פרק 6 . מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו

Comments

Transcription

פרק 6 . מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו
‫פרק ‪ . 6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬
‫מטרת הניסוי‪:‬‬
‫חקירת התנודות המאולצות של מתנד הרמוני נטול חיכו ותופעת התהודה‪.‬‬
‫מכשור‪:‬‬
‫מסלול אוויר‪ ,‬עגלות קפיצי ‪ ,‬ספק מתח למנוע ע מהירות משתנה וגלאי קרוזה‪.‬‬
‫רקע תיאורטי‪:‬‬
‫בניסוי הקוד בחנו מתנד חופשי ע כוח מרס ‪ .‬בשני הניסויי הבאי נבח את תנועתו של מתנד הרמוני‬
‫שעליו מופעל כוח הרמוני מאל ‪ .‬המערכת מתוארת בציור ‪.1‬‬
‫את קצה אחד הקפיצי )הקפי הר ‪ (k1‬מחברי לעגלה נוספת‪ .‬עגלה זו מחוברת למוט הנמצא על גלגל‬
‫המונע ע"י מנוע חשמלי‪ ,‬כפי שנית לראות המוט איננו במרכז הגלגל‪ .‬מקומו של המוט על הגלגל נית‬
‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬
‫‪71‬‬
‫לשינוי‪ ,‬כ שאפשר לשנות את גודל הכוח המאל ולהתאימו לתנאי הרצויי בניסוי‪ .‬מהירות סיבוב הגלגל‬
‫ניתנת לשינוי‪ .‬תנועת העגלה הנוספת מעתיקה את הקצה השני של הקפי מנקודת שיווי המשקל בשיעור ‪X‬‬
‫העתקה הגורמת לשינוי נוס כאור הקפי ולכ להפעלת כוח נוס על המתנד שגודלו ‪ ,–k1X‬גלאי קרוזה‬
‫המחובר לעגלה זו יאפשר מדידת ‪ X‬ותדירות הכוח המאל ‪.‬‬
‫בהנחה שבשיווי המשקל המוט המניע את העגלה נמצא על קו אנכי העובר דר המרכז‪ .‬השינוי במקו‬
‫העגלה נתו ע"י )‪ Xcos(ωt‬והכוח המאל נתו ע"י )‪ .–k1Xcos(ωt) ≡ F0cos(ωt‬משוואות התנועה של‬
‫המתנד תהיינה‪:‬‬
‫)‪F = md2x/dt2 = -(k1+k2)x-(m/τ)dx/dt+F0 cos(ωt‬‬
‫)‪(1‬‬
‫או‬
‫)‪d2x/dt2+(1/τ)dx/dt+ω02x = (F0/m)cos(ωt‬‬
‫)‪(2‬‬
‫כאשר מפעילי כוח הרמוני בתדירות ‪ ω‬על מתנד הרמוני‪ ,‬המתנד ינוע באותה תדירות ‪ ω‬של הכוח המאל ‪.‬‬
‫הפתרו של משוואה זאת שתדירותו ‪ ω‬הוא‪:‬‬
‫)‪x-st(t) = xcos(ωt+φ‬‬
‫)‪(3‬‬
‫כאשר‬
‫)‪(4‬‬
‫‪F0 / m‬‬
‫)‬
‫) ‪− ω 2 + (ω τ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(ω‬‬
‫=‪x‬‬
‫ו ‪ φ‬הפרש הפזה בי הכוח המאל והאוסצילטור ההרמוני‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪−ω‬‬
‫)‪(5‬‬
‫‪‬‬
‫‪φ = tan −1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪τ‬‬
‫(‬
‫‪ω‬‬
‫‪ω‬‬
‫)‬
‫‪−‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אפשר לראות שמשוואות )‪ (4) ,(3‬ו )‪ (5‬מקיימות את המשוואה )‪ (2‬ע"י הצבה במשוואה זו‪ .‬משוואה )‪(3‬‬
‫מראה‪ ,‬שהתגובה פונקציה של התדירות‪ .‬כאשר החיכו זניח‪ 1/τ ,‬שוא לאפס והמשרעת )‪ x(ω‬שואפת‬
‫לאינסו עבור ‪ .ω=ω0‬לתדירות בה מתקבל שיא המשרעת קוראי תדירות התהודה ובמקרה של חיכו‬
‫זניח תדירות התהודה היא ‪ .ω0‬את המקרה בו החיכו אינו זניח נלמד בניסוי הבא‪ .‬הפתרו המובא‬
‫‪333‬במשוואה )‪ (3‬הוא פתרו פרטי‪ ,‬מאחר שאי בו פרמטרי שאפשר להתאימ לתנאי התחלה שוני ‪.‬‬
‫פתרו זה מתאר את התנועה לאחר זמ ארו ‪ ,‬בו רק התנועה המאולצת באה לידי ביטוי‪ .‬פתרו כללי יכלול‬
‫ג את התנודות החופשיות הדועכות ע הזמ וג תנועה מאולצת‪ ,‬לכ הפתרו הכללי הוא סופר פוזיציה‬
‫של שתי התנועות ומשואת התנועה נתונה ע"י סכו הפתרונות הפרטיי של משואה )‪ (3‬ומשוואה )‪ (3‬של‬
‫הפרק הקוד ‪.‬‬
‫)‪X(t) = x-st(t)+x1(t‬‬
‫)‪(6‬‬
‫‪ φ1‬ו ‪ x1‬הנתוני במשוואה )‪ (3‬של הפרק הקוד ניתני לבחירה‪ ,‬כ שאפשר להתאי את משוואה )‪(6‬‬
‫לתנאי שפה שוני ‪ .‬במיוחד נתאי את המשוואות למקרה בו הכוח המרס קט יחסית ‪ .1/τ→0‬כדי‬
‫להתאי את המשוואות לתנאי אלה‪ ,‬נכתוב את משוואה )‪ (6‬בצורה מפורשת‪.‬‬
‫)‪X(t) = xcos(ωt+φ)+x1e-t/2τcos(ω1t+φ1‬‬
‫‪72‬‬
‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬
‫משוואה זו היא משוואת התנועה הכללית לתנועה הרמונית מאולצת‪ .‬צרי להתאי משוואה זו להנחה‪,‬‬
‫שהחיכו זניח ולתנאי השפה המיוחדי בה נבצע את הניסוי‪.‬‬
‫בהנחה שהריסו זניח ‪.1/τ→0‬‬
‫ממשוואה )‪ (4‬מתקבל‬
‫))‪lim x = F0/(m(ω02-ω2‬‬
‫‪1/τ→0‬‬
‫‪lim tan-1φ = 0‬‬
‫‪1/τ→0‬‬
‫ממשוואה )‪ (5‬מתקבל‬
‫לכ ‪:‬‬
‫‪lim φ = 0‬‬
‫‪1/τ→0‬‬
‫‪lim ω1 = ω0‬‬
‫‪1/τ→0‬‬
‫וממשוואה )‪ (3‬של הפרק הקוד מתקבל‬
‫ע"י הצבה ב )‪ (6‬נקבל‬
‫)‪(7‬‬
‫)‪x(t) = (F0/(m(ω20-ω2))cosωt+x1cos(ω0t+φ1‬‬
‫נבצע את הניסוי כ ‪ ,‬שבתחילת הניסוי העגלה תמצא במנוחה בנקודת שיווי המשקל )זכור!! במקרה זה‬
‫תנאי השפה במקרה זה ה‬
‫המוט המניע את העגלה חייב להיות על קו מאונ העובר דר המרכז(‪.‬‬
‫‪ x(0) = 0‬ו ‪ dx/dt(0) = 0‬הינו ההעתק והמהירות ההתחלתיי המתאפסי ‪ .‬נציב תנאי אלה במשוואת‬
‫התנועה ‪ 7‬ובנגזרת לפי הזמ ונקבל‪:‬‬
‫)‪(8‬‬
‫‪x(0)=F0/(m(ω02-ω2))+x1cosφ1=0‬‬
‫)‪(9‬‬
‫‪dx/dt(0)=-x1ω0sinφ1=0‬‬
‫‪φ1 = 0‬‬
‫ממשוואה )‪ (9‬נובע‪:‬‬
‫))‪x1 = -F0/(m(ω20-ω2‬‬
‫וממשוואה – )‪(8‬‬
‫הצבת ‪ x1‬ו ‪ φ1‬ב – )‪ (7‬תית את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫)‪(10‬‬
‫)‪x(t) = (F0/(m(ω20-ω2)))(cosωt-cosω0t‬‬
‫התקבלה משוואת התנועה המתארת צרו של שתי תנועות הרמוניות במשרעת זהה‪ ,‬בתדירות ‪ ω0‬ו ‪.ω‬‬
‫המשוואה מתארת תופעה המכונה פעימות‪.‬‬
‫נוח לתאר תופעה זו כתנועה הרמונית בתדירות ממוצעת ‪ ωav = (ω0+ω)/2‬ע משרעת המשתנה לאט בזמ ‪,‬‬
‫המכונה מעטפת‪ .‬המעטפת משתנת בזמ ‪ ,‬בתדירות ‪) ωmod = (ω0-ω)/2‬השינוי בזמ של המעטפת מכונה‬
‫אפנו (‪.‬‬
‫)‪x(t) = xmod(t)sin(ωavt‬‬
‫נכתוב את )‪ (10‬בצורה שונה‪:‬‬
‫כאשר‬
‫‪xmod(t) = (2F0/(m(ω02-ω2)))sin½(ω0-ω)t‬‬
‫קל להוכיח שמשוואה זו זהה ל – )‪.(10‬‬
‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬
‫‪73‬‬
‫בתהודה ‪ ω0 = ω‬כ שהמונה והמכנה מתאפסי ‪ ,‬אול מאחר שבזויות קטנות אפשר להחלי את סינוס‬
‫]‪lim x(t) = lim (2F0/(m(ω20-ω2)))sin[½(ω0-ω)t‬‬
‫הזווית בזווית עצמה‪ ,‬מתקיי ‪:‬‬
‫‪ω →ω0‬‬
‫‪ω →ω0‬‬
‫כ שבגבול‪:‬‬
‫‪x(t) = (F0t/(2mω0))sinω0t‬‬
‫)‪(11‬‬
‫בהזנחת הכוח המרס קיבלנו‪ ,‬שמשרעת המתנד גדלה ממצב מנוחה בצורה המתכונתית לזמ ‪ .‬מוב‬
‫שבפועל‪ ,‬גידול המשרעת ייעצר ברגע שמשרעת התנועה תתקרב לקצות המסלול‪ ,‬מאחר שהקפיצי לא יהיו‬
‫אלסטיי יותר ולכ ההנחה של כוח הרמוני מחזיר – אינה תקפה‪ .‬כמו כ ‪ ,‬כשהמשרעת גדלה – גדלה ג‬
‫מהירות התנועה וגדל ג הכוח המרס והוא אינו זניח יותר‪.‬‬
‫משוואה )‪ (11‬מדגישה‪ ,‬את התגובה החזקה של מערכת לתדירות התהודה שלה‪ .‬ניסוי זה דומה לדוגמא‬
‫הידועה של מחלקת חיילי הצועדת על גשר‪ ,‬כשתדירות הפסיעה שלה קרובה לתדירות התהודה של‬
‫הגשר‪ .‬הגשר יתחיל ממצב מנוחה והמשרעת של תנועתו תגדל מתכונתית בזמ ‪ ,‬עד שהגשר יתפרק‪.‬‬
‫שאלות הכנה‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫הוכח שמשוואה )‪ (3‬פתרו של משוואה )‪ ,(2‬כאשר קיו של משוואות )‪ (4‬ו )‪ (5‬תנאי הכרחי לכ ‪.‬‬
‫הראה שמשוואה )‪ (6‬הינה פתרו של משוואה )‪.(2‬‬
‫הראה שאת משוואה )‪ (10‬אפשר לכתוב כתנועה הרמונית במשרעת המשתנה בזמ ‪.‬‬
‫ניסוי ‪6.1‬‬
‫תנודות הרמוניות מאולצות‪ ,‬פעימות‪.‬‬
‫בניסוי זה נחקור את התנועה של מתנד מאול ‪ ,‬כאשר תדירות הכוח המאל שונה מתדירות התהודה‬
‫ונמצא את שינוי המשרעת בזמ ‪ .‬תנועת המתנד מתוארת במשוואה )‪ .(10‬המתנד מתחיל ממצב מנוחה‪.‬‬
‫הכוח המאל מניע אותו בתדירות השונה מהתדירות העצמית ולכ מתקבלות פעימות‪.‬‬
‫את התוצאות שנקבל נשווה ישירות לתיאוריה וכ נאמת את התיאוריה של תנועה הרמונית מאולצת‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫הכרת המכשור וניסוי איכותי‪.‬‬
‫שקלו את העגלה בה תשתמשו בניסוי‪.‬‬
‫הכינו את מסלול האוויר לניסוי‪.‬‬
‫הרכיבו את מער הניסוי המתואר בציור ‪.1‬‬
‫העגלה המאלצת מחוברת בחוט למוט המונע ע"י מנוע שמהירותו ניתנת לשינוי‪ .‬העגלה המאלצת מחוברת‬
‫לעגלה נוספת באמצעות קפי שהקבוע האלסטי שלו ‪) k1‬במידה שלא שמרת את הקפי מהמעבדה‬
‫הקודמת‪ ,‬עליכ להתחיל במדידת הקבוע האלסטי של הקפי ‪ ,‬כפי שביצעת זאת בניסוי ‪ .(5.1‬הקצה השני‬
‫‪74‬‬
‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬
‫של העגלה המאולצת‪ ,‬מחובר למסלול בעזרת קפי ע קבוע ‪ .k2‬עליכ לבחור קפי זה כ שהתדירות‬
‫העצמית של המערכת תהיה בתו תחו התדירויות המתקבל משינוי המהירות של המנוע המאל ‪ .‬הדר‬
‫הנוחה ביותר להביא את המוט לנקודת שיווי המשקל היא להפחית את מהירות המנוע ולעצרו במקו‬
‫המתאי ‪ ,‬כ שקו אנכי יעבור דרכו ודר המרכז‪ .‬סמנו את נקודות שיווי המשקל של העגלות על המסלול‬
‫ע"י הדבקת פיסות נייר דבק על המסלול‪ .‬נסו לא להזיז את המערכת בזמ הניסוי‪ .‬כאשר המערכת בשיווי‬
‫משקל‪ ,‬קבעו את גלאי קרוזה הראשו במרכז העגלה המאלצת ואת הגלאי השני למרכז העגלה המאולצת‪.‬‬
‫השוואת התנודות של שתי העגלות מאפשרת מציאת הפזה בי הכוח המאל והתנודה של המתנד‪.‬‬
‫הפעילו את המנוע ומצאו מהירות שתביא לקבלת מספר פעימות בדקה‪ .‬הדליקו את המחשב והעלו את‬
‫התוכנה של קרוזה‪ .‬בחרו באפשרות למדידה של שני הגלאי ‪ ,‬אפסו את הגלאי כאשר העגלות נמצאות‬
‫בנקודות שיווי המשקל‪ .‬הגדילו את מהירות המנוע למהירות אותה בחרת קוד ‪ .‬לחצו על ‪ f4‬כאשר את‬
‫מחזיקי את העגלה המאולצת בנקודת שיווי המשקל‪ .‬שחררו אותה וצפו בפעימות המתקבלות על מס‬
‫המחשב‪ .‬שנו את קצב המדידה ואת הסקלה של ציר ‪ y‬עד שתקבלו כשתי פעימות על המס ‪ .‬במידה והעגלה‬
‫חורגת מהגלאי אפשר להקטי את משרעת התנודות ע"י הקטנת משרעת הכוח המאל ‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ניסוי כמותי‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫מדדו את התדירות העצמית ‪ ω0‬של המתנד‪ ,‬כפי שעשית בניסוי ‪ 5.2‬ורשמו את‬
‫‪.2‬‬
‫‪.3‬‬
‫התוצאה‪.‬‬
‫אפוס הגלאי בניסוי זה חשוב מאוד‪ .‬בדקו שוב את אפוס הגלאי ‪.‬‬
‫חזרו למהירות שבחרת ובצעו שני ניסויי ‪ .‬שמרו את התוצאות התקליטו ‪.‬‬
‫ניסוי ‪6.2‬‬
‫תהודה ללא כוח מרס‬
‫בניסוי זה הכוח המאל מניע את המתנד בתדירות העצמית של המערכת‪ .‬המתנד מתחיל ממצב מנוחה‬
‫והמשרעת של התנודה גדלה מתכונתית בזמ ‪ .‬התנועה מתוארת ע"י משוואה )‪.(11‬‬
‫א‪.‬‬
‫ניסוי איכותי‪:‬‬
‫הניסוי יבוצע באותה מערכת כמו בניסוי הקוד ‪ .‬שנו את מהירות המנוע ומצאו את מהירות בה תדירות‬
‫התנודה של המתנד זהה לתדירות העצמית של המערכת שמדדת בניסוי ‪ .6.1‬כאשר תגיעו לתדירות‬
‫התהודה‪ ,‬עצרו את העגלה שחררו אותה ובמקביל לחצו על ‪ .F4‬התבוננו במס המחשב‪ ,‬לאופ בו בונות‬
‫התנודות את עצמ ‪ .‬התאימו את מהירות הדגימה וציר ה ‪ y‬כ שתקבלו על המס את הבניה של התנודות‪,‬‬
‫מבלי שהעגלה תחרוג מתחומי הגלאי‪.‬‬
‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬
‫‪75‬‬
‫ב‪.‬‬
‫ניסוי כמותי‪:‬‬
‫בצעו מספר פעמי‬
‫בתקליטו ‪.‬‬
‫את הניסוי‪ ,‬כאשר העגלה מתחילה ממנוחה‪ .‬שמרו את התוצאות של שני ניסויי‬
‫עבוד נתוני‬
‫‪ .1‬העלאת הגיליו האלקטרוני‪ :‬העלו את הגיליו האלקטרוני בעל הש ‪ .EXP6M‬הביאו לתוכו את קוב‬
‫המדידות של ניסוי ‪) 6.1‬ניסוי הפעימות( ע"י לחיצה על ‪ .CTRL+i‬זכרו לשמור את הקוב בשמו המקורי‬
‫‪ . template6m.xls‬תוכלו לראות גר של התוצאות בגליו בעל הלשונית ‪.Beats - exp‬‬
‫‪ .2‬הכנסת הנתוני הניסויי ‪ :‬הכניסו את הערכי של קבועי הקפיצי ‪ ω0 ,‬התדירות העצמית של המערכת‬
‫ואת מסת העגלה במקומות המתאימי בגיליו ‪ .‬כעת בחנו את התוצאות שקיבלת ‪ .‬במידה שה אינ‬
‫סימטריות ביחס לציר הזמ ‪ ,‬תוכלו להתיק את מערכת הצירי ולהכניס את התוצאות ולאחר ההתקה תו‬
‫שימוש בעמודה ‪ .D‬חשבו בעמודות ‪ G,F‬ו ‪ H‬את הזמ בשניות וההעתק של המתנד במטר‪.‬‬
‫‪ .3‬חשוב התדירות‪ :‬חשבו ע"י מציאת נקודת החיתו של ההעתק ע ציר הזמ )נקודת ההתאפסות של‬
‫המשרעת( את המחזור של המתנד ושל הכוח המאל ‪ .‬הכניסו לעמודות ‪ J‬ו ‪ ,K‬את זמני התאפסות‬
‫המשרעת עבור העגלה המאלצת והמתנד בהתאמה‪ .‬בעמודות ‪ L‬ו ‪ ,M‬חשבו את הערכי של זמ המחזור‪.‬‬
‫חשבו את זמ המחזור הממוצע ואת תדירות התנודות )נית לבצע זאת בתאי ‪ .(K7-K10‬רשמו את‬
‫האמפליטודה של הכח המאל בתא ‪ .K11‬השתמשו בער שמצאת ל ‪ ω0‬ובתדירות של הכוח המאל‬
‫על מנת לחשב את התדירות התיאורטית של תנודות המתנד‪ ,‬המתקבלת בנוסחה ‪ .10‬השוו לתוצאות‬
‫שקיבלת בניסוי‪ .‬הא התוצאות מתאימות בתחו חשוב השגיאה?‬
‫‪ .4‬חשוב המעטפת‪ :‬חשבו את המעטפת לפי ‪ Xmod‬בנוסחה ‪ .10‬הכניסו את התוצאות לעמודה ‪ .O‬זכרו‬
‫שהמעטפת יכולה לקבל ערכי חיוביי ושליליי ‪ ,‬בהתא לסימ של הסינוס‪ .‬לכ הכניסו את הערכי‬
‫השליליי ‪ Xmod‬בעמודה ‪ .P‬השוו לתוצאות הניסיוניות בעזרת הגר הנמצא בגליו בעל הלשונית‬
‫‪ .Beats-envelope‬הדפיסו גר זה והכניסו אותו למחברת‪.‬‬
‫‪ .5‬עיבוד ניסוי התהודה‪ :‬הביאו את הקוב שיצרת בניסוי לבנייה של התנודות ע"י לחיצה על ‪.CTRL+j‬‬
‫תוכלו לראות את הגר של התוצאות בגיליו בעל הלשונית ‪. Resonance - exp.‬‬
‫‪ .6‬מעבר יחידות‪ :‬בצעו בעמודה ‪ W‬תרגו של הזמ לשניות ע העתקה מתאימה של ראשית הצירי )‪(T0‬‬
‫ובעמודות ‪ X‬ו ‪ Y‬תרגמו את המשרעת למטרי ‪.‬‬
‫‪ .7‬חשוב הבנייה של המשרעת‪ :‬חשבו לפי נוסחה ‪ 11‬את המעטפת והכניסו לעמודה ‪ .AA‬את הערכי‬
‫השליליי של המעטפת‪ ,‬הכניסו לעמודה ‪ .AB‬צפו בערכי המחושבי של המעטפת והערכי הניסיוניי‬
‫גר המופיע בגיליו בעל הלשונית ‪ .Resonance - envelope‬הדפיסו את הגר ושמרו את התוצאות‬
‫במחברת‪.‬‬
‫‪76‬‬
‫פרק ‪ .6‬מתנד הרמוני ע כוח מאל ללא ריסו‬