2012-2013 בחן מס` 1

‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫‪16/12/2012‬‬
‫בחן ‪ – I‬חלקי מכונות ‪2‬‬
‫הנכם רשאים להשתמש בכל חומר עזר )פרט למחשבים אישיים ולחומר עזר אנושי‪.(...‬‬
‫משך הבחן – שעתיים‪.‬‬
‫שאלה ‪(70%) 1‬‬
‫באיור ‪ 1‬מתואר שרטוט עקרוני של משאבת גלגלי שיניים ישרות‪.‬‬
‫איור ‪ :1‬תיאור עקרוני של משאבת גג"ש ישרות‪.‬‬
‫יניקת )כניסת( המשאבה בצד שמאל והסניקה )פליטה( בצד ימין באיור‪ .‬גלגל השיניים המניע )גג"ש תחתון‬
‫באיור( מונע באמצעות מנוע וסובב כנגד כיוון השעון‪ .‬גג"ש זה מניע גג"ש זהה‪ ,‬בטלן )גג"ש עליון(‪ ,‬הסובב‬
‫בכיוון הפוך‪ .‬כאשר גלגלי השיניים סובבים‪ ,‬נוזל הכלוא במרווחים שבין השיניים לבין דופן בית המשאבה‬
‫מועבר מצד היניקה לצד הסניקה‪ .‬יש לשים לב כי הנוזל עובר בהיקף גלגלי השיניים ולא בין גלגלי השיניים‪.‬‬
‫פעולת גלגלי השיניים יוצרת תת לחץ בצד היניקה הגורם לנוזל להיכנס אל בית המשאבה‪ .‬הנוזל היוצא‬
‫מסניקת המשאבה מועבר לצרכנים השונים‪ .‬התנגדות צרכנים אלו לזרימת הנוזל )מפל לחץ( גורמת לעליית‬
‫הלחץ בצד הסניקה של המשאבה‪.‬‬
‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫הספיקה התיאורטית של המשאבה‪ Q ,‬נתונה על ידי הביטוי‪:‬‬
‫‪Q = q ⋅ n = 2π ⋅ d ⋅ b ⋅ m ⋅ n‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪ - q‬הדחק )‪(mm3/rev‬‬
‫‪ - d‬קוטר מעגל הפסיעה )‪(mm‬‬
‫‪ - b‬רוחב גלגלי השיניים )‪(mm‬‬
‫‪ - m‬מודול )‪(mm‬‬
‫‪ - n‬מהירות סיבוב )‪(rps‬‬
‫המשאבה מונעת על ידי מנוע הסובב במהירות ‪ 3600‬סל"ד‪ .‬נצילות המשאבה )הספק הידראולי יוצא ‪ /‬הספק‬
‫מכאני נכנס( הנה ‪ .85%‬המשאבה נדרשת לבנות לחץ של ‪.15 MPa‬‬
‫הנך נדרש לתכנון עקרוני של גלגלי השיניים )‪ (d, b, m‬של המשאבה בהתאם לנתונים הבאים‪:‬‬
‫גלגלי שיניים ישרות‪ ,‬זווית לחץ ‪ . 200‬שני גלגלי השיניים עשויים פלדה ‪ grade 2‬מחוסמת למלוא העומק‬
‫בקושי ‪ . 300 BHN‬בית המשאבה וגלגלי השיניים יתוכננו בדרגת איכות ‪ 11‬ובאמינות ‪ .99%‬ניסויים הראו‬
‫כי עבור אפליקציה זו ניתן להשתמש במקדמים דלהלן‪. K H = 1.2, K B = 1, K o = 1.1, K s = 1, Yθ = 1 :‬‬
‫כמו כן נמצא כי את המקדם הדינמי נדרש לחשב בהתבסס על המהירות המרבית המותרת לדרגת האיכות‪.‬‬
‫המשאבה מתוכננת ל‪ 10,000 -‬שעות עבודה‪ .‬מקדם הביטחון לתכנון‪ .2 ,‬התכנון יתבסס על עמידה במאמצי‬
‫כפיפה בלבד‪ .‬מתחייב שימוש במודול סטנדרטי‪.‬‬
‫נדרש‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫)‪ (45%‬מצא ביטוי להספק המכאני ‪ H‬הנדרש להינע המשאבה וחשב את מספר השיניים‬
‫‪ N‬של גלגלי השיניים לקבלת ספיקה מרבית‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪ (20%‬חשב את הקוטר‪ ,‬בחר את המודול‪ ,‬קבע את מספר השיניים בפועל ואת רוחב‬
‫הגג"ש לקבלת ספיקה מרבית ועמידה בתנאי התכן‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪ (5%‬חשב את ספיקת המשאבה ) ‪ (m 3 s‬והספק המנוע ) ‪ (kW‬הנדרש להינע המשאבה‪.‬‬
‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫‪H out‬‬
‫נצילות המשאבה ‪ η‬מחושבת באמצעות הקשר הבא ‪:‬‬
‫‪H‬‬
‫= ‪ η‬כאשר ‪ Hout‬זהו ההספק ההידראולי ביציאה‬
‫ו‪ H -‬זהו ההספק המכני בכניסה‪.‬‬
‫‪P ⋅ 2π dbm ⋅ n‬‬
‫הספק ההידראולי ביציאה מחושב ע"י ‪:‬‬
‫‪103‬‬
‫= ‪ H out = PQ = P ⋅ q ⋅ n‬כאשר ‪ P‬הוא הלחץ של‬
‫המשאבה‪ .‬ישנה חלוקה ב‪ 103 -‬על מנת לקבל את ההספק ביחידות של ‪.watt‬‬
‫‪P ⋅ 2π dbm ⋅ n‬‬
‫לכן‪ ,‬ההספק המכני בכניסה הנדרש מהמנוע הוא ‪:‬‬
‫‪η ⋅103‬‬
‫=‬
‫‪H out‬‬
‫‪η‬‬
‫= ‪ H‬כאשר הקוטר ‪ ,d‬הרוחב ‪b‬‬
‫והמודול ‪ m‬מחושבים במ"מ‪ ,‬הלחץ ‪ P‬מחושב ב‪ MPa -‬ומהירות הסיבוב ‪ n‬נתונה בסל"ש‪.‬‬
‫לפי נוסחת ‪ ,AGMA‬התנאי למניעת כשל בכפיפה הוא כדלהלן ‪:‬‬
‫‪Wt‬‬
‫‪S Y‬‬
‫‪K K‬‬
‫‪K o K v K s H B ≤ σ b ,all = t N‬‬
‫‪bm‬‬
‫‪YJ‬‬
‫‪S f Yθ YZ‬‬
‫הכוח המשיקי ‪ Wt‬מחושב באמצעות הקשר הבא ‪:‬‬
‫= ‪σb‬‬
‫‪H‬‬
‫‪H‬‬
‫‪P ⋅ 2 π d bm ⋅ n‬‬
‫‪2P‬‬
‫=‬
‫= ‪⋅103‬‬
‫= ‪⋅ 103‬‬
‫‪⋅b ⋅ m‬‬
‫‪3‬‬
‫] ‪v π d[ mm ]n[ rps‬‬
‫‪η‬‬
‫‪π d [ mm ] n [ rps ] ⋅η ⋅ 10‬‬
‫נציב זאת בנוסחת ‪ AGMA‬ונקבל ‪:‬‬
‫‪2P‬‬
‫‪K H K B St YN‬‬
‫‪K KK‬‬
‫≤‬
‫‪η o v s YJ‬‬
‫‪S f Yθ YZ‬‬
‫מכאן ‪:‬‬
‫‪S‬‬
‫‪YY‬‬
‫‪2P‬‬
‫≥ ‪YJ‬‬
‫‪KO K v K s K H K B f θ Z‬‬
‫‪η‬‬
‫‪St YN‬‬
‫נחשב את כל המקדמים החסרים ‪:‬‬
‫= ‪Wt‬‬
‫•‬
‫המקדמים הנתונים הינם ‪.KO=1.1, Ks=1, KH=1.2, KB=1, Yθ=1, SF=2‬‬
‫•‬
‫המקדם הדינמי ניתן לחישוב בהינתן דרגת האיכות ‪ .Qv=11‬לכן המקדמים ‪ A,B‬הינם ‪:‬‬
‫‪2/3‬‬
‫)‪(12-11‬‬
‫=‪B‬‬
‫‪=0.25‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A=50+56 (1-B ) =92‬‬
‫‪ A+ ( Q v -3)  92+ (11-3) ‬‬
‫‪. v max = ‬‬
‫=‬
‫המהירות המקסימלית המותרת הינה ‪= 50m /sec :‬‬
‫‪200‬‬
‫‪200‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.25‬‬
‫לכן המקדם הדינמי הינו ‪=1.2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ A+ 200 ⋅ v   92+ 200 ⋅ 50 ‬‬
‫‪. K v = ‬‬
‫‪ = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪92‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫•‬
‫החוזק המותר לכפיפה‪ ,‬עבור פלדה ‪ Grade2‬בחיסום מלא לרמת קשיות של ‪ ,HB=300‬מחושב ע"י ‪:‬‬
‫‪St = 0.703H B + 113 = 0.703 ⋅ 300 + 113 = 323.9MPa‬‬
‫•‬
‫עבור אמינות של ‪ 99%‬מקדם האמינות הוא ‪.YZ=1‬‬
‫•‬
‫לחישוב מקדם אורך החיים נחשב את מספר המחזורים לכשל ‪:‬‬
‫‪rev‬‬
‫‪min‬‬
‫[‪N = 3600‬‬
‫[‪] ⋅ 60‬‬
‫]‪] ⋅10000[hr ] = 2.16 ⋅109 [cycles‬‬
‫‪min‬‬
‫‪hr‬‬
‫עבור אפליקציות לשימושים רגילים נחשב את מקדם אורך החיים לפי הקשר הבא ‪:‬‬
‫‪= 0.9248‬‬
‫‪-0.0178‬‬
‫) ‪YN =0.84=1.3558 ⋅ N -0.0178 = 1.3558 ⋅ ( 2.16 ⋅109‬‬
‫נציב את ערכי כל המקדמים ונקבל תנאי על המקדם הגאומטרי ‪: YJ‬‬
‫‪S f Yθ YZ 2 ⋅15‬‬
‫‪( 2 ) ⋅ (1) ⋅ (1) = 0.3738‬‬
‫=‬
‫⋅ )‪⋅ (1.1) ⋅ (1.2 ) ⋅ (1) ⋅ (1.2 ) ⋅ (1‬‬
‫‪η‬‬
‫‪0.85‬‬
‫‪St YN‬‬
‫)‪( 323.9 ) ( 0.9248‬‬
‫מספר השיניים הקטן ביותר המקיים תנאי זה הוא ‪) Np=NG=27‬עבור זווית לחץ ‪ ,20°‬יחס התמסורת הוא ‪.(1‬‬
‫‪KO Kv K s K H K B‬‬
‫‪2P‬‬
‫≥ ‪YJ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לקבלת ספיקה מרבית יש לבחור קוטר ומודול מקסימליים‪ .‬ישנו תנאי על המהירות המקסימלית המותרת‪.‬‬
‫‪πd n‬‬
‫כלומר ‪ . v = mm3 rps < vmax = 50m /sec :‬לכן הקוטר המקסימלי הניתן לשימוש הוא ‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪v ⋅10‬‬
‫‪50 ⋅10‬‬
‫‪d max = max‬‬
‫=‬
‫‪= 265.26mm‬‬
‫‪π nrps‬‬
‫‪π ⋅ 60‬‬
‫‪d‬‬
‫‪265.26‬‬
‫= ‪ . mmax = max‬נבחר את המודול‬
‫המודול המקסימלי מתקבל כשמספר השיניים קטן ‪= 9.82mm :‬‬
‫‪N min‬‬
‫‪27‬‬
‫הסטנדרטי הקרוב ביותר למודול המקסימלי שניתן לשימוש ‪ .m=8mm :‬עבור מודול זה ניתן לבחור מספר‬
‫שיניים גדול יותר מהמינימלי שחושב ע"מ לקבל קוטר מקסימלי‪ .‬מספר השיניים המקסימלי עבור המודול‬
‫‪d max 265.26‬‬
‫=‬
‫הנבחר הוא ‪= 33.16‬‬
‫‪m‬‬
‫‪8‬‬
‫= ‪ . N max‬לכן נבחר ‪ N=33‬שיניים לגיר ולפיניון‪.‬‬
‫במצב זה קוטר גלגלי השיניים הוא ‪. d = mN = 8 ⋅ 33 = 264mm‬‬
‫רוחב גלגל השיניים המירבי הוא ‪. b = 5π m = 5 ⋅ π ⋅ 8 = 125.66mm‬‬
‫ג‪.‬‬
‫) ‪2 ⋅ π ⋅ ( 264 ) ⋅ (125.66 ) ⋅ ( 8 ) ⋅ ( 60‬‬
‫= ‪. Q = 2π dbmn‬‬
‫ספיקת המשאבה המתקבלת היא ‪= 0.1m3 /sec‬‬
‫‪109‬‬
‫) ‪P ⋅ 2π dbmn (15 ) ⋅ ( 2π ) ⋅ ( 264 ) ⋅ (125.66 ) ⋅ ( 8 ) ⋅ ( 60‬‬
‫= ‪.H‬‬
‫=‬
‫הספק המנוע הנדרש הוא ‪= 1765kW‬‬
‫‪η ⋅106‬‬
‫‪( 0.85) ⋅106‬‬
‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫שאלה ‪(30%) 2‬‬
‫לשני גלגלי שיניים הנמצאים בשילוב מודול ‪ 10‬מ"מ וזווית לחץ ‪ .20°‬לפיניון ‪ 20‬שיניים ולגיר ‪ 30‬שיניים‪.‬‬
‫גובה ראש השן )אדנדום( בכל גלגל שיניים אינו סטנדרטי ומיוצר כך שאורך השילוב מכל צד של נקודת‬
‫החלוקה )נקודת ההשקה בין מעגלי החלוקה( שווה למחצית האורך הכולל שבין נקודת החלוקה לנקודת‬
‫ההשקה עם מעגל הבסיס המתאים‪ .‬ניתן להניח כי על גבי מעגל החלוקה עובי השן שווה למחצית הפסיעה‪.‬‬
‫נדרש‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫)‪ (10%‬חשב את רדיוס מעגל הראשים )רדיוס אדנדום( של כל גלגל שיניים‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫)‪ (10%‬חשב את אורך המגע המתקבל ואת יחס המגע‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫)‪ (10%‬חשב את עובי השן במעגל הראשים של הפיניון‪.‬‬
‫פתרון‬
‫א‪.‬‬
‫נסמן את הנקודות הבאות ‪:‬‬
‫‪ – A‬נקודת תחילת השילוב‪ ,‬נקודת חיתוך רדיוס האדנדום של הגיר עם קו הלחץ‪.‬‬
‫‪ – B‬נקודת סיום השילוב‪ ,‬נקודת חיתוך רדיוס האדנדום של הפיניון עם קו הלחץ‪.‬‬
‫‪ – C‬נקודת החיתוך של קו הלחץ עם מעגל הבסיס של הפיניון‪.‬‬
‫‪ – D‬נקודת החיתוך של קו הלחץ עם מעגל הבסיס של הגיר‪.‬‬
‫‪ – P‬נקודת החלוקה‪ ,‬נקודת ההשקה בין מעגלי החלוקה של הגיר והפיניון‪.‬‬
‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬
‫עפ"י הנתונים ‪:‬‬
‫‪Np=20, NG=30, φ=20°, m=10mm‬‬
‫כמו כן נתונים הקשרים הבאים ‪:‬‬
‫‪PC‬‬
‫‪PD‬‬
‫= ‪, BP‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪AP‬‬
‫נשים לב כי ‪ PC = rp sin φ :‬ו‪. PD = rG sin φ -‬‬
‫נחשב את רדיוסי החלוקה של הגיר והפיניון ‪:‬‬
‫‪d p mN p 10 ⋅ 20‬‬
‫‪d‬‬
‫‪mN G 10 ⋅ 30‬‬
‫=‬
‫‪= 150mm .‬‬
‫= ‪rp‬‬
‫=‬
‫=‬
‫= ‪= 100mm , rG = G‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫לכן ‪ PD = rG sin φ = 150 ⋅ sin ( 20° ) = 51.3mm :‬ו‪. PC = rp sin φ = 100 ⋅ sin ( 20° ) = 34.2mm -‬‬
‫‪PC 34.2‬‬
‫‪PD 51.3‬‬
‫=‬
‫= ‪ BP‬ו‪= 17.1mm -‬‬
‫=‬
‫מכאן נקבל כי ‪= 25.65mm :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נחשב את רדיוסי הבסיס של הגיר והפיניון ‪:‬‬
‫‪rbp = rp cos φ = 100 ⋅ cos ( 20° ) = 93.97 mm , rbG = rG cos φ = 150 ⋅ cos ( 20° ) = 140.95mm‬‬
‫= ‪. AP‬‬
‫רדיוסי האדנדום של הגיר והפיניון מחושבים באמצעות משפט פיתגורס ‪:‬‬
‫‪( BP + PC ) + r = ( 25.65 + 34.2 ) + 93.97 = 111.41‬‬
‫‪( PD + AP ) + r = ( 51.3 + 17.1) + 140.95 = 156.67‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mm‬‬
‫‪2‬‬
‫‪mm‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪bp‬‬
‫‪2‬‬
‫‪bG‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ‪rap = BC + rbp2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪raG = AD + rbG‬‬
‫=‬
‫ב‪.‬‬
‫אורך המגע בשאלה זו מחושב ישירות עפ"י הנוסחה הבאה ‪:‬‬
‫‪LAB = AP + BP = 17.1 + 25.65 = 42.75mm‬‬
‫נחשב את יחס המגע ‪:‬‬
‫‪LAB‬‬
‫‪42.75‬‬
‫= ‪mc‬‬
‫=‬
‫‪= 1.448‬‬
‫) ‪π m cos φ π ⋅10 ⋅ cos ( 20°‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪p π m π ⋅10‬‬
‫= = ‪. tp‬‬
‫=‬
‫עובי השן במעגל החלוקה שווה למחצית הפסיעה ‪= 15.708mm :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫זווית הלחץ למעגל הראשים מחושבת באמצעות ‪:‬‬
‫‪ rbp‬‬
‫‪ rap‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−1  93.97 ‬‬
‫‪ = cos ‬‬
‫‪ = 0.567 rad = 32.495°‬‬
‫‪ 111.41 ‬‬
‫‪‬‬
‫לכן עובי השן במעגל הראשים של הפיניון הוא ‪:‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪‬‬
‫‪ta = 2rap  p + invφ − invϕ a  = 5.268mm‬‬
‫‪ 2r‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p‬‬
‫‪‬‬
‫‪ϕ a = cos −1 ‬‬
‫בהצלחה!‬