docמדריך למורה – ודמיון מצולעים משולשים דמיון מצלמים את משכן הכנסת
download 
Report Transcription
מדריך למורה – ודמיון מצולעים משולשים דמיון מצלמים את משכן הכנסת
–
,
,
רך
–1
.
"
ר
.
"
.
.
(
(
.
)2
"
?
"
.)1
) (:
/
) (,
.
.
,
,
-
.
,1
. " 6× " 3 :
. " 6 × " 1.5 :
. " 3× " 3 :
' - 242
" 5 × " 2.5 :
.
.
,
?
?
.
,
(.)2
2
?
.
–
()90°
?
.
?
–2
" "
"
,
.
/
,
".
.
.
,
.
(
.
" "
,
)
,
.
,
ץ
.
"
"
.
"
/
(
,
?
" ".
?
.
"
.
.
, ,
,
" "
.
"
",
).
,
.
324
" "
.
– 243 '
3
.
(
,
.)
...
3
.
ץ
.
.
. " 1
.
.
.
,
.
.
,
.
,
.
,AC
DF
.
.
3
244 '
.
,
3:
5
(
.)
.
,
:
?
.1
.248 '
325
,5
,
-
' 244
?
-
,
6
.
:
≅,
.
∼
.
.
,
-
,
.
,
-
ץ
.
4
' – 245
ק
4
.
.
,
:
.
.
" 8
,
" 4-
.
,
-
.
,
,
(
.)70°
.
326
.
,
6
-
246 '
.
247 - 246 '
ר
.1 246 'עמ
.
.) "
(
.
.
7
N
D
2.8
N
ΔARN ∼ ΔBPM
.
B
R
6
2
9
A
3
B
2.5
S
10
ΔNFD ∼ ΔSBP
10
7
2.5
5
4
F
.
M
5
9
P
A
B
6.3
-
P
ΔARN ∼ ΔBMP
3
S
A
.
K
4
2
10
6
3
Q
R
5
6
12
Y
4
N
V
C
ΔQVR ∼ ΔBDA,
3
T
8
F D
ΔANT ∼ ΔSKY
2
A
45
45
2
.2 246 'עמ
.
.
x
2
C
. "
F
4
4
B
45
D
.
45
2x
C
F, A
D, B
E
C
F, A
E, B
D
.
E
2
ק
.
ק
3
.
ΔACB ∼ ΔEFD
ר
ΔACB ∼ ΔFDE .
.
.k 2 .
.
.
ΔABC ∼ ΔGHK :
.3
.GH = " 9 , HK = " 12 ,AC = " 18 ,∡K = 40°
:
∡C = 40° ?
∡C = 40°
∡B = 40°
9
9
12
,
:
18
12
18
.
?
327
∡A = 40°
.
.
.
, "
.
.
.4 247 'עמ
.
.
.
w - r
3
5
6
2
.
4.5 7.5 9
3
.
w
6
9
y
x
4.5
5
3
x
z
r
y
10.3
9
4.5
2.5
y
z
3
x
1.5
y
z
7.5
.
. " 1
.
A
D
.5
.
.
A
G :ר
D
G, B
E
H, C
F
K
.
ΔGLO≅ΔDMZ≅ΔABC
M
L
Z
O
P
Y
X
W
)
( AB = DM = GL
)
( AC=DZ =GO
)
( BC =EZ=LO
. .
V
ΔGLO≅ΔDMZ≅ΔABC
A
ΔPHW ≅ΔMEY≅ΔABC :
B
E
H :
ΔXKV≅ΔYFZ≅ΔABC :
C
F
K :
328
D
G
247 'עמ
.
ABC - DEF .2
( " 1
( " 2
:ר
AB
)
DE
.)
.
ABC - GHK .3
( " 1
.)
:ר
AC
( " 3
.
3
1.5 .
2
:ר
AB
)
GH
?DF
.
GK
.DF
.
.
.
GK
?
.
.
?
–
– 248 '
5
.
:
5
.
טר
.
,
.
,
.
.1
:
.
.
-
.
.
329
.
.
. :
249 - 248 ’
ר
.6 248 'עמ
.
,
.
. "
.
.
P
x
T
.
L
30
Q
x
5
13.5
4.5
21
L
8
40
B
30
8
C
7
x
D
K
120
S
15
R
x
.
ΔBCD ∼ ΔLMK
40
. .
, ΔPTL ∼ ΔSQR
1=
.
.
.
-
-
–
.
(
-
.
.
-
.
,
.
-
.
.
.
60 .8 249 'עמ
.
10
G
H
.GH ll MK :
4
. "
.∡G = ∡M
20
10
M
.
–
.)
A
.7 249 'עמ
.
.
8
3=
M
.
.
.
HAG
25
K
.
KAM
,
.
ΔHAG ∼ ΔKAM
HAG
KAM ,
G
M, H
K
.
.
HA AG HG
8
4 10
0.4
KA AM KM
20 10 25
330
M
K
15
.MB ll KC ,MA ll KB :
11
8.25
) "
?
A
12
(
ΔKCB - ΔMBA
.
C
9
B
.9 249 'עמ
ΔKCB - ΔMBA
11.25
A
,
C MBA
M K
KBC,
,
1
15
12
11
K 1
3
11.25
9
8.25
249 '
.
–
,
.
,
.
4
3
2
ץ
1
,
8
7
6
.
5
ר
.
,
.
5
1
4
331
8
ט
...
..
.
7- 6
.
’ 251 – 250
-
,
,
.
:
,
ק
,
.
ק
' – 250
6
–
)
(
(
7
).
-
' ,251
.
6
.
-
,
.
.
,
.
.
,
.
7
' – 251קר:
ק
ר
7
.
ץ
.
.
-
.
6
,
,
7
7
,
6
,
.
332
-
,QS - QR
,
(
,
.)SR
A
"
E
.6
Q
:
B
.ΔSQR ∼ ΔSAB ∼ΔQDS ∼ΔREF
R
S
C
ΔQCD , ΔERF ,ΔABS
.
:
F
D
ר
:
.
ק
– ר
.252 - 251 '
.
.
,
.
"
"
.
"
.
,
.
.
333
"
.
ר
.
,
,
ר
x 20
5 25
1(
2( 7 21
x
3
3(
x 10
4 8
4( 72 36
x
15
5(
1
x
14 42
6( 84 12
x
:
10 x
8 10
7(
:
8( 6 5
18
21
; 4 )1
; 5 )3
; 3 )5
;12.5 )7
;1 )2
30 )4 ;126 )6
; 17.5 )8
x
253 - 252 ’
.
68
40
.
)
70
70
55
68
. .10 252 'עמ
,
)2(
)3(
)4(
55
50
20
40
65
70
15
25
)1(
115
70
70
?
ר
,
115
15
50
.
0
70 -
(. . .
334
)3(
. "
.11 253 'עמ
.
.
,
,
:
.
.
.
.
.
?
60
60
.
–
,
–
60
60
: ר
.180°
60
60
4
110
55
8
110
3
4
40
2
15
4
,
40
40
20
100
30
60
50
80
10
60
60
100
55
12
25
35
35
15
8
1.5
335
,
55
12
.
' 254
.
"
(
"
"
"
"
,
"),
,
.
.
עמ' 254
,
.12
,
(
).
ק?
?
ף
.
ר :
...
,180
.
,
ף
.
336
.
.13 254 'עמ
.
J
.
.
T
P
B
K
C
D
F
R
F
D
JF
JC
FC
BF BD
FD
PT
KD
TR
DF
PR
KF
.
66°
A
.
B
D
M
R
H
63°
32°
A
24°
D
85°
63°
G
L
C
AB
AM
BM
CD
CM
DM
AH
AG
GH
LR
LD
DR
R
.
.14 255 'עמ
,
T
.
ΔREK ∼ ΔLET
59°
59°
K
E
L
A
D
B
.
E
?
ΔACD ∼ ΔABE
C
337
ΔACD - ΔABE
.15 255 'עמ
A
:
E
ΔCEG - ΔBAG
?
.
?
.
ΔABG ∼ ΔHCG .
H
B
,
.
,
G
C
) "
(
.
ABC DEF :
.
30
6
4.5
B
D
A
D AC DF
B
E AB DE
C
F BC EF
.
E
9
.17 255 'עמ
.
A
C
.16 255 'עמ
-
.
B 80, D 30, F C 70
80
9
1.5 ?ABC
6
DEF
.
.
6.75 .
F
.ΔDEF
EF 4.5 1.5
:
ABC EFG
.
338
"
) "
. "
(
ABC DEC :
.
.18 256 'עמ
.
E
.
.
D
C
8
55
" 2.5 .EC
4
.
40
A
.
.
.
.
?ED
. " 3y
5
.
.
ED - AB
.
AB = 2y ; ED = y ?
B
.FA ll MR .
.
A
F
.19 256 'עמ
– FARM :
– E
.
.
ΔFEA ∼ ΔREM :
:
.
E
M
,
E
R
.MR =
.1:4
FA =
" 9 :
.
AM
" 36 .
.FA
.20 256 'עמ
.
a
x
60
.
.
40
x
a
40
,
15 60
15
a 10
P
O
.
R
.PL ll OB , MP ll EO
.
M
E
.21 256 'עמ
B , L , E , M
L
B
.
ΔMPL ∼ ΔEOB ,ΔMPL ∼ ΔERL ,ΔEOB ∼ ΔERL
?
.
.
3
.
ER RL EL
:
EO OB EB
339
.
,
.22 257 'עמ
:
.
.
A
T
.
.
H
B
O
40
G
D
B
R
A
.
Y
.
B
A
40
60
L
R
E
K
E
) "
(
.ABC ,DEF
.23 257 'עמ
A
F
.
ΔABC ∼ ΔFED .
2
48
5
4 B 70
D
62
62
ABC
.
" 2.5 .AC
.
?DE
.
.
E
A
2 1
.DEF
4 2
C
70
K
48
.DE
ץ
.
A1
–
–
3
24 257 'עמ
..24
K
ΔEDG - ΔABC
.
C
.BC IIDG ; AC II ED ; AB II GE :
.ΔEDG
B
C1
ΔABC
,
,
B1
.K
2
340
K -
A1 , B1, C1
"
KA = , KC = CC1 ,KB = BB1 ( A , B, C
.)AA1
:2
.ΔKBA ∼KB1A1 ,ΔKCA ∼ ΔKC1A1 ,ΔKBC ∼ KB1C1
.A1B1 = 2AB ,A1C1 = 2AC ,B1C1 = 2BC :
.
,
:
.AU ll HL -
ΔATU - ΔHTL
,
3
H
12
A
.25 258 'עמ
ΔHTL
,AU
.
ΔATU ∼ ΔHTL .
T
.TL - HL
6.4
.
TL = " 10 ,HL = " 8 .1.25
8
U
L
ΔABC
.DE ll AC :
A
.26
.
.
80
ΔBAC ∼ ΔBDE
6
.AC
.
AC = " 12 .3 :
D
?BC
4
3
B
258 'עמ
.
.
60
,
C
E
ר ק
.
,
.
.
.27 258 'עמ
:
.
.
1.8
,
.
2
(
0.5
,
1.8
,
:)
.
"
0.5
"
"
"
.
,
?
2
.
. -
:
.
1.8 0.5
h
h
2
341
" 7.2
ΔGBD - ΔABC
D
E
53
B
CDEF .28 259 'עמ
,
.∡B = 90° ,
G
-
∡GDB = ∡ACB = 53
A
:
∡FCE = 37
.
53
37
.
.
F
C
.
ΔEDC ∼ ΔABC ,ΔEFC ∼ ΔCBA ,ΔDBG ∼ ΔCBA ,ΔDBG ∼ ΔEFC :
.
' 7
.29 259 'עמ
. " 90
,
?
' 5
.
y
" 90
x .)?
' 5
' 7
:
(
.x
.
y
75
y 2.16
0.90
5
.30 259 'עמ
ץ
.' 20
.
.
A
" :ץ
.ץ
,' 1.5
."ץ
,ץ
.
?
D
' 1.5
' 28
E ' 2
B
.
C
.ץ
.
. טק
ץ
ץ
טר
ר
.
342
ט
-x :
x
1.5
x = ' 22.5
30
2
30 – 29
ר
ר
ר
D
.
.31 260 'עמ
.
' 500
.
.
.
B
' 1.62
-
C
' 3
A
' 500
.
E
.x :
1.62
3
x 270
x
500
A
.32 260 'עמ
.
E
.
B
C
G
.∡G = ∡B -
.
.∡A = ∡E -
.
?
F
A
E
.
B
C
G
F
?
,∡A = ∡G -
?
.
.
A
17 40
.
.33 260 'עמ
.
43
-
ΔABC
.
D
' 4
' 9
.
C
B
E
CE - ,AE ,DB ,AD
-
.
.
ΔDAB ∼ ΔAEC .
.
.
,
,
-
.
x -
DB AB
4 x
x2 36 x ' 6
AC EC
x 9
343
.
A
,BC
ΔABC
– AZ :
.AC
- BY
.
Y
M
261 'עמ
.
ΔAMY ∼ ΔBMZ ,ΔAZC ∼ ΔAYM ,ΔBYC ∼ ΔBZM
.
B
!
C
Z
."
.34
.
AM MY AY
,
BM MZ BZ
,
.
"
.
34
.35 261 'עמ
:
R
.)∡R = 90(
L
-
ΔPRQ
.
M
KLMS
.
.
.
.
30
K
S
ΔPKL ∼ ΔLRM ∼ ΔMSQ ∼ ΔPRQ
.
.
,
?
.
" 6
!
.PQ
PK KL
10.4
6
SQ 3.46
MS SQ
6
SQ
.
PQ = 10.4 + 6 + 3.46 = " 19.86
.GHK
DEF
.DEF
ABC
.36 261 'עמ
?GHK - ABC
ΔABC ∼ ΔGHK .
261 '
–
.
.
.
,
.
.
?
.
?
.
,
.
,
.
.
.
.7
?
?
?
.
.
?
.
-
.
?
–
.
.
,
,
344
.
–
ט
10 ,9 ,8
.
,
16
).
(16
.
.
,
' 262
-
:
-
,
-
.
.
,
.
.
ץ
:
-
-
,
-
ר
רך
.
:
10 - 8
–
רך :
-
,
-
-
רך :
(
,
).
,
-
-
,
.
-
:
2
4
3
9
4
16
.
3-
,
.
.
,
.
,
רך :
.
345
8-10
:
9
8
,
4
16
10
.
.
)
8
' – 262
ר
ך
,
9
10 - 9
ץ
(
"
"
4-
,
.
קט
?8
.
,
–(2
)
–(4
).
,
.180
.
,
.
ר
ר
:
,
.
.
.
:
.
,
.
.
8
:
,
.
,
,
-
,
.
346
?רט ט
:
)
(
,
,
6 :
10 "
.)
4
.
(
.ΔADF ∼ ΔABC :
:8
.4 :
.2 :
– 263
.
8
5
-
'
9
קט
9-
.
9
.
9-
:8
ΔADF
.8
.9
.9
ΔADF
ΔAGL
3
.
:
4
2
8
9
3
9
16
4
10
.
.
– 263 '
.
16 -
10
10
.
2
8
.)
2-
.
(2
9
,
.9
2-
(
.4
9
.
.)5 -
347
2
,6 -
,264 '
10 - 8
.
9
,
ΔADF
8
ΔAGL
.9
.)
9
-
2
3
(
ΔADF
4.ΔAGL
4
.
9
2
4
2
.
:
3
9
.
:9
.ΔAGL ∼ ΔABC
.9 :
3 :
6
. :10
. .ΔAXY
. 4:
.
. 16 :
ק
–
– 264 '
.
ק
11
.
a, -
11
9–8
.
,
.
b, c
.
10 – 8
:
.
:
ק
קף
ΔAXY
.10
a+b+c
ΔABC
PΔADF
2
PΔABC
ΔADF
2
ΔABC
2a+2b+2c = 2(a+b+c)
ΔADF
PΔAGL
3
PΔABC
ΔAGL
3
ΔABC
3a+3b+3c = 3(a+b+c)
ΔAGL
PΔAXY
4
PΔABC
ΔADF
4
ΔABC
4a+4b+4c = 4(a+b+c)
ΔAXY
348
:
?k
:
3
.
2
.2
3.
2.
:11
ר
265 'עמ
:
,
.
,
ΔABC
,
:
,)
( AB
.
270 – 266
.
-
,
.
,
.
"
38 - 37
270 - 266 ’
S
.
7
B
50
C
35
–
.37 266 'עמ
.
–
?
.
.
ΔTSR ∼ ΔABC
21
T
ר
A
. "
95
90
ΔSTR
.
?ΔBAC
SBAC = "
35
R
349
10
. "
.
.38 266 'עמ
.
M
ΔPQR ∼ ΔKML .
3
P
.
ΔKML
.
?ΔPQR
2.25
50
K
2
40
. " 5
L
R
Q
SPQR =
.
ML
ΔPQR
.
7.5
2.25
"
3
35
1
, SKML
= "
2
3
1
QR 3 , SPQR
3
7.5 :
1
3 = 31 :
2
3
23
.39 266 'עמ
.
P
.PT = PL ;SR = SQ
120
T
. "
8
.
Q
4
ΔQSR ∼ ΔTPL .
L
30
. "
R
S
"
.
7
28 .
-
?
.
ΔQSR
.
?ΔTPL
10 - 9 ,8
.40 266 'עמ
:
,
.
,
-
?
-
.
.
DE
"
A
ΔABC
.41 267 'עמ
.DE ⊥ AC -
6
ΔCDE - ΔABC
.
.
D
4
.
.4
B
E
5
C
350
ט
.
"
N
9
R 3
.
.
A
.
2
9
3
4 16 .
ץ
C
9
.SΔKPG =
4
P
.42 267 'עמ
ΔCRF - ΔCAN
,
.
. FR ⊥ AC -
5
C
ΔCAN
FR
F
F
.ΔCBF
B
6
.ΔKPG
15
.
PG = "
"
K
G
.43 267 'עמ
" 10 :
6
2
,GK = " 10
3
3.6 .SΔCBF
.
.
.1.4 :
ΔHAT
ΔRED
.SΔHAT =
"
R
.
?ΔRED - ΔHAT
.
E
H
5
.44 267 'עמ
15 :
RE = " 7 ,HA = " 7
9.8
A
-
.
RD
"
T
D
351
TA .
29.4 .ΔEDR
.
.
"
.ΔKOS -
.45 268 'עמ
ΔCUP
1.25 .
C
. " 36 :
O
" 45 .
.
ΔKOS
.
?ΔCUP
.
.
OS = " 10.4 ,OK = " 12 ,CU = " 15
17
U
.ΔKOS
K
13.6
13
.SΔCUP = "
S
102 .
SΔKOS = "
65.28
.
P
D
.46 268 'עמ
. " 34
ΔMRG
. " 68
ΔDAG
.MR ll DA
ΔDAG
.MR = " 8.5 ,GE = " 12 :
M
G
E
.
R
.
.ΔDAG
SΔDAG = "
A
E
204 ,SΔMRG = "
. " 84
K
N
28
51
ΔRAZ ∼ ΔBEN :
.
A
33.6
.
ΔRAZ
" 70 .ΔBEN
.
.ZK = " 18 :
.ΔBEN
R
Z
SΔBEN = "
B
352
.47 268 'עמ
210 ,SΔRAZ = "
302.4
.
268 '
-
.ΔAXY , ΔAGL , ΔADF , ΔABC :10 ,9 ,8
?ΔAXY -
.
?
:
.
ר
10 – 8
--
1
3
4
5
9
7
16
:
.
2-
.
1) 1=1
-
.
2) 1+3=4
.
3) 1+3+5=9
,
,
-
.
-
4) 1+3+5+7+9=25
1 3 5 ... 2n 1 n2 :
5) 1+3+5+7+9+11=36
B
,DF ,AD
D
.DF ll BC
7.4
ΔADF
.48 269 'עמ
. "
A
BC
ΔADF ∼ ΔABC .
8
12
.
" 11.1
.ΔABC
.AB
.
.SΔADF = "
29 :
.SΔABC = "
65.25
F
.
F
C
.49 269 'עמ
.DEF ∼ ABC
A
.FE
D
15
H
B
DH .BC
. "
6
G
10
ΔDEF
.
1.5 .ΔABC -
C
2.25 ?
"
E
AG
" 9.
.
.
67.5 .ΔDEF
.
.DH
.
,
353
. " 1
.
.50 269 'עמ
.
.
.
.
A
G, B
E
H, C
F
K
ΔDEF ∼ ΔABC .2
.
ΔGHF ∼ ΔABC .3
.
2
.
3
.SΔHGK = "
.
D
9 ,SΔEDF = "
?DF
4 ,SΔABC = "
S
S
SΔGHK 9
S
, ΔGHK 9 , ΔDEF 4 . ΔGHK
SΔABC
SΔDEF
4
SΔABC
S ΔDEF
,
.
GK
1.
.
S ΔGHK
S
, ΔDEF :
S ΔABC
S ΔABC
.
A
D
G
B
C
E
F
K
H
.
,
:
( "
ΔABC
0.5
" "
. "
.
,
1
,
. "
ΔABC
1
,)
.ΔGHK
-
.)ΔDEF
. "
(
9
, "
A
D
G
B
C
E
F
K
H
354
4.5
.C
.
ΔECD - ΔABC
-
D
. "
6
12
A
.51 270 'עמ
BD - AE
.
.
BC 1
?
CD 2
E
C
.BC = " 4 ,CD = " 8 .CD -
3
B
. "
.4
.
BC
5 ?AC
?ΔABC
.
.CE = " 10 :
ΔEDC
.
.
.
D
.5
A
M
G
T
.52 270 'עמ
ΔDGM - ΔATR
,
.5
?ΔDGM
ΔATR
.
.25
?ΔDGM
ΔATR
.
R
ר
-
.
ק
- 270 '
12
-
טר
:
.
ץ
להחליף לכידה בגלל טעות הקלדה
,
.
.
.
.
.
-
,
"
.)
ΔBHC(
"
.
.
-
.)
-
,
,
(
355
.
' – 271
13
ר-
ר
-
,
12
.13
.
,
.
,
13
,
(
).
,
.
עמ' 272
ר
.
,
.
,
)14
(
.
–
.
356
273 ’
.ΔKLM
ר
.53 273 'עמ
-
L
L
.AK
– PM
.PK = " 25 ,LP = " 9
:
M
P
.
.PM
.LM
.
.KM
.
.
K
Q
13
T
.ΔQSR
-
ST .54 273 'עמ
QR
5
. "
.ST - RT ,QT :
x
ר
.
R
12
S
.
ר
ר
,
ר
.
. ר
ט
ר
רך
.
:ΔSTQ ∼ ΔSQR
..
STQ
Q
SR ST
12 4.615
QT 1.923
QS QT
5
QT
;
: רך
QSR 900
QR SQ
13
5
5 12
ST
4.615 :
SR ST
12 ST
13
RT QR QT 13 1.923 11.077 ,
:ΔSTR ∼ ΔSQR
..
R
STR
: רך
QSR 900
SR RT
12
RT
QR RS
13 12
12 5
RT 11.076 ;
ST
4.615 :
QS ST
5
4.615
QS ST
5 ST
13
QT QR TR 13 11.076 1.924 ,
.
ט
SQ SR 5 12
30 :
2
2
357
ST
ΔSQR
רך
: רך
:ST
ΔSQR
ST QR
ST 13
30
30 ST 13 60 ST 4.615
2
2
.
,
RT ,QT :
-
-ר
-
.DB - AD :
ר
– 273 '
-ר
ר
– 14
.)∡C = 90°( ΔABC
,CD
14
-
A
ק
ΔADC ∼ ΔCDB :
32
.
:
AD
D
18
1
8
8
.
=
=
.DB - AD
CD –
.
B
C
.)
( BD = " 18
AD = " 32 :
.
.
ק
A
ΔABC ∼ ΔACD :
.
:
.
50
AB
40
=
=
D
. AB CD = AC CB
C
( AC = " 40 AC = " 40 AB = " 50 :
.
.)
B
30
.
.
-
:
. CD AD BD :
.
.
-
:
:
: ר
.
358
.
ר
263 '
M
.
ר
MR ..55
55 274 'עמ
,
,MK - ML ,
10
,
.
24
KL .90
.
L
.
K
R
26
.
10
26
MR = " 9.23 :
MR 24
: רך
:ΔMLK
: רך
10 24
MR LK
MR 26
120
120
120 MR 9.23
2
2
2
.RK - RL
,
R–
.
RK = " 22.15 ,RL = " 3.85
.
A
56
.
B
..56
56 274 'עמ
.
,
,
ABCD
,
10
6
.
.
.
?
8
D
C
?
. . .
A
B
:
– ∡BAC = ∡DCA(
,
∡ABE = ∡DFC ,
x
F
10
.
–DC =AB
)
-
6
10-x E
D
8
.
.FC = 10 – x ,AF = x :
.ADC ~ DFC
AD DC AC
6
8
10
DF FC DC
DF 10 x
8
10 10 x 64 x 3.6 ; 10 x 6.4
C
DF 3.6 6.4 4.8
, "
30.72
, "
3.6 4.8
8.64
2
6.4 4.8
15.36
2
. " 17.28
. "
359
.B
.
). "
.47
.57 274 'עמ
( .
,
A
).
,B
(
.
8
P
Q
.
6.4
.
,Q
.
,Q
?
B
R
C
10
,
ק
רך
.
ר
ABC - APQ
)BR ך קט
APQ ~ :
∡BACPQ II BR ,
BC
,
( APQ
)
ק
a-
( PQ II BC
PBR ,
( PQA
)
QCR
:
,ABC
AP PQ
8a a
10(8 a) 8a a 4.44
AB BC
8
10
4.44 4
AQ PQ
b
4.44
4.44 6.4
b
2.84 :
AC BC
6.4
10
10
ק
" ק17.77 :
.AQ
רך
רך
. " ק10.84 = 2.84 + 10 :
. " ק13.56 = 3.56 + 10 :
רק
360
, 6.4 b 6.4 2.84
b,
" 3.56
275 '
.
רק
ף
ר
,
28
,ץ
.58 275 'עמ
7
.
?
.
2.5
ץ
h
28
h = ' 10
2.5
7
-
.59 275 'עמ
.
.
.
-
1.6
2
.
. " 80
h = ' 1.44 ?
.
.
.60 275 'עמ
7
3
ץ
3
.ץ
7
.
' 10.5 ?
.
4.5 ץ
.
A
8
.61 275 'עמ
10
14
∡ADE = ∡ACB = x . "
12
D x
.
E
.
ΔADE ∼ ΔACB
b
B
x
a
,BC
,
.
C
.EC
8
12
2
2
12 b 14 b 2
12 b 22
3
3
10 12
1
a 18
a
22
3
?
.62
.
.
,
2-
.
,
.
-
361
,
,
.63 275 'עמ
.2 : 5
?
. " 30
.
?
.
?
.
,
– 276 '
15
,
.
:
.
.
,
18
,
.
,
,
,
.
.
"
,
"
.
.
.
.
,
:ק
ר
.
http://highmath.haifa.ac.il/index.php?option=com_content&task=view&id=2679
:
ר
.
http://highmath.haifa.ac.il/index.php?option=com_content&task=view&id =1948
.
.
,
.
.
,
362
– קר
ט
"
.1
.2
.3
.4
.
.
.
?
?
.
.
?
?
.5
.6
.6
.5
?
.
.
?
?
?
.
.9
1
4
3
2
2
4
6
363
8
279 - 277 ’
5
.) "
2
(
ר
,
.
3
5
.64 277 'עמ
10
4
7.5
12.5
2.5
6
2.5
1
3
4
.
.
?
-
.
–
?
.
?
?
. "
90
. "
.
.
.
.65 277 'עמ
.
.
,
.
"
"
3
2
1.5
2
1.5
0.75
1
0.5
0
90 .
, .
a
b
.66 278 'עמ
?
,b
a
,b
a
. ?
b2 -
2
a
.
364
a2
a
2
b
b
2
8
A
. "
B
.67 278 'עמ
ABCD
KLMN
3
.KLMN
. "
.
D
12
?
C
,3/8
" 12
,8/3
" 12
. " 32
. " 4.5
" 12
:
. " 32
" 12
:
:
. " 4.5
.
,
.68 278 'עמ
.
.
.
.
,
. " 1
.
-
69
. "
.
.69 278 'עמ
.
.
D
,
.
x
E
x
5.4
A
.
2.7
y
5
y
4
H
3
3
Q
x
2.7
2.5
y
T
1.5
B
5
C
F
2.5
G
365
R
2.5
S
70
A
B
,ABCD
.
. "
12
.70
.70 279 'עמ
AB
,
.ABCD
?BC
D
. " 18
C
.AB
AB
, " 7.5
BC
,BC
.
,
.
,
.
.
AB
?
,
,BC
.
AB
?
?
,
.
A
3
3
3
3
?
.BC
B
.x -
" 12
.x -
,ABCD
x
ABCD
x-
,ABCD ,
" 3
, " 12
,AB
,
,
BC
BC
.
D
. " 6
,)
(
.ABCD
. " 9
BC
,
,
:
,2
. " 18
,
" 3
12 x
x2 36 x 6 :
x 3
C
.2
: ר
.)
,
,
.
(
,
BC
AB
2
. " 12
.
366
.71
.71 279 'עמ
.
-
.
.72 279 'עמ
).
A
.
G
2.5
(
GF - AH ,ED
,
10.7
E
)C ,F ,H ,D ,B
7.5
.' 7 -
2.5
B
(
x
1 D
H
C
F
?
11.8
2.5
1
DH ' 2
5
DH
11.8 10.7
CFG :
FC " 6.8
7.5
FC
BAH
CAB
BED :
,
.)
,
(
,
.
.
.
-
ט
,
ר
,
.
.
.
(
,
.)
,
.
.
ט
.
:
ר
(
.
.)
.
367
280 'עמ
248 ’
5
ף
?ק ר
.
"
–
"
"
.
B
F
E
P
S
H
A
C
E
G
K
Δ______ ∼ Δ_______
D
Δ_______ ≅Δ_______
:
:
:
:
:
:
?
.
?
.
?
.
?
.
?
368
.
250 ’
.רך
6
קר-
ףק
ר
–6
. " 1
.
ΔQSR
C
A
D
B
S
Q
R
. ΔCSD - ΔASB
ΔQSR
SR - SQ
.
.ΔASB - ΔQSR :
.ΔASB
.
ΔQSR
)1
.
? ΔQSR
ΔASB
.
AB
___
QR
)2
SB
___
SR
,
.
?
SA
___
SQ
,
:
ΔASB - ΔQSR
)3
.ΔASB - ΔQSR :
.
?ΔCSD
.
ΔQSR
? ΔQSR
)1
ΔCSD
.
CD
___
QR
,
.
369
)2
SD
___
SR
?
,
CS
___
SQ
ΔCSD - ΔQSR
:
)3
251 ’
.
7
קר-
ףק
ר
-7
.∆QRS
,
.
.
,
?∆QRS
.
.
.
?∆QRS
.
.
,
.
?
.
?
.
.
6
S
Q
R
370
ף11
ר
’ ,253
12
(
ק?
?
ף
371
’ 254
,
):
8
-ף
372
’ 262
משפט פיתגורס
במהלך פרק זה התלמידים יכירו את משפט פיתגורס ואת יישומיו בשני גופים מרחביים :תיבה וגליל .כמו כן ,התלמידים יכירו
משפט חפיפה :אם יתר ואחד הניצבים במשולש ישר-זווית אחד ,שווים ליתר ולניצב במשולש ישר-זווית שני ,אז המשולשים
חופפים .הפרק עשיר בתרגילים ומאפשר בחירה רבה .אין צורך לפתור את כל התרגילים.
משפט פיתגורס הוא אחד המשפטים היפים והמפורסמים ביותר בגאומטריה .אומנם המשפט עוסק במצולעים מוכרים לתלמידים:
משולש ישר-זווית וריבועים ,אך הקשרים ביניהם ,כפי שהם באים לידי ביטוי במשפט פיתגורס אינם מובנים מאליהם ומפתיעים.
הפרק בנוי באופן שמאפשר לתלמידים לחוות את ההפתעה ולהתנסות בתהליך הגילוי של משפט פיתגורס :תחילה במשמעותו
הגאומטרית כקשר בין שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים ועל היתר של משולש ישר-זווית ובהמשך במשמעותו האלגברית,
כקשר בין אורכי הניצבים והיתר במשולש ישר-זווית .להלן תמצית הפעילויות:
פעילויות 1ו :2 -מרובע חסום בתוך ריבוע :לומדים להסביר מדוע המרובע הוא ריבוע (במקרים בהם זה אכן כך) ומכירים גם
מצבים בהם המרובע איננו בהכרח ריבוע .בפעילות 2לומדים לחשב את שטחו של הריבוע .שתי פעילויות אלו הן פעילויות
מקדימות אשר יכולות להפחית מהעומס הלימודי בעת הצגת פעילויות 3ו.4 -
פעילות :3על סריג משבצות מסורטט משולש ישר-זווית שעל צלעותיו בנויים ריבועים .על פי חקירה של מספר מקרים מגלים
שסכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח של ריבוע הבנוי על היתר .הגילוי נעשה באופן אמפירי.
פעילות :4הצדקה של משפט פיתגורס :בתוך שני ריבועים זהים "מניחים" 4משולשים ישרי-זווית חופפים בשתי צורות שונות
ומתבוננים בשטח הנותר .במקרה האחד – שטח זה הוא שטח של ריבוע הבנוי על היתר ,ובמקרה אחר זהו שטח של שני
ריבועיים הבנויים על הניצבים .משוויון השטחים בשני המקרים ניתן להסיק את משפט פיתגורס.
כעת נפרט על כל אחת מהפעילויות.
פעילות 1עמ' – 281מרובע מיוחד בתוך ריבוע
לפעילות זו יישומון באתר
משולש.
נתון ריבוע ובתוכו חסום מרובע (כחול).
כל הקטעים האדומים שווים באורכם וכל הקטעים הירוקים
שווים באורכם .מטרת הפעילות היא לחקור את תכונות
המרובע הפנימי ולהגיע למסקנה שמרובע זה הוא ריבוע.
בחלק הראשון של הפעילות התלמידים חוקרים את אורכי
הצלעות של המרובע ומגיעים למסקנה שהם שווים זה לזה.
מסקנה זו נובעת מחפיפה של ארבעת המשולשים ישרי-
זווית הנמצאים "בפינות" הריבוע.
אורך היתר של כל משולש הוא אורך הצלע של המרובע
הפנימי.
בחלקה השני של הפעילות התלמידים חוקרים את זוויות
המרובע הפנימי .סכום הזווית האדומה והזווית הירוקה שווה
ל 90° -כסכום הזוויות החדות במשולש ישר-זווית .נשתמש
בחפיפה של ארבעת המשולשים כדי לסמן את שאר הזוויות
השוות זו לזו ונתמקד בזוויות סביב אחד הקדקודים (סרטוט
ב).
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
373
כיתה ח ,חלק ד'
סכום הזוויות ,הזווית האדומה ,הזווית הצהובה והזווית הירוקה הוא ( 180°השלמה לזווית שטוחה) .מכאן ניתן להסיק שמידת
הזוויות הצהובה היא 90°ולמעשה כל זוויות המרובע הכחול הן ישרות .קיבלנו שבמרובע הכחול כל הזוויות שוות ( )90°וכל
הצלעות שוות ולכן מרובע זה הוא ריבוע.
סעיף ה של הפעילות נועד לחדד את הנקודה שהמקרה שחקרנו הוא מיוחד ולא כל מרובע שחסום בתוך ריבוע הוא ריבוע .על
אף הדמיון בין שלושת המקרים א ,ב ,ג רק במקרה ב המרובע הפנימי שמתקבל הוא ריבוע.
פעילות 2עמ' – 282איך מחשבים שטח של מרובע בתוך ריבוע?
גם בפעילות זו נתון מרובע בתוך ריבוע .התלמידים
מתבקשים לנמק מדוע המרובע הוא ריבוע על פי הנתונים
שבסרטוט .המוקד של הפעילות הוא חישוב שטח הריבוע
הפנימי ,על ידי החסרת שטחם של ארבעת המשולשים
הישרי-זווית והחופפים ,משטח הריבוע החיצוני.
התלמידים מכירים שיטת חישוב שטחים זו מלימודי
גאומטריה קודמים (בכיתה ז) ,ולכן פעילות זו היא בגדר
תזכורת עבורם.
בסעיפים ד ו -ה חוזרים על החישוב של שטח הריבוע
עבור שני מקרים נוספים (מידות אחרות) .ניתן לחלק את
התלמידים לקבוצות ולבקש מכל קבוצה לבצע מקרה שונה
או להשתמש בסעיפים אלו כתרגול חוזר.
פעילויות 1ו 2 -מהוות הכנה לקראת פעילויות 3ו ,4 -לכן
מומלץ לבצע את שתיהן .סיכום הפעילויות מופיע בעמוד
נפרד ,לכן ניתן לבצע את שתי הפעילויות עם ספר פתוח.
בפעילויות 1ו 2 -יצאנו מריבוע ,חילקנו את צלעותיו כך
שבפינות הריבוע נוצרו ארבע משולשים ישרי-זווית חופפים זה לזה .ראינו ,שבאופן זה מתקבל מרובע פנימי שהוא ריבוע וניתן
לחשב את שטחו על ידי חיסור סכום שטחי ארבעת המשולשים הישרי-זווית משטח הריבוע החיצוני.
תרגילים 4ו 5 -בעמ’ 289 - 288מתאימים לפעילויות 1ו.2 -
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
374
כיתה ח ,חלק ד'
פעילות 3עמ' – 283משולש ישר-זווית וריבועים הבנויים על צלעותיו
מטרת הפעילות היא לגלות את משפט פיתגורס :סכום
לפעילות זו יישומון באתר
משולש.
שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים שווה לשטח הריבוע
הבנוי על היתר .התלמידים מגלים את משפט כהכללה
בעקבות חקירה של מקרים פרטיים.
בתחילת הפעילות התלמידים רואים סרטוט של מרובע
בתוך ריבוע ,הדומה למה שראו בפעילויות 1ו ,2 -כשהוא
מסורטט על סריג של משבצות.
להחליף היו תיקונים
בסעיף א התלמידים מתבקשים למצוא את שטח הריבוע
הכחול בדרכים שונות .ניתן להשתמש בשיטת החסרת
השטחים אותה יישמו בפעילויות 1ו ,2 -אולם ניתן גם
להשתמש במשבצות הסריג לשם כך.
בסעיף ב אנחנו משנים את נקודת המבט ומתמקדים
באחד המשולשים ישרי-זווית המקיפים את הריבוע
הפנימי .הריבוע הכחול בנוי על היתר של משולש ישר-
זווית .אורך צלע הריבוע הוא אורך היתר במשולש.
מרחיבים את הסריג ובונים ריבועים גם על הניצבים של
המשולש הישר-זווית.
מומלץ להבהיר לתלמידים מה המשמעות של המושג
"ריבוע בנוי על צלע של משולש".
בסעיפים ג – ד התלמידים חוקרים שלושה מקרים של
משולשים ישרי-זווית ומתבקשים למצוא את השטחים של
הריבועים הבנויים על הניצבים ועל היתר בכל אחד
מהמקרים .את תוצאות החקירה מסכמים בטבלה .מומלץ
לבקש מהתלמידים להציע מקרה אחד נוסף משלהם.
מומלץ לבצע פעילות זו על פי דף עבודה המיועד לכך באתר הספר .בנוסף ,ניתן להיעזר ביישומון משפט פיתגורס – פעילות ,3
אשר מאפשר לשנות את ממדי המשולש הישר-זווית וממחיש את התעדכנות שטחי הריבועים בהתאם .היישומון מאפשר לגלות
מקרים נוספים ומחזק את תחושת הכלליות כי החוקיות נשמרת תמיד.
שטח הריבוע הבנוי על ניצב אחד
-הריבוע הירוק (בסמ"ר)
שטח הריבוע הבנוי על ניצב שני –
הריבוע האדום (בסמ"ר)
שטח הריבוע הבנוי על היתר –
הריבוע הכחול (בסמ"ר)
סרטוט ג
4
1
5
סרטוט ד
9
4
13
סרטוט ה
25
4
29
סרטוט שלכם
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
375
כיתה ח ,חלק ד'
סיכום הפעילות מופיע בעמ’ 284ומציין שמסקנות החקירה
אינן מקריות אלא נובעות ממשפט פיתגורס :במשולש ישר-
זווית שטח הריבוע הבנוי על היתר שווה לסכום שטחי
הריבועים הבנויים על הניצבים שלו .או בצורתו
האלגברית:
2
2
2
.a +b = c
חשוב לשים לב לכך שנכונות המשפט אינה נובעת
מהחקירה האמפירית שבצענו ,אלא התוצאות האמפיריות
התקבלו כפי שהן בגלל שהן מקרה פרטי של משפט
פיתגורס .למשפט זה יש הוכחות רבות ואחת מהן מופיעה
בפעילות 4עמ’ .285
פעילות 3מתאימה לכלל התלמידים ,אך במיוחד לתלמידים
ברמה נמוכה שזקוקים להדרגתיות בתהליך הלמידה.
תלמידים ברמה גבוהה יכולים לעבור לפעילות 4ישירות
ללא פעילות .3
להחליף סדר
פעילות 4עמ' – 285נרצף ריבוע במשולשים
ישרי-זווית
פעילות 4בנויה בצורה כזאת שתלמידים שלא בצעו את
פעילות 3וטרם הגיעו לניסוח של משפט פיתגורס יכולים,
בעקבות חקירה אמפירית ,לגלות את המשפט מתוך פעילות
4ישירות.
בתחילת הפעילות בונים ארבע משולשים ישרי-זווית
חופפים זה לזה ,שאורכי הניצבים שלהם הם 3ס"מ
ו 7 -ס"מ וריבוע שאורך צלעו 10ס"מ ,כסכום אורכי
הניצבים של המשולש הישר-זווית .בתוך ריבוע זה "מניחים"
את ארבעת המשולשים הישרי-זווית בשתי דרכים שונות,
כמתואר בסרטוטים א ו -ב .הערה :הסרטוטים נועדו להציג
שני סידורים שונים של משולשים בתוך אותו הריבוע.
בחירת צבעי המשולשים נועדה לעזור לתלמידים לראות את
מיקומם בשני הסרטוטים השונים .בסרטוט א ו-ב
המשולשים מונחים באותו מצג ,אך "הוזזו" למקומות שונים
להחליף לכידה
בריבוע ,כך שהם יוצרים "מבנים" שונים .ניתן להיעזר
במצגת הדגמה הנמצאת באתר ,בה יש אנימציה הממחישה
את המעבר מסידור א לסידור ב.
החלק הלבן בסרטוט א הוא ריבוע (על סמך מה שגילינו
בפעילות ,)1שאורך צלעו שווה לאורך היתר במשולש
הישר-זווית ושטחו 58סמ"ר (כפי שלמדנו לחשב בפעילות
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
376
כיתה ח ,חלק ד'
.)2החלק הלבן בסרטוט ב הוא שני ריבועים :ריבוע
אחד ,אורך צלעו כאורך אחד הנצבים (במקרה זה3 :
ס"מ) וריבוע שני ,אורך צלעו הוא כאורך הניצב השני
(במקרה זה 7 :ס"מ).
למעשה אין צורך לחשב את השטחים של הריבועים
הלבנים ,כי מיד רואים שבשני המקרים ,המשולשים
תופסים את אותו שטח מתוך הריבוע החיצוני הגדול,
ולכן שטח הריבוע ,שנותר בסרטוט א ,שווה בשטחו
לסכום שטחי הריבועים הלבנים שבסרטוט ב.
לצורך המחשה ניתן להשתמש במספר עזרים:
)1מצגת "משפט פיתגורס -הצדקה מתמטית" באתר הספר .מצגת זו מכילה אנימציה המראה באופן דינאמי את שתי דרכי
הארגון של המשולשים הישרי-זווית הצבעוניים בתוך ריבוע גדול.
)2מומלץ להכין ערכת שקפים הכוללת ריבוע גדול וארבעה משולשים ישרי-זווית ,על פי דפי גזירה המצורפים למדריך .ערכה זו
יכולה לשמש להמחשה בעת הוראת המשפט בכיתה .היתרון של שקפים במקרה זה ,הוא היכולת לסדר את המשולשים באופן
פיסי בתוך הריבוע בשתי דרכים שונות.
)3ניתן לתת לתלמידים להתנסות בעצמ ם בסידור המשולשים .לשם כך אפשר לחלק את הכיתה לקבוצות ולהכין ערכה לכל
קבוצה (בעזרת דפי גזירה).
כל מורה מוזמן לבחור באחד מסוגי העזרים או לשלב ביניהם.
בסעיפים א – ז של הפעילות ,התלמידים מגלים את שוויון השטחים של הריבועים הלבנים .לתלמידים שהתנסו בפעילות 3אפשר,
בשלב זה ,להציג שאלה :כיצד מה שעשינו בפעילות 4עד כה מצדיק באופן מתמטי את משפט פיתגורס? עבור תלמידים שלא
התנסו בפעילות ,3פעילות 4מספקת הזדמנות לגלות את משפט פיתגורס תוך כדי חשיפה לרעיון ההוכחה שלו .כלומר ,גם
לגלות את המשפט עצמו וגם להבין מדוע המשפט נכון.
הדוגמה הפרטית של משולש שניצביו 3ס"מ ו 7 -ס"מ מהווה דוגמה ג'נרית שניתנת להכללה מידית ,המופיעה מיד אחרי
הפעילות.
סעיף ח של הפעילות מסייע בקישור בין תהליך ארגון המשולשים שבוצע בשתי דרכים שונות לבין משפט פיתגורס .בסעיף זה
מוצג סרטוט שבו שני הריבועים מונחים חלקית אחד על השני באופן שמאפשר לראות את הריבועים הלבנים כבנויים על היתר ועל
הניצבים של המשולש הישר-זווית (הירוק) .התהליך שבצענו בסעיפים הקודמים מוביל למסקנה שסכום שטחי הריבועים הבנויים
על הניצבים של המשולש הישר-זווית שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר – משפט פיתגורס.
חשוב לחדד שנכונותו של משפט פיתגורס אינה נובעת מבדיקה של מקרים פרטיים אלא מתהליך ההנמקה שבצענו בפעילות .5
סעיף ח .3.של פעילות 5מדגיש זאת במפורש.
סעיף זה מציב שאלה למחשבה :האם היינו זקוקים לאורכי הצלעות על מנת להסיק את הקשר בין סכום שטחי הריבועים הבנויים
על הניצבים לבין שטח הריבוע הבנוי על היתר? האם הקשר יישמר אם נסמן את אורכי הניצבים בa -
וב ,b -ואת אורך היתר ב?c -
שאלה זו נועדה לכוון את התלמידים לראות את הכלליות של ההוכחה שביצעו עבור המקרה של משולש ישר-זווית עם ניצבים 3
ס"מ ו 7 -ס"מ .למעשה ,תהליך ההוכחה אינו תלוי במספרים ספציפיים ויכולנו לבצע זאת עבור משולש ישר-זווית כלשהו.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
377
כיתה ח ,חלק ד'
הצעה לפעילות נוספת:
יש אומרים כי מקור ההשראה שהובילה את פיתגורס לגלות את המשפט המפורסם הוא רצפת
אריחים דומים לדגם שבסרטוט .בסרטוט ריצוף קרמיקה המורכב מ 4 -ריבועים צמודים שכל אחד
מהם מחולק על ידי האלכסון לשני משולשים ישרי-זווית.
א .ארבעת המשולשים הישרי-זווית יוצרים את המרובע הכהה .מהו מרובע זה ?
ב .מהו שטח המרובע הכהה?
ג .חשבו את אורך הצלע של המרובע הפנימי בשתי דרכים:
דרך א :באמצעות משפט פיתגורס.
דרך ב :חשבו תחילה את צלע המרובע באמצעות שטחו.
פתרון:
א .המרובע הפנימי הוא ריבוע .כל צלעותיו שוות וכל זוויותיו מורכבות משתי זוויות בנות 45
.
ב .שטח המרובע הכהה הוא מחצית שטח הריבוע החיצוני 2 :סמ"ר.
ס"מ.
ג .דרך א לפי משפט פיתגורס 2 :ס"מ .דרך ב :אם שטח הריבוע 2סמ"ר אז אורך הצלע 2
בפעילות 4הצדקנו באופן מתמטי את משפט פיתגורס.
למשפט פיתגורס מוכרות יותר הוכחות מאשר לכל משפט מתמטי אחר .כיום ידועות למעלה מ 400 -הוכחות שונות,
המבוססות על תחומים שונים של המתמטיקה ,ביניהן כאלה שניתנו על-ידי המתמטיקאי אויקלידס ,הצייר והפסל
ליאונרדו דה-וינצ'י ,וכן נשיאה ה 20 -של ארה"ב ג'יימס גרפילד.
נסו למצוא באינטרנט מידע על משפט פיתגורס ושלל ההוכחות שלו.
מיד אחרי פעילות 4מופיע סיכום של ההוכחה של משפט פיתגורס עם פרמטרים .סיכום זה כולל גם חזרה על הניסוח הגאומטרי
של משפט פיתגורס (בין היתר ,עבור תלמידים שלא בצעו פעילות )3וגם הניסוח האלגברי של המשפט :במשולש ישר-זווית,
סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר .ניסוח זה מציג פן אחר של משפט פיתגורס :במקום להתמקד בקשר בין שטחי
2
2
2
הריבועים הבנויים על הצלעות ,מתמקדים בקשר בין אורכי הניצבים והיתר במשולש ישר-זווית .a +b =c :קשר זה מאפשר
למצוא אורך של אחת מצלעות של משולש ישר-זווית כאשר נתונים האורכים של שתי הצלעות אחרות.
מציאת אורכי צלעות של משולש ישר-זווית
הניסוח האלגברי של משפט פיתגורס a2 + b2 = c2 :מקשר בין אורכי הצלעות של משולש ישר-זווית:
במשולש ישר-זווית ,סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
לכן ,ניתן להשתמש במשפט פיתגורס כדי למצוא אורך של אחת הצלעות במשולש ישר-זווית כאשר נתונים האורכים
של שתי הצלעות האחרות .נראה זאת בדוגמה הבאה.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
378
כיתה ח ,חלק ד'
דוגמאות עמ' 287
עמ’ 287מכיל שתי דוגמאות פתורות של יישום משפט פיתגורס למציאת אורכי צלעות במשולש ישר-זווית.
דוגמה א :מציאת אורך היתר ,כאשר נתונים אורכי הניצבים (שימוש ישיר במשפט פיתגורס).
דוגמה ב :מציאת אורך אחד הניצבים ,כאשר נתון אורך היתר ואורך הניצב השני.
מומלץ להפנות את תשומת ליבם של
התלמידים לדוגמאות הפתורות ככלי עזר
בפתרון תרגילים.
הצעה לפעילות נוספת:
למשפט פיתגורס הוכחות רבות ומגוונות ,יותר
מכל משפט מתמטי אחר .ההוכחה המוצעת
בפעילות 4היא אחת מבין יותר
מ 400 -הוכחות המוכרות היום.
מומלץ להציע לתלמידים לחפש באינטרנט
הוכחות נוספות ,בפרט כאלה המלוות
בהמחשות דינאמיות.
אחד האתרים האפשריים הוא האתר
,cut-the-knotהמכיל אוסף של 99הוכחות
של משפט פיתגורס.
אומנם האתר הוא באנגלית ,אך הוכחות רבות
המופיעות בו הן הוכחות "ללא מילים" ויכולות להתאים לתלמידי כיתה ח.
להלן הקישור לאתרhttp://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml :
בויקיפדיה מצויות הוכחות בעברית וחלקן גם דינמיות וכוללות המחשה טובה:
http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A4%D7%99%D7%AA%
D7%92%D7%95%D7%A8%D7%A1
קישור נוסף אליו ניתן להפנות תלמידים מתעניינים הוא ליישומון הבא ,המציג הצדקה נוספת למשפט פיתגורס:
http://highmath.haifa.ac.il/smart%20board/pythagoras_proof.html
מכאן שניתן להשתמש באתרים אלו בשלושה אופנים שונים :א .ככלי עזר בהוראה ב .להפנות את התלמידים להוכחות ספציפיות
באתרים השונים ג .לתת לתלמידים לחפש בעצמם הוכחות שונות.
התרגילים בעמ’ 297 -288עוסקים ביישומים של משפט פיתגורס לבעיות חישוב של אורכי הצלעות במשולש ישר-זווית.
התרגילים משלבים ידע מנושאים שונים בג אומטריה שנלמדו עד כה .התרגילים מכילים גם בעיות אורייניות.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
379
כיתה ח ,חלק ד'
תרגילים עמ' 297 – 288
עמ' 288
עמ' 288
.1חשבו את השורשים הבאים.
א.
100 = 10
ד.
256 = 16
ז.
0= 0
י.
441 = 21
ב.
225 = 15
ה.
1= 1
ח.
81 = 9
יא.
900 = 30
ג.
25 = 5
ו.
729 = 27
ט.
400 = 20
יב.
2,025 = 45
.2בין אי לו שני מספרים שלמים נמצא כל אחד מהשורשים הבאים:
לדוגמה:
א.
4 17 5
רמז5 25 , 4 16 :
ב.
11 < 140 < 12
ג.
3< 15 < 4
9 15 16
121 140 144
ד.
1< 3<2
4 < 24 < 5
16 24 25
1 3 4
עמ' 288
.3
עמ' 288
.4נתונים שלושה ריבועים ובתוכם מרובע ירוק .אורך צלע כל ריבוע הוא 11ס"מ .בכל סרטוט
בכל סעיף סדרו את המספרים לפי הסדר מהקטן אל הגדול.
א.
1
1
,
9
3
ב.
.2 , 6 ,4 , 18 , 2
1
תשובה, 1, 9 :
3
.0 ,1 , 9 ,
1
,
9
0,
תשובה2 , 2 , 6 , 4 , 18 :
רשומים אורכי הקטעים המחלקים את צלעות הריבוע.
באילו מהסרטוטים אפשר לדעת בוודאות שהמרובע החום הוא ריבוע ,מבלי למדוד
כל הסרטוטים המוקטנים
ואורכי הקטעים נתונים בס"מ.
הסרטוטים אינם מדויקים!
את הצלעות והזוויות? הסבירו.
א.
7
ב.
4
6
ג.
5
5
4
7
5
7
7
7
4
6
4
4
4
7
ריבוע
4
אינו ריבוע
7
6
4
7
6
5
מלבן שאינו ריבוע
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
380
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .5 289בכל אחד מהסרטוטים המוקטנים שלפניכם נתון משולש ישר-זווית ,שעל צלעותיו בנויים ריבועים.
בכל סרטוט נתונים השטחים של שניים מהריבועים (בסמ"ר) .עליכם למצוא את השטח של הריבוע השלישי.
א.
ב.
25סמ"ר
72סמ"ר
36סמ"ר
9סמ"ר
36סמ"ר
34סמ"ר
ד.
ג.
5.25סמ"ר
1סמ"ר
30.25סמ"ר
19.36סמ"ר
6.25סמ"ר
10.89סמ"ר
אפשר להשאיר את התשובה עם סימן השורש.
לרוב עושים זאת ,כאשר השורש אינו מספר שלם.
לדוגמהx 5 :
עמ' .6 289בסרטו טים שלפניכם נתונים משולשים ישרי-זווית.
חשבו את אורך היתר בכל אחד מהמשולשים.
ב.
א.
x
x
1.5
24
x
8
10ס"מ
2
ג.
7
6
x
1
25ס"מ
2
2.5ס"מ
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
381
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' 290
כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים
ואורכי הצלעות נתונים בס"מ.
.7בסרטו טים שלפניכם נתונים משולשים ישרי-זווית.
בכל אחד מהמשולשים מצאו את אורכו של הניצב השני.
א.
ג.
ב.
15.6
x
29
2
x
2.5
6
21
20ס"מ
14.4ס"מ
עמ' 290
x
1.5ס"מ
.8בכל אחד מהמשולשים הישרי-זווית שלפניכם חשבו את אורך הצלע החסרה.
ב.
א.
ד.
ג.
11.25
2.5
5
17
12
6
6.5
13ס"מ
12.75ס"מ
8
15ס"מ
6ס"מ
2.25
ו.
ה.
36
ח.
ז.
3
10
2
3
x
85
x
77ס"מ
עמ' 290
10.25ס"מ
1.41ס"מ
4.24ס"מ
.9בטבלה שלהלן נתונים האורכים בס"מ של צלעות במשולשים ישרי-זווית .השלימו את האורכים החסרים.
משולש
ניצב
ניצב
יתר
משולש
ניצב
ניצב
יתר
א.
4.5
6
7.5
ז.
2
3.75
4.25
ב.
4
7.5
8.5
ח.
3.3
4.4
5.5
ג.
12
22.5
25.5
ט.
3.5
12
12.5
ד.
1.4
4.8
5
י.
10
10.5
14.5
ה.
5
5.25
7.25
יא.
9
12
15
ו.
1.75
6
6.25
יב.
20
21
29
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
382
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .10 291לפי תשובותיכם בתרגיל הקודם ,מיינו את המשולשים לקבוצות של משולשים דומים ומצאו את יחס הדמיון בין כל שני
ב ,ג ,ז – יחס הדמיון ;1.875
משולשים דומים .א ,ח ,יא – יחס הדמיון ;1.333
ה ,י ,יב – יחס הדמיון ;1.05
עמ' .11 291לפניכם תכנון של אזור מסחרי בעיר "נקודותיים" .במציאות המרחק בין כל שתי נקודות סמוכות על אותו קו אופקי או אנכי
הוא 100מטר.
דואר
סופרמרקט
גלידריה
אולם קולנוע
חומרי בניין
מרכז ספורט
עגלו למספר שלם של מטרים.
א .מצאו את המרחק במציאות בין המקומות הבאים:
)1המרחק בין מרכז הספורט לאולם הקולנוע.
20 = 4.47
447מ'
)2המרחק בין מרכז הסופרמרקט לגלידריה.
41 = 6.4
640מ'
)3המרחק בין בניין הדואר לחנות לחומרי בניין.
18 = 4.24
424מ'
ב .אילו מבנים נמצאים במרחק שווה מבניין הדואר? נמקו.
ג.
חנות לחומרי בניין וסופרמרקט 424מ'
קרן צריכה להגיע מהסופרמרקט לבניין הדואר .היא מתלבטת בין שתי אפשרויות :לעבור דרך הגלידריה או לעבור
דרך אולם הקולנוע .מבין האפשרויות האלה -מהי הדרך הקצרה ביותר? הסבירו.
דרך הגלידריה 446 , 12 22 22 12 4.46 :מ' ;
דרך הגלידריה.
דרך אולם הקולנוע 516 , 12 32 2 5.16 :מ'
ד .קרן החליטה ללכת מהסופרמרקט לדואר בקו ישר .בכמה התקצרה דרכה לעומת כל אחת מהאפשרויות בסעיף ג?
בקו ישר 424 :מ' 32 32 4.24הדרך תתקצר ב 22 -מ' ללא הגלידריה; וב 92 -מ' ללא אולם הקולנוע.
עמ' .12 291
ATהוא גובה במשולש .ΔSAR
הסרטוט מוקטן ואורכי
הקטעים נתונים בס"מ.
A
על פי הנתונים בסרטוט חשבו:
א .אורך הגובה .AT
ב .אורך הצלע .AR
8ס"מ
x
10
17ס"מ
ג .היקף המשולש ΔSARושטחו.
R
היקף 48 :ס"מ ,שטח 84 :סמ"ר
15
T
6
S
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
383
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .13 292הצלע UTמשותפת לשני המשולשים הישרי-זווית
כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים
ואורכי הצלעות נתונים בס"מ.
U
ΔUSTו.ΔMTU -
א .מצאו את אורך .UT
5ס"מ
ב .מצאו את אורך .MU
13ס"מ
4
x
S
3
T
M
12
עמ' .14 292המרובע ABCDמורכב משני המשולשים
8
B
A
הישרי-זווית ΔABDו.ΔBDC -
א .מצאו את אורך .DC
20ס"מ
ב .מצאו את היקף המרובע .ABCD
70ס"מ
ג.
מצאו את שטח המרובע .ABCD
25
210סמ"ר
C
17
x
D
עמ' .15 292האלכסון LBמחלק את המרובע CLUBלשני משולשים ישרי-
U
זווית ΔCLBו.ΔBUL -
א .מצאו את אורך הצלע .LU
12ס"מ
ב .מצאו את היקף המרובע .CLUB
46ס"מ
ג.
מצאו את שטח המרובע .CLUB
x
L
9
8
114סמ"ר
B
C
17
עמ' .16 292במשולש שווה -שוקיים (AB = AC) ΔABCאורך השוק הוא 13ס"מ ואורך הבסיס הוא 10ס"מ.
א .חשבו את אורך הגובה לבסיס המשולש.
12ס"מ
ב .חשבו את שטח המשולש.
60סמ"ר
ג.
חשבו את אורך הגובה לשוק.
סרטטו סרטוט מתאים לבעיה
ופתרו אותה.
9.23ס"מ
ד BD .תיכון לשוק .מה שטח המשולש 30 ?ΔABDסמ"ר התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח.
רמז :איזו תכונה של תיכון
במשולש קשורה לשטח?
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
384
כיתה ח ,חלק ד'
הסרטוטים בתרגילים 18 ,17
מוקטנים ואורכי הצלעות הם במטר.
כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים
ואורכי הצלעות נתונים בס"מ.
עמ' .17 293במלבן ABCDנתון 24 :מ' = .DC
B
שטח המלבן 240 :מ"ר .מהו היקף המשולש .ΔADC
A
60ס"מ
C
עמ' .18 293שטחו של מלבן PAGEהוא 960מ"ר 60 .מ' = .EG
A
24מ'
D
K
P
Kו M -הן אמצעי הצלעות PAו EG -בהתאמה.
מצאו את היקף המשולש השווה-שוקיים .ΔEKG
128ס"מ
תזכורת :במשולש שווה-שוקיים,
הגובה לבסיס הוא גם תיכון לבסיס.
G
E
M
עמ' .19 293למסך טלוויזיה יש צורה של מלבן .כאשר אומרים שמסך הטלוויזיה הוא בגודל 10
אינץ' ,הכוונה היא שאורך אלכסון המלבן הוא 10אינץ'.
א .מידותיו של מסך טלוויזיה הן :אורך 32אינץ' ,רוחב 24אינץ'.
40אינץ'
כיצד יגדיר המוכר בחנות את גודלה של הטלוויזיה בעזרת אינצ'ים?
ב .אורך המסך של מחשב נייד גדול פי 1
3
על המחשב כתוב שגודל המסך הוא 15אינץ'.
1מרוחבו.
מהן המידות של מסך המחשב באינצ'ים? 9אינץ' ו 12 -אינץ'
אינץ' הוא יחידה למדידת אורך,
המשמשת למדידות במדינות כמו אנגליה
וארה"ב ,ובכמה מדינות נוספות.
אינץ' אחד שווה ל 2.54 -ס"מ.
מטרת האתנחתא היא לאפשר לתלמידים לזהות תבניות שאינן שגרתיות.
עמ' 293אתנחתא
בממלכה "חשבונייה" קיימת מתמטיקה שונה מזו שלנו ,למרות שמשתמשים שם בסימנים דומים לאלה שאנחנו מכירים .לפניכם
פתרונות של תרגילים משיעור מתמטיקה בממלכה זו:
2 + 4 = 12 ; 3 + 5 = 24 ; 2 + 7 = 18 ; 4 + 6 = 40 ; 8 + 3 = 88
האם תוכלו לשער כיצד פתרו תלמידי "חשבונייה" את התרגילים? 3 + 9 ; 5 + 7 ; 4 + 1 :
האם בהתאם לחוקים של ממלכת "חשבונייה" פעולת החיבור היא פעולה חילופית? הסבירו.
פתרון
4+1= 4*(4+1)=20 ; 5+7=5*(5+7)=60 ; 3+9=3*(3+9)=36
הפעולה איננה חילופית ,שכן בפעולה זו כופלים את סכום המחוברים במחובר הראשון.
אם המחוברים שונים ,מכפלת הסכום שלהם במחובר השני תיתן תוצאה שונה.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
385
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .20 294בכל אחד מהסרטוטים חשבו את אורך הצלע המסומנת ב.x -
A
א.
ג.
A
E
18
20
12.5
C
8
30
x
12
B
B
F
האם ניתן למצוא את xישירות מתוך
המשולש ?ΔACEהסבירו מדוע.
x
19.5ס"מ
26ס"מ .משפט פיתגורס מתקיים רק במשולש ישר-זווית,
לא ניתן למצוא את xישירות.
B
ב.
C
ד.
15
B
6
10
D
D
x
C
17
4
4
האם ניתן למצוא את xישירות מתוך
המשולש ?ΔACBהסבירו מדוע.
C
x
A
A
15.52ס"מ .משפט פיתגורס מתקיים רק במשולש ישר-זווית,
לא ניתן למצוא את xישירות
8.94ס"מ
M
עמ' .21 294לפניכם זוג משולשים ישרי-זווית .נתון.TG ll MR :
א .הסבירו מדוע המשולשים דומים זה לזה ורשמו את הדמיון
בהתאמה.
ΔRSM ∼ ΔTSG
ב .חשבו את אורך .MR
12
20ס"מ
ג .הראו על-ידי חישוב שיחס ההיקפים של שני המשולשים
y
R
S
2y
שווה ליחס הדמיון.
T
6
10
יחס הדמיון .2 :יחס היקפים.48:24 = 2 :
G
עמ' .22 294מצמרת העץ שגובהו 20מ' מתחו שני סרטים ,אדום וצהוב .אורכו של
אחד הסרטים 25מ' ואורך הסרט השני הוא 29מ'.
א .קצה של איזה סרט נמצא רחוק יותר מבסיסו של העץ :של הסרט
האדום או של הסרט הצהוב? הסבירו.
קצה של סרט אדום נמצא רחוק יותר מהעץ.
ב .מהו המרחק בין קצות שני הסרטים? המרחק הזה מסומן
בסרטוט ב.d -
d
6מ'
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
386
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .23 295קבוצה של חיילים יצאה למסע בשעה 6:00בבוקר.
כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים
ואורכי הצלעות נתונים בס"מ.
תחילה צעדו מערבה למרחק של 24ק"מ .לאחר הפסקה קצרה,
צעדו דרומה למרחק של 7ק"מ ,ומיד חזרו בקו ישר לנקודת המוצא.
מה היה אורך המסלול שאותו עברו החיילים?
22.96מ'
צפון
מזרח
התחלה
מערב
דרום
K
עמ' .24 295שטחו של המשולש ΔKLMבסרטוט הוא 12סמ"ר.
אורך הניצב KLהוא 4ס"מ.
KRהוא תיכון לניצב .LM
חשבו את אורך 5 .KRס"מ
M
L
R
בתרגיל 25נתונים שני סרטוטים ועליהם מסומנים אורכים של קטעים אחדים וידוע שנפלה שגיאה באחד הנתונים .על
התלמידים לגלות את מקור השגיאה ולהציע דרך לתקן אותה.
עמ' .25 295מצאו את השגיאה .בכל אחד מהסרטוטים שלפניכם נפלה שגיאה באחד הנתונים .מצאו אותה והציעו דרך לתקן אותה.
שימו לב :ייתכנו מספר תשובות נכונות.
L
ב.
א.
A
20
13
4
15
5
P
7
N
M
A
א .שגיאה אפשרית :במשולש ΔLANהיתר יותר
קצר מאחד הניצבים.
הצעה לתיקון :נמצא את .LN
ב.
8
K
D
שגיאה אפשרית :אורך הגובה ליתר לא יכול להיות
8ס"מ.
הסבר KM 152 202 25 :לפי פיתגורס.
. SΔMAK 20 15 / 2 150
AN 12 7 5 , AP 132 52 12
150 2
לכן 37.5
. KM
8
הצעה לתיקון :נמצא את .AD
AD 150 2 / 25 12
LN 5 2
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
387
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .26 295לקראת יום העצמאות הניחו אנשי העירייה מתקן לתאורה כמו בסרטוט.
המתקן מורכב מעמודים מקבילים עמוד ירוק באורך 12מ' ועמוד כחול
באורך 21מ'.
בין העמודים תלוי חבל אדום באורך 15מ' ועליו התאורה.
מה צריך להיות המרחק בין העמודים (הכחול והירוק) כדי שהחבל האדום
יהיה מתוח?
המרחק בין
שני ישרים מקבילים הוא קבוע.
12מ'
עמ' .27 296בחצר של בית ספר "אורנים" הוקם תורן שגובהו 6מ' ועליו דגל המדינה .כדי לייצב
את התורן ,קושרים אותו בעזרת חבלים שאורכם 7.5מ' למוטות כבדים המונחים על
הרצפה במאונך לבסיס התורן( .ראו סרטוט).
4.5מ'
א .מהו אורכו של כל מוט בבסיס התורן?
ב .ליד בניין העירייה הציבו תורן דומה אך גבוה יותר .לצורך חיזוקו השתמשו
באותם המוטות לבסיס ובחבלים שאורכם כפול מאורך החבלים שבדגל בחצר
14.31מ'
ביה"ס .מהו גובה התורן ברחבת העירייה?
הסרטוט בתרגיל 27מוקטן.
האורכים נתונים במ'.
עמ' 296
.28אורך אחת מצלעות המלבן הוא 6ס"מ ,ואורך אלכסון המלבן הוא 10ס"מ.
שטח המלבן 48 :סמ"ר ,היקף המלבן 28 :ס"מ.
א .חשבו את שטח המלבן ואת היקפו.
ב .בנו את המלבן על פי המידות שמצאתם.
עמ' .29 296שטחו של משולש ישר -זווית הוא 60סמ"ר .אורך אחד מהניצבים שלו הוא 8ס"מ.
א .מצאו את אורך היתר.
17ס"מ
ב .בנו את המשולש.
עמ' 296
.30שטחו של ריבוע הוא 49סמ"ר .מהו אורך אלכסון הריבוע? 9.89ס"מ
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
388
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .31 296שחר ועופר גרים באותו בניין :שחר בקומה ראשונה ועופר בקומה
חמישית .כפיר גר בבית הסמוך בקומה שלישית .המרחק בין
הבניינים 8מ' .הבנים החליטו לדבר ביניהם ב"טלפון" שבנו
3
מכוסות פלסטיק וחוט.
א .אדן החלון של הקומה הראשונה נמצא בגובה 2מ' מעל פני הקרקע
3
8
ושל הקומה החמישית בגובה 14מ' מעל הקרקע .מצאו את האורך
הכולל של החוט הדרוש לבנים להקמת "הטלפון" שלהם.
3
20מ'
3
ב .כפיר עלה לדירתו של סבא ,שגר קומה אחת מעליו (החלון הצהוב
בסרטוט) .האם אורך חוט ה"טלפון" יספיק?
אורך החבל הדרוש הוא 20.58מ'
3
ולכן החוט באורך 20מ' לא יספיק.
8
הסרטוט המתאים לבעיה:
הסרטוט בתרגיל 31מוקטן.
האורכים נתונים במ'.
9
עמ' .32 297נתונה הפונקציה .f(x) = 3x + 6
א .סרטטו את גרף הפונקציה ) f(xבמערכת צירים.
ב .מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים וסמנו אותם ב A -ו.B -
ג .סמנו ב O -את ראשית הצירים .מהו סוג המשולש ?ΔAOB
ד .מצאו את שטח המשולש . ΔAOB
6יחידות שטח
ה .מצאו את אורך הקטע .AB
6.32יחידות אורך
)A(-2 , 0) , B(0 , 6
ישר-זווית
y
שאלה 33משלבת בין הנושאים פונקציה קווית ומשפט פיתגורס.
A
עמ' .33 297בסרטוט שלפניכם נתונים גרפים של שלוש פונקציות:
f(x) = 2x + 10
F
g(x) = -x + 4
E
h(x) = x – 4
א .התאימו כל אחת מהפונקציות לתיאור הגרפי שלה.
C
).DC – h(x) , EC – g(x) , AB - f(x
B
O
x
ב E ,D ,C ,B ,A .הן נקודות חיתוך של הישרים עם
הצירים .מצאו את שיעורי הנקודות הללו.
D
).A(0 , 10) , B(-5 , 0) , C(4 , 0) , D(0 , -4) , E(0 , 4
ג F .היא נקודת חיתוך של שני ישרים .מצאו את שיעורי
הנקודה.
)F(-2 , 6
ד .מצאו את אורכי הקטעים.AB , CD , AF , FC :
AB = 11.18 , CD = 5.66
6 62 = 8.48
2
= = 4.47 FC
3 6
2
2
AF =AB – BF = 11.18 -
ה .חשבו את שטחי המשולשים EDC , AFE :ו. BFC -
27יח"ר = 16 , SΔBFCיח"ר = 6 , SΔEDCיח"ר = SΔAFE
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
389
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' 297אתנחתא :לתקשר עם חבר מכוכב אחר...
האם קיימים יצורים חיים מחוץ לכדור הארץ שלנו? אם קיימים חיים כאלה ,האם החושים שלהם דומים
לשלנו? איך נוכל לזהות אותם ולתקשר עמם? האם אף הם מחפשים אחר חיים מחוץ לכדור שלהם?
קרל פרידריך גאוס ,) 1855 - 1777( ,פיזיקאי ואסטרונום ,מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים ,האמין שיש
ישויות תבוניות מחוץ לכדור הארץ ,וחיפש דרך להעביר להן מסר.
גאוס שיער שמשפט פיתגורס ,אשר התגלה באופן בלתי תלוי בתרבויות שונות ,התגלה גם על-ידי
יצורים מכוכב אחר ,ולכן יכול לשמש להם מסר שגם כאן ,על הכדור שלנו ,יש חיים תבוניים.
לכן הציע לטעת במדבר סהרה ,על שטח של מאות קמ"ר ,אזור ירוק שצורתו מבטאת את משפט
פיתגורס ,בדומה לסרטוט.
פעילות 5עמ' – 299 – 298יישומי משפט
פיתגורס לחפיפת משולשים
אחד היישומים של משפט פיתגורס הוא בהרחבת אוסף
משפטי חפיפה המוכרים לתלמידים .המטרה של
פעילות 5היא להוביל את התלמידים לגילוי של משפט
חפיפה נוסף :אם יתר וניצב במשולש ישר-זווית אחד,
שווים ליתר ולניצב במשולש ישר-זווית שני ,אז
המשולשים חופפים.
הפעילות מציגה את המשפט כדיון בין שני בנים :בן ורז.
הבנים מצמידים שני סולמות בעלי אורך שווה לגזע של
עץ הצומח במאונך לקרקע .עקבי הסולמות נמצאים
במרחק שווה מהעץ.
באופן אינטואיטיבי (אולי מתוך התנסויות בחיי היום-יום
במצבים דומים) התלמידים יכולים לנחש שהסולמות
יגיעו לאותו גובה .הדיון בין בן ורז מתמקד באופן
ההצדקה של תוצאה זו.
בן טוען שלא ניתן לדעת בוודאות שהסולמות יגיעו לאותו
גובה כי אין משפט חפיפה שמבטיח זאת (שתי צלעות
וזווית שאינה ביניהן) ,ולכן יש לבצע מדידה כדי להוכיח
את השוויון בין הגבהים.
רז ,לעומת זאת טוען שבעזרת משפט פיתגורס ניתן לחשב את הגובה .מכאן (א) אין צורך במדידה( ,ב) ניתן להכליל ולומר שבכל
מקרה שבו נתונים שני משולשים ישרי-זווית שלהם יתר ב אורך שווה וניצב אחד באורך שווה ,אז הניצב השני שווה גם כן ,וניתן
להראות שהמשולשים חופפים.
בסעיף ה של הפעילות (עמ' )299התלמידים מתבקשים להצדיק את התוצאה .מומלץ לעודד את התלמידים לחפש יותר מדרך
אחת לעשות זאת ,למשל בעזרת משפט חפיפה צ.ז.צ .או בעזרת משפט חפיפה צ.צ.צ.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
390
כיתה ח ,חלק ד'
פעילות 6עמ' – 299ומה אם המשולשים
אינם ישרי-זווית? פעילות 6נועדה לחדד את העובדה
שמשפט החפיפה שגילינו ,תקף במשולש ישר-זווית
בלבד .למעשה ,משפט זה הוא מקרה פרטי של משפט
חפיפה כללי יותר :צלע-צלע וזווית מול הצלע הגדולה,
אותו התלמידים טרם למדו.
פתרון האתנחתא בעמ’ :299
.1
1שקל
דרך א
5שקלים
2שקלים
10שקלים
10
5
דרך ב
2
דרך ג
1
דרך ד
דרך ה
1
דרך ו
5
דרך ז
3
1
דרך ח
4
3
דרך ט
6
2
דרך י
8
1
1
2
1
1
.2יש 6מספרים תלת-ספרתיים שסכום הספרות שלהם הוא :3
111 ,300 , 102, 201, 210, 120
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
391
כיתה ח ,חלק ד'
תרגילים עמ' 301 – 300
עמ' 300
.34נתונים שני משולשים ישרי-זווית .לכל משולש ניצב אחד באורך 6ס"מ ,ואורכו של היתר הוא 9ס"מ.
א .הסבירו מדוע המשולשים חופפים.
ב .סרטטו את המשולשים.
C
עמ' .35 300נתון.∡A = ∡C = 90° ,AB = BC :
א .הסבירו מדוע .ΔABD ≅ ΔCBD
B
ב .רשמו זוג נוסף של צלעות שוות וזוג נוסף של זוויות שוות
D
במשולשים אלה.
A
.CD = AD , ∡BDC = ∡BDA
O
R
עמ' .36 300במרובע WORKהאלכסון OKמאונך לצלעות ORו-
.WKכמו כן נתון.WO = RK :
הסבירו מדוע .∡W = ∡R
זוויות מתאימות במשולשים חופפים ( )ΔWOK ≅ ΔROKשוות.
W
K
G
עמ' .37 300הקטע GDחוצה את הקטע MKומאונך לו.
K
.MG = DK
R
M
הסבירו מדוע .ΔMRG ≅ ΔKRD
D
עמ' .38 300א .סולם נשען על הקיר .רגליו נמצאות במרחק 50ס"מ
1.58מ'
מהקיר ,וראשו בגובה 1.5מ' .מה אורך הסולם?
ב .הסולם החליק ומרחקו מהקיר הוא עתה 60ס"מ .לאיזה גובה הגיע הסולם?
1.46מ'
יש לשים לב להתאמת יחידות המידה בתרגיל זה.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
392
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .39 301בכל אחד מהסעיפים שלפניכם נתון זוג של משולשים .לפי הנתונים בסרטוט קבעו האם המשולשים חופפים ,או אין מספיק
מידע לקבוע האם הם חופפים או לא .נמקו את קביעתכם.
א.
ב.
M
B
A
A
C
T
חופפים לפי צ.ז.צ.
B
A
G
L
ג.
D
H
משולשים ישרי-זווית חופפים לפי הניצב והיתר
ד.
C
M
K
A
B
M
K
C
אין מספיק נתונים לקבוע האם משולשים חופפים
אין מספיק נתונים לקבוע האם משולשים חופפים
A
F
עמ' .40 301נתונה זווית .∡ABCמהנקודה Dשבתוך הזווית מורידים אנכים
FDו ED -לשוקי הזווית.
נתון.ED =FD :
D
B
הסבירו מדוע ADהוא החוצה זווית של .∡ABC
E
C
עמ' ΔMST .41 301ו ΔPMQ -הם משולשים ישרי-זווית.
.∡PMQ = ∡MST = 90ºנתון.PQ = MT ,MQ = ST :
א .הסבירו מדוע ΔPMSהוא שווה שוקיים.
– SM = PMצלעות מתאימות במשולשים חופפים
ΔPMQ ≅ΔMSTשוות.
ב .∡MSP = ∡P1 + ∡M2 .הסבירו מדוע.
- ∡M2 = ∡MPOזוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות.
( ∡MPS = ∡M2 + ∡MPO = ∡MSPזוויות בסיס במשולש שווה-שוקים שוות)
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
393
כיתה ח ,חלק ד'
תרגול נוסף לפרק עמ' 309 – 302
C
עמ' .42 302על-פי הנתונים בסרטוט מצאו את שטח המשולש .ΔABC
17
39
330סמ"ר
15
A
y
D
a
B x
עמ' .43 302בסרטוט שלפניכם שני משולשים ישרי-זווית.
A
א .הסבירו מדוע המשולשים דומים ,ורשמו את הדמיון בהתאמהΔACB ∼ΔDBE .
ב .מצאו את יחס הדמיון2 .
2
ג .מצאו את BDבשתי דרכים שונות,
E
והשוו בין התוצאות.
2.5
C
5
B
דרך אBD = 0.5AB = 2.69 , AB 29 5.38 :
D
דרך בBD 7.25 2.69 ,ED = 0.5AC = 1 :
נסו למצוא את BDעל-פי הנתונים
ב ΔBED -או על-פי נתוני המשולש
ΔACBויחס הדמיון.
שאלה 44משלבת בין נושא דמיון משולשים ומשפט פיתגורס.
A
עמ' .44 302נתון משולש ישר -זווית ΔBACשבו ADהגובה ליתר.
א .חשבו את האורך של .AD
3ס"מ
3.75
ב .מצאו בסרטוט שלושה משולשים דומים ורשמו את הדמיון
בהתאמה.
ΔBAC ∼ΔBDA ∼ΔADC
B
ג .מצאו את יחס הדמיון בין כל שני משולשים דומים.
AC 3.75
1.25 :ΔBAC ∼ΔBDA
DA
3
AC 3.75
2
DA
3
1
1 :ΔBAC ∼ΔADC ,
1 :ΔBDA ∼ΔADC
DC 2.25
3
CD 2.25
3
ד .מצאו את אורך הצלע ABבשתי דרכים שונות והשוו בין התוצאות.
4
דרך א , AB 32 42 5 :דרך ב, AB 6.252 3.752 5 :
1
AB
1
⇐ AB 1 AC 5
דרך ג 1 :
3
AC
3
C
2.25 D
P
עמ' ΔPQR .45 302הוא משולש שווה-שוקיים PS .הוא גובה לבסיס.
א .חשבו את אורכי הקטעים QS :ו.RS -
6ס"מ
ב .חשבו את שטח המשולש .ΔQPR
48סמ"ר
10
8
10
ג .חזרו על סעיפים א ו -ב ,אם ידוע שאורך שוק המשולש
הוא 15ס"מ ,ואורך הגובה לבסיס הוא 12ס"מ.
תשובות 9 :ס"מ = 108 ; QS =RSסמ"ר = S
R
, RS QS 152 122 81 9
12 9 2
S
108
2
S
Q
איזו תכונה מוכרת של גובה
לבסיס במשולש שווה-שוקיים
ניתן לראות מסעיף א?
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
394
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .46 303במשולש השווה-שוקיים ,ΔABCאורך כל שוק הוא 26ס"מ ,ואורך הגובה לבסיס הוא 24ס"מ.
מצאו את אורך בסיס המשולש ואת שטח המשולש .בסיס 20 :ס"מ ,שטח 240 :סמ"ר
עמ' .47 303במשולש השווה-שוקיים ,ΔDEFאורך כל שוק הוא 25ס"מ ,ואורך הגובה לבסיס הוא 20ס"מ.
מצאו את אורך הגובה לשוק המשולש ואת שטח המשולש .הגובה לשוק 24 :ס"מ ,שטח 300 :סמ"ר
עמ' .48 303משולש ΔSTRהוא משולש שווה-צלעות ,בעל אורך צלע של 20ס"מ .חשבו את שטח המשולש.
10 3 20
גובה לבסיס , 300 10 3 :שטח 100 3 173.2 :
2
S
הדרכה :היעזרו בתוצאות
התרגיל הקודם ,בו 20ס"מ = .a
T
עמ' .49 303משולש ΔRTQהוא משולש שווה-צלעות .אורך הצלע הוא aס"מ..
א .בטאו באמצעות aאת MQואת אורך הגובה במשולש השווה-צלעות.
a
ב .בטאו באמצעות aאת שטחו של המשולש השווה-צלעות.
2
a 3
a
a2
.MQ = a/2גובה :TM
2
2
a2 3
שטח:
4
S
Q
R
M
עמ' ΔABC .50 303הוא משולש שווה-שוקיים .AB = AC
A
ADהוא הגובה לבסיס .BC
שוק
בכל שורה נתון מידע על חלק מהגדלים במשולש כזה.
השלימו את הגדלים החסרים.
C
גובה
לבסיס
שוק
B
D
אורך השוק
אורך הגובה לבסיס
אורך הבסיס
בסיס
שטח המשולש ΔABC
משולש א
10ס"מ
2ס"מ
19.59ס"מ
19.18סמ"ר
משולש ב
5ס"מ
4ס"מ
6ס"מ
12סמ"ר
משולש ג
13ס"מ
5ס"מ
24ס"מ
60סמ"ר
משולש ד
30.26ס"מ
4ס"מ
60ס"מ
120סמ"ר
משולש ה
51ס"מ
45ס"מ
48ס"מ
1080סמ"ר
עמ' .51 304מצאו את שטחו של משולש שווה-צלעות שאורך צלעו 8ס"מ.
27.71סמ"ר
בכל אחד מהתרגילים 55 – 51סרטטו
סרטוט מתאים ופתרו את הבעיה.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
395
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .52 304מצאו את היקפו של משולש שווה-צלעות שגובהו 147ס"מ.
42ס"מ
עמ' .53 304שטחו של משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים הוא 162סמ"ר.
א .מצאו את אורך הניצב ואת אורך היתר.
ניצב 18 :ס"מ ,היתר 25.45 :ס"מ
ב .בנו את המשולש לפי המידות שמצאתם.
עמ' .54 304אורך אלכסון של ריבוע הוא 242
44ס"מ
ס"מ .מצאו את היקפו ובנו את הריבוע.
עמ' .55 304שטחו של משולש שווה-שוקיים הוא 120סמ"ר .אורך הבסיס 8ס"מ .מצאו את אורך השוק של המשולש.
30.26ס"מ
עמ' .56 304לפניכם סרטוט סכמתי של גרם מדרגות המוביל לפתח בית מגורים בשכונת "אלמוג" .סרטוט א מציג את הגרם המקורי
בהקטנה .בשל שקיעה של האדמה ,הוחלט לחזק את המדרגות במוט חיזוק מיוחד שהונח מתחת למדרגות PR -ובמוט RT
הניצב לאדמה ,כמודגם בסרטוט ב.
בין הקצוות Pו T -של המוטות הניחו כבל חשמל ,כדי לבנות עמודי תאורה משני צידיו גרם המדרגות.
הזווית בין המדרגות
שווה ל90º -
R
1מ'
סרטוט א
1מ'
כבל חשמל
20סמ'
20סמ'
90°-α
90°
α
T
סרטוט ב
20סמ'
P
א .העלות של 1מ' של מוט חיזוק היא 50שקל .כמה שילמו דיירי הבית עבור המוטות PRו?RT -
עלות 40 :RTשקלים :PR ,
, PR 0.82 42 4.08עלות 204 :PRשקלים
ב .העלות של 1מ' של כבל חשמל היא 15שקל .כמה שילמו דיירי הבית עבור כבל החשמל ?PT
60שקלים
ג .הסבירו ,בעזרת חפיפת משולשים ,מדוע PRהוא קו ישר.
כל המשולשים ישרי-זווית (המייצגים מדרגות) חופפים זה לזה לפי צ.ז.צ .מכאן זוויות מתאימות שוות .במפגש בין
שתי מדרגות יש זווית ישרה .סכום הזוויות .α+90°+90°-α=180°לכן PRהוא קו ישר.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
396
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .57 305בכל אחד מהסעיפים שלפניכם מצאו את xואת שטח המשולש .ΔABC
G
M
א.
0. 8
1
20
C
ב.
P
C
A
x
18
x
B
9
B
24
A
2.5
1
O
14.4ס"מ = 138.24 ,xס"מ = SΔABC
M
12ס"מ = 21 , xסמ"ר = SΔABC
קסמה של שאלה 58היא בהפתעה שהיא יוצרת אצל התלמידים .רבים מהם משערים שהוספת מטר אחד בלבד לשטיח לא
יוצרת שינוי משמעותי ולכן בסעיף לרוב השערתם שגויה .פער זה יוצר את גורם ההפתעה וההנאה מהשאלה.
עמ' .58 305בטקס חלוקת פרס נובל לפיזיקה האורחים צועדים על מסלול מעץ בן 100מ' ,שמכוסה בשטיח אדום.
לאחר שפרסו את השטיח התברר שבטעות נגזר שטיח שאורכו 101מ' .אחד המארגנים הציע ,במקום לקצר את השטיח
היקר ,הוחלט להציב גשרון תמיכה באמצע המסלול ,ולהשעין עליו את המסלול עם השטיח באופן הבא:
מוט
שטיח אדום
100מ'
א .מבלי לבצע חישובים ענו מי לדעתכם יוכל לעבור מתחת לשטיח:
מנוף שגובהו 10מ'? בן אדם בגובה ממוצע? חתול? עכבר? או יתוש?
ב .חשבו את אורך המוט שיש לבנות ,ובדקו האם ניחשתם תשובה נכונה בסעיף א.
7.09מ'
ג .האם לדעתכם הפתרון המוצע הוא הגיוני?
E
עמ' .59 305אורכי הניצבים של משולש ΔBACבסרטוט הם
8ס"מ ו 1 -ס"מ .אורך אחד הניצבים של משולש ΔDEF
הוא 4ס"מ .כמו כן נתון.DF = BC :
D
מהו אורך הניצב השני של משולש ?ΔDEF
7ס"מ
עמ' .60 305אורכי הניצבים של משולש ΔBACהם 11ס"מ ו 2 -ס"מ .אורך
F
B
C
A
אחד הניצבים של משולש ΔDEFהוא 5ס"מ.
כמו כן נתון.DF = BC :
תרגילים 61 – 59
מתייחסים לאותו סרטוט.
מהו אורך הניצב השני של משולש ?ΔDEF
10ס"מ
.61אורכי הניצבים של משולש ΔBACהם 11ס"מ ו 3 -ס"מ .אורך אחד הניצבים של משולש ΔDEFהוא 7ס"מ .כמו כן
עמ' 61 306
נתון .DF = BC :מהו אורך הניצב השני של משולש 9 ?ΔDEFס"מ
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
397
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .62 306איכר מגדל 9ארנבות במגרש דשא שצורתו ריבוע שאורך צלעו 10מ'.
האיכר חילק את המגרש באמצעות מחיצות כך שלכל ארנבת יהיה אזור
משלה .תחילה הוא חיבר את אמצעי הצלעות של המגרש הגדול ,ואח"כ את
3
1
2
אמצעי הצלעות של המגרש הפנימי (ראו סרטוט).
א .חשבו את השטח שקיבלה ארנבת מס' .3אילו ארנבות
12.5מ"ר
נוספות קיבלו שטח באותו גודל? נמקו.
6
4
5
ב .איזה סוג של מרובע הוא המגרש הפנימי הגדול? המגרש
ריבוע
הפנימי הקטן? נמקו.
ג .בכמה השטח שקיבלה ארנבת מס' 5גדול מהשטח שקיבלה
ארנבת מס' ?8נמקו.
9
7
8
ב 18.75 -מ"ר.
העתיקו את הסרטוט למחברת והוסיפו בו
את הסימונים הדרושים לכם כדי לענות על
סעיפי השאלה.
25מ"ר = 6.25 ,S5מ"ר = S8
ד .מצאו את היקפו של המגרש הפנימי הגדול 28.28 .מ' = 20 2
5מ'
ה .מצאו את אורך הצלע של המגרש הפנימי הקטן.
ו .בנו של האיכר ,תלמיד בכיתה ח ,אומר לאביו :אם היית מחלק את המגרש ל 9 -ריבועים זהים היית יכול לחסוך באורך
לצורך הפתרון מספיק לחשב את אורך המחיצות הפנימיות .אורך הגדר
הגדר .האם בנו של האיכר צודק? נמקו.
כעת 48.28 :מ' ,אורך הגדר לפי הצעת בנו של האיכר 40 :מ' ,האורך קצר יותר .לכן ,בנו של האיכר צודק.
.63לפניכם "מניפה" הבנויה ממשולשים ישרי-זווית .בכל אחד מהמשולשים יש
עמ' 306צלע שאורכה 1ס"מ.
א .זהו בסרטוט קטעים שהם גם ניצב וגם יתר .כמה קטעים
1
1
1
1
x3
כאלה מצאתם?
x4
ב .מצאו את אורך הצלע .x2
x2
x1
ג .מצאו את אורך הצלע .x6
1
x5
1
כדי למצוא את x1ניעזר במשפט פיתגורס:
2
x6
= 1 + 1 = x1 2 = x1 x1
2
2
2
2
1
ניתן להמחיש בכיתה באמצעות היישומון שורשים של מספרים עוקבים.
ΔABC .64הוא משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים שאורך כל ניצב שלו הוא 5ס"מ.
עמ' 64 306
מצאו משולש ישר-זווית אחר ,ΔDEF ,שאורך היתר שלו הוא כאורך היתר של משולש ,ΔABCואורכי הניצבים שלו הם
מספרים שלמים.
ריבוע של אורך היתר הוא .50נבטא את 50כסכום של שני ריבועים 25 + 25 :או .49 + 1הפתרון הראשון הוא המשולש
הנתון .הפתרון השני ,הוא המבוקש .אורכי הניצבים הם 1 :ס"מ ו 7 -ס"מ.
.65במרובע ABCDיש זוג זוויות נגדיות שכל אחת ישרה .אורכי הצלעות של המרובע הם מספרים שלמים בס"מ.
עמ' 307
מה יכולים להיות אורכי הצלעות של המרובע? מצאו מרובע אחד .האם תוכלו למצוא מרובעים נוספים?
את תרגיל זה ניתן לפתור בשתי דרכים שונות .ניסוי וטעיה או בדרך שיטתית .כלומר ,להיעזר בגיליון אקסל ,כמודגם
בעמוד הבא .בשני המקרים ,על התלמידים להבין כי המרובע בנוי משני משולשים ישרי-זווית שונים שאורך היתר זהה.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
398
כיתה ח ,חלק ד'
להלן טבלת גיליון האקסל המתקבלת ואופן בנייתה.
אופן בניית הטבלה :שורה וטור ראשונים – אורכי הצלעות של המרובע; שורה וטור שניים – ריבועיהם ,וכל השאר – הסכומים
שלהם מסודרים בדומה ללוח הכפל.
תוצאות אפשריות מתוך גיליון האקסל:
עמ' 307
ריבוע האלכסון
זוג 1
זוג 2
50
7 1
5 5
65
8 1
7 4
130
9 7
11 3
170
13 1
11 7
325
18 1
17 6
442
21 1
19 9
730
27 1
21 17
850
27 11
25 15
.66נתון משולש ישר-זווית שבו אורך היתר הוא 50ס"מ .אורך אחד הניצבים הוא כפול מאורך הניצב השני.
66
מצאו את שטח המשולש .נמקו את צעדיכם.
נסמן את הניצבים.x , 2x :
דרך א ,x + 4x = 50 :לכן , 2x 2 500 , x 500 :שטח המשולש 500 :סמ"ר.
2
2
2
2x x
דרך ב :הנוסחה לחישוב שטח משולש במקרה זה היא x 2 :
2
2
2
, + 4x = 50נקבל:
S נמצא לכמה שווה x 2לפי משפט פיתגורס:
2
x2 500ולכן ,שטח המשולש 500 :סמ"ר .בדרך ב נמנעים מהוצאת שורש.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
399
כיתה ח ,חלק ד'
x
.67נתון משולש ישר-זווית שבו אורך היתר הוא 20ס"מ .אורך אחד הניצבים הוא פי 3מאורך הניצב השני.
עמ' 67 307
מהו שטח המשולש? 60סמ"ר
שאלה 68הינה שאלה מילולית ואינטגרטיבית
צפון
.68חברה המייצרת מכוניות חשמליות ערכה ניסוי :ארבע מכוניות
עמ' 68 307
40קמ"ש
יצאו בו-זמנית מחניון החברה ,כל אחת לכיוון אחר במהירות
אחרת .הכיוונים והמהירויות מופיעות בסרטוט.
א .כעבור שעה ,מה היה המרחק בין המכונית האדומה לבין 50קמ"ש
מזרח
כל אחת מהמכוניות האחרות?
60קמ"ש
מערב
המרחק למכונית הכחולה 72.11 :ק"מ,
המרחק למכונית הכתומה 110 :ק"מ
המרחק למכונית צבעונית 69.46 :ק"מ
35קמ"ש
ב .כעבור שעה ,בין אילו שתי מכוניות היה המרחק הגדול ביותר?
דרום
הסבירו .בין מכונית האדומה למכונית הכתומה 110 :ק"מ.
ג .כעבור שעה הצטרפה לניסוי מכונית חמישית .היא נסעה מנקודה מסוימת בדרום לכיוון חניון החברה .המרחק
ההתחלתי בינה לבין המכונית הכתומה היה 130ק"מ.
מהו המרחק בין המכונית החמישית לבין חניון החברה? 120ק"מ =
2
2
130 50
ד .המכונית החמישית נוסעת במהירות של 80קמ"ש .כמה זמן ייקח לה להגיע לחניון החברה 1.5 .שעה
.69שחיינית שוחה במהירות קבועה בנהר שרוחבו 300מ' .בסרטוט שלפניכם מתואר המסלול אותו עברה השחיינית החל
עמ' 69 307
מהנקודה Aועד לנקודה ,Dוחזרה מהנקודה Dלנקודה Aבקו ישר.
המרחק מהנקודה Aלנקודה Bהוא 500מ'.
B
D
המרחק מהנקודה Aלנקודה Cהוא 560מ'.
300
המרחק מהנקודה Bלנקודה Dהוא 285מ'.
מה המרחק אותו עברה השחיינית?
1912.81מ'
C
EC 560 400 160 , BE 5002 3002 400
A
285
285 – 160 = 125 , BC 1602 3002 340
125 D
B
AF 560 125 685 , DC 1252 3002 325
300
AD 6852 3002 747.81
500 340 325 747.81 1912.81
325
340
F
E 160
C 125
560
500
400
A
ΔKLM .70הוא משולש שווה-שוקיים ,שבו אורך השוק הוא 13ס"מ ,ואורך הבסיס 10ס"מ.
עמ' 70 308
א .חשבו את שטח המשולש.
60סמ"ר
ב .מצאו משולש שווה-שוקיים נוסף ,המקיים את
התנאים הבאים:
)1השטח שלו שווה לשטח המשולש ;ΔKLM
)2אורך השוקיים שלו הם 13ס"מ;
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
400
כיתה ח ,חלק ד'
)3הבסיס שלו שונה מ 10 -ס"מ;
)4אורכי כל צלעותיו מספרים שלמים .הבסיס .24
ג.
האם קיימים משולשים שווי-שוקיים נוספים המקיימים את התנאים .הסבירו.
לא .בעזרת הסרטוט בסעיף קודם ,ניתן להסביר לתלמידים ,כי קיימים רק שני משולשים שיקיימו את התנאים של משפט
פיתגורס ואת תנאי השאלה ,ולכן לא ניתן להציע משולש שווה-שוקים נוסף שעונה על הדרישות.
ד .משולש ΔPRSהוא משולש שווה-שוקיים ,שאורך שוקו הוא 20ס"מ ,ואורך הבסיס שלו 12ס"מ .מצאו משולש
שווה-שוקיים נוסף ,ששטחו כשטח המשולש ,ΔPRSשאורך שוקו הוא 20ס"מ ,אך בסיסו אינו באורך של 12ס"מ.
מהו הקשר בין בסיסי המשולשים הללו לבין הגבהים שלהם? הבסיס בשני המשולשים הוא 38.16 :ס"מ ורק מחליפים
בין אורך הגובה וחצי אורך הבסיס.
שאלות 74 -71הן שאלות העוסקות בתהליך חקר מתפתח באמצעותו מציגים ריבוי דרכי פתרון ומכללים.
..71נתון מלבן הבנוי משני ריבועים חופפים שצמודים זה לזה (ראו סרטוט).
עמ' 71 308
א .מה ,לדעתכם ,גדול יותר :אורך אלכסון המלבן (מסומן באדום) או סכום אורכי שני
האלכסונים של הריבועים (מסומנים בכחול)? הסבירו את תשובתכם מבלי לבצע חישובים.
ב .נתון :היקף המלבן 120ס"מ .חשבו את אורך אלכסון המלבן ואת אורך האלכסון של כל אחד מהריבועים .האם
צדקתם בהשערתכם? אורך האלכסון של אחד הריבועים , 20 2 :אורך אלכסון המלבן. 20 5 :
סכום אורכי האלכסונים של הריבועים ( )56.56גדול מאורך אלכסון המלבן (.)44.72
..72נתון מלבן אחר הבנוי משלושה ריבועים חופפים שצמודים זה לזה (ראו סרטוט).
עמ' 72 308
א .מה ,לדעתכם ,גדול יותר :אורך אלכסון המלבן (מסומן באדום) או סכום
אורכי שלושת האלכסונים של הריבועים (מסומנים בכחול)? הסבירו את
תשובתכם מבלי לבצע חישובים.
ב .נתון :היקף המלבן 160ס"מ .חשבו את אורך אלכסון המלבן ואת אורך האלכסון
של כל אחד מהריבועים .האם צדקתם בהשערתכם?
אורך האלכסון של אחד הריבועים , 20 2 :אורך אלכסון המלבן. 20 10 :
אפשר גם אחרת
סכום אורכי האלכסונים של הריבועים ( )84.85גדול מאורך אלכסון המלבן (.)63.24
עמ' .73 308יוצרים מלבן משורה של 4ריבועים חופפים הצמודים זה לזה (ראו סרטוט).
א .מה ,לדעתכם ,גדול יותר :אורך אלכסון המלבן או סכום אורכי
ארבעת האלכסונים של הריבועים? הסבירו מבלי לבצע חישובים.
ב .בדקו את תשובתכם בסעיף א אם ידוע שאורך הצלע בכל ריבוע הוא 20ס"מ.
אורך האלכסון של אחד הריבועים , 20 2 :אורך אלכסון המלבן. 20 17 :
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
401
כיתה ח ,חלק ד'
סכום אורכי האלכסונים של הריבועים ( )113.14גדול מאורך אלכסון המלבן (.)82.46
..74נתבונן בתוצאות התרגילים .73 – 71
עמ' 74 309
א .האם תוכלו להכליל את מה שגיליתם עבור מלבן הבנוי ממספר כלשהו של ריבועים חופפים הצמודים זה לזה,
כמו בסרטוטים הקודמים?
ב .הסבירו כיצד הסרטוטים הבאים עוזרים להכליל את מה שמצאתם:
הכללה:
אורך אלכסון הריבוע:
X 2
אורך nאלכסוני הריבועn X 2 :
אורך אלכסון המלבן:
עמ' .75 309א .במשולש ישר-זווית אורך אחד הניצבים הוא 15ס"מ ואורך הניצב השני הוא 20ס"מ.
מה אורך הגובה ליתר?
12ס"מ
X 1 n2
היעזרו בחישוב שטח
משולש.
ב .מצאו את אורך הגובה ליתר בדרך נוספת .כדאי להציג לתלמידים דרכים שונות לפתרון השאלה .פתרון באמצעות דמיון
משולשים ובאמצעות חישוב שטח המשולש.
אתנחתא – עמ' 309
נועה רוצה לבנות קוביות משחק מקרטון .נועה סרטטה שישה תרשימים שונים ,וגזרה אותם.
מאילו מהתרשימים תוכל נועה לבנות קובייה ומאילו מהם לא תוכל לבנות קובייה? הסבירו מדוע.
א.
ב.
ג.
ד.
ה.
ו.
מטרת האתנחתא היא לפתח את הראייה המרחבית של התלמידים ,כהכנה לקראת לימוד הנושא של שימוש במשפט פיתגורס
במרחב .מומלץ לבקש מהתלמידים להסביר כיצד הם ניגשים לפתרון הבעיה ,ולקיים על כך שיח מתמטי בכיתה .במקרה הצורך,
התלמידים יכולים להכין פריסות דומות ,ולהסביר את פתרונותיהם בעזרת שימוש בפריסות אלה.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
402
כיתה ח ,חלק ד'
רק ד הוא פריסת קובייה.
שאלות העמקה בנושא משפט פיתגורס – עמ' 310
אפשר לראות דף משובץ הבנוי ממשבצות
ריבועיות ,כרשת של ישרים ונקודות המפגש
שלהם .לנקודות שהן קודקודי המשבצות,
קוראים פינות .לישרים קוראים קווי הרשת.
אורך הצלע של משבצת הוא 1יחידת אורך.
עמ' .76 310מצאו את היקף המצולע שברשת הבאה:
נסמן את המשולשים הישרי-זווית המקיפים את המצולע ונחשב בעזרתם את אורכי הצלעות של המצולע שאינן
מונחות על קווי הרשת .להם נצרף את שני הקטעים המונחים על קווי הרשת ואנו יכולים לחשב את אורכם .נקבל :
5 42 32 2 152 82 62 82 122 52 52
A
עמ' .77 310בדף משובץ מצויר מחומש (לא משוכלל) .ABCDE
B
איזה מאלכסוניו הוא הארוך ביותר?
E
האלכסון ADהוא הארוך ביותר:
2
2
2
2
2
C
CE = 29 , BE = 17 , BD = 34 , AD = 36 , AC = 32
את אורכי הקטעים האלה ניתן למצוא לפי משפט פיתגורס בעזרת
משולשים ישרי-זווית שהניצבים שלהם נמצאים על קווי הרשת,
D
כמודגם בסרטוט:
אפשר גם אחרת להציע לתלמידים לאתר משולשים ישרי-זווית אחרים.
לדוגמה לאלכסון הסגול:
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
403
כיתה ח ,חלק ד'
שאלות 80 - 78הן שאלות מאתגרות במיוחד .הן מיועדות לתלמידים מצטיינים או לפעילות מודרכת עם המורה להרחבת
הידע ,ולפיתוח חשיבה יצירתית וחשיבה מתמטית.
עמ' .78 310האם אפשר לסרטט על דף משובץ משולש ישר-זווית העונה על שלושת הדרישות הבאות:
א .כל הקדקודים שלו נמצאים על פינות הרשת;
ב .אף אחת מצלעותיו לא נמצאת על קווי הרשת;
ג .האורכים של שלוש הצלעות שלו הם מספרים שלמים.
אם אפשר ,סרטטו מקרה אחד לפחות והסבירו מדוע הוא עונה על הדרישות.
חשוב להצדיק איך יודעים שהמשולש שסרטטתם הוא אמנם משולש ישר-זווית.
אם אי אפשר ,הסבירו מדוע.
השאלה דורשת סרטוט של משולש ישר זווית המקיים את כל שלושת הדרישות יחד.
יש להסב את תשומת לב התלמידים כי השאלה היא שאלת קיום ולכן מספיקה דוגמה אחת כדי להוכיח קיום.
אופן הבנייה של המשולש:
בונים קטע באורך שלם (מענה לתנאי השלישי) .בוחרים לדוגמה את השלשה הפיתגוראית ,3,4,5
שתבטיח לנו שהצלע שבנינו היא באורך שלם והקטע לא על קווי הרשת.
A
ניתן לשאול את התלמידים את שאלות מנחות לדוגמה:
0
הזווית בין הקטע האדום והקטע הכחול שסרטטנו היא .90כיצד אנו
יודעים?
האם המשולש הישר-זווית שהתקבל מתאים לדרישות? הסבירו מדוע?
B
הרחבה של השלשה הפיתגוראית 5 ,4 ,3 :פי 5מאפשרת בניית משולש
ישר-זווית שכל אחת מצלעותיו היא יתר במשולש ישר-זווית אחר .כך אנחנו
C
מבטיחים משולש עם שלוש צלעות שאורכן מספרים שלמים:
A
25 ,20 ,15
הניצב ; 15 ,12 ,9 – AB
הניצב ; 20 ,16 ,12 – AC
והיתר .25 ,24 ,7 – BC
B
הערה :נשים לב ,כי סימון המשולשים הישרי-זווית האדומים המקווקוים ,על
ניצבי המשולש בסרטוט ,מאפשרת לנו להוכיח כי אורכי הניצבים הם מספרים
שלמים (הניצבים בנויים ממספר משולשים ישרי-זווית .)3-4-5על היתר לא
C
ניתן לראות זאת ,אך ניתן לראות כי אלו הן אותן יחידות.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
404
כיתה ח ,חלק ד'
L
D
עמ' 310
A
.79נתון ריבוע ABCDבעל צלע באורך 1ס"מ.
העבירו מקביל KMלצלע ADומקביל LPלצלע .AB
K
M
היקף המשולש ΔKALהוא 1ס"מ.
מה שטח המשולש ?ΔMCP
1
שטח המשולש ΔMPCסמ"ר.
4
C
נשים לב שהיקף המשולש ΔKALשווה לאורך צלע הריבוע הנתון .ABCD
D
c
נתון זה מאפשר לחלק את אורך צלע הריבוע ל 3 -קטעים שאורכיהם כאורכי
b
b
P
a L
B
A
bc
2
b
b ab
O
K
בנוסף ,החישוב מתבסס על הקשר a +b =cשנובע ממשפט פיתגורס.
a
ac
ab
a a2
שטח הריבוע הנתון :ABCD
c
2
c
bc
c ac
צלעות המשולש ,ולחלק את הריבוע לתשעה מלבנים כמתואר בציור.
2
2
M
2
C
a b c a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 2c2 2ab 2bc 2ac
שטח המלבן :OMCP
2
c
aP b
B
N
=c
לפי משפט
פיתגורס
b c a c ab bc ac c 2
שטח המלבן OMCPשווה למחצית שטח הריבוע.
1
שטח המשולש המבוקש ,ΔMPCשווה למחצית שטח המלבן ,OMCPולכן שטחו הוא
4
עמ' 310
סמ"ר.
.80נתון משולש ישר-זווית (לא שווה-שוקיים) .העבירו את התיכונים במשולש.
א .מבין שני התיכונים לניצבים ,איזהו הארוך יותר -התיכון לניצב הקצר או התיכון לניצב הארוך?
ב .אם ידוע שאורך היתר במשולש הנתון הוא 6ס"מ ,מצאו את סכום הריבועים של שני התיכונים לניצבים.
A
א .מסמנים את הניצב הקטן ב , a -את הניצב הגדול ב b-ואת היתר ב.c -
דרך א:
ריבוע אורך התיכון לניצב הקטן הוא a2 b a4 b a4 b4 3b4 :
ריבוע אורך התיכון לניצב הארוך הואa b a b a b 3a :
2
4 4
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
b
2
דרך ב:
2
2
2
a
b 3b 3a
= b 2 + - a 2 +
>0
4
4
2
2
2
B
a
C
ב .אם ידוע שאורך היתר במשולש הנתון הוא 6ס"מ ,סכום הריבועים של שני התיכונים לניצבים הוא .45
a2
b2 5 2
5
b2 a2
סכום ריבועי התיכונים לניצבים הוא (a b2 ) 36 45 :
4
4 4
4
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
405
כיתה ח ,חלק ד'
פעילות – 7עמ' – 311פתרון בעיות בדרכים
שונות
פעילות 7חוזרת אל תרגילים הקשורים בגובה ליתר
במשולש ישר-זווית .מטרת הפעילות היא לפתח אצל
התלמידים גמישות בבחירת דרך הפתרון הנוחה ,בהתאם
לנתונים.
כדאי לבקש מהתלמידים לפתור את התרגילים ביותר
מדרך אחת ,ולערוך דיון בדרכי הפתרון ובנוחיות השימוש
בהן .בפרט ,חשוב להסב את תשומת הלב לאפשרות לחשב את שטח המשולש הן באמצעות הניצבים והן באמצעות היתר
והגובה .השוואת השטח המתקבל בשתי הדרכים ,מאפשרת למצוא בקלות את הגובה ליתר כשנתונות צלעות המשולש.
שימו לב ,בעמוד זה
הסרטוטים מוקטנים ואורכי
הצלעות נתונים בס"מ.
תרגילים עמ' 312 – 311
עמ' 311
ΔPQS .81הוא משולש ישר-זווית – QR .גובה ליתר.
Q
א .מצאו בסרטוט שלושה זוגות של משולשים דומים ,ורשמו
אותם.ΔPQR ∼ ΔQSR ∼ ΔPSQ .
ב .מצאו את אורך הניצב QSבדרכים שונות 12.001 .ס"מ.
5.5
5
x
S
נחשב תחילה את PRבעזרת משפט פיתגורס 5.25 .ס"מ = .PR
P
R
את QSנוכל לחשב ,בכמה דרכים :דרך א :באמצעות דמיון המשולשים : ΔPQR ∼ ΔQSR
PQ QS
5.5
QS
QS 12.008
PR QR
5
5.25
דרך ב :באמצעות דמיון המשולשים ∼ ΔPSQ
.ΔPQR
QR QS
5
QS
QS 12.008
PR QP
5.25 5.5
עמ' 311
B
ΔBAC .82הוא משולש ישר-זווית – AD .גובה ליתר.
א .מצאו בסרטוט שלושה זוגות של משולשים דומים ורשמו
אותם∼ ΔBAC .
.ΔADB ∼ ΔADC
2
D
C
2
ב .מצאו את אורך הקטע BDבדרכים שונות 2 .ס"מ.
נראה שהמשולש ΔADCישר-זווית ושווה-שוקיים ,ולכן כל הזוויות
החדות בנות .45מכאן שגם המשולש ΔBACשווה-שוקיים וAD -
A
תיכון ליתר.
דרכים נוספות :אפשר למצוא את BDבאמצעות חפיפת משולשים , .ΔADB ≅ ΔADCדמיון משולשים:
ΔBAC ∼ ΔADCומשפט פיתגורס :במשולש AC2 AC 2 :ΔADC
2 2
2
2
ג .מצאו את אורך הניצב 2 .ABס"מ.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
406
כיתה ח ,חלק ד'
שימו לב ,הסרטוט מוקטן
ואורכי הצלעות נתונים
בס"מ.
עמ' KM .83 312הוא גובה במשולש .ΔLKP
נתון.∡LKM = ∡KPM :
א .הסבירו מדוע המשולשים ΔKMLו ΔKMP -דומים ,ורשמו את
K
הדמיון בהתאמה.
נסמן.∡LKM = ∡KPM = :
לפי סכום הזוויות במשולש :ΔKMP
8
.∡MKP = 180 - 90 - = 90 -
P
לפי סכום הזוויות במשולש :ΔKML
M
4
L
∡KLM = 180 - 90 - = 90 -
למשולשים שלושה זוגות של זוויות שוות :זוג זוויות ישרות ,זוג זוויות שמידתן ,זוג זוויות שמידתן ,90 -
ומכאןΔKMP ∼ ΔLMK :
ב .מצאו את יחס הדמיון1:2 .
ג .מצאו את אורך הצלע 16 .MPס"מ.
הראו שהמשולש ΔLKPישר-זווית .נסמן.∡LKM = ∡KPM = :
לפי סכום הזוויות במשולש .∡MKP = 180 - 90 - = 90 - :ΔKMP
לכן.∡LKM = (90 - ) + = 90 :
ד .הראו שהמשולש ΔLKPישר-זווית.
נראה שהמשולש ΔLKPישר-זווית:
סימנו.∡LKM = :
מסעיף א ידוע כי∡MKP = 90 - :
לכן∡LKM =( 90 - ) + = 90 :
ה .מצאו את השטח של משולש ΔKPMבשתי דרכים שונות לפחות 80 .סמ"ר
דרך א :לפי מחצית מכפלת הניצבים.
דרך ב :לפי מחצית מכפלת היתר בגובה ליתר.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
407
כיתה ח ,חלק ד'
פעילות – 8עמ' – 312הוכחת משפט פיתגורס באמצעות דמיון משולשים
מטרת פעילות 8היא להציג הוכחה של משפט פיתגורס
באמצעות דמיון משולשים.
סעיף א:
לכל משולש זווית ישרה וזווית שמידתה ,ומכאן:
∼ ΔACD ∼ ABC
ΔCBD
סעיף ב:
BC BD CD
BC2 AB BD
AB BC CA
סעיף ג:
AB BC AC
AC2 AB DA
BC DB CD
AB
סעיף ד:
BC2 AC2 AB DB AB DA AB(DB DA) AB AB AB2
לפעילות יישומון דינמי באתר בשם :פיתגורס באמצעות דמיון משולשים
פעילות – 9עמ' – 313כשהישר פגש בריבוע
מטרת פעילות 9הינה יצירת קשרים בין נושאים הנלמדים בגאומטריה לבין נושאים הנלמדים באלגברה בכיתה ח .התלמידים
במהלך הפעילות אמורים להסיק מסקנות מתוך הידע שלהם על פונקציה קווית ותכונות הריבוע כדי לענות על השאלות .משולבים
בפעילות זו גם נושאים גאומטריים נוספים :פיתגורס ,דמיון משולשים ומצולעים ,חפיפת משולשים ,שטחים והיקפים מתחום
הגאומטריה וכן נושא היחס מתחום האלגברה.
בפעילות למרבית הסעיפים יש דרכי הפתרון רבים :פתרון אלגברי ומספר פתרונות גאומטריים אפשריים .אחת ממטרות הפעילות
היא להציג את מגוון דרכי הפתרון השונים עבור כל סעיף ולאפשר לתלמידים לאחר שמצאו דרך פתרון אחת לחפש דרכי פתרון
נוספים .ניתן לתת רמזים כגון :מצאו דרך פתרון באמצעות שטחים או באמצעות חפיפת משולשים וכדומה .בדרך זו אנחנו
מרעננים ומקשרים לתלמידים בין הנושאים השונים שנלמדו עד כה.
פעילות זו מציגה למעשה שאלת מקור המתפתחת אט אט ורמת הקושי של השאלות הולכת ועולה ככל שמתקדמים בפעילות.
העובדה שהפעילות מערבת מספר נושאים מתמטיים יחד הופכת אותה לפעילות מאתגרת יותר מהרגיל.
האתנחתא בסוף הפעילות קשורה אף היא לפעילות .זהו אותו ריבוע שאם נחזיר אותו למערכת הצירים ,נוכל להציע פתרון נוסף -
פתרון אלגברי.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
408
כיתה ח ,חלק ד'
1
סעיף אx :
2
y היא משוואת הישר העובר
דרך ראשית הצירים וקדקוד .B
סעיף ב :ההבדל בין סעיף א לסעיף ב ,שאם לא
נתון סרטוט לא ידוע האם הריבוע מעל ציר xאו
מתחתיו ,ולכן הפתרון הנוסף הוא המקרה בו
1
הריבוע מתחת לציר y x :x
2
סעיף ג :היקף המשולש 2.618 :ס"מ,
היקף הטרפז 3.618 :ס"מ
סעיף ד :היחס הוא 1:3
דרך א :בעזרת חישוב שטחים:
שטח הריבוע הוא 1סמ"ר .שטח המשולש הוא
3
1
סמ"ר לכן שטח המרובע שנותר הוא
4
4
סמ"ר.
דרך ב :חלוקה למשולשים חופפים .כמתואר בסרטוט
x
סעיף ה :יחס השטחים הוא3:5 :
דרך א :באמצעות דמיון וחפיפת משולשים
E
L
M
הסבר לדרך א :נסמן את אמצע צלע BCבאות Eואת נקודת החיתוך של הישר עם צלע ADבאות .M
יחס הדמיון בין המשולשים ΔOMDו ΔOEC -הוא 1:2ולכן יחס השטחים הוא .1:4
עתה נוכיח כי המשולשים ΔOMDו ΔEML -חופפים באמצעות ז.צ.ז (זוויות קדקודיות ,זווית ישרה וניצב באורך .)1
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
409
כיתה ח ,חלק ד'
דרך ב :חישוב שטחי טרפזים
1
הסבר לדרך ב :ניתן למצוא את נקודה M 1, בעזרת
4
משוואת הישר או בעזרת דמיון משולשים ,כפי שהודגם
בדרך א.
M
ידוע שגובה שני הטרפזים שווה לDC=AB=1 .1 -
דרכים נוספות לפתרון סעיף ה :חפיפת משולשים ,חלוקה לשטחים של מלבן ושטחים של משולשים ועוד.
1
סעיף ו :משוואת הישר היאx :
3
y
דרכי פתרון אפשריות:
דרך א :מציאת משוואת הישר
משוואת הישר היא .y=mxלכן,
E
. MD m 1 m
M
. CE 2 m 2mעכשיו אפשר לבנות משוואה:
m 1 2mשמבוססת על ,BE=MDולהגיע למסקנה
.m=1/3
דרך ב :משולשים חופפים :חלוקה למשולשים חופפים כמודגם בסרטוט .נעזרים בחפיפת המשולשים בזוויות ישרות (מסומנות
בתכלת) ובזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (מסומנות באדום) ובצלע באורך .1לפי משפט ז.צ.ז.
דרך ג :חישוב שטחי הטרפזים ניתן להיעזר ביחס הדמיון לקביעת היחס בין בסיסי הטרפזים.
סעיף ז :אם ידוע שהישר לא עובר דרך ראשית הצירים אז כל ישר העובר דרך מרכז הריבועy=mx−1.5m+0.5 M(1.5,0.5) :
או x=1.5יש אינסוף אפשרויות .כדאי להדגיש את הפתרון של פונקציה קבועה העוברת באמצע.
1
סעיף חx 1 :
3
. y כדי לפתור סעיף זה ללא חישובים מייגעים ,חשוב לשים לב כי גם הריבוע וגם נקודת החיתוך עם ציר הy -
1
זזו ביחידה אחת כלפי מעלה ,לעומת סעיף ו ולכן גם הישר המבוקש הוא הזזה של הישר x
3
y ביחידה אחת כלפי מעלה.
סעיף ט . y x :בסעיף זה הישר עובר דרך ראשית הצירים ,לכן חלוקת הריבוע משתנה .החלוקה איננה לשני טרפזים ,אלא
לשני משולשים חופפים .למעשה הישר הינו אלכסון הריבוע ולכן ,נקבל את משוואת הישר . y x
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
410
כיתה ח ,חלק ד'
אתנחתא – עמ' 313
הנקודה Oהיא מרכז הריבוע .ABCD
B
L
C
.AK=BL=2 ,CD=8
O
מה שטח המרובע ?AKOL
האתנחתא זו מופיעה בכוונה לאחר פעילות .9
D
K
A
למעשה ,שאלה זו שייכת לסדרת השאלות אלא שרק הסרנו את מערכת הצירים מהריבוע.
על ידי הסרת מערכת הצירים ,לא אפשרנו פתרון באלגברי ,מה שהיה אפשרי בכל סעיפי פעילות .9
תשובה :שטח המרובע .16
עבור כל הפתרונות כדאי בשלב ראשון להאריך את הקטעים כמתואר בסרטוט הבא.
דרך א :מוסיפים בניית עזר כמו בסרטוט .הורדת אנך מנקודה Oלצלע AD
M
והורדת אנך מנקודה Oלצלע . AB
חפיפת המשולשים שנוצרו ΔLOMו ΔKOE -מוכיחה כי שטח המרובע הוא
רבע משטח הריבוע.
E
דרך ב :הוספת בניות עזר (כבסרטוט) והזזה דינמית של הישרים בסיבוב
עד התלכדות הישרים עם הישרים שבסרטוט ממחישה כי השטח המבוקש
הוא רבע משטח הריבוע.
דרך ג :חישוב שטח המשולשים הבאים:
64
שטח משולש AOLהוא 12
2
24
ושטח משולש AOKהוא 2
2
בסיכום הפעילות ניתן להציע לתלמידים למקם מערכת צירים ולפתור את הבעיה כעת בכלים אלגבריים.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
411
כיתה ח ,חלק ד'
שימושי משפט פיתגורס במרחב – עמ'
314
תת-פרק זה עוסק בשימושי משפט פיתגורס במרחב ,בפרט
בתיבה או קובייה ובגליל .התלמידים למדו על תיבה וקובייה
בכיתה ז .שם הגדרנו מושגים כמו :פאה ,צלע (מקצוע) וקדקוד
של פאה; צלעות סמוכות ונגדיות של פאה .כמו כן ,נלמדו
המושגים כמו נפח ושטח פנים של תיבה ולמדו לחשב אותם.
להחליף
מטרת הפרק הנוכחי היא להכיר מושגים נוספים הקשרים
לתיבה :אלכסון של פאה ואלכסון ראשי של תיבה ולחשב
אותם באמצעות משפט פיתגורס.
נושא "הנדסת המרחב" דורש ראיה מרחבית ומסייע בפיתוח
של ראיה כזו .מומלץ להיעזר באמצעי המחשה כדי לפתח אצל
התלמידים את הראיה המרחבית .ניתן לדוגמה ,לבקש
מהתלמידים להביא קופסאות קרטון בצורת תיבות (קופסאות
דגנים ,נעליים ,טישו ,ועוד) .היתרון של קופסאות אלה הוא
שניתן לסרטט עליהן אלכסוני פאה ,לצבוע צלעות אחדות,
לראות בבירור זוויות ישרות ועוד .אם יש אפשרות ,רצוי
ומומלץ להיעזר בקופסאות שקופות בהן ניתן להמחיש מיהו
אלכסון ראשי באמצעות קשית.
פעילות – 2עמ' – 315בניית דגם של תיבה
פעילות 2מציעה דרך לבניית דגם של תיבה מקשיות פלסטיק
ומנקי מקטרת (תמונת המחשה בעמ' )315או מקיסמים
ופלסטלינה.
היתרון בדגמים אלה הוא באפשרות להוסיף לדגם גם את
האלכסון הראשי של תיבה ולראות אותו מכל הזוויות .דבר זה
קשה להשיג בתיבה שדפנותיה מחומר אטום .החיסרון של דגם
זה הוא בשבריריות שלו.
מומלץ להחזיק בכתה במהלך השיעורים הראשונים ערכת חומרים שכוללת תיבות שונות ,שיפודים ,קסמי שיניים ,פלסטלינה,
סרגלים ישרי-זווית ,גי ליונות קשיחים ,וחומרים אחרים שמצויים בסביבה ,כדי לאפשר לתלמידים שמעוניינים בכך להשוות בין
הסרטוט למציאות ,או לחילופין ,לבנות דגמים של הסרטוטים .כמן כן ,מומלץ מאוד שיהיה ברשותו של המורה דגם של תיבה
לצורך המחשה.
פעילות 1עמ' – 314תיבה וקובייה – חזרה
מטרת פעילות 1היא לרענן את הידע והמושגים הקשורים בתיבה (קדקוד ,פאה ,צלע ,צלעות סמוכות של תיבה) ולבצע חזרה על
נוסחאות לחישוב נפח ושטח פנים של תיבה .חשוב להפנות את תשומת ליבם של לתלמידים ליחידות המידה של אורכי הצלעות
(יחידות אורך) ,שטח פנים (יחידות ריבועיות) ונפח (יחידות מעוקבות) של תיבה .כמו כן חשוב להזכיר את הצורך בהמרת יחידות,
אם המידות אינן נתונות באותן יחידות.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
412
כיתה ח ,חלק ד'
פעילות 3עמ' – 315מתבוננים בחדר הכיתה
אחד הדגמים הזמינים ביותר של תיבה הוא חדר הכיתה
עצמו (ברוב במקרים) .זה מאפשר להתבונן בתיבה
"מפנים" ולזהות בה זוויות ישרות וצלעות מאונכות זו לזו.
ההמלצה היא להתמקד בצלע שבין שתי קירות ולבדוק
לאילו קווים היא מאונכת .היא מאונכת הן לצלעות
התקרה הסמוכות לה והן לצלעות הרצפה הסמוכות לה.
עובדה זו תהיה שימושית מאוד בזיהוי של משולשים
ישרי-זווית הנוצרים מהעברת אלכסונים של פאה.
תלמידים רבים מתקשים לדמיין שהישר המשותף לשני
קירות ,מאונך לאלכסון החדר .חלקם משתכנעים בקלות
על ידי הדגמות שונות כגון :הצבת מלבן פוליגל בפינת
החדר ,כשאחת מצלעותיו צמודה לישר החיתוך של הקירות והאחרת מונחת על האלכסון .סעיף זה מוביל באופן טבעי להגדרת
ישר מאונך למישור (הגדרה אותה ילמדו בעתיד ,אך ניתן לזרוע זרעים להוראת המושג בפעילות זו).
פעילות 4עמ' – 316כיצד נסרטט קובייה או תיבה?
מטרת פעילות 4היא ללמד תלמידים לסרטט תיבה במחברת .הפעיל ות מתארת את שלבי הסרטוט .מומלץ לבקש מהתלמידים
לסרטט תיבות שונות זו מזו ככל שניתן :למקם את המלבנים (פאות) קרוב או רחוק יותר אחד מהשני ,לסרטט מלבנים "צרים" או
"רחבים" מאוד וכו'.
כאשר מתבוננים בסרטוט של תיבה או מסרטטים
תיבה ,חלק מהזוויות הישרות אינן נראות ישרות .לכן,
יש חשיבות לשלב פעילות זו עם פעילויות בהן
התלמידים מחזיקים דגם של תיבה ,שבו הזוויות
הישרות אכן נראות כך.
טלפון נייד בשירות לימודי מתמטיקה:
אף על פי שבמרבית בתי הספר השימוש בטלפון נייד
אסור בזמן השיעור ,ניתן להשתמש ביתרונות
הטכנולוגיים שמציע הטלפון החכם ללימוד
הגיאומטריה .אפשר לבקש מהתלמידים לצלם דגמים
של תיבה (קופסאות או דגמים שבנו) ולראות כיצד
הזוויות הישרות מתעוותות בצילום .המטרה של התנסות מסוג זה ,היא ללמוד לזהות זוויות ישרות בתמונות של תיבה ,גם כשהן
לא נראות כך.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
413
כיתה ח ,חלק ד'
אתנחתא – עמ' 316
את בסיסו של מבנה 1שלפניכם הדביקו לבריסטול ,וצבעו באפור את הפאות החשופות
של הקוביות (חלק מהפאות שנצבעו נראות בסרטוט).
מבנה 1
א .כמה פאות נצבעו?
ב .במהלך הצביעה זזה אחת הקוביות ,והתקבל מבנה .2האם במבנה
2יש לצבוע יותר פאות מאשר במבנה ?1בכמה? פחות פאות?
בכמה? או אותו מספר של פאות?
פתרון :א , 34 .ב 2 .פאות יותר
מבנה 2
דן ,גיא ,עופר וטל מתבוננים במבנה .התאימו לכל אחד מהם את סרטוט המבנה במבט צד ,המתאים לכיוון ממנו הוא מתבונן.
א .גיא ב .דן ג .עופר ד .טל
גיא
עופר
דן
א
ב
ד
ג
טל
פעילות 5עמ' – 317אלכסון של פאה
מטרת פעילות ,5היא להכיר את המושג "אלכסון של פאה" – קטע המחבר בין שני קדקודים של אותה פאה שאינם סמוכים זה
לזה .בפעילת זו התלמידים לומדים לזהות משולשים ישרי-זווית שנוצרים מהעברת אלכסון של פאה .סרטוט ( )2בסעיף ב מראה
ששני אלכסוני פאה לא בהכרח מאונכים זה לזה .מומלץ להיעזר באמצעי המחשה בזיהוי של זוויות ישרות וזווית שאינן ישרות.
סעיף ד עוסק במניה של אלכסוני פאה בעלי אותו אורך .כל פאה היא מלבן
ולכן לכל פאה יש שני אלכסונים בעלי אותו אורך .אם כל ממדי התיבה
שונים זה מזה ,אז יש בתיבה 6פאות שכל שתיים מהן זהות (חופפות).
בתיבה כזאת יש 4אלכסוני פאה בעלי אותו אורך .בקובייה 6 ,פאות זהות,
לכן בקובייה יש 12אלכסוני פאה בעלי אותו אורך.
דוגמה פתורה ע"מ 317
הדוגמה הפתורה ,מופיעה אחרי הפעילות ,מדגימה כיצד לחשב את האורך
של אלכסון הפאה של תיבה בעזרת משפט פיתגורס.
ניתן לסרטט מחוץ לתיבה את המשולש הישר-זווית ,שאת היתר שלו
רוצים לחשב.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
414
כיתה ח ,חלק ד'
פעילות 6עמ' – 318אלכסון ראשי של תיבה
מטרת פעילות ,6היא להכיר מושג חדש" :אלכסון של תיבה"
או "אלכסון ראשי של תיבה".
אלכסון של תיבה הוא קטע המחבר בין שני קדקודים שאינם על
אותה פאה.
אלכסון זה אינו נמצא במישור של אחת מפאות התיבה .ניתן
להמחיש את האלכסון של התיבה על ידי הוספת קשית או קיסם
לדגם .ניתן להוסיף גיליון שקוף בגודל מתאים ולסרטט עליו את
אלכסון התיבה .ניתן לשאול היכן עובר האלכסון הראשי של
התיבה שהיא חדר הכיתה.
הפעילות מתמקדת בהבחנה בין האלכסון הראשי של התיבה
לבין האלכסון של הפאה וכן בזיהוי של המשולשים הישרי-זווית
הנוצרים מהעברת האלכסון הראשי של התיבה .המטרה היא
להבחין שהאלכסון של התיבה הוא היתר במשולש ישר-זווית
שאחד הניצבים שלו הוא האלכסון של הפאה והניצב השני הוא
הצלע של התיבה.
הבחנה זו אינה מידית ,כי בדרך כלל יש להוסיף את האלכסון
של הפאה לסרטוט כדי ליצור משולש כזה.
ישנן 6דרכים שונות לעשות זאת ,כפי שניתן לראות בסרטוטים
המופיעים למטה .אולם בכיתה ח מספיק לעסוק בשני המקרים הראשונים (מימין).
לתלמידים מתעניינים ניתן להציע תרגיל אתגר – לזהות משולשים ישרי-זווית רבים ככל האפשר הנוצרים מהעברת האלכסון
הראשי.
סעיף ו מפנה את תשומת ליבם של התלמידים לכפל תפקידים של האלכסון של הפאה :הוא יתר במשולש ישר-זווית שניצביו הן
הצלעות הסמוכות של פאה; וניצב במשולש ישר-זווית שהיתר שלו הוא האלכסון הראשי של התיבה .לאבחנה זו חשיבות רבה
במציאת אורך האלכסון הראשי של התיבה.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
415
כיתה ח ,חלק ד'
דוגמה פתורה בעמ' 319
מראה כיצד לחשב את אורך האלכסון הראשי של התיבה.
נתונה תיבה שכל מידותיה ידועות ויש לחשב את אורך
האלכסון הראשי של התיבה .תחילה נוסיף לסרטוט את
האלכסון של הפאה כך שייוצר משולש ישר-זווית שבו
האלכסון הראשי של התיבה הוא היתר .החישוב של אורך
האלכסון הראשי מתבצע בשני שלבים בעזרת משפט
פיתגורס .תחילה נחשב את האורך של אלכסון הפאה ולאחר
מכן נשתמש במידע זה כדי לחשב את אורך האלכסון של
התיבה.
בכל אחד מהשלבים ניתן להיעזר בסרטוט של משולש ישר-
זווית מתאים מחוץ לתיבה ,אך אין חובה לעשות זאת.
אין כוונה בשלב זה לפתח נוסחה למציאת אורך אלכסון
ראשי של תיבה ,אולם התלמידים עשויים להבחין בכך
2
שקיצור תהליך החישוב מוביל לנוסחה( :אורך אלכסון של
2
2
2
תיבה) = .a +b +c
תרגילים עמ' 325 – 319
עמ' 319
.1א .סרטטו במחברתכם קובייה שאורך הצלע שלה הוא 3ס"מ.
ב .הוסיפו לסרטוט אלכסון של פאה ואלכסון ראשי.
אורך אלכסון הפאה 3 2 :ס"מ
ג .מצאו את אורך אלכסון הפאה שסרטטתם.
עמ' .2 319נתונה קובייה שהנפח שלה הוא 64סמ"ק.
א .מצאו את האורך של הצלע של הקובייה ,וסרטטו אותה במחברת 4 .ס"מ
4 2ס"מ
ב .מצאו את האורך של אלכסוני הפאות של הקובייה.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
416
כיתה ח ,חלק ד'
מטרת תרגיל 3היא חזרה על חישוב נפח ושטח פנים של תיבה.
כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים
ואורכי הצלעות נתונים בס"מ.
עמ' .3 320על פי הנתונים בסרטוט מצאו את הנפח ושטח פנים של התיבות שלפניכם.
א.
M
P
L
K
C
20
5
17
J
S
F
F
B
H
9
נפח 680 :סמ"ק ,שטח פנים 522 :סמ"ר
G
15
נפח 2700 :סמ"ק ,שטח פנים 1230 :סמ"ר
D
14.5
T
ד.
S
18
9
F
4
G
6
E
A
B
C
D
11
L
P
H
נפח 432 :סמ"ק ,שטח פנים 408 :סמ"ר
עמ' .4 320
E
A
C
ג.
B
D
H
8
ב.
A
נפח 1435.5 :סמ"ק ,שטח פנים 778 :סמ"ר
לפניכם דגם של קובייה שבנוי מקשיות בו שלושה אלכסוני פאה
(ראו סרטוט) .מהו סוג המשולש המתקבל במקרה זה? הסבירו.
משולש שווה-צלעות .בקובייה כל הפאות חופפות ואלכסוני כל פאה
שווים זה לזה.
עמ' .5 320נתונה תיבה .ABCDEFGH
A
B
EGאלכסון של הפאה .EFGH
א .מצאו את אורכו של אלכסון הפאה 26 .EGס"מ
ב .על-פי הנתונים בסרטוט מצאו את אורכו של .EC
ג.
18
31.62ס"מ = 1000
E
10
כמה אלכסונים כאלה יש?
יש 4אלכסונים:
C
F
רשמו את כל האלכסונים שאורכם שווה ל.EC -
D
G
EC = HB = GA = FD
24
H
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
417
כיתה ח ,חלק ד'
כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים
ואורכי הצלעות נתונים בס"מ.
עמ' .6 321נתונה תיבה .ABCDEFGH
BGאלכסון של הפאה .CBFG
B
א .על-פי הנתונים בסרטוט מצאו את אורכו של .BG
29ס"מ
4אלכסוניםBG = CF = AH = DE :
עמ' .7 321
E
F
שימו לב ,לא כל הנתונים נחוצים לצורך החישוב.
ג .מצאו את נפח התיבה.
D
C
21
ב .רשמו את כל אלכסוני הפאה שאורכם שווה ל.BG -
כמה אלכסונים כאלה יש?
A
20
13440סמ"ק
G
H
32
BEהוא אלכסון של הפאה .ABFE
א .על-פי הנתונים בסרטוט מצאו את אורכו של 15 .BEס"מ
12
B
ב .רשמו את כל אלכסוני הפאה שאורכם שווה ל.BE -
A
D
C
4אלכסונים.BE = AF = DG = CH :
ג.
מצאו את שטח הפנים של התיבה.
510סמ"ר
9
E
F
7
H
G
עמ' .8 321בתיבה שלפניכם מסורטטים שלושה אלכסונים של פאה.
B
א .על-פי הנתונים בסרטוט מצאו את אורכו של כל אחד מהם.
A
C
D
10ס"מ = 11.66 , EGס"מ 12.8 , BG = 136 ס"מ BE = 164
ב .לכל אחד מה אלכסונים של פאה ,רשמו אלכסון פאה נוסף השווה לו
באורכו.
10
למשל.BE = DG , BG = DE , EG = AC :
F
G
א .מצאו את האורכים של אלכסוני הפאה המופיעים בסרטוט.
ג.
8
H
A
B
8.54ס"מ 6.7 , HF= 73 ס"מ 10 , HA= 45 ס"מ = .AF
מהו סוג המשולש ?ΔAHFהסבירו.
6
כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים
ואורכי הצלעות נתונים בס"מ.
עמ' .9 321נפח התיבה בסרטוט שלפניכם הוא 144סמ"ק.
ב .מצאו את היקף המשולש .ΔAHF
E
D
C
25.24ס"מ
שונה-צלעות
E
F
3
G
8
H
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
418
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .10 322גלית הכינה מתנת יום הולדת לחברתה.
את המתנה ארזה בתוך קופסה שצורתה תיבה.
Q
R
S
גלית רוצה לקנות סרט אדום כדי להדביק על הקופסה
ולקשט אותה ,כמודגם בסרטוט.
8
א .מהו אורכו של הסרט אותו תצטרך גלית לקנות?
K
24.5ס"מ .TR= 601 אורך הסרט 130 :ס"מ = (24.5 + 8)∙4
ב .מהו נפח התיבה?
T
J
5
L
M
24
960סמ"ק
עמ' .11 322בכל אחת מהתיבות שלפניכם מסורטט אלכסון ראשי אחד .לכל תיבה רשמו משולש ישר-זווית אחד לפחות שבו האלכסון
הראשי המסומן הוא היתר שלו .מטרת התרגיל היא לזהות משולשים ישרי-זווית בהם אלכסון ראשי הוא היתר.
ב.
א.
Y
K
L
X
Z
M
W
F
A
B
B
D
C
C
D
למשלΔWYB :
למשלΔKAC :
ג.
B
C
ד.
A
B
C
D
F
A
D
E
G
R
G
A
H
Q
למשלΔDBF :
P
למשלΔCPR :
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
419
כיתה ח ,חלק ד'
כל הסרטוטים בעמוד זה מוקטנים
ואורכי הצלעות הם בס"מ.
עמ' .12 322על-פי הנתונים בסרטוט מצאו:
B
א .אורך אלכסון של הפאה .EG
C
17ס"מ = 152 82 289
D
10
ב .אורך האלכסון הראשי של התיבה .AGעגלו לשתי ספרות אחרי
הנקודה.
A
19.72ס"מ 102 172 389
E
F
8
G
H
15
עמ' .13 323נתונה תיבה שאורכי צלעותיה הם 6ס"מ 8 ,ס"מ 24 ,ס"מ.
א .חשבו את אורך האלכסון של הפאה .AC
B
10ס"מ
8
A
6
ב .חשבו את אורך האלכסון הראשי של התיבה 26 .AGס"מ 676
C
D
ג .חשבו את האורך של כל אחד מאלכסוני הפאות של התיבה .האם אחד מהאלכסונים
הללו ארוך יותר מאלכסון התיבה?
24.7ס"מ = 25.29 ,BG = 612 ס"מ 10 , HC = 640 ס"מ = .AC
24
אורכי אלכסונים של פאה קטנים מאורך האלכסון המרכזי.
F
E
G
H
עמ' .14 323לחבילת דגני בוקר צירפו הפתעה -עיפרון ארוך שיכול לכתוב בחמישה צבעים שונים
ואורכו 40ס"מ.
חבילת דגני הבוקר היא בצורת תיבה שאורכי צלעותיה הם 10 :ס"מ 25 ,ס"מ 30 ,ס"מ.
א .האם העיפרון יכול להיכנס לקופסה? הסבירו.
אורך האלכסון הראשי של הקופסה 40.3 :ס"מ , 1625 לכן העיפרון ייכנס לקופסה.
ב .בכל 1סמ"ק של הקופסה יש 3חתיכות של דגנים .כמה חתיכות דגנים יש בקופסה כולה? 22,500חתיכות
.15נתונה תיבה שנפחה 3600סמ"ק.
עמ' .15 323
כמו כן נתון 30 :ס"מ = 10 , ABס"מ = .RP
א .מצאו את גובה התיבה.
A
B
12ס"מ
C
D
ב .מה תפקידו של כל אחד מהקטעים הצבעוניים בסרטוט?
(הקטעים.)AR ,AC ,RD ,RB :
– RBאלכסון פאה – RD ,CBPRאלכסון פאה AC ,DCRQ
– אלכסון פאה – AR ,ABCDאלכסון ראשי.
M
P
R
ג .מצאו את אורכי הקטעים הצבעוניים בסרטוט.
Q
31.67ס"מ 32.31 ,AC = 1000 ס"מ 15.62 ,DR = 1044 ס"מ ,BR = 244
33.82ס"מ .AR= 1144
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
420
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .16 323נתונה קובייה בעלת נפח של 1סמ"ק.
א .חשבו את אורך אלכסון הפאה ואת אורך אלכסון הקובייה.
אורך אלכסון הפאה , 2 :אורך האלכסון הראשי3 :
ב .חזרו על סעיף א כאשר נפח הקובייה הוא 8סמ"ק.
אורך אלכסון הפאה , 2 2 :אורך האלכסון הראשי2 3 :
ג .חזרו על סעיף א כאשר נפח הקובייה הוא 27סמ"ק.
אורך אלכסון הפאה , 3 2 :אורך האלכסון הראשי3 3 :
ד .נתונה קובייה שאורך צלעה .xכתבו ביטוי אלגברי לאורך אלכסון של פאה ולאורך האלכסון הראשי של הקובייה .היעזרו
בתוצאות שקיבלתם בסעיפים א – ג .אורך אלכסון הפאה , x 2 :אורך האלכסון הראשיx 3 :
עמ' .17 324במשחק מחשב לטאה וזבוב נמצאים על הקדקודים Gו A -של קובייה,
A
B
שאורכי צלעותיה נתונים בסרטוט .כדי לנצח במשחק ולעבור לשלב הבא,
C
הלטאה צריכה להגיע אל הזבוב בדרך הקצרה ביותר.
D
ללטאה מותר ללכת מקדקוד לקדקוד של התיבה לאורך צלע או לאורך
אלכסון פאה.
E
F
א .מצאו דרכים באורך שונה בהן יכולה הלטאה להגיע אל הזבוב.
ב .מהו אורכה של כל אחת מהדרכים שמצאתם? זו קובייה
G
ולכן קיימות מספר דרכים ,אך בשני אורכים בלבד:
10
H
24.14ס"מ = 30 ,GB+ABס"מ = GF+FB+BA
ג.
מהו אורכה של הדרך הקצרה בה יכולה הלטאה להגיע אל הזבוב? הביאו דוגמה לדרך כזו .כמה דרכים האלה קיימות?
הדרך הכי קצרה היא על אלכסון הפאה וצלע הקובייה 24.14 :ס"מ .ישנן שש אפשרויות לדרך כזו.
ד .מהו המסלול הקצר ביותר מהלטאה אל הזבוב ,אם הלטאה חופשית לבחור כל מסלול שתרצה על פני הקובייה? רשמו
את כל האפשרויות.
כדי לענות על שאלה זו נתבונן בפריסה של קובייה.
הלטאה לא חייבת לעבור דרך אחת הצלעות ולכן עליה לעבור בדרך הקצרה ביותר בין שני קדקודים של מלבן המורכב
משתי פאות של הקובייה .המסלול הקצר ביותר המחבר בין שני קדקודים נגדיים של מלבן הוא אלכסון ,במקרה של
הקובייה ,יש אפשרות אחת כי כל הפאות הן ריבועים זהים ולכן האלכסון של המלבן הוא המסלול הקצר ביותר כמודגם
באיור.
החישובים בס"מ102 202 22.36 :
F
E
A
G
H
D
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
421
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' 324
.18בדומה לשאלה ,17הפעם במשחק המחשב לטאה וזבוב נמצאים על
הקדקודים Gו A -של תיבה ,שאורכי צלעותיה נתונים בסרטוט .כדי לנצח
A
B
במשחק ולעבור לשלב הבא ,הלטאה צריכה להגיע אל הזבוב בדרך
C
הקצרה ביותר.
D
12
ללטאה מותר ללכת מקדקוד לקדקוד של התיבה לאורך צלע או לאורך
אלכסון פאה.
E
F
א .מצאו דרכים שונות בהן יכולה הלטאה להגיע אל הזבוב.
9
18
G
ב .מהו אורכה של כל אחת מהדרכים שמצאתם?
H
32.12ס"מ = 39 , EG+AEס"מ = GF+FB+BA
ג .מהו אורכה של הדרך הקצרה בה יכולה הלטאה להגיע אל הזבוב? הביאו דוגמה לדרך כזו .כמה דרכים האלה קיימות?
הדרך הכי קצרה 32.12 :ס"מ .ישנן שש אפשרויות לדרך כזו.
ד .מהו המסלול הקצר ביותר מהלטאה אל הזבוב ,אם הלטאה חופשית לבחור כל מסלול שתרצה על פני התיבה? רשמו
את כל האפשרויות.
כדי לענות על שאלה זו נתבונן בפריסות של התיבה.
הלטאה לא חייבת לעבור דרך אחת הצלעות ולכן עליה לעבור בדרך הקצרה ביותר בין שני קדקודים של מלבן גדול
המורכב משתי פאות של התיבה .המסלול הקצר ביותר המחבר בין שני קדקודים נגדיים של מלבן הוא אלכסון ,ועל כן
עלינו לבדוק מיהו הקצר ביותר מבין שלושה אלכסונים אפשריים.
בכל שלושת המקרים נחשב את המרחק על פי משפט פיתגורס.
כל החישובים בס"מ.
מקרה א272 122 29.55 :
9
C
מקרה ב302 92 31.32 :
מקרה ג182 212 27.66 :
B
ב
D
C
G 9 F
18
A
D
B
B
C
H
9
E
C
9
D
ג
A
12
א
18
B
F 18
B
12
G 9 F
18
H
E
9
F
18
המסלול הקצר ביותר הוא במקרה ג .מסלול כזה יכול לעבור דרך הצלע DCאו דרך הצלע .EF
עמ' .19 324לפניכם דגם של מבנה המורכב מקוביות שאורך צלען 1מטר.
מהו אורכו של המוט הירוק המשמש לחיזוק המבנה?
4.58מ' 21
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
422
כיתה ח ,חלק ד'
עמ' .20 324נתונה תיבה שאורכי צלעותיה הם aס"מ b ,ס"מ ,ו c -ס"מ.
א .רשמו ביטוי אלגברי לכל אחד מאלכסוני הפאה.
בסרטוט:
אורך האלכסון האדום:
2
a b
2
c
אורך האלכסון הכחולa2 c 2 :
אורך האלכסון הירוקb2 c 2 :
b
ב .רשמו ביטוי אלגברי לאלכסון הראשי של התיבה.
a
אורך האלכסון הראשיa2 b2 c 2 :
עמ' 325
..21בני הפסל תכנן פסל ,המורכב משלוש תיבות זהות שמידותיהן 9 :מטר 12 ,מטר ו 15 -מטר ,והן עשויות מפלסטיק שקוף.
21
בתוך כל תיבה מסגרת בצו רת משולש צבעוני (ראו סרטוט) .כל מטר של החומר שממנו עשויות המסגרות עולה 10שקלים.
A
R
B
C
Q
S
D
F
U
15
G
12
M
N
9
H
L
15
V
9
K
T
15
E
J
I
9
12
W
Y
תיבה
א .מבלי לבצע תיבה
שלו 2הוא הגבוה ביותר? הסבירו.
חישוב1,ענו :מהו המשולש שמחיר המסגרת
O
12
P
תיבה 3
ב .חשבו את המחיר של כל אחת משלוש המסגרות ,ובדקו את תשובתכם.
נמצא את ההיקף של כל אחד מהמשולשים :בתיבה 36 :1מ' ,בתיבה 50.69 :2מ' ,בתיבה 55.53 :3מ'.
מחיר כל מסגרת :תיבה 360 :1ש"ח ,בתיבה 506.9 :2ש"ח ,בתיבה 555.3 :3ש"ח.
ג.
בני שוקל להכניס לתוך המסגרות שצורתן משולש לוחות משולשים המצופים בחומר מיוחד .כל מ"ר של החומר ממנו
מורכב הציפוי עולה 100שקלים .מבלי לבצע חישוב ,ענו :מיהו המשולש שמחיר ציפוי השטח שלו הוא הגבוה ביותר?
הסבירו.
ד.
חשבו את מחיר הציפוי של כל אחד משלושת המשולשים ,ובדקו את תשובתכם.
שטח של כל אחד המשולשים :בתיבה 54 :1מ"ר ,בתיבה 104.94 :2מ"ר ,בתיבה 131.2 :3מ"ר
מחיר הציפוי עבור כל תיבה :תיבה 5,400 :1ש"ח ,בתיבה 10,494 :2ש"ח ,בתיבה 13,120 :3ש"ח.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
423
כיתה ח ,חלק ד'
ה .לצורך בניית הפסל הקציבה העירייה לבני 55,000ש"ח .כל מ"ר של פלסטיק שקוף עולה 20שקלים.
האם התקציב יספיק לבניית שלוש התיבות והמסגרות שצורתן משולש?
שטח הפנים של כל תיבה 846 :מ"ר .מחיר הבנייה לתיבה 16920 :ש"ח .מחיר הבנייה של שלוש תיבות (ללא
מסגרות) 50760 :שקלים – .התקציב לא יספיק.
האם הסכום המוקצב יספיק להכנסת שלושת הלוחות המצופים בציפוי מיוחד? לא.
ו.
לאחר שסיים בני את בניית הפסל הוא התבונן בו ותהה האם היה יכול לבנות תיבה רביעית ובה משולש השונה בסוגו
משלושת המשולשים שבנה ,תוך שמירה על התנאי שקודקודי המשולש הם קדקודים של התיבה.
מה דעתכם ,האם יוכל בני לבנות משולש כזה? אם כן ,סרטטו ואם לא ,הסבירו.
ניתן לבנות משולש אחר העונה על הדרישות .לדוגמה .ΔWVT
Q
R
S
T
15
U
V
9
W
12
Y
אתנחתא – עמ' 325
המובייל בתמונה שלפניכם נמצא במצב מאוזן .משקלו של כל אחד
מהריבועים האדומים המשובצים הוא 200גרם .משקל החץ הצהוב הוא
40גרם ומשקל מגן דויד הוא 140גרם.
מה משקל כדור ורוד ומה משקל המשולש.
תשובה :כדור ורוד שוקל 60גרם
המשולש שוקל 100גרם
הסבר:
נתחיל את הפתרון מהתבוננות בחלק של המובייל במסגרת הירוקה:
אם ננטרל את שני העיגולים הורודים ,נוכל להסיק שמשקל המשולש
שווה למשקל הכוכב פחות משקל החץ ,כלומר 100 ,גרם.
נתבונן במסגרת האדומה .ממנה נוכל להסיק שמשקל הכדור הורוד הוא
60גרם.
הנתונים אודות הריבועים האדומים אינם דרושים לפתרון אבל מאפשרים
לבדוק את נכונתו.
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
424
כיתה ח ,חלק ד'
פיתגורס -דף גזירה לפעילות 4עמ’ 285
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
425
כיתה ח ,חלק ד'
פיתגורס -דף עבודה לפעילות 4עמ’ 285
נרצף ריבוע במשולשים ישרי-זווית
בכל אחד מהריבועים ,הניחו את ארבעת המשולשים הישרי-זווית החופפים בשתי דרכים שונות
______________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
426
כיתה ח ,חלק ד'
הגליל
לקראת ההיכרות הפורמלית עם הגליל כדאי להתבונן בחפצים גליליים או דמויי גליל ,להבחין במשותף ביניהם ,ועל כך לבסס את
הגדרת הגליל ,ואת ההיכרות עם חלקיו.
המוקדים העיקריים בפרק הם ההיכרות עם חלקי הגליל
ועם הפריסה שלו ,וחישובים שונים של שטחים והיקפים.
יש לדעת לסרטט פריסה של גליל.
בין תרגילי החישוב ,יש תרגילים רבים שדורשים המרת
מידות .לעתים ,המרת המידות דרושה כיוון שהנתונים
מופיעים ביחידות שונות .פעמים אחרות ,כדאי לבצע
המרה בתום תהליך החישוב ,אם ניתן ,למשל ,לרשום את
התשובה בליטרים במקום בסמ"ק.
ניתן לרשום את התשובות ככפולה של πאך כדאי,
לפחות בחלק מהתרגילים להגיע לתשובה עשרונית
מקורבת שמאפשרת להשוות את התוצאה לגדלים
מוכרים ("כמו שקית וחצי חלב.)"...
חשוב לדון בהשתנות שטח פני הגליל כתוצאה משינויים
באורך הגובה ו /או הרדיוס.
הפרק משלב בין חישובים עם הגליל לבין נושאים שנלמדו
בכיתות ז – ח ,בפרט המרת מידות.
תרגילים אחדים מוקדשים ליישום משפט פיתגורס
במרחב במקרה של גליל .מומלץ להיעזר באמצעי
המחשה כדי לזהות משולשים ישרי-זווית.
פעילות 1עמ' – 326מה משותף לגופים
הבאים?
פעילות 1מציגה את הגליל .בחלק הראשון של הפעילות,
לקראת הגדרת הגליל ,התלמידים מתבקשים לתאר את המשותף לחפצים אחדים שצורתם דמוית גליל.
כדאי לבקש מהתלמידים להביא דוגמאות לחפצים גליליים ואף לצלם גלילים שונים בסביבתם.
המושג "מעטפת" מופיע בראשית הפרק ,עוד לפני ההגדרה שמופיעה בפעילות .3אפשר להמחיש את מעטפת הגליל על ידי
יצירת גליל באמצעות דף רגיל ששוליו מוצמדים בעזרת מהדק .אפשר גם לדחות את הדיון במעטפת לפעילות .3
בעת ההתבוננות בחפצים ,כדאי להדגיש את קיומם של גלילים שטוחים מאד ,כמו מטבע ,וגלילים דקים מאד ,כמו ספגטי.
מטרת התמונה של שק שינה להדגיש שהגליל אינו חייב "לעמוד על בסיסו".
נוסחת הנפח של הגליל מובאת ל לא הוכחה .מומלץ להדגיש את הדמיון בין חישוב הנפח של הגליל לבין חישוב הנפח של תיבה
ושל מנסרה משולשת.
בהשוואה בין הגליל לבין המנסרה המשולשת והתיבה חשוב להדגיש :לשלושת הגופים יש שני בסיסים חופפים הנמצאים
במישורים מקבילים .לשלושת הגופים יש מעטפת שהיא מלבן .בעוד שלמנסרות יש פאות צדדיות מלבניות ,לגליל אין כלל פאות
צדדיות.
_____________________________ ________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
425
כיתה ח ,חלק ב
הנוסחה לנפח גליל מתקבלת באמצעות אינטגרלים ,ולכן אין אפשרות ,בשלב זה ,להסביר אותה לתלמידים .עם זאת ,כדי לתת
לתלמידים אינטואיציה לנוסחה לנפח גליל ניתן לבקש מהם דרכים לאמוד את הנפח .אחת הדרכים שעשויות לעלות היא שקילה
של אורז לדוגמה ,ששופכים וממלאים גליל ואחר כך משווים את התוצאה למשקל אילו היו ממלאים תיבה.
תרגילים עמ' 327
נזכור:
1,000סמ"ק = 1ליטר
1,000,000סמ"ק = 1מ"ק
1000ליטר = 1מ"ק
תרגילים 7 - 1עוסקים בנפח הגליל.
עמ' .1 327חשבו את נפח הגליל על פי הנתונים:
בסעיפים ד – ו יש לשים לב להמרת מידות.
א 3 .ס"מ = r
10ס"מ = h
90סמ"ק
ג 2 .מ' = r
ה 5 .מ = r
8מ' = h
32מ"ק (בקירוב 100.5מ"ק).
15ס"מ = .h
3,750,000סמ"ק ( 3.75מ"ק)
(בקירוב 282.7סמ"ק).
ב 8 .ס"מ = r
2ס"מ = h
128סמ"ק (בקירוב 402.1סמ"ק).
ד 30 .ס"מ = r
ו 15 .ס"מ = r
2מטר = .h
180,0000סמ"ק ( 180ליטרים
5מ = .h
112,500סמ"ק = 112.5מ"ק
או בקירוב 565.5ליטרים)
עמ' .2 327מהו נפח עוגה המורכבת משתי שכבות בצורת גליל כמודגם בציור.
רדיוס הבסיס של הגליל האחד הוא 14ס"מ וגובהו 5ס"מ.
רדיוס הבסיס של הגליל השני הוא 10ס"מ וגובהו 5ס"מ 1,480π .סמ"ק
עמ' .3 327מהו נפח המים הממלאים רבע גליל שקוטר בסיסו הוא 2מטרים וגובהו 8מטרים 2π .סמ"ק
עמ' .4 327נתונים שני גלילים.
r
קוטר בסיס הגליל האחד הוא 20ס"מ וגובהו 10ס"מ.
h
קוטר בסיס הגליל השני הוא 10ס"מ וגובהו 20ס"מ.
ב
א
א .האם שני הגלילים הם בעלי נפח שווה? לא.
ב .חשבו את הנפח של כל אחד מהגלילים .א 1,000π .סמ"ק .ב 500π .סמ"ק.
ג .מהו היחס בין הנפחים של שני הגלילים? 2:1
ד .חגי טוען שהוא יכול לענות על סעיף ג ,גם ללא נתונים מספריים .לדבריו ,אם מגדילים את גובה הגליל פי 2ומקטינים את
רדיוס הבסיס פי 2הנפח נשאר קבוע .האם הוא צודק?
חגי כמובן טועה .הגדלת הגובה פי 2מכפילה את הנפח ,אך הקטנת רדיוס הבסיס פי 2מקטינה את שטח הבסיס פי
.4לכן נפח הגליל קטן פי .2אם תלמידים לא מציינים נקודה זו בעצמם ,כדאי להעלותה לאחר ביצוע החישובים.
עמ' .5 327א .פי כמה יגדל נפח של גליל אם נגדיל את גובהו פי ? mהסבירו .פי m
2
ב .פי כמה יגדל נפח של גליל אם נגדיל את הרדיוס פי ? mהסבירו .פי m
הפעם לא נתונות מידות ולכן נדרש שיקול כללי .בסעיף א ,אפשר לבטא את הגובה החדש mhולבדוק את יחס הנפחים
בין הנפח המקורי לנפח החדש .בסעיף ב ,ניתן לבטא את הרדיוס החדש כ rh -ולהיעזר בחישוב דומה.
_____________________________ ________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
426
כיתה ח ,חלק ב
עמ' .6 327בחנות למוצרי הכפר מוכרים ריבת פירות מ שובחת בצנצנות בצורת גליל משני סוגים .קוטר הבסיס של אחת הצנצנות גדול פי
2מקוטר הצנצנת השנייה ,אולם גובהה קטן פי 2מגובה הצנצנת השנייה .מחיר הצנצנת הגבוהה 10שקלים ומחיר הצנצנת
הרחבה 15שקלים.
מה עדיף לקנות ,אם השיקול מתבסס על המחיר בלבד? שלוש צנצנות גבוהות או שתיים רחבות?
נארגן את הנתונים בטבלה.
צנצנת רחבה
צנצנת גבוהה
של שלוש צנצנות גבוהות ,למרות שבשתי
רדיוס
2r
r
צנצנות רחבות יש יותר ריבה.
גובה
h
2h
לכן עדיף לקנות שתי צנצנות רחבות.
נפח
המחיר של שתי צנצנות רחבות שווה למחירן
2
=π (2r) h
2
הוא 1000סמ"ר וגובהו 20ס"מ.
2
4π r h
2π r h
נפח שתי צנצנות רחבות:
נפח שלוש צנצנות גבוהות:
עמ' .7 327נתון כלי בצורת גליל ששטח הבסיס שלו
השוואה
2
=)π r (2h
2
א .מה נפח הכלי?
8π r h
2
6π r h
20,000סמ"ק = 20ל'.
ב .ממלאים את הגליל ב 4 -ליטרים של מים .מה יהיה גובה פני המים לאחר המילוי? 4ס"מ.
על סעיף ב ניתן לענות באמצעות החישוב.4000/1000=4 :
כדאי להדגיש את העובדה שגליל ששטחו 1000סמ"ר וגובהו ס"מ אחד נפחו בדיוק ליטר אחד .נוכל לפתור את התרגיל
ללא חישובים אם נביא בחשבון עובדה זו.
פעילות 2עמ' – 328פריסה של גליל
פעילות זו עוסקת בפריסה של גליל.
חידוש :לראשונה מעטפת מישורית (מלבן) יוצרת מעטפת
שאינה מורכבת ממלבנים.
חשוב לשים לב לדמיון ולשוני בין מעטפת של מנסרה
ומעטפת של גליל .בשני המקרים המעטפת היא מלבן .בשני
המקרים הפריסה מורכבת מהמעטפת ומשני בסיסים.
סעיף ג .:נתון גליל שהמעטפת שלו היא מלבן שמידותיו 9π
ס"מ 15 ס"מ .גובה הגליל 15ס"מ.
( )1חשבו את רדיוס בסיס הגליל 4.5 .ס"מ
( )2חשבו את שטח הפנים של הגליל 175.5 πסמ"ר
( )3חשבו את נפח הגליל 303.75 πסמ"ק
חשוב לשים לב ,שאין צורך לחשב את היקף הבסיס כמו
בסעיף הקודם .כיוון שנתון הגובה ,ניתן לדעת שהצלע
השנייה של מלבן המעטפת היא ששווה באורכה להיקף
הגליל.
_____________________________ ________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
427
כיתה ח ,חלק ב
בכתות חזקות במיוחד אפשר לבחון איזה גוף נקבל ,אם נצמיד זו לזו שתי צלעות נגדיות של מקבילית.
התשובה :גם במקרה זה נקבל גליל ישר.
גובהו יהיה שווה לגובה המקבילית שהוא קטן מאורך הצלעות אותן מצמידים .החתך אינו ישר ואינו מאונך לבסיסים.
פעילות 3עמ' – 329איזה נפח גדול יותר?
הגליל הרחב מכיל יותר פופקורן מהגליל הגבוה.
כדאי לבצע פעילות זו בעל פה עם ספרים סגורים ,ולבקש
מהתלמידים לשער איזו אריזה תכיל יותר פופקורן.
צפוי שלפחות חלק מהתלמידים יחשבו שאם לשני
הגלילים אותה המעטפת ,הם מכילים כמות שווה של
פופקורן.
אפשר לשקול שילוב פעילות זו כפתיח לנושא נפח הגליל,
במטרה ליצור סקרנות ועניין.
אפשר לערוך משאל בין התלמידים ולרשום את תוצאותיו.
מומלץ ,בנוסף לחישובים ,למלא את הגליל הגבוה לנגד
עיני התלמידים ,לשפוך את התכולה לגליל הרחב ולראות שנשאר מקום .השימוש בשקף מאפשר לראות שהגליל הרחב לא
התמלא לגמרי כש שפכו לתוכו את תכולת הגליל הגבוה .במיוחד אם עורכים את ההדגמה באופן הבא :יוצרים שני גלילים משני
שקפים .את הגליל הגבוה מניחים בתוך הגליל הרחב .ממלאים את הגליל הגבוה עד תום .מבקשים את אישור התלמידים ולאחר
אישורם ,שולפים את הגליל כך שהפופקורן ממלא עכשיו את הגליל הרחב בחלקו בלבד.
סעיף ד :מקרה א:
21ס"מ
30ס"מ
אנו רואים כי היקף בסיסי הגליל הוא .30לכן. 2r 30 r 4.777 ,
נחשב את הנפח:
V 4.777 21 V 1504.73הנפח הוא 150.73 :סמ"ק
2
נחשב את שטח הפנים S 2 4.777 21 2 4.777 773.297 :שטח הפנים הוא 773.297 :סמ"ר
2
כדאי לשוחח עם התלמידים מדוע2 4.777 21 21 30 :
_____________________________ ________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
428
כיתה ח ,חלק ב
סעיף ד :מקרה ב:
30ס"מ
21ס"מ
אנו רואים כי היקף בסיסי הגליל הוא .21לכן. 2r 21 r 3.343 ,
נחשב את הנפח ; V 3.343 30 V 1052.746 :הנפח הוא 1052.746 :סמ"ק
2
נחשב את שטח הפנים : S 2 3.343 30 2 3.343 700.183 :שטח הפנים הוא 700.183 :סמ"ר
2
באופן דומה ניתן שוב לבדוק ש2 3.343 30 21 30 :
סעיף ה :קיימות שתי מנסרות עם בסיס ריבוע ,שהמעטפת שלהן היא מלבן שמימדיו 21ס"מ 30ס"מ.
א .מנסרה שגובהה 21ס"מ .במקרה זה בסיס המנסרה הוא ריבוע שאורך צלעו 7.5ס"מ .נפח מנסרה זו 1181.25סמ"ק.
ב .מנסרה שגובהה 30ס"מ .במקרה זה בסיס המנסרה הוא ריבוע שאורך צלעו 5.25ס"מ .נפח מנסרה זו 826.875סמ"ק.
ניתן לראות:
נפח המנסרה הרחבה גדול מנפח המנסרה הגבוהה.
אי אפשר להגדיל את כמות הפופקורן על ידי בניית מנסרה עם בסיס ריבוע במקום גליל.
תרגילים עמ' 332 – 239
עמ' .8 329חשבו את שטח הפנים של הגליל ואת נפח הגליל על פי הנתונים:
א 5 .ס"מ = r
12ס"מ = h
ב 30 .ס"מ = r
ג2 .מ' = r
2מ' = .h
10ס"מ = .h
שטח פנים 170π :סמ"ר.
שטח פנים 13,800π :סמ"ר.
שטח פנים 84,000π :סמ"ר.
נפח 300π :סמ"ק
נפח 180,000π :סמ"ק = 180πל'
נפח 400,000π :סמ"ק = 400πל'
עמ' .9 329הביעו את נפח הגליל באמצעות mעל פי הנתונים.
2
א .רדיוס הבסיס mס"מ ,וגובהו 10ס"מ 10m π .סמ"ק.
2
2
ב .רדיוס הבסיס mס"מ ,וגובהו 10מ' 1,000m π .סמ"ק = m πל'.
3
ג .רדיוס הבסיס mס"מ ,וגובהו גדול פי 2מרוחבו 2m π .סמ"ק.
3
ד .גובה הגליל mס"מ ,ורדיוס הגליל ארוך פי 3מהגובה 9m π .סמ"ק.
r
_____________________________ ________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
429
כיתה ח ,חלק ב
עמ' .10 330אביזר המטבח שבתמונה הוא מדיד לספגטי.
הסבירו :מדוע העברת הספגטי בחור המדיד מאפשרת לקבוע את נפח הספגטי?
כשמצופפים את הספגטי בתוך החור נוצר "גליל" של ספגטי .גובה הגליל הוא אורך
הספגטי שהוא קבוע .שטח הבסיס של הגליל הוא שטח החור( .תכנון המדיד מביא בחשבון
את המרווח שבין מקלות הספגטי).
עמ' .11 330בגן אירועים בנו בריכת דגים עגולה שרדיוסה 2.5מטרים .עומק הבריכה 80ס"מ.
את דפנות הבריכה הפנימיות ,ציפו בחלוקי נחל.
מהי עלות הציפוי אם מחיר הציפוי הוא 85שקלים למ"ר? .₪ 2,737.11 = ₪ 871.25π
עמ' 330דוגמה
LMו SR -הם שני קטרים מקבילים של בסיסי הגליל .המרובע LMRSהוא מלבן.
הצלע MRשווה לגובה המלבן.
חשבו את נפח הגליל אם נתון 90 :סמ"ר = SLMRSו 5 -ס"מ = .r
L
M
פתרון
מהנתון 5ס"מ = rנובע 10 :ס"מ = .LM
90
גובה המלבן LSהוא צלע סמוכה במלבן ולכן 9ס"מ =
10
= .LS
R
2
נפח הגליל 225π :סמ"ק = V = πr h = π259
S
S
עמ' .12 330חשבו את נפחי הגלילים על פי הנתונים:
א90 .סמ"ר = 10 .SLMSRס"מ = 202.5π hסמ"ק
ג60 .סמ"ר = 15 .SLMSRס"מ = 60π hסמ"ק
ב60 .סמ"ר = 5 SLMRSס"מ = 150π rסמ"ק
ד600 .סמ"ר = 0.1 .SLMSRמ' = 3,000π rסמ"ק ( 3πל')
דוגמה
שטח המעטפת של גליל הוא 40πסמ"ר.
פתרון
גובה הגליל 10ס"מ.
נציב מספרים בנוסחת מעטפת הגליל:
S = l h = 2πrh
חשבו את רדיוס הבסיס ואת נפח הגליל.
40π = 2πr 10
40
20
גובה
r
רדיוס הבסיס 2 :ס"מ = r
היקף הבסיס
נציב את rבנוסחת הנפח ונקבל:
2
125.6סמ"ק = 40πסמ"ק = V = πr h = π410
_____________________________ ________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
430
כיתה ח ,חלק ב
עמ' .13 330מצאו את הנפח ואת שטח הפנים של הגלילים על פי הנתונים.
א .שטח המעטפת 4π :מ"ר ,גובה הגליל 0.5מ'
כמה סמ"ר יש
במ"ר אחד?
נפח 8π :מ"ק .שטח פנים 36π :מ"ר.
ב .שטח המעטפת 24π :מ"ר ,רדיוס הבסיס 3מ' נפח 36π :מ"ק .שטח פנים 42π :מ"ר.
ג .שטח המעטפת 300π :סמ"ר .גובה הגליל 10ס"מ .נפח 2,250π :סמ"ק ( 2.25πל') .שטח פנים 750π :סמ"ר.
ד .שטח המעטפת 5πמ"ר .רדיוס הבסיס 5ס"מ .נפח 125,000π :סמ"ק ( 125πל') .שטח פנים 5.005π :מ"ר.
עמ' .14 331שטח הפנים של גליל 24πסמ"ר ורדיוס בסיסו 3ס"מ .מה גובה הגליל? 1ס"מ.
עמ' .15 331שטח המעטפת של גליל 24πסמ"ר ונפחו 36πסמ"ק .מצאו את הרדיוס ואת הגובה של הגליל.
רדיוס 3 :ס"מ .גובה 4 :ס"מ.
פתרון תרגיל 16דורש זיהוי משולשים ישרי-זווית במרחב .זיהוי המשולשים והזוויות הישרות הוא אינטואיטיבי ,ולכן חשוב
להצטייד בכלים שקופים כאמצעי המחשה .כדאי להכין משולשים מקרטון ,שמתאימים לממדים של כלים אלה.
עמ' .16 331לפניכם 4גלילים שווים .רדיוס כל גליל 30ס"מ וגובהו 40ס"מ .בתוך כל אחד מן הגלילים מסורטט משולש.
מרכזי הבסיסים מסומנים בסרטוט .הצלעות המסומנות על מעטפת הגליל מאונכות לבסיסים.
א .זהו בין המשולשים זוג משולשים חופפים .הסבירו .א ,ג (צ.ז.צ)
ב .בכל אחד מן המשולשים מצאו את אורך הצלע המודגשת ואת שטח המשולש.
ב
א
ד
ג
r
b
a
b
c
r
צלע 50 :סמ"ר
צלע 50 :סמ"ר
צלע 40 :סמ"ר
שטח :משולש 600סמ"ר שטח :משולש 1,200סמ"ר שטח :משולש 600סמ"ר
r
צלע 5200 :סמ"ר
שטח :משולש 1,200
סמ"ר
_____________________________ ________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
431
כיתה ח ,חלק ב
ג .נועה אומרת :יכולתי לדרג א ת הצלעות המודגשות ,על פי אורכן ,גם ללא נתונים מספריים.
כיצד עשתה זאת?
לתלמידים חזקים ניתן להציע את ההסבר הבא:
הצלע הקצרה ביותר ,a ,היא ניצב במשולש הישר-זווית המופיע בסרטוט ג .הצלעות המסומנות ב ,b -בסרטוטים א ו -ב
שוות והן גדולות יותר ,מ , a -כי הן משמשות יתר במשולש בו aניצב .את האי-שוויון c > bניתן להסביר באמצעות משפט
2
2
2
פיתגורס b =a +r .ואילו
2
2
2
). c =a +(2r
אתנחתא – עמ' 331
המאזניים מאוזנים.
כמה כדורים נחוצים כדי לאזן 9גלילים? 12
הסבר :מהמאזניים הימניים ניתן ללמוד ש 9 -גלילים מאזנים 6קוביות.
מהמאזניים השמאליים ניתן ללמוד ש 6 -קוביות מאזנות 12כדורים.
מכאן ש 9 -גלילים מאזנים 12כדורים.
תרגיל 17עוסק בקצב השינוי של גובה פני המים בכלי .כאשר זרימת המים אחידה ,ככל שהכלי יותר צר הוא מתמלא יותר
מהר ,דבר שבא לידי ביטוי בשיפוע הגרף.
בכתות חזקות כדאי להדגיש גם ,שדרוש זמן רב יותר כדי למלא את החלק התחתון של כלי ב ,מהזמן הדרוש למלא את
החלק התחתון של כלי א.
עמ' .17 332ממלאים מים בכל אחד מן הכלים שלפניכם בקצב אחיד וברציפות.
כל אחד מן הגרפים שלפניכם מתאר את גובה המילוי של המים באחד הכלים ,בהתאם לזמן שחלף מרגע שהכלי התחיל
להתמלא.
א .התאימו כל גרף לכלי המתאים .לאיזה כלי אין גרף מתאים? א
א
ג
ב
ב .II .ג .I .דIII .
ד
II
I
III
_____________________________ ________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
432
כיתה ח ,חלק ב
ב .הוסיפו את הגרף החסר באופן סכמתי.
לפתרון תרגיל 18נדרש שימוש במשפט פיתגורס
חנות תכשיטים משתמשת באריזות מתנה כפולות .מעצב החנות מציע אריזה חדשנית שבה
עמ' .18 .18 332
r
גליל משולב בתוך מנסרה שבסיסה ריבוע.
אורך צלע הריבוע 8ס"מ וגובה הגליל והמנסרה 12ס"מ.
D
א .חשבו את נפח הגליל ואת נפח המנסרה.
נפח הגליל 192π :סמ"ק .נפח המנסרה 768 :סמ"ק.
א
ב .מעצב החנות מציע אריזה נוספת שבה מנסרה עם בסיס ריבוע משולבת בתוך גליל
(ראו סרטוט ב).
צלעות בסיס המנסרה 6ס"מ ו 8 -ס"מ וגובה הגליל והמנסרה
12ס"מ.
קוטר בסיס הגליל הוא
אורך צלע המנסרה.
חשבו את נפח הגליל ואת נפח המנסרה.
נפח הגליל 300π :סמ"ק .נפח המנסרה 576 :סמ"ק.
(אורך הקוטר ,על פי משפט פיתגורס 10 ,ס"מ).
ג .המעצב מציע להניח מקלון דקורטיבי לאורך אלכסון המנסרה ,עליו יוצגו התכשיטים.
מהו אורך המקלון הדקורטיבי?
244ס"מ
קוטר בסיס הגליל הוא
אלכסון בסיס המנסרה.
ב
_____________________________ ________________________________________________________________
© כל הזכויות שמורות "אפשר גם אחרת"
433
כיתה ח ,חלק ב
