)
exog. Einkommen / Anfangsausst.
oder max u(xA
1,
xA
1
p1 A
p1
ω1 + ω2A − xA
)
p2
p2 1
(15)
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Bedingung 1. Ordnung:
∂uA p1 ∂uA
−
=0
p2 ∂xA
∂xA
1
2
p1
∂uA /∂xA
1
=
p2
∂uA /∂xA
| {z 2}
(16)
(17)
A
U1
A
U2
Aus dem Maximierungsproblem ergeben sich die
A
Nachfragemengen xA
1 (p1 , p2 ) und x2 (p1 , p2 ) und analog für B.
Wenn die Nachfragen nicht dem Angebot entsprechen, ändert
der Auktionator die Preise solange bis dies der Fall ist.
Im Konkurrenz-Gleichgewicht mit Preisen p∗1 , p∗2 muss gelten
∗ ∗
B ∗ ∗
A
B
xA
j (p1 , p2 ) + xj (p1 , p2 ) = ωj + ωj , j = 1, 2
(18)
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In (17) sieht man, dass die Grenzrate der Substitution dem
Preisverhältnis entspricht.
Da sich alle Individuen an dasselbe Preisverhältnis anpassen,
gleichen sich auch die Grenzraten der Substitution an.
Da der Markt dieselbe Allokation wie der Zentrale Planer
umsetzt folgt, dass das Gleichgewicht paretoeffizient ist:
GRSA =
p∗1
p∗2
= GRSB
(19)
Durch den marktlichen Tausch wird ein Punkt auf der
Kontraktkurve realisiert (vergleiche (11) und (17)).
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Theorem (Erster Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie)
Jedes Wettbewerbsgleichgewicht ist paretoeffizient.
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B
Gut 2
Steigung -p 1/p 2
A
Gut 1
Abbildung 3: Preise: Kein Gleichgewicht
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B
Gut 2
Steigung -p*1/p*2
M
A
Gut 1
Abbildung 4: Paretoeffizienz und Konkurrenz
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Beachte: Punkt M ist nur ein mögliches paretoeffizientes
Gleichgewicht (das Wettbewerbsgleichgewicht, das ausgehend
von Ω erreicht wird).
Lassen sich auch andere paretoeffiziente Allokationen als
Wettbewerbsgleichgewicht implementieren?
Theorem (Zweiter Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie)
Wenn alle Konsumenten konvexe Präferenzen haben, kann jede
paretoeffiziente Allokation durch Wahl der Anfangsausstattungen
als Wettbewerbsgleichgewicht implementiert werden.
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Gut 2
B
E
A
Gut 1
Abbildung 5: 2. Hauptsatz
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Bedeutung der Hauptsätze
Unter vollständigem Wettbewerb wird ein effizientes Ergebnis
erreicht.
Staat muss nur eingreifen, wenn Annahmen nicht zutreffen
und Marktversagen vorliegt.
Verteilung der Markteinkommen kann extrem ungleich sein.
Jede beliebige pareto-effiziente Allokation lässt sich durch
Pauschalsteuern und Transfers erreichen (2. Hauptsatz):
Trennung von Allokation und Verteilung.
Problem: Information über Fähigkeiten der Individuen
→ optimale Besteuerung.
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2.3. Der optimale Faktoreinsatz
Effiziente Allokation: Verteile den exogen gegebenen
Faktorbestand an Arbeit N und Kapital K so auf die Produktion
der beiden Güter x1 und x2 , dass es nicht möglich ist, durch
Umverteilung der Faktoren von einem Gut mehr zu produzieren,
ohne gleichzeitig von dem anderen Gut weniger zu produzieren.
Paretoeffiziente Allokationen (benevolenter Planer)
Maximiere den Output eines Gutes F 1 bei gegebener Produktion
des anderen Gutes [F 2 (N 2 ; K 2 ) ≥ x̄2 ]
und halte die Ressourcenbeschränkung [N ≥ N 1 + N 2
und K ≥ K 1 + K 2 ] ein.
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Lagrange Funktion:
L = F 1 (N 1 ; K 1 ) + λ(F 2 (N 2 ; K 2 ) − x¯2 ) + µ1 (N − N 1 − N 2 )
+ µ2 (K − K 1 − K 2 )
Bedingungen 1. Ordnung (FOCs):
∂F 1
N1 :
− µ1 = 0
∂N 1
(20)
∂F 1
− µ2 = 0
∂K 1
(21)
N2 : λ
∂F 2
− µ1 = 0
∂N 2
(22)
K2 : λ
∂F 2
− µ2 = 0
∂K 2
(23)
K1 :
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Aus (20) - (23) folgt:
FN1
FN2
=
1
2
FK
FK
mit Fji =
∂F i
,
∂j i
(24)
wo i = 1, 2 (Gut 1, Gut 2) und j = N, K.
Aus (24) folgt: Eine effiziente Produktion ist erreicht, wenn
das Verhältnis der Grenzprodukte von Arbeit und Kapital in
der Produktion beider Güter gleich ist.
Anders gesagt: Die Grenzraten der technischen Substitution
müssen in beiden Produktionen gleich sein:
GRtS1 = GRtS2
(25)
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2
0
2
Kapital K
x
Q
x1
S
P
R
01
Arbeit N
Abbildung 6: Paretoeffiziente Allokation
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Die effizienten Outputkombinationen kann man auch durch die
Produktionsmöglichkeitenkurve (oder Transformationskurve)
darstellen
T (x1 , x2 ) = 0
(26)
Die Steigung ist die Grenzrate der Transformation (GRT):
Wieviel x2 kann mehr produziert werden, wenn eine Einheit x1
weniger produziert wird (Grenzkosten)
−
F2
dx2
= N1
dx1
FN
Transformationskurve ist konkav; Firmen sind Preisnehmer.
Überlegen Sie, was Grenzrate der technischen Substitution und
Grenzrate der Transformation inhaltlich bedeuten.
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02 x2
Kapital K
x2
Steigung = GRT
Q
1
S
x
P
R
0
1
Arbeit N
x
1
Abbildung 7: Transformationskurve
Zeichnen Sie die Punkte P , Q, R, S in die rechte Graphik.
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Dezentrale Lösung des Marktes
Sichert der Markt eine effiziente Faktorallokation, wenn die
Produzenten dezentral entscheiden?
Die Unternehmen sind Preisnehmer auf den Güter- und
Faktormärkten, d.h. sie nehmen den Lohn w, den Zins r und
die Güterpreise p1 , p2 als gegeben.
Ein Unternehmen maximiert seinen Gewinn
max pi F i (N i ; K i ) − wN i − rK i
(27)
durch Wahl der geeigneten Faktoreinsatzmengen.
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Die Bedingungen 1. Ordnung lauten
pi FNi = w
(28)
i
pi FK
=r
(29)
Da sich alle Unternehmen an dieselben Faktorpreise anpassen,
gilt auch:
FN2
FN1
w
=
=
(30)
1
2
r
FK
FK
Ergebnis: Die dezentrale Marktlösung sorgt für eine effiziente
Güterallokation (vergleiche (24) und (30)), d.h.
GRtS1 =
w
r
= GRtS2
(31)
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2.4. Die optimale Produktionsstruktur
Effiziente Allokation: Suche unter den Allokationen, die die
Bedingungen für Tausch- und Produktionseffizienz erfüllen,
diejenige Allokation, bei der kein Individuum mehr besser gestellt
werden kann, ohne ein anderes schlechter zu stellen.
Paretoeffiziente Allokationen (benevolenter Planer)
Beginnen wir mit einer beliebigen Allokation, bei der sowohl
Tausch- als auch Produktionseffizienz erfüllt sind:
Punkt F liegt auf der Transformationskurve
(Produktionseffizienz).
Die dort produzierten Güter sind effizient auf die Individuen
verteilt, da die Grenzraten der Substitution im Punkt G gleich
sind (Punkt auf der Kontraktkurve).
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x2
F
UA
UB
G
H
A
1
x
Abbildung 8: Scitovsky-Indifferenzkurve
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Um zu sehen, dass diese Allokation nicht pareto-optimal ist,
überlegen wir nun, welche anderen Güterkombinationen den
beiden Individuen denselben Nutzen wie in G liefern würden.
Dazu verschieben wir die Indifferenzkurve UB entlang der
Kurve UA .
Die dafür benötigten gesamten Gütermengen beschreibt der
Eckpunkt der Edgeworth-Box.
Dies ist die sogenannte Scitovsky-Indifferenzkurve:
Sie beschreibt alle Gütermengen, mit denen man (bei
geeigneter Aufteilung) die Individuen auf einem gegebenen
(tauscheffizienten) Nutzenniveau halten kann.
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Warum war die ursprüngliche Allokation nicht optimal?
Indem wir die Produktion hin zu mehr von Gut x1 verschieben
- auf der Transformationskurve zwischen F und H - können
wir mindestens einen Haushalt besser stellen.
Das Optimum ist offensichtlich erreicht, wenn die
Scitovsky-Indifferenzkurve die Transformationskurve tangiert.
Da die Steigung der Scitovsky-Indifferenzkurve der Steigung
der individuellen Indifferenzkurven entspricht, muss gelten
FN2
UB
UA
= 1A = 1B
1
FN
U2
F2
(32)
d.h. die Grenzrate der Transformation muss gleich der
Grenzrate der Substitution sein:
GRT = GRSA = GRSB
(33)
33 / 42
x
2
F
UB
UA U’A
F’
G
I
H
U’B
A
U’
U
1
x
Abbildung 9: Optimale Produktionsstruktur
34 / 42
Kritik an den Scitovsky-Indifferenzkurven:
Optimum hängt von Verteilung ab.
Möglicherweise kann auch Punkt F ein Optimum darstellen,
wenn eine andere Anfangsausstattung Ω betrachtet wird.
Die gesamtgesellschaftlichen Indifferenzkurven können sich
dann schneiden.
35 / 42
Dezentrale Lösung des Marktes
Sichert der Markt eine effiziente Produktionsstruktur, wenn die
Konsumenten und Produzenten dezentral entscheiden?
Da für die Unternehmen in beiden Sektoren dieselben
Faktorpreise gelten, folgt aus der Gewinnmaximierung die
Angleichung der Wertgrenzprodukte:
p1 FN1 = w = p2 FN2
(34)
1
2
p1 FK
= r = p2 FK
(35)
und
36 / 42
Durch Umstellen erhalten wir
2
FN2
FK
p1
p1
=
=
und
1
p2
p2
FN1
FK
(36)
d.h. die Grenzrate der Transformation entspricht dem
Preisverhältnis der beiden Güter.
Für das Haushaltsoptimum, wissen wir bereits (vgl. (17) und
(19)), dass
U1B
p1
U1A
=
=
(37)
p2
U2A
U2B
d.h. dass die Grenzrate der Substitution dem Preisverhältnis
entspricht.
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Fügen wir die letzten beiden Bedingungen zusammen, folgt
2
FN2
FK
U1A
U1B
p1
=
=
=
=
1
p2
FN1
FK
U2A
U2B
(38)
Da sich sowohl die Produzenten als auch die Konsumenten am
selben Preisverhältnis orientieren, gleichen sich auch Grenzrate
der Transformation und Grenzrate der Substitution an.
Ergebnis: Die dezentrale Marktlösung sorgt für eine
pareto-effiziente Produktionsstruktur (vergleich (32) und (38)):
GRT = GRSA = GRSB
(39)
⇒ Die beiden Hauptsätze gelten auch mit der Produktion.
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x
2
Steigung = -p1 / p2
F’
U’A
I
U’
U’B
A
1
x
Abbildung 10: Dezentrale Marktlösung
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2.5. Diskussion der Annahmen
Wir haben nun gezeigt, dass die dezentrale Marktlösung, bei
der jeder einzelne nur die Informationen über die für ihn
wichtigen Preise braucht, eine Pareto-optimale Allokation
erreicht, die auch ein allwissender, benevolenter Sozialplaner
nicht besser machen könnte.
Würde dieses Ergebnis stets gelten, bräuchte man keinen
Staat.
Was sind also die wichtigen Annahmen, bei deren Abwesenheit
der Markt vielleicht nicht mehr so perfekt funktioniert und
möglicherweise korrigierende Staatseingriffe benötigt?
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1 Vollkommener Wettbewerb:
Sind die Akteure nicht Preisnehmer, sondern verfügen über
Marktmacht, kann es zu Verzerrungen kommen.
→ siehe Kapitel 3 (Marktmacht)
2 Keine steigenden Skalenerträge:
Bei steigenden Skalenerträgen kann ein Wettbewerbsmarkt
nicht Bestand haben.
→ siehe Kapitel 3 (natürliches Monopol)
3 Keine externen Effekte:
Bei den bisher betrachteten perfekten Märkten sind alle Vorund Nachteile, die Produktion oder Konsum verursachen,
vollständig in den Preisen reflektiert. In vielen Fällen
verursacht aber das Handeln eines einzelnen auch
unberücksichtigte Schäden oder Vorteile bei anderen.
→ siehe Kapitel 5 (externe Effekte)
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4 Keine öffentlichen Güter:
Alle bisher betrachteten Güter sind private Güter, d.h. der
Konsum durch eine Person schließt den Konsum desselben
Gutes durch eine andere Person aus. Bei öffentlichen Gütern,
die in gegebener Qualität von vielen genutzt werden können,
versagt aber der Bereitstellungsmechanismus.
→ siehe Kapitel 4, 6, 7 (öffentliche Güter, Allmendegüter,
Mautgüter)
5 Vollkommene Informationen:
Bei den bisher betrachteten marktlichen Transaktionen sind
Informationen perfekt und vollständig. Asymmetrische
Information kann dazu führen, dass ein Markt verschwindet,
obwohl alle Teilnehmer davon profitieren würden.
→ siehe Kapitel 8
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