מכינת מתמטיקה לקראת כתת מופת דוגמאות ודגשים

‫השתלמות קיץ ‪ 2014‬תשע"ד‬
‫מכינה במתמטיקה ‪-‬לקראת כיתת מופת‬
‫דוגמאות ודגשים‬
‫מחוברת מכינה(‪-‬מעמ' ‪)107-112‬‬
‫מדריכה‪ :‬בולטוב ויקטוריה‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪1‬‬
‫תרגילי חזרה וסיכום לחלק ב' (עמ' ‪)107‬‬
‫‪.1‬הרכב מ‪ 3-‬ספרות "‪ "2‬את המספר הגדול ביותר האפשרי‬
‫‪22‬‬
‫‪2‬‬
‫או‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫!( ( ‪2‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫))‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬מצא את הספרה האחרונה במספר‬
‫הבא‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪52004‬‬
‫א) ‪5‬‬
‫‪22004‬‬
‫ב) ‪22004= (24)501= 16501= ….6‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪3‬‬
‫‪ .3‬א‪ .‬מהו סכום הספרות של המספר‪? 1095 - 95 :‬‬
‫‪102-95=100-95=5 →9∙0 +5‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪103-95=1000-95=905→14=9∙1+5 )2‬‬
‫‪104-95=10000-95=9905→23=9∙2+5 )3‬‬
‫‪105-95=100000-95=99905→32=9∙3+5 )4.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1095-95→9∙93+5=842 )94‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪10 -95 → 9(n-2)+5=9n-18+5=9n-13 )n‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪4‬‬
‫‪.3‬ב‪ .‬דרך נוספת לפתרון‪:‬‬
‫מהו סכום הספרות של המספר‪? 1095 - 95 :‬‬
‫=)‪1095-95=1095-(100-5‬‬
‫=‪=102(1093-1)+5‬‬
‫‪=102 . 999…9+5‬‬
‫‪ 93‬פעמים‬
‫במספר ‪ 1095-95‬סכום הספרות‪:‬‬
‫‪9.93+5=842‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪5‬‬
‫בעיה שלא קיימת בחוברת ומתאימה לשיעור העשרה‪:‬‬
‫הוכיחו ש ‪ 10100-7‬מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪.‬‬
‫‪100‬‬
‫‪99‬‬
‫‪10 -7=10 ·10‬‬
‫=‪-7‬‬
‫‪99‬‬
‫=‪=10 · (7+3) -7‬‬
‫= ‪=1099· 7 -7+ 3·1099‬‬
‫‪=7·(1099-1)+3·1099‬‬
‫‪ 3·1099‬מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪,‬‬
‫‪ 1099-1=99…9‬גם מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪,‬‬
‫לכן הביטוי הנתון מתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪.‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪6‬‬
‫‪.4‬שטח המרובע ‪ MNPK‬שווה ל‪ 32-‬סמ"ר‪.‬‬
‫מצא את היקף הריבוע ‪ ,ABCD‬אם ידוע‬
‫שהמרובע ‪ AKND‬הוא מלבן‪.‬‬
‫‪SKMNP= ½ ∙SABCD=32‬‬
‫‪M‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪→ SABCD=64‬‬
‫‪AB=8‬‬
‫‪→ PABCD=32‬‬
‫‪N‬‬
‫‪K‬‬
‫‪D‬‬
‫‪A‬‬
‫‪P‬‬
‫תשובה‪ :‬היקף ריבוע ‪ 32 ABCD‬ס"מ‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪7‬‬
‫‪.5‬סכום הנקודות על כל שתי פאות נגדיות‬
‫של קוביית משחק‪ ,‬הוא מספר קבוע‪.‬‬
‫מצא את המספר ואת זוגות המספרים על שתי‬
‫פאות נגדיות‪.‬‬
‫‪1,2,3,4,5,6‬‬
‫‪7=1+6=2+5=3+4‬‬
‫תוספת‪ :‬למלא את ריבוע ה"קסם" במספרים‪:‬‬
‫‪.1,2,3,4,5,6,7,8,9‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪8‬‬
‫‪ .6‬הוכח כי השטח הכהה בציור שלפניך‪,‬‬
‫שווה לחצי מהשטח של הריבוע השלם‪.‬‬
‫הפתרון כמו בתרגיל ‪4‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪9‬‬
‫‪.7‬בשתי פעולות החיבור שלפניך מייצגת לכל‬
‫אות ספרה שונה וידוע ש‪.A=8 -‬‬
‫‪A A A‬‬
‫‪A A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪+ D D D‬‬
‫‪B B‬‬
‫‪+ B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪E E‬‬
‫‪C C‬‬
‫‪C‬‬
‫‪I‬‬
‫‪F G H‬‬
‫‪I‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪H‬‬
‫‪F G‬‬
‫‪10‬‬
‫מהנתון‪:‬‬
‫‪B+C=D+E‬‬
‫‪A= 8‬‬
‫לכן‪:‬‬
‫‪8 8 8‬‬
‫‪8 8 8‬‬
‫‪+ 6 6 6‬‬
‫‪+ 7 7 7‬‬
‫‪5 5 5‬‬
‫‪4 4 4‬‬
‫‪2 1 0 9‬‬
‫‪2 1 0 9‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪11‬‬
‫‪.8‬בידי ארבעה אחים ‪ 45‬ש"ח‪.‬‬
‫אם הסכום שיש לראשון יגדל ב‪ 2-‬ש"ח‪ ,‬הסכום‬
‫של השני יקטן ב‪ 2-‬ש"ח‪ ,‬הסכום של השלישי‬
‫יגדל פי ‪ 2‬ושל הרביעי יקטן פי ‪ ,2‬יהיה בידי כל‬
‫אחד מהאחים סכום זהה‪.‬‬
‫כמה כסף היה לכל אחד מהאחים ?‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪12‬‬
‫דרך ‪:1‬‬
‫‪a + b + c + d = 45‬‬
‫‪a + 2 = b – 2 → b = a + 4 = 2c + 2‬‬
‫‪2c = d:2 → d = 4c‬‬
‫‪a + 2 = 2c → a = 2c – 2‬‬
‫↓‬
‫‪2c – 2 + 2c + 2 + c + 4c = 45‬‬
‫‪9c = 45, c = 5‬‬
‫תשובה‪a=8, b=12, c=5, d=20 :‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪13‬‬
‫דרך ‪(2‬תוספת)‪:‬‬
‫‪a + b + c + d = 45‬‬
‫‪a + 2 = b – 2 = 2c = d:2‬‬
‫↓‬
‫‪c + d = 5c‬‬
‫;‪a + b = 4c‬‬
‫‪a + b + c + d = 9c, 9c = 45, c=5‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪14‬‬
‫‪ .10‬בשעה ‪( 12:00‬בחצות הלילה ובצהריים)‬
‫מצלצל השעון ‪ 12‬פעמים‪.‬‬
‫בשעה אחת ‪ -‬פעם אחת‪ ,‬בשעה שתיים‪-‬‬
‫פעמיים וכן הלאה‪ .‬בנוסף לכך‪ ,‬מצלצל‬
‫השעון פעם אחת מדי חצי שעה‪.‬‬
‫כמה פעמים מצלצל השעון במשך יממה ?‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪15‬‬
‫=‪1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12‬‬
‫…‪= (1+12)+(2+11)+‬‬
‫=)‪=13∙6=78 +(6+7‬‬
‫‪ - 78‬פעמים בחצי היממה‬
‫‪ 156‬פעמים‬
‫‪78∙2=156‬‬
‫ביממה בחצאי השעות‬
‫‪ 24 12∙2=24‬פעמים‬
‫סה"כ‪:‬‬
‫‪156+24= 180‬‬
‫תשובה‪ :‬סה"כ ביממה ‪ 180‬פעמים‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪16‬‬
‫‪.14‬גזור את הצורות הבאות לארבעה חלקים‬
‫זהים‪ ,‬כך שבכל צורה תהיה נקודה אחת בלבד‪.‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪17‬‬
‫‪ 17.‬נתון‪:‬‬
‫‪a+b+c=7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  b b  c a  c 10‬‬
‫חשב את הערך של‪:‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ab bc ac‬‬
‫אם ידוע ש‪ a,b,c -‬הם מספרים טבעיים‪.‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪18‬‬
‫‪17.‬‬
‫‪7‬‬
‫‪14 21‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪10 20 30‬‬
‫‪c‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1 1 1‬‬
‫‪21‬‬
‫‪7‬‬
‫= ‪+ +‬‬
‫=‬
‫‪3 6 5‬‬
‫‪30 10‬‬
‫‪22‬‬
‫𝟕‬
‫‪=1‬‬
‫𝟓𝟏 ‪15‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫= ‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪+‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪+‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪19‬‬
‫‪20‬א) עליך לשנות את מקומם של ‪ 4‬גפרורים‪,‬‬
‫ולהקטין את מספר הריבועים מ‪ 4 -‬ל‪ ,3 -‬תוך‬
‫הקפדה על כך‪ ,‬שכל הריבועים יישארו זהים‪.‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪20‬‬
‫‪ 20‬ב) עליך לשנות את מקומם של ‪ 3‬גפרורים‪,‬‬
‫ולהקטין את מספר הריבועים מ‪ 4 -‬ל‪,3 -‬‬
‫תוך הקפדה על כך‪ ,‬שכל הריבועים יישארו זהים‪.‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪21‬‬
‫‪ .21‬נתון מלבן שאורכו גדול פי ‪ 2‬מרוחבו‪.‬‬
‫הפרד אותו כך ש‪:‬‬
‫א) יהיו ‪ 2‬חלקים‪ ,‬והרכב מהם משולש ישר זווית‪.‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪.21‬נתון מלבן שאורכו גדול פי ‪ 2‬מרוחבו‪.‬‬
‫הפרד אותו כך ש‪:‬‬
‫ב) יהיו ‪ 2‬חלקים‪ ,‬והרכב מהם משולש שווה שוקיים‪.‬‬
‫או‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪23‬‬
‫‪.21‬נתון מלבן שאורכו גדול פי ‪ 2‬מרוחבו‪.‬‬
‫הפרד אותו כך ש‪:‬‬
‫ג) יהיו ‪ 3‬חלקים‪ ,‬והרכב מהם ריבוע‪.‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪24‬‬
‫תוספת‪ :‬נתון ריבוע ‪. 5X5‬‬
‫עליך לגזור את הריבוע לארבעה חלקים (על קווי‬
‫הרשת) ולהרכיב מחלקים האלה שני ריבועים‬
‫חדשים‪ 2( .‬פתרונות )‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪25‬‬
‫‪.25‬השתמשו ב‪ 10 -‬גפרורים כדי ליצור שלושה‬
‫ריבועים המסודרים בשורה‪ ,‬כמוצג בציור‪.‬‬
‫מהו מספר הריבועים המסודרים בשורה‪ ,‬שניתן‬
‫לבנות בדרך זאת בעזרת ‪ 52‬גפרורים?‬
‫הסבר את הכלל והצג את דרך החישוב‪.‬‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪26‬‬
‫‪4, 7, 10, …, 52‬‬
‫‪52 – 4 = 48‬‬
‫‪48 :3 = 16‬‬
‫או‬
‫‪4 + 3(n – 1) = 52‬‬
‫תשובה‪ :‬במקום ‪17‬‬
‫תשובה‪ 17 :‬ריבועים‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪27‬‬
‫תודה על ההקשבה‪,‬‬
‫חופשה נעימה!!!‬
‫מופת השתלמות קיץ במתמטיקה תשע"ד‬
‫‪28‬‬