Aufgabenblatt 1: Grundlagen der Wohlfahrtsökonomik

Prof. Dr. Rainald Borck
Lösungshinweise zu den Übungen
WS 07/08 1
Aufgabenblatt 1:
Grundlagen der Wohlfahrtsökonomik
Zum Begriff Allokationspolitik
• Unter Allokationspolitik versteht man die Einflussnahme des Staates
auf Produktion und Konsum, d.h. die Güterzusammensetzung und
Güterverteilung unter den Konsumenten in einer Volkswirtschaft.
• Es kann gezeigt werden, dass das Marktergebnis (unter bestimmten
Annahmen) zu einer effizienten Lösung führt. Staatliche Eingriffe in
den Marktmechanismus sind in einer Marktwirtschaft subsidiär, also
nur gerechtfertigt bei Marktversagen, d.h. wenn kein Markt existiert
oder existierende Märkte nicht zu einem effizienten Ergebnis führen.
• Als Maßnahmen staatlicher Allokationspolitik kommen bspw. öffentliche
Produktion, Steuern und Transfers in Frage.
Exkurs zum Pareto-Optimum
Eckwerte der Modell-Ökonomie
• Zwei Güter: Gut 1 und Gut 2, die in den Mengen x1 und x2 bereit
gestellt werden
A
• Zwei Konsumenten A und B mit den Nutzenfunktionen uA (xA
1 , x2 ) und
B
B
B
u (x1 , x2 )
• Zwei Inputfaktoren der Produktion: Kapital K und Arbeit L
Definition Pareto-Optimum
Eine Allokation heißt pareto-optimal (-effizient), wenn keine alternative Allokation existiert, in der sich ein Wirtschaftssubjekt besser stellen kann, ohne
dass das andere schlechter gestellt wird.
Effizienter Konsum
Für stetig differenzierbare konkave Nutzenfunktionen ui erhält man leicht folgende notwendige Bedingung
für eine pareto-effiziente Güterallokation
A
B
B
xA
,
x
und
x
,
x
im
Tauschoptimum:
1
2
1
2
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∂uA ∂uA
∂uB ∂uB
2
/
=
/ B
A
B
∂xA
∂x
∂x
∂x
1
2
1
2
GRS A = GRS B
(1)
(2)
d.h. im Tauschoptimum stimmen die Grenzraten der Substitution GRS A und
GRS B für die Individuen überein. Im Tauschoptimum gilt also: Wenn man
beiden Individuen eine Einheit von Gut 1 wegnimmt, muss man ihnen dieselbe Menge von Gut 2 geben, um ihr Nutzenniveau konstant zu halten (GRS
beschreibt die Steigung der Indifferenzkurve).
⇒ Warum ist stellt genau diese Situation das Pareto-Optimum dar?
Angenommen: GRS A = 5 > GRS B = 3
D.h. wenn man Individuum A eine Einheit von Gut 1 wegnimmt, muss
man ihm 5 Einheiten von Gut 2 geben, damit sein Nutzenniveau konstant
bleibt. Wenn man Individuum B hingegen eine Einheit von Gut 1 wegnimmt,
muss man ihm nur 3 Einheiten von Gut 2 geben, damit sein Nutzenniveau konstant bleibt. Zwischen diesen beiden Individuen ergeben sich nun
noch Tauschmöglichkeiten, die Paretoverbesserungen darstellen. Z.B. könnte
Individuum B eine Einheit von Gut 1 an Individuum A, und Individuum A im Gegenzug 3 Einheiten von Gut 2 an Individuum B transferieren. Dies stellt eine Pareto-Verbesserung dar, da Individuum A durch den
Tausch besser gestellt wird, während der Nutzen von Individuum B konstant bleibt. D.h. Möglichkeiten zur Pareto-Verbesserung bestehen solange,
bis gilt GRS A = GRS B .
Effizienter Output-Mix
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass im Markt-Gleichgewicht Paretoeffizienz
herrscht und gilt
GRS A = GRS B = GRT
(3)
wobei GRT die Grenzrate der Transformation und damit die Steigung der
Transformationskurve (Produktionsmöglichkeiten-Kurve) beschreibt, d.h. die
GRT gibt an, wieviel mehr von Gut 2 in der Ökonomie produziert werden
kann, wenn eine Einheit von Gut 1 weniger produziert wird. Im Markt-GG
entspricht die GRT der GRS.
⇒ Warum ist diese Situation pareto-effizient?
Angenommen GRT = 3 < GRS = 5:
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D.h. um eine Einheit von Gut 1 mehr zu produzieren, müssen in der Ökonomie
drei Einheiten von Gut 2 weniger produziert werden. Im Gegensatz dazu,
sind die Konsumenten allerdings bereit für eine Einheit von Gut 1, fünf
Einheiten von Gut 2 zu bezahlen. D.h. durch eine Umschichtung der Produktion hin zu Gut 1 kann entweder die Firma oder der Konsument besser
gestellt werden, ohne dass die andere Partei schlechter gestellt wird, d.h. eine
Pareto-Verbesserung ist möglich. ⇒ Produktion wird solange angepasst, bis
gilt GRT = GRS.
Aufgabe 1 (Hauptsätze der Wohlfahrtstheorie)
• 1. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie:
Jedes Markt-GG ist pareto-effizient. Es gilt GRS A = GRS B = GRT .
⇒ Implikation: Marktergebnisse sind effizient, Eingriff des Staates nur
dann gerechtfertigt, wenn Marktversagen vorliegt.
• 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie:
Jede pareto-effiziente Situation kann als Markt-GG implementiert werden (über eine Umverteilung der Anfangsausstattungen).
⇒ Implikation: Über ein Besteuerungs- und Transfersystem kann jede
beliebige pareto-effiziente Situation als Markt-GG implementiert werden. D.h. Verteilungsfragen sind losgelöst von allokativer Effizienz, d.h.
ich kann beliebig zwischen den Individuen umverteilen und dennoch
allokative effiziente GG erhalten.
• Beachte, dass der 1. und 2. Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie nur unter
bestimmten Annahmen gilt, u.a. vollkommene Konkurrenz auf Produktmärkten (siehe auch Skript).
Aufgabe 2 (Produktionseffizienz )
Definition 1 (Neoklassische Produktionsfunktion) Eine zweimal partiell differenzierbare Produktionsfunktion F (K, L) heißt neoklassisch, wenn
für alle (K, L)
FKK (K, L) < 0 < FK (K, L)
FLL (K, L) < 0 < FL (K, L) .
(4)
(5)
Notwendige Bedingung für Pareto-effizienten Faktoreinsatz.
Im Pareto-Optimum gilt: Durch Reallokation des vorhandenen Faktorbestandes kann die Produktion eines Gutes nicht gesteigert werden, ohne die eines
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anderen zu reduzieren. Wir verwenden die Idee des sozialen Planers, der die
Faktorallokation (für den Spezialfall zweier Güter x1 , x2 und zweier Faktoren
K, L) durch Lösen eines sog. Pareto-Programms bestimmt (Abbildung 1).
x1 = f1 (K1 , L1 ) → max !
(6)
K1 ,L1
s.t. x2 = f2 (K2 , L2 ) > x̄2 ,
K1 + K2 6 K,
L1 + L2 6 L.
(7)
(8)
(9)
Im Optimum müssen alle drei Nebenbedingungen mit Gleichheit erfüllt
sein: Falls in (7) strikte Ungleichheit gilt, kann die verwendete Inputmenge an
Kapital K2 oder Arbeit L2 (oder beide) reduziert und zur Produktion von x1
verwendet werden, was deren Produktionsmenge steigert, ohne das Produktionsziel bei x2 zu verletzen. Ein ähnliches Argument greift für (8) und (9):
Gilt strikte Ungleichheit, wird nicht der gesamte vorhandene Faktorbestand
verwendet. Das kann bei positiven Grenzerträgen nicht effizient sein; durch
Einsatz des nicht verwendeten Faktorbestandes könnte die Produktion von
x1 erhöht werden. Also gilt bei allen drei Nebenbedingungen im Optimum
Gleichheit. Wir substituieren K2 = K − K1 aus (8) und L2 = L − L1 aus (9)
in (7) und verwenden folgenden Lagrangeansatz:
L (K1 , L1 , λ) := f1 (K1 , L1 ) + λ (f2 (K − K1 , L − L1 ) − x̄2 )
(10)
Die Bedingungen erster Ordnung für ein Optimum lauten:
∂f1
dK2 !
∂f2
∂L
=
(K1 , L1 ) + λ1
(K − K1 , L − L1 )
=0
∂K1
∂K1
∂K2
dK
|{z}1
(11)
∂L
∂f1
∂f2
dL2 !
=
(K1 , L1 ) + λ1
(K − K1 , L − L1 , λ)
=0
∂L1
∂L1
∂L2
dL1
|{z}
(12)
=−1
=−1
∂L
!
= f2 (K − K1 , L − L1 ) − x̄2 = 0
∂λ
Umformen liefert für die optimalen Faktorallokation (L∗1 , K1∗ , L∗2 , K2∗ ):
∂f1
∂f1
∂f2
∂f2
=
∂K
∂L1
∂K
∂L2
| 1 {z
} | 2 {z
}
=:GRTS1
(13)
(14)
=:GRTS2
Im Optimum sind die Verhältnisse der Grenzprodukte, also die Grenzraten
der Technischen Substitution (GRTS), in beiden Sektoren gleich. Die GRTS
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beschreibt dabei das Austauschverhältnis der Produktionsfaktoren innerhalb
eines Sektors unter der Prämisse, dass der Output im betrachteten Sektor
konstant ist: d.h. die GRT S1 gibt an, um wieviel der Einsatz des Produktionsfaktor Arbeit L1 erhöht werden muss, wenn bei der Produktion von Gut
1 eine Einheit Kapital weniger verwendet wird und der Output konstant gehalten werden soll x1 = x1 .
⇒ Warum entspricht das der pareto-effizienten Situation?
Angenommen GRT S1 = 5 < GRT S2 = 3, dann gilt, dass infolge einer Senkung des Kapitaleinsatzes im Produktionsprozess von Gut 1, Arbeit um 5
Einheiten steigen muss, um den Output konstant zu halten. Im Gegensatz
dazu gilt für den Produktionsprozess von Gut 2, dass die Reduktion des
Kapitaleinsatzes um eine Einheit durch eine Erhöhung des Arbeitseinsatzes um drei Einheiten kompensiert werden kann und der Output von Gut 2
konstant bleibt. Demnach kann noch eine pareto-verbessernde Reallokation
vorgenommen werden: Es könnte eine Einheit Kapital von Sektor 2 in Sektor
1 realloziert werden. Wenn im Gegenzug drei Einheiten Arbeit von Sektor
1 an Sektor 2 geliefert werden, dann ist der Output in Sektor 2 konstant,
während der Output in Sektor 1 gestiegen ist.
Marktlösung.
Angenommen, die Güter i = 1, 2 werden von jeweils einem Unternehmen i =
1, 2 produziert, das seinen Gewinn bei gegebenen Preisen pi und Faktorkosten
r, w durch die Wahl von Ki , Li maximiert:
π := pi fi (Ki , Li ) − rKi − wLi → max!
Ki ,Li
(15)
Die Bedingungen erster Ordnung für ein Optimum lauten:
∂fi
∂π
!
(Ki , Li ) = pi
(Ki , Li ) − r = 0,
∂Ki
∂Ki
∂π
∂fi
!
(Ki , Li ) = pi
(Ki , Li ) − w = 0,
∂Li
∂Li
also im Optimum für i ∈ {1, 2}:
∂f1
∂f1
r
∂f2
∂f2
= =
.
∂K1 ∂L1
w
∂K2 ∂L2
|
{z
}
|
{z
}
=GRTS1
(16)
(17)
(18)
=GRTS2
Agiert ein Unternehmen auf Absatz- und Faktormarkt als Preisnehmer (also
unter ’Wettbewerbsbedingungen’), so führt die Marktlösung zu einem effizienten Ergebnis (Spezialfall des ersten Hauptsatzes der Wohlfahrtstheorie).
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Aufgabe 3 (Transformationskurve)
Definition 2 (Transformationskurve) Die Transformationskurve (Produktionsmöglichkeitenkurve) ist der geometrische Ort der Güterkombinationen, die in einer Volkswirtschaft bei effizienter Faktorallokation hergestellt
werden können.
Definition 3 (Grenzrate der Transformation) Die Steigung der Transformationskurve wird als Grenzrate der Transformation bezeichnet. Im ZweiGüter-Fall gibt
dx2
=: GRTx1 ,x2
dx1
an, auf welche Menge von Gut 2 man marginal verzichten muss, wenn eine
zusätzliche Einheit von Gut 1 produziert werden soll.
Gesucht: Steigung der Transformationskurve
Totales Differenzieren der Produktionsfunktionen liefert:
∂f1
∂f1
∂f1
∂f1
∂f1
dx1 =
dK1 +
dL1 =
dK1 +
dL1 ,
∂K1
∂L1
∂K1
∂L1 ∂K1
∂f2
∂f2
∂f2
∂f2
∂f2
dx2 =
dK2 +
dL2 =
dK2 +
dL2 .
∂K2
∂L2
∂K2
∂L2 ∂K2
(19)
(20)
Weiterhin herrscht im Optimum Vollauslastung der Faktoren, d.h.
K1 + K2 = K
L1 + L2 = L
(21)
(22)
Total Differenzieren von Gleichungen (21) und (22) sowie Berücksichtigen
einer fixen Faktorausstattung in der Ökonomie mit dK = 0 und dL = 0
liefert: dK1 = −dK2 und dL1 = −dL2 . Einsetzen in Gleichung (20) ergibt
∂f2
∂f2
∂f2
∂f2
∂f2
dx2 = −
dK1 −
dL1 = −
dK1 +
dL1 .
(23)
∂K2
∂L2
∂K2
∂L2 ∂K2
Im Optimum gilt außerdem
GRT S1 = GRT S2
∂f1 ∂f1
∂f2 ∂f2
/
=
/
∂L1 ∂K1
∂L2 ∂K2
(24)
(25)
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Teilen von Gleichung (23) durch Gleichung (19) ergibt
dx2
∂f2
∂f1
∂f2
∂f1
GRTx1 ,x2 =
=−
=−
.
dx1
∂K2 ∂K1
∂L2 ∂L1
(26)
⇒ Begründung für den konkaven Verlauf der Transformationskurve:
• Wenn x1 groß und x2 klein: In der Ökonomie wird relativ viel von Gut
1 hergestellt und relativ wenig von Gut 2. Gegeben eine neoklassische
Produktionsfunktion mit fallenden Grenzerträgen, bedeutet das, dass
eine Reduktion der Herstellung von Gut 1 um eine Einheit relativ viele
Produktionsfaktoren freisetzt (da bei großem x1 die Grenzproduktivität
der Faktoren klein ist. Werden diese Faktoren in den Produktionsprozess von Gut 2 gesteckt, induzieren sie dort eine starke Outputsteigerung, da bei kleiner Produktionsmenge von x2 die Grenzproduktivität
der Faktoren groß ist. Dies impliziert eine im Betrag große Steigung
der Transformationskurve dx2 /dx1 im x2 -x1 -Diagramm. → Bezug zu
Gleichung (26): ∂f2 /∂K2 groß und ∂f1 /∂K1 klein, damit ergibt sich
eine im Betrag große Steigung dx2 /dx1 .
• Wenn x1 klein und x2 groß: Analog zur Argumentation oben ergibt
sich, dass die Steigung der Transformationskurve absolut gesehen klein
ist.
Aufgabe 4 (Gesellschaftliche Indifferenzkurven)
Definition 4 Eine Scitovsky-Indifferenzkurve beschreibt den geometrischen
Ort der Güterkombinationen, für die die Individuen einer Volkswirtschaft bei
effizienter Verteilung der Güter gerade ein jeweils vorgegebenes Nutzenniveau
erreichen.
Graphische Herleitung
• Jeder Punkt auf der Transformationskurve repräsentiert eine effiziente
Produktionsmengenkombination von Gut 1 und Gut 2 und legt eine
Edgeworth-Box samt Kontraktkurve für effizienten Tausch fest.
• Man nehme an, es wird in P0 produziert und es stellt sich ein Tauschgleichgewicht in T0 ein, das den Individuen A und B den Nutzen uA
0
und uB
stiftet.
0
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B
• Gibt man sich gerade diese Nutzenniveaus uA
0 und u0 vor, so liegt
der Punkt P0 = (x1 , x2 ) offensichtlich auf der zugehörigen ScitovskyIndifferenzkurve. Im zugehörigen Tauschpunkt T0 gilt nämlich:
x1
x2
A A
A
u (x1 , x2 )
B
uB (xB
1 , x2 )
=
=
=
=
B
xA
1 + x1 ,
B
xA
2 + x2 ,
uA
0,
uB
0.
(27)
(28)
(29)
(30)
Welche Punkte liegen noch auf derselben Scitovsky-Indifferenzkurve,
d.h. welche Produktionsmengen (x1 , x2 ) stiften den Individuen gerade
B
den gleichen vorgegebenen Nutzen uA
0 und u0 ?
B
• Fixiert man die Konsumniveaus (xB
1 , x2 ) für Konsument B in Punkt
T0 und damit seinen Nutzen auf uB
0 , so muss man bei Reduktion der
Produktion von Gut 1 um (hinreichend kleines) ∆x1 die Produktion von
Gut 2 gemäß der Indifferenzkurve von Konsument 1 um ∆x2 erhöhen,
damit auch Konsument A ein unverändertes Nutzenniveau uA
0 erreicht
(Punkt S). Trägt man diese Veränderungen der Produktionsmengen
ausgehend von P0 ab, so erhält man einen weiteren Punkt P 0 auf der
gesuchten Scitovsky-Indifferenzkurve.
• Ganz analog kann man die übrigen Punkte der Scitovsky-Indifferenzkurve konstruieren. Salopp gesprochen handelt es sich lokal (in einer
Umgebung von P0 ) um eine Verschiebung der Indifferenzkurve uA
0 durch
Punkt P0 .
Marginalbedingungen
• Im Tauschoptimum in Punkt T0 gilt GRS A = GRS B und damit in
Punkt P0 gemäß Konstruktion für die Steigung der Scitovsky-Indifferenzkurve
GRS Sci :
GRS Sci = GRS A = GRS B .
• Schneidet die Scitovski-Indifferenzkurve die Transformationskurve in
P0 , so kann der Produktionspunkt P0 nicht gesamtwirtschaftlich effizient sein: Durch veränderte Produktionsmengen auf der Transformationskurve rechts oberhalb der Scitovski-Indifferenzkurve könnte sich
mindestens einer der Konsumenten besser stellen, ohne den anderen
schlechter zu stellen (vgl. Abbildung 3).
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WS 07/08 9
• Das gesamtwirtschaftliche Optimum liegt in einem Tangentialpunkt P ∗
von Scitovsky-Indifferenzkurve und Transformationskurve, also gilt
GRS Sci = GRT
und damit für alle Güter und Individuen GRS = GRT .
Aufgabe 5 (Allokationseffizienz )
Relevante Frage: Warum wird in D (so viel) Kohle gefördert?
Einfaches Modell: D als kleine offene Volkswirtschaft mit 2 Sektoren i = 1, 2,
die die Güter 1 bzw. 2 in den Mengen x1 (Kohle) und x2 (restliche Güter)
produzieren und zu den Weltmarktpreisen p1 bzw. p2 verkaufen. Die Handelsmöglichkeiten und damit das volkswirtschaftliche Budget und der gesellschaftliche Nutzen steigen mit dem Gesamtwert der volkswirtschaftlichen
Produktion. Das Problem besteht also darin, mit Hilfe der vorhandenen Technologie F den volkswirtschaftlichen Output V zu maximieren:
V (x1 , x2 ) := p1 x1 + p2 x2 → max!
x1 ,x2
s.t. F (x1 , x2 ) = 0.
Aus den Bedingungen erster Ordnung ergibt sich, dass im Optimum das
Preisverhältnis mit der Grenzrate der Transformation übereinstimmen muss:
∂F/∂x1
p1
=
.
p2
∂F/∂x2
Folglich wird der Produktionspunkt P ∗ gewählt. Durch internationalen Handel (Import von Kohle, Export anderer Güter) kann danach der optimale
Konsumpunkt K gemäß den gesellschaftlichen Präferenzen gewählt werden.
Die konsumoptimale Menge x1 > x∗1 an Kohle selbst zu fördern (Punkt P0 ),
ist allokativ ineffizient (vgl. Abbildung 4).
Puzzle: Warum wird in D dennoch so viel Kohle gefördert?
Mögliche Gründe:
• Arbeitslosigkeit, sozialer Friede
• strategische Aspekte der Rohstoffsicherheit und Energieversorgung
• Unsicherheit bzgl. der Entwicklung des Weltmarktpreises für Kohle px .
• Irreversibilität von Entscheidungen